時(shí)間：2023-05-29 18:21:28
開(kāi)篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇等式的性質(zhì)，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
等式的基本性質(zhì)，是學(xué)生在剛剛認(rèn)識(shí)了等式與方程的基礎(chǔ)上接觸到的。它是系統(tǒng)學(xué)習(xí)方程的開(kāi)始，其中蘊(yùn)涵的“化歸思想”，直接給學(xué)生指明了解出方程的明確方向。同時(shí)，它也對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)不等式、函數(shù)，起著重要的基礎(chǔ)作用。在接觸這些知識(shí)時(shí)，我們可以把知識(shí)內(nèi)容加以練習(xí)，再次加深等式性質(zhì)的理解，為進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)奠定基礎(chǔ)。
本節(jié)課的學(xué)習(xí)，是在學(xué)生生活中常見(jiàn)的、比較容易理解的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上掌握等式的兩個(gè)基本性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，為今后運(yùn)用等式基本性質(zhì)解方程打好基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。
二、教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能：理解并能用符號(hào)語(yǔ)言表述等式的基本性質(zhì)，能用等式的基本性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。過(guò)程與方法：在用式子表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果、討論、歸納的活動(dòng)中，經(jīng)歷探索、總結(jié)等式基本性質(zhì)的過(guò)程。
三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：利用等式的基本性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：兩個(gè)等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用，明確目的。
四、教學(xué)程序（分三部分教學(xué)）
（1）聯(lián)系實(shí)際，激趣引入。大家可以直接看出像4x=24、x+1=3這樣的簡(jiǎn)單方程的解。但是形如3x+7=32-2x的方程，僅靠觀察來(lái)解就比較困難了。因此，我們還要討論怎樣解方程。方程首先是等式，所以我們要先來(lái)看看等式具有什么性質(zhì)。首先激發(fā)探究興趣，提出問(wèn)題：“同學(xué)們，你用天平做過(guò)游戲嗎？這節(jié)課，我們就利用天平一起來(lái)探索天平游戲中所包含的數(shù)學(xué)知識(shí)。”
（2）自主探索，合作交流。【學(xué)習(xí)等式的基本性質(zhì)1】
①具體情境，感受天平平衡。利用多媒體依次展示天平圖的各個(gè)操作，讓學(xué)生通過(guò)觀察，用語(yǔ)言來(lái)描述發(fā)現(xiàn)，與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括，使學(xué)生記憶深刻，充分體現(xiàn)了學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的原則。圖1、圖2的教學(xué)模式（篇幅所限，圖略，下同）：先讓學(xué)生觀察，問(wèn)：你發(fā)現(xiàn)了什么？然后提問(wèn)：怎樣變換，能使天平仍然保持平衡呢？待學(xué)生思考片刻，再進(jìn)一步提問(wèn)：往兩邊各放1個(gè)杯子，天平會(huì)發(fā)生什么變化？生口答，驗(yàn)證。接下去，繼續(xù)提問(wèn)：如果兩邊各放上2個(gè)茶杯，天平還會(huì)保持平衡嗎？?jī)蛇吀鞣派贤瑯拥囊话巡鑹啬兀可穑僖灰谎菔掘?yàn)證。圖3、圖4的教學(xué)模式和前面一樣。
②總結(jié)抽象，認(rèn)識(shí)規(guī)律。通過(guò)上面的觀察，先用一句話歸納圖1和圖2的內(nèi)容。（等式的兩邊都加上或減去相同的數(shù)，等式不變。）再以第一句話為基礎(chǔ)歸納出圖3和圖4的內(nèi)容。（等式的兩邊都乘或除以相同的數(shù)等式不變，0除外。）教師指出這是等式的一個(gè)非常重要的性質(zhì)，同時(shí)要讓學(xué)生自己舉例，檢驗(yàn)等式的性質(zhì)，加深印象。在這個(gè)過(guò)程中，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，我們?cè)谔炱降膬蛇呁瑫r(shí)放任何一樣的東西，天平都是平衡的。讓學(xué)生體會(huì)，一會(huì)兒我們?cè)谟米帜副硎疽?guī)律時(shí)其中字母取值的任意性，再次加深學(xué)生對(duì)字母表達(dá)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，從學(xué)習(xí)的各個(gè)過(guò)程解決學(xué)生遇到的難點(diǎn)。
板書：等式的基本性質(zhì)
（3）鞏固練習(xí)，深化認(rèn)識(shí)。練習(xí)題的設(shè)計(jì)，低起點(diǎn)，小臺(tái)階，循序漸進(jìn)，符合學(xué)生接受知識(shí)的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的靈活性，使學(xué)生逐步獲得成功的滿足感。
【在橫線處填空】
①用適當(dāng)?shù)臄?shù)或式子填空，使所得結(jié)果仍是等式，并說(shuō)明是根據(jù)等式的哪一條性質(zhì)以及怎樣變形的。（4分）
1）如果x+8=10，那么x=10+___； 2）如果4x=3x+7，那么4x-___=7；3）如果-3x=8，那么x=__； （4）如果x=-2，那么__=-6.
②完成下列解方程。 （11分）
1）3-x=4. 解：兩邊____，得3-x-3=4_____.于是-x=______.兩邊____，得x=____.
2）5x-2=3x+4. 解：兩邊____，得____=3x+6；兩邊____，得2x=_____；兩邊____，得x=_____。
③解答題：利用等式的性質(zhì)解下列方程。（20分）
1）x+3=2；2）-x-2=3；3）9x=8x-6；4）8y=4y+1
在此過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生尋找發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，利用等式的性質(zhì)解方程，我們要把方程化成什么形式？（X=a的形式）明確運(yùn)用知識(shí)的目的，讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)分析學(xué)習(xí)內(nèi)容，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
【課堂檢測(cè)】
④解答題：利用等式的性質(zhì)解下列方程。（20分）
1）x+3=2；2）-x-2=3；3）9x=8x-6；4）8y=4y+1
【拓展訓(xùn)練】
⑤利用等式的性質(zhì)解下列方程。（20分）
1）7x-6=-5x；2）-x-1=4；3）2x+3=x-1；4）+2=+2
⑥當(dāng)x為何值時(shí)，式子x-5與3x+1的和等于9？（7分）
⑦列方程并求解。 （8分）
一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大2，個(gè)位與十位上的數(shù)字之和是10，求這個(gè)兩位數(shù)。（提示：設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x）
⑧如果方程2x+a=x-1的解是x=-4，求3a-2的值. （8分）
⑨等式（a-2）x2+ax+1=0是關(guān)于x的一元一次方程（即x未知），求這個(gè)方程的解。（8分）
五、關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)體會(huì)和感受
1、常規(guī)思維法 不等式的證明最基本的方法就是求差比較法，基于此，有如下的解法
證法一a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
=a2 -2ab+b2+c2-2ac+a2+c2-2bc+b2-a2-b2-c2
=（a-b）2+（c-a）2+（c-b）2-a2-b2-c2
=（a-b）22-c2+（c-a）2-b2+（c-b）2-a2
=（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）
又a，b，c為ABC的三邊
a-b+c>0 a-b-c0
c-a-b0 c-b-a
（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）
a2+b2+c2
利用不同的組合，然舊利用求差比較法可以得到
證法二 a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
=（a2-ab-ca）+（b2-ab-bc）+（c2-bc-ac）
=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）
=-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕
又a，b，c為ABC的三邊
a>0，b>0，c>0且a+b>c，a+c>b，b+c>a
利用同向正則不等式可以相乘，得到
a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）>0
-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕
a2+b2+c2
2、利用分析法，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系和同向正則不等式可以相乘的性質(zhì)可以得到
證法三：a，b，c為ABC的三邊
a>0，b>0，c>0且a+b>c，a+c>b，b+c>a
利用同向正則不等式可以相乘，得到
a（b+c）>a2 b（a+c）>b2 c（a+b）>c2
又 2（ab+bc+ca）
=ab+ac+bc+ba+bc+ac
=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）>a2+b2+c2
a2+b2+c2
在討論題目的證明過(guò)程中，有的同學(xué)想到了這樣的證明方法：
證法四a，b，c為ABC的三邊
a-b
（a-b）2
上述三個(gè)不等式相得
（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2
即a2+b2+c2
這種證明簡(jiǎn)明扼要，非常優(yōu)秀，說(shuō)明學(xué)生的思維是非常敏捷的。只是在三角形中由a-b
（a-b）2
證明：a，b，c為ABC的三邊
|a-b|
（a-b）2
上述三個(gè)同向不等式相得
（a-b）+（b-c）2+（a-c）2
即a2+b2+c2
題目證明完成后，進(jìn)一步引申，可以得到下面的命題：
已知a，b，c為ABC的三邊，求證關(guān)于x的不等式
x2+（a+b+c）x+ab+ac+bc>0的解集為R。
證明： a，b，c為ABC的三邊
x2+（a+b+c）x+ab+ac+b
由前面的命題可知
（a+b+c）2-4（ab+ac+bc）
=a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
=（a2-ab-ca）+（b2-ab-bc）+（c2-bc-ac）
=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）
=-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕
課標(biāo)聯(lián)接：理解等式的性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)來(lái)解方程，提高我們用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題的能力，樹(shù)立我們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
（1）知識(shí)與能力：①、理解等式的性質(zhì)（A層）②、掌握等式的性質(zhì)解方程（B層）③、能夠靈活應(yīng)用等式的性質(zhì)解決相關(guān)的問(wèn)題（C層）。
（2）過(guò)程與方法：①經(jīng)歷用天平探索等式的性質(zhì)的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和善于觀察、總結(jié)的能力；（A層）；②經(jīng)歷用等式的性質(zhì)解一元一次方程的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力（B層）；③在利用等式的性質(zhì)解方程的過(guò)程中，感悟數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索性和條理性。（C層）。
（3）情感、態(tài)度和價(jià)值觀：經(jīng)歷用天平探索等式的性質(zhì)的過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際生活中產(chǎn)生的，同時(shí)又應(yīng)用于實(shí)際生活中，由此感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：等式的基本性質(zhì)
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：用等式的基本性質(zhì)解方程。
學(xué)習(xí)時(shí)間：一課時(shí)。教學(xué)方法：分層次教學(xué)、講授、練習(xí)相結(jié)合。學(xué)習(xí)過(guò)程：
一、創(chuàng)建問(wèn)題情境，導(dǎo)入課題
問(wèn)題：同學(xué)們，4x=24，x+1=3是方程嗎？你們能夠看出它們的解嗎？但是僅靠觀察來(lái)解比較復(fù)雜的方程是困難的。因此我們還有討論怎樣解方程。首先我們先看看等式具有一些什么樣的性質(zhì)。
二、講授新課
1、探索規(guī)律
像m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y，這樣的式子，都是等式，我們通過(guò)以下實(shí)驗(yàn)來(lái)探索一下等式的一些性質(zhì)。
實(shí)驗(yàn)一：觀察總結(jié)在平衡的天平兩邊加同樣重的砝碼，天平兩邊是什么樣的狀態(tài)？在平衡的天平兩邊都減同樣重的砝碼，天平兩邊又是什么樣的狀態(tài)？規(guī)律總結(jié)：等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。
用式子表示：如果a=b，那么a±c=b±c
實(shí)驗(yàn)二：觀察總結(jié)
在平衡的天平兩邊都加同樣倍數(shù)的小鐵球和砝碼，天平兩邊是什么樣的狀態(tài)？在平衡的天平兩邊都減同樣倍數(shù)的小鐵球和砝碼，天平兩邊是什么樣的狀態(tài)？規(guī)律總結(jié)：等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍相等。
用式子表示：如果如果a=b，那么ac=bc如果如果a=b，那么=
2、范例點(diǎn)擊，應(yīng)用所學(xué)
例1利用等式的性質(zhì)解下列方程
（1）x+7=26（A層）
（2）-5x=20（A層）
（3）-x-5=4（B層）分析：要使方程x+7=26轉(zhuǎn)化成x=a（常數(shù)）的形式，需去掉方程左邊的7，利用等式的性質(zhì)1，方程兩邊減7就得出x的解。你可以類似地考慮另兩個(gè)方程如何轉(zhuǎn)化為x=a的形式嗎？
解：（1）兩邊減7，得x+7-7=26-7，于是x=19
（2）兩邊除以-5，得=于是x=-4
（3）兩邊加5，得-x-5+5=4+5，化簡(jiǎn)，得-x=9兩邊乘-3，得x=-27
三、鞏固練習(xí)
新課改以來(lái)，滬教版教材倡導(dǎo)加減法或乘除法的互逆關(guān)系來(lái)解答方程。凡教授過(guò)現(xiàn)行滬教版《簡(jiǎn)易方程》章節(jié)的教師，都會(huì)遇到這樣的教學(xué)現(xiàn)狀：雖然利用加減法或乘除法的互逆關(guān)系學(xué)生能夠解決形如X+12=47、（23+X+18）÷2=30簡(jiǎn)單或較復(fù)雜的一元一次方程；但一遇上類似X+6=3X兩邊帶未知數(shù)的方程時(shí)，學(xué)生運(yùn)用算術(shù)法來(lái)求解的過(guò)程明顯有困難。
而且對(duì)學(xué)生而言，在小學(xué)階段依據(jù)算術(shù)法解方程思想越鞏固（滬教版教材從第七冊(cè)開(kāi)始，就要求學(xué)生運(yùn)用四則運(yùn)算關(guān)系熟練地求出方框中的未知數(shù)），這樣的教學(xué)后果會(huì)造成學(xué)生到了初中后，方程教學(xué)的負(fù)遷移就越明顯，入門障礙就越大。
所以引發(fā)筆者這樣的思考：關(guān)于“等式性質(zhì)”這一內(nèi)容我們的課標(biāo)是怎么規(guī)定的？其他版本的教材中是否出現(xiàn)“等式性質(zhì)”這一內(nèi)容？在小學(xué)五年級(jí)進(jìn)行“等式性質(zhì)”教學(xué)是否符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)？
二、研讀與比較
基于上述所提問(wèn)題，筆者進(jìn)行了以下的實(shí)踐：
（一）研讀國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)對(duì)“式與方程”的規(guī)定
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程課標(biāo)（2011版）》中提出“了解等式的性質(zhì)，能夠用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程”。另外，對(duì)于解方程，《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確“用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程”。等式的性質(zhì)反映了方程的本質(zhì)，將未知數(shù)和已知數(shù)同等看待，是代數(shù)思想的本質(zhì)之一。開(kāi)始從算術(shù)方法到代數(shù)方法可能顯得繁瑣，特別是對(duì)于簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，算術(shù)的方法操作起來(lái)容易些，但在解簡(jiǎn)單方程時(shí)還是應(yīng)當(dāng)用等式性質(zhì)，一方面體現(xiàn)代數(shù)的方法的本質(zhì)，另一方面也是與第三學(xué)段（中學(xué)）學(xué)習(xí)方程的思路一致。
（二）比對(duì)滬教版一期課程標(biāo)準(zhǔn)與二期課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“等式性質(zhì)”內(nèi)容的規(guī)定
通過(guò)比對(duì)滬教版兩期的課程標(biāo)準(zhǔn)（如下表）（表略），我們不難發(fā)現(xiàn)對(duì)“等式性質(zhì)”這一教學(xué)內(nèi)容的規(guī)定，在一期課改時(shí)是放入小學(xué)階段的，但到了二期課改就從小學(xué)階段中移除了。由于課標(biāo)的指向變化了，所以導(dǎo)致相應(yīng)的教材亦是如此，一期課改的教材將“等式性質(zhì)”這一內(nèi)容編在了四年級(jí)第二學(xué)期中，二期課改教材就沒(méi)有該內(nèi)容了。
（三）查閱多種教材版本，比較其內(nèi)容編排
在了解了《課標(biāo)》規(guī)定后，查閱了人教版、蘇教版、北師大版關(guān)于《簡(jiǎn)易方程》中解方程方法介紹的編排內(nèi)容，又采集了滬教版關(guān)于這章的編寫內(nèi)容（如下表格）（表略），發(fā)現(xiàn)前三個(gè)版本都明確要求學(xué)生運(yùn)用等式性質(zhì)來(lái)解答方程，但我們滬教版還是要求學(xué)生運(yùn)用算術(shù)法求解方程的。
通過(guò)比較，國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“等式性質(zhì)”放于小學(xué)階段學(xué)習(xí)有明確規(guī)定，說(shuō)明專家團(tuán)隊(duì)是建議在此學(xué)段進(jìn)行“等式性質(zhì)”學(xué)習(xí)的。另外，比較了國(guó)內(nèi)具有代表性的多種版本教材對(duì)于“等式性質(zhì)”的編寫，和國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)完全吻合。不禁自問(wèn)：上海的課程標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有這樣的規(guī)定，小學(xué)階段教材自然也就缺少“等式性質(zhì)”這一內(nèi)容了，可學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況又是十分需要這一知識(shí)。能不能在教學(xué)中將這一知識(shí)彌補(bǔ)進(jìn)去？如果要補(bǔ)在什么地方比較適合呢？學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況又會(huì)如何？
三、課程內(nèi)容的思考與調(diào)整
（一）思考
通過(guò)比較以上四個(gè)版本關(guān)于《簡(jiǎn)易方程---解方程》的編排，作為執(zhí)教者會(huì)思考：像這種依據(jù)加減法或乘除法的互逆關(guān)系來(lái)解方程的方法，一到初中就會(huì)被“有理數(shù)運(yùn)算律、消元“等方法取代。而且這些方法不利于中學(xué)所學(xué)的方程解法的延伸，對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)也會(huì)產(chǎn)生干擾。竟然如此，在教學(xué)這個(gè)內(nèi)容時(shí)，能不能借鑒其他三個(gè)版本的編排內(nèi)容，緊緊圍繞《課標(biāo)（2011版）》將“等式性質(zhì)”作為小學(xué)解方程的另一種方法呢？
（二）調(diào)整實(shí)施
在以上前期思考下，筆者主要借鑒北師大版對(duì)教材教學(xué)內(nèi)容編排的基礎(chǔ)上，重新的調(diào)整及補(bǔ)充了課程內(nèi)容。具體調(diào)整補(bǔ)充如下表：（表略）
四、課程內(nèi)容實(shí)施后的實(shí)際現(xiàn)象與效果
筆者按照上述的分析，將等式性質(zhì)（一）與加減法關(guān)系、等式性質(zhì)（二）與乘除法關(guān)系進(jìn)行了融合，并分二個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。
在課堂上，一開(kāi)始學(xué)生解答形如：x+a=b，x-a=b，ax=b，x÷a=b（a≠0）未知數(shù)在一邊的方程時(shí)都不愿意運(yùn)用等式性質(zhì)來(lái)求解。從四年級(jí)第一學(xué)期開(kāi)始學(xué)生已經(jīng)對(duì)運(yùn)用算術(shù)法“求（ ）中的未知數(shù)”嫻熟有加，在不斷地操練中，學(xué)生積累了比較豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，形成了一定的解題定勢(shì)，所以就算學(xué)生了解了等式性質(zhì)，但他們的第一反應(yīng)還是想到用加減法或乘除法的數(shù)量關(guān)系來(lái)求解，也是情理之中的事。
但當(dāng)學(xué)生遇到“X+6=3X”一題時(shí)，他們的解法出現(xiàn)了分化的現(xiàn)象：近三分之一的學(xué)生將“6”看作是一個(gè)加數(shù)，把X看成是另一個(gè)加數(shù)，利用“一個(gè)加數(shù)=和-另一個(gè)加數(shù)”的數(shù)量關(guān)系求得了X的值；剩下的學(xué)生有一部分開(kāi)始也想到了利用加減法關(guān)系來(lái)求解，因?yàn)槭冀K出現(xiàn)“X=3X-6”或“3X-6=X”兩邊都帶X的變式，無(wú)法成功地將未知數(shù)X移至等式一邊而放棄舊方法，想到了等式性質(zhì)這一新方法，有的學(xué)生提出質(zhì)疑認(rèn)為“此題不能解”。
面對(duì)學(xué)生不同的認(rèn)知沖突，執(zhí)教者將事先準(zhǔn)備好的“利用等式性質(zhì)具體解題的學(xué)習(xí)材料”以信封的形式提供給有需要的學(xué)生，讓他們通過(guò)閱讀學(xué)習(xí)材料來(lái)嘗試獨(dú)立解答。從課堂的實(shí)際反饋來(lái)看，在剩下的學(xué)生中多數(shù)學(xué)生能通過(guò)自學(xué)，成功的運(yùn)用等式性質(zhì)求得了未知數(shù)X的值。具體過(guò)程是：“X+6-X=3X-X，2X=6，X=3”。隨后，又安排學(xué)生們對(duì)兩種解法進(jìn)行比較，最終得出選擇適合自己和題目類型的解方程方法才是最佳方法的觀點(diǎn)。
“等式的性質(zhì)”是數(shù)與代數(shù)中“簡(jiǎn)易方程” 的部分內(nèi)容，是學(xué)生在認(rèn)識(shí)了等式與方程的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，在教科書中占用重要的地位；它是系統(tǒng)學(xué)習(xí)方程的初步，是學(xué)習(xí)解方程基礎(chǔ)和依據(jù)，其核心思想是構(gòu)建等量關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型；對(duì)將來(lái)學(xué)習(xí)解一元一次方程中的移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)有著至關(guān)重要的作用，學(xué)生對(duì)等式的性質(zhì)探究過(guò)程中還滲透著轉(zhuǎn)化、歸納等重要的數(shù)學(xué)思想方法。更有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)意識(shí)；更有助于加深和鞏固所學(xué)的算術(shù)知識(shí)；同時(shí)更有利于加強(qiáng)中小學(xué)知識(shí)上的銜接與應(yīng)用。
人教版教科書，首次在“簡(jiǎn)易方程”單元把“等式的性質(zhì)”作為單獨(dú)的內(nèi)容編排，并安排一課時(shí)時(shí)間進(jìn)行教學(xué)，強(qiáng)化了等式性質(zhì)教學(xué)。從方程的意義上講，這樣編排更有利于學(xué)生對(duì)方程意義的深入理解，也為今后學(xué)習(xí)解方程明確了方法。學(xué)生在探究“等式的性質(zhì)”的過(guò)程，實(shí)際就蘊(yùn)含了解方程的方法。在解方程的過(guò)程中，學(xué)生就會(huì)熟練地利用等式性質(zhì)轉(zhuǎn)換來(lái)正確地解方程，解決實(shí)際問(wèn)題。為將來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)，打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
下面僅以“等式的性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計(jì)看新課程背景下我們教師是怎樣解讀課標(biāo)、研讀教材、構(gòu)建新課堂。
1.解讀實(shí)施“課標(biāo)”以學(xué)生為主體
兩位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，都不同程度體現(xiàn)了2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》理念。二位教師新課導(dǎo)入，都是以復(fù)習(xí)什么是方程入手，考慮了知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)，使“等式的性質(zhì)”的學(xué)習(xí)，起到了承上啟下的作用，這也是“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”提出的。在教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)上，注意創(chuàng)設(shè)活動(dòng)情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，合作交流。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生在天平實(shí)際操作中觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)、抽象出等式的性質(zhì)，體驗(yàn)等式的性質(zhì)。這充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的新課程教育思想理念。
2.研讀教材，滲透思想方法，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)
新版教科書中“等式的性質(zhì)”是按獨(dú)立的一課時(shí)進(jìn)行編排的，可見(jiàn)這部分知識(shí)的重要。“等式的性質(zhì)”是學(xué)生在掌握了一定的算術(shù)知識(shí)（包括整數(shù)、小數(shù)的四則運(yùn)算及應(yīng)用），已初步接觸了一些代數(shù)知識(shí)（如運(yùn)算定律）的基礎(chǔ)之上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。“等式的性質(zhì)”的學(xué)習(xí)是在學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作的基礎(chǔ)上，感知等式的基本性質(zhì)。兩位教師讀懂了教材，讀懂了學(xué)生。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生操作、觀察、比較、抽象概括，探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。
例如：二位教師設(shè)計(jì)的天平實(shí)驗(yàn)操作的環(huán)節(jié)，都引入了字母來(lái)表示不同的物品，把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，有利于學(xué)生把實(shí)際操作發(fā)現(xiàn)的結(jié)果抽象為用字母表示的等式，同時(shí)也滲透了符號(hào)化的數(shù)學(xué)思想。如黨老師設(shè)計(jì)的三個(gè)天平圖的練習(xí)（看圖，并用字母寫出等式），最后一幅圖，學(xué)生要聯(lián)系前兩個(gè)天平圖才能寫出等式。這個(gè)開(kāi)放的習(xí)題設(shè)計(jì)，不僅引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的發(fā)展的眼光整體地看問(wèn)題，同時(shí)也體現(xiàn)了代換的思想。學(xué)生在學(xué)習(xí)中不僅掌握基本數(shù)學(xué)思想，還形成了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。
3.自主探究、合作交流、動(dòng)手實(shí)踐，構(gòu)建新課堂
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)的主動(dòng)和具有個(gè)性的過(guò)程。”“動(dòng)手實(shí)踐、主動(dòng)探索與合作交流，是學(xué)生交流的主要方式”也是課程改革的核心理念。新一輪課程改革，不僅改變了教科書的結(jié)構(gòu)、課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，更重要的是改變了教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教師是教學(xué)活動(dòng)中，組織者、引導(dǎo)者與合作者。”在教學(xué)中，二位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)都體現(xiàn)出引導(dǎo)者的作用。學(xué)生學(xué)習(xí)掌握“等式的性質(zhì)”，這一教學(xué)環(huán)節(jié)是在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作，觀察發(fā)現(xiàn)，歸納推理，抽象感知，學(xué)生親歷了學(xué)習(xí)新知的過(guò)程。二位教師精心設(shè)計(jì)課堂，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究、合作交流的機(jī)會(huì)，真誠(chéng)地與學(xué)生合作，共同構(gòu)建一種新的課堂文化。學(xué)生在自主探究、合作交流中學(xué)習(xí)新的知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型。
4.研讀教科書，用好教科書
隨著新一輪課程改革的不斷深入，大多數(shù)教師在讀懂教材的基礎(chǔ)上，大膽地對(duì)教材進(jìn)行重組加工，加工后的情境更貼近學(xué)生的實(shí)際生活，更有利于學(xué)生感知知識(shí)的形成過(guò)程，加工后的習(xí)題不僅具有基礎(chǔ)性，還有拓展性，有利于提高教學(xué)質(zhì)量。
二位教師在教材使用和教學(xué)設(shè)計(jì)上，有須要商榷的地方。比如：謝老師的教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)于拘泥于教材中的情境，用教科書中圖給出的物品，生活中不容易找到正好的具有等量關(guān)系的合適物品，也不利于學(xué)生實(shí)際操作和感知知識(shí)的形成過(guò)程。相比較黨老師的設(shè)計(jì)，選取的物品就相對(duì)好一些，有利于學(xué)生的實(shí)驗(yàn)操作和感知“等式的性質(zhì)”。習(xí)題選用上謝老師多數(shù)選用了教科書中的題目，比較黨老師的習(xí)題設(shè)計(jì)更基礎(chǔ)一些。黨老師的習(xí)題設(shè)計(jì)比較開(kāi)放。如果二位教師的習(xí)題設(shè)計(jì)，能互相融匯，既有基礎(chǔ)題，鞏固題，拓展題等不同層次的習(xí)題。就更有利學(xué)生對(duì)新知的鞏固和思維的拓展。有利于落實(shí)數(shù)學(xué)課程“四基”“四能”的培養(yǎng)目標(biāo)。
一改以往利用四則運(yùn)算的各部分關(guān)系來(lái)解方程。在研究了新課程標(biāo)準(zhǔn)后，我決定以新課程理念為中心，堅(jiān)決向?qū)W生傳授等式的原理解方程這一新思路和新方法。教學(xué)下來(lái)卻發(fā)現(xiàn)，學(xué)生接受并不像想象中那么容易，出錯(cuò)率非常高。主要表現(xiàn)在當(dāng)未知數(shù)是減數(shù)和除數(shù)這兩種情況時(shí)的方程的解法出錯(cuò)，學(xué)生對(duì)中間出現(xiàn)的負(fù)數(shù)的處理有了難度。代了十幾年小學(xué)數(shù)學(xué)了，以前一直認(rèn)為列方程是難點(diǎn)，解方程小菜一碟，沒(méi)想到現(xiàn)在解方程也出現(xiàn)了難題。利用等式的性質(zhì)來(lái)解方程難道沒(méi)有其優(yōu)越性嗎？新課程這樣設(shè)置的出發(fā)點(diǎn)和著眼點(diǎn)是什么呢？
原來(lái)，在新課程改革時(shí)，一些數(shù)學(xué)專家認(rèn)為小學(xué)用算術(shù)思路解方程，到了中學(xué)卻是用等式的基本性質(zhì)來(lái)教學(xué)解方程，小學(xué)的思路對(duì)中學(xué)代數(shù)起步教學(xué)產(chǎn)生了一定的影響。因此，在小學(xué)階段利用等式的性質(zhì)解方程用意在于和初中數(shù)學(xué)教學(xué)接軌。
在明白原因后，為了與初中數(shù)學(xué)緊密結(jié)合，我堅(jiān)定不移地將等式的性質(zhì)作為解方程的唯一思想來(lái)進(jìn)行教學(xué)，但是一學(xué)年過(guò)后，學(xué)生的掌握程度依然不高。新教材有意回避了當(dāng)未知數(shù)是減數(shù)和除數(shù)這兩種情況時(shí)的方程的解法，但是小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)這一類的問(wèn)題，我們是不能回避的。學(xué)生不習(xí)慣在方程的兩邊同時(shí)加一個(gè)代數(shù)式，例如“8-x=3”，他們?cè)诜匠虄蛇呁瑫r(shí)減去8，變成了“8-x-8=3-8”，繼而變成“-x=-5”而不會(huì)解了。好多學(xué)生不習(xí)慣利用等式的性質(zhì)解方程，而是不自覺(jué)地就利用加減乘除法各部分結(jié)果來(lái)解答方程，老師又不能說(shuō)人家錯(cuò)，引發(fā)了知識(shí)運(yùn)用的空前混亂。我只好妥協(xié)地將兩種方法柔和起來(lái)應(yīng)用，卻驚訝地發(fā)現(xiàn)學(xué)生都喜歡用四則運(yùn)算算理這種方法，正確率立馬提高到95%以上，出錯(cuò)的原因多是計(jì)算粗心和通分。我的心中卻有了許多忐忑，是不是違背新課程的理念了呢？在與老師們多方教研后，我又上網(wǎng)查閱了大量的資料和咨詢了多名小學(xué)數(shù)學(xué)專家后，思想逐漸由亂變得穩(wěn)定，逐漸地形成了如下的認(rèn)識(shí)，供大家批評(píng)指正：
一、新課程標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有錯(cuò)，應(yīng)該把利用等式的性質(zhì)解方程看做首選進(jìn)行教學(xué)
加減乘除四則運(yùn)算是小學(xué)一至四年級(jí)學(xué)習(xí)的重要知識(shí)，其實(shí)學(xué)生對(duì)他們已經(jīng)了如指掌，已經(jīng)熟練掌握。列方程其實(shí)就是要把逆向思維轉(zhuǎn)換為順向思維，本身就是對(duì)學(xué)生以前一直慣用的算術(shù)方法的挑戰(zhàn)。
例如“公園里，猴子比大象多5只，猴子有15只，大象有多少只？”學(xué)生很容易列出“15-5=10（只），大象有10只”。但是，在學(xué)了方程后，他們就學(xué)會(huì)了列出“解：設(shè)大象有x只，15-x=5”這樣一個(gè)方程。這就是思維的變換，如果仍然用四則運(yùn)算理解方程，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)還有什么能力提高可言？因此，利用等式的性質(zhì)來(lái)解方程就是一次學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的變革和知識(shí)水平的提高。課改的教師切不可放棄這種方法，應(yīng)該努力實(shí)踐，大膽拓展學(xué)生的思維。
等式的性質(zhì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該作為一個(gè)重點(diǎn)來(lái)進(jìn)行講解，學(xué)生不理解或者理解淺顯模糊，都會(huì)給后來(lái)的解方程帶來(lái)障礙。教材是利用天平來(lái)幫助學(xué)生理解等式的性質(zhì)的。當(dāng)天平兩端什么東西也沒(méi)放的時(shí)候，天平左右兩端是平衡的。當(dāng)往天平一端放物體而另一端不放的時(shí)候天平就會(huì)向有重物的那一端傾斜。當(dāng)往沒(méi)有重物的那端逐步放砝碼的時(shí)候，天平就會(huì)平衡。當(dāng)我們同時(shí)從天平兩端都加上（或去掉）相同的重物時(shí)，天平依然平衡。由此引出：等式兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式；等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)（或除以同一個(gè)不為0的數(shù)），所得結(jié)果仍是
等式。
對(duì)于“8-x=3”這樣的方程可以利用等式的性質(zhì)，方程兩邊都加上x(chóng)就變成了“8=3+x”也就是“3+x=8”然后方程兩邊再同時(shí)減去3變成“3+x-3=8-3”，繼而得出x=5。用這個(gè)方法來(lái)解方程要復(fù)雜和繁瑣。不過(guò)，老師要記住這是一種新的思維、新的角度、新的策略，不可忽視。同樣可以這樣解答，是有點(diǎn)麻煩，但其中糅合了等式的性質(zhì)，又學(xué)習(xí)了新知識(shí)是非常值得的！
二、解方程時(shí)以等式的性質(zhì)為主，四則運(yùn)算為輔，共同完成教學(xué)任務(wù)
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出：“應(yīng)重視口算，加強(qiáng)估算，提倡算法多樣化”。我個(gè)人理解，這與教材要求用等式的性質(zhì)解方程并不矛盾，新課程的理念就是要讓學(xué)生的知識(shí)得到拓展和延伸，它也并沒(méi)有反對(duì)大家利用四則運(yùn)算算理來(lái)進(jìn)行解方程，作
為教師要牢記課改的神圣使命，切不可盲目地追求高分率，圖方便棄難就易，而影響學(xué)生的知識(shí)體系的形成。
我認(rèn)為在教學(xué)中要以利用等式的性質(zhì)解方程為主，同時(shí)不反對(duì)學(xué)生利用加減乘除法各部分之間的關(guān)系來(lái)解方程。對(duì)于“8-x=5”或“8÷x=3”這類方程就放手讓學(xué)生用“減數(shù)=被減數(shù)-差”或“除數(shù)=被除數(shù)÷商”來(lái)解決，但不能放松等式的性質(zhì)的探究，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用等式的性質(zhì)來(lái)解決這類問(wèn)題。
三、學(xué)生對(duì)方程的解法由單純到模糊，再由模糊到清晰的過(guò)程，是符合事物發(fā)展的辯證規(guī)律的
新舊知識(shí)的沖突是不可避免的，能不能迅捷地接受新知識(shí)也是判斷一個(gè)人能否不斷革新挑戰(zhàn)自己的重要標(biāo)準(zhǔn)。由于受到舊知識(shí)的影響，學(xué)生都習(xí)慣用過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)來(lái)處理現(xiàn)在遇到的問(wèn)題。學(xué)生在接受新知識(shí)時(shí)，出錯(cuò)最多的時(shí)候，也正是我們教師需要反思和改進(jìn)的時(shí)候。這說(shuō)明他們對(duì)新知識(shí)理解不夠，只有精講多練，理論聯(lián)系實(shí)際，才能讓他們對(duì)知識(shí)的理解逐漸深入，形成完整的、清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和能力。
參考文獻(xiàn)：
人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)主要包括相交線與平行線、平面直角坐標(biāo)系、三角形、二元一次方程組、不等式與不等式組和數(shù)據(jù)的收集、整理與表述六章內(nèi)容。下面小編給大家分享一些七年級(jí)下數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!
七年級(jí)下數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)1第一章 相交線與平行線
一、知識(shí)框架
二、知識(shí)概念
1.鄰補(bǔ)角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角。
2.對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)叫的兩邊的反向延長(zhǎng)線，像這樣的兩個(gè)角互為對(duì)頂角。
3.垂線：兩條直線相交成直角時(shí)，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。
4.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。
5.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角：
同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角。
內(nèi)錯(cuò)角：∠2與∠6像這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。
同旁內(nèi)角：∠2與∠5像這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角。
6.命題：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題。
7.平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移平移變換，簡(jiǎn)稱平移。
8.對(duì)應(yīng)點(diǎn)：平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)。
9.定理與性質(zhì)
對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。
10垂線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。
11.平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。
平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
12.平行線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。
性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。
性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
13.平行線的判定：
判定1：同位角相等，兩直線平行。
判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。
判定3：同旁內(nèi)角相等，兩直線平行。
本章使學(xué)生了解在平面內(nèi)不重合的兩條直線相交與平行的兩種位置關(guān)系,研究了兩條直線相交時(shí)的形成的角的特征,兩條直線互相垂直所具有的特性,兩條直線平行的條件和它所有的特征以及有關(guān)圖形平移變換的性質(zhì),利用平移設(shè)計(jì)一些優(yōu)美的圖案.重點(diǎn):垂線和它的性質(zhì),平行線的判定方法和它的性質(zhì),平移和它的性質(zhì),以及這些的組織運(yùn)用.難點(diǎn):探索平行線的條件和特征,平行線條件與特征的區(qū)別,運(yùn)用平移性質(zhì)探索圖形之間的平移關(guān)系,以及進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。
七年級(jí)下數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)2第一章 平面直角坐標(biāo)系
一.知識(shí)框架
二.知識(shí)概念
1.有序數(shù)對(duì)：有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對(duì)叫做有序數(shù)對(duì)，記做(a,b)
2.平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。
3.橫軸、縱軸、原點(diǎn)：水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸;
豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸;兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。
4.坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)P，過(guò)P分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別在x軸，y軸上，對(duì)應(yīng)的數(shù)a,b分別叫點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。
5.象限：兩條坐標(biāo)軸把平面分成四個(gè)部分，右上部分叫第一象限，按逆時(shí)針?lè)较蛞淮谓械诙笙蕖⒌谌笙蕖⒌谒南笙蕖?/p>
坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不在任何一個(gè)象限內(nèi)。
平面直角坐標(biāo)系是數(shù)軸由一維到二維的過(guò)渡，同時(shí)它又是學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用。另外，平面直角坐標(biāo)系將平面內(nèi)的點(diǎn)與數(shù)結(jié)合起來(lái)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。掌握本節(jié)內(nèi)容對(duì)以后學(xué)習(xí)和生活有著積極的意義。教師在講授本章內(nèi)容時(shí)應(yīng)多從實(shí)際情形出發(fā)，通過(guò)對(duì)平面上的點(diǎn)的位置確定發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新能力和應(yīng)用意識(shí)。
七年級(jí)下數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)3第一章 三角形
一.知識(shí)框架
二.知識(shí)概念
1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
2.三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。
3.高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高。
4.中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。
5.角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。
6.三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。
6.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。
7.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。
8.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。
9.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。
10.正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
11.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。
12.公式與性質(zhì)
三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和為180°
三角形外角的性質(zhì)：
性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。
性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。
多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°
多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為360°。
多邊形對(duì)角線的條數(shù)：
(1)從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引(n-3)條對(duì)角線，把多邊形分詞(n-2)個(gè)三角形。
三角形是初中數(shù)學(xué)中幾何部分的基礎(chǔ)圖形，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)該多鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)腦動(dòng)手，發(fā)現(xiàn)和探索其中的知識(shí)奧秘。注重培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)情操和幾何思維能力。
第八章 二元一次方程組
一.知識(shí)結(jié)構(gòu)圖
二、知識(shí)概念
1.二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次。
方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2.二元一次方程組：把兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。
4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組。
5.消元：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。
6.代入消元：將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。
7.加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。
本章通過(guò)實(shí)例引入二元一次方程,二元一次方程組以及二元一次方程組的概念,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概念的理解和完整性和深刻性,使學(xué)生掌握好二元一次方程組的兩種解法.重點(diǎn):二元一次方程組的解法,列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題.難點(diǎn):二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題
七年級(jí)下數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)4第九章 不等式與不等式組
一.知識(shí)框架
二、知識(shí)概念
1.用符號(hào)“”“≤ ”“≥”表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。
2.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。
3.不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。
4.一元一次不等式：不等式的左、右兩邊都是整式，只有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。
5.一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成6.了一個(gè)一元一次不等式組。
7.定理與性質(zhì)
不等式的性質(zhì)：
不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變。
不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。
不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。
本章內(nèi)容要求學(xué)生經(jīng)歷建立一元一次不等式(組)這樣的數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用它解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)不等式(組)的特點(diǎn)和作用，掌握運(yùn)用它們解決問(wèn)題的一般方法，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)創(chuàng)新精神和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。
七年級(jí)下數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)5第十章 數(shù)據(jù)的收集、整理與描述
一.知識(shí)框架
二.知識(shí)概念
1.全面調(diào)查：考察全體對(duì)象的調(diào)查方式叫做全面調(diào)查。
2.抽樣調(diào)查：調(diào)查部分?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)部分來(lái)估計(jì)總體的調(diào)查方式稱為抽樣調(diào)查。
3.總體：要考察的全體對(duì)象稱為總體。
4.個(gè)體：組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體。
5.樣本：被抽取的所有個(gè)體組成一個(gè)樣本。
6.樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目稱為樣本容量。
7.頻數(shù)：一般地，我們稱落在不同小組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為該組的頻數(shù)。
8.頻率：頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比為頻率。
在以前人教版教材中，學(xué)習(xí)解方程之前首先要求學(xué)生掌握加、減、乘、除法各部分之間的關(guān)系，然后利用加減乘除各部分之間的關(guān)系來(lái)求出方程中的未知數(shù)，而今人教版教材的設(shè)計(jì)是借用天平使學(xué)生首先感悟“等式”，知道“等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)、同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），等式仍然成立”這個(gè)規(guī)律。在老方法中，只要記住加減乘除各部分之間的數(shù)量關(guān)系就可以解任何簡(jiǎn)單的方程，但是學(xué)生必須要去記加減乘除各部分之間的關(guān)系。新方法只要學(xué)生能明白等式的性質(zhì)（也就是天平的平衡原理），就可以解方程。這樣的設(shè)計(jì)減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，培養(yǎng)了學(xué)生分析數(shù)量和解決問(wèn)題的能力。但在實(shí)際的方程教學(xué)中，還是存在一些問(wèn)題。
形如x±a=b一類的方程利用等式的基本性質(zhì)，學(xué)生很容易解決；形如ax=b與x÷a=b一類的方程，利用等式的基本性質(zhì)，學(xué)生也很容易解決。但是，形如a-x=b和a÷x=b之類的方程，學(xué)生就無(wú)從下手了――如果利用等式的基本性質(zhì)解，方程變形的過(guò)程及算理解釋比較麻煩。這種情況，很多教師利用老方法解方程（減數(shù)=被減數(shù)-差，除數(shù)=被除數(shù)÷商），也解決了這類問(wèn)題。但是，對(duì)于兩邊都有未知數(shù)的方程（比如用方程解答盈虧問(wèn)題時(shí)會(huì)列出兩邊都有未知數(shù)的情況），不管是老方法還是等式的性質(zhì)，都不能很好地解決，以至于很多學(xué)生非常困惑，不只一次地說(shuō)：“老師，有些應(yīng)用題，我能列出方程，可是卻解不出來(lái)，怎么辦呢？”
針對(duì)這種情況，我一直在思考怎樣才能很好地解決。新教材中的等式的性質(zhì)有點(diǎn)趨向七年級(jí)的教學(xué)方法，意圖是與七年級(jí)的教學(xué)接軌。這種設(shè)計(jì)是為了讓小學(xué)生盡快接受初中一年級(jí)（七年級(jí)）的教學(xué)方法，并為七年級(jí)打下良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。因此，我翻閱了七年級(jí)的教材。當(dāng)看到“移項(xiàng)”時(shí)，我靈機(jī)一動(dòng)：既然等式的性質(zhì)小學(xué)生能用，那移項(xiàng)為什么不能拿到小學(xué)來(lái)講呢？這樣不管是未知數(shù)在減號(hào)之前還是之后，等式兩邊是否有未知數(shù)，不是都能解決了嗎？有了這種想法，我就開(kāi)始對(duì)部分學(xué)生實(shí)施這種教法。
如：教學(xué)3x+7=37-2x時(shí)，要讓學(xué)生首先明白：方程中的每一頊都必須是帶著它前面的符號(hào)，等號(hào)兩邊的第一個(gè)數(shù)，都是省略了加號(hào)的。移項(xiàng)就是從方程的左邊移到右邊，從右邊移到左邊，而移動(dòng)的那一項(xiàng)必須要改變符號(hào)，即“加號(hào)變減號(hào)”、“減號(hào)變加號(hào)”。移動(dòng)的目的是把未知項(xiàng)和未知項(xiàng)放在等號(hào)的一邊，把常數(shù)項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)放在等號(hào)的另一邊（一般是先觀察未知項(xiàng)）。沒(méi)有移動(dòng)的那一項(xiàng)要照抄下來(lái)。最后一步再利用等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)除以與x相乘的數(shù)，就求出了x的解。具體過(guò)程如下：第一步，把右邊的“-2x”移到左邊變成“+2x”，同時(shí)把左邊的“+7”移到右邊變成“-7”，兩邊沒(méi)有移動(dòng)的照抄下來(lái)，即：3x+2x=37-7。第二步，分別計(jì)算左右得：5x=30。第三步，利用等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)除以與x相乘的“5”，即5x÷5=30÷5，得x=6。
對(duì)于未知項(xiàng)在減號(hào)后面的情況，如135―5x=45，同樣可以用移項(xiàng)的方法解決。因?yàn)橐祈?xiàng)要變號(hào)，所以一般看到未知項(xiàng)前面是減號(hào)，就把帶減號(hào)的未知項(xiàng)移動(dòng)到等號(hào)的另一邊，使它變成加號(hào)。此題的具體步驟是：第一步，把左邊“-5x”移到等號(hào)的右邊變成“+5x”，因?yàn)橐旁谟疫叺谝粋€(gè)，所以“+”可省略不寫，同時(shí)把右邊的“+45”移到左邊，變成“-45”，即：135-45=5x。第二步，算出90=5x。第三步，利用等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)除以與x相乘的5。最后一步，要按習(xí)慣把x放在左邊，得x=18。
而對(duì)于非常復(fù)雜的方程，如7（x+6）-3x=4（2x+5），必須要先去掉括號(hào)，再化簡(jiǎn)，最后再移項(xiàng)，求出x的解。具體步驟是：第一步，去括號(hào)得：7x+42-3x=8x+20。第二步，觀察到左邊，一共有三項(xiàng)，所以化簡(jiǎn)得：4x+42=8x+20。第三步，移項(xiàng)，把左邊的“+4x”移到右邊，變成“-4x”，同時(shí)把右邊的“+20”移到左邊，變成“-20”，得：42-20=8x-4x。第四步，算出22=4x。第五步，利用等式的性質(zhì)兩邊同時(shí)除以與x相乘的4，并把x放在左邊，得x=5.5。
用移項(xiàng)的方法，學(xué)生容易明白，但在自己做的時(shí)候，還是易把符號(hào)混淆，還需要多加訓(xùn)練。訓(xùn)練到一定程度后，不論多么復(fù)雜的方程，學(xué)生解起來(lái)都是得心應(yīng)手，也不擔(dān)心在解應(yīng)用題時(shí)列出方程不會(huì)解了。后來(lái)，我又在全班推廣這種方法，讓學(xué)生牢記“移項(xiàng)變號(hào)”，并由簡(jiǎn)單方程到復(fù)雜方程，逐步增加復(fù)雜程度，學(xué)生反響良好。幾年后，學(xué)生到了初中，我原來(lái)的學(xué)生告訴我，當(dāng)學(xué)到一元一次方程時(shí)，他們已經(jīng)不用老師講這一節(jié)內(nèi)容了。
所以，經(jīng)過(guò)幾年的實(shí)踐，我認(rèn)為，完全可以把初中的這一內(nèi)容提到小學(xué)來(lái)解決，只要突破這一難點(diǎn)，“列方程解應(yīng)用題”的難點(diǎn)將會(huì)迎刃而解。
[關(guān)鍵詞]掌握學(xué)習(xí)策略 掌握數(shù)學(xué)
[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）29-052
布盧姆教學(xué)理論的核心內(nèi)容是“掌握學(xué)習(xí)理論”。所謂“掌握學(xué)習(xí)”，就是在“所有學(xué)生都能學(xué)好”的思想指導(dǎo)下，以集體教學(xué)（班級(jí)授課制）為基礎(chǔ)，輔之以經(jīng)常、及時(shí)的反饋，為學(xué)生提供所需的個(gè)別化幫助以及所需的額外學(xué)習(xí)時(shí)間，從而使大多數(shù)學(xué)生達(dá)到課程目標(biāo)所規(guī)定的掌握標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)是一門高度形式化的學(xué)科，在這門學(xué)科中有許多為了學(xué)習(xí)者教學(xué)起見(jiàn)而制定的明確結(jié)構(gòu)。因此，在數(shù)學(xué)中，代數(shù)學(xué)家能夠很容易地決定：代數(shù)的基本模式或結(jié)構(gòu)，是通過(guò)理解交換律、分配律和結(jié)合律顯示的。當(dāng)學(xué)生掌握了這種結(jié)構(gòu)，就能鑒別他們所必須解答的所有代數(shù)題都是這三種類型中這一或那一類型的變體，并能夠解答它們。鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的特點(diǎn)，如果教師能很好地運(yùn)用掌握學(xué)習(xí)策略，那么教師的課堂教學(xué)就能夠促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)。
一、掌握學(xué)習(xí)策略的實(shí)質(zhì)
有充分的證據(jù)證明，學(xué)校學(xué)習(xí)中確實(shí)存在個(gè)別差異。這種差異形成的原因，主要來(lái)自于學(xué)生掌握新的學(xué)習(xí)任務(wù)所需要的基礎(chǔ)知識(shí)和技能的程度、學(xué)生學(xué)習(xí)形成動(dòng)機(jī)以便參與學(xué)習(xí)過(guò)程的程度和教師教學(xué)適合于學(xué)生的程度等三大變量。總的來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)中的差異和學(xué)生的學(xué)習(xí)水平是由學(xué)生的學(xué)習(xí)史和他們所受的教育的質(zhì)量決定的。如果在這兩方面進(jìn)行適當(dāng)?shù)馗淖儯涂煽s小學(xué)生之間的差距，大大提高他們的學(xué)習(xí)水平。
掌握學(xué)習(xí)的策略問(wèn)題，是一個(gè)確定怎樣方能把學(xué)習(xí)者的個(gè)別差異與學(xué)和教的過(guò)程聯(lián)系起來(lái)的問(wèn)題。教師必須盡力保證使全部學(xué)生在自我發(fā)展方面有成功的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。
掌握學(xué)習(xí)策略是受特定種類學(xué)習(xí)的能力傾向、教學(xué)的質(zhì)量、理解教學(xué)的能力、毅力、允許學(xué)習(xí)的時(shí)間主要五種變量制約的，教師運(yùn)用掌握學(xué)習(xí)策略在于尋求如何利用這些變量的各種方式。掌握學(xué)習(xí)有許多可供選擇的策略，每一種策略必須通過(guò)某些手段把教學(xué)與學(xué)習(xí)者的需要聯(lián)系起來(lái)，從而找到對(duì)付學(xué)習(xí)者的個(gè)別差異的某種途徑，每一種策略必須包括能夠?qū)Ω渡鲜鑫宸N變量的某種途徑。
二、掌握學(xué)習(xí)策略的實(shí)踐思考
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)是對(duì)客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語(yǔ)言與工具。小學(xué)數(shù)學(xué)中，代數(shù)領(lǐng)域的簡(jiǎn)易方程是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律和特征的內(nèi)容。學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易方程的過(guò)程，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了一定的算術(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，逐步轉(zhuǎn)向代數(shù)學(xué)習(xí)的典型過(guò)程。從方程模型的構(gòu)建過(guò)程中可以反映出教學(xué)中是如何利用掌握學(xué)習(xí)策略促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的。這一單元主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是等式的性質(zhì)和解簡(jiǎn)易方程，以及簡(jiǎn)易方程在解決一些實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用。學(xué)習(xí)目標(biāo)是理解并掌握等式的性質(zhì)，并能用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程；掌握解形如x±a=b、ax=b、x÷a=b、ax±b=c、ax±bx=c的方程，并能正確地進(jìn)行檢驗(yàn)；會(huì)用方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。讓學(xué)生經(jīng)歷從生活情境到方程模型的構(gòu)建過(guò)程，使學(xué)生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過(guò)程中，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，感受方程的思想方法和價(jià)值，發(fā)展抽象思維能力和增強(qiáng)符號(hào)感。
根據(jù)信息加工理論，我們認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)的主要因素不是重復(fù)和練習(xí)，而確保學(xué)習(xí)的最可靠的條件是先前學(xué)習(xí)的必備能力。如果學(xué)生確實(shí)學(xué)會(huì)了這個(gè)技能，他很可能將學(xué)會(huì)新技能而無(wú)需重復(fù)。從掌握學(xué)習(xí)策略上看，我們要為學(xué)生學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易方程提供好的先決條件：理解常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系；掌握交換律、結(jié)合律、分配律等運(yùn)算定律；能用字母表示數(shù)，用含有字母的式子表示數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和公式，求含有字母的式子的值，化簡(jiǎn)形如ax±bx的式子。而這些學(xué)習(xí)任務(wù)已經(jīng)在以前的學(xué)習(xí)中完成，需要我們教師做的事情就是了解學(xué)生對(duì)上述內(nèi)容的掌握情況，如果確認(rèn)學(xué)生已經(jīng)掌握，我們就可以進(jìn)行簡(jiǎn)易方程的教學(xué)。
三、掌握學(xué)習(xí)策略的實(shí)施
掌握學(xué)習(xí)策略要求將學(xué)習(xí)分為小的單元，讓學(xué)生每次學(xué)習(xí)一個(gè)小的單元并參加單元測(cè)試，指導(dǎo)學(xué)生以80%～100%的掌握水平通過(guò)評(píng)價(jià)測(cè)驗(yàn)為止，然后再進(jìn)入下一個(gè)單元的學(xué)習(xí)。我們把簡(jiǎn)易方程學(xué)習(xí)分為等式和方程、等式的性質(zhì)和解簡(jiǎn)易方程、列方程解實(shí)際問(wèn)題三個(gè)小單元。下面就結(jié)合掌握學(xué)習(xí)策略依次說(shuō)明三個(gè)小單元的教學(xué)過(guò)程，并嘗試分析學(xué)生的掌握學(xué)習(xí)效果。
1.通過(guò)類屬學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)方程
利用生活中的天平把包攝水平較高的等式概念呈現(xiàn)給學(xué)生。鑒于等式和方程之間的關(guān)系，對(duì)于方程來(lái)說(shuō)，等式具有最大的解釋潛力，因?yàn)榈仁降慕槿耄瑢W(xué)生學(xué)習(xí)方程這個(gè)新概念的困難就可避免。當(dāng)含有字母的等式出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生通過(guò)比較和觀察，就能進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸悾w納出“像x+50=150、2x=200這樣含有未知數(shù)的等式是方程”。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步通過(guò)集合圖來(lái)理解等式和方程的類屬關(guān)系。從理解認(rèn)知心理上分析上述過(guò)程可以看出，學(xué)生通過(guò)以前對(duì)等式的學(xué)習(xí)與理解，在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)有了一般的和包攝的概念，在碰到進(jìn)一步分化的學(xué)習(xí)材料時(shí)，它便能起到類屬的作用。這樣有意義的接受學(xué)習(xí)和保持就會(huì)最容易、最有效地發(fā)生，這也反映出類屬學(xué)習(xí)要比總括學(xué)習(xí)更容易。
在制定策略時(shí)，我們需要清楚地知道一些必需的先決條件，擬定規(guī)定的操作程序，以及評(píng)價(jià)這些策略的一些結(jié)果。教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容的詳細(xì)說(shuō)明，是讓教師和學(xué)生雙方知道預(yù)期目的的一個(gè)必需的先決條件。把詳細(xì)的說(shuō)明轉(zhuǎn)化成評(píng)價(jià)的程序，有助于進(jìn)一步解說(shuō)學(xué)生學(xué)完一段內(nèi)容或一門課時(shí)應(yīng)該能夠達(dá)到什么標(biāo)準(zhǔn)。用來(lái)估價(jià)教學(xué)結(jié)果的評(píng)價(jià)程序（形成性評(píng)價(jià)和總結(jié)性評(píng)價(jià)）有助于教師和學(xué)生知道什么時(shí)候的教學(xué)是富有成效的。其中必須伴隨有對(duì)教學(xué)過(guò)程和結(jié)果的診斷，并能開(kāi)出相應(yīng)的處方。這樣，通過(guò)使用診斷程序和可供選擇的教學(xué)方法和材料，使大部分學(xué)生達(dá)到預(yù)定的成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)，以補(bǔ)充正規(guī)集體教學(xué)之不足。這些策略和方法的運(yùn)用中，毫無(wú)疑問(wèn)的是有些學(xué)生在學(xué)習(xí)某些內(nèi)容時(shí)所花的時(shí)間要比別人多。但是如果大多數(shù)學(xué)生在分配給這些學(xué)習(xí)任務(wù)的時(shí)間結(jié)束時(shí)，都達(dá)到掌握的水平的話，掌握學(xué)習(xí)就產(chǎn)生情感的和認(rèn)知的結(jié)果。對(duì)方程含義的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生知道方程含義的基礎(chǔ)上，我們將通過(guò)判斷哪些式子是等式，哪些式子是方程，能否舉出方程的例子來(lái)診斷學(xué)生是否掌握。針對(duì)需要幫助的學(xué)生，教師還要進(jìn)一步讓學(xué)生對(duì)等式和方程進(jìn)行辨析，并安排學(xué)生將算式中的用圖形表示的未知數(shù)改寫成用字母表示等練習(xí)來(lái)保證掌握學(xué)習(xí)。
2.利用等式性質(zhì)學(xué)會(huì)解方程
（1）利用天平平衡圖探索概括等式的性質(zhì)
根據(jù)小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的思維正從具體的表象思維向抽象的符號(hào)思維發(fā)展的特點(diǎn)，我們?cè)诮虒W(xué)等式的性質(zhì)時(shí)，通過(guò)天平平衡圖讓學(xué)生探索并理解等式的性質(zhì)。例題中安排了四組圖片，先讓學(xué)生觀察并依次填寫出四個(gè)等式：50+10=50+10，50+a=50+a，x+a=50+a，x+a-a=50+a-a，然后再讓學(xué)生聯(lián)系天平保持平衡的過(guò)程，通過(guò)觀察、分析、比較、討論等多種方法歸納概括出等式的性質(zhì)，這里鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，并能用自己的語(yǔ)言進(jìn)行描述，力求提高學(xué)生的思維能力和表達(dá)能力。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生得出：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍然是等式。并且告訴學(xué)生這就是等式的性質(zhì)。而對(duì)于“等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不是0的數(shù)，結(jié)果仍然是等式”。這個(gè)補(bǔ)充性質(zhì)的學(xué)習(xí)，可以看做學(xué)習(xí)的延續(xù)，是概念的遷移和深化，也是對(duì)先前概念掌握情況的評(píng)價(jià)診斷，通過(guò)這個(gè)程序就能確切地判斷學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的情況。
（2）通過(guò)等式的性質(zhì)遷移到方程的解法
根據(jù)掌握學(xué)習(xí)策略的反饋要求，在學(xué)生知道等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，教師要進(jìn)一步評(píng)價(jià)學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的情況，故安排填空練習(xí)，讓學(xué)生根據(jù)等式的性質(zhì)在里填運(yùn)算符號(hào)，在里填數(shù)。x-25=60，x-25+25=60；x+18=48，x+18-18=48。教師要讓學(xué)生說(shuō)出填空的依據(jù)，并說(shuō)出等式兩邊是怎樣變化的，是加上同一個(gè)數(shù)還是減去同一個(gè)數(shù)，以期學(xué)生真正理解等式的性質(zhì)。當(dāng)完成上述任務(wù)，確認(rèn)學(xué)生掌握時(shí)，教師要讓學(xué)生把兩組算式繼續(xù)填寫下去，得到x=85；x=30。此時(shí)讓學(xué)生知道，85、30分別表示兩個(gè)未知數(shù)的值（也就是兩個(gè)方程的解）。請(qǐng)學(xué)生回顧填空的過(guò)程，體會(huì)利用等式的性質(zhì)，使方程左邊只剩下一個(gè)未知數(shù)，方程右邊是一個(gè)數(shù)，也就是利用等式的性質(zhì)，我們可以求出方程中未知數(shù)的值。這就把根據(jù)等式性質(zhì)的填空遷移到方程的解法上面了，這種學(xué)習(xí)遷移正是為學(xué)習(xí)解方程作出“特定的準(zhǔn)備”，使學(xué)生具有學(xué)習(xí)解方程的必備能力。
（3）由求未知數(shù)的值來(lái)建構(gòu)解方程的方法
讓學(xué)生觀察天平的平衡圖，根據(jù)相等關(guān)系列出方程：x+10=50。教師提出問(wèn)題：你能求出方程中未知數(shù)的值嗎？啟發(fā)學(xué)生利用等式的性質(zhì)，把方程的兩邊同時(shí)減去10，使方程左邊只剩下x，即可求出未知數(shù)的值，這時(shí)讓學(xué)生知道，x=40就是未知數(shù)的值，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，而我們求方程的解的過(guò)程叫做解方程。教師示范板書解方程的過(guò)程，并提出書寫的注意點(diǎn)。而提出問(wèn)題：x=40是不是正確的答案呢？使學(xué)生知道解方程后需要檢驗(yàn)。師生共同學(xué)習(xí)檢驗(yàn)的方法，把x=40代入原方程，看看左右兩邊是不是相等。抓住方程中相等關(guān)系這個(gè)核心，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)利用等式的性質(zhì)解方程的過(guò)程。
3.在列方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)方程的思想方法和價(jià)值
（1）通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系的分析建構(gòu)列方程解決問(wèn)題的方法
出示簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題：小紅今年的體重是36千克，比去年增加了2.5千克，小紅去年的體重是多少千克？
讓學(xué)生根據(jù)條件和問(wèn)題找出數(shù)量之間的相等關(guān)系：去年的體重+2.5=今年的體重；今年的體重-去年的體重=2.5。繼續(xù)提問(wèn)，要列出方程首先要干什么？（找出未知量，并用字母表示）教師告訴學(xué)生，列方程首先要設(shè)未知數(shù)，然后再根據(jù)數(shù)量間的相等關(guān)系，也就是我們剛才找到的等量關(guān)系式列方程。當(dāng)學(xué)生解出方程后，還要提醒學(xué)生檢驗(yàn)結(jié)果是否正確。
在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，教學(xué)還要通過(guò)具有乘除法數(shù)量關(guān)系的方程來(lái)建構(gòu)出比較完整的列方程解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的模式，這也是按照掌握學(xué)習(xí)策略要求，運(yùn)用評(píng)價(jià)反饋手段診斷學(xué)生的掌握學(xué)習(xí)情況。
（2）通過(guò)用方程解答稍復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題體會(huì)方程的價(jià)值
通過(guò)列形如ax±b=c、ax±bx=c的稍復(fù)雜方程來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，不僅可以讓學(xué)生經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為方程的過(guò)程，而且通過(guò)用方程的思想方法來(lái)解決稍復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，可以充分體會(huì)方程思想的應(yīng)用價(jià)值。對(duì)于這類問(wèn)題，重點(diǎn)就放在數(shù)量關(guān)系的分析上，讓學(xué)生能找出相等的數(shù)量關(guān)系，這里不考慮已知和未知的量。抓住相等關(guān)系這個(gè)核心要素，就能迅速地列出方程。而在解稍復(fù)雜的方程時(shí)，我們要把重心放在讓學(xué)生弄懂怎樣把新方程轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過(guò)的方程上，即通過(guò)轉(zhuǎn)化使復(fù)雜的變成簡(jiǎn)單的。當(dāng)學(xué)生能夠列方程解決問(wèn)題時(shí)，教師有必要利用學(xué)生用方程思想方法解決問(wèn)題的體驗(yàn)，來(lái)體會(huì)這類實(shí)際問(wèn)題用方程解答比用算術(shù)方法解決時(shí)思維更順暢。通過(guò)順向思維和逆向思維的比較體會(huì)中，感受到方程思想方法的價(jià)值，從而使學(xué)生喜歡代數(shù)，掌握數(shù)學(xué)。
掌握學(xué)習(xí)策略的任務(wù)，是要找到改變個(gè)別學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)需要的時(shí)間的途徑，以及找到為每一個(gè)學(xué)生提供所需要的那樣一種時(shí)間的途徑。掌握學(xué)習(xí)的策略也就必須找到解決教學(xué)問(wèn)題以及學(xué)校組織（包括時(shí)間）問(wèn)題的某種途徑。
簡(jiǎn)易方程是小學(xué)數(shù)學(xué)教材第二學(xué)段中的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，是第三學(xué)段方程和方程組學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。過(guò)去，在學(xué)習(xí)解簡(jiǎn)易方程之前，學(xué)生都要先學(xué)習(xí)加減乘除各部分之間一些基本的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)加減乘除各部分之間數(shù)量關(guān)系來(lái)解方程，可以說(shuō)，只要記住加減乘除各部分之間的數(shù)量關(guān)系就可以解任何簡(jiǎn)單的方程。2001年新課改之后，小學(xué)階段方程教學(xué)發(fā)生了很大的變化，加減乘除各部分之間數(shù)量關(guān)系不再成為解方程的依據(jù)，只要學(xué)生能明白等式的性質(zhì)，也就是天平的平衡原理，就可以解方程，這樣的設(shè)計(jì)使學(xué)生學(xué)習(xí)方程不再需要記憶加減乘除各部分之間的數(shù)量關(guān)系，從而減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，培養(yǎng)了學(xué)生分析數(shù)量和解決問(wèn)題的能力。但在實(shí)際的方程教學(xué)中，還有一些問(wèn)題值得教師去研究思考。
“了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對(duì)簡(jiǎn)易方程教學(xué)的要求。“了解等式的性質(zhì)，學(xué)習(xí)解答形式為x±a=b、ax=b、ax±b=c、ax±bx=c的方程，并解答簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”是青島版等小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)方程教學(xué)的具體要求。那么形式是x±a=b、ax=b、ax±b=c、ax±bx=c的方程，是不是將簡(jiǎn)易方程完整地呈現(xiàn)了？其實(shí)，像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c這樣的方程，筆者認(rèn)為也應(yīng)該屬于簡(jiǎn)單的方程。但為什么教材中沒(méi)有出現(xiàn)形式是a-x=b、a÷x=b、a-bx=c這樣的方程呢？是教材編寫者遺漏了嗎？筆者認(rèn)為，遺漏是不可能的，原因其實(shí)就是利用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程，像a-x=b、a-bx=c這幾種方程，利用等式的性質(zhì)來(lái)解，在方程的左邊就會(huì)出現(xiàn)“-x”現(xiàn)象，而在小學(xué)階段，學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)含有負(fù)數(shù)的計(jì)算。而a÷x=b這樣的方程，利用等式的性質(zhì)進(jìn)行常規(guī)思考，好像也不好解答。
因?yàn)檎n標(biāo)、教材都沒(méi)有涉及像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c的方程教學(xué)，所以，很多教師在實(shí)際教學(xué)中，就盡量避免a-x=b、a-bx=c、a÷x=b的方程出現(xiàn)。那么這樣的方程，教師真的能回避嗎？筆者查閱了人教版和青島版教材中有關(guān)方程的內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)：其實(shí)在這些教材中，像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c這樣的方程還是不可避免地出現(xiàn)了。如青島版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第12頁(yè)第6題中的第（2）題，如下圖所示。
全國(guó)小學(xué)學(xué)校數(shù)量統(tǒng)計(jì)圖
按照教材的設(shè)計(jì)，用方程解答問(wèn)題（2）時(shí)學(xué)生最好能列成方程x+3.11=42.58。但如果學(xué)生列出方程42.58-x=3.11，是不是也可以呢？這不正是a-x=b的方程形式嗎？又如，青島版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第12頁(yè)中的第7題，如下圖所示。
要用方程解答，問(wèn)題（1）學(xué)生列出方程361.4-x=40.3、問(wèn)題（2）學(xué)生列出方程219-x=16，是不是也可以？這也不正是a-x=b的方程形式嗎？再如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第66頁(yè)練習(xí)十二中的第2題，如下圖所示。
可以發(fā)現(xiàn)，這道題按照設(shè)計(jì)要求，學(xué)生最好能寫成5x+3=1428，但如果學(xué)生列成方程1428-5x=3其實(shí)也是可以的，這也不就是a-bx=c的方程形式嗎？基于此，筆者認(rèn)為在方程教學(xué)中，有些問(wèn)題盡管課程標(biāo)準(zhǔn)和教材沒(méi)有呈現(xiàn)，但教師是不能回避的。
既然不能回避，筆者認(rèn)為方程教學(xué)就很值得教師來(lái)思考。有的教師認(rèn)為，利用等式的性質(zhì)來(lái)解決像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c這樣的方程，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度過(guò)大，很多學(xué)生不能掌握，弄不好會(huì)對(duì)方程教學(xué)產(chǎn)生不利影響。真的是這樣嗎？其實(shí)筆者認(rèn)為，只要教師真正抓住了等式的性質(zhì)（天平的平衡原理）這一教學(xué)主線，讓學(xué)生真正明白其中的道理，像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c這樣的方程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是能解決的，而且并不是難事，甚至對(duì)學(xué)生深刻理解等式的性質(zhì)還有很好的幫助。以下是學(xué)生在筆者的引導(dǎo)下，解答稍復(fù)雜方程的兩種不同過(guò)程，如下圖。
對(duì)于第一個(gè)學(xué)生的做法，有的教師認(rèn)為：等號(hào)左邊應(yīng)該是x，右邊才是結(jié)果，學(xué)生這樣寫是錯(cuò)誤的。是不是真的錯(cuò)了呢？筆者認(rèn)為，第一個(gè)學(xué)生的做法其實(shí)是很有道理的，等號(hào)左邊是x、右邊是結(jié)果只是常規(guī)寫法，在這種方程里學(xué)生能解出方程本身就值得表?yè)P(yáng)，畢竟對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)方程左邊出現(xiàn)了“-x”是不好理解的，如果利用等式性質(zhì)將“-x”轉(zhuǎn)移到方程等式右邊變成x，這也不失為一種很好的解決方法。對(duì)于第二種解法，學(xué)生是利用等式的性質(zhì)，先將x由方程左邊移到右邊， “-2x”就變成了2x，然后再根據(jù)等式的性質(zhì)，將方程左右兩邊交換位置，在不改變方程結(jié)果的情況下，卻將方程變成他們能解決的形式，這其實(shí)不也正體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)等式的性質(zhì)（天平的平衡原理）的真正理解嗎？學(xué)生利用等式的性質(zhì)（天平的平衡原理）通過(guò)自己的努力解決了教材中沒(méi)有的形式為a-x=b、a÷x=b、a-bx=c的方程之后，不僅加深了對(duì)等式性質(zhì)（天平的平衡原理）的理解，而且學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的潛能也一下子被開(kāi)發(fā)了出來(lái)，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)其實(shí)是非常有益的。
當(dāng)然，以上只是筆者的思考和實(shí)踐，到底小學(xué)方程如何教學(xué)，學(xué)生要學(xué)習(xí)到什么程度，還需要大家來(lái)共同思考。期望筆者的拋磚引玉，能為大家的方程教學(xué)帶來(lái)更多思考。
（山東省煙臺(tái)市芝罘區(qū)文化路小學(xué) 264000）
一、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究函數(shù)間的距離等問(wèn)題
函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0）表示曲線y=f（x）在該點(diǎn)處切線的斜率．如果曲線y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f ′（x0））處的切線與法線的方程為：y－y0=f ′（x0）（x－x0）．
例1．（2012年高考浙江卷理，16）定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l 的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離．已知曲線C1：y＝x2＋a到直線l：y＝x的距離等于曲線C2：x2＋（y＋4）2＝2到直線l：y＝x的距離，則實(shí)數(shù)a＝______________．
【評(píng)析】
導(dǎo)數(shù)的幾何意義表現(xiàn)為曲線的切線斜率值，從而利用導(dǎo)數(shù)可求曲線y＝f（x）的切線，并進(jìn)一步將導(dǎo)數(shù)融合到函數(shù)與平面幾何的交匯問(wèn)題中．
二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與線性規(guī)劃交匯的問(wèn)題
線性規(guī)劃除解決實(shí)際問(wèn)題外，它還能“以形助數(shù)”把抽象的符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形語(yǔ)言，并借助“形”的幾何直觀性來(lái)闡明“數(shù)”的抽象性，因而兼有數(shù)的抽象和形的直觀，從而體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性、工具性特點(diǎn)．
例2.（2012年高考陜西卷理，14）設(shè)函數(shù)f（x）＝lnx，x>0-2x-1，x≤0， D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z=x-2y在D上的最大值為 ．
【評(píng)析】
本題以分段函數(shù)為載體，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，考查綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．
三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與方程（零點(diǎn)）交匯的問(wèn)題
利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)分析函數(shù)零點(diǎn)是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)題型，其實(shí)質(zhì)上就是對(duì)函數(shù)極值、最值知識(shí)掌握應(yīng)用情況的進(jìn)一步考查．
例3．（2012年高考福建卷文，22）已知函數(shù)f（x）＝axsinx-■（a∈R）且在［1，■］上的最大值為■．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）判斷函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明．
【分析】
當(dāng)函數(shù)取最大（或最小）值時(shí)不等式都成立，可得該等式恒成立，從而把函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決恒成立問(wèn)題的一種重要方法．零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定主要是依據(jù)零點(diǎn)存在定理．
【評(píng)析】
給定含有參數(shù)的函數(shù)以及相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，求解參數(shù)的值或范圍，需要我們靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具，對(duì)問(wèn)題實(shí)施正確的等價(jià)轉(zhuǎn)化，列出關(guān)于參數(shù)的方程或不等式．在此類含參問(wèn)題的求解過(guò)程中，逆向思維的作用尤為重要．
四、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與數(shù)列交匯的問(wèn)題
數(shù)列作為實(shí)質(zhì)意義上的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性及最值問(wèn)題比用傳統(tǒng)方法更為簡(jiǎn)便.在解決導(dǎo)數(shù)背景下的數(shù)列問(wèn)題時(shí)，充分利用函數(shù)性質(zhì)和目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，仔細(xì)觀察，大膽嘗試，就一定能找到數(shù)列與函數(shù)式之間的聯(lián)系，為成功解題找到合理方法．
例4.（2012年高考四川卷理，22）已知a為正實(shí)數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線y=-x2＋■與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，設(shè)f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）略；
（Ⅲ）當(dāng)0
【分析】
本題第（Ⅰ）問(wèn)較基礎(chǔ)常規(guī)，而第（Ⅲ）問(wèn)貌似不等式問(wèn)題，但其實(shí)質(zhì)還是函數(shù)問(wèn)題，我們可以借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)，比較直觀地從幾何的角度來(lái)判斷兩者的大小問(wèn)題．
【評(píng)析】
本題屬于高檔題，難度較大，需要考生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)；考查了思維能力、運(yùn)算能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)能力；且又深層次地考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思維方法．
五、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與不等式交匯的問(wèn)題
證明不等式的方法有許多，導(dǎo)數(shù)作為研究一些不等式恒成立問(wèn)題的工具，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用上的新穎性以及導(dǎo)數(shù)思想的重要性．由導(dǎo)數(shù)方法研究不等式時(shí)，一般是先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，借助對(duì)函數(shù)單調(diào)性或最值的研究，經(jīng)歷某些代數(shù)變形，得到待證明的不等式．
例5．（2012年高考遼寧卷文，21）設(shè)f（x）＝lnx+■-1，證明：
（Ⅰ）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜■（x－1）；
（Ⅱ）當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f（x）＜■.
【分析】
本題可直接由所證不等式構(gòu)造函數(shù)，討論其單調(diào)性、最值，從而達(dá)到證明不等式的目的．
【評(píng)析】
證明不等式彰顯導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)用的靈活性把要證明的不等式通過(guò)構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（x）>0（或f（x）
摘要：不等式作為高考解答題中的一個(gè)部分，重要性可想而知。但現(xiàn)在的不等式用以前的常規(guī)解法，往往解不出來(lái)。通過(guò)近幾年的高考試題，我們發(fā)現(xiàn)有些不等式可以利用“構(gòu)建函數(shù)”的方法來(lái)求解。
關(guān)鍵詞：構(gòu)建；函數(shù)；不等式；導(dǎo)數(shù)
函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容，在高考中占有非常重要的地位.而運(yùn)用函數(shù)的思想解題，一直都是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重難點(diǎn).本文從構(gòu)建函數(shù)的角度，談?wù)労瘮?shù)在解不等式方面的應(yīng)用。構(gòu)建方法就是在解數(shù)學(xué)題的過(guò)程中使已知與未知，條件與結(jié)論建立聯(lián)系，使本來(lái)模糊不清的關(guān)系豁然開(kāi)朗，層次分明。不等式是高考中的必考內(nèi)容，特別是不等式的證明，常用分析法、綜合法、反證法、歸納法等等來(lái)求解，而構(gòu)建思想在解決不等式問(wèn)題中也起到舉足輕重的作用。現(xiàn)在隨著高考的改革，構(gòu)建函數(shù)（尤其是可導(dǎo)函數(shù)），并利用函數(shù)的一些性質(zhì)解不等式成了當(dāng)前的高考熱點(diǎn)。
構(gòu)建函數(shù)解不等式中的參數(shù)取值范圍
例1、已知函數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。
此題設(shè)了兩個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)的單調(diào)性得解，應(yīng)該說(shuō)這是我們經(jīng)常會(huì)遇到的一種類型。而且這種恒成立的不等式問(wèn)題是比較簡(jiǎn)單的，函數(shù)能容易構(gòu)建的題型。
構(gòu)建函數(shù)求不等式的解集
本題比例1稍微難點(diǎn)，關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)這一步，剩下的解不等式可以通過(guò)圖像法來(lái)求解。
三、構(gòu)建函數(shù)證明不等式
本題是從結(jié)論入手，把要證明的不等式變形，然后觀察左右兩邊結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，相同之處在哪，不同之處在哪，最后構(gòu)建一個(gè)合適的函數(shù)來(lái)證明。
總之，有些不等式若用初等方法來(lái)解決，往往會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程。但是根據(jù)題目的特點(diǎn)巧妙地構(gòu)建一個(gè)函數(shù)，在構(gòu)建函數(shù)的背景下運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們耳熟能詳?shù)暮瘮?shù)問(wèn)題來(lái)研究，就會(huì)得到簡(jiǎn)捷的證明。所以在處理某些不等式問(wèn)題時(shí)要善于利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)開(kāi)拓思路，轉(zhuǎn)化問(wèn)題的焦點(diǎn)，尋找解題的最優(yōu)方法。構(gòu)建函數(shù)解不等式難度大，涉及面廣，形式靈活。我們應(yīng)以學(xué)生為中心，以問(wèn)題為主線，以培養(yǎng)學(xué)生能力為目標(biāo)來(lái)組織教學(xué)。通過(guò)教學(xué)讓學(xué)生了解利用構(gòu)建函數(shù)解不等式，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
