開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇初高中數學公式定理，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。

第1篇

關鍵詞：新課程 高中數學 學習狀況 方法習慣 教學策略

在高中數學新課程實施中，學生的學習方式、學習習慣、學習狀況如何？自主學習、合作參與、主動探究的積極性怎樣？為了幫助指導學生盡快適應高中數學新課程的學習，對本市部分高中學校的學生進行了高中數學新課程學習狀況的調研和座談，經過總結分析、探討研究，有幾點認識與各位同行交流。

一、學習狀況的調查分析

（一）調查對象和方式

我省高中新課改于2010年才啟動，現在剛剛走過一個輪回，結合省級課題規劃在歷時兩年多的時間，對本市部分高中學校的學生，按照不同的年級、不同的階段對高中數學新課程的學習狀況進行跟蹤調研，調研組成員涉及跨校之間的高中一線教師十多人，參與面廣、針對性強，教研成果具有很強的實踐性、可操作性和指導性。按照課題組的計劃安排，階段性的深入部分學校隨機抽樣部分班級，跟蹤聽課200多節，問卷調查6次，發放收回有效調查問卷6000多份，師生座談會十多場次，具體調研了高一新生的生源質量情況；高中各年級學生在新課改中的學習模式；學生學習數學的興趣、信心及動機、學習方法、學習習慣；初高中數學銜接等十二個問題（每個問題又有若干選項），并進行問卷和訪談，各匯總圖表從略。

（二）調查結果的分析匯總

通過對調查、座談情況的匯總整理、探討分析，有以下一些觀點和認識以饗讀者，我們在高中數學新課程的實施中應予以足夠的重視。

1.目前我市高中的個別學生學習目標不夠明確，學習態度不夠端正，學習動力不足，缺乏學習的積極性和刻苦鉆研的精神。

2.部分學生學習習慣、學習方法不太好，自主學習意識不強，上課聽得懂下課作業不會做，學習中疑惑、問題不能及時處理解決，影響到其他內容的學習。

3.由于高一課程增多，每門功課的作業量增大，大部分學生總是采取直接做作業的方式，沒有首先對所學知識進行整理、歸納和復習，對數學概念和方法重視不夠，學習效率、效果不太好，這反映出大部分學生還沒有適應高中階段的學習。

4.一些學生的學習非常被動，缺乏學習數學的興趣、信心和動力，學習數學的動機大多數是認為對今后高考考試很重要，數學應用意識、數學思想方法以及創新思維能力都比較欠缺。

5.學生的學習方式沒有大的轉變，與新課改的理念有一定的差距。學生習慣于教師“牽著手”走路，存在依賴性，缺乏主動鉆研、自主創新的精神，有一半以上的學生總是期望教師提供詳盡的解題示范，思考、探究的問題期待教師概括、歸納、總結并給出答案。

6.初高中數學知識銜接重視不夠。在知識點、學習方式的對接上存在一定的差異，初中數學教師在部分內容的教學上普遍執行課程標準的基本要求，這恰恰對進一步學習高中數學有一定的障礙和影響。

7.針對我校實際（2007年由師范學校轉型成普通高中，學生生源質量較差）以及我省2010年才啟動的新一輪高中課程改革，結合省級規劃課的積極開展和研究（2012年8月獲省級優秀課題），特別是我校生源狀況進行調研，進一步使基礎較弱，學習習慣較差，學習方法欠缺的學生盡快適應高中數學新課程的學習，是數學教學之首要。

二、教學中的方法策略

根據問卷調查和對師生的訪談，針對以上具體情況，特別是部分學生基礎薄弱，學習習慣不良，學習信心不足，在高中階段的學習中存在較多的困難。如何應對這一現狀？在新課改的教學實施中采取了如下策略，取得了一定的成效。

（一）及時了解學生的學習狀況

由于每個學校教學情況和環境的不同，學生在初中的學習就形成了一定學習習慣和數學思維。進入高中，教師面對的是來自不同學校的各種情況的學生，所以每位教師面對的學生情況存在很大的差異，學習狀況更是參差不齊。再加上學生對新的學習環境還需要一個適應的過程，因此在這一階段給予每位學生更多的關注，及時了解學生的生活、學習狀況（學習動機、信心、學習習慣、思維水平），例如，課堂觀察、問卷調查、學生訪談、家長訪談等。結合新課改了解學生在初中階段的學習方式、學習基礎狀況、數學思維能力水平，以及高一新生的生源情況，了解初中教學的特點，吸取初中教師的長處，沿用一些好的方法，有利于高中階段的教學和學習。

（二）做好初高中數學教學的銜接

初中階段的數學教學內容淺，知識點較少，數學公式、定理、法則容易理解掌握，數學知識應用相對比較簡單。進入高中，學習內容劇增，難度加大，對學生的能力也提出了更高的要求。由于升學壓力和學校之間、班級之間的評比競爭，以及初中數學教學普遍執行課程標準的基本要求，這對高中階段的學習有一定的影響。高中教師要熟練掌握初中數學課程標準要求，通過課外講座、預習討論、課前輔導使得銜接過渡自然有效，克服因知識上和方法上的跳躍而造成的高中數學學習的不利因素，形成穩定、連續、有效的課堂教學。經過調研座談，我們認為有必要做好以下初中數學知識點和數學思想方法的補充、銜接：

1.數與代數方面。（1）常用乘法公式。（2）因式分解法。（3）分類討論。（4）二次根式。（5）方程與方程組。（6）代數式運算與變形。（7）絕對值的概念及應用。（8）關于配方法及其應用。（9）一元二次方程根的判別式根與系數關系（韋達定理）初中新課標不要求。

2.空間與圖形方面。（1）初中新課標刪除繁難的幾何證明題，淡化幾何證明技巧，減少定理數量，這與高中數學教學中對學生“推理論證”能力的較高要求不相適應。（2）平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理、截三角形兩邊或延長線的直線平行于第三邊的判定定理、圓內接四邊形的判定與性質（有關“四點共圓”的知識）等初中新課改都不做要求。（3）初中沒有“軌跡”概念，高中解析幾何會用到的。（4）初中課標只要求通過實例，體會反證法的含義，要求不高。（5）在初中新課標中，兩圓連心線的性質，兩圓公切線及其相關性質，圓的弦切角定理、相交弦定理、切割線定理，正多邊形的有關計算，等分圓周都被刪除了。

僅以上事例足以說明教師必須抓好初高中教學的銜接，初高中的數學銜接不僅要從知識與技能的點與點的對接上，還要從學生學習的習慣、學習心理以及數學的認知水平與基本能力等方面去關注和考慮。

（三）培養學生良好的學習習慣

學生的學習需要導航，需要指引，從抓學習習慣、方法入手，從學習的基本環節做起，規范學習行為，良好的學習習慣不但影響學生高中階段的學習甚至對今后人生受益無窮。

1.開學伊始，是培養學生良好學習習慣的第一個重要時機，從“預習、聽講、復習、作業、問疑、反思”等環節開始，向學生提出養成良好學習習慣的基本要求，只要堅持好這六項常規，抓好檢查和落實，正確的數學學習規范就能確立起來，從而培養學生養成良好的學習習慣。

2.學生學習習慣的養成來自教師的指導和培養。習慣養成的幾個關鍵要素：一是讓學生真正懂得這一習慣的重要性；二是每位學生認真思考制定合理的學習計劃；三是堅持不懈、直到成功，具體實施重在前一個月關鍵在前三天。

3.針對學習的各個環節，要多鼓勵、多幫助、多指導。課前檢查學生預習情況，課堂中引導學生認真思考、合作參與、積極回答問題，課后反饋學生學習的狀況，作業及時批閱認真講評。單元小結、復習檢測要求學生及時改錯反思小結。

持之以恒、耐心細致、逐步走向正規，使學生在學習中真有所悟，從中有所受益。

（四）強化學生學習方法的指導

學生學習習慣的培養，學習方法的指導不是一朝一夕的事，既要有宏觀的要求，又要關注具體層面上的指導。課堂教學、作業、試卷分析、章節總結，不同的層面上，都要關注學法的指導。

1.課堂教學中的學法指導。課堂教學中，教師要抓住學生的問題意識，關注學生積極討論、認真思考、共同參與解決問題，充分暴露學習上的困惑和癥結。思考、解疑是一個重要的學習過程，教師要創設問題情境，要指導學生正確處理好聽講和思考的關系。

2.作業處理中的學法指導。首先，指導學生做作業前先回憶一下當天所學的知識和方法，如果有不明白的地方，先復習一下，把當天所學知識梳理清楚。堅持獨立思考，遇到不會的題目不能輕易放棄，要多思考，反復琢磨，不得已時再請教別人探討處理，養成自主學習的良好的習慣。

3.單元總結和試卷分析中的學法指導。每一章學習結束時，指導學生進行單元知識的梳理總結，進行分類評價，通過這樣的指導，使學生反思、查找學習中存在的問題和原因，建構條理化、系統化的知識體系，使學生充分理解、科學記憶、靈活應用、提高能力。

4.學習環節方法指導。在預習環節中，學會點、劃、批、問。把關鍵的地方都“點”出來，把重點、公式和結論都“劃”出來，把自己的理解、質疑和心得等用三言兩語“批”出來，把沒弄懂的地方都用問號“問”出來。通過自主學習帶著問題聽課、提高學習效率。

（五）多元化評價激發學習興趣

興趣是學生學習的牽引力，是學生學習成才的動機源和催化劑。在教學中結合學習內容充分發揮教師的主導作用和學生的主體作用激發學生學習數學的興趣和積極性。

1.充分利用過程性評調動學生學習積極性，利用課堂觀察的評價促進學生參與學習過程、與同伴交流、主動探究的習慣，利用成長記錄袋評價激勵學生的創新精神、點滴進步，激發學生學習數學的興趣。

2.善于挖掘學生學習中的“閃光點”激發學習興趣，利用學生取得的點滴成就激發學生的自信心，充分為學生提供展示才能的機會，贊賞學生的鉆研創新精神，使各個層次的學生能有機會展現自我。

3.創設教學情境激發學生的學習興趣。充分挖掘教材內容，應用或制作教學課件、教具、模型利用電子白板、幾何畫板等，創設問題情境，激發了學生的學習興趣。引發學生的好奇心，激發起學習的動機，使他們興趣盎然地投入學習，變“要我學”為“我要學”。

在課堂教學中，激發學生學習數學興趣的方法是多種多樣的，關鍵是教師如何去創設能激發學生的學習的積極性，喚醒學生的求知欲，能讓學生輕松愉快、主動參與的教學活動情境。

在高中數學新課程的教改實施中，面對基礎薄弱、能力較差，學習習慣不太好，學習方法欠缺的學生，我們只有及時了解學情，樹立目標信心，加強學法指導，激發學生求知欲，調動學生學習積極性，采用“低起點、小坡度、多反復、小循環”的教學策略，積極引導學生自主學習、積極參與、合作探究，注重學習過程，培養學生的創新思維能力。實行“共同參與、分類指導、全員推進、螺旋上升”的整體提高計劃。經過高中新課改一個輪回的探索和實踐，我們驚喜地看到：教學中的理念新了，教學方式變了，學生的學習“活”了，教學、學習狀態發生了根本性的變化，教學質量得到了穩步提高，2011年我校高考升學率80.5%，2012年高考升學率81.9%，有一名學生被復旦大學錄取（文科全省33名，全市應屆生第一名），實現了學校轉型后在高考中的重大突破，今年高考升學率將有更進一步的提高。

參考文獻：

[1]普通高中數學課程標準（實驗）解讀.數學課程標準研制組編寫[M].江蘇教育出版社，2004.

[2]藺霄，李新春等.高中數學新課程模塊教學實踐研究. 甘肅省教育科學“十一五”規劃課題（省級優秀課題）.

第2篇

關鍵詞：類比推理 類比思想 建構 課堂教學

一、類比推理及其特性

1.類比推理: 類比作為一種推理方法，它既不同于歸納推理也不同于演繹推理。應用類比推理可以在兩個不同知識領域之間實行知識的過渡，因此，人們常常把類比方法譽為理智的橋梁，是信息轉移的橋梁。經常有這樣的情況：長時間沉思于某一問題而未得解決，然而在某一時刻，在其沉思圈子之外有一個信息倒起了很大的啟發作用，觸發信息的過渡，使問題得以解決。這往往得益于類比。正如康德所說：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比，這個方法往往能指引我們前進。”所謂類比是根據兩個對象之間的相似，把信息從一個對象轉移給另一個對象。類比的實質就是信息從模型向原型的轉移。

2.類比的特征：兩個對象的某些屬性是相同的，或者表面上毫無共同之處，只是在某種觀點上或某一抽象層次上是相似的，它的結論不是簡單的模仿、復制，而是創造性設想。因此，我們在教學過程中，要有意識地對學生進行直覺思維能力的訓練，著重訓練學生的類比歸納猜想能力。類比推理是根據個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程，是一種非邏輯推理。具有創新性, 主觀性,等特征。

二、類比推理的價值和意義

1.類比可激發學生學習興趣

“興趣”是最好的老師。濃厚的興趣和強烈的求知欲望是學生的內驅力，創設數學教學情境是激發學生興趣的有效方法。

在實際教學中，應多介紹一些大科學家的類比實例，介紹類比在科學發明發現中的重大作用，形成良好的氛圍。如計算機的誕生、飛機制造的歷史、伽利略的拋物實驗、楊振寧的“場論”等等一系列重大發明發現。繼而引導學生認識到，在平時解題過程中也有一系列的類比，這樣激勵學生大膽類比，猜想發現，最后論證。通過類比可以探索出很多新的知識、方法，尋求出與眾不同的解題思路，探索數學規律。由于類比是從特殊到特殊的一種猜測、推理，從一個已知的領域去探索另一個領域，而這正符合學生的好奇、去了解陌生世界的心理。因勢利導，這樣不僅激發了學生類比的欲望，而且提高了他們的類比興趣，養成良好的類比習慣。讓學生去主動地探索、研究新的知識。

2.通過類比可得新知

數學教材中，很多新的知識在很大程度上是在先前的知識上發展而來的，在方法、思想等方面都有著一定的聯系。一旦學習的主體發現了這些聯系之間存在的相似性和可比較性，那么就可以利用原有的認知結構有效地學習新知識，同時也可以將先后的知識組成一個完整的體系。

3.通過類比提高學生數學思維能力

高中數學課程提出應注重提高學生的數學思維能力，這也是數學教育的基本目標之一。當學生遇到一個陌生的問題時，有了類比的意識，他就會聯想一個在形式或方法上較為熟悉的問題來進行類比。發現其內在聯系，架起橋梁，溝通知識與知識、方法與方法之間的關聯，激活學生的思維，從而去提高學生的思維能力。

4.類比是數學發現與創新的重要手段

類比就是一種大膽的合理的推理，它是創新的一種手段。因為有了類比，在研究一個問題時，學生將跳出一定的框架，不受現有知識的約束，根據其中的思想方法、表現形式等去利用其他的知識、方法來大膽提出設想、來找到具有創新性的解題方法。

三、類比推理的手段

1.通過類比“舊知”，構建知識體系

按照《課標》的要求教材是按照知識發展的順序來安排。知識和知識之間螺旋上升，構成了完整的體系，知識之間也存在著思想方法等聯系，教學就是要利用這種聯系讓學生利用舊知來探索新知。

在講授等比數列時，先回憶等差數列中的相關知識：

定義：an＋1－an=d（d為常數），

通項公式：an=a1＋（n－1）d，

性質：an=am＋（n－m）d；

若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq。

通過小組合作，回憶舊知的證明推導方法，來類比得到新知，得到結論，給出證明。這種類比的方法可以廣泛地運用，

譬如，平面向量到空間向量的類比，平面解析幾何到立體幾何的類比等等。當然不僅是知識體系的類比，也可以包括一些常見的結論，如平面向量中“若=λ+μ且λ＋μ＝1，則P、A、B三點共線”，類比空間向量“若=x+y+z且x＋y＋z＝1，則P、A、B、C四點共面”。

2.通過類比“方法”，領會其中思想

教師教學生，不僅是簡單地講解知識，不能僅滿足于讓學生模仿性地解題。更要讓學生學會一種思考的方法，分析問題的能力、遷移解題的能力。

定積分中求曲邊梯形的面積,步驟為“無限分割――以直代曲――求和――取極限”,核心為“以直代曲”。在同學們探討得出方法，理解思想方法之后，我給出思考題：“證明半球的體積為πR3”。同學們通過討論想出了分割的多種方法，①底面與圓面平行的若干圓柱；②底面與圓面垂直的若干小半圓柱；③圓錐。在討論中不斷克服困難，以高昂的斗志深化、鞏固了思想方法。

3.通過類比“形式”，發展創新思維

在解題的過程中應要求學生不拘一格，以發散的思維來觀察分析問題形式。問題情境發生了根本性的變化，兩個對象在表面上毫無共同之處，但通過觀察、創造條件，使兩者存在共同點，這種類比不是一種簡單的模仿，而是一種創造性。

譬如：（1）已知函數f（x）=ax＋b，3a2＋4b2=12，求證：當x∈[-1，1]時，|ax＋b|≤。

分析：由3a2＋4b2=12的形式聯想類比到橢圓的標準形式＋=1，故設a=2cosθ，b=sinθ，

有|ax＋b|=|2xcosθ＋sinθ|≤≤，得證。

（2）解方程2x+xy=y2y+yz=z2z+zx=x

分析：觀察每個式子中都有一未知數為一次項，整理得y=z=x=，觀察形式類比聯想到正切的二倍角公式，

設x=tanθ，θ∈（-，），則y=tan2θ，z=tan4θ，x=tan8θ。

故有tanθ=tan8θ，

所以8θ=θ＋kπ，θ=∈（-，），

即x=tan，y=tan，z= tan，k=0，±1，±2，±3。

四、培養學生類比意識的教學途徑

1.教師自身要有完善的知識體系和深厚的專業基本功

要想能順利地引導、組織學生去運用類比的思想去發現新知和創新解題，教師作為組織者一定要具有完善的知識體系和深厚的專業基本功，否則怎能發現不同板塊知識之間的內在聯系，怎能有效組織好類比教學，展示數學的內在和諧美，展示數學知識的統一性。因此在平時的鉆研中教師必須站在一定的高度去把握知識的結構、去研究透知識表象背后的思想方法，不能思維定勢地去思考問題，對問題能有自己獨到的見解，通過自身的努力夯實專業基本功。

2.經常創設類比問題情境

要想培養學生的類比能力，教學中的類比問題情境顯得尤為重要。數學課堂教學中，教師要恰如其分地創設類比聯想的問題情境，暴露數學的思維過程，把每一個環節展現給學生，讓學生觀察和類比。現在的數學教材中，每章都有引人入勝的章頭圖，同時在很多小節中也有生活的實例，學生可以從實際問題中類比得到數學知識；同時，新教材在編排順序上按知識的發展順序進行，也利于教師在組織教學時進行前后的類比教學。

3.實行變式教學

應該說變式教學是中國教學中成功的環節，通過變式的教學讓學生分析、提煉出不同表象后面相同本質的東西，通過長時間的潛移默化的影響培養學生分析問題的意識和能力，從而為進一步的主動類比提供可能。只有這樣學生才會在遇到新的問題時站在一定的高度去認識、把握，才能有新的想法。

4.教學過程中注重知識的生成

通過教學發現，學生已有的知識水平對類比能否順利實施開展起決定性作用，只有有了相關知識作為保障，才有“跳一跳摸得著”的可能。所以在平時的教學中要更多在學生的主體活動中生成知識，教師作為一個組織者和引導者。讓學生在自主的活動中感悟到其中的思想方法和內在聯系，只有這樣學生才能在遇到新問題時浮現出已有的思想方法和不同知識形式來進行類比。否則如果教師只是一味的灌輸,那么只是帶來僵硬的思維方式。

5.開展小組合作交流

考慮到中學生的思維的不成熟性、不完善性，類比教學有時對學生的要求可能相對較高，憑一己之力可能難以在短時間內發現內在聯系去達成目標。所以在課堂教學中可適時采用小組合作探究式，俗話說“三個臭皮匠頂上一個諸葛亮”。通過合理搭配小組的構成，營造輕松的研討氛圍，讓平時思維不活躍的學生有勇于表現自己、展示自己的機會，通過小組的合作去提出問題、解決問題、構建知識。在通過展示成果的方式讓學生的主體活動充斥著課堂，去批判地接受新知的生成。

五、類比教學中的注意點

1.知識、方法的可類比性

教師在組織學生以類比的方式來學習探究新知的時候一定要注意所給材料和要探究知識之間一定要存在著形式、方法或思想等方面的聯系，不能讓學生的類比活動毫無頭緒，變成無方向的一種所謂的探究，而不是真正意義上的類比。譬如學生可以用類比的思想利用等差數列的相關性質來推導等比數列的相關性質，但你不能要求學生利用等差數列的求和方法來類比探究等比數列的求和方法。

2.類比中的科學性

類比雖然是一種大膽的猜想，但類比不能僅滿足于猜想，停留在猜想到的東西，還要進行科學性的驗證。筆者在一次復習教學中安排了以下看似相關的兩道題，

（1）在橢圓x2＋8y2=8上找一點P，使點P到直線l：x－y＋4=0的距離最小。

分析：把點與直線的距離轉移為兩平行線之間的距離。

設與l平行且與橢圓相切的直線為y=x＋m，聯立得9x2＋16mx＋8m2－8=0，

通過=0結合圖象得m=3，從而得到最短距離和切點坐標（即為P點）。

（2）求橢圓x2＋4y2= 4上的點到點（0，5）的最大距離。

學生用類比的思想，想到以（0，5）為圓心作圓，設方程為x2＋（y－5）2=r2，利用圓和橢圓的相切聯立求出r2=，即最大距離為__________。

可以看出學生類比其中相切的思想方法，求出了最大距離，感覺一氣呵成。但細細一想，若求最短距離，利用同樣的方法仍然只能求出r2=，出現了問題。

分析原因，由于在圓錐曲線中x和y有了范圍，所以相切只要求聯立后的方程只有一解，一個符合范圍的解，而不一定=0，所以此處的類比由于范圍的原因而不具有可類比性，出現了問題。

六、高中數學教學滲透“類比推理”的現狀分析

大部分教師缺乏研究意識，不能充分挖掘類比素材；不能將類比的思想滲透在教學中。

七、高中數學中“類比推理”資源庫構建及應用

1.類比推理資源庫的構建

從2004年秋季開始實施新課程，本課題開展研究，按“依據課標，緊扣教材；立足基礎，適當拓展；縱橫聯系，突出主干”的原則，構建了以高中數學的主干內容為線索的“類比推理”資源庫,其框架如下：

第一部分：實數與集合的類比

第二部分：數與形的類比

第三部分：函數中的類比

第四部分：立體幾何與平面幾何的類比

第五部分：高維與低維的類比

第六部分：等比數列與等差數列的類比

第七部分：不相等與相等的類比

第八部分：不等式中的類比

第九部分：多元與一元的類比

第十部分：橢圓與圓的類比

第十一部分：橢圓與雙曲線的類比

第十二部分：無限與有限的類比

第十三部分：離散與連續的類比

第十三部分：解題方法的類比

第十四部分：高考中的類比推理

第十五部分：高中數學類比推理訓練題精編

第十六部分：高中學數學類比思想應用的教學案例

2.“類比推理”資源在數學教學中的應用

類比作為一種思想，同時也是一種方法，類比可以開拓學生的視野，提高創新思維，通過類比的課堂教學也把課堂交給了學生。在數學學習中乃至處理生活中的實際問題所起的作用是不容忽視的。所以，教師在日常的教學中要重視類比思想的滲透和培養。

①在概念的形成過程中培養類比推理能力

數學概念的形成過程，經歷了數學家漫長的創造過程，濃縮地將數學家的發現過程暴露給學生，則無疑是教學生學會“數學地思考”，是培養合情推理能力的重要途徑。

②在定理、公式發現過程中培養類比推理能力

數學公式和定理的發現過程，是合情推理的經典之作，自然是進行合情推理能力培養的典型材料。

③在解題思路的探索中培養類比推理能力

從條件要達到結論的彼岸,是觀察、歸納、類比、猜想、聯想、直覺、靈感等合情推理手段的綜合運用的過程。

④在復習課中的應用

通過類比，溝通知識、方法間的聯系，形成所學內容的整體結構 通過類比，加強橫向聯系，推廣應用。

⑤在研究性學習和課外活動中的應用

類比推理的素材用于研究性學習活動或課外活動中，引導學生提出新問題，解決新問題。

3.克服類比推理的負遷移效應

類比認知是指由已知事物在某些方面相似，去推論這些事物在其他方面也同樣相似的一種認知模式，它是思考、學習新知識的一種方式，類比的思維方式是特殊――特殊，是一個猜測的方法。類比是將一類事物所得的研究方法和規律應用于另一類事物，是創造性的聯想。數學的某些知識存在相似性，一般表現在數學符號、公式結構和研究方法等方面，數學中采用類比方法，可以有效激活原有知識結構的生長點，順利搭建新舊知識的思維聯系，降低感知的難度，同時激發想象的欲望，喚醒學生的創新意識。由于類比具有偶然性，得到的結論不一定是科學的，往往需要論證，若類比使用不當，可能產生偽科學認知，人為增添知識的矛盾，若教學語言不嚴謹，還增加后續的教學難度。

遷移認知是學習中的一條重要規律。它是指用已有的知識和技能學習新知識，新技能。已有的認知在學習過程中產生積極影響屬于正遷移，對學習新知識起促進作用。例如，學會了騎單車，有助于學習駕駛摩托車。產生消極影響稱為負遷移，例如，學會了騎單車，會妨礙學習騎三輪車。一切有意義的學習都是在原有的基礎上進行的。即一切有意義的學習必然涉及類比認知和遷移認知，高中數學學習尤其如此。

在新課程改革下，要注意初高中數學新舊知識的銜接，這就要求高中數學教師積極進行引導，克服一些負面影響，從而順利完成教學任務。那么高中學生在學習數學時的類比認知和遷移認知有哪些表現呢？

第一種表現：學生學習高中數學時，由于缺乏學法指導，加上新教材內容多難度大。部分學生不重視數學概念的理解，在運用類比認知時，錯把類比當作邏輯推理方法，對概念之間只有形式的比較，抓不住概念的本質特征，主要表現在：

①沒有抓住類比特征。例如實數與集合類比，特征是不等號與包含關系符號類比。

②沒有弄清概念內涵。例如數列與函數類比，實際上數列是特殊的函數。

③有些類比對象選擇不科學。

第二種表現：知識與知識、概念與概念、技巧與技巧之間，有時彼此類似或有許多共同因素，促成對認知的正遷移，學習輕松自如，事半功倍；有時不同因素難以區分，相互干擾，則會發生負遷移，學生往往分不清主次。主要表現在：

①用錯相似形式的數學公式。例如實數運算性質與對數性質。

②錯誤理解公式。例如向量的數量積，橢圓與雙曲線中a、b、c的幾何意義。

③錯誤地推廣知識，例如不等式的性質等。

數學教學的目的是使學生運用數學的思想方法解決問題，培養他們的運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，為學生的終身服務。這涉及到知識的掌握與運用。但是知識是靜止的，方法的運用是動態的，因此，在掌握知識及運用方法上要充分應用類比認知和遷移認知。在高中數學教學中應注意以下幾點：

第一，既教猜想又教證明，歐拉從有限到無限的類比使他獲得了極大的成功，然而這并不意味著類比總是可靠的。類比既具有引導我們走向成功的一面，也有能把人們引入歧途的一面。因此，我們必須以科學的態度對待類比，既要大膽地使用類比，又要嚴格證明。在教學中，教師要將“猜想”與“證明”同時進行，即類比的結論，若判斷成立，則要給予證明；若判斷是錯誤的,需舉反例。

第二，既重類比規律又重特殊性，類比有規律可循，但又不是一成不變的;類比不是萬能的，但類比又是十分重要．在類比時,既重類比規律又重其特殊性。

第三，在數學概念的教學中，應恰當地運用類比認知法，不能混淆比喻與類比，要對學生在類比過程中產生的想法，能確定正誤及時評價，不能確定的給予方法上的指導。

教材中安排得最多的是類比內容，在講授新知識的同時，經常聯系舊知識，創造條件進行類比，擴展學生的思路，養成學生進行類比的習慣。平面幾何的基本元素是點和直線，而立體幾何的基本元素是點、直線和平面，如果我們建立如下對應關系：平面內的點對應到空間中的點或直線，平面內的直線對應到空間中的直線或平面，那么把平面幾何某些定理中的點換作直線，或把線換作平面，就可以幫助學生“發現”一類相似的立體幾何定理。

第四，教師在備課時應充分了解有部分知識學生可能發生負遷移，講課時應使用各種方法對該知識重點講解，把它講清，講透，把學生的負遷移消滅在萌芽狀態。

第五，當有些知識技能發生正遷移時，我們應該運用正遷移的規律培養學生的能力，古人說的舉一反三、觸類旁通就是指學習中的這種正遷移。

第六，在數學概念的切入點和數學思想方法的應用中，應注意思維的發散性、嚴密性和邏輯性。要精選例題，精講過程，精練習題，培養學生多思的解題習慣和靈活的解題能力，切忌“題海戰術”，因為大量的做題，使學生建立了數學問題與知識之間機械式的條件反射，形成負遷移，學生遇到問題的第一反應是相應的內容，而不做具體分析，這不利于數學思想方法的理解和應用。“題海戰術”還使學生過分強調解題經驗，限制了學生的思維，不利于創新人才的培養，更無助于知識與能力的提高。

因此，在教學中，要防止學生根據形式類似，進行類比造成的錯誤．多了解學生的具體情況，因材施教是法寶，重視類比和遷移對學生的影響，使每一部分的教學順利地承上啟下，使學生正確、牢固、靈活地掌握知識，掌握數學的思想方法，有利于全面提高學生的素質。

八、實驗的效果分析

學生數學素養增強，整體成績提高;發現問題解決問題的能力增強;教師的專業水平得到提升。

“數學學習的過程”是一種“具體化”和“同化”的過程。教師應將自己的“再創造”為學生展現出“活生生”的思維活動，從而幫助每一個學生最終相對獨立地去完成數學思維的建構活動。一個好的數學教師應該通過自己的教學使學生受到強烈的感染，從而激發他們對數學的興趣和熱愛，增強他們的數學意識，使學生體會到數學活動的內在樂趣。我們更需要培養學生對數學美的鑒賞和追求，因為對于美的鑒賞正是調動學生學習積極性的有效手段。只有我們意識到類比的教育教學價值，通過類比的教學方法去展示數學的知識，才能讓學生拓展視野，以極大的熱情去研究、學習數學，認識到數學世界的和諧統一，才能真正實現學生由“學會”到“會學”的轉化。巨大的科學發明需要有較強的類比能力，而較強的類比能力正基于猜想與證明的有機結合。對類比的各種狀態要給予嚴格論證，還要捕捉各種類比念頭，抓住兩系統間的相似之處，利用類比這座雄偉的橋梁，將信息不斷地過渡，并不斷地證明，使其科學化，從而使學生的創造力不斷地在類比成功中得到升華。

參考文獻：

1.嚴運華著: 高中數學“類比推理”資源的構建及應用.2007

2.波利亞著：數學與猜想.科學出版社.1984

3.劉云章等：數學解題思維策略.湖南教育出版社.1992