時(shí)間：2023-05-30 10:44:48
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇分式方程的應(yīng)用，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
我認(rèn)為在實(shí)際方程應(yīng)用題教學(xué)中，教師在強(qiáng)化題型體現(xiàn)具體算法的同時(shí)應(yīng)有意識(shí)地滲透模型教學(xué)的思路，在歸納題型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步抽象提升不同題型的共同思路模型，進(jìn)而達(dá)成方程模型教學(xué)的目標(biāo)。
方程模型要根據(jù)方程不同類別的具體特征，思路的著重點(diǎn)顯然也應(yīng)有所不同，因而不同類別方程的模型也應(yīng)有所不同的側(cè)重，某類方程模型教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，正是要靠幾個(gè)典型題型教學(xué)的基礎(chǔ)上予以抽象概括。因此，我認(rèn)為題型教學(xué)正是由具體而微的千資百態(tài)的具體數(shù)學(xué)應(yīng)用題到方程模型教學(xué)目標(biāo)的中間過渡的教學(xué)形態(tài)。
僅僅依靠模型教學(xué)在每一個(gè)具體數(shù)學(xué)應(yīng)用題的應(yīng)用而達(dá)成方程模型教學(xué)目標(biāo)，我認(rèn)為不是高效的教學(xué)，學(xué)生往往會(huì)有無所適從的感覺，抽象的跨度偏大。當(dāng)我們一提到分式方程模型的時(shí)候，學(xué)生如果有列分式方程解工程問題的題型教學(xué)的具體過渡形態(tài)浮現(xiàn)在腦海中，我想比直接浮現(xiàn)抽象的方程模型流程更容易些吧。
我國古代數(shù)學(xué)的主要特征之一就是“算法化數(shù)學(xué)思想”。算法不只是單純的計(jì)算，而是指為了解決一整類實(shí)際問題而設(shè)計(jì)或概括出來的、帶有一般性的、更廣泛的一類操作方法。算法又有特殊算法和通用算法之分。針對(duì)某一具體問題而設(shè)計(jì)的算法稱為特殊算法，針對(duì)一類問題而設(shè)計(jì)的算法稱為通用算法。通常我們說算法能解決一類問題，并能重復(fù)使用，是對(duì)通用算法而言。我國數(shù)學(xué)教師所普遍采用的數(shù)學(xué)應(yīng)用題題型教學(xué)某種程度上正是對(duì)“算法化數(shù)學(xué)思想”的實(shí)際應(yīng)用，實(shí)踐證明也是高效的，是我國扎實(shí)的“雙基教學(xué)”的一部分，不能、也不應(yīng)該給予徹底否定！
但是，題型過多過濫，缺乏典型性、代表性等問題在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中確實(shí)大量存在，造成了過度的課業(yè)負(fù)擔(dān)。
解決這個(gè)難題，我認(rèn)為是一個(gè)系統(tǒng)工程，不能單純依靠數(shù)學(xué)教師改變教學(xué)方法。我國一線數(shù)學(xué)教師的代表、數(shù)學(xué)課程專家和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家等應(yīng)借鑒“要素主義”教育哲學(xué)觀點(diǎn)和德國“范例教學(xué)”的思路，針對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)方程模型教學(xué)的具體內(nèi)容和目標(biāo)，精選代表題型，在教科書中通過典型范例和習(xí)題體現(xiàn)通用算法。在此基礎(chǔ)上再進(jìn)一步在單元復(fù)習(xí)中歸納抽象方程模型。同時(shí)，還要用好考試指揮棒，引導(dǎo)廣大一線數(shù)學(xué)教師重視基礎(chǔ)性、代表性和典型性，抓住幾個(gè)典型題型的教學(xué)形成幾種通用算法，首先體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，其次再進(jìn)一步提升抽象出方程模型思路能夠解決更多的相關(guān)問題。
以下教學(xué)設(shè)計(jì)是我在數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)實(shí)踐中的一點(diǎn)嘗試，重點(diǎn)在分式方程模型教學(xué)中的審題環(huán)節(jié)采用了列表分析法，使這類問題的審題找等量關(guān)系列分式方程有了可操作的模式。但在教學(xué)實(shí)踐中，總感覺對(duì)有些分式方程應(yīng)用題并不總是能適用，對(duì)有些題型還是應(yīng)該有不同的或特殊的分析模式，以此作為方程題型教學(xué)是達(dá)成方程模型教學(xué)目標(biāo)的不可或缺的過程的一個(gè)例證。
教學(xué)目標(biāo)：
1.會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，能用列表法分析問題，尋找等量關(guān)系、恰當(dāng)選設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示數(shù)量關(guān)系等；
2.掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
掌握列表分析問題的方法，恰當(dāng)選設(shè)未知數(shù)，確定主要等量關(guān)系，列出分式方程并進(jìn)行解答，解釋解的合理性，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是教學(xué)重點(diǎn)；
尋找等量關(guān)系、恰當(dāng)選設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、列出分式方程是教學(xué)難點(diǎn)。
教學(xué)準(zhǔn)備：
課件準(zhǔn)備、學(xué)案準(zhǔn)備
教學(xué)過程設(shè)計(jì)：
一、做一做（出示課件）
某單位將沿街的一部分房屋出租.每間房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋的租金第一年為9.6萬元,第二年為10. 2萬元.
分析：
⑴你能找出這一情境中的等量關(guān)系嗎?
⑵根據(jù)這一情境你能提出哪些問題?
（根據(jù)上述列表讓學(xué)生提出求解的問題）
①第一年每間房屋租金是多少？
②第二年每間房屋租金是多少？
③每年的租房數(shù)是多少？
（恰當(dāng)選設(shè)未知數(shù)，根據(jù)與未知數(shù)直接相關(guān)的等量關(guān)系寫“設(shè)… ，則… ”，另一個(gè)等量關(guān)系確定為主要等量關(guān)系列方程。出示課件，完整展示列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟）
（改變未知數(shù)設(shè)法，列出分式方程，對(duì)比解法1、解法2和解法3三種選設(shè)未知數(shù)的方法解題的優(yōu)劣，選擇最優(yōu)化解法，體會(huì)恰當(dāng)選設(shè)未知數(shù)的作用）
小結(jié)：（先讓學(xué)生總結(jié)思路過程，再出示課件予以規(guī)范）
解分式方程應(yīng)用題的一般思路過程：
分析過程：
（一）審
(1)讀題找基本關(guān)系
(2)劃分幾個(gè)不同事件過程
(3)分別在每一事件中明確已知和未知
(4)聯(lián)系關(guān)系量和題意理解找等量關(guān)系
（二）設(shè) 1.直接設(shè)法；2.間接設(shè)法
一般根據(jù)與求解未知數(shù)直接相關(guān)的等量關(guān)系寫“設(shè)… ，則… ”;
（三）列 根據(jù)另一個(gè)等量關(guān)系列方程
解答過程：
（四）解解方程過程要注意解答正確
（五）驗(yàn)1.檢驗(yàn)計(jì)算是否正確
2. 分式方程要檢驗(yàn)是否是增根
3.檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際題意
（六）答 怎么問就怎么答，答案要寫完整。
反思過程：
1.問題解決的關(guān)鍵在哪里？要注意哪些細(xì)節(jié)？
2.問題解決還有其他方法嗎？哪種方法更簡潔？
3.可劃歸為哪一類問題？能進(jìn)一步聯(lián)系拓展嗎？…
三、課堂練習(xí)：
小明和同學(xué)一起去書店買書，他們先用15元買了一種科普書，又用15元買了一種文學(xué)書。科普書的價(jià)格比文學(xué)書高出一半，因此他們所買的科普書比所買的文學(xué)書少一本。這種科普書和這種文學(xué)書的價(jià)格各是多少？
（學(xué)生在練習(xí)題紙上完成，一生板書，教師巡視指導(dǎo)，出示課件糾錯(cuò)）
（引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程：關(guān)鍵步驟；簡便解法；題型歸類等）
四、當(dāng)堂檢測(cè)：
甲乙兩地相距360千米，新修的高速公路開通后，在甲、乙兩地間行駛的長途客運(yùn)車平均車速提高了50%，而從甲地到乙地的時(shí)間縮短了2小時(shí).試確定原來的平均車速.
分析:（學(xué)生在練習(xí)題紙上完成，一生板書，教師巡視指導(dǎo)，出示課件，回顧列分式方程解應(yīng)用題的一般思路過程和一般解題步驟）
五、課堂總結(jié)：
分式方程應(yīng)用題的解題思路
分析過程：
（一）審：1.已知；2.求解；3.等量關(guān)系
（二）設(shè)：（1）直接設(shè)法（2）間接設(shè)法
（三）列：根據(jù)主要等量關(guān)系列分式方程
解答過程：
（四）解：規(guī)范、正確、熟練
（五）驗(yàn)：計(jì)算正確；排除增根；符合實(shí)際題意
（六）答：回答完整
反思過程：關(guān)鍵步驟；簡便解法；題型歸類等
六、作業(yè)：
A層：課本：
P94習(xí)題3.8問題解決1、2、3
新課堂：P641、2
B層：新課堂：P66走進(jìn)生活
板書設(shè)計(jì)：
（1）“做一做”的解法1教師一邊分析講解一邊完整板書列分式方程解應(yīng)用題的解題格式步驟
一、預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué),呈現(xiàn)問題導(dǎo)入新課
思考:你能正確識(shí)別分式方程嗎?
下列關(guān)于x的方程,其中是分式方程的有______.(填序號(hào))
問題1 什么是分式方程?
問題2 為什么方程(4)不是分式方程?它是什么方程?如何看待其分母中的字母?
引導(dǎo)學(xué)生思考并歸納總結(jié),分式方程的特點(diǎn)是:①含分母;②分母中含有未知數(shù),分母中是否含有未知數(shù)是區(qū)別分式方程與整式方程的標(biāo)志.本例中的(4)是關(guān)于x的方程,其他字母皆為字母系數(shù),通過本例辨析分式方程與含有字母已知數(shù)方程的區(qū)別.
設(shè)計(jì)意圖 在設(shè)疑解惑中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注分式方程形式上的定義,不是簡單讓學(xué)生重復(fù)概念,而是展示一組方程讓學(xué)生識(shí)別,在答疑辨析中調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)分式方程概念的理解,加深理解分式方程概念的關(guān)鍵點(diǎn)——分母中含有未知數(shù),設(shè)計(jì)的方程(3)(4)(6)用意深刻,是對(duì)學(xué)生思考提出的發(fā)展性目標(biāo).
二、合作探究,問在知識(shí)發(fā)生處,點(diǎn)撥釋疑
·你會(huì)解分式方程嗎?
教師出示問題,學(xué)生動(dòng)手解題,探究體驗(yàn):
比較方程(1)(2)的結(jié)果有差異嗎?為什么?
·為什么x=2不是原方程(2)的根?
·產(chǎn)生x=2不是原方程(2)的根的原因是什么?你能用數(shù)學(xué)語言說明嗎?
解(2):方程兩邊同乘以3(x-2),得3(5x-4)=4x+10-3(x-2),x=2.檢驗(yàn):把x=2代入最簡公分母3(x-2)中,3(x-2)=0,x=2稱為原方程的增根.
·引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:
(1)解分式方程的一般步驟?要求學(xué)生自己歸納總結(jié),然后討論交流.
①去分母,方程兩邊同乘以最簡公分母,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;②解這個(gè)整式方程;③驗(yàn)根.使得最簡公分母為0的根為原方程的增根,必須舍去.
學(xué)生提出問題,小組合作探究討論:驗(yàn)根有幾種方法?如何檢驗(yàn)?
適當(dāng)?shù)木毩?xí)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)解分式方程的理解,幫助學(xué)生深刻理解化分式方程為整式方程的數(shù)學(xué)思想.
(2)呈現(xiàn)錯(cuò)例,分析錯(cuò)誤原因.(組織學(xué)生開展糾錯(cuò)討論)
①確定最簡公分母失誤;②去分母時(shí)漏乘整式項(xiàng);③去分母時(shí)忽略符號(hào)的變化;④忘記驗(yàn)根.
設(shè)計(jì)意圖 分解因式是要求學(xué)生掌握的基本技能,引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考,總結(jié)歸納解題步驟,對(duì)錯(cuò)例進(jìn)行剖析,加深對(duì)知識(shí)的理解.糾錯(cuò)是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一種重要學(xué)習(xí)形式.
(3)增根從哪里來?為什么要舍去?
(4)下面分式方程的解法是否正確?談?wù)勀愕南敕?
引導(dǎo)學(xué)生議一議,深入思考:你對(duì)上述解法有什么看法?還有其他解法嗎?通過解題表象再深入思考解分式方程的本質(zhì).
分式方程的增根是它變形后整式方程的根,但不是原方程的根,產(chǎn)生增根的原因是在分式方程的左右兩邊乘以為0的最簡公分母造成的,所以使最簡公分母為0的未知數(shù)的值均有可能為增根.著名教學(xué)者李鎮(zhèn)西說過:“能讓學(xué)生自己完成的,教師絕不幫忙.”教師引路設(shè)問,創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑討論的空間,深化對(duì)解分式方程本質(zhì)的理解,拓寬學(xué)生的視野.
三、靈活應(yīng)用,拓展思維
思考 “無解”與該分式方程有“增根”的意義一樣嗎?
分析 方程兩邊乘以(x+2)(x-2),可得2(x+2)+ax=3(x-2),(a-1)x=-10.顯然a=1時(shí)原方程無解.當(dāng)(x+2)(x-2)=0,即x=2或x=-2時(shí),原方程亦無解,當(dāng)x=2時(shí),a=-4;當(dāng)x=-2時(shí),a=6.所以當(dāng)a=1,-4,6時(shí),原方程無解.
設(shè)計(jì)意圖 分式方程的增根問題是學(xué)生理解的難點(diǎn),部分學(xué)生解題過程中存有疑惑,還會(huì)與無解相混淆.本課例設(shè)計(jì)直擊難點(diǎn),幫助學(xué)生梳理如何討論增根問題,并能利用其解決方程無解的相關(guān)問題.教師運(yùn)用問題串形式組織學(xué)生解分式方程不是表面上培養(yǎng)細(xì)心,明確算理,而是像幾何推理那樣步步有據(jù),啟發(fā)學(xué)生經(jīng)過自己的獨(dú)立思考去尋求解決問題方案.
本課設(shè)計(jì)嘗試從數(shù)學(xué)的角度提出問題,理解問題.引導(dǎo)學(xué)生理解解分式方程的途徑是通過轉(zhuǎn)化為整式方程來求解.在解分式方程的過程中體驗(yàn)增根的由來.總結(jié)出解分式方程的一般步驟和驗(yàn)根的方法,通過靈活應(yīng)用實(shí)例分析把方程的相關(guān)知識(shí)融會(huì)貫通,在富有挑戰(zhàn)性問題的引導(dǎo)下,學(xué)生在探究、答疑、辨別中體會(huì)到,提出一個(gè)有價(jià)值的問題有時(shí)比解決一個(gè)問題更重要,本課例的設(shè)計(jì)讓學(xué)生學(xué)會(huì)質(zhì)疑,學(xué)會(huì)思考,真正在思維的層面上學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)解題.
分式方程
備課時(shí)間:上課時(shí)間
主備:
審核:備課組
班級(jí)
姓名
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．知識(shí)目標(biāo)：理解解分式方程的一般步驟及解分式方程驗(yàn)根的必要性.
2．能力目標(biāo)：通過對(duì)分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程，了解數(shù)學(xué)思想中的“轉(zhuǎn)化”思想.
重點(diǎn)
分式方程的解法
難點(diǎn)
分式方程的解法
【溫故知新】
如何解一元一次方程？經(jīng)過哪些步驟？
解方程+=2－
【新知探究】
1．解方程：=
思考：方程兩邊同乘以什么樣的整式，可以去掉分母呢？發(fā)現(xiàn)方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母，去分母比較簡單.
2．解方程：－=4
3、觀察上面方程的解法，歸納出一般步驟，并與同學(xué)進(jìn)行交流。
【歸納】
解分式方程一般需要經(jīng)過哪幾個(gè)步驟
（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化分式方程為整式方程（一去分母）；
（2）解這個(gè)整式方程；（二解整式方程）
（3）把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是否為零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，應(yīng)舍去；使最簡公分母不為零的根才是原方程的根.
（三驗(yàn)根）
【應(yīng)用鞏固】
（1）
解方程：
①=;
（2）
②+=2.
2觀察：在解方程=－2時(shí)，小亮同學(xué)的解法如下：
=－2
解：方程兩邊同乘以x－3,得
2－x=－1－2（x－3）
解這個(gè)方程，得
x=3.
x=3是原方程的根嗎？如果是，請(qǐng)你說明理由，如果不是，請(qǐng)你說明為什么？
（3）解上節(jié)課的方程
=（a,h常數(shù)）
教學(xué)檢測(cè)
一．請(qǐng)你選一選
1．方程1+=0有增根，則增根是(
)
A.1
B.－1
C.±1
D.0
2．沿河兩地相距s千米，船在靜水中的速度為a千米/時(shí)，水流速度為b千米/時(shí)，此船一次往返所需時(shí)間為(
)
A.小時(shí)
B.小時(shí)
C.()小時(shí)
D.()小時(shí)
3．方程=0的根是(
)
A.x=2
B.x=－2
C.x=±2
D.方程無解
4．分式方程若有增根，則增根可能是(
)
A.x=1
B.x=－1
C.x=1或x=－1
D.x=0
二．請(qǐng)你填一填
1．當(dāng)a=________時(shí)，關(guān)于x的方程的根為1.
2．當(dāng)x=________時(shí)，分式的值等于1.
3．方程+4的解為________.
4．當(dāng)m________時(shí)，關(guān)于x的方程有增根.
5．已知,則=_____________.
三．解下列方程：
【關(guān)鍵詞】變式練習(xí) 突破重難點(diǎn) 辨別混淆 把握數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì) 數(shù)形結(jié)合
【課題項(xiàng)目】甘肅省教育科學(xué)‘十二五’規(guī)劃2014年度“創(chuàng)設(shè)初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的探究”成果，課題申報(bào)號(hào)：LZ-930，課題負(fù)責(zé)人：陳麗英。
【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）10-0122-02
在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，根據(jù)教材內(nèi)容及學(xué)生學(xué)習(xí)情況合理設(shè)置一些變式練習(xí)，對(duì)提高課堂教學(xué)效果及培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大幫助，本文將從以下幾個(gè)方面闡述。
一、變式練習(xí)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，有助于突破教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)
在課堂教學(xué)中，設(shè)計(jì)由淺入深，由特殊到一般的變式練習(xí)，一方面能將本節(jié)課的重難點(diǎn)分成幾個(gè)步驟，由簡到難展現(xiàn)出來，另一方面學(xué)生也更容易理解和掌握課堂所學(xué)知識(shí)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。如：在學(xué)習(xí)提公因式法分解因式第2課時(shí)中，公因式為多項(xiàng)式時(shí)，如何找公因式是這節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。為了突破本節(jié)課重、難點(diǎn)，我在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)如下例題和變式訓(xùn)練：
例1.分解因式：2am-3m
變式（1）：2a（b+c）-3（b+c）
變式（2）：2a（b+c）2-3（b+c）3
變式（3）：2a（c-b）2-3（b-c）3
變式（4）：2a（c-b）2n-3（b-c）2n+1 （n為正整數(shù)）
設(shè)計(jì)意圖：例1中，學(xué)生很容易找到公因式為m。變式（1）中，將例題中的m變?yōu)槎囗?xiàng)式：b+c，有了例題的鋪墊，這一問學(xué)生通過類比較容易得到多項(xiàng)式為b+c；變式（2）中，將（1）中b+c，分別變?yōu)椋╞+c）2和（b+c）3，引導(dǎo)學(xué)生取較低次冪（b+c）2作為公因式；變式（3）中，將（2）中的（b+c）2變?yōu)椋╟-d）2，（b+c）3變?yōu)椋╞-c）3，這時(shí)底數(shù)雖不同，但是互為相反數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生先將（c-b）2變?yōu)椋╞-c）2再找出公因式（b-c）2；變式（4）中將（3）中（c-b）2變?yōu)椋╟-b）2n，（b-c）3變?yōu)椋╞-c）2n+1，這樣指數(shù)更為一般化，由于兩個(gè)底數(shù)互為相反數(shù)，而且一個(gè)指數(shù)2n表示偶數(shù)，另一個(gè)指數(shù)2n+1表示奇數(shù)，有了（3）的思考，學(xué)生很快想到將（c-b）2n變?yōu)椋╞-c）2n， 從而找到公因式（b-c）2n。通過這種變式練習(xí)，這節(jié)課的重難點(diǎn)很容易被學(xué)生接受和理解。
二、變式練習(xí)有助于學(xué)生辨別教學(xué)中容易混淆的知識(shí)點(diǎn)，從而更好的把握數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì)
在教學(xué)中，有一些定理和概念容易混淆，通過設(shè)置變式練習(xí)可以幫助學(xué)生加以區(qū)別。如：在學(xué)習(xí)分式方程時(shí)，學(xué)生對(duì)分式方程的增根和無解這兩個(gè)概念容易混淆，為此，我設(shè)置了如下例題和變式訓(xùn)練：
例2.解方程： ■-■=■
變式（1）：關(guān)于x的分式方程■-■=■ （k為常數(shù)）有增根，則k的值是多少？
變式（2）：關(guān)于x的分式方程■-■=■（k為常數(shù)）無解，則k的值是多少？
設(shè)計(jì)意圖：例題2考查學(xué)生對(duì)可化為一元一次分式方程的解法及對(duì)其根的合理性的檢驗(yàn)。由于這個(gè)分式方程產(chǎn)生增根使得該分式方程無解，大部分學(xué)生誤認(rèn)為分式方程有增根等同于分式方程無解。因此教學(xué)中很有必要設(shè)置變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生區(qū)別這兩個(gè)概念。變式（1）中含有字母k，首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程：（k-1）x=-10 ，由題目知道分式方程有增根，則增根可能是x=2或x=-2，將增根x=2或x=-2代入整式方程（k-1）x=-10 ，解得，k=-4或k=6。通過變式（1）的練習(xí)讓學(xué)生進(jìn)一步理解，增根是分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程的解，但是它使得原分式方程的分母為零，因此不是原分式方程的解。變式（2）將變式（1）中的增根改為無解，此時(shí)要考慮兩種情況（1）：如果分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解；（2）分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程（k-1）x=-10本身無解的情況，即當(dāng)a-1=0，即a=1時(shí)此整式方程無解，所以原方程無解。通過變式（2）的練習(xí)讓學(xué)生進(jìn)一步理解，分式方程無解包含兩層含義，（一）原分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程無解；（二）原分式方程轉(zhuǎn)化的整式方程有解，但這個(gè)解卻使得原分式方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解。通過這種變式練習(xí)，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和辨別，從而更好的把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。
三、變式練習(xí)有助于開闊學(xué)生思維，并提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力
在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，將考查同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的不同類型題目由簡到難設(shè)置變式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生開闊思維，并提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。如：在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)圖像及其性質(zhì)時(shí)，設(shè)計(jì)如下例題和變式訓(xùn)練：
例3.如圖1所示，點(diǎn)p為反比例函數(shù)y=■圖像上一點(diǎn)，PMx軸，PNy軸，垂足分別為M、N，（1）求長方形PMON的面積，（2）求PMO的面積。
圖1 圖2 圖3
變式（1）：如圖1所示，點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=■圖像上一點(diǎn)，PMx軸，PNy軸，垂足分別為M、N，若長方形PMON面積為2，則k為多少？
變式（2）：如圖2所示，P為反比例函數(shù)y=■圖像上一點(diǎn)，求PMx軸，垂足為M，則PMQ1和PMQ2面積分別是多少？
變式（3）：如圖3所示，A、C兩點(diǎn)均在反比例函數(shù)y=■的圖像上，且A、C兩點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)中心對(duì)稱，ABx軸，CDy軸，垂足分別為B，D，則四邊形ABCD面積為多少？
設(shè)計(jì)意圖：
例3是對(duì)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義的直接應(yīng)用。變式（1）則將例題中的題設(shè)和結(jié)論反過來，這樣能激發(fā)學(xué)生逆向思考問題的能力；變式（2）中，將例題中PMO的一個(gè)頂點(diǎn)O移到Q1或Q2位置，此時(shí)PMQ1和PMQ2都與PMO等底等高，因此面積也相等，這樣的設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，從而提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。變式（3）中，將平行四邊形知識(shí)與反比例函數(shù)性質(zhì)巧妙的結(jié)合起來，學(xué)生通過分析得到：S四邊形ABCD=2SABD=4SABO=4×1=4。通過這樣的設(shè)置，不但開闊了學(xué)生的思維能力，同時(shí)也提高了學(xué)生綜合分析問題的能力。
四、通過變式練習(xí)滲透數(shù)形結(jié)合思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化
函數(shù)與方程及其不等式都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間變化規(guī)律的重要模型，通過變式練習(xí)，滲透這三者之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)不等式，感受函數(shù)方程不等式的作用，從而使所學(xué)知識(shí)融匯貫通。 在學(xué)習(xí)一次函數(shù)與一元一次不等式時(shí)，設(shè)計(jì)如下例題和變式練習(xí)：
例4.如圖4，一次函數(shù)y1=kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y2=■（n≠0）交于點(diǎn)A（1，m），B（-3，n），問：x取何值時(shí)，y1y2？x取何值時(shí)，y1
變式（1）：解方程：kx+b-■=0（請(qǐng)直接寫出答案）
變式（2）：解不等式：kx+b-■≥0 （請(qǐng)直接寫出答案）
變式（3）：求一元二次方程kx2+bx-n=0的解
（根據(jù)函數(shù)圖像簡單說明理由）
設(shè)計(jì)意圖：
上學(xué)期期末考試的成績不及格，總體來看，成績比較不理想。在學(xué)生所學(xué)知識(shí)的掌握程度上，大部分學(xué)生能夠透徹理解知識(shí)，知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系也較為清楚，但個(gè)別學(xué)生連簡單的基礎(chǔ)知識(shí)還不能有效的掌握，成績較差。在學(xué)習(xí)能力上，一些學(xué)生課外主動(dòng)獲取知識(shí)的能力較差，向深處學(xué)習(xí)知識(shí)的能力沒有得到培養(yǎng)，學(xué)生的邏輯推理、邏輯思維能力，計(jì)算能力需要進(jìn)一步加強(qiáng)，以提升學(xué)生的整體成績；在學(xué)習(xí)態(tài)度上，絕大部分學(xué)生上課能全神貫注，積極的投入到學(xué)習(xí)中去。
二、本學(xué)期教學(xué)內(nèi)容（概念、法則、原理等）和目的要求：
本學(xué)期教學(xué)內(nèi)容，共計(jì)六章，第一章《一元一次不等式和一元一次不等式組》本章通過具體實(shí)例建立不等式，探索不等式的基本性質(zhì)，了解一般不等式的解、解集、解集在數(shù)軸上的表示，一元一次不等式的解法及應(yīng)用；通過具體實(shí)例滲透一元一次不等式、一元一次方程和一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系．最后研究一元一次不等式組的解集和應(yīng)用．第二章《分解因式》本章通過具體實(shí)例分析分解因式與整式的乘法之間的關(guān)系揭示分解因式的實(shí)質(zhì)，最后學(xué)習(xí)分解因式的幾種基本方法．第三章《分式》本章通過分?jǐn)?shù)的有關(guān)性質(zhì)的回顧建立了分式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則，并在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)分式的化簡求值、解分式方程及列分式方程解應(yīng)用題．第四章《相似圖形》本章通過對(duì)兩條線段的比和成比例線段等概念的學(xué)習(xí)，全面探索相似三角形、相似多邊形的性質(zhì)與識(shí)別方法．第五章《數(shù)據(jù)的收集與處理》主要是概念的理解與運(yùn)用．第六章《證明一》本章主要內(nèi)容是命題的相關(guān)概念、分類及應(yīng)用．
重點(diǎn)（1）掌握不等式的基本性質(zhì)，一元一次不等式（組）的解法及應(yīng)用．（2）掌握分解因式的兩種基本方法（提公因式法與公式法）．（3）掌握分式的基本性質(zhì)、四則運(yùn)算、分式方程的解法及列分式方程解應(yīng)用題．（4）成比例線段的概念及應(yīng)用和相似三角形的性質(zhì)和判定．（5）調(diào)查方法的應(yīng)用．（6）命題的推理論證．
難點(diǎn)（1）對(duì)不等式的基本性質(zhì)的理解和熟練運(yùn)用，一元一次不等式（組）的應(yīng)用．（2）提公因式法與公式法的靈活運(yùn)用．（3）分式的四則混合運(yùn)算和列分式方程解應(yīng)用題．（4）靈活運(yùn)用比例線段和相似三角形知識(shí)能力的培養(yǎng)．（5）幾個(gè)概念的理解、區(qū)別和應(yīng)用．（6）命題的推理論證．
三、為了達(dá)到本學(xué)期教學(xué)目的要求將采取的具體措施是什么？教學(xué)方法上做哪些改革？
1、認(rèn)真研讀新課程標(biāo)準(zhǔn)，鉆研新教材，根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，擴(kuò)充教材內(nèi)容，認(rèn)真上課，批改作業(yè)，認(rèn)真輔導(dǎo)，認(rèn)真制作測(cè)試試卷，也讓學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)真學(xué)習(xí)。
2、興趣是最好的老師，激發(fā)學(xué)生的興趣，給學(xué)生介紹數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)史，介紹相應(yīng)的數(shù)學(xué)趣題，給出數(shù)學(xué)課外思考題，激發(fā)學(xué)生的興趣。
3、引導(dǎo)學(xué)生積極參與知識(shí)的構(gòu)建，營造民主、和諧、平等、自主、探究、合作、交流、分享發(fā)現(xiàn)快樂的學(xué)習(xí)課堂氛圍，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)的快樂，享受學(xué)習(xí)。
4、運(yùn)用新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念指導(dǎo)教學(xué)，積極更新自己腦海中固有的教育理念，不同的教育理念將帶來不同的教育效果。
5、培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，陶行知說：教育就是培養(yǎng)習(xí)慣，有助于學(xué)生穩(wěn)步提高學(xué)習(xí)成績，發(fā)展學(xué)生的非智力因素，彌補(bǔ)智力上的不足。
四、本學(xué)期教學(xué)進(jìn)度安排表：
單元章節(jié)教材內(nèi)容課時(shí)預(yù)計(jì)上課日期
一元一次不等式與一次函數(shù)2 第2周2.28－3.1
一元一次不等式組3 第2周3.2－3.4
復(fù)習(xí)小結(jié)2 第3周3.7－3.8
第二章《分解因式》分解因式1 第3周3.9
提公因式法2 第3周3.10－3.11
運(yùn)用公式法2 第4周3.14－3.15
復(fù)習(xí)小結(jié)1 第4周3.16
第三章《分式》分式2 第4周3.17－3.18
分式的加減法2 第5周3.22－3.23
復(fù)習(xí)小結(jié)2 第6周3.29－3.30
第四章《相似圖形》線段的比2 第6周3.31－4.1
黃金分割1 第7周4.4
形狀相同的圖形1 第7周4.5
相似多邊形1 第7周4.6
相似三角形1 第7周4.7
探索三角形相似形的條件2 第8周4.11－4.12
測(cè)量旗桿的高度1 第8周4.13
相似多邊形的性質(zhì)2 第8周4.14－4.15
頻數(shù)與頻率2 第12周5.9－5.10
數(shù)據(jù)的波動(dòng)2 第12周5.11－5.12
第六章《證明一》你能肯定嗎1 第13周5.16
定義與命題2 第13周5.17－5.18
為什么它們平行1 第13周5.19
要：本文先用實(shí)例說明什么是常規(guī)思維和創(chuàng)造性思維以及它們之間的關(guān)系；其次，論述了用創(chuàng)造性思維解測(cè)量井深與繩長的“古代問題”，并引出互逆思維的創(chuàng)造性思維方法；最后，用“雞兔同籠”問題的創(chuàng)造性思維來說明創(chuàng)造想象在創(chuàng)造性思維中的特殊、重要的作用.
關(guān)鍵詞：常規(guī)思維；創(chuàng)造性思維；互逆思維；聯(lián)想；想象
波利亞說：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練.” 本文提出的是要加強(qiáng)解應(yīng)用題的思維訓(xùn)練.
■常規(guī)解與創(chuàng)造性思維解的比較
例1 甲、乙兩地相距36千米，某人騎自行車去時(shí)是一段上坡路與另一段坡度相同的下坡路，去時(shí)用2小時(shí)40分鐘，回來時(shí)只用了2小時(shí)20分鐘，并知走下坡路比走上坡路每小時(shí)快6千米，問上坡路每小時(shí)多少千米？
筆者把小黑板的例1往上一放，全班學(xué)生正拿草稿紙作，小芳與小華在黑板兩邊也開始板書.
小華用的是常規(guī)思維的解法：設(shè)上坡路每小時(shí)x千米， 下坡路y千米， 則依題意有下列分式方程組
■+■=2■，（1）■+■=2■，（2）
教師：你這個(gè)分式方程組是怎么來的？你的方程組如何以語言信息的形式來表達(dá)呢？
小華：第一個(gè)分式方程是去時(shí)一段上坡路某人騎自行車去時(shí)所花的時(shí)間加上他下坡路所走的時(shí)間和是2小時(shí)40分鐘；第二個(gè)分式方程是他下坡路所花時(shí)間加上他上坡路所走的時(shí)間和是2小時(shí)20分鐘.
小芳用創(chuàng)造性思維的解法：設(shè)上坡路速度為每小時(shí)x千米， 并把一去一回視為一個(gè)整體. 一去一回上坡與下坡路程都是36千米，依題意得分式方程■+■=5，（3）
教師：你這個(gè)分式方程是怎么來的？用語言敘述方程組是如何轉(zhuǎn)化而來的？
小芳：把一去一回視為一個(gè)整體. 去時(shí)的上坡路與回來時(shí)的上坡路之和是36千米，所用時(shí)間是■；回來時(shí)的下坡路與去時(shí)的下坡路之和也是36千米， 所用時(shí)間是路程除以速度得下坡路所用時(shí)間是■，一去一回的總時(shí)間是2小時(shí)40分鐘，加2小時(shí)20分鐘，剛好是5小時(shí).
教師（問全班學(xué)生）：如何解分式方程組呢？小華與小芳分別列出的分式方方程組、分式方程有什么聯(lián)系呢？
小慧：（1）+（2）？圯（3），換句話說， 只要解出（3）來，分式方程組不就解出來了嗎？
這幾句“言簡意賅”的話迎得一陣熱烈的撐聲.
教師（總結(jié)）：什么是創(chuàng)造性思維呢？是新穎的、獨(dú)特的、有價(jià)值的（智力價(jià)值、理論價(jià)值、經(jīng)濟(jì)價(jià)值）的思維. 對(duì)學(xué)生來說，一般不是對(duì)某種新東西的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)造的成就， 而只是對(duì)已知東西的再發(fā)現(xiàn)，如上面的小芳的解題方法是創(chuàng)造性思維.
創(chuàng)造性思維是思維活動(dòng)的一種，它對(duì)問題的思考不是直接從頭腦中已有的思維形式和思維方法去找答案，而是從問題的本身去進(jìn)行分析，進(jìn)行一系列探索性思維活動(dòng)，將已有的思維形式和思維方法大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的新辦法. 小慧“一針見血”地指出了常規(guī)思維的解法與創(chuàng)造性思維解法的內(nèi)在與外在的聯(lián)系.
如何解（3）的分式方程呢？只要把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，但要注意增根與減根即可.
例2
2000年入夏以后，湖北地區(qū)旱情嚴(yán)重，為緩解甲、乙兩地旱情，某水庫計(jì)劃向甲、乙兩地送水，甲地需水量為180萬立方米，乙地需水量為120萬立方米，現(xiàn)已兩次送水，往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84萬立方米；往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81萬立方米；問完成向甲、乙兩地送水任務(wù)還各需多少天？
為了讓學(xué)生自主探索、自主思維、自主尋找思路、自主總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，擺脫“教師講，學(xué)生聽”的傳統(tǒng)講解模式，筆者讓學(xué)生通過自己的思維來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).
設(shè)完成往甲地送水任務(wù)還需x天， 完成往乙地送水任務(wù)還需y天. 用代數(shù)式表示每天往甲地運(yùn)水，已運(yùn)送5天如何表示？■. 用代數(shù)式表示每天往乙地運(yùn)水，已運(yùn)送5天如何表示？■. 這時(shí)有兩種列方程組的方案：
以小芳為首的學(xué)生列出方程組
■×3+■×2=84，（1）■×2+■×3=81，（2）
以小慧為首的學(xué)生用換元法列出方程組3t+2z=84，2t+3z=81 ？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，2t+3z=81？圯z=15，t=18.
當(dāng)小芳還在列完分式方程組， 正考慮如何解時(shí)， 小慧已經(jīng)完成第一次解方程組， 而正要代入求另一方程組的解：■=18，■=15？圯18x+18×5=180，15y+15×5=120？圯x=5，y=3.
小華又在小慧的解答基礎(chǔ)上改進(jìn)成了如下更先進(jìn)、簡潔、漂亮的好方法：
3t+2z=84，（3）2t+3z=81，（4）？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，（5）2t+3z=81，（6）？圯（6）-（5），t+2z=48，（7）t+z=33，（8）？圯z=15，t=18.
筆者善于通過“對(duì)比”來評(píng)價(jià)兩種解應(yīng)用題方法的優(yōu)劣：小慧的創(chuàng)新之處在于她觀察到（3）與（4）的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和的特殊性——它們都能被5整除，從而巧妙地得出（5）式，小華在小慧的解答基礎(chǔ)上改進(jìn)了什么呢？（當(dāng)全班學(xué)生看到（7）、（8）式時(shí)，不由得引起一陣熱烈的撐聲）小芳是常規(guī)思維的解法，小慧與小華是屬于創(chuàng)造性思維的解法.
筆者又說：“眾里尋他千百度， 驀然回首，那人卻在燈火闌珊處.” （又迎來一陣熱烈的掌聲）
最后筆者用波利亞的話來引導(dǎo)出換元法：“原來的問題是我們要達(dá)到的目的，而輔助問題只是我們?cè)噲D達(dá)到的目的的手段. 一只飛蟲企圖穿過窗戶玻璃逃出去，它在同一扇窗戶上試了又試，而不去試試附近打開的窗戶，而那扇窗戶就是它進(jìn)來的那扇. 人能夠或者至少能夠行動(dòng)得更聰明些. 人的高明之處就在于當(dāng)他碰到一個(gè)不能直接克服的障礙時(shí)，他會(huì)繞過去；當(dāng)原來的問題看起來似乎不好解時(shí)，就想出一個(gè)合適的輔助問題. 構(gòu)造一個(gè)輔助問題是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng). 舉出一個(gè)有助于另一問題的清晰的新問題，能夠清楚地把達(dá)到另一目標(biāo)的手段設(shè)想成一個(gè)新目標(biāo)，這都是運(yùn)用智慧的卓越成就.”
這段話是用變量替換作手段來解方程（方程組）的. 當(dāng)然變量替換還可以分解因式，如將x2y2－5x2y－3xy2+15xy－14x2+5y2+57x－25y－70分解因式. 初看起來“雜亂無章”，“理不出頭緒”和無法下手；若用創(chuàng)造性思維，并先用“分解與重新組合”的方法，再視為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，則看起來井然有序，條理清楚，主次分明.
（x2－3x+5）y2－5（x2－3x+5）y－14（x2－3x+5）=（x2－3x+5）（y2－5y－14）=（x2－3x+5）·（y+2）（y－7）.
要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的解法，必須分三歩走：扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)是創(chuàng)造性思維的解法的基礎(chǔ)，分式方程式解法的基礎(chǔ)知識(shí)是轉(zhuǎn)化成整式方程，區(qū)分増根，要學(xué)會(huì)驗(yàn)根；其次是了解整式方程的代入消元法與加減消元法，以及將二者結(jié)合起來的“既加再除”的新穎方法. 第二，敏銳的觀察力是訓(xùn)練創(chuàng)造性思維的前提，如例1的（1）+（2）（3）就需要敏銳的觀察力. 第三，豐富的想象力是創(chuàng)造性思維的設(shè)計(jì)師，在例1中，把一去一回視為一個(gè)整體就是發(fā)揮豐富的想象力，并將去的上坡路與回的上坡路視為36里，又將回的下坡路與去的下坡路也視為36里，都是發(fā)揮豐富的想象力. 愛因斯坦說：“提出新問題，新的可能性，從新的角度看舊的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步”. 第四，發(fā)散思維是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的源泉.
■古代問題的創(chuàng)造性思維的解法
數(shù)學(xué)教師從講故亊開始，引出互逆思維. 逆向思維是創(chuàng)造性思維的一種，舉個(gè)有趣的生活中有發(fā)現(xiàn)意義的實(shí)例：你們吃獼猴桃是如何剝皮呢？
吃獼猴桃要?jiǎng)兤な潜娝苤氖拢绾蝿兤つ兀繌耐馔飫兤ぜ扰K又不衛(wèi)生，若想到逆向思維， 從里面往外去剝皮——即用金屬勺子在“一刀切斷”的獼猴桃中從里邊往外一勺一勺地挖獼猴桃肉，這種采用逆向思維的方法，既衛(wèi)生又高質(zhì)量完成任務(wù). 這個(gè)方法對(duì)解“古代問題”是有啟發(fā)的.
例3 “用繩子測(cè)量井深，把繩子三折來量，井外余4尺，把繩子四折來量，井外余1尺，求井深與繩長各幾何？”
能用互為逆向思維的創(chuàng)造性方法來解答嗎？
在筆者的啟發(fā)下，小慧和小華分別得出了創(chuàng)造性思維解法1與創(chuàng)造性思維解法2.
解法1：（進(jìn)的方法）把繩子三折來量，井外余4尺，4×3=12，這時(shí)可想象把井外的12尺再量井深，那么根據(jù)第二個(gè)條件， 把繩子四折來量，井外余1尺，12-4=8，可知井深為8尺.繩長為36尺.
解法2：（退的方法）把繩子四折來量，井外余1尺，這時(shí)，若想象出用井內(nèi)的一折到井外來量，根據(jù)把繩子三折來量，井外余4尺，（4-1）·3-1=8，可知井深還為8尺. 繩長為36尺.
可見，互為逆向思維的方法是創(chuàng)造性思維的一種.
創(chuàng)造性思維解法1與創(chuàng)造性思維解法2的共同點(diǎn)是創(chuàng)設(shè)情境，使兩種用繩子測(cè)量井深的方法既產(chǎn)生聯(lián)系，又產(chǎn)生思維碰撞，既要引出新舊亊物之間的聯(lián)系，又要引出新舊亊物之間的矛盾，新舊亊物之間的聯(lián)系是啟發(fā)學(xué)生思維的基礎(chǔ)；新舊亊物之間的矛盾是啟發(fā)學(xué)生思維的核心.
■雞兔同籠問題的創(chuàng)造性思維解法
例4
今有雞兔若干，它們共有50個(gè)頭和140只腳，問雞兔各有若干只？
解法1：發(fā)揮豐富的想象，假設(shè)出現(xiàn)下面奇特的現(xiàn)象，所有的雞都抬起一只腳，所有的兔子都抬起兩只腳，只用兩只后腳站立，這時(shí)雞的頭數(shù)與腳數(shù)相等，而兔的腳數(shù)是頭數(shù)的2倍，腳的總數(shù)是原來腳的總數(shù)的一半，故腳的總數(shù)70減去50所得的差20，即為兔的數(shù)目，進(jìn)而易得雞為30只.
解法2：發(fā)揮豐富的想象，假設(shè)出現(xiàn)下面奇特的現(xiàn)象，所有的雞都沒有抬起一只腳，所有的兔子都抬起兩只腳，只用兩只后腳站立，這時(shí)，頭數(shù)還是50個(gè)，雞與兔子的總腿數(shù)是總頭數(shù)的2倍，即為100，原來的總腿數(shù)140減去現(xiàn)在的總腿數(shù)100剛好是兔數(shù)的2倍，40÷2=20剛好是兔數(shù)，雞數(shù)為50-20=30只.
這類問題所涉及的知識(shí)點(diǎn)包括四邊形、三角形和圓等初中基本平面幾何圖形的性質(zhì)，以及這些圖形的變換（包括折疊問題，最短路徑問題等）.下面我們繼續(xù)邊看題邊分析.
1.（2016，防城港）如圖，已知正方形ABCD邊長為1，∠EAF=45°，AE=AF，則有下列結(jié)論：
①∠1=∠2=22.5°；②點(diǎn)C到EF的距離是[2]-1；③ECF的周長為2；④BE+DF>EF.
其中正確的結(jié)論是 .（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
本題主要考查正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)定理.解決本題的關(guān)鍵是證明AC垂直平分EF.
答案：①②③
2.（2016，北海）如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，對(duì)折紙片，使得AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平后，再把紙片沿著BM折疊，使得點(diǎn)A與EF上的點(diǎn)N重合，在折痕BM上取一點(diǎn)P，使得BP=BA，連接NP并延長，交BA的延長線于點(diǎn)Q，若AB=6，則AQ的長為 .
此題主要考查幾何變換，非常考驗(yàn)同學(xué)們的分析推理能力、空間想象能力.它涉及的知識(shí)點(diǎn)包括等邊三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及折疊的性質(zhì)和應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值.本題的綜合性很強(qiáng).
答案：[33]-3
3.（2015，北海）如圖，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿對(duì)角線OB折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，OD與BC交于點(diǎn)E，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ）
A.（4，8）
B.（5，8）
C.[245，325]
D.[225，365]
此題考查了翻折變換（折疊問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
答案：C
4.（2014，南）如圖，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=[a]，以斜邊AB上的點(diǎn)O為圓心的圓分別與AC，BC相切與點(diǎn)E，F(xiàn)，與AB分別交于點(diǎn)G，H，且EH的延長線和CB的延長線交于點(diǎn)D，則CD的長為 .
本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形以及相似三角形的性質(zhì)，同學(xué)們需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用相似三角形的性質(zhì)及切線的性質(zhì)即可解決問題.
答案：[1+22]a
5.（2015，防城港）如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點(diǎn)E在AB邊上且BE=1，點(diǎn)P，Q分別是邊BC，CD的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長取最小值時(shí)，四邊形AEPQ的面積是 .
本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題以及正方形的性質(zhì).利用軸對(duì)稱確定點(diǎn)A，E分別關(guān)于CD，BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，E′，連接A′E′得出P，Q的位置是解題關(guān)鍵.相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形分割法是求面積的重要方法.
答案：[92]
幾何圖形綜合題類選擇填空壓軸題復(fù)習(xí)建議：此類題綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)點(diǎn)多，大多數(shù)是牽涉到圖形變換，其中以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換為解題思路的題目更是成為近年來出題的熱點(diǎn).
第四類：閱讀理解型
閱讀理解型問題近年在全國各地中考數(shù)學(xué)試題中頻頻“亮相”，特別值得我們注意.
1.（2015，欽州）對(duì)于任意的正數(shù)m，n定義運(yùn)算為：mn=[m-n （mn）m+n （m
A.[2-46] B. 2 C.[25] D. 20
此題是閱讀理解型問題，定義了新運(yùn)算，其實(shí)主要考查的是二次根式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目所給的運(yùn)算法則求解.
【解答】解：3>2，
3×2=[3]-[2]，
8
8×12=[8]+[12]=2×（[2]+[3]），
（3×2）×（8×12）=（[3]-[2]）×2×（[2]+[3]）=2.
故選B.
2.（2015，南寧）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，我們規(guī)定符號(hào)Max{a，b}表示a，b中的較大值，如：Max{2，4}=4，按照這個(gè)規(guī)定，方程[Maxx，-x=2x+1x]的解為（ ）
A.[1-2]
B.[2-2]
C.[1+2或1-2]
D.[1+2或-1]
此題同樣是定義了新運(yùn)算，主要考查分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.最后，解分式方程一定注意要驗(yàn)根.
【解答】解：當(dāng)x
去分母得：x2+2x+1=0，即x=-1；
當(dāng)x>-x，即x>0時(shí)，所求方程變形得：x=[2x+1x]，即x2-2x=1，
解得：x=1+[2]或x=1-[2]（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)x=-1與x=1+[2]都為分式方程的解.
故選D.
九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者．
新課程把數(shù)學(xué)思想、方法作為基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，在數(shù)學(xué)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出來，這不僅是課標(biāo)體現(xiàn)義務(wù)教育性質(zhì)的重要表現(xiàn)，也是對(duì)學(xué)生實(shí)施創(chuàng)新教育、培訓(xùn)創(chuàng)新思維的重要保證．
一、 了解《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》要求，把握教學(xué)方法
所謂數(shù)學(xué)思想，就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)．所謂數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的根本程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的行為．運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過程，當(dāng)這種量的積累達(dá)到一定程序時(shí)就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想．若把數(shù)學(xué)知識(shí)看作一幅構(gòu)思巧妙的藍(lán)圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數(shù)學(xué)方法相當(dāng)于建筑施工的手段，而這張藍(lán)圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想．
1．新課標(biāo)要求，滲透“層次”教學(xué)．
《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》對(duì)初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為三個(gè)層次，即“了解”、“理解”和“會(huì)應(yīng)用”．在教學(xué)中，要求學(xué)生“了解”數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數(shù)的思想等．這里需要說明的是，有些數(shù)學(xué)思想在《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學(xué)習(xí)新知識(shí)和運(yùn)用新知識(shí)解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉(zhuǎn)化的思想方法．如初中數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)中明確提出“反證法”的教學(xué)思想，且揭示了運(yùn)用“反證法”的一般步驟，但《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》只是把“反證法”定位在通過實(shí)例，“體會(huì)”反證法的含義的層次上，我們?cè)诮虒W(xué)中，應(yīng)牢牢地把握住這個(gè)“度”，千萬不能隨意拔高、加深．否則，教學(xué)效果將是得不償失．
2．從“方法”了解“思想”，用“思想”指導(dǎo)“方法”．
關(guān)于初中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想和方法內(nèi)涵與外延，目前尚無公認(rèn)的定義．其實(shí)，在初中數(shù)學(xué)中，許多數(shù)學(xué)思想和方法是一致的，兩者之間很難分割．它們既相輔相成，又相互蘊(yùn)含．只是方法較具體，是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段，而思想是屬于數(shù)學(xué)觀念一類的東西，比較抽象．因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)思想的了解，使數(shù)學(xué)思想與方法得到交融的有效方法．比如化歸思想，可以說是貫穿于整個(gè)初中階段的教學(xué)，具體表現(xiàn)為從未知到已知的轉(zhuǎn)化、一般到特殊的轉(zhuǎn)化、局部與整體的轉(zhuǎn)化，課本引入了許多數(shù)學(xué)方法，比如換元法，消元降次法、圖象法、待定系數(shù)法、配方法等．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過對(duì)具體數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步領(lǐng)略內(nèi)含于方法的數(shù)學(xué)思想；同時(shí)，數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，又深化了數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用．這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯(lián)璧合，將創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神寓于教學(xué)之中，教學(xué)才能卓有成效．
二、遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，把握教學(xué)原則
實(shí)施創(chuàng)新教育要達(dá)到《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》的基本要求，教學(xué)中應(yīng)遵循以下幾項(xiàng)原則：
1．滲透“方法”，了解“思想”．
由于初中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)比較貧乏，抽象思維能力也較為薄弱，把數(shù)學(xué)思想、方法作為一門獨(dú)立的課程還缺乏應(yīng)有的基礎(chǔ)．因而只能將數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，把數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中．教師要把握好滲透的契機(jī)，重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，知識(shí)的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學(xué)生在這些過程中展開思維，從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，形成獲取、發(fā)展新知識(shí)，運(yùn)用新知識(shí)解決問題．忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識(shí)的結(jié)論，就必然失去滲透數(shù)學(xué)思想、方法的一次次良機(jī)．如北師大版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)課本《有理數(shù)》這一章，與原來部編教材相比，它少了一節(jié)──“有理數(shù)大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中．在數(shù)軸教學(xué)之后，就引出了“在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，“正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)”．而兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小的全過程單獨(dú)地放在絕對(duì)值教學(xué)之后解決．教師在教學(xué)中應(yīng)把握住這個(gè)逐級(jí)滲透的原則，既使這一章節(jié)的重點(diǎn)突出，難點(diǎn)分散；又向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生易于接受．
2.訓(xùn)練“方法”，理解“思想”．
數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容是相當(dāng)豐富的，方法也有難有易．因此，必須分層次地進(jìn)行滲透和教學(xué)．這就需要教師全面地熟悉初中三個(gè)年級(jí)的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想、方法滲透的各種因素，對(duì)這些知識(shí)從思想方法的角度作認(rèn)真分析，按照初中三個(gè)年級(jí)不同的年齡特征、知識(shí)掌握的程度、認(rèn)知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹?cái)?shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)．如在教學(xué)同底數(shù)冪的乘法時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生先研究底數(shù)、指數(shù)為具體數(shù)的同底數(shù)冪的運(yùn)算方法和運(yùn)算結(jié)果，從而歸納出一般方法，在得出用a表示底數(shù)，用m、n表示指數(shù)的一般法則以后，再要求學(xué)生應(yīng)用一般法則來指導(dǎo)具體的運(yùn)算．在整個(gè)教學(xué)中，教師分層次地滲透了歸納和演繹的數(shù)學(xué)方法，對(duì)學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣起重要作用．
3.掌握“方法”，運(yùn)用“思想”．
數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)要經(jīng)過聽講、復(fù)習(xí)、做習(xí)題等才能掌握和鞏固．?dāng)?shù)學(xué)思想、方法的形成同樣有一個(gè)循序漸進(jìn)的過程．只有經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練才能使學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)．另外，使學(xué)生形成自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)，必須建立起學(xué)生自我的“數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)”，這更需要一個(gè)反復(fù)訓(xùn)練、不斷完善的過程．比如 ，運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)方法，在新概念提出、新知識(shí)點(diǎn)的講授過程中，可以使學(xué)生易于理解和掌握．學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時(shí)候，我們可以用乘法公式類比；在學(xué)次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)時(shí)，我們可以和一元二次方程的根與系數(shù)性質(zhì)類比．通過多次重復(fù)性的演示，使學(xué)生真正理解、掌握類比的數(shù)學(xué)方法．
4.提煉“方法”，完善“思想”．
教學(xué)中要適時(shí)恰當(dāng)?shù)貙?duì)數(shù)學(xué)方法給予提煉和概括，讓學(xué)生有明確的印象．由于數(shù)學(xué)思想、方法分散在各個(gè)不同部分，而同一問題又可以用不同的數(shù)學(xué)思想、方法來解決．因此，教師的概括、分析是十分重要的．教師還要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生自我提煉、揣摩概括數(shù)學(xué)思想方法的能力，這樣才能把數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)落在實(shí)處．
三、初中階段常見的幾種數(shù)學(xué)思想方法舉例說明
1.數(shù)形結(jié)合思想．
數(shù)和式是問題的抽象和概括、圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映．初中代數(shù)教材列方程解應(yīng)用題所選很多是采用了圖示法的例題，所以，教學(xué)過程中要充分利用圖形的直觀性和具體性，引導(dǎo)學(xué)生從圖形上發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系找出解決問題的突破口．學(xué)生掌握了這一思想要比掌握一個(gè)公式或一種具體方法更有價(jià)值，對(duì)解決問題更具有指導(dǎo)意義．
2.方程思想．
眾所周知，方程思想是初等代數(shù)思想方法的主體，應(yīng)用十分廣泛，可謂數(shù)學(xué)大廈基石之一，在眾多的數(shù)學(xué)思想中顯得十分重要．
3.方程思想．
主要是指建立方程(組)解決實(shí)際問題的思想方法．教材中大量出現(xiàn)這種思想方法，如列方程解應(yīng)用題，求函數(shù)解析式，利用根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系求字母系數(shù)的值等．
教學(xué)時(shí)，可有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系從而建立方程．如講“利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式”時(shí)，可啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)確定解析式的關(guān)鍵是求出各項(xiàng)系數(shù)，可把他們看成三個(gè)“未知量”告訴學(xué)生利用方程思想來解決，那學(xué)生就會(huì)自覺的去找三個(gè)等量關(guān)系建立方程組．在這里如果單講解題步驟，就會(huì)顯得呆板、僵硬，學(xué)生只知其然，不知其所以然．與此同時(shí)，還要注意滲透其他與方程思想有密切關(guān)系的數(shù)學(xué)思想，諸如換元，消元，降次，函數(shù)，化歸，整體，分類等思想，這樣可起到撥亮一盞燈，照亮一大片的作用．
4.辯證思想．
關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)思想 課堂教學(xué)
應(yīng)用
目前對(duì)于數(shù)學(xué)思想的提法很是流行，對(duì)其概念的界定也是眾說紛紜。然而據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)思想就是學(xué)生通過對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)形成自己的觀點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律。數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用即把這些屬于自己的數(shù)學(xué)規(guī)律用于學(xué)習(xí)和解題的過程中。從而達(dá)到事半功倍的效果。簡言之?dāng)?shù)學(xué)思想主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)語言、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、類比、分類等規(guī)律的總結(jié)和運(yùn)用上。那么我們究竟如何在平時(shí)的教學(xué)中卓有成效的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想并促使其學(xué)會(huì)應(yīng)用呢？這是值得我們每個(gè)教育工作者關(guān)注和思考的一個(gè)問題。
從教學(xué)實(shí)踐中可知：數(shù)學(xué)課的教學(xué)，實(shí)際上是教給學(xué)生數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。而這兩者之間的關(guān)系是顯性與隱性的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)是獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的動(dòng)力，是培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題能力的鑰匙。
眾所周知，中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)主要是代數(shù)、幾何和三角中由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法，它須教師在課堂上向?qū)W生展示獲得知識(shí)、技能及解決問題的思考過程和解決問題的方法，力求使學(xué)生不斷接觸了解一些重要的數(shù)學(xué)思想和方法。那么我們?cè)鯓釉诮虒W(xué)實(shí)踐中去落實(shí)這一點(diǎn)呢？筆者認(rèn)為從以下幾個(gè)方面入手較好：
一、落實(shí)基本概念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想
因?yàn)閷?duì)于概念的深刻理解，是提高解題能力的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，能力的提高是通過學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語言表達(dá)和對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)用來體現(xiàn)的，數(shù)學(xué)語言和符號(hào)實(shí)現(xiàn)了思維的概括性和簡明性。由繁與簡、新與舊之間達(dá)到對(duì)立的協(xié)調(diào)和諧的統(tǒng)一。例如在講切線的判定定理時(shí)，不僅抓住定理的內(nèi)涵和外延，更注重?cái)?shù)學(xué)語言和符號(hào)思想的培養(yǎng)。學(xué)生既要熟知“過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。”這一定理，還要在頭腦中形成直觀的形象即OAAT;OA是O的半徑則自然推出AT是O的切線，A是切點(diǎn)。如果需證直線AT是O的切線時(shí)則（1）如果知道ATOA，必須證明A在O上或OA是O的半徑（2）如果知道A在O上，必須證明OA AT。當(dāng)學(xué)生掌握了以上知識(shí)點(diǎn)時(shí)，再做練習(xí)：“梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90?，BC是O的直徑，且BC=AB﹢CD。求證：AD是O的切線”時(shí)，大多數(shù)學(xué)生都會(huì)過點(diǎn)O作OEAD，垂足為E，再證明OE是O的半徑。這樣從概念入手，在解題的過程中形成數(shù)學(xué)意識(shí)。
二、注重?cái)?shù)形結(jié)合，構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)思想
數(shù)學(xué)知識(shí)盡管來源于生活實(shí)踐，但數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西是從生活實(shí)踐中的知識(shí)高度概括和抽象出來的。這就要求在教學(xué)中把抽象的知識(shí)具體化、形象化，通過直觀的形象來深化教學(xué)的實(shí)質(zhì)。為了培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，教師應(yīng)該將數(shù)形結(jié)合思想充分暴露給學(xué)生。例如在學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，我在教學(xué)中構(gòu)造了直觀數(shù)學(xué)模型（一個(gè)圓面與一條直尺）設(shè)O的半徑為R，圓心O到直線L的距離為d，從直線與O相離時(shí)慢慢移動(dòng)，觀察直線與圓的位置關(guān)系，通過“數(shù)”和“形”的對(duì)比，學(xué)生很容易認(rèn)識(shí)并掌握直線與的位置的三種關(guān)系。能應(yīng)用這種數(shù)量關(guān)系去判定直線與圓的位置關(guān)系。
三、注重合理分類，梳理學(xué)生的數(shù)學(xué)思想
分類思想是根據(jù)所研究的對(duì)象相同點(diǎn)和不同點(diǎn)區(qū)分不同類型的數(shù)學(xué)思想方法。分類有兩個(gè)性質(zhì)：第一，同一性；第二，獨(dú)立性。同一性是指分類的標(biāo)準(zhǔn)是一致的。獨(dú)立性是指每類獨(dú)立存在，不重復(fù)也不遺漏。例如在教學(xué)圓周角定理“一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”的證明過程時(shí)，通過圓心在圓周角外部、一邊上、角的內(nèi)部三種情況，把此定理的證明過程分成三類進(jìn)行證明，圓周角一邊過圓心最易證明，其他兩種情況可轉(zhuǎn)化到第一種情況也容易證明。這樣以來，學(xué)生頭腦中思路更為清晰，解起題來就會(huì)得心應(yīng)手！
四、運(yùn)用“等價(jià)轉(zhuǎn)化和換元”體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想
在解方程（組）的教學(xué)中，強(qiáng)化消元、降次的思想，就解分式方程來談，解分式方程反映出來的數(shù)學(xué)方法就是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，其中滲透了“等價(jià)轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。通過分式方程的學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步明確和掌握“把分式方程化為整式方程”這一基本的數(shù)學(xué)方法。更重要的“轉(zhuǎn)化”是解數(shù)學(xué)題的重要手段。一位好的數(shù)學(xué)教師要學(xué)生努力保持好的解題胃口，任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題都是通過“聯(lián)想、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化”的思維方式有機(jī)地進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)未知到已知的過程。滲透轉(zhuǎn)化和換元思想是引導(dǎo)學(xué)生以下幾點(diǎn)：
1、解方程（組） 降次、換元、公式變形。
2、一元二次方程和一元二次函數(shù)轉(zhuǎn)化的思想。
3、幾何輔助線引發(fā)第一，幾何習(xí)題的條件和結(jié)論的變化；第二，對(duì)圖形的變化。
4、代數(shù)、幾何、三角之間的轉(zhuǎn)化思想。
一、注重聯(lián)系現(xiàn)實(shí)原型，對(duì)概念作解釋。
數(shù)學(xué)概念都是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的，如正負(fù)數(shù)、數(shù)軸、直角坐標(biāo)系、函數(shù)、角、平行線等，都是由于科學(xué)與實(shí)踐的需要而產(chǎn)生的。講清它們的來源與實(shí)物作比較，這樣學(xué)生既不會(huì)感到抽象，而且容易形成生動(dòng)活潑的學(xué)習(xí)氛圍。
（1）注意概念的引出
例如：怎樣用數(shù)表示前進(jìn)3米？后退3米？收入200元與支出200元等這些相反量呢？引出正負(fù)數(shù)的概念；用溫度計(jì)、桿稱這些實(shí)物，引出數(shù)軸這個(gè)概念；由對(duì)不同實(shí)物的分類，引出同類項(xiàng)概念等。首先從對(duì)實(shí)物的感受激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，再由抽象的特征濃縮成數(shù)學(xué)概念，學(xué)生容易接受。
（2）注意概念的及時(shí)整理
對(duì)于概念的引出，要把握好時(shí)間度，如過早的下定義，等于是索然無味的簡單灌輸，但定義過遲，學(xué)生容易失去興趣，同時(shí)使已有知識(shí)呈現(xiàn)零亂狀態(tài)。因此，教師在教學(xué)過程中，要及時(shí)整理和總結(jié)，在學(xué)生情緒高漲的時(shí)候及時(shí)總結(jié)出定義。
（3）注意概念的多角度說明
因?yàn)榻處熖峁┑母行圆牧贤哂衅嫘裕猿Ｔ斐蓪W(xué)生錯(cuò)誤地?cái)U(kuò)大或縮小概念。因此要從多角度各方面加以補(bǔ)充說明。如“垂線”這個(gè)概念，不但要用“”號(hào)來表示，而且要用多種特殊圖形和實(shí)物來透視概念的含義。
二、注重刻劃概念的本質(zhì)，對(duì)概念進(jìn)行分析。
一個(gè)概念在其形成過程中，往往附帶著許多無關(guān)特征。因此教師應(yīng)抓住重點(diǎn)，善于引導(dǎo)學(xué)生，這樣學(xué)生便能把握著概念突現(xiàn)出來的實(shí)質(zhì)，盡量減少乃至消除相關(guān)不利因素的干擾。
（1）講清概念的意義
例如：“不等式的解集”這一概念，抓住“集”這一特征進(jìn)行分析，即不等式所有解的集合。更通俗地說，就是把不等式所有的解集合在一起（象學(xué)生排隊(duì)集合一樣），組成了不等式的解集，最終表示成x>a等形式。只有理解了這個(gè)定義，學(xué)生在解決問題的時(shí)候，就不會(huì)有丟解的現(xiàn)象。
（2）抓住概念中的關(guān)鍵字眼作分析。
例如：“同類項(xiàng)就是含有相同的字母，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)。”這個(gè)概念中，抓住“相同”這一關(guān)鍵字作分析，相同的是什么？是字母和它的指數(shù)
兩部分;“最簡分式”的概念中，抓住“不含公因式”這一關(guān)鍵字眼。只有學(xué)生真正理解了概念，那么在解決問題的時(shí)候，才能得心應(yīng)手，不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。
(3)抓住概念間的內(nèi)在聯(lián)系作比較。
對(duì)于有內(nèi)在聯(lián)系的概念，要作好比較，加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。例如：“一元一次方程”的概念，是建立在“元”、“次”、“方程”這三個(gè)概念基礎(chǔ)之上的。“元”表示未知數(shù)，“次”表示未知數(shù)的最高次數(shù)，次數(shù)是就整式而言的，所以“一元一次方程”是最簡單的整式方程。這樣學(xué)生便于抓住“一元一次方程”的本質(zhì)，并為以后學(xué)習(xí)其它方程的概念打下基礎(chǔ)。
再如：“乘方”與“冪”之間的關(guān)系，“直角”與“90°”之間的關(guān)系，“方程的解”與“不等式的解”之間的關(guān)系，“最簡分式”與“最簡根式”之間的關(guān)系等等。做好有內(nèi)在聯(lián)系的概念、相似概念的比較，學(xué)生應(yīng)用起來才會(huì)得心應(yīng)手。
三、注重實(shí)際應(yīng)用概念，對(duì)概念進(jìn)行升華。
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的目的，就是用于實(shí)踐。因此要讓學(xué)生通過實(shí)際操作去掌握概念，升華概念。概念的獲得是由個(gè)別到一般，概念的應(yīng)用則是從一般到個(gè)別。學(xué)生掌握概念不是靜止的，而是主動(dòng)在頭腦中進(jìn)行積極思維的過程，它不僅能使已有知識(shí)再一次形象化具體化，而且能使學(xué)生對(duì)概念的理解更全面、更深刻。
（1）多角度考察分析概念。
例如，對(duì)一次函數(shù)概念的掌握，可通過下列練習(xí)：
①如果Y=（m+3）X-5是關(guān)于X的一次函數(shù)，則m=______.
②如果Y=（m+3）X-5是關(guān)于X的一次函數(shù)，則m=______.
③如果Y=（m+3）X+4X-5是關(guān)于X的一次函數(shù)，則m=______.
④如果Y=是關(guān)于X的一次函數(shù)，則m=______.
學(xué)生通過以上訓(xùn)練，對(duì)一次函數(shù)的概念及解析式一定會(huì)理解。
（2）對(duì)于容易混淆的概念，做比較訓(xùn)練。
例如學(xué)生學(xué)習(xí)了矩形、菱形、正方形的概念以后，可做以下練習(xí)：
下列命題正確的是：
①四條邊相等，并且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形。
②四個(gè)角相等，并且對(duì)角線互相垂直的四邊形是正方形。
③對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形。
④對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形。
⑤對(duì)角線互相垂直平分，且相等的四邊形是正方形。
⑥對(duì)角線互相垂直，且相等的平行四邊形是正方形。
⑦有一個(gè)角是直角，且一組鄰邊相等的四邊形是正方形。
⑧有三個(gè)角是直角，且一組鄰邊相等的四邊形是正方形。
⑨有一個(gè)角是直角，且一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形。
⑩有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。
教師在設(shè)計(jì)練習(xí)的時(shí)候，對(duì)相似概念一定要抓住它們的聯(lián)系和區(qū)別，通過練習(xí)使學(xué)生真正掌握它們的判定方法和相互關(guān)系。
（3）對(duì)個(gè)別概念，要從產(chǎn)生的根源去考察：
例如“分式方程的增根”的概念。可從產(chǎn)生的根源去考察，教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)下列練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)增根的概念：
①分式方程的根是。
②如果分式方程有增根，則增根一定是。
一、概率與方程
例1 有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-3，0，1，5的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上的數(shù)學(xué)記為a，則使關(guān)于x的分式方程1-axx-2+2=0有正整數(shù)解的概率為.
分析：本題是等可能條件下的概率和解方程的綜合題.解題思路是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，在此過程中有可能會(huì)產(chǎn)生增根，注意剔除增根，然后運(yùn)用列舉法求出使分式方程有正整數(shù)解的概率.
二、概率與不等式
例2 有3張撲克牌，分是紅桃3、紅桃4和黑桃5．把牌洗勻后甲先抽取一張，記下花色和數(shù)字后將牌放回，洗勻后乙再抽取一張．
（1）先后兩次抽得的數(shù)字分別記為s和t，求|s-t|≥1的概率．
（2）甲、乙兩人做游戲，現(xiàn)有兩種方案．A方案：若兩次抽得相同花色則甲勝，否則乙勝．B方案：若兩次抽得數(shù)字的和為奇數(shù)則甲勝，否則乙勝．請(qǐng)問甲選擇哪種方案勝率更高？
分析：本題將求概率與不等式知識(shí)掛鉤，可用列表或畫樹狀圖法計(jì)算概率，解決問題的關(guān)鍵在于既不重復(fù)也不遺漏地列出或畫出所有可能的結(jié)果.（1）通過畫樹狀圖（如圖1）可知，共有9種可能結(jié)果.而滿足不等式|s-t|≥1的結(jié)果有6種，故P=69=23.（2）由樹狀圖知，A方案：P（甲勝）=59；B方案：P（甲勝）=49.所以選擇A方案甲的勝率更高.
三、概率與函數(shù)解析式
例3 有3張不透明的卡片，除正面寫有不同的數(shù)字外，其他均相同三張卡片正面的數(shù)字分別為-1，-2，3．將這三張卡片背面朝上洗勻后，第一次從中隨機(jī)抽取一張，并把這張卡片標(biāo)有的數(shù)字記作一次函數(shù)表達(dá)式中的k，第二次從余下的兩張卡片中再隨機(jī)抽取一張，上面標(biāo)有的數(shù)字記作一次函數(shù)表達(dá)式中的b．
（1）寫出k為負(fù)數(shù)的概率.
（2）求一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限的概率．
分析：該題將一次函數(shù)的知識(shí)與求概率有機(jī)結(jié)合，它可通過表格或樹狀圖清楚地表示出問題所有的可能性，從而使問題順利解決.
四、概率與代數(shù)式的值
例4 小沈準(zhǔn)備給小陳打電話，由于保管不善，電話本上的小陳的手機(jī)號(hào)碼中，有兩個(gè)數(shù)字已模糊不清．如果用x、y表示這兩個(gè)看不清的數(shù)字，那么小陳的手機(jī)號(hào)碼為139x370y580（手機(jī)號(hào)碼由11個(gè)數(shù)字組成），小沈記得這11個(gè)數(shù)字之和是20的整數(shù)倍．
（1）求x+y的值.
（2）求小沈一次撥對(duì)小陳手機(jī)號(hào)碼的概率．
分析：本題取材于生活實(shí)際，具有現(xiàn)實(shí)性和趣味性.準(zhǔn)確求出代數(shù)式x+y的值是解決（2）的關(guān)鍵.
五、概率與幾何圖形
例5 四條線段a，b，c，d，如圖2.a∶b∶c∶d=1∶2∶3∶4.
（1）選擇其中的三條線段為邊作一個(gè)三角形（尺規(guī)作圖，要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）.
一、列分式方程解應(yīng)用題的步驟
用分式方程解決實(shí)際問題的方法與用一元一次方程解決實(shí)際問題的方法基本相同。簡單的可分為：設(shè)、找、列、解、檢、答六大步驟。具體是：
（1）設(shè)：弄清題意中的數(shù)量關(guān)系，用字母（如x）表示題目中的一個(gè)合理未知數(shù)；
（2）找：根據(jù)題意找到能夠表示題目全部含義的一個(gè)等量關(guān)系；
（3）列：根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系，正確列出方程。并且所列的方程應(yīng)滿足等號(hào)兩邊的量要相等，方程兩邊的代數(shù)式的單位要相同；
（4）解：解這個(gè)分式方程，求出未知數(shù)的值；
（5）檢：檢驗(yàn)。檢驗(yàn)應(yīng)是：檢驗(yàn)所求出的解既能使方程成立，又能符合實(shí)際意義；
（6）答：寫出答案（包括單位名稱）。
這六個(gè)步驟的難點(diǎn)是“找”，關(guān)鍵是“列”。
二、列方程解應(yīng)用題中尋找相等關(guān)系常用的方法
（1）根據(jù)日常事理來確定相等關(guān)系
例如：小華買2枝圓珠筆和4本練習(xí)本，用去1.96元。每本練習(xí)本0.24元，每枝圓珠筆多少元？
相等關(guān)系為：買2枝圓珠筆的錢＋買4本練習(xí)本的錢＝總金額。
（2）根據(jù)常見的數(shù)量關(guān)系確定相等關(guān)系
例如：北京到天津的鐵路長137千米，一列火車從北京出發(fā)，平均每小時(shí)行68.5千米，多少小時(shí)到達(dá)天津？
相等關(guān)系為：速度×?xí)r間=路程
（3）利用題目中的關(guān)鍵語句來找相等關(guān)系。
例如：某班原分成兩個(gè)興趣小組，第一組31人，第二組20人，現(xiàn)根據(jù)場(chǎng)地大小，要將第一組的人數(shù)調(diào)整為第二組人數(shù)的2倍，問應(yīng)從第二組調(diào)多少人去第一組?
“第一組的人數(shù)調(diào)整為第二組人數(shù)的2倍”是本題的關(guān)鍵語句，根據(jù)關(guān)鍵句可列相等關(guān)系為：調(diào)整后第一組的人數(shù)＝2×調(diào)整后第二組的人數(shù)。
（4）利用題目中不變的量來找相等關(guān)系。
例如：輪船在兩個(gè)碼頭之間航行，順?biāo)叫行枰?小時(shí)，逆水航行需要5小時(shí)，水流的速度是2km/h。求輪船在靜水中航行的速度。
兩個(gè)碼頭之間的距離是不變的量，則相等關(guān)系為：順?biāo)叫兴俣取另標(biāo)叫袝r(shí)間＝逆水航行速度×逆水航行時(shí)間。
（5）利用有關(guān)數(shù)學(xué)計(jì)算公式來找相等關(guān)系。
例如：一個(gè)三角形的面積是28.26平方厘米，已知底是18厘米，求高。
相等關(guān)系為：三角形面積=
三、中考熱點(diǎn)問題案例分析
例1（2010江蘇徐州）在5月舉行的“愛心捐款”活動(dòng)中，某校九（1）班共捐款300元，九（2）班共捐款225元，已知九（1）班的人均捐款額是九（2）班的1.2倍，且九（1）班人數(shù)比九（2）班多5人．問兩班各有多少人?
[分析]若以“九（1）班的人均捐款額是九（2）班的1.2倍”建立等量關(guān)系，則關(guān)系為：九（1）班的人均捐款=1.2×九（1）班的人均捐款。如果設(shè)九（2）班有x人，則九（1）班有（x+5）人；若以“九（1）班人數(shù)比九（2）班多5人”建立等量關(guān)系，則關(guān)系為：九（1）班人數(shù)=九（2）班人數(shù)+5。如果設(shè)九（2）班的人均捐款為x元，則九（1）班的人均捐款為1.2x元。
解法一：設(shè)九（2）班有x人，則九（1）班有（x+5）人。根據(jù)題意，得
解得：x=45
經(jīng)檢驗(yàn)：x=45是原方程的根
x+5=50
答：九（1）班有50人，則九（2）班有45人。
解法二：設(shè)九（2）班的人均捐款為x元，九（1）班的人均捐款為1.2x元。根據(jù)題意，得
解得：x=5
經(jīng)檢驗(yàn)：x=5是原方程的根
，45+5=50
答：九（1）班有50人，則九（2）班有45人。
例2某商店經(jīng)銷一種泰山旅游紀(jì)念品，4月營業(yè)額為2000元，為擴(kuò)大銷售量，5月份該商店對(duì)該紀(jì)念品打9折銷售，結(jié)果銷售量增加20件，營業(yè)額增加700元。
（1）求該種紀(jì)念品4月份的銷售價(jià)格；
（2）若4月銷售這種紀(jì)念品獲利800元，5月銷售這種紀(jì)念品獲利多少元?
[分析]以“銷售量增加20件”建立等量關(guān)系為：5月份銷售量=5月份銷售量-20。其中，5月的營業(yè)額為（2000+700）元。設(shè)該種紀(jì)念品4月份的銷售價(jià)為x元，則5月份的銷售價(jià)為0.9x元。
解：（1）設(shè)該種紀(jì)念品4月份的銷售價(jià)為x元。根據(jù)題意，得
解得：x=50
經(jīng)檢驗(yàn)：x=50是原方程的根
答：該種紀(jì)念品4月份的銷售價(jià)格是50元。
（2）由（1）知4月份銷售件數(shù)為 =40件，所以四月
份每件盈利 =20元。5月份銷售件數(shù)為40+20=60件，
且每件售價(jià)為50×0.9=45，每件比4月份少盈利5元，為15元，所以5月份銷售這種紀(jì)念品獲利60×15=900元。
答：5月份銷售這種紀(jì)念品獲利900元。
例3為迎接揚(yáng)州煙花三月經(jīng)貿(mào)旅游節(jié)，某學(xué)校計(jì)劃由七年級(jí)（1）班的3個(gè)小組（每個(gè)小組人數(shù)都相等）制作240面彩旗。后因一個(gè)小組另有任務(wù)，改由另外兩個(gè)小組完成制作彩旗的任務(wù)，這樣這兩個(gè)小組的每一名學(xué)生就要比原計(jì)劃多做4面彩旗。如果每名學(xué)生制作彩旗的面數(shù)相等，那么每個(gè)小組有多少學(xué)生？
[分析]以“每一名學(xué)生就要比原計(jì)劃多做4面彩旗”建立等量關(guān)系為：每名學(xué)生計(jì)劃工作量－每名學(xué)生實(shí)際工作量=4。設(shè)每個(gè)小組有x名學(xué)生，則原來共有3x名學(xué)生，現(xiàn)在共有2x名學(xué)生。
解：設(shè)每個(gè)小組有x名學(xué)生。根據(jù)題意，得
解得：x=10
經(jīng)檢驗(yàn)：x=10是原方程的根
答：每個(gè)小組有10名學(xué)生。
例4去年入秋以來，云南省發(fā)生了百年一遇的旱災(zāi)，連續(xù)8個(gè)多月無有效降水，為抗旱救災(zāi)，某部隊(duì)計(jì)劃為駐地村民新修水渠3600米，為了水渠能盡快投入使用，實(shí)際工作效率是原計(jì)劃工作效率的1.8倍，結(jié)果提前20天完成修水渠任務(wù)。問原計(jì)劃每天修水渠多少米？
[分析]若以“提前20天完成修水渠任務(wù)”建立等量關(guān)系，則關(guān)系為：計(jì)劃修水渠天數(shù)=實(shí)際修水渠天數(shù)+20。設(shè)原計(jì)劃每天修水渠x米，則實(shí)際每天修水渠1.8x米；若以“實(shí)際工作效率是原計(jì)劃工作效率的1.8倍”建立等量關(guān)系，則關(guān)系為：實(shí)際每天修水渠長度=1.8×計(jì)劃每天修水渠長度。設(shè)計(jì)劃用x天完成修水渠任務(wù)，則實(shí)際用了（x-20）天完成修水渠任務(wù)。
解法一：設(shè)原計(jì)劃每天修水渠x米。根據(jù)題意，得
解得：x=80
經(jīng)檢驗(yàn)：x=80是原方程的根
答：原計(jì)劃每天修水渠80米。
解法二：計(jì)劃用x天完成修水渠任務(wù)。
解得：x=45
經(jīng)檢驗(yàn)：x=45是原方程的根
答：原計(jì)劃每天修水渠80米。
例5（2010江蘇淮安）玉樹地震后，有一段公路急需搶修，此項(xiàng)工程原計(jì)劃由甲工程隊(duì)獨(dú)立完成，需要20天．在甲工程隊(duì)施工4天后，為了加快工程進(jìn)度，又調(diào)來乙工程隊(duì)與甲工程隊(duì)共同施工，結(jié)果比原計(jì)劃提前10天，求乙工程隊(duì)獨(dú)立完成這項(xiàng)工程需要多少天。
[分析]本題中沒有可用的關(guān)鍵句來建等量關(guān)系，但是卻有一個(gè)固有的關(guān)系，就是：甲工程隊(duì)4天的工作量+甲、乙工程隊(duì)合作6（20-10-4=6）天的工作量=工作總量，其中工作總量為1。
解：設(shè)乙工程隊(duì)獨(dú)立完成這項(xiàng)工程需要x天。根據(jù)題意，得
解得：x=12
經(jīng)檢驗(yàn)：x=12是原方程的根
答：乙工程隊(duì)獨(dú)立完成這項(xiàng)工程需12天。
例6（2010山東淄博）小明7：20離開家步行去上學(xué)，走到距離家500米的商店時(shí)，買學(xué)習(xí)用品用了5分鐘，從商店出來，小明發(fā)現(xiàn)要按原來的速度還要用30分鐘才能到校．為了在8：00之前趕到學(xué)校，小明加快了速度，每分鐘平均比原來多走25米，最后他到校的時(shí)間是7：55．求小明從商店到學(xué)校的平均速度。
[分析]本題不能用“每分鐘平均比原來多走25米”這個(gè)關(guān)鍵句建立等量關(guān)系，而是用固有關(guān)系：商店到學(xué)校路程÷實(shí)際速度=實(shí)際用時(shí)。設(shè)小明原來的平均速度為x米/分，則從商店到學(xué)校的路程為30x米，實(shí)際平均速度
為（x+25）米/分，前500米用時(shí)為 分，實(shí)際
時(shí)間為（55－20－5－ ）分。
解：設(shè)小明原來的平均速度為x米/分。根據(jù)題意，得
解得：x＝50
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝50是原方程的根
50＋25＝75
答：小明從商店到學(xué)校的平均速度為75米/分．
例7（2010四川綿陽）在5月汛期，重慶某沿江村莊因洪水而淪為弧島．當(dāng)時(shí)洪水流速為10千米/時(shí)，張師傅奉命用沖鋒舟去救援，他發(fā)現(xiàn)沿洪水順流以最大速度航行2千米所用時(shí)間，與以最大速度逆流航行1.2千米所用時(shí)間相等。則該沖鋒舟在靜水中的最大航速是多少？
[分析]本題以“時(shí)間相等”建立等量關(guān)系，關(guān)系為：順流航行時(shí)間=逆流航行時(shí)間。設(shè)沖鋒舟在靜水中的最大航速為x千米/時(shí)，則沖鋒舟順流最大航速為（x＋10）千米/時(shí)，逆流最大航速為（x－10）千米/時(shí)。
解：設(shè)該沖鋒舟在靜水中的最大航速為x千米/時(shí)。根據(jù)題意，得
解得：x＝40
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝40是原方程的根
答：該沖鋒舟在靜水中的最大航速為40千米/時(shí)。
