開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇等量關(guān)系式，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。

第1篇

注：在實際問題中往往出現(xiàn)兩個或兩個以上的等量關(guān)系式，其中被選作列方程的等量關(guān)系式叫做基本等量關(guān)系式，其余的稱之為輔助等量關(guān)系式.

例1(2011吉林長春)小玲每天騎自行車或步行上學(xué)，她上學(xué)的路程為2800米，騎自行車的平均速度是步行平均速度的4倍，騎自行車比步行上學(xué)早到30分鐘，求小玲步行的平均速度.

解析本例是有關(guān)行程的問題，此類問題中有三個基本量：路程、速度和時間，它們之間的基本關(guān)系是：路程=速度×?xí)r間，在這三個基本量中，知其二可求其一.本題中涉及兩種交通方式，數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，可以制作4行4列表，并把題目中有關(guān)的量填入表格.

速度關(guān)系：騎車速度是步行速度的4倍①，

時間關(guān)系：騎車時間比步行時間少30分鐘②.

方法一以①為基本等量關(guān)系式，需要設(shè)時間.

設(shè)騎車時間為x分鐘，則由關(guān)系②得步行時間為(30+x)分鐘,

騎自行車步行等量關(guān)系路程28002800相等時間x30+x速度2800x280030+x①由①得

2800x=280030+x×4，

解之得x=10.

所以小玲步行的速度為

280010=280 米/分鐘.

方法二以②為基本等量關(guān)系式，需要設(shè)速度.

設(shè)步行的速度為x米/分鐘，則由關(guān)系①得騎車速度為4x米/分鐘.

騎自行車步行等量關(guān)系路程28002800相等速度4xx時間28004x2800x②由②得

2800x-28004x=30，

解之得x=280.

答：小玲步行的速度為280米/分鐘

點評本題的目的是讓學(xué)生學(xué)會用“列表法”整理應(yīng)用問題的數(shù)據(jù)，分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系,完成應(yīng)用題建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié).本例的二種解法實質(zhì)上也是我們通常所講的未知數(shù)的兩種設(shè)法：直接設(shè)未知數(shù)、間接設(shè)未知數(shù).當(dāng)然就這個題目而言直接設(shè)未知數(shù)簡單.

例2(2011廣西崇左)今年入春以來，湖南省大部分地區(qū)發(fā)生了罕見的旱災(zāi)，連續(xù)幾個月無有效降水.為抗旱救災(zāi)，駐湘某部計劃為駐地村民新建水渠3600米，為使水渠能盡快投入使用，實際工作效率是原計劃工作效率的1.8倍，結(jié)果提前20天完成修水渠任務(wù).問原計劃每天修水渠多少米？

解析本例是有關(guān)實際的工程類問題，此類問題中有三個基本量：工程總量、單位效率和工作時間，它們之間的基本關(guān)系同樣是：工程總量=工作效率×工作時間.在這三個基本量中，知其二可求其一.本題中涉及兩種情況：一種是原計劃，一種是實際；同樣可以制作4行4列表，并把題目中有關(guān)的量填入表格.

工作效率：實際工作效率是原計劃工作效率的1.8倍①，

工作時間：原計劃時間比實際時間多20天②.

方法一以①為基本等量關(guān)系式，需要設(shè)時間.

設(shè)原計劃需要時間為x天，則由關(guān)系②得實際所用時間為(x-20)天.

原計劃實際等量關(guān)系工程總量36003600相等工作時間xx-20工作效率3600x3600x-20①由①得

3600x-20=3600x×1.8，

解之得x=45，

所以原計劃每天修360045=80米.

方法二以②為基本等量關(guān)系式，需要設(shè)速度.

設(shè)原計劃每天修x米，則由關(guān)系①得實際每天修1.8x米.

原計劃實際等量關(guān)系工程總量36003600相等工作效率x1.8x工作時間3600x36001.8x②由②得

3600x-35001.8x=20，

解之得x=80.

答：原計劃每天修80米.

點評本題同樣可以根據(jù)不同的等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)求解，關(guān)鍵是設(shè)的時候用輔助等量關(guān)系，再利用基本等量關(guān)系來列方程求解，而且通常情況下根據(jù)問題直接設(shè)未知數(shù)比較簡單.

例3(2011年河北)甲乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的實驗器材，若甲單獨整理需要40分鐘完工；若甲乙共同整理20分鐘后，乙需單獨整理20分鐘才能完工.問乙單獨整理多少分鐘能完工？

解析本例是有關(guān)虛擬的工程類問題，總的工作量為單位1.此類問題中有三個基本量：工作總量、工作效率和工作時間，它們之間的基本關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時間.在這三個基本量中，知其二可求其一.本題中涉及兩個人，同樣可以制作4行4列表，并把題目中有關(guān)的量填入表格.

工作總量的關(guān)系：甲的工作總量+乙的工作總量=1.

以工作總量為基本關(guān)系式，設(shè)乙單獨整理完成需要x分鐘.

甲乙等量關(guān)系工作效率1401x工作時間2020+20工作總量140×201x×(20+20)甲+乙=1①由題意可得

2040+20+20x=1，

解之得x=80.

第2篇

關(guān)鍵詞：教學(xué)策略；銷售；應(yīng)用題

中圖分類號：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）12-118-01

應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和教學(xué)重點之一，它對培養(yǎng)學(xué)生的思維，提高學(xué)生分析、解答數(shù)學(xué)問題的能力能起到很好的促進(jìn)作用。用一元一次方程解決商品銷售問題這節(jié)課使用教學(xué)策略，不僅可以遷移到今后的應(yīng)用題教學(xué)中，還可以促進(jìn)學(xué)生掌握解決應(yīng)用題的一般方法和思維方式。

課本例題再現(xiàn)：一商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？（人教版初一上102頁）。下面就以教學(xué)中的幾個片段來談應(yīng)用題教學(xué)策略。

一、從生活情境引入

片段一

師：同學(xué)們你們知道昨天是幾月幾日嗎？

生：11月11日。

師：在這一天很多商家為了促消搞了雙11活動。

生：是啊這一天很多人都瘋狂購物。

師：同學(xué)們當(dāng)我們?nèi)コ械臅r候是否會經(jīng)常看到以下標(biāo)簽，（大降價，買一送一，用PPT呈現(xiàn)）

生：是的。

師：可見這些都是與我們生活息息相關(guān)的，今天我們就來學(xué)習(xí)一元一次方程中的銷售問題。

設(shè)計意圖：用貼近學(xué)生的生活實例引入，來吸引學(xué)生的興趣，感受數(shù)學(xué)就在我們的身邊，這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就不是機械接受的過程，而是積極參與活動的過程。

二、利用等量關(guān)系式搭建題目的主要框架

片段二

師：我們經(jīng)常在商店看到商品的價格實際上是商品的什么呢？

生：售價。

師：那么跟它相對的是商品的什么？

生：進(jìn)價。

師：這二者的差就是什么？

生：利潤。

師：因此我們就可以得到銷售問題的等量關(guān)系式：售價-進(jìn)價=利潤。

設(shè)計意圖：學(xué)生之所以會覺得應(yīng)用題難是因為題目的文字語言多，條件多，學(xué)生不懂得去尋找它們之間的關(guān)系。等量關(guān)系就是應(yīng)用題當(dāng)中的靈魂。對于銷售問題，當(dāng)中最重要的就是售價，進(jìn)價，利潤之間的關(guān)系。因此老師在課堂上幫助學(xué)生提煉出銷售問題的等量關(guān)系式可以幫助學(xué)生分析應(yīng)用題當(dāng)中的數(shù)學(xué)關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生建模的能力。

三、通過導(dǎo)學(xué)案設(shè)計，分解題目中的難點

以下是我為本節(jié)課設(shè)計的導(dǎo)學(xué)案：

1、題目當(dāng)中的60元是銷售問題中的哪個量__________

2、如果假設(shè)盈利25%的那件衣服的進(jìn)價是x元，則可以根據(jù)等量關(guān)系式________________

列出方程_____________________

3、如果假設(shè)虧損25%的那件衣服的進(jìn)價是y元，則可以根據(jù)等量關(guān)系式________________

列出方程_____________________

4、請你判斷賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損？

設(shè)計意圖：課本的這道例題看似簡單其實隱含了多個量之間的關(guān)系，有單件衣服的進(jìn)價，售價，利潤，還有兩件衣服之間的關(guān)系。課本的問題對于初一年的學(xué)生而言，未免有一些的難度，用導(dǎo)學(xué)案把題目中的問題設(shè)計成4個小問題，啟發(fā)學(xué)生層層遞進(jìn)進(jìn)行思考，分解題目中的難點。

以上僅僅是個人在教學(xué)的過程中所采用的三種比較有效的應(yīng)用題教學(xué)方法，還有很多方法值得我們?nèi)ヌ剿鳌?shù)學(xué)的教學(xué)就是讓學(xué)生們能夠熟練的運用數(shù)學(xué)知識解決問題。我們教師在教學(xué)過程中的主要任務(wù)，就是教會學(xué)生如何分析題目，使他們掌握方法，能夠舉一反三。這就要求教師真正做到?"授人以魚"變?yōu)?授人以漁"。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王興貴.應(yīng)用題的教學(xué)策略

第3篇

關(guān)鍵詞：一元一次方程；解應(yīng)用題；教學(xué)策略

對于剛開始學(xué)用方程解實際問題的初一學(xué)生來說，經(jīng)常是找不準(zhǔn)題目隱含的數(shù)量關(guān)系，搞不清解題步驟。學(xué)生存在以下問題：一是不會找相等關(guān)系式；二是能找出相等關(guān)系式，但不知如何列方程；三是對用代數(shù)方法解應(yīng)用題不習(xí)慣。要正確運用方程解決實際問題，重點是找相等關(guān)系式，相等關(guān)系式找到了，其他問題就容易解決。

一、用方程解決實際問題的策略

用方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是根據(jù)題目所給條件，找出等量關(guān)系式，每個題目都由已知條件與問題所組成，只有讓學(xué)生弄清楚問題情境和數(shù)量關(guān)系，才能將問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，才能正確列出方程。因此，審題時要抓住題目關(guān)鍵語句來尋找解題思路和方法。在解題時可把已知條件與所求問題運用圖形、線段或表格進(jìn)行表示，從而使難以理解的數(shù)量關(guān)系形象化、具體化，快速找出已知量、未知量，從而列出方程。題目解答完成后要根據(jù)實際情況檢驗結(jié)果，看結(jié)果是否符合現(xiàn)實情況。

二、用方程解決實際問題的具體實施

用一元一次方程解應(yīng)用題主要有以下幾類題型，現(xiàn)將解題方法舉例如下：

1.和差倍數(shù)關(guān)系問題

倍數(shù)關(guān)系：主要通過關(guān)鍵詞來體現(xiàn)，如“是幾倍、增加到幾倍、增加幾倍……”；多少關(guān)系：通過如下關(guān)鍵詞語來體現(xiàn)，如“和、差、多、少、不足、剩余……”。

例1.有A、B、C、D四個數(shù)，A比B的2倍少3，C比D多5，D比B的3倍少2，四個數(shù)之和是48，求：四個數(shù)各是多少？

解題分析：已知條件是：A=2×B-3，C=D+5，D=3×B-2，A+B+C+D=48，題目的未知量是：A、B、C、D四個數(shù)是多少。根據(jù)題意可知等式關(guān)系為：A+B+C+D=48。

2.人員調(diào)配問題

解該問題時一定要搞清人數(shù)變化情況，常見問題有：

（1）有調(diào)出也有調(diào)入。

（2）僅有調(diào)入，而沒有調(diào)出，只是調(diào)入人員數(shù)量發(fā)生變化，其他不變。

（3）僅有調(diào)出，而沒有調(diào)入，只是調(diào)出人員數(shù)量發(fā)生變化，其他不變。

例2.某工廠在甲車間工作人員有27人，在乙車間工作有18人，現(xiàn)需從外面調(diào)動24人來支援甲、乙兩個車間，并且使甲車間人數(shù)是乙車間的2倍，求：往甲、乙車間各調(diào)入多少人？

解題分析：假設(shè)調(diào)往甲車間x人，那么調(diào)往乙車間就是（24-x）人，題目給出的等量關(guān)系是：甲車間原有人數(shù)+調(diào)入人數(shù)=2×（乙車間原有人數(shù)+調(diào)入人數(shù)），方程式為：27+x=2×（18+24-x）。

3.數(shù)字問題

假設(shè)一個三位數(shù)的百位數(shù)字是a、十位是b、位是c，則這個三位數(shù)就是：100a+10b+c，根據(jù)數(shù)字間關(guān)系和原數(shù)關(guān)系列方程。

例3.有一個三位數(shù)，三位數(shù)字的和是17，百位數(shù)比十位數(shù)大7，個位數(shù)是十位數(shù)的3倍，求這個三位數(shù)？

解題分析：設(shè)十位數(shù)是x，則百位數(shù)是x+7，個位數(shù)是3x，則方程式為：x+x+7+3x=17。

4.工程問題

此類應(yīng)用題中的關(guān)系式為：工作總量=工作效率×?xí)r間。

例4.一項工程，甲單獨做25小時能完成工程，乙單獨做20小時能完成工程。求：甲、乙兩人共同完成，要幾小時完成工程？

解題分析：設(shè)甲、乙兩人合作x小時完成工程，方程如下：（1/25+1/20）x=1。

5.行程問題

解行程問題主要依據(jù)是：路程=速度×?xí)r間。其常見題型有：（1）相遇問題；（2）追趕問題、相背而行、行船問題、環(huán)形跑道應(yīng)用問題。

例5.甲、乙兩人相距50千米，甲先出發(fā)3小時后乙再出發(fā)，甲在后面乙在前面，二人同向而行，甲的速度是12千米/每小時，乙的速度是8千米/每小時，甲出發(fā)幾小時能追上乙？

解題分析：等量關(guān)系為：甲的路程-乙的路程=兩人原來的距離。假設(shè)甲出發(fā)x小時能追上乙，那么乙行走時間為x-3小時，因此，甲的路程為12x千米，乙的路程為8（x-3）千米。方程如下：12x-8（x-3）=50。

6.儲蓄問題

解此類問題要掌握如下關(guān)系式：利息=本金×利率×期數(shù)，利息=利息×稅率，本息和=本金+利息。

例6.王阿姨要購買7890元的空調(diào)，商場要求購買時首付

1500元，之后每年付一次款，并且要求等額還款，2年全部付清售價款和欠款利息。假如年利率為3%（不計復(fù)利），問：王阿姨每年付款多少元？

解題分析：假設(shè)每次付款x元，等量關(guān)系式如下：

[6390×（1+3%）-x]×（1+3%）=x

總之，用方程解應(yīng)用題，重點是要找出等量關(guān)系式，思路是關(guān)鍵，教師要指導(dǎo)學(xué)生靈活利用所學(xué)知識，建立數(shù)學(xué)模型解決實際應(yīng)用問題。

參考文獻(xiàn)：

第4篇

教材簡析：

“稍復(fù)雜的方程”是“用字母表示數(shù)”和“用方程解決簡單問題”的后續(xù)教學(xué)內(nèi)容，也是本單元學(xué)習(xí)的重點和難點。教材根據(jù)不同類型的方程分三個例題進(jìn)行編排，每個例題都擔(dān)負(fù)著解方程和用方程解決問題的雙重任務(wù)，這是為了突出數(shù)學(xué)與實際生活的密切聯(lián)系。

本節(jié)課學(xué)習(xí)的方程形如“ax±b=c”，教材以學(xué)生熟悉的“足球上兩種顏色皮的塊數(shù)”為素材，讓學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)解稍復(fù)雜的方程，體現(xiàn)了教學(xué)的漸進(jìn)性。教學(xué)的重點是引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中抽象出形如“ax±b=c”的方程，并用等式的性質(zhì)解此類方程，難點是分析并找出等量關(guān)系。

學(xué)情分析：

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了用字母表示數(shù)的意義和作用，并初步掌握了方程的意義和等式的性質(zhì)，能解簡單的方程，同時也經(jīng)歷過用方程解決簡單問題的過程。但因為兩步計算的方程思維過程比較復(fù)雜，學(xué)生在分析問題時，很難找到信息間的聯(lián)系，列不出方程。所以，在充分利用學(xué)生已有知識經(jīng)驗的同時，教師要引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖，讓學(xué)生借助直觀感知數(shù)量間的等量關(guān)系，親歷把實際問題抽象成形如“ax±b=c”的方程，并在解決問題的過程中體會用等式的性質(zhì)解稍復(fù)雜方程的方法和步驟。

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過解決問題，在觀察、分析、抽象、概括和交流的數(shù)學(xué)活動中，掌握形如“ax±b=c”的方程的解法。

2.經(jīng)歷將現(xiàn)實問題抽象成形如“ax±b=c”的方程的過程，進(jìn)一步體會用方程解決問題的思想方法及價值。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)，激活經(jīng)驗

1.仔細(xì)觀察，分別說出用什么方法解下列方程。（口答）

①5x=2.5?搖 ?搖②x+1.3=7

③x-125=9.7

2.看圖填空。（口答）

①白兔有（ ）只，黑兔有（ ）只。

白兔：

黑兔：

3.看圖找等量關(guān)系式。（先讓學(xué)生獨立寫出來，然后指名交流，要求學(xué)生用手指著線段圖說等量關(guān)系式。）

母雞：

公雞：

教師根據(jù)學(xué)生的交流，板書等式：x+86=150?搖?搖150-x=86?搖?搖150-86=x

（設(shè)計意圖：設(shè)計不同層次的復(fù)習(xí)題，激活學(xué)生的原有經(jīng)驗、學(xué)習(xí)能力。首先，讓學(xué)生口答解簡單方程的方法，回顧解一步計算方程的思維過程，復(fù)習(xí)等式的性質(zhì)，為學(xué)習(xí)解稍復(fù)雜的方程做認(rèn)知鋪墊；接著讓學(xué)生從線段圖中收集信息，并用含有字母的式子表示未知量，以及從線段圖中尋找等量關(guān)系式，提高觀察線段圖的能力，為列稍復(fù)雜的方程解決問題做思維準(zhǔn)備。）

二、探究學(xué)習(xí)，列方程解決問題

師：經(jīng)歷了看線段圖找等量關(guān)系式的活動，你有什么感想？

（交流時，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)線段圖的特點和作用，使學(xué)生初步感受線段圖的直觀性。）

師：線段圖能幫助我們找等量關(guān)系，是列方程解決問題的好助手，今天我們就用畫線段圖的方法來列方程解決問題。

課件呈現(xiàn)情境圖（見教材第65頁）。

1.觀察情境圖，收集信息。

師：從圖中你收集到哪些信息？

2.解讀信息。

師：你是如何理解這些信息的？（引導(dǎo)學(xué)生一般地了解圖意后，再集中到要解決的問題上。）

（設(shè)計意圖：觀察情境圖、收集信息、解讀信息是解決問題的前提，只有認(rèn)真觀察問題情境、仔細(xì)解讀信息的含義，才能正確地分析信息之間的聯(lián)系，從而準(zhǔn)確找到數(shù)量關(guān)系。）

3.確定設(shè)誰為x。

師：通過對信息的分析和理解，你們認(rèn)為應(yīng)該設(shè)誰為x？為什么？

4.整理信息，探究等量關(guān)系。

師：我們用畫線段圖的方法來幫助整理信息。下面就請同學(xué)們根據(jù)信息的含義試畫線段圖。

（1）畫線段圖。

學(xué)生獨立畫，教師巡視和指導(dǎo)。如果學(xué)生不會畫，教師就引導(dǎo)思考，如，要畫什么？先畫什么？再畫什么？為什么這樣畫？

（2）展示和交流畫線段圖的方法。

師：你是怎樣畫線段圖的？（對于不同的畫法，教師可以選擇有代表性的圖一一展示。）

學(xué)生展示和交流之后，教師再用課件演示一遍畫線段圖的過程，讓學(xué)生明白先畫黑色皮x塊，再畫與黑色皮一樣長的兩段表示黑色皮的2倍，然后從黑色皮的2倍中去掉4塊，就是白色皮的塊數(shù)。

黑色皮：

白色皮：

（設(shè)計意圖：由于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生在分析信息之間的聯(lián)系時，可能會有困難，甚至有一部分學(xué)生無法找到聯(lián)系。因此，在這里做了兩個預(yù)設(shè)：一是先讓學(xué)生嘗試畫，如果有學(xué)生能正確用線段圖表示出數(shù)量關(guān)系，就借助此向其他學(xué)生展示，讓學(xué)生在相互傾聽、相互補充的過程中感知信息之間的聯(lián)系，掌握畫線段圖的方法；二是當(dāng)學(xué)生不能準(zhǔn)確地用線段圖表示數(shù)量關(guān)系時，教師就及時引導(dǎo)，并用課件演示畫線段圖的過程。最終讓所有學(xué)生都能用線段圖直觀地表示出信息之間的關(guān)系。）

（3）觀察線段圖，尋找等量關(guān)系。

課件出示觀察要求：

①從不同的角度進(jìn)行有序的觀察：從部分到整體，再從整體到部分；從上到下，再從下到上。

②思考后指出“如一段表示黑色皮的2倍”，指著圖說一說“黑色皮、白色皮與4塊皮之間有什么關(guān)系”，并且用不同方法說。

交流時，教師指導(dǎo)學(xué)生用簡潔規(guī)范的數(shù)學(xué)語言描述等量關(guān)系。如，黑色皮的2倍減去4塊等于白色皮；黑色皮的2倍減白色皮的塊數(shù)等于4塊；白色皮的塊數(shù)加4塊等于黑色皮的2倍。

（設(shè)計意圖：要能準(zhǔn)確地從線段圖中找到等量關(guān)系，就要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有序的觀察。所以，在觀察活動中，教師要進(jìn)行相應(yīng)的指導(dǎo)，并要求學(xué)生帶著問題觀察，提高觀察質(zhì)量，促進(jìn)有序思維的形成。）

5.根據(jù)等量關(guān)系列方程。

師：先根據(jù)等量關(guān)系說一說可以列出幾個等式，然后指出哪些是方程。

（1）學(xué)生在本子上寫等式。

（2）指名交流。

師：誰來向大家介紹自己列出幾個等式，哪些是方程？為什么？

根據(jù)學(xué)生的回答板書（預(yù)設(shè)）：

2x=20+4?搖?搖?搖2x-4=20?搖?搖?搖2x-20=4

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察，這3個方程與前面學(xué)習(xí)的方程相同嗎？

通過交流，讓學(xué)生知道這3個方程含有兩步計算，與前面學(xué)習(xí)的方程不同。

師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的方程。（板書課題：“稍復(fù)雜的方程”）

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生把等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，經(jīng)歷了稍復(fù)雜方程的建構(gòu)過程，感悟列方程解決問題的思維方式。學(xué)生從線段圖中找等量關(guān)系，充分展現(xiàn)了用線段圖解決問題的優(yōu)越性：一個線段圖能找到不同的數(shù)量關(guān)系，一個線段圖創(chuàng)造出不同的解題方法。）

三、探究解方程的方法

1.引導(dǎo)探究。

師：現(xiàn)在有3個方程可以解決同一個問題，那么，同學(xué)們猜一下，用什么方法來解這樣的方程？

（通過猜想和交流，學(xué)生知道解這樣的方程仍然用等式的性質(zhì)。）

師：我們研究第二個（2x-4=20）和第三個（2x-20=4）方程的解法。

這兩個方程有什么特點？

（學(xué)生發(fā)現(xiàn)這是兩個類型相同的方程。）

師：既然這兩個方程的類型相同，就請每個同學(xué)任選一個來解。解方程之前先思考怎樣用等式的性質(zhì)處理每一步的計算。

（學(xué)生獨立思考后，嘗試解方程；小組交流。）

師：請把你解方程的方法和步驟與小組的伙伴說一說，看誰的方法最合理，誰的書寫最規(guī)范。

〔教師參與交流，適時進(jìn)行引導(dǎo)和點撥（如為什么要將含未知數(shù)的項先看成一個整體），并收集解方程中出現(xiàn)的情況，供進(jìn)一步探討。〕

2.集體交流。

根據(jù)巡視中收集的情況，有針對地指名交流：討論方法的合理性，書寫的規(guī)范性。

3.小結(jié)解方程的方法和步驟。

通過生生、師生的交流，教師規(guī)范解稍復(fù)雜方程的方法和步驟，并示范書寫的格式，強調(diào)檢驗的問題。

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（設(shè)計意圖：突出稍復(fù)雜的方程與前面所學(xué)方程的不同是本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點。因此，在借助學(xué)生已有經(jīng)驗自主探索解方程的方法和步驟的基礎(chǔ)上，教師要做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和示范，在掌握本知識點的同時為后繼的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。）

四、鞏固應(yīng)用

1.解方程。

①3x-2.8=6.8?搖?搖?搖?搖②3x+6=18

〔設(shè)計意圖：第①題屬于同類練習(xí)，第②題是建立在第①題的基礎(chǔ)上（稍加變化而成）。先讓學(xué)生比較，然后借助第①題的方法遷移、類推，自主小結(jié)解方程的方法。〕

2.列方程解決問題。

課本第66頁第3題。（要求學(xué)生畫線段圖分析后找出等量關(guān)系。）

（設(shè)計意圖：練習(xí)題與例題同類，目的是鞏固和深化解決形如“ax±b=c”的方程的方法，使學(xué)生進(jìn)一步體會解方程的思想方法。）

五、全課小結(jié)

師：今天學(xué)習(xí)了什么樣的方程？通過什么方法列出方程？說說解稍復(fù)雜方程的方法。你有什么感想？

（用問題幫助學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會線段圖在解決問題中的作用，進(jìn)而理解分析問題的思路及掌握解稍復(fù)雜方程的方法。）

設(shè)計說明

本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)“稍復(fù)雜的方程”的第一節(jié)課，要通過兩步計算才能求出未知數(shù)是本課方程的特點，思維過程比較復(fù)雜。

雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)會解簡單的方程及會用簡單的方程解決問題，但由于受算術(shù)思維方法的影響，學(xué)生在分析數(shù)量關(guān)系時，很難把算術(shù)的思維轉(zhuǎn)化為方程的思想思考，難以找到等量關(guān)系，列不出方程。因此，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計結(jié)合學(xué)生的這一實際，力圖突出三個要點。

1.溝通知識的聯(lián)系，找準(zhǔn)新知的生長點。課開始，首先復(fù)習(xí)解簡單方程的方法，接著用線段圖呈現(xiàn)問題情境，讓學(xué)生從圖中收集信息并用含有字母的式子“3x”表示未知量“黑兔有幾只”，然后讓學(xué)生從線段圖中找等量關(guān)系式。三個不同類型的練習(xí)，都是為了溝通知識間的聯(lián)系，激活學(xué)生的已有經(jīng)驗，找準(zhǔn)新知的生長點，為學(xué)習(xí)“用畫線段圖輔助并列出方程”及“解稍復(fù)雜方程”做認(rèn)知鋪墊和思維準(zhǔn)備。

2.注重學(xué)法指導(dǎo)，促進(jìn)新知有效生成。為了促進(jìn)學(xué)生的學(xué)，從列方程解決問題到探究解方程的方法，教師預(yù)設(shè)了三次指導(dǎo)。先指導(dǎo)畫線段圖，接著指導(dǎo)觀察線段圖，最后指導(dǎo)解方程。因為僅憑學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，他們在畫線段圖、找等量關(guān)系及解方程的學(xué)習(xí)中都會有困難。通過教師的引導(dǎo)和點撥，不但能幫助學(xué)生找到思考方向，提升思維的質(zhì)量，還能促使教學(xué)目標(biāo)的順利達(dá)成。

3.借助數(shù)形結(jié)合思想，有效分析等量關(guān)系。畫線段圖是幫助學(xué)生分析問題、理解數(shù)量關(guān)系的有效方法。因此，為了突破“找等量關(guān)系”這一難點，選擇用畫線段圖的方法來幫助學(xué)生整理信息，借助數(shù)形結(jié)合，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡單化，使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀、具體，達(dá)到有效解決問題的目的。

作者單位

第5篇

一、依據(jù)題目的意義，找出等量關(guān)系

蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊教材第1頁例1，第4頁例2。

【例1】西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？

根據(jù)題目的意義理解為，小雁塔乘以2再減去22米就和大雁塔的高度相等，同比等量關(guān)系是：小雁塔乘以2減去22等于大雁高度，依據(jù)這個“等量關(guān)系”列出方程。設(shè)小雁塔的高度為x米，列方程為2x-22=64。

【例2】北京頤和園占地290公頃，其中水面面積大約是陸地面積的3倍，北京頤和園的陸地和水面大約各有多少公頃？

根據(jù)題目的敘述可以理解為，水面積+陸地的面積=頤和園的面積。根據(jù)“等量關(guān)系”列方程：解設(shè)頤和園的陸地面積大約有x公頃，水面大約有3x公頃，列方程為x+3x=290。

二、根據(jù)平面圖形的計算方式找出等量關(guān)系

一些平面圖形的計算方式為我們提供了現(xiàn)成的等量關(guān)系。蘇教版第8頁整理與復(fù)習(xí)第5題。

1.三角形的面積是275cm2，高11cm，底是多少？

三角形的面積計算公式S=ah÷2。根據(jù)“等量關(guān)系”列出方程。

設(shè)三角形的高為x厘米，列方程為11x÷2=275。

2.長方形的周長9米，寬1.5米，長是多少米？

長方形的周長計算公式是（a+b）×2=c。根據(jù)“等量關(guān)系”列方程，設(shè)長方形的長為x米，列方程為（x+1.5）×2=9。

三、借助線段圖找出“等量關(guān)系”

有些應(yīng)用題比較抽象，我們可以借助線段圖的直觀性來幫助分析題目的意思，找出等量關(guān)系，如蘇教版第7頁整理與復(fù)習(xí)第二題。

南京長江大橋的鐵路長6772米，公路橋長4589米，它的鐵路橋比武漢長江大橋鐵路橋的5倍多197米，公路橋比武漢長江大橋公路橋的3倍少421米。（1）武漢長江大橋鐵路長多少米？（2）武漢長江大橋公路橋長多少米？

1.從線段圖中明顯看出，武漢大橋鐵路橋的5倍加上197米正好等于南京大橋的鐵路橋長的米數(shù)，根據(jù)“等量關(guān)系”列方程。

設(shè)武漢大橋鐵路橋長x米。列方程3x+15=84。

2.從線段圖中也明顯看到：武漢大橋的公路橋的3倍減去421米，就等于南京大橋的公路橋的長度，根據(jù)“等量關(guān)系”列方程。

設(shè)武漢大橋的公路x米，列方程3x-421=4589米。

四、根據(jù)題目的重點詞句找出“等量關(guān)系”

有些題目中的重點詞句包含了題目中的所有數(shù)量的及數(shù)量間的關(guān)系，這類題可根據(jù)重點詞句找出等量關(guān)系列方程。如蘇教版第6頁第9題。

小紅和小偉去商品店買光盤，小紅買8張光盤，小偉買10張光盤，兩人一共要付216元，可以在本題中重點詞句，得出等量關(guān)系式，8張光盤的錢數(shù)+10張光盤的錢數(shù)=216元。根據(jù)此“等量關(guān)系”列出方程。

設(shè)每張光盤x元列方程為8x+10x=216。

五、利用常見的數(shù)量關(guān)系尋找“等量關(guān)系”

我們在學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題時，已經(jīng)掌握了一些常見的數(shù)量關(guān)系，如速度×?xí)r間=路程、單價×數(shù)量=總價、工作效率×工作時間=工作總量等，如蘇教版的第6頁第7題。

小麗和小明同時從相距960米的兩地相對走來，小麗每分鐘走58米，小明每分走62米，經(jīng)過幾分兩人相遇？

根據(jù)速度×?xí)r間=距離，可以列出等量關(guān)系式。設(shè)x小時后兩人相遇，列出方程（62+58）x=960。

六、把應(yīng)用題換成文字題尋找“等量關(guān)系”

有兩條水渠，第一條長度的1.5倍和第二條長度的2倍相等。第二條長264米，第一條長多少米？

第6篇

關(guān)鍵詞：表格分析法；應(yīng)用題教學(xué)策略；課堂教學(xué)效率

蘇霍姆林斯基說：“教學(xué)和教育的技巧和藝術(shù)就在于，要使每一個孩子的力量和可能性發(fā)揮出來，使他享受到腦力勞動中的成功的樂趣。”應(yīng)用題教學(xué)是義務(wù)教育的一個重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的一個重要手段。但其閱讀量大、建模難度高，真正能應(yīng)用所學(xué)的知識來解決實際問題的學(xué)生廖廖無幾。

一、教學(xué)背景分析

在以往的應(yīng)用題教學(xué)中，筆者與多數(shù)教師一樣，采用傳統(tǒng)教法，將常見的應(yīng)用題類型進(jìn)行歸類，歸納出常用數(shù)學(xué)模型，總結(jié)出解應(yīng)用題的六個步驟。第一，設(shè)未知數(shù)；第二，找等量關(guān)系；第三，列方程；第四，解方程；第五，檢驗；第六，答。但筆者發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)效果不顯著，部分學(xué)生對應(yīng)用題產(chǎn)生畏懼心理，有的學(xué)生甚至干脆放棄應(yīng)用題的學(xué)習(xí)。那么，該如何改進(jìn)應(yīng)用題教學(xué)策略，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)和參與的積極性，提高課堂教學(xué)的有效性呢？

二、教學(xué)策略講析

應(yīng)用題的知識結(jié)構(gòu)是以三量關(guān)系為核心的，如：路程=速度×?xí)r間，工作量=工作效率×工作時間，利潤=售價-成本，矩形面積=長×寬等，這些變量在應(yīng)用題中常可見到，這些關(guān)系本身就是一個相等關(guān)系，可以幫助學(xué)生去解決應(yīng)用題。下面就路程=速度×?xí)r間，工作量=效率×?xí)r間，溶質(zhì)=溶液×濃度等模型，以教材習(xí)題為例，談?wù)劰P者的教學(xué)策略，即用表格分析法解應(yīng)用題。

1.策略示范――表格分析法在列分式方程解應(yīng)用題中的應(yīng)用

例1.某校招生錄取時，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯，2640名學(xué)生的成績數(shù)據(jù)分別由兩位程序操作員各向計算機輸入一遍，然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致。已知甲的輸入速度是乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時輸完。問這兩個操作員每分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績？

分析：題中涉及工作量、工作效率、工作時間三量關(guān)系，甲、乙兩種狀態(tài)。根據(jù)題意，設(shè)乙每分鐘能輸入x名學(xué)生的成績，則甲每分鐘能輸入2x名學(xué)生的成績，用表格分析問題。

步驟一：列出表格，并依次填寫表格信息

表格的第一行填寫題中最清晰的量，即工作量（甲、乙的工作量均為2640名學(xué)生）；表格的第二行填寫題中所設(shè)的量，即工作效率（甲的工作效率是2x名/分鐘，乙的工作效率是x名/分鐘）；表格的第三列填寫第三個量，即工作時間，數(shù)據(jù)則根據(jù)三量關(guān)系由第一、二行直接給出。（根據(jù)工作時間=■得，甲的工作時間是■分鐘，乙的工作時間是■分鐘）。于是得到表格如下：

■

步驟二：列等量關(guān)系式

從上面表格的第三行中找等量關(guān)系，即找關(guān)于工作時間的等量關(guān)系。從題中不難找到：結(jié)果甲比乙少用2小時輸完。即：甲時間=乙時間-2小時。于是得到等量關(guān)系式：■=■-2×60

2.策略應(yīng)用――表格分析法在列一元一次方程解應(yīng)用題中的應(yīng)用

例2.小莉和同學(xué)在“五一”假期去森林公園玩，在溪流邊的A碼頭租了一艘小艇，逆流而上，劃行速度約4千米/小時。到B地后沿原路返回，速度增加了50%，回到A碼頭比去時少花了20分鐘。求A、B兩地之間的路程。

分析：題中涉及路程、速度、時間三量關(guān)系和往、返兩種狀態(tài)。根據(jù)題意，設(shè)A、B兩地之間的路程為x千米，并統(tǒng)一單位：20分鐘=■小時。根據(jù)表格分析法的分析原則，第一行填寫最清晰的量，即速度；第二行填寫所設(shè)的量，即路程；第三行填寫第三個量，即時間。于是得到表格如下：

■

最后得到關(guān)于時間的等量關(guān)系式：■=■-■

三、教學(xué)效果剖析

蘇霍姆林斯基說過：“教師的任務(wù)就是要不斷地發(fā)展兒童從學(xué)習(xí)中得到滿足的良好情感，以便從這種情感中產(chǎn)生和形成一種情緒狀態(tài)――即強烈的學(xué)習(xí)愿望。”現(xiàn)代教學(xué)要充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性與積極性。而本策略的最大突破口在于將表格分析程序化，讓學(xué)生感覺到應(yīng)用題也是有章可循的，體驗思維的有序性，從而使學(xué)生樹立學(xué)習(xí)的信心。

第7篇

一、關(guān)系式法

關(guān)系式法主要應(yīng)用于物質(zhì)之間存在內(nèi)在等量，通過分析找出等量，既直觀明了又計算方便。

例1．某農(nóng)田通過科學(xué)分析，需施120kg的尿素\[CO(NH2)2\]來補充氮元素，如改用NH4HCO3，至少需要多少kg？

解析：農(nóng)田需要氮元素的質(zhì)量是一定的，所以只需尿素和碳酸氫銨含有相同質(zhì)量的氮元素即可。通過化學(xué)式的比較，不難找出CO(NH2)2~~2N~~2NH4HCO3。

設(shè)需要NH4HCO3的質(zhì)量為x。

CO(NH2)2~~2N~~2NH4HCO3

602×79

120kgx

60[]120kg[SX)]=[SX(]158[]x[SX)]

x=316kg

答：如改用NH4HCO3，至少需要316kg。

例2．生產(chǎn)等質(zhì)量的H2，用Mg、Al、Zn、Fe分別與足量的酸反應(yīng)，求消耗四種金屬的質(zhì)量關(guān)系。

解析：如果依據(jù)化學(xué)方程式計算會非常繁瑣，而依據(jù)金屬的化合價與置換出氫原子的個數(shù)的關(guān)系，既簡略又方便。

找關(guān)系找等量找質(zhì)量

需要四種金屬的質(zhì)量關(guān)系為：Al

例3.已知某硝酸銨樣品，測得氮元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為31.5%（雜質(zhì)不含氮），求該樣品中硝酸銨的純度。（即硝酸銨的質(zhì)量分?jǐn)?shù)）

解析：氮元素存在于硝酸銨中，氮元素和硝酸銨有固定的質(zhì)量關(guān)系。知道了氮元素在樣品中的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，就可以求硝酸銨在樣品中的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

設(shè)硝酸銨在該樣品中的純度為x。

NH4NO3----2N

8028

x31.5%

80[]x[SX)]=[SX(]28[]31.5%[SX)]

x=90%

答：硝酸銨在樣品中的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為90%。

二、變形法

變形法是將某些化學(xué)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危３指髟卦械牧康年P(guān)系不變，從而方便討論分析的一種方法。

例4.在FeO、Fe2O3、Fe3O4、FeS四種化合物中，鐵元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)由大到小的順序是。

解析：在FeO、Fe2O3、Fe3O4三種物質(zhì)中都含有鐵元素和氧元素，而FeS不含氧元素。由于硫的相對原子質(zhì)量是氧的相對原子質(zhì)量的2倍，所以可以將FeS轉(zhuǎn)化為FeO2。將鐵的原子個數(shù)定為1，又變形為FeO、FeO3/2、FeO4/3、FeO2,所以得出等量的鐵結(jié)合氧元素的質(zhì)量比為：1∶3/2∶4/3∶2=6∶9∶8∶12。

鐵元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)由大到小的順序為：FeO>Fe3O4>Fe2O3>FeS。

三、守恒法

守恒法是利用化學(xué)變化前后元素的質(zhì)量守恒巧解計算題的一種方法。

例5．將一定質(zhì)量的鐵和銅的混合物放入鹽酸中，充分反應(yīng)后過濾、洗滌、干燥后，將濾渣在空氣中灼燒，稱量，與原混合物的質(zhì)量相等，求原混合物中鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

解析：鐵和銅的混合物放入鹽酸中，銅不參加反應(yīng)。銅濾出后又被灼燒生成氧化銅，此時的質(zhì)量和原混合物的質(zhì)量相等，所以氧化銅中氧元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)即是原混合物中鐵元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

Fe%=O%=O/CuO×100%=16/80×100%=20%。

例6.某鐵的合金10g，在空氣中充分煅燒后，將生成的氣體通入足量澄清的石灰水中，得到白色沉淀1g,則該鐵的合金是生鐵還是鋼？

解析：鐵合金中的碳與氧氣反應(yīng)后生成了CO2，CO2與Ca(OH)2反應(yīng)生成了CaCO3。

在整個轉(zhuǎn)化過程中，碳的質(zhì)量不變。所以CaCO3中碳的質(zhì)量即為鐵合金中碳的質(zhì)量。

m(C)=1g×[SX(]C[]CaCO3[SX)]=1g×[SX(]12[]100[SX)]=0.12g

w%=[SX(]0.12g[]10g[SX)]×100%=1.2%

答：該鐵的合金為鋼。

第8篇

【關(guān)鍵詞】方程 行程問題 相遇與追擊

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）09-0108-01

方程的應(yīng)用題，鏈接了小學(xué)到初中的知識，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點和難點問題之一。在為學(xué)生以后解決實際問題起到了啟蒙作用。方程的應(yīng)用題分很多類型，但最常見的是我們生活中常用的行程問題。

要想讓學(xué)生能更好的理解應(yīng)用題，解答好應(yīng)用題，那就先要把學(xué)生的思路打通，讓學(xué)生看到題目的時候腦袋里知道這是什么題型，該如何下手去做。那么下面我們一步一步來分析。

常見的行程問題的教學(xué)方案

一、相遇問題

一列由南向北行駛的客車，車身長180米，同時有一輛由北向南的貨車，車身長240米，兩輛車平時相向行駛，從兩車頭相遇到兩車尾完全分開的時間經(jīng)過12秒，已知客車跟貨車的速度比是4：3，那么客車跟貨車的速度是多少？

解題思路：

①該題是一道相遇問題當(dāng)中較典型的題，根據(jù)上面的講解到的解題思路，那我們應(yīng)該知道，客車和貨車之間的距離=客車的車身+貨車的車身。

②確定等量關(guān)系式：路程=速度×?xí)r間。

③然后根據(jù)題目的問題進(jìn)行設(shè)置未知數(shù)x，由于是求兩輛車的速度，根據(jù)指導(dǎo)兩輛車的速度比是4：3，所以我們可以設(shè)置客車的速度是4x，貨車的速度是3x。

④根據(jù)前兩步列出帶有字母的關(guān)系式：

路程=速度×?xí)r間：180+240=4x×12+3x×12

⑤根據(jù)該等量關(guān)系式解出x的值，然后求出客車的速度4x，貨車的速度3x.

⑥檢查該速度是不是符合實際，然后帶入帶有字母的等量關(guān)系式子進(jìn)行驗證。得出結(jié)論。

讓學(xué)生思路以后就是要做解答，答案的書寫也是要符合要求的。讓學(xué)生養(yǎng)成答題的規(guī)范性。

解：設(shè)客車的速度是4x米/秒，貨車的速度為3x米/秒，則

4x×12+3x×12 =180+240

48x+36x =420

x=5

客車的速度是4×5=20米/秒，貨車的速度是3×5=15米/秒答：客車的速度是20米/秒，貨車的速度是15米/秒。

引申：由于相向問題在實際生活中運用的比較廣泛，所以常見的例子也比較多，通過上題可以打開學(xué)生的思路，然后稍微加深難度，運用學(xué)生的想象力，稍加難度。發(fā)揮學(xué)生的思維邏輯能力。

例：有兩輛是相向而行的客車，其中一輛快車的車身長150米，慢車車身長180米，快車經(jīng)過4秒的時間經(jīng)過慢車的某個窗口。

求：當(dāng)兩車相向的時候，兩車的速度和以及慢車經(jīng)過快車的某個窗口用的時間是多少？

解題思路：

①這個問題是相向問題中的稍微延伸，快車行駛過某個窗口的時候，研究對象也是由車換成慢車窗口的人和快車車尾的人。那么這個時候行駛的距離就是快車的車長。同樣，慢車行駛過某個窗口的是后，研究的對象是也換成快車窗口的人和滿車車尾的人，所以行駛的距離也是慢車的車身長度。

②行駛的距離確定了以后，就該確定一下該題的等量關(guān)系。

時間=路程÷速度

③列出等式然后求解。

解：兩車的速度之和：150÷4=37.5（米/秒）

慢車經(jīng)過快車某一窗口所用的時間：180÷37.5=4.8（秒）

答：兩車的速度的和是37.5米/秒，慢車經(jīng)過快車的某一個窗口所用的時間是4.8秒。

該應(yīng)用題的解答不僅考查了學(xué)生們的對基礎(chǔ)知識的理解，也能有效的幫助學(xué)生提高邏輯分析能力。此題是相遇問題，可以引導(dǎo)學(xué)生去想同向的問題怎么去解決。

二、同向問題

不論是相遇問題還是同向的問題基本都是追溯根本上是路程、時間、速度之間的變化的關(guān)系，所以還是要弄清楚三個變量之間的關(guān)系。

下面舉例說明。

例如相遇問題中延伸例子中的題目，我們可以假設(shè)兩輛車如果是同向的話，慢車速度為15米/秒，快車從后面追趕慢車，問如果從快車的車頭趕上慢車的車尾部分到快車的車尾趕上慢車的車頭的時候需要的時間是多少？

解題思路：

①同向問題的解決是先確定原始路程是多少，由于是快車車頭從慢車的車尾追趕慢車直到快車車位超過慢車車頭，所以行駛距離也是兩車的車身的長度。

②行駛距離確定以后就是確定等量關(guān)系。該題求的是時間

時間=路程÷速度

③設(shè)所用時間為x，由題目和第一問的結(jié)果知快車的速度為（37.5-15=22.5），則快車行駛的路程是22.5x，慢車行駛的路程15x。

④根據(jù)題目給出的變量，列出含有x的方程22.5x-15x=180+150。

⑤根據(jù)方程的求解方法，求出x的值。

⑥檢查結(jié)果的實踐性，然后帶入方程式進(jìn)行檢驗。

解：設(shè)快車完全超過慢車的至少要用時間為x，則

22.5x-15x=180+150

7.5x=330

x=44

答：至少44秒快車從后面追趕上并全部超過慢車。

方程中的行駛問題是相關(guān)聯(lián)的，其中就是三個量的變化，只要在題目中找到三個量或者三個量的表達(dá)式子就會讓題目變得明了。所以在解答應(yīng)用題的時候，一定要結(jié)合課本的基礎(chǔ)內(nèi)容。吃透課本的基礎(chǔ)知識。然后結(jié)合在生活中的例子，充分發(fā)揮想象能力和邏輯思考能力，也會給該題型的解決帶來方便。

第9篇

求曲線方程，一般有五個步驟，這五個步驟和列方程解應(yīng)用題的步驟完全類似。

（1）依據(jù)已知幾何條件建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用（x，y）表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；

（2）列出適合條件p的點M的集合P={M|P（M）}；（此步根據(jù)情況可以省略）

（3）用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程=f（x，y）=0；

（4）化方程f（x，y）=0為最簡形式；

（5）證明化簡后的方程為所求曲線的方程，即驗證以（4）中方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上。

簡記為建系、列式、代換、化簡、證明。

為了幫助同學(xué)們更好地理解、掌握這類題型，下面我們結(jié)合具體的實例，對求一般曲線的過程和常用方法予以說明。

一、直接法

如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達(dá)，那么我們只需利用解析幾何中的一些基本定理和公式，直接列出動點的坐標(biāo)（x，y）所滿足的關(guān)系式，通過化簡整理便可得到曲線的軌跡方程。

例1：試求到兩坐標(biāo)軸距離之差恒為2的點的軌跡。

解析：設(shè)P（x，y）為軌跡上任意一點，則|x|-|y|=2。

當(dāng)x≥0，y≥0時，方程為x-y=±2，此時軌跡為以（2，0），（0，2）為端點，斜率為1的兩條射線；

當(dāng)x≤0，y≥0時，方程為x+y=±2，此時軌跡為以（-2，0），（0，2）為端點，斜率為-1的兩條射線；

當(dāng)x≤0，y≤0時，方程為y-x=±2，此時軌跡為以（-2，0），（0，-2）為端點，斜率為1的兩條射線；

當(dāng)x≥0，y≤0時，方程為x+y=±2，此時軌跡為以（2，0），（0，-2）為端點，斜率為-1的兩條射線。（曲線如右圖）

評注：本題中，已經(jīng)給定了坐標(biāo)系，并且等量關(guān)系可以直接得到，因此用此法求解最方便。

二、代入法

如果動點P（x，y）與Q（a，b）之間滿足某些關(guān)系式，先寫出P與Q之間的坐標(biāo)關(guān)系，并用Q的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)，而后代入P的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，并化簡整理，即得所求方程。

例2：設(shè)M為已知圓O：x2+y2=a2上任意一點，圓O和x軸的兩個交點為A1（-a，0），A2（a，0），從A2作直線垂直于圓O在M點的切線MB，交直線A1M于P，求P點軌跡方程。

解：當(dāng)M在A2處時，從A2作垂直于MB的直線就是x軸，它與直線A1M重合，此時點P的軌跡方程是y=0；

當(dāng)M在A1處時，與題中直線A1M不符。

三、參數(shù)法

有時求動點應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點，但卻較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個動點常常受到另一個變量的制約，或者用這個變量可以將動點坐標(biāo)（x，y）中的x，y表示出來。此時可以取這個變數(shù)為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫作參數(shù)法，如果需要得到軌跡的普通方程，需要將參數(shù)消去。

例3：在正方形ABCD中，AB、BC邊上各有一個動點Q、R，且|BQ|=|CR|，試求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程。

分析：交點P受Q與R的制約，因此，選擇的參數(shù)要與Q、R有直接聯(lián)系，故可以選取AQ與BR為參數(shù)。

解：如圖，取A為原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，正方形ABCD邊長為a，取AQ=t，BR=t。

第10篇

一、通過讀題加強數(shù)量關(guān)系訓(xùn)練，培養(yǎng)思維的流暢性

學(xué)生能否正確解答應(yīng)用題，首先是審題，因此，應(yīng)從讀題入手引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題。

1 熟悉性的讀

題目中的關(guān)鍵字詞讀重音，分清題中的情節(jié)、條件和問題。讀完后，不看題想一想，用自己的話說一說題目中已知的條件和問題，并指導(dǎo)學(xué)生想想，根據(jù)已知的條件可以求怎樣的一些問題，或者從問題出發(fā)找解決問題所需要的條件，以此培養(yǎng)學(xué)生獨立分析的能力。如在教學(xué)百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題后碰到了這樣一題：

建造這座污水處理池，實際投資比原計劃節(jié)約10%。

（1）節(jié)約了4.8萬元，原計劃投資多少萬元？

（2）實際投資43.2萬元，原計劃投資多少萬元？

學(xué)生通過讀題明確了兩題雖然所求的問題是一樣的，但是已知的條件是不同的，解答方法也是不同的：第一小題中的100/0和4.8萬元是兩個相對應(yīng)的量，所以只要用4.8÷10%=48（萬元）就可以很快求出原計劃的量；而第2小題由于10%和4.8萬元不是兩個相對應(yīng)的量，所以，要先求出實際是原計劃的百分之幾再求原計劃的量，即用43.2÷（1-10%）=48（萬元）。這樣，學(xué)生在讀題時抓住關(guān)鍵字詞審題，不僅鍛煉了思維能力，還提高了解題的正確率。

2 批劃性的讀

即用自己喜歡的、不同的符號將題中表達(dá)情節(jié)和數(shù)量關(guān)系的或者重要的詞語劃下來，幫助理解題意，疑難之處也應(yīng)標(biāo)出來（箭頭、圓圈、橫直線、曲線等），主要目的是為了了解每個數(shù)量的意義及數(shù)量問的內(nèi)在關(guān)系，把列方程解復(fù)合應(yīng)用題的思考重點引向?qū)ふ抑饕獢?shù)量關(guān)系方面。

如：“六年級學(xué)生植樹的棵數(shù)是五年級的2倍少15棵”，要求學(xué)生說出以五年級學(xué)生植樹棵數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)單位“1”的量，即1份數(shù)，其關(guān)系式就是五年級學(xué)生植樹的棵數(shù)×2-15=六年級學(xué)生植的棵數(shù)。又如“甲乙兩個鋪路隊共同鋪設(shè)一條長117千米的路”，要求學(xué)生填寫完整下面的關(guān)系式0=117，1170=（里填所表示的數(shù)量，0里填運算符號）。以上兩題的教學(xué)，可讓學(xué)生把單位“1”的量，也就是題目中五年級和等量關(guān)系中關(guān)鍵的字共同圈出來，這樣不僅訓(xùn)練了學(xué)生分析應(yīng)用題的一般思路，而且也培養(yǎng)學(xué)生的有效思維能力。

二、通過一題多解加強多向思維練習(xí)，培養(yǎng)思維的發(fā)散性

有些應(yīng)用題用列方程解答時方法并不是唯一的，這就要求我們在學(xué)習(xí)中注意訓(xùn)練學(xué)生從不同角度尋找等量關(guān)系，開拓學(xué)生的解題思路，引導(dǎo)學(xué)生運用不同的方法解答。

變換不同的等量關(guān)系式也能獲得不同的方程思路，如教科書中的這樣一道例題：西安的大雁塔高64米，是小雁塔的2倍少22米，小雁塔高多少米？學(xué)生讀題后可能得到以下的數(shù)量關(guān)系：小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度；小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22：小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22。學(xué)生得出一種解法后就可引導(dǎo)學(xué)生把主要等量變換，由此列出不同方程2X-22=64，2X=64+22和2X-64=22。

在引導(dǎo)學(xué)生獲得多種解法的過程中，有些學(xué)生可能會列出算術(shù)解法的方程，如對例1列出X=（64+22）÷2。這時要組織學(xué)生從算術(shù)解法和方程解法兩種思路的本質(zhì)差異上加以區(qū)別。方程解法是從等量關(guān)系出發(fā)，由已知推算未知，順著題目的意思分析，而算術(shù)方法解答時有學(xué)生就會發(fā)生先除以2再加上22的想法，這樣就是錯誤的。但如果用方程解答的話就克服和避免了這樣的錯誤。另外，要求用方程解的同時也應(yīng)注意會用算術(shù)法解。

如解答這類題：把一塊棱長10厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個底面直徑是20厘米的圓錐形零件。這個圓錐形零件的高約是多少厘米？（得數(shù)保留整數(shù)）學(xué)生可以根據(jù)圓錐的體積等于正方體的體積列方程解答，也可以用圓錐的體積乘3除以底面積解答。學(xué)生用這兩種不同的方法解答后發(fā)現(xiàn)用方程只要順著題目解答思路比較清晰，而算術(shù)方法解答要先用體積乘3再計算，而體積乘3是學(xué)生最容易遺忘和發(fā)生錯誤的。

這樣，學(xué)生掌握兩種不同的思路，體會到用方程解逆向復(fù)合應(yīng)用題的優(yōu)越性，提高用方程解答應(yīng)用題的熟練性。

三、通過檢驗加強良好習(xí)慣養(yǎng)成，培養(yǎng)思維的準(zhǔn)確性

少數(shù)學(xué)生對應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系一知半解，有時雖然解答了但仍不知正確與否。為了杜絕此類現(xiàn)象發(fā)生，要求學(xué)生在確定計算步驟、列出算式后，不要忙于計算結(jié)果，先試著講出算理，再看是否合乎題意，是否正確地反映數(shù)量關(guān)系，檢驗自己的思維是否正確。另外，有的題雖然計算出結(jié)果，但還應(yīng)要求學(xué)生根據(jù)題意估算結(jié)果是否合理。

例如：“北京頤和園的總面積290萬公頃，其中水面面積是陸地面積的3倍，問水面面積和陸地面積各是多少？”當(dāng)學(xué)生列出方程解答出答案后，教師不要急于判斷對錯，讓學(xué)生估算結(jié)果是否符合題意。（1）陸地面積和水面面積哪個大；（2）陸地面積和水面面積的總面積是否是290萬公頃；（3）陸地面積和水面面積是不是3倍的關(guān)系。

第11篇

1.知識技能

（1）理解反比例函數(shù)的概念。

（2）結(jié)合問題條件，得出反比例函數(shù)的表達(dá)式。

（3）根據(jù)反比例函數(shù)的特征，判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù)。

2.過程與方法

探索現(xiàn)實生活中數(shù)量間的反比例關(guān)系的過程，培養(yǎng)學(xué)生的自主探索能力。

3.情感態(tài)度與價值觀

學(xué)生經(jīng)歷知識的探究和生成過程，充分認(rèn)識到反比例函數(shù)是描繪現(xiàn)實生活中數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，學(xué)生在探究中體會收獲新知的快樂，從而激發(fā)他們積極參與、大膽實踐的精神。

二、教學(xué)重點

理解反比例函數(shù)的概念。

三、教學(xué)難點

體會反比例函數(shù)是實際生活中描述數(shù)量之間關(guān)系的一種模型，給我們解決現(xiàn)實問題提供了便利。

四、教學(xué)過程

1.生活數(shù)學(xué)

寫出下列生活問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式。

（1）一輛汽車從南京開往上海。若行駛的速度是70（km/h），那么這輛汽車通過的路程s（km）與時間t（h）之間存在的關(guān)系是？

（2）一個銀行為本縣社會福利廠提供了30萬元的無息貸款，該社會福利廠的年平均還款額y（萬元）與還款年限x（年）之間存在的關(guān)系是？

設(shè)計意圖：從生活入手，營造輕松的學(xué)習(xí)氛圍，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的生活化，用數(shù)學(xué)符號建立等量關(guān)系，反映數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的建模思想。

2.觀察交流

在上述問題中所列出的關(guān)系式中，你對這些函數(shù)關(guān)系式熟悉嗎？

3.探索活動

其余的是函數(shù)表達(dá)式嗎？

利用關(guān)系式t=―完成下表并回答問題：

隨著速度的變化，①v越大時，t越___；反之，v越小時，t越____。②對v的每一個值，都有______一個t值與它對應(yīng)。③時間t是速度v的函數(shù)嗎？為什么？④v與t的積是一個____ 值（即為300）。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)的定義，通過探索、交流，類比得出其余的是函數(shù)表達(dá)式，既滲透了數(shù)學(xué)的“類比”思想又突破了難點。

定義：一般的，形如y=―（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)。

注意：反比例函數(shù)的自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。

4.例題講解

判斷下列關(guān)系式，思考y和x之間是否是反比例關(guān)系？如果是，指出k的值。

① y=―；② y=-―；③ y=-x+1；④ xy=1； ⑤ y=― ；⑥ y=3x-1。

結(jié)合剛才的事例，總結(jié)反比例函數(shù)的三種不同形式的表達(dá)方式。

y=―，（k為常數(shù)，k≠0）。

xy=k，（k為常數(shù)，k≠0）。

xy=kx-1，（k為常數(shù)，k≠0）。

設(shè)計意圖：通過識別反比例函數(shù)式，使學(xué)生加深對反比例函數(shù)的定義的理解。

5.鞏固練習(xí)

（1）下列表格中給出的是變量y隨x變化的對應(yīng)關(guān)系，其中有一個是反比例函數(shù)，請將其找出來。

設(shè)計意圖：設(shè)置此題，體現(xiàn)比較隱晦的反比例函數(shù)關(guān)系，突破了難點。同時強化了本節(jié)課的重點和難點。

（2）已知函數(shù)y=3xm-7是正比例函數(shù)，則m= _______。

變式：已知函數(shù)y=3xm-7是反比例函數(shù)，則m=________。

若函數(shù)y=（m-3）x-1是反比例函數(shù)，則m=________。

若函數(shù)y=（k+1）xk -2是反比例函數(shù)，求m的值。

設(shè)計意圖：使學(xué)生更加牢固地掌握反比例函數(shù)的概念，有效地培養(yǎng)了學(xué)生一題多變的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

（3）函數(shù)表達(dá)式可以表示怎樣的實際問題中變量之間的關(guān)系？你能舉出這樣的實例嗎？小組內(nèi)互相交流。

設(shè)計意圖：本題既有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，還很好地把數(shù)學(xué)和德育結(jié)合起來，對學(xué)生進(jìn)行了一次成功的思想教育。

6.小結(jié)與思考

（1）數(shù)學(xué)知識。

（2）數(shù)學(xué)思想方法：建模思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想。

7.作業(yè)

第12篇

關(guān)鍵詞：探究式教學(xué)；教學(xué)反思

■問題

（江蘇2011，20）設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列｛an｝的首項a1=1，前n項和為Sn，已知對任意的整數(shù)k∈M，當(dāng)整數(shù)n>k時，Sn+k＋Sn-k=2（Sn+Sk）都成立．

（1）設(shè)M=｛1｝，a2=2，求a5的值．

（2）設(shè)M=｛3，4｝，求數(shù)列｛an｝的通項公式．

作為壓軸題，著重考查數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生分析探究及邏輯思維能力，但標(biāo)準(zhǔn)答案解法較抽象，學(xué)生表述困難．解題思路教師都難想到，更何況是學(xué)生．

由于第1問較簡單，從略，本人選取了符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的解法對第2問進(jìn)行了探究式教學(xué)，過程如下，與同仁交流．

■探究

教師：第2問，M=｛3，4｝，k值可能為多少？又能得到怎樣的關(guān)系式？

學(xué)生1：k=3或k=4，能得到Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3）（n≥4）①Sn+4+Sn-4=2（Sn+S4）（n≥5）②

教師：①中，怎樣做才能得到各項之間的關(guān)系？

（學(xué)生沉默一會）

學(xué)生2：根據(jù)①再寫一個等量關(guān)系，將它們作差，但不知行不行．

該生接著說，

Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3）（n≥4）①Sn+4+Sn-2=2（Sn+1+S3）（n≥3）①′

①′－①得，Sn+4－Sn+3+Sn-2－Sn-3=2Sn+1－2Sn，即2an+1=an-2+an+4（n≥4）（*）．

②中，類似可得到2an+1=an-3+an+5（n≥5）（**）．

（**）－（*）得，an+5－an+4=an-2－an-3=…=a3－a2=d（n≥5），故｛an｝成等差數(shù)列．

學(xué)生3：｛an｝不成等差數(shù)列，因為它們不是相鄰三項之間的關(guān)系．

教師：對，怎樣才能找到相鄰三項之間的關(guān)系？（提示一下）

由（*）知｛an｝每隔兩項成等差數(shù)列，即an-6，an-3，an，an+3，an+6（n≥8）成等差數(shù)列；

由（**）知｛an｝每隔三項成等差數(shù)列，即an-6，an-2，an+2，an+6（n≥8）成等差數(shù)列．

學(xué)生4：由（*）（**）得2an=an+3+an-3=an-6＋an+6=an-2+an+2．

學(xué)生5：｛an｝每隔一項成等差數(shù)列，即an-3，an-1，an+1，an+3，成等差數(shù)列，則an-1+an+1=an-3+an+3=2an（n≥8）．

故｛an｝成等差數(shù)列．

學(xué)生6：｛an｝不一定成等差數(shù)列，因為n≥8，所以從第9項起成等差數(shù)列．

教師：設(shè)從第9項起公差為d，再探究前8項是否成等差數(shù)列，公差是否相同．

（沉默一段時間）

學(xué)生7：（急切地站起來），我將（*）（**）兩式分別用幾個值代入，

得到2a5=a2+a8，2a6=a3+a9，2a7=a4+a10，2a8=a5+a11， 2a6=a2+a10，2a7=a3+a11，2a8=a4+a12，2a9=a5+a13. 最下面一行兩個等式作差得a9－a8=d，同理得a8－a7=a7－a6=a6－a5=d，再將第二組相鄰兩行兩個等式作差，得a5－a4=a4－a3=a3－a2=d，即an+1－an=d（n≥2）．

（全班學(xué)生鼓掌）

教師：如何確定第一、二項之間的關(guān)系？

學(xué)生8：由起始關(guān)系式①得a5+a6+a7=a2+a3+a4+2S3，所以2S3=9d，即4a2－7d+2=0③．

由②得a6+a7+a8+a9=a2+a3+a4+a5+2S4，所以2S4=16d，即3a2－5d+1=0④．

由③④解得a2=3，d=2，

所以an=2n－1．

教師：解題的關(guān)鍵在何處？是如何處理的？

學(xué)生9：在等量關(guān)系式①②中消去常數(shù)S3，S4，從一個等量關(guān)系式中構(gòu)造出一個等式（用n+1代n），再將它們作差．

■拓展

教師：M=｛3，4｝，換成M=｛2，3｝，｛4，5｝，｛4，6｝，通項公式an仍可以求出嗎？

（學(xué)生沉默一會）

學(xué)生10：M=｛2，3｝，方法和剛才一樣，得an+1－an=d（n≥2）且2S3=9d，2S2=4d，

則a2=3，d=2，an=2n－1仍成立．

學(xué)生11：M=｛4，5｝，an+1－an=d（n≥2）且2S4=16d，2S5=25d，則a2=3，d=2，an=2n－1仍成立． M=｛4，6｝，不能得出an+1－an=d，故不成等差數(shù)列．

學(xué)生12：一般地，M=｛m，m+1｝（m∈N*），得an+1－an=d且2Sm=m2d，2Sm+1=（m+1）2d，

從而an=2n－1，其余形式不行．

本探究過程自然、合理，合乎學(xué)生的思考習(xí)慣，對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、推理能力大有裨益．

■溯源

本高考題是在《教學(xué)大綱》《考試說明》的要求下，重點考查了等差數(shù)列這一C級知識點，假設(shè)｛an｝成等差數(shù)列，則Sn=An2+Bn，然后構(gòu)造了Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）這個條件，即A（n+k）2+B（n+k）+A（n－k）2+B（n－k）=2（An2+Bn+Ak2+Bk）

對n∈N*恒成立，則2Ak2=2k2，2Bk=0 （k≠0），所以A=1，B=0. 從而Sn=n2，an=2n－1.

最后用k=3，k=4兩個條件確定這個數(shù)列，該數(shù)列就成了等差數(shù)列． 由于函數(shù)的表達(dá)式與數(shù)列通項既有聯(lián)系又有區(qū)別，故反過來推導(dǎo)出等差數(shù)列就困難得多．

■反思

1. 注重教師素養(yǎng)提升

隨著課改的深入，教師不僅要重視教學(xué)結(jié)果，而且越來越要關(guān)注教學(xué)過程，教師除了將主要精力放在學(xué)生身上，也越來越注重自身發(fā)展，努力提升自己的教育教學(xué)素養(yǎng)． 對于習(xí)題講解，首先教者要“沉”下去，親自做一做，想一想，找到符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的最優(yōu)解法，不能“人云亦云”，決不能“拿來主義”，課堂上生搬硬抄標(biāo)準(zhǔn)答案．

2. 鼓勵學(xué)生自主探究

建構(gòu)式理論告訴我們，只有把知識的“根”扎在學(xué)生自己的經(jīng)驗里，才能實現(xiàn)真正意義上的建構(gòu)． 學(xué)生利用自己的經(jīng)驗去感受、理解知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程，通過課堂教學(xué)活動養(yǎng)成自主探究的習(xí)慣，學(xué)生能講的讓學(xué)生講，學(xué)生能做的讓學(xué)生做，學(xué)生的解題方略與“標(biāo)準(zhǔn)答案”有差距，加以肯定，盡可能激發(fā)學(xué)生的靈感火花，對一些獨到的解法應(yīng)及時鼓勵和表揚．