時(shí)間：2023-09-14 17:44:15
開(kāi)篇：寫(xiě)作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)全部歸納，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5
記得有一個(gè)培訓(xùn)學(xué)校把"教學(xué)質(zhì)量是私立學(xué)校的生命線"作為座右銘，可見(jiàn)這課堂45分鐘的重要性。那么如何把握這45分鐘的時(shí)間，"課前五分鐘"無(wú)疑起到了非常重要的作用，不但可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)對(duì)教學(xué)更具有實(shí)效性，讓學(xué)生在課堂上獲得最大的收益，將學(xué)生那種"我學(xué)習(xí)，我收獲，我快樂(lè)"的情緒調(diào)動(dòng)起來(lái)，是一個(gè)值得我們探討的問(wèn)題。對(duì)此，我在這一方面進(jìn)行了一些嘗試。
一、利用"課前5分鐘"梳理基礎(chǔ)知識(shí)。
在高三一輪復(fù)習(xí)重在打基礎(chǔ)，為此要重視數(shù)學(xué)基本概念、基本定理（公式、法則）的復(fù)習(xí)，在理解上下功夫，整體把握數(shù)學(xué)知識(shí)，爭(zhēng)取做到不打開(kāi)書(shū)本就能在自己大腦中勾畫(huà)出知識(shí)間的脈絡(luò)框圖。
我所從教的是一所普通高中，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性很差，能力又低，如果教師不領(lǐng)著學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)的梳理，學(xué)生很少能夠自覺(jué)的去做。針對(duì)于這一現(xiàn)狀，在一輪復(fù)習(xí)的時(shí)候，我利用每節(jié)課的"課前5分鐘"進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)的考察和梳理。形式是多種多樣的，從最開(kāi)始的一問(wèn)一答式，到自問(wèn)自答式，再到自述式，直到學(xué)生會(huì)了，理解了，會(huì)用了為止。如三角要復(fù)習(xí)兩周，那么這兩周的"課前5鐘"都在進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)的考察，最初的幾天是一問(wèn)一答式，因?yàn)閷W(xué)習(xí)剛開(kāi)始復(fù)習(xí)，腦子里的知識(shí)信息不是很清晰，需要教師的提醒與幫助；等學(xué)生基本掌握后，開(kāi)始自問(wèn)自答式，爭(zhēng)取做到班級(jí)的每一位同學(xué)都有機(jī)會(huì)自問(wèn)自答，從某一個(gè)同學(xué)開(kāi)始，依次回答，要求是前面同學(xué)談面過(guò)的問(wèn)題后面的同學(xué)不準(zhǔn)重復(fù)，出現(xiàn)在的問(wèn)題同學(xué)提出并改正；經(jīng)過(guò)以上兩種形式后，再進(jìn)入到自述式，由一名同學(xué)在黑板上把本章的內(nèi)容進(jìn)行梳理，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，不全面的地方由同學(xué)和教師進(jìn)行補(bǔ)充。三輪下來(lái)同學(xué)們不但掌握了基礎(chǔ)知識(shí)，更對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系有了更全面的認(rèn)識(shí)，再加上課堂的進(jìn)一步應(yīng)用，使學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握更加深入，更加透徹。另外，范圍也是日漸擴(kuò)大的，從最初的一章，到一本書(shū)，再到高考的全部?jī)?nèi)容。學(xué)生從最開(kāi)始的被動(dòng)記憶，變主動(dòng)歸納，漸漸地，每節(jié)數(shù)學(xué)課的"課前5分鐘"變成了學(xué)生們展示自己學(xué)習(xí)成果的機(jī)會(huì)，變師生共同共享的天地。
二、利用"課前5分鐘"共解一題。
高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中做到"輕負(fù)擔(dān)，高質(zhì)量"，是教師要解決的一個(gè)重要問(wèn)題，這就需要教師精選習(xí)題，精講習(xí)題。
高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化基礎(chǔ)，那么二輪復(fù)習(xí)就要注重培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力了。由于高考的解答題內(nèi)容相對(duì)比較固定，對(duì)于普高學(xué)生應(yīng)著重訓(xùn)練三角、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)概率、立體幾何、選修等五方面的內(nèi)容。為此我從進(jìn)入二輪復(fù)習(xí)開(kāi)始設(shè)計(jì)每日一解答題為固定作業(yè)內(nèi)容，針對(duì)高考的解答題內(nèi)容進(jìn)行專(zhuān)門(mén)的訓(xùn)練。為了讓學(xué)生能夠認(rèn)真完成，并且做后有提升，每天"課前5分鐘"用來(lái)解答上一天的作業(yè)內(nèi)容，解答方式是先由一個(gè)學(xué)生分析題目，考察什么，用什么知識(shí)進(jìn)求解，再由第二個(gè)同學(xué)書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程，接著由其它同學(xué)或者教師改正，再然后在教師的引導(dǎo)下，由學(xué)生思考能否變式為其它相關(guān)問(wèn)題，最后師生共同提煉出數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想。看著學(xué)生積極思考，爭(zhēng)先回答問(wèn)題的場(chǎng)景，我再也不為吸引他們的注意力發(fā)愁了。
一天一題，看似很少，但這樣一個(gè)星期，一個(gè)月訓(xùn)練下來(lái)，同學(xué)們輕輕松松地學(xué)會(huì)了很多，最重要的是實(shí)現(xiàn)在了"輕負(fù)擔(dān)，高質(zhì)量"這樣一個(gè)教學(xué)目標(biāo)。
三、利用"課前5分鐘"總結(jié)提升。
高三一、二輪復(fù)習(xí)過(guò)后，距離高考的時(shí)間就更近的，考前這段時(shí)間教師一定要引導(dǎo)學(xué)生跳出每一道數(shù)學(xué)題，把目光放在題與題之前的區(qū)別與聯(lián)系上，部養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候，要邊學(xué)習(xí)邊"對(duì)比"。當(dāng)看到一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，要先到大腦中尋找相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)行對(duì)比。看大腦有沒(méi)有這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，如果有，就達(dá)到了強(qiáng)化的目的；如果沒(méi)有，就要進(jìn)行修補(bǔ)。這個(gè)過(guò)程就是我們常說(shuō)的"總結(jié)"，這是老師最希望學(xué)生能做的，也是老師不斷要求學(xué)生做的。在對(duì)比、總結(jié)的過(guò)程中，學(xué)生就能夠發(fā)現(xiàn)自己的優(yōu)劣之處，明確下一階段的學(xué)習(xí)方向，更建立學(xué)習(xí)的信心。
為此，在二輪復(fù)習(xí)結(jié)束后，每天利用"課前5分鐘"幫助同學(xué)總結(jié)提升，采用分享式和交流式。分享式就是鼓勵(lì)同學(xué)自告奮勇地表述自己對(duì)某一方面問(wèn)題的總結(jié)，再由同學(xué)借機(jī)展開(kāi)、深化，教師進(jìn)行補(bǔ)充說(shuō)明，完善數(shù)學(xué)方法和思想；交流式，就是由學(xué)生提出問(wèn)題和困惑，師生共同幫助他解答，從而使每一位同學(xué)都有新收獲、新的啟發(fā)。例如學(xué)生提出的問(wèn)題：線性回歸分析都什么？怎么考？在學(xué)生們你一言我一語(yǔ)的相互提醒下，最終能夠總結(jié)出以下四點(diǎn)：一是畫(huà)散點(diǎn)圖；二是求回歸直線方程；三是相關(guān)關(guān)系強(qiáng)弱（擬合程度）的檢驗(yàn)；四做預(yù)測(cè)。短短五分鐘的交流，讓每一位同學(xué)又全方位的了解了某一部分內(nèi)容，而且形成了詳實(shí)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。更重要的是促進(jìn)了同學(xué)們課下的復(fù)習(xí)和思考。
四、利用"課前5分鐘"查缺補(bǔ)漏。
關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué)；學(xué)生興趣；“開(kāi)關(guān)”
一、重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)服務(wù)專(zhuān)業(yè)技能的知識(shí)架構(gòu)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
在我國(guó)現(xiàn)行教育體制中，中職教育作為職前教育以其特有的形式存在。其主要任務(wù)，就是培養(yǎng)具有一定的基礎(chǔ)理論和較強(qiáng)的動(dòng)手能力的中等專(zhuān)業(yè)技術(shù)人才。使其就職后有一定的技術(shù)能力，能夠以較快的速度頂崗、上崗，但其知識(shí)體系和崗位服務(wù)功能的能力會(huì)受到學(xué)歷和文化知識(shí)的影響。因此，中等職業(yè)學(xué)校的教學(xué)體制和形式應(yīng)該盡可能地結(jié)合學(xué)生專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)需求，同時(shí)考慮學(xué)科教學(xué)的個(gè)性需求，各文化學(xué)科教師積極主動(dòng)地探索和研究能夠契合每個(gè)不同學(xué)科專(zhuān)業(yè)與專(zhuān)業(yè)特色點(diǎn)來(lái)打開(kāi)本學(xué)科的教學(xué)“開(kāi)關(guān)”。數(shù)學(xué)課程作為一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論和應(yīng)用工具，更應(yīng)著重于實(shí)踐技能的發(fā)掘和培養(yǎng)，為其后繼的專(zhuān)業(yè)課程打下良好基礎(chǔ)。基于數(shù)學(xué)課服務(wù)于專(zhuān)業(yè)課程的思想，我們可以將數(shù)學(xué)內(nèi)容和專(zhuān)業(yè)相結(jié)合，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣增強(qiáng)了，效果完全不同。
例如，在角的概念的推廣教學(xué)中，基于學(xué)生所在的學(xué)前教育專(zhuān)業(yè)，我利用他們經(jīng)常在幼兒園看到小朋友玩旋轉(zhuǎn)木馬的視頻引出新課；在函數(shù)的奇偶性教學(xué)中要求他們利用所學(xué)的美術(shù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)畫(huà)一組對(duì)稱(chēng)圖形等，將圓均等成不同角度的對(duì)稱(chēng)圖組，學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手自動(dòng)參與并展示了角的形成過(guò)程，而且不同的學(xué)習(xí)小組所畫(huà)出來(lái)的角的大小和角度的大小問(wèn)題辨析也接連產(chǎn)生。
通過(guò)這種形式，改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的枯燥，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)課的“教”和 “用”的功能被開(kāi)發(fā)，因此數(shù)學(xué)不再是單獨(dú)的一門(mén)文化課程，而是具有專(zhuān)業(yè)色彩的多功能課程。因此，重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)服務(wù)專(zhuān)業(yè)技能的知識(shí)架構(gòu)開(kāi)啟了通往專(zhuān)業(yè)課程的“開(kāi)關(guān)”，數(shù)學(xué)的效能被拓展和延伸了。
二、加大信息化技術(shù)的課堂表現(xiàn)形式，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣
隨著新課程教學(xué)改革的推進(jìn)和信息技術(shù)在全國(guó)各所學(xué)校的普及，信息技術(shù)以其形象、直觀、生動(dòng)、便捷的優(yōu)點(diǎn)，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。信息化技術(shù)不僅僅體現(xiàn)在課堂信息設(shè)備的使用上，更重要的是信息化教學(xué)資源的豐富和延伸，信息化教學(xué)資源還可以把微觀的、不易觀察的數(shù)學(xué)問(wèn)題及其本質(zhì)生動(dòng)地展示給學(xué)生，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種生動(dòng)、具體、現(xiàn)實(shí)的教學(xué)情境，創(chuàng)造愉快、和諧、樂(lè)觀的教學(xué)氛圍，充分挖掘數(shù)學(xué)與外部事物之間的聯(lián)系與潛在美，增加教學(xué)的趣味性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高課堂教學(xué)的有效性。
例如，在任意角的概念的教學(xué)過(guò)程中，我利用多媒體中的幾何畫(huà)板，構(gòu)造出一個(gè)任意角的生成過(guò)程，讓學(xué)生在角的生成過(guò)程中體驗(yàn)任意角的概念。使傳統(tǒng)平面單一的知識(shí)傳授模式轉(zhuǎn)變?yōu)樵趯W(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的基礎(chǔ)上歸納、總結(jié)獲得的立體化、多元化。在課堂中根據(jù)株洲市五橋的設(shè)計(jì)原理，引入了等比數(shù)列等知識(shí)的學(xué)習(xí)和使用。事實(shí)證明，利用信息技術(shù)對(duì)課堂重點(diǎn)進(jìn)行整合，可以使枯燥的知識(shí)趣味化，使被動(dòng)學(xué)習(xí)變?yōu)樽园l(fā)學(xué)習(xí)，起到提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果、知識(shí)掌握更加牢固的作用。在信息化技術(shù)和信息化資源的引進(jìn)中，我們通往數(shù)學(xué)縱深方向的“開(kāi)關(guān)”被開(kāi)啟，數(shù)學(xué)教學(xué)的彈性空間也因此而被拓展開(kāi)來(lái)。
三、構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)和日常生活的橋梁，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
如果從數(shù)學(xué)在學(xué)前教育專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域中的可用度來(lái)考慮數(shù)學(xué)在中等職業(yè)學(xué)校中的應(yīng)用的話，我們不難想到數(shù)學(xué)的可用度以及它的生活化。從生活的經(jīng)驗(yàn)和日常生活知識(shí)中提煉出數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣，讓枯燥的數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生機(jī)。
如在函數(shù)的奇偶性教學(xué)過(guò)程中，可以通過(guò)多媒體呈現(xiàn)麥當(dāng)勞的標(biāo)志、中國(guó)京劇的臉譜等生活中對(duì)稱(chēng)的圖片來(lái)引出新課。在教授函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用時(shí)，我設(shè)計(jì)了一堂數(shù)學(xué)活動(dòng)課。利用多媒體向?qū)W生呈現(xiàn)資料，來(lái)自株洲市自來(lái)水公司統(tǒng)計(jì)調(diào)查：一個(gè)三口之家，每月居民基本用水量一般10立方米左右，節(jié)約的家庭用水量一般不超過(guò)5立方米。為了使居民節(jié)約用水株洲市采用分段收費(fèi)低于5立方米每立方米收費(fèi)2元，超過(guò)5立方米不超過(guò)10立方米每立方米收費(fèi)2.5元，超過(guò)10立方米每立方米收費(fèi)3元。請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合資料，分小組設(shè)計(jì)我區(qū)的水費(fèi)分段定價(jià)收費(fèi)方案，將小組成果展示出來(lái)。在設(shè)計(jì)過(guò)程中，要求組長(zhǎng)分好工，組員全部參與。讓學(xué)生在這一過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索，積極進(jìn)取，使學(xué)生愿學(xué)、樂(lè)學(xué)和會(huì)學(xué)，并通過(guò)這些讓他們知道數(shù)學(xué)和我們的生活是密切相關(guān)的，從而進(jìn)一步提高他們的學(xué)習(xí)興趣。
生活的數(shù)學(xué)才具有真正的生命力和活力；生活的數(shù)學(xué)也才能真正地綻放數(shù)學(xué)之美。如利用棉花糖（軟糖）、牙簽，我們可以帶領(lǐng)學(xué)生和幼兒跨入幾何學(xué)的天地，在構(gòu)造三角形、圓柱體、多面體等立體圖形的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生去計(jì)算它們的角度，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新圖形的組成。同時(shí)再利用生活中所見(jiàn)不同物品，激發(fā)學(xué)生積極探究其構(gòu)成以及所發(fā)生的效能等，將數(shù)學(xué)和美術(shù)、建筑等結(jié)合起來(lái)。可以說(shuō)，我們不僅打開(kāi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣“開(kāi)關(guān)”，也打開(kāi)了通往生活和創(chuàng)造力的“開(kāi)關(guān)”。這樣的數(shù)學(xué)不再枯燥無(wú)味，而是使學(xué)生在學(xué)習(xí)中思考如何創(chuàng)造美和創(chuàng)造生活。
四、構(gòu)建“玩中學(xué)”的教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
游戲是幼兒生活中非常重要的部分，在游戲中習(xí)得生存的能力，在游戲中學(xué)得文學(xué)的知識(shí)，在游戲中受到音樂(lè)的熏陶，在游戲中獲得形體的塑造等。同樣的，游戲也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方式和可開(kāi)發(fā)利用的“資源”。如果我們能結(jié)合教材內(nèi)容科學(xué)地創(chuàng)設(shè)游戲情境，不但可以讓教材活化，還能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂效率。
例如，高二“古典概型”的教學(xué)過(guò)程中，可以創(chuàng)設(shè)了這樣的游戲情境。
師：同學(xué)們你們參加過(guò)商店抽獎(jiǎng)沒(méi)？
生：抽過(guò)。
師 ：下面我們來(lái)做一個(gè)抽獎(jiǎng)的游戲。（用flash設(shè)置兩個(gè)不同的轉(zhuǎn)盤(pán)，每組派同學(xué)上來(lái)進(jìn)行搖獎(jiǎng)。）
學(xué)生爭(zhēng)先恐后地要求上臺(tái)搖獎(jiǎng)。
師：比較兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。
通過(guò)這個(gè)游戲，學(xué)生基本了解了概率以及概率的許多運(yùn)算規(guī)則，并且能夠深入到對(duì)概率的本質(zhì)了解：一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征――有限性和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是古典概型。相對(duì)于單純的語(yǔ)言講授來(lái)說(shuō)，通過(guò)游戲的方式進(jìn)行教學(xué)可以讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中，對(duì)“古典概型”的概念有深刻的認(rèn)識(shí)，感悟生活即數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)就在身邊，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了解決生活問(wèn)題。
“玩中學(xué)”并不是新穎的教學(xué)方式和技巧，但如果在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間和恰當(dāng)?shù)臋C(jī)緣時(shí)運(yùn)用在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，就可以使知識(shí)擺脫枯燥深?yuàn)W，開(kāi)啟通往快樂(lè)和樂(lè)趣的“開(kāi)關(guān)”。知識(shí)的正面是游戲，而知識(shí)的背面是高深，能否翻手為樂(lè)、翻手為學(xué)，全在于教師對(duì)教學(xué)“開(kāi)關(guān)”的探究，找準(zhǔn)了就可能讓師生都在幸福快樂(lè)中感受到美、感知到創(chuàng)造和自我提升，科學(xué)原來(lái)可以這樣“美麗”！
五、以“做中學(xué)”的教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
針對(duì)中職學(xué)前教育專(zhuān)業(yè)的學(xué)生特點(diǎn)：理解力不夠強(qiáng)，但動(dòng)手能力較強(qiáng)。通過(guò)采用動(dòng)手實(shí)踐構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生真正達(dá)到動(dòng)手、動(dòng)腦這一目的，激發(fā)學(xué)生的興趣。美國(guó)著名哲學(xué)家、教育學(xué)家和心理學(xué)家杜威認(rèn)為“做中學(xué)”也就是“從活動(dòng)中學(xué)”“從經(jīng)驗(yàn)中學(xué)”。他明確提出：“從做中學(xué)比起從聽(tīng)中學(xué)更是一種較好的方法。”在杜威看來(lái)，“從做中學(xué)”充分體現(xiàn)了學(xué)與做的結(jié)合，也就是知與行的結(jié)合。它使得學(xué)校里知識(shí)的獲得與生活過(guò)程中的活動(dòng)聯(lián)系了起來(lái)。杜威明確指出：工作是“使用中介工具或用具以達(dá)到目的”，其區(qū)別于“勞動(dòng)”和“游戲”的是具有理智的特點(diǎn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師如果能夠準(zhǔn)確地把握“做中學(xué)”的教學(xué)活動(dòng)所要達(dá)到的結(jié)果，包括要?jiǎng)邮值目茖W(xué)研究、對(duì)材料的搜集、對(duì)器具的管理、做的過(guò)程中所進(jìn)行的記錄和實(shí)驗(yàn)所學(xué)的活動(dòng)程序撰寫(xiě)等，那么“做中學(xué)”的模式就是成功的。這系列活動(dòng)的運(yùn)行潛移默化地開(kāi)啟了幼師從學(xué)到教的“開(kāi)關(guān)”。相對(duì)于其他專(zhuān)業(yè)來(lái)說(shuō)，學(xué)前教育專(zhuān)業(yè)的學(xué)生不僅要具備學(xué)的能力，更要求各學(xué)科教師要注重幼師的師資能力的培養(yǎng)和提升。
六、構(gòu)建多元評(píng)價(jià)體制，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
一位心理學(xué)家曾說(shuō)過(guò)：“一個(gè)人只要體驗(yàn)一次成功的意念和勝利的欣慰，便會(huì)激發(fā)追求無(wú)休止成功的意念和力量。”這種無(wú)休止成功的意念和力量也就是學(xué)生興趣的源泉。而每個(gè)學(xué)生的閃光點(diǎn)是不同的，因此采取不同的評(píng)價(jià)體制可以讓每個(gè)學(xué)生都能獲得表?yè)P(yáng)和肯定。人性中本質(zhì)的需求就有渴望得到尊重、理解和愛(ài)。就精神生命而言，每個(gè)孩子都是為得到賞識(shí)而來(lái)到人世間，賞識(shí)教育的特點(diǎn)是注重孩子的優(yōu)點(diǎn)和長(zhǎng)處，發(fā)現(xiàn)并表?yè)P(yáng)，逐步形成燎原之勢(shì)，讓孩子在“我是好孩子”的心態(tài)中覺(jué)醒；相反的批評(píng)教育的特點(diǎn)是注重孩子的弱點(diǎn)和短處――小題大做、無(wú)限夸張，使孩子自暴自棄，在“我是壞孩子”的意念中沉淪。不只是好孩子應(yīng)該賞識(shí)，所有的孩子都需要。孩子是脆弱的、敏感的，適當(dāng)?shù)馁p識(shí)是一種正確的愛(ài)，也是對(duì)孩子的一種鼓勵(lì)和贊賞。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，老師的一點(diǎn)點(diǎn)鼓勵(lì)，一次的肯定，一次表?yè)P(yáng)，都是他成功的標(biāo)志，他都能從中體驗(yàn)成功的喜悅，這時(shí)學(xué)生的興趣就如同永不枯竭的源泉，濃厚、持久。
在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中也是如此，充分聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例，利用數(shù)學(xué)原理去找到問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、然后解決問(wèn)題，讓數(shù)學(xué)不再是高高在上的姿態(tài)，而是用數(shù)學(xué)原理解決生活中的各種問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)給自己帶來(lái)的便利，從而喜歡上數(shù)學(xué)，愿意接受數(shù)學(xué)的思維解決各種問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)讓數(shù)學(xué)成為一種生活技能、成為一種工具的目標(biāo)。作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，只要我們認(rèn)真鉆研教材，把握學(xué)生的學(xué)習(xí)心態(tài)，運(yùn)用靈活多樣的教學(xué)方法，精心設(shè)計(jì)每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，就能激發(fā)和增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們樂(lè)學(xué)、好學(xué)，敏銳把握教育時(shí)機(jī)，打開(kāi)通往學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)心靈的“開(kāi)關(guān)”，讓學(xué)生從內(nèi)心“親近”老師，從而“親近”所教的學(xué)科。
關(guān)鍵詞：應(yīng)用題解決領(lǐng)域知識(shí)問(wèn)題表征模式識(shí)別元認(rèn)知
應(yīng)用題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，因而成為心理學(xué)研究關(guān)注的問(wèn)題。應(yīng)用題解決的心理學(xué)研究主要集中在問(wèn)題表征、情境因素、解題策略、模式識(shí)別、元認(rèn)知及非智力因素對(duì)應(yīng)用題解決的影響等方面。本文對(duì)相關(guān)研究做簡(jiǎn)要介紹，并由此提出中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的幾點(diǎn)策略。
一、心理學(xué)對(duì)應(yīng)用題解決的一些研究
（一）問(wèn)題表征
問(wèn)題表征是指通過(guò)審題，明確給定的條件、目標(biāo)和允許的操作，檢索、激活頭腦中與之相關(guān)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，將外部的物理刺激轉(zhuǎn)化為內(nèi)部心理符號(hào)，形成問(wèn)題空間的過(guò)程。西蒙認(rèn)為，問(wèn)題表征是問(wèn)題解決的一個(gè)中心環(huán)節(jié)，它說(shuō)明問(wèn)題在頭腦中是如何表現(xiàn)出來(lái)的。有時(shí)候問(wèn)題解決的難度并不在問(wèn)題本身，而在于解題者對(duì)問(wèn)題表征的方式。
問(wèn)題表征是一個(gè)逐步深化的過(guò)程。傅小蘭等就一道應(yīng)用題對(duì)34名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，通過(guò)分析被試的解答，得出被試對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征、建立問(wèn)題空間的一般過(guò)程。第一，問(wèn)題信息的搜索和提取。在這個(gè)過(guò)程中，解題者需要從問(wèn)題陳述中、長(zhǎng)時(shí)記憶中提取全部有關(guān)信息；一旦搜索問(wèn)題信息時(shí)遺漏了某些信息，建構(gòu)的問(wèn)題空間就不完整，也就無(wú)法求得問(wèn)題的正確解。第二，問(wèn)題信息的理解和內(nèi)化。在這一過(guò)程中，解題者需要對(duì)搜索和提取的問(wèn)題信息做深加工，從而正確地理解和利用問(wèn)題信息，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建自己的問(wèn)題空間。第三，發(fā)展隱喻約束條件與意識(shí)化，即對(duì)問(wèn)題規(guī)則（約束條件）的理解和掌握在構(gòu)建正確的問(wèn)題空間中起著重要的作用。問(wèn)題表征過(guò)程中的任何環(huán)節(jié)出了差錯(cuò)，都將導(dǎo)致構(gòu)建出錯(cuò)誤的或不完整的問(wèn)題空間。因而，正確的問(wèn)題表征是解決問(wèn)題的必要前提。
Mayer依據(jù)提取信息的不同將問(wèn)題表征劃分為數(shù)字表征、關(guān)系表征、圖式表征三種類(lèi)型。數(shù)字表征指依據(jù)問(wèn)題中的數(shù)字關(guān)系理解問(wèn)題；關(guān)系表征指依據(jù)問(wèn)題中的變量關(guān)系理解問(wèn)題；圖式表征指依據(jù)問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)理解問(wèn)題。有學(xué)者依據(jù)問(wèn)題的表征形式對(duì)問(wèn)題做分類(lèi)：（1）字面特征分類(lèi)，即依據(jù)題目的文字描述而非從數(shù)學(xué)角度做出的分類(lèi)（例如，把題目?jī)?nèi)容是食品的歸為一類(lèi)）；（2）表層結(jié)構(gòu)分類(lèi)，即依據(jù)題目的表面信息而非從數(shù)學(xué)本質(zhì)角度做出的分類(lèi)（例如，把題目?jī)?nèi)容是路程問(wèn)題的歸為一類(lèi)）；（3）深層結(jié)構(gòu)分類(lèi)，即依據(jù)題目的數(shù)學(xué)本質(zhì)做出的分類(lèi)（例如，把有關(guān)路程內(nèi)容的問(wèn)題分為追擊問(wèn)題、相遇問(wèn)題等）。馮虹等的研究表明，隨著年級(jí)的增高，學(xué)生越來(lái)越傾向于按照題目的深層結(jié)構(gòu)分類(lèi)，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀生與差生分類(lèi)的結(jié)果差異顯著。
問(wèn)題表征離不開(kāi)對(duì)信息的搜索和提取，離不開(kāi)專(zhuān)門(mén)知識(shí)（也就是領(lǐng)域知識(shí)）的支持。有研究表明，領(lǐng)域知識(shí)不同的學(xué)生在問(wèn)題表征過(guò)程中具有不同的特點(diǎn)：領(lǐng)域知識(shí)豐富的學(xué)生更傾向于深層次表征問(wèn)題，而領(lǐng)域知識(shí)貧乏的學(xué)生更傾向于淺層次表征問(wèn)題。也就是說(shuō)，如果學(xué)生頭腦中具備豐富的公式、定理、問(wèn)題原型和應(yīng)用題模式，那么其更傾向于對(duì)問(wèn)題做深層次表征，從而正確地解決問(wèn)題。張維的研究也證實(shí)了這個(gè)結(jié)論。研究采用“學(xué)習(xí)—再認(rèn)”范式，研究學(xué)科領(lǐng)域知識(shí)豐富性不同的學(xué)生（依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)分類(lèi)）在問(wèn)題表征層次上的特點(diǎn)。“學(xué)習(xí)—再認(rèn)”是指讓被試先學(xué)習(xí)一個(gè)材料，然后進(jìn)行測(cè)試，判斷測(cè)試題中是否出現(xiàn)了前面學(xué)習(xí)過(guò)的東西，包括表面特征和原理特征。結(jié)果表明，“知識(shí)豐富組”表征問(wèn)題除了采用表面特征外，還會(huì)對(duì)原理特征進(jìn)行表征；“知識(shí)貧乏組”為避免干擾，會(huì)丟棄原理特征，往往用表面特征來(lái)識(shí)別問(wèn)題。
（二）情境因素
應(yīng)用題的表述往往是有情境的，那么情境是否會(huì)對(duì)問(wèn)題解決產(chǎn)生影響？不少學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究。Zhang通過(guò)“TicTacToe”式同型游戲問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題的外部結(jié)構(gòu)與情境不僅是對(duì)內(nèi)部意識(shí)的輸入和刺激，而且具有獨(dú)立于內(nèi)部表征的作用，就此提出了問(wèn)題的外部表征概念。他認(rèn)為，外部表征是指問(wèn)題情境的成分和結(jié)構(gòu)，外部表征的信息只能被知覺(jué)系統(tǒng)察覺(jué)、分析和加工。邢強(qiáng)等通過(guò)對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的整理、分析，提出數(shù)學(xué)應(yīng)用題的外部表征影響因素主要包括文本表面特征、文本內(nèi)容熟悉程度、符號(hào)、插圖、問(wèn)題與文本的呈現(xiàn)位置、不同的措辭、情境內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)性等。
趙繼源基于一道零分率超過(guò)60%的高考數(shù)學(xué)試題——“冷軋機(jī)”應(yīng)用題，設(shè)計(jì)了6道對(duì)比應(yīng)用題，對(duì)高二學(xué)生展開(kāi)測(cè)試。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用題背景的熟悉程度對(duì)學(xué)生解題有顯著影響；對(duì)于背景熟悉的題目，數(shù)據(jù)抽象與否對(duì)解題影響不顯著，但在陌生背景下則達(dá)到了顯著水平；對(duì)于背景陌生的題目，即使凸顯關(guān)鍵信息，其影響也不明顯。他還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，對(duì)于中等或中下水平的學(xué)生而言，凸顯關(guān)鍵信息對(duì)于解題不會(huì)有任何幫助，但對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，凸顯關(guān)鍵信息對(duì)于解題有明顯的啟發(fā)作用。
章巍將代數(shù)應(yīng)用題的語(yǔ)言描述特征分解為語(yǔ)量、語(yǔ)境、語(yǔ)序和關(guān)鍵詞的隱蔽程度四個(gè)指標(biāo)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)逐一研究每個(gè)指標(biāo)與解題效果的關(guān)系。結(jié)果表明：語(yǔ)量對(duì)初二學(xué)生解答代數(shù)應(yīng)用題效果的影響明顯，“學(xué)困生”相對(duì)于“學(xué)優(yōu)生”更容易受語(yǔ)量的影響；語(yǔ)境對(duì)解答代數(shù)應(yīng)用題效果的影響明顯；語(yǔ)序?qū)獯鸫鷶?shù)應(yīng)用題的效果有一定程度的影響，但不夠顯著；關(guān)鍵詞的隱蔽程度對(duì)解題結(jié)果有一定程度的影響，但不夠顯著，而對(duì)解題時(shí)間的影響卻非常顯著，即大多數(shù)學(xué)生面對(duì)關(guān)鍵條件隱蔽性較強(qiáng)的代數(shù)應(yīng)用題時(shí)，會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間去尋找和發(fā)掘這些條件。
情境內(nèi)容的真實(shí)性是指數(shù)學(xué)應(yīng)用題的背景是真實(shí)存在的。一些學(xué)者據(jù)此定義了規(guī)則應(yīng)用題和不規(guī)則應(yīng)用題：規(guī)則應(yīng)用題即傳統(tǒng)的應(yīng)用題，題目規(guī)范，條件充分，答案唯一；而不規(guī)則應(yīng)用題由于背景真實(shí)，條件可能多余，也可能不足，答案可能無(wú)解，也可能有多解。學(xué)生解決不規(guī)則應(yīng)用題時(shí)，不僅要結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要基于日常生活經(jīng)驗(yàn)。Sweller等提出的認(rèn)知負(fù)荷理論可以解釋為何有多余條件的應(yīng)用題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是最難的。該理論認(rèn)為，在解決有多余信息的問(wèn)題時(shí)，解題者必須對(duì)兩種信息進(jìn)行加工，即正確解題所需的信息以及多余信息；解題者首先需要集中精力來(lái)區(qū)分這兩種信息，然后才能對(duì)解題有關(guān)的信息進(jìn)行充分的表征。
馮虹等用眼動(dòng)分析法分析不同年級(jí)學(xué)生對(duì)不同類(lèi)型題目（完整的、有多余條件的、缺少條件的和缺少問(wèn)題的題目）的表征層次和解題策略。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：不同年級(jí)學(xué)生對(duì)“題設(shè)”的相對(duì)注視次數(shù)（被試在某個(gè)興趣區(qū)的注視次數(shù)占全部注視次數(shù)的百分比）的差異并不顯著，但是對(duì)“關(guān)鍵信息”的相對(duì)注視次數(shù)則表現(xiàn)出了明顯的年級(jí)特征；學(xué)生解規(guī)則題目時(shí)對(duì)“題設(shè)”的相對(duì)注視次數(shù)非常顯著地小于不規(guī)則題目，解不規(guī)則題目時(shí)對(duì)“關(guān)鍵信息”的相對(duì)注視次數(shù)顯著大于規(guī)則題目。實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解缺少條件的題目時(shí)正確率最高，原因在于學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行深度表征后，會(huì)添加一些很容易解答的條件或問(wèn)題；而解有多余條件的題目時(shí)正確率最低，說(shuō)明有多余條件的題目對(duì)學(xué)生而言最難解決。
（三）解題策略
解決應(yīng)用問(wèn)題有一些策略（最常用的就是畫(huà)圖策略）。信息區(qū)分策略是指在解題過(guò)程中將題目背景及問(wèn)題分析成語(yǔ)義單元，對(duì)信息類(lèi)型進(jìn)行檢驗(yàn)、區(qū)分，找出信息之間的相關(guān)性，目的是對(duì)這些信息進(jìn)行比較，進(jìn)而與問(wèn)題相匹配。Littlefield等通過(guò)觀察學(xué)生的眼動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)學(xué)生一共使用了5種區(qū)分策略。（1）重讀題目策略：通過(guò)重復(fù)地閱讀題目，將部分信息及語(yǔ)義特征貯存到工作記憶中，然后對(duì)信息進(jìn)行比較。（2）單一比較策略：在數(shù)字及關(guān)系詞之間進(jìn)行簡(jiǎn)單、直接的比較，可能會(huì)根據(jù)問(wèn)題部分的要求直接列出方程。（3）以特征為基礎(chǔ)策略：在題目中尋找與問(wèn)題部分的語(yǔ)義特征相匹配的語(yǔ)義特征，通常會(huì)將注視點(diǎn)集中在變量名或與問(wèn)題部分相似的事件、概念上。（4）“問(wèn)題—引導(dǎo)”策略：以問(wèn)題部分的語(yǔ)義特征為指導(dǎo)，對(duì)信息進(jìn)行分析。（5）首次讀題區(qū)分策略：對(duì)語(yǔ)義類(lèi)型進(jìn)行區(qū)分，找到解題所需的關(guān)鍵信息，將注視點(diǎn)集中在關(guān)鍵信息和相關(guān)數(shù)字信息上。岳寶霞等以初二學(xué)生為被試，采用眼動(dòng)分析法探討了題目難度、冗余信息和數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)學(xué)生采用信息區(qū)分策略的影響，結(jié)果證實(shí)了學(xué)生解答應(yīng)用題存在上述5種策略。
人們關(guān)注的另一個(gè)問(wèn)題是，能力水平不同的學(xué)生是否會(huì)采用不同的策略解決問(wèn)題。張錦坤等運(yùn)用作品分析法分析初二優(yōu)秀生、中等生和差生對(duì)兩道中等偏上難度幾何應(yīng)用題的解答情況，以此探討各層次學(xué)生解答應(yīng)用題的策略類(lèi)型。分析發(fā)現(xiàn)，不同水平的學(xué)生在兩道幾何應(yīng)用題的解題過(guò)程、解題步驟上所使用的策略是不同的：優(yōu)秀生的解題策略為“俯瞰型”，他們能深刻理解問(wèn)題，通過(guò)不斷創(chuàng)造中間條件靈活連接條件與問(wèn)題的關(guān)系；中等生為“經(jīng)驗(yàn)型”，表現(xiàn)為過(guò)度依賴(lài)過(guò)去的解題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)問(wèn)題與條件之間關(guān)系的綜合把握不夠靈活；差生為“盲目型”，表現(xiàn)為對(duì)解題的目的指向性不強(qiáng)，只是試探性地從已知條件中推導(dǎo)出一些結(jié)果。
（四）模式識(shí)別
數(shù)學(xué)應(yīng)用題存在模型，這是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的經(jīng)驗(yàn)。在問(wèn)題解決中，解題者調(diào)用頭腦中的模型來(lái)解決當(dāng)前問(wèn)題，就是模式識(shí)別。
施鐵如通過(guò)對(duì)初一年級(jí)兩組學(xué)生的對(duì)比實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：能否識(shí)別應(yīng)用題的類(lèi)型在很大程度上決定著能否迅速、準(zhǔn)確地解答問(wèn)題；要正確識(shí)別應(yīng)用題的類(lèi)型，需要從具體的語(yǔ)義情境中分出確定的、一般的結(jié)構(gòu)關(guān)系，這既依賴(lài)于對(duì)當(dāng)前題目信息的加工，也依賴(lài)于對(duì)記憶中貯存的有關(guān)信息的搜尋；識(shí)別題目類(lèi)型的訓(xùn)練有利于形成解題技能，而這種訓(xùn)練應(yīng)該圍繞模型選擇多種多樣的變式習(xí)題來(lái)進(jìn)行。
王亞同等將例子的概括化程度稱(chēng)為圖式化程度。圖式化本質(zhì)上就是一種模式化。他們研究發(fā)現(xiàn)，利用由結(jié)構(gòu)類(lèi)似性形成的代數(shù)圖式可以比較容易地解決目標(biāo)問(wèn)題。
陸昌勤等做了對(duì)比實(shí)驗(yàn)：在實(shí)驗(yàn)班采用解答代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知過(guò)程模式教學(xué)——對(duì)每道題目，學(xué)生都要填寫(xiě)表1；在控制班按照傳統(tǒng)方式教學(xué)。結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生解題正確率非常顯著地高于控制班，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)班學(xué)生的頭腦中形成了解決問(wèn)題的模式，有優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
（五）元認(rèn)知及非智力因素
許多研究證實(shí)，元認(rèn)知及非智力因素對(duì)問(wèn)題解決有顯著影響。童世斌等采用對(duì)比實(shí)驗(yàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)班進(jìn)行兩個(gè)階段的訓(xùn)練。第一階段，訓(xùn)練掌握元認(rèn)知知識(shí)，即解決問(wèn)題的有效思維策略。訓(xùn)練內(nèi)容包括：準(zhǔn)確理解題意，理清復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，尋找隱含的數(shù)量關(guān)系，總結(jié)解題思路。第二階段，訓(xùn)練元認(rèn)知監(jiān)控。利用“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問(wèn)單”訓(xùn)練學(xué)生通過(guò)自我監(jiān)視和控制來(lái)確保自己在問(wèn)題解決過(guò)程中運(yùn)用所學(xué)的策略性知識(shí)。結(jié)果表明：學(xué)生的思維策略訓(xùn)練效果顯著，中等生、差生的效果尤為顯著；在思維策略訓(xùn)練的基礎(chǔ)上加上元認(rèn)知監(jiān)控訓(xùn)練，能夠更有效地提升解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題思維訓(xùn)練的效果。
由于數(shù)學(xué)應(yīng)用題的篇幅長(zhǎng)、背景陌生，不少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題有著與生俱來(lái)的畏懼感。數(shù)學(xué)焦慮是情感，也是認(rèn)知方面對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼，指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中由于過(guò)度的擔(dān)心和憂慮而引起的一系列生理上和心理上的消極狀態(tài)。宋廣文等通過(guò)對(duì)初中學(xué)生進(jìn)行測(cè)量研究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)焦慮對(duì)解答應(yīng)用題的成績(jī)具有一定的負(fù)向作用。
二、對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示
上述應(yīng)用題解決的一些心理學(xué)研究，可以給我們一些有益的啟示，從而提出如下幾點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)策略。
（一）豐富領(lǐng)域知識(shí)，形成扎實(shí)基礎(chǔ)
掌握基礎(chǔ)知識(shí)，形成基本技能，是教學(xué)三維目標(biāo)中的第一維，也是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)。事實(shí)上，上述關(guān)于領(lǐng)域知識(shí)的豐富的心理學(xué)研究，本質(zhì)上就指向“雙基”的扎實(shí)性。基礎(chǔ)知識(shí)的厚實(shí)、基本技能的嫻熟，不僅對(duì)解決應(yīng)用題有舉足輕重的作用，而且對(duì)解決所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都至關(guān)重要，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量高低的一個(gè)顯性指標(biāo)。
在應(yīng)用題教學(xué)中，要豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)領(lǐng)域知識(shí)，可考慮如下兩點(diǎn)：
首先，幫助學(xué)生在長(zhǎng)時(shí)記憶中貯存必需的公式、定理和法則。解決應(yīng)用問(wèn)題會(huì)用到大量的數(shù)學(xué)公式，如速度公式、濃度公式、復(fù)利公式等。不僅如此，解決應(yīng)用題還會(huì)用到一些跨領(lǐng)域的知識(shí)。一是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的跨領(lǐng)域。比如，許多應(yīng)用題都與距離有關(guān)，而距離是線段的長(zhǎng)度，因而，大多數(shù)求距離的應(yīng)用題，可能會(huì)與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何的一些公式、定理有關(guān)系。二是跨學(xué)科領(lǐng)域。比如，解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題可能會(huì)用到物理、化學(xué)、生物等學(xué)科的相關(guān)公式、法則。因此，記憶重要的知識(shí)是解答應(yīng)用題的必要條件，教師應(yīng)該將知識(shí)分門(mén)別類(lèi)，幫助學(xué)生形成知識(shí)體系，有序貯存知識(shí)。
其次，幫助學(xué)生總結(jié)題目類(lèi)型，形成解題模式。如前文所述，心理學(xué)的相關(guān)研究表明，對(duì)模式進(jìn)行有效的識(shí)別是解決應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵。波利亞也提倡解題模式的訓(xùn)練，他提出的笛卡兒模式、雙軌跡模式等就是數(shù)學(xué)解題模式的典范。事實(shí)上，許多學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的錯(cuò)誤解答，或者是因?yàn)闊o(wú)法識(shí)別題目類(lèi)型，或者是因?yàn)殄e(cuò)誤識(shí)別題目類(lèi)型。因此，教師要幫助學(xué)生養(yǎng)成辨析問(wèn)題類(lèi)型的習(xí)慣，提升識(shí)別模式的能力。當(dāng)然，這樣做的前提是學(xué)生頭腦中具備相關(guān)的模式。對(duì)此，可以采用“解題總結(jié)、分門(mén)別類(lèi)、提煉方法、形成模式”的路徑。
（二）加強(qiáng)審題訓(xùn)練，提升表征水平
審題與問(wèn)題表征直接相關(guān)，審題的質(zhì)量影響問(wèn)題表征的質(zhì)量。因此，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生審題的訓(xùn)練十分必要。
審題教學(xué)可以分為以下幾步：分層理解，分類(lèi)整理，分步反推。首先，引導(dǎo)學(xué)生采用“首次讀題區(qū)分策略”通讀題目，對(duì)題目信息中的問(wèn)題背景、基本元素的數(shù)量或位置關(guān)系、解題目標(biāo)進(jìn)行分層理解。第一遍通讀，主要了解問(wèn)題背景、明確解題目標(biāo)。其次，引導(dǎo)學(xué)生采用“‘問(wèn)題—引導(dǎo)’策略”“以特征為基礎(chǔ)策略”等進(jìn)行精讀，在問(wèn)題的引導(dǎo)下借助圖形或表格清晰地表述關(guān)鍵信息，并將文字語(yǔ)言進(jìn)行初步的數(shù)學(xué)表征。第二遍精讀，關(guān)注與解題相關(guān)的數(shù)量或位置關(guān)系。最后，引導(dǎo)學(xué)生分步反推，尋找已知條件與解題目標(biāo)之間的聯(lián)系、隱含信息以及相關(guān)知識(shí)。
例1（2020年高考江蘇數(shù)學(xué)卷第17題）某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖1所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線（O′在AB上）。經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1（米）與D到OO′的距離a（米）之間滿足關(guān)系式h1=140a2；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2（米）與F到OO′的距離b（米）之間滿足關(guān)系式h2=-1800b3+6b。已知點(diǎn)B到OO′的距離為40米。
（1）求橋AB的長(zhǎng)度；
（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO′的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C、E在AB上（不包括端點(diǎn)）。橋墩EF每米造價(jià)k（萬(wàn)元），橋墩CD每米造價(jià)32k（萬(wàn)元）（k>0），問(wèn)：O′E為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？
1.分層理解。
通讀題目后，可將題目的文字信息初步分為3個(gè)層次。第一層次：?jiǎn)栴}背景——在山谷中建橋梁；第二層次：與橋梁相關(guān)的元素的數(shù)量與位置關(guān)系；第三層次：解題目標(biāo)——橋的長(zhǎng)度、橋墩總造價(jià)何時(shí)最低。
2.分類(lèi)整理。
了解問(wèn)題背景和解題目標(biāo)后，采用“問(wèn)題—引導(dǎo)”策略精讀基本元素的數(shù)量與位置關(guān)系信息。教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助表格對(duì)相關(guān)信息集中整理（得到下頁(yè)表2），使學(xué)生比較清晰地抓住關(guān)鍵信息。
3.分步反推。
（1）橋AB的長(zhǎng)度。
①題目的目標(biāo)是什么？可以怎么理解？
“橋AB的長(zhǎng)度”，即線段AB的長(zhǎng)度，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離。
②題目的條件是什么？可以怎么理解？
條件1：“橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線（O′在AB上）；點(diǎn)B到OO′的距離為40米”。結(jié)合圖形，已知BO′=40，只要再求出AO′的長(zhǎng)度，就可以求出AB=AO′+BO′。
條件2：“左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1（米）與D到OO′的距離a（米）之間滿足關(guān)系式h1=140a2”。這里的a、h1都是正數(shù)，并且只要知道其中一個(gè)的值，就可以通過(guò)關(guān)系式求出另一個(gè)的值。
條件3：“右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2（米）與F到OO′的距離b（米）之間滿足關(guān)系式h2=-1800b3+6b”。與條件2的理解相同。除此之外，還已知b的一個(gè)取值BO′=40，可以求出h2的一個(gè)取值——OO′的長(zhǎng)度。
③題目的條件和目標(biāo)有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系？
線段AB的長(zhǎng)度AO′的長(zhǎng)度OO′的長(zhǎng)度h2=-1800b3+6b，b=40。
（2）O′E為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？
①題目的目標(biāo)是什么？可以怎么理解？
求出O′E的長(zhǎng)度，使得橋墩CD與EF的總造價(jià)最低。可以這樣理解：橋墩的總造價(jià)與O′E的長(zhǎng)度有關(guān)，需要求出二者之間的關(guān)系式。
②題目的條件是什么？可以怎么理解？
條件1：“CE為80米”。結(jié)合圖形，已知CE=80，那么知道了O′E的長(zhǎng)度，也就知道了CO′=CE-O′E。
條件2：“橋墩EF每米造價(jià)k（萬(wàn)元），橋墩CD每米造價(jià)32k（萬(wàn)元）（k>0）”。由此可知，只要求出EF和CD的長(zhǎng)度，就能知道總造價(jià)。
③題目的條件和解題目標(biāo)有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系？
總造價(jià)EF和CD的長(zhǎng)度EF=EF1-FF1，CD=CD1-DD1，且CD1=EF1=OO′DD1=140CO′2，F(xiàn)F1=-1800O′E3+6O′ECO′+O′E=CE=80設(shè)O′E=x。（D1、E1分別為直線CD、EF與直線MN的垂足）
（三）構(gòu)建變式問(wèn)題，促進(jìn)知識(shí)遷移
設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，可以考慮對(duì)一個(gè)起點(diǎn)問(wèn)題（稱(chēng)為源題）進(jìn)行變式，得到相同問(wèn)題、相似問(wèn)題、同型問(wèn)題、相異問(wèn)題。相同問(wèn)題是指與源題有相同的問(wèn)題情境和解題原理，屬于近遷移題；相似問(wèn)題是指與源題有相同的問(wèn)題情境、不同的解題原理，屬于中遷移題；同型問(wèn)題是指與源題有不同的問(wèn)題情境、相同的解題原理，屬于中遷移題；相異問(wèn)題是指與源題有不同的問(wèn)題情境和解題原理，屬于遠(yuǎn)遷移題。
對(duì)于相同問(wèn)題，通過(guò)教師對(duì)例題的講解，學(xué)生容易實(shí)現(xiàn)遷移，因?yàn)檫@是一種模仿性解題行為。對(duì)于相似問(wèn)題，由于問(wèn)題情境不變而解題原理變了，學(xué)生容易受到情境的影響產(chǎn)生負(fù)遷移，即還是企圖利用原來(lái)的原理解決，因此，解決起來(lái)存在一定的困難。對(duì)于同型問(wèn)題，由于問(wèn)題情境變了而解題原理不變，教師應(yīng)當(dāng)注意引導(dǎo)學(xué)生從不同的情境中概括出相同的原理，這樣不僅可以提高學(xué)生解決問(wèn)題的遷移能力，還能發(fā)展他們的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。
例如，有些代數(shù)應(yīng)用題可以使用“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“速度×?xí)r間=路程”“工作效率×工作時(shí)間=工作量”等數(shù)量關(guān)系來(lái)解決。如果教師將這一系列同型問(wèn)題的解答過(guò)程放在一起，引導(dǎo)學(xué)生歸納出一個(gè)更具有概括性的數(shù)量關(guān)系，即“單位量×單位時(shí)間=總量”，就達(dá)到了同型問(wèn)題的訓(xùn)練目的。
例2（源題）客車(chē)從甲地到乙地需要20小時(shí)，貨車(chē)從乙地到甲地需要30小時(shí)，現(xiàn)在兩車(chē)分別從甲乙兩地同時(shí)相向開(kāi)出，多少小時(shí)后兩車(chē)相遇？120x+130x=1
（相同問(wèn)題）湯姆從自己家開(kāi)車(chē)到比爾家需要4小時(shí)，比爾從自己家開(kāi)車(chē)到湯姆家需要3小時(shí)。如果他們同時(shí)從自己家開(kāi)車(chē)向?qū)Ψ郊荫側(cè)ィ嗑貌拍芤?jiàn)面？14x+13x=1
（同型問(wèn)題）①將1400元獎(jiǎng)學(xué)金按照兩種獎(jiǎng)項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)給22名學(xué)生，其中一等獎(jiǎng)每人200元，二等獎(jiǎng)每人50元，則獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生有多少人？[200x+50（22-x）=1400]
②買(mǎi)了共138米的兩種布料，花了540元，其中藍(lán)布料每米3元，黑布料每米5元，則兩種布料各買(mǎi)了多少米？[3x+5（138-x）=540]
（相似問(wèn)題）兩輛汽車(chē)從相距84km的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲車(chē)的速度比乙車(chē)的速度快20km/h，半小時(shí)后兩車(chē)相遇，則兩車(chē)的速度各是多少？12x+12（x+20）=84
以上的源題、相同問(wèn)題、同型問(wèn)題、相似問(wèn)題可以讓學(xué)生依次解答。學(xué)生全部解決后，教師可以同時(shí)呈現(xiàn)問(wèn)題以及對(duì)應(yīng)的方程，引導(dǎo)學(xué)生歸納出更一般的數(shù)量關(guān)系——“部分1+部分2=總體”。這樣，學(xué)生即使遇到背景陌生的應(yīng)用題，只要抓住這個(gè)數(shù)量關(guān)系，去題目中尋找信息，將部分與整體分別用代數(shù)式表示出來(lái)，就可以解決一大類(lèi)應(yīng)用題。
（四）設(shè)計(jì)自我提問(wèn)單，提升監(jiān)控水平
心理學(xué)研究表明，優(yōu)秀生在解決應(yīng)用題時(shí)能有效地監(jiān)控自己的認(rèn)知加工過(guò)程，而中等生、差生則缺少有效的自我監(jiān)控，但經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的元認(rèn)知訓(xùn)練后，中等生、差生解題效果有顯著的提升。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行元認(rèn)知訓(xùn)練。
元認(rèn)知訓(xùn)練可以分為內(nèi)隱訓(xùn)練和外顯訓(xùn)練。內(nèi)隱訓(xùn)練主要是通過(guò)在教學(xué)過(guò)程中示范性地解釋解題所用的程序性知識(shí)和策略性知識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)元認(rèn)知策略的有效性；外顯訓(xùn)練可以通過(guò)制作一個(gè)與課堂傳授的元認(rèn)知策略相一致的“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問(wèn)單”，要求學(xué)生在解題時(shí)回答相應(yīng)的問(wèn)題，達(dá)到監(jiān)控自己認(rèn)知加工過(guò)程的目的。當(dāng)學(xué)生對(duì)這一系列的元認(rèn)知策略應(yīng)用自如時(shí)，說(shuō)明他們已將元認(rèn)知知識(shí)內(nèi)化，可以不再要求他們?cè)诮忸}時(shí)填寫(xiě)提問(wèn)單。
“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問(wèn)單”的設(shè)計(jì)，可以以波利亞的“怎樣解題表”為基礎(chǔ)，根據(jù)不同時(shí)間段、不同知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的修改。例如，上述例1審題教學(xué)中的“分步反推”環(huán)節(jié)所提的問(wèn)題即是“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問(wèn)單”的部分問(wèn)題。
整體地看，“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問(wèn)單”可以分為以下三個(gè)部分：
（1）審題環(huán)節(jié)：①問(wèn)題的背景是什么？②解題目標(biāo)是什么，應(yīng)當(dāng)怎么理解？③已知條件是什么，可以怎么理解？④能畫(huà)一個(gè)表或者一張圖，將題目中的關(guān)鍵信息表示清楚嗎？
