時(shí)間：2023-05-30 09:37:20
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇棱臺體積，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
高中幾何定理:如果棱錐被平行于底面的平面所截,那么,截面和底面相似,并且它們面積的比等于截得的棱錐的高的平方比。即:截面面積為S1,底面面積為S2,相應(yīng)的高為PO1,PO2,那么S1:S2=PO21:PO22。
推廣之一(面積問題):
如圖,若棱錐被n-1平行于底面的平面所截,截面面積分別為S1,S2,……Sn-1,底面面積為Sn,高POn被n-1個(gè)截面順次截成PO2=h1,O1O2=h2,……On-1On=hn。那么
h1:h2:……:hn=:(-):……:(--1)。
證明:由S2:S1=PO22:PO12
PO2:PO1=:
(PO2-PO1):PO1=(-):
O1O2:PO1=(:):,
即:h2:h1=(:):……①
同樣:由PO3:PO2=:(PO3-PO2):PO2=(:):h3:(h1+h2)=(:):,而
由①有h1=代入上式,整理可得:h2:h3=
(:):(:),于是有h1:h2:……:hn=:(:):……:(:)
應(yīng)用:例1.把一個(gè)棱錐用平行于底面的平面截成棱臺,使棱臺上下底面面積的比為1:2,求截面的位置。
解:設(shè)此棱錐的高為,截面分高順次為PO1=h1,O1O2=h2,棱臺上下底面面積為S,2S。那么由推廣之一有h1:h2=:(-)=1:-1即截面分高為1:(-1)。
應(yīng)用:例2.棱錐被平行于底面的n-1個(gè)平面所截,若頂點(diǎn)P到第k個(gè)截面的距離為a,第k個(gè)截面與第k+1個(gè)截面的面積分別為Sk,Sk+1,求這兩個(gè)截面之間的距離(k+1≤n)。
解:設(shè)第k個(gè)截面與第k+1個(gè)截面的距離為x,那么
a:x=:(-)。即x=.
推廣之二(體積問題):
若棱錐被平行于底面的n-1個(gè)平面所截,高h(yuǎn)被n-1個(gè)截面截成PO1=h1,O1O2=h1,O1O2=h2,……On-1O1=hn棱錐被n-1個(gè)平行截面所截順次得到的n個(gè)棱錐的體積分別為V1,V2,……Vn。那么h1:h2:……:hn= :(- ):……:(- )。(證明仿推廣之一,圖與推廣之一同,證明略)。
應(yīng)用:例3.高為的三棱錐P-ABC被平行于底面的兩個(gè)平面A1B1C1,A2B2C2所截,順次得到三個(gè)三棱錐P- A1B1C1,P-A2B2C2,P-ABC,且它們的體積之比為1:2:3,求中間那個(gè)棱臺的高。
解:設(shè)第一個(gè)棱錐P-A1B1C1的高為h1,棱臺A1B1C1, -A2B2C2的高為h2,棱臺A2B2C2-ABC的高為h3,那么h1:h2:h3=:(-):(-),令==
=k,h1=k,h2=k(-1),h3=k(-),
而h1+h2+h3=k+k(-1)+k(-)=h.則k=
,中間那個(gè)棱臺的高h(yuǎn)2=h.
推廣之三(體積問題):
若n-1個(gè)平行于底面的平面截高為h的棱錐,順次截得的n個(gè)棱錐的高為h1,h2,……h(huán)n,棱錐被n-1個(gè)截面截成的第一個(gè)棱錐和順次的n-1個(gè)棱臺的體積為V1,V2,……V3,那么V1:V2:……:Vn=h13:(hn3-hn-13)(證明略)
應(yīng)用:例4.一棱錐的體積是V,把棱錐的高三等分,過兩個(gè)分點(diǎn)的兩個(gè)平行于底面的截面將這個(gè)棱錐分成三部分,求中間那部分的體積。
解:設(shè)第一個(gè)棱錐和順次的兩個(gè)棱臺的體積分別為V1,V2,V3,
那么V1:V2:V3:=13:(23-13):(33-23)=1:7:19,
令===k,V1=k,V2=7k,V3=19k,
而V1+V2+V3=27k=V則k=,中間那部分的體積V2=
7×==V .
例句：
1、鳥兒飛過，翅膀撲棱的聲音里滿透著年代的久遠(yuǎn)；
2、模棱兩可和含糊不清已不再為人所接受；
3、腮幫子努著，胳膊四棱子起金線，渾身閃著麥色；
4、采用分割積分法計(jì)算棱臺體積，建立了空間有效視野模型；
5、一道黑影閃過，冰棱風(fēng)刃在半空中冰消瓦解；
6、該方法可以有效地提高棱邊散射體的計(jì)算精度；
7、故人隱山麓，燕坐銷牀稜；
8、公以棱威外討，發(fā)憤于內(nèi)，忘身殉義，親當(dāng)矢石；
9、你把那錢都浪費(fèi)在做那棱錐形東西的生意上了；
關(guān)鍵詞 激發(fā)興趣 培養(yǎng)觀察能力
中圖分類號：G635 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）21-0082-02
發(fā)現(xiàn)往往是從觀察開始的。數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)就是傳授知識與培養(yǎng)能力，觀察能力是一切能力的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)教學(xué)中的觀察能力就是對數(shù)形和數(shù)量關(guān)系以及邏輯過程的觀察。例如：從一個(gè)復(fù)雜圖形中找出某一個(gè)特殊圖形；從一個(gè)代數(shù)式或從一個(gè)方程組中發(fā)現(xiàn)有關(guān)的系數(shù)指數(shù)之間有什么特定的關(guān)系；從某一推理過程或從某些數(shù)學(xué)內(nèi)容之間發(fā)現(xiàn)一定的邏輯關(guān)系，所有這些，都要求在數(shù)學(xué)教學(xué)中注意提高學(xué)主的觀察能力。
一、結(jié)合感知階段，激發(fā)觀察的興趣和熱情
學(xué)生在感知過程中，教師要善于引導(dǎo)他們正確地運(yùn)用科學(xué)的方法認(rèn)識事物，感知知識，使他們能在復(fù)雜的事實(shí)中，發(fā)現(xiàn)事物的細(xì)微變化及本質(zhì)特征，在充分感知的基礎(chǔ)上上升為理性認(rèn)識。而作為感知的最基礎(chǔ)的步驟，則是通過對數(shù)、形、量的觀察入手，再通過分析推理而得出結(jié)論。例如在學(xué)習(xí)冪函數(shù)時(shí)，學(xué)生認(rèn)為y=xa（a>0）的圖象簡單，都是通過（0，0）（1，1）兩點(diǎn)的拋物線，得出諸如：y=x2，y=x3，y=x4等函數(shù)的圖象也大致相同的印象，這時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察教科書的圖形，使他們發(fā)現(xiàn)，有的呈凹狀上升，有的卻是呈凸?fàn)钌仙⑶疑仙乃俣纫膊灰粯樱趯W(xué)生獲得如此惑性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，適當(dāng)?shù)匕褑栴}的重點(diǎn)亮出來，發(fā)動大家分析，最后歸納出一般結(jié)論，當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)都是凹狀上升，當(dāng)01的函數(shù)值較01時(shí)，a>1的函數(shù)值較0
有些學(xué)生，草率急躁，觀察時(shí)缺乏持久性；有的觀察時(shí)，只憑興趣，抓不住重點(diǎn)；有的只抓住某一個(gè)問題，觀察不全面……只要克服這些不足，才能在認(rèn)識上深化。因此，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生在觀察時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)，必須圍繞著一定中心來攝取現(xiàn)象，并伴隨著思考，即做到觀察中有思考，思考中有觀察，以激發(fā)學(xué)生觀察思考并解決問題的情趣。如對柱、錐、臺體，如果我們“靜止”地觀看，它們各不相同，各有各的定義、各有各的計(jì)算公式，本質(zhì)上有差異，然而從“運(yùn)動”、“變化”的觀點(diǎn)觀察看，則它們互有聯(lián)系，象棱臺的體積公式V=h（S1+S2+）中的上底S1S2時(shí)，一方面仍不失去棱臺，另一方面，則與棱柱的定義相等，又可視為棱柱，故可用棱臺的體積公式，導(dǎo)出棱柱的體積公式：V棱柱= V棱臺=h（S1+S2）+=S2h
同理：V棱柱=V棱臺=h（0+S2）+=S2h
同樣，它們的側(cè)面面積公式也可以從“運(yùn)動變化”的角度去處理。當(dāng)學(xué)生基本懂得了以上的思想方法，可讓其自行觀察，并提示出球帶、球冠與球的面積，球缺與球體積等公式的聯(lián)系。
二、結(jié)合解數(shù)學(xué)題，授予觀察的方法和技巧，培養(yǎng)觀察品質(zhì)
觀察是探索解題思路的有力工具，是解題過程中一種重要的思維活動。在解題時(shí)有意識地對題目的數(shù)與形的特點(diǎn)進(jìn)行一番直覺上的認(rèn)識，常常會使受阻的思路茅塞頓開，可是，若僅要求學(xué)生觀察而還逐步授予觀察的方法與技巧且不斷加以訓(xùn)練強(qiáng)化，則觀察能力的提高是難以實(shí)現(xiàn)的。解題時(shí)，可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行觀察方法與技巧的訓(xùn)練。
1.時(shí)要注意條件之間的共性。善于抓住事物的特征是認(rèn)識事物本質(zhì)的關(guān)鍵。有些數(shù)學(xué)題目具有本身的結(jié)構(gòu)特征或數(shù)形的特征，解題思路往往就蘊(yùn)含在特征之中，因此，揭示特征探索霹題思路的過程即培養(yǎng)觀察精確性的過程。比如，“已知a-1-a-2=-1，b4+b2=-1，且1-ab2=0，求的值”，觀察“已知”，是否一定要求出a和b呢？如果引導(dǎo)學(xué)生對已知的兩式進(jìn)行對比就可窺見其本質(zhì)。因?yàn)椋╝-1）2+a-1+1=0，（b2）2+b2+1=0，（a-1 =b2），所以，a-1和b2是方程x2+x+1=0的兩個(gè)相異根，故=b2+a-1=-1。
2.在觀察時(shí)注意找出某些數(shù)學(xué)特征和隱含的條件。隱含條件是指若明若暗、儲蓄不露的已知條件，要教育學(xué)生在觀察時(shí)開動腦筋，抓住各種事物的特點(diǎn)，不僅要觀察那些明顯的，也要發(fā)掘那些隱蔽的。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘隱含的條件，掌握數(shù)值之間的關(guān)系，也就是培養(yǎng)學(xué)生觀察深刻的過程。比如，“化簡三角函數(shù)cos3啊os42啊os66啊os78啊保燮涮氐閿校禾餑懇雜嘞液男問礁觶骱掣鼉嚀褰嵌鵲暮擔(dān)謁木嚀褰嵌戎校龐胩厥飩塹囊歡ü叵擔(dān)礎(chǔ)？6埃？？60埃？2？78？120啊鋇取=馓饈弊⒁庋罷液馱擻謎庖還叵擔(dān)實(shí)毖窳攪腳潿裕褂沒筒罟劍純傻悶渲滴S行餑渴紫刃杞閻跫湫危俳岷弦延械墓蕉理9儈＝可挖掘條繭結(jié)論咒的深層戀@緗夥匠arcsinx+arcsin2x=arccosx+arccos2x這是一個(gè)涉及一角函數(shù)的方程式，結(jié)合有反正弦和反余弦兩種符號，據(jù)此，引導(dǎo)學(xué)生挖掘下面有價(jià)值的條件：arcsinx+arccosx= （|x|
3.觀察時(shí)要注意已知與未知的聯(lián)系。注重已知與未知的聯(lián)系，這是觀察的重要一環(huán)，充分利用已掌握的信息，如果不能直接找出這種關(guān)系，可以考慮有效的輔助問題，通過轉(zhuǎn)化間接地處理。如：“已知a、b為不相等的正數(shù)，且a2-b=a2-b2，求證：1
即：a+b=a2+ab+b2
由于，（a=b）（a+b）2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=（a+b）
又3（a+b）2=3（a2+2ab+b2）
工地小推車的車斗是個(gè)棱臺形，容積是：(上底+下底+√上底×下底）×高×1/3=（0.78+0.39+√0.78×0.39）×0.39×1/3=0.2238立方米。
手推斗車的造型多種多樣，具體容積還要根據(jù)實(shí)際情況具體體積算。
手推車以人力推、拉的搬運(yùn)車輛，它是一切車輛的始祖。雖然手推車物料搬運(yùn)技術(shù)不斷發(fā)展，但手推車仍作為不可缺少的搬運(yùn)工具而沿用。手推車在生產(chǎn)和生活中獲得廣泛應(yīng)用是因?yàn)樗靸r(jià)低廉、維護(hù)簡單、操作方便、自重輕，能在機(jī)動車輛不便使用的地方工作，在短距離搬運(yùn)較輕的物品時(shí)十分方便。
（來源：文章屋網(wǎng) ）
一、通過畫法建構(gòu)定理
直線與直線、直線與平面、平面與平面是立體幾何的基本部分，教材編排各部分內(nèi)容的順序總是先位置關(guān)系，畫法，最后是判定定理和性質(zhì)定理，把畫法語言化，不僅可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理，而且可以用定理強(qiáng)化畫法。
教學(xué)案例1：異面直線的判定定理
異面直線的畫法教材給出的是如圖1所示，圖中的點(diǎn)A不在平面a內(nèi)，點(diǎn)B不在直線m上，而點(diǎn)B、直線m都在平面a內(nèi)，顯然直線AB與m不平行，也不相交，所以直線AB與m異面，把圖形語言通過歸納、概括，轉(zhuǎn)化成漢字語言，就是兩條直線異面的判定定理。
過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線。
二、通過逐步添加條件建構(gòu)定理
在點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定中，涉及最多的是平行與垂直的判定，往往用垂直判定垂直，用平行判定平行，因此，以平行或垂直為平臺通過“增磚添瓦”可建構(gòu)定理，事實(shí)上立體幾何中的判定定理都是通過上述方法而獲得。
教學(xué)案例2：平面與平面平行的判定定理
平面內(nèi)一條直線平行于另一平面，推不出這兩個(gè)平面平行，但在此基礎(chǔ)上，把一條增加成兩條呢？而平面內(nèi)兩條直線只有平行和相交，為此，我設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題，每個(gè)學(xué)習(xí)小組讓一名同學(xué)拿起課本，其一，使課本的對邊和桌面平行，其二，使課本鄰邊和桌面平行，在這兩種情況下，觀察課本與桌面是否平行，這一演示，直觀性強(qiáng)，容易得出正確答案，而它所揭示的命題正是面面平行的判定定理。
如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一平面，則這兩個(gè)平面平行。
三、在固有條件中通過尋找建構(gòu)定理
性質(zhì)定理都有一個(gè)必備條件，在必備條件中可尋找、演繹出好多結(jié)論，如面面平行的性質(zhì)定理的必備條件是兩個(gè)平面平行，面面垂直的性質(zhì)定理的必備條件是兩個(gè)平面垂直，以必備條件為前提可尋找、演繹出好多結(jié)論，保留其中實(shí)用性強(qiáng)、有價(jià)值的結(jié)論，便可建構(gòu)定理，可以說立體幾何中性質(zhì)定理都是這樣尋找出來的。
教學(xué)案例3：平面與平面平行的性質(zhì)定理
兩個(gè)平行平面中蘊(yùn)涵著線面平行、線線異面、線線平行。在學(xué)生對這一點(diǎn)深信不疑的情況下，其中有價(jià)值的結(jié)果是線線平行。在教學(xué)時(shí)，我設(shè)計(jì)了如下問題：如何在兩個(gè)平行平面中各作一條直線，使這兩條直線平行。所作的兩條直線平行，必然共面，學(xué)生自然聯(lián)想到作一平面和這兩個(gè)平行平面都相交，兩條交線是共面的，事實(shí)上這兩條直線也是平行的，這樣就建構(gòu)出了面面平行的性質(zhì)定理。
如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和這兩個(gè)平行平面都相交，則這兩條交線平行。
四、用割補(bǔ)法建構(gòu)定理
下面我就以一道模擬考試題為例對這種題的解法進(jìn)行講解：
某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是（ ）
A. B. C. D.
學(xué) 學(xué) 科 網(wǎng) Z X X
首先三棱錐的三視圖，我們可以看成一個(gè)長方體的切割體
而切割體的側(cè)面是比較難畫的，但其底面是比較清楚的，所有我們可以先看其俯視圖，再看正視圖，側(cè)視圖。
第一步：先畫長方體。
第二步：由俯視圖在長方體的底面畫錐體的底面圖形
接著由圖看出，俯視圖涉及到四個(gè)頂點(diǎn)B，D，M，C ；，由立體圖形的幾何特點(diǎn)可知，錐體的側(cè)面是由這四個(gè)點(diǎn)拉起匯成一個(gè)頂點(diǎn)。我們可以在這四個(gè)頂點(diǎn)處都打上實(shí)心圓圈。如下圖所示：
第三步：再由正視圖和左視圖看哪些個(gè)點(diǎn)可以垂直拉起。
原則：①由正視圖可以看出，其圖像是一個(gè)三角形，左右兩個(gè)底角都不是直角三角形，所以C，D兩點(diǎn)都不能垂直拉起，把兩個(gè)點(diǎn)杠掉。只剩B，M兩點(diǎn)。②由俯視圖可以看出，其圖像是一個(gè)直角三角形，我們可以把此圖由右向左順時(shí)針方向轉(zhuǎn)90度，如下圖所示：
然后看旋轉(zhuǎn)之后的下面兩個(gè)角，發(fā)再側(cè)視圖里面是一個(gè)直角，外面不是直角，所以緊接著把B杠掉，最后只剩下M點(diǎn)能垂直拉起，如下圖所示：
最后把M’與B，C ，D三個(gè)點(diǎn)連接起來。組成一個(gè)三棱錐即是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的三視圖還原而成的立體圖形。如下圖所示：
第四步：很明顯這個(gè)三棱錐放在長方體中算體積是最好不過啦，又由三視圖的數(shù)據(jù)可知：相當(dāng)于告訴了這個(gè)長方體的長寬高，長是5，寬是4，高是4，由圖可知，三棱錐借用了長方體的左側(cè)面和背對面，而這兩個(gè)面是相互垂直的，所是這個(gè)三棱錐的底面是直角三角形BCD，高是MM’，所以，這個(gè)三棱錐的體積是：，所以，這個(gè)題目選A，仔細(xì)分析可看出，這個(gè)三棱錐可是看成由長方體中切下來的一個(gè)圖形。
利用上述方法，我們可能以試著解決以下問題：
已知四棱錐的三視圖如圖1所示，則四棱錐體積的是（ ）
A. B. C. D.
解析：首先三棱錐的三視圖，我們可以看成一個(gè)長方體的切割體
接著由圖看出，俯視圖涉及到五個(gè)頂點(diǎn)A，B，D，C，M ；，由立體圖形的幾何特點(diǎn)可知，錐體的側(cè)面是由這五個(gè)點(diǎn)拉起匯成一個(gè)頂點(diǎn)。我們可以在這五個(gè)頂點(diǎn)處都打上實(shí)心圓圈。如下圖所示：
關(guān)鍵詞：小結(jié)與復(fù)習(xí)課；尺度；意見；討論
中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）09-219-01
小結(jié)與復(fù)習(xí)課，中學(xué)教學(xué)過程中最重要的課型之一，那么如何上好復(fù)習(xí)課呢？小結(jié)與復(fù)習(xí)課要求學(xué)生鞏固本章的基礎(chǔ)知識，掌握基本解題方法，了解本章經(jīng)典題型。同時(shí)要求老師通過小結(jié)與復(fù)習(xí)課，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生感受自己應(yīng)用知識能力的提升，從而培養(yǎng)學(xué)生的自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，為后段知識的學(xué)習(xí)做好一定的鋪墊。
《空間幾何體》人教版高中數(shù)學(xué)必修二第一章的內(nèi)容，2012年5月我參加“湘鄂邊”部分省級重點(diǎn)中學(xué)的研討活動。通過親自參加比賽和現(xiàn)場觀摩學(xué)習(xí)，筆者認(rèn)為要上好本章的小結(jié)與復(fù)習(xí)課應(yīng)做好以下幾個(gè)方面的準(zhǔn)備。
一、準(zhǔn)確把握考綱要求，幫助學(xué)生明確重點(diǎn)難點(diǎn)
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出：幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科。空間幾何體中要求學(xué)生利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)，能畫出簡單空間圖形的三視圖和利用斜二測法畫出的直觀圖。了解球、棱柱、棱錐、棱臺的體積和表面積的計(jì)算公式。立體幾何初步的重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力。我們的教師在教學(xué)過程中一定要注意把握好對幾大塊的整體的把握，分清楚重點(diǎn)和難點(diǎn)，絕不能眉毛胡子一把抓，讓學(xué)生上完一節(jié)課后變得無所適從，輕重不分。
二、明確教材編排思路，注重知識形成網(wǎng)絡(luò)
《空間幾何體》本章內(nèi)容是在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上展開的。例如，對于棱柱，在義務(wù)教育階段直觀認(rèn)識正方體、長方體等的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其體積、表面積。在教材內(nèi)容安排中要特別注意與前面學(xué)習(xí)的“空間與圖形”相關(guān)內(nèi)容銜接。本章內(nèi)容先讓學(xué)生觀察大量實(shí)物圖片，引導(dǎo)學(xué)生思考幾何體的分類，從而概括歸納簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征。空間幾何體的三視圖和直觀圖，目的是使學(xué)生學(xué)會在平面上表示空間圖形，能畫出簡單圖形的三視圖，通過觀察用兩種方法（平行投影和中心投影）畫出三視圖和直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式，會使用材料制作模型，會用斜二測法畫出簡單空間圖形的直觀圖。
空間幾何體的表面積與體積，目的是使學(xué)生了解空間幾何體的表面積和體積的計(jì)算方法（不要求記憶公式），并能計(jì)算簡單幾何體的體積和表面積。
本章中的一些概念都是通過對具體實(shí)例的分析，找到幾何體的共同特點(diǎn)，再抽象本質(zhì)屬性得到。本章知識的形成是一個(gè)從識圖，畫圖到用圖的過程，教師在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本章知識時(shí)，一定要注意由直觀模型過渡到幾何體本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上來，充分培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知和化歸能力。
三、關(guān)注學(xué)生心理過程，聯(lián)系生活應(yīng)用實(shí)際
比賽過程中一個(gè)老師是這樣引入的：
同學(xué)們大家好，今天我們一起來復(fù)習(xí)《空間幾何體》這章的內(nèi)容，首先請問同學(xué)們，這些圖片你們認(rèn)識嗎？
引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識圖片，輕松進(jìn)入課題。
然后該老師問道：我們把這些圖形當(dāng)成我們的新朋友，我們認(rèn)識了一個(gè)新朋友之后，最想了解這個(gè)同學(xué)的什么呢？
學(xué)生回答：了解這個(gè)學(xué)生有什么特長，興趣愛好等等；
教師：我們認(rèn)識了這些幾何體之后，也一樣是了解這些幾何體的特征。
這樣非常自然的過渡到了對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的知識。該老師使用類比的方法，充分把握學(xué)生的知識形成心理，讓學(xué)生輕松的自我總結(jié)相關(guān)的知識，這種方法使用非常巧妙！
四、題型訓(xùn)練具體經(jīng)典、例題講解詳細(xì)規(guī)范
【關(guān)鍵詞】生成性課堂 高中數(shù)學(xué) 預(yù)設(shè) 評價(jià)
不少學(xué)生及其家長反映現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過于死板，教學(xué)方式不新穎，未充分注意到學(xué)生是鮮活的生命體，教師教學(xué)按照預(yù)設(shè)教案成分多，不能充分體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。因此，教師要在教學(xué)過程充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓課堂融合預(yù)設(shè)與生成兩個(gè)環(huán)節(jié)，動態(tài)地生成課堂，從而讓學(xué)生在課堂中不僅收獲了知識，還發(fā)展了思維，愉悅了情感。筆者認(rèn)為，構(gòu)建高中數(shù)學(xué)生成性課堂應(yīng)從以下做起。
一、以整體預(yù)設(shè)促生成
我們強(qiáng)調(diào)高中數(shù)學(xué)課的生成，并不代表我們?nèi)P否定預(yù)設(shè)，相反，我們認(rèn)為凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。教師的課堂教學(xué)是一種有計(jì)劃、有目標(biāo)的行為活動，教師只有在課前做好充分地準(zhǔn)備和設(shè)計(jì)，才能使課堂教學(xué)做到有的放矢，從而更具有針對性。因此，完全摒棄課堂預(yù)設(shè)而只注重課堂生成的做法有失偏頗，教師應(yīng)在課前對課堂進(jìn)行整體預(yù)設(shè)和規(guī)劃，然后以此為基本路線，指導(dǎo)學(xué)生通過自主探究、合作交流等活動，讓學(xué)生親歷提出問題、分析問題、解決問題、應(yīng)用反思等過程，讓學(xué)生成為知識的發(fā)現(xiàn)者和創(chuàng)造者，從而生成一堂精彩的數(shù)學(xué)課。如筆者在講授“直線的傾斜角與斜率”時(shí)，首先讓學(xué)生在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫出以下函數(shù)圖像：（1）y=x+1；（2）y= x+1；（3）y=-x+1。然后再讓學(xué)生再于另一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫出經(jīng)過點(diǎn)（0，1），傾斜角分別為45度、60度和135度的直線。接著啟發(fā)學(xué)生：（1）比較兩個(gè)坐標(biāo)系中的圖像，有何發(fā)現(xiàn)？（2）在第一個(gè)坐標(biāo)系中的三條直線，它們的直線方程式有何不同？（3）第二個(gè)坐標(biāo)系中的三條直線，它們之間有何不同？（4）1、 、-1與45度、60度、135度之間存在什么關(guān)系？通過上述四個(gè)問題，學(xué)生們就會發(fā)現(xiàn)直線的傾斜角的正切值與直線方程中x的系數(shù)相等這個(gè)規(guī)律，這種做法顯然是在教師的預(yù)設(shè)下生成的，其效果要優(yōu)于直接將結(jié)果告之學(xué)生。
二、以靈活應(yīng)變促生成
課前的預(yù)設(shè)往往是教師對課堂教學(xué)的預(yù)判，但是在具體教學(xué)中會出現(xiàn)一些預(yù)想不到是事情的發(fā)生，因此，教師在做好課堂預(yù)設(shè)的同時(shí)，還要走出預(yù)設(shè)，根據(jù)教學(xué)的實(shí)際靈活應(yīng)對，以促進(jìn)課堂的生成，增強(qiáng)課堂的活力。高中階段的學(xué)生思維能力已經(jīng)相對成熟，在思考教師的提問時(shí)會有自己的理解和看法，對此，教師要保持觀察的敏銳性，適時(shí)調(diào)整自己的教學(xué)方案，讓課堂教學(xué)更富有靈活性，以使教學(xué)活動順利展開。如筆者在講授“空間幾何體的表面積”時(shí)，計(jì)劃是利用一節(jié)課的時(shí)間將棱柱、棱錐和棱臺的表面積、體積講完即可。在講完棱柱的表面積計(jì)算方式時(shí)，學(xué)生理解的很快，但在講到棱錐表面積的計(jì)算時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)所舉的例子的四個(gè)面都是等邊三角形，學(xué)生容易理解和計(jì)算，但如果加深一下難度，將等邊三角形改成不等邊三角形，有些學(xué)生就會跟不上步伐，不能很快回答教師所提出的問題。對此，筆者及時(shí)調(diào)整課堂預(yù)設(shè)，將棱臺的講解放到下節(jié)課中，深入講解不規(guī)則四面體。同時(shí)，為了讓學(xué)生更容易理解不規(guī)則四面體表面積的計(jì)算，筆者還增加了演示環(huán)節(jié)，即利用紙片做一個(gè)四面都是常規(guī)三角形的棱錐模型。首先，教師帶領(lǐng)學(xué)生觀察、認(rèn)識它的四個(gè)面，然后用剪刀將四個(gè)面剪開，再讓學(xué)生計(jì)算出四個(gè)面的面積，最后相加的結(jié)果就是不規(guī)則四面體的表面積。雖然這次上課的課堂預(yù)設(shè)發(fā)生了轉(zhuǎn)變，但由于筆者的靈活應(yīng)對，卻滿足了學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，增加了學(xué)生對知識點(diǎn)掌握的深度，生成了一節(jié)好課。
三、以課堂評價(jià)促生成
課堂評價(jià)是教師掌握學(xué)生學(xué)習(xí)情況的一種方法，在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，往往是教師占據(jù)著課堂評價(jià)的舞臺，學(xué)生的評價(jià)權(quán)被剝奪，顯然這種評價(jià)方式有利于教師對課堂的掌控，卻不利于激發(fā)學(xué)生的積極性。在構(gòu)建生成性課堂要求下，教師要增強(qiáng)學(xué)生的評價(jià)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和動力，讓學(xué)生和教師一起相互配合完成教學(xué)活動，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂的生成。如筆者在講授完函數(shù)章節(jié)后，布置了兩道題讓學(xué)生做，要求每組學(xué)生只選擇其中的一道題進(jìn)行解答。（1）設(shè)f（x）是奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=2x-3，則當(dāng)x
總之，課堂的主體是學(xué)生，教師在教學(xué)過程中一定要充分考慮學(xué)生的情況，積極調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，做好課堂預(yù)設(shè)而又不拘泥于預(yù)設(shè)，做到隨機(jī)應(yīng)變，靈活應(yīng)對，充分發(fā)揮學(xué)生的聰明才智，使課堂成為學(xué)生探究知識海洋的一葉扁舟，綻放出學(xué)生的精彩。
【參考文獻(xiàn)】
[1] 于巖松. 試論高中數(shù)學(xué)生成性課堂的構(gòu)建[J]. 考試周刊，2015（03）.
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容之一，同時(shí)它也是貫穿高中數(shù)學(xué)的主線之一，函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法貫穿高中數(shù)學(xué)的全過程。在高一階段，函數(shù)的要求在于基本的初等函數(shù)的認(rèn)識。掌握基本的初等函數(shù)，及其性質(zhì)與圖象，還有函數(shù)的基本定義。高一必修一的教材內(nèi)容比較多，而且難度也很大，很多高一的學(xué)生學(xué)習(xí)起來都感覺很難，甚至到了考試復(fù)習(xí)的時(shí)候還是感覺難。去年我有一位高一的學(xué)生這樣形容過函數(shù)“內(nèi)容多，感念多，記憶難，理解難，做題難”。針對這一“難”，筆者把函數(shù)內(nèi)容概括成“三字經(jīng)”如下:“學(xué)函數(shù)，兩數(shù)集，一關(guān)系，兩變量;關(guān)系明，一個(gè)x，一個(gè)y，唯一定，一對一，多對一，要看清．自變量，它叫x，它取值，定義域;函數(shù)值，它叫y，它取值，值域也．三要素，定義域，一值域，一法則．示函數(shù)，解析法，圖像法，列表法．定義域，注意解，有分母，不等零，偶次根，開方數(shù)，要非負(fù)，應(yīng)用題，實(shí)際定．兩函數(shù)，判相同，表達(dá)式，要相同，定義域，要一致，兩點(diǎn)必，同時(shí)備．求值域，定義域，解結(jié)果，用集合，或區(qū)間．求值域，定義域，先考慮，觀察法，配方法，換元法，法法通．分段函，定義域，來分段，解釋式，各不同．學(xué)映射，兩集合，比函數(shù)，來學(xué)習(xí)，也不難．函數(shù)性，一單調(diào)，自變量，越增大，函數(shù)值，越增大，增函數(shù);自變量，越增大，函數(shù)值，越減小，減函數(shù);判單調(diào)，定義法，定義域，先來求，任取值，再作差，再變形，后定號，下結(jié)論．二奇偶，任一x，f(－x)=f(x)，偶函數(shù);任一x，f(－x)=－f(x)，奇函數(shù);判奇偶，定義域，先判斷，關(guān)原點(diǎn)，來對稱，再定義，作判斷;偶函數(shù)，關(guān)y軸，來對稱，奇函數(shù)，關(guān)原點(diǎn)，來對稱．三最值，圖象法，先求解，單調(diào)性，再考慮，配方法，求二次．指數(shù)冪，求方根，n是奇，正負(fù)同，n為偶，開方數(shù)，要非負(fù)，次方根，有兩個(gè)，相反數(shù);負(fù)數(shù)也，偶方根，不存在，0數(shù)也，任方根，都是0;分?jǐn)?shù)冪，底為正，0為底，正分?jǐn)?shù)，冪等0，負(fù)分?jǐn)?shù)，沒意義．指數(shù)函，底為正，不為1，自變量，為實(shí)數(shù)，函數(shù)值，大于零;作圖象，先看底，0到1，減函數(shù)，大于1，增函數(shù)，點(diǎn)(0，1)，一定過，同坐標(biāo)，多圖象，逆時(shí)針，底變大．對數(shù)函，底為正，不為1，函數(shù)值，為實(shí)數(shù)，自變量，大于零，與指數(shù)，來相反;作圖象，先看底，0到1，減函數(shù)，大于1，增函數(shù)，點(diǎn)(1，0)，一定過，同坐標(biāo)，多圖象，逆時(shí)針，底變小;底相同，同坐標(biāo)，指數(shù)圖，對數(shù)圖，直線y=x，對稱它;常用對，10為底，自然對，e為低，對數(shù)值，計(jì)算器，來計(jì)算;算對數(shù)，同底加，真數(shù)乘，同底減，真數(shù)除，真數(shù)方，可外移，作分子，底數(shù)方，可外移，作分母;換底式，原對數(shù)，底真拆，真為上，底為下，用新底，來作商．指數(shù)函，對數(shù)函，比大小，底相同，用單調(diào)，底不同，用圖象．反函數(shù)，底相同，指數(shù)函，對數(shù)函，互為反，兩函數(shù)，定義域，與值域，互相換，兩圖象，直線y=x，來對稱．冪函數(shù)，自變量，作為底，任常數(shù)，作為指;冪圖象，一象限，過點(diǎn)(1，1)，指大0，增函數(shù)，指大0，圖下凸，0到1，圖上凸;指小0，減函數(shù);指為0，底非0;冪函數(shù)，課本圖，要會畫，考試出，拿滿分．”。學(xué)生讀了這個(gè)函數(shù)“三字經(jīng)”，給的評價(jià)為“三個(gè)字，容易讀，方便記，內(nèi)容全，做題時(shí)，運(yùn)用好”。
2．第二招，化抽象為文字———空間立體幾何體篇
高中立體幾何在高考試卷分值20分左右，是學(xué)生必掙的分?jǐn)?shù)，但是對于學(xué)生它是一個(gè)難題目，特別是女學(xué)生，高中立體幾何的抽象性讓學(xué)生很難理解和掌握。為了更好地學(xué)習(xí)高中立體幾何，筆者在復(fù)習(xí)它的時(shí)候，概括成“三字經(jīng)”如下:“學(xué)棱柱，兩底面，互平行，余各面，四邊形，公共邊，都平行;分類別，按地面，邊數(shù)幾，幾棱柱;兩底面，全等形，各側(cè)面，平行行，各側(cè)棱，平行等．學(xué)棱錐，一底面，多邊形，余各面，三角形，共頂點(diǎn);分類別，按地面，邊數(shù)幾，幾棱錐．學(xué)棱臺，平行于，錐底面，平面截，棱錐體，得棱臺，分類別，按棱錐;兩地面，相似形，各側(cè)面，梯形也，各側(cè)棱，交一點(diǎn)．學(xué)圓柱，矩形轉(zhuǎn)，可得之;兩底面，全等圓，側(cè)面展，圖矩形．學(xué)圓錐，三角形，直角轉(zhuǎn)，可得之，底面圓，側(cè)面展，圖扇形．學(xué)圓臺，平行于，錐底面，平面截，圓錐體，得圓臺;上下底，兩個(gè)圓，側(cè)母線．交一點(diǎn)，側(cè)面展，圖弓形．學(xué)球體，半圓轉(zhuǎn)，可得之;球截面，都是圓，球面點(diǎn)，球心距，等半徑．柱錐臺，各不同，圖多畫，圖會認(rèn)．三視圖，正視圖，前后看，側(cè)視圖，左右看，俯視圖，上下看;幾何體，長寬高，正視圖，看長高，側(cè)視圖，看寬高，俯視圖，看長寬．直觀圖，二測法，平面圖，各線段，平行x，長不變，平行y，順轉(zhuǎn)45°，長度半;幾何體，直觀圖，畫地面，高不變．柱錐臺，表面積，各面和;柱體積，地面積，乘高得;錐體積，三分一，地面積，乘高得;臺體積，會計(jì)算，公式也，可不記．”。學(xué)生讀了這個(gè)空間立體幾何體“三字經(jīng)”，給的評價(jià)為“化抽象，為文字，讀著它，體不難，體計(jì)算，容易多”。
3．第三招，化應(yīng)用操作為概括總結(jié)———統(tǒng)計(jì)篇
統(tǒng)計(jì)是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)教材必修三的重點(diǎn)內(nèi)容之一，統(tǒng)計(jì)題經(jīng)常出現(xiàn)在高考六道解答題中，而且它的難度不大，所以它是高考考生一定要拿下的分?jǐn)?shù)。為了使得學(xué)生更好地記住操作和計(jì)算的方法步驟，筆者在復(fù)習(xí)它的時(shí)候，概括成“三字經(jīng)”如下:“簡單抽，抽簽法，先編號，拌均勻，后抽取，反復(fù)抽，抽完止;隨機(jī)法，先編號，按數(shù)表，選始碼，選方向，讀數(shù)字，判范圍，抽齊止．系統(tǒng)抽，先編號，定間隔，不整除，先剔除，又編號，再分段，第一段，隨機(jī)抽，其他段，加間隔，遂一抽．分層抽，看總體，不交叉，按比例，定數(shù)量，層層抽．頻分布，求極差，定組距，求組數(shù)，列頻表，畫方圖;直方圖，長方形，面積值，等頻率;形上端，中點(diǎn)連，折線圖．莖葉圖，中間莖，左右葉，個(gè)位數(shù)，作為葉，其他數(shù)，作為莖．標(biāo)準(zhǔn)差，先平均，按公式，來計(jì)算;求方差，標(biāo)準(zhǔn)差，來平方，兩個(gè)差，值越小，離散度，就越小．散點(diǎn)圖，左到右，點(diǎn)上升，正相關(guān)，點(diǎn)下降，負(fù)相關(guān);點(diǎn)分布，靠直線，兩變量，線相關(guān)，回歸線，方形成．小二乘，求回歸，運(yùn)算多，分小塊，代公式，來計(jì)算;方程中，字母頭，有小帽，別忘戴．”。學(xué)生讀了這個(gè)統(tǒng)計(jì)“三字經(jīng)”，給的評價(jià)為“語言練，方法明，步驟清，總結(jié)強(qiáng)，點(diǎn)計(jì)算，說注意”。
4．第四招，化公式為口訣———三角函數(shù)篇
三角函數(shù)題在高考中屬于容易的題目，三角函數(shù)學(xué)生起來讓學(xué)生感覺到頭疼的事情只有一個(gè):公式多，記憶煩．為了解決公式記憶的問題，很多老師都把這些轉(zhuǎn)化成口訣，方便學(xué)生記憶．筆者把高中數(shù)學(xué)教材必修四的三角函數(shù)內(nèi)容轉(zhuǎn)換成“三字經(jīng)”如下:“任意角，順轉(zhuǎn)負(fù)，逆轉(zhuǎn)正;終邊角，加k360°，k整數(shù)．弧度制，一平角，一個(gè)兀;正弦值，y比r，余弦值，x比r，正切值，y比x，切特殊，y軸無．三角值，象限角，一全正，二正正，三切正，四余正．三角線，單位圓，來研究．同一角，正余弦，平方和，等于一，正余商，等正切;正余切，一求二，分象限，來討論，正負(fù)明．解化簡，用公式，證明法，左右開，變式多，法多樣，要靈活．誘導(dǎo)式，一到四，函數(shù)名，不改變，定符號，看象限;五和六，正余弦，互相換，定符號，看象限;總口訣，k•90°+α，k整數(shù)，k奇數(shù)，正余換，k偶數(shù)，函數(shù)名，不變化，定符號，看象限．正弦函，余弦函，正切函，畫圖象，記性質(zhì)，數(shù)形結(jié)，解題目，條條順，路路通．三角函，圖象移，向左加，向右減，向上加，向下減，好規(guī)則，請牢記．”。學(xué)生讀了這個(gè)三角函數(shù)“三字經(jīng)”，給的評價(jià)為“三角函，公式多，三字經(jīng)，記憶簡，讀方便，說到位”。
5．第五招，異曲同彈———數(shù)列篇
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教材必修五的重點(diǎn)內(nèi)容，也是難點(diǎn)內(nèi)容，數(shù)列重點(diǎn)有兩個(gè):一等差數(shù)列，一等比數(shù)列，兩這有很多類似的地方，新課的時(shí)候我們分開兩個(gè)知識點(diǎn)來詳細(xì)介紹和講解，但是到了復(fù)習(xí)課，我們可以對比來總結(jié)記憶和學(xué)習(xí)，特別是數(shù)列的概念、公式和性質(zhì)等．筆者在復(fù)習(xí)數(shù)列的時(shí)候，概括成“三字經(jīng)”如下:“數(shù)列也，一列數(shù)，按順序，排列著;每個(gè)數(shù)，作為項(xiàng)，多少項(xiàng)，為項(xiàng)數(shù);數(shù)列類，有窮列，無窮列，遞增列，遞減列，常數(shù)列，擺動列．通項(xiàng)式，第幾項(xiàng)，與序號，關(guān)系式．遞推式，任一項(xiàng)，與前項(xiàng)，關(guān)系式．等差列，一數(shù)列，二項(xiàng)起，每一項(xiàng)，與前項(xiàng)，來作差，等同數(shù)，這數(shù)列，稱等差，這個(gè)數(shù)，為公差．差中項(xiàng)，三個(gè)數(shù)，成等差，中間數(shù)，為中項(xiàng)．等差列，第一項(xiàng)，為首項(xiàng);通項(xiàng)式，公差與，列項(xiàng)數(shù)，減去一，來作積，加首項(xiàng)，來求和．等差列，下角標(biāo)，成等差，列的項(xiàng)，仍等差;連續(xù)項(xiàng)，來求和，構(gòu)成列，成等差．等差列，前項(xiàng)和，公式一，首項(xiàng)加，末項(xiàng)和，乘項(xiàng)數(shù)，一半之;公式二，列項(xiàng)數(shù)，乘項(xiàng)數(shù)，減去一，來作積，一半之，后加上，幾項(xiàng)和，幾首項(xiàng)，來求和．等比列，一數(shù)列，二項(xiàng)起，每一項(xiàng)，與前項(xiàng)，來作商，等同數(shù)，這數(shù)列，稱等比，這常數(shù)，為公比，不為零．比中項(xiàng)，三個(gè)數(shù)，成等比，中間數(shù)，為中項(xiàng)．等比列，通項(xiàng)式，首項(xiàng)乘，列項(xiàng)數(shù)，減去一，個(gè)公比．等比列，下角標(biāo)，成等差，列的項(xiàng)，仍等比;連續(xù)項(xiàng)，來求和，構(gòu)成列，成等比．等比列，前項(xiàng)和，討論比，是否一，不一樣，公式異，分開記，別弄錯．”。學(xué)生讀了這個(gè)數(shù)列“三字經(jīng)”，給的評價(jià)為“兩數(shù)列，對比講，成三字，易記憶，說性質(zhì)，入心腦”。
6．第六招，點(diǎn)到即止———不等式及其解法篇
1 對立體幾何知識的理解
立體幾何初步的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間想像能力,幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu),鞏固和提高義務(wù)教育階段有關(guān)三視圖的學(xué)習(xí)和理解,使學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上,認(rèn)識空間中一般的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系通過對圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)和說理,使學(xué)生進(jìn)一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法,學(xué)會準(zhǔn)確的使用數(shù)學(xué)語言表述幾何對象的位置關(guān)系,并能解決一些簡單的推理論證及應(yīng)用問題。
2 新課標(biāo)對立體幾何知識的要求
幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科,三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間,認(rèn)識空間圖形,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力,是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求。在立體幾何初步部分,學(xué)生將先從對空間幾何體的整體觀察入手,認(rèn)識空間圖形;在以長方體為載體,直觀認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;能用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定,并對某些結(jié)論進(jìn)行論定;學(xué)生還將了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法。
3 新舊教材的比較
舊教材是在學(xué)習(xí)完解析幾何后出現(xiàn)的,先學(xué)習(xí)空間直線和平面再學(xué)習(xí)簡單幾何體,對簡單幾何體的性質(zhì)、球的體積、表面積的教學(xué)要求為掌握內(nèi)容,教學(xué)中是先讓學(xué)生認(rèn)識點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,再認(rèn)知簡單的幾何體棱柱、棱錐和球體的概念和性質(zhì)。這樣使學(xué)生先從理性上研究了點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系,再認(rèn)知幾何體,這樣不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,不適合對學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。然而 新教材中,立體幾何初步是學(xué)習(xí)完必修1后在必修2分兩章出現(xiàn),內(nèi)容分為空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖、球的表面積和體積(對球的表面積和體積要求了解即可);空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;這樣的安排,使學(xué)生先認(rèn)識了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,并且能夠畫出實(shí)物圖,同時(shí)也了解了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,學(xué)生的認(rèn)知過程是由感性上升理性認(rèn)識,更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。
在舊教材的教學(xué)過程中,因?yàn)閷W(xué)生先學(xué)習(xí)了平面解析幾何,認(rèn)知點(diǎn)、線、面的關(guān)系都是平面的,形成了思維定勢,接著學(xué)習(xí)立體幾何中的點(diǎn)、線、面的關(guān)系,然后學(xué)習(xí)空間幾何體的特征,學(xué)生很難建立起空間的概念,大部分學(xué)生畫出的圖形是平面的;新教材的教學(xué)內(nèi)容安排是先學(xué)習(xí)立體幾何,學(xué)生先認(rèn)知生活中的空間幾何體,了解結(jié)構(gòu)特征,在意識中已經(jīng)建立起了空間的概念,再去學(xué)習(xí)研究空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,學(xué)生畫出的圖形有很強(qiáng)的立體感,對知識的理解和應(yīng)用就很容易了。
4 信息技術(shù)與立體幾何的整合
計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)有著內(nèi)在的、固有的密切關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,借助計(jì)算機(jī)的直觀形象,充分表現(xiàn)數(shù)學(xué)的動態(tài)性,為抽象思維提供直觀形象, 信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)的整合給單一的數(shù)學(xué)課堂走向了新的發(fā)展,數(shù)學(xué)不再枯燥無味。學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)帶來了更多的信息,利用信息技術(shù)學(xué)習(xí)空間幾何體更加形象具體。以往的立體幾何的教學(xué),是通過教師的講解和學(xué)生的空間想象來認(rèn)識和理解的,造成了學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何難;信息技術(shù)與立體幾何的整合使教師通過課件帶給了學(xué)生看得見的幾何圖,知識的理解和接受不再是空洞無味,而是形象直觀。
5 立體幾何教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的一些問題
立體幾何學(xué)生學(xué)習(xí)完后,學(xué)生雖然對空間圖形的有所認(rèn)知,學(xué)生也能夠畫出立體的圖形,但是對于立體幾何的證明題卻出現(xiàn)了不知道如何著手證明的問題。對這一部分的內(nèi)容考試是以立體幾何的實(shí)用性為主還是以后面的點(diǎn)、線、面的運(yùn)用為主;學(xué)生的探究活動較多,課時(shí)出現(xiàn)緊張的狀況;習(xí)題雖然出現(xiàn)了A、B兩組,有利于不同層次的學(xué)生學(xué)習(xí),但是B組題有些題難度過大,尤其是對于學(xué)習(xí)文科的學(xué)生不適應(yīng)。
6 對人教版新教材編排的一些建議
1.預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)，引入新課
溫故而知新。即從復(fù)習(xí)舊知識的基礎(chǔ)上提出新問題，如。我們可借助多媒體復(fù)習(xí)三角形中位線定理，引發(fā)學(xué)生思維，為梯形中位線定理證明奠定理論基礎(chǔ)，通過對三角形中位線性質(zhì)的思考，從而進(jìn)行類比聯(lián)系，引入梯形中位線定理。
2.開門見山，引入新課
講課前先把本課要完成的教學(xué)目標(biāo)說清楚，以爭取學(xué)生的配合，有時(shí)我們談話、寫文章習(xí)慣直截了當(dāng)，這樣主體突出、論點(diǎn)鮮明，這樣做，教學(xué)重點(diǎn)突出，能使學(xué)生很快地把注意力集中在教學(xué)內(nèi)容最本質(zhì)、最重要的問題研究之上。
3.提問質(zhì)疑，引入新課
美國心理學(xué)家布魯納指出：“教學(xué)過程是一種提出問題、解決問題的持續(xù)不斷的活動，”教學(xué)引入新課時(shí)，教師要善于提出問題，設(shè)置疑問，實(shí)踐證明。疑問、矛盾、問題是思維的啟發(fā)劑，而學(xué)生的創(chuàng)新思維恰恰從疑問和好奇開始，教師以提問適當(dāng)?shù)膯栴}開始講課，可刺激學(xué)生的好奇心，引起學(xué)生的積極思考。
4.劍設(shè)懸念，引入新課
在講新知識之前，有意設(shè)置一些問題懸念，這樣能使學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)新知識，對于學(xué)習(xí)的目的更加清晰，也使學(xué)生感覺到新的知識是非常有用的。
例如，在講授“對數(shù)計(jì)算”這節(jié)內(nèi)容時(shí)，提出這樣的問題：將一粒芝麻的重量和太陽相比，似乎是一個(gè)毫無疑義的話題，若讓芝麻發(fā)芽、生長、開花、結(jié)果，再將所得的全部果實(shí)繼續(xù)發(fā)芽、生長、開花、結(jié)果……這樣一直到第十三代后，所得芝麻的總重量將比太陽還重，同學(xué)們，你們相信嗎?問題激起了學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心，很快吊起學(xué)生的學(xué)習(xí)“胃口”，思維馬上變得活躍起來，教學(xué)難點(diǎn)很容易予以突破。
5.生活實(shí)際，引入新課
如在講授“任意角的三角函數(shù)”時(shí)，師問：這是什么?(生：摩天輪，)今天，我們的數(shù)學(xué)之旅就從摩天輪開始，先來說說摩天輪吧，我們假設(shè)它的中心離地面的高度為h0，它的直徑為2r，逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動一周需要360秒，那轉(zhuǎn)動一秒轉(zhuǎn)了多少度?過了45秒呢?過了t秒呢?生1：h1=h0+rsin30°；生2：h2=h0+rsin45°；生3：h=h0+rsint°，請問t°的范圍在哪里?在銳角范圍中，h=h0+rsint°這一數(shù)學(xué)模型能表示座艙的高度，那么，我們能不能隨著時(shí)間的推移，讓h=h0+rsint°這個(gè)數(shù)學(xué)模型從始至終都能起作用呢?若想做到這一點(diǎn)，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天，我們就要來學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)。
6.興趣吸引，導(dǎo)入新課
從心理學(xué)的觀點(diǎn)來說，興趣是興奮劑，是學(xué)習(xí)的動力，俗語如是說：“興趣是最好的老師，興趣是學(xué)習(xí)的源泉，”瑞士教育心理學(xué)家皮亞杰說過，“所有智力方面的工作都要依賴興趣，興趣是能量的調(diào)節(jié)者，它能支配內(nèi)在動力，促成目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)”，所以用趣味性引入新課，旨在激趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。
7.介紹史話，引入新課
著名思想家培根說：“讀史使人明智，”通過數(shù)學(xué)史知識的介紹，特別是通過我國古代數(shù)學(xué)偉大成就的介紹，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和愛國主義熱情。
例如，在講授新課“棱柱、棱錐和棱臺的體積和表面積”時(shí)先向?qū)W生介紹古代的中國數(shù)學(xué)，中國數(shù)學(xué)在南北朝時(shí)期達(dá)到新的高峰，這個(gè)時(shí)期的代表人物是劉徽、祖沖之和祖沖之的兒子祖，劉徽為《九章算術(shù)》作注，祖沖之父子在這個(gè)基礎(chǔ)上編寫了很多著作，其中祖沖之精確計(jì)算了圓周率，提出約率和密率，是世界數(shù)學(xué)史上的重大成就，祖沖之還與他的兒子祖一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計(jì)算，他們當(dāng)時(shí)采用的一條原理是：“冪勢既同，則積不容異，”意即，位于兩平行平面之間的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)立體的體積相等，這一原理，在西文被稱為卡瓦列利原理，但這是在祖氏以后一千多年才由卡氏發(fā)現(xiàn)的，為了紀(jì)念祖氏父子發(fā)現(xiàn)這一原理的重大貢獻(xiàn)，大家也稱這原理為“祖原理”。
8.實(shí)踐活動，引入新課
通過實(shí)踐活動，讓學(xué)生歸納、思考、總結(jié)。或由師生列舉類似的實(shí)際背景資料，通過一些與現(xiàn)實(shí)生活實(shí)踐，把課堂變成一名學(xué)生探索知識的窗口，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，變平淡為神奇，例如，在“數(shù)學(xué)歸納法”的新課引入時(shí)，教師指導(dǎo)學(xué)生一起來做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：“多米諾”骨牌游戲，教師把準(zhǔn)備好的教具擺放好，讓學(xué)生將其推倒，并從中感悟推倒的規(guī)則，學(xué)生經(jīng)過反復(fù)動手實(shí)驗(yàn)后，總結(jié)出玩此游戲的規(guī)則：(1)排此骨牌的規(guī)則：前一塊牌倒下，保證后一塊牌一定倒下；(2)推倒第一塊，由此便非常自然地引出數(shù)學(xué)歸納法的定義，這自然比直接導(dǎo)入定義妙得多。并且學(xué)生能真正地理解對一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題經(jīng)過數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明后是正確的。
9.組織游戲，引入新課
開始上課時(shí)，先組織學(xué)生做一個(gè)相關(guān)的游戲，再導(dǎo)人新課，通過一些生動活潑、有趣簡單并與本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容有密切相關(guān)的游戲活動，構(gòu)建教學(xué)情境，使學(xué)生在活動中提高學(xué)習(xí)的興趣，從而提高了教學(xué)的效率，學(xué)生在輕松愉快的氛圍中掌握了知識。
一、函數(shù)
函數(shù)是歷年高考命題的重點(diǎn)，集合、函數(shù)的定義域、值域、圖像、奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值、反函數(shù)以及具體函數(shù)的圖像及性質(zhì)在高考試題中屢見不鮮。因此須注意以下幾點(diǎn)。
1.集合是近代數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，集合觀點(diǎn)滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的各個(gè)方面，所以我們應(yīng)弄懂集合的概念，掌握集合元素的性質(zhì)，熟練地進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算。同時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確地理解以集合形式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)語言和符號。
2.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，主要從定義、圖像、性質(zhì)三方面加以研究。在復(fù)習(xí)時(shí)要全面掌握、透徹理解每一個(gè)知識點(diǎn)。為了提高復(fù)習(xí)質(zhì)量，我們提出下述幾個(gè)問題：
（1）掌握圖像變換常用的方法，特別注意：凡變換均在自變量上進(jìn)行。
（3）學(xué)會解簡單的函數(shù)方程，認(rèn)真對待指數(shù)或?qū)?shù)中含參數(shù)問題的求解方法，特別注意對數(shù)的真數(shù)必須“大于0”，注意方程求解時(shí)的等價(jià)性。
二、三角
三角包括兩部分內(nèi)容：三角函數(shù)和兩角和與差的三角函數(shù)。主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)、圖像變換、求函數(shù)解析式、最小正周期等；兩角和與差的三角函數(shù)中公式較多，應(yīng)在掌握這些公式的內(nèi)在聯(lián)系及推導(dǎo)過程的基礎(chǔ)上，理解并熟悉這些公式。特別注意以下幾個(gè)問題：
1.和、差、倍、半角公式都是用單角的三角函數(shù)表示復(fù)角（和、差、倍、半角）的三角函數(shù)。這就決定了這些公式應(yīng)用的廣泛性，即這些公式可以將三角函數(shù)統(tǒng)一成單角的三角函數(shù)。
5.三角函數(shù)式的化簡與求值，這是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要內(nèi)容之一，并且與解三角形相結(jié)合，有的還與復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算相聯(lián)系，因此須注意常用方法和技巧：切割化弦、升降冪、和積互化、“1”的互化、輔助元素法等。
三、不等式
有關(guān)不等式的高考試題分布極為廣泛，在客觀題中主要考查不等式的性質(zhì)、簡單不等式的解法以及均值不等式的初步應(yīng)用。經(jīng)常以比較大小、求不等式的解集、求函數(shù)的定義域、值域、最值等形式出現(xiàn)。在中檔題中，求解不等式與分類討論相關(guān)聯(lián)；特別是近幾年來強(qiáng)調(diào)考查邏輯推理能力，增加了一個(gè)代數(shù)推理題，也和不等式的證明相關(guān)聯(lián)。在壓軸題中，無論函數(shù)題、還是解析幾何題，也往往需要使用不等式的有關(guān)知識。在復(fù)習(xí)中應(yīng)注意下述幾個(gè)問題：
1.掌握比較大小的常用方法：作差、作商、平方作差、圖像法。
2.熟練掌握用均值不等式求最值，必須注意三個(gè)條件：一正；二定；三相等。三者缺一不可。
3.把握解含參數(shù)的不等式的注意事項(xiàng)。
解含參數(shù)的不等式時(shí)，首先應(yīng)注意考察是否需要進(jìn)行分類討論。如果遇到下述情況則一般需要討論：
（1）在不等式兩端乘除一個(gè)含參數(shù)的式子時(shí)，則需討論這個(gè)式子的正、負(fù)、零分類。
（2）在求解過程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，則需對它們的底數(shù)進(jìn)行討論。
（3）當(dāng)解集的邊界值含參數(shù)時(shí)，則需對零值的順序進(jìn)行討論。
四、立體幾何
1.“直線和平面”這一章的內(nèi)容是立體幾何的基礎(chǔ)。在復(fù)習(xí)時(shí)要反復(fù)梳理知識系統(tǒng)，掌握每個(gè)概念的本質(zhì)屬性，理解每個(gè)判斷定理和性質(zhì)定理的前提條件和結(jié)論。
2.在研究線線、線面、面面的位置關(guān)系時(shí)，主要是研究平行和垂直關(guān)系。其研究方法是采取轉(zhuǎn)化的方法。
3.三垂線定理及其逆定理是立體幾何中應(yīng)用非常廣泛的定理，只要題設(shè)條件中有直線和平面垂直時(shí)，就往往需要使用三垂線定理及其逆定理。每年高考試題都要考查這個(gè)定理。三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關(guān)系與空間圖形的度量。如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點(diǎn)到直線的垂線。
4.在解答立體幾何的有關(guān)問題時(shí)，應(yīng)注意使用轉(zhuǎn)化的思想：
（1）利用構(gòu)造矩形、直角三角形、直角梯形將有關(guān)棱柱、棱錐、棱臺的問題轉(zhuǎn)化成平面圖形去解決。
（2）利用軸截面將旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化成平面圖形去解決。
（3）將空間圖形展開是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化成為平面圖形問題的一種常用方法。
（4）由于臺體是用一個(gè)平行于錐體底面的平面截得的幾何體，因此有些臺體的問題，常常轉(zhuǎn)化成截得這個(gè)臺體的錐體中去解決。
（5）利用割補(bǔ)法把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化成簡單圖形。
（6）利用三棱錐體積的自等性，將求點(diǎn)到平面的距離等問題轉(zhuǎn)化成求三棱錐的高。
5.立體幾何解答題一般包括“作、證、求”三個(gè)步驟，缺一不可，在證明中使用定理時(shí)，定理的條件必須寫全，特別是比較明顯的“線在面內(nèi)”“兩直線相交”等必須交代清楚。
