時(shí)間：2023-05-31 09:53:38
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇函數(shù)的表示法，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
關(guān)鍵詞：概念形成 函數(shù)表示法 辯證思維
概念是一種思維形式。函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，函數(shù)理論是高等數(shù)學(xué)的主要組成部分，是近代科學(xué)技術(shù)不可缺少的工具。由于自然界的一切事物總是在不停地運(yùn)動、變化著，因此數(shù)學(xué)中也必須研究變量和變量間的相互關(guān)系。函數(shù)就是應(yīng)此而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)概念。中學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)及其圖像、集合的簡單知識，從而通過集合元素的對應(yīng)關(guān)系來加深對函數(shù)概念的理解；在此基礎(chǔ)上，引入函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性；進(jìn)而借助于單調(diào)函數(shù)及其圖像的學(xué)習(xí)，又從單值對應(yīng)引出一一對應(yīng)，從一一對應(yīng)引出逆對應(yīng)；同時(shí)由逆對應(yīng)引出反函數(shù)的概念。這對于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力和進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，起到很大的作用。
函數(shù)概念的教學(xué)目的是：（一）要求學(xué)生對函數(shù)概念有正確清晰的認(rèn)識；（二）要求學(xué)生熟練掌握函數(shù)的表示法；（三）通過函數(shù)概念教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生辨證思維方面的能力。下面談?wù)劚救说囊稽c(diǎn)粗淺認(rèn)識。
一、函數(shù)概念的形成
函數(shù)的實(shí)例：在客觀世界中，事物的種類繁多，現(xiàn)象的形態(tài)各異，它們都按照各自的固有規(guī)律運(yùn)動變化著。某一事物或現(xiàn)象的運(yùn)動變化總表現(xiàn)為多個(gè)不同量的變化，而這些量的變化又不是孤立的，它們常常是按照該事物固有的規(guī)律互相聯(lián)系、對應(yīng)著，即給定某量的一個(gè)值，依照規(guī)律都對應(yīng)另一個(gè)量的唯一一個(gè)值。粗略地說，“兩個(gè)量（或兩個(gè)數(shù)）之間的對應(yīng)規(guī)律”就是數(shù)學(xué)中所說的“函數(shù)”。函數(shù)概念產(chǎn)生于在同一個(gè)研究過程里變量間的相互關(guān)系之中，因此，建立函數(shù)概念必須以研究常量和變量作為起點(diǎn)。例如，把一個(gè)密閉容器內(nèi)的氣體加熱時(shí)，氣體的體積和氣體的分子數(shù)保持一定，所以是常量；而氣體的溫度與壓力則是變量。一個(gè)量是常量還是變量，要根據(jù)具體問題具體條件來分析，而且要辨證地看問題，這一點(diǎn)，教學(xué)時(shí)應(yīng)提出注意。例如，火車行駛時(shí)的速度，在開始階段或剎車階段是變化的，因而在該過程中是變量；在正常行駛階段變化很小，相對地可看作不變，因而是常量。
在同一個(gè)確定的過程中，往往會同時(shí)出現(xiàn)幾個(gè)變量。例如，一個(gè)物體作自由落體運(yùn)動的過程中，重力加速度（g）是常量，物體經(jīng)過的路程（s）與時(shí)間（t）是兩個(gè)變量，而且這兩個(gè)變量不是孤立無關(guān)的，而是緊密聯(lián)系的：物體運(yùn)動的時(shí)間變了，其相應(yīng)的路程也隨之而變；當(dāng)確定了物體經(jīng)過的時(shí)間后，相應(yīng)的路程也隨之而確定，它們間符合的關(guān)系。變量s和t之間存在著這種相依關(guān)系的確定性，這樣就稱s和t構(gòu)成了函數(shù)關(guān)系。其中t叫自變量，s叫自變量t的函數(shù)。由此可總結(jié)出，在某個(gè)研究過程中，存在函數(shù)關(guān)系的三條標(biāo)準(zhǔn)：（一）是否存在兩個(gè)變量（技校教材只限于一元函數(shù)）；（二）當(dāng)一個(gè)變量變化時(shí)，另一個(gè)變量是否也隨之而變化；（三）當(dāng)一個(gè)變量取確定值時(shí)，另一個(gè)變量是否也隨之取得唯一的確定值。
在許多問題中，自變量的允許取值范圍是有一定限制的，我們把自變量允許取值的范圍叫做函數(shù)的定義域。從數(shù)學(xué)角度看，要使表示函數(shù)關(guān)系的解析式有意義，自變量是需要有一定條件的；從應(yīng)用問題的實(shí)際內(nèi)容看，變量允許取值的范圍也是有一定限制的。這就是確定函數(shù)定義域的根據(jù)。求函數(shù)的定義域可參考以下幾個(gè)準(zhǔn)則：
（1） 若f（x）是整式，則f（x）的定義域是全體實(shí)數(shù)的集合R；
（2） 若f（x）是分式，則分式的分母應(yīng)該不為零；
（3） 若給出式子 （k為正整數(shù)），則應(yīng)有f（x）≥0；
（4） 若給出式子log ，則應(yīng)有f（x）＞0；
（5） 若給出式子arcsin f（x）、arccos f（x），則應(yīng)有｜f（x）｜≤1；
（6） 若上述情況同時(shí)出現(xiàn)，可分別找出它們的定義域，取公共部分為所求的定義域。
函數(shù)值以及記號f（x）是函數(shù)概念教學(xué)的重點(diǎn)，學(xué)生開始學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，往往不容易理解f（x）和f（a）的意義，有的認(rèn)為f（x）是x的一次函數(shù)，f（ ）是x的二次函數(shù)，這說明對記號f（x）的教學(xué)不能忽視。
在函數(shù)概念的教學(xué)中可以指出，函數(shù)符號f（x）按其實(shí)質(zhì)來說就是指對應(yīng)法則，例如 f（x）=3x + x－1，那么對應(yīng)法則f就是指這個(gè)式子中所給的一系列運(yùn)算，而f（x）就是指下面括號中自變量的某一數(shù)值應(yīng)作3（ ） +（）－1這樣的一系列的運(yùn)算以求函數(shù)值。因此當(dāng)x=1時(shí)有f（1）=3（1） +（1）－1=3 。
一般來說，記號f（a）代表一個(gè)數(shù)，它等于函數(shù)f（x）在變數(shù)值等于a時(shí)的值。用幾何術(shù)語說：f（a）是函數(shù)f（x）在a點(diǎn)的值。如果a不屬于定義域，則f（a）就無意義了。
二、函數(shù)的表示法
通過對函數(shù)各種表示法的學(xué)習(xí)，可以加深對函數(shù)概念的理解。用公式或分析表達(dá)式直接給出自變量與因變量之間的關(guān)系是函數(shù)的分析表示法，在自然科學(xué)或?qū)嶋H問題中是經(jīng)常遇到的，在微積分中，這種表示法也便于進(jìn)行運(yùn)算。
但是要防止學(xué)生產(chǎn)生函數(shù)關(guān)系一定能用公式表示的誤解。許多生產(chǎn)過程和科研實(shí)踐中，由觀察得到的一系列變量間對應(yīng)的數(shù)據(jù)，不見得都能概括成這兩個(gè)變量間確定的解析表達(dá)式，但它們之間應(yīng)該說構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系可用列表法來表示。通常用的各種數(shù)學(xué)用表，有的寫不出一般表達(dá)式（例如質(zhì)數(shù)），有的寫出了表達(dá)式（例y=logx），但也不能揭示由x經(jīng)過怎樣的代數(shù)運(yùn)算步驟而得到y(tǒng)。采用列表法，就可彌補(bǔ)上述的不足。
公式法和列表法都可以表示函數(shù)關(guān)系，但它們都存在著表示因變量隨自變量的變化而變化的趨勢的直觀性差的缺點(diǎn)。而函數(shù)的圖示法具有直觀性、明顯性，并且便于研究函數(shù)的幾何性質(zhì)。
在講授圖示法表示函數(shù)關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意：
（一）函數(shù)圖像存在的范圍是以函數(shù)定義域?yàn)橐罁?jù)的。
例1作函數(shù) 的圖像。
解： 定義域:是（-∞，+∞），
其圖像為（圖1）
例2作出函數(shù)y=x（其中x取整數(shù)）的圖像（圖2）。
（二）作函數(shù)圖像時(shí)，應(yīng)把列出的點(diǎn)用平滑的曲線連結(jié)起來，而不能畫成折線。為此可舉函數(shù) 的圖像為例，先畫幾個(gè)點(diǎn)，連結(jié)成折線，再補(bǔ)進(jìn)幾個(gè)點(diǎn)，讓學(xué)生看這些點(diǎn)并不在折線上，從而指出畫成折線是不對的。
在函數(shù)概念教學(xué)中，應(yīng)注意挖掘教學(xué)內(nèi)容中的教育因素，注意在教學(xué)過程中滲透一些辯證唯物主義的思想，這樣，不僅有利于學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，也有助于對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的教育。例如，常量和變量的相對性實(shí)際上蘊(yùn)含著矛盾的對立統(tǒng)一這一法則；研究存在某種相依關(guān)系的兩個(gè)變量的過程，就是用運(yùn)動、聯(lián)系的觀點(diǎn)來研究數(shù)學(xué)內(nèi)容……教師如能把觀點(diǎn)蘊(yùn)含于內(nèi)容之中，通過內(nèi)容滲透觀點(diǎn)，就會使函數(shù)概念的教學(xué)效果有所提高。
參考文獻(xiàn)：
［1］劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（上冊）――函數(shù).北京：高等教育出版社，1992.
［2］齊建華.現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育――數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論.鄭州：大象出版社，2001.
教材直接解答如下：
解：過水池的中心任意選取一個(gè)截面，如圖所示，由物理學(xué)知識可知，噴出的水注軌跡是拋物線型，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由已知條件知，水柱上任意一個(gè)點(diǎn)距中心的水平距離 與此點(diǎn)的高度 之間的函數(shù)關(guān)系是
所以裝飾物的高度為103m。這是一個(gè)應(yīng)用性極強(qiáng)的函數(shù)解析式與函數(shù)圖像互化的一個(gè)應(yīng)用問題，高一的學(xué)生大部分對這種應(yīng)用問題，尤其是抽象函數(shù)的圖像再通過圖像來擬合函數(shù)解析式，通過解析式來解決實(shí)際問題的問題。學(xué)生首先是感覺特別抽象，其次是感覺特別牽強(qiáng)。經(jīng)過本人長期的教學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，如果教師不注重這種問題的降階處理，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感覺知識的形成過程特別生硬并無法理解，無形的給學(xué)生造成學(xué)習(xí)障礙及學(xué)習(xí)壓力，并且這種學(xué)習(xí)障礙多了以后會挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成負(fù)面影響。
結(jié)合本人近年來的教學(xué)實(shí)際及對教材的深刻研究，本人是這樣處理的，在引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)完函數(shù)的三種表示法后，插入一節(jié)《函數(shù)的解析表示法與函數(shù)的圖像表示法互化》的習(xí)題課。通過回憶初中學(xué)習(xí)的正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像實(shí)際例子，再來求函數(shù)的解析式等問題，搭建學(xué)生認(rèn)知階梯，如本人在我校B層次班教學(xué)中設(shè)計(jì)了如下問題。
例 畫出函數(shù)y=x2-2|x|的圖像。
先板演引領(lǐng)學(xué)生分析完成
（1）列表
（2）描點(diǎn)，（3）連線：如下圖
另外?？梢酝ㄟ^初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)圖像的畫法畫出y=x2+2 ； 與y=x2-2x；的圖像在定義域上截取得到，找對稱軸x=-22=-1，找頂點(diǎn)（-1，-1），交點(diǎn)（0，0），（-2，0）定開口（向上）得到左邊的圖像，同理得到右邊的圖像，在本人引領(lǐng)學(xué)生做完圖像后，在黑板上擦掉前面的函數(shù)解析式及所列表格，只剩下圖像。
師：同學(xué)們，你們能夠根據(jù)左邊的函數(shù)圖像寫出函數(shù)的解析式嗎？
生：能，y=x2-2|x|；
師：（又重新將剛才學(xué)生寫出的解析式寫在黑板上）
師：那么，現(xiàn)在要是請你們說出是怎樣求出函數(shù)的解析式，能嗎？
（學(xué)生陷入了一片沉思，有學(xué)生講是二次函數(shù)？）
師：是二次函數(shù)嗎？那么又怎么求這函數(shù)的解析式呢？
生1：先設(shè)f（x）=ax2+bx+c；（因?yàn)樗麄儽容^熟悉二次函數(shù)的一般表示式）
師：根據(jù)你們的假設(shè)求解一下解析式試試；同學(xué)們迅速算出了a=1；b=2；c=0或a=1；b=-2；c=0；
師：還有其他的解決方式嗎？
生2：二次函數(shù)的表示式還有頂點(diǎn)式、兩點(diǎn)式；
那么現(xiàn)在要你來選擇求解這個(gè)問題的方式，你喜歡選擇那一種表達(dá)方式呢？你選擇試試看：
有學(xué)生選擇頂點(diǎn)式，因?yàn)?/p>
當(dāng)x≥0；知道頂點(diǎn)是（1，-1），圖像過（2，0）解得y=x2-2x；
當(dāng)x≤0；知道頂點(diǎn)是（-1，-1），圖像過（-2，0）解得y=x2+2x；
有學(xué)生選擇兩點(diǎn)式，因?yàn)?/p>
結(jié)合以上學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，我在處理課本例題，21世紀(jì)游樂園要建造一個(gè)直徑為20m的圓形噴水池。計(jì)劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水注在離池中心4處達(dá)到最高，高度為6，另外還要在噴水池的中心設(shè)計(jì)一個(gè)裝飾物。使各個(gè)方向噴來的水柱在此匯合，這個(gè)裝飾物的高度如何設(shè)計(jì)？
時(shí)是這樣做的。先閱讀題目分析由物理學(xué)知識知道是拋物線，選取一個(gè)縱截面得出圖形。
一、新課導(dǎo)入――習(xí)題設(shè)計(jì)要以學(xué)情為重點(diǎn)
高中數(shù)學(xué)知識前后章節(jié)有著密切的聯(lián)系，在新課導(dǎo)入時(shí)，教師應(yīng)設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)牧?xí)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行溫故知新。這樣的習(xí)題應(yīng)以教材為中心，承上啟下，淺顯易答，以不斷增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心。
例如，在講解“函數(shù)的表示法”一節(jié)時(shí)，初中已經(jīng)接觸過函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖像法。高中階段重點(diǎn)是讓學(xué)生在了解三種表示法各自優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，使學(xué)生會根據(jù)實(shí)際情境的需要選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒?。因此，在?dǎo)課環(huán)節(jié)，教師可設(shè)計(jì)一些作業(yè)讓學(xué)生在比較、選擇函數(shù)模型表示方式的過程中，加深對函數(shù)概念的整體理解，而不再誤以為函數(shù)都是可以寫出解析式的。
課堂練習(xí)：
某種筆記本的單價(jià)是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）本筆記本需要y元。試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y=f（x）。
（設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步讓學(xué)生感受到，函數(shù)概念中的對應(yīng)關(guān)系、定義域、值域是一個(gè)整體.函數(shù)y=5x不同于函數(shù)y=5x （x∈{1，2，3，4，5}），前者的圖像是（連續(xù)的）直線，而后者是5個(gè)離散的點(diǎn)。由此認(rèn)識到：“函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)，等等?！保?/p>
二、課內(nèi)自學(xué)――習(xí)題設(shè)計(jì)要以教材為中心
在設(shè)定教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)之上，教師可引導(dǎo)學(xué)生開展課內(nèi)自學(xué)，為配合學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，教師可嘗試讓學(xué)生主動的解決一些問題。這些問題應(yīng)以教材為中心，以教材內(nèi)的例題或習(xí)題為重點(diǎn)，也可適當(dāng)拓展變換條件，體現(xiàn)基礎(chǔ)性與思想性。
例如，在講解“向量的加法與減法”一節(jié)時(shí)，為了能引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解向量的有關(guān)的概念，靈活地應(yīng)用向量加法的運(yùn)算律解決較簡單的實(shí)際問題，筆者設(shè)計(jì)了如下習(xí)題：
例1.已知向量a、b，則在下列命題中，正確的是（ ）
（A） 若|a|>|b|，則a>b；
（B）若|a|=|b|，則a=b；
（C）若a=b，則a∥b；
（D）若a≠b，則a與b一定不共線；
例2.在ABCD中，=（ ）
三、交流反饋――習(xí)題設(shè)計(jì)要以易錯(cuò)題為主
通過學(xué)生自學(xué)，對教師呈現(xiàn)的問題進(jìn)行解決交流，中下游學(xué)生講解、分析，優(yōu)生點(diǎn)評、拓展，學(xué)會把問題理解透徹。學(xué)生交流評價(jià)時(shí)，其他學(xué)生暴露的問題是矯正補(bǔ)救的核心，也是教學(xué)的關(guān)鍵，教師要在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一些較為淺顯的易錯(cuò)題，以突出教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)。
如在講解“不等式及其性質(zhì)”一節(jié)時(shí)，有的學(xué)生存在對充分不必要條件的概念理解不清或不等式的轉(zhuǎn)化考慮不全等問題，容易解題出錯(cuò)，因此筆者設(shè)計(jì)了如下習(xí)題供學(xué)生討論。
1.設(shè)則使成立的充分不必要條件是：
部分學(xué)生錯(cuò)選B，對充分不必要條件的概念理解不清，“或”與“且”概念不清，正確答案為D。
2.不等式的解集是：
部分學(xué)生錯(cuò)選B，不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化出現(xiàn)錯(cuò)誤，沒考慮x=-2的情形。正確答案為D。
四、課內(nèi)探究――習(xí)題設(shè)計(jì)要以實(shí)踐為主體
教師在充分理解科學(xué)探究的目標(biāo)內(nèi)容的前提下，組織好學(xué)生進(jìn)行探究，重視開發(fā)學(xué)生的智力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。教師的角色應(yīng)該是課堂探究的組織者與實(shí)施者，要以作業(yè)為載體，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與主動性。
數(shù)學(xué)中的基本概念和規(guī)律既是探究教學(xué)的起點(diǎn)和基礎(chǔ)，又是探究的對象。在教與學(xué)中，教師如果在基本概念和規(guī)律的學(xué)習(xí)過程中滲透探究思想，就會使學(xué)生加深對概念和規(guī)律的理解與掌握。例如，在進(jìn)行橢圓概念的教學(xué)，可分以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：
（1）實(shí)驗(yàn)――要求學(xué)生用事先準(zhǔn)備的兩個(gè)小圖釘和一根長度為定長的細(xì)線，將細(xì)線的兩端固定，用鉛筆把細(xì)線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動，所得圖形為橢圓。
（2）提出問題，思考討論。
①橢圓上的點(diǎn)有何特點(diǎn)？
②當(dāng)細(xì)線的長等于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，其軌跡是什么？
③當(dāng)細(xì)線的長小于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，其軌跡是什么？
④你能給橢圓下一個(gè)定義嗎？
（3）揭示本質(zhì)，給出定義。通過上述的自主探究活動，使學(xué)生體驗(yàn)從生活實(shí)例中，抽象出數(shù)學(xué)概念的方法，進(jìn)一步探究它們之間具有的內(nèi)在聯(lián)系和各自特征，完成了對新知識的主動建構(gòu)過程。
五、達(dá)標(biāo)檢測――習(xí)題設(shè)計(jì)以查缺補(bǔ)漏為主
【關(guān)鍵詞】拋物線型；函數(shù)解析式；函數(shù)圖像；深刻研究
本人在教授人民教育出版社全日制普通高中教科書（必修）數(shù)學(xué)第一冊上第二章《函數(shù)的表示方法》課本例題3時(shí)遇到學(xué)生無法理解的牽強(qiáng)尷尬境地。例題如下：21世紀(jì)游樂園要建造一個(gè)直徑為20m的圓形噴水池。計(jì)劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水注在離池中心4m處達(dá)到最高，高度為6m，另外還要在噴水池的中心設(shè)計(jì)一個(gè)裝飾物。使各個(gè)方向噴來的水柱在此匯合，這個(gè)裝飾物的高度如何設(shè)計(jì)？
教材直接解答如下：
解：過水池的中心任意選取一個(gè)截面，如圖所示，由物理學(xué)知識可知，噴出的水注軌跡是拋物線型，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由已知條件知，水柱上任意一個(gè)點(diǎn)距中心的水平距離 與此點(diǎn)的高度 之間的函數(shù)關(guān)系是
所以裝飾物的高度為103m。這是一個(gè)應(yīng)用性極強(qiáng)的函數(shù)解析式與函數(shù)圖像互化的一個(gè)應(yīng)用問題，高一的學(xué)生大部分對這種應(yīng)用問題，尤其是抽象函數(shù)的圖像再通過圖像來擬合函數(shù)解析式，通過解析式來解決實(shí)際問題的問題。學(xué)生首先是感覺特別抽象，其次是感覺特別牽強(qiáng)。經(jīng)過本人長期的教學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，如果教師不注重這種問題的降階處理，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感覺知識的形成過程特別生硬并無法理解，無形的給學(xué)生造成學(xué)習(xí)障礙及學(xué)習(xí)壓力，并且這種學(xué)習(xí)障礙多了以后會挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成負(fù)面影響。
結(jié)合本人近年來的教學(xué)實(shí)際及對教材的深刻研究，本人是這樣處理的，在引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)完函數(shù)的三種表示法后，插入一節(jié)《函數(shù)的解析表示法與函數(shù)的圖像表示法互化》的習(xí)題課。通過回憶初中學(xué)習(xí)的正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像實(shí)際例子，再來求函數(shù)的解析式等問題，搭建學(xué)生認(rèn)知階梯，如本人在我校B層次班教學(xué)中設(shè)計(jì)了如下問題。
例 畫出函數(shù)y=x2-2|x|的圖像。
先板演引領(lǐng)學(xué)生分析完成
（1）列表
（2）描點(diǎn)，（3）連線：如下圖
另外?？梢酝ㄟ^初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)圖像的畫法畫出y=x2+2 ； 與y=x2-2x；的圖像在定義域上截取得到，找對稱軸x=-22=-1，找頂點(diǎn)（-1，-1），交點(diǎn)（0，0），（-2，0）定開口（向上）得到左邊的圖像，同理得到右邊的圖像，在本人引領(lǐng)學(xué)生做完圖像后，在黑板上擦掉前面的函數(shù)解析式及所列表格，只剩下圖像。
師：同學(xué)們，你們能夠根據(jù)左邊的函數(shù)圖像寫出函數(shù)的解析式嗎？
生：能，y=x2-2|x|；
師：（又重新將剛才學(xué)生寫出的解析式寫在黑板上）
師：那么，現(xiàn)在要是請你們說出是怎樣求出函數(shù)的解析式，能嗎？
（學(xué)生陷入了一片沉思，有學(xué)生講是二次函數(shù)？）
師：是二次函數(shù)嗎？那么又怎么求這函數(shù)的解析式呢？
生1：先設(shè)f（x）=ax2+bx+c；（因?yàn)樗麄儽容^熟悉二次函數(shù)的一般表示式）
師：根據(jù)你們的假設(shè)求解一下解析式試試；同學(xué)們迅速算出了a=1；b=2；c=0或a=1；b=-2；c=0；
師：還有其他的解決方式嗎？
生2：二次函數(shù)的表示式還有頂點(diǎn)式、兩點(diǎn)式；
那么現(xiàn)在要你來選擇求解這個(gè)問題的方式，你喜歡選擇那一種表達(dá)方式呢？你選擇試試看：
有學(xué)生選擇頂點(diǎn)式，因?yàn)?/p>
當(dāng)x≥0；知道頂點(diǎn)是（1，-1），圖像過（2，0）解得y=x2-2x；
當(dāng)x≤0；知道頂點(diǎn)是（-1，-1），圖像過（-2，0）解得y=x2+2x；
有學(xué)生選擇兩點(diǎn)式，因?yàn)?/p>
結(jié)合以上學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，我在處理課本例題，21世紀(jì)游樂園要建造一個(gè)直徑為20m的圓形噴水池。計(jì)劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水注在離池中心4處達(dá)到最高，高度為6，另外還要在噴水池的中心設(shè)計(jì)一個(gè)裝飾物。使各個(gè)方向噴來的水柱在此匯合，這個(gè)裝飾物的高度如何設(shè)計(jì)？
時(shí)是這樣做的。先閱讀題目分析由物理學(xué)知識知道是拋物線，選取一個(gè)縱截面得出圖形。
考研數(shù)學(xué)三的考試范圍如下：
1、微積分、函數(shù)、極限、連續(xù)考試內(nèi)容函數(shù)的概念及表示法、函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、分段函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形初等函數(shù)等。
2、一元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等。
3、一元函數(shù)積分學(xué)考試內(nèi)容原函數(shù)與不定積分的概念、不定積分的基本性質(zhì)、基本積分公式、不定積分的換元等。
4、多元函數(shù)微積分學(xué)考試內(nèi)容多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性、有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)的概念等。
5、無窮級數(shù)考試內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂與發(fā)散的概念、收斂級數(shù)的和的概念級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件、幾何級數(shù)與戶級數(shù)的收斂性、正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別等。
（來源：文章屋網(wǎng) ）
1.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用通項(xiàng)公式解決簡單的問題.
（1）了解公差的概念，明確一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，了解等差中項(xiàng)的概念；
（2）正確認(rèn)識使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng)；
（3）能通過通項(xiàng)公式與圖像認(rèn)識等差數(shù)列的性質(zhì)，能用圖像與通項(xiàng)公式的關(guān)系解決某些問題.
2.通過等差數(shù)列的圖像的應(yīng)用，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；通過等差數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，滲透方程思想.
3.通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識；通過對等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn).
關(guān)于等差數(shù)列的教學(xué)建議
（1）知識結(jié)構(gòu)
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
①教學(xué)重點(diǎn)是等差數(shù)列的定義和對通項(xiàng)公式的認(rèn)識與應(yīng)用，等差數(shù)列是特殊的數(shù)列，定義恰恰是其特殊性、也是本質(zhì)屬性的準(zhǔn)確反映和高度概括，準(zhǔn)確把握定義是正確認(rèn)識等差數(shù)列，解決相關(guān)問題的前提條件.通項(xiàng)公式是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，是研究一個(gè)數(shù)列的重要工具，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)的解析式密切相關(guān)，通過函數(shù)圖象研究數(shù)列性質(zhì)成為可能.
②通過不完全歸納法得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，所以是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)；另外，出現(xiàn)在一個(gè)等式中，運(yùn)用方程的思想，已知三個(gè)量可以求出第四個(gè)量.由于一個(gè)公式中字母較多，學(xué)生應(yīng)用時(shí)會有一定的困難，通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用是教學(xué)的有一難點(diǎn).
（3）教法建議
①本節(jié)內(nèi)容分為兩課時(shí)，一節(jié)為等差數(shù)列的定義與表示法，一節(jié)為等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用．
②等差數(shù)列定義的引出可先給出幾組等差數(shù)列，讓學(xué)生觀察、比較，概括共同規(guī)律，再由學(xué)生嘗試說出等差數(shù)列的定義，對程度差的學(xué)生可以提示定義的結(jié)構(gòu)：“……的數(shù)列叫做等差數(shù)列”，由學(xué)生把限定條件一一列舉出來，為等比數(shù)列的定義作準(zhǔn)備．如果學(xué)生給出的定義不準(zhǔn)確，可讓學(xué)生研究討論，用符合學(xué)生的定義但不是等差數(shù)列的數(shù)列作為反例，再由學(xué)生修改其定義，逐步完善定義．
③等差數(shù)列的定義歸納出來后，由學(xué)生舉一些等差數(shù)列的例子，以此讓學(xué)生思考確定一個(gè)等差數(shù)列的條件．
④由學(xué)生根據(jù)一般數(shù)列的表示法嘗試表示等差數(shù)列，前提條件是已知數(shù)列的首項(xiàng)與公差．明確指出其圖像是一條直線上的一些點(diǎn)，根據(jù)圖像觀察項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律；再看通項(xiàng)公式，項(xiàng)可看作項(xiàng)數(shù)的一次型（）函數(shù)，這與其圖像的形狀相對應(yīng)．
⑤有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)與通項(xiàng)是有區(qū)別的，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列第項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，有窮等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)未必是，即其末項(xiàng)未必是該數(shù)列的第項(xiàng)，在教學(xué)中一定要強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)．
⑥等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式推導(dǎo)離不開等差數(shù)列的性質(zhì)，所以在本節(jié)課應(yīng)補(bǔ)充一些重要的性質(zhì)；另外可讓學(xué)生研究等差數(shù)列的子數(shù)列，有規(guī)律的子數(shù)列會引起學(xué)生的興趣．
⑦等差數(shù)列是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，如教材中的例題、習(xí)題等，還可讓學(xué)生去搜集，然后彼此交流，提出相關(guān)問題，自己嘗試解決，為學(xué)生提供相互學(xué)習(xí)的機(jī)會，創(chuàng)設(shè)相互研討的課堂環(huán)境．
等差數(shù)列通項(xiàng)公式的教學(xué)設(shè)計(jì)示例
教學(xué)目標(biāo)
1.通過教與學(xué)的互動，使學(xué)生加深對等差數(shù)列通項(xiàng)公式的認(rèn)識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；
2.利用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差、首項(xiàng)，使學(xué)生進(jìn)一步體會方程思想；
3.通過參與編題解題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.
教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)是通項(xiàng)公式的認(rèn)識；教學(xué)難點(diǎn)是對公式的靈活運(yùn)用．
教學(xué)用具
實(shí)物投影儀，多媒體軟件，電腦.
教學(xué)方法
研探式.
教學(xué)過程
一.復(fù)習(xí)提問
前一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念、表示法，請同學(xué)們回憶等差數(shù)列的定義，其表示法都有哪些？
等差數(shù)列的概念是從相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系加以定義的，這個(gè)關(guān)系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項(xiàng)公式作進(jìn)一步的理解與應(yīng)用.
二.主體設(shè)計(jì)
通項(xiàng)公式反映了項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的首項(xiàng)與公差確定后，數(shù)列的每一項(xiàng)便確定了，可以求指定的項(xiàng)（即已知求）.找學(xué)生試舉一例如：“已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，求.”這是通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用，由學(xué)生解答后，要求每個(gè)學(xué)生出一些運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復(fù)雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.
1.方程思想的運(yùn)用
（1）已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，則－397是該數(shù)列的第______項(xiàng).
（2）已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，則公差
（3）已知等差數(shù)列中，公差，則首項(xiàng)
這一類問題先由學(xué)生解決，之后教師點(diǎn)評，四個(gè)量，在一個(gè)等式中，運(yùn)用方程的思想方法，已知其中三個(gè)量的值，可以求得第四個(gè)量.
2.基本量方法的使用
（1）已知等差數(shù)列中，，求的值.
（2）已知等差數(shù)列中，，求.
若學(xué)生的題目只有這兩種類型，教師可以小結(jié)（最好請出題者、解題者概括）：因?yàn)橐阎獥l件可以化為關(guān)于和的二元方程組，所以這些等差數(shù)列是確定的，由和寫出通項(xiàng)公式，便可歸結(jié)為前一類問題.解決這類問題只需把兩個(gè)條件（等式）化為關(guān)于和的二元方程組，以求得和，和稱作基本量.
教師提出新的問題，已知等差數(shù)列的一個(gè)條件（等式），能否確定一個(gè)等差數(shù)列？學(xué)生回答后，教師再啟發(fā)，由這一個(gè)條件可得到關(guān)于和的二元方程，這是一個(gè)和的制約關(guān)系，從這個(gè)關(guān)系可以得到什么結(jié)論？舉例說明（例題可由學(xué)生或教師給出，視具體情況而定）.
如：已知等差數(shù)列中，…
由條件可得即，可知，這是比較顯然的，與之相關(guān)的還能有什么結(jié)論？若學(xué)生答不出可提示，一定得某一項(xiàng)的值么？能否與兩項(xiàng)有關(guān)？多項(xiàng)有關(guān)？由學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，完善問題
（3）已知等差數(shù)列中，求；；；；….
類似的還有
（4）已知等差數(shù)列中，求的值.
以上屬于對數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行定量的研究，有無定性的判斷？引出
3.研究等差數(shù)列的單調(diào)性
，考察隨項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律.著重考慮的情況.此時(shí)是的一次函數(shù)，其單調(diào)性取決于的符號，由學(xué)生敘述結(jié)果.這個(gè)結(jié)果與考察相鄰兩項(xiàng)的差所得結(jié)果是一致的.
4.研究項(xiàng)的符號
這是為研究等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值所做的準(zhǔn)備工作.可配備的題目如
（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，問數(shù)列從第幾項(xiàng)開始小于0？
（2）等差數(shù)列從第________項(xiàng)起以后每項(xiàng)均為負(fù)數(shù).
三.小結(jié)
1.用方程思想認(rèn)識等差數(shù)列通項(xiàng)公式；
2.用函數(shù)思想解決等差數(shù)列問題.
四.板書設(shè)計(jì)
等差數(shù)列通項(xiàng)公式1.方程思想的運(yùn)用
2.基本量方法的使用
坐標(biāo)系背景下的函數(shù)與圖形形狀結(jié)合問題往往是學(xué)生最頭疼的問題，也是教師教學(xué)中最困惑的問題.許多教師缺少對此類問題一般方法的分析、概括和提煉.很多時(shí)候單靠大量的練習(xí)來訓(xùn)練學(xué)生的解題能力，就好比“摸著石頭過河”，缺乏思想方法的指導(dǎo).學(xué)生怕，老師累.數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的是在數(shù)學(xué)思想方法上給學(xué)生以點(diǎn)撥、指導(dǎo)和訓(xùn)練.本文以中考專題復(fù)習(xí)課“函數(shù)與圖形形狀結(jié)合問題的解決”的幾個(gè)片段為例，擬探究這類問題的一般方法，供讀者商榷.
片段一：模式的概括
例如圖1，拋物線y=-x2向上移動，與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)，若ABC為等腰直角三角形，求移動后的拋物線的解析式.變式1：ABC為等邊三角形，求移動后的拋物線的解析式.
設(shè)計(jì)意圖：利用簡單而常見的函數(shù)、圖形為題材，讓學(xué)生感覺熟悉又有親切感，但綜合在一起，難度驟然加大.通過變式，讓學(xué)生覺得圖形的形狀、位置雖然變了，但題目的模式并未發(fā)生變化，體會到找到解決此類問題的一般方法才是問題解決的關(guān)鍵，進(jìn)而體會到解題方法的重要性.
上課開始時(shí)老師展示例題，并讓學(xué)生先嘗試性地做幾分鐘.46名同學(xué)中僅有7名同學(xué)做對，其中有5名學(xué)生是用特殊值湊出來的.然后老師變式：（如變式1）將ABC變?yōu)榈冗吶切?師：題目簡簡單單，但又覺得難，原因在于方法的缺失.師：先把題中的條件按數(shù)學(xué)形式分分類.經(jīng)學(xué)生七嘴八舌，老師點(diǎn)撥、概括，題中條件可分為函數(shù)類條件（y=-x2等）和圖形形狀類條件（等腰直角三角形、等邊三角形）.師：對此類問題能否用一個(gè)簡單的模式進(jìn)行概括？經(jīng)老師引導(dǎo)，學(xué)生熱烈的討論，大家形成一個(gè)共識，用下列模式：函數(shù)―圖形形狀.
片段二：“題眼”的提煉
師：剛才我們只是對題型進(jìn)行了分析與討論，解題的方法和思路還不清楚.生：老師，我覺得剛才這個(gè)模式中，在函數(shù)和圖形之間肯定有一種聯(lián)系的要點(diǎn)或方法.師：有道理，在函數(shù)和圖形間需要一條紐帶，學(xué)生表示認(rèn)可.師：那么聯(lián)結(jié)這條紐帶的最主要因素是什么？學(xué)生討論激烈.生：這條紐帶應(yīng)該是點(diǎn)的坐標(biāo).因?yàn)轭}中ABC的三個(gè)頂點(diǎn)既是三角形的頂點(diǎn)，又是函數(shù)圖像上的點(diǎn).老師加以肯定，并分析點(diǎn)的坐標(biāo)就如這個(gè)模式的眼睛，這條通道的窗口.然后對模式又做了一次修改補(bǔ)充.
片段三：點(diǎn)的表示法的探求
師：如何打開這個(gè)突破口呢？生：把點(diǎn)的坐標(biāo)求出來.師：能否直接求出點(diǎn)的坐標(biāo)？生：不能！師：怎么辦？學(xué)生又一次激烈的討論.生：用未知數(shù)把點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來.師：對.今天我們解這類問題的最關(guān)鍵之處就是怎樣表示這些點(diǎn)的坐標(biāo).師：如果單考慮函數(shù)條件，如圖1，拋開ABC為等腰直角三角形這一條件，A，B，C的坐標(biāo)可以怎樣表示？生：可設(shè)A的坐標(biāo)為（0，m），拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+m，B，C又是拋物線與x軸的交點(diǎn)，通過代入A的坐標(biāo)（0，m）得0=-x2+m， x=±m(xù)，所以B，C的坐標(biāo)分別可表示為（-m，0），（m，0）.師：接下來你能求出m的值嗎？生：可以求的，因?yàn)锳BC為等腰直角三角形，且AOBC，所以O(shè)A=OB=OC，可得m=±m(xù)，解出來m1=1或0，0舍去，所以m=1.師：做得很好，完全正確.反之是否可行呢？即：單考慮幾何條件，拋開A，B，C都是y=-x2上的點(diǎn)這一條件，A，B，C的點(diǎn)又怎么表示？生：設(shè)A的坐標(biāo)為（0，m），因?yàn)锳BC是等腰直角三角形，且AOBC，所以O(shè)A=OB=OC，所以B的坐標(biāo)為（-m，0），C的坐標(biāo)為（m，0）.師：怎么求？生：因?yàn)橐苿雍蟮膾佄锞€的解析式為y=-x2+m，把B（-m，0）代入解析式得0=-m2+m，解之得m1=1，m2=0（舍去）.師：剛才大家能順利解題是因?yàn)檎业搅私忸}的突破口，抓住了“怎樣表示點(diǎn)的坐標(biāo)”這一關(guān)鍵.接下來我們把剛才兩種解法進(jìn)行對比，對點(diǎn)的表示方法作進(jìn)一步的概括，對解題模式再作提煉.經(jīng)過師生互動和深入討論，對點(diǎn)的表示法概括出兩點(diǎn)：（1）數(shù)設(shè)形代法.數(shù)設(shè)：通過函數(shù)、坐標(biāo)系等代數(shù)條件，表示出點(diǎn)的坐標(biāo).如：A，B，C分別為拋物線的頂點(diǎn)、與兩軸的交點(diǎn)，由此A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別可表示為A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.形代：然后把點(diǎn)的坐標(biāo)代入反映形的關(guān)系式中.如：OA=OB=OC，得m=±m(xù).（2）形設(shè)數(shù)代法.形設(shè)：通過形的關(guān)系式表示出點(diǎn)的坐標(biāo).如可由關(guān)系式OA=OB=OC反映ABC是等腰直角三角形的形狀，進(jìn)而設(shè)出A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.數(shù)代：再把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入反映數(shù)的關(guān)系式.如拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+m，得0=-（±m(xù)）2+m.最后又把解題模式進(jìn)行了完善.
課中又安排了一些適應(yīng)性的練習(xí).如例1的變式1、變式2、練習(xí)題等.變式1：解法一（數(shù)設(shè)形代法）：設(shè)A的坐標(biāo)為A（0，m），則拋物線的解析式為y=-x2+m，B，C的坐標(biāo)分別為B（-m，0），C（m，0），又因?yàn)锳BC為等邊三角形，且AOBC，所以AO=3BO=3CO，得m=±3m，
實(shí)踐表明，用這種方法來指導(dǎo)學(xué)生解函數(shù)與圖形形狀結(jié)合問題，學(xué)生的思路就會清晰許多.就好比找到“題眼”，總覺得有點(diǎn)可抓，有口可破，有路可走，學(xué)生的畏難情緒就會大大減少.老師在指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，就好比抓到“衣領(lǐng)”，有提領(lǐng)而頓、百毛皆順之感.在數(shù)學(xué)教學(xué)工作中，老師若對各類題型能在數(shù)學(xué)思想與方法上不斷地創(chuàng)新、提煉，并給予學(xué)生有效的指導(dǎo)，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率將會大幅度調(diào)高，達(dá)到“做一題，通一類，會一片”的效果，能體驗(yàn)到“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的解題意境，數(shù)學(xué)的魅力也將會得到更充分的彰顯.
重點(diǎn)：掌握映射的概念、函數(shù)的概念，掌握分段函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域，掌握函數(shù)的三種表示法――圖象法、列表法、解析法，會求函數(shù)的解析式.
難點(diǎn)：函數(shù)的概念，求函數(shù)的解析式.
1. 理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)
（1）集合A，B及對應(yīng)法則“f ”是確定的，是一個(gè)整體系統(tǒng).
（2）對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，這與從集合B到集合A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的.
（3）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)特征.
（4）集合A中的不同元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè).
（5）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.
2. 理解函數(shù)的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)
（1）函數(shù)是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射關(guān)系.
（2）數(shù)集A是函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域是數(shù)集B的子集.
3. 求函數(shù)定義域的基本思路
如果沒有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的x的取值范圍，實(shí)際操作時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：
（1）分母不能為0.
（2）對數(shù)的真數(shù)必須為正.
（3）偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù).
（4）零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于0.
（5）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，底數(shù)應(yīng)大于0.
（6）若解析式由幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾€(gè)部分相應(yīng)集合的交集.
（7）如果涉及實(shí)際問題，還應(yīng)使得實(shí)際問題有意義.
如求復(fù)合函數(shù)的定義域，已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)f[g（x）]的定義域是滿足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范圍；一般地，若函數(shù)f[g（x）]的定義域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定義域就是求x∈[a，b]時(shí)g（x）的值域.
注意：研究函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)一定要注意定義域優(yōu)先原則，實(shí)際問題的定義域不要漏寫.
4. 求函數(shù)解析式的基本策略
函數(shù)的解析式是函數(shù)與自變量之間建立聯(lián)系的橋梁，許多和函數(shù)有關(guān)的問題的解決都離不開解析式，因而求解函數(shù)解析式是高考中的熱點(diǎn). 解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住函數(shù)對應(yīng)法則“f ”的本質(zhì). 下面介紹幾種求函數(shù)解析式的主要方法.
（1）湊配法：把形如f（g（x））內(nèi)的g（x）當(dāng)做整體，在解析式的右端整理成只含有g(shù)（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.
（2）換元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用換元法. 具體為：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，換元后要確定新元t的取值范圍.
（3）解方程組法：若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式，往往通過變換變量構(gòu)造一個(gè)方程，組成方程組，然后利用消元法求出f（x）的表達(dá)式.
（4）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)）求解析式，首先設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件代入相關(guān)值求出系數(shù).
（5）賦值法：已知一個(gè)關(guān)于x，y的抽象函數(shù)，利用特殊值去掉一個(gè)未知數(shù)y，得出關(guān)于x的函數(shù)解析式.
【中圖分類號】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A
【文章編號】 1004―0463（2016）07―0055―01
初中學(xué)生從初二開始接觸函數(shù)，從內(nèi)容上看，函數(shù)完全不同于學(xué)生先前所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。如果將先前所學(xué)的內(nèi)容稱為“靜態(tài)”數(shù)學(xué)的話，函數(shù)則可以被稱為“動態(tài)”數(shù)學(xué)。因?yàn)樗磉_(dá)的是“一個(gè)運(yùn)動過程中（兩個(gè)）不同變量之間的變化關(guān)系”。因此，這個(gè)主題的學(xué)習(xí)對學(xué)生而言更有新意。課程標(biāo)準(zhǔn)中函數(shù)的學(xué)習(xí)目標(biāo)有：通過簡單實(shí)例，了解常量、變量的意義；能結(jié)合實(shí)例，了解函數(shù)的概念和三種表示方法，能舉出函數(shù)的實(shí)例；能結(jié)合圖象對簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析；能確定簡單的整式、分式和簡單實(shí)際問題中的函數(shù)的自變量取值范圍，并會求出函數(shù)值；能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫某些實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系；結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析，嘗試對變量的變化規(guī)律進(jìn)行初步預(yù)測。因此，函數(shù)的學(xué)習(xí)要點(diǎn)可概括為：函數(shù)模型、函數(shù)性質(zhì)研究、函數(shù)思想方法、函數(shù)運(yùn)用。下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，分別對上述四點(diǎn)進(jìn)行闡述。
一、數(shù)學(xué)模型
突出現(xiàn)實(shí)生活中可以用函數(shù)模型表達(dá)的各種“變化現(xiàn)象”。例如，王先生存人銀行2萬元，先存一個(gè)一年定期，一年后銀行將本息自動轉(zhuǎn)存為又一個(gè)一年定期。設(shè)一年定期的年存款利率為x，兩年后王先生共得本息y元。這些問題的特點(diǎn)是其中存在的“不同變量之間的對象關(guān)系”。教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生嘗試分析具有不同背景的現(xiàn)實(shí)問題中所蘊(yùn)含的“變化規(guī)律”；通過反思上述活動過程去總結(jié)變化規(guī)律的基本方法，同時(shí)也讓學(xué)生體會其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，如抽象化、模型化、數(shù)形結(jié)合等思想方法。
二、函數(shù)性質(zhì)的研究
這些內(nèi)容是研究一般意義上的具體函數(shù)的基本性質(zhì)，包括彼此的異同。例如，正比例函數(shù)的性質(zhì)：1.定義域：R（實(shí)數(shù)集）；2值域：R（實(shí)數(shù)集）；3.奇偶性：奇函數(shù)；4.單調(diào)性：當(dāng)k>0時(shí)，圖象位于第一、三象限，y隨x的增大而增大（單調(diào)遞增）；當(dāng)k
三、思想方法
這些內(nèi)容主要是強(qiáng)調(diào)從函數(shù)的角度認(rèn)識相關(guān)的現(xiàn)實(shí)或者數(shù)學(xué)中的現(xiàn)象，用運(yùn)動、變化的觀點(diǎn)尋求解決問題的思想，在教學(xué)過程中要積極地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境。同時(shí)，要求學(xué)生從運(yùn)動與變化、對應(yīng)等角度認(rèn)識變化過程中的變量之間的關(guān)系。除此之外，要盡量讓學(xué)生自己去探究，要注意引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維來思考問題，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)自己的結(jié)論。
四、函數(shù)的應(yīng)用
【關(guān)鍵詞】R語言；箱須圖；星相圖；臉譜圖；氣泡圖
數(shù)據(jù)可視化主要旨在借助于圖形化手段，清晰有效地傳達(dá)與溝通信息。數(shù)據(jù)可視化與信息圖形、信息可視化、科學(xué)可視化以及統(tǒng)計(jì)圖形密切相關(guān)，尤其統(tǒng)計(jì)圖形更為重要，統(tǒng)計(jì)圖形是對資料進(jìn)行探索性研究的重要工具，當(dāng)人們在運(yùn)用其他統(tǒng)計(jì)方法對所得資料進(jìn)行分析之前，往往習(xí)慣于把各資料在一張圖上畫出來，以直觀地反映資料的分布情況及各變量之間的相關(guān)關(guān)系。當(dāng)只有一個(gè)或兩個(gè)變量時(shí)，可以使用通常的直角坐標(biāo)系在平面上作圖。當(dāng)有三維數(shù)據(jù)時(shí)，雖然可以在三維坐標(biāo)系里作圖，但已很不方便。而當(dāng)數(shù)據(jù)大于三時(shí)，用通常的方法已不能制圖。許多多元統(tǒng)計(jì)分析問題，數(shù)據(jù)的維度都大于三，所以自20世紀(jì)70年代以來，多元數(shù)據(jù)的圖示法一直是人們所關(guān)注的問題。
一、基于R語言的箱須圖
箱須圖（Box-whisker Plot）也稱箱線圖（Boxplot），于1977年由美國著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家約翰·圖基（John Tukey）發(fā)明。它能顯示出一組數(shù)據(jù)的最大值、最小值、中位數(shù)、下四分位數(shù)及上四分位數(shù)。是一種用作顯示一組數(shù)據(jù)分散情況資料的統(tǒng)計(jì)圖。因型狀如箱子而得名。在R軟件中，用boxplot（）函數(shù)作箱線圖，具體函數(shù)參數(shù)如下：
Boxplot（x， ，range=1.5，width=NULL，varwidth=FALSE，notch= FALSE，outline=TRUE，Names，plot=TRUE，col=NULL，log=””，horizontal=FALSE，add=FALSE，at=NULL）
二、基于R語言的星相圖
星相圖是雷達(dá)圖的多元表示形式，它將每個(gè)變量的各個(gè)觀察單位的數(shù)值表示為一個(gè)圖形，n個(gè)觀察單位就有n個(gè)圖，每個(gè)圖的每個(gè)角表示每個(gè)變量，雷達(dá)圖用于同時(shí)對多個(gè)指標(biāo)的對比分析和對同一個(gè)指標(biāo)在不同時(shí)期的變化進(jìn)行分析。在R軟件中，用Stars（）函數(shù)作星相圖，具體函數(shù)參數(shù)如下：
Stars（x，full=TRUE，draw.segments=FALSE，…），x為數(shù)值矩陣或數(shù)據(jù)框；full為圖形形狀：full=TRUE為圓形，full=FALSE為半圓；draw.segments為分支形狀：draw.segments=T為圓形，draw.segments=F為半圓。
三、基于R語言的臉譜圖
臉譜圖是用臉譜來表達(dá)多變量的樣品，由美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家H.Chernoff于1970年首先提出，該方法是將觀測的個(gè)變量（指針）分別用臉的某一部位的形狀或大小來表示，一個(gè)樣品（觀測）可以畫成一張臉譜。他首先將該方法用于聚類分析，引起了各國統(tǒng)計(jì)學(xué)家的極大興趣，并對他的畫法作出了改進(jìn)，一些統(tǒng)計(jì)軟件也收入了臉譜圖分析法，國內(nèi)也有很多研究工作者將該方法應(yīng)用于多元統(tǒng)計(jì)分析中。臉譜圖分析法的基本思想是由15—18個(gè)指針決定臉部特征，若實(shí)際資料變量更多將被忽略 ，若實(shí)際資料變量較少則臉部有些特征將被自動固定。統(tǒng)計(jì)學(xué)曾給出了幾種不同的臉譜圖的畫法，而對于同一種臉譜圖的畫法，將變量次序重新排列，得到的臉譜的形狀也會有很大不同。按照切爾諾夫于1973年提出的畫法，采用15個(gè)指標(biāo)，各指標(biāo)代表的面部特征為：1表示臉的范圍，2表示臉的形狀，3表示鼻子的長度，4表示嘴的位置，5表示笑容曲線，6表示嘴的寬度，7—11分別表示眼睛的位置，分開程度，角度，形狀和寬度，12表示瞳孔的位置，13—15分別表示眼眉的位置，角度及寬度。這樣，按照各變量的取值，根據(jù)一定的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，就可以確定臉的輪廓、形狀及五官的部位、形狀，每一個(gè)樣本點(diǎn)都用一張臉譜來表示。而臉譜容易給人們留下較為深刻的印象，通過對臉譜的分析，就可以直觀地對原始資料進(jìn)行歸類或比較研究。在R軟件中，用aplpack包中的faces（）函數(shù)作臉譜圖，具體函數(shù)參數(shù)如下：
faces（xy，which.row，fill=FALSE，nrow，ncol，scale = TRUE，byrow =FALSE，main，labels）
四、基于R語言的氣泡圖
氣泡圖是一個(gè)將點(diǎn)表示為氣泡（或圓圈）的散點(diǎn)圖，與XY散點(diǎn)圖類似，但可表現(xiàn)的數(shù)據(jù)信息量更多，最多可以表示五維（x位置、y位置、大小、顏色和時(shí)間），通過更改氣泡的大小和顏色，按時(shí)間變化將氣泡制成動畫視覺效果，能使數(shù)據(jù)探索更加方便。在R軟件中，用symbols（）函數(shù)作氣泡圖，具體函數(shù)參數(shù)如下：
Symbols（x，y=NULL，circles，squares，rectangles，stars，thermometers，boxplots，inches=TRUE，add=FALSE，fg=par（“col”），bg=NA，xlab=NULL，ylab=NULL，main=NULL，
xlim=NULL，ylim=NULL，...）
參 考 文 獻(xiàn)
[1]莊作欽.Boxplot——描述統(tǒng)計(jì)的一個(gè)簡便工具[J].統(tǒng)計(jì)教育.
2003（1）
教師在教學(xué)設(shè)計(jì)方面，要對“函數(shù)”的具體內(nèi)容進(jìn)行“四基”分類，明確教學(xué)內(nèi)容的來龍去脈和結(jié)構(gòu)特征，了解該教學(xué)內(nèi)容的學(xué)生學(xué)習(xí)特征，從而設(shè)計(jì)每個(gè)類型知識在學(xué)習(xí)目標(biāo)、知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度方面的教學(xué)方案，確定該教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)方法，確保教學(xué)的有效開展。下面談?wù)勗凇昂瘮?shù)”教學(xué)方面的策略和注意點(diǎn)。
一、初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的策略
1.對一次函數(shù)的理解
一次函數(shù)的理解是一個(gè)過程與對象交織的立體圖景。既需要具體的實(shí)際素材分析，又需要在此基礎(chǔ)上的概括抽象。整個(gè)學(xué)習(xí)活動，既需要教師的精心組織，又需要自己感悟。
例1 世界上大部分國家都使用攝氏度（℃），但英美等國天氣預(yù)報(bào)仍然使用華氏（F），兩種計(jì)量之間有如下對應(yīng)關(guān)系。
試著找攝氏=100時(shí)，華氏是多少？
師：從表格中，能否找到攝氏（℃）與華氏（F）之間的數(shù)量關(guān)系？
生：看不出來。
師：我們把對應(yīng)變量作為坐標(biāo)，在數(shù)軸上描出來，怎樣？大家討論思考。
生：描出來的圖象好像是一條直線。
師：那什么函數(shù)的圖象是一條直線呢？
生：一次函數(shù)，我知道怎么做了。
師：華氏溫度的值與攝氏溫度的值在什么時(shí)候相等呢？從圖上和解析式來看。
生：從圖象上看，與直線y=x的交點(diǎn)處的值就是華氏溫度的值與攝氏溫度的值相等時(shí)候的值。對應(yīng)于解析式，y=1.8x+32中令x=y即可，解x=1.8x+32的方程。
師：談?wù)勥@一探究問題的感想。
生：加深了對一次函數(shù)的理解。
2.多元表征幫助學(xué)生深刻理解函數(shù)
例2 某書定價(jià)8元，如果一次購買10本以上，超過10本部分打8折。分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關(guān)系。
這個(gè)問題屬于實(shí)際應(yīng)用的分段函數(shù)例子，函數(shù)的三種表示法可以結(jié)合應(yīng)用于這個(gè)例子。第一種情況，x10，如，取x=15時(shí)，y=8×10+8×5×80%，類似地y=8×10+80%×8（x-10），作出圖象并考慮自變量的取值范圍。這樣處理，幫助學(xué)生經(jīng)歷了由具體到抽象概括的思考過程，由此就能綜合出分段函數(shù)的表達(dá)式并理解其意義了。
通過上述過程能幫助學(xué)生理解函數(shù)的表示（列表、圖象和表達(dá)式等）是刻畫變量之間的關(guān)系，而不僅僅是簡單的表達(dá)式而已。
函數(shù)理解離不開多元表征（列表、圖象和表達(dá)式等）的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，也離不開對函數(shù)模式的把握。這些過程的實(shí)施，離不開老師的引導(dǎo)，也離不開學(xué)生的合作探究和獨(dú)立思考。
二、初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的注意點(diǎn)
1.弄清楚函數(shù)與代數(shù)式、方程的關(guān)系
初中數(shù)學(xué)到了函數(shù)階段，是對前面的知識的提煉升華，函數(shù)把多項(xiàng)式、變量、坐標(biāo)系和方程等內(nèi)容進(jìn)行了有機(jī)整合。因此，弄清概念之間的關(guān)系是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要基礎(chǔ)。
2.利用數(shù)量關(guān)系建立函數(shù)模型
在教學(xué)中，以數(shù)量關(guān)系的發(fā)展作為基礎(chǔ)，引出函數(shù)的結(jié)構(gòu)模型，尤其是從實(shí)例中尋找函數(shù)關(guān)系，構(gòu)造事物變化過程中的具體函數(shù)模型。
關(guān)鍵詞 函數(shù) 概念
回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，函數(shù)概念是不斷被精煉，深化，豐富的。初中時(shí)函數(shù)的定義是一個(gè)變量對另一個(gè)變量的一種依賴關(guān)系。在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。高中時(shí)，是用集合與對應(yīng)的語言描述了函數(shù)概念。函數(shù)是一種對應(yīng)關(guān)系，是函數(shù)概念的近代定義。
設(shè)A，B是非空數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在實(shí)質(zhì)上是一致的，兩個(gè)定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個(gè)定義中的對應(yīng)法則實(shí)際上也一樣，只不過敘述的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)，近代定義的對應(yīng)法則是從集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā)。
函數(shù)的概念這一節(jié)課，內(nèi)容比較抽象，概念性強(qiáng)，思維量大，為了充分調(diào)動學(xué)生的積極性和主動性，教學(xué)中通過典型實(shí)例來啟發(fā)和幫助學(xué)生分析，比較，以達(dá)到建構(gòu)概念之目的。
引出函數(shù)的概念，先是舉出了生活中的三個(gè)實(shí)例。第一個(gè)實(shí)例是關(guān)于物體做斜拋運(yùn)動的，和初中學(xué)習(xí)過的二次函數(shù)相聯(lián)系。第二個(gè)實(shí)例是關(guān)于臭氧空洞的問題，給出了函數(shù)的圖像，按照圖中曲線，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)集合之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系。第三個(gè)實(shí)例是關(guān)于恩格爾系數(shù)的經(jīng)濟(jì)實(shí)例。列表給出了恩格爾系數(shù)和時(shí)間（年）的關(guān)系。三個(gè)實(shí)例共同反映了變量之間的相互依賴的關(guān)系，同時(shí)反映出兩個(gè)非空集合之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系。這樣，自然而然地給出了函數(shù)的概念，并且這三個(gè)實(shí)例中的函數(shù)恰好是用了三種表示方法：解析法，圖像法，列表法。
以實(shí)際問題為載體，以信息技術(shù)的作圖功能為輔助。通過三個(gè)實(shí)例的教學(xué)，師生共同發(fā)現(xiàn)了函數(shù)概念中的對應(yīng)關(guān)系。教師在歸納出函數(shù)定義后，可以在全班進(jìn)行交流。結(jié)合初中函數(shù)的定義，指出兩個(gè)定義的區(qū)別和聯(lián)系。關(guān)于“y=f(x)”這一個(gè)函數(shù)符號的理解，教師可以提問：y=f(x)一定是函數(shù)的解析式嗎？回答是不一定，可以舉出實(shí)例二和實(shí)例三。函數(shù)的解析式，圖像，表格都是函數(shù)的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函數(shù)，但f(x)不一定是解析式。當(dāng)f(x)是一個(gè)解析式時(shí)，如果把x，y看作是并列的未知量或者點(diǎn)的坐標(biāo)，那么y=f(x)也可以看做是一個(gè)方程。
函數(shù)的核心是對應(yīng)法則，通常用記號f表示函數(shù)的對應(yīng)法則，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣。函數(shù)記號y=f(x)表明，對于定義域A的任意一個(gè)x在“對應(yīng)法則f”的作用下，即在B中可得唯一的y.當(dāng)x在定義域中取一個(gè)確定的a，對應(yīng)的函數(shù)值即為f(a).集合B中并非所有的元素在定義域A中都有元素和它對應(yīng)；值域 。教師引導(dǎo)學(xué)生歸納并總結(jié)，函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應(yīng)法則。
然后，教師給出同學(xué)們所熟悉的三種函數(shù)，一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)，反比例函數(shù) ，以及二次函數(shù) 。教師演示動畫，用幾何畫板顯示這三種函數(shù)的動態(tài)圖像，啟發(fā)學(xué)生觀察，分析，并請學(xué)生們思考之后，填寫對應(yīng)關(guān)系，定義域和值域。通過三個(gè)熟悉的函數(shù)加深學(xué)生對函數(shù)近代定義的理解。教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出：函數(shù)的三要素是定義域、值域及對應(yīng)法則。在函數(shù)的三要素中，當(dāng)其中的兩要素已確定時(shí)，則第三個(gè)要素也就隨之確定了。如果函數(shù)的定義域，對應(yīng)法則已確定，則函數(shù)的值域也就確定了。
連續(xù)的實(shí)數(shù)集合可以用集合表示，也可以用區(qū)間表示。利用多媒體課件展示怎樣用區(qū)間表示集合。區(qū)間可以分為閉區(qū)間，開區(qū)間，半開半閉區(qū)間。特別地，實(shí)數(shù)集R記作(-∞，+∞)， ∞ 讀作無窮大；-∞ 讀作負(fù)無窮大；+∞ 讀作正無窮大;“∞”不是一個(gè)數(shù)，表示無限大的變化趨勢，因此作為端點(diǎn)，不用方括號。
例1和例2的編排，是為了進(jìn)一步地加深理解函數(shù)的三要素。函數(shù)的定義域通常由問題的實(shí)際背景確定.對于用解析式表示的函數(shù)如果沒有給出定義域，那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量取值的集合。在例1中，要注意f(a)與f(x)的聯(lián)系與區(qū)別：f(a)表示當(dāng)自變量x=a時(shí)函數(shù)f(x)的值，它是一個(gè)常量；而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個(gè)變量。f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值。例2是來判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等的。如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，這兩個(gè)函數(shù)就是相等的。
數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石；是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)；是提高解題能力的前提；是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)，是“雙基”教學(xué)的核心、是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，應(yīng)引起足夠重視。正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，概念不清往往是導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)成績差的最直接的原因。
