時間：2023-05-30 10:43:39
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇方程的意義，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞：方程的含義；等式與方程的關系
中圖分類號：G622.479 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）07-270-01
教學內容：
人教版《義務教育課程標準實驗教科書?數學》五年級上冊第53～54頁。
設計理念：
數學課程標準指出：學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。教師要從知識的傳遞者、灌輸者轉變為學生主動構建意義的幫助者、促進者，應當在教學中采取全新的教學模式、教學方法和教學設計思想，徹底摒棄以教師為中心、強調知識傳授、把學生當作知識灌輸對象的傳統教學模式。基于以上認識，教者沒有停留在引導學生簡單的識記方程表面層次上的意義，而是從學生的預習入手，深入挖掘已知量與未知數之間的關系，一步步走近方程，理解方程，運用方程，超越方程。
一、教學目標
1、使學生在具體的情境中，理解方程的含義，初步體會等式與方程的關系；
2、使學生在觀察、分析、分類、抽象、概括和交流的過程中，經歷將現實問題抽象成式與方程的過程，積累將現實問題數學化的經驗，感受方程的思想方法及價值，發展抽象思維能力和符號感。
3、讓學生獲得一些成功的體驗，進一步樹立學好數學的信心，產生對數學的興趣。
教學重點：在具體的情境中，理解方程的含義。
教學難點：體會等式與方程的關系。
教學方法：從知識的生長點引入，在反饋交流中理解方程的意義。
教學過程：學生預習課本第53、54頁“方程的意義”。
師：同學們，通過預習你們知道這節課要學習什么知識嗎？生1：方程。生2：什么是方程。生3：方程的意義。師：關于方程，你們已經了解到了哪些內容？
學生談談對方程的了解。師：今天，老師也給同學們帶來了一些關于方程的資料，同學們請看！課件出示有關方程的歷史的閱讀資料，指名朗讀，要求其他學生注意傾聽。
二、探究新知，構建概念
師：什么是方程呢？生：含有未知數的等式叫方程。師：從這句話中，你知道構成方程的要素是什么嗎？生1：未知數。
生2：等式。師：什么是未知數？生1：未知數就是不知道的數。生2：未知數就是未知的數。師：我們可以用什么來表示未知數？生：可以用字母來表示。師：比如？生：a、b、c、-、x、y、z，也就是26個字母都可以。師：什么是等式呢？生：像1+1=2這樣的式子就是等式。師：這個同學采用了舉例子的方式來說明問題，真厲害！舉例子也是解決數學問題的一種重要方法，誰還能再舉幾個例子？生1：50+50=100。生2：100+200=300。生3：75+63=138。師：難道等式只在加法算式中成立嗎？生4：我能舉出不一樣的例子：120-35=85。生5：60×7=420。生6：120÷3=40。師：仔細觀察這些等式，它們有什么共同的特點？生：它們都用等于號來連接。師：表示什么？生：表示等式左右兩邊相等。師：同學們已經了解了“未知數”與“等式”的特點，又知道“含有未知數的等式叫方程”，那方程到底是什么樣子？你能從眾多的式子中把它找出來嗎？出示：下面哪些是方程？哪些不是方程？①150=χ-15 ②Y+24 ③5χ+32=47 ④2872⑨χ=3 ⑩χ+y=70師：請同學們小組討論，說說判斷的理由，最后總結出判斷方程的方法。學生小組討論，集體匯報。生：①③⑤⑥⑨⑩是方程，②④⑦⑧不是方程，因為①③⑤⑥⑨⑩都是含有未知數的等式，而②④⑧不是等式，第⑦題雖然是等式，但它不含有未知數。師：可第⑦題是等式啊！生：等式不一定是方程，還要含有未知數才是方程。師：那方程是等式嗎？生：是！師：一定是嗎？生：一定是！師：為什么？生：因為含有未知數的等式叫方程，方程的前提條件是等式。師：所以，判斷方程的方法是。生：一看有沒有未知數，二看是否是等式。師：同學們已經掌握判斷方程的方法了，那你們能試著寫出一個方程來嗎？
學生在練習本上試寫方程，指名部分學生板演。師：同桌間互相檢查一下，看大家列的都是方程嗎？再看黑板上這幾個同學寫的，也都是方程嗎？
師引導學生一一進行判斷。（評析：根據小學生的思維水平，驗證的策略往往是列舉多種多樣的例子，這樣的驗證方式形成了真實豐富的學習資源，本環節重視學生原有的知識基礎，用直觀手法向抽象過渡，用遞進形式層層推進，通過舉例驗證，讓學生經歷一個知識形成的過程，并盡可能讓他們用語言表達描述出自己對學習過程中的理解，最后形成新的知識脈絡。）
三、闖關游戲
學生獨立判斷，指名回答，并說明判斷的理由。
第三關：
一只鵝重5千克，x只鵝重100千克 。
一本書x元，5本書100元。
你能編出也能列出方程5X=100的實際問題嗎？
質量守恒定律
第2課時
化學方程式
（導學案）
學校
班級
姓名
【學習目標】
1、通過化學反應的文字表達式與化學方程式對比，能認識到化學方程式不僅能表示出反應物、生成物和反應條件，還能表示出各物質之間的量的關系。
2、知道化學方程式的定義。
3、通過閱讀教材、示范、討論，知道化學方程式的意義及讀法，能求出化學方程式中各物質的質量比。
【學習重點、難點】
重點：化學方程式的意義。
難點：化學方程式中各物質的質量比計算。
【使用說明及學法指導】
采用“提出問題—探究方法—得出結論—解釋和應用“的方式學習。
【知識準備】
知識回顧(閱讀教材P94、P95相關內容，完成以下內容。)
1、質量守恒定律的內容：
無數實驗證明，
化學反應的各物質的
，等于反應后生成的各物質的
。這個規律叫做質量守恒定律。
2、用分子、原子知識解釋質量守恒的原因：
在化學反應前后，原子的
沒有改變，原子的
沒有增減，原子的
也沒有改變。
【自主學習】
探究點一：化學方程式的定義
思考：化學方程式和文字表達式相比，不僅能
，而且還能直觀反映
。
【總結】這種用
來表示化學反應的式子叫做化學方程式
探究點二：化學方程式的意義
教材輔讀（閱讀教材P96內容，完成以下內容。）
點燃
【思考】：
化學方程式C+O2==CO2能提供哪些信息？你是從哪幾方面考慮的？
1、表示：該反應中反應物是
，生成物是
，反應條件是
。
2、表示：該反應中碳原子、氧分子、二氧化碳分子的個數比為
。
3、表示：該反應中碳、氧氣、二氧化碳的質量比為
，即
。
【總結】化學方程式的意義
（1）宏觀意義
。
（2）微觀意義
。
（3）質量意義
。
【練一練】你能計算出各物質的質量比嗎？
點燃
4P
+
5
O2
====
2P2O5
【注意】計算反應物與生成物質量比時，應將
。
點燃
【鞏固練習】說出化學方程式4P
+
5
O2
====
2P2O5的意義？
（1）表示
。
（2）表示
。
（3）表示
。
探究點三：化學方程式的讀法
點燃
【思考】：化學方程式C+O2==CO2如何讀？你應從哪幾方面讀？
【注意】“+”讀“
”；“=”讀“
”；化學式讀成物質的
，
也要讀出。
【總結】化學方程式的讀法
（1）讀物質：
和
在
條件下反應生成
。
（2）讀微粒：每
和
反應生成
。
（3）讀質量：每
份質量的
和
份質量的
完全反應生成
份質量的
。
點燃
【鞏固練習】化學方程式4P
+
5
O2
====
2P2O5的讀法？
（1）
。
（2）
。
（3）
。
【我的收獲】（交流、展示及歸納）
【針對訓練】
討論：下列反應的化學方程式能提供給你哪些信息？如何讀？
點燃
1、硫在氧氣中燃燒的反應：S+O2===SO2
不過，無論如何，有一點是肯定的：“方程”與“方程的解”雖有聯系，但畢竟是兩個不同的概念，x=3不可能既是方程，又是方程的解.之所以作出是方程的判斷，那是因為我們把x=3看成了含未知數的等式，而作出是方程的解的判斷，是因為x=3讓我們知道未知數x的值是3.同樣，判斷x=3是等式則是因為我們認為字母x與數值3具有相等關系.所以，對同一個問題，不同的視角會產生不同的判斷.
筆者認為，要回答“x=3是什么”的問題，不能簡單地依據某一定義或某種書面表述或某種習慣行為來進行――而這恰恰是引起爭論的誘因，關鍵是要弄清“=”的作用或意義.
一個概念的內涵往往是豐富的、多重的，但其所要表達的真正涵義一定蘊含于其特定的情境之中，而不在于我們彼此的視角.對“=”的理解同樣如此.筆者以為，在目前的實際應用中，“=”主要有以下四個方面的意義表達：
1表示相等的邏輯關系
據數學史料記載，“=”起源于1557年出版的《礪智石》[1]一書.作者――英國數學家、牛津大學教授雷科德在書中有這樣一段描述：“為避免多次繁瑣重復使用‘等于’這個詞，在日常工作中，我規定用一對平行線段或幾對來表達‘等于’，因為沒有兩件東西能比兩根平行線更相等了.”[2]“=”以及同時期出現的其它表示相等關系的符號，它們都是隨著代數（方程）的發展而逐步產生的，表達著“相等”（be equal to）的基本含義，意即“=”兩邊具有相等關系.其基本前提是“=”的兩邊同時存在.“=”在方程中的應用是相等關系最初、最基本的符號表達.除此之外，數學中其它的相等關系基本上都用“=”表達.
例如，比較5+3與8、14與4×3+2的大小，所得5+3=8、14=4×3+2中的“=”均表示相等關系.
如平方差公式（a2-b2=（a+b）（a-b））等諸多數學公式中的“=”亦表示相（恒）等關系.
對于方程2x-6=0求解過程中的2x=6和x=3，“=”所表示的相等關系的含義并沒有因為等式形式的不同而有所改變，它們所具有的“方程”（含有未知數的等式）的基本要件（含有未知數，等式）也沒有因形式的簡化而有任何的缺失.所以，在方程2x-6=0的解答過程中，x=3并沒有改變其方程的屬性.
值得注意的是，在相等的關系之下，因為“=”的連接，使得“=”的兩邊（2x-6，0）與等號共同構成了一個相等關系的整體，缺少了等號兩邊的任何一方，相等關系就不復存在.
2表示運算的進程
盡管“=”的產生源于等式、方程式表達的簡便之需，但隨著其應用的廣泛，人們對于“=”的認識基本上是從數的運算的學習開始的.比如，①計算：5+3②分解因式：x2-1，其解答表述一般為①5+3=8②由平方差公式，得x2-1=（x+1）（x-1）.在這里，“=”將運算的前后數、式連接起來，表示邏輯運算的進程，“表達著‘……得（得到）……’的含義，與推導符號有一定的相似性，指引著相關規則下數學對象運算的遞推過程及結果”[3].
再如：（1）計算14÷3
解之，得14÷3=4……2
（2）計算：（x+1）（x-1）
解之，得（x+1）（x-1）=x2-x+x-1=x2-1.
以上兩題解答過程中的“=”皆表示運算遞推過程及結果，并不表示“=”兩邊相等的關系.因為“=”的右邊是“=”左邊運算后的所得，兩邊數或式并不同時存在.況且，沒有意義賦予而獨立存在的4……2無法與14÷3建立起相等關系.
3表示一種賦值
在日常數學問題的呈現過程中，“=”除了表示相等的邏輯關系、運算的進程之外，還廣泛應用于對未知變量賦值的表示.
如：（1）求整式4y2-（x2+y）+（x2-4y2）的值，其中x=-28，y=18；（2）四條線段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求線段a的長.兩題中五個用“=”連接起來的式子，實則是給未知數賦予了一個確定的值，如果將它們理解成相等的關系，顯然沒有什么實際意義，且與題意不符.此處的“x=-28”實際意義應理解為“x的值是-28”.
4表示“等于”的替代符號
在人們日常的話語體系中，“等于”一詞屬常用詞匯.商務印書館2014年1月出版的《現代漢語詞典》對“等于”作了如下解釋：①某數量跟另一數量相等.如，三加二等于五；②差不多就是，跟……沒有區別.如，不識字就等于睜眼瞎子.這里，①所指為數學中的相等關系，其數學符號表示“3+2=5”（三加二的值與五相等）亦為大家所熟悉.此處，以“=”代替“等于”在數學中已極為普遍.②為人們一般的語言表達，所反映出的并非數學問題，但在表述時亦常以“=”代替“等于”.類似“不識字=睜眼瞎子”、“教師成長=經驗+反思”、“全面發展=全科發展”，等等，這些只是根據數學表達式簡潔、形象、直觀的特點，用數學的形式來表達所反映的內容，反映出事物具有某種相同或相關的屬性.對此，基本上不會有人把它們理解成數學中的等式或數量關系.
綜上，要回答x=3是什么，必須要了解它所在的現實情境.脫離于具體的情境進行判斷，無論結果是等式，是方程，是方程的解，還是其它，都是片面的，不科學的.
在此，筆者就x=3與方程2x-6=0的關系提出自己的觀點.
如上所述，解方程時，對2x-6=0進行同解變形，最后得出的x=3仍為方程.因為，同解變形沒有改變方程兩邊“相等”的關系，亦即“=”在解方程的過程中“相等”關系的含義沒有改變.
但各類教材及相關資料在解答方程之后，都會出現“x=3是方程2x-6=0的解”的表述，由此，引起了“x=3是方程還是方程的解”（“方程的解”的表述，必須就某一特定方程而言才有意義，僅表述為“x=3是方程的解”沒有意義）的爭論.
首先可以肯定的是，此時（x=3是方程2x-6=0的解）的x=3中的“=”顯然不表示計算的進程與結果，也不表示給字母賦值，因為字母x的值不是賦予的，而是通過運算得到的.當然也不能表示為相等關系，即x=3不能視為方程.因為根據“使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解”的概念，方程2x-6=0的解是3，而不是表示相等關系的表達式x=3.因此，這里的x=3應理解為“x等于3”或“x的值是3”等語句的數學化形式.也只有如此，如方程x2=25的解表示成x=±5或x1=5、x2=-5才有意義.
“一元一次方程”的學習一定是基于“有理數的運算”及“整式的加減”，即初一的學生在學習了這兩章內容之后才學習“一元一次方程”。在“一元一次方程”這一章中，首先要介紹其概念，接著要學習等式的性質（或方程變形的性質）。
等式（或方程）兩邊都加上或減去同一個數或同一個整式，等式（或方程的解）不變。
等式（或方程）兩邊都乘以或除以同一個不為零的數，等式（或方程的解）不變。
在具體到求方程的解時，不論是否明確給出解法的名稱，都是按照由易到難的順序安排，即系數化為1，合并同類項與移項，去括號，去分母。因此在傳統的教材中一元一次方程的編排結構如圖1所示。
在學習解方程的過程中，先學習最簡單的，即系數化為1，然后由易到難。而學生在解復雜的一元一次方程時，則反其道而行之，先去分母，再去括號，再移項、合并同類項，最后將系數化為1。這種轉化的過程，體現了化難為易、化繁為簡的策略。這樣的學習程序及對應的解題順序是經典的、傳統的、良構的，體現了數學的簡潔美和邏輯美。
但是這種嚴謹的結構制約了項目化學習的實現。能不能有所改變呢？
打破上述研究的結構，基于乘法的意義解“一元一次方程”，這是與一位五年級學生的實驗。五年級學生具備的與“一元一次方程”對應的基礎是：乘法、除法、分數的意義，分數與除法的關系，簡單的字母表示數，分式的簡單運算，簡單的一元一次方程的解法等。
基于這樣的基礎，在解復雜的一元一次方程時，如何分析轉化，理解每一步的合理性呢？下面以具體事例解釋。
如圖2 ，這是一個源自初中教材中的題目。圖中的解法是五年級的同學給出的。在解這個題目時，該同學已經練習解過多道題目，所以解此題時已經比較順利。從圖中可以看得出，步驟間距比較小，所以比較長，這是五年級學生的思維決定的。
該方程兩邊的分母不一致，所以首先要通分，這是五年級學生會做的。第二步，去分母，但該生還沒有學過去分母，因此她依據分數與除法的關系，將分式先轉化為除法，再依據她學習過的等式的性質，兩邊同乘以一個數，最終達成去分母的目標。第三步，移項，五年級學生已經學習過，而且比較熟練，因此，此處她省略掉一步，即14x-10+10=3+10，而直接得到14x=3+10。第四步，合并，本題中只涉及到數的合并，所以輕而易舉地完成。第五步，系數化為1，這是小學學習過的。
對于合并，還會遇到不同類型的問題。比如圖3中的6x+10.5x，圖4中的16x-30x，要回到乘法的意義，然后利用加法對乘法的分配律求解。根據乘法的意義，“6x”即6個x，其他同理。因此“6個x”加“10.5個x”就是（6+10.5）個x，于是就有了6x+10.5x=（6+10.5）x，事實上就是加法對乘法的分配律的逆用，并且是在代數式中的應用，從具體數字運算的分配律到式的運算的分配律，并且是逆用，這都是基于對乘法意義的理解和靈活應用，這是一個難點，也是一個突破。
至于16x-30x=（16-30）x，五年級學生已經學習了負數的初步知識，稍加引導即可求解。
在該同學學習解一元一次方程的過程中，并沒有按照由易到難的順序安排，而是直接進入復雜問題。在轉化策略的指導下，依據她的已有知識和經驗，不斷地將復雜問題轉化為簡單問題求解。
在前期學習過程中，還遇到過非常有趣的方程，但是都能用她所學過的知識加以解釋，并最終解決。這樣做最大的益處是提高了學生分析問題的能力。
該實驗打破了圖1的教學結構，但是看得出在求解過程中，該生的心理過程與結構是高度一致的。這說明，傳統教材中的編排結構是符合學生的認知規律的，是經典的。但是這種經典的結構是否要用與之對應的經典的過程轉移給學生呢？該實驗表明，換一種方式也可以達成同樣的目標。
項目學習實驗教材的編寫依據首先是課程標準。2011版《義務教育數學課程標準》對“一元一次方程”的要求是：
1.能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型。
2.經歷估計方程解的過程。
3.掌握等式的基本性質。
4.能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程。
對課標這樣的要求，如何通過項目化學習實現呢？可以通過如下三步實現。
第一，將實際問題（即項目中的驅動問題）轉化為方程問題，體會方程中蘊含的模型思想，并解釋解方程的必要性。
第二，學生基于已有的知識經驗自主探究解方程（一元一次方程），從而達到對具體問題的解決，完成關于實際問題的項目。
第三，提煉該項目中的數學元素，包括給出一元一次方程的概念，明確其定義，并歸納、概括求解策略和求解步驟，梳理求解依據，并進行適量訓練，以鞏固基本知識，熟練基本技能。
于是項目化學習中“一元一次方程”的編排結構應該如圖5所示。
圖5與圖1相比，有如下特點。
第一，學生探究的空間較大，沒有固定的規則與程式，學生的活動是基于基本知識進行分析轉化，因此有利于學生進行相對完整的活動。對教材編寫的要求設計好問題串，引導學生進行探究。
第二，整體輸入和輸出，以解決問題為主，注重策略的指導，但是不削弱數學的基本知識和技能。
第三，具有“雙項目化”的功能，學生完成了一個實際問題的項目，在此基礎上提出數學問題，通過抽象概括，梳理數學知識，并鞏固應用，又是一個純數學的項目實施過程。但這個純數學的項目不是抽象的，有實際問題的項目奠基，學生在此處學習時，對其必要性和重要性的認識更深刻，因此有助于激發學生數學學習的熱情。
第四，能有效地提高學生分析問題、解決問題的能力。
第五，能實現課程標準的要求。
一個實驗似乎有些單薄，證據不足，但是這個案例也說明這種方法的可行性。囿于傳統的經典的知識結構，是難以做出真正的項目的，所以編寫項目學習實驗教材關鍵是要“破”，破其外殼，存其內涵，以項目承載，以科學思想主宰。
基于意義的學習，是指基于概念的基本意義進行學習。從上述案例的分析可見，樹立基于意義的學習的理念才能突破傳統觀念的束縛，才能實現項目學習。
基于意義的學習與基于規則的學習有什么異同呢？
傳統結構對應的學習順序，是先學規則，如等式的性質等，再應用規則解決問題，這是基于規則的學習。基于意義的學習，則跳過規則，直接根據概念的意義進行分析。
概念是基本的思維單位，是思維的起點，規則是由概念推演得出的。基于規則學習的優勢是簡潔，不足是其學習過程是“執行”命令。基于意義學習的優勢是創新，不足是費時較多，但這樣的學習正符合《義務教育數學課程標準》（2011版）提出的學生“應有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”，特別是十大核心素養中指出的“創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程之中。學生自己發現和提出問題是創新的基礎；獨立思考、學會思考是創新的核心；歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法。創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終”。
基于意義的學習過程，由于沒有既定的規則和程序要求，因此是“一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”，學生能更多地“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識” 。
如何實現基于意義的學習呢？
首先，要改變學生的學習價值觀，學生的學習更重要的是成長，而不是收集裝載知識技能。知識技能是載體，但不是最后的目標。
其次，要通過實驗，尋求基于意義的數學教材“新結構”，在這個過程中，要勇于否定自我。
再次，尋找到適合項目學習的結構之后，要設計“任務群”，將“新結構”付諸現實，而且是面對學生群體學習的現實。
[關鍵詞] 思想實驗 麥克斯韋方程組 磁場
麥克斯韋方程組(Maxwell's equations)(積分、微分表達見右下圖)是英國物理學家麥克斯韋(James Clerk Maxwell 1831 - 1879)在19世紀建立的描述電場與磁場的四個基本方程:電荷是如何產生電場的(高斯定理);驗證了磁單極子的不存在(高斯磁場定律);電流和變化的電場是怎樣產生磁場的(安培定律);變化的磁場如何產生電場的(法拉第電磁感應定律),人類從此走進了電磁波時代。對麥克斯韋方程組的科學意義、哲學思想、蘊涵的物理簡單美、對稱美、和諧美與統一美,相關論文都有全面系統的探討,而我們常常忽略“思想實驗”在麥克斯韋方程組誕生中的重要作用。
實驗室條件下不能看到或不能直接感受的物理“現象”,只能通過人類的思想間接地“想象”它們,通過間接方法去捕捉它,這就是“思想實驗”,麥克斯韋的思想實驗就是一個最成功的例子。
一、特殊性
麥克斯韋方程組的特殊性在許多場合被廣泛引以為據,同時,麥克斯韋方程組可以看作是物理學一個特殊的分界標志。一方面,它與經典物理學(牛頓力學、光學、熱力學等)完全不同,它給現代社會帶來的成果有目共睹;另一方面,它又被看成是古典意義的,以區別于相對論、量子力學等全新的現代物理學,這種特殊的地位使它具有一種歷史性意義,需要文化意義的闡釋。事實上,許多具有重要意義的物理概念總是在一種更廣泛的文化意義上被重新闡釋而被運用,比如,物理學中“場”的概念己滲透到人們的思想觀念中,并在許多領域得到應用,格式塔心理學(Gestalt Psychology)的心理場(Psychological field)就是一例。
二、創造性
麥克斯韋工作的關鍵是著名的“位移電流(Displacement current)”的思想圖像,即把變化的電場也看成為一種(以太)電流。在這以前,安培定律己表明,電流可以產生磁場,法拉第定律則表明,變化的磁場可以產生電場,但是受當時實驗條件所限,實驗物理學家都沒有發現變化的電場可以產生磁場這樣的事實。麥克斯韋不是實驗物理學家,他在理論物理領域內工作,他的實驗室是思想,他只須做思想實驗。“位移電流”的思想實驗脫離了具體實驗環境的限制,讓麥克斯韋在以前的安培公式中添加電場的變化率一項,完成了麥克斯韋方程組物理本質化的關鍵。由此我們可知,并不是麥克斯韋完全依靠數學演繹方法直接從庫倉定律、安培定律、法拉第定律等數學表達式中推導得到了麥克斯韋方程組,而是首先用思想實驗方法補充了安培公式,從而使以前幾個相互沒有內在統一性的電磁公式成為了具有本質性意義的麥克斯斯韋方程,成為了可以表達一種全新的物理對象的數學形式。在這個意義上,他是先于愛因斯坦和玻爾等人而創造性的進行縝密的思想實驗的科學家。有關這方而的介紹可以參看列昂.庫珀(L.N.Cooper 1972年諾貝爾物理學獎獲得者)的《物理世界》(An introduction to the meaning and structure of physics)一書。
三、開拓性
當牛頓定律以一個簡潔的方程式(F=Ma)表達了經典力的核心概念的時候,物理對象之間的關系是明白的、感性直觀的――力就是物理對象之間的時空關系。比如氣體中的分子雖然是肉眼看不見的,但人們仍然把它們當作可以看見的小粒狀物體,就象在顯微鏡下可以看到的灰塵一樣,但是場卻是一種人類感官無法直接或(在感官感覺的意義上)間接感受的對象,但是人們仍然相信它的存在,除了人們在它的間接的物理效應中被證實以外,另一個主要的原因就是麥克斯韋方程組以優美的數學組合方式表達了電磁場,這是一種對事物的本質的表達,這表明,人類的理性思維和表達方式已經進入了了一個新的階段,當然這種進步是最艱難的,量子力學的歷史就充分說明了這一點,直到今天人們仍在殫精竭慮地去想象由波函數表達的“量子態”究竟是“什么”。
麥克斯韋方程組所具有的重要的物理學史的意義是,它開拓性的擴展了人們對物質的認識,形成了新的物質概念和世界觀。
四、類似性
麥克斯韋的“位移電流”思想圖像,使我們領悟到了西方科學思想中的“以太流”,雖然人們無法在現實事物中找到它,但在有效的思想實驗中卻無法沒有它,這與中國古老的“氣”的觀念有著本質上的類似性。不同的是,“以太流”是數學與物理的統一本質,而“氣”是人文意義的,是人與世界統一的觀念形態,因此它們在自己適用的領域里都具有重要的文化價值,中文里“電氣”一詞的廣泛使用,就是中西文化結合下對“氣”這一詞的最恰當的使用的例子。我們很難相象,如果沒有“以太流”的思想形象,大量的最基本的現代數學物理概念,如矢量場、勢、散度、張量……如何能夠建立起來,又如何能被人們學習和得到真正的理解。至于“氣”在中國文化中的意義就無須在此說了。
五、統一性
雖然我們現在已無法追蹤麥克斯韋當時的具體思想過程,但是我們仍可以領悟到,一個成熟的物理思想與采用何種表達方式是無必然性,然而,我們不可否認麥克斯韋方程組揭示了電場與磁場相互轉化中產生的對稱性優美,這種優美以現代數學形式得到了充分的表達。這說明,真正的創造力來自于“思想實驗”的性質和選擇其表達方式的統一性。
麥克斯韋方程組以一種公理關系的方程組形式表達了電磁場的本質,其誕生的關鍵是“位移電流”的“思想實驗”,這使我們領悟到思想形象與表達形式之間本質性的統一性在人類理性思想中的作用和它們的文化影響,突出表現了物理學進步的真正特征,同時給“思想實驗”闡釋提供了一個最適用的案例。
參考文獻:
[1]列昂.庫珀著.楊其方等譯.物理世界.海洋出版社,1981.
[2]麥克斯韋著.戈革譯.電磁通論.武漢出版社,1991.
關鍵詞 數學 列方程 教學
方程作為一種重要的數學思想方法，它對豐富學生解決問題的策略，提高解決問題的能力，發展學術素養有著非常重要的意義。
六年級(上冊)“方程”單元教學內容的安排和數學的設計是在繼承傳統優勢的基礎上，從便教利學出發，著眼于學生繼續學習，加強了學生的自主探索，注重學生對方程思想方法和價值的感受和體驗。突破了傳統教材先學解方程。再利用解方程來解決實際問題的做法，把列方程解決實際問題和解方程安排在一起進行教學，使學生在列方程解決實際問題的過程中學習解方程。教師在解讀教材，研究教法，學法，具體教學中可從以下幾個方面認真把握。
一、從促進學生有效地參與數學學習活動，提高學習效率出發，科學合理安排教學內容
六年級(上冊)教科書“方程”單元安排了兩個例題，通過這部分內容的教學，一方面可以使學生進一步感受方程的思想和方法，增強用方程方法解決問題的意識和能力，另一方面，也能使學生進一步積累解方程的經驗，從而為后續學習打下基礎。
教材為了讓學生更好地參與數學活動，提高學習效率，把解方程和列方程解決實際問題的教學融為一體。同步進行，這是和以前教材不同的編排。這兩道例題即教學解方程的思路和方法，和教學列方程的相等關系和技巧。這樣編排，能較好地體現數學內容和現實生活的聯系。一方面分析實際問題里的數量關系，抽象成方程，形成知識與技能的教學內容，提高了學生的求知欲望，觸動他們好奇心，為了解決實際問題，還必須解這道方程，促使學生主動學習解方程。提供了學習的內容，也提供了學生自主探索的空間和進行數學活動的機會。另一方面，利用方程解決實際問題，使知識技能的教學具有現實意義，成為數學思考、解決問題、情感態度有效發展的載體。在解決問題的過程中，學生充分體會到列方程和解方程的實際意義，感受到解方程是解決問題的途徑和必經過程，枯燥的知識技能教學變得有意義、有情趣、有價值。
二、從引導學生主動學習方程解法考慮，讓學生在解決問題的過程中自主探索并掌握有關方程的解法
教材沒有把解方程作為教學的重點，而是把列方程解決實際問題作為教學的主線，讓學生在解決問題的過程中自主探索并掌握有關方程的解法。化復雜為簡單、變未知為已知是人們解決新穎問題的常用策略。教師要鼓勵學生自主解釋并理解運算的依據，找出方法，從而初步掌握解法。突出轉化的過程，鼓勵學生獨立求解，復雜方程轉化成簡單方程，使新知識植根于已有的經驗和能力的基礎上，啟發學生結合題意檢驗方程。進一步理解并掌握解方程的完整過程。
練習過程中要先讓學生說說解每道方程的第一步要怎樣做，以及這樣做的根據是什么，然后讓學生獨立完成。交流時，除了關注學生是否求得了正確的解，還要關注學生解方程的過程是否進行了檢驗。這樣及時的練習使解方程的思路和方法得到了進一步鞏固，也更好達成了解方程這個重要的教學目標。
三、從學生的實際思維和有利于學生發展的角度，正確看待解方程的不同思路和不同解法
能解方程和會解方程是學生的基本技能，也是學習能力。教師在幫助學生掌握教材提供的利用等式的性質解方程的基礎上，教師要尊重學生解決問題的實際情況，尊重他們所看好的策略和方法，從有利于學生思維、有利于學生解決問題和有利于學生發展的角度出發，正確地對待學生不同的思考和運用不同的方法解方程。
既然讓學生在列方程解決實際問題的過程中學習解方程，那么，解方程的學習也應該和數量關系的分析聯系起來。學生根據不同的數量關系可以列出不同的方程，也反映出學生在解方程時也會有各自獨到的思考過程，我們應該尊重不同的思考。并幫助他們理清思路。同時也讓學生感受到解方程在解決實際問題過程中的價值。教學中，我們要充分尊重教材，領會教材的意圖，幫助學生完成必需的學習任務。在此基礎上，我們就要結合學生學習實際，從利于學生學習數學、利于發展學生數學思考，促進學生有效發展的角度，科學地、綜合地、全面地考慮，通過創新教學，使教學真正扎實、有效和有可持續發展性。
四、從學生的數學體驗和數學思想的滲透的高度思考，讓學生在解方程和列方程解決實際問題的過程中感受方程的思想方法和價值
本冊教材包括小數乘法、小數除法、小數四則混合運算和應用題、土地面積計算和簡易方程。本冊教材的重點是小數乘除法計算和簡易方程，難點是小數除法和列方程解應用題。
小數乘法是整數乘法的擴展和延伸。當第二個因數是整數時，小數乘法的意義和整數乘法的意義相同；當第二個因數是純小數時，小數乘法的意義有了擴展，就是求一個數的十分之幾，百分之幾，千分之幾…….小數乘法的計算方法與整數乘法的計***算方法類似，只要掌握了積的小數點的定位方法，小數乘法的計算方法，應刃而解，為此教材應用積的變化規律，把小數乘法轉化為整數乘法進行計算。
小數除法的意義與整數除法的意義相同，都是已知兩個因數的積和其中的一個因數，求另一個因數的運算，小數除法的計算方法相對于小數乘法的計算方法則較為復雜。教材安排了兩個層次進行教學：一是當除數是整數時，計算方法與整數計算方法相同，只要弄清商里小數點的定位問題即可。二是當除數是小數時，則根據商不變的性質，把它轉化為除數是、整數的除法進行計算。
小數四則混合運算的運算順序與整數四則混合運算的運算順序相同，通過教學和訓練，提高學生計算的準確性和熟練程度，培養學生靈活***應用規律，簡便合理的進行計算的能力。本冊教材的應用題主要是整、小數的三步計算應用題。通過教學，讓學生掌握分析應用題數量關系的基本方法，學會列綜合式解答應用題，提高學生分析問題和解決問題的能力。
土地面積計算，教材主要安排了直線的測定、測量和土地面積單位的認識、土地面積的計算等內容。通過實踐操作，使學生掌握測量和的方法。
簡易方程是讓學生掌握一些簡單的代數知識，學會用字母表示數，表示常見的數量關系、運算定律、平面圖形的面積和周長計算公式等，理解方程的意義，學會接需兩、三不計算的 方程，并能列方程解應用題。通過兩種方法的比較，體會到用方程解應用題的優越性，滲透數學思想。
二、學生情況的分析
本年級有300名學生。從能力上看，大部分學生能夠較好的接受課本上的新知識，勇于發表自己的意見，聽取和尊重別人的意見，獨立思考，掌握學法，大膽實踐，并能自評、自檢和自改。也有少數同學在解法上表現出自己獨到的見解，但存在的問題也有不少，如個別同學接受能力差或主動性不強，需要在教學中加以引導。還有個別學生比較聰明，但學習不勤奮，成績不理想。此外，在創造性方面也還需要進一步加強。
三、教學目標G
1、掌握小數乘除法的計算方法，能比較熟練地進行計算。會用四舍五入法取積和商的近似數。
2、掌握小數四則混合運算的運算順序，并能正確地進行計算。
3、會用分步列式或列綜合式解答整數、小數的三步計算應用題。
4、會用簡單的測量工具或步測、目測測定直線，認識土地面積單位，并能進行簡單的土地面積計算。
5、能夠用字母表示數，表示常見的數量關系，運算定律和公式，初步理解方程的意義，會解簡易方程，會列方程解應用題。
6、會使用計算器。
四、教學措施
在教學中不僅要使學生扎實的掌握每一個知識點，同時還要注重學生情感的發展，把數學自身的特點和學生的學習規律有機的結合起來，必須做到以下幾點：
1、加強學習目的性教育，充分挖掘學生的潛能，發揮學生的主體作用。
2、增強學生的動手實踐能力，培養學生的空間觀念。
3、加強個別輔導，提高學困生的成績。對學困生要付出更多的關心和愛心，作業適當降低要求。
4、多創設學習情景，大膽放手讓學生自學，解疑問難，發展學生的個性特長。
5、注意加強數學與實際生活的聯系，讓學生在生活中解決數學問題，感受、體驗、理解數學。
五、教學進度表
周次起訖
江蘇“課程標準”中對導數部分的要求是：一、了解導數的概念及幾何意義；二、理解導數的定義，了解函數的單調性與導數的關系，包括求函數的極值、單調區間及判定函數的單調性等；三、導數在實際生活中的應用.根據課程標準要求及本人在教學中了解的學生的學習情況，提出在復習過程中的幾點想法：
一、注重導數的幾何意義
導數的幾何意義是高考涉及導數知識時經常考查的一個知識點，如求切線的斜率、求切線的方程等，難點在于對其幾何意義的正確理解.
例1 （2008江蘇8）直線y=1[]2x+b是曲線y=lnx(x>0)的一條切線，則實數b＝.
解析 求曲線的切線（包括給出的點在或不在已知曲線上兩類情況）為主要內容，求切線方程的難點在于分清“過點(x0,y0)的切線”與“點(x0,y0)處的切線”的差異.突破這個難點的關鍵是理解這兩種切線的不同之處在哪里：在過點(x0,y0)的切線中，點(x0,y0)不一定是切點，點(x0,y0)也不一定不在切線上；而點(x0,y0)處的切線，必以點(x0,y0)為切點，則此時切線的方程才是y-y0=f′(x0)(x-x0).求切線方程的常見方法有：①數形結合.②將直線方程代入曲線方程利用判別式.③利用導數的幾何意義.
二、強化導數的基本運算及簡單應用
導數的基本運算是導數應用（單調性、極值、最值）的基礎，是高考重點考查的對象，考查的方式以填空題為主.
例2 （2009江蘇3）函數f(x)=x3-15x2-33x+6的單調減區間為.
解析 對于導數的復習，應該立足基礎知識和基本方法，應注意以下幾點：
（1）在求導過程中要緊扣求導法則，聯系基本函數求導公式，對于不具備求導法則結構形式的要注意適當恒等變形.（2）用導數法研究函數的單調性、極值及最值時要特別注意函數的定義域，因為一個函數的導數的定義域可能和這個函數的定義域不相同.（3）近年高考中經常出現以三次函數為背景的問題，復習中應加以重視.
三、加強利用導數研究函數性質問題的研究
運用導數的有關知識，研究函數的性質是歷年高考的熱點問題.高考試題常以解答題形式出現，主要考查利用導數為工具解決函數、方程及不等式有關的綜合問題，題目較難.
例3 （2011江蘇19）已知a，b是實數，函數f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)分別是f(x),g(x)的導函數，若f′(x)g′(x)≥0在區間Ⅰ上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區間Ⅰ上單調性一致.
（1）設a>0，若函數f(x)和g(x)在區間［-1,+∞)上單調性一致,求實數b的取值范圍；
（2）設a
解析 這類問題常常涉及求函數解析式、求參數值或取值范圍問題.解決極值、極值點問題轉化為研究函數的單調性，參數的取值范圍轉化為解不等式的問題，有時須要借助于方程的理論來解決，從而達到考查函數與方程、分類與整合的數學思想.
四、運用導數解決實際問題
近幾年，高考越來越注重對實際問題的考查，因此要學會應用導數解決有關最優化的問題及即時速度、邊際成本等問題，學生要有運用導數知識解決實際問題的意識、思想方法以及能力.實際應用問題的考查將是高考的又一熱點.
例4 （2010江蘇）將邊長為1 m的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=(梯形的周長）2[]梯形的面積,則S的最小值是.
解析 解決實際應用問題關鍵在于建立數學模型和目標函數.把“問題情景”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化、形式化，抽象成數學問題，再化歸為常規問題，選擇合適的教學方法求解（尤其要注意使用導數解決最優化的問題）.
通過以上考點回顧和熱點分析，我們在導數的復習備考中須要注意以下幾個問題：
1.要把導數的復習放在函數大背景下來復習.同時注意定義域優先、函數方程的思想、數形結合思想、分類討論思想、恒不等式問題常見處理方法，等等.
2.要用好導數工具.要對已知函數進行正確求導，特別注意的是分式、對數式、復合函數的求導，一定要對求導的結果進行演算之后再進行下一步的運算.
關鍵詞 數學物理方程 教學實踐 教學方法 教學效果
中圖分類號：G424 文獻標識碼：A
Abstract "Mathematical physics equations" many science and engineering is an important foundation for professional courses to enhance students' scientific quality has far-reaching significance. In teaching practice， the authors focus on mobilizing the enthusiasm of students， improve the quality of teaching students the ability to continuously explore teaching teachings， lessons learned. In this article， the terms of teaching content， teaching methods and teaching methods， etc. Some experience summarized.
Key words Mathematical Physics Equations； teaching practice； teaching methods； teaching effects
數學物理方程是從物理問題中導出的反映客觀物理量在空間和時間上相互制約關系的偏微分方程（有時也包括常微分方程和積分方程），是物理過程的數學表達式。①眾多理工學科的本質問題都可歸屬于對相應的數學物理方程的研究，因此，數學物理方程是理工專業的一門重要的基礎課和必修課。該課程以偏微分方程作為研究對象，把數學理論、求解方法和物理實際緊密融合在一起。通過應用物理定律對實際的物理問題建立數學模型，培養學生用數學語言描述物理問題的能力；通過學習典型的數學物理方程的求解，為學生儲備解決實際物理問題的數學技能；通過對數學過程和物理意義的深入剖析，讓學生體會到形式與內容的統一、科學內在的美。因而，這門課程的開設，不僅為后續專業課的學習奠定了必要的數學知識，而且提升了學生的數學物理素質，對學生將來進一步開展科學研究具有重要而深遠的意義。然而，由于課程不僅涉及知識面廣，包含了高等數學、線性代數、復變函數、常微分方程、積分變換、和物理學中力熱光電等知識，而且有大量的繁瑣數學推導，求解結果通常又是復雜的級數或者積分形式，其中又使用了三角函數或者特殊函數來表示，往往讓學生倍感枯燥、產生畏懼情緒，是一門公認的較難課程。尤其對我們電信院學生來說，這門難學課程又是學習后續的電波傳播、電磁場理論、微波技術等其它幾門公認難學課程的起點和基石，教師教好這門課程、學生學好這門課程顯得尤為重要。如何改進教學教法，提高學生學習的興趣，調動學生學習的能動性，是教師所面臨的一項重要課題。筆者借鑒他人的教改經驗，在教學實踐中，從教學內容、教學方法和教學手段等多方面進行了一些有益探索，并取得了良好的教學效果。
1 突出教學重點和注意教學方法
數學物理方程這門課程具有內容多、難度大，而課時較少的特點，這就需要教師根據教學目的和教學要求全面把握教學內容、突出教學重點。該課程的主要內容是具有典型意義的三類偏微分方程的建立，以及分離變量法、行波法、積分變換法和格林函數法幾種典型的求解方法，因此，教師教學需要圍繞這些內容展開，突出教學重點，讓學生在學習三類方程建立和求解的過程中來逐漸掌握偏微分方程的基本理論。
注意循序漸進安排教學內容，便于學生對知識的理解和掌握，可以取得事半功倍的效果。例如，講解利用分離變量法求解兩端固定弦的自由振動方程后，可以引導學生思考，這種方法是否也能求解熱傳導方程和拉普拉斯方程？通過適當練習，學生能夠掌握具有第一類其次邊界條件的偏微分方程的分離變量解法。再進一步引導學生思考，如果是第二類和第三類邊界條件，利用分離變量法求解，解的形式會是怎樣？經過分析和練習，學生能夠舉一反三，熟練掌握分離變量法，并能深刻理解本征函數。在此基礎上，學習非齊次方程求解時，學生很容易地聯想到本征值和本征函數，培養了學生應用知識的能力。
注意前后知識點的內在邏輯性、突出知識體系的連續性和系統性，有利于學生形成自己的知識結構。學生在學習兩類特殊函數時，容易迷失在繁瑣的數學推導中。授課時，我們結合簡單的專業研究現象來引導學生，對于大家常見的柱狀天線和球形天線，假如它們發射的電波滿足前面所學的第一、二或三類邊界條件，該如何進行分離變量求解從而知道電波的傳播和分布呢？從而很自然引入球坐標系和柱坐標系下偏微分方程的表達形式，并類比前面所學知識，進行變量分離，對每個分離后的微分方程尋找本征函數，勒讓德多項式和貝塞爾函數分別是相應微分方程的本征函數而已。這樣，通過分離變量和本征函數的數學和物理思想，把前后知識融為一體，讓學生把厚書讀薄，牢固掌握。
注意知識的歸納總結，增強學生分析和解決問題的能力。盡管該課程教學課時緊，但是花少許時間對所學知識進行歸納和歸納總結，會產生良好的教學效果。在教學的不同階段，可就三類方程、或者四種求解方法、或者不同的類型邊界條件、或者不同坐標系下解的特點的角度，分別進行對比總結，提高學生的分辨能力和求解技能。再如，在教學中，我們發現有部分學生容易把球坐標系中軸對稱靜態問題和柱坐標系中圓域的Dirichlet問題容易混淆，經過教學總結，考試檢查中幾乎不再有學生犯這類錯誤了。
2 數學過程和物理意義并重
數學物理方程的教學中，肯定避免不了繁多的數學推導和冗長的求解過程，然而，如果教師僅限于清楚講授數學過程和數學技巧，可能會使學生感到枯燥，失去對這門課程的好奇心和學習的興趣，尤其是在授課的早期階段、學生剛學習這門課程的時候。在教學過程中，注重從實際物理問題出發，利用物理規律和物理背景建立起數學物理方程，而且闡明數學過程和數學結果中的物理含義，從而使學生從數學的抽象思維中獲得感性的認識，便于學生理解，讓這門課程真正起到培養學生利用數學知識解決實際物理問題的能力的作用。
在教學過程中，我們結合學生專業特點以及可能繼續攻博的情況，深化了物理過程和物理意義的教學，注重理論學習聯系實際應用。例如，面對眾多Fourier變化性質，我們逐一解釋在電路、電波和通訊領域的應用，學生都表現出濃厚的興趣，能很快理解和掌握這些性質。對于包括自然邊界條件在內的各類邊界條件，闡明在電磁場研究中的具體形式及其物理含義，并明確告訴學生，后續學習的電波理論和微波技術等課程，實質上就是求解Maxwell偏微分方程組在不同初始條件和邊界條件下的解。結合球形天線和柱形天線，以及電波在大氣中的Mie散射等實際問題，讓學生認識到為什么要在球坐標系下和柱坐標系下研究數學物理方程以及研究的重要性。對于方程的級數解和積分解等各種形式解的物理意義，我們都不惜深究，同時，向學生指明，這種從實際物理問題到數學建模求解，再從方程數學解回到實際的物理世界和物理意義的研究模式，實際上也是未來大家做學問的常用模式，不僅要習慣這種研究模式，而且要善于運用這種研究模式。通過這種結合物理、聯系實際的教學，我們感到學生沒有被大量的數學推導模糊視野，非常熱愛學習這門課程，下課后經常有大量的學生圍繞教師饒有興趣地開展討論，久久不愿離去。
在教學中，我們注重厘清數學和物理的內在關系，讓學生認識到該課程所體現的數學和物理的高度統一。例如，客觀上，物理量的演變不僅受到物理規律的支配，還與物理量在周圍空間分布和上一時刻狀態有關，對應于數學上，描述為偏微分方程和邊界條件、初始條件。再如，對初學分離變量法求解兩端固定弦自由振動方程獲得的級數解的深入分析。振動產生波，波是大家熟知的物質世界的一種運動形式。對于兩端固定的弦，弦的長度、線密度等固有因素，決定了弦振動的快慢即波動周期；同時，波速取決于介質屬性，或者說弦的固有因素也決定了波速，這就意味著波長也是確定的；表示波動的數學形式是三角函數，用數學語言來說，就是方程的本征值和本征函數是確定的。那么，對于弦振動方程的求解，實質上就是要確定弦中允許存在的一系列波譜成分的強度，具體由弦初始位移和初始速度中相應譜成分決定，換成數學語言，解是三角函數的級數和，要計算的就是三角函數的系數，具體值由兩個初始條件做Fourier級數展開求得。因此，是客觀世界的運動特征決定了解的數學表達形式，或者說，解的數學表達形式是對客觀世界運動特征的恰當描述。對非齊次邊界條件和非齊次方程的解、達朗貝爾解、積分解等各種形式的解，做類似的數學和物理分析，從而，引導學生認識到，偏微分方程的求解通常是很困難的，一般很難找到一個較簡單的解析式解，我們的求解過程是物理和數學的高度統一，是數學和物理的和諧美，培養學生的鑒賞能力、科學素養和學習激情。
3 傳統和現代教學手段并用
教學過程，在傳統的粉筆板書的基礎上，靈活采用多種現代化教學手段，提高教學效果。傳統的板書教學方式，推導過程清楚直觀，便于對重難點進行突破。雖然授課速度較慢，但對于接受新知識的學生來說，留有較充足的時間思考，印象深刻，便于課堂上消化所學知識。在課堂教學中，我們仍然以傳統的黑板板書為主要教學方式，繼續發揮傳統教學方式的優勢。此外，盡管是大學教學，黑板板書也應該盡量避免隨意性，對板書內容和板書模式、課前根據教學內容和要求做好精心設計，條理清晰，利于學生學習。
同時，靈活應用現代化的多媒體手段進行輔助教學。對于一些背景知識、歸納總結、非重點教學內容的定理和推導、以及部分教師擴展的教學內容，適合電子課件教學。充分利用Matlab和Maple等教學軟件，②發揮多媒體聲、圖和動畫視頻等優勢，把物理情景和物理過程形象地展示出來，既豐富了課堂，又加深了學生的理解。而且，我們鼓勵學生自己動手編程，對物理過程進行分和仿真，例如，有學生用動畫展示和比較了弦振動方程在三類邊界條件下的解，有學生成功模擬了柱坐標系中柱面波的傳播、反射和衍射等現象。現代化的教學手段，深受學生歡迎。
總之，充分認識到數學物理方程這門課程的重要性，根據課程的特點，在教學實踐中，我們始終以夯實學生基礎、培養學生能力為目標，在激發學生學習興趣、提升教學質量上下足功夫，不斷探索和總結教學方法，取得了良好的成績。時代在發展，社會在進步，知識在更新，教學無止境，需要我們教師相互學習、相互探討，堅持教學改革，為培養優秀人才而不斷努力。
注釋
（一） 數與代數方面
本冊教材安排了小數乘法，小數除法和簡易方程。小數乘法和除法是在學生掌握了整數的四則運算、小數的意義和性質以及小數加減法的基礎上進行教學，繼續培養學生小數的四則運算能力。簡易方程中有用字母表示數、等式的性質、解簡單的方程、用方程表示等量關系進而解決簡單的實際問題等內容，進一步發展學生的抽象思維能力，提高解決問題的能力。
（二）在空間與圖形方面，安排了觀察物體和多邊形的面積兩個單元。在已有知識和經驗的基礎上，探索并體會各種圖形的特征、圖形之間的關系，及圖形之間的轉化，掌握平行四邊形、三角形、梯形的面積公式及公式之間的關系，滲透平移、旋轉、轉化的數學思想方法，促進學生空間觀念的進一步發展。
（三）在統計與概率方面，本冊教材讓學生學習有關可能性和中位數的知識。通過操作與實驗，讓學生體驗事件發生的等可能性以及游戲規則的公平性，學會求一些事件發生的可能性；在平均數的基礎上教學中位數。
（四）在用數學解決問題方面， 教材一方面結合小數乘法和除法兩個單元，教學用所學的乘除法計算知識解決生活中的簡單問題；另一方面，安排了“數學廣角”的教學內容，通過觀察、猜測、實驗、推理等活動，培養他們探索數學問題的興趣和發現、欣賞數學美的意識。
（五）本冊教材還安排了兩個數學綜合應用的實踐活動，讓學生通過小組合作的探索活動，運用所學知識解決問題，體會探索的樂趣和數學的實際應用，感受用數學的愉悅，培養數學意識和實踐能力。
二、教學重點
小數乘法、除法，簡易方程，多邊形的面積，統計與可能性等是本冊教材的重點教學內容。
三、教學難點
理解小數乘、除法的算理，理解用字母表示數的意義，理解用字母表示數的公式，理解方程的意義及等式的基本性質，根據題意分析數量間的相等關系，理解多邊行面積公式的推導過程。
四、教學目標
1、使學生在理解小數的意義和性質的基礎上。比較熟練地進行小數乘法和小數除法的筆算和簡算。
2、使學生學會用字母表示數，表示常見的數量關系，初步理解方程的含義，會解簡易方程。3、探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形面積的計算公式，會計算它們的面積。
4、能辨認從不同方位看到的物體的形狀和相對公式。
5、理解中位數的意義，會求數據的中位數。
6、體驗事件發生的等可能性以及游戲規則的公平，會求一些事件發生的可能性；能對簡單事件發生的可能性作出預測，進一步體會概率在現實生活中的作用。培養學生的環保意識，爭做環保小衛士，向周邊的居民宣傳有關禁毒知識，做禁毒宣傳的小能手。
7、經歷從實際生活中發現問題、提出問題、解決問題的過程。體會數學在日常生活中的作用，初步形成綜合運用數學知識解決問題的能力。
8、初步了解數字編碼的思想方法，培養發現生活中數學的意識，初步形成觀察、分析及推理的能力。
關鍵詞 圓；切線；轉化；化歸；參數；平移
眾所周知過已知圓圓上一點有且只有一條切線，而且可以利用公式直接寫切線方程。那么，過圓x-a■+y-b■=r■ 外一點 px■，y■作圓的切線有兩條，如何求切線方程呢？下面以一道習題來分析：
例：從點 p-2，-1向圓x■+y■-4x+2y+1=0引切線，求切點坐標與切線方程。
解法一：判別式法。不妨設切線的斜率存在，記作k ，
那么過點 p-2，-1 的直線方程為：y+1=kx+2，
由y+1=kx+2 x■-4x+y+1■=0，得1+k■x■+4k■-1x+4k■=0
由直線與圓相切有，=16k■-1-16k■1+k■=0，解得k=±■
此時切點的橫坐標為x=-■=1，將x=1代入圓的方程，解得y=-1+■，
即切點坐標為1，-1+■，1，-1-■ 。
將k=±■代入，得兩條切線方程為：x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。
點評：此法從相切的定義得到（有且只有一個公共點）。但要注意，若求得的k值只有一個，再驗證斜率不存在且過點p-2，-1的直線是否為切線。
解法二：幾何法。圓的方程化為x-2■+y+1■=4，圓心C（2，-1）。設切線的斜率為k （存在時），則過點p-2，-1的直線方程為y+1=kx+2，即y-kx-2k+1=0。由平面幾何知識，圓心 C（2，-1）到切線的距離等于圓半徑，所以d=■=2。解得k=±■。將k=±■代入切線方程，得兩條切線方程為 x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。將切線方程y+1=±■（x+2） 代入圓的方程，得x-2■+■x+2■=4，解得x=1，再代入切線方程，得y=-1±■ ，所以切點坐標為-1，-1+■，1，-1-■。
點評：利用相切的幾何意義（圓心到直線距離等于半徑）。若求得的 值只有一個，再驗證斜率不存在且過點 p-2，-1的直線是否為切線。就求切線方程而言，較解法一可減少運算量，值得重視。當然法一，法二都是我們最容易想到的方法。
解法三：轉化與化歸法。設切點坐標為A（x1，y1），為圓上一點那么利用公式得過點A的圓的切線方程為：x■x+y■y-2x+x■+y+y■+1=0
因為切線過點p-2，-1，所以-2x■-y■+4-2x■-1+y■+1=0，解得x1=1，
代入圓的方程，解得y1=-1+■或 y1=-1-■。
所以切點坐標為1，-1+■，1，-1-■ ，
所以切線方程為：x-■y+2-■=0或x+■y+2+■=0。
解法四：參數法。圓的方程化為x-2■+y+1■=4，故可設切點坐標為2+2cos？茲，-1+2sin？茲，？茲∈[0，2？仔）， 則切線方程為 x-2·2cos？茲+y+1·2sin？茲=4。因為切線過點p-2，-1，代入切線方程，得-8cos？茲=4 ，所以cos？茲=-■，sin？茲=±■。所以切點坐標為1，-1+■，1，-1-■，切線方程為 x-■y+2-■=0或 x+■y+2+■=0。
點評：若出Acos？茲+Bsin？茲=C 型，可將Acos？茲移到右邊，再兩邊平方求解。
解法五：平移轉化法。圓的方程化為x-2■+y+1■=4，將圓和點 p-2，-1同時按向量■=（-2，1）平移（x'=x-2，y'=y+1，從而 ，x=x'+2，y=y'-1），得到的圖形所對應的方程為 x2+y2=4（改寫后）和點p（-4，0）。設此時切點坐標為（x0，y0），則切線方程為xx■+yy■=4，因其過點p（-4，0），所以-4x■=4，x■=-1 。將x■=-1代入圓的方程 x2+y2=4解得y0=±■，所以切線方程為x±■y+4=0 （即切線方程為x'±■y'+4=0 ），切點為-1，±■。再將所得的切線和切點按向量-■=（2，-1）平移，得到所要求的切點坐標為1，-1±■ ，切線方程為x-2 ±■y+1+4=0，即切點坐標為1，-1+■，1，-1-■，切線方程為x-■y+2-■=0 或x+■y+2+■=0 。
關鍵詞：定義解題；拋物線
中圖分類號：G40 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4117（2012）02-0269-02
定義是必須掌握的基礎知識，也是解決問題的重要工具，用定義解題，可以變繁為簡，起到事半功倍的效果。
要靈活運用拋物線的定義來解決問題，一般情況下涉及焦點問題則應首先考慮定義。利用定義尋找等量關系使得求拋物線方程簡便易行。
要求拋物線的標準方程包括“定位”和“定量”兩個方面。“定位”是指確定它們與坐標系的相對位置，在中心是原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，開口向哪，以判斷方程的形式；“定量”是指P的具體數值，常用待定系數法.
“回歸定義”是一種重要的解題策略，要培養用定義解題的意識，特別在求有關拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離轉化為到準線的距離，結合幾何圖形利用幾何意義去解題。
要準確把握拋物線的標準方程的結構特征以及“標準”的含義，能從它的標準方程讀出幾何性質，更要能夠利用標準方程解決問題。
“看到準線想焦點，看到焦點想準線”從而獲得簡捷直觀的求解，“由數想形，由形想數，數形結合”是靈活解題的一條捷徑。
一、求最值
例1.已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為（A）
例2.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點 作傾角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點（A在y軸左側），則
例3.設P是拋物線y2=4x上的一個動點，F是焦點．
（1）求點P到點A(-1,1)的距離與點P到直線X=-1的距離之和的最小值；
（2）若B點的坐標為（3，2），求|PB|+|PF|的最小值．
解析：（1）如圖1，易知拋物線的焦點為 ，準線是X=-1．由拋物線的定義知：點P到直線X=-1的距離等于點P到焦點F的距離．于是，問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(-1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小．顯然，連結 交拋物線于P點．
點評：此題利用拋物線的定義，使拋物線上的點到準線的距離與點到焦點的距離相互轉化，再利用平面幾何中的知識，使問題獲解。
二、求曲線的方程
例1圓心在拋物線 上且與x軸及拋物線的準線都相切，求該圓的方程．
點評：本題利用拋物線的定義，可知切點與焦點重合，從而確定了點的坐標，使問題的求解變的很順暢．定義法是求軌跡問題的重要方法之一.
三、確定方程的曲線
點評：本題若直接化簡方程，再判斷其軌跡較繁雜，根據方程兩邊所表示的幾何意義，利用拋物線的定義則簡單易行．
四、探究證明
點評：數形結合的數學思想方法在解析幾何中有很多的應用，在學習中，學生要善于把已知條件轉化成圖形中量與量的數量關系及其位置關系，再由圖形去研究問題。
作者單位：三門峽市實驗高中
參考文獻:
