時(shí)間：2023-05-30 09:26:18
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇二次函數(shù)，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
高中數(shù)學(xué)里的函數(shù)在整個(gè)高中數(shù)學(xué)系統(tǒng)中占有重要的地位，進(jìn)入高三復(fù)習(xí)以來，學(xué)生可以深刻感受到這一點(diǎn)，高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)中，數(shù)列、立體幾何、解析幾何的很多題目都需要利用函數(shù)的觀點(diǎn)來解決。二次函數(shù)是函數(shù)中的一種基本形式，我們來了解它在高中階段的應(yīng)用。
在初中階段，學(xué)生已經(jīng)接觸了二次函數(shù)，也作了較詳細(xì)的學(xué)習(xí)、研究，由于初中學(xué)生理解能力較弱，知識(shí)系統(tǒng)的不完善，關(guān)于二次函數(shù)的內(nèi)容的學(xué)習(xí)比較機(jī)械的，僅僅掌握了二次函數(shù)的圖像及二次函數(shù)幾種形式，但沒有從本質(zhì)去理解它。進(jìn)入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對(duì)他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對(duì)二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。
一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念。學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，然后用映射觀點(diǎn)來理解函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生對(duì)函數(shù)就有了本質(zhì)的把握。特別是二次函數(shù)為例來加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?：AB，使得集合B中的元素 與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為 ）這里 表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)。
二、二次函數(shù)的單調(diào)性與圖象。在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù) 在區(qū)間 及 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。如：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。如： 等，這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。或者利用讓學(xué)生利用圖像的對(duì)稱變化、平移變化來畫出其圖像，對(duì)于圖像問題要強(qiáng)調(diào)，江西省自2005年高考數(shù)學(xué)自主命題以來，每年都會(huì)考查至少一道圖像題目。
三、二次函數(shù)的值域。對(duì)于二次函數(shù)值域的練習(xí)要分為不含參數(shù)、含參數(shù)兩種，而不含參數(shù)的二次函數(shù)值域練習(xí)又要分為全定義域和限制型定義域兩種。如： 在R上、在區(qū)間 、 、 、 上的值域。尤其要注意分析第三、五兩種，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到單調(diào)性對(duì)解決函數(shù)值域的重要性，為利用導(dǎo)數(shù)方法解決函數(shù)值域問題打下伏筆。 在區(qū)間 上的值域，在教學(xué)實(shí)際中還可以將參數(shù)的位置進(jìn)行調(diào)換，比如 ，對(duì)學(xué)生展開充分的訓(xùn)練，加強(qiáng)他們的運(yùn)算能力及對(duì)二次函數(shù)值域求法的理解。
四、二次函數(shù)與一元二次不等式、一元二次方程的關(guān)系。通過利用圖像的講解讓學(xué)生掌握三者之間的關(guān)系，尤其是一元二次不等式的解法，通過利用二次函數(shù)圖象能讓學(xué)生形象直觀的得到結(jié)論。關(guān)于這部分知識(shí)的題目難度就比較高，要求學(xué)生有很好的分析能力。如：已知函數(shù) ， 為方程 的兩根，且 ，給出下列不等式，其中成立的是（ ）
① ② ③ ④
A.①④ B.③④ C.①② D.②④
五、二次函數(shù)在其他函數(shù)類型中的應(yīng)用。掌握好了二次函數(shù)，對(duì)于其他函數(shù)求值域、單調(diào)性都有很好的幫助。比如：求三角函數(shù) 、 的值域，需要利用換元法將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域。（注意換元時(shí)范圍的變化）
二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識(shí)，使我們對(duì)它的研究更深入。
【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；教學(xué)；探究
二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，在初中升高中考試中占據(jù)著非常重要的地位，同時(shí)，學(xué)好二次函數(shù)也為高中階段的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).為此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須認(rèn)真搞好二次函數(shù)教學(xué)，為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).
一、掌握概念，區(qū)分方程和函數(shù)的關(guān)系
要想弄懂二次函數(shù)，學(xué)好二次函數(shù)，首先必須厘清二次函數(shù)的概念，并在厘清概念的基礎(chǔ)上，區(qū)分方程和函數(shù)的關(guān)系.為了幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的概念，數(shù)學(xué)教師可以巧妙引入生活當(dāng)中的問題.例如：圓桌桌面的半徑為R，其面積為S，請(qǐng)寫出圓桌桌面面積的表達(dá)式.其實(shí)這個(gè)式子學(xué)生們并不陌生，他們順手就可以寫出來：S=πr2.在這個(gè)式子的基礎(chǔ)上，教師就可以引申開來，引入二次函數(shù)的關(guān)系式：y=ax2+bx+c（a≠0），形如上面的式子就是二次函數(shù)，不是方程.這樣就將二次函數(shù)的概念和生活緊密相連，使原本非常神秘的二次函數(shù)不再神秘，同時(shí)也引發(fā)了學(xué)生學(xué)次函數(shù)的興趣.在學(xué)生完整掌握概念的基礎(chǔ)上，教師還要將二次函數(shù)的x范圍作出明確的界定，讓學(xué)生充分明白x和y之間的關(guān)系不單是方程式，它還表達(dá)了兩個(gè)未知數(shù)之間的變量關(guān)系，也就是說用一個(gè)未知數(shù)可以表達(dá)另一個(gè)未知數(shù).在上面兩個(gè)式子中，R和x是自變量，S和y就是R和x的函數(shù)，S和R之間是函數(shù)關(guān)系，y和x之間也是函數(shù)關(guān)系.通過這樣的引導(dǎo)以及函數(shù)關(guān)系式的互相比較，學(xué)生就能夠清楚明白方程式與函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.
二、畫好圖像，理解圖像和函數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)圖像也是學(xué)次函數(shù)的重點(diǎn)、難點(diǎn)之一，在學(xué)習(xí)的過程中，教師應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)到二次函數(shù)圖像的作用，通過引導(dǎo)學(xué)生繪制二次函數(shù)圖像，加深對(duì)二次函數(shù)圖像和二次函數(shù)之間關(guān)系的理解，這樣不但能夠幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的概念，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力.教師要引導(dǎo)學(xué)生建立清晰的二次函數(shù)坐標(biāo)圖像，在遇到任何二次函數(shù)時(shí)，都能夠在頭腦中建立二次函數(shù)圖像，并且能夠準(zhǔn)確描述二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向以及對(duì)稱軸等內(nèi)容，只有這樣，學(xué)生才能夠真正做到掌握二次函數(shù)的本質(zhì)特征.在學(xué)生建立二次函數(shù)和圖像之間的關(guān)系基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)教師還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的變化進(jìn)行認(rèn)真的分析和研究，能夠從各種發(fā)生變化的二次函數(shù)圖像中發(fā)現(xiàn)蛛絲馬跡，從而緊緊抓住二次函數(shù)的主要特征，變換各種角度對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行仔細(xì)的觀察，找到解決問題的切入點(diǎn)，從而輕松解決問題.
三、巧用技術(shù)，提高推斷能力
初中階段是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵時(shí)期，也是邏輯思維能力初步建立和不斷發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，而數(shù)學(xué)又是學(xué)生發(fā)展邏輯思維能力的基礎(chǔ)學(xué)科，為此教師要在二次函數(shù)教學(xué)過程中努力培養(yǎng)鍛煉學(xué)生的推斷能力.但是教師要充分認(rèn)識(shí)到，邏輯思維能力的培養(yǎng)是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，是在各種教學(xué)手段綜合運(yùn)用的基礎(chǔ)上慢慢培養(yǎng)的，而在各種教學(xué)手段當(dāng)中，現(xiàn)代技術(shù)的巧妙利用無疑是當(dāng)前教學(xué)中最好的教學(xué)手段.無論是二次函數(shù)的概念，還是二次函數(shù)的圖像，都是相當(dāng)抽象的內(nèi)容，特別是二次函數(shù)圖像的建立，更是難以靠數(shù)學(xué)教師描述和板書解決，而現(xiàn)代技術(shù)手段的利用就恰當(dāng)?shù)亟鉀Q了這一難題，不但可以讓學(xué)生通過直觀的圖像理解概念，引發(fā)學(xué)生學(xué)次函數(shù)的興趣，同時(shí)還可以有效增加整個(gè)課堂的知識(shí)容量，從而不斷提高學(xué)生的推斷能力.例如：數(shù)學(xué)教師可以通過現(xiàn)代技術(shù)手段展示y=x2，y=x2-a，y=x2+a等二次函數(shù)圖像變化的情況，然后組織學(xué)生總結(jié)其中圖像變化的特點(diǎn)，總結(jié)變化的規(guī)律.然后在此基礎(chǔ)上加以引申，讓學(xué)生描述出其他二次函數(shù)圖像變化的特點(diǎn)，或者讓學(xué)生自己繪制不同的二次函數(shù)圖像.通過現(xiàn)代技術(shù)手段以及學(xué)生自己動(dòng)手繪制不同二次函數(shù)圖像，可以幫助學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)并掌握二次函數(shù)圖像變化的規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展，從而不斷培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力.
四、多種合作，展示多樣化教學(xué)手法
一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念
初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f:AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為f(x)= ax2+bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題：
類型I：已知f(x)= 2x2+x+2，求f(x+1)
這里不能把f(x+1)理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。
類型Ⅱ：設(shè)f(x+1)=x2－4x+1,求f(x)
這個(gè)問題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則f下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。
一般有兩種方法：
(1)把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。
f(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得f(x)=x2－6x+6
(2) 變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都可適用。
令t=x+1，則x=t-1(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6從而f(x)= x2－6x+6
二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象。
在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（－∞，-]及[－，+∞）上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。
類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）y=x2+2|x|－1
這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。
類型Ⅳ設(shè)f(x)=x2－2x－1在區(qū)間[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并畫出y=g(t)的圖象
解：f(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1時(shí)取最小值－2
當(dāng)1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
當(dāng)t＞1時(shí)，g(t)=f(t)=t2－2t－1
當(dāng)t＜0時(shí)，g(t)=f(t+1)=t2－2
t2－2, (t
g(t)=-2，(0≤t≤1)
t2－2t－1, (t>1)
首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識(shí)，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數(shù)的值域。
三、二次函數(shù)的知識(shí)，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：
類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)－x=0的兩個(gè)根x1，x2滿足0
(Ⅰ)當(dāng)X∈(0,x1)時(shí)，證明X
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明x0
解題思路：
本題要證明的是x
(Ⅰ)先證明x
因?yàn)?
根據(jù)韋達(dá)定理,有x1x2= 0＜x1＜x2
(Ⅱ) f(x)=ax2+bx+c=a（x+）2+(c－),（a>0）
函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=－,且是唯一的一條對(duì)稱軸，因此，依題意，得x0=－，因?yàn)閤1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據(jù)違達(dá)定理得，x1+x2=－ ，x2－
一、重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查
例1 據(jù)某氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v（km/h）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖像如圖1所示。過線段OC上一點(diǎn)T（t，0）作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t（h）內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s（km）。
（1）當(dāng)t=4時(shí)，求s的值；
（2）將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城。如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由。
略解：（1）s=24（km）。
（2）當(dāng)0≤t≤10時(shí)，s=■t2；
當(dāng)10
當(dāng)20
（3）沙塵暴發(fā)生后30h將侵襲到N城。
二、關(guān)注社會(huì)和科技熱點(diǎn)
例2 某工藝廠為配合倫敦奧運(yùn)會(huì)，設(shè)計(jì)了一款成本為20元/件的工藝品投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷。經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
■
（1）把上表中x、y的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在下面的平面直角坐標(biāo)系中（圖2）描出相應(yīng)的點(diǎn)，猜想y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；
■
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)=銷售總價(jià)-成本總價(jià)）
解：（1）如圖3，由圖可猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，
■
設(shè)這個(gè)一次函數(shù)為y=kx+b（k≠0）。
這個(gè)一次函數(shù)的圖像經(jīng)過（30，500）、（40，400）這兩點(diǎn)。
由500=30k+b，400=40k+b。解得k=-10，b=8000。
函數(shù)關(guān)系式是：y=-10x+800。
（2）設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)是W元，依題意得
W=（x-20）（-10x+800）
=-10x2+1000-16000
=-10（x-50）2+9000。
當(dāng)x=50時(shí)，W有最大值9000。
所以，當(dāng)銷售單價(jià)定為50元/件時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是9000元。
三、建立模型，學(xué)以致用
例3 某專賣店專銷某種品牌的計(jì)算器，進(jìn)價(jià)12元/只，售價(jià)20元/只。為了促銷，該專賣店決定凡是買10只以上的，每多買一只，售價(jià)就降低0.10元（例如，某人買20只計(jì)算器，于是每只降價(jià)0.10×（20-10）=1元，就可以按19元/只的價(jià)格購(gòu)買），但是最低價(jià)為16元/只。
（1）求顧客一次至少買多少只，才能以最低價(jià)購(gòu)買？
（2）寫出當(dāng)一次購(gòu)買x只時(shí)（x>10），利潤(rùn)y（元）與購(gòu)買量x（只）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）有一天，一位顧客買了46只，另一位顧客買了50只，專賣店發(fā)現(xiàn)賣了50只反而比賣46只賺的錢少，為了使每次賣的多賺錢也多，在其他促銷條件不變的情況下，最低價(jià)16元/只至少要提高到多少？為什么？
略解：（1）50只。
（2）當(dāng)10
當(dāng)x>50時(shí)，y=（20-16）x=4x。
3
o
-1
3
y
x
1．：函數(shù)的圖象如圖：那么函數(shù)解析式為〔
〕
〔A〕
〔B〕
〔C〕
〔D〕
D
Y
C
X
B
O
A
2．如圖：ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，AB在X軸上，
點(diǎn)C在第一象限，AC與Y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)A的
坐標(biāo)為〔-1，0〕
（1）
求
B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）
拋物線經(jīng)過
B、C、D三點(diǎn)，求它的解析式；
3．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)〔1，0〕〔0，3〕，對(duì)稱軸x=
-1。
①
求函數(shù)解析式；
②
假設(shè)圖象與x軸交于A、B〔A在B左〕與y軸交于C,頂點(diǎn)D，求四邊形ABCD的面積。
4．：拋物線與X軸交于兩點(diǎn)A、B，與Y軸交于C點(diǎn)，假設(shè)ABC是等腰三角形，求拋物線的上解析式。
5．
知拋物線經(jīng)過P〔-2，-2〕，且與X軸交于點(diǎn)A，與Y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是方程的根，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是不等式組的整數(shù)解，求拋物線的解析式。
6．：拋物線與X軸分別交于A、B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在B的左邊〕，點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，〔1〕假設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在直線上，求拋物線的解析式；
〔2〕假設(shè)AP∶BP∶AB=1∶1∶，求拋物線的解析式。
7、二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，這個(gè)二次函數(shù)的解析式是__________。
8、求以下二次函數(shù)或拋物線解析式：
①y是x的二次函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，y=6；當(dāng)x= –1時(shí)，y=0；x=2時(shí)，y=12；
②過點(diǎn)〔0，3〕〔5，0〕〔–1，0〕；
③對(duì)稱軸為x=1，過點(diǎn)〔3，0〕，〔0，3〕；
④過點(diǎn)〔0，–5〕〔1，–8〕〔–1，0〕；
⑤頂點(diǎn)為〔–2，–4〕，過點(diǎn)〔5，2〕；
⑥與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為–3，–1，在y軸上的截距為–6；
⑦過點(diǎn)〔2，4〕，且當(dāng)x=1時(shí)，y有最值6。
9．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)〔A、B分別在原點(diǎn)左、右兩側(cè)〕，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，OA：OB：OC=1：4：4，ABC的面積為20。
1.求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
2.求拋物線的解析式；
3.假設(shè)以拋物線上一點(diǎn)P為圓心的圓恰與
直線BC相切于點(diǎn)C，求點(diǎn)P的坐標(biāo)
10．：拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A〔-1，4〕，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1/2，與X軸分別交于B〔x1，0〕，C〔x2，0〕兩點(diǎn)〔其中x1
函數(shù)是一種重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)還是一種重要的數(shù)學(xué)思想.它是貫串初中數(shù)學(xué)的一條主線.而二次函數(shù)是函數(shù)中的重點(diǎn)，也是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，因此在中考中占有重要地位.它不僅分值所占比例高，而且題型也靈活多變，既有選擇題、填空題，又有解答題，而且常與其他知識(shí)結(jié)合在一起，出現(xiàn)在壓軸題中.
而在解答函數(shù)題目的時(shí)候，我們又經(jīng)常利用圖像與系數(shù)的關(guān)系，巧用數(shù)形結(jié)合的思想來分析解決問題.
二、 圖像與系數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)的一般形式寫作y=ax+bx+c（a≠0），其中，a、b、c分別為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
二次函數(shù)的圖像是對(duì)稱軸平行于y軸的一條拋物線.它的開口方向與系數(shù)a有關(guān).當(dāng)a > 0時(shí)，拋物線開口向上；a < 0時(shí)，拋物線開口向下.且當(dāng)a越大時(shí)，拋物線的開口越大，反之越小.
系數(shù)b和a共同決定著拋物線的對(duì)稱軸（x=－）.
當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)；當(dāng)a、b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè).特別的，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸即為y軸.
當(dāng)a > 0時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)（x－時(shí)），y隨x的增大而增大.
當(dāng)a < 0時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)（x－時(shí)），y隨x的增大而減小.
系數(shù)c的正負(fù)決定著拋物線與y軸的交點(diǎn).當(dāng)c是正數(shù)時(shí)，拋物線與y軸交于正半軸；當(dāng)c是負(fù)數(shù)時(shí)，拋物線與y軸交于負(fù)半軸.當(dāng)c是0時(shí)，拋物線與y軸交于原點(diǎn).
a、b、c三個(gè)系數(shù)共同決定了拋物線的頂點(diǎn)、最值以及與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).一般形式的二次函數(shù)的圖像頂點(diǎn)可寫作(－,).當(dāng)a > 0時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)，二次函數(shù)有最小值.當(dāng)x=－時(shí)，?搖y=?搖；反之，當(dāng)a < 0時(shí)，拋物線有最高點(diǎn)，二次函數(shù)有最大值.當(dāng)x=－時(shí)， y=.
二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，即為一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的解（相同的解算作一個(gè)）.因此，我們有：當(dāng)b-4ac>0時(shí)，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b-4ac=0時(shí)，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b-4ac
三、 一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系
1. 一次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系
一次函數(shù)的一般形式是y=kx+b（k≠0）.特別的，當(dāng)b=0，即y=kx時(shí)，稱為正比例函數(shù).
一次函數(shù)的圖像是一條直線.
k的正負(fù)決定著直線的傾斜方向.當(dāng)k > 0時(shí)，直線向右上方傾斜；當(dāng)k < 0時(shí)，直線向右下方傾斜.
b的正負(fù)決定著直線與y軸的交點(diǎn).當(dāng)b>0時(shí)，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b < 0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸.當(dāng)b=0時(shí)，直線與y軸交于原點(diǎn).
k和b共同決定著直線與x軸的交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（－,0）.
2. 反比例函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系
反比例函數(shù)的一般形式是 y=（k≠0）.
當(dāng)k > 0時(shí)，反比例函數(shù)圖像在一、三像限；當(dāng)k < 0時(shí)，反比例函數(shù)圖像在二、四像限.
四、 例題
利用以上三種函數(shù)的系數(shù)與圖像的關(guān)系，我們可以來解決一些圖形問題.
例1如圖，在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax+c與一次函數(shù)y=ax+c的圖像大致是（）
分析首先考慮系數(shù)a.
當(dāng)a > 0時(shí)，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)向右上方傾斜.反之，當(dāng)a < 0時(shí)，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)向右下方傾斜.所以可以排除A、B.
其次考慮系數(shù)c.
我們知道系數(shù)c決定的是圖像與y軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)c>0時(shí)，二次函數(shù)與一次函數(shù)與y軸均相交于正半軸.反之，當(dāng)c
例2已知y=ax+bx的圖像如下圖所示，則y=ax－b的圖像一定過（）
A． 第一、二、三像限
B． 第一、二、四像限
C． 第二、三、四像限
D． 第一、三、四像限
分析由二次函數(shù)的圖像可得到如下性質(zhì)：
1. 開口向下，所以a < 0；
2. 與y軸相交于負(fù)半軸，所以c < 0；
3. 對(duì)稱軸在y軸右方，所以由“左同右異”知，b>0；
在一次函數(shù)中，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)分別為a和-b（特別要注意常數(shù)項(xiàng)的正負(fù)），所以由a0，即b
例3函數(shù)y=ax－a與y=在同一直角坐標(biāo)系中的圖像可能是（）
分析在二次函數(shù)y=ax－a中, 二次項(xiàng)系數(shù)a決定著圖像的開口方向.如果a>0，則二次函數(shù)開口向上；反之，a0時(shí)，圖像在一、三像限；當(dāng)a
綜上所述，如果a>0，則二次函數(shù)y=ax－a的圖像開口向上，與y軸相交于負(fù)半軸，反比例函數(shù)y=的圖像在一、三像限.如果a
因此，此題應(yīng)選擇A.
例4已知反比例函數(shù)y=的圖像如右圖所示，則二次函數(shù)y=2kx－x+k的圖像大致為（）
分析由反比例函數(shù)的圖像可得到：k
所以二次函數(shù)中，二次項(xiàng)系數(shù)2k
對(duì)稱軸為x=－=
例5已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如下圖所示，則下列5個(gè)代數(shù)式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b中，值大于0的個(gè)數(shù)有（）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
分析因?yàn)閽佄锞€開口向上，所以a＞0.
因?yàn)閷?duì)稱軸在y軸左側(cè)，所以a，b同號(hào).又a＞0，故b＞0.
因?yàn)閽佄锞€與y軸相交與負(fù)半軸，所以c
因此ab＞0，ac
取x=－1代入函數(shù)，則有y=a－b+c
因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以b2－4ac＞0.
因?yàn)閷?duì)稱軸x=－=－1，故有b=2a>0，所以2a+b>0.
綜上所述，選擇C
1.1.理解二次函數(shù)的意義；會(huì)用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=ax2的圖象，知道拋物線的有關(guān)概念；
2.2.通過變式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、廣闊性、深刻性；
3.3.通過二次函數(shù)的教學(xué)讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)研究函數(shù)的一般方法；加深對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識(shí)。
教學(xué)重點(diǎn)：二次函數(shù)的意義；會(huì)畫二次函數(shù)圖象。
教學(xué)難點(diǎn)：描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象，數(shù)與形相互聯(lián)系。
教學(xué)過程設(shè)計(jì)：
一.一.創(chuàng)設(shè)情景、建模引入
我們已學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)及一次函數(shù)，現(xiàn)在來看看下面幾個(gè)例子：
1.寫出圓的半徑是R（CM），它的面積S（CM2）與R的關(guān)系式
答：S=πR2.①
2.寫出用總長(zhǎng)為60M的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，矩形面積S（M2）與矩形一邊長(zhǎng)L（M）之間的關(guān)系
答：S=L（30-L）=30L-L2②
分析：①②兩個(gè)關(guān)系式中S與R、L之間是否存在函數(shù)關(guān)系？
S是否是R、L的一次函數(shù)？
由于①②兩個(gè)關(guān)系式中S不是R、L的一次函數(shù)，那么S是R、L的什么函數(shù)呢？這樣的函數(shù)大家能不能猜想一下它叫什么函數(shù)呢？
答：二次函數(shù)。
這一節(jié)課我們將研究二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)。（板書課題）
二.二.歸納抽象、形成概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，
那么，y叫做x的二次函數(shù).
注意：(1)必須a≠0,否則就不是二次函數(shù)了.而b,c兩數(shù)可以是零.(2)由于二次函數(shù)的解析式是整式的形式，所以x的取值范圍是任意實(shí)數(shù).
練習(xí)：1.舉例子：請(qǐng)同學(xué)舉一些二次函數(shù)的例子，全班同學(xué)判斷是否正確。
2.出難題：請(qǐng)同學(xué)給大家出示一個(gè)函數(shù)，請(qǐng)同學(xué)判斷是否是二次函數(shù)。
（若學(xué)生考慮不全，教師給予補(bǔ)充。如：；；；的形式。）
（通過學(xué)生觀察、歸納定義加深對(duì)概念的理解，既培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力，有培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神。并通過開放性的練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、開放性。題目用了一些人性化的詞語，也增添了課堂的趣味性。）
由前面一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道研究函數(shù)一般應(yīng)按照定義、圖象、性質(zhì)、求解析式幾個(gè)方面進(jìn)行研究。二次函數(shù)我們也會(huì)按照定義、圖象、性質(zhì)、求解析式幾個(gè)方面進(jìn)行研究。
（在這里指出學(xué)習(xí)函數(shù)的一般方法，旨在及時(shí)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)；并將此方法形成技能，以指導(dǎo)今后的學(xué)習(xí)；進(jìn)一步培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)的能力。）
三.三.嘗試模仿、鞏固提高
讓我們先從最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=ax2入手展開研究
1.1.嘗試：大家知道一次函數(shù)的圖象是一條直線，那么二次函數(shù)的圖象是什么呢？
請(qǐng)同學(xué)們畫出函數(shù)y=x2的圖象。
（學(xué)生分別畫圖，教師巡視了解情況。）
2.2.模仿鞏固：教師將了解到的各種不同圖象用實(shí)物投影向大家展示，到底哪一個(gè)對(duì)呢？下面師生共同畫出函數(shù)y=x2的圖象。
解：一、列表：
x
-3
-2
-1
1
2
3
Y=x2
9
4
1
1
4
9
二、描點(diǎn)、連線：按照表格，描出各點(diǎn).然后用光滑的曲線，按照x(點(diǎn)的橫坐標(biāo))由小到大的順序把各點(diǎn)連結(jié)起來.
對(duì)照教師畫的圖象一一分析學(xué)生所畫圖象的正誤及原因，從而得到畫二次函數(shù)圖象的幾點(diǎn)注意。
練習(xí)：畫出函數(shù);的圖象（請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)板演）
X
-3
-2
-1
1
2
3
Y=0.5X2
4.5
2
0.5
0.5
02
4.5
Y=-X2
-9
-4
-1
-1
-4
-9
畫好之后教師根據(jù)情況講評(píng)，并引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象形狀得出：二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條拋物線。
（這里，教師在學(xué)生自己探索嘗試的基礎(chǔ)上，示范畫圖象的方法和過程，希望學(xué)生學(xué)會(huì)畫圖象的方法；并及時(shí)安排練習(xí)鞏固剛剛學(xué)到的新知識(shí)，通過觀察，感悟拋物線名稱的由來。）
三.三.運(yùn)用新知、變式探究
畫出函數(shù)y=5x2圖象
學(xué)生在畫圖象的過程中遇到函數(shù)值較大的困難，不知如何是好。
x
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Y=5x2
1.25
0.8
0.45
0.2
0.05
0.05
0.2
0.45
0.8
1.25
教師出示已畫好的圖象讓學(xué)生觀察
注意：1.畫圖象應(yīng)描7個(gè)左右的點(diǎn)，描的點(diǎn)越多圖象越準(zhǔn)確。
2.自變量X的取值應(yīng)注意關(guān)于Y軸對(duì)稱。
3.對(duì)于不同的二次函數(shù)自變量X的取值應(yīng)更加靈活，例如可以取分?jǐn)?shù)。
四.四.歸納小結(jié)、延續(xù)探究
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表格及圖象，歸納y=ax2的性質(zhì)，學(xué)生們暢所欲言，各抒己見；互相改進(jìn)，互相完善。最終得到如下性質(zhì)：
一般的，二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸是Y軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，圖象的開口向上，最低點(diǎn)為(0，0)；當(dāng)a＜0時(shí)，圖象的開口向下，最高點(diǎn)為(0，0)。
五.五.回顧反思、總結(jié)收獲
在這一環(huán)節(jié)中，教師請(qǐng)同學(xué)們回顧一節(jié)課的學(xué)習(xí)暢談自己的收獲或多、或少、或幾點(diǎn)、或全面，總之是人人有所得，個(gè)個(gè)有提高。這也正是新課標(biāo)中所倡導(dǎo)的新的理念——不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。
（在整個(gè)一節(jié)課上，基本上是學(xué)生講為主，教師講為輔。一些較為困難的問題，我也鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考，積極嘗試，不怕困難，一個(gè)人完不成，講不透，第二個(gè)人、第三個(gè)人補(bǔ)充，直到完成整個(gè)例題。這樣上課氣氛非常活躍，學(xué)生之間常會(huì)因?yàn)槟硞€(gè)觀點(diǎn)的不同而爭(zhēng)論，這就給教師提出了更高的要求，一方面要控制好整節(jié)課的節(jié)奏，另一方面又要察言觀色，適時(shí)地對(duì)某些觀點(diǎn)作出判斷，或與學(xué)生一同討論。）
二次函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)
馬玉寶
教學(xué)內(nèi)容：人教版九年義務(wù)教育初中第三冊(cè)第108頁(yè)
教學(xué)目標(biāo)：
1.1.理解二次函數(shù)的意義；會(huì)用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=ax2的圖象，知道拋物線的有關(guān)概念；
2.2.通過變式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、廣闊性、深刻性；
3.3.通過二次函數(shù)的教學(xué)讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)研究函數(shù)的一般方法；加深對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識(shí)。
教學(xué)重點(diǎn)：二次函數(shù)的意義；會(huì)畫二次函數(shù)圖象。
教學(xué)難點(diǎn)：描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象，數(shù)與形相互聯(lián)系。
教學(xué)過程設(shè)計(jì)：
一.一.創(chuàng)設(shè)情景、建模引入
我們已學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)及一次函數(shù)，現(xiàn)在來看看下面幾個(gè)例子：
1.寫出圓的半徑是R（CM），它的面積S（CM2）與R的關(guān)系式
答：S=πR2.①
2.寫出用總長(zhǎng)為60M的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，矩形面積S（M2）與矩形一邊長(zhǎng)L（M）之間的關(guān)系
答：S=L（30-L）=30L-L2②
分析：①②兩個(gè)關(guān)系式中S與R、L之間是否存在函數(shù)關(guān)系？
S是否是R、L的一次函數(shù)？
由于①②兩個(gè)關(guān)系式中S不是R、L的一次函數(shù)，那么S是R、L的什么函數(shù)呢？這樣的函數(shù)大家能不能猜想一下它叫什么函數(shù)呢？
答：二次函數(shù)。
這一節(jié)課我們將研究二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)。（板書課題）
二.二.歸納抽象、形成概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，
那么，y叫做x的二次函數(shù).
注意：(1)必須a≠0,否則就不是二次函數(shù)了.而b,c兩數(shù)可以是零.(2)由于二次函數(shù)的解析式是整式的形式，所以x的取值范圍是任意實(shí)數(shù).
練習(xí)：1.舉例子：請(qǐng)同學(xué)舉一些二次函數(shù)的例子，全班同學(xué)判斷是否正確。
2.出難題：請(qǐng)同學(xué)給大家出示一個(gè)函數(shù)，請(qǐng)同學(xué)判斷是否是二次函數(shù)。
（若學(xué)生考慮不全，教師給予補(bǔ)充。如：；；；的形式。）
（通過學(xué)生觀察、歸納定義加深對(duì)概念的理解，既培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力，有培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神。并通過開放性的練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、開放性。題目用了一些人性化的詞語，也增添了課堂的趣味性。）
由前面一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道研究函數(shù)一般應(yīng)按照定義、圖象、性質(zhì)、求解析式幾個(gè)方面進(jìn)行研究。二次函數(shù)我們也會(huì)按照定義、圖象、性質(zhì)、求解析式幾個(gè)方面進(jìn)行研究。
（在這里指出學(xué)習(xí)函數(shù)的一般方法，旨在及時(shí)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)；并將此方法形成技能，以指導(dǎo)今后的學(xué)習(xí)；進(jìn)一步培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)的能力。）
三.三.嘗試模仿、鞏固提高
讓我們先從最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=ax2入手展開研究
1.1.嘗試：大家知道一次函數(shù)的圖象是一條直線，那么二次函數(shù)的圖象是什么呢？
請(qǐng)同學(xué)們畫出函數(shù)y=x2的圖象。
（學(xué)生分別畫圖，教師巡視了解情況。）
2.2.模仿鞏固：教師將了解到的各種不同圖象用實(shí)物投影向大家展示，到底哪一個(gè)對(duì)呢？下面師生共同畫出函數(shù)y=x2的圖象。
解：一、列表：
x
-3
-2
-1
1
2
3
Y=x2
9
4
1
1
4
9
二、描點(diǎn)、連線：按照表格，描出各點(diǎn).然后用光滑的曲線，按照x(點(diǎn)的橫坐標(biāo))由小到大的順序把各點(diǎn)連結(jié)起來.
對(duì)照教師畫的圖象一一分析學(xué)生所畫圖象的正誤及原因，從而得到畫二次函數(shù)圖象的幾點(diǎn)注意。
練習(xí)：畫出函數(shù);的圖象（請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)板演）
X
-3
-2
-1
1
2
3
Y=0.5X2
4.5
2
0.5
0.5
02
4.5
Y=-X2
-9
-4
-1
-1
-4
-9
畫好之后教師根據(jù)情況講評(píng)，并引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象形狀得出：二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條拋物線。
（這里，教師在學(xué)生自己探索嘗試的基礎(chǔ)上，示范畫圖象的方法和過程，希望學(xué)生學(xué)會(huì)畫圖象的方法；并及時(shí)安排練習(xí)鞏固剛剛學(xué)到的新知識(shí)，通過觀察，感悟拋物線名稱的由來。）
三.三.運(yùn)用新知、變式探究
畫出函數(shù)y=5x2圖象
學(xué)生在畫圖象的過程中遇到函數(shù)值較大的困難，不知如何是好。
x
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Y=5x2
1.25
0.8
0.45
0.2
0.05
0.05
0.2
0.45
0.8
1.25
教師出示已畫好的圖象讓學(xué)生觀察
注意：1.畫圖象應(yīng)描7個(gè)左右的點(diǎn)，描的點(diǎn)越多圖象越準(zhǔn)確。
2.自變量X的取值應(yīng)注意關(guān)于Y軸對(duì)稱。
3.對(duì)于不同的二次函數(shù)自變量X的取值應(yīng)更加靈活，例如可以取分?jǐn)?shù)。
四.四.歸納小結(jié)、延續(xù)探究
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表格及圖象，歸納y=ax2的性質(zhì)，學(xué)生們暢所欲言，各抒己見；互相改進(jìn)，互相完善。最終得到如下性質(zhì)：
一般的，二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸是Y軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，圖象的開口向上，最低點(diǎn)為(0，0)；當(dāng)a＜0時(shí)，圖象的開口向下，最高點(diǎn)為(0，0)。
五.五.回顧反思、總結(jié)收獲
一、掌握映射的角度來理解函數(shù)的概念
二次函數(shù)，顧名思義即指未知數(shù)的最高次冪為二次的多項(xiàng)式函數(shù)，我們通常表達(dá)為：y=ax2+bx+c(a≠0)。我們可以用集合的概念來描述二次函數(shù)：由集合定義域A到集合值域B上的映射，書寫為f：AB，也就是讓集合B中的每位元素y=ax2+bx+c(a≠0)一一對(duì)應(yīng)集合A中的元素X，記作：f(x)= ax2+bx+c(a≠0)，該式中的ax2+bx+c為對(duì)應(yīng)法則，亦即定義域中的X在值域y中的象。高一數(shù)學(xué)課上我們通過這樣闡述來銜接初高中函數(shù)知識(shí)，很容易引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念產(chǎn)生新的理解和認(rèn)識(shí)，為接下來繼續(xù)以二次函數(shù)為例引導(dǎo)學(xué)生從以下問題展開探究奠定基礎(chǔ)：
1.已知f(x)= 2x2+3x+4，求f(x+1)
由以上概念學(xué)習(xí)我們可以這樣理解：f(x+1)即是自變量為x+1的函數(shù)值。所以有：f(x+1)=2（x+1）2+3（x+1）+4
2.進(jìn)一步探索，反過來研究：設(shè)若f(x+1)=x2－2x+3,怎樣求f(x)
這個(gè)問題實(shí)際是探討對(duì)應(yīng)法則，我們可以用可逆思維理解在某對(duì)應(yīng)法則f下，定義域范圍內(nèi)元素x+1的象為x2－4x+1。于是我們可以悟出兩種解答方式：①把反應(yīng)對(duì)應(yīng)關(guān)系的表達(dá)式配成x+1的多項(xiàng)式，然后對(duì)號(hào)入座。f (x+1)=x2－2x+3=(x+1)2－4(x+1)+6，將x替換x+1得出f(x)=x2－4x+6。②設(shè)置代換：設(shè)x+1=a，那么x=a-1 所以，f(a-1)=(a-1)2－2(a-1)+3=a2－4a+6 因此，f(x)= x2－4x+6
二、用直觀的圖像來研究和表達(dá)函數(shù)性質(zhì)
1、函數(shù)的單調(diào)性
探討函數(shù)單調(diào)性時(shí)我們必須要求學(xué)生參照定義對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的單調(diào)性結(jié)論展開嚴(yán)格論證，當(dāng)然我們還可以借助比較直觀的函數(shù)圖象關(guān)系，將抽象理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的形象認(rèn)識(shí)，再輔助科學(xué)的練習(xí)，大家就不難掌握?qǐng)D解二次函數(shù)單調(diào)性的技巧。
比如，我們可以舉出比較典型或特殊的函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生自主探索并嘗試畫出其圖象，然后通過圖象進(jìn)一步說明函數(shù)的單調(diào)性，諸如：
①y=x2-2|x－1|+4；②y=|x2－1|；③y= x2+4|x|－7
當(dāng)然，以上特殊的舉例與我們常見的二次函數(shù)存在一定的差異和聯(lián)系，但是它們能更多的反應(yīng)各種典型的函數(shù)單調(diào)性，有助于同學(xué)們從實(shí)際探索中摸索出采用分段函數(shù)來表達(dá)和描述帶有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)的方法和技能，最終分別畫出其圖象，分析其性質(zhì)。
2、函數(shù)的最值
同學(xué)們?cè)诔踔须A段就已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)在自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況：如果a>0時(shí)，函數(shù)滿足 時(shí)有最小值 ，沒有最大值；反過來a
我們可以通過圖像來形象地研究二次函數(shù)的最值問題。一元二次函數(shù)的最值問題主要是對(duì)函數(shù)圖像對(duì)稱軸與所在區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系的分析，一般存在對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況。我們可以通過以下例題來體會(huì)：
如果f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，求f（x）在x∈[m,n]上的最值
分析：我們可以將f（x）配方，得出其對(duì)稱軸方程
①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上
若 則在曲線頂點(diǎn)取得最小值，在離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)端點(diǎn)取得最大值
若 則在虛擬定點(diǎn)最近的點(diǎn)取得最小值，在離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)端點(diǎn)取得最大值
總之，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在[m,n]上有單調(diào)性，因此在距對(duì)稱軸 最遠(yuǎn)端取最大值，最近處得最小值。
②反之當(dāng)a
①當(dāng)a>0時(shí)
②當(dāng)a
一般來說二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合上只有最大或最小值，但如果定義域發(fā)生改變時(shí)，最值也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，有些情況比較繁瑣難于理解，我們可以讓大家多作圖，多觀察，多練習(xí)，來進(jìn)行掌握。
概括地說，函數(shù)的值域即是其所有函數(shù)值的集合，在定義域范圍內(nèi)，在固定的對(duì)應(yīng)法則下，函數(shù)值也被確定在某個(gè)固定集合。鑒于此，我們?cè)谔幚砗瘮?shù)最值問題時(shí)，必須詳細(xì)分析函數(shù)的定義域。我們?cè)偻ㄟ^以下案例來體驗(yàn)這個(gè)數(shù)學(xué)過程：
例如：求函數(shù)y=4x-5+ 的值域。
該題如果依照常規(guī)解法：可以設(shè)t= ，則2x=t2+3
y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=
這樣算出函數(shù)值域?yàn)?．
但是這樣得出結(jié)論卻是錯(cuò)誤的，因?yàn)椋哼@里包含了一個(gè)隱含條件：t≥0，而二次函數(shù)y=2t2+t+1在[0,+∞)上是單調(diào)遞增的，所以當(dāng)t=0時(shí)，y有最小值1。所以該函數(shù)正確的值域應(yīng)該是是[1, +∞）．
〔中圖分類號(hào)〕 G633.62 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A
〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2013）02—0089—01
我們知道，二次函數(shù)是一個(gè)極為重要的初等函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，許多問題都可以借助于二次函數(shù)來解決.
根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知它有這樣的性質(zhì)：對(duì)于二次函數(shù)f（x）= ax2＋bx＋c （ a>0），（Ⅰ）若f（x）≥0，則Δ=b2－4ac≤0；（Ⅱ）若Δ=b2－4ac≤0，則f（x）≥0；（Ⅲ）若二次函數(shù)f（x）= ax2＋bx＋c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則Δ=b2－4ac>0.
下面應(yīng)用上述性質(zhì)來證明一些不等式.
一、用性質(zhì)（Ⅰ）來證明不等式，就是設(shè)法構(gòu)造一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)，并使得f（x）≥0，從而由Δ≤0推出所需證的不等式
例1：（柯西不等式）設(shè)a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn為任意實(shí)數(shù)，求證（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2），當(dāng)且僅當(dāng)==…=時(shí)，等號(hào)成立.
證明：作關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=（a12+a22+…+an2）x2-2（a1b1+a2b2+…anbn）x+（b12+b22+…+bn2）.
（1） 若a12+a22+…+an2=0，則a1=a2=…=an=0 ，顯然不等式成立；
（2） 若a12+a22+…+an2≠0，則有f（x）=（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2≥0且a12+a22+…+an2>0. 所以Δ=b2－4ac=4（a1b1+a2b2+…anbn）2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，所以（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）.
當(dāng)且僅當(dāng)==…=時(shí)，等號(hào)成立.
二、應(yīng)用性質(zhì)（Ⅱ）來證明不等式，就是把要證明的不等式表示成關(guān)于某一字母的二次三項(xiàng)式（使二次項(xiàng)系數(shù)大于零），再推證其Δ≤0，由此判定所要證的不等式成立
例2：設(shè)x、y、z∈R，求證：x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.
證明： 設(shè)f（x）=x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z） =x2+（3y－z）x＋（3y2－3yz＋z2），于是f（x）可看作是關(guān)于x的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)大于零.則有Δ=（3y－z）2－4（3y2－3yz＋z2）=－3（y－z）2≤0，f（x）≥0，x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.
例3：求證：a2＋b2＋5≥2（2a－b）.
證明：設(shè)f（a）= a2＋b2＋5－2（2a－b）=a2－4a＋b2＋2b＋5，于是f（a）可看作是關(guān)于a的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)大于零，則Δ=（－4）2－4（b2＋2b＋5）=－4（b＋1）2≤0，f（a）≥0，a2＋b2＋5≥2（2a－b）.
例4：設(shè)x、y、z∈R，且＋＋＝，求證x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.
證明： 設(shè)f（x）=x2+y2+z2-2（xycos+yzcos+zxcos） =x2-2（ycos+zcos）x+（y2+z2-2yzcos），于是f（x）可看作是關(guān)于x的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)大于零.則Δ=4（ycos+zcos）2-4（y2+z2-2yzcos）=-4[y2（1-cos2）+z2（1-cos2）-2yzcoscos+2yzcos（+）] =
-4（y2sin2+z2sin2-2yzsinsin）=-4（ysin-zsin）2≤0，f（x）≥0， x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.
三、應(yīng)用性質(zhì)（Ⅲ）來證明不等式，就是構(gòu)造一元二次函數(shù)，再推證其一元二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，由Δ=b2－4ac>0判定所要證的不等式成立
關(guān)鍵詞 二次函數(shù) 初中數(shù)學(xué) 教學(xué)
二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，在中考中也占據(jù)著非常重要的地位，同時(shí)，二次函數(shù)與高中階段的二次三項(xiàng)式、 一元二次方程 、一元二次不等式有著密切的聯(lián)系， 所以初中階段學(xué)好二次函數(shù)對(duì)高中的學(xué)習(xí)以及各種其他學(xué)科的學(xué)習(xí)都有著極其重要的作用。為此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須認(rèn)真搞好二次函數(shù)教學(xué)，為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
一、理清概念，區(qū)分方程與函數(shù)的關(guān)系
要想弄懂二次函數(shù)，學(xué)好二次函數(shù)，首先，必須厘清二次函數(shù)的概念，并在厘清概念的基礎(chǔ)上，區(qū)分方程和函數(shù)的關(guān)系。為了幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的概念，數(shù)學(xué)教師可以巧妙引入生活當(dāng)中的問題。例如：圓桌桌面的半徑為 R，其面積為 s ，請(qǐng)寫出圓桌桌面面積的表達(dá)式。其實(shí)這個(gè)式子學(xué)生們并不陌生，他順手就可以寫出來 ：S=iR2 。在這個(gè)式子的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)教師就可以引發(fā)開來，引入二次函數(shù)的關(guān)系式Y(jié)=ax2+ bx + c（ c≠0），并概括之處，說明上面的式子就是二次函數(shù)。這樣就將二次函數(shù)的概念和生活緊密相連，使原本非常神秘的二次函數(shù)不再神秘，同時(shí)也引發(fā)了學(xué)生學(xué)次函數(shù)的興趣。在學(xué)生完整掌握概念的基礎(chǔ)上 ，數(shù)學(xué)教師還要將二次函數(shù)的定義域做出明確的界定 ，讓學(xué)生充分明白x 和 Y之間的關(guān)系.同時(shí)，還要讓學(xué)生明白這樣一個(gè)等式不僅僅是一個(gè)方程式，是兩個(gè)未知數(shù)的一種變化關(guān)系， 即用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)， 前面的未知數(shù)叫做自變量，后面的未知數(shù)就是前者的函數(shù)， 兩者之間是一種函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生做到由方程式向函數(shù)概念的轉(zhuǎn)變。
二、結(jié)合圖像，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力
數(shù)形結(jié)合是一種十分重要的數(shù)學(xué)思想，也是函數(shù)的本質(zhì)特點(diǎn)在教學(xué)中，充分運(yùn)用圖象，在學(xué)和教的過程中始終把對(duì)圖象的觀察和理解放在重要的位置，就等于掌握了進(jìn)入函數(shù)之門的鑰匙。
二次函數(shù)圖象也是學(xué)次函數(shù)的重點(diǎn)、難點(diǎn)之一，在學(xué)習(xí)的過程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)函數(shù)圖象的作用，通過引導(dǎo)學(xué)生繪制二次函數(shù)圖像，加深二次函數(shù)圖象和二次函數(shù)之間關(guān)系的理解，這樣不但能夠幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的概念，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。在教學(xué)中，我嘗試?yán)靡恍﹫D像的直觀性，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力。以下面的例題為例：
例當(dāng)-3≤x≤3時(shí)，求函數(shù) y= x2-2x-8 的最大值和最小值。
分析：解這道題時(shí)，我就先指導(dǎo)學(xué)生畫出函數(shù)圖像，當(dāng)然要根據(jù)給定的范圍和對(duì)稱軸作圖，然后引導(dǎo)學(xué)生去觀察圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得出函數(shù)的最大值和最小值以及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)的 x 的值。
數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生建立清晰的二次函數(shù)坐標(biāo)影像，在遇到任何二次函數(shù)時(shí)，都能夠在頭腦中建立二次函數(shù)圖像，并且能夠準(zhǔn)確描述二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向以及對(duì)稱軸 等內(nèi)容，只有這樣，學(xué)生才能夠真正做到掌握二次函數(shù)的本質(zhì)特征，從而緊緊抓住二次函數(shù)的主要特征，變換各種角度對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行仔細(xì)的觀察，找到解決問題的切人點(diǎn)，從而輕松解決問題。
三、運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)，鍛煉學(xué)生判斷推理能力
心理學(xué)及生理學(xué)的研究表明，初中階段是人的邏輯思維能力發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，由于數(shù)學(xué)的函數(shù)思想又是邏輯思維方式中較常用的思維方式，因而在初中數(shù)學(xué)中函數(shù)教學(xué)對(duì)學(xué)生的邏輯思維發(fā)展有重要的作用。但是，因?yàn)楹瘮?shù)是比較抽象的知識(shí)，教學(xué)中僅僅靠教師的口頭講解和板書，不僅讓學(xué)生沒有直觀的感受，久而久之還會(huì)使得學(xué)生產(chǎn)生厭惡的情緒。而現(xiàn)代技術(shù)手段的利用就恰當(dāng)?shù)亟鉀Q了這一 難題，不但可以讓學(xué)生通過直觀的圖像理解概念，引發(fā)學(xué)生學(xué)次函數(shù)的興趣，同時(shí)還可以有效增加整個(gè)課堂的知識(shí)容量，從而不斷提高學(xué)生的推斷能力。例如：數(shù)學(xué)教師可以通過現(xiàn)代技術(shù)手段展 示y=x2，y=x2、y=x2+a等二次函數(shù)圖像變化的情況，然后組織學(xué) 生總結(jié)其中圖像變化的特點(diǎn)，總結(jié)變化的規(guī)律。然后在此基礎(chǔ)上加 以引申，讓學(xué)生描述出其他二次函數(shù)圖像變化的特點(diǎn)，或者讓學(xué)生自己繪制不同的二次函數(shù)圖像。通過現(xiàn)代技術(shù)手段以及學(xué)生自己動(dòng)手繪制不同二次函數(shù)圖象，可以幫助學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)并掌握二次函數(shù)圖像變化的規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展，從而不斷培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。
四、激發(fā)學(xué)生興趣，提高學(xué)習(xí)效率
厭學(xué)是長(zhǎng)期困擾教育界的一個(gè)問題，也是目前中學(xué)生普遍存在的現(xiàn)象，尤其是在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中尤為突出，這給數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)帶來了巨大的困難，正所謂興趣事最好的老師，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是提高學(xué)習(xí)效率的有效方法 在初中函數(shù)教學(xué)中，教師可采用多媒體教學(xué)手段結(jié)合分層教學(xué)方法來對(duì)函數(shù)中基本概念進(jìn)行理解和學(xué)習(xí)； 采用理論結(jié)合實(shí)際的方法，在備課過程中將數(shù)學(xué)問題變?yōu)閷?shí)際生活中的問題，將函數(shù)與具體情境相結(jié)合等辦法對(duì)一些較難理解的解題方法加以闡述； 同時(shí)在課后適當(dāng)?shù)母鶕?jù)作業(yè)難度，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中進(jìn)行學(xué)習(xí)以此來提高學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解和鞏固，提高學(xué)習(xí)效率。
五、小結(jié)
步驟：把二次項(xiàng)系數(shù)提出來；在括號(hào)內(nèi)，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，來同時(shí)減去，以保證值不變。這時(shí)就能找到完全平方了。然后自再把二次項(xiàng)系數(shù)乘進(jìn)來即可。
二次函數(shù)（quadraticfunction）的基本表示形式為y=ax2+bx+c（a≠0）。二次函數(shù)最高次必須為二次，二次函數(shù)的圖像是一條對(duì)稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。
（來源：文章屋網(wǎng) ）
關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；區(qū)間二次函數(shù)；值域；值域求法
所謂的區(qū)間二次函數(shù)就是其函數(shù)表達(dá)式是某個(gè)二次函數(shù)，但其定義域不再是一般二次函數(shù)定義域R，而只是其一個(gè)子區(qū)間，其根據(jù)定義域區(qū)間的類型可分為“單界型”和“雙界型”.
一、雙界型區(qū)間二次函數(shù)及值域求法
1.概念
定義域區(qū)間既有上界又有下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，稱為雙界型區(qū)間二次函數(shù).
2.值域的求法
例1.求函數(shù)y=x2-4x+1，x∈[0，5]的值域.
解法1.對(duì)稱軸為x=-■=2∈[0，5]，且有當(dāng)x=2時(shí)，y=-3；當(dāng)x=0時(shí)，y=1；當(dāng)x=5時(shí)，y=6；
ymin=-3，ymax=6.
原函數(shù)的值域?yàn)閇-3，6].
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)對(duì)稱軸在定義區(qū)間上時(shí)，函數(shù)有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即頂點(diǎn)和兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)，這三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的函數(shù)值中最大者一定是函數(shù)的最大值，最小者一定是函數(shù)的最小值，因此，可以利用已知函數(shù)的解析式直接求出三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的函數(shù)值，然后比較大小，求出兩個(gè)極值（最大值和最小值），進(jìn)而確定值域，此種方法可稱為比較大小法，是求雙界型區(qū)間二次函數(shù)值域的有效通法。
解法2.對(duì)稱軸為x=-■=2∈[0，5]，
原函數(shù)在[0，5]上的值域和在[2，5]上的值域是相同的.
又a=1>0，
y在[2，5]上為單調(diào)遞增函數(shù).
當(dāng)x=2時(shí)，ymin=-3；當(dāng)x=5時(shí)，ymax=6.
原函數(shù)的值域?yàn)閇-3，6].
點(diǎn)評(píng)：一般來說，若二次函數(shù)的對(duì)稱軸x0∈[a，b]，此時(shí)函數(shù)在定義區(qū)間不是單調(diào)函數(shù)，但其值域等價(jià)于在單調(diào)區(qū)間[x0，c]（其中c為a、b中的較大者）上的值域，于是可利用函數(shù)的單調(diào)性來求解問題，這種辦法不妨稱之為“單調(diào)性法”，也是求雙界型區(qū)間二次函數(shù)值域的一種有效方法.
解法3：對(duì)稱軸為x=-■=2，
5-2>2-0>2-2.
當(dāng)x=2時(shí)，ymin=-3；當(dāng)x=5時(shí)，ymax=6.
原函數(shù)的值域?yàn)閇-3，6].
點(diǎn)評(píng)：一般的，對(duì)于二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）而言，有當(dāng)a>0時(shí)，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大；當(dāng)a
例2.求函數(shù)y=-t2+4t+2的值域，其中t∈[-1，1].
解法1.對(duì)稱軸t=-■=2■[-1，1]，且a=-1
y在[-1，1]上單調(diào)遞增.
當(dāng)t=-1時(shí)，ymin=-3；當(dāng)t=1時(shí)，ymax=5.
原函數(shù)的值域?yàn)閇-3，5].
點(diǎn)評(píng)：這里用了“單調(diào)性法”，但是直接使用而不需要先等價(jià)轉(zhuǎn)化.
解法2.對(duì)稱軸t=-■=2■[-1，1]，且當(dāng)t=-1時(shí)，y=-3；當(dāng)t=1時(shí)，y=5.
ymin=-3，ymax=5.
原函數(shù)的值域?yàn)閇-3，5].
點(diǎn)評(píng)：這里用了“比較大小法”，但無需頂點(diǎn)參與.
解法3.對(duì)稱軸t=-■=2■[-1，1]，且-1-2>1-2，
當(dāng)t=-1時(shí)，ymin=-3；當(dāng)t=1時(shí)，ymax=5.
原函數(shù)的值域?yàn)閇-3，5].
點(diǎn)評(píng)：這里用了“對(duì)稱距法”，但無需頂點(diǎn)參與.
小結(jié)：
（1）雙界型區(qū)間二次函數(shù)的值域問題可分為兩種類型：一種是對(duì)稱軸屬于定義區(qū)間，另一種是對(duì)稱軸不屬于定義區(qū)間.
（2）雙界型區(qū)間二次函數(shù)值域的求解有三種通法，分別是“單調(diào)性法”“對(duì)稱距法”“比較大小法”.但不管哪一種方法都是從求對(duì)稱軸和判斷對(duì)稱軸與定義區(qū)間的關(guān)系入手，以便確定頂點(diǎn)是否參與比較.
（3）雙界型區(qū)間二次函數(shù)的值域也一定是雙界型區(qū)間.
二、單界型區(qū)間二次函數(shù)及值域求法
1.概念
定義域區(qū)間只有上界或下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，稱為單界型區(qū)間二次函數(shù).
2.值域的求法
例3.求函數(shù)y=x2-2x-3，x∈（-∞，-1]的值域.
解：對(duì)稱軸x=-■=1■（-∞，-1]，且a=1>0，
y在（-∞，-1]上為單調(diào)遞減函數(shù).
y≥（-1）2-2?（-1）-3=0.
函數(shù)值域?yàn)閇0，+∞）.
點(diǎn)評(píng)：一般來說，若二次函數(shù)對(duì)稱軸x0■[a，+∞）（或（-∞，a]）時(shí)，此時(shí)函數(shù)在定義區(qū)間是單調(diào)函數(shù)，于是可直接用“單調(diào)性法”來求解問題.
例4.求函數(shù)y=3+2x-x2，x∈（-∞，3]的值域.
解：對(duì)稱軸=-■=1∈（-1，3]，
原函數(shù)在（-∞，3]上的值域和在（-∞，1]上的值域是相同的.
a=-1
y在（-∞，1]上為單調(diào)遞增函數(shù).
y≤3+2?1-12=4.
函數(shù)值域?yàn)椋?∞，4].
點(diǎn)評(píng)：一般來說，若二次函數(shù)對(duì)稱軸x0∈[a，+∞）（或（-∞，a]）時(shí)，此時(shí)函數(shù)在定義區(qū)間不是單調(diào)函數(shù)，但其值域等價(jià)于在單調(diào)區(qū)間[x0，+∞）（或（-∞，x0]）上的值域，于是可用“單調(diào)性法”來求解問題.
小結(jié)：
（1）單界型區(qū)間二次函數(shù)值域問題可分為兩種類型：一種是對(duì)稱軸屬于定義區(qū)間，另一種是對(duì)稱軸不屬于定義區(qū)間.
（2）單界型區(qū)間二次函數(shù)值域的求法，只有“單調(diào)性法”，同樣必須從求對(duì)稱軸和判斷對(duì)稱軸與定義區(qū)間的關(guān)系入手，以便確定是直接使用單調(diào)性求解，還是等價(jià)轉(zhuǎn)化后再利用單調(diào)性求解.
