時間：2023-06-05 09:54:27
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇小數乘整數，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、復習鋪墊
出示，計算：23×14= 203×25=
回憶整數乘法的計算過程。（重點強調：末位對齊，哪一位數乘得的結果要和哪一位對齊，兩部分的積相加。）
（簡析：復習乘數是兩位數的乘法法則，為新知作鋪墊。）
二、情境引入
談話：喜歡吃西瓜嗎？隨著種植技術的提高，人們不僅能在夏天吃到西瓜，在寒冷的冬天也能吃到西瓜。（出示：兩幅圖）
提問：從圖中你能知道什么？如果夏天老師要買3千克西瓜需多少元？怎樣列式？（板書：0.8×3）冬天買3千克？（板書：2.35×3）
比較：這兩個乘法算式和我們以前學習的乘法算式有什么不同？（板書：小數 整數）
揭題：小數乘整數。（板書：乘）
三、探索方法
1.初步感知
引導：先看0.8×3，你能聯系以前的知識來解決嗎？（把3個0.8連加；把0.8元看成8角，8角乘3得24角，也就是2.4元。）
示范：0.8元看成8角是整數，就變成了整數乘法。看乘法豎式如何寫？（板書豎式）
陳述：3對著末位8，末位對齊，這與小數加、減法的豎式有區別。為什么3對著末位8，學習了今天的知識你們就會明白。
（簡析：從生活情境出發，重點突出0.8元看成8角的方法，引導學生將小數乘整數遷移成整數乘法；板書0.8×3的豎式過程，讓學生從整體上感知它，初步看到小數乘整數也可以列豎式計算，形式與整數乘法接近；此處埋下伏筆——為什么末位對齊，引導學生帶著問題思考、學習。）
2.獨立嘗試
談話：繼續看2.35×3，請你幫忙算一算？嘗試、交流思考過程。
生1：先用235乘3得705，2.35是兩位小數，所以積也是兩位小數——7.05。
生2：把2.35元看成2元3角5分乘3得7元零5分，也就是7.05元。
小結：把小數乘法轉化成整數乘法來思考、計算。這是解決問題的一個重要策略——轉化。（板書：轉化 ）
（簡析：進一步感受小數乘法像整數乘法那樣去乘，只是積里要點上小數點；體會轉化策略的優勢，增加繼續研究小數乘法的信心。）
3.知識遞進
追問：如果老師要買13千克呢？
板書橫、豎式，指名板演；交流做法、訂正。
出示幾種錯例：（1）計算過程中點小數點；（2）數位是否對齊。
（1）思考：為什么計算過程中不需要點小數點？
生：先把小數看成整數來計算，所以計算過程中不需要點小數點。
（2）引導思考數位該如何對齊。
師：看著豎式默默地回憶一下計算過程。（使思維清晰化、條理化）
（簡析：乘數是一位數的小數乘法對于學生而言沒有思維難度，并不能真正激發學生產生將之轉化成整數乘法的欲望和需要。因此對教材重新整合，適時安排乘數是兩位數的小數乘法，讓學生更加深刻地領悟轉化的必要性。乘數由一位數—兩位數，不僅是一個知識的遞進，更是一次思維的飛躍、完善。）
4.抽象方法
談話：快過春節了，西瓜漲到每千克3.4元，老師買13千克需要多少元？（3.4×13）
說明：直接列成豎式。（板書： ）
計算、交流。
（簡析：有了2.35×13的經歷后，把3.4寫在下面，引導學生體會變式同樣需要轉化，形成小數乘整數先轉化成整數乘法的積極的心理需求，從而使計算過程、方法適度抽象。）
5.初步小結
師：比較這三題的積和因數的小數位數，你發現了什么？
（簡析：這里的初步小結有利于明確用計算器計算的針對性。）
四、歸納算法
1.確定位數
提問：大家的發現是否具有普遍性呢？下面我們用計算器來驗證幾道題，看會不會有例外的情況。
續問：現在你們知道積的小數位數是如何確定的嗎？
生小結：小數乘整數，乘數中的小數部分是幾位，積的小數部分也就是幾位。
（簡析：驗證、檢驗，為下面的總結提供了更充足的依據。）
2.總結算法
談話：根據前面一系列的研究，請你們自己來總結一下小數乘整數的法則。
獨立思考，小組活動，集體交流。
結合學生發言板書：
（簡析：依據學生的文字敘述抽象成程序格式，形象、條理！）
五、鞏固練習
1.練一練第1題
2.練一練第2題
拓展（出示補充第（3）組）：14.8×0.23=
提問：積是多少？積是幾位小數呢？為什么？（14.8是一位小數，0.23是兩位小數，所以積就是三位小數。）
追問：也就是說，確定積的小數位數要看幾個因數？（2個）
拓展：如果是3個因數相乘？（就看3個因數中一共有幾位小數。）
（簡析：完成后補充14.8×0.23= ，順勢延伸小數乘小數的情況，學生回答輕松。此處教學可為后面的學習奠定堅實的基礎，也使得學生的思維更全面，養成深刻看待問題的習慣。）
3.補充習題
出示：
（1）0.12+0.12+…+0.12=0.12×9（ ）
（2）0.12×9的積是一位小數。（ ）
（3）54×41=22.14（ ）
（4）32×1.5=48（ ）
反思：如果54×41=2214，那第（3）題中可能是多少乘多少呢？（5.4×4.1=22.14；0.54×41=22.14；54×0.41=22.14）
小結：真棒！其實此題的答案有無數種，我們以后會繼續研究。
（簡析：由于有了練一練習題的滲透，學生知道用5.4×4.1=22.14，
而且很多學生首先想到這種可能性。用教材，不唯教材用。）
4.解決問題
練習十二2、3題。
（簡析：由于前面教學的影響，此處就沒有時間讓學生解決。40分鐘需準時下課！）
六、全課總結
談話：這節課你有哪些收獲？小數乘整數應注意些什么？
追問：現在你知道0.8×3，為什么3和末位的8對齊了嗎？
生（黃偉）：因為我們把它看成整數乘法來計算了，因此3和末位的8對齊。
（簡析：學生發自內心地感受！）
出示數學日記，讓我們的朗讀聲與鈴聲共鳴吧！
《數學兒歌》：
小數乘整數，法則同整數，求得積以后，回頭看因數，小數有幾位，積也是幾位，積末若有“0”，先點小數點，再去末尾“0”。
師：數學原來也這么有趣！
【整體反思】
在解讀教材、設計整個教案時，著重思考以下幾個問題：
一、國標本與修訂本的比較
蘇教版修訂本的編排是引導學生從純數學的角度去探索小數乘法的計算法則。此塊內容的整個理論支架就是利用因數擴大倍數引起積的變化規律，把小數乘法轉化為整數乘法來計算，突出了算理與算法的一致。相比修訂本，國標本教材在內容結構上作了很大變動，教材把計算和實際問題結合在一起，讓學生體會計算是解決實際問題的需要。教材給學生提供了充分的數學活動機會，引導他們在學習中真正理解和掌握知識和技能、思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。作為一線教師應深入鉆研教材、吃透教材，把握知識的科學內涵，創造性地整合使用教材，使課堂充滿活力。跳出教材看教材，用教材而不唯教材用！
二、如何讓學生發自內心地產生轉化的需求
子曰：不憤不啟，不悱不發。教材例題的思維含量不高，對學生而言沒有挑戰性，因此在例1的探索中，學生沒有發自內心的將小數乘法轉化整數乘法的心理需求。如何激發學生的這種需要，那只有引入乘數是兩位數的乘法，引導學生進行深度思考，在解決題目的過程中培養他們的計算意識。這樣操作會在有限的時間里取得學習效益的最大化。如將例題增設一條小數乘兩位數的題目，教材定會更加“和諧”！
三、把思考的結果落實在每個細節中
細節雖小，卻不能小看，更不能忽視，值得鉆研和突破。教師若能有意識地、創造性地開發利用好每一個教學細節，那我們的數學課堂也就不會枯燥無味，還能煥發新的活力。本案例中，對多處細節作了巧妙的處理。
教學目標：
1、初步體會整數乘法的運算定律在小數乘法中仍然適用。
2、能運用這些運算定律使計算簡便。
3、培養學生獨立思考、認真審題靈活運用運算定律簡算的習慣和能力。
教學重點：
學生通過觀察能找出正確的簡便算法。
教學難點：
學生通過觀察能找出正確的簡便算法。
教學準備：媒體等
教學過程：
一、復習準備：
1、口算:
5×0.2
=
2.5×0.4
=
125×0.8=
0.5×0.2=
0.25×0.4=
1.25×80=
0.05×20=
250×0.04=
12.5×0.08=
2、簡便計算：
32×25×125
79×21＋21×21
二、探究新知：
1、師：同學們，在整數乘法中我們學過哪些運算定律？用字母怎么表示呢？
2、出示：觀察并計算，下面每組中的兩個算式有什么關系：
0.6×3.93.9×0.6
（0.3×2.5）×0.40.3×（2.5×0.4）
2.8×1.7＋7.2×1.7（2.8＋7.2）×1.7
3、通過觀察、計算、討論，引導學生自主發現規律：整數乘法的交換律、結合律和分配律，對于小數乘法也同樣適用。
4、揭題：整數乘法運算定律推廣到小數
5、你能用這些運算定律來巧算嗎?
3.8×0.4×2.5
7.9×2.1＋2.1×2.1
（1.25+2.5）×4
a.
讓學生獨立思考完成
b.
讓學生匯報:你應用哪條乘法運算定律進行簡便計算的。
三、分層練習：
1、將一個數分解成兩個數的積或兩個數的差：
0.72=8×
(
)
0.72=0．8×
(
)
0.72=0.08×
(
)
9.9=10-
(
)
99.9=100-
(
)
0.99=1-
(
)
2、下面各題怎樣計算比較簡便?
3.2×25×125
6.4×99+6.4
64×0.99
3、判斷下面各題是否正確，并說說理由。（書P17—練一練）
4、你認為怎樣算簡便？4.8×0.25
四、課堂總結：
整數乘法的交換律、結合律和分配律，對于小數乘法也同樣適用。
五、思考題:
判斷是否正確（機動）
8.3×6.2
+
0.83×38
=
8.3×(6.2
+
3.8)
=
8.3×10
=
83
六、板書：
整數乘法運算定律推廣到小數
乘法交換律：a×b=b×a
關鍵詞：教學 小數倍數 小數點
中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：C 文章號：1672-1578（2017）02-0170-01
1 小數乘法意義的教學
小數乘法主要可分為乘數為整數（小數的整數倍數）與乘數為小數（整數或小數的小數倍數）兩類。前者可視為整數乘法經驗的延伸，因此學生在運算符號的選擇上比較容易。但后者由于不能以累單位量意義來解釋，對學生而言比較缺乏類似經驗，因而在學習上就產生問題了。由此，我們建議教師們應循序漸進幫助學生建立小數倍數的乘法意義，并通過很多的小數乘法經驗協助學生掌握小數倍數的意義。
配合對比整數乘法的線段圖讓學生了解乘以整數與乘以純小數意義的差別。當學生能將小數倍數問題以乘法算式表示后，教師可配合對比整數乘法的線段圖讓學生了解乘以整數與乘以純小數意義的最大不同在于：前者以單位量為主向外累單位量，而后者是先將單位量向內十等分成更小的單位量再累小單位量。前后二者的差異如下圖
題目：”哥哥有20 元，妹妹的錢是哥哥的3倍，妹妹有多少錢？”“哥哥有20 元，妹妹的錢是哥哥的0.3倍，妹妹有多少錢？”
由上圖可充分說明乘以整數所得的乘積數會比被乘數大，而乘以純小數所得的乘積數會比被乘數小。
有些教師認為學生已學了那么久的整數乘法，在判斷小數乘法情境上應該沒什么問題，所以甚少協助學生理解小數倍數應用題的題意。但試著協助學生理解題意的一些教師則又多教導學生：你只要把問題中的小數換成整數來想，如果是乘的，那就是用乘的這樣的解題技巧。小數倍數意義的教學往往就這樣被忽略掉了。由于無此部分的基礎，等學生學了小數除法后就更分不清何時該用乘的，何時該用除的。當學生無法區分整數乘法與小數乘法的差別時，就極易產生疑惑，如認為乘法會使結果變大，除法會使結果變小。而此疑惑就會影響學生解應用題中運算符號的選擇，預期結果變大就使用乘法而結果變小就使用除法。因此，純小數倍數乘法意義的教學一定要小心處理喔！
在小數乘法意義的教學方面，教師可先明確指出有小數倍數的題目，通過整數倍數的引導，讓學生熟悉小數倍數的意義。其次，配合對比整數乘法的線段圖讓學生了解乘以整數與乘以純小數意義的差別。
2 小數乘法計算的教學
從學生的表現來看，學生學習小數乘法的困難有二：計算時該如何對齊，以及乘積數小數點該如何處理。由于小數加減法是對齊小數點后計算，而小數乘法是向右對齊后來計算，兩者間的差異容易讓學生感到困惑，因而混用。此外，在小數加法中，和數的小數點是與被加數和加數對齊；在小數減法中，差數的小數點也是與被被減數和減數對齊；并且小數乘以整數、整數乘以小數計算時，乘積數的小數點也是與被乘數或乘數對齊（如下圖）。如再遇上教師僅僅教授乘積數的小數位數是被乘數與乘數小數位數的和的規則，卻未讓學生了解背后的原理，學生僅知其然而不知其所以然，雖暫時記憶了規則，但時間一久，所學得的一些規則便容易張冠李戴了。建議教師在教授相關課程時，除了加強學生乘法的計算能力之外，更應強化小數乘法的概念性知識，使學生了解乘積數的小數點位置與被乘數和乘數小數位數的關系。
由上述教學歷程可以發現，教師應先復習整數乘法，等學生熟練后再進入小數乘法教學。而教師在導出乘積數小數點的處理原則后，也應多鼓勵學生隨時反思這個原則背后的原理，詳見解法1-解法5。
知識的增長點就在將小數乘法看做整數乘法計算，然后弄清小數點位置移動的意義，對于小數點末尾的0應該去掉化成最小數即可，在小數乘法的教學過程中，牢牢地把握住這節課的重點和難點，促進學生們的數學能力的提升。
3 結語
在對學生放手之前，教師一點要有扎實的教學功底，對知識的把握不應停留在淺層次上，應當做到透析教材，抓住知識的增長點，進行精準的點撥。只有這樣才能使我們的課堂充滿活力，才能使學生更加聰慧靈敏，才能促進學生學習能力的提升和數學學習效率的提升。
參考文獻：
[1] 陳日銘.小數乘法錯例分析[J].讀寫算（小學高年級），2014年09期.
[2] 朱潔芬.理解，需要“回望”的視角――“小數乘法”學習問題分析及對策探究[J].教育研究與評論（小學教育教學），2014年08期.
上過五年級“小數乘法”一課的教師，都有一種很深的體會：在列豎式筆算時，學生關于數位的對位問題總是一知半解。列3.5×3的豎式，多有圖1、圖2兩種樣子，誰也無法說服誰。還有的學生實在搞不清楚，就想出了如圖3的列式。其實不難想象，出現這些問題，正是受到小數加減法列豎式要求數位對齊的負遷移。盡管教師多次強調小數乘法列豎式要末位對齊，但當學生堅持說圖1也沒錯時，教師也顯得有些無可奈何了。很明顯，圖4～圖6也說明，在列豎式的過程中學生很難擺脫小數的束縛，帶來的后果是，要么算錯，要么算不下去。
我們知道，整數乘法的豎式與它的橫式思考方式是一樣的，都是運用乘法分配律。例如32×14就是4個32與10個32的和，列豎式也正是這樣的過程體現。但是到小數就有點不一樣了。其實3.2×14也完全可以想成4個3.2與10個3.2的和（從算理上講，列豎式這樣去想也是對的，如圖5），但是真正在列豎式時我們卻把它們當作整數乘法去推算的，中間過程并不會出現小數。如果認可了圖5的正確，那么像圖4這樣的錯誤率就更高了。
教師引導學生把小數乘法轉化為整數乘法來算（圖7），也一起分析了算理，但學生的視覺“告訴”他，這樣做“很不和諧”：小數相乘中間過程卻是整數，到最后又是小數。所以“小數乘法”教學的真正難點是幫助學生越過這個坎。教師對此一般的做法就是“充分感受、正面強化”，筆者以往也一直都是這樣操作的。但是學生升到六年級之后再去問他們，為什么圖7豎式中間過程沒有小數？他們多是含糊其辭，最后總是以“以前老師是這樣教的”來結束問答。于是筆者大膽設想，不妨把小數乘法直接改成整數乘法（在列豎式之前），用列整數乘法豎式進行推算（如圖8），效果是不是會更好呢？
二、設計過程及前后比對
【設計第一稿】
在正式決定上這節課之前，筆者對本課教材進行了分析，也進行了多版本教材間的比對，發現了一些共同的地方：一般都在具體情境中引出小數乘法算式，用多種方法思考答案（如轉化成加法算、轉化單位算、數形結合算等），通過積的變化規律進行算理分析，最后是熟練鞏固。遵循這樣的思路，筆者設計了教學的第一稿。
（一）復習鋪墊
1.出示圖9，請學生快速口答。
2.說算法：說說速算的辦法。（小數點位置移動引起小數大小變化）
3.環節過渡：3.5×3是否也與小數點位置移動有關？
（二）新授展開
1.給算式3.5×3賦予一定的現實情境（市場里買東西，西紅柿3.5元/千克）。
重溫數量關系：單價×數量=總價。
2.討論交流，用學過的方法求出3.5×3的答案。（強調：已學過）學生中一般會出現以下幾種方法：
（1）轉換算法，用加法做――點撥小數乘法的意義。
（2）轉換單位，化元為角――化成整數算。
（3）分解小數，分步計算――運用乘法分配律。
3.嘗試用豎式計算，使過程更簡潔。一般學生中會出現兩種情況（見圖10）。
4.找出兩種方法的共同之處：都是將3與3、5分別相乘。引導發現與之相關的整數乘法算式（見圖11）。從運算角度進行算理分析。
5.及時鞏固，強調照樣子寫出思考過程（圖12：6.4×4，6.32×3）。
6.重點討論：左右兩個豎式“保留哪一個”，明白用整數乘法豎式可以解決小數乘法計算的道理。
7.即時練習兩道題，特別是兩位數乘兩位數（5.4×5，5.4×42）。
（三）練習鞏固
1.基礎練習：口算6道題，強化算法。
2.實踐應用：出1道關于解決問題的題目，關注小數末尾去零的問題。
3.拓展提升：同一個豎式可以解決許多小數乘法計算的思考分析。
按照這樣的教學設計經過兩次課堂試教以后，筆者發現了一些問題。
問題一：在新授展開的第一步，請學生用學過的方法求出3.5×3的答案，學生似乎并不領會，計算這個答案似乎僅憑經驗或直覺就可以得到（學生有太多的購物經驗了），不需要什么方法。在筆者的一再要求下，轉換方法、轉換單位、分解小數用分配律算等方式總算都呈現出來了，但總體感覺是算法多樣化并沒有給學生帶來多少課堂興奮。
問題二：在新授展開的第四步，要求學生從運算的角度進行算理分析時，課堂也比較沉悶。因為前面已經知道10.5這個答案了，為什么還要這么復雜地分析來分析去。學生大多對此表示不理解。
問題三：在新授展開的第六步，筆者意在通過分析與討論，讓學生接受用整數乘法可以推算小數乘法，因此在列豎式時直接列成整數乘法豎式就行。但筆者的良苦用心學生并沒有領情。到最后筆者只能強調，右邊整數乘法這個豎式其實就是我們很重要的思考過程，在計算時只要保留這一個過程即可，隨即把左邊的豎式隱去。
問題四：在新授展開的第七步出現了課堂生成，既是問題也是契機。學生在列5.4×42的豎式時，出現了兩種豎式，這說明有些學生還沒有真正接受前面的知識。列圖13的學生很快算出了答案，列圖14的學生一直在嘀咕――怎么算呀，我哪寫錯了。于是筆者進行了干預：“像圖14的算法，如果沒有列成整數乘法的豎式，大家看看，是不是出現問題了，這位同學算不下去了。請下面哪位同學來幫一下，稍加改動，他就會明白了。”于是有學生上來將豎式21.6中出現的小數點擦去，也算出了226.8，筆者真的很無奈。
良好的設計意圖并沒有達成理想的教學效果，是需要反思的。回到教材，對比教材中的示例（例1：3.5×3與例2：0.72×5）。例1主要是在具體情境下理解不同的算法（有單位支撐），例2是脫離了具體情境，運用轉化整數的方法，從積的變化規律的角度去進行分析的，并且這兩個例題所出示的具體算式是不一樣的。而筆者在自己的教學設計中，試圖將例1與例2通過同一個材料3.5×3給以集中體現，學生顯得有些思維疲倦。在知道答案的情況下還要進行不斷的思考分析，讓學生提不起精神。反思整個設計，總的來說學習材料缺少吸引性，思考力度缺少挑戰性，教師給予的多，學生體驗的少。筆者想重點體現的“用整數乘法（豎式）推算小數乘法結果”這一核心思想并沒有出自學生主動的發現與積極的感悟，多的是“被發現”與“被灌輸”。為破解問題，筆者進行了重新設計。
【設計第二稿】
（一）復習鋪墊
口算
（設計意圖：三組題逐一先后出現，圖15因為數據簡單，學生可以直接算答案，也可以根據積的變化規律算，圖16迫使學生自覺地運用積的變化規律算，圖17更抽象，在54還沒給出之前是算不出來的，給出54以后，有學生會去想是多少，然后再進行填空計算，有的學生會沿用積的變化規律填空，這樣的學習面向的是全體學生，又伴隨著不斷地“發現”，他們會體驗這種“發現”的樂趣，這是用數學本身去吸引學生。）
（二）新授展開
1.口算。
6組題逐一先后出現，特別在圖18、圖21、圖22、圖23處作重點展開討論。
（1）討論圖18：學生受到前面復習的遷移能很快算出3.5×3的答案10.5，教師反問：以前整數乘法里我們會運用積的變化規律，難道小數乘法也適合用積的變化規律？你能說明理由嗎？由此學生將主動尋找各種算理來說明問題。方法主要也是前面第一稿中講到的“轉換為加法”“借用或轉換單位”“分解小數用乘法分配律”等方法，但是這種學習狀態是積極的，因為他們想努力證明自己的“猜想”是正確的，是為自己找理由。這里教師重點寫出35―3.5、105―10.5這兩個數之間的關系。
（2）討論圖21：這里有一個數未知，你竟然也算得出答案？這樣的提問一下子將學生的地位抬高了，他們的解釋是積極的、愉快的，因為他們覺得自己“很有能耐”。
（3）討論圖22：這題上下要反著出。先出3.15×14=，然后提問，你想知道哪個整數乘法算式？根據學生的要求，教師再給出315×14=4410，學生很快就推算出答案，并主動給出推算的過程。教師重點寫出315―3.15，4410―44.1這兩個數之間的關系。
（4）討論圖23：繼續圖22的方式，上下兩題反著出，先出6.42×13=，然后提問，你想知道哪個整數乘法算式？學生提要求，但教師只給出642×13=，并不像圖22那樣直接告知整數乘法的答案，由此學生的思維與行動將合一指向642×13的豎式解答， 他們會快速算出答案8346，進而推算出小數乘法的正確答案。學生在計算答案的過程中體會到了學習的快樂。
2.小結提煉。
（1）呈現板書并交流。
（設計意圖：小數乘法通過整數豎式推算出來，此時已是學生積極主動的行為，無須強調，教師只需追問一下學生：你是怎么想的？進而將擴大、縮小的倍數關系補充完整，讓思維外顯出來。然后重點強調，以后這樣的小數乘法計算我們就可以通過整數乘法豎式將它推算出來，為書寫簡便，整數乘法的橫式與板書中的擴大縮小的書寫都可以省略不寫。整數乘法這個老朋友可以幫助我們解決小數乘法這一新知識，隨后與下一環節中的鞏固練習相銜接。）
（三）練習鞏固
1.基本練習，注意寫豎式過程與書寫格式。
2.算用結合，解決實際問題。
3.拓展提升，引導學生思考同一個整數乘法豎式可以解決許多小數乘法問題。
重新設計的“小數乘法”一課，經過課堂檢驗，順利地解決了第一稿設計中存在的問題。學生在課堂中時而緊張、時而愉悅、時而興奮，專注力很高。教材中強調小數乘法的計算結果一般要舍去小數末尾的0，這作為一個知識點，在傳統的課堂教學設計中，教師講了多次，還是會有學生忘記。有的學生搞錯了先后順序，先去掉了末尾的0，再添小數點。而在筆者的教學設計與課堂實踐中沒有任何提及，學生很自覺地省略了，這是一個很意外的發現。仔細想來，因為根據整數除法的學習經驗，一個整十，整百…數除以10，100…在心算過程中，它們末尾的0早已被自動抵消掉了。
三、寫在最后
在文中，有一問是值得我們關注的：以前整數乘法里我們在運用積的變化規律，難道小數乘法也適合用積的變化規律？筆者以為，這種規律的遷移是否合理雖然不需要證明，但需要討論，就像整數加法交換律、小數加法交換律、分數加法交換律，雖然難度很小，但教材都安排了新課，因為在學生看來，整數與小數畢竟長得不一樣。這也就是為什么全體學生并非一下子都能想到“將小數乘法轉化為整數乘法最后將答案進行推算”的最重要的原因。
關鍵詞：小數乘法教學；算理；算法；必要練習
“小數乘法”是人教版數學五年級上冊第一單元的教學內容。它是學生在三、四年級學習了整數乘法、小數的意義和性質、小數點移動引起小數大小變化的規律、小數的加法和減法等知識的基礎上進行的教學內容。原本以為教學時會很輕松，學生很容易掌握這一知識，孰料實際的情形并非如此，出現了不少問題，諸如列豎式不會對位、把積的小數點的位置點錯、計算過程出錯、計算失誤等。之所以出現這些問題，歸結起來不外乎三點原因：一是對算理不理解；二是對計算法則掌握不牢固；三是缺乏必要的練習。下面就這三點談談自己的想法和做法。
一、小數乘法算理的教學
學生計算中之所以出現這樣那樣的問題，從根本上講都是因為沒有真正理解計算道理，因此，老師要想方設法幫助學生理解算理。
這樣做了以后，學生可能還不理解，我們還可以先算72×5=360，然后把小數點點上去，還原為0.72×5=3.6。
通過正向反向推導，讓學生在觀察比較中深刻理解其中蘊含的道理，從而真正理解和掌握計算的方法，知道小數點應該點到什么位置。
二、小數乘法算法的教學
小數乘法的教學內容，教材是按照由易到難、循序漸進的原則編排的。先學小數乘整數，再學小數乘小數。而小數乘整數又是先學帶計量單位的，再學不帶單位的，這樣編排有利于學生由已知、熟知的知識去探求未知的知識。通過老師的啟發引導和學生的積極探究，得出小數乘法的計算法則：（1）先按照整數乘法算出積，再點小數點；（2）點小數點時，看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點；（3）小數末尾有零的，注意化簡。這三點簡單說就是先按整數乘法算，再確定積的小數點。為了便于學生記憶，我們把它總結成口訣，就是“一算”“二點”“三化簡”。除了要化簡的這種情況，還有積的小數位數不夠，就在它的前面用零補足位數再點這種情況，也要提醒學生注意。
三、小數乘法練習的教學
針對學生計算過程出錯、計算失誤的問題，我們提出幾點建議：
1.在教學前要復習相關知識
比如整數乘法、因數的變化引起積的變化的規律、小數的基本性質、小數點移動引起小數大小變化的規律等知識，為新課的進行做好鋪墊，因為學生計算中出現的一些問題，就是因為對舊知識掌握不牢固。
2.突出口算和對比練習
口算既是筆算、估算和簡算的基礎，又是計算能力的一種體現。我們在小數乘法的教學中要突出口算練習，由于口算題中的數目比較小，計算結果可以快速反饋，易于檢驗學生計算的正確與否，同時可以幫助學生理清計算方法的思路。
在小數乘法的教學中，還要加強整數乘法與小數乘法、小數加法與小數乘法的對比練習。通過對比，可以加深學生對小數乘法算理算法的理解，避免一些不該出現的問題，鞏固計算法則。
3.培養學生良好的計算習慣
計算時要求學生看清數字，細心計算，反復檢查。學會用觀察的方法估算結果，根據第二個因數是否大于1，判斷積是否大于第一個因數；看看積的小數位數是否與兩個因數的小數位數的和相吻合（能化簡的除外）。當然要想知道積的準確結果還得用豎式細心計算。
一、研讀教材，理清脈絡找準生長點
小學數學教材關于計算教學中運用轉化思想方法的實例很多，像小數加減法、小數乘除法、異分母分數加減法、分數乘除法等等，都需要利用轉化的思想方法將新知轉化成已經學過的舊知來解決。在實際教學中，很多數學老師為了節省時間直接將計算的方法交給學生，然后進行操練，達到計算熟練的程度。這樣，表面上看是提高了課堂教學的效率，實際上是剝奪了學生自主探究算理，獲得新知的權利，使學生變成了一個不會思考，不會探究，只會機械接受知識的容器。為了避免這種現象的出現，作為數學老師必須更新觀念，認真研讀教材。研讀數學教材，就是要分析新知往前向后的知識系統，分析學生已有知識的基礎，把握住新知識的最近發展區，理清知識的來龍去脈，準確地找到新知產生的相關舊知，有效幫助學生在原有知識的基礎上實現獲取新知的跨越。
比如，小數加減法計算是在整數加減法的基礎上教學的，在研讀分析教材時應該關注這一點，教材通過引導學生利用已掌握的整數加減法的舊知遷移到小數加減法，反過來就是用轉化的方法把小數加減法轉化成整數加減法，即小數加減法和整數加減法在算理上是相通的，只是多了一個小數點處理的問題。這里的轉化思想方法的滲透符合學生的學習心理規律。因此，準確找到新知的生長點可以有效促進學生由舊知向新知的轉化，這應該成為教師課前鉆研教材的重點之一。
二、創設情境，提供由舊到新的支撐點
教學時，常常會出現這樣的情況，學生已經具備新知學習的知識基礎，但他們自身卻不能充分利用。教師不但要在學生學習新知前設法喚起舊知的重現，簡單復習舊知，還要創設一定的情境，善于變化舊知的呈現方式，使之更加貼近新知，為新知學習提供巧妙的支撐。
例如，在教學小數乘整數，需要喚醒學生對乘法的意義、整數乘法等相關舊知時，沒有簡單直接呈現這些舊知讓學生復習，而是創設了一個購物的情境，將整數乘法的幾種情況包含其中。購物情境是比較簡單的：出示超市情境中的四幅圖（面包：4元/個 5個，火腿腸：0.8元/根 3根，進口蛇果：16元/個 12個，西瓜：2.35元/千克 3千克），組織學生自主選擇其中一種食品，并根據所提供的信息，提出一個用乘法計算的數學問題。根據學生自己提出的問題，從而得到4道乘法算式。繼而組織學生觀察四道乘法算式，將它們分分類。這樣，通過情境的創設，巧妙地將整數乘法分為一類，小數乘法分為另一類。整數乘法是過去學過的舊知，自然地對與新知有關的舊知進行了復習，這些舊知與新知學習中出現的小數轉化成整數、用加法計算和把小數乘整數先看成整數乘整數計算等更為接近。實踐證明，學生的舊知被充分利用后，與之相關的新知識才能水到渠成。
三、依托舊知，實現由舊到新的轉化
有意義的數學學習都是在學生原有的學習基礎上進行的，幾乎不存在不受原有知識影響的學習。轉化的思想方法很多情況下滲透在學生對舊知的正遷移過程中，舊知與新知之間的關系是垂直方向的縱向聯系，依托舊知的復習，把新知順應于原有的認知結構中，從而實現對新知的學習活動。這個獲取新知的學習過程，即新知的形成過程，一定要讓學生親身經歷。
例如，異分母分數加減法，依托的舊知基礎是分數的意義、通分、約分和同分母分數加減法，涉及到的知識點較多，在轉化的過程中，細節是很重要的，一定要提供時間和空間讓學生依托舊知，經歷這個由舊知到新知的轉化過程，而不要直接告訴他們把異分母分數化成同分母分數進行計算，然后就進行操練，達到熟練的程度。這樣的學習過程記得快忘得也快，是不符合學習規律的。
在實際教學時，通過班級黑板報版面設計的情境讓學生提出問題，復習相關的舊知后，小組討論“1/2+1/4”該怎樣計算呢？出示研究提示：先獨立思考，可以畫一畫、想一想、算一算，把自己的方法記錄下來。把自己的想法在小組內交流。然后讓學生匯報交流，說說是怎么想的？學生出現的三種方法逐一展示：（1）畫一畫。這種方法可以讓學生先在實物投影上展示，讓學生說說思考的過程。（2）化成小數。轉化成小數，變成我們學過的知識。（3）通分。老師引導學生重點理解這一種方法。根據學生回答，板書并明確將異分母分數加法轉化為同分母分數“2/4+1/4=3/4”。提出問題：為什么要通分？通分的依據是什么？通分后怎么計算？引導學生理解“2/4+1/4”的算理：分母不同，就是分數單位不同，轉化成分數單位相同的分數后，就是“1個1/4加2個1/4等于3個1/4，也就是3/4”。這時候引導學生比較這三種方法：剛才同學們用畫圖、化成小數、通分化成同分母分數這幾種方法算出了二分之一加四分之一的結果，這幾種方法有什么相同的地方？通過探究發現這幾種方法都是把新知識轉化成舊知識，對學生滲透了轉化是一種很好的數學學習方法，它幫助我們用已經學過的知識解決新的問題。
四、加強對比，形成新的算理算法
尋找新知和舊知之間的共同點和不同點是形成計算方法的關鍵之處，一個新知識學習需要利用相關舊知識時，最好要通過對比的方法發現新舊知識之間的異同點，有效地把握住新知的實質，防止其他因素的干擾，影響新知的形成。特別是學生原有知識與新知之間相似但不完全相同，并且原先的學習不清晰時，最容易出現錯誤的結論。比如，蘇教版教材中先學習小數和整數相乘，如果學習時對積的小數位數的確定方法不準確時就會影響后繼學習，所以在教學小數乘小數，學生在理解算理，知道為什么乘數中一共有幾位小數積就有幾位小數后，出示整數乘整數、小數乘整數以及末位有0的小數乘法算式組織學生對比，發現小數乘小數和整數乘整數、小數乘整數的區別，進而總結出小數乘小數的計算方法。
為了提高學生計算的準確率，在平時的教學和練習中，筆者覺得可以從這幾個方面入手。
一、教學設計中重視算理
傳統的計算教學常常是通過機械重復、大量題目的訓練，只重視計算的結果，不重視計算法則的形成過濾和計算方法的概括。而新課程標準下的計算教學一改以往計算教學的枯燥味，它賦予了計算教學新的內涵，使計算教學充滿了生活氣息。我們在教學時不僅要關注學生的自主探究創新能力，與人合作的意識，還應注重學生是否已獲得算理。
如小數和整數相乘的教學時，學生已經完全掌握了數法運算的知識和技能，這方面內空的學習是可以在學生的主動探究、研究中掌握的。這部分內容的關鍵是處理小數點。怎樣在積的適當位置點上小數點，也是筆算教學的重點內容。教師讓學生在計算情境中體驗豎式計算，研究積小數點位置的規律，主動構建小數乘整數的計算法則。例1從天買3千克西瓜要多少元這個實際問題出發，根據要求幾個相同加數的和可以用法計算這個已有概念，列出算式0。83。這是學生第一次遇到小數乘法，它的得數是幾？運用相關的知識經驗，一般有兩條思路：一是把3個0。8連加；二是把0。8元看成是8角，把小數乘法轉化成整數乘法。學生在運用已有的知識經驗解決問題之后，教師再呈現0。83的豎式，讓學生從整體上感知它。初步看到小數也可以列豎式計算，豎式的形式和整數乘法很接近；由于一個因數是小數，積也是小數。
例題繼續求冬天買3千克西瓜要多少元，讓學生獨立計算2。353，探索小數乘整數的筆算方法。教材要求先用加法算，再用乘法算有兩點意圖：一是用加法啟發法。計算加減從最低位起立，一位一位地算的；是向相鄰的高位進位的；和里要點上小數點的。這些步驟與方法啟發乘法也這樣進行，讓學生算過乘法后，又會進一步感受到小數法可以像數法那樣去，只是積里要點上小數點。二是用加法驗證乘法，結果是正確的，過程和方法是合理的，增加繼續研究小數乘法的信心。這樣就是學生學生初步獲得了算理。
通過例題的教學，學生初步知道小數乘整數可以列豎式筆算，乘的方法和整數乘法基本相同。“試一試”著重教學只里有幾位小數，怎樣在積里點小數點。 分別看積的小數位數和因數的小數位數，想想它們之間是什么關系，從而明白“因數里有幾位小數，積里也有幾位小數”。“練 一練”2 題，根據一道整數乘法算式，寫出四道小數與整數相乘的算式的積，專門練習根據因數的小數位數，確定積里小數點的位置。”小數和整數相乘應該怎樣計算”這個問題，引導學生把例題里的感知和“試一試”的收獲結合起來，通過在小組里說說的方式，理計算思路 ，明確計算方法，構建計算法則。
只有明確了算理，從而指導計算過程，操作起來就不容易出錯。
二、發揮估算的作用
估算教學的目標定位在：培養數感、進行檢驗和解決問題等方面。如果教師對估算的重要性理解到位，就會在激發估算需求和體現估算價值上下功夫，充分發揮出估算的作用。
在蘇教國標版教材中，估算這一內容以單獨形式出現，并且估算思想隨處可見，足見教材編寫組對估算教學的重視程度。
三、口算訓練不容忽視
《教學課程標準》雖然已經降低了對筆算復雜性和熟練程度的要求，但沒有降低口算的要求，而是明確提出應重視口算。口算具有很高的實用價值，對培養學生的思維能力有一定的作用。
筆者發現不喜歡教材中提供的基本口算方法，而樂于采用筆算化的口算方法，這是我們一線教師要警惕的。在平時的教學過程中，尤其是在練習課上，對于口算不可以一帶而過，有必要時有些字典型口算題的策略還得與學生共同探討。例如4。540，讓學生說說是怎么想的，先算4540=1800。再從積的右邊起數出一位，點上小數點，就等于180。
對于計算題的訓練，用的比較多的就是開火車練習，這樣量多面廣，當然要注重調動學生的積極性，免枯燥重復的機械訓練，我看到過這樣一個不錯的案例：
師：同學們，老師昨天去超市購買了一些物品，一共是9。6元，你們猜猜看，我會怎樣付錢？
生：正好付9。6元，付10元（付20元，付50元，付100元）。
師：那么，營業員該找我多少錢呢？
生（計算）應該找你0。4元（10。4元、40。4元、90。4元）
師：（先是巡視，看學生中對于10—9。6的計算有沒有計算錯誤的，特別是得數的整數部分是0，學生沒有注意這個問題。）非常棒！那么，你在計算的時候有沒有遇到什么新的情況，需要我們大家注意的呢？
本節課的教學設計就很好地體現了上述理念。“小數乘小數”計算的生長點就是整數乘法，然而，“按整數乘法相乘后怎樣得到原來的積”則需要經歷一個嚴密的推理過程。教材安排了兩次探究活動：第一次在教學例1時，充分讓學生根據已有的知識和經驗，通過自主探索和小組合作相結合的方式，在教師的指導下經歷推理的過程；第二次在教學“試一試”時，培養學生獨立進行推理的能力。在兩次探究后，引導學生比較各題中兩個因數與積的小數位數，發現“兩個因數一共有幾位小數，積就有幾位小數”這一規律，在理解算理的基礎上得出在積里點小數點的操作方法。同時，通過歸納推理的方式總結出小數乘法的計算法則，并通過多種形式的練習，幫助學生進一步掌握計算方法，培養計算能力。
片斷一：
師（課件出示平面圖）：同學們，這是小明新家平面圖的一部分，你能根據給出的數學信息，提出一些問題嗎？
生1：陽臺的面積是多少平方米？
生2：陽臺和房間一共有多少平方米？
生3：陽臺、書房和房間一共有多少平方米？
……
師：同學們提出了這么多有價值的問題，可見，大家都是善于動腦筋的學生。（課件出示其中的三個問題）你能求出書房的面積嗎？怎樣列式？
生4：3×2.8。
師：為什么用3×2.8呢？
生5：因為書房是長方形，所以用3×2.8。
師：那怎樣計算呢？請同學們拿出自己的本子來算。（學生獨立進行計算）誰來說說這題的計算方法？
生6：列豎式時先把右邊對齊，按整數乘法進行計算，然后看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點。
師：不錯。還有誰來說說？
生7：先按照整數乘法算出積，再看因數中有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，最后點上小數點。
師：你們對小數乘整數的計算方法說得真完整、具體，可見你們掌握得不錯。
師：求房間和陽臺的面積有多大，各怎么列式？
生8：求房間的面積列式為3.6×2.8，求陽臺的面積列式為1.15×2.8。
師：請同學們觀察一下，這兩道算式與前面的一道算式有什么不同？
生9：第一道算式是小數乘整數，第二和第三道算式是小數乘小數。
師：今天，我們就一起來研究小數乘小數。（板書課題：“小數乘小數”）
……
反思：創設情境與復習鋪墊的矛盾是當前計算教學中存在的問題之一。本節課的導入設計改變了課本原有的呈現方式，將復習鋪墊與情境導入融為一體，解決了創設情境與復習鋪墊之間的矛盾，使原本枯燥的計算教學不僅能引發學生的學習興趣，還能為新知的學習做鋪墊。課始，我讓學生結合具體情境發現并提出問題，進而解決問題，既復習了小數乘整數的計算方法，又為后面探究小數乘小數的計算方法埋下伏筆。當學生提出求房間和陽臺的面積時，我適時引導，便能自然地引入新課。
片斷二：
師：讓我們根據經驗，先嘗試計算一下房間的面積。（學生獨立嘗試計算，教師巡視，然后讓兩位學生板書不同的計算方法）
師：這兩位同學的計算有什么相同之處和不同之處？
生1：他們都是先按照整數乘法進行計算的，但積的小數點位置不同。
師：這兩位同學無論誰計算的對還是錯，都值得表揚。因為小數乘小數的確是先按照整數乘法進行計算的，然后點上小數點，只是小數點的位置不同。看來，關鍵問題是確定積的小數點位置。
師：到底哪種算法對呢？利用估算的方法，我們可以判斷出來。
生2：把2.8看作3，3.6×3=10.8，那3.6×2.8的積一定比10.8小，所以3.6×2.8的積不是100.8。
師：還有別的方法嗎？
生3：把3.6看成4，4×2.8=11.2，說明3.6×2.8的積一定比11.2小，所以第一種算法是正確的，積應該是10.08。
生4：3.6比4小，2.8比3小，4×3=12，即3.6×2.8的積一定比12小，所以100.8是錯的。
……
反思：《數學課程標準》中指出：“學生的數學學習內容應該是富有挑戰性的。”在學生不了解小數乘小數計算方法的情況下，讓他們根據自己已有的知識經驗獨立嘗試計算3.6×2.8這一富有挑戰性的題目，更有利于培養學生的思維能力和探究能力。同時，學生的頭腦不是一片空白，他們有“小數乘整數”“積的變化規律”“小數點的移動引起小數大小變化規律”等知識經驗作基礎，所以我大膽地讓學生嘗試計算，讓他們經歷探索的過程，獲得思維的訓練。另外，縱觀蘇教版國標本小學數學教材，豎式計算教學離不開估算這一環節，而且估算這一環節的出現是在列豎式計算之前的。當然，教材這一安排，編者肯定有其意圖，可是我經過反復鉆研教材和研讀數學課程標準后，對估算的教學次序做了以上改動，因為數學課程標準要求學生在解決具體問題的過程中能選擇合適的估算方法，養成估算的習慣。我在學生探究過后，讓學生運用估算進行判斷和檢驗，這一改動并沒有違背數學課程標準的理念，而且這一舉措能夠讓學生充分感受到估算的價值，更有利于學生養成估算的習慣。從學生估算的方法來看，并不拘于書上介紹的兩種方法，可見這樣能挖掘學生的思維潛能，這不也是我們在計算教學中所追尋的目標嗎？
片斷三：
師：看來，3.6×2.8=10.08是正確。那么，3.6×2.8的積為什么要點出兩位小數？
生1：因數中一共有幾位小數，積就有幾位小數。
師：聽明白他的意思了嗎？
生2：他的意思說，第一個因數是一位數，第二個因數也是一位小數，所以積有兩位小數。
師：“兩個因數一共有幾位小數，積就有幾位小數”，那到底有沒有這樣的規律呢？這只是他的猜測，我們要用已經學習過的知識進行驗證。誰來說說？（沒有學生舉手）
師（課件出示3.6×2.8）：我們按照整數乘法進行計算，因數發生了什么變化？
生3：第一個因數3.6變成了36，即乘了10。
師（根據學生的回答點擊課件）：第二個因數呢？
生4：第二個因數也乘了10，它們相乘的積也就等于原來的積乘了100。
師：要想得到原來的積，怎么辦？
生5：應該用1008除以100，也就是把小數點向左移動兩位，就是10.08。
師：誰能完整地說說3.6×2.8的積為什么要點出兩位小數？
生6：一個因數乘了10，另一個因數也乘了10，積就乘了100，要想得到原來的積要就把1008除以100，就是10.8。
師：這下同學們知道這種算法錯在什么地方了吧？
生7：這種算法錯把積除以10。
師：通過推理，我們證明了3.6×2.8=10.08，這和估計的結果是一致的。
……
反思：課堂上我提問“3.6×2.8的積為什么要點出兩位小數”，教學預設中，我以為一定會有學生利用積的變化規律來說明的，這樣就可以教會其他不會的學生，從而理解算理。可是當我提問時，有一個學生就回答“因數中一共有幾位小數，積中就有幾位小數”。此時我靈機一動，說：“這只是他的猜測，我們要用已經學習過的知識進行驗證。”然而，卻沒有一個學生舉手。我當時并沒有著急，而是“扶”著學生逐步理解算理。上完課后，我清楚地認識到，只有深入鉆研教材，揣摩學生的心理，進行充分預設，才能從容地處理好課堂的生成。從上述教學中，讓我切實地感受到精彩的生成源于精心的預設。
總結思考：
能夠讓學生根據歸納出的計算方法進行正確的甚至比較熟練的計算，這當然是計算教學中應該達到的教學目標。新課改的今天，當我再一次關注計算教學時，我清楚地認識到，計算教學更應該關注學生的學習過程，讓學生在自身的實踐探索中發展思維能力，培養良好的學習品質。
1.在計算方法的算理探索中，培養學生的分析推理能力
蘇教版國標本小學數學教材中不明確給出計算的法則，意圖是讓學生充分經歷得出計算方法的探究過程。另外，鉆研教材時，我發現教材為什么不通過列表格、計算器計算等形式先探索確定積的小數點位置的規律，再讓學生進行小數乘小數的豎式計算呢？我認為編者的意圖是想讓學生在經歷小數乘小數計算的過程中，通過分析、推理，概括得出“兩個因數中一共有幾位小數，積就有幾位小數”的規律。既然如此，我在教學中就給學生充足的時空去獨立探索算理。當學生不知道如何進行分析推理時，我先“扶”著學生經歷探究的過程，再讓學生獨立分析推理。這樣，讓學生從不會到會，培養了學生的分析推理能力。
2.在歸納計算方法的過程中，培養學生的抽象概括能力
教材中不明確給出計算方法的結論，目的是讓學生自己歸納概括出來。從具體直觀的計算到小數乘小數一般方法的歸納概括，對學生來說是質的飛躍。課堂教學中，我非常關注計算方法歸納的過程，注重讓學生利用小組合作的方式進行探討，得出小數乘小數的計算方法，培養了學生的抽象概括能力。
3.在計算教學的整個過程中，注重數學思想方法的滲透
素質教育的重要表現在于個體心理活動水平的發展與提高。因此，數學思想方法在培養學生良好的精神品質方面具有十分積極的作用。在探索小數乘小數計算方法的過程中，讓學生先按照整數乘法進行計算，這就是運用了轉化的數學思想。在具體的情境中復習整數乘小數的計算方法，為后面學習、歸納概括小數乘小數的計算方法做鋪墊，這里于無形中也滲透了遷移這一數學思想。教學中長期進行數學思想方法的滲透，既培養了學生的數感，又激發了學生學習數學的熱情。
一、要重視基本運算技能的訓練
學生計算一道題，常常要綜合運用幾方面的計算知識。比如計算76.5×0.62，就涉及到小數乘法豎式的書 寫、乘法口訣、乘數是一位數的乘法、兩位數加一位數（進位的、不進位的）、積的小數點位置的確定、多位 數加法、運用小數的性質去掉得數末尾的零等計算基礎知識，其中某一項計算的錯誤，就會影響整道題的正確 計算，更談不上合理靈活地選擇算法，形成能力。所以，復習時一定要抓住基本運算技能的訓練。(1)要重視各 種基本的口算訓練，如20以內的加減法和100以內的兩位數加（減）一位數，乘法口訣等；(2)要重視除法試商 ，帶分數與假分數的互化，分數、小數與百分數的互化，判斷一個最簡分數能否化成有限小數等基礎訓練；(3 )掌握1和0的運算特性；(4)整數、小數、分數加減乘除的單項計算……這樣為正確、熟練、合理、靈活地進行 四則混合運算打下了基礎。
復習時不要著眼于學生會不會做題，計算結果是否正確，而應(1)要著力使學生弄清基本概念，深刻理解算 理，指導正確計算。比如，一個數乘以小于1的小數（分數），就是求這個數的幾分之幾是多少，深刻理解了這 一點，就能理解這樣求得的數為什么比這個數小的道理。(2)要重點指導學生根據知識間的內在聯系概括規律。 例如，復習整數、小數、分數的加減法法則后，讓學生知道：整數加、減時，要注意數位對齊；小數加、減時 ，要注意把小數點對齊；分數加、減時，要注意當分母相同時才能直接相加或相減；而它們的共同特點是把相 同單位的數相加或相減。這樣，學生就從整體上、從本質上理解和掌握了加減法的計算法則。學生懂理會法， 就能從根本上提高計算能力，發展思維能力。
二、要重視比較，溝通聯系
總復習是為了使學生重溫已學的數學基礎知識，并進行系統整理，形成良好的認知結構，而不是對學過的 知識重新講授。因此，教學時要注意通過啟發提問，引導學生回憶所學知識，并加以歸類整理，使之系統化， 納入學生的認知結構。如師生一起把分散在一至五年級逐步學習的四則運算整理成表格（如課本102頁的表）， 就可看出知識間的聯系和區別：整數加法是最基本的運算，是“把兩個數合并成一個數的運算”；整數乘法是 “求幾個相同加數和的簡便運算”；根據分數的意義，一個數乘以分數（或小數）的意義是“求這個數的幾分之幾是多少”；整數、分數和小數的減法和除法分別是加法和乘法的逆運算。
分析比較有聯系而又容易混淆的內容，使學生弄清它們之間的聯系和區別。比如，小數乘法、除法的計算 實際上都要按照整數、乘法、除法的法則計算，所不同的就是小數點的處理問題。小數乘法要看兩個因數一共 有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位點上小數點，小數除法要把除數的小數點去掉，轉化為除數是整數的除 法計算。
三、要重視培養計算能力
在很多情況下，學生的計算能力反映在運用運算定律、性質以及和、差、積、商的變化規律進行簡便運算 上。要舉出實例授之以法，告訴學生拿到一道題目要觀察題中各數有什么特點？數與數之間、運算與運算之間 有什么聯系？能否用運算定律、性質和運算技巧進行簡便運算？（比如能不能湊整？能不能寫成整百數與幾的 和或差……）訓練時要培養學生簡算的自覺性（這是計算能力的突出表現），練習中要避免出現機械指令性的 “用簡便方法計算”的要求，而強調凡能簡算的就要簡算或怎樣算簡便就怎樣算。有時不妨在計算過程中間孕 伏簡算的情境，讓學生觀察后自覺地進行簡算。如：2(3/25)-0.83-1/2÷2(16/17)，學生算到2(3/25)-0.83-1 7/100時，要求學生觀察題中數據，從而發現0.83與17/100可以湊成1，很快算得結果為1(3/25)，以此來培養學 生在任何一步計算中都時時有“能否簡便些”的意識，提高計算能力。
分數、小數四則混合運算是小學全部計算知識的綜合運用，其中在計算的某一步如何合理地確定把分數化 成小數來算，還是把小數化成分數來算，直接反映計算能力。這個關鍵問題學生往往不易把握。復習時，要通 過實例使學生掌握規律：在分數、小數加減混合運算中，題中分數能化成有限小數的化成小數來算比較簡便， 題中分數不能化成有限小數的，則把小數化成分數；在分數、小數乘除混合運算中，一般把小數化為分數來算 較簡便，但當小數與分數的分母可以“約分”時，直接“約分”比較簡便。要選擇典型題例引導學生在計算每 一步時都要瞻前顧后，根據具體情況選擇“化”的意向，如計算5(2/5)×［(1.6+1/9)÷0.84-1(7/18)］，可問 學生：
(1)小括號內應怎樣算合理？讓學生看出1/9不能化成有限小數，應把1.6化成分數來算；
(2)算式中((1(3/5)+1/9)÷0.84=)1(32/45)÷0.84這一步怎樣算合理？讓學生看出分數1(32/45)不能化成 有限小數，同時分數除以小數，一般把小數化成分數較為簡便。
四、要重視培養良好的計算習慣
1.認真審題。細心閱讀題目，看清數字、運算符號，觀察數的特點及數與數之間的聯系，考慮按什么順序 進行運算？能不能簡便運算？什么地方可以口算？估計題目的結果在一個怎樣的范圍內？
2.認真計算。在計算過程中要求學生書寫工整，格式規范。
3.認真檢查和驗算。抄題后要檢查有無錯誤，計算后通過估算和驗算及時發現和糾正錯誤。
五、加強反饋，注意因材施教
一、學習指南：還給學生學習知情權
在“自主學習任務單”中，我們首先規劃了“學習指南”欄目，重點引導學生在“學什么”的基礎上明白“為什么學”，從而推動學生“有準備地學”。
1.學習目標要簡明易懂、指向明確。
在學習目標的擬定上，盡量不要使用抽象的、模糊的、成人化的數學術語，如“算理”“歸納”等。另外，在考慮學生自學知識目標的同時，有意識地設定了引導學生關注數學思想方法的目標。
在《小數乘整數》一課的“自主學習任務單”中，我們提出的“學習目標”有4條：（1）通過自學教材及觀看微課視頻，聯系生活實際和學習經驗，理解例1中“0.8×3”和“2.35×3”的乘法意義，初步了解豎式計算的格式和步驟；完成學習任務1、2，知道幾種算法之間的聯系。（2）借助計算器完成學習任務3，經歷發現“積和因數的小數位數的關系”這一數學規律的全過程，并能初步運用；同時，能夠根據小數的性質解釋積的小數位數化簡的情況。（3）獨立完成學習任務4中的相關練習，能正確口算類似于“0.5×3”的簡單題目，并正確列豎式計算第2題，積極思考帶的題目。（4）進行微課學習、思考及練習后，能用自己的語言概括“小數乘整數”的計算方法。
2.學法指導要全面細致、方法多樣。
在《小數乘整數》一課的“自主學習任務單”中，我們擬定的“學法建議”是：（1）自學教材、觀看視頻、完成任務單習題時，及時用紅筆標注重點及疑問。（2）觀看微課視頻時，需要思考或完成計算任務時請及時暫停播放視頻，完成任務后再繼續觀看和學習。（3）學習中發現的問題可在專題學習網上的“交流討論”欄目內交流解決。仍然解決不了的問題記錄在“困惑與建議”欄目，等待課堂解決。（4）認真學習的態度，能幫助你走向成功。先讓學生自學教材，再觀看微課視頻，最后完成任務單習題，符合學生的認知發展規律，充分尊重學生的主體地位。考慮到微課視頻播放的連續性與學生認知思考的間斷性之間的矛盾，教師要指導學生如何觀看微課視頻。通過提倡認真的學習態度，使學生養成良好的學習品質。
二、學習任務：提供對話式的學習程序
“學習任務”欄是“自主學習任務單”的核心內容，是學生自主學習最具體、最直接的憑借。在擬定學習任務時，我們注重學習重難點的挖掘，關注學習細節，特別重視引導學生與文本進行對話。我們針對《小數乘整數》一課設計了5個任務：任務1是復習舊知，自學教材，初步了解“小數乘整數”。任務2是觀看微課視頻，進一步理解“小數乘整數”，溝通整數乘法與“小數乘整數”的聯系，讓學生能夠從轉化的角度審視新知。任務3是發現規律，感悟數學思想方法。我們遵循數學發現的一般規律，從感知到猜想，再經過驗證到運用，既有教師指定驗證的，也有學生自己舉例驗證的。任務4是鞏固提升練習，安排了口算、筆算、填表推理題，這樣的練習設計保底而不封頂。任務5是總結概括“小數乘整數”的算法。5個任務起承轉合，融為一體。這樣，“學習任務單”既是一種學習程序，也是一種學習途徑和學習方式。
三、學習資源：教師價值的前置性表達
《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“要充分考慮信息技術對數學學習內容和方式的影響，開發并向學生提供豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現實的、探索性的數學活動中去。”學習資源是指教師為幫助學生達成學習目標、理解知識而提供的有效支持。這里的學習資源一方面指“自主學習任務單”，另一方面還包括在“自主學習任務單”中多次提及的微課視頻和學習平臺。在“自主學習任務單”中我們給出了說明和路徑：“校園網—瑞博教學平臺—小學數學—《小數乘法和除法（一）》”。
微課就是教師針對教材例題或者練習等單一任務而宣講的視頻，我們通常是用錄屏軟件錄制課件演示解說過程，時長5～8分鐘。微課不同于新授，不是從零開始，它著眼于解惑，學生已會的不講，學生自學教材能學會的不講，學生聽不明白的暫時不講；主要講學生易錯的、易混的，講學生想不到的知識細節。在《小數乘整數》的微課中，我們就針對小數乘整數的豎式怎樣對齊、估算、積的小數位數的判斷和驗證等問題進行了釋疑。
通過教學平臺構建專題學習網站，可以整合多種教學功能，方便學生操作和學習。針對《小數乘整數》一課，我們架構了魅力微課、交流討論、教你思考、數學故事、挑戰自我五個欄目。需要說明的是，“挑戰自我”是在課堂學習之后才開放的，其余四個欄目是教師在課前就開放的。“交流討論”供學生在線提出問題、研討質疑，學生通過交流可以解決一些簡單的問題，從而篩選出最有價值的問題進入課堂，實現課堂教學的高效。在“挑戰自我”欄目中，我們設計了精心判斷、細心選擇、用心填空、慧心巧解四項在線自測，學生可以即時看到自己的答題情況，并可以查看錯誤原因。在“教你思考”和“數學故事”兩個欄目中設計了兩篇數學小論文和數學幽默。
【關鍵詞】電子技術 問題 解法
Discussion on the solution of the three types of problems in digital electronic technology course
He Aiquan
【Abstract】In this paper, the writer has made a discussion on how to solve the three types of problems on the digital electronic technology, including the transformation between binary decimal fraction and denary decimal fraction, the 8421BCD coding and the differentiation of the type of the counter.
【Keywords】Electronic technology Problem Solution
1．二進制小數與十進制小數的轉換。
1．1 二進制小數化為十進制小數。方法與二進制整數化為十進制整數相同，即“乘權相加法”：把二進制小數按權展開，然后把所有各項的數值按十進制相加就可以得到等值的十進制小數。
例1：將（0.101）2化為十進制小數。
解：（0.101）2=（0×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3）10
=（0+0.5+0+0.125）10
=（0.625）10
1．2 十進制小數化為二進制小數。方法與十進制整數化為二進制整數的“除2取余倒記法”不同，可把它叫“乘2取整順記法”，即：將十進制小數連續乘以2，取其整數。每次要除去前次所得積的整數再乘以2，直到滿足誤差要求進行“四舍五入”為止，最后將每次所得整數按順序記下，就完成了由十進制小數轉換為二進制小數。
例2：將（0.75）10化為二進制小數。
所以（0.75）10=（0.11）2
例3：將十進制小數0.41換算成二進制小數（誤差不大于2-4，即小數點后取4位）。
答：由于最后的小數大于0.5，根據“四舍五入”的原則，小數點后第四位取1，而不是0，所以（0.42）10=（0.0111）2，其誤差ε
2．十進制數的8421BCD編碼。用四位二進制數來表示一位十進制數中的0～9十個數碼，而四位二進制數有0000（0）到1111（15）十六種組合，若只利用0000（0）到1001（9）（其余六種組合是無效的）的十進制數編碼方法叫8421BCD碼。
如果是2位十進制數則須用8位二進制數來編碼，如果是3位十進制數則須用12位二進制數來編碼，如果是n位十進制數則須用n×4位二進制數來編碼。
例4：十進制數31的8421BCD編碼為（ ）
A．11111 B．00011111
C．01010001D．00110001
正確答案應為D。
例5：有一數碼10010111，作為自然二進制數或8421BCD碼時，其相應的十進制數各為多少？
解：自然二進制數10010111等值的十進制數為1×27+1×24+1×22+1×21+1×20=15l
8421BCD碼10010111共8位其所代表的十進制數為二位，即97。
3．計數器的區分。
3．1進制的區分：根據計數器邏輯的電路圖，列狀態表，看觸發器計數時是否存在無效狀態，及有效狀態的個數來確定計數器的進制和計數器的位數。如果沒有無效狀態則是二進制計數器，這時有n個觸發器則為n位二進制計數器。如果存在無效狀態，則有n個有效狀態就是一位n進制計數器。
3．2 同步異步的區分：所謂異步是指計數脈沖不是同時加到所有觸發器的計數輸入端，而只加到最低位觸發器的計數輸入端。其它多級觸發器則由相鄰的低位觸發器來觸發。同步則是計數脈沖同時觸發計數器中的全部觸發器，所有觸發器的狀態變換與時鐘脈沖同步。可由邏輯電路圖直接看出同步還是異步。
3．3 加法減法的區分：
每輸入一個脈沖就進行一次加1運算為加法計數器，每輸入一個脈沖就進行一次減1的運算為減法計數器，列狀態表可區分加減法。
例6：試分析圖示計數器的工作原理，它是多少進制的計數器？
解：設初始狀態
1）脈沖1
此為三進制同步加法計數器。
解：設初始狀態
1）脈沖1
CP序號 輸出
此為五進制異步加法計數器。
參考文獻
1 康華光.電子技術基礎.第三版.高教出版社
看似很簡單
【起點預設】
與“整數乘法”相比，“小數乘整數”只是多了“積中小數點位置的確定”。學生已經掌握了整數乘法的計算經驗，本堂課我就以此為起點，抓住不同，重點解決“怎樣確定積中小數點的位置”。
【課中練兵】
1、教學用乘法豎式計算“0.8×3”。
2、學生獨立計算“2.35×3”，并觀察因數與積各是幾位小數。
3、猜想：如果用一個三位小數乘3，積會是幾位小數？如果用一個四位小數乘3呢？
4、出示4．76×12、2.8×53、103×0.25，先猜一猜積是幾位小數，再用計算器計算驗證。
討論：通過剛才的計算和比較，你認為在計算小數乘整數時，可以怎樣確定積的小數位數？
5、根據148×23＝3404，直接寫出下面各題的積。
14.8×23＝ 148×2.3＝ 148×0.23＝ 1.48×23＝
6、用乘法豎式計算：3.7×5 0.18×5 46×1.3 35×0.24
學生反饋情況如下：
① 4 6 3 5
× 1.3 × 0.24
② 4 6 3 5 3 5
× 1. 3 ×0.2 4 × 0.2 4
1 3. 8 1.4 0 1 4 0
4 6. 7 0 7 0
5 9 .8 8.4 2. 1 0
第1、2題正確率達95%，第3、4題正確率僅為8%。
其實還不懂
【二探起點】
反思上述案例，之所以影響目標達成，產生教學內耗，關鍵在于教師沒能有效把握學生的學習起點。過低或過高地估計學生的學習起點，不但浪費寶貴的課堂教學時間，而且人為地降低了教學內容的探究價值，遠離了學生的認知“最近發展區”，使學生的智慧無法得到發展。案例中，教師對學生的已有經驗、思維障礙估計不足：1、整數乘法（兩位數乘兩位數）是學生三年級學的內容，時隔一年半，學生對于兩個部分積如何對位等書寫格式上的規定已淡忘。2、學生剛
學了小數加減法，“小數點對齊”對本課新學內容在一定程度上產生了干擾，學生每寫一步就會不自覺的把小數點對齊。3、學生并未完整感知小數與整數（兩位）相乘的豎式實例，對于“先按整數乘法計算”并不理解。由于教師沒有探明學生的學習起點，出現各種問題亦是理所當然。
理清了學生的思維障礙，我對本課的起點預設作如下調整：1、解決“怎樣確定積中小數點的位置”；2、讓學生完整感知“小數與兩位整數相乘”的豎式書寫格式和計算方法。
【再次練兵】
1、 創設情境，引入新課 2、自主嘗試，探索算法
a、學生嘗試計算 “0.8×3”。
全班交流：你是怎樣算的？
指出：“0．8 × 3”也可以用乘法豎式計算。（板書豎式）
討論：誰來說說用豎式計算“0．8×3”的過程？0．8是幾位小數？2.4呢？
b、獨立計算“2.35×3”。
交流：誰來說說用乘法豎式計算的過程？2.35是幾位小數？“2.35×3”的積是幾位小數？
c、猜想：如果用一個三位小數乘3，積會是幾位小數？如果用一個四位小數乘3呢？
3、驗證猜想，歸納方法
a、出示4．76×1 2、2.8×53、1 03×0.25，要求先猜一猜每道題的積是幾位小數，再用計算器算一算，看計算結果與猜想的是否一樣。
討論：通過剛才的計算和比較，你認為在計算小數乘整數時，可以怎樣確定積的小數位數？
b、計算“2.35×12”。
學生敘說，教師板演。
學生模仿進行豎式計算。
學生完整地說說計算過程及注意點。
c、小結：計算小數乘整數時，一般可以先按整數乘法算，再看因數里有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，并點上小數點。
4、練習鞏固，形成技能
a、根據148×23＝3404，直接寫出下面各題的積。
14.8×23＝ 148×2.3＝ 148×0.23＝ 1.48×23＝
b、用乘法豎式計算：3.7×5 0.18×5 46×1.3 35×0.24
學生反饋情況：95%的學生掌握了基本的計算方法，5%的學生在“豎式對位”、“點小數點”方面不太適應。
路徑在哪里
在“小數乘整數”案例研究中，我通過對“小數乘整數”學習起點的幾次探索，認為教師可以從“把握起點、定位目標、選擇路徑”三個維度來追求教學的真實性、有效性、人文性，為后繼的教學行為提供一條比較準確、豐富的教學基準線。
一、 把握起點——學生已經具備什么
我們所面對的學生，他們不是帶著單純的空腦袋走進教室的，并非是“一無所有”地走進課堂。在他們的生活中，已經有許多數學知識的體驗，學校數學學習是他們生活中有關數學經驗的總結與升華。學生原有的知識儲備、現實活動中的經驗積淀乃至他們兒童時期在社會生活中所形成的許多關于數學的樸素認識，都構成學生進行數學學習的“特定視界”，影響并制約著數學學習。我們應充分關注學生原有的知識儲備和經驗背景，打破“零起點”教學慣性思維。那么如何才能找準學習的認知起點呢？
1、整體通纜探明起點
探明學生學習的現實起點，需要以整體思維通纜教學，關注相關內容的彼此關聯和前引后滲。落實在備課中，就需要不斷追問：一問學生學習作螺旋式上升的根基是什么？在哪兒實現遷移、促成生長？學生是否已經遺忘？如果遺忘，又該如何喚醒？二問學生剛學的知識經驗有哪些？在這些剛學的經驗中，哪些能為本課的學習服務，哪些會對新知的學習產生干擾？這些干擾在教學時如何通過巧妙引導予以回避、或辨析、或順應、或同化？這些在教學時都應心中有數，教中有招。
如上述案例中，我們在整體通纜的基礎上，可以引導學生建立起“先按整數乘法計算”的心理需求，順利溝通小數與整數相乘、整數乘法的聯系，把新知識納入已有的知識結構之中，形成一個新的認知結構。同時，我們通過“學生敘說，教師板演”來規范學生的書寫格式。這樣設計就比較貼近學生的實際，有利于提高教學效率。
2、借助外力把握起點
如果說探明學習起點，是教師在備課過程中的一種內在思維意識，那么把握學習起點則必須借助外在的教學行為來實現。我們不能僅僅停留在學生對所學知識是否已經“知道”這個層面，更要關注“到底知道了多少”（深度）以及“哪些學生已經知道，哪些學生不知道”（廣度）。只有從這兩個維度出發，才能適當地調整教學策略，提高課堂教學的有效性。從方法上講，課前談話、平時了解、調查統計等都能取得不錯的效果，當然在課堂上我們也可以創設一個開放式的情境，從情境反饋的信息中了解起點，培養學生自主探究的學習方式，充分利用學生現場生成的學習資源，在觀察、思考、分析、討論中，開展教學，從而獲得教學信息。
二、定位目標——學生需要提升什么
教學目標是教學的靈魂，它支配著教學的全過程。教學目標也是開發教學內容，創造性使用教科書，靈活選擇教法，進行科學調控和評價的依據。而把握好學習起點，可以使我們準確地定位教學目標。我們在確定教學目標時，必須充分了解學生，準確掌握學生的心理動態和認知水平，尤其要緊緊圍繞有利于學生終身發展而設定目標。日本著名數學家米山國藏曾指出：“學生所學的數學知識在進入社會后，幾乎沒有什么機會應用……然而不管他們從事什么工作，唯有深深鉆刻于頭腦中的數學精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，都隨時隨地地發揮作用，使他們終身受益。”這段話耐人尋味，值得我們深思。
備課時，我們應關注這節課的教學目標是什么，應該從哪些緯度來確定教學目標。這又需要教師根據學生的起點，準確地定位教學目標……，有時可以適當提升、拓展教學目標，有時需要降低教學目標。教學目標確定之后，再去思考采用何種方式來落實目標。這樣我們的數學課才永遠不會偏離方向。同時教學目標的定位，也直接影響到上課的效果，教師只有明確了應達到怎樣的“度”，才能恰如其分地引導學生，掌握好“火候”。
三、選擇路徑——怎樣引領更加有效
1、鼓勵探究
在教學中，我們經常會發現這樣的現象：教師剛剛開了一個頭，一些學生就會把后面的知識講出來，結果往往被老師搪塞而過。久而久之，學生即便懂了，也只有老老實實地跟著老師重復那個過程，顯然，“跟著重復”是一種無奈的選擇，結果是挫傷了學生的學習積極性。
要避免這種狀況的發生，對策之一就是引領學生在學習的現實起點上作探究。我們可以讓學生展現他們已有的知識狀況，這種知識展現對于學生來說是激動人心的。當他們把自己所掌握的知識告訴同學與老師的時候，他們是在享受，享受學習給自己帶來的快樂。并且，他們會以極大的熱忱，把自己掌握知識的來龍去脈，盡其所能告訴老師和同學，這既是對自身學習進行再思考的過程，也是給其他同學以激勵的過程，而我們的任務，則是根據學生不同的現實起點，抓住本節課學習內容的要點，以問題的形式要求同學們繼續研究，給予解決。面對問題，不論是起點高或低的學生，都會爭先恐后地加入探究行列。因為他們愿意享受這種因學習而帶來的被重視的快樂。
2、適度整合
教學內容安排有它的科學性和合理性，在編排的過程中，編者考慮學生全面的認知水平。作為一線教師，我們應根據現有學生的起點，對部分教學內容進行適度地調整，提高教學效率。如“平移與旋轉”一課要解決“平移”、“旋轉”這兩個比較抽象的概念，對于四年級的學生來說相當困難，在教學中我們結合學生的實際，將這它分為兩課時教學，收到較好的效果。相反，有的內容由于與日常生活關系緊密，學生的起點相對較高，我們可以將兩課時的內容整合為一課時的內容展開教學。如五年級下冊的“確定位置”，由于學生在低年級就已初步獲得用自然數表示位置的經驗，且學生在日常生活中也接觸到一些數對知識，我們根據學生實際整合兩課時的教學內容，提高了課堂思維含量，學生學得積極主動。
3、拓展應用
在學生現實起點比較高的情況下，緊密結合教學內容提供一些有挑戰性的問題進行探討，不僅有助于思維能力的提高，更滿足了學生探索奧秘、挑戰自我的內心需求，并在獲得成功的體驗中進一步提高學習數學的興趣。
