時間：2023-05-30 09:47:04
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇雙曲線及其標準方程，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
【關鍵詞】新課改；雙曲線；焦點弦；第二定義
新的數學課程標準是在以學生發展為本的理念下，要求學生轉變學習方式，教師積極探索，轉變教與學觀念，加深對課本內容的拓展理解和應用。所以，在數學教學中，教師應善于引領學生對課本的一些重要問題進行進一步的探索與研究，以提高學生的數學素質與應試能力。雙曲線的定義和焦點弦是圓錐曲線中非常重要的幾何概念，同時也是各類考試的重點和熱點，角度常變，常考不衰。但在普通高中課程標準實驗教科書中，僅僅介紹了雙曲線的第一定義及其直接的、簡單的應用，對于雙曲線的焦點弦問題，幾乎未作出任何探討，教師在教學過程中，也往往局限于新課程標準的教學目標和要求，沒有對這些知識做出進一步的拓展補充。因此，學生往往不能對該類知識點做到透徹理解，巧妙應用。為此，針對雙曲線的兩個定義及焦點弦問題，結合具體事例，做一些簡單探討。
1 雙曲線的兩個定義
定義1：我們把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數（小于F1F2）的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。
定義2：平面上與一個定點（焦點F）的距離和一條定直線（準線l）的距離的比等于常數e的點的軌跡，當0
例1 (2008湖南）若雙曲線(a>0,b>0)的右支上存在一點，它到右焦點及左準線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（）
A．(1，)；B．(，+∞)；
C．(1，)；D．(，+∞)
分析：本題是圓錐曲線中的計算問題，設雙曲線的右支上一點為P(x1,y1)，x1≥a，則點P到左準線的距離為，到右準線的距離為，由雙曲線的第二定義得點P到右焦點的距離為，所以=，解得，由x1≥a，得≥a，整理得c2-2ac-a2≤0，即e2-2e-1≤0(e>1)，解得1
2 焦點弦問題
2.1 焦點弦的一個性質
設雙曲線方程為，離心率為e，直線l經過雙曲線焦點F且與該雙曲線交于A，B兩點， 傾斜角為α，則有
當直線l與雙曲線的兩個交點A，B在雙曲線的同支上時，|cosα|
當直線l與雙曲線的兩個交點A，B在雙曲線的異支上時， |cosα|>1-e （2）
當直線l與雙曲線只有一個交點時，|cosα|=1-e （3）
證明：由對稱性，不妨設F為有焦點(c,0)
（1）由漸近線與弦AB斜率的關系知
⇒1+tan2α>e2⇒sec2α>e2
⇒|cosα|>1-e 。
（2）首先A，B在雙曲異支上時，由漸近線與弦AB斜率的關系知
，
，
⇒1+tan2α
（3）由于直線l與雙曲線有且只有一個交點，依題意則直線l與該雙曲線的漸近線平行，即 ，
，
。
2.2 弦長公式
設雙曲線離心率為e，直線l經過雙曲線焦點F且與該雙曲線交于A，B兩點， 傾斜角為θ，焦點F到相應準線的距離為d，則有
當雙曲線方程為，弦AB的長。
當雙曲線方程為，弦AB的長。
證明：當焦點在X軸上時，設雙曲線方程為，焦點F(c,0)到相應準線的距離為，離心率為。
先推導弦AB所在直線的參數方程，首先AB所在直線的一般方程為y=tanθ(x-c)，此直線方程可看做是直線y=tanθ?x按向量(c,0)平移得到的，而對直線y=tanθ?x，設x=tcosθ，則y=tsinθ，即可得上述直線的參數方程為
x=tcosθ+c
{y=tsinθ（t為參數），
事實上，令
=|t1-t2|。
可發現參數t的幾何意義為直線AB上的某段弦長。
將弦AB所在直線的參數方程與雙曲線方程聯立，并整理得
(b2cos2θ-a2sin2θ)t2+2b2ccosθt+b4=0，
于是，由上述t的幾何意義，
。
如果直線l斜率為k， 。
2.3 應用舉例
例2已知雙曲線的左焦點是F，過F且傾斜角為45°的直線與橢圓的兩個焦點在y軸的不同側，求橢圓離心率e的取值范圍。
解：由題意及上述性質1(1)得|cosα|=1-e ，所以，即。
參考文獻：
[1]數學課程標準解讀（實驗）[M].北京師范大學出版社，2002
[2]普通高中課程標準實驗教科書（選修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2004
錯解一：右準線方程為x=4，=4，又c=10，a=40，b=c-a=60，故雙曲線方程為-=1.
錯解二：右焦點F（10，0），C=10，又e==2，a=5，b=c-a=75，故所求的雙曲線方程-=1.
上述兩個錯解，究其原因，是對曲線的“型與量”的關系處理不當.因為雙曲線的中心沒有明確在坐標原點上，所以不能根據雙曲線的標準方程中的量與量的關系來定量計算.也就是說該題由于雙曲線位置關系不明，就不能用定型到定量的方法解決，只能用圓錐曲線第二定義來解決.而所謂“定型”是指對曲線的形狀、位置、大小的確定（或判斷）.“定量”則是在定型的基礎上，求曲線（方程）中所涉及數量.我們在解題中只有認真審清題意，準確地判斷好曲線形狀、位置、大小，才能相應地定量計算相關的量.其實解析幾何中很多題目都是由定型到定量或定量到定型來解決的，把定型和定量有機地結合起來，就能快速準確解決解析幾何中曲線問題，如下面例子.
一、由曲線“定型定量”的解題
在通過題目分析，確定曲線形狀及其位置（定型）后，再根據其形狀、位置、大小來定量解決相關數量，或設好曲線的（方程）待定式，再求式中的待定數與量（定量）.
例題1（2002年北京高考?文）：若直線L∶y=kx-與直線2x+3y-6=0的交點位于第一象限，則直線L傾斜角的取值范圍（ ）.
A.（，） B.（，） C.（，） D.（，）
解析：因為直線2x+3y-6=0過點A（3，0）和點B（0，2），直線L∶y=kx-過點C（0，-），所以直線L繞C點必須與線段AB相交（不含點A、B）時，則交點進入第一象限（定型）.易求直線L傾斜角的取值范圍（定量）是（，）.
例題2（2003年北京春季招生?理）：已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x+y=1相切，則三邊長分別|a|，|b|，|c|的三角形是（ ）.
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不存在
解析：因為直線與單位圓相切（定型），所以圓心到直線的距離等于半徑（定量），所以=1，即|a|+|b|=|c|.故選B.
二、由曲線的“定量定型”的解題
在通過題目分析中，由題中的數量（定量）關系，確定曲線的形狀或位置或大小（定型）情況.然后利用曲線固有的一些性質來解題.
例題3：頂點在原點，坐標軸為對稱軸，且過點（-2，3）的拋物線是（ ）.
A.y=-x B.x=y
C.y=-x或x=y D.以上都不對
解析：由點（-2，3）的坐標（定量）可知，拋物線經過第二象限（定型），故可設拋物線方程為y=-2px或x=2py（p＞0），此時把（-2，3）的坐標代入可得p=或p=，故選C.
例題4：已知曲線的中心在原點，焦點F，F在坐標軸上，離心率為，且過點（4，-）.
（1）求曲線方程；
（2）若點M（3，m）在曲線上，求證：MFMF；
（3）求FMF面積.
解析：（1）曲線離心率e=（定量），曲線是雙曲線（定型），可設方程為x-y=λ（λ≠0）；
又曲線過點（4，-），16-10=λ，即λ=6.
所以雙曲線方程為x-y=6.
（2）易知焦點F（-2，0），F（2，0），
K=，K=，K?K==-.
又（3，m）在雙曲線上，9-m=6，m=3，
故K?K=-1（定量），則MFMF（定型）.
（3）由M（3，±）在曲線上知（定型），FMF中FF=4，邊FF的高h=（定量），FMF面積是6.
三、由曲線的“定型?圮定量”的解題
在許多題目解答中，往往還要利用定型、定量多次轉換.
1.由曲線“定量定型定量”的解題
例題5：已知圓M經過點P（-4，0），且與圓C：x-8x+y=0相切的圓心M的軌跡方程是 .
解析:設圓M的半徑為R，又由圓C的標準方程（x-4）+y=16可知半徑r=4，結合圖形可得，若圓M與圓C外切時，|MC|-|MP|=4，若圓M與圓C內切時，|MC|-|MP|=-4，也就是說||MC|-|MP||=4（定量）.顯然點M的軌跡滿足雙曲線的定義，則點M軌跡是以P，C為焦點雙曲線（定型），其點M軌跡方程為-=1（a＞0，b＞0），由題意和雙曲線定義可知2a=4，c=4，則可求得b=12（定量）.故填-=1.
2.由曲線“定型定量定型”的解題
例題6：方程y=ax+b與y=ax-b表示的曲線在同一坐標系中的位置可以是（ ）.
1.平行四邊形ABCD的一條對角線固定在A(3，-1)，C(2，-3)兩點，點D在直線3x-y+1=0上移動，則點B的軌跡方程為()
A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
答案：A 解題思路：設AC的中點為O，即.設B(x，y)關于點O的對稱點為(x0，y0)，即D(x0，y0)，則由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.
2.由直線y=x+1上的一點向圓(x-3)2+y2=1引切線，則切線長的最小值為()
A.1 B.2
C. -2D.3
答案：C 解題思路：當該點是過圓心向直線引的垂線的交點時，切線長最小.因圓心(3,0)到直線的距離為d==2，所以切線長的最小值是l==.
3.直線y=x+b與曲線x=有且只有一個交點，則b的取值范圍是()
A.{b||b|=}
B.{b|-1
C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，A是雙曲線漸近線上的一點，AF2F1F2，原點O到直線AF1的距離為|OF1|，則漸近線的斜率為()
A.或- B.或-
C.1或-1 D.或-
答案：D 命題立意：本題考查了雙曲線的幾何性質的探究，體現了解析幾何的數學思想方法的巧妙應用，難度中等.
解題思路：如圖如示，不妨設點A是第一象限內雙曲線漸近線y=x上的一點，由AF2F1F2，可得點A的坐標為，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，則tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得該雙曲線漸近線的斜率為或-，故應選D.
4.設F1，F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，與直線y=b相切的F2交橢圓于點E，E恰好是直線EF1與F2的切點，則橢圓的離心率為()
A. B.
C. D.
答案：C 解題思路：由題意可得，EF1F2為直角三角形，且F1EF2=90°，
|F1F2|=2c，|EF2|=b，
由橢圓的定義知|EF1|=2a-b，
又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，
即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，
所以e2===，故e=，故選C.
5.等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2=16x的準線交于A，B兩點，|AB|=4，則C的實軸長為()
A. B.2 C.4 D.8
答案：C 解題思路：由題意得，設等軸雙曲線的方程為-=1，又拋物線y2=16x的準線方程為x=-4，代入雙曲線的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以雙曲線的實軸長為2a=4，故選C.
6.拋物線y2=-12x的準線與雙曲線-=1的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于()
A. B.3 C. D.3
答案：B 命題立意：本題主要考查拋物線與雙曲線的性質等基礎知識，意在考查考生的運算能力.
解題思路：依題意得，拋物線y2=-12x的準線方程是x=3，雙曲線-=1的漸近線方程是y=±x，直線x=3與直線y=±x的交點坐標是(3，±)，因此所求的三角形的面積等于×2×3=3，故選B.
7.若雙曲線-=1與橢圓+=1(m>b>0)的離心率之積大于1，則以a，b，m為邊長的三角形一定是()
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
答案：D 解題思路：雙曲線的離心率為e1=，橢圓的離心率e2=，由題意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形為鈍角三角形，故選D.
8. F1，F2分別是雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點.若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()
A.2 B. C. D.
答案：B 命題立意：本題主要考查了雙曲線的定義、標準方程、幾何性質以及基本量的計算等基礎知識，考查了考生的推理論證能力以及運算求解能力.
解題思路：如圖，由雙曲線定義得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因為ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故選B.
9.已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()
A.2 B.3
C. D.
答案：A 解題思路：設拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離分別為d1，d2，根據拋物線的定義可知直線l2：x=-1恰為拋物線的準線，拋物線的焦點為F(1,0)，則d2=|PF|，由數形結合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值時，即為點F到l1的距離，利用點到直線的距離公式得最小值為=2，故選A.
10.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)，A，B是雙曲線的兩個頂點，P是雙曲線上的一點，且與點B在雙曲線的同一支上，P關于y軸的對稱點是Q.若直線AP，BQ的斜率分別是k1，k2，且k1·k2=-，則雙曲線的離心率是()
A. B. C. D.
答案：C 命題立意：本題考查雙曲線方程及其離心率的求解，考查化簡及變形能力，難度中等.
解題思路：設A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于點P在雙曲線上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故選C.二、填空題
11.已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點P(2,0)的直線交拋物線于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點，則(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面積的最小值是________.
答案：(1)-8 (2)2 命題立意：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，難度中等.
解題思路：設直線AB的方程為x-2=m(y-0)，即x=my+2，聯立得y2-4my-8=0.(1)由根與系數的關系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面積為S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.
知識拓展：將ABF分割后進行求解，能有效減少計算量.
12. B1，B2是橢圓短軸的兩端點，O為橢圓中心，過左焦點F1作長軸的垂線交橢圓于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項，則的值是________.
答案： 命題立意：本題考查橢圓的基本性質及等比中項的性質，難度中等.
解題思路：設橢圓方程為+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.
13.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B.若=，則p=________.
答案：2 解題思路：過B作BE垂直于準線l于E，
=， M為AB的中點，
|BM|=|AB|，又斜率為，
BAE=30°， |BE|=|AB|，
|BM|=|BE|， M為拋物線的焦點，
p=2.
14.
1．串聯情況：平面幾何是初中的教學內容，是學習立體幾何與解析幾何的基礎，由于平面幾何與解析幾何的研究對象都是平面圖形，因此在解決解析幾何問題時了解相關平面圖形的幾何性質是完美解決問題的前提．
2．考情分析：縱觀近幾年的各地高考數學試卷，直線與圓錐曲線的位置問題一直是解析幾何中的熱點問題，尤其是圓錐曲線焦點弦問題，由于容易得到很多漂亮的性質，也容易編擬出具有一定挑戰性的試題，所以往往也成了命題者關注的“焦點”．有關直線與圓的有關問題也偶爾“靈光一現”．雖然高考試卷中不可能出現平面幾何的試題，但上述兩類問題與平面幾何知識通常有著天然的聯系．
3．破解技巧：（1）對于直線與圓的考題，通常有以下兩類解決方法可供選擇，其一是用代數方法解之；其二是充分利用相關圖形的幾何性質解之；其中第一類思想方法比較簡單，但往往伴隨而來的是繁雜的運算，相對而言第二類方法顯得很簡捷，但必須有較好的平面幾何功底．
（2）對于圓錐曲線中的“觸焦問題”（與焦點相關的問題），在選擇解題方法時，應優先考慮利用圓錐曲線的定義及平面幾何的知識解之，即明確解決這類問題的最常用的思路是充分利用其幾何意義去解決問題．在具體操作中要注意以下兩個轉化：
（A）注意問題所涉及的曲線（橢圓和雙曲線）上的點到曲線的兩個焦點的距離之間相互轉化．
（B）注意問題所涉及的曲線上的點到焦點的距離與到相應準線的距離間的相互轉化．
4．經典例題：
已知圓C1：（x+3）2+y2=4，C2：x2+（y－5）2=4，過平面內的點P有無窮多對互相垂直的直線l1，l2，它們分別與圓C1、圓C2相交，且被圓C1、圓C2截得的弦長相等，求點P的坐標．
破解思路若用代數方法求解，則可設P（a，b），直線l1的斜率為k，則l1，l2被圓C1、圓C2截得的弦長可用a，b，k表示之，由此可得到關于k的恒等式，從而得到關于a，b的兩個方程，進而求得a，b的值；大家不妨試一試！
注意到圓C1、圓C2是兩個相離的等圓，所以它們關于線段C1C2的中垂線對稱，不難猜想，點P在線段C1C2的中垂線上，再由特例法（當直線l1，l2分別過圓心C1，C2時）找到滿足條件的點P后再加以證明即可．
經典答案如圖1，以線段C1C2為斜邊作等腰直角三角形P1C1C2，下面證明點P1符合要求：直線l1，l2分別和直線P1C1，P1C2重合時，顯然滿足要求；
再把直線P1C1，P1C2繞點P1順時針旋轉θ角時，設直線l1，l2被圓C1、圓C2截得的弦分別為A1B1，A2B2，分別取A1B1，A2B2的中點D1，D2，連結C1D1，C2D2，則RtP1C1D1≌RtP1C2D2，所以C1D1=C2D2，所以A1B1=A2B2．
由于θ的大小可有無窮多種取法，所以點P1符合要求．
由C1（－3，0），C2（0，5）可得點P的坐標為（1，1）或（－4，4）．
已知l1，l2是雙曲線－=1的兩條漸近線，過橢圓+=1（a>b>0）的右焦點F（c，0）作直線m，使ml1，m與l2的交點為P，m與已知橢圓的交點記作A與B（如圖2）．
求：λ=的最大值及其此時橢圓的離心率e的值．
破解思路要解決本題可分兩大步驟來完成，第一步：把λ表示成關于橢圓離心率e的函數（實在不行，可先建立一個關于λ與e的方程）；第二步：求出這個函數最值即得所需結論．解題的關鍵是如何由已知條件，得到關于λ與e的方程，由于點P恰在橢圓的右準線上，因此可以考慮使用“橢圓上的點到焦點的距離與到相應準線間的距離間的相互轉化”策略，再結合解三角形的知識解決之．
經典答案設直線m的方程為y=（x－c），易求得點P的坐標為P，，所以P恰在橢圓的右準線l上，作BNl于N，AMl于M．
設AF=u，BF=v，則AM=AF=，BN=BF=，所以λ===，所以v=λu，
直角梯形AMNB中，BN－AM=，AB=u+v=（1+λ）u．
因為tan∠ABN=，所以cos∠ABN===•，即=，令2－e2=t，則1
而s==≤=－1，由t=得t=，此時e=，smax=－1，即0
所以λ=的最大值為+1，此時e=．
1．串聯情況：方程思想和基本量方法是解決數學問題的重要方法之一，對于解析幾何中的一些問題，尤其是有關求圓錐曲線方程的問題，若用方程的思想與基本量方法分析解決之會顯得很“自然”．
2．考情分析：由題設條件求圓錐曲線的標準方程是圓錐曲線中最常見的一種題型，近幾年的高考圓錐曲線大題一般設置兩三個小題，其中的第一小題通常是求曲線的標準方程．
3．破解技巧：易見中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓、雙曲線共有兩個基本量，即確定這樣的橢圓、雙曲線只需兩個獨立的條件．
操作時只需把題設條件“翻譯”成關于其中的兩個基本量（如：a，b）的方程，然后求所得方程組的解即可．頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線有且僅有一個基本量，所以求拋物線的方程的思想方法更加簡單．操作時要注意焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩種情況均有可能，當其中的一個已知條件比較直接時，可選使用這個條件求出其中一個系數，以簡化運算過程．
4．經典例題：
已知：雙曲線的中心在坐標原點，過雙曲線右焦點且斜率為的直線與雙曲線交于A，B兩點，若OAOB，AB=4，求雙曲線的標準方程．
破解思路易見雙曲線的焦點在x軸上，所以可設其方程為－=1，只須把條件OAOB，AB=4“翻譯”成關于a，b的兩個方程，再解關于a，b的方程組即可得到結論．
經典答案設雙曲線的方程為－=1，右焦點為F（c，0），其中a，b，c∈R+，c2=a2+b2．設A（x1，y1），B（x2，y2），=t（t>0），直線AB的方程為x=y+c．
由x2－y2=c2，x－y=c2得（1+t）x2－1+y2=x2－2xy+y2，即+－2－t=0．
由于kOA•kOB==－1，所以+－t=0，解得t=3，即b2=3a2，c=2a，故雙曲線的方程為3x2－y2=3a2．
把直線AB的方程為x=y+2a代入雙曲線方程得4y2+4ay+9a2=0，所以（y－y）2=（y+y）2－4yy=6a2．
又因為AB2=（x－x）2+（y－y）2=（y－y）2=16，所以a2=1，雙曲線方程為x2－=1．
反思解決本題的思想方法比較簡單，其難點是對運算能力的要求較高，一不小心就會陷入繁雜的運算之中而不能自拔，所以如何簡化圓錐曲線問題的運算過程顯得尤為重要．上述解法的可取之處如下：其一是把直線AB的方程寫成x=y+c有利于簡化運算；
其二是構造關于的方程，使kOA•kOB=－1能與之直接“對話”；其三是利用條件OAOB得到b2=3a2，打開了勝利之門．
1．串聯情況：函數是中學數學的主線，函數思想是中學數學中最重要的思想方法之一，最值和范圍問題是中學數學中的永恒話題，而函數思想是分析解決最值問題最“給力”的武器．
2．考情分析：（1）最值問題和參數的范圍問題是解析幾何試題中出現相對頻繁的題型，通常涉及求面積、線段長、離心率及其他相關參數值的取值范圍問題．
（2）對于解幾何中定值問題，雖然在現行的教材中沒有專門的介紹，但在高考試卷中還是屢見不鮮的．
3．破解技巧：（1）對于解析幾何中的最值和范圍問題，一般可用建立目標函數方法解決之．若能把所求參數表示成某一個變量的函數，則問題就可化歸為求這個函數的最值（或值域）．
（2）解析幾何中的定值問題，所涉及的量“照理”應是一個變量，即這個量應隨某一個量的變化而變化，若它真的是一個定值，則它“恰巧”與這個量的變化無關；所以我們只須“裝腔作勢”地把它表示成關于這個變量的函數，化簡以后必可得這個函數為常數，從而問題也得到解決．
4．經典例題：
橢圓C過定點M－1，，兩個焦點分別為F1（－1，0），F2（1，0），過點M作傾斜角互補的兩條直線MA，MB分別交橢圓于A，B．
（1）求證：直線AB的斜率為定值；
（2）求MAB的面積S的最大值．
破解思路（1）注意到A，B兩點的坐標都隨直線MA的斜率k的變化而變化，故直線AB的斜率“照理”也應該隨k變化而變化，所以我們只須“裝腔作勢”地把直線AB的斜率用k表示之，化簡后即可得到定值．
經典答案（1）容易得到橢圓的方程為+y2=1，設直線MA的斜率為k，則直線MB的斜率為－k，直線MA的方程y－=k（x+1），即y=k（x+1）+，代入橢圓方程可得：［（x+1）－1］2+2k（x+1）?搖+=2，即（x+1）［（1+2k2）•（x+1）?搖+2k－2］=0，所以xA=－1+，y=+，同理可得xB=－1+，y=+．
所以y－y=，xA－xB=，故kAB===－（定值）．
評注（1）本題的證明對運算的要求較高，上述解題過程中充分利用“點M在橢圓上”及“A，B兩點的地位相同”等性質，運算過程還是顯得比較簡潔．
（2）設點M關于y軸的對稱點為M1，則當k0時，直線AB與橢圓在點M1處的切線重合．所以在解答前也可以先猜想AB的斜率應等于橢圓在點M1切線的斜率－，這樣可使解題的目標更加明確．
破解思路（2）注意到M為定點，所以MAB的面積S隨直線AB的變化而變化，由于直線AB斜率為定值，所以可選擇直線AB在y軸上（或x軸上）的截距為目標函數的變量解決之．
經典答案（2）由（1）可知直線AB的斜率為－，所以可設直線AB的方程為x=－y+t，作MN∥x軸交線段AB于N，則Nt－1，，MN=t．
把x=－y+t代入x2+2y2=2可得4y2－2ty+t2－2=0，故有y+y=t，y•y=（t2－2），所以（y－y）2=（y+y）2－4yAyB=（4－t2），即y－y=，MAB的面積S=f（t）=MNy－y=t=≤•=，由4－t2=t2得t=±，所以t=±時，MAB的面積S取最大值．
1．串聯情況：從表面上看，在有關解析幾何的試題中連不等式的“影子”都很難找到；在大千世界中，等是相對的，而不等是絕對的，在解析幾何中也是如此，在解決有關解析幾何問題時，若能合理地利用不等式往往能給它“致命一擊”．
2．考情分析：對于解析幾何中的最值問題，除了幾何意義法及目標函數法外，目標不等式法也是一種不錯的選擇．
3．破解技巧：要探求某一參變量的取值范圍時，我們只須得到這個參變量應滿足的目標不等式，然后解這個目標不等式即可，所謂“退一步海闊天空”就是這個道理！但在具體操作時，其思考方法與目標函數法相同，最后選擇目標不等式法還是目標函數法要視具體情況而定．
4．經典例題：
已知M（x0，y0）為直角坐標平面中第一象限內的一個定點，直線l過點M且與坐標軸圍成的三角形的面積為定值S0，那么滿足條件的直線l有幾條？
破解思路由于過點M的直線與坐標軸在第三象限不能圍成三角形，而在第二、四象限圍成的三角形的面積可以取到任意正實數，且面積的大小與直線構成一一映射；故問題可化歸為求與坐標軸在第一象限內圍成的三角形面積為S0的直線l有多少條，也可化歸為求直線l與坐標軸在第一象限內圍成的三角形OAB面積的最小值．
注意到SOAB=OAOB，所以直線l的方程的形式選擇截距式較為合理．
經典答案如圖4，設過點M（x0，y0）的直線l分別交x軸正半軸于點A（a，0），交y軸的正半軸于點B（0，b），則直線l的方程為+=1，所以1=+≥2，即ab≥4x0y0，所以OAB的面積S=ab≥2x0y0．
由==得a=2x0，b=2y0，所以a=2x0，b=2y0時，S取最小值2x0y0．
由于對于任意給定的正實數S0，當直線l和坐標在第二（第四）象限圍成的三角形的面積為S0時，滿足條件的直線l有且僅有一條，所以：
（1）0
（2）S0=2x0y0時，滿足條件的直線l有且僅有三條．
（3）S0>2x0y0時，滿足條件的直線l有且僅有四條．
如圖5，梯形ABCD中，AB=2CD，點E分有向線段所成的比為λ，雙曲線經過C，D，E三點，且以A，B為焦點，當≤λ≤時，求雙曲線的離心率e的取值范圍．
破解思路本題是參變量的取值范圍問題，易見當λ的值確定后，雙曲線的形狀也隨之確定，即雙曲線的離心率e隨λ的變化而變化，又注意到≤λ≤，故可選擇λ為自變量，把e表示為關于λ的目標函數，然后求出e的取值范圍．
經典答案以AB的中垂線為y軸，直線AB為x軸建立直角坐標系，則CDy軸，雙曲線過點C，D，且以A，B為焦點．
由雙曲線的對稱性知C，D關于y軸稱，設A（－c，0），B（c，0），由于AB=2CD，故可設C，h．
因為E分的比為λ，設E（x0，y0），則x0==•，y=.設雙曲線的方程為－=1，則由C，h在雙曲線上，得－=1，即=e2－1．
又E，也在雙曲線上，所以e2－•=1，e2－（e2－4）=1，解得λ=1－．
又≤λ≤，所以≤1－≤，解得7≤e2≤10，所以e∈［，］．
反思（1）本題的解題關鍵是利用“C，D，E三點在雙曲線上”等條件建立λ和e的關系式，h和b僅起到“橋”的作用．
（2）在操作過程中發現把λ用e表示反而顯得比較簡單，所以改用建立關于e的目標不等式的方法解之，這與把問題化歸為求目標函數e2=－－2（其中≤λ≤）的值域有異曲同工之妙．
1．串聯情況：解析幾何的本質就是用代數方法研究幾何圖形的性質，是數形結合的典范；而平面向量又是數和形之間“天然的橋梁”，所以運用平面向量解決解析幾何問題是很自然的選擇．
2．考情分析：縱觀近幾年各地高考數學試卷，平面向量與解析幾何的結合體現在以下兩個方面，其一是平面向量在試題的敘述中起到“包裝”作用，即其中的一些題設條件是以向量的形式給出的（如：例6）；其二是在解答有關與長度、角度有關的解析幾何問題過程中合理地運用平面向量這個工具可以優化解題過程．
3．破解技巧：（1）對于利用平面向量僅起到“包裝”作用的試題，其對策通常是設法剝去問題的過度“包裝”看清問題的本質所在．
（2）在解決有關與長度、角度有關的解析幾何問題不要忘記平面向量這個好幫手．
4．經典例題：
設A，B分別為橢圓+=1的左、右頂點，點P是橢圓右準線上且不在x軸上的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M，N，證明：點B在以MN為直徑的圓內．
破解思路（1）要證明點B在以MN為直徑的圓內，只須證明∠MBN為鈍角，即證明∠MBP為銳角，也即證明•>0．
（2）由于A，B為定點，且點P在定直線x=4上，所以M，N，P中的任意一點確定，則其他兩點隨之確定，整個圖形也完全確定，因此可以從中選擇一個點的坐標為基本變量，然后用這個基本變量表示•．
經典答案（方法一：以點P的坐標為基本變量）由題意可得A（－2，0），B（2，0），右準線的方程為x=4，而P在右準線上，所以可設P（4，λ）．直線PA的方程為y=（x+2），代入橢圓方程得（x+2）3+?搖（x+2）－12=0，解得xM=－2，yM=．
=－4，，=（2，λ），所以•=－8+=>0，所以∠MBP為銳角，故∠MBN為鈍角，所以結論成立．
反思由于點M與點N的地位相同，且都可以看成由點P“生成”，因此選擇以點P的坐標為基本變量，顯得比較自然．
但縱觀上述解法，由點P的坐標表示點M的坐標時，由于不可避免地要求直線與橢圓的交點坐標，因此運算較煩瑣且有一定的技巧性．
（方法二：以點M的坐標為基本量）由題意可得A（－2，0），B（2，0），右準線的方程為x=4．
因為點P在橢圓上，所以可設M（2cosθ，sinθ），所以=（2cosθ－2，sinθ）．直線AM的方程為=，令x=4得P4，，所以=2，，所以•=4cosθ－4+=4cosθ－4+9（1－cosθ）=5（1－cosθ）>0，所以∠MBP為銳角，故∠MBN為鈍角，所以結論成立．
1．串聯情況：眾所周知，“從曲線到方程”和“從方程到曲線”是解析幾何的兩個基本問題，要用代數方法研究曲線的性質，首先要解決的問題是探求曲線的方程，求動點的軌跡方程作為解析幾何中的兩大基本問題之一，其重要性是不言而喻的．
2．考情分析：對于求曲線的軌跡方程問題的考查，能很好地反映考生邏輯思維能力、運算能力、分析問題和解決問題的能力，因此也是高考數學中有關解析幾何問題中命題的熱點，也是多數考生公認的難點之一．
3．破解技巧：破解這個問題必須過以下三關：第一關：掌握基本方法關，即掌握求軌跡方程的一些常用方法，并掌握各種方法的適用范圍及操作程序．其中常用的方法有：①定義法、②直接法、③轉移法、④復數法、⑤參數法、⑥交軌法、⑦斜率法等．
第二關：選擇方法操作關，即能根據題目條件，合理地選擇解題方法，并進行操作．
第三關：純粹完備結論關，即注意最后結論的純粹性和完備性．
4．經典例題：
過點A（0，－2）的直線與拋物線y2=4x相交于P，Q兩點，求以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形第四個頂點M的軌跡方程．
破解思路由于OPMQ為平行四邊形，所以OM的中點和PQ的中點N重合，故可借助于N點求M的軌跡方程，選擇斜率法法解之．其操作程序為：設點列式?圯兩式相減?圯分解因式?圯出現斜率?圯消去斜率?圯得到方程?圯驗證結論．
經典答案設P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x，y），則OM的中點為N，．
因為OPMQ是平行四邊形，所以N，也是QP的中點，所以x1+x2=x，y1+y2=y.又y=4x1，…（1）?搖y=4x2，…（2）?搖
（2）－（1）得（y+y）（y－y）=4（x2－x1），即（y+y）=4，所以kPQ•y=4．
又A，P，Q，N共線，所以kPQ=kAN=，所以y•=4，即y2+4y=4x．
又N，在拋物線y2=4x的開口內，所以
點M的軌跡方程為：
（y+2）2=4（x+1）（y0）．
反思（1）本題容易忽視軌跡的純粹性；在用“兩式相減”法求動弦中點的軌跡方程時，還需注意動直線與曲線是否一定有交點，上述解法利用“N點必在拋物線的開口內”，巧妙地求出了軌跡的取值范圍，簡化了運算過程．
（2）用“兩式相減”法（斜率法）求動弦的中點軌跡的運算簡單且易于操作，但所求問題必需與動弦的斜率相關，否則“英雄”也無用武之地．
1．形成系統知識網絡，做好查漏補缺工作．
在數學高考中，出現任何概念性錯誤都是致命的，對于基本概念和基礎知識的掌握不能有半點閃失．在第二輪復習中，對各個知識模塊的基本概念及其基礎知識最好能再梳理一遍.對于解析幾何，由于其研究對象只是一條直線和四條曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線），所以復習時可對照高考要求，對各條曲線逐條進行解決，做到既能定性分析，又能定量分析．
平時考試中犯的錯誤有很大一部分是“習慣性”的錯誤，在高考中要盡量杜絕這種事情的發生，所以對解析幾何的一些易錯點要特別引起注意．
2．熟悉典型問題解法，做到以不變應萬變．
在高考中的解析幾何試題，特別是圓錐曲線的綜合問題，雖然可以說是紛繁復雜、千變萬化，但往往是以下十類典型問題中的若干個問題的組合．因此對這些典型問題要做到“上有政策，下有對策”，這樣才能以不變應萬變，力于不敗之地．
附：圓錐曲線中的十類典型問題
（1）求圓錐曲線的標準方程．
（2）說明圓錐曲線的幾何性質．
（3）直線與圓錐曲線的位置關系問題．
（4）與圓錐曲線過焦點的弦相關的問題．
（5）與圓錐曲線弦的中點相關的問題．?搖
（6）與圓錐曲線的弦長相關的問題．
（7）圓錐曲線中的最值與取值范圍問題．
（8）圓錐曲線中的定值、定位問題．
（9）圓錐曲線中的對稱問題．
（10）與圓錐曲線相關的軌跡問題．
回顧2008～2012年的江蘇高考題，解析幾何是重要內容之一，所占分值在25分左右，在高考中一般有2～3條填空題，一條解答題.填空題有針對性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質及其應用，主要針對圓錐曲線本身，綜合性較小，試題的難度一般不大；解答題主要是以圓或橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關系，除了本身知識的綜合，還會與其它知識如向量、函數、不等式等知識構成綜合題，多年高考壓軸題是解析幾何題.
二、應對策略
復習中，一要熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的基礎知識、基本方法，在抓住通性通法的同時，要訓練利用代數方法解決幾何問題的運算技巧.
二要熟悉圓錐曲線的幾何性質，重點掌握直線與圓錐曲線相關問題的基本求解方法與策略，提高運用函數與方程思想、向量與導數的方法來解決問題的能力.
三在第二輪復習中要熟練掌握圓錐曲線的通性通法和基本知識.
預測在2013年的高考題中：
1.填空題依然是直線和圓的方程問題以及考查圓錐曲線的幾何性質為主，三種圓錐曲線都有可能涉及.
2.在解答題中可能會出現圓、直線、橢圓的綜合問題，難度較高，還有可能涉及簡單的軌跡方程和解析幾何中的開放題、探索題、證明題，重點關注定值問題.
三、常見題型
1.直線與圓的位置關系問題
直線與圓的位置關系是高考考查的熱點，常常將直線與圓和函數、三角、向量、數列、圓錐曲線等相互交匯，求解參數、函數最值、圓的方程等，主要考查直線與圓的相交、相切、相離的判定與應用，以及弦長、面積的求法等，并常與圓的幾何性質交匯，要求學生有較強的運算求解能力.
求解策略：首先，要注意理解直線和圓等基礎知識及它們之間的深系；其次，要對問題的條件進行全方位的審視，特別是題中各個條件之間的相互關系及隱含條件的挖掘；再次，要掌握解決問題常常使用的思想方法，如數形結合、化歸轉化、待定系數、分類討論等思想方法；最后，要對求解問題的過程清晰書寫，準確到位.
點評：（1）直線和圓的位置關系常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d及半弦長l2構成直角三角形關系來處理.
（2）要注意分類討論，即對直線l分為斜率存在和斜率不存在兩種情況分別研究，以防漏解或推理不嚴謹.
2.圓錐曲線中的證明問題
圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一類是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關系，如：某點在某直線上、某直線經過某個點、某兩條直線平行或垂直等；另一類是證明直線與圓錐曲線中的一些數量關系（相等或不等）.
求解策略：主要根據直線、圓錐曲線的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等，通過相關的性質應用、代數式的恒等變形以及必要的數值計算等進行證明.
常用的一些證明方法：
點評：本題主要考查雙曲線的概念、標準方程、幾何性質及其直線與雙曲線的關系.特別要注意直線與雙曲線的關系問題，在雙曲線當中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為2，它的漸近線為y=±x，并且相互垂直，這些性質的運用可以大大節省解題時間.
3.“是否存在”問題
所謂存在性問題，就是判斷滿足某個（某些）條件的點、直線、曲線（或參數）等幾何元素是否存在的問題.這類問題通常以開放性的設問方式給出，若存在符合條件的幾何元素或參數值，就求出這些幾何元素或參數值，若不存在，則要求說明理由.
求解策略：首先假設滿足條件的幾何元素或參數值存在，然后利用這些條件并結合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現矛盾，并且得到了相應的幾何元素或參數值，就說明滿足條件的幾何元素或參數值存在；若在推理與計算中出現了矛盾，則說明滿足條件的幾何元素或參數值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程.
例3（2012年高考（湖北文））設A是單位圓x2+y2=1上任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1），當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標.
（2）過原點斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點，其中P在第一象限，且它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m，使得對任意的k>0，都有PQPH？若存在，請說明理由.
點評：本題是一個橢圓模型，求解標準方程時注意對焦點的位置分類討論，不要漏解.對于探討性問題一直是高考考查的熱點，一般先假設結論成立，再逆推所需要求解的條件，對運算求解能力和邏輯推理能力有較高的要求.
4.定點定值問題的方法
圓錐曲線中的定點、定值問題是高考的熱點，是指某些幾何量線段的長度、圖形的面積、角的度數、直線的斜率等的大小或某些代數表達式的值等和題目中的參數無關，不依參數的變化而變化，而始終是一個確定的值.題型以解答題為主，解決的基本思想從變量中尋求不變，即先用變量表示要求的量或點的坐標，再通過推理計算，導出這些量或點的坐標和變量無關.
常見的類型：（1）直線恒過定點問題；（2）動圓恒過定點問題；（3）探求定值問題；（4）證明定值問題.
點評：（1）橢圓和雙曲線的定義反映了它們的圖形特點，是畫圖的依據和基礎，而定義中的定值是求標準方程的基礎，在許多實際問題中正確利用定義可以使問題的解決更加靈活.已知圓錐曲線上一點及焦點，首先要考慮使用圓錐曲線的定義求解.
（2）求解直線和曲線過定點問題的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量m，k當作常數看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數都成立，這時參數的系數就要全部等于零，這樣就得到一個關于x1的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點.
5.最值與范圍問題
解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數和建立不等關系，根據目標函數和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數和不等關系.建立目標函數或不等關系的關鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據問題的實際情況靈活處理.
求參數范圍的方法：據已知條件建立等式或不等式的函數關系，再求參數范圍.
圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方法，即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數方法，即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個（些）參數的函數（解析式），然后利用函數方法、不等式方法等進行求解.
求解最值問題應注意：
（1）如果建立的函數是關于斜率k的函數，要增加考慮斜率不存在的情況；
（2）如果建立的函數是關于點的坐標x，y的函數，可以考慮用代入消元、基本不等式、三角換元或幾何解法來解決問題.
例5（2012年高考（廣東理））在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率e=23，且橢圓C上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3.
點評：從近兩年高考試題來看，直線與圓錐曲線的位置關系、弦長、中點弦的問題是高考的熱點問題，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高.客觀題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系、弦長問題，解答題考查較為全面，在考查上述問題的同時，注重考查函數與方程、轉化與化歸，分類討論等思想，所以在備戰2013年高考中對于此類問題應引起足夠的重視.
6.軌跡問題
求軌跡方程的常用方法：
（1）直接法：將幾何關系直接轉化成代數方程.
（2）定義法：滿足的條件恰適合某已知曲線的定義，用待定系數法求方程.
（3）代入法：把所求動點的坐標與已知動點的坐標建立聯系.
（4）交軌法：寫出兩條動直線的方程直接消參，求得兩條動直線交點的軌跡.
求動點的軌跡方程的一般步驟
（1）建系――建立適當的坐標系；
（2）設點――設軌跡上的任一點P（x，y）；
（3）列式――列出動點P所滿足的關系式；
（4）代換――依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為x，y的方程式，并化簡；
（5）證明――證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程.
在高中數學課堂教學中，教師要結合學生的實際情況，精心設計學案，引導學生自主探究數學知識，使學生目的明確、有條不紊地進行數學技能訓練，讓學生成為數學學習的主體，發揮學生的主觀能動性，從而提高教學效果.下面談談基于學案導學的高中數學課堂教學備課策略.
第一，備學生.根據學生的實際情況，設計數學學案內容.學生作為課堂教學中最活躍的決定性因素，任何學習活動都要立足于學生的實際情況進行設計組織.在組織學生運用學案導學時，教師對學案的準備，需要從學生的知識基礎、能力水平和生活經驗出發，幫助學生建立新舊知識的聯系，引發學生思想情感上的共鳴，調動學生在學案的指導下學習數學的積極性.例如，在講“三角函數”時，教師可以組織學生運用學案導學的方法進行學習.在課前準備時，教師考慮到學生對于這部分內容比較陌生，直接讓學生理解三角函數的概念困難比較大.教師對學生的學習情況進行全面了解發現，大部分學生傾向于通過動手操作畫圖，利用學過的三角形的邊、角關系等相關知識，進行獨立的推導，完成知識探究.教師還發現，學生有關三角形的知識掌握的比較扎實，有能力進行推導三角函數的公式.于是，在設計這一節的學案時，教師就層層深入地引導學生，先復習了直角三角形的邊、角等相關的對邊、斜邊、鄰邊等概念知識，然后讓學生分別計算出兩組邊的比率，自己推導出三角函數的公式，調動了學生運用學案的積極性，取得了比較理想的導學效果.由此可見，全面了解學生的情況，充分考慮學生的數學學習需求，從學生的實際出發準備學案，能夠提高學案的應用效果，使學案最大程度地發揮自身價值，引導學生高效完成數學學習任務.
第二，備教法.預設課堂教學情況，指導學生學習方法.“教有法而無定法.”只有適合學生的教學方法，才能指導學生的學習活動，提高課堂教學效果.在課前準備教案時，教師要根據高中數學的具體學習內容和學生的數學水平，設計與學案相匹配的教學方法，幫助學生在學案的引導下高效開展高中數學學習.例如，在講“雙曲線及其標準方程”時，教師考慮到學生對于“雙曲線”“雙曲線標準方程”等數學基礎知識的理解存在一定困難，容易受到橢圓知識的負面影響，產生混淆錯誤，學案設計采取了對比法和發現法相結合的方式，借助多媒體輔助教學，讓學生在原有橢圓知識和學習經驗的基礎上，通過比較、類比、歸納、自主學習、合作學習等方式學習這部分內容.首先，通過多媒體展示生活中的雙曲線，刺激學生的感官，在學生的學案上體現為Flas，讓學生通過觀看，感知雙曲線的圖象，即平面從豎直方向由上往下截圓錐體，得到兩條雙曲線.然后引導學生回憶橢圓的知識，什么是橢圓？如何作出橢圓？橢圓的標準方程是什么？如何推導來的？學生再按照同樣的方法學習雙曲線的知識.由此可見，備教法也是學案導學必不可少的內容.教師作為學案導學的組織者，運用科學合理的教學方法，能夠調動學生參與學習，指導學生的學習行為，從而提高教學效果.
第三，備教材.吃透數學教材內容，挖掘數學學習資源.在課前準備時，教師要深度挖掘教學內容，拓寬數學教材涉及的知識，對數學知識做到駕輕就熟，發現更多有價值的教學資源，為學生的學案導學提供有力的支持.例如，在講“圓錐曲線的定義及應用”時，為了設計適合的學案，教師對于教材內容進行了深入的解讀，發現這部分知識非常抽象，是經過大量的實踐之后抽象概括出來的，學生在學習理解@部分內容必然遇到困難，而且這部分內容涉及的基礎知識和基本概念很多，包含了焦點坐標、頂點坐標、離心率、準線方程等，需要學生在平面幾何知識的基礎上進行學習.在備教材時，教師找到了圓錐曲線與雙曲線的結合點，以雙曲線例子導入新知，建立新舊知識的聯系，于是就開門見山，給出了一道求雙曲線最值的題目，由典型習題直接導入新課內容，學生在學案引導下獨立思考解答題目，為新知學習作好準備.由此可見，數學教材是高中數學教學的藍本.教師對于教材內容要做到了然于心，游刃有余地應對課堂教學，創造性地利用教學資源，從而提高教學效果.
總之，要想運用學案引導學生高效地進行數學學習，實現高中數學教學目標，教師就要在課前做好全面的準備工作，既要備學生，又要備教法，還要備教材.在準備學案導學時，教師要轉變自身角色，從學生的角度出發，滿足學生的數學學習需求，為學生的數學學習提供有力的支持和幫助.
（本文是甘肅省“十三五”教育科學規劃課題《基于學案導學的高中數學教學研究》的階段性研究成果.課題號：GS[2016]GHB0013）
縱觀近幾年重慶理科高考題，圓錐曲線在高考試卷中所占的比例一直穩定在11.3％左右，即占17分左右，一小一大：小題側重于定義、幾何性質；大題分為兩小題，第一小題主要考察標準方程的求解，第二小問綜合性較強，有一定難度，常與函數、方程、向量、數列、極限和導數等結合的命題，對學生數形結合與數學語言轉化的能力、函數與方程思想有較高要求。
而在重慶高考中，橢圓是圓錐曲線考察的重點：2011年，橢圓1道大題；2012年，圓1道小題，橢圓1道大題；2013年，圓1道小題，橢圓1道大題；2014年，雙曲線1道小題，橢圓1道大題。小題多為選擇題，大題多在解答題的第20、21題。
二、備考建議
1.重視基礎知識
基礎知識是根本，只有牢固掌握根本，深刻理解到各概念實質，才能運用自如。并且隨著高考逐步的大眾化，試題需要一定量的基礎試題作支撐，因此在高考備考中，一定要重視最基礎知識的強化練習，力爭在高考中不丟最基礎的分數。
2.掌握熱點題型
縱觀近幾年重慶理科高考試題，發現高考中對平面解析幾何的考查主要是在直線與圓錐曲線位置關系上，考查形式主要是參數范圍、軌跡方程計算、最值問題、圓錐曲線幾何性質證明等等。這類試題往往以解答題的形式出現。綜合性較強，思路較復雜，計算量較大。因此在總復習過程中，一定要熟練掌握各類型題的基本方法原理，做到能夠靈活準確地選擇解題方法、完成計算。
3.重視應用向量
繼續對重慶理科高考試題研究，發現重視平面向量在平面解析幾何中的應用。利用好向量的“工具”性，即用向量語言去敘述解析幾何背景，只要精確運用好向量的坐標運算，便能夠順利解決這類問題。
總復習過程中，需要重視向量的基礎。并且需要制定一定的合作與評價等規則，來培養學生的合作技能，教師在合作學習中發揮提醒指導作用，增強學生合作學習欲望，才得以實現思維的進步。
三、教材處理
1.堅持源于課本而高于課本。以考綱為原則，順清概念，掌握知識間連接，尤其是圓錐曲線概念、性質等的類比學習。
2.充分利用好橢圓的兩個定義及其應用，尤其第二定義，其揭示了橢圓上任意一點到焦點距離和這一點橫坐標（或縱坐標）的關系，若運用恰當，可有事半功倍的效果。并且對于涉及到焦半徑或焦點弦的問題，首先應考慮運用這兩個定義。
3.求橢圓方程，運用待定系數法。設法建立關于a、b的方程組，先定型后定量。若位置不確定，考慮是否有兩解，若確定不了焦點所在坐標軸，可將橢圓方程設為 ，根據條件列方程組，就可求解出m、n。
4.在研究橢圓方程性質時，需要掌握橢圓幾何性質。
如：①a＋c與a―c分別為橢圓上的點到焦點距離最大值與最小值；
②橢圓通徑（過焦點垂直于長軸的弦）的長 ，為過橢圓焦點的直線被橢圓所截的最小弦長；
③特征三角形能很好地反映出a、b、c間的關系： ；
④找頂點到準線、焦點到準線的距離時，明確哪一焦點哪一準線，并結合圖形與準線方程得出：
、 。
5.在找直線與橢圓關系時，聯立方程組進行消元整理。并化為關于x（或y）的一元二次方程，研究是否判別式 。當已知直線和圓錐曲線只有一個交點時，未必 ，因為此時直線和圓錐曲線不一定相切，如雙曲線與平行于其一條漸近線的直線、拋物線與其對稱軸所在直線，都只有一個公共點，相交但不相切，此時 。
四、銜接高考
考點一 考察幾類圓錐曲線的幾何性質
（2010年 重慶理）10、到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內的軌跡是（ ）。
A. 直線 B. 橢圓 C. 拋物線 D.雙曲線
解析：排除法 軌跡是軸對稱圖形，排除A、C，軌跡與已知直線不能有交點，排除B
考點二 考察標準方程 以及直線與橢圓的關系
（2013年 重慶理）21、如圖，橢圓中心為原點 ，長軸在 軸上，離心率為 ，過左焦點 作 軸的垂線交橢圓于 、 兩點， ．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）取垂直于 軸的直線與橢圓相較于不同的兩點 、 ，過 、 作圓心為 的圓，使橢圓上的其余點均在圓 外．若 ，求圓 標準方程．
解：（1）由題意知點 在橢圓上，
則 從而
由 ，從而故該橢圓的標準方程為
（2）由橢圓的對稱性，設 。又設M（x，y）是橢圓上任一點，則
設 ，由題意知，P是橢圓上到Q距離最小的點，
因此，上式當 時取最小值，
又因 ，所以上式當 時取得最小值，
從而 .
因為 所以 即
由橢圓方程及 解得
從而
故這樣的圓有兩個，標準方程分別為
參考文獻：
[1]王彩云 三類圓錐曲線“焦半徑公式”的一套記憶口訣[期刊論文]-中學教學參考
回顧2008～2012年的江蘇高考題，圓錐曲線是重要內容之一，所占分值在25分左右，在高考中一般有2～3條填空題，一條解答題。填空題有針對性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質及其應用，主要針對圓錐曲線本身，綜合性較小，試題的難度一般不大；解答題主要是以圓或橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關系，除了本身知識的綜合，還會與其他知識如向量、函數、不等式等知識構成綜合題，多年高考壓軸題是解析幾何題。
二、應對策略
一要熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的基礎知識、基本方法，在抓住通性通法的同時，要訓練利用代數方法解決幾何問題的運算技巧。
二要熟悉圓錐曲線的幾何性質，重點掌握直線與圓錐曲線相關問題的基本求解方法與策略，提高運用函數與方程思想、向量與導數的方法來解決問題的能力。
三是在第二輪復習中要熟練掌握圓錐曲線的通性通法和基本知識。
預測未來高考題的走勢。
1.填空題依然是以考查直線和圓的方程問題及圓錐曲線的幾何性質為主，三種圓錐曲線都有可能涉及。
2.在解答題中可能會出現圓、直線、橢圓的綜合問題，難度較高，還有可能涉及簡單的軌跡方程和解析幾何中的開放題、探索題、證明題，重點關注定值問題。
三、常見題型
1.“是否存在”問題
所謂存在性問題，就是判斷滿足某個（某些）條件的點、直線、曲線（或參數）等幾何元素是否存在的問題。這類問題通常以開放性的設問方式給出，若存在符合條件的幾何元素或參數值，就求出這些幾何元素或參數值，若不存在，則要求說明理由。
求解策略：首先假設滿足條件的幾何元素或參數值存在，然后利用這些條件并結合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現矛盾，并且得到了相應的幾何元素或參數值，就說明滿足條件的幾何元素或參數值存在；若在推理與計算中出現了矛盾，則說明滿足條件的幾何元素或參數值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程。
【例1】（2012年高考（湖北文））設A是單位圓x2+y2=1上任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足
|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1），當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C。
一、實施有效預設，促進精彩生成
1.構想全程預案，夯實原始基礎
教學是一個有目標、有計劃的活動，課前教師對自已的教學任務有一個清晰、理性的思考與安排，這就是“預設”。 預設是教學的基本規劃，是為了課堂上有更好的資源生成。“預設”經常被人認為給學生挖一個陷阱，等著學生往里跳，框住了學生的思維，其實這是對預設的一種誤解。沒有預設時的全面考慮與周密設計，哪有課堂上的有效互動與動態生成；沒有上課前的胸有成竹，哪有課堂上的游刃有余。所以如何正確地認識預設將直接影響著“生成”。在新課程理念下對預設的要求不是降低而是提高了。它要求預設從關注教本，從教師出發轉向從學生出發演繹動態學案，能真正關注全體學生的全面發展，為每個學生提供主動積極活動的機會，讓不同層面的學生得到不同的發展，在立體式互動中促使師生同成長共發展。在一個完整的教學過程中，如果只有預設而沒有生成，學生的主體性沒有被重視，是一種灌輸學習；如果有了預設，并在預設中有所生成，就說明師生間有了較好的互動，學生的主體性被重視。
案例一 ：
在講授人教A版2-3 3.1回歸分析的基本思想及其初步應用（三）中：
例3：一只紅鈴蟲的產卵數 和溫度 有關，現收集了7組觀測數據列于下表中，
溫度
21 23 25 27 29 32 35
產卵數 個
7 11 21 24 66 115 325
（1）試建立產卵數y與溫度x之間的回歸方程；并預測溫度為28℃時產卵數目。
（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產卵數的變化？
預設1：用一次函數模型 擬合兩變量間的關系，效果不理想。
預設2：用二次函數模型 來擬合，擬合效果一般。
預設3：用指數函數模型y= （其中 是待定的參數）來擬合，效果最好。
對于預設1，2，3可以結合相關指數與散點圖比較擬合的效果。
教師要有多條思路：每種情況如何處理，如何才能有效地調動學生的積極性，盡可能地把可能產生的情況考慮到。沒有高質量的預設，就不會有精彩的生成。
2.設計彈性方案，拓展自主空間
設計彈性方案，為師生在教學過程中發揮創造性提供條件，給學生留有充分想象的余地和自主建構的空間。
案例二：
學生用二次函數模型擬合后，發現擬合效果一般，選擇效果更好的一個函數模型， 預設學生可能會想到，用冪函數模型 來擬合，可以引導學生加以分析。借此總結對于散點分布在一個曲線狀帶形區域，可以選擇一些我們熟悉的函數如：冪函數，指數函數，對數函數及反比例函數等.
彈性設計給師生活動留有更大空間，教師的教學因此而擁有很大彈性，可根據教學中生成的資源及時調整自己的教學行為。
總之，預設是生成的基礎，生成是預設的升華。處理好兩者的對立與統一的關系，因勢利導，達成預設，促其生成。在“精心預設”中體現教師的匠心，在“動態生成”中展現師生智慧互動的火花，努力達成“精心預設”與“動態生成”的平衡，讓“動態生成”在精心預設的基礎上綻放教學的精彩。教師應多一份精心預設，課堂就會多一份動態生成，學生會多一份發展，從而建立師生共鳴、智慧碰撞、充滿生命活力的有效教學新課堂。
二、捕捉智慧瞬間，演繹精彩生成
預設好的教學預案，是為了在課堂中得到完美展現，但“人們無法預料教學所產生的成果的全部范圍，沒有預料不到的成果，教學也就不成為一種藝術了。”（布盧姆），這必然要求教學活動突破預期目標和既定教案的限制，而走向生成、開放的創造天地。對于課堂教學中的生成資源，特別是“意外生成”資源，我們應該有效利用，教師要學會觀察，學會傾聽，隨時捕捉新信息，選擇有效的信息及時轉化為教學資源，調整預設的教學環節進行生成性教學。
案例三：對于雙曲線定義教學中的一道題
例題、已知兩定點F1（-5，0，）F2（5，0），動點P滿足 ，求動點P的軌跡方程.
生1：
由雙曲線定義可知P點軌跡是雙曲線
F1（-5，0，）F2（5，0）
設雙曲線方程為
P點軌跡方程為 （這時有其他同學在私語，又有一生說了一句“錯了”）
生1：似乎領悟這樣得出還有些不妥，但有不知如何解答，臉漲的通紅……
師：誰說他錯了，他利用雙曲線的定義求得P點軌跡方程。誰能明白剛才說“錯了”的那位同學的錯指得是什么嗎？
學生只是一個“錯”字，卻給課堂教學帶來新的可能，讓學生進一步理解雙曲線定義中的兩個要求：1）動點到兩定點距離的差的絕對值等于常數；2）常數小于兩定點間的距離。
有時教學中的一些“旁逸斜出”的不順，反而會給課堂注入新的生命力，茅塞頓開、豁然開朗一定是學生的共同興奮點，課堂更是呈現出峰回路轉、柳暗花明的神采！
三、建立激勵機制，促進精彩生成
心理學家告訴我們一個人只要體驗一次成功的喜悅，便會激起無窮的追求意念和力量。師生積極的情感和態度，是促進課堂生成的重要因素；賞識性評價是維系師生、生生有效對話的“紐帶”，是促進使課堂生成的“助推器”。 師生、生生之間評價時相互賞識、相互激勵，能營造一種溫馨的氛圍，給學生以自信與信任、輕松與自由、個性張揚與思維放飛的“土壤”。在這種情境下，學生產生和釋放的“能量”將是超常和無法預測的，精彩的課堂生成資源才可能隨時生成。
關鍵詞：課堂引入；提出問題；問題導入新課
數學的一切概念、公式、定理、方法都是因為解決問題的需要而產生的。對于一個新問題，往往原先的概念與方法不夠用了，就不得不去創新，構建新的概念、創造新的方法。因此每節課都要首先提出問題，并且去解決它。導人新課時如何富有創新，靈活多樣，恰到好處地提出問題，是促進學生自主學習，把學習活動轉變成創新工作的關鍵。本文通過對幾個較為成功的教學案例的分析，對課堂教學中由問題導入新課作出了一點梳理與總結：
一、開門見山。直入主題
案例1：課題線性規劃第一課時
(一)提出問題
設z＝2x＋y，x、y滿足不等式組(x－4y≤3，3x＋5y≤25，x≥1)
如何求x的最大值與最小值。
(二)問題處理
1.求不等式組表示的平面區域可以學生活動為主。
2.教師帶領學生對目標函數進行細致分析(主要是和一元函數的區別與聯系)。
3.由學生進行問題－觀察－探究－總結－應用，教師給予適當的啟示與補充。
(三)方法分析
問題的提出開門見山，本節課的教學目標即為解決這一線性規劃問題，對目標函數求最值貫穿本節課，簡潔、明確、大氣、大巧若拙。
二、實踐探究。發現問題
案例2：課題橢圓的定義及標準方程第一課時
(一)動手操作：先用圖釘將細線兩端固定在白紙上(要求學生事先準備兩枚圖釘、一條細線、一張白紙、一支鉛筆，讓細線松弛)，用鉛筆將細線拉緊，使筆尖在紙上轉動一周，畫出一個橢圓。
(二)提出問題
橢圓上的點有什么特征?細線的長度與兩圖釘間距離有何關系?試著給出橢圓的定義并求出其標準方程。
(三)問題處理
1.由學生從實踐中發現橢圓的定義并對定義進行規范表述。
2.帶領學生推導橢圓的標準方程。
(四)方法分析
《普通高中數學課程標準》指出：“學生的數學學習活動不應只限于對概念、結論和技能的接受、記憶、模仿和練習；自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等都是學習數學的重要方式。”因此，對一些數學概念的教學可預設一些實踐、實驗等探究活動，引導學生通過自己的親自實驗去探究數學概念的形成，讓學生在動手操作、觀察分析研究中悟出概念，掌握概念。這些方式有助于發揮學生學習的主動性，有助于學生了解數學概念和結論產生的過程，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。學生積極參與課堂，在自己動手解決問題的過程中練就了數學本領。
三、回顧梳理，引出問題
案例3：課題拋物線定義
(一)提出問題
平面內，與定點F和定直線L的距離的比是常數e的點的軌跡是什么曲線?
學生已經知道了橢圓和雙曲線的統一定義，很容易回答出：當0＜e＜1時其軌跡是橢圓；e＞1時其軌跡是雙曲線。
教師再問：除了以上兩種曲線外，還有其他可能嗎?
學生會意識到還有e＝1的情況，教師追問e＝1時其軌跡存在嗎?如存在，是什么?其方程又是什么?于是引出要研究的問題。
(二)問題處理
1.由同學們自行回顧橢圓、雙曲線的定義。
2.解決問題的重點在如何由定義推導拋物線的標準方程。
(三)方法分析
由于這一問題具有一定的挑戰性，與學生的“最近發展區”相適應，容易激發學生解決問題的興趣。此處的處理兼顧了復習引入、問題引人兩種新課引入方式，在教學過程中可以聯系橢圓、雙曲線，舉重若輕，設計巧妙。
四、例題、習題，借為問題
案例4：課題同角三角函數基本關系式
(一)提出問題
已知：sinα＝4/5，求cosα，tanα的值。
(二)問題處理
1.這實際上是教材的例1，可以讓學生自由發揮求解本題。以下是可能出現的解法：
①先由已知求出α的值，再求其他的三角函值。
②先由已知求α的終邊，再求其他的三角函數值。
③注意到α的各個三角函數值是關于x，y的齊次式，從而直接由定義出發。
2.教師對以上解法進行比較，總結，補充。
3.在教師指導下學生找到同角三角函數基本關系式并給出證明。
(三)方法分析
通過學生自己的親身實踐，在求解的過程中，不但可以觀察到各三角形函數之間是可以相互表示的，而且還會產生如何進行相互表示的具體體驗。至于推導的方法，筆者認為首先利用定義得出關系式，再利用教材上單位圓的三角函數線(圖形)加以直觀驗證，驗證的同時也為后繼內容的學習做好了鋪墊，正可謂“一舉兩得”。
這種問題引入設計，著眼于知識發生發展過程，不但能夠使學生感到教學過程的自然親切，教學內容不是突兀地“從天而降”，使學生對教學過程做到“心中有數”，而且還使學生從中體驗到數學研究的思想方法，學習應該從什么角度來研究問題、如何將所考查對象的內容進行逐步擴展的方法。其中包含了實驗、猜想、聯想、類比、合情推理等，這些正是通過數學教學培養學生的獨立思考能力、創造精神和探索新知識的能力以及數學觀念的最好體現。
五、生活情境，激趣揭題
案例5：課題古典概型
(一)提出問題
請大家猜想大概多少人中很有可能2人同一天過生日?
(二)問題處理
師：400個同學中，一定有2個同學的生日相同(可以不同年嗎?)300個同學呢?
生：(獨立思考后踴躍發表自己的看法)
(通過設置問題情境引入教學，具有趣味性，又激發學生的思考。引導猜想，訓練學生的非形式化思維和直覺能力，逐步深入數學正題，前一個問題利用抽屜原理容易發現結論是肯定的，而后一個問題就不能保證了。)
師：50個同學中，就很可能有2個同學的生日相同，這話正確嗎?請與同伴交流。
生：(交流討論，但結論不敢肯定)
師：如果你們班50個同學中有2個同學的生日相同，那么能說明50個同學中有2個同學生日相同的概率是1嗎?如果你們班沒有2個同學的生日相同，那么能說明其相應概率是0嗎?
生：50個同學有2個同學的生日相同，并不能說明50個同學有2個同學生日相同的概率是l；而50個同學中沒有2個同學生日相同，也不能說明其概率為0。
(三)方法分析
學生回顧實驗概率的意義。對不確定性事件的隨機性加以進一步鞏固，并激起探究本課題的事件發生的可能性大小的強烈愿望。接下來為了解決本問題進行課堂教學設計就可以“抓住”學生一起往下走了。
一、高中數學教學的現狀及成因
很多人都認為學數學的目的就是做題、考試或者做研究,僅僅是為了將來要考大學做準備的,他們只看到了數學的理論性而沒有看到數學的實際應用性.他們忽略了數學來自于生活,而最終也要應用于生活之中.不僅如此,除了在實際生活用到的數學以外,學習數學還可以提高學生的智力,增強學生的邏輯思維能力,讓學生的思維充滿跳躍性.只有思維在不斷跳躍創新的學生,才不會永遠地安于現狀,他們會不斷地努力,不斷地前行,為自己和社會創造美好的未來,因此數學教育對于高中學生的影響是積極的.
1.教師沒有扮演好自己的角色在傳統高中數學教學中,教師很少研究教學方法,教學形式單一,一味地向學生灌輸理論知識,這就導致了學生對數學的學習熱情不高,沒有任何學習興趣.曾經聽過一位教師上課,講的內容是二面角.一般來講,“二面角”是立體幾何的教學難點之一,教師應該詳細講解,加深學生對這一內容的理解,但是這位教師卻避難就輕,僅僅是按自己的講解方式向學生講了一道例題,然后讓學生自己去理解,自己去做,這樣做太不負責任了.
2.學生積極性不夠,導致課堂效率低課堂教學高耗低效的現象較重,以傳統的教法為主,調動學生學習的積極性不夠,缺少讓學生必要的思考、探究、感悟的過程.學生主體參與不夠,影響了學生知識的構建和能力的提高.素質教育提出以學生為主體、教師為主導、教材為主線,將學生、教師和教材之間的關系明確地指出是很有必要的.部分學生對數學沒興趣,感覺數學是一堆枯燥的數字和煩瑣的公式,與生活聯系不大.例如,在講“拋物線及其標準方程”時,有的教師為了引出拋物線的定義,設置了這樣的問題情境:初中我們已學過的一元二次函數的圖象就是拋物線,而現在定義的拋物線與初中已學的拋物線從字面上看不一致,但它們之間一定存在著某種內在的聯系,你能找出它們之間的內在聯系嗎?教師在以一種最好的方式給學生上課,但是學生卻不好好聽,有睡覺的,有不在狀態的,不但影響教師講課的心情,重要的是最后自己沒有掌握好知識.
二、改變教學現狀的措施
1.學生的認知結構具有個性化特點,教學內容具有普遍性要求.如何在一節課中把兩者較好地結合起來,是提高課堂教學效率的關鍵.通過現狀調查,發現在目前的數學教學中缺乏有目的地、有意識地,具有針對性地培養學生對問題的質疑與解決問題、認識問題后的反思.學生的質疑反思能力是可以培養的,教師要有目地設計、訓練.要培養質疑反思能力必須做到:
(1)明確教學目標.要使學生由“學會”轉化為“學會—會學—創新”.
(2)在教學過程中要形成學生主動參與、積極探索、自覺建構的教學過程.
(3)要改善教學環境.
(4)優化教學方法.
2.例如,在講“雙曲線”時,可給出方程x2a2-y216=1,設問:①此方程表示雙曲線嗎?②你能添加一個條件求出雙曲線方程嗎?這種開放性問題的設置,給學生創造了較廣泛的思維空間,讓他們有東西可想,有內容可說.教師可以根據學生的回答,與學生共同總結,加深對知識的概括.這樣,整節課都是學生思考、討論、動筆的過程,既體現了學生的主體,又體現了教師的主導地位,調動了學生的學習積極性,達到了教學目標.蘇霍姆林斯基說:“人的心靈深處,總有一種把自己當作發現者、研究者、探索者固有需要……”在傳統教學中,學生很少主動參與,多被動接受,少自我意識,多依附性.學生被束縛在教師、教材、課堂的圈子中,不敢越雷池半步,其創造性受到壓抑和扼制.因此,在教學中,教師應認識到:學生才是教學的主人,教是為學生的學服務的.教師應鼓勵學生自主質疑,去發現問題,大膽發問.在教學中教師要創設質疑情境,讓學生由機械接受向主動探索發展,讓他們喜歡數學,熱愛數學.
1創設問題情境的主要方式
1．1創設應用性問題情境，引導學生自己發現數學命題（公理、定理、性質、公式）
案例1在“均值不等式”一節的教學中，可設計如下兩個實際應用問題，引導學生從中發現關于均值不等式的定理及其推論．
①某商店在節前進行商品降價酬賓銷售活動，擬分兩次降價．有三種降價方案：甲方案是第一次打p折銷售，第二次打q折銷售；乙方案是第一次打q折銷售，第二次找p折銷售；丙方案是兩次都打（p＋q）／2折銷售．請問：哪一種方案降價較多？
②今有一臺天平兩臂之長略有差異，其他均精確．有人要用它稱量物體的重量，只須將物體放在左、右兩個托盤中各稱一次，再將稱量結果相加后除以2就是物體的真實重量．你認為這種做法對不對？如果不對的話，你能否找到一種用這臺天平稱量物體重量的正確方法？
學生通過審題、分析、討論，對于問題①，大都能歸結為比較pq與（（p＋q）／2）2大小的問題，進而用特殊值法猜測出pq≤（（p＋q）／2）2，即可得p2＋q2≥2pq．對于問題②，可安排一名學生上臺講述：設物體真實重量為G，天平兩臂長分別為l1、l2，兩次稱量結果分別為a、b，由力矩平衡原理，得l1G＝l2a，l2G＝l1b，兩式相乘，得G2＝ab，由問題①的結論知ab≤（（a＋b）／2）2，即得（a＋b）／2≥，從而回答了實際問題．此時，給出均值不等式的兩個定理，已是水到渠成，其證明過程完全可以由學生自己完成．
以上兩個應用問題，一個是經濟生活中的問題，一個是物理中的問題，貼近生活，貼近實際，給學生創設了一個觀察、聯想、抽象、概括、數學化的過程．在這樣的問題情境下，再注意給學生動手、動腦的空間和時間，學生一定會想學、樂學、主動學．
1．2創設趣味性問題情境，引發學生自主學習的興趣
案例2在“等比數列”一節的教學時，可創設如下有趣的問題情境引入等比數列的概念：
阿基里斯（希臘神話中的善跑英雄）和烏龜賽跑，烏龜在前方1里處，阿基里斯的速度是烏龜的10倍，當它追到1里處時，烏龜前進了1／10里，當他追到1／10里，烏龜前進了1／100里；當他追到1／100里時，烏龜又前進了1／1000里……
①分別寫出相同的各段時間里阿基里斯和烏龜各自所行的路程；
②阿基里斯能否追上烏龜？
讓學生觀察這兩個數列的特點引出等比數列的定義，學生興趣十分濃厚，很快就進入了主動學習的狀態．
1．3創設開放性問題情境，引導學生積極思考
案例3直線y＝2x＋m與拋物線y＝x2相交于A、B兩點，________，求直線AB的方程．（需要補充恰當的條件，使直線方程得以確定）
此題一出示，學生的思維便很活躍，補充的條件形形．例如：
①｜AB｜＝；
②若O為原點，∠AOB＝90°；
③AB中點的縱坐標為6；
④AB過拋物線的焦點F．
涉及到的知識有韋達定理、弦長公式、中點坐標公式、拋物線的焦點坐標，兩直線相互垂直的充要條件等等，學生實實在在地進入了“狀態”．
1．4創設直觀性圖形情境，引導學生深刻理解數學概念
案例4“充要條件”是高中數學中的一個重要概念，并且是教與學的一個難點．若設計如下四個電路圖，視“開關A的閉合”為條件A，“燈泡B亮”為結論B，給充分不必要條件、充分必要條件、必要不充分條件、既不充分又不必要條件以十分貼切、形象的詮釋，則使學生興趣盎然，對“充要條件”的概念理解得入木三分．
1．5創設新異懸念情境，引導學生自主探究
案例5在“拋物線及其標準方程”一節的教學中，引出拋物線定義“平面上與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線”之后，設置這樣的問題情境：初中已學過的一元二次函數的圖象就是拋物線，而今定義的拋物線與初中已學的拋物線從字面上看不一致，它們之間一定有某種內在聯系，你能找出這種內在的聯系嗎？
此問題問得新奇，問題的結論應該是肯定的，而課本中又無解釋，這自然會引起學生探索其中奧秘的欲望．此時，教師注意點撥：我們應該由y＝x2入手推導出曲線上的動點到某定點和某定直線的距離相等，即可導出形如動點P（x，y）到定點F（x0，y0）的距離等于動點P（x，y）到定直線l的距離．大家試試看!學生紛紛動筆變形、拚湊，教師巡視后可安排一學生板演并進行講述：
x2＝y
x2＋y2＝y＋y2
x2＋y2－（1／2）y＝y2＋（1／2）y
x2＋（y－1／4）2＝（y＋1／4）2
＝｜y＋14｜．
它表示平面上動點P（x，y）到定點F（0，1／4）的距離正好等于它到直線y＝－1／4的距離，完全符合現在的定義．
這個教學環節對訓練學生的自主探究能力，無疑是非常珍貴的．
1．6創設疑惑陷阱情境，引導學生主動參與討論
案例6雙曲線x2／25－y2／144＝1上一點P到右焦點的距離是5，則下面結論正確的是（）．
A．P到左焦點的距離為8
B．P到左焦點的距離為15
C．P到左焦點的距離不確定
D．這樣的點P不存在
教學時，根據學生平時練習的反饋信息，有意識地出示如下兩種錯誤解法：
錯解1．設雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，由雙曲線的定義得
｜PF1｜－｜PF2｜＝±10．
｜PF2｜＝5，
｜PF1｜＝｜PF2｜＋10＝15，故正確的結論為B．
錯解2．設P（x0，y0）為雙曲線右支上一點，則
｜PF2｜＝ex0－a，由a＝5，｜PF2｜＝5，得ex0＝10，
｜PF1｜＝ex0＋a＝15，故正確結論為B．
然后引導學生進行討論辨析：若｜PF2｜＝5，｜PF1｜＝15，則｜PF1｜＋｜PF2｜＝20，而｜F1F2｜＝2c＝26，即有｜PF1｜＋｜PF2｜＜｜F1F2｜，這與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，可見這樣的點P是不存在的．因此，正確的結論應為D．
進行上述引導，讓學生比較定義，找出了產生錯誤的在原因即是忽視了雙曲線定義中的限制條件，所以除了考慮條件｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，還要注意條件a＜c和｜PF1｜＋｜PF2｜≥｜F1F2｜．
通過上述問題的辨析，不僅使學生從“陷阱”中跳出來，增強了防御“陷阱”的經驗，更主要地是能使學生參與討論，在討論中自覺地辨析正誤，取得學習的主動權．
1．7創設已有知識的問題序列，引導學生自己獲取新知識的生長點
至此，學生對“曲線”與“方程”的關系已有了一些初步的認識，在此基礎上指導學生閱讀課本，學生就能夠理解曲線和方程的“純粹性”及“完備性”的含義，也就理解了什么是“曲線的方程”和“方程的曲線”．
1．8編擬讀書提綱，引導學生閱讀自學
案例8在《立體幾何》（必修本）“平面的基本性質”一節，可擬以下閱讀提綱，讓學生閱讀自學：
①三個定理的主要作用分別是什么？
②定理中的“有且只有”說明了事物的什么性？
③定理3的推論1證明分幾步？
④定理3的推論2及推論3你會證明嗎？
⑤平面幾何中的公理、定理等，在空間圖形中是否仍然成立？你能試舉一例嗎？
通過學生對課文的閱讀，既加深了學生對課文的理解，又提高了學生的學習能力．
2創設問題情境的原則
創設情境的方法很多，但必須做到科學、適度，具體地說，有以下幾個原則：
①要有難度，但須在學生的“最近發現區”內，使學生可以“跳一跳，摘桃子”．
②要考慮到大多數學生的認知水平，應面向全體學生，切忌專為少數人設置．
③要簡潔明確，有針對性、目的性，表達簡明扼要和清晰，不要含糊不清，使學生盲目應付，思維混亂．
④要注意時機，情境的設置時間要恰當，尋求學生思維的最佳突破口．
⑤要少而精，做到教者提問少而精，學生質疑多且深．
3幾點體會與認識
3．1要充分重視“問題情境”在課堂教學中的作用
問題情境的設置不僅在教學的引入階段要格外注意，而且應當隨著教學過程的展開要成為一個連續的過程，并形成幾個．通過精心設計問題情境，不斷激發學習動機，使學生經常處于“憤悱”的狀態中，給學生提供學習的目標和思維的空間，學生自主學習才能真正成為可能．
3．2在引導學生自主學習中加強學法指導
為了在課堂教學中推進素質教育，從發展性的要求來看，不僅要讓學生“學會”數學，而更重要的是“會學”數學，學會學習，具備在未來的工作中，科學地提出問題、探索問題、創造性地解決問題的能力．要結合教學實際，因勢利導，適時地進行學法指導，使學生在自主學習中，逐漸領會和掌握科學的學習方法．當然，學生自主學習也離不開教師的主導作用，這種作用主要在問題情境設置和學法指導兩個方面．學法指導有利于提高學生自主學習的效益，使他們在學習中把摸索體會到的觀念、方法盡快地上升到理論的高度．
3．3注重情感因素是啟動學生自主學習的關鍵
