時間：2023-06-18 10:46:39
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇對角線的規律，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
--------“中點四邊形”的教學反思
廣州市47中學匯景實驗學校 劉莓
第Ⅰ部分 學案（第一稿）
課題:中點四邊形
姓名
班級
學號
一、學習目標：
1、了解中點四邊形的概念
2、靈活應用三角形的中位線性質研究中點四邊形與原四邊形的關系。
二、學習重點、難點
1、重點：研究中點四邊形與原四邊形的關系；
2、難點：找出中點四邊形與原四邊形的形狀的變化規律。
三、學習過程：
（一）、復習：三角形的中位線性質：利用右圖用幾何語言表示
（二）、練習：
1．證明：順次連結四邊形的各邊中點所組成的四邊形（簡稱中點四邊形）是平行四邊形。
已知：
求證：
2、與周圍的同學交流一下證明方法。
從以上的證明過程中可知：中點四邊形的邊與原四邊形的對角線有密切關系。
3、通過畫圖猜想：順次連結矩形的各邊中點所組成的四邊形是什么形狀？
請證明你的結論。
4、回味剛才的證明過程，想一想：要使中點四邊形是菱形，原四邊形一定要是矩形嗎？
由此可得：只要原四邊形的兩條對角線
，就能使中點四邊形是菱
形。
5、通過畫圖猜想：順次連結菱形的各邊中點所組成的四邊形是什么形狀？
請證明你的結論。
6、回味剛才的證明過程，想一想：要使中點四邊形是矩形，原四邊形一定要是菱形嗎？
由此可得：只要原四邊形的兩條對角線
，就能使中點四邊形是矩形。
7、討論一下：要使中點四邊形是正方形，原四邊形要符合的條件是
8、小結：
（1）中點四邊形最起碼是一個
；
（2）原四邊形的對角線與中點四邊形的邊有密切關系：
原四邊形的兩條對角線相等
中點四邊形的鄰邊也
中點四邊形是
形
原四邊形的兩條對角線垂直
中點四邊形的鄰邊也
中點四邊形是
形
原四邊形的兩條對角線垂直且相等
中點四邊形的鄰邊也
中點四邊形是
形
作業：1、順次連結等腰梯形的各邊中點所組成的四邊形是特殊的平行四邊形嗎？
證明你的結論。
2、中點四邊形的面積與原四邊形的面積之比是
。
第Ⅱ部分 反思
一、教材地位與學案的設計思想
這節課的內容安排在華東師大版教材的九年級下冊第27章«證明»一章后的課題學習，這樣的安排很恰當，學生剛剛學完了用推理的方法研究三角形和四邊形。這節課的內容是三角形中位線的應用，也是對特殊平行四邊形性質、判定的鞏固，還是對學生研究變式圖形能力的訓練--------這是一個動態圖形的系列問題：無論原來的四邊形的形狀怎樣改變，順次連結它各邊的中點所得的四邊形最起碼是平行四邊形。而且平行四邊形又包含了矩形、菱形、正方形，這時，原四邊形要作怎樣的變化呢？通過這節課的學習，使學生對中點四邊形與原四邊形的形狀的變化規律有一個系統的認識。
學生往往不重視課題學習或找不到方法去研究這個課題。而這節課的學案設計就是為學生研究這個課題在方法上搭建了一個平臺。
在使用舊人教版的時候，為使學生對中點四邊形與原四邊形的形狀的變化規律有一個系統的認識，也曾這樣設計：
在每個學生一臺電腦的網絡室利用《幾何畫板》教師先做兩個頁面，第一頁原四邊形設計為平行四邊形，第二頁原四邊形設計為任意四邊形。學生只需用鼠標拖動原四邊形或中點四邊形的一個頂點，就可實現動畫。兩頁都有輔助線（原四邊形的對角線）的顯示/隱藏按鈕。每個同學須填寫一份實驗報告。實驗報告的問題設計如下：
在學生完成前12分鐘的實驗后，教師利用實物投影儀展示一些同學的證明過程、小結實驗情況、對比證明方法，讓學生明確“四邊形EFGH的形狀的變化與原四邊形的兩條對角線有著密切的關系”----為下一階段的實驗鋪路。第二階段的實驗有足夠的時間讓學生操作，而且絕大多數同學能遵循題目的暗示將中點四邊形EFGH進行動畫，通過中點四邊形EFGH形狀的改變來觀察原四邊形ABCD的變化。所以第1題完成情況良好，又為第二題鋪平了道路。最后由同學自薦所出題目，公認最好的作為作業布置。
二、課堂實施情況
對比兩種設計方案的實施情況:
①實驗報告的設計沒有在文字上給學生具體方法的指導，普通班相當一部分學生在實驗的第二階段中不知怎樣證明自己所得的結論，也正因為如此給成績好的學生留下了較大的思維空間；學生不用自己畫圖節省了時間。但也留下了缺憾------怎樣畫出符合題意的示意圖也是要訓練的，而且在畫圖的過程中還能對題意有更深的理解。當時在重點班的實施效果較好，普通班的實施情況不理想------大約一半學生達不到實驗的預期目的。
②學案（第一稿）的設計彌補了實驗報告的不足，由于設計時多種情況都讓學生從熟悉的圖形：矩形、菱形入手，證明它們的中點四邊形分別是菱形、矩形。然后通過“回味剛才的證明過程，”讓學生注意到在證明過程中運用了矩形、菱形的對角線相等、對角線互相垂直的性質，而沒有用對角線互相平分的性質，從而把圖形變式，將特殊情況予以推廣。這種過渡層層遞進，分散了難點，課堂上進行的較為順利。而且學案的設計由始至終在研究方法上貫穿一條主線：原四邊形的對角線與中點四邊形的邊有密切關系------原四邊形的兩條對角線若垂直、相等，中點四邊形的相鄰邊也垂直、相等。課堂上，學生的證明方法較為多樣，如下圖，學生通過證明圖形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ全等來證明中點四邊形是菱形，但大多數學生遵從學案中的“暗示”，連結兩條對角線，利用中位線證明。通過討論和展示多種證明方法既開拓了學生的思路又始終引導學生沿主線展開研究。
在實施過程中，由于要落實畫圖、寫已知、求證及證明，普通班兩節連堂方可完成，重點班一節課可完成。
三、課后作業反饋
第1題：
①有少部分學生把課堂小結的圖形變化規律當作定理直接應用于證明過程中；
②有少部分學生沒有寫已知、求證；
③有少部分學生的圖形太特殊導致中點四邊形是正方形，而在證明時又把菱形的識別當作正方形的識別；
第2題：在課間與學生的口頭交流得知，大部分學生知道可用特殊值法并求
出了正確結果，但其中有些學生對于一般情形下的解法是沒掌握的。
四、學案改進
給出學案中1、3、5、中的示意圖并將寫“已知、求證”刪去以免沖淡主題；改為要求學生畫4、6、的示意圖，讓學生更好地理解4、6、是3、5、的深入與推廣（教師注意巡堂，發現學生畫出的是3、5、條件下的圖形應予以糾正）。
作業的第2題要求學生交流解法。
第Ⅲ部分 學案（改進稿）
課題:中點四邊形
姓名
班級
學號
一、學習目標：
1、了解中點四邊形的概念
2、靈活應用三角形的中位線性質研究中點四邊形與原四邊形的關系。
二、學習重點、難點
1、重點：研究中點四邊形與原四邊形的關系；
2、難點：找出中點四邊形與原四邊形的形狀的變化規律。
三、學習過程：
（一）、復習：三角形的中位線性質：利用右圖用幾何語言表示
（二）、練習：
1、已知：如圖，四邊形ABCD為任意四邊形，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點。
求證：四邊形EFGH是平行四邊形
2、與周圍的同學交流一下證明方法。
我們把順次連結四邊形各邊中點所成的四邊形叫中點四邊形
從以上的證明過程中可知：中點四邊形的邊與原四邊形的對角線有密切關系。
3、已知：如圖，四邊形ABCD為矩形，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA
的中點。順次連結EF、FG、GH、HE，猜想四邊形EFGH是什么形狀的四邊形。
并證明你的結論。
4、回味剛才的證明過程，想一想：要使中點四邊形是菱形，原四邊形一定要是
矩形嗎？
由此可得：只要原四邊形的兩條對角線
，就能使中點四邊形是菱形。請畫出符合此命題的示意圖。
5、已知：如圖，四邊形ABCD為菱形，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA
的中點。猜想四邊形EFGH是什么形狀的四邊形。并證明你的結論。
6、回味剛才的證明過程，想一想：要使中點四邊形是矩形，原四邊形一定要是
菱形嗎？
由此可得：只要原四邊形的兩條對角線
，就能使中點四邊形是矩形。
請畫出符合此命題的示意圖。
7、討論一下：要使中點四邊形是正方形，原四邊形要符合的條件是
8、小結：
（1）中點四邊形最起碼是一個
；
（2）原四邊形的對角線與中點四邊形的邊有密切關系：
原四邊形的兩條對角線相等
中點四邊形的鄰邊也
中點四邊形是
形
原四邊形的兩條對角線垂直
中點四邊形的鄰邊也
中點四邊形是
形
原四邊形的兩條對角線垂直且相等
中點四邊形的鄰邊也
中點四邊形是
形
（看屏幕上的動畫演示）
作業：1、順次連結等腰梯形的各邊中點所組成的四邊形是特殊的平行四邊形嗎？
證明你的結論。
2、中點四邊形的面積與原四邊形的面積之比是
摘要：生活中處處有數學，人類離不開數學，人人都能學會有價值的數學。數學又是一門具有較強抽象性的基礎學科，學生學習起來普遍感到枯燥無味，缺乏興趣和動力，因此教學中應著重加強操作活動，創設操作情境，開放課外操作活動，培養探究精神和探究能力，激發學生思維和興趣。
關鍵詞：操作感知;樂學探究;創新
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2012）05-0125-02
數學是一門具有較強抽象性的基礎學科，它給學生學習帶來了一定的困難，因此在數學教學中加強操作活動，讓學生在動手操作中增加感知，在感知中愉快地學習，這對培養學生的數學學習興趣和欲望，提高數學能力，增強學生綜合素質是十分有益的。
1.創設操作情境，激發學生思維
數學教學應勤于思考，敢于探索創新，打破傳統觀念，創設直觀生動的操作情境，不僅激發學生的思維，而且較好地幫助學生概括和理解新的數學知識。例如在教學“軸對稱圖形”時，讓學生把一張紙對折，任意剪出去一些后，把它展開觀察圖形的特征――關于折線對稱。再有意識地引導學生剪一些生活中的圖案（如花紋、花朵）讓學生體會軸對稱的和諧美，這樣一下就調動了學生的學習情趣，激發了學習的動力，體驗到數學的意義，使學生有強烈的欲望去學習軸對稱知識。
又如在進行“相似三角形”一節內容教學時，教師可以充分運用媒體展示圖像、實物讓學生觀察并提出問題：
①DE與BC，DF與BM之間有什么關系？②圖中有幾組三角形相似？③你還能想到哪些結論？
學生經過合作交流后回答：
①DE∥BC，DF∥BM。②ADE∽ABC，ADF∽ABM；③DE：BC=AE：AC=AD：AB，DF：BM=AD：AB=AF：AM；……
從而加強學生對相似三角形的理解運用。然后組織學生分小組各畫一組相似三角形。各小組分別將自己所畫的三角形用投影儀展示出來，并指出它們的對應邊、對應角，哪些角相等、哪些邊對應成比例。通過這種操作活動，使學生見識了各種情形，進一步加深了對相似三角形的認識和理解，激發學生思維發展和學習興趣。
2.自主操作感知，培養探究精神
為了有效地培養學生的探究精神和創造能力，教師在教學中盡量增加一些學生自主動手操作的探索活動，充分發揮學生的內在潛能。依據課程標準，以學生現有的經驗知識技能和實踐能力為出發點，提出自主操作課題，讓學生自己動手、動腦設計操作，獨立思考去探索創新，讓學生體驗和感悟激發記憶中的有關知識，保持生動活潑的學習態勢。這既培養了學生的動手、動腦解決問題的能力，又充分發揮自己的想象力，創造性地綜合應用已有知識，并在創作中獲取新知識，體驗成功的愉悅。
例如在教學“勾股定理”時，指導學生在寫小字的方格紙上依據方格線路畫一個較小的直角三角形（以紙的大小而定），再以這個直角三角形的三條邊分別為邊長向外各畫一個相應的正方形。然后利用小方格的個數來比較以斜邊為邊長的正方形的面積與以兩直角邊分別為邊長的兩個小正方形的面積的和的大小關系，在學生經過操作活動后，根據學生實際，分別叫不同層次的學生談談自己的操作情況和觀察到的現象。再組織學生互相合作交流，從而概括歸納出“直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”的結論，同樣收到了良好的教學效果。又如在學習了“勾股定理”后組織學生分成若干小組去測量河的寬度，有的測量、有的記錄，他們團結協作共同設計解決實際中遇到的問題，最終得出結論，老師只是巡回適當指導當個配角，這樣收到了學以致用，體驗了學習的實用性，激發學習動力。
3.遵循認識規律，主動獲取知識
初中學生的思維是形象為主，逐步向抽象思維發展的主要階段。他們對直觀的感性知識容易理解和接受，而數學本身所反映的數量關系與空間形式比較抽象。因此，教師在教學中應遵循學生的認識規律，想方設法創設一些操作活動，把抽象的數學知識轉化為學生看得見、摸得著、感受得到的具體現象。例如為了使學生掌握“平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分”的知識，教師在教學中讓每人都自制一個平行四邊形，畫出兩條對角線和各邊，并標明各頂點字母和對角線的交點字母。先組織學生自主操作活動，再分4人為一小組的小組合作操作活動，引導他們將平行四邊形的兩對角線的交點固定，把這個平行四邊形繞著固定的對角線交點旋轉180°，觀察平行四邊形的一部分與另一部分完全重合的情境，這時教師提問，你能說明自己所制的平行四邊形中哪樣的兩條邊是對邊？有幾組對邊？哪樣的兩個角是對角？有幾組對角？每小組代表回答后又組織學生操作、交流。接著提問：根據你們的操作觀察，能指出手中的平行四邊形中，哪兩條邊相等？哪兩個角相等，各有幾對相等的量？平行四邊形的對角線的交點是對角線的中點嗎？為什么？在各小組一一回答后，讓學生試著用較精簡的語言歸納“平行四邊形對邊相等、對角相等，對角線互相平分”的結論。
4.開放課外操作活動，培養探究能力
如，由1、2、3、4、5、6、7、8、9 九個數組成的一個三行三列的三階幻方（如下圖所示），使其對角線、橫行、縱向的三個數的和都為15，稱這是最簡單的三階幻方，其幻和為15。
當然，這種簡單的三階幻方，只要我們想辦法、動腦筋，還是比較容易得到結果的。如下：
上面是最簡單的幻方，也叫三階幻方。南宋數學家楊輝概括其構造方法為“九子斜排，上下對易，左右相更，四維突出”，得到了比較簡單的三階幻方的填數方法。我們在其他書上也看到有多種填數的方法，如對稱交換法、田格圖陣法、推理法、列方程組解法、電腦程序法等等。但是，我在教學實踐活動中，經過大量的探索研究發現，這些方法不是最簡單的（2n-1）階幻方（n?著Z）的填數方法，有一種最簡單的直截了當的填數方法。這種方法就像我們在做小學數學的加法和減法時，必須用加法和減法法則一樣那么簡單，加法法則是“數位對齊、從個位加起，滿十進一”；減法法則是“數位對齊、從個位減起，退一當十”。其實，按照數學理論講，加法和減法都不是這樣做，只是大家為了簡單方便，才采用這樣的法則。
根據這一理念，我通過反復實踐，終于得出了一種很簡單的（2n-1）階幻方（n?著Z） 的填數方法，那就是一個法則。如下，最小數居上行正中央，依次斜填往上走；走出上框直下填；走出右框直左填；遇見有數緊下填；挨著順序填下去；填到最后一個便完成；不用思考與計算；橫行，縱行，對角線上數的和絕對是一樣；要想知道幻和是多少，最好用電子表格按“求和鍵”便知道，（2n-1）階幻方一氣呵成便填好。
具體操作如下：
一、如果是連續排列的 （2n-1）2（n?著Z） 個數，直接按照以上法則進行填數
例1：將10～18這9個數填在三階幻方中，使得對角線 、橫行、 縱向的三個數的和都一樣，其幻和是多少？
按照以上法則直接填數得：
上面是三階幻方填數走向圖，其他階幻方走向圖與其一樣。
它們的和是42。
例2：將-10～14這25個數填在五階幻方中，使得對角線 、橫行、 縱向的五個數的和都一樣，其幻和是多少？
按照以上法則直接填數得：
它們的和是10。
二、如果不是全部連續排列的（2n-1）2（n?著Z） 個數，但是先有（2n-1）個數是連續排列，中間相距k（2n-1）個數［（k?著Z），也即是（2n-1）個的k倍數這個條件，否則就不滿足幻和全一樣］，又有（2n-1）個數連續出現，這樣重復相距和出現，直到有（2n-1）2（n?著Z）個數為止，也按照以上法則直接進行填數
例3：將0～6、15～21、29～35、43～49、57～63、71～77、85～91這49個數填在七階幻方中，使得對角線 、橫行、 縱向的七個數的和都一樣。它們的幻和是多少？（七階幻方，中間必須是相距七的倍數，否則就無法滿足幻和一樣，其他（2n-1）（n?著Z）階幻方也同樣與階數的倍數相距出現）
按照以上法則直接填數得：
它們的幻和是321。
例4：將-9～-7、0～2、9～11這9個數填在三階幻方中，使得對角線、橫行、 縱向的三個數的和都一樣。它們的幻和是多少？
按照以上法則直接填數得：
它們的和是3。
三、有些題目出現的數表面上看排列非常凌亂，沒有規律，也無從下手，但是只要我們作適當調整，重新以從小到大排列，這樣，要么全部是連續排列的（2n-1）2（n?著Z）個數；要么是相距排列的（2n-1）2（n?著Z）個數，因此也按照以上法則直接進行填數，否則就無法解決了
例5：將-1、11、33、-45、-23、13、35、-43、-21、-9、-49、-27、-5、17、39、-25、-3、19、31、-47、37、-41、-29、-7、15這25個數填在五階幻方中，使得對角線 、橫行、 縱向的5個數的和都一樣。它們的幻和是多少？
解：從題中表面上看，要解決這個問題非常難。其實，對于這類問題，只要我們按照從小到大的順序重新排列一下，就得到-49、-47、-45、-43、-41、-29、-27、-25、-23、-21、-9、-7、-5、-3、-1、11、13、15、17、19、31、33、35、37、39這樣的25個數。這樣的25個數是5個數一組，中間相距一個數，組與組之間又相距10個數。這樣排列后，我們還是按照以上法則就可以直接進行填數了。
它們的幻和是-25。
（江蘇省南京市溧水區第一初級中學，211200）
常規的教學，往往是教師從預設的教學目標出發設計教學活動，學生在固定的程序中被動參與教學活動。如何才能讓學生積極主動地參與課堂活動，提高學生的學習自主性呢？筆者在《中位線》第2課時的教學中進行了一些嘗試，獲得了許多有益的啟示。
一、教學實錄
（一）問題導入
（教師出示問題：如圖1，在任意四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，順次連接EF、FG、GH、HE。請判斷四邊形EFGH的形狀，并給予證明。）
生四邊形EFGH是平行四邊形。
師你是如何判斷的？
生連接對角線AC、BD；因為E、H分別是AB、DA的中點，所以EH∥BD；因為F、G分別是BC、CD的中點，所以FG∥BD，所以EH∥FG。同理，EF∥HG。根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，得到EFGH是平行四邊形。
師很好，還有不同的方法嗎？
生我也是連接對角線AC、BD。利用三角形中位線定理，得到EF=HG=12AC，EH=FG=12BD；根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，得到EFGH是平行四邊形。
師好的，不錯！還有其他方法嗎？
生其實，不需要這么麻煩，只要連接一條對角線就可以了。
師哦？說來聽聽。
生連接對角線BD，利用三角形中位線定理，得到EH∥BD且EH=12BD，同理，FG∥BD且FG=12BD，所以EH∥FG且EH=FG；根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到EFGH是平行四邊形。
師非常好！
（二）自主探究
師在以上問題的解決中，同學們積極思考，運用不同的方法解決了任意四邊形的中點四邊形的判斷問題。以這個問題為背景，你還能提出什么新的問題嗎？
（絕大多數學生茫然，面對教師的眼神時有些躲閃；少數學生蹙著眉，成思考狀。等待了一段時間，終于有學生舉手。）
生如果把“任意四邊形”改成“平行四邊形”，此時四邊形EFGH是什么形狀？
師你是如何想到提出這個問題的呢？
生我注意到題目別指出了“任意四邊形”，所以就想到假如是特殊四邊形呢，很自然就先想到了平行四邊形。
（課堂氣氛活躍起來。）
生把“任意四邊形”改成“矩形”、“菱形”、“正方形”、“梯形”、“直角梯形”、“等腰梯形”，還有“箏形”。
（教師把學生提到的特殊四邊形一一板書下來。）
師好，下面我們就來一一探究。
（學生探究，教師同步板書。對于平行四邊形、矩形、菱形、正方形的探究，教師鼓勵學生畫圖、猜想、驗證；而對于后4種圖形的探究，教師要求學生嘗試不畫圖形，進行猜想，而后驗證。探究完成后，最終板書如圖2。）
師剛剛大家提出了一組很有價值的問題，而且通過自己的探究，也一一解決了問題。在解決的過程中，你獲得了哪些解決問題的方法和經驗？
生要判斷中點四邊形的形狀，我們可以先通過畫圖幫助猜想，然后進行驗證。
生其實，我覺得這些問題差不多，都是通過連接對角線，將四邊形問題轉化為三角形問題，利用三角形中位線定理解決的。
生我發現中點四邊形的形狀取決于原四邊形對角線的關系。
師非常好！大家通過對一組圖形的探究，找到了它們之間的內在聯系和解決問題的一般方法，體會了類比和轉化的思想。
（三）思維提升
師你們還能提出其他問題嗎？
（課堂又一次陷入沉靜。）
師請大家換一個思考方向。剛才我們都是已知原來四邊形的形狀，來推斷中點四邊形的形狀，那么我們能不能——
生我們可以反過來想。如果知道了中點四邊形的形狀，能不能判斷原四邊形的形狀？
師比如說呢？
生例如，知道中點四邊形是平行四邊形，那么原四邊形是什么形狀？
師很好！有同學能幫忙解決這個問題嗎？
生是平行四邊形。
生我覺得也可以是一般梯形。
生我認為是任意四邊形。
師有3個答案，到底誰的正確呢？
生我贊同第3個答案，因為雖然平行四邊形、一般梯形的中點四邊形都是平行四邊形，但它們都只是其中的一種情況，并不能代表全部情況，而所有一般四邊形的中點四邊形都是平行四邊形。
（在這個問題的啟發下，學生很快又相繼提出了一系列問題：“若中點四邊形是菱形，原四邊形滿足什么條件？”“若中點四邊形是矩形，原四邊形滿足什么條件？”“若中點四邊形是正方形，原四邊形滿足什么條件？”在最后一個問題的解決過程中，學生又起了爭執——）
生（一位數學成績不錯的學生很自信地）我認為若中點四邊形是正方形，則原四邊形一定是正方形。
（不少學生紛紛附和。）
師確定嗎？一定是正方形？
（學生安靜了下來，開始在草稿紙上嘗試畫圖。）
生（畫出圖3示意）不一定是正方形。比如，拉動正方形的一條對角線，使其與另一條對角線不再互相平分，但其中點四邊形依然是正方形。通過前面的探究，我們可以發現中點四邊形的形狀其實取決于原四邊形對角線的關系。所以，要使中點四邊形是正方形，只要原四邊形的對角線互相垂直且相等就可以了。
師大家贊同他的觀點嗎？
（學生信服地點頭。教師完成板書，如圖4所示。）
中點四邊形的形狀原四邊形形狀平行四邊形任意四邊形矩形對角線互相垂直菱形對角線相等正方形對角線互相垂直且相等圖4
師很有意思，中點四邊形的形狀取決于原四邊形對角線的關系。那么，中點四邊形對角線的關系和原四邊形對角線的關系之間，有什么聯系嗎？
生中點四邊形一定是平行四邊形，也就是對角線互相平分。我覺得，中點四邊形對角線相等等價于原四邊形對角線互相垂直，中點四邊形對角線互相垂直等價于原四邊形對角線相等。
師很好！把問題研究得很透徹！也就是說，中點四邊形的形狀與原四邊形對角線的相等與否、互相垂直與否有關，而與原四邊形對角線的互相平分與否無關。
（四）波瀾再起
（教師正準備結束新課，一位學生猶猶豫豫地舉起手。）
生（將信將疑地）老師，我能不能提一個關于周長和面積的問題？
師當然可以，說不定會是一個很有價值的問題呢！說說看。
生我總覺得中點四邊形的周長和面積一定與原四邊形有關，但具體是什么關系，現在我還沒有答案。
（課堂氣氛再一次活躍起來。）
生根據前面的探究，我發現中點四邊形的邊和原四邊形的對角線有直接聯系。利用中位線定理，可以得到EF=HG=12AC，EH=FG=12BD，所以，中點四邊形的周長就等于原四邊形對角線長之和，而與原四邊形的周長沒有關系。
師這位同學的分析過程大家認可嗎？有無錯誤？我非常認同這位同學的想法，他不僅證明出中點四邊形的周長等于原四邊形對角線長之和，還大膽地判斷出中點四邊形的周長與原四邊形的周長無關。那么，面積上又存在什么關系呢？
（學生繼續探索。）
生老師，如果原四邊形的對角線互相垂直就好了。
師為什么呢？
生如果ACBD于點O，那么有SABCD=12AC·OB+12AC·OD=12AC(OB +OD)=12AC·BD；而此時EFFG，所以SEFGH=EF·FG=12AC·12BD =14AC·BD。于是，中點四邊形的面積就正好是原四邊形面積的一半。
生（激動）又沒有告訴你原四邊形的對角線互相垂直，你不能用特殊情況代表一般情況！
師如果原四邊形的對角線互相垂直，這位同學的分析有沒有錯誤？
生（齊）沒有！
師如果原四邊形的對角線不互相垂直呢？
（短暫的沉默后，有數學成績比較優秀的學生舉手。）
生還是二分之一的關系。
師哦？不會吧？說來聽聽。
生真的是二分之一的關系！我利用中位線定理得到三角形相似，所以有SAEH=14SABD，SCFG=14SCBD，于是SAEH+SCFG=14SABD+14SCBD=14SABCD；同理，有SBEF+ SDHG=14SBAC+14SDAC=14 SABCD，所以外面的4個三角形的面積之和等于原四邊形面積的一半，那么中間的中點四邊形的面積也等于原四邊形面積的一半。
師大家聽明白了嗎？
生（齊）哦。
……
二、教學反思
《中位線》第2課時的教學內容，是三角形中位線定理的應用。這節課的常規教學設計，是教師利用以下3個問題引領學生的思考：（1）順次連接任意四邊形各邊中點，得到什么圖形？（2）如果將“任意四邊形”改為“矩形”、“菱形”、“正方形”呢？（3）如果順次連接一個四邊形的各邊中點得到菱形，那么原來的四邊形一定是矩形嗎？為什么？這樣的設計，教學流程環環相扣、層層推進；但是，對學生而言，是否過于包辦？如果教師不設計這些問題，學生自己能不能想到？除了這些問題，學生還會不會想到其他問題？針對這些疑問，筆者作了一些探索。
（一）探究，要關注課堂的動態生成
事實證明，只要教師找準教材的空白處、思考的生長點，恰當地挖掘、組織、呈現學習內容，把思考和探索的空間留給學生，激發其自主探究意識，學生的參與度就會不同尋常，從而學習的效果大大提升。本節課中，教師利用中點四邊形問題豐富的知識聯系和思考內涵，不拘泥于某一個具體明確的問題，而追問“你還能提出什么新的問題嗎”，這就為學生提供了更為廣闊的思維空間，學生不僅想到了教師預設的平行四邊形、矩形、菱形、正方形，還想到了一般梯形、直角梯形、等腰梯形，甚至想到了箏形。此時，學生的探究欲望得到激活，從而自然、持續、深入地提出了更多的富有層次、梯度的問題，而且在解決問題的過程中也表現出了很大的積極性和主動性。
教學過程中，教師應該認真傾聽、特別留意學生的思考與探究，及時捕捉、有效利用生成的教學資源——而不是只顧完成預設的教學內容，一味地“牽著學生走”。本節課中，除了第1個問題是教師提出的，其他所有問題實際上都是學生在互動交流中自己提出的。正是因為教師的耐心等待、和順引導，才生成了學生不斷拓展、延伸的思考和質疑，才生成了學生對中點四邊形更深入的探究和挖掘。
（二）探究，重在發展學生的思維能力
數學教學的主要目標是發展學生的數學思維能力。本節課中，教師讓學生真正經歷、審視自己的思考、探究過程，目的也在于此。
1．發展思維的發散性、靈活性。
研究“順次連接任意四邊形各邊中點，得到的中點四邊形是什么形狀”時，教師用“還有不同的方法嗎”來引發學生思考。研究完任意四邊形的中點四邊形后，教師用“你還能提出什么新的問題嗎”、“請大家換一個思考方向”來激發學生思考。這樣的問題都促使學生打破思維定勢，進行廣泛聯想、發散思維，從而不僅找到了不同的方法和新的問題，更重要的是學會了思維的策略——解決問題時，首先要抓住與條件、結論相關的定義、定理、公式、法則等進行發散；發現問題時，可以從一般到特殊或從特殊到一般進行思考，可以從一個方面的相似到另一個方面的相似進行思考，也可以變換角度和方向（如逆向）進行思考，等等。這樣，也使學生認識到要解決或發現問題，首先要經歷一個思維先發散后集中的過程，而透徹掌握基本的思維策略、基礎的命題及其相應的變化十分重要。
2．發展思維的邏輯性、深刻性。
學生說出原問題的結論后，教師問：“你是如何判斷的？”學生解決一系列特殊化的問題后，教師問：“你獲得了哪些解決問題的方法和經驗？”這樣的問題都啟發學生深入理解概念、嚴密分析問題，去粗取精、去偽存真，由此及彼、由表及里，抓住事物的本質與內在聯系，認識事物的規律性——從而使得學生認識到，判斷中點四邊形形狀的基本方法是“連接對角線，將四邊形問題轉化為三角形問題，利用三角形中位線定理”，“中點四邊形的形狀取決于原四邊形對角線的關系”。另外，學生解決一系列逆向的問題以及由形狀到周長、面積的類比中發現的問題時，教師都引導學生進行推理說明和比較概括。
3．發展思維的辯證性、批判性。
學生解決一系列逆向的問題時，出現了不同答案和爭執。對此，教師沒有作簡單的肯定或否定判斷，而是追問：“到底誰的正確呢？”“確定嗎？一定是正方形？”從而引發學生更深的思考，讓學生自己對錯解進行辨識，剖析錯誤產生的原因，進而認識到不能以偏概全，以充分條件代替充要條件，體會到解題的樂趣在于“在條件的約束下把結果的范圍（可能性）最大化”。這樣，有效地提高了學生獨立思考、敢于懷疑、全面分析、深度評判、發現不足、調整校正的習慣和能力。
關鍵詞：數學學科；課堂教學；數學思考；教學反思
一、數學思考的內涵及教育意義
1.數學思考的內涵。
數學思考亦即數學思維，顧名思義，指以數學知識為載體和原料的思維活動過程。聯合國教科文組織在《學會生存》一書中指出：“教師的職責現在已經越來越少地傳授知識，而越來越多地激勵思考?！比A東師范大學張奠宙教授曾提出，數學教學的目標之一是把數學知識的學術形態轉化為教育形態。實際上，數學的學術形態通常表現為冰冷的美麗，而數學知識的教育形態正是火熱的思考。
2.數學思考的教育意義。
我們來面對這樣一個問題：“學習數學有用嗎？”當然有用。因為數學是一種思考方式。學習數學絕對不是無休止的解題訓練，我們需要悟到其中的思考方法。若干年后，你可能忘掉了已學過的數學知識，但唯一忘不掉的是數學思考方法。
二、發展數學思考能力的教學實踐
1.在體驗感悟中進行數學思考。
《數學課程標準》建議教師“讓學生在現實情境中體驗和感悟數學”。作為數學教師要讓學生在體驗感悟中進行數學思考，觸動學生的生活積累，使學生能有所悟，能自悟自得，并能在實踐活動中深化感悟。
在蘇教版七年級數學（上）2.1節“比0小的數”一課教學中，通過多媒體展示生活中的“比零小的數”的不同場景，通過這些能夠引起學生興趣的問題引導學生觀察和思考，并設置如下問題：①你注意過天氣預報嗎？屏幕上的天氣預報電視畫面里，哪個城市最冷？②天氣預報電視畫面上的“－3℃”表示什么意思？你能說出下面其他圖片中帶“”號的數表示的意思嗎？③這幾幅圖片中有小學里沒學過的數嗎？你在其他地方還見過這樣的數嗎？④你對“0℃以上的氣溫”與“0℃以下的氣溫”的感受相同嗎？⑤0℃以上的氣溫用正數表示，0℃以下的氣溫用負數表示，你能用正、負數表示收入與支出、增產與減產等問題中的具體量嗎？借助學生的生活經歷和經驗，從見過負數，到認識負數的本質，進而運用負數解決相關問題。在這樣不斷地體驗中感悟，在不斷地感悟中深入體驗，使學生的“數學思考”更趨深刻。
2.在動手操作中進行數學思考。
新課程特別注重學生創新意識和實踐能力的培養，在動手操作中找到靈感、激活思維、解決問題，在具體的實踐操作過程中進行數學思考。在邊動手邊思考的學習過程中，使學生的形象思維向抽象思維過渡。
蘇教版七年級數學（上）1.2節“活動 思考”的教學，課本安排了三個探索活動，活動一：通過剪紙活動，感受圖形的性質。活動二：通過搭火柴棒活動，感受圖形的位置關系并探索數量變化規律?；顒尤和ㄟ^觀察月歷，發現有序排列的數字的變化規律。在教學過程中，一定要把活動落到實處，給學生足夠的空間和時間來活動和探索，當然教師要精心組織和引導，有效調控活動的全過程。學期開始，筆者將全班同學分成6個活動小組，每個小組合理分工，2~3人操作，1人做記錄，一個人做歸納總結，陳述小組操作結果和對活動的反思。進行活動時，筆者把探索活動分解成五步：第一步取一張長方形紙片，引導學生認識長方形的特征，并設置問題：你會將它剪成一個正方形嗎？第二步引導學生進行各種方式的裁剪，并思考剪成的圖形是正方形的理由。第三步小組陳述操作結果及理由。第四步根據情況可進一步提出“你還能剪出什么樣的幾何圖形？” 讓學生在數學思考中充分發揮想象力與創造力。
3.在解決問題中進行數學思考。
數學學習的過程就是學生不斷交替地經歷提出問題、解決問題的過程，在經歷該過程中，數學思考起主導作用，沒有數學思考學生就不能發現數學信息、提出數學問題，更談不上通過數學思考來提出解決問題的策略。
在蘇教版七年級數學（下）“探索n邊形對角線的條數”教學中，學生已了解三角形沒有對角線，四邊形有2條對角線，在此基礎上引導學生通過畫圖發現五邊形、六邊形分別有5條和9條對角線，接著提出問題：n 邊形有多少條對角線？你能發現其中的規律嗎？分以下三個層次引導學生思考：①先考慮n 邊形的一個頂點，如點A1，看一看從點A1出發能連多少條對角線？②過頂點A1的對角線與過頂點A3的對角線有相同的嗎？過頂點A1的對角線與過頂點A4的對角線呢？你發現在n 個頂點所連的對角線都重復計算了幾次？③你能歸納出n邊形有多少條對角線嗎？通過這些分層遞進的問題串來啟發學生積極思考。
4.在自主探索中利用圖形直觀，學會數學思考。
數學課程不再只強調提供系統的數學知識，學生會解多少道數學題，而是更關注他們能否從現實背景中“看到”數學、能否應用數學去思考和解決問題。著名教育學家布魯納也指出：“探索是數學的生命線。”勇于探索是數學創新學習的前提和基礎。
例如：蘇教版九年級（上）第五章“中心對稱圖形（二）”導讀中的問題3：如圖1所示，4個小圓的面積相等，大圓的半徑等于小圓的直徑，你能判斷圖中陰影部分的面積與大圓面積的大小關系嗎？筆者為學生創設了自主學習的空間，先讓學生獨立思考，再選擇代表交流。在交流中，大家積極思考，不斷探索新的方法，經同學們探究，結果找到了方法一（如圖2所示）和方法二（如圖3所示）。正當大家還用割補法試圖找到更多方法時，突然有位同學發現了一種不用割補法的方法的三（如圖4所示），圖塊A在全圖中4片，同樣的圖塊B、C都各有4片，全圖由12片這樣的圖塊拼成的，因此，陰影的面積是整個大圓面積的1/4。
通過這樣的教學活動，同學在觀察、討論、思考中相互接納，滿足了學生的不同需要，盡顯了學生的潛在能力，發揮了課堂教學中的多種交互作用，以“動”激“活”，呈現了課堂教學應有的生機，使師生的生命力在課堂中得到充分的發揮，學生的合作意識、合作能力及交往理念也有了同步發展。更體現了新課標理念：人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展。
三、對發展學生數學思考能力的反思
1.耐心等待數學思考。
學習數學離不開數學思考，但是數學思考是一個過程，需要時間來保證。知識是由學生通過思考建構的，別人是無法代替的。因此，學生在思考時，需要老師耐心等待，留給學生充足的時間和空間，這樣才能保證學生思考的實際效果。
2.數學思考中老師要善于啟發和誘導。
老師像導演培養演員那樣，把劇本或角色的基本要求，基本技能
教給演員，讓演員自己去進入角色，創造角色。老師在課堂上的地位是配合、積極引導，使同學們投入火熱思考，適當點撥使問題解答更完美。
3.鼓勵學生提出問題。
有問題才能有思考，提出問題很重要，數學問題是課堂教學的波瀾，也是形成課堂教學的前奏。如何使學生自主進行有效數學思考并提出數學問題，是值得數學教師認真探索的。
4.給學生提供廣闊的探索空間，讓學生在爭辯中學會思考。
學生通過猜測與探索、觀察與分析、歸納與驗證等一系列數學活動，能感受到數學問題的探索性和挑戰性，并從中認識到數學思考過程的條理性和數學結論的確定性，從而培養學生數學知識的遷移能力，提高學生數學思考的能力。
5.要設計一些高質量的問題激發學生數學思考
成就一堂好課，教師除了要研究教材，更要深入了解學生，盡可能地去分析學生的一切，研究學生的所有。不要想當然地教，要多思考學生可能怎樣去學？有了問題，思維才有方向，有了問題，思維才有動力，有了問題，思維才有創新。一節好課必然有幾個高質量的問題來支撐，這樣的課堂才是思考的課堂，才是有價值的課堂，才是促使學生生命力生長的課堂。
【參考文獻】
［1］ 楊裕前,董林偉.數學(七年級上冊)［M］.江蘇:江蘇科學技術出版社,2007:3.
［2］ 聯合國教科文組織國際教育發展委員會.學會生存［M］.上海譯文出版社,1979:120.
操作設計性問題常見的有：測量與計算，剪拼與畫圖，折疊與變換，鑲嵌與設計。
一、測量與計算
測量是最基本的數學實踐活動，是課堂知識向課外延伸的具體體現，走出課堂，體驗數學價值，改變學習方式，是新課程改革的基本理念之一。
例1 某數學興趣小組，利用樹影測量樹高，已測出樹AB的影長AC為9米，并測出此時太陽光線與地面成30°夾角。
（1）求出樹高AB
（2）因水土流失，此時樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發生了變化，假設太陽光線與地面夾角保持不變，
如圖，試求樹影的最大長度。
解：（1）在RtABC中，∠BAC=90°，∠C=30°
tanC=■
AB=AC?tanC=9×■=3■（米）
（2）以點A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當太陽光線與圓弧相切時，樹影最長，點D為切點，DEAD交AC于E，在RtADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，AE=2AD=2×3■=6■
答：樹高AB為3■米，樹影有最大值，最大值為6■米。
二、剪拼與畫圖
剪拼與畫圖大多聯系實際，內容開放，答案不唯一，要求解題者必須進行多方位，多角度多層次探索，以展示思維的靈活性、發散性和創新性。
例2：如圖，已知在ABC中，AB=AC，ADBC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個三角形，在平面上把這兩個三角形一個四邊形，你能拼出所有不同形狀的四邊形嗎？畫出所拼四邊形的示意圖（標出圖中的直角）并分別寫出所拼四邊形的對角線的長（只需寫出結果）。
解：經過適當拼合可以組成以下四種不同形狀的四邊形
（1）矩形（圖1）：此時兩對角線長相等，均為2■
■
（2）平行四邊形（圖2），此時兩條對角線的長分別為4和4■。
（3）平行四邊形（圖3），此時兩條對角線長分別為2和2■。
■
（4）四邊形（圖4）：此時兩條對角線的長分別為2■和■。
三、折疊與變換
折疊通常是軸對稱變換，其中折痕是對稱軸。在實際解題中，恰當地運用圖形的變換往往能集中條件，開闊思路，化難為易，出奇制勝。
例3：如圖，將矩形紙片ABCD沿直線折疊一次（折痕與折疊后得到的圖形用虛線表示），將得到的所有全等三角形（包括實線，虛線在內）用符號寫出來。
解：ABD≌CDB，CBD≌DBE，DBE≌BDA ABF≌EDF
四、鑲嵌與設計
用幾何圖形的材料鋪地板、墻面，用幾何圖案裝飾居室，建筑物以及作為各種標記，在生活中比比皆是，作為未來的建設者，了解構成鑲嵌圖的基本規律，圖案的鑒賞和設計常識非常必要，它有利于促進學生的動手能力，審美能力和創造能力的培養。
例4：李大爺有一個邊長為a的正方形魚塘，魚塘四個角的頂點A、B、C、D上各有一棵大樹，現在李大爺想把原來的魚塘擴建成一個圓形或正方形魚塘（原魚塘周圍的面積足夠大），又不想把樹挖掉（四棵大樹要在新建魚塘的邊沿上），若按圓形設計，利用圖畫出你所設計的圓形魚塘示意圖，并求出圓形魚塘的面積；
關鍵詞：周期表；短周期元素；反常現象；性質
20世紀以來，周期表和周期律成了近代科學發展的重要基礎，也是無機化學家得心應手的工具，它所建立的豐功偉績無需多說。按照周期律的現代律文：核電荷遞增時，元素、原子、電子的周期性變化決定了元素性質的周期性。當把元素按原子序數遞增的順序排列成周期表時，電子構型重復由S1到S2P6的變化，元素性質就呈現周期性。然而，隨著對元素和化合物研究的深入，表明元素周期性并不是簡單地按一個模式重復，而是表現為復雜的變化規律，在周期性的變化中常常表現出一些“反常”。筆者現將短周期中元素性質的不規則性總結如下：
一、氫的不規則性問題（氫屬位置不確定的元素）
1.氫的原子序數為1，電子結構1s1，堿金屬電子結構ns1，均可作為還原劑。說明氫與堿金屬具有相似性。然而，氫與堿金屬的性質差別十分大，這用不著多說。
2.從獲得1個電子就能達到穩定的稀有氣體結構看，氫應與鹵素類似。
確實氫與鹵素的某些性質相似，都可作為氧化劑。然而，氫與鹵素的差別也很大，表現在下面五個方面：
（1）H的電負性2.2，僅在與電負性極小的金屬作用時才能獲得電子成為H-負離子。
（2）H-負離子特別大（154 pm），比F-（136 pm）負離子還要大，顯然其性質不可能是同族元素從I-到F-即由下到上遞變的延續。
（3）極易變形的H-負離子只能存在于離子型的氫化物，如 NaH中。
（4）不能形成水合H-負離子，在水中將與質子結合生成H2 （H-+H3O+=H2O+H2）。
（5）在非水介質中，H-負離子能同缺電子離子， 如B3+、Al3+等結合成復合的氫化物。如：4H-+Al3+=[AlH4]-。
3.若將H的電子結構視為價層半滿結構，則H可同C相比：
（1）電負性相近（H：2.2；C：2.5）。
（2）H2同C一樣，既可作為氧化劑，又可作為還原劑。
（3）H2與金屬形成氫化物，碳與金屬生成金屬型碳化物。
二、第二周期元素的特殊性（對角線關系）
1.Li
Li的電負性大，Li+半徑小、有極強的極化力，其化合物不如其他堿金屬化合物穩定。如：
Li2CO3Li2O+CO2 Na2CO3加熱不反應
相反，Li+與半徑大的、易極化的H-卻能形成穩定的共價型氫化物（LiH），而其他均為離子型，易分解。
LiH很穩定，2NaH2Na+H2
但Li與同它成對角線的Mg相似，如：能直接與N2反應生成氮化物，且Li3N穩定；Li、Mg都易生成有機金屬化合物，但其他堿金屬不具這兩條性質。
2.Be
Be、Al相近的離子勢導致相近的極化力和酸堿性。如，Be、Al的化合物共價性較強，許多鹽可溶于有機溶劑，碳酸鹽不穩定，氧化物和氫氧化物呈兩性，其鹽易水解等。
3.B
B與同族的區別在于它幾乎不具金屬性，在性質上與對角的Si相似，表現在以下三個方面：
（1）都不能形成正離子。
（2）都能生成易揮發的、活潑的氫化物。
（3）鹵化物都易水解：
BCl3+3H2O=H3BO3+3HCl
SiCl4+4H2O=H4SiO4+4HCl
4.F
F在同族中的特殊性尤為突出，它的電子親合勢特別?。?/p>
EA（F）=328.18kJ?mol-1 EA（Cl）=348.57kJ?mol-1
原子的半徑也很?。?/p>
r（F）=71pm r（Cl）=99pm
化學活潑性特別大。通常用貼近F原子的孤對電子間的排斥作用來解釋。由于F半徑小，導致F的電子云密度高度密集，因而對任何外來的進入F的外層的電子產生較強的排斥作用，從而對F參與形成的鍵的鍵能產生削弱作用。在O和N中也出現類似的效應。
總之，第二周期元素與同族其他元素在性質上出現變化不連續的現象，卻與第三周期斜對角元素相似，這被稱為對角線關系或對角線相似。
同周期從左到右陽離子電荷升高、半徑減小，極化力增強；同族從上到下陽離子電荷相同，但半徑增加、極化力減弱；處于對角線的兩元素，兩種變化相互消長。使極化力相近，性質相似。
為什么第二周期與第三周期同族元素性質明顯差異？探討其原因，主要有以下兩個方面：
（1）第二周期元素在成鍵時只限于使用s和p軌道（以s-p的雜化軌道成鍵）；第三周期元素還可使用3d軌道（如sp3d、sp3d2、sp3d3…雜化軌道成鍵），共價數前者最大為4，后者出現5、6、7…；
（2）第二周期元素作中心原子時，只以σ鍵同其他原子鍵合，而第三周期元素和更重元素除生成σ鍵外，還能生成p-dπ鍵。如 SO42-中，S、O之間除生成SO外，還因O原子上有2p孤對電子，而中心S原子有空d軌道，在對稱性匹配條件下（如2pz-3dxz）可重疊生成p-dπ鍵，這樣，σ-p鍵的生成使S-O鍵的鍵長比正常的單鍵短。
綜上所述，由于H原子其獨特的電子結構，決定了它在周期表中位置的不確定性和性質的特殊性；第二周期和第三周期元素性質差異，一方面由于原子的電子軌道差異（第二周期沒有d軌道，無d電子參與成鍵不生成p-dπ鍵，只生成σ鍵）；另一方面由于對角線元素的離子勢（Φ=Z+/r+）和電極電勢相近，導致同一族的元素性質的不連續，反而與其對角線元素的性質相近。
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關鍵詞：多邊形內角和；教學設計；構想
“中國學生發展核心素養”所指向的“學生應具備的能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力”的意蘊和旨趣，彰顯教師的教育智慧.數學核心素養要從教學行為與習慣的培養著手.
就拿“多邊形及其內角和”來說，不論是概念的得出，還是公式的形成，都蘊含眾多“關鍵能力”的形成要素.更進一步說，若教師舍棄“抓干的、來實的”的習慣做法，力透紙背，深入挖掘教材內容所承載的“關鍵能力”素材，將教學按照學生的認知邏輯展開，在“去粗取精、去偽存真、由表及里、由此及彼”的過程中，達成核心素養指向下的學生發展目標，課堂就會充溢智慧的霞光，絢麗而多姿.
一、在思辨中形成概念
本節課涉及眾多相關概念，但“萬物生長靠太陽”，再多的概念總有源頭，這里的源頭就是“多邊形”，其關鍵點就是“多”.眾所周知，“多”與“少”是相對的，此刻就需要教師指導學生認識“多”與“少”的辯證關系.多邊形是新學內容，多到什么程度暫且不論，但“少”要少到什么程度呢？這就牽扯概念中的另一個關鍵字“邊”.本節課是從“邊”的多少出發研究圖形，無邊不成形，因此，從理論上講，邊（亦即線段）的數量最少是1，可以是2，學生也學過邊數為3的三角形和邊數為4的四邊形.邊數為1和2時，是開放式圖形，屬于“線段（直線、射線）”和“角”，三角形、四邊形等才屬于“多邊形”意義下的“形”.從“少”出發，學生就會發現：多邊形中的“邊”，是線段；多邊形是封閉圖形；邊數最少的多邊形是三角形.
從“多”出發，學生就會發現，隨著邊數的增加，多邊形中的一些元素也會發生一些變化：頂點增加；內角的個數增加；內角和會發生怎樣的變化？有沒有規律可循？（此時，學生的經驗是三角形的內角和為180°，四邊形的內角和為360°）由內及外，那外角和會發生怎樣的變化？到此，又會牽扯出另一個問題：當多邊形的邊數無窮多時，多邊形會發生什么樣的變化？相關的要素又會發生怎樣的變化？顯然，這樣的思考又是形成和發展極限思想的良好素材.
這樣展開的教學，對學生發展來說因嵌入了學生的思考與發現，會比單純按照學科邏輯（逐一交代概念）展開更使學生興趣盎然.如果給予學生預習、討論等“自由”的時間足夠長，抑或是讓每一個學生都把自己獨立而獨特的思考展示出來，說不定還能在凸多邊形與凹多邊形的比較中有更多的發現，求異思維的能力也會順勢得以培養.
有了這樣的思考，學生理解教材中的多邊形的概念及其相關內容――“在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫作多邊形.多邊形按組成它的線段的條數分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形……由n條線段組成的多邊形就叫作n邊形”，就會更透徹.同樣，多邊形的角――內角、外角――連同內角和、外角和以及正多邊形、多邊形的對角線等，也不會存在理解的難度了.此處不再贅述.
二、在化歸中探尋策略
從上述分析可以看出，三角形是邊數最少的多邊形，隨著邊數的增多，相關要素都會發生變化.從變化的觀點出發，有兩種可能：有規律的變化和無規律的變化.這就會生發“多邊形的內角和與邊的數量”之間存有什么樣的關系的思考.對于這樣的問題，學生可能會有無從下手的思維癥結，就需要從思維的角度出發，找到突破的辦法.從思維角度來講，不論哪個學科，哪個領域，遇到復雜問題的時候，都會采用“復雜問題簡單化”這一策略.在科學實驗中經常運用的“控制變量法”，就是將復雜問題簡單化處置的典型.面對“多邊形”這一復雜問題，就要思考“最簡單的多邊形是什么圖形”.前已述及，三角形就是最簡單的多邊形.這就找到了破解多邊形相關問題的思維原點――三角形，這也是解決問題的出發點，由此引發學生去思考“如何將多邊形變為三角形”的問題.
三、在類比中突破重點
從三角形出發考慮多邊形問題，就要找到多邊形轉化為三角形的辦法.其實，學生在這之前已經接觸到解決這一問題辦法，那就是求四邊形內角和時所采用的“通過連接對角線將一個四邊形變為兩個三角形”，用這種類比的思想，不難發現，把四邊形的對角線一連，就會出現兩個三角形，那四邊形的內角和就是兩個三角形的內角和，即360°；對于五邊形，可以通過連接對角線的方式，變為三個三角形，其內角和就是540°；以此類推，個數有限的多邊形，其內角和的度數是可以計算出來的.從以上解決方式可以看出，“對角線”以及通過連接對角線而形成的“三角形”，就是解決多邊形內角和問題的關鍵，對角線則是撬動多邊形內角和問題的支點.
有了以上分析作鋪墊，再讓學生完成表1中的要求，學生自然興趣盎然.
當學生完成這個表格后，多邊形內角和的公式也就得到了：n邊形的內角和等于（n-2）×180°.
四、在發散中豐富智慧
一個問題的解決，不會只有一個辦法，否則，就不會有“條條大路通羅馬”之說.唯有從多個角度探尋解決同一個問題的辦法，學生的思維才能發散開來，并不斷促使學生窮盡思維，進而理順思維，優化思維，實現由解決一個問題向解決一類問題的突變，達到思維躍遷、智慧豐富之目的，生發不斷創新的力量.
前述方法是從對角線出發，找到了一個解決多邊形內角和的辦法，再探尋其他辦法，又應該如何思考呢？這還要回到幾何圖形的構成要素上尋找突破.
構成幾何圖形的基本要素，無非就是點、線、面.有的要素一目了然，比如，多邊形中的邊、頂點，有的要素則隱含在圖形中，需要思考才能找到，比如剛才用過的對角線，類似的還有一些圖形的高、角平分線、中線等等.上述解決問題的過程中，就是從多邊形的一個頂點出發，在不相鄰的另一個頂點間畫出對角線，從而化歸到三角形而找到了解決問題的支點.如此，同樣從“點”這一思考原點出發，只是改變“點”的原始位置，比如，選擇一條邊的任意一個點構造出三角形，或者在多邊形內（外）任意一個點構造三角形，都不失為可以采用的辦法.這樣，原來的“固定點”就會變為“移動點”“任意點”，而中考題中的重頭戲，也往往如此選擇.限于篇幅，簡述如下：
方法二：在n邊形的一邊上任取一點，把這一點與各頂點聯結，把n邊形分割為（n-1）個三角形，這些三角形的內角和比n邊形的內角和多出了一個平角，因此，n邊形的內角和=（n-1）×180°-180，即為：（n-2）×180°.
方法三：在n邊形內任取一點，然后把這一點與各頂點聯結，將n邊形分割為n個三角形，這n個三角形的內角和比n邊形的內角和恰好多了一個周角360°，因此n邊形的內角和=180°×n-360°，即為：（n-2）×180°.
方法四：在n邊形外任取一點，然后把這一點與各頂點聯結，將n邊形分割為n個三角形，這n個三角形的內角和比n邊形的內角和恰好多出了兩個三角形內角和，因此n邊形的內角和=n×180°-2×180°，即為：（n-2）×180°.
形成了這樣的思維習慣，學生在今后的學習、工作、生活中，也會主動尋求“由靜到動”“由此及彼”的途徑，豁然開朗的就不僅是學習過程，會更多地表現在人生的幸福中.
從以上分析可以看出，本節內容涉及眾多利于學生核心素養發展的要素，諸如對立統一、量變質變、有限與無限、個性與共性、一般與特殊、絕對與相對等，都極富哲學意味，若一一展開，必定是一幅幅美麗的風景.
本節課在教學菱形的性質時，要從學生已有的知識經驗出發，借助圖片、實物模型，通過具體的操作，觀察、猜測、驗證，獲得知識，注重提高學生主動探究的能力。菱形的性質探索出來之后，在應用性質解決問題時，要給足學生思考的時間，在學生有了自己的想法之后，再組織引導學生相互交流想法，以提高學生運用知識分析問題、解決問題的能力。
二、教材地位與作用
四邊形是我們生活中常見的圖形，它的用途和作用舉足輕重。而各種四邊形在外形、本質上也各具特點，因此它是平面幾何中研究較多的一類，教材把對菱形的研究也列為重要內容。本節課的內容是菱形的概念及菱形的性質，這節課是在學習了平行四邊形、矩形之后的學習內容，起著承上啟下的作用，也是為以后學習幾何知識作必要的知識儲備，本節課滲透了“轉化、類比”等數學思想方法。
三、教材內容與教材處理
本節課主要學習菱形的概念及性質，為了使學生便于感受、理解和掌握概念的產生和由來，我們可以借助學生生活中熟悉的實物“晾架”、或學生熟悉的圖片，讓學生在欣賞、觀察圖片的過程中，發現菱形的特點，再通過引導學生進行猜想、動手度量、折疊、旋轉、類比等活動，歸納總結出菱形的性質，使學生加深對菱形與平行四邊形性質的辨別。
四、學情分析
學生已經學過了平行四邊形、矩形的概念及性質，這為本節課的學習提供了良好的知識和經驗儲備，對于菱形的性質，學生完全可以通過折疊、旋轉、測量、證明等方法得到，但對于菱形與平行四邊形的性質的區別與聯系，還需通過多種方式辨析。為此，在揭示了菱形的概念及性質之后，再通過練習，讓學生加以辨析，以達到靈活理解應用知識解決問題的目的。
五、教學目標
1.知識與技能：
經歷菱形的性質的探究過程，理解并掌握菱形的兩條性質。
2.過程與方法：
（1）經歷菱形的性質的探究過程，培養學生的動手實驗、觀察推理的意識，發展學生的形象思維和邏輯推理能力。
（2）根據菱形的性質進行簡單的證明，培養學生的邏輯推理能力和演繹能力。
3.情感、態度與價值觀：
從學生已有的知識出發，通過欣賞觀察、動手操作、討論交流、歸納總結，感受身邊的數學，感受合作學習的成功，培養主動探求、勇于實踐的精神，同時感受到數學的和諧美、對稱美，激發學習數學的激情，樹立學好數學的信心。
六、重難點
重點：菱形性質的探求。
難點：菱形性質的探求和應用。
七、教學過程設計
（一）探索一：菱形的定義
1.觀察下列圖形，說說這些四邊形有什么共同特點。
2.用實物模型演示，觀察菱形的相鄰邊。拉、壓“上圖一”的實物模型，讓學生觀察，證實自己的判斷――鄰邊相等。
3.播放菱形的形成課件：平移平行四邊形的一條邊，使它與相鄰的一條邊相等，就得到一個菱形。
4.引導學生給圖形起名，得出菱形的定義。
（二）探索二：菱形的性質
猜想1：菱形具有平行四邊形的所有性質嗎？為什么？
猜想2：菱形除具有平行四邊形的所有性質外，還具有哪些自己獨有的性質？
（三）驗證猜想
教師將事先準備好的菱形的紙片發給學生，讓學生利用它類比矩形的性質，看看菱形具有哪些性質，得出結論后，把自己的做法和結論與大家分享。
（這里可以用折疊重合、測量、證明等多種方法來解決問題，鼓勵獨立思考，合作交流，培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力。當同學們交流完自己的想法之后，再要求學生規范地歸納出菱形的性質，培養思維的嚴謹性。）
（四）探索三：菱形的面積公式
菱形的面積可以用平行四邊形的底乘以高，還可以用二分之一的對角線的積去求，這里的重點放在對“菱形的面積等于二分之一的對角線的積”的推導，讓學生發現：只要對角線垂直的四邊形，它的面積就可以用二分之一的對角線的積去求。
（五）理解應用（讓學生獨立思考后，交流展示、互動質疑）
1.已知菱形的兩條對角線長分別為8 cm和6 cm，求菱形的周長。
2.在任意四邊形ABCD中，對角線ACBD，且AC=18，BD=10。問四邊形ABCD的面積是多少？已知：如圖，四邊形ABCD是邊長為13 cm的菱形，其中對角線BD長10 cm。
（六）當堂檢測（檢測情況，形成反饋）
1.已知菱形的周長是12 cm，那么它的邊長是 。
2.如下圖菱形中，若∠ABC=60度，一條對角線長分別為8 cm，則菱形的面積是 。
3.把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊部分ABCD的形狀是什么形？請證明。
（七）課堂小結
本節課你有何收獲？還有哪些困惑？
八、設計反思
本節課的設計有以下幾個亮點：
1.本節課的設計符合由感性到理性、由具體到抽象的認識規律。
2.注重了突出學生的主體地位，知識的獲取都是由學生自己觀察、猜測、驗證、歸納整理，從而獲得知識，再現了知識的形成過程。
【關鍵詞】 行列式；加邊法；范德蒙行列式
行列式的計算是線性代數中的一個重要問題，在數學的各類分支中有極為廣泛的應用.但行列式的計算方法很多且靈活多變，需要有較強的解題技巧.本文介紹了三類重要算法，并通過實例加以說明.
一、化三角形法
化三角形法就是利用行列式的性質將原行列式化成上（下）三角形行列式[1]計算的一種方法.根據上（下）三角形行列式元素的特點和結果的特殊性，用此種方法的主要過程就是化零元素，對一些特殊的行列式特別適用.
例1 計算爪型行列式[2]Dn= 1 1 1 … 11 2 0 … 01 0 3 … 0 1 0 0 … n .
分析 化此行列式檣先角形的過程就是要把主對角線以下的第一列的n-1個1化為0，但要同時保證主對角線以下的其他零元素不變.這里只有依次做列運算c1- 1 j cj （j=2，3，…，n）才可實現.
Dn= 1 1 1 … 11 2 0 … 01 0 3 … 0 1 0 0 … n = 1-∑ n j=2 1 j 1 1 … 10 2 0 … 00 0 3 … 0 0 0 0 … n
=n！ 1-∑ n j=2 1 j .
二、加邊法
加邊法又叫作升階法，即給原n階行列式加一行一列得到n+1階行列式并使其值不變.
例2 計算行列式
Dn= 1+a1 1 … 11 1+a2 … 1 1 1 … 1+an .
分析 此行列式的特點是主對角線上的元素是1+a1，主對角線外其他元素全為1，則可加元素全為1的一行，利用性質將其化為例1中的類型.
Dn= 1+a1 1 … 11 1+a2 … 1 1 1 … 1+an
= 1 1 1 … 1-1 a1 0 … 0-1 0 a2 … 0 -1 0 0 … an
=a1a2…an 1+∑ n i=1 1 ai .
三、范德蒙行列式法
著名的范德蒙公式是：
Dn= 1 1 1 … 1x1 x2 x3 … xnx21 x22 x23 … x2n xn-11 xn-12 xn-13 … xn-1n =∏ 1≤j
范德蒙行列式的結構特點是：第一行元素全為1，第二行元素為n個數，第三行元素為n個數的2次方，依此類推，第n行元素為n個數的n-1次方.若行列式的各行（列）中出現有規律的元素的k次方，我們往往都會用到范德蒙行列式法.
例3 計算行列式
Dn+1= an （a-1）n （a-2）n … （a-n）nan-1 （a-1）n-1 （a-2）n-1 … （a-n）n-1 a a-1 a-2 … a-n1 1 1 … 1 .
分析 可將行列式的行依次交換成標準的范德蒙行列式，這個行交換過程共需做n+（n-1）+…+1= n（n+1） 2 次.
Dn+1=
（-1） n（n+1） 2 1 1 1 … 1a a-1 a-2 … a-na2 （a-1）2 （a-2）2 … （a-n）2 an （a-1）n （a-2）n … （a-n）n
=∏ n+1≥i，>j≥1 （i-j）.
矩陣中的很多問題可以借助行列式的計算解決，比如判定方陣的可逆性、求矩陣對應的向量組的線性相關性等，因此，行列式的計算極為重要.在計算行列式時，我們要把握行列式的特點，靈活選用適當的方法進行計算.
【參考文獻】
關鍵詞:創新意識;數學;課堂教學;滲透
隨著國家新一輪基礎教育課程改革的縱深推進，重視創新意識和實踐能力的培養已為數學教學的一個重要目的和一條基本原則，就是要培養學生“對自然界和社會中的現象具有好奇心，不斷追求新知、獨立思考，會從教學的角度發現和提出問題，并用數學方法加以探索、研究和解決?！?/p>
一、營造創新教育的環境，萌發創新意識
創新意識是一種發現問題、積極探求的心理取向，貧脊的土壤是生長不出茁壯的禾苗的。在數學教學中，要“喚醒”學生的創新意識就需要營造出自由而不散漫，寬松而不拖沓的課堂人際氛圍，建立融洽、和諧、平等、民主的師生關系，激發學生的好奇心和求知欲，培養學生學習數學的興趣，使學生從“要我學”轉變到“我要學”、“我樂學”上來。
為了營造這樣的創新環境，我們可在以下幾方面下功夫:①在導入新課上下功夫。在每堂課一開始，利用學生的好奇心理，創設奇異情境，產生懸念，把學生的學習情緒、注意力和思維活動調節到積極狀態，如故事導入、實驗導入、創設問題情景導入等等。②在追求評議藝術上下功夫。教學過程中，有時教師的一個形象的比喻，幾句幽默、風趣的語言，就會引起學生極大的求知欲和好奇心，可以促使學生的學習動機由潛伏狀態變為活躍狀態。③在教學手段上下功夫。教學過程中，恰當借助電教手段，尤其是多媒體計算機等輔助教學，能把被感知的對象直觀地呈現出來，可以通過音響、色彩、動態畫面等刺激學生的多種感官，激發學生的興趣，有利于創新意識的萌發。④在與學生的情感交流上下功夫。教師只有對每一個學生傾注滿腔的愛，加強與學生的情感交流，親近他們，愛護他們，熱情地幫助他解決學習中的問題，學生才能充滿信心，朝氣蓬勃、積極向上地學習，愉快地參加到知識形成的過程中去。
實踐證明，在這樣且只有這樣的師生共同建構的“心理動力場”內，學生才能產生強烈學習欲望，創新意識才有可能“呼之欲出”。
二、創設思維層次，培養創新思維
初中數學教學中，發展思維能力是能力培養的核心。這就要求教師在數學教學中周密設計思維層次的教學，通過對數學問題的觀察、聯想、轉化，以求異思維為側重點，以多向思維為核心，強化知識間的相互聯系與滲透，培養思維的獨創性與靈活性;通過對例題的引伸和變通，以發散思維為側重點，引導學生對問題作深入的思考、深入的研究，在探索中求新，培養思維的深刻性和廣闊性，強化創新意識的引導和創造潛能的開發。
例如求證:順次連接四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形。
教學時，可先讓學生自己畫圖，寫出已知與求證，然后引導學生分析證題思路，啟發學生畫出對角線，把四邊形問題轉化為三角形問題，最后寫出證明過程。證完之后，我們不能僅局限于結論的簡單證明，而應在此基礎上發掘問題的內涵與外延，適時地拓展學生思維的空間，可以進一步設計這樣的思維層次:
(1)若對角線互相垂直，則得出四邊形是什么圖形?
(2)若對角線長度相等，則得出的四邊形又是什么圖形?
(3)要使得出的四邊形分別是矩形、菱形、正方形，則兩條對角線必須滿足什么條件?
(4)如果原題中四邊形分別是矩形、菱形、正方形和等腰梯形，那么題中相應得出的四邊形又分別是什么圖形?
通過以上問題的分析討論，學生不僅能夠從中發現決定中點四邊形的是原四邊形兩條對角線之間的關系，而且還能有效地促進他們創新思維能力的發展。
一、合作探究式教學法的內涵
合作探究式是新課標下提出的一種新教學形式，其主張以學生為主體，在教師的指導和協助下，通過小組合作的教學方式，讓學生在教學中發現問題、分析問題及解決問題，從而培養學生的實踐能力和創造能力。對于合作探究式教學特征，（1）學生可以通過探究活動獲取知識；（2）重視知識獲得的過程，注重學生的情感體驗；（3）采用開放式的教學模式，注重學生之間的合作交流；（4）尊重學生的個體差異，使每個學生都能積極地參與到教學中，學有所得；（5）注重學生知識能力的增長，也注重學生精神生命的成長等，在數學教學中，教師應注重以學生為主體的合作探究式教學，通過設定一定的教學情境，不斷激發學生的學習興趣，充分調動學生的主動性和積極性，培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力，從而提高數學教學效果。合作探究式教學法在初中數學教學中的實施，首先，需要教師創設一定的情境，并提出問題；其次，采取自主探究和小組合作探究的形式，對數學中的疑難問題作出解答；再次，小組成員之間交流合作，互幫互助，共同進步和發展；最后，評價總結，揚長避短。合作探究教學法對提高數學教學質量具有重要作用。
二、合作探究式教學法在初中數學教學中的實踐
在合作探究式數學教學中，首先應組建小組，教師應將學生分成幾個小組，通常每個小組為4~5個人，教師應根據學生的個性特點、知識水平合理分配小組，每個小組的優等生、差等生比例相等，以保證每個小組平均水平相差不大，在分配小組過程中，也應分配小組組長和記錄員等，每個小組成員可以輪流擔任小組組長或其他職位等，從而促進學生全面發展。另外，每個小組應明確分工，共同完成教學任務，當學生對問題進行思考、討論時，教師應及時觀察每個小組的討論情況，應積極給予幫助和指導，使學生在良好的環境下成長。下面對合作探究教學法在初中數學教學中的實踐進行探討。
1.采取小組合作學習形式，加深對數學知識的理解在小組合作探究數學教學中，應根據學生的專業水平、個性特點合理分工，使每個小組成員在小組中充分發揮自己的潛力和個性，例如，教師可以設計關于計算長度的幾何題，如用一根長度為60cm的繩索圍成一個菱形，為了使菱形的一條對角線是菱形邊長的14，則這個菱形的一條對角線是多少？教師還可以提出更多的問題，如要使長為60cm的繩索圍成兩條對角線相等的菱形，并且對角線是菱形邊長的35，問菱形的面積是多少？通過創設問題情境，讓學生針對問題進行交流和討論，最終得出結果，每個小組可以安排一名發言人上臺進行小組的成果演講，并解釋得出結果的過程，其他小組進行評價并吸取經驗，從而加深對知識的理解。
2.采用一解多題的形式，注重數學知識的變形探索在數學知識探索中，首選需要弄清問題；然后根據問題擬定任務；再者，通過小組合作討論和探討，完成教學任務；最后，總結知識。在數學教學中，教師應將大量的時間留給學生，讓學生從多方面、多角度地去思考問題、發現問題、探討問題、解決問題，讓學生尋找數學知識的規律，從而加深對數學理論知識的理解。例如，如下圖所示，邊EDAC、FCBG為正方形，點C在兩個正方形的平面上，點F在DC線段上的中間點，問邊長AF、DB長度是否相等，并證明？教師還可以這樣提問，若點C位于BA線段的延長線上，問邊長AF、DB是否相等，并證明？這樣學生可以根據問題進行探究。通過問題的拓展延伸，學生互相討論和探究，并證明AF、BD長度相等的關系是否成立，由于AC等于DC，FC等于BC，根據勾股定理原理，可以知道AF與BD的長度是相等的，根據第二個問題，首先需要學生合作完成，并畫出圖形，然后根據幾何圖的變化規律，證明AF、BD的長度是相等的，采用一題多解的解題方式，不僅鍛煉了學生的合作能力和探究能力，也提高了學生的數學成績。
合作探究教學法在數學教學中具有重要意義，教師應充分利用合作探究教學法的優勢，從而提高學生的數學成績，進而提高數學教學效果。
作者：嚴偉娟 單位：江蘇省揚中市外國語中學
