時(shí)間：2022-07-21 16:15:42
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇分?jǐn)?shù)乘法教學(xué)反思，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
本節(jié)課《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》是人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)第二單元的內(nèi)容，重點(diǎn)是鞏固和進(jìn)化理解分?jǐn)?shù)乘法的意義，探索分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則。接下來(lái)是為大家?guī)?lái)的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)教學(xué)反思，望大家喜歡。
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)教學(xué)反思范文一分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義是分?jǐn)?shù)乘整數(shù)意義的擴(kuò)展，記住分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則并不困難，但讓學(xué)生理解算理難度就比較大了。本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)，難點(diǎn)是鞏固和進(jìn)一部理解分?jǐn)?shù)乘法的意義，探索分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則。教學(xué)中我主要是采用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生在實(shí)際操作中，直觀體會(huì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，并運(yùn)用自己的語(yǔ)言進(jìn)行歸納總結(jié)。首先在復(fù)習(xí)中，通過(guò)直觀演示，引導(dǎo)學(xué)生依次折出長(zhǎng)方形紙條的1/2,再取1/2的1/4和3/4，并讓學(xué)生用乘法算式來(lái)表示這個(gè)過(guò)程，初步感受分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義和計(jì)算方法，接著以2/3×1/5、2/3×4/5例，讓學(xué)生先解釋算式的意義，然后用圖形表示這個(gè)意義，最后在根據(jù)圖形表示出算式的計(jì)算過(guò)程，這樣做的目的是通過(guò)“以形論數(shù)”和“以數(shù)表形”的過(guò)程是學(xué)生鞏固分?jǐn)?shù)乘法的意義，體會(huì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算過(guò)程。教學(xué)中我充分借助學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、推理等活動(dòng)，通過(guò)例題的直觀操作，通過(guò)知識(shí)的遷移幫助學(xué)生理解了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，初步掌握了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。在探究活動(dòng)中，能引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與分析、觀察、猜想、驗(yàn)證、比較、歸納的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生初步的演繹推理和合情推理能力。
通過(guò)本課教學(xué)我有了以下幾點(diǎn)思考：
以形論數(shù)”和“以數(shù)表形”相結(jié)合。
分?jǐn)?shù)乘法的意義和計(jì)算法則的道理比較抽象，學(xué)生理解起來(lái)不是很容易，所以利用圖形使抽象的問(wèn)題直觀化，在本課教學(xué)中就顯得尤其重要了.縱觀教材，數(shù)形結(jié)合思想的滲透也有著不同的層次，例如分?jǐn)?shù)乘法前兩節(jié)課中是利用具體的實(shí)物圖形，幫助學(xué)生從具體問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題;在分?jǐn)?shù)乘法第三節(jié)課中是利用直觀的幾何圖形，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算道理;接下來(lái)的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用中，我們還將利用線段圖幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用的問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合的過(guò)程不是簡(jiǎn)單的抽象變?yōu)橹庇^的過(guò)程，而是抽象變?yōu)橹庇^之后，再?gòu)闹庇^變?yōu)槌橄螅簿褪且v“以形論數(shù)”和“以數(shù)表形”兩個(gè)方面有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，只有完整的使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)與形之間的“互動(dòng)”，才能使他們感知“數(shù)形結(jié)合”，才能使他們能在解決問(wèn)題時(shí)自覺地應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”
經(jīng)歷探究過(guò)程，優(yōu)化互動(dòng)生成。
“新課程標(biāo)準(zhǔn)”指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過(guò)程。”這一新的理念說(shuō)明：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)將是學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，是學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的活動(dòng)。因此，教學(xué)本課時(shí)力圖讓學(xué)生親自經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程。即讓學(xué)生在動(dòng)手操作——探究算法——舉例驗(yàn)證——交流評(píng)價(jià)——法則統(tǒng)整等一系列活動(dòng)中經(jīng)歷“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”計(jì)算法則的形成過(guò)程。這里關(guān)注了讓學(xué)生自己去經(jīng)歷、去體驗(yàn)，去感悟、去創(chuàng)造。學(xué)習(xí)是孩子自己的事，把探究的權(quán)力真正還給學(xué)生后，學(xué)生的表現(xiàn)會(huì)讓你大吃一驚。在兩個(gè)班的上課中，關(guān)于分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)法則都有不同的驗(yàn)證和說(shuō)明的方法出現(xiàn)，這些方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出課前的預(yù)設(shè)。究其原因，就是學(xué)習(xí)變成了自己的事，學(xué)的更主動(dòng)，潛能發(fā)揮到了極至。
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)教學(xué)反思范文二本節(jié)課《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》是人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)第二單元的內(nèi)容，重點(diǎn)是鞏固和進(jìn)化理解分?jǐn)?shù)乘法的意義，探索分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則。
在教學(xué)實(shí)踐中我繼續(xù)采用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)方法，幫助學(xué)生達(dá)成以上的兩個(gè)數(shù)學(xué)目標(biāo)。對(duì)于課堂中的“探究活動(dòng)”沒(méi)有直接放手，這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的分?jǐn)?shù)乘法意義的理解還不夠深刻，因此在整個(gè)得教學(xué)過(guò)程分為三個(gè)層次：
(1)、引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)用圖形表示算式，再用算式表示圖形，深化“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的分?jǐn)?shù)乘法意義，感知分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算過(guò)程。
(2)、以3/4×1/4為例，讓學(xué)生先解釋算式的意義，然后用圖形表示這個(gè)意義，最后在根據(jù)圖形表示出算式的計(jì)算過(guò)程，這樣做的目的是通過(guò)“以形論數(shù)”和“以數(shù)表形”的過(guò)程是學(xué)生鞏固分?jǐn)?shù)乘法的意義，體會(huì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算過(guò)程。
(3)、學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法獨(dú)立完成教材中的試一試，進(jìn)一步達(dá)成以上目標(biāo)，并為總結(jié)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法積累認(rèn)知。整體教學(xué)的效果很好。
由于學(xué)生有比較堅(jiān)實(shí)的整數(shù)乘法意義的基礎(chǔ)，所以對(duì)于探索分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義和計(jì)算法則的探索完全可以讓學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行。而在分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)計(jì)算過(guò)程的探索中，由于學(xué)生剛剛認(rèn)識(shí)“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的分?jǐn)?shù)乘法意義，并且用圖形表征分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，因此采用“扶一扶，放一放”的策略就比較好。
學(xué)生在計(jì)算分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)時(shí)能根據(jù)計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算，但對(duì)于計(jì)算過(guò)程的約分，部分學(xué)生的約分意識(shí)不強(qiáng)，如3的倍數(shù)，7的倍數(shù)，甚至更大質(zhì)數(shù)的倍數(shù)，學(xué)生不知道約分，使結(jié)果不是最簡(jiǎn)，還要加強(qiáng)訓(xùn)練。
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)教學(xué)反思范文三本節(jié)課內(nèi)容是《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》，它是建立在學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，重點(diǎn)在于使學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義及計(jì)算方法，這也是本單元的難點(diǎn)。教學(xué)設(shè)計(jì)中主要是突出實(shí)際操作和圖形語(yǔ)言，使學(xué)生在實(shí)際操作中，直觀體會(huì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，并能運(yùn)用自己的語(yǔ)言進(jìn)行總結(jié)。
首先在情境中，先讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義及計(jì)算方法，然后通過(guò)直觀演示，依次折出長(zhǎng)方形紙條的二分之一，二分之一的二分之一，并讓學(xué)生用乘法算式來(lái)表示這個(gè)過(guò)程，初步感受分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義和計(jì)算方法，然后讓學(xué)生猜想，由于學(xué)生已有了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的基礎(chǔ)，所以不難猜出結(jié)果，接著就讓學(xué)生在實(shí)際操作中，借助圖形語(yǔ)言，體會(huì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，感受分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)為什么是用“分子乘分子，分母乘分母”的方法，學(xué)生在折紙的過(guò)程中，再借助教材中“討論”的問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生討論算式與圖形之間的關(guān)系，通過(guò)類似幾道題的“折一折、想一想、算一算”，讓學(xué)生運(yùn)用自己的語(yǔ)言小結(jié)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的方法。在計(jì)算法則的發(fā)現(xiàn)上，因?yàn)樵谇懊婊ㄙM(fèi)了許多的筆墨，到法則的形成時(shí)，就讓學(xué)生根據(jù)黑板上的五個(gè)算式讓學(xué)生觀察“積的分子、分母與兩個(gè)因數(shù)的分子、分母有什么關(guān)系?”得出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。
由于本節(jié)課只是初步讓學(xué)生通過(guò)折紙活動(dòng)感受分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義及計(jì)算方法，整節(jié)課大量的時(shí)間都放在了學(xué)生“折一折、涂一涂”的直觀感受上，注重發(fā)揮學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，給于學(xué)生更多的自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。整個(gè)教學(xué)的流程是非常清晰的，由復(fù)習(xí)到新授再到練習(xí)老師都對(duì)教材進(jìn)行了很好的研究，并且非常熟練自己的教學(xué)程序。
教材分析：分式的乘除法是本章的一個(gè)重要的內(nèi)容，是分式的基本性質(zhì)、分式的約分的進(jìn)步提高及應(yīng)用。本課時(shí)包含分式的乘法、分式的除法的內(nèi)容。分式的除法可以轉(zhuǎn)化為分式的乘法進(jìn)行運(yùn)算。分式的乘法是本課時(shí)的一個(gè)重點(diǎn)。分式的乘除法是建立在小學(xué)分?jǐn)?shù)乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)上，又與數(shù)的運(yùn)算有很大的不同。
教學(xué)目標(biāo)：（1）知識(shí)與技能目標(biāo)：使學(xué)生理解并掌握分式的乘除法運(yùn)算方法，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式乘除法運(yùn)算，能解決一些與分式乘除有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。（2）數(shù)學(xué)思考目標(biāo)：經(jīng)歷探索分式的乘除法運(yùn)算方法，發(fā)展合情推理的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的能力。（3）解決問(wèn)題能力：形成解決問(wèn)題的基本策略，從特殊到一般，從分?jǐn)?shù)的乘除法運(yùn)算到分式的乘除法運(yùn)算，也為以后學(xué)習(xí)分式的加減運(yùn)算作鋪墊。（4）情感與價(jià)值目標(biāo)：教學(xué)中注意滲透類比轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生在大膽猜想中學(xué)到方法，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。
教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生掌握分式的乘除法運(yùn)算。
教學(xué)難點(diǎn)：分子、分母為多項(xiàng)式的分式的乘除法運(yùn)算。
教學(xué)方法：探究式、引導(dǎo)式、小組交流合作。
教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體輔助。
教學(xué)過(guò)程：?jiǎn)栴}1：一個(gè)長(zhǎng)方體容器的容積為v底面的長(zhǎng)為a寬為b，當(dāng)容器內(nèi)的水占容積的
時(shí)，水高多少？長(zhǎng)方體容器的高為____，水高為____
問(wèn)題2：大拖拉機(jī)m天耕地a公頃__，小拖拉機(jī)n天耕地b公頃，大拖拉機(jī)的工作效率是小拖拉機(jī)的工作效率的多少倍？大拖拉機(jī)的工作效率是
公頃，天，小拖拉機(jī)的工作效率是__公頃，天，大拖拉機(jī)的工作效率是小拖拉機(jī)的工作效率的__倍。
（1）學(xué)生小組活動(dòng)：討論并填空。（2）教師提問(wèn)：這是一個(gè)什么運(yùn)算？怎樣計(jì)算呢？
（板書課題：16，2分式的運(yùn)算1、分式的乘除法）
設(shè)計(jì)意圖：有問(wèn)題1、問(wèn)題2創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，在學(xué)生感到新奇而不知所措的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲、設(shè)置懸疑、無(wú)疑為學(xué)生對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)了良好的情緒狀態(tài)，面從實(shí)際生活引入，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活。
學(xué)生交流：分?jǐn)?shù)乘法法則？分?jǐn)?shù)除法法則？分?jǐn)?shù)乘法法則：分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母。分?jǐn)?shù)除法法則：分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，把除數(shù)的分子、分母顛倒位置后，與被除數(shù)相乘。（1）教師敘述：通過(guò)上面分?jǐn)?shù)乘除運(yùn)算可先約分再相乘。但對(duì)于除法運(yùn)算首先把除法化為乘法，然后約分、相乘。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)舊知識(shí)的復(fù)習(xí)、引導(dǎo)學(xué)生從舊知識(shí)中尋找新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，符合新事物的規(guī)律、由淺入深、同表及里、逐漸深化。（2）探索新知：你能用代數(shù)式表示上題中（（舊知再現(xiàn)）觀察下列運(yùn)算）的計(jì)算過(guò)程中嗎？與同伴
通過(guò)類比，得出：①分式乘除法與分?jǐn)?shù)乘除法類似；②“數(shù)”變?yōu)椤笆健焙螅溥\(yùn)算又有不同。
設(shè)計(jì)意圖：觀察、類比、遷移的方式達(dá)到自然導(dǎo)人的目的，培養(yǎng)合作交流意識(shí)。注意的是通常分式除法首先應(yīng)轉(zhuǎn)化成乘法、為了方便記憶可說(shuō)為“除以一個(gè)式子等于乘以這個(gè)式子的倒數(shù)或者一變一傳倒”。
一、追溯錯(cuò)因，滲透數(shù)學(xué)思想
數(shù)學(xué)教學(xué)需要在讓學(xué)生理解基礎(chǔ)知識(shí)、掌握基本技能的前提下，感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在課堂教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生存在的錯(cuò)誤不能只是簡(jiǎn)單地訂正即可，需要追溯錯(cuò)誤的原因，也就是要找到錯(cuò)誤的根，這樣才能促進(jìn)學(xué)生真正地理解和掌握知識(shí)。在此過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想至關(guān)重要，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的歸納，是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，學(xué)生的思維才能更廣闊，對(duì)錯(cuò)誤原因的分析才能更到位，進(jìn)而使數(shù)學(xué)課堂因差錯(cuò)而變得更有意義。
如在學(xué)習(xí)人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《小數(shù)乘法和除法》時(shí)，計(jì)算能力的培養(yǎng)是教學(xué)的關(guān)鍵，但在計(jì)算小數(shù)乘法時(shí)有的學(xué)生出現(xiàn)小數(shù)點(diǎn)位數(shù)不對(duì)、進(jìn)位錯(cuò)誤等問(wèn)題，這時(shí)教師就要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，先找出自己錯(cuò)誤的地方，再分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，讓學(xué)生進(jìn)一步理解小數(shù)乘法的知識(shí)。但在后續(xù)做題時(shí)仍有一部分學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤，究其原因在于這部分學(xué)生還是沒(méi)有把握住解題的根本。針對(duì)這種情況，教師將小數(shù)乘法的計(jì)算提煉為轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，讓學(xué)生先忽略小數(shù)點(diǎn)，把小數(shù)乘法當(dāng)成整數(shù)乘法，計(jì)算出結(jié)果后，再根據(jù)因數(shù)的小數(shù)位數(shù)之和得出積的小數(shù)位數(shù)，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，這樣學(xué)生在計(jì)算時(shí)就能按步就班地進(jìn)行計(jì)算，出錯(cuò)率大大減少。
二、比較錯(cuò)題，找出本質(zhì)區(qū)別
比較是一切思維的基礎(chǔ)，在學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的比較，這樣就可以從現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，提高學(xué)生的辨別能力，從而更加扎實(shí)、有效地掌握所學(xué)知識(shí)。在教學(xué)時(shí)讓學(xué)生用比較的方法來(lái)訂正錯(cuò)誤，可以實(shí)現(xiàn)將不同知識(shí)融合在一起，既鞏固了正確解法，又能使錯(cuò)誤顯現(xiàn)出來(lái)，在比較中分清異同，實(shí)現(xiàn)舉一反三的教學(xué)效果。
如在學(xué)習(xí)人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)《運(yùn)算律》時(shí)，學(xué)生在做乘法結(jié)合律和分配律的題目時(shí)總是出錯(cuò)。如計(jì)算（25×6）×4，有的學(xué)生寫成（25×4）×（6×4），而在計(jì)算（25+6）×4時(shí)，有的學(xué)生又寫成25x6+4，這些錯(cuò)誤反映了學(xué)生對(duì)于乘法結(jié)合律和分配律的掌握不夠透徹，在計(jì)算時(shí)錯(cuò)用、亂用運(yùn)算率而導(dǎo)致出錯(cuò)。針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，教師要引導(dǎo)學(xué)生重新認(rèn)識(shí)乘法結(jié)合律和分配律，明確乘法結(jié)合律的前提是幾個(gè)數(shù)相乘，將其中的幾個(gè)數(shù)結(jié)合在一起使計(jì)算更加簡(jiǎn)便；分配律則是和與積的組合，需體現(xiàn)出和中的每一個(gè)數(shù)都與另一個(gè)因數(shù)相乘，再求和。在比較的過(guò)程中學(xué)生把握了乘法結(jié)合律與分配律的不同，從而更好地理解了計(jì)算時(shí)先觀察判斷應(yīng)該采用的運(yùn)算律，確保在把握本質(zhì)的同時(shí)提高計(jì)算的質(zhì)量。
三、探尋方法。避免類似錯(cuò)誤
錯(cuò)誤是不可避免的，但是不要重復(fù)出現(xiàn)同樣的錯(cuò)誤。將錯(cuò)誤當(dāng)成一種資源，既要尋根問(wèn)底，更重要的是讓學(xué)生不再犯同樣的錯(cuò)誤。因此，在教學(xué)時(shí)教師要探尋最佳的方法，讓學(xué)生深刻理解錯(cuò)誤的原因，從而確保學(xué)習(xí)的效果。如可以通過(guò)建立錯(cuò)題集的方法來(lái)將錯(cuò)題摘錄下來(lái)，分析原因并訂正，并舉出類似的例子，這樣學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)翻一翻、看一看，就可以降低再出錯(cuò)的概率，并在有效的方法的指引下更好地學(xué)習(xí)。此外，教師還可以讓學(xué)生根據(jù)出現(xiàn)的錯(cuò)誤寫出反思：為什么這樣做？錯(cuò)在哪里？如何改正錯(cuò)誤？進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)于錯(cuò)題的印象，使學(xué)習(xí)更有效。
如在學(xué)習(xí)人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》時(shí)，有很多學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的意義理解不到位，分不清帶不帶單位名稱的區(qū)別，因此也就比較容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如：一根長(zhǎng)5米的繩子，把它平均分成6段，則每一段是全長(zhǎng)的幾分之幾？每段長(zhǎng)是幾分之幾米？結(jié)果學(xué)生做得亂七八糟。由此教師進(jìn)行了反思，并在講評(píng)時(shí)采用多媒體展示：分成6段、10段、100段，每段占全長(zhǎng)的幾分之幾，也就是分成段數(shù)之一，與繩長(zhǎng)無(wú)關(guān)；而每段的長(zhǎng)度則與原來(lái)學(xué)習(xí)的除法有關(guān)，只需拿K長(zhǎng)除以段數(shù)即可得出。此后，教師引導(dǎo)學(xué)生在將錯(cuò)題整理到錯(cuò)題集上，經(jīng)常看一看，避免再出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤。
一、什么是同課異構(gòu)
從字面上理解：異構(gòu)――一種包含不同成分的特性。通常被用于信息技術(shù)和化學(xué)科研。與異構(gòu)相對(duì)存在的就是同構(gòu)，同構(gòu)――兩個(gè)或兩個(gè)以上的圖形組合在一起，共同構(gòu)成一個(gè)新的圖形，后者是對(duì)前者的一個(gè)超越或突變。把“構(gòu)”放在教學(xué)中是指教師不同的教學(xué)設(shè)計(jì)、不同的教學(xué)構(gòu)思、不同的教學(xué)方法，等等。“構(gòu)”的目的是讓不同的教師面對(duì)相同的教材，結(jié)合所教學(xué)生的實(shí)際情況，根據(jù)自己的生活經(jīng)歷、知識(shí)背景、情感體驗(yàn)構(gòu)建出不同意義的設(shè)計(jì)，呈現(xiàn)出不同教學(xué)風(fēng)格的課堂，培養(yǎng)出各具個(gè)性特色的創(chuàng)造性。
以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)教材中的《表內(nèi)乘法（二）》為例，教師可以怎樣實(shí)施異構(gòu)呢？
教學(xué)設(shè)計(jì)（一）
參考教師用書，把7、8、9的乘法口訣分3個(gè)課時(shí)分別進(jìn)行講授。第一課時(shí)是教學(xué)7的乘法口訣，根據(jù)教材中的主題圖和表格，利用七巧板拼成的圖案，讓學(xué)生自己將表格里的數(shù)據(jù)填寫完整，再通過(guò)計(jì)算乘法算式的積，編制出7的乘法口訣，然后進(jìn)行記憶和練習(xí)。教學(xué)8的乘法口訣和9的乘法口訣的設(shè)計(jì)思路與7的大體相同。
教學(xué)設(shè)計(jì)（二）
在教學(xué)7、8、9的乘法口訣之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)了2～6的乘法口訣，并且知道編制的方法。因此，教師把7、8、9的乘法口訣進(jìn)行有效整合，以一句7的口訣“三七二十一”為突破口，讓學(xué)生自己編制7的口訣；完成后，將學(xué)生分成兩個(gè)競(jìng)賽組，分別編制8、9的乘法口訣，再進(jìn)行記憶和練習(xí)。
對(duì)比以上兩種教學(xué)，第二種設(shè)計(jì)更具開放性和生本特點(diǎn)，值得教師們嘗試。
二、同課異構(gòu)的特征
同課異構(gòu)是一種教學(xué)型教研。教學(xué)型教研一般以課例為載體，圍繞如何上好一節(jié)課而展開，研究過(guò)程滲透融入教學(xué)過(guò)程，貫穿備課、設(shè)計(jì)、上課、評(píng)課等教學(xué)環(huán)節(jié)之中，活動(dòng)方式以同伴成員之間的溝通、交流、討論為主，研究成果的主要呈現(xiàn)形式是文本教案和案例式課堂教學(xué)。因此，這種教研活動(dòng)在不同學(xué)科的不同學(xué)段都可以進(jìn)行。同課異構(gòu)又可以分成多人同課異構(gòu)和一人同課異構(gòu)等形式。在教學(xué)研討活動(dòng)中，最經(jīng)常用到的是兩人同課異構(gòu)模式，兩人同課異構(gòu)又俗稱為“一課兩上”。
以小學(xué)數(shù)學(xué)中高年級(jí)各個(gè)單元知識(shí)后的“整理與復(fù)習(xí)”內(nèi)容為例。一種教學(xué)設(shè)計(jì)思路是：根據(jù)教材中的練習(xí)題安排，逐一對(duì)本單元的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行回憶和概括，然后做練習(xí)題加以鞏固提高。另一種教學(xué)設(shè)計(jì)模式是將一節(jié)“整理與復(fù)習(xí)”的課分成三大部分進(jìn)行。第一部分是知識(shí)整理環(huán)節(jié)，由學(xué)生自主回憶起本單元的所有知識(shí)點(diǎn)，教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行有序的整理和板書；第二部分是學(xué)生質(zhì)疑環(huán)節(jié)，由于學(xué)生已經(jīng)了解本單元的所有內(nèi)容，那么他們必定有自己的困惑或疑難問(wèn)題，在課堂上提出，請(qǐng)求他人的幫助；第三部分是針對(duì)性練習(xí)環(huán)節(jié)，可以由學(xué)生和教師收集一些易錯(cuò)題或綜合性較強(qiáng)的題目，當(dāng)堂進(jìn)行解答。
對(duì)比而言，第二種教學(xué)思路更好地突出了學(xué)生的自主地位，充分將孩子們的思想和問(wèn)題暴露了出來(lái)，而且可以馬上找到解決問(wèn)題的策略。這樣，整理與復(fù)習(xí)就能達(dá)到既查漏補(bǔ)缺又提升能力的雙重效果。
三、同課異構(gòu)的用途
同課異構(gòu)由以教材教法為中心的文本教研轉(zhuǎn)向以師生共同發(fā)展為中心的人本教研，由單一封閉的個(gè)人研究模式轉(zhuǎn)向多維互動(dòng)的群體研究模式。①針對(duì)性強(qiáng)。它是基于幫助教師更好地理解教材、更好地完善教學(xué)方式而采取的一種具有實(shí)效的教研方式。②適用性強(qiáng)。它適用于各學(xué)科、各學(xué)段、各教師，它是一個(gè)認(rèn)識(shí)―實(shí)踐―再認(rèn)識(shí)―再實(shí)踐的認(rèn)知建構(gòu)過(guò)程。③參與性高。它是集體智慧的展現(xiàn)，資源共享可以幫助教師更好地把握教學(xué)目標(biāo)，加深對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的理解，同伴互助十分重要。④提升力度大。在教師的專業(yè)發(fā)展中，個(gè)人的感悟是一個(gè)十分重要的過(guò)程。
以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》為例，一般在同課異構(gòu)活動(dòng)中，教師們采用以下兩種設(shè)計(jì)。
教學(xué)設(shè)計(jì)（一）
以認(rèn)識(shí)二分之一為起點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)讀、寫分?jǐn)?shù)，知道分?jǐn)?shù)各部分名稱，初步感知分?jǐn)?shù)二分之一的含義；以四分之一為操作點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)折、畫、比較出不同分?jǐn)?shù)表示的含義和呈現(xiàn)的不同圖案，再通過(guò)判斷、選擇等形式的練習(xí)，加深理解分?jǐn)?shù)的意義和分母的含義。
教學(xué)設(shè)計(jì)（二）
以認(rèn)識(shí)二分之一為起點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)讀、寫分?jǐn)?shù)，知道分?jǐn)?shù)各部分名稱，初步感知分?jǐn)?shù)二分之一的含義；以四分之一為操作點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)折、畫、比較出不同的分?jǐn)?shù)表示的含義和呈現(xiàn)的不同圖案；再通過(guò)判斷題的練習(xí)，在眾多的分?jǐn)?shù)單位中，設(shè)計(jì)一個(gè)幾分之幾的分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)幾分之幾。
當(dāng)教師通過(guò)思考、探究、集體研討之后，又有了第三種教學(xué)設(shè)計(jì)思路。
教學(xué)設(shè)計(jì)（三）
以認(rèn)識(shí)幾分之幾為起點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)讀、寫分?jǐn)?shù)，知道分?jǐn)?shù)各部分名稱，初步感知分?jǐn)?shù)的含義；再通過(guò)判斷題練習(xí)，在眾多的幾分之幾數(shù)中，設(shè)計(jì)一個(gè)幾分之一的分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)。
一、有機(jī)利用，促進(jìn)正遷移
1．因勢(shì)利導(dǎo)，喚醒舊知。
數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)往往是先前學(xué)習(xí)的概括或延伸。教學(xué)中教師應(yīng)盡量在回憶舊知識(shí)的基礎(chǔ)上引出新知識(shí)，努力挖掘新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，抓住新舊知識(shí)的共同特征啟發(fā)思維，引導(dǎo)學(xué)生將舊知識(shí)遷移到新知識(shí)的學(xué)習(xí)中來(lái)。如教學(xué)“比的基本性質(zhì)”一課，先讓學(xué)生回憶舊知比和除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)比、除法、分?jǐn)?shù)有很多相似之處，再回憶商不變的規(guī)律和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：在除法中有商不變的規(guī)律，在分?jǐn)?shù)中有分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，那么比有沒(méi)有類似的基本性質(zhì)呢？這樣使學(xué)生在回憶舊知識(shí)的過(guò)程中，自然地過(guò)渡到了新課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生很清楚地知道知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。
2．圍繞思想，以舊引新。
教師在分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要善于將一些數(shù)學(xué)思想方法和策略在傳授知識(shí)的同時(shí)教授給學(xué)生。教師在教學(xué)過(guò)程中要喚起學(xué)生已經(jīng)形成和積累的一些初步的解決問(wèn)題的策略，促進(jìn)這些策略的正遷移，為學(xué)生理解和掌握知識(shí)、發(fā)展思維提供支撐。如教學(xué)“梯形的面積計(jì)算”一課時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“我們?cè)谕茖?dǎo)平行四邊形、三角形面積計(jì)算公式的時(shí)候，都用到了什么方法和策略？”然后教師予以啟發(fā)：“我們能否也用這樣的方法和策略來(lái)推導(dǎo)梯形面積的計(jì)算公式呢？”這樣促使學(xué)生將梯形面積計(jì)算公式與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的面積計(jì)算公式建立非人為的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，為學(xué)生對(duì)梯形面積公式的探究、研討及促進(jìn)知識(shí)方法的有效遷移創(chuàng)造條件。
3．豐富表象，樹立意識(shí)。
教師在教學(xué)過(guò)程中要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容盡可能地創(chuàng)設(shè)一些生動(dòng)、有趣、貼近生活的例子，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生啟發(fā)聯(lián)想，使學(xué)生眼中單調(diào)、枯燥的數(shù)學(xué)問(wèn)題與頭腦中已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間建立起聯(lián)系，利用已有的生活經(jīng)驗(yàn)，按照一定的模式去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移。如在教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)生活情境，通過(guò)讓學(xué)生“尋找生活中的圓、欣賞生活中的圓”，由此引出數(shù)學(xué)問(wèn)題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)就在自己的身邊。課的結(jié)尾讓學(xué)生解釋“車輪為什么不做成三角形、正方形、五邊形而偏要做成圓形”的問(wèn)題，把數(shù)學(xué)知識(shí)和生活再次聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又運(yùn)用于生活，促使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和認(rèn)識(shí)周圍的事物，有效地促進(jìn)知識(shí)的有效遷移。
二、適時(shí)運(yùn)用，避免負(fù)遷移
1．加強(qiáng)對(duì)比，建構(gòu)知識(shí)。
注重知識(shí)結(jié)構(gòu)的合理建構(gòu)，是避免思維定勢(shì)負(fù)遷移的前提。學(xué)習(xí)不只是新信息的簡(jiǎn)單吸收，而是通過(guò)新舊知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的相互作用實(shí)現(xiàn)的意義建構(gòu)。學(xué)生大腦中有豐富的知識(shí)儲(chǔ)備，到需要時(shí)能在一大堆舊知識(shí)中甄別出科學(xué)的那一部分，重新建構(gòu)和再現(xiàn)新知識(shí)。如在“乘法交換律和結(jié)合律”一課中，我教學(xué)例1時(shí)，始終圍繞著“乘法交換律和結(jié)合律是什么”的問(wèn)題展開新知的探究。先通過(guò)把3×5和5×3這兩個(gè)算式用等號(hào)連接，讓學(xué)生初步感受乘法交換律，再通過(guò)呈現(xiàn)一批具有乘法交換律結(jié)構(gòu)特征的等式，進(jìn)一步豐富學(xué)生的感受，然后討論交流總結(jié)規(guī)律，最后像加法交換律一樣用字母來(lái)表示乘法交換律，把乘法交換律抽象到符號(hào)層面。這種對(duì)乘法交換律知識(shí)的建構(gòu)，避免了對(duì)加法交換律的形式模仿。
2．比較深辯，避免定勢(shì)。
比較是避免思維定勢(shì)負(fù)遷移的有效方法之一。教師要善于指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用比較的方法，通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)材料及已有結(jié)論的比較分析，找出異同，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的可利用因素和易混的因素進(jìn)行辨析分化，從而加深對(duì)知識(shí)的理解。如在“乘數(shù)末尾有0的乘法”的練習(xí)課，書中第八題如下。
207×40 23×802 60×305
270×40 23×820 60×350
這是題組比較練習(xí)，是在學(xué)生學(xué)會(huì)乘數(shù)末尾有0的乘法計(jì)算以后，把它與乘數(shù)中間有0的乘法計(jì)算進(jìn)行比較，讓學(xué)生體會(huì)乘數(shù)末尾有0與中間有0的乘法筆算過(guò)程的區(qū)別。同時(shí)也使學(xué)生體會(huì)三位數(shù)乘兩位數(shù)同樣可以應(yīng)用乘法的運(yùn)算律或依據(jù)乘法意義，使計(jì)算簡(jiǎn)便，學(xué)生進(jìn)一步熟悉乘數(shù)末尾有0的乘法的特征，避免思維定勢(shì)的產(chǎn)生。
3．巧設(shè)“陷阱”，深化認(rèn)知。
巧設(shè)“陷阱”是避免思維定勢(shì)負(fù)遷移的有效途徑之一。在教學(xué)中，我們要注意結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際出發(fā)，巧妙設(shè)置“陷阱”，敢于讓學(xué)生出錯(cuò)。設(shè)計(jì)“陷阱”的目的不是為了讓學(xué)生“上當(dāng)受騙”，而是讓學(xué)生能夠認(rèn)真反思出錯(cuò)的原因，深化對(duì)新舊知識(shí)的理解。如教學(xué)“應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算”時(shí)，我設(shè)計(jì)了以下“陷阱題”：怎樣簡(jiǎn)便就怎樣算。
102×45 16×29+16×21 101×62-62
99×45 （40-4）×25 56×99+65
一、 豐富背景與單一背景之間的兩難選擇
人總是以已有知識(shí)作為背景，去認(rèn)識(shí)、獲取新知識(shí)，分?jǐn)?shù)除法的背景較多，有整數(shù)除法的背景、除法是乘法的逆運(yùn)算的背景、分?jǐn)?shù)乘法的背景等。以1÷為例，它可以建立在以下背景之上：
1.包含背景：求1中有多少個(gè)，或的多少倍是1。
2.等分背景：求一個(gè)數(shù)，使得它的是1。
3.乘積背景：求乘以得乘積為1的因數(shù)。
小學(xué)數(shù)學(xué)教材所給的背景與教師選擇的背景不同，蘇教版和北師大版教材中的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)都以“分物”為背景，歸納分?jǐn)?shù)除法的算法。而有些教師利用“除法是乘法的逆運(yùn)算”這一背景開展分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)。設(shè)：÷=，由除法是乘法的逆運(yùn)算可得：×=，3×x=3，4×y=8，x=3÷3，y=8÷4，綜合起來(lái)就是÷===，如果省略過(guò)程，呈現(xiàn)在學(xué)生眼前的就是：÷==。接下來(lái)考慮，發(fā)現(xiàn)÷==這個(gè)規(guī)律依然成立，最后，通過(guò)“劃歸”的方法，探討一般分?jǐn)?shù)的除法，從而得到：÷=÷==。
從上面的分析可以看出：教師和教材在分?jǐn)?shù)除法算法及其含意的理解上有分歧，雙方都把這種算法引入到不同的背景中，當(dāng)然這種認(rèn)識(shí)上的差異是必然的，甚至是積極的，但要引導(dǎo)師生進(jìn)行有效的對(duì)話，就不能采用有分歧的背景，而必須共同觀察相同的參考背景。分?jǐn)?shù)除法教學(xué)時(shí)，應(yīng)考察同一個(gè)背景――“分物”，它是除法運(yùn)算的一個(gè)聯(lián)結(jié)因素，它在以前的除法和分?jǐn)?shù)除法之間建立了聯(lián)系，分?jǐn)?shù)除法的算法也有了合情合理的解釋。
香港地區(qū)也用類似于“分物”的背景來(lái)教學(xué)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)。在實(shí)踐活動(dòng)中通過(guò)折紙發(fā)現(xiàn)：1（2，3，4）包含了多少個(gè)？推算：8包含了多少個(gè)？學(xué)生探究出：整數(shù)÷=整數(shù)×4。在探究活動(dòng)環(huán)節(jié)，要求學(xué)生利用小組內(nèi)的手工紙，找出：3張手工紙包含了多少個(gè)？
二、 知識(shí)載體與知識(shí)含義之間的兩難推理
我們都知道，在數(shù)學(xué)知識(shí)的每一次介入中存在一個(gè)基本的認(rèn)識(shí)論二難推理：教師想提供新知識(shí)給學(xué)生時(shí)，他們必須使用新知識(shí)的載體（符號(hào)與圖表），當(dāng)然符號(hào)與圖表之間由某些嚴(yán)密的規(guī)則相聯(lián)系。教學(xué)過(guò)程中必須使學(xué)生的注意力集中在這些知識(shí)載體上，然而，知識(shí)的含義并不包含在這些載體中，要讓學(xué)生知道知識(shí)含義，就必須要學(xué)生自己去探索。也就是說(shuō)，學(xué)生不能從知識(shí)載體直接讀出知識(shí)含義，必須從中主動(dòng)地重新建構(gòu)。這是分?jǐn)?shù)除法教學(xué)必須要面對(duì)的問(wèn)題。
以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)第46頁(yè)的練一練為例，闡明這個(gè)認(rèn)識(shí)論難題。
我們知道，對(duì)于÷=×=2，一方面，用某些運(yùn)算符號(hào)聯(lián)結(jié)起來(lái)的數(shù)學(xué)表示形成了一個(gè)小小的運(yùn)算體系；另一方面，教材想借助一個(gè)幾何背景，為符號(hào)與運(yùn)算提供含義。右上角的圖形以什么樣的方式賦予÷=2含義呢？對(duì)于和，其中一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是另一分?jǐn)?shù)的倍數(shù)，似乎需要預(yù)先假定某一類分?jǐn)?shù)，用來(lái)表明圖形與公式之間最初的相互作用。這種相互作用還有另外的一些暗示：在右上角的長(zhǎng)方形中，對(duì)1和單位的理解必須是可變動(dòng)的。10個(gè)小方塊是單位，與的比例分別是3個(gè)長(zhǎng)方形（每一個(gè)長(zhǎng)方形有2個(gè)小方塊）與含3個(gè)小方塊的一個(gè)長(zhǎng)方形的比列。解釋÷=2時(shí)，對(duì)“2”的認(rèn)識(shí)論含意要根據(jù)單位的改變而改變。2可以這樣理解：將解釋為，將÷改成÷，計(jì)算÷時(shí)，可以不考慮分母10，只相當(dāng)于運(yùn)算就行了。
以上的分析表明，單位的解釋要改變，首先，含有10個(gè)方塊的大長(zhǎng)方形表示單位1，接著，單獨(dú)的方塊也表示單位1。這種認(rèn)識(shí)上的改變?cè)从趯?duì)的再認(rèn)識(shí)，像這樣的一個(gè)分?jǐn)?shù)，并非僅僅是簡(jiǎn)單的兩個(gè)具體數(shù)字6和10的關(guān)系，而是大量這類關(guān)系如：、 、、……的一個(gè)代表。誰(shuí)是其中的代表要根據(jù)幾何圖形與給定的數(shù)值符號(hào)而定。
分?jǐn)?shù)除法教學(xué)中遇到的認(rèn)識(shí)論難題就是，要以符號(hào)載體來(lái)傳送知識(shí)，同時(shí)又要超越這些具體載體。所以在課堂里，教師必須給學(xué)生呈現(xiàn)特定背景下的學(xué)習(xí)情境，從而可以在交流中分享，最后，借助于概括，創(chuàng)設(shè)一個(gè)消除背景的過(guò)程，幫助學(xué)生自覺重建隱藏在背景后面的數(shù)學(xué)知識(shí)的含意。
三、 邏輯標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)之間的兩難評(píng)價(jià)
我們都知道，不同的人利用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)背景得到不同的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，分?jǐn)?shù)除法教學(xué)也不例外。除了通常的“顛倒法”之外，有些研究者推薦了“通分法”。如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)第46頁(yè)的練一練，÷，可以這樣來(lái)計(jì)算：把通分為，再和比較，看看包含幾個(gè)，也就是：÷=÷=6÷3=2。康托就曾經(jīng)這樣寫道：“數(shù)學(xué)在它自身的發(fā)展中完全是自由的，對(duì)它的概念的限制只在于：必須是無(wú)矛盾的并且和先前定義引進(jìn)的概念相協(xié)調(diào)。”這是數(shù)學(xué)研究的邏輯標(biāo)準(zhǔn)。而“數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)于研究工作‘?dāng)?shù)學(xué)意義’的分析。如新的研究是否有利于認(rèn)識(shí)的深化以及方法論上的進(jìn)步等。”
前面所講用“通分法”來(lái)解決分?jǐn)?shù)除法，從邏輯標(biāo)準(zhǔn)上來(lái)評(píng)價(jià)是沒(méi)有任何問(wèn)題的，可能有人還會(huì)認(rèn)為若用直觀圖來(lái)解釋“通分法”的算理更能體現(xiàn)其優(yōu)越性，歷史上也出現(xiàn)了一些其他類似的獨(dú)特方法。但為什么這些方法最終都被人們所拋棄，而唯獨(dú)留下“顛倒法”呢？我們是不是應(yīng)該從“數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)”的角度來(lái)評(píng)價(jià)一下“通分法”。從計(jì)算方法來(lái)講，“通分法”是把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法，這種方法當(dāng)然可行，但是不是最簡(jiǎn)潔、最有效的方法呢？前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的乘法，為什么非要通過(guò)復(fù)雜的通分而計(jì)算出結(jié)果呢？轉(zhuǎn)化為剛學(xué)的分?jǐn)?shù)乘法豈不更好。正如皮亞杰曾指出：“在更高的層次上對(duì)已有的東西重新進(jìn)行構(gòu)建，并使前者成為一個(gè)更大結(jié)構(gòu)的一個(gè)部分。這樣，我們最終就獲得了一個(gè)無(wú)限豐富，而又層次分明、井然有序的數(shù)學(xué)世界。”
當(dāng)然，“通分法”與“顛倒法”并不矛盾，不能否認(rèn)“通分法”，因?yàn)橛辛诉@種方法，我們才能從更為廣泛的角度去理解知識(shí)。但是教師不能因?yàn)椤邦嵉狗ā彪y理解而抓住“通分法”不放，教師要善于從“數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)”的角度去評(píng)價(jià) “通分法”和“顛倒法”，讓學(xué)生真正理解“顛倒法”這種算法所體現(xiàn)的“數(shù)學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)部和諧”。
四、 理解保持與記憶結(jié)論之間的兩難平衡
數(shù)學(xué)教學(xué)中有一對(duì)矛盾――理解和記憶，分?jǐn)?shù)除法教學(xué)也不例外。因?yàn)閷W(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘法的算理――“顛倒法”難于理解，而利用“顛倒法”來(lái)計(jì)算分?jǐn)?shù)除法又如此簡(jiǎn)單。如何解決這個(gè)矛盾？不少學(xué)者提議：先記憶，再理解，先讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，記住算理，然后再來(lái)理解算理。他們的理由是學(xué)生的理解能力有差異，不是所有學(xué)生都能在四十分鐘內(nèi)完全理解算理的，對(duì)于程序性知識(shí)，可以先知其然，然后知其所以然。我們仔細(xì)分析“先記憶，再理解”這一“緩沖”的方法，其實(shí)有時(shí)是很難實(shí)現(xiàn)的。教師要讓學(xué)生記憶算法，就必須通過(guò)訓(xùn)練達(dá)到熟練的程度，這固然是一件好事。但有時(shí)過(guò)早、過(guò)多的訓(xùn)練，學(xué)生的理解的保持會(huì)受到訓(xùn)練的嚴(yán)重威脅，他們才不會(huì)努力理解這些“顯而易見”的算法。
弗賴登塔爾在《數(shù)學(xué)教育再探》一書中指出：“算法是一種完全極端的情況，它一旦被掌握，或確信被掌握，人們很可能就不理會(huì)它們的來(lái)源。的確，算法最大的優(yōu)點(diǎn)就是它們能機(jī)械地進(jìn)行。但是當(dāng)它們變得無(wú)用，或甚至對(duì)數(shù)學(xué)本身的目標(biāo)構(gòu)成危害（即把數(shù)學(xué)和操作算法等同起來(lái)）時(shí)，它們就變成了缺點(diǎn)。”教師的工作不是教學(xué)生僅知道應(yīng)用“顛倒法”快速得到答案，關(guān)鍵是要讓學(xué)生理解這個(gè)算法的真正意義。
【關(guān)鍵詞】思維素質(zhì)；教學(xué)生產(chǎn)鏈；深度合作；單元整合；實(shí)例教學(xué)
一、學(xué)習(xí)運(yùn)算律的意義
（一）三個(gè)階段
新北師大版教科書關(guān)于運(yùn)算律的學(xué)致可以分為三個(gè)階段.第一階段也就是第一學(xué)段，學(xué)生能夠結(jié)合具體的生活實(shí)例，對(duì)運(yùn)算律有所體會(huì)，在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題和計(jì)算題的計(jì)算中，有的學(xué)生憑借直覺有所運(yùn)用，沒(méi)有出現(xiàn)概念，是自然滲透、自覺運(yùn)用階段.第二階段也就是本學(xué)期（四年級(jí)上冊(cè)），系統(tǒng)地學(xué)習(xí)5個(gè)運(yùn)算律，重點(diǎn)是理解運(yùn)算律的意義，并運(yùn)用一些運(yùn)算律使一些運(yùn)算簡(jiǎn)便，感受算式的等值變形，提升運(yùn)算能力.第三階段在五年級(jí)下冊(cè)和六年級(jí)上冊(cè)，主要是學(xué)習(xí)運(yùn)算律在小數(shù)和分?jǐn)?shù)中的應(yīng)用，運(yùn)用運(yùn)算律使一些小數(shù)和分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算簡(jiǎn)便，提升運(yùn)算能力.
（二）意義
運(yùn)算律是運(yùn)算中進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的必要的理論依據(jù)，是學(xué)生正確、合理、靈活地進(jìn)行計(jì)算的思維素質(zhì)，掌握的好壞將直接影響學(xué)生今后的簡(jiǎn)便計(jì)算和計(jì)算速度.這部分內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的加法及乘法計(jì)算和驗(yàn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究，從感性上升到理性的內(nèi)容.
二、本期學(xué)習(xí)的五個(gè)運(yùn)算律的內(nèi)容
（一）教學(xué)目標(biāo)
能夠用自己的語(yǔ)言說(shuō)出各運(yùn)算律的意義，把握其特點(diǎn)；能運(yùn)用各運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算和解決相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題.
（二）內(nèi)容
1.加法交換律：兩個(gè)加數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變，即a+b=b+a.
2.乘法交換律：兩個(gè)乘數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變，即a×b=b×a.
3.加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)所得的和，c先把后兩個(gè)數(shù)相加，再加上第一個(gè)數(shù)所得的和是相等的，即（a+b）+c=a+（b+c）.
4.乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再乘第三個(gè)數(shù)所得的積，與先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再乘第一個(gè)數(shù)所得的積是相等的，即（a×b）×c=a×（b×c）.
5.乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和乘第三個(gè)數(shù)所得的積等于這兩個(gè)數(shù)分別與第三個(gè)數(shù)相乘所得積的和，即（a+b）×c=a×c+b×c.
三、學(xué)生學(xué)習(xí)中遇到的困難
（一）學(xué)習(xí)后恐懼，不能做題
新課講授完，教師都會(huì)利用文字和字母總結(jié)各種運(yùn)算律的內(nèi)容，部分學(xué)生因?yàn)橹叭狈碚撔缘膶W(xué)習(xí)，對(duì)于文字和字母感到陌生和比較抗拒，對(duì)于所學(xué)的內(nèi)容不能樂(lè)于消化，進(jìn)而不會(huì)做題.
（二）各種運(yùn)算律混淆，計(jì)算錯(cuò)誤
相對(duì)于一二年級(jí)的簡(jiǎn)單教學(xué)，四年級(jí)的教材難度和容量上了一個(gè)臺(tái)階，在運(yùn)算律學(xué)習(xí)方面，以下的錯(cuò)誤是比較經(jīng)常出現(xiàn)的：
128-37-63
=128-（63-37）
=128-26
=102 8×19×125
=（125+8）×19
=133×19
=2527 8×（125+25）
=125×8×25
=1000×25
=25000
（三）一定程度上掌握，但運(yùn)用解決問(wèn)題方面比較困難
學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算律的目的是使一些運(yùn)算簡(jiǎn)便，在提高計(jì)算能力和速度的基礎(chǔ)上，會(huì)運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題.但是因?yàn)閷?duì)運(yùn)算律的理解不到位或沒(méi)有進(jìn)行歸納總結(jié)，部分學(xué)生在運(yùn)用解決問(wèn)題方面比較困難.
四、建議措施
（一）課前
1.教師自身學(xué)習(xí)，教前認(rèn)真?zhèn)湔n，打通小學(xué)六年的教材，做實(shí)教的生產(chǎn)鏈：備課―上課―作業(yè)―輔導(dǎo)―考試.
2.低中高學(xué)段教師科組內(nèi)深度合作，有意識(shí)地為學(xué)生的系統(tǒng)性學(xué)習(xí)和終身發(fā)展成長(zhǎng)負(fù)責(zé).
（二）課中
1.建議講授的過(guò)程采用單元整合.
（1）各運(yùn)算律分類：交換律（加法交換律和乘法交換律）、結(jié)合律（加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律）、分配律（乘法分配律）.
（2）教授順序：觀察―發(fā)現(xiàn)―小結(jié)―公式正用鞏固和強(qiáng)化―公式逆用鞏固和強(qiáng)化―變式練習(xí)―綜合練習(xí).
2.充分利用生活情境或生活實(shí)例教學(xué)，提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生多想、多說(shuō)、多總結(jié)，重理解和運(yùn)用.比如，在講授乘法分配律的時(shí)候，可以借助之前學(xué)習(xí)過(guò)的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=長(zhǎng)+長(zhǎng)+寬+寬=長(zhǎng)×2+寬×2=（長(zhǎng)+寬）×2，或者舉例子：馬上要到元旦表演了，全班同學(xué)54人計(jì)劃購(gòu)買衣服（上衣+褲子）的場(chǎng)景，即（上衣單價(jià)+褲子單價(jià)）×54=上衣單價(jià)×54+褲子單價(jià)×54.
（三）課后
1.分層次練習(xí)，及時(shí)地進(jìn)行試題檢測(cè).
2.查缺補(bǔ)漏，盡可能做到人人清、日日清和周周清.
五、結(jié)論
好的教學(xué)設(shè)計(jì)是教學(xué)成功的一半，教師在教學(xué)中合理設(shè)計(jì)，加上老師潛移默化的指導(dǎo)對(duì)教學(xué)成果有著重要作用，轉(zhuǎn)變思想，積極探索，改革教學(xué)，在繼續(xù)推進(jìn)“自主――創(chuàng)新”課堂教學(xué)模式的同時(shí)，把新課程標(biāo)準(zhǔn)的新思想、新理念和數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的新思路、新設(shè)想結(jié)合起來(lái)，轉(zhuǎn)變思想，積極探索，改我們?cè)鯓咏虜?shù)學(xué)，《國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)方式，教學(xué)評(píng)估教育價(jià)值觀等多方面都提出了許多新的要求。無(wú)疑我們每位數(shù)學(xué)教師身置其中去迎接這種挑戰(zhàn)，是我們每位教師必須重新思考的問(wèn)題。通過(guò)多年教學(xué)實(shí)踐，我對(duì)設(shè)計(jì)思路，課程目標(biāo)，內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)及課程實(shí)施建議有更深的了解，使教學(xué)改革躍上了一個(gè)新的臺(tái)階。
一、對(duì)教學(xué)內(nèi)容的分析
這里特別強(qiáng)調(diào)的是對(duì)教材內(nèi)容的數(shù)學(xué)核心思想的分析，就是希望教師不僅考慮本節(jié)課所教的知識(shí)，更要考慮到本節(jié)課后蘊(yùn)涵的潛能。如小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中知識(shí)間的遷移：由剛開始的一位數(shù)加一位數(shù)的口算到多位數(shù)加多位數(shù)的筆算；求幾個(gè)相同加數(shù)的和可以用乘法計(jì)算（整數(shù)乘法）到小數(shù)乘法；由小數(shù)乘法到分?jǐn)?shù)乘法；由分?jǐn)?shù)乘法到百分?jǐn)?shù)乘法。每個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間都存在著緊密的聯(lián)系。假如在教學(xué)第一環(huán)節(jié)的內(nèi)容時(shí)，考慮到它在今后數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和作用，那么教師應(yīng)該深挖教材，既能使自己準(zhǔn)確把握教材，有針對(duì)性地處理好教材，又能使自己的課堂如魚得水、游刃有余。
二、對(duì)學(xué)生情況的分析
教學(xué)設(shè)計(jì)必須是對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)困難、學(xué)習(xí)興趣及學(xué)習(xí)方式等進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行，否則會(huì)事倍功半或無(wú)法收到預(yù)期的效果。如：師：2012年6月16號(hào)下午18點(diǎn)37分神州八號(hào)發(fā)射聲控，女航天員劉洋搭載升空。你們知道劉洋向全世界展示的是什么嗎？教室內(nèi)一片寂靜！
本案例中，教師及時(shí)將富有時(shí)代氣息的材料引入課堂，體現(xiàn)了教師具有較強(qiáng)的選材意識(shí)，但是，卻忽視了面對(duì)的是剛剛步入學(xué)校的一年級(jí)的兒童，他們不一定對(duì)發(fā)生的每一件大事都感興趣，他們有他們的愛好和興趣。教師不能用自己的視界來(lái)衡量學(xué)生的視界。要想真正了解學(xué)生不僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)，有時(shí)還需要一定的調(diào)研。如小測(cè)驗(yàn)，訪談和學(xué)生交流，側(cè)面了解，課堂觀察，作業(yè)分析等等，教師要根據(jù)不同的目的做出合理的選擇。
三、對(duì)教學(xué)目標(biāo)的確定
教學(xué)目標(biāo)是為學(xué)生的“學(xué)”而設(shè)計(jì)的，教師的“教”是為學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成而服務(wù)的。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》以知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀等幾個(gè)方面規(guī)定了學(xué)生應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)，因此，教學(xué)目標(biāo)的確定也要體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的多方面價(jià)值，教學(xué)行為的主體必須是學(xué)生而不是教師，因?yàn)榕袛嘟虒W(xué)有沒(méi)有效益的直接依據(jù)是學(xué)生是否獲得個(gè)體的進(jìn)步，而不是教師是否完成任務(wù)。行為動(dòng)詞必須是可測(cè)的，可評(píng)價(jià)的，否則就無(wú)法評(píng)價(jià)。為此教師在目標(biāo)制定過(guò)程中要從三維目標(biāo)入手，設(shè)計(jì)具體的的可操作性的目標(biāo)。如《長(zhǎng)方形的面積》（小學(xué)三年級(jí)下冊(cè)）教學(xué)目標(biāo)：①能借助透明方格膠片或帶有方格的面積圖，說(shuō)明長(zhǎng)方形面積等于長(zhǎng)乘寬的理由。②對(duì)給予的長(zhǎng)方形和實(shí)物，能夠正確計(jì)算它們的面積。
四、對(duì)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)
教師在進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)時(shí)，要在認(rèn)真分析學(xué)生的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的興趣對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行差異化處理。教學(xué)活動(dòng)包括活動(dòng)的內(nèi)容，活動(dòng)的設(shè)計(jì)意圖，活動(dòng)的組織和實(shí)施，活動(dòng)的時(shí)間分配等。其中活動(dòng)內(nèi)容是核心，活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖是導(dǎo)向，活動(dòng)的組織實(shí)施是關(guān)鍵。活動(dòng)組織實(shí)施也就是教學(xué)活動(dòng)的具體形式，包括：教師活動(dòng)的開展？導(dǎo)入、提出問(wèn)題或提出任務(wù)，主題探究（包括組織學(xué)習(xí)、組織交流、講授等）；學(xué)生的學(xué)習(xí)方式？動(dòng)手操作，獨(dú)立思考，合作交流，練習(xí)等；活動(dòng)材料的準(zhǔn)備？學(xué)具、教具、課件等。要注意的是教學(xué)活動(dòng)是為了完成和達(dá)到教學(xué)目標(biāo)而設(shè)計(jì)的，要緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)來(lái)設(shè)計(jì)。那種只關(guān)注活動(dòng)過(guò)程“熱鬧”而導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)的偏離，或者活動(dòng)時(shí)只注重教學(xué)活動(dòng)而忽視教學(xué)目標(biāo)的做法，是最不可取的。
五、創(chuàng)新評(píng)價(jià)，激勵(lì)促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展
把評(píng)價(jià)作為全面考察學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的手段，也作為教師反思和改進(jìn)教學(xué)的有力手段。
對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)，既關(guān)注學(xué)生知識(shí)與技能的理解和掌握，更關(guān)注他們情感與態(tài)度的形成和發(fā)展；既關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果，更關(guān)注他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中的變化和發(fā)展。抓基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，抓課堂作業(yè)的堂堂清，采用定性與定量相結(jié)合，定量采用等級(jí)制，定性采用評(píng)語(yǔ)的形式，更多地關(guān)注學(xué)生已經(jīng)掌握了什么，獲得了那些進(jìn)步，具備了什么能力。使評(píng)價(jià)結(jié)果有利于樹立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。引一個(gè)三年級(jí)評(píng)語(yǔ)例子：“這幾天我們學(xué)習(xí)了較大的長(zhǎng)度單位《千米的認(rèn)識(shí)》，學(xué)生通過(guò)自己的努力，能收集、記錄較遠(yuǎn)的路程，知道如何推測(cè)、估計(jì)較遠(yuǎn)的距離，在這方面是班里最好的。但在語(yǔ)言表達(dá)方面有一定的困難，希繼續(xù)努力。等級(jí)評(píng)定，優(yōu)。”這個(gè)以定性為主的評(píng)語(yǔ)，是學(xué)生與老師的一次情感交流，學(xué)生獲得了成功的體驗(yàn)，樹立一分耕耘，一份收獲。教學(xué)工作苦樂(lè)相伴。我們將本著“勤學(xué)、善思、實(shí)干”的準(zhǔn)則，一如既往，再接再厲，把工作搞得更好。
一、教師對(duì)解決問(wèn)題教學(xué)的認(rèn)識(shí)不到位，簡(jiǎn)單地把解決問(wèn)題等同于應(yīng)用題
在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，部分教師認(rèn)為解決問(wèn)題就是應(yīng)用題，他們會(huì)覺得例題中的內(nèi)容太“散”，所以通常會(huì)把題目寫成文字應(yīng)用題，再進(jìn)行教學(xué)。例如，在教學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“有余數(shù)除法”時(shí)，教師在出示了情境圖后，只是簡(jiǎn)單地提問(wèn)了學(xué)生情境圖中的內(nèi)容，然后就直接把例題以文字的形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，“有23盤花，每組擺5盤，最多可以擺幾組？還多出幾盤？”這樣的教學(xué)違背了例題的本意，完全忽略了學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的認(rèn)知過(guò)程，結(jié)果部分學(xué)生在解題的時(shí)候顯得無(wú)從下手。
在教學(xué)解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師應(yīng)該充分地讓學(xué)生通過(guò)自己的觀察、思考，解決自己發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，并找出問(wèn)題與條件之間的聯(lián)系和解決問(wèn)題的方法。單純文字層面上的說(shuō)明，對(duì)于剛剛學(xué)習(xí)“有余數(shù)除法”的三年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)是有一定難度的。所以，教師應(yīng)該結(jié)合生活情境，圖文并茂地把實(shí)際問(wèn)題呈現(xiàn)出來(lái)，同時(shí)讓學(xué)生通過(guò)“分一分”、“擺一擺”的動(dòng)手操作，使學(xué)生充分理解問(wèn)題，掌握解決問(wèn)題的方法與策略，為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
二、解決問(wèn)題的教學(xué)手段單一，解題策略缺乏多樣性
在解決問(wèn)題的教學(xué)中，教師為能夠更好地把問(wèn)題說(shuō)清楚，把問(wèn)題的各個(gè)方面都展示給學(xué)生，通常會(huì)進(jìn)行大量的說(shuō)明和提示。這樣的教學(xué)可能會(huì)使學(xué)生容易理解，但卻剝奪了學(xué)生獨(dú)立思考，自覺發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、找出解決問(wèn)題的策略的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中缺乏有效的交流、合作，完全處于被動(dòng)位置，沒(méi)有突出自身的主體地位。例如，在教學(xué)五年級(jí)上冊(cè)32頁(yè)“解決問(wèn)題（一）”的教學(xué)中，教師對(duì)例題進(jìn)行了詳細(xì)的說(shuō)明，通過(guò)關(guān)系式、示意圖清楚地把解題思路一一呈現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生也順利地把例題解答了出來(lái)。但是在完成課本“做一做”的練習(xí)中，部分學(xué)生卻出現(xiàn)了嚴(yán)重的錯(cuò)誤，把應(yīng)該先用乘法求總數(shù)再用除法求平均數(shù)的題目也直接用了連除進(jìn)行計(jì)算了事。原因是整個(gè)教學(xué)過(guò)程中基本是由教師包辦完成了例題的學(xué)習(xí)，學(xué)生沒(méi)有充分地進(jìn)行探究和交流，思考不夠深入，同時(shí)受到例題是連除計(jì)算的影響，出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤也就不足為奇了。
受教材的影響，部分教師認(rèn)為學(xué)生只需要掌握課本中提供的方法就可以了，而沒(méi)有必要再學(xué)習(xí)其它方法，這種想法是與教材的編寫意圖和解決問(wèn)題教學(xué)的目的相悖的，也不利于對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)。解決問(wèn)題就是要讓學(xué)生通過(guò)一系列的學(xué)習(xí)過(guò)程，找出適合自己的、容易的、合理的策略，使學(xué)生真正體會(huì)數(shù)學(xué)思維在實(shí)際中的運(yùn)用，會(huì)用數(shù)學(xué)思維去解決問(wèn)題。例如，在教學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“解決問(wèn)題（分?jǐn)?shù)除法一）”的過(guò)程中，教師只突出了例題中用方程的解法，甚至在評(píng)課時(shí)也有教師提出簡(jiǎn)單方程解法思路，只需要教會(huì)學(xué)生用方程解題就可以了。其實(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)例題1是求“單位1的量”的一步計(jì)算題，學(xué)生完全可以通過(guò)之前學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)乘法中求“對(duì)應(yīng)量”的關(guān)系式推導(dǎo)出求“單位1的量”的關(guān)系式：“對(duì)應(yīng)量”÷“對(duì)應(yīng)分率”=“單位1的量”，這樣的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單、思路十分清晰。通過(guò)分析教材可知，例題中用方程的解法就是對(duì)分?jǐn)?shù)乘法的一個(gè)承接，然后對(duì)分?jǐn)?shù)除法的一個(gè)引入，并非是規(guī)定了某種方法更好。
從以上兩個(gè)案例可以看出，要真正體現(xiàn)解決問(wèn)題教學(xué)的地位和作用，教師在教學(xué)中一定要大膽放手，讓學(xué)生通過(guò)自主探究、合作交流、動(dòng)手操作等有效的教學(xué)手段，使學(xué)生全程參與到解決問(wèn)題的每一個(gè)環(huán)節(jié)，找出解決問(wèn)題的各種策略，并從中選出最優(yōu)的策略進(jìn)行解題，使策略來(lái)自學(xué)生解決問(wèn)題的需要，從而加深學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題策略的理解。
三、在解決問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中對(duì)問(wèn)題的反思浮于形式
解決問(wèn)題的過(guò)程主要有四個(gè)環(huán)節(jié)：①收集信息，②分析問(wèn)題，③尋求策略，④反思問(wèn)題。但在教學(xué)過(guò)程中，部分教師往往只落實(shí)了前面三個(gè)環(huán)節(jié)，卻忽視了“反思問(wèn)題”這個(gè)關(guān)鍵的教學(xué)環(huán)節(jié)。每次聽課，到了還有兩三分鐘就要下課的時(shí)候，教師都會(huì)設(shè)計(jì)“談收獲”這個(gè)環(huán)節(jié)，而絕大部分學(xué)生都只是例行公事地回答，例如，“我學(xué)會(huì)了求圓的面積”“我知道了用除法求平均數(shù)”……用一句簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的話就概括了整節(jié)課的學(xué)習(xí)。這樣的反思流于形式，沒(méi)有讓學(xué)生完整地去體驗(yàn)解決問(wèn)題的全過(guò)程，不利于培養(yǎng)其良好的思維習(xí)慣。
因此，教師應(yīng)該有目的地引導(dǎo)學(xué)生回顧整個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程，反思“收集信息時(shí)如何找出了隱含的條件”、“學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到了什么困難”、“運(yùn)用了哪些策略，是否合理、是否簡(jiǎn)捷？”、“其他同學(xué)用什么策略分析問(wèn)題，對(duì)我有什么啟發(fā)”等問(wèn)題，讓學(xué)生回味解題時(shí)用到的知識(shí)和方法，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)比較不同解法各自的特點(diǎn)，反思哪一種解題策略更合理、更簡(jiǎn)單，從而真正提煉出解題策略的核心，突出思維的關(guān)鍵，并延伸到解決其他問(wèn)題上，同時(shí)也使學(xué)生獲得成功的情感體驗(yàn)。
四、解決問(wèn)題過(guò)程中忽視了數(shù)學(xué)模型的建立
數(shù)學(xué)模型是學(xué)生解決問(wèn)題的有效工具，是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，簡(jiǎn)化問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題，可以提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力。
一、同學(xué)段計(jì)算方法、法則的整體性
小學(xué)階段有很多方法法則是相通的，比如：除法的商不變規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)。這三者出現(xiàn)在不同年級(jí)，但本質(zhì)是一樣的，相互間的聯(lián)系非常緊密，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)可借助除法的商不變規(guī)律引入，同樣學(xué)習(xí)比的基本性質(zhì)時(shí)也可借助它與前兩者的聯(lián)系揭示出自身的規(guī)律。三者學(xué)完后應(yīng)揭示它們之間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)相互轉(zhuǎn)化，融會(huì)貫通。
分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題和整數(shù)乘法應(yīng)用題出現(xiàn)的時(shí)段相差很大，以至于很多教師把這兩者割裂開來(lái)，看成兩個(gè)截然不同的知識(shí)，其實(shí)這兩者聯(lián)系也很緊密，解題思路基本一致。比如：15千克的3倍是多少？和15千克的1/3是多少？都可看作倍數(shù)問(wèn)題用乘法計(jì)算，區(qū)別是前者的倍數(shù)是整數(shù)，后者的倍數(shù)不到一倍而已。在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題時(shí)可從倍數(shù)應(yīng)用題入手，最后小結(jié)：求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少和求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少是一樣的，用乘法計(jì)算。
很多學(xué)生對(duì)理解“小學(xué)美術(shù)組人數(shù)比書法組多3/5”這樣的關(guān)系句感到困難，其實(shí)這樣的數(shù)量關(guān)系和“小學(xué)美術(shù)組人數(shù)比書法組多2倍”是一樣的，學(xué)生理解了后者，對(duì)前者的理解就輕松多了。這樣兩者體現(xiàn)了整體性，有助于學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的完善。
二、一題目不同解答方法的整體性
在現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中提倡用不同的方法來(lái)解決問(wèn)題，以體現(xiàn)思維的求異性和靈活性，教師更看重的是方法的多樣，而往往忽視不同方法之間的整體統(tǒng)一。例如：34加16的進(jìn)位加法教學(xué)片斷：
執(zhí)教者在教學(xué)過(guò)程中依次出現(xiàn)小棒圖、計(jì)算器圖（如下），逐個(gè)引導(dǎo)學(xué)生算出得數(shù)，最后教學(xué)列豎式（如下），結(jié)束片段進(jìn)入下一環(huán)節(jié)。
這三幅圖聯(lián)系非常緊密，第一幅圖右邊的單個(gè)小棒相加和第二幅圖中個(gè)位上珠子相加與第三幅圖豎式里個(gè)位相加是一致的，同理第一幅圖左邊的每捆小棒相加和第二幅圖中十位上珠子相加與第三幅圖豎式里十位相加也是一致的，進(jìn)位的原理也是一樣。教師在執(zhí)教時(shí)應(yīng)指出這三幅圖之間的聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)整體性思想，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈。
三、不同題目間解答方法的整體性
在蘇教版教材中，很多題目間看似不同，其實(shí)是有緊密聯(lián)系的，找出共同之處，形成整體，對(duì)提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大幫助。
蘇教版十二冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”有這樣幾題：
計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16。
有16支足球隊(duì)參加比賽，比賽以單場(chǎng)淘汰制進(jìn)行。數(shù)一數(shù)，一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽后才能產(chǎn)生冠軍？如果不畫圖，有更簡(jiǎn)便的計(jì)算方法嗎？如果有64支球隊(duì)參加比賽，產(chǎn)生冠軍要多少場(chǎng)？
對(duì)前一題，學(xué)生大多能在教師的引導(dǎo)下利用數(shù)形結(jié)合的思想找到簡(jiǎn)便方法：1-1/16，對(duì)后一題很多教師也能引導(dǎo)學(xué)生得出：8+4+2+1=16-1。但很多教師沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這兩題的共同點(diǎn)，沒(méi)能從整體出發(fā)思考，顯得零碎，不成體系。教師應(yīng)在這兩題間設(shè)置過(guò)渡題：計(jì)算1/3+1/6+1/12+
一、 運(yùn)用比較策略，培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力和運(yùn)算能力
歸納推理是以個(gè)別（或特殊）的知識(shí)為前提，推出一般性知識(shí)為結(jié)論的推理，它的思維進(jìn)程是從特殊到一般。在教學(xué)中可以用類比的方法。這也是教學(xué)中最經(jīng)常使用的方法。
在蘇教版《分?jǐn)?shù)乘法》教學(xué)中，有一位教師為了讓學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的方法，用折紙的辦法形象直觀地展開教學(xué)：
1.把一張紙的■再對(duì)折，也就是■的■是多少？能用一個(gè)算式來(lái)表示嗎？
2.把余下的再對(duì)折，也就是■的■是多少？能用一個(gè)算式來(lái)表示嗎？
3.一張紙的■的■是多少？能用一個(gè)算式來(lái)表示嗎？（學(xué)生說(shuō)不清，也道不明）通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手折一折、分一分、涂一涂、猜一猜、想一想等活動(dòng)得出算式。
……
質(zhì)疑：像這樣既要折又要畫才能知道結(jié)果，太繁。該怎么辦呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生，把中間的內(nèi)容補(bǔ)充完整，從而由學(xué)生概括出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。）
在上述案例中，學(xué)生手中折的長(zhǎng)方形紙是不變的，變化的是折紙的過(guò)程，教師先通過(guò)折紙靈動(dòng)地將“形”轉(zhuǎn)化成多個(gè)算式，并把形和數(shù)緊密結(jié)合，產(chǎn)生多個(gè)不同的結(jié)果，學(xué)生在經(jīng)歷了特殊——一般的比較過(guò)程中，通過(guò)多個(gè)不同算式的計(jì)算過(guò)程，概括出了一個(gè)共同的法則，真切感悟到了計(jì)算分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)時(shí)為什么是“分子乘分子，分母乘分母”的道理。學(xué)生在比較的過(guò)程中提升了歸納推理能力。
在數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生要花費(fèi)較多的時(shí)間和精力去學(xué)習(xí)和掌握關(guān)于各種運(yùn)算的知識(shí)和技能，不僅會(huì)根據(jù)法則、公式等正確地進(jìn)行運(yùn)算，而且要理解運(yùn)算的算理，能夠根據(jù)題目條件尋求正確的運(yùn)算途徑。在教學(xué)中，教師可以用對(duì)比的范式進(jìn)行教學(xué)。教師要幫助學(xué)生區(qū)分什么是概念本身、什么與此無(wú)關(guān)，從而提升運(yùn)算能力。
在蘇教版《乘法分配律》教學(xué)中，教師安排了這樣的兩題：
1.算一算，比一比，每組中哪一題的計(jì)算比較簡(jiǎn)便。
（1）25×4+25×8 （2）25×17+25×3
（4+8）×25 25×（17+3）
通過(guò)對(duì)比有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。
2.請(qǐng)用手勢(shì)告訴老師你選哪一個(gè)？與25×（4×8）相等的算式是（ ）。
①25×4+25×8 ②25×4×25×8 ③25×4×8
此題是不同于乘法分配律這一概念的例子，通過(guò)對(duì)比辨析，讓學(xué)生更加清楚乘法分配律和乘法結(jié)合律的區(qū)別。
通過(guò)這兩題的對(duì)比練習(xí)，讓學(xué)生加深了對(duì)乘法分配律本身的理解，它與乘法結(jié)合律沒(méi)關(guān)系，也有效地避免了以后的計(jì)算錯(cuò)誤。
二、 運(yùn)用比較策略，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念和隨機(jī)意識(shí)
統(tǒng)計(jì)學(xué)是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的，本質(zhì)上是通過(guò)數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷。因此，數(shù)據(jù)分析觀念的首要方面是“了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問(wèn)題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過(guò)分析比較作出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵的信息。”
在教學(xué)《復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖》時(shí)，教師先介紹自己暑期想去旅游，接著分別出示煙臺(tái)和吐魯番某一天氣溫變化情況的単式折線統(tǒng)計(jì)圖，并分別讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)這一天的氣溫變化情況，然后，提出三個(gè)問(wèn)題：吐魯番從幾時(shí)到幾時(shí)之間溫度下降最快？?jī)蓚€(gè)城市在幾時(shí)的氣溫相差最大？從幾時(shí)到幾時(shí)之間煙臺(tái)的溫度比吐魯番的溫度高？
通過(guò)學(xué)生思考、交流，感覺后兩道問(wèn)題比較麻煩，接著，教師又提出：有沒(méi)有更好的辦法，不計(jì)算也能直觀方便地解決這兩個(gè)問(wèn)題呢？你們想到了什么辦法？（將兩張統(tǒng)計(jì)圖重疊；將兩根折線畫在一張統(tǒng)計(jì)圖上等。）隨即，教師動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)合并過(guò)程并完善復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖。（圖略）
討論：現(xiàn)在能很快解決后兩個(gè)問(wèn)題了嗎？你又是怎么看的？猜一猜老師會(huì)去哪里？需做怎樣的準(zhǔn)備？
……
上述案例，教師利用比較兩個(gè)城市一天之內(nèi)溫度變化的相關(guān)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生尋求更簡(jiǎn)便的方法的內(nèi)在需求，生成了復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖。教師通過(guò)對(duì)單式折線統(tǒng)計(jì)圖和復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖的分析、區(qū)別、歸納，辨析異同，使學(xué)生體會(huì)到了復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖對(duì)兩組數(shù)據(jù)分析的優(yōu)勢(shì)，培養(yǎng)了他們的數(shù)據(jù)分析觀念。
在統(tǒng)計(jì)與概率這一內(nèi)容中除了要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，還要培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)意識(shí)。隨機(jī)性是一個(gè)非常重要的概念，理解它的豐富內(nèi)涵不但要多做實(shí)驗(yàn)，而且要多收集和分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，幫助學(xué)生深刻體會(huì)“可能性”的含義，增強(qiáng)感性認(rèn)識(shí)。如蘇教版三年級(jí)上冊(cè)設(shè)計(jì)了這么一個(gè)實(shí)驗(yàn)：一個(gè)口袋里有3個(gè)黃球和3個(gè)紅球，從中任意摸一個(gè)，會(huì)摸到什么球？通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：兩種球都可能摸到，每次摸到的結(jié)果是不確定的。筆者認(rèn)為，為了讓學(xué)生對(duì)隨機(jī)性有更全面和更深刻的認(rèn)識(shí)，實(shí)驗(yàn)時(shí)要求學(xué)生把摸到的結(jié)果紀(jì)錄下來(lái)，實(shí)驗(yàn)后要讓學(xué)生通過(guò)觀察、比較和分析結(jié)果，感悟到：從每個(gè)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，盡管都摸到了黃球，但不能確定其第幾次摸到黃球，而且每個(gè)學(xué)生摸球的記錄幾乎都不一樣，從中具體體會(huì)“可能性”的深刻含義，體會(huì)隨機(jī)性。
三、 運(yùn)用比較策略，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和空間觀念
幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行思考和想象，它在本質(zhì)上是通過(guò)圖形所展開的想象能力。幾何直觀和空間觀念的培養(yǎng)，都需要有操作、觀察、想象、分析比較的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生提供足夠的時(shí)間和空間讓學(xué)生去觀察和想象、操作和分析。
《面積和面積單位》的教學(xué)是學(xué)生認(rèn)識(shí)“空間與圖形”知識(shí)的一次飛躍。為了使學(xué)生認(rèn)識(shí)到統(tǒng)一面積單位的必要性，一位教師是這樣設(shè)計(jì)教學(xué)的：第一步，教師先出示一張畫好方格的白紙的一面，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)包含多少個(gè)大小相同的小正方形（16個(gè)）。第二步，教師把這張白紙放進(jìn)抽屜中，取出另一張白紙（其實(shí)這是一個(gè)假動(dòng)作，取的是同一張白紙）。第三步，教師向?qū)W生展示白紙的另一面，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)包含了多少個(gè)大小相同的小正方形（18個(gè)），并提出問(wèn)題：“剛才的兩張白紙哪張大？”此時(shí)學(xué)生一定會(huì)認(rèn)為第二張白紙大。第四步，展現(xiàn)白紙的兩面并告訴學(xué)生，兩次展現(xiàn)的其實(shí)是同一張白紙。
此案例中，教師巧用障眼法，讓學(xué)生誤解是兩張白紙，其實(shí)白紙是不變的，變化的是小正方形的大小，學(xué)生在如此強(qiáng)烈的對(duì)比刺激下，經(jīng)歷了由迷惑到醒悟的過(guò)程，自然會(huì)理解統(tǒng)一面積單位的必要性。
四、 運(yùn)用比較策略，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)
愛因斯坦說(shuō)過(guò)：提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要。但問(wèn)題的提出不應(yīng)當(dāng)是教師的專利，而應(yīng)以學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)基礎(chǔ)與生活經(jīng)驗(yàn)為背景，隨著學(xué)習(xí)活動(dòng)的不斷深入，逐步生成。對(duì)于孩子來(lái)說(shuō)好奇心是天性，他們有很多很多的問(wèn)題，他們對(duì)一切都感到新鮮、富于想像。由此可見，教師要注意在課堂上喚醒學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)。
在教學(xué)《解決問(wèn)題的策略（假設(shè)）》時(shí)，教師在練習(xí)中設(shè)計(jì)了這樣的兩題：
1.鋼筆的單價(jià)是鉛筆的6倍，一支鋼筆和三支鉛筆的價(jià)格是10.8元，鋼筆和鉛筆的單價(jià)各是多少元？
2. CRH5型動(dòng)車組，共計(jì)8節(jié)，長(zhǎng)約206米。頭部車輛長(zhǎng)度比中間車輛長(zhǎng)3米，頭部車輛長(zhǎng)度是多少米？中間車輛長(zhǎng)度是多少米？
這兩道題主要讓學(xué)生想想、說(shuō)說(shuō)，在關(guān)注策略的同時(shí)著眼于解決問(wèn)題以及學(xué)生思維品質(zhì)的提升。顯然這兩題都可以用“假設(shè)”的策略解決，教師在處理這兩題時(shí)要善于引導(dǎo)學(xué)生提問(wèn)：應(yīng)該怎樣“假設(shè)”才能更好些？第一題把一支鋼筆假設(shè)為6支鉛筆比較好思考，第二題把頭部車輛長(zhǎng)度假設(shè)為中間車輛長(zhǎng)度計(jì)算更快。教師要通過(guò)比較讓學(xué)生真切體會(huì)到要根據(jù)需要恰當(dāng)?shù)剡x擇策略，并引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)反思自己的學(xué)習(xí)過(guò)程，在反思中提升對(duì)策略的認(rèn)識(shí)。
蘇霍姆林斯基認(rèn)為：“教學(xué)就是教給學(xué)生借助已有的知識(shí)去獲取新知識(shí)的能力，并使學(xué)習(xí)成為一種思索的活動(dòng)。”教師要善于選擇具體的問(wèn)題，精細(xì)地誘導(dǎo)學(xué)生的求異意識(shí)，讓學(xué)生在對(duì)問(wèn)題的多解追求中享受學(xué)習(xí)帶來(lái)的樂(lè)趣。
在教學(xué)《解決問(wèn)題的策略（畫圖）》時(shí)，教師出示了一組變式訓(xùn)練題：
1.兆豐學(xué)校有一間長(zhǎng)方形的科技室，長(zhǎng)增加6米，或者寬增加4米，面積都比原來(lái)增加48平方米。你知道原來(lái)科技室的面積是多少平方米嗎？
2.兆豐學(xué)校有一間長(zhǎng)方形的科技室，長(zhǎng)12米，寬8米。如果這間科技室長(zhǎng)和寬都增加2米，科技室的面積增加了多少平方米？
第1題中長(zhǎng)增加6米或者寬增加4米，面積都比原來(lái)增加48平方米。學(xué)生容易解決。第2題學(xué)生容易把長(zhǎng)和寬都增加2米與長(zhǎng)或?qū)捲黾?米混淆，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤后，教師不僅要求學(xué)生自己畫圖比較糾正錯(cuò)誤，而且還要求學(xué)生用多種方法完成。此案例中，原來(lái)科技室的長(zhǎng)和寬是不變的，關(guān)鍵要理清長(zhǎng)和寬都增加2米與長(zhǎng)或?qū)捲黾?米的區(qū)別，即使有第一題的鋪墊，多數(shù)學(xué)生一開始還會(huì)列出2×8+2×12的錯(cuò)誤算式，少了其中的一小塊2×2，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生畫圖對(duì)比，有效地促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，同時(shí)教師并不滿足一種解法，還要用其他方法進(jìn)行驗(yàn)證，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。
數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高是一個(gè)長(zhǎng)期的、不斷體驗(yàn)和積累的過(guò)程。教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)既要善于運(yùn)用比較策略，又要注意與多種策略有機(jī)地結(jié)合，要用其所長(zhǎng)，避其所短，不能生搬硬套。蘇聯(lián)的巴班斯基認(rèn)為：“教學(xué)工作通常要求運(yùn)用的不止一種，而是多種方法，是方法的綜合。”所以，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，可以突出一兩種主要的方法，綜合利用一切有效的教學(xué)方法，組成最優(yōu)化的、復(fù)合的教學(xué)法實(shí)施方案，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得到有效提高。
參考文獻(xiàn)
[1] 史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.2.
【摘要】俄國(guó)著名教育家烏申斯基說(shuō)：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界的一切。”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，比較是經(jīng)常使用的一種有效教學(xué)策略。合理使用比較策略，不僅能幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)，還能有效提升學(xué)生的思維品質(zhì)。
關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)教學(xué)；比較策略；思維品質(zhì)
一、比較的內(nèi)涵與外延
1.同中比異，揭示本質(zhì)。
小學(xué)教材中，很多知識(shí)的差異性常常被他們的相似性、相近性和相關(guān)性所掩蓋，小學(xué)生在思想上易被泛化為同類事物而發(fā)生混淆。此時(shí)組織辨異比較，有利于學(xué)生區(qū)別知識(shí)的各自內(nèi)涵。如教學(xué)小數(shù)的讀法，課始要求學(xué)生讀出507.507，通過(guò)學(xué)生正誤讀法比較引導(dǎo)明確：整數(shù)部分要讀出計(jì)數(shù)單位；小數(shù)部分只要讀出各數(shù)位上的數(shù)就行了。接著又讓學(xué)生讀：5007.5007，再次比較明確整數(shù)部分連續(xù)兩個(gè)零只讀一個(gè)零，小數(shù)部分要把零一個(gè)個(gè)都讀出來(lái)。兩次辨異比較，學(xué)生清晰掌握整數(shù)部分和小數(shù)部分的不同讀法，從表面上的“同”辨出讀法上的“異”，輕松突破難點(diǎn)。
2.異中比同，深化理解。
數(shù)學(xué)知識(shí)靈活多變，對(duì)那些隱而不顯的知識(shí)共性，習(xí)慣于表面現(xiàn)象認(rèn)識(shí)事物的小學(xué)生誤以為他們是各各獨(dú)立。此時(shí)組織異中求同的比較，則有利于挖掘知識(shí)的共性，使學(xué)生的理解深刻化、概括化。如學(xué)習(xí)了約分和通分后，學(xué)生的理解往往分割地停留在“兩種過(guò)程”、“兩種方法”的孤立認(rèn)識(shí)上。如適時(shí)組織比較，讓學(xué)生悟出約分和通分盡管過(guò)程、方法不同，但都是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，只是索取角度不同，前者取“同時(shí)縮小相同的倍數(shù)”，后者取“同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)”，能把學(xué)生的理解引向深入、引向概括。
3.同中比優(yōu)，促進(jìn)優(yōu)化。
面對(duì)相同的問(wèn)題，不同的學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同的思維活動(dòng)，從而產(chǎn)生不同的思維方法，而不同的方法是不同思維層次的體現(xiàn)，究竟應(yīng)該選擇怎樣的方法，這就需要橫向比較，沒(méi)有比較就會(huì)固步自封。比如在探究長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)時(shí)，方法有“長(zhǎng)+長(zhǎng)+寬+寬”，有“長(zhǎng)×2＋寬×2，有“（長(zhǎng)＋寬）×2”。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行優(yōu)劣繁簡(jiǎn)的比較，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、深刻性和概括性，實(shí)現(xiàn)發(fā)散思維和聚斂思維的和諧結(jié)合。
二、善用比較，提升思維品質(zhì)
1.通過(guò)比較實(shí)現(xiàn)有效遷移，提升思維的靈活性和條理性
比如在教學(xué)《比的基本性質(zhì)》時(shí)，教師可先復(fù)習(xí)商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)以及除法、分?jǐn)?shù)、比之間的聯(lián)系，然后引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想：既然比和分?jǐn)?shù)和除法之間有這么密切的關(guān)系，分?jǐn)?shù)中有基本性質(zhì)，除法有商不變的規(guī)律，敢不敢對(duì)比中存在某種規(guī)律進(jìn)行大膽猜想？在猜想的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生舉例驗(yàn)證，從而得出比的基本性質(zhì)。
2.通過(guò)比較促進(jìn)抽象概括，提升思維的抽象性和嚴(yán)密性
比如教學(xué)蘇教版五上《分?jǐn)?shù)的意義》一課。為使學(xué)生建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義，教學(xué)中設(shè)計(jì)兩次比較。
師：為什么這4幅圖都可以用3/4表示？
師：比較前兩幅圖與后兩幅圖有什么不同的地方？
通過(guò)兩次比較分別讓學(xué)生明確：平均分的份數(shù)一樣，涂色的份數(shù)也一樣，就可以用同一個(gè)分?jǐn)?shù)表示；單位“1”可以是單個(gè)物體或圖形，也可以是多個(gè)物體或圖形組成的一個(gè)整體。
通過(guò)比較幫助學(xué)生逐步抽象出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性“怎么分”和“分什么”的問(wèn)題，進(jìn)而概括出出“分?jǐn)?shù)的意義”。這樣的比較歸納過(guò)程，是學(xué)生認(rèn)識(shí)上質(zhì)的飛躍，從感性到理性、逐步把握概念的本質(zhì)，促進(jìn)思維的深度理解和高度概括。
3.通過(guò)比較研錯(cuò)糾錯(cuò)，提升思維的精確性和深刻性
數(shù)學(xué)教學(xué)中，有許多知識(shí)點(diǎn)容易造成混淆，錯(cuò)誤在所難免。為使學(xué)生能清晰地分辨知識(shí)的本質(zhì)屬性，可以將錯(cuò)解和正解對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生辨析反思，促進(jìn)學(xué)生自主糾正。
如教學(xué)乘法分配律后，由于與乘法結(jié)合律的相互干擾，計(jì)算25×44時(shí)，錯(cuò)誤極多。教學(xué)中，可呈現(xiàn)正解和錯(cuò)解，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“形”辨和“意”辨：25×（4+40）既有加法，又有乘法，是分配律（a+b)×c=a×c＋b×c的形式。“意”是指算理的理解：25×44表示44個(gè)25，即4個(gè)25加40個(gè)25。由此推斷前者是錯(cuò)誤的。
教師可對(duì)比講評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生理解各種方法的解題依據(jù)，感知方法優(yōu)劣，選出適合自己的最佳解法。同時(shí)比較解法一和解法二，明確求單位“1”的問(wèn)題可以方程解，也可以用除法解。比較解法二、解法三和解法四，讓學(xué)生充分理解比、分?jǐn)?shù)、除法之間的內(nèi)在聯(lián)系。如此多方位、多角度的比較，既有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，又有利于知識(shí)的縱向溝通，發(fā)展思維的廣闊性和綜合性。
