時間：2023-05-30 10:43:35
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇分式的約分，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
也就是說分子與分母都乘（或除以）的整式必須是同時，并且是同一個整式.
例1 在括號內(nèi)填入適當?shù)恼剑沟忍柍闪ⅲ?nbsp;
（1） =；
（2） =；
（3） =（a+1≠0）.
【講解】緊扣“性質(zhì)”進行觀察、分析，通過比較等式左、右兩邊分式的分子、分母發(fā)生了怎樣的變化，應(yīng)用分式基本性質(zhì)作出正確解答.
解：（1） a（a+b）；（2） x；（3） （a+1）c.
二、 注意理解②“不為0的整式”的意義
我們在應(yīng)用基本性質(zhì)時，應(yīng)首先考慮同乘（或除以）的整式的值是否為0. 如果為0，則分式的分母為0，無意義. 并且所乘（或除以）的數(shù)或式子必須是整式.
三、 注意理解③“分式值不變”
理解分式基本性質(zhì)的實質(zhì)是恒等變形，即“形”變而“分式的值”不變，不能等同于等式的性質(zhì).
例2 不改變分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”號.
（1） ；（2） ；（3） .
【講解】（1） 同時改變分子、分母的“-”號，分式值不變；（2） 同時改變分子和分式本身的符號，分式值不變；（3） 同時改變分母和分式本身的符號，分式值不變.
解：（1） =；（2） =-；（3） =-.
【變式問題】不改變分式的值，使分式的分子、分母第一項符號為正.
【講解】此題要注意：分子、分母應(yīng)先提取“-”號，再化簡. 切勿把分子、分母首項符號當成了分子、分母的符號.
解：==.
下面我們再由分式的基本性質(zhì)帶來的兩種重要的變形“約分”和“通分”做出一些解讀.
三、 約分
利用分式的基本性質(zhì)，分子、分母同時除以公因式，達到約分的目的. 若分子、分母是單項式：先找出公因式，后約去；若分子、分母是多項式時，先“準備”，然后因式分解，再約分.
例3 約分：
（1） ；（2） .
【講解】（1） ==；
（2） ==-.
四、 通分
化異分母分式為同分母分式的過程稱為分式的通分. 通分的方法是先求各分母的最簡公分母，然后用每一個分式的分母去除這個最簡公分母，用所得的商去乘它的分子、分母. 一般地，各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡公分母. 確定幾個分式的最簡公分母是通分的關(guān)鍵.
例4 通分：與.
關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學教學 分式方程 整式方程 分數(shù)概念
1.內(nèi)容總體安排
分式的主要內(nèi)容是分式的基本概念、基本性質(zhì)，分式的約分與乘除法，分式的通分與加減法，以及可以化為一元一次方程的分式方程.這些內(nèi)容是在學生學習了整式的加、減、乘法運算和多項式的因式分解等知識的基礎(chǔ)上安排的，是對代數(shù)式的進一步研究；分式方程是在學完分式和一元一次方程的基礎(chǔ)上學習的，是對方程的進一步研究；分式的概念與四則運算是分數(shù)概念與四則運算的發(fā)展，是有理數(shù)恒等變形的重要內(nèi)容；將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的思想、增根及其產(chǎn)生增根的原因，不僅適用于解可化為一元一次方程的分式方程，而且適用于解一般的分式方程.因此本章內(nèi)容是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要組成部分，是對整式和一元一次方程等知識的進一步拓展和深化.
通過本章內(nèi)容的學習，有利于發(fā)展學生的數(shù)感、符號感，應(yīng)用意識和分析問題解決問題的能力，也有助于鍛煉學生克服困難的意志，建立學習數(shù)學的自信，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神.
2.本章的知識結(jié)構(gòu)
3.內(nèi)容簡析
本章引進分式的概念，討論分式的基本性質(zhì)及其約分、通分等分式變形，這是全章內(nèi)容的理論基礎(chǔ).為從分數(shù)到分式，教材首先通過輪船在水中行駛的問題情境引入，讓學生在解答情境中的問題時得到了與以往不同的代數(shù)式（分母中有字母）：■和■，這樣引起了學生的認知沖突.然后安排了第一個“思考”欄目，讓學生用數(shù)學式子表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系.緊接著用第二個“思考”欄目，引導學生從式子的形式上觀察四個式子■，■、■和■的特點，在學生相互討論、交流它們特點的基礎(chǔ)上，引出了分式的概念.最后用第三個“思考”欄目，引導學生考慮分式的分母應(yīng)滿足怎樣的條件.第二節(jié)為分式的基本性質(zhì)，教材首先在類比分數(shù)基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上歸納出分式的基本性質(zhì).然后在回顧分數(shù)約分與通分的基礎(chǔ)上，給出了分式的約分、最簡分式、通分、最簡公分母等概念，并結(jié)合例題對這些知識進行了強化.本節(jié)最后安排了第四個“思考”欄目，引導學生對分數(shù)和分式的約分和通分的做法進行比較，發(fā)現(xiàn)其中的共同點.這樣安排便于學生溝通前后學習的知識之間的聯(lián)系，不斷完善和優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu).
分式的四則運算法則，這是全章的一個重點內(nèi)容.分式的乘除法，教材安排了兩個具有實際背景的問題，其目的在于讓學生體會到分式的乘除法是在解決實際問題的過程中產(chǎn)生的.這樣可引起學生的學習興趣，進一步加深學生對“數(shù)學來源于生活”及“數(shù)學為生活服務(wù)”的理解.在討論實際問題的過程中類比分數(shù)的乘除法法則，歸納出分式的乘除法法則，并用式子簡明表示.在分式乘法的基礎(chǔ)上，教材通過讓學生“思考”欄目中的三個問題：
分式加減的基本過程是：實際問題—類比分數(shù)的知識—歸納出分式加減法則.第三小節(jié)零指數(shù)冪，教材首先復習了正整數(shù)指數(shù)冪的五條運算性質(zhì)，緊接著提出思考問題：當m
4.課程目標
教材遵循《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準》（實驗稿）（以下簡稱《標準》）的理念，就本章而言，是從以下四個方面落實課程目標的：
知識技能：（1）了解分式、最簡分式等概念.（2）探索分式的基本性質(zhì)、會用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分.（3）會進行簡單的分式加、減、乘、除、乘方運算.了解零指數(shù)與負指數(shù)的意義和基本性質(zhì)；會用科學計數(shù)法表示絕對值小于1的非零數(shù).（4）了解分式方程的概念，知道解分式方程可能會產(chǎn)生增根.（5）掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法，并會驗根.（6）能列出可化為一元一次方程的分式方程解簡單應(yīng)用題.
數(shù)學思考：（1）在探索分式、分式的性質(zhì)和運算的過程中，類比分數(shù)的有關(guān)知識，培養(yǎng)學生敢于作出合理推斷和猜想的精神.（2）在分式運算中，加深算理分析，發(fā)展推理能力和計算能力.（3）在理解零指數(shù)與負指數(shù)意義的過程中，體會數(shù)學知識擴充的方式，發(fā)展合情推理能力.（4）能用分式方程刻畫事物間的相互關(guān)系.（5）經(jīng)歷解方式方程的過程，體會轉(zhuǎn)化思想的運用.（6）通過解分式方程的驗根過程，體會對于某些數(shù)學活動的結(jié)果進行檢驗的必要性.
解決問題：（1）能結(jié)合分數(shù)的有關(guān)知識，提出與分式有關(guān)的問題.（2）能運用分式的基本性質(zhì)熟練解決分式運算問題，并能清楚地表達解題過程.（3）根據(jù)分式約分的意義和有關(guān)冪的運算性質(zhì)提出零指數(shù)與負指數(shù)的猜想與推斷，并能用自己的語言清楚地表達猜想或推斷的結(jié)果.（4）能綜合運用整式運算、因式分解等知識解決分式問題.（5）能結(jié)合具體情境提出數(shù)學問題（如提出分式方程如何轉(zhuǎn)化為整式方程，解分式方程為何要檢驗等問題）.（6）能清楚地表述分式方程的解題過程.（7）能從不同的角度分析簡單的應(yīng)用題，嘗試應(yīng)用不同的解法，強化應(yīng)用意識.
情感與態(tài)度：（1）分式運算較整式運算復雜，應(yīng)有敢于面對這種困難，并克服困難的信心.（2）經(jīng)歷探索分式的有關(guān)知識的過程，體會歸納、類比、推斷等數(shù)學活動在數(shù)學知識的形成和學習中的重要作用.（3）主動探索分式方程的解法，探究解分式方程可能產(chǎn)生增根的原因，隨著學習的深入，深入體會數(shù)學活動的創(chuàng)造性和探索性.（4）在列方程解應(yīng)用題時，體驗數(shù)學是解決實際問題和進行交流的重要工具.
一、分式的四則混合運算
分式的四則運算是本章的重點，它是以前所學整式內(nèi)容的繼續(xù)，同時是今后學習分式方程、函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)知識.而分式的四則混合運算，列分式方程解應(yīng)用題是本章的難點內(nèi)容.教學的關(guān)鍵是通過練習，掌握分式的各種運算法則及運算順序，考慮到錯誤的反復性，考慮到八年級學生的年齡特點、認知結(jié)構(gòu)和接受能力，教師要科學安排時間，專項訓練，題目難度從低到高過渡，建立錯誤習題檔案，以達到加深理解之目的.
二、注重分式與分數(shù)的類比
數(shù)學是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學，數(shù)量關(guān)系和空間形式是從現(xiàn)實世界中抽象出來的.人們在研究整數(shù)和分數(shù)的過程中，為了反映一般規(guī)律，又抽象出整式和分式的概念.分數(shù)與分式的關(guān)系是具體與抽象，特殊與一般的關(guān)系.分式的基本性質(zhì)，約分與通分，四則運算法則等與分數(shù)的相應(yīng)內(nèi)容一致，體現(xiàn)了數(shù)式通性.教學中教師應(yīng)重視分數(shù)與分式的聯(lián)系，通過分式與分數(shù)的類比，從具體到抽象，從特殊到一般地認識分式，有助于學生理解所學的分式內(nèi)容.
三、分式方程的解法與整式方程的解法區(qū)別
整式方程的解，就是使方程逐步化為x=a的形式.而分式方程的特殊性是其未知數(shù)在分母中.分式方程的解法與整式方程的解法有兩個明顯區(qū)別：其一，解分式方程時要通過去分母，使它先轉(zhuǎn)化為整式方程，這里要強調(diào)去分母是在方程兩邊同乘一個含未知數(shù)的式子而不是一個非零常數(shù)，這樣的去分母不能保證新方程與原方程同解.其二，通過去分母得出的解必須經(jīng)過檢驗，當這個解使分式方程的分母不為零時，它才是分式方程的解.
四、分式教學的注意事項
1.約分時先分解，再約分.
2.變號，在分式加減運算中，通分化為同分母加減時，運算符號自動上升到分子上參加運算，這時注意加括號和變號.
3.計算題，應(yīng)先化為最簡式，再代入求值.
4.忽略分數(shù)線的括號作用.在學生答卷中出現(xiàn)的比較多的錯誤是：當分數(shù)線前面是負號時，很多學生在去掉分數(shù)線之后，忘記添上括號，導致出現(xiàn)符號錯誤，有的學生在添分數(shù)線時也出現(xiàn)了類似的現(xiàn)象.改變分子、分母的符號，應(yīng)把分子、分母作為一個整體，而不是改變其中部分項的符號.
5.要認真理解基本性質(zhì)中“都”和“同”的含義，避免只乘分子或分母的錯誤，還要避免分子、分母乘不同整式的錯誤.
6.分式的混合運算，要特別注意運算順序：先乘方、再乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的.同時，還應(yīng)該注意過程的簡化.
五、教學輔助措施
1.過好心理關(guān)，提高學生的解題信心.分式運算，常常字母多、算式長，很多基礎(chǔ)差的學生對分式運算信心不足，甚至有畏難心理.面對這類學生，提供成功的機會，解除心理障礙，增強學生解題的自信心，是教師工作的著眼點.
2.教師應(yīng)該在學生分式學習之前進行任務(wù)分析，明確學生必須具備哪些基礎(chǔ)知識、技能.在可能的情況下，盡可能多地豐富教學手段，讓學生對分式運算有細致的觀察機會，教師也可有更多時間指導學生，幫助學生理解分式運算的每一個步驟.
3.要用有效的學習策略進行示范和講解.如運用類比學習等，達成從舊知到新知的知識建構(gòu).同時教師應(yīng)提供重復示范、講解、演練和回答學生問題，幫助學生進一步理解分式運算的實質(zhì).
4.促進程序性知識向不同情境遷移的教學策略是向?qū)W生提供大量的變式練習題，教學中應(yīng)設(shè)計大量變式練習題，給學生提供多種練習的機會.
關(guān)鍵詞：診斷原因；解決措施
中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2013）11-0131-01
分式是初中數(shù)學教學的一個重要組成部分，也是各地中考的熱點內(nèi)容之一。翻閱歷年的中考試卷有考分式約分的、通分的、分式值為零條件的、化簡求值的、解分式方程及應(yīng)用的，題目難度不大，所涉及的基礎(chǔ)知識較多，且解題方法靈活多變，，可以說既是送分題又是失分題，題目不難得分卻不高，解答情況很不理想，鑒于此，現(xiàn)對學生作業(yè)常見錯誤進行展示，然后診斷其錯誤原因，尋求減少錯誤的最佳方法，希望能幫助同學們學好分式。
例1：在其中是分式的是（填序號）。
錯解：①②④
分析：要想正確做出答案，還得從分式的概念入手，分式的概念是從形式上定義的，形如AB（其中A、B為整式，并且B中含有字母）就是分式，而不是看它化簡后的式子。正所謂"式看形，數(shù)看果"，即式子要看形式，數(shù)要看最終的結(jié)果。如a2（結(jié)果是 |a|）是根式，而4（結(jié)果是2）是有理數(shù)而不是無理數(shù)。π是實數(shù)而不是字母。因此本題的正確答案是：
①③④。
分析：分式值為零，不僅要求分子為0，同時還得保證分母不為0，如何保證這一點呢？其實操作起來是非常簡單的，只要我們把求得的結(jié)果代人分母驗證即可。而這往往恰是我們老師最容易忽略的地方，只是當再次遇到諸如例2題型時，才硬性告訴或點撥學生需要注意的地方，我想只要我們平時時刻注意這樣的訓練，再簡單的題也不省略過程（如當x=______時，分式x+3x-2的值為0），也許犯錯誤的學生就會減少。因此本題的正確解法是：
分析：上新課時做錯的同學還不是很多，但在學習了解分式方程之后，尤其在上復習課的時候做錯的學生就會增多，原因是將通分與解分式方程混在一起了，不知不覺的就去掉了分母，我們知道分式的通分是等值變形，而解方程中的去分母是同解變形，二者不能混淆。如何讓學生把這兩種運算區(qū)分開來是最關(guān)鍵的。這個時候老師不需要任何的提示（實踐證明下次你還需要同樣的提示），建議可以先讓學生解分式方程：
觀察這兩題的解題過程，讓學生清楚它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，加深理解錯誤的原因。以后再遇到這兩種運算時就不容易出錯誤了。因此本題的正確解法是：
例4：計算
分析：本題有兩處錯誤：第一處違背了運算順序 ，只按照自己的主觀意識進行了乘法運算。第二處是在約分時出現(xiàn)了錯誤，因式分解時，分子與分母如果是多項式首先應(yīng)將其 因式分解后再進行約分，這既是難點又是易錯點，教學時 要引起高度重視，必要時要進行強化訓練。本題的正確解法是：
例5：先化簡然后再請你選擇一個合適的x的值代入求值。
分析：化簡一般不會出現(xiàn)太大的問題，問題出在選取什么樣的數(shù)才算是合適的數(shù)。當然這也是出題者的用意所在。為此我們必須首先剔除那些不合適的數(shù)，它們就是讓已知分式（包括解題過程中生成的分式）無意義的數(shù)，很顯然這里的x不能取-3、0、4。因此本題的正確解法是：
分析：乍一看，不錯呀。要知道我們是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解的。這樣求得的解有時可能不是原方程的解，即產(chǎn)生了增根。因此解分式方程一定要檢驗，而這恰恰是大多數(shù)學生最容易遺忘的一個環(huán)節(jié)，包括一些好生也經(jīng)常這樣。怎樣才能讓學生記住這個環(huán)節(jié)呢？我認為最好的方法是讓學生完整的解一個分式方程和它化簡后的整式方程，并說出其解法的異同，這樣印象就會更深刻些，比連做幾個分式方程要有效的多。相信在以后的學習中犯錯誤的學生將會逐漸減少。因此本題的正確解法是：
隨著我國基礎(chǔ)教育的改革和素質(zhì)教育改革的深入，提問在課堂教學中扮演著越來越重要的角色。提問是驚奇與懷疑的開始，是教與學的紐帶，是從“以教師為中心”的教學轉(zhuǎn)向“以學生為中心”的教學手段之一。如果運用得當，那么，對于鞏固學生知識，啟發(fā)學生思維，開發(fā)學生潛能，培養(yǎng)學生素質(zhì)都有重要的作用。因而，課堂提問的研究也受到越來越多的重視。
要想做好課堂提問的藝術(shù)并非簡單事。在數(shù)學課堂教學中存在不少徒勞的提問，最典型的是那種“是不是”、“對不對”之類的問題，學生也僅是簡單的給予“是”、“對”來回答，課堂貌似熱鬧非凡、氣氛活躍，實則流于形式。
1. 堅持有效提問的原則 為保證課堂教學中提問的有效性，教師的提問還應(yīng)堅持一些提問的基本原則，即實效原則，適時原則，梯度原則。
實效原則。課堂提問設(shè)計的實效性取決于問題的真實和確切，即課堂提問要有科學性和針對性，提問要緊扣教學目標和教材內(nèi)容從感知直觀入手，但不宜一問一答展示現(xiàn)成知識的結(jié)論，以免學生猜測教師的意向作答，掩蓋了學生的不知之處，使教師獲得不真實的反饋信息，同時提問要確切，要針對學生已有知識水平，不能超越學生知識，思維的實際水平，也不能使問題語言含糊不清、模棱兩可，否則課堂提問會造成停滯局面，達不到預期目的。
適時原則。課堂提問的適時性應(yīng)該保護兩層意思，其一是抓住時機，其二是提問次數(shù)要適度，課堂提問的效果直接與提問時機有關(guān)，什么樣的設(shè)問應(yīng)在某節(jié)課的什么時機提出，要研究提問的藝術(shù)性，即要因時設(shè)問，恰到好處，同時提問的次數(shù)不是越多越好，過多過頻的課堂提問表面上看起來熱熱鬧鬧，實際上常會導致學生隨大流，不去深入思考，增大回答問題的盲目性，各學科各種課型、內(nèi)容各不相同，提問設(shè)計中把握適時適度尤為重要。
梯度原則。現(xiàn)代信息論認為，教學是一種循序漸進地，有效地選取、組織、傳遞和運用知識信息、促進學生了解信息、掌握知識的活動。從課堂教學整體上看，必須抓住教材、教學內(nèi)容的整體要求，根據(jù)學生認知水平與心理狀態(tài)，科學地按一定梯度展開設(shè)問，提出的問題要按知識點難易級別從低到高逐層進行，要貫徹因材施教的原則，對不同層次的問題，要選擇不同層次的學生對象進行回答，從易到難，由簡到繁。
2. 數(shù)學課堂教學中有效提問的幾種方式 課堂提問的方式很多，只要對提問巧妙使用，恰到好處，才能產(chǎn)生積極作用，達到良好的效果。
一是激趣性的提問。數(shù)學課不可避免地存在著一些缺乏趣味性的內(nèi)容，若教師只是照本宣科，則學生聽來索然寡味。若教師有意識地提出問題，激發(fā)學生的學習興趣，以創(chuàng)造愉悅的情境，則能使學生帶著濃厚的興趣去積極思維。為創(chuàng)造生動愉悅的情境，令學生心生疑竇而造成懸念，產(chǎn)生學習的內(nèi)驅(qū)力，形成理想的教學氛圍，使學生帶著濃厚的興趣開始積極地思考的一種提問方式。
二是發(fā)散性的提問。發(fā)散思維是一種創(chuàng)造性的思維，教師若能在授課時提出激發(fā)學生發(fā)散思維的問題，引導學生縱橫聯(lián)想所學知識，以溝通不同部分的教學知識和方法，這對提高學生思維能力和探索能力是大有好處的。
三是遷移性的提問。在不少的數(shù)學知識中，內(nèi)容和形式有類似之處，其間有密切的聯(lián)系。教師可在提問或?qū)W生回顧舊知識的基礎(chǔ)上過度到對新知識的提問，將學生已掌握的知識和思維方法遷移到新內(nèi)容中去。例如在講“分式的約分”這一內(nèi)容時，可直接出示分數(shù)題目讓學生約分，目的是讓學生將小學關(guān)于分數(shù)的約分的方法遷移到分式上。在學生根據(jù)獨立練習所悟，對比分數(shù)約分，嘗試性地對知識和方法進行遷移后，回答教師的提問：（1）什么是分式的約分？（2）分式約分的依據(jù)是什么？（3）對約分的最后結(jié)果有什么要求？（4）對分子、分母不含公因式的分式可以怎樣命名？
四是鋪墊性的提問。在新知識的學習過程中為了降低思維難度并給學生解決問題指明方向，可以鋪墊性提問，道出轉(zhuǎn)化的途徑或指向。以梯形中位線的教學為例，在提問三角形的中位線的內(nèi)容后即可提問：梯形的中位線又有什么性質(zhì)呢？為他一經(jīng)提出，立刻激起學生好勝的心里，引起學生的聯(lián)系或猜測，問題的本身也隱含著與三角形中位線的類比。①與底邊的關(guān)系。②可利用三角形中位線的性質(zhì)。這類問題讓學生去探索后，課堂呈現(xiàn)出勃勃生機。
五是鞏固性的提問。在授完新課后，教師再針對本課的重點或難點交換角度提出問題，以達到鞏固知識，加深理解的目的。例如在講完“一元二次方程的一般形式”一節(jié)后提問：在ax2+bx+c=0中，a、b、c分別表示什么？使學生理解各個字母的意義，并對此有進一步的認識，為公式法解一元二次方程做好銜接。
六是激疑性的提問。教師若能在其似通非通，似懂非懂時及時的提出問題，然后與學生共同釋疑，可以收到事半功倍的效果。例如，在講平行線的定義時，學生較好的理解但提不出問題，我反過來問學生：“為什么要限定在同一個平面內(nèi)呢？”學生的思維就會向空間擴展，搜索或想象反例從而加強空間觀念和對平行線的理解。
3. 數(shù)學課堂提問有效性實施策略 要考慮問什么，什么時候問。如果教師準備不足，想問什么就問什么，就會使課堂顯得松散甚至起不到提問的作用。課堂提問的題目一定要斟酌，要提到點上，對重點、難點問題提問時，更應(yīng)慎重，要緊緊圍繞著重點，及如何攻破難點提問題。
一、“類比——探究”式教學
在教學中，教師首先要挖掘出類比思想，注意問題設(shè)計的結(jié)構(gòu)具體性，以啟發(fā)引導學生，使學生類比前面已學過的知識，學習新知識，達到探究式學習的目的.
以教學“分式的約分”為例，讓學生觀察、猜想：618=13
是一個怎樣的化簡過程？這個化簡過程的根據(jù)是什么？ 6ab18b2=a3b
是一個怎樣的化簡過程？這個化簡過程的根據(jù)是什么？
先通過“分數(shù)的約分”的實例，喚起學生對分數(shù)約分概念的回憶，為類比分式的約分打下基礎(chǔ).接著讓學生觀察、思考：
32=3×42×4=128
是一個怎樣的變化過程？這個變化過程的根據(jù)是什么？何為分數(shù)的通分？通過以上分數(shù)的通分，你能得出分式的通分規(guī)則嗎？
通過創(chuàng)設(shè)這樣的情境，整個過程完全可以讓學生自主探索，教師只需輔之引導.分數(shù)和分式在概念和運算上有許多相似的地方，但也有質(zhì)的區(qū)別，由數(shù)到字母就是質(zhì)的飛躍.
二、“猜想——探究”式教學
高斯說：“沒有大膽而放肆的猜想，就談不上科學的發(fā)現(xiàn).”牛頓也說過：“沒有猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn).”可見，猜想是探究性學習的重要一環(huán).當一個解決問題的方案成熟之時，一個新的數(shù)學問題也隨之而產(chǎn)生.因此，在數(shù)學教學中，應(yīng)鼓勵學生大膽猜想、推理.
以教學梯形中位線為例.向?qū)W生展示：梯子模型（如圖1），并提出問題：試猜想中間橫杠BB′與上下兩橫杠AA′、CC′的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.學生通過直觀的觀察，容易猜想出這些橫杠的位置關(guān)系是平行，而對數(shù)量關(guān)系，則有的猜想是CC′的二分之一，有的認為BB′是CC′-AA′，這就與學生原有的認知產(chǎn)生了沖突，激發(fā)了學生探究問題的興趣.
三、“實驗——探究”式教學
數(shù)學的教學需走進生活，成為生活的數(shù)學，實驗的數(shù)學，應(yīng)用的數(shù)學.學生通過親自實驗，以自身已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)去主動探究，積極構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu).如，在研究“等腰三角形的性質(zhì)”時，可以讓學生利用幾何畫板軟件先畫一個任意的ABC，并作出ABC的中線AD、高線AE、角平分線AF，并測量出AB、AC的長（如圖2），然后拖動點C，使得AC=AB，學生會很直觀地發(fā)現(xiàn)AD、AE、AF互相重合（如圖3）.并且多次改變位置，實驗結(jié)果也是一樣的.
四、“拓展——探究”式教學
在新課程改革過程中，雖然教學難度不斷降低，但是由此生成的題目難度卻越來越難，讓很多學生不知道從何著手，這就需要教師平時的點撥，發(fā)揮“一石激起千層浪”的作用.
例如，A、B兩站相距34千米，甲車從A站出發(fā)，每小時48千米，乙車從B站出發(fā)，每小時36千米，如果兩車同時出發(fā)，沿AB的方向行駛，則幾小時后兩車相距50千米？
這本是一個很簡單的應(yīng)用題，學生只要簡單地設(shè)未知數(shù)就可以解決，但是教師只要加以琢磨就能發(fā)現(xiàn)，這個題目只要加以簡單的修改就可以變出很多問題.如，
將相距“34千米”改成“100千米”，它就會出現(xiàn)多種情況.
將“同向”改為“異向”行駛也會出現(xiàn)多種情況.
將“沿AB的方向行駛”改為“沿AB直線行駛”也會出現(xiàn)多種情況.
課前思考：
因為從上學期開始，我校數(shù)學學科實行學案教學，所以這次上課的設(shè)計緊緊圍繞學案教學的模式展開。主要從以下幾個方面進行了思考：
（1）如何體現(xiàn)學案教學的優(yōu)勢。學案教學的優(yōu)勢在于能積極調(diào)動學生的學習主動性，學生參與性強，那么在課堂設(shè)計中如何做到所有學生可學、能學、學會，最后形成能力，整個教學環(huán)節(jié)中呈現(xiàn)怎樣的內(nèi)容，安排怎樣的活動場景，把學生置身于學習氛圍中去？
（2）教師的角色如何定位，既然要體現(xiàn)學生的主動性，提高學生發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力，那么在教學中教師要扮演什么樣的角色，如何引導，教師講什么？講多少？
（3）學案的使用形式，結(jié)合北師大版教材的特點以什么方式使用學案才能達到預期的效果？
教學對策；
根據(jù)以上問題，我的對策是：（1）學案的使用形式確定為當堂使用。（2）學案呈現(xiàn)的內(nèi)容要有過渡性知識，要有供學生自學的材料和示范性例題，要有檢驗學生知識掌握情況的基礎(chǔ)練習，要有提升學生能力的稍具挑戰(zhàn)性的趣味性內(nèi)容。（3）教師的角色，主要問題教師不講，由學生自己解決，教師扮演引導者，點撥人。（4）學生學習形式以小組合作形式展開。
實施情況；
從上課的情況看，全體學生都投入到了學習當中，積極探索，積極思考，在小組匯報，探討發(fā)現(xiàn)規(guī)律這個環(huán)節(jié)中，學習發(fā)現(xiàn)了很多分式乘除的計算技巧：（1）分式的分子、分母是多項式的要分解因式，這樣便于約分；（2）題中出現(xiàn)的整式要看作分母為1；（3）乘除混合運算要從左往右依次計算；（4）當題中有(a-b)和(b-a)同時出現(xiàn)時，要將其中一個進行變形，如：(b-a)= - (a-b)，以便約分；（5）計算結(jié)果要化為最簡。在編題比賽中，所有同學都忽略了分母、除式不能為0的情況，但經(jīng)過討論終于發(fā)現(xiàn)了問題，在錯誤中加深了對知識的理解。真正調(diào)動了學生的主動性，訓練了學生思維，提高了學生的能力。
分數(shù)的分母為分數(shù)，可以將分數(shù)看作一個除法算術(shù)，將分子乘以分母的倒數(shù)，然后再按照分數(shù)簡化規(guī)則簡化該分數(shù)，分數(shù)簡化：分數(shù)的分子和分母同時除以一個相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變這個分數(shù)的基本性質(zhì)來進行約分。
一般指在物理化學數(shù)學等理工科中把復雜式子化為簡單度式子的過程。分式化簡專稱為約分。整式化簡包括移項，合并同類項，去括號等；化簡后的式子一般為最簡式子，項數(shù)減少。解方程，也可以看作是一個化簡的過程。化簡可分為整式化簡和分數(shù)化簡。
分數(shù)化簡，一種是根據(jù)比的基本性質(zhì)來化簡。方法是：前項和后項同時乘以分母的屬最小公倍數(shù)后轉(zhuǎn)化為整數(shù)比，然后再化簡為最簡比。第二種利用求比值的方法來化簡比。
化簡在數(shù)學上是一個非常重要的概念。復雜的式子，必須通過化簡才能簡便地求出它的值。
歷史上很多數(shù)學家，做了一輩子的研究，歸究到底，也是為了化簡。
（來源：文章屋網(wǎng) ）
有關(guān)數(shù)與式的考題一般以填空題、選擇題或解答題的形式出現(xiàn)．有關(guān)這部分內(nèi)容的考題難度不大，但涉及的概念和知識點較多．
實數(shù)：理解有理數(shù)、無理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值、近似數(shù)、有效數(shù)字、平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念；知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，并會求一個數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值；會用科學記數(shù)法表示一個數(shù)，能按要求用四舍五入法求一個數(shù)的近似值；能正確運用實數(shù)的運算法則進行實數(shù)的混合運算；理解實數(shù)的運算律，并能運用運算律簡化運算；能運用實數(shù)解決簡單的問題；會用各種方法比較兩個實數(shù)的大小．
整式：了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；了解整式的概念和有關(guān)法則，會進行簡單的整式加、減、乘、除運算；掌握平方差公式和完全平方公式，并了解其幾何背景，會進行簡單的計算；會用提公因式法、公式法進行因式分解．
分式：了解分式的概念；會利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分；會進行簡單的分式加、減、乘、除、乘方及混合運算．
二次根式：了解二次根式的概念、性質(zhì)及其加、減、乘、除運算法則；會用它們進行簡單的四則運算．
代數(shù)式：理解用字母表示數(shù)的意義；能分析簡單問題，并能用代數(shù)式表示；能解釋簡單代數(shù)式的實際背景或幾何意義；會求代數(shù)式的值．
考點1：實數(shù)及有關(guān)概念（包括有理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值）
中考的常見考點有：（1）對有理數(shù)的分類和
判斷；（2）求一個數(shù)的相反數(shù)、絕對值和倒數(shù)；（3）利用數(shù)軸化簡絕對值或比較實數(shù)的大小．對實數(shù)知識點的考查多以填空題、選擇題形式出現(xiàn)，題目中包含若干個知識點，同時滲透數(shù)形結(jié)合的思想．
例1 （1）請寫出一對互為相反數(shù)的數(shù)：_________和_________．
解析：答案不惟一，如：1和-1．
關(guān)鍵詞：式 數(shù) 聯(lián)系 區(qū)別
在初中階段所學過的這些“數(shù)（集）”和“式（集）”之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，搞清這些區(qū)別與聯(lián)系對學生以后的繼續(xù)學習十分有利。
一、“式”與“數(shù)”概念上的區(qū)別與聯(lián)系
在初中階段，對于“數(shù)”的學習擴展到了實數(shù)的范圍，而對于“式”的學習則學到了代數(shù)式的范圍內(nèi)，以下的比較正是在這兩個集合間進行的。
（一）定義上的比較
在教科書上，代數(shù)式的定義是通過列舉實例描述的。其實，用以下語言描述更完整：
用運算符號（+、－、×、÷、乘方和開方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式，單獨一個數(shù)字或字母也是代數(shù)式。
由此可見，“數(shù)”是代數(shù)式中的一部分，凡是“數(shù)”（指實數(shù)）一定是代數(shù)式，且屬于整式的范圍。然而，在整式中不僅包含著實數(shù)，還包含有表示實數(shù)的字母。關(guān)于代數(shù)式的概念須強調(diào)兩點：
1. 代數(shù)式中的字母只能表示數(shù)，否則不行，如：在sinα中的各個字母s、i和n并不表示數(shù)，所以它不是代數(shù)式。
2. 代數(shù)式中只能含有＋、－、×、÷、乘方和開方運算，我們把這六種運算稱之為“代數(shù)運算”。
(二)兩個集合中主要概念的比較
雖然現(xiàn)行的初中教材不提所謂“無理式”的概念，但以后總是要學到的，為了便于現(xiàn)在的比較，幫助大家更加深刻地理解相關(guān)概念，我們提前補上“無理式”，于是，實數(shù)系和代數(shù)式體系分別如下所示：
實數(shù)有理數(shù)整數(shù)分數(shù)?搖無理數(shù)?搖?搖代數(shù)式有理式整式分式?搖無理式
它們之間的對應(yīng)概念對照如下表：
由上可見：
1.所有實數(shù)都屬于整式；如圖1
2.分式和分數(shù)都表示除法運算，但分式比分數(shù)的分母中多了字母；
3.無理式與無理數(shù)之間不存在任何聯(lián)系。無理數(shù)是特殊的小數(shù)，其小數(shù)部分“無限不循環(huán)”；無理式是一種開方運算，強調(diào)“被開方數(shù)中含有字母”。
二、“式”與“數(shù)”運算上的區(qū)別與聯(lián)系
（一）整式運算與整數(shù)運算的比較
任意兩個或多個整式可以像整數(shù)那樣相加減，不過更習慣于稱為“合并同類項”。
任意兩個或多個整式可以像整數(shù)那樣相乘或乘方，且單項式與多項式相乘的各種情況，與乘法的運算律是統(tǒng)一的，如：滿換律、結(jié)合律、分配律等。
兩個整式可以做除法，與數(shù)的除法的要求一樣，分母不得為0，分三種情景：
（1）單項式÷單項式；
（2）多項式÷單項式；
（3）多項式÷多項式（現(xiàn)行的義務(wù)教育階段數(shù)學課程標準及課本不介紹）。
整式可以像整數(shù)的“分解質(zhì)因數(shù)”那樣“分解因式”，方法多，技巧性強，這是數(shù)學中的重要運算，一定要熟練掌握。
（二）分式運算與分數(shù)運算的比較
分式可以像分數(shù)那樣約分或通分，所注意的是：分子、分母同乘（或除）以的式子不得為0。
兩個分式可以像分數(shù)那樣進行加、減、乘、除，且方法相同。
（三）有理式運算與有理數(shù)運算的比較
有理數(shù)的運算就是在整數(shù)和分數(shù)之間的加、減、乘、除、乘方和開方運算；有理式的運算則是在整式和分式之間的加、減、乘、除、乘方和開方運算。其運算的法則及運算律以上已經(jīng)做出了歸納。
在混合運算上，有理式的運算次序規(guī)定與有理數(shù)完全相同，都是要先算乘方、開方，再算乘除，后算加減；有括號時先算括號內(nèi)的；同級運算要從左到右。
關(guān)鍵詞：反思；能力；培養(yǎng)
一、反思性學習的含義
反思性學習是通過對學習活動過程的反思來進行學習。反思是對自己的思維過程、思維結(jié)果進行再認識的檢驗過程。它是學習中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。當代建構(gòu)主義學說認為：學習要在活動中進行建構(gòu)，要求學生對自己的活動過程不斷地進行反省、概括和抽象。顯然，學習中的反思如同生物體消化食物和吸收養(yǎng)分一樣，是別人無法代替的，在這一過程中反思具有重要的地位和作用。因為反思是思維活動的核心和動力，只有不斷地反思，才能建構(gòu)起自己的知識網(wǎng)絡(luò)。
二、在日常教學中培養(yǎng)學生的反思習慣
1.查漏性的反思
學生在學習新知識之前，教師要引導學生反思學習新內(nèi)容所需的舊知識。如，在學生學習分式約分之前，教師可適當出幾道因式分解的習題讓學生練習，考查學生能否熟練解答。學生解答中出現(xiàn)的差錯，教師要及時地給予糾正。否則，將影響分式約分這一新知識的學習。通過查漏性的反思，學生比較容易發(fā)現(xiàn)新舊知識有聯(lián)系，也明白了如果舊知識掌握不好，甚至不理解或遺忘，就會直接影響到新知識的學習和相關(guān)問題的解決，需要及時采取措施補上，為順利學習新內(nèi)容和解決相關(guān)問題創(chuàng)造條件。在數(shù)學教學中，教師經(jīng)常引導學生進行查漏性的反思，將不斷提高學生的解題能力，也有利于學生對新知識的學習，養(yǎng)成經(jīng)常復習的學習習慣。
2.歸納性的反思
在數(shù)學學習完成之后，對自己的作業(yè)、解題思路、解題思想與方法及結(jié)果等進行反思，通過反思重新考慮和重新檢查這個結(jié)果和得出這一結(jié)果的思路，以此鞏固所學的知識、思想、方法，從而發(fā)展自己的解題能力。
3.糾錯性的反思
學生在學習過程中，難免會出現(xiàn)一些差錯，老師要認真地對待學生的錯誤，要及時引導學生認真自我反思錯在什么地方？如何糾正？避免以后出現(xiàn)類似的錯誤，以培養(yǎng)自己嚴謹?shù)乃季S。學生在平時練習或在測試中出現(xiàn)的差錯，教師要及時地引導他們進行糾錯性的反思。如筆誤：有的學生在稿子上計算是正確的，但把答案搬到卷子上時出現(xiàn)差錯；有的學生頭腦里想對了，但寫出來的是錯的等等。出現(xiàn)筆誤的主要原因是思維與書寫的時間與速度差造成的，因此要求出現(xiàn)這種差錯的學生養(yǎng)成認真核對的習慣。教師要針對學生出錯的原因，指導他們進行有效的糾錯，提高學生解題的準確率，增強學生學習的自信心。
三、創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)學生的反思能力
1.創(chuàng)設(shè)反思的時機
教師只有積極地創(chuàng)設(shè)情境，讓學生主動參與、合作學習，使師生互動、生生互動，呈現(xiàn)和諧的教學情境，學生的求知欲望才能最大限度地被激發(fā)。如，在《分式》教學的第一課時，講完分式的概念后，教師給出一些代數(shù)式，讓學生判斷是否是分式，實際上，學生在判斷的過程中進行了整式與分式的比較，即學生在判斷中運用了比較反思法進行判斷。同時，通過課堂上的交流，啟發(fā)學生思維和反思，促使學生思維向縱深發(fā)展，讓學生在交流中學會反思與推理。在每次階段的測試后，教師一定要引導學生進行學習習慣養(yǎng)成的反思，對測試中出現(xiàn)的錯誤，除了針對錯題進行必要的糾錯外，還要對前一階段的學習習慣養(yǎng)成中存在的問題進行反思。教師應(yīng)不失時機地引導學生進行適時的學習反思，逐步培養(yǎng)學生的反思習慣。
2.創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學生積極思維
在教學中抓住契機，巧妙地提出問題，讓學生心欲求而未得，口欲言而不能，激發(fā)起學生躍躍欲試的心理，解決問題的渴望，從而產(chǎn)生強烈的興趣，從而培養(yǎng)學生的反思意識。在課堂教學中教師要通過提出大量開放性的問題來培養(yǎng)學生的反思意識，提高他們的創(chuàng)新能力。
3.讓學生掌握反思性學習方法，反復實踐
在平時的教學中教師要引導學生反復訓練反思，讓學生掌握反思的方法，才能使學生在日常學習中有效地組織反思性學習，在教材中有許多知識可相互對比，加深對知識的理解掌握。這種比較反思法對事物的系統(tǒng)認識學習有很大的幫助，既有利于學生學習新的知識，又有利于學生構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)。
學生的反思性學習與教師的反思性教學是相統(tǒng)一的，都是新課程所體現(xiàn)的精神。在教學中引導、培養(yǎng)學生的反思能力，讓學生實現(xiàn)自我學習、自我檢驗，深化對數(shù)學知識和方法的認識，調(diào)整自己的學習策略，學生只有通過反思，才能把所學的東西納入自己的知識體系中，讓學生在學習中反思，在反思中提高，進而提高自己的學習能力。
參考文獻：
[1]王家聰.新課程理念的實施需要學生反思能力的培養(yǎng).數(shù)學教學通訊，2004（195）.
課程目標要求：
1．能在現(xiàn)實情境中進一步理解用字母表示數(shù)和代數(shù)式的意義，能分析簡單問題的數(shù)量關(guān)系，會用代數(shù)式表示。
2．能解釋一些簡單代數(shù)式的實際背景和幾何意義，會求代數(shù)式的值，掌握常用的方法和技巧。
3．了解整式的概念，會進行簡單的整式加、減、、法運算；理解因式分解的概念，知道整式的乘法與因式分解的區(qū)別和聯(lián)系，會用提公因式法、公式法進行因式分解。
4．會推導乘法公式：（a+b）(a-b)=a2+b2;(a+b)2=a2+2ab+b2，了解公式的幾何背景，并能進行簡單計算。
5．了解分式的概念，掌握分式有意義、無意義及值為零的條件，會利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分，能熟練地進行簡單的分式加、減、乘、除運算。
6．了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的簡單四則運算。
7．會構(gòu)建數(shù)學模型解決一類與代數(shù)式有關(guān)的實際問題。
知識要點講解：
知識點1：列代數(shù)式
列代數(shù)式是常考知識點，有時和代數(shù)式的大小比較結(jié)合在一起，有時和探求規(guī)律結(jié)合在一起考查，一般以填空題形式出現(xiàn)。
例1（2008云南）用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色瓷磚＿＿＿塊，第n個圖形中需要黑色瓷磚＿＿＿塊（用含n的代數(shù)式表示）。
分析：觀察圖中的3個圖形，第1個圖形中有黑色瓷磚4塊，第2個圖形中有黑色瓷磚7（=4+3）塊，第3個圖形中有黑色瓷磚10（=4+3×3）塊，…，第n個圖形中有黑色瓷磚4+3×(n-1)=3n+1(塊)。
解：10、3n+1.
評注：本題考查學生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納能力。探索規(guī)律，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量變化關(guān)系，是近年來中考命題的熱點之一，解這類題的關(guān)鍵是要有較強的觀察、分析、歸納能力，這需要在平時的學習中加以培養(yǎng)。
知識點2：求代數(shù)式的值
求代數(shù)式值的方法主要有兩種：一是直接代入法，二是整體代入法。
例2（2008年泰州）讓我們輕松一下，做一個數(shù)字游戲：
第一步：取一個自然數(shù)n1=5，計算n12+1得a1；
第二步：算出a1的各位數(shù)字之和得n2，計算n22+1得a；
第三步：算出a2各位數(shù)字之和得n3，再計算n32+1得；
……
依次類推，則a2008=＿＿＿
分析：顯然a1=26，a2=65，a3=122，a4=26，a5=122，…而2008=669×3+1，a2008=a1=26.
解：依題意有
a1=52+1=26，n2=2+6=8，a2=82+1=65，n3=6+5=11,a3=112+1=122，n4=1+2+2=5,a4=52+1=26=a1,a5=65,a6=122,…,又2008=669×3+1, a2008=a1=26。
評注：本題把求代數(shù)式的值安排在數(shù)字游戲的背景下，與探索數(shù)字規(guī)律有機結(jié)合在一起，使學生樂于做。求代數(shù)式的值滲透了整體思想、對應(yīng)思想、分類討論思想等。
知識點3：整式的概念
單項式、多項式、同類項等概念是常考知識點，一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)。
例3（2008年濟南）如果2xa+2y3與-3x3y2b-1是同類項，那么a，b的值分別是（ ）
Aa＝1b＝2Ba＝0b＝2Ca＝2b＝1Da＝1b＝1
分析：根據(jù)同類項的兩個條件可得出關(guān)于a,b的方程組，從而求出a,b的值。
解：依題意得a＋2＝32b－1＝3，解之得a＝1b＝2
故選A。
評注：同類項的條件有兩個，一是所含字母相同，二是相同字母的指數(shù)相同，二者缺一不可。
知識點4：分式的概念
