時間：2023-06-01 09:46:01
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇拋物線的標準方程，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
1.關于“如何引入課題”
在我們的日常生活中，拋物線有著重要而廣泛的應用，例如，探照燈就是利用拋物面的光學性質制作而成，將點光源發出的光，折射成平行光，照射到足夠遠的地方.教師在引入課題的時候可以利用多媒體向學生展示一些類似的例子，讓學生直觀地感受拋物線，同時對比二次函數及其圖像，向學生拋出“如何給出拋物線的定義”，從而引出新課.
2.關于“拋物線定義的教學”
在介紹拋物線的畫法時，教師應盡量創造條件，讓學生親自動手畫出拋物線，引導學生細心觀察動點的運動過程，并用數學語言描述動點的運動規律，用心體會數學語言的精確性.在畫拋物線的過程中，使學生明白拋物線上的點所滿足的幾何條件，引導學生概括出拋物線的定義.對拋物線的定義特別要強調的是定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過定點F垂直于直線l的一條直線.如，到點F（1，0）和到直線l：x+y-1=0的距離相等的點的軌跡為：x-y-1=0，該軌跡是過定點F（1，0）且垂直于直線l：x+y-1=0的一條直線.
同時，也可以恰當使用信息技術幫助學生理解拋物線的概念，例如幾何畫板等，以便讓學生更直觀地看到動點的運動軌跡.但有時教師由于課時等因素的限制，一般都會在課下就做好課件，課堂上直接演示.實際上用幾何畫板演示拋物線的形成過程時，建議教師讓學生親歷課件制作的過程，演示過程中注意動點的運動速度的控制，引導學生邊觀察、邊思考，這樣的過程會有利于學生在動態變化中強化對幾何概念的認識.
由于在教學中圓錐曲線方程的推導都需要建立坐標系，故教師要引導學生有意識地加強對“如何建系”的思考，例如拋物線方程的推導中為什么不將定點設在坐標系的原點處？或是以定直線為y軸？這樣的思考無疑會有利于學生理解標準方程的意義，進而進一步理解解析幾何的本質.特別要注意的是，學生可能會提出各種建系的方式，為了使拋物線方程最后的形式簡潔，教師應與學生共同分析并做計算，從而找到較好的建系方式.與此同時還要強調動點所滿足的幾何條件，因為這是求曲線方程的關鍵.
還有在推導的過程中會遇到方程的化簡.在很多情況下，學生都會遇到類似的方程的化簡、利用多個等式于不等式的關系解決如變量的取值范圍等問題.由于學生在初中階段方程的學習僅限于整式方程中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程和二元一次方程組，以及可化為一元一次方程的分式方程，不等式的學習也僅限于一元一次不等式，高中階段學習了一元二次不等式，教師從學生這樣的經歷不難看出，學生在學習本章時代數變形的學習經歷是非常有限的，這就造成了一部分學生在具體的解題過程中缺乏信心、經驗不足.因而，建議教師結合學生遇到的具體困難，加強對學生的指導和示范，幫助學生積累代數變形的經驗，提高代數推演的能力.
另外，一條拋物線由于它在坐標系內的位置不同方程也不同，于是希望學生自己歸納出拋物線開口向左、向上、向下三種情形下的方程，并求出相應的頂點坐標、焦點坐標.建議畫出表格的第一、第二列，引導學生根據拋物線的對稱性將下表補充完整.
4.關于“知識鞏固”
考慮到拋物線的定義，幾何圖形，標準方程要求掌握，所以在設置例題的時候要有梯度，例如：求下列拋物線的焦點和準線方程：
同時，為了強調圓錐曲線的應用體現數學的應用價值，可以選取實際應用的例子，幫助學生樹立模型觀念，為運用這些模型解決實際問題做了良好的鋪墊.
關鍵詞：定義解題；拋物線
中圖分類號：G40 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4117（2012）02-0269-02
定義是必須掌握的基礎知識，也是解決問題的重要工具，用定義解題，可以變繁為簡，起到事半功倍的效果。
要靈活運用拋物線的定義來解決問題，一般情況下涉及焦點問題則應首先考慮定義。利用定義尋找等量關系使得求拋物線方程簡便易行。
要求拋物線的標準方程包括“定位”和“定量”兩個方面。“定位”是指確定它們與坐標系的相對位置，在中心是原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，開口向哪，以判斷方程的形式；“定量”是指P的具體數值，常用待定系數法.
“回歸定義”是一種重要的解題策略，要培養用定義解題的意識，特別在求有關拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離轉化為到準線的距離，結合幾何圖形利用幾何意義去解題。
要準確把握拋物線的標準方程的結構特征以及“標準”的含義，能從它的標準方程讀出幾何性質，更要能夠利用標準方程解決問題。
“看到準線想焦點，看到焦點想準線”從而獲得簡捷直觀的求解，“由數想形，由形想數，數形結合”是靈活解題的一條捷徑。
一、求最值
例1.已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為（A）
例2.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點 作傾角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點（A在y軸左側），則
例3.設P是拋物線y2=4x上的一個動點，F是焦點．
（1）求點P到點A(-1,1)的距離與點P到直線X=-1的距離之和的最小值；
（2）若B點的坐標為（3，2），求|PB|+|PF|的最小值．
解析：（1）如圖1，易知拋物線的焦點為 ，準線是X=-1．由拋物線的定義知：點P到直線X=-1的距離等于點P到焦點F的距離．于是，問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(-1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小．顯然，連結 交拋物線于P點．
點評：此題利用拋物線的定義，使拋物線上的點到準線的距離與點到焦點的距離相互轉化，再利用平面幾何中的知識，使問題獲解。
二、求曲線的方程
例1圓心在拋物線 上且與x軸及拋物線的準線都相切，求該圓的方程．
點評：本題利用拋物線的定義，可知切點與焦點重合，從而確定了點的坐標，使問題的求解變的很順暢．定義法是求軌跡問題的重要方法之一.
三、確定方程的曲線
點評：本題若直接化簡方程，再判斷其軌跡較繁雜，根據方程兩邊所表示的幾何意義，利用拋物線的定義則簡單易行．
四、探究證明
點評：數形結合的數學思想方法在解析幾何中有很多的應用，在學習中，學生要善于把已知條件轉化成圖形中量與量的數量關系及其位置關系，再由圖形去研究問題。
作者單位：三門峽市實驗高中
參考文獻:
關鍵詞：高中；拋物線；教學；
中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2013）09-0167-01
2.高中拋物線教學的技巧
2.1正確地理解拋物線概念。對于拋物線概念的深入理解，才能夠在日常的生活中巧妙地運用拋物線知識，這對于教學的"教"以及學生的"學"都有幫助。因此，在高中拋物線的教學中，我們應該恰當地、不適時地融入概念問題。例如我們已知圓的半徑（r）和面積（A），嘗試寫出圓面積計算表達式。此外，在教學當中，我們為了讓學生加深印象，也可以通過實際的案例教學。
2.2教學需要以提高學生學習興趣為目標。高中數學材料對于學生來說是枯燥的，久而久之，學生就會厭煩這一種學習方式，而這卻給教師的教學帶來了重大的阻礙。所以，讓學生對拋物線產生興趣才是提高拋物線的學習效率。因此，在拋物線教學中可以結合現實情境、創設想象空間，配合多媒體教學，然后在課后布置適合學生難度的作業，這樣不僅能夠讓學生感受到挑戰，也不會對學生造成過重的壓力，這對學生主動學習能力的培養也有幫助，學生才會不排斥對拋物線的學習[1]。
2.3拋物線教學中需要融入數形結合。對于學生掌握拋物線的性質以及學生觀察能力的培養，也可以通過圖像來學習拋物線的方式。在高中拋物線的教學中，我們應該讓學生在觸碰到每一個拋物線的時候都盡量的畫出草圖，以此來培養學生的觀察能力，讓學生了解到在平面直角坐標系當中他們的形狀與位置。
3.高中拋物線教學的實踐
3.1啟發深入，引導探究。綜合教學過程，要求學生對探究結論進行綜合概括，形成知識之間的關系網絡，使知識與知識之間、不同學科知識之間、數學知識與現實生活之間建立聯系，將探究結論進行綜合組織、并納入自己的數學認知結構中。比如，在推導得到開口向右的拋物線標準方程后，由學生在導學案引導下完成如下兩個問題：一是寫出另外三種拋物線的標準方程，及焦點坐標和準線方程；二是尋求它們的內在聯系，并總結記憶。這是數學探究課的中間層次，教師給出簡要的過程提示和大致要求，對學生的結論可以不加限制，既做到理順問題、嘗試結論，又給學生留下一定的思維空間?；臃绞绞菐熒?、人機互動、學生與教材互動[4]。
3.2規范要求，引控方向。探究式學習并不是完全放手讓學生去研究，為了能完成有效教學目標，教師要在知識的形成階段規范要求，引控方向。所以，探究的每一階段均離不開教師的組織，教師為學生創設情境，調節控制學生的探究活動，教師的教學組織促進學生的探究深化；同時，學生的探究進程要求教師指導、提示、組織、引導。在引導學生歸納拋物線的定義和坐標法求拋物線的標準方程、及對四種標準方程進行規律分析的過程中，筆者一邊提示學生去思考、討論和表達，一方面對學生的結論進行剖析、評價和指正。比如在比較四種標準方程的規律分析中，首先提供線索指導學生進行發散式討論，如從系數、坐標軸、正負值、對稱性等入手思考，以明確問題的指向性，其次在學生討論不完善的基礎上，表明自己的看法與學生的思維發生碰撞，幫助學生修正自己的見解。互動方式是師生互動、生生互動。
3.3提供線索，引起討論。為了使實際操作和對問題的數學討論卓有成效，課堂教學氛圍民主、和諧和開放，學生的思維始終處于活躍狀態，在導學案和問題報告中附加了引導性的問題，如"在曲線的形成過程中，每一對重合的點關于相應的折線對稱，那么此時生成的動點 M 有什么幾何特征"、"拋物線是滿足什么條件點的集合"、"怎樣建立直角坐標系求拋物線的標準方程"、"四種標準方程內在聯系是什么"等。在這樣的教學模式下，學生各抒己見，合作學習，學會從數學的角度發現問題和提出問題，在與他人合作和交流的過程中，客觀的理解他人的思考方法和結論，體驗獲得成功的樂趣，建立學好數學的自信心?；臃绞绞菐熒?、生生互動、人機互動（數學探究過程的交互性）。在課堂學習過程中，教師是學習活動的組織者、探究情境的創設者、探究活動的引導者，既要對學生的討論給予引導，又要對出現的問題進行點撥。
3.4培養能力，運用技術。高中階段主要是學生思維能力以及邏輯思維判斷能力的培養，因此，作為教師，就需要選擇正確的教學方式。對于學生邏輯思維能力的培養，我們也可以運用拋物線的分析判斷方式以及思維方式，拋物線對于發展學生思維有著重要作用。因此，我們就需要讓拋物線能夠展現在學生的眼前，讓學生親眼看到拋物線。而將多媒體技術運用到拋物線教學當中，就能夠很好的解決這一問題。在學習當中的運用，不僅能夠提升拋物線的教學效率，還能夠調動學生對于拋物線學習的積極性[3]。在課前，教師可以將拋物線相關的PPT 制作完成，然后在課堂上通過圖文并茂的方式，將拋物線最直觀地展現在學生的面前。
4.總結
拋物線，它有豐富的內涵和外延，它貫穿高中和高中數學課程的一種很重要的函數，可見拋物線在中學學習中的重要地位，不管在代數中，解析幾何中，利用拋物線的機會也特別多；以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，同時各種數學思想如函數的思想，數形結合的思想，分類討論的思想，等價轉換的思想利用拋物線作為載體，展現的最為充分，培養學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。
參考文獻
[1]楊斗。 三元整合教學模式教學方案的實驗研究--以《拋物線》教學為例[J]。 教育導刊，2013，（2）。
關鍵詞：數學素養；變式題；推理能力
圓錐曲線在數學上是一個非常重要的幾何模型，有很多幾何性質，這些重要的幾何性質在日常生活、社會生產及其他科學中都有著重要而廣泛的應用，并且學習這部分內容對于提高自身的素質是非常重要的.其中拋物線是圓錐曲線中的重要的一類，在高考中有著重要的地位.特別地，在導數引入高中數學，對拋物線的考查就更為頻繁.在學習了拋物線的定義以及拋物線的幾何性質之后，為了更好地理解拋物線的定義，筆者從下面幾個方面進行說明.
一、鞏固拋物線的定義
1.到點A（1，1）的距離與到直線l：3x-4y+1=0的距離相等的點的軌跡是（ ）
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線
解析：粗看滿足拋物線的定義，再仔細一看，易發現點A∈l，點的軌跡為經過點A且垂直于直線l的一條直線.這有助于理解拋物線的定義――直線外的一點.
2.經過點F（2，0）且與直線l：x=-2相切的動圓的圓心M的軌跡是（ ）
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線
解析：由圓的性質及直線與圓相切的性質可知，圓心到切線的距離等于半徑，又點F在圓M上：即圓心M到定點F的距離等于到定直線l的距離，滿足拋物線的定義，所以動圓心M的軌跡是拋物線.
變式1：到點F（2，0）的距離比到直線l：x=-1的距離大1的點的軌跡是（ ）
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
解析：把直線l向左平移一個單位，可以轉化為l′∶x=-2，到定點F（2，0）的距離等于到定直線l′：x=-2的距離，滿足拋物線的定義。
變式2：動點M（x，y）滿足等式： = ，則點M的軌跡為（ ）
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
解析：等式可化為： = .
根據兩點間的距離和點到直線的距離公式可得，動點M（x，y）到定點F（2，0）的距離等于到定直線l：3x+4y-2=0的距離，滿足拋物線的定義（不是我們所熟悉的標準條件下的拋物線）.
二、拋物線定義的簡單應用
1.求焦點在x軸上，且拋物線上一點A（3，m）到焦點的距離為5的拋物線的標準方程.
解析：根據題意，設拋物線的標準方程為：y2=2px（p>0），如果運用兩點間距離公式，待定系數法聯立方程組解得，運算量較大.所以可根據拋物線的定義，拋物線上的點A到準線：x=-p/2的距離等于5，可得到p的值，從而求得拋物線的方程.
2.已知拋物線y2=2x的焦點是F，點P在拋物線上，有一定點A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，及對應的點P的坐標.
解析：由定義可知，拋物線上的點P到焦點F的距離等于點P到準線l的距離d，所以求|PA|+|PF|的最小值，轉化為求|PA|+d的最小值，由點與直線上的點的連線中垂線段最短可得，過點A作準線的垂線，垂線段長即為所求的最小值，該垂線與拋物線的交點就是所求的點P.
變式：已知拋物線y2=2x的焦點是F，點P在拋物線上，有一定點A（2，3），點P到y軸的距離為d，求|PA|+d的最小值.
解析：P到y軸的距離，可以延長到準線的距離，再根據拋物線的定義，轉化為到焦點的距離，即（|AP|+|PF|）-1/2的最小值，當A、P、F三點共線時取最小值.
3.已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點是F，準線為l，過點F的弦AB為直徑的圓與準線l的位置關系 .
解析：過點A，B分別作準線l的垂線，垂足分別是A1，B1，取AB的中點為C，過C作準線l的垂線，垂足為C1，由拋物線的定義可知：|BB1|=|BF|，|FA|=|AA1|.
|AB|=|AA1|+|BB1|.
CC1是梯形ABB1A1的中位線.
2|CC1|=|AA1|+|BB1|.
|AB|=2|CC1|，即圓心C到準線的距離等于半徑.
以AB為直徑的圓與準線l相切.
變式：已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點是F，準線為l，過點F的弦AB，作AA1l，BB1l，垂足為A1，B1，求證：A1FB1F.
解析：在AA1F和BB1F中，根據拋物線的定義可知，|AF|=
|AA1|，|BF|=|BB1|，
2∠A1FA+∠A1AF=180°，
2∠B1FB+∠B1BF=180°，AA1∥BB1，
∠A1AF+∠B1BF=180°，
∠A1FA+∠B1FB=90°，
∠A1FB1=90°，即A1FB1F.
4.已知AB是拋物線y=x2上的動弦，且|AB|=a（a為常數且a>1），求弦AB的中點M的縱坐標的最小值.
解析：設點M的坐標為（x0，y0），過A，B，M分別作準線l∶y=- 的垂線，垂足分別為A1，B1，N，得直角梯形ABB1A1，MN為梯形的中位線.
MN= （AA1+BB1），又y0=MN- .
連接AF，BF，在ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|=a，當且僅當AB經過焦點F時取“=”.
根據拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，
MN= （AA1+BB1）= （|AF|+|BF|）≥ AB= a，
當弦AB經過焦點F時，中點M的縱坐標有最小值： a- .
5.如下圖，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則此拋物線的方程是（ ）
A.y2= x B.y2=3x C.y2= x D.y2=9x
解析：過A，B分別作準線的垂線，垂足為A1，B1，準線與x軸相交于點K，則|BF|=|BB1|.
|BC|=2|BF|，|CB|=2|BB1|，∠B1CB=30°，
|AC|=2|A1A|=2|AF|=6，
F為AC的中點.
FK= AA1= ，即p= ，
拋物線的方程為y2=3x.
通過以上幾個例子，讓我們能夠進一步理解拋物線的定義，能更好地解決與拋物線有關的焦半徑問題和焦點弦問題，解決有關拋物線的最值問題和定點、定值問題.重視概念的理解是掌握基礎知識的第一步，是發展學生基本技能，培養學生的運算能力、思維能力、邏輯推理能力和分析解決問題的能力的基礎，是培養學生數學素養的基礎.
《高中數學課程標準》指出“現代信息技術的廣泛應用正在對數學課程內容、數學教學、數學學習等方面產生深刻的影響。高中數學課程應提倡利用信息技術來呈現以往課堂教學中難以呈現的課程內容”。在這一理念指導之下，信息技術大踏步地走入了課堂教學中。它克服了傳統教學中某些缺陷，極大地促進了數學學科教學水平的發展，提高了教學效果，在培養學生探索與創新精神、樹立辨證觀點、發揮學生的非智力因素，展示知識的產生過程都有很大的優越性。
作為新課程的直接實施者，我與時俱進，在教學中盡可能地創設使用信息技術的情境。利用信息技術的優勢改進了學生的學習方式，提高了教學質量。豈料信息技術的應用是一把雙刃劍，在提高課堂效率的同時，它有時也剝奪了學生充分思考的時間，減少了學生自主的活動，壓抑了學生解題靈感?，F以《拋物線及其標準方程》的教學為例，來談談自己對高中新課程課堂教學中運用信息技術的一些思考。
二、案例回顧
1、教材內容分析
《拋物線及其標準方程》是《普通高中課程標準實驗教科書-數學選修（2-1）》（人教版）第二章第四節第一課時的內容。這一節放在橢圓和雙曲線之后，一方面是三種圓錐曲線統一定義的需要；另一方面也是解析幾何“用方程研究曲線”這一基本思想的再次強化。本節對物線的研究，與初中階段二次函數的圖象遙相呼應，體現了數學的和諧之美。教材的這種安排，是為了分散難點，符合認知的漸進性原則。
2、學生學習情況分析
初中階段，拋物線為學生學次函數y=ax2+bx+c提供直觀的圖象感覺。但學生并不清楚這種曲線的本質。高中階段，在系統學習了橢圓、雙曲線的知識之后，學生對研究圓錐曲線的一般方法和過程已經比較熟悉，因此拋物線的內容比較容易接受和理解。
3、教學目標
（1）知識與技能：理解物線的定義，掌握物線的標準方程及其推導。能解決簡單的求物線標準方程問題。
（2）過程與方法：通過對物線和橢圓、雙曲線的比較，體會三種圓錐曲線內在的區別和聯系。
（3）情感、態度與價值觀：引導學生用運動變化的觀點發現問題、探索問題、解決問題，培養學生的創新意識，體會數學的簡捷美、和諧美。
4、教學重點與難點
重點：拋物線的定義和標準方程.
難點：對拋物線定義的探究和推導標準方程時坐標系的選擇.
（二）引導探究，獲得新知
拋物線的定義：
在初中我們已經從函數角度學過拋物線，那么，這一節課我們將沖破初中的界限從曲線和方程的角度來學習拋物線.首先我們來探究拋物線軌跡的形成過程。
[信息技術應用]教材64頁.教師用幾何畫板演示畫圖過程.
如圖，點F是定點，l是不經過點F的定直線。H是l上任意一點，經過點H作MHl，線段FH的垂直平分線m交MH于點M.拖動點H，觀察點M的軌跡.你能發現點M滿足的幾何條件嗎？
學生觀察，并相互交流.
[設計意圖]應用幾何畫板畫圖，使學生形象地經歷軌跡的形成過程，提高對概括拋物線定義的興趣和能力，同時體現信息技術在數學教學中的應用價值.
（或許是學生過分關注于過程而忽視了目的，此時僅有兩人能回答出MF=MH，但也不能用語言描述“M與定點F和定直線l的距離相等”.于是我重新用幾何畫板演示，同時引導學生觀察的長度，并提醒學生注意m是線段FH的垂直平分線，這時學生才似乎恍然大悟，紛紛說出結論，同時指出點M的軌跡是拋物線.接下來擔心學生在提煉定義時有困難，我直接用課件給出拋物線定義.）
（三）實踐應用，鼓勵創新
例2教材66頁
分析：這是一道實際生活問題，如何將這個問題轉化成數學問題呢？（生：建立直角坐標系）怎么建立？（生：應該在接收天線的軸截面所在平面建立）
師生同步分析，學生獨立完成.教師應用多媒體給出標準解題過程.
[設計意圖]鞏固新知識，加深學生的數學應用意識，讓學生感受數學的價值，體會數學來自生活，又應用于生活，服務于生活.
（四）歸納小結，深化認識
師生同步歸納，教師應用多媒體給出：
1、知識：拋物線的定義及標準方程.
2、數學思想方法：轉化思想，類比.
（五）布置作業
課本P731、2、3、4
三、案例分析
這節課上完后學生臉上的迷茫和失望一直深深地印在我的腦海，我開始反思這節課，反思信息技術應用在教學中的得失。
1、創設情境：借助多媒體出示圖片，播放動畫，形象生動，極大地調動了學生的興趣與積極性，激發起學生探求新知的欲望，提高了學生在感情和行為上的參與意識。
2、拋物線的定義：拋物線概念的形成，是本節的難點。在教學設計中我用幾何畫板畫圖，是為了給學生提供觀察的平臺，卻沒有達到預想的目的。教材中信息技術的應用，是為了給學生呈現拋物線形成的動態過程。而我過高估計了信息技術的作用，急于求成，在沒有給學生任何引導和提示下，就要求學生概括形成過程，致使學生在一片茫然。當重新演示并適當啟發后，學生都能得出正確結論。此時本應趁熱打鐵，讓學生概括定義，我卻擔心學生在提煉定義時有困難，直接用課件給出了拋物線定義。教學難點不僅沒有被突破，連學生剛剛激發的探究欲望也被冷漠的扼殺。冷冰冰的利用課件給出定義，掩蓋了思維過程的展示，忽視與學生思維節奏的合拍。這種做法限制甚至遏制了學生思維能力尤其是求異思維的發展，不利于鼓勵創新。
3、拋物線的標準方程：
拋物線標準方程的推導，關鍵在于選擇適當的坐標系。當學生經過自主探究，分組談論后仍難以確定最優方案時，我適時地利用多媒體課件展示出爭論較多的三種方案，并同時給出每一種方案所對應的方程，課件的快速、直觀，讓學生沒有異議的做出了選擇。當學生躍躍欲試，準備上黑板推導過程時，我為了節省時間，利用多媒體直接給出推導過程。這一環節我自認為進行得比較順利。到研究另外三種不同方向的方程時，我剛一提出問題，就有一個怪怪的聲音傳來：“這個過程，請看老師的課件。”我呆住了……信息技術應用的弊端狠狠的刺向了我。過度的信息技術應用使學生失去冷靜思考的能力，深深的傷害了師生之間的感情。人機互動增多，面對面的交流減少。冷冰冰的人機對話來替代語言、感情的交流。缺乏情感交流的教學，就像一片荒蕪的沙漠，無法培育出健康成長的學生，造成師生間情感的缺失。
四、案例反思
（一）縱觀這節課，信息技術應用的優勢：
1、創設情境，激發和調動了學生的興趣與積極性。
2、模擬情境，給數學實驗提供了可能。
3、信息量大、展示方便快捷，節約時間和空間，提高教學效率。
（二）信息技術應用存在的弊端：
1、信息技術應用替代了傳統教學的情感教育、交流合作。
2、輔助教學成了代替教學，不利于學生能力的培養。
3、信息技術應用展示數學現象和數學規律，忽視了揭示過程的一面。
4、隨意呈現，喧賓奪主。
總之，信息技術與學科課程的整合，是改革教育模式、教學方式和教學手段的重要途徑，也是當今教育改革的必然趨勢。同時這也是一項龐大而復雜的工程，無法形成固定的模式，在探索的過程中，更應該倡導一種理念――信息技術只是一種工具，無法取代教師而成為課堂的全部，教師應努力以最恰當、最有效的方式將信息技術應用于課堂。這樣用好信息技術這把“雙刃劍”，真正構建以生為本的E時代和諧課堂。
參考文獻
原題過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.
關于此結論，橢圓、雙曲線也有類似性質，文[1]中已做詳細說明論證，這里不再進行說明.其逆命題“過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，作直線DB平行于拋物線的對稱軸，交拋物線的準線于點D，則A，O，D三點在同一條直線上.”也是正確的.同樣橢圓、雙曲線也有類似性質，證明不難，此處略.
拓展
命題1已知A為拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，通過點A和拋物線頂點O的直線交拋物線的準線于點D，過點A作x軸的平行線，交拋物線的準線于點C，則CFDF.
.
法二：（如圖2）連接AF并延長，與拋物線另一交點為B，連接DB，根據課本例題結果可知DB平行于x軸，因此DB∥AC，所以∠CAF+∠DBF=180°.
由拋物線定義知AC=AF，BD=BF，所以∠ACF=∠AFC，∠BDF=∠BFD.
所以∠ACF+∠BDF=∠AFC+∠BFD=90°.
所以∠CFD=90°，即CFDF.
例1已知A為拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，通過點A和拋物線頂點O的直線交拋物線的準線于點D，過點A作x軸的平行線，交拋物線的準線于點C，試問在平面上是否存在一個定點，使得以CD為直徑的圓恒過該定點？若存在，求出這個點的坐標；若不存在，說明理由.
命題1的證明過程做小小的改動，就是例1的解題過程，這里不做解答.
類比探究：
筆者發現D點是拋物線上點A和頂點O連線OA與準線的交點，而橢圓與雙曲線都有兩個頂點，那么橢圓上任意一個點與它的兩個頂點的連線必與橢圓的準線有兩個不同的交點M1，M2，進一步探究發現，以M1M2為直徑的圓恒過橢圓的與該準線對應的焦點.
命題2已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），右準線l：x=a2c，A，B分別是橢圓的左、右頂點，點P（x1，y1）是橢圓上異于左、右頂點的一個動點，直線PA，PB分別與l交于點M1，M2，則以M1M2為直徑的圓恒過橢圓的右焦點F2（c，0）.
證明由已知可得A（-a，0），B（a，0），F2（c，0），則
命題3已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），右準線l：x=a2c，A，B分別是雙曲線的左、右頂點，點P（x1，y1）是雙曲線上異于左、右頂點的一個動點，直線PA，PB分別與l交于點M1，M2，則以M1M2為直徑的圓恒過雙曲線的右焦點F2（c，0）.
例2已知離心率為2的雙曲線C與橢圓x29+y25=1有相同的焦點.
（Ⅰ）求出雙曲線C的方程；
（Ⅱ） 直線l：x=1，A是雙曲線C的左頂點，B是曲線C的右頂點，點P（x1，y1）是橢圓上異于左、右頂點的一個動點，直線PA與l交于點M1，直線PB與l交于點M2，問x軸上是否存在定點D，使得對變化的點P，以M1M2為直徑的圓恒過點D？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由.
解（Ⅰ） 雙曲線C的方程是x22-y22=1（過程略）.
（Ⅱ） 由已知可得A（-2，0），B（2，0），F2（2，0），則
假設在x軸上存在定點D（t，0），使得以M1M2為直徑的圓恒過點D，則
通過對這道課本例題的拓展與探究，得到了一個圓錐曲線上一點與頂點連線及準線的一個性質.如果教師平時能多關注教材，注重例題的二次開發，并將此引入課堂，對培養學生探究能力、提高教師的專業素質必能起到積極的促進作用.
教育部于2001年啟動了以“構建符合素質教育要求的基礎教育課程體系”為目標的第八輪新課程改革，其核心理念是素質教育，強調體驗、對話、交流，提倡自主、合作、探究的學習方式.導學稿正是在此背景下，針對素質教育的要求，面向全體學生，為大面積提高教學質量而提出的，是課堂教學改革、提高課堂教學質量和效益的有效載體.但在導學稿的設計與使用過程當中，經?？梢栽谝痪€老師當中聽到這樣一些聲音：
1. 導學稿為何要設置這些欄目，有何依據？
2. 導學稿中的問題為何這樣設計，有何依據？
3. 別人設計的導學稿，自己在課堂上該如何使用，效果有保證嗎？
有老師說，這就是自己幾十年的教學經驗，沒什么依據，只知道這樣設計效果不錯；有老師說，看到一些好老師這樣做，我就依葫蘆畫瓢，也不知道是否合理；也有老師說，別人設計的導學稿還真是不好把握，總感覺到被縛住手腳，課堂效果不盡人意……
對于以上問題的提出，筆者認為，這恰恰是一大批敬業的老師對教學負責、對學生負責、對教學有效性追求的體現；教學的境界也從感性追求慢慢過渡到了理性思考；教師的角色也從一個教書匠慢慢向一個研究者的身份靠攏……
對于上述問題，筆者也作了一些調查及文獻檢索，在此稍作敘述.導學稿的基本結構中，山東昌樂二中“271”模式的導學稿包括：學習目標、重點難點、使用說明、自學指導、相應練習、當堂檢測七個部分；國佳（2009）在《數學新課程理念下的學案導學教學模式研究》中提出導學稿包括學習目標、學法指導、自學檢測、問題討論、基礎訓練、能力訓練、學習小結、推薦作業等八個部分，但對于導學稿基本結構的設置，均沒有作任何的設置說明，停留在經驗層面；對于導學稿中的問題設計，山東杜郎口的“336”模式導學稿中問題設計的原則：目標性、導學性、探究性、層次性、提升性、銜接性、整合性、生活性、突破性、開放性；江蘇洋思中學的“先學后練，當堂訓練”模式導學稿貫徹：主導性、主體性、活動性、創新性、問題性、民主性、層次性原則，這些問題設計的原則看起來均有道理，但實踐中不好操作，教師得不到有實際意義的指導，有一種“中聽不中用”的感覺；甚至有一些學校或者老師在照搬一些名校的導學稿后，卻發現使用效果不盡人意，依此可知，導學稿的設計并沒有把學生的“學”與老師的“教”之間很好地統一起來.
以上這些問題，如何才能解決？
結合我校在“三元整合導學模式”課堂教學改革中的認識及經驗，筆者以為：解決問題的關鍵在于導學稿的設計一定要科學，要符合現代學習理論以及建立在現代學習理論基礎上的教學論和相應的教學設計原理.只有這樣，課堂教學的有效性才有保障，才有了科學性基礎.
2現代學習理論
2.1學習分類理論
2.1.1信息加工心理學關于知識的分類
以安德森為首的信息加工心理學家把人類習得的知識分為兩大類：一類為陳述性知識，另一類為程序性知識.陳述性知識是用于回答“是什么”的問題，如“符號∈是什么意思”，“直線與平面的位置關系有哪幾種”，“sin30°的值是多少”等問題，都需要有陳述性知識.程序性知識是用于回答“怎么辦”的問題，如怎樣運用直線與平面垂直的判定定理去證明線面垂直，怎樣計算點到直線的距離等問題，需要程序性知識.掌握程序性知識不能滿足于僅僅能陳述的狀態，還必須明確辦事的操作步驟.
2.1.2加涅的學習結果分類
美國著名學習與教學心理學家R.M.加涅認為，人類的學習有不同的類型，不同類型的學習結果需要不同類型的教學，不同類型知識的學習所需要的過程及條件也不相同.他將人類學習的結圖1果分為五種類型：1.言語信息，分三個小類：符號記憶、事實性知識、有組織的整體知識.高中階段學習的陳述性知識基本上都是有組織的整體知識. 2.智慧技能，分五個小類：辨別、具體概念、定義性概念、規則、高級規則.并且，加涅進一步提出五種智慧技能的習得存在著層次關系（圖1）：高級規則學習以簡單規則學習為先決條件；規則學習以定義性概念學習為先決條件；定義性概念學習以具體概念學習為先決條件；具體概念學習以知覺辨別為先決條件.3.認知策略. 4.動作技能.5.態度.上述五種學習結果中，前三種屬于認知領域，是我們在學科教學中學習與研究的重點.
2.2廣義知識學與教的一般模型
華東師范大學皮連生教授通過實證研究后認為，完整的教學過程必須符合“廣義知識學與教的一般過程模型”（表1），又稱“六步三階段模型”，缺少任何一步，要么學習不能發生，或者學習雖然發生，但不能轉化或持久保持.
依據“廣義知識學與教的一般過程模型”，容易知道，“學”與“教”是一個整體，密不可分.故筆者以為，學習效果要保證，教學設計及課堂教學從框架上應依據“六步三階段”模型來構建.其中，導學稿側重于學與教的一般過程中“學”的文本設計，課堂教學側重于學與教的一般過程中“教”的方案設計.只有這樣，才能較好地保證學與教的一致性與有效性.
2.3基于現代學習理論的課型理論
課型即課的類型，是根據一定的標準對課的類別進行劃分的結果.在一定的教學理論指導下，每一種課型都具有一定的課堂教學結構.根據學習分類理論及其基礎上的教學論、教學設計原理，每一種學科基本課型的課堂教學結構實際上就是不同類型知識的學習過程和內、外部條件的綜合反映，也是對學科特點主動適應的結果，最大限度地滿足各種基本課型的學習過程和條件是確保學生學會學習的前提和基礎.例如，高中數學科可劃分為概念課、規則課、解題課、復習課等基本課型.
下面，僅對于學習分類理論指導下的高中數學基本課型中的概念課從基本任務、知識類型及學習的過程與條件三個方面進行概括：
數學概念課型
1.基本任務：（一）明確數學概念是什么，具體包括：（1）揭示概念所反映的一類事物的本質屬性，給概念下定義；（2）辨別概念的正例和反例；（3）用不同的語言形式對概念加以解釋，如將概念的定義由文字語言表述轉換為用符號語言或圖形語言表述；（4）分析所學概念的其它一些重要屬性或特征.（二）辨明新概念與原有相關概念之間的關系，以及在概念形成過程中蘊含的數學思想方法與情感教育內容.（三）運用概念去辦事，即通過變式練習和綜合練習將習得的數學概念運用到各種具體情境中去解決相應的問題.
2.知識類型：高中數學概念課型中蘊含的主要知識類型是定義性概念，屬于程序性知識中的智慧技能的學習.教學的重點是概念的理解問題.
3.學習的過程與條件：概念學習主要有兩種方式，概念的形成與概念的同化，重點是解決概念的理解問題，可用奧蘇貝爾的同化論來解釋.
（一）概念形成：從辨別概念的例證出發，逐漸歸納概括出概念的本質屬性的一種學習方式，其心理機制可用奧蘇貝爾的上位學習模式來解釋.
學習的基本過程為：辨別（辨別概念例證的特征）假設（對概念例證的共同本質特征作出假設）檢驗假設概括（給概念下定義）.
（1）學習的內部條件是：學生必須能夠辨別正、反例證.
（2）學習的外部條件是：①必須為學生提供概念的正、反例.正例應有變化而且應有兩個或兩個以上，以幫助學生更好地辨別概念的本質屬性和非本質屬性；正例的呈現最好能讓學生意識到，不至于看了一個正例卻忘了另一個；②學生必須能夠從外界獲得反饋信息，以檢驗其所做的假設是否正確；③提供適當的練習，并給以矯正性反饋；④提供間隔練習以促進保持和遷移.
（二）概念同化：通過直接下定義來揭示一類事物的共同本質屬性，從而習得概念的一種學習方式，其心理機制可用奧蘇貝爾的下位學習模式來解釋.
學習的基本過程為：理解概念的定義辨別概念的例證.
（1）學習的內部條件是：學生的原有認知結構中具有同化新概念的適當的上位概念（或結構），而且這一上位概念（或結構）越鞏固、越清晰就越有利于新的下位概念的同化.如百分數這個定義性概念，如果學生頭腦中已有“分數”這個上位概念，那么百分數可以用概念同化的形式學習.其學習過程是一個接受過程，即百分數的定義特征不必經過學生從例子中發現，可以直接以定義形式呈現.學生利用其原有上位概念“分數”同化“百分數”.在學習時，學生找出百分數與分數的相同點，新的百分數被納入原有分數概念中；同時要找出新知識（百分數）與原有知識（分數）的相異點，這樣新舊知識可以分化，不致混淆.
（2）學習的外部條件是：①言語指導，以幫助學生更好地理解概念的本質屬性；②提供符合概念定義的正例和不符合概念定義的反例；③提供適當的練習，并給以矯正性反饋；④提供間隔練習以促進保持和遷移.
以概念形成和概念同化的形式習得的概念屬于概念的理解，若要運用概念對外辦事，則還需給學生提供一個重要的外部條件：變式（概念的正例的變化）練習，變式練習是知識向技能轉化的重要途徑.例如，2，3，5，7，11等都是“質數”的變式.
3現代學習理論的應用
3.1導學稿欄目的設計
導學稿側重于“學”的文本設計，依據皮連生教授實證研究的成果，完整的教學過程必須符合“六步三階段模型”，缺少任何一步，要么學習不能發生，或者學習雖然發生，但不能轉化或持久保持.為此，筆者把“學”的六個步驟從模型中提取出來（圖2）進行分析，在教學實踐中科學、合理構建導學稿的欄目.
一、課題名稱：
二、學習目標（包含重、難點）：
三、課時安排：
第2步，激活原有知識：激活學生原有的、與本節課內容相關的知識.構建欄目：復習回顧
第3步，選擇性知覺；第4步，新知識編入原有命題網絡；第5步，認知結構重建與改組/經變式練習，命題轉化為產生式系統：3、4步合在一起，實質上就是新知識的理解過程，是學習的重點與難點；第5步實質上是知識的鞏固和轉化過程，此階段要完成新知理解、知識向技能的轉化問題、并進行反饋及補救，是學習效果的保障，與前兩步密不可分.構建欄目：學習新知（在新知理解過程中，應根據相應課型理論進行教學設計）；第6步：根據線索提取知識/一旦條件滿足，行動能自動激活，這實質上是知識的提取、遷移或應用階段，強化知識的熟練程度.構建欄目：課后練習
綜上所述，基于現代學習理論下的高中數學導學稿的欄目設計為以下6個：
一、課題名稱：
二、學習目標（包含重、難點）：
三、課時安排：
四、復習回顧
五、學習新知（根據相應課型理論進行教學設計）
六、課后練習
3.2導學稿的具體設計案例
筆者以選修1-1中的拋物線為例進行導學稿設計及分析.具體如下：
一、課題：拋物線（人教A版數學新課標教材選修2-1，P64―P72）
二、學習目標：
1、能準確回憶拋物線文字表述的定義，并能用符號加以表示，以及能畫出相應的圖形；
2、能準確寫出拋物線的標準方程，能用自己的話簡要敘述教材中標準方程的推導過程，并能自行給出其它形式標準方程的推導；
3、能準確回憶并解釋拋物線的幾何性質；
4、能運用拋物線的概念解決簡單的數學問題.
其中目標3、4是重點內容.
三、課時安排：2課時
四、復習回顧
（1）橢圓、雙曲線標準方程中“標準”的含義：
.
（2）橢圓和雙曲線上的點到定點（焦點）與到相應定直線（準線）的距離的比都等于常數（離心率），當時，是橢圓，當時，是雙曲線.當時，是拋物線.
五、學習新知
指導語：我們可以類比研究圓錐曲線中橢圓或雙曲線的方法來研究拋物線：（1）根據定義建系設點求方程；（2）根據方程、圖像，利用數形結合的思想考察性質；（3）根據方程和性質研究與拋物線有關坐標及最值問題等.在自學別注意拋物線與橢圓、雙曲線的不同之處：到焦點與到準線的距離相等，這是關鍵.
設計意圖可看成是學習新知的一種先行組織者策略，引導大家明確學習的方法.本質上采用了奧蘇貝爾在概念同化過程中的下位學習模式，學生已經懂得了研究圓錐曲線的一般方法，而拋物線也是圓錐曲線的一種，故拋物線的概念容易形成.并且，在此把研究圓錐曲線的一般方法寫出來，意在強化學生原有知識結構.
請同學們自學教材的內容（例2，例5先不看），并完成以下任務.
1. 結合書本的表格完成下面表格序
號標準
方程y2=2px
（p>0）y2=-2px
（p>0）x2=2py
（p>0）x2=-2py
（p>0）1圖形2范圍3對稱
軸4頂點
坐標5焦點
坐標6離心
率7準線
方程8p的幾何意義：p恒為數（正 / 負）
問題：你能否由上表四種方程的特點歸納拋物線焦點所在的坐標軸以及開口方向和什么有關？
設計意圖提出問題，給學生以指導，幫助學生更好地理解拋物線概念的本質屬性.
2.拋物線y2=12x上一點M到焦點的距離等于9，則點M到準線距離是 ，點M的橫坐標是.
3.求拋物線y-2x2=0的焦點坐標為，準線方程為 .
4.求拋物線y=ax2的焦點坐標為，準線方程為 .
設計意圖提供多個正例2、3、4，以幫助形成對拋物線概念的理解.
5.若l不經過點F，則平面內與定點F和定直線l距離相等的點的軌跡是什么？
設計意圖提供反例5，加強對拋物線概念的辨析理解.
強化訓練
6.求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并畫圖.
（1）頂點在原點，對稱軸是x軸，經過點P（-6，-3） ；
（2）頂點在原點，準線為y=2；
（3）頂點在原點，經過點P（-6，-3）.
7.拋物線y2=8x上一點P到頂點的距離等于它到準線的距離，這點坐標是（）.
A. （2，4）B.（2，±4）C. （1，22）D. （1，±22）
8.已知M為拋物線y2=4x上一動點，F為拋物線的焦點，定點P（3 ，1），則|MP|+|MF|的最小值為（）.
A. 3B. 4C. 5D. 6
9.過拋物線y2=2px（p>0）的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2），則以|AB|為直徑的圓與拋物線的準線的位置關系為（）.
A. 相交B. 相離C. 相切D. 不確定
設計意圖提供適當練習，并進行矯正反饋，以形成利用概念對外辦事的能力.
六、課后練習
請同學們在課后完成下列練習10―15，可以檢驗你對拋物線定義是否有深刻的理解、能否靈活運用拋物線的性質解決問題.
10.拋物線y2=2px（p>0）上一點M到焦點的距離是aa>p2，則點M到準線的距離是，點M的橫坐標是.
11.求頂點在原點，焦點在直線3x-4y-12=0上的拋物線的標準方程.
12.已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經過點M（2，y0）.若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|=（）.
A. 22B. 23C. 4D. 25
13. 右圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米.
14.已知點P到點F（4，0）的距離比它到直線l：x=-6的距離短2，求點P的軌跡方程.
15.已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，其上的點P（m，-3）到焦點的距離為5，求拋物線方程.
1.平行四邊形ABCD的一條對角線固定在A(3，-1)，C(2，-3)兩點，點D在直線3x-y+1=0上移動，則點B的軌跡方程為()
A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
答案：A 解題思路：設AC的中點為O，即.設B(x，y)關于點O的對稱點為(x0，y0)，即D(x0，y0)，則由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.
2.由直線y=x+1上的一點向圓(x-3)2+y2=1引切線，則切線長的最小值為()
A.1 B.2
C. -2D.3
答案：C 解題思路：當該點是過圓心向直線引的垂線的交點時，切線長最小.因圓心(3,0)到直線的距離為d==2，所以切線長的最小值是l==.
3.直線y=x+b與曲線x=有且只有一個交點，則b的取值范圍是()
A.{b||b|=}
B.{b|-1
C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，A是雙曲線漸近線上的一點，AF2F1F2，原點O到直線AF1的距離為|OF1|，則漸近線的斜率為()
A.或- B.或-
C.1或-1 D.或-
答案：D 命題立意：本題考查了雙曲線的幾何性質的探究，體現了解析幾何的數學思想方法的巧妙應用，難度中等.
解題思路：如圖如示，不妨設點A是第一象限內雙曲線漸近線y=x上的一點，由AF2F1F2，可得點A的坐標為，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，則tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得該雙曲線漸近線的斜率為或-，故應選D.
4.設F1，F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，與直線y=b相切的F2交橢圓于點E，E恰好是直線EF1與F2的切點，則橢圓的離心率為()
A. B.
C. D.
答案：C 解題思路：由題意可得，EF1F2為直角三角形，且F1EF2=90°，
|F1F2|=2c，|EF2|=b，
由橢圓的定義知|EF1|=2a-b，
又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，
即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，
所以e2===，故e=，故選C.5.等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2=16x的準線交于A，B兩點，|AB|=4，則C的實軸長為()
A. B.2 C.4 D.8
答案：C 解題思路：由題意得，設等軸雙曲線的方程為-=1，又拋物線y2=16x的準線方程為x=-4，代入雙曲線的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以雙曲線的實軸長為2a=4，故選C.
6.拋物線y2=-12x的準線與雙曲線-=1的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于()
A. B.3 C. D.3
答案：B 命題立意：本題主要考查拋物線與雙曲線的性質等基礎知識，意在考查考生的運算能力.
解題思路：依題意得，拋物線y2=-12x的準線方程是x=3，雙曲線-=1的漸近線方程是y=±x，直線x=3與直線y=±x的交點坐標是(3，±)，因此所求的三角形的面積等于×2×3=3，故選B.
7.若雙曲線-=1與橢圓+=1(m>b>0)的離心率之積大于1，則以a，b，m為邊長的三角形一定是()
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
答案：D 解題思路：雙曲線的離心率為e1=，橢圓的離心率e2=，由題意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形為鈍角三角形，故選D.
8. F1，F2分別是雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點.若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()
A.2 B. C. D.
答案：B 命題立意：本題主要考查了雙曲線的定義、標準方程、幾何性質以及基本量的計算等基礎知識，考查了考生的推理論證能力以及運算求解能力.
解題思路：如圖，由雙曲線定義得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因為ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故選B.
9.已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()
A.2 B.3
C. D.
答案：A 解題思路：設拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離分別為d1，d2，根據拋物線的定義可知直線l2：x=-1恰為拋物線的準線，拋物線的焦點為F(1,0)，則d2=|PF|，由數形結合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值時，即為點F到l1的距離，利用點到直線的距離公式得最小值為=2，故選A.
10.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)，A，B是雙曲線的兩個頂點，P是雙曲線上的一點，且與點B在雙曲線的同一支上，P關于y軸的對稱點是Q.若直線AP，BQ的斜率分別是k1，k2，且k1·k2=-，則雙曲線的離心率是()
A. B. C. D.
答案：C 命題立意：本題考查雙曲線方程及其離心率的求解，考查化簡及變形能力，難度中等.
解題思路：設A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于點P在雙曲線上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故選C.
二、填空題
11.已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點P(2,0)的直線交拋物線于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點，則(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面積的最小值是________.
答案：(1)-8 (2)2 命題立意：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，難度中等.
解題思路：設直線AB的方程為x-2=m(y-0)，即x=my+2，聯立得y2-4my-8=0.(1)由根與系數的關系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面積為S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.
知識拓展：將ABF分割后進行求解，能有效減少計算量.
12. B1，B2是橢圓短軸的兩端點，O為橢圓中心，過左焦點F1作長軸的垂線交橢圓于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項，則的值是________.
答案： 命題立意：本題考查橢圓的基本性質及等比中項的性質，難度中等.
解題思路：設橢圓方程為+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.
13.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B.若=，則p=________.
答案：2 解題思路：過B作BE垂直于準線l于E，
=， M為AB的中點，
|BM|=|AB|，又斜率為，
BAE=30°， |BE|=|AB|，
|BM|=|BE|， M為拋物線的焦點，
p=2.
14.
1.從方程形式看，在平面直角坐標系中這幾種曲線方程都是二元二次方程表示為f（x，y），所以它們都屬于二次曲線。
2.從軌跡上看它們都是“到定點和到定直線距離比是常數e的點的軌跡”，這個定點是它們的焦點；定直線是它們的準線，只是由于e的取值范圍不同而分別為橢圓（0
3.這三種曲線都是可以由平面截圓錐而得到的截口線，用一個垂直于圓錐軸的平面截圓錐得到的截口線是圓，如果改變平面與圓錐軸線的夾角會得到一些不同的圖形它們分別是橢圓，雙曲線，拋物線等，因此通常把它們稱之為圓錐曲線。從教材處理來看圓錐曲線無疑是解析幾何的重頭戲，重點是以橢圓為例交待研究圓錐曲線的一般方法，先由求曲線方程的一般步驟求出橢圓的標準方程，再用方程討論橢圓的幾何性質，體現解析幾何的基本思想用代數方法研究幾何問題，然后在雙曲線、拋物線中得到應用和鞏固，主次有序；先講橢圓也是為了與圓的方程銜接自然，在教與學的過程中以圓錐曲線的共性與個性為主旨可以挖掘出更深刻的規律，以下規律以結論形式給出。
結論一 ： 若P（x0，y0）是圓錐曲線C上一點。若C為橢圓■+■=1，則過P點的切線方程為■+■=1；若C為雙曲線■-■=1,則過P點的切線方程為■-■=1；若C為拋物線y2=2px，則過P點的切線方程為y0y=p（x+y0）。
證明：（以橢圓為例）設切線的斜率為k，則k=y′x-x0其中y=■，y′=■，因此k=■，切線方程為y-y0=■（x-x0）=■（x-x0），因為■+■=1所以整理得切線方程為：■+■=1。
同理可證雙曲線過P點的切線方程為■-■=1；拋物線過P點的切線方程為y0y=p（x+x0）。由此可知圓錐曲線上一點的切線方程與該曲線方程結構一致，即：二次項x2，y2換成x0x，y0y，一次項x，y換成■，■就是切線方程。
推論：過P（x0，y0）作橢圓■+■=1的兩條切線PA,PB切點為A，B，則AB所在曲線的方程為■+■=1。
證明：設A（x1，y1） ，B（x2，y2）則由結論一可知過A，B的切線方程分別為■+■=1，■+■=1。又因為點P（x0，y0）為PA,PB的交點，所以有■+■=1， ■+■=1。因此A，B都在直線■+■=1上，即AB所在曲線的方程為：■+■=1。由此可以得出：自同一點P（x0，y0）出發的橢圓的兩條切線的切點弦方程，其形式與經過橢圓上一點（x0，y0）的切線方程是完全一樣的，可以驗證雙曲線，拋物線也有類似性質。
結論二: 在圓錐曲線中通過焦點垂直于對稱軸的弦長為定值。在橢圓和雙曲線中定值為■，在拋物線中定值為2p。
■
圖1
證明：如圖1，設點A(xA，yB），橢圓方程為■+■=1，由于AB過焦點且垂直于對稱軸，因此xA=c，于是■+■=1,解得yA=■，由橢圓的對稱性可知|AB|=2|yA|=■，另外也可用圓錐曲線的第二定義證明之。在拋物線中由定義可知|AB|=2p
結論三：在圓錐曲線中，以焦點弦為直徑的圓與相應準線的位置關系與e（離心率）有關，e>1，相交；e=1，相切；0
證明：如圖2，ACCD，BDCD由橢圓的第二定義可知■=■=e。
設圓的半徑為r,r=■,圓心到CD的距離為d,d=■則r=ed，因為在橢圓中0
■
圖2
結論四：過圓錐曲線C的焦點F的直線與C交與A，B兩點，自A，B向準線做垂線，垂足分別為C，D，在橢圓中∠CFD■。（本題的證明與定理三相似，利用圓錐曲線的第二定義及三角形中大邊對大角理論可輕松完成，有興趣的讀者可以試著完成。）
在歷年的高考試題及模擬試題中，能用以上結論直接解決的問題頻繁出現，特別是解決一些填空、選擇題掌握以上結論顯得尤為輕松。下面以一道高考題為例談談他的應用：（2008年高考數學江西卷理科第21題）
如圖3，設點P（x0，y0）在直線x=m（y≠±m，0
（1）過點A作直線x-y=0 的垂線，垂足為N，試求AMN的重心G所在的曲線方程；
（2）求證：A、M、B三點共線。
■
圖3
解：（問題2）設A（x1，y1），B（x2，y2），則過A,B兩點的切線方程分別為x1x-y1y=1，x2x-y2y=1，又P（m,y0）在兩條切線上，所以x1m-y0y1=1,x2m-y0y2=1即A（x1，y1），B（x2，y2），都在直線mx-y0y=1，又M(■，0)也在直線mx-y0y=1上，所以A、M、B三點共線。
2014年四川省高考理科第20題是這樣一道題：已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.
（。っ鰨OT平分線段PQ（其中O是坐標原點）；
（）當■最小時，求點T的坐標.
筆者在對該題中的第（2）小題進行探討時，發現該結論可以推廣到更一般的情形.
2.問題的推廣與證明
由于第（2）小題結論（。┒雜諭衷怖此凳且桓鲆話閾越崧郟筆者認為，該結論對于雙曲線也應該成立，當附加一定的條件時，結論（）對于橢圓（或雙曲線）應該有一般表達式.
筆者通過深入探究，發現如下一般性結論：
推廣一：如圖1橢圓C：■+■=1（a>b>0）的焦點為F，T為橢圓準線上任一點（焦點和準線在y軸同側），過F作TF的垂線交橢圓于P，Q兩點，則有：
（1）OT平分線段PQ（其中O是坐標原點）；
（2）當c>b時，■有最小值■，這時T點坐標為（-■，-■或（-■，■）；
（3）當T是非x軸上的點時，K■K■=-■；
（4）若P關于坐標原點O的對稱點為P′，則P′Q||OT.
證明：不妨設F（-c，0）為橢圓的左焦點.橢圓左準線：x=-■.
設T（-■，m），則K■=-■，當m=0時，T為橢圓左準線與x軸的交點，這時PQ為橢圓的通徑，OT平分PQ.當m≠0時，因為TFPQ，由K■K■=-1得K■=■（1）
所以直線PQ的方程為y=■（x+c），設P（x■，y■），Q（x■，y■），
聯立■+■=1y=■（x+c）得（a■b■+c■m■）x■+2a■b■cx+a■c■（b■-m■）=0
因為=4a■b■c■-4a■c■（a■b■+c■m■）（b■-m■）=4a■c■m■（b■+c■m■）>0
所以x■+x■=-■（2）
x■x■=■（3）
由y■+y■=■（x■+x■+2c）=■（2c-■）=■
得PQ的中點G（-■，■）
計算K■=-■，K■=-■得K■=K■.
由此知O，G，T三點共線，即直線OT過線段PQ的中點G，所以OT平分線段PQ.
計算|TF|=■=■（4）
|PQ|=■■
（5）
把（1），（2），（3）式代入（5）式，整理得|PQ|=■（6）
由（4）式，（6）式計算得比值
■=■=■■=■=■
=■■
=■■
≥■■=■.
當c>b時，解出m=±■■，此時■有最小值■，T為（-■，■■）或（-■，-■■）.
根據結論第（1），（2）題證明已計算出K■=■，K■=-■易得K■K■=-■.
點P（x■，y■）關于坐標原點O的對稱點為P′（-x■，-y■），P′Q的斜率K■=■=■/-■=-■，即直線P′Q與直線OT的斜率相等，所以P′Q||OT.
推廣二：如圖2，雙曲線C：■-■=1的焦點為F，T為雙曲線準線上任一點（焦點和準線在y軸同側），且點T的縱坐標m≠±■，過F作TF的垂線交雙曲線于P，Q兩點，則有：
（1）直線OT平分線段PQ（其中O是坐標原點）；
（2）■=■
=■■；
（3）當T是非x軸上的點時，K■K■=■；
（4）若P關于坐標原點O的對稱點為P′，則P′Q||OT.
以上結論的證明與橢圓情形類似，這里不再贅述.
繼續探索.我們把橢圓更換為拋物線，這時結論將如何呢？請看下面的例子：
如圖，拋物線y■=4x的焦點為F，動點T（-1，m），過F作TF的垂線交拋物線于P，Q兩點，弦PQ的中點為N.
（1）證明：線段NT平行于x軸（或在x軸上）；
（2）若m>0且|NF|=|TF|，求m的值及點N的坐標.
解（1）由拋物線的標準方程y■=2px及焦點F（■，0），準線方程x=-■知，此拋物線的焦點F（1，0），準線方程x=-1，動點T（-1，m）在準線上，由斜率公式得K■=-■.
當m=0時，T為拋物線準線與x軸的交點，這時PQ為拋物線的通徑，點N與焦點F重合，易知線段NT在x軸上.
當m≠0時，因為TFPQ，所以K■K■=-1，解得K■=■，于是直線PQ的方程為y=■（x-1）代入y■=4x化簡整理得x■-（2m■）x1=0，=（2+m■）■-4=m■（4-m■）>0.設P（x■，y■），Q（x■，y■），由韋達定理可知x■+x■=2+m■，y■+y■=■（x■+x■-2）=2m，得弦PQ的中點N（■，2），結合T（-1，m），由斜率公式計算得K■=0，所以NT平行于x軸.
綜上可知，線段NT平行x軸（或在x軸上）.
（2）已知ONFO=OTFO，在TFN中，tan∠NTF=■=1知∠NTF=45°，得TFA是等腰直角三角形（A是準線與軸的交點），所以OTAO=OAFO=2，動點T（-1，m），得m=2.
一、學生教師“雙主”地位改變
這次觀摩活動中，每節課中學生的主體地位及教師的主導地位，得到較充分的體現.教師關注學生的學習過程，給學生提供“做”數學的學習機會，使學生有充分的時間去探究、交流，讓學生在學習中去體驗和經歷數學.在實踐過程中也注重培養學生的理性思維，真正教會學生怎樣去解決一個新的問題.如《有趣的楊輝三角》這節課，表現最為突出的是廣西欽州市靈山中學的趙金成老師，她的課堂氣氛活躍，教學環節過渡自然流暢，課堂上她提出的問題大多數是由學生獨立思考或相互探討完成的，當然這與她的引導和點撥是分不開的.本節課趙老師運用小組合作學習方式，通過四個問題設計展開教學活動，取得了很好的教學效果.
問題1：計算（a+b）n展開式的二項式系數并插入以下表格中，通過填表你發現什么規律？
問題2：觀察“楊輝三角”你能得到哪些數字規律？（學生填到課前發的習題紙上）
問題3：請與同組的同學交流你的想法，并試著證明你的猜想.請各小組派代表發表你們的看法.
讓學生獨立思考尋找楊輝三角中蘊含的數字規律，再通過小組交流討論發現的二項式系數的性質，注重運用了轉化和化歸的數學思想，把觀察到的規律證明化歸為組合數性質的應用，將合情推理和演繹推理有機結合，真正體現了探究—猜想—證明的科學思維方法.學生有充分的思考探究與交流的時空，能經歷規律的發展過程，小組合作學習的成效顯著.
二、語言簡單明確，評價趨于多樣化
這次參賽的各位教師教學語言精練，不管是教師的引導語還是提問語或評價語都十分的準確到位.例如，河北邯鄲市第四中學張興娟老師《用二分法求方程的近似解》這節課，張老師開篇用一系列環環相扣的問題將學生帶入這節課的學習中.問題1：你會求哪些類型方程的解？小組討論有哪些不會求解？（并讓學生把所提問題歸納并板書到黑板上）問題2：能不能求方程的近似解？以求方程x3+3x-1=0近似解為例，進行以下探究：1.怎樣確定解所在的區間？2.怎樣縮小解所在的區間？3.區間縮小到什么程度滿足要求？
本課的每一個問題都是在師生的交流中產生的，所以教師的引導語與提問語對學生順利完成這節課的學習起著至關重要的作用.
除了提問語之外，教師給予學生的評價也是各有特色，也有教師給學生的回答作出動作鼓勵評價，如豎起大拇指或給學生以熱烈的掌聲.與以往的教師評價不同，現在教師更善于從多個角度來評價，發現學生身上的閃光點，發現學生的潛能，并能以自然、真誠、恰當的語言及時并有針對性地給予學生的學習活動作出評價，極大地提高學生學習數學的興趣.
三、對新教材挖掘深入
與舊“大綱”相比較，新課程在知識結構內容等方面有較大的變化.
（一）知識結構的變化
新課標的一個大變化就是“模塊+專題”結構和學分制，與以往的高中數學課程相比，這次課程標準更加突出了基礎性和選擇性，這是新課標的基本理念之一，其中必修課程由5個模塊構成，具體如下.
數學1：集合、函數概念與基本初等函數I（指數函數、對數函數、冪函數）；
數學2：立體幾何初步、平面解析幾何初步；
數學3：算法初步、統計、概率；
數學4：基本初等函數II（三角函數）、平面上的向量、三角恒等變換；
數學5：解三角形、數列、不等式.
選修課程分4個系列，其中系列1，系列2由若干個模塊組成，系列3、系列4由若干專題組成，每個模塊2學分（36學時），每個專題1學分（18學時）.具體如下表所示：
注：上圖中代表模塊（36學時）；代表專題（18學時）.
在完成必修課程的基礎上，希望進一步學習數學的學生，可以根據自己的需求，選擇學習選修系列1、系列2.其中系列1是為希望在人文社科方面發展的學生設置的，由2個模塊組成：
選修1-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用；
選修1-2：統計案例、推理與證明、數系的擴充與復數的引入、框圖.
系列2是為希望在理工（包括部分經濟類）方面發展的學生設置的，由3個模塊組成：
選修2-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間中的向量與立體幾何；
選修2-2：導數及其應用、推理與證明、數系的擴充與復數的引入；
選修2-3：計數原理、統計案例、概率.
（二）內容的變化
新課程的內容有較大的變化，不僅增加了一些為了適應社會發展、教學發展和教育發展需要的新內容，如算法初步的基礎知識等，而且對某些原有的內容也做了一定的調整，特別是圓錐曲線與方程的內容.例如，陜西師范大學附屬中學，倪如俊老師上的《拋物線及其標準方程》這節課對教材的深入挖掘體現得淋漓盡致.具體案例如下：
1.課堂引入
（1）生活中的拋物線
①投籃時，籃球的運動軌跡是拋物線；
②南京秦淮河三山橋的橋拱的形狀是拋物線；
③衛星天線是根據拋物線的原理編造的.
（2）數學中的拋物線
一元二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是一條拋物線.提出問題：為什么一元二次函數的圖像是一條拋物線？
2.拋物線的定義
（1）拋物線的畫法
①介紹作圖規則.
②動畫展示作圖過程.提出問題：求所對應的點M滿足的幾何關系是什么？
③分析作圖過程.提出問題：在作圖過程中，直尺、三角板、筆尖、點F中哪些沒有動？哪些動了？繩長|AC|、|MC|、|MF|、|MA|中哪些量沒有變？哪些量變了？
④結論：動點M滿足的幾何關系是：動點M到定點的距離等于它到直尺的距離.
以上是倪老師通過生活中的拋物線使學生認識到學習拋物線的必要性，再通過類比橢圓的學習過程和方法去學習拋物線，通過畫拋物線的圖形過程抽象概括出拋物線的定義，課改后拋物線的內容介于橢圓和雙曲線之間，而大綱教材中拋物線的內容在學習了橢圓和雙曲線之后，大綱教材注重圓錐曲線的第二定義學習，而新教材這樣安排恰恰淡化了圓錐曲線的第二定義，所以倪老師沒有運用圓錐曲線第二定義引入說明，對教材的挖掘和把握很精準到位.
四、個人的反思
這次優秀展示課，都是新授課，包括概念課和探究課，特別以概念課為主.新授課的教學直接影響學生的學習效果，如果照本宣科，不僅會讓學生覺得枯燥乏味，并且效果也大打折扣，那么應怎樣上好一節新授課呢？我的思考如下：
1.備好課——教學設計
上好一堂課的基礎就是教學設計，就是教師在備課中應用系統方法分析教學問題確定教學目標，設計問題的解決步驟，選擇相應的教學器材和策略以及相應的教學工具（包括媒體），教學設計包括教學目標確定，教材的分析和處理，學情分析，教法選擇，教案的編寫.
2.優化課堂教學——教學實施
（）必做1 如圖1，已知點A（－2，0），點P是B：（x－2）2+y2=36上任意一點，線段AP的垂直平分線交BP于點Q，點Q的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知O：x2+y2=r2（r>0）的切線l總與曲線C有兩個交點M，N，并且其中一條切線滿足∠MON>90°，求證：對于任意一條切線l總有∠MON>90°．
圖1
破解思路 第1問通過橢圓的定義可以直接得到． 第2問可以根據相切得到點到直線距離為半徑，然后直線與橢圓聯立，根據向量夾角判斷∠MON>90°成立的條件，得到滿足的條件，最后再來判斷兩種特殊情況．
精妙解法 （1）由題意，QA+QB=QP+QB=6，所以Q點軌跡是以A，B為焦點的橢圓，且a=3，c=2，所以曲線C的軌跡方程是+=1．
圖2
（2）先考慮切線的斜率存在的情形． 設切線l：y=kx+m，則由l與O相切得=r，即m2=r2（1+k2）． ①
由y=kx+m，+=1消去y得，（5+9k2）x2+18kmx+9（m2－5）=0． 設M（x1，y1），N（x2，y2），則由韋達定理得x1+x2=－，x1x2=，?=x1x2+yy=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=－+m2=． ②
由于其中一條切線滿足∠MON>90°，對此?=，于是，對于任意一條切線l，總有m2>（1+k2），進而?=90°．
最后考慮兩種特殊情況：（1）當滿足∠MON>90°的那條切線斜率不存在時，切線方程為x=±r. 代入橢圓方程可得交點的縱坐標y=±，因∠MON>90°，故r，同上可得：任意一條切線l均滿足∠MON>90°；（2）當滿足∠MON>90°的那條切線斜率存在時，r2>，r90°． 綜上所述，命題成立．
金刊提醒
直接以圓與直線的位置關系作為解答題的可能性很小，但是圓與其他曲線的結合做為解答題的可能性很大，結合了以后圓與直線的兩個重要位置關系還是要考，而且要重點考，所以我們也必須重視圓與直線位置關系的特殊解法．
直線與圓錐曲線的位置關系
（）必做2 如圖3，過點D（0，－2）作拋物線x2=2py（p>0）的切線l，切點A在第二象限．
（1）求切點A的縱坐標；
（2）若離心率為的橢圓+=1（a>b>0）恰好經過切點A，設切線l交橢圓的另一點為B，記切線l，OA，OB的斜率分別為k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求橢圓方程．
圖3
破解思路 第1問根據導數的幾何意義求出拋物線的斜率，然后根據點斜式得到截距為－2，求出A的縱坐標．第2問求橢圓方程也就是求b，a的值，也就是找兩個方程，通過離心率得到b，a的關系，這里也涉及p，我們可以通過三個斜率的關系得到b，p關系，A點在橢圓上又有關系，從而求出b，p．
精妙解法 （1）設切點A（x0，y0），且y=，由切線l的斜率為k=，得l的方程為y=x-． 又點D（0，－2）在l上，所以=2，即點A的縱坐標y=2．
（2）由（1）得A（－2，2），切線斜率k=－． 設B（x1，y1），切線方程為y=kx－2，由e=，得a2=4b2，所以橢圓方程為+=1，且過A（－2，2），所以b2=p+4． 由y=kx－2，x2+4y2=4b2 （1+4k2）x2－16kx+16－4b2=0，所以x0+x1=，x0x1=，所以k1+2k2=+===3k－=3k－=3k－=3k－=4k． 將k= －，b2=p+4代入得：p=32，所以b2=36，a2=144，所以橢圓方程為+=1．
（）必做3 設橢圓C：+y2=1（a>0）的兩個焦點是F1（－c，0）和F2（c，0）（c>0），且橢圓C上的點到焦點F2的最短距離為－．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點M，N，線段MN垂直平分線恒過點A（0，－1），求實數m的取值范圍．
破解思路 第1問利用橢圓的幾何性質，聯立解方程組求a，c即得橢圓的方程． 第2問利用直線與橢圓有兩個交點即Δ>0，直線l與垂直平分線的位置關系，得出兩者的斜率的關系式．
精妙解法 （1）由題意可知，a－c=－，a2－c2=1，解得：a=，c=，所以橢圓的方程為：+y2=1．
（2）由y=kx+m，x2+3y2=3 得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2－1）=0（）．
因為直線l與橢圓C交于不同的兩點，所以Δ>0，m2
設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1，x2是方程（）的兩個實數解，所以x1+x2=－，線段MN的中點為Q－，． 又因線段MN的垂直平分線恒過點A（0，－1），所以AQMN，即－=－，即2m=3k2+1（k≠0）②，由①②可得：m2
（）必做4 已知直線l：x－my－=0，橢圓C：+y2=1（m>1），
（1）是否存在實數m，使得直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且AB=？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
（2）設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若原點O在以線段AB為直徑的圓內，求m的取值范圍．
破解思路 第1問利用弦長公式建立方程求m．第2問原點O在以線段AB為直徑的圓內轉化為代數關系式?
精妙解法 （1）聯立l：x－my－=0與C：+y2=1（m>1）整理得：
2y2+my+－1=0，Δ=m2－4×2?－1=8－m2>0，所以1
又1
（2）原點O在以線段AB為直徑的圓內等價于?
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直線與圓錐曲線的位置關系綜合考查了直線與圓錐曲線的有關概念、定義、性質以及運算能力． 直線與圓錐曲線相交一般可通過韋達定理求解，然后分析兩個根與交點的關系． 但若相切我們應分情況，對橢圓與直線相切我們考慮判別式，對拋物線而言用求導解決．
軌跡方程
（）必做5 已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為e=，以原點O為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y+2=0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個頂點，P為橢圓C上的動點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）M為過P且垂直于x軸的直線上的點，若=λ≤λ
破解思路 第1問直接利用條件求橢圓方程. 第2問將條件的等量關系平方，再利用點P在橢圓上得出軌跡方程，然后對λ進行分類討論可得出軌跡的形狀.
精妙解法 （1）由題意可得圓的方程為x2+y2=b2，因為直線x－y+2=0與圓相切，所以圓心到直線的距離d=b=. 又e==，即a=c. 因為a2=b2+c2，所以 a=，c=1，所以橢圓的方程為+=1.
（2）設M（x，y），其中x∈［－，］. 由=λ2及點P在橢圓C上可得，==λ2，整理得，（3λ2－1）x2+3λ2y2=6，其中x∈［－，］.
①當λ=時，化簡得，y2=6，所以點M的軌跡方程為y=± （－≤x≤），軌跡是兩條平行于x軸的線段；
②當
（）必做6 已知定點A（-3，0），M，N分別為x軸、y軸上的動點（M，N不重合），且ANMN，點P在直線MN上，=．
圖4
（1）求動點P的軌跡C的方程．
（2）設點Q是曲線x2+y2－8x+15=0上任一點，試探究在軌跡C上是否存在點T，使得點T到點Q的距離最?。?若存在，求出該最小距離和點T的坐標；若不存在，說明理由．
破解思路 第1問利用向量=建立點P的方程，化簡即得． 第2問曲線C上點T到點Q的距離最小轉化為曲線C上的動點到定點的最小值．
精妙解法 （1）設點M，N的坐標分別為（a，0），（0，b）（a≠0，b≠0），點P的坐標為（x，y），則=（3，b），=（a，－b），=（x－a，y），=（x，y－b）． 由ANMN得3a－b2=0，（）
由=得x=（x－a），y－b=y，所以a=x，b=－y，代入（）得y2=4x． 因為a≠0，b≠0，所以x≠0，y≠0，所以動點P的軌跡C的方程為y2=4x（x≠0）．
（2）曲線x2+y2－8x+15=0，即（x－4）2+y2=1，是以B（4，0）為圓心，以1為半徑的圓，設T為軌跡C上任意一點，連結TB，則TQ+QB≥TBTQ≥TB－1，所以當|TB|最小時，TQ最?。?因為點T在軌跡C上，設點T（，m）（m≠0），所以|TB|==． 當m2=8，即m= ±2時，TB有最小值，TBmin=2；當m2=8時，=2． 所以在軌跡C上存在點T，其坐標為（2，±2），使得TQ最小，TQmin=2－1．
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求曲線軌跡方程的思想方法是解析幾何最基本、最重要的解題思想方法，因而求曲線軌跡方程成為新高考的熱點內容. 試題多以解答題形式出現，重點考查大家根據曲線的幾何特征熟練地運用解析幾何知識將其轉化為數量關系， 再運用代數（如函數與方程）的知識作答的能力.
定值、最值與取值范圍問題
（）必做7 已知拋物線D的頂點是橢圓+=1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合．
（1）求拋物線D的方程．
（2）已知動直線l過點P（4，0），交拋物線D于A，B兩點．
（i）若直線l的斜率為1，求AB的長；
（ii）是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．
破解思路 第1問直接利用定義可以求出拋物線的方程． 第2問中的（i）可以直接用弦長公式得到．
精妙解法 （1）由題意，可設拋物線方程為y2=2px（p>0）. 由a2－b2=4－3=1，得c=1. 所以拋物線的焦點為（1，0），所以p=2． 所以拋物線D的方程為y2=4x．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），
（i）直線l的方程為：y=x－4，聯立y=x－4，y2=4x整理得：x2－12x+16=0，所以AB==4．
（ii）設存在直線m：x=a滿足題意，則圓心，，過M作直線x=a的垂線，垂足為E． 設直線m與圓M的一個交點為G，可得：
EG2=MG2－ME2=MA2－ME2=－－a=y++a（x1+4）－a2=x1－4x1+a（x1+4）－a2=（a－3）x1+4a－a2． a=3時，EG2=3，此時直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長為定值2，因此存在直線m：x=3，滿足題意．
（）必做8 如圖5所示，已知拋物線C1的方程是y=ax2（a>0），圓C2的方程是x2+（y+1）2=5，直線l：y=2x+m（m
圖5
（1）求m與a的值；
（2）設A是拋物線C1上的一動點，以A為切點作C1的切線交y軸于點B，若=+，則點M在一定直線上，試證明之.
破解思路 第1問利用直線與拋物線及圓相切的條件求得m與a的值. 第2問先求出拋物線的切線，得出B的坐標，再運用向量間關系證明.
精妙解法 （1）由己知得，圓C2的圓心為C2（0，1），半徑r=. 由條件 得，圓心C2到直線l：y=2x+m（m
（2）由（1）知，拋物線C1的方程為y=x2，焦點為F0，. 設Ax1，x，由（1）知以A為切點的切線方程為y=x1（x－x1）+x，令x=0，得點B的坐標為0，-x，所以=x1，x－，=0，-x－，所以=+=（x1，－3），設M（x，y），因為F0，，所以=x，y－=（x1，－3），所以y= －，即M點在定直線y=－上.
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定值問題用目標方程來解決，最值或取值范圍問題用目標不等式來解決，但它們都可以歸結為用目標函數的方法．
存在探索型問題
（）必做9 已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，其左、右焦點分別為F1，F2，點P是坐標平面內一點，且OP=， ?=（O為坐標原點）.
（1）求橢圓C的方程.
（2）過點S0，－且斜率為k的動直線l交橢圓于A，B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由.
破解思路 第1問運用平面向量的數量積及坐標法求出橢圓的方程.第2問先假設在y軸上存在定點M滿足條件，利用恒成立的條件得出答案.
精妙解法 （1）設P（x0，y0），F1（－c， 0），F2（c，0），則由OP=得，x+y=①，由?=得，（－c－x0，－y0）?（c－x0，－y0）=，即x+y－c2=②. 由①-②得c=1，又=，所以a2=2，b2=1. 所橢圓方程為+y2=1.
（2）將動直線l：y=kx－代入橢圓方程有（2k2+1）x2－kx－=0. 設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=－. 設存在y軸上一定點M（0，m）滿足題設，則=（x1，y1－m），=（x2，y2－m），?=x1x2+（y1－m）（y2－m）=x1x2+y1y2－m（y1y2）+m2=（k2+1）x1x2－k+m（x1+x2）+m2+m+=. 由假設對任意k∈R，?=0恒成立，即m2－1=0，9m2+6m－15=0成立，解得m=1. 所以存在y軸上定點M（0，1）滿足題設.
