時間：2023-06-21 08:55:08
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數學研究的問題，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、利用學生的探究欲望設計“問題鏈”
“問題鏈”的形式在小學數學課程的教學中能夠起到很好的輔助作用。首先，“問題鏈”能夠很好地引發學生的探究，深化學生們對知識的掌握程度。相同的題設條件，同一個問題，卻可以從很多不同方面展開對于問題的探討。這個過程不僅能夠充分活躍學生的思維，引發學生的探究欲望，也是鍛煉學生的綜合數學能力的一種有效方式。在設計“問題鏈”時，教師應當盡量讓問題易于被學生們理解，且不同的問題應當從不同的角度展開對于題設的挖掘，這樣的問題往往更有價值，這樣的“問題鏈”也能夠更好地輔助小學數學課程的教學。
很多開放性問題中往往能夠包含許多值得探究的問題，這種問題也是含金量較大的。這類問題非常適合以“問題鏈”的形式展開對學生的考察，通過條件的變換將問題隨之轉化，進而得到一條相關但是卻不相同的問題鏈。這樣的題目能夠讓學生們的思維得到充分鍛煉，是深化他們知識掌握的一種訓練方式。例如：條件開放如“在一條筆直的公路上，小明和小剛騎車同時從相距500米的甲乙兩地出發，小明每分鐘行200米，小剛每分鐘行300米，多少時間后，兩人相距5000米”。這里去掉了兩人的運動方向，導致出現相向、背向、同向（小明在前或小剛在前）等多種情況。每一種情況都是一個獨立的問題，以這種形式展開的問題鏈往往能夠很好地引發學生的思考與探究，讓學生展開對知識的全方位應用。值得注意的是，教師在講解這個問題時應當有針對性，可以通過對比的形式讓學生們看到每個問題間的聯系，并且讓解題方式更靈活。這樣的教學模式更易于讓學生們領會到這些問題間的相互聯系，也能夠讓學生們在解題技巧的應用上更為嫻熟。
二、利用新舊知識的聯系設計“問題鏈”
利用新舊知識的聯系設計“問題鏈”是“問題鏈”設計研究的另一個重要途徑。隨著學生們學到的內容逐漸增多，新舊知識間存在的聯系也會越來越豐富，許多知識點都會發生交叉與聯系。這時，可以充分利用“問題鏈”的形式將這些新舊知識進行串聯。這不僅能夠借助學生們已有的知識體系深化他們對新的教學要點的認知，也能夠很好地復習與鞏固學過的內容，是夯實學生數學基礎，發展學生數學能力很有效的教學途徑?！半u兔同籠”的問題非常經典，這個趣味化的題設下讓學生們認識到了一種全新的解題思路，同時，對于這一類問題如何用方程求解，“雞兔同籠”問題很好地給學生們做出了示范。以“雞兔同籠”問題為原型，我們設計了一組相似的情境性問題鏈：
1.裝9輛三輪車和自行車，共用了22個車輪。三輪車和自行車各裝了幾輛？
2.18個同學同時在6張乒乓球桌上進行單打、雙打比賽。有幾個同學在單打？
通過對這組“問題鏈”的探究，使學生透過不同的問題情境看到相同的數學實質，如果列成方程，這些方程具有相同的結構形式：1）設三輪車裝了x輛，依題意，得方程3x+2（9-x）=22；2）設有x張球桌在單打，依題意，得方程2x+4（6-x）=18。這兩個問題的解答都很好地用到了“雞兔同籠”問題中的解題思路，是解題方式的一種遷移。同時，這個過程也很好地復習與鞏固了學生們列方程解答問題的能力，過程中也促進了學生對新知識點的理解與吸收。
三、利用題目變式設計“問題鏈”
利用題目變式進行“問題鏈”的設計是一種非常好的教學方式，這也是“問題鏈”展開應用的一種很有效的模式。透過題目變式能夠很靈活地展開問題的變換，對于同一個問題能夠從不同方面進行挖掘。這樣的“問題鏈”適合設置到較為復雜與較為開放性的問題中，只有這樣的問題才可以展開多角度與多層面的挖掘，同時也能夠借助“問題鏈”讓學生們對這個知識點有更為全面而透徹的掌握。
以梯形面積公式的推導為例，在此之前學生已經掌握了長方形（包括正方形）、平行四邊形、三角形面積的計算公式，對圖形的轉換以及對轉換思路“將面積計算公式未知的圖形轉換成面積計算公式已知的圖形”也有了一定的認識。這些都是探究梯形面積公式時可利用的基礎。教學時可以和學生一起先復習長方形、平行四邊形、三角形的面積計算公式，并讓學生敘述平行四邊形，三角形的面積計算公式的推導過程。
接著提出探究目標：找出梯形的面積計算公式。
啟發學生思考：
1.打算把梯形轉化為什么面積公式已知的圖形？
2.怎么轉化，是拼，還是割補，還是劃分？
3.你會計算轉化后圖形的面積嗎？
4.試一試，總結梯形面積計算公式。
這一組問題鏈的設置不僅十分富有針對性，同時，四個問題逐層深入，展開了對梯形面積推導公式的探究，是很有代表性的一組“問題鏈”。這樣的“問題鏈”往往能夠很好地梳理學生的思路，讓學生的思考過程更有序。這樣的“問題鏈”才是小學數學課堂上真正需要的，才能夠更好地推進課堂教學效率的提升。
長期以來，小學數學教師對數學教學問題的設計缺乏應有的重視，這對小學數學教學的實施是非常不利的，相關問題的研究還有許多急需解決之處，因此，本文以小學數學教學的問題設計作為重點的研究內容。
一、問題的設計要力求多元性
在傳統小學數學教學中，教師在開展問題設計時，總是習慣于以單向的問題設計思維引領小學數學的問題設計，這樣的問題設計思維對問題設計的實效性發揮是非常不利的。而多元化的小學數學問題設計，可以從不同的角度來提出問題，這樣的問題設計對激發學生的創造性思維是非常有利的。多元化的問題可以有效促進學生從多個層面思考問題，這樣的設計可以更好地激發學生的數學思維潛能，促進小學數學教學效率的有效提升。傳統的小學數學教學中，對于開展多元化的數學問題設計缺乏應有的重視，單一方向的問題設計難以滿足小學數學教學的需要，這樣的問題設計對小學生是缺乏吸引力的，小學生面對這樣的問題難以調動起研究問題的積極性與主動性，參與解決問題的熱情不高，數學問題設計的實效性不強，不利于學生數學創新思維能力的發展。面對這種情況，教師在小學數學教學中開展數學問題設計時，要力求從多元的角度開展問題設計活動。多元性的問題設計主要體現在數學問題的解決方法要盡可能多元化，數學問題設計也要盡可能地運用多種數學思想，數學問題的條件與結論也要盡可能做到多元化的組合，要用多元開放的數學問題設計培養學生的數學素養，促進學生數學能力的全面發展。例如：商店中賣的筆記本有三種，這三種筆記本的價錢分別是1元的筆記本、6元的筆記本、3元的筆記本，如果媽媽讓你用12元錢去買筆記本的話你想怎么買？面對這樣的問題教師可以啟發學生，如果只是買這些筆記本中的其中一種筆記本你怎么買？這樣的問題一經提出學生馬上就能夠給出答案：可以買1元的12本，3元的4本，6元的2本。這時教師根據學生對問題的理解情況抓住時機提出多元性的問題，教師可以這樣提問：如果買不同種類的筆記本，那么我們該怎樣買呢？這樣的問題一提出，一石激起千層浪，學生的創造性思維被瞬間激活，各種層出不窮的問題解決方案不斷地提出來，在多元的問題探討中，學生集思廣益，每個人都有自己的購買方法，學生在問題的解決中學會運用發散性的思維，逐步形成多元化的數學問題解決習慣，這樣的問題設計讓學生的數學思維能力得到了很好的培養，收到了非常好的教學效果。
二、問題的設計要符合學生的需要
在以往的小學數學教學中，教師的問題設計往往忽略了學生的實際學習需要，一些問題的設計，對于學生來說沒有什么值得探究的內容，還有的問題學生早已經掌握，在問題設計中已經沒有太大的設計必要了，或者一些問題的提出讓學生不知道從何入手，這樣的問題設計難以達到預期的設計目的，不利于教學活動的高效開展。因此，在小學數學教學的實施中，教師開展問題設計時，要盡可能地根據教學的內容、學生的學習實際，以及教學需要完成的教學目標，設計一些符合學生需要的問題，通過具有運用價值的問題設計可以很好地激發學生探究數學問題的欲望，幫助學生深入理解數學問題，發現更多有價值的數學問題，這對學生數學能力的提升是非常有益的。例如：在講“年、月、日”這部分知識時，教師就要充分考慮到學生在生活中運用這部分知識的實際需要來設計問題。教師可以根據學生的已有經驗設計這樣的教學情境：同學們誰能根據你的生活經驗說一說一年中有多少個月？每個月一般有多少天？一整年大概有多少天？這樣的問題設計與學生的生活實踐緊密地聯系起來，可以極大地激發學生探究數學問題的熱情，激發學生強烈的探究動力，讓數學知識與學生的現實生活緊密地聯系起來，對促進學生數學能力的可持續發展非常必要，有利于讓學生學以致用，對學生解決生活中實際的數學問題大有幫助，同時也可以有效地提升數學課堂教學效率。
三、數學問題的設計要力求具有趣味性
小學生的年齡比較小，小學生的心理特點有其自身的特殊性，一般來說小學生都是好奇心比較強的，對于新奇的事物會非常喜歡去探究，相反，對于枯燥乏味的事物則缺乏探究的欲望。因此，教師在設計數學問題時，要盡可能地考慮小學生的心理特點和年齡特點，問題的設計要具有趣味性，要以趣味性問題的設計促進小學數學教學的實效性發揮。例如：教師在講商不變這部分知識時，可以設計一個有趣的故事問題：猴子媽媽給小猴子分香蕉，對分香蕉的小猴子說：“給你10個香蕉，分給5個猴子?！毙『镒訉飲寢屨f：“香蕉太少不夠吃?！焙飲寢尳又f：“那就給你100個香蕉，你用這些香蕉分給50個猴子怎么樣？”小猴子說：“能再給些嗎？”這時猴子媽媽笑著說：“那就給你500個香蕉分給250個猴子?！毙『镒优呐哪X袋恍然大悟地對媽媽說：“我才看明白其實您給我們分的是一樣多的?！边@樣的問題設計生動、有趣，符合學生的心理和年齡特點，使原本枯燥的問題變得充滿吸引力，這對小學數學教學效率的提升大有幫助。
開展小學數學教學的問題設計研究對促進小學生數學思維能力的發展具有重要的作用，目前針對相關方面的研究還有許多不盡如人意之處，因此，本文以此為視角對相關問題展開了嘗試性的研究。
【關鍵詞】中學生；發現數學問題的能力；培養方法
在中學數學的知識結構中，各個知識點之間有著緊密的聯系，且作為基礎知識，與物理、化學等其他學科也有著密切的關系，在現實生活中的應用也非常廣泛.然而在當前的一些數學教學過程中，存在只注重解題和應付考試能力培養的現象，造成學生對數學知識點之間、數學與其他學科之間以及數學與現實生活之間存在的聯系思考很少，導致發現和提出問題的能力不足.本文結合多年的教學實踐，研究了如何在教學中培養中學生發現數學問題的能力.
1.發現數學問題能力的概念與意義
所謂發現數學問題的能力是指：學生在學習和生活中，能夠根據自身已有數學知識，通過主動思考，去發現、體會數學知識的能力.比如：學生學習過一次函數后，能夠將一次函數的知識與之前學習過的一元一次方程聯系起來，從函數的角度去看待方程；又如，在逛公園時看到草坪中踩出的“小路”，能夠聯想到原因可能是兩點之間直線最短，大家在找捷徑才踩出來的路.
在學習數學的過程中，發現問題的能力對數學成績的提高、數學能力的培養以及創新精神的培養都非常重要，著名數學家丁石孫說過：“沒有問題的學生不是好學生，保護學生發現問題和提出問題的積極性就像保護學生的好奇心一樣重要”.2011年版的《義務教育數學課程標準》中新增“發現問題的能力”，并指出發現和提出問題是創新的基礎.所以，在教學過程中老師應該積極培養學生發現數學問題的能力.
2.中學數學教學中存在的問題
（1）對發現數學問題能力的重視不夠
盡管新課標中明確提出培養學生發現和提出問題的能力，但是這項指標很難量化考核，短期內對數學考試成績的影響也沒那么明顯，導致一部分老師在教學中對學生發現數學問題的能力重視不夠.另外，受到教學時間的限制，老師在短短的40分鐘課堂時間，既要講授知識點，又要放手讓學生發現問題，似乎很難實現.
（2）教學方式單一，對學生的啟發不夠
對于初中數學知識，抽象程度不高，基本都可以在生活中找到相似的問題[2].但是在現實的課堂中，老師則更注重知識點的講解，對學生發現數學問題方法的指導有限，對“歸納”、“類比”等一些重要的數學思維培養不夠，教學中的情境多數也是教材上的一兩幅畫面，情境過于單調，不足以引發學生的聯想；當學生提出問題時，老師更愿意解答那些符合自己預期的問題，對于學生發散思維想到的個性化問題，往往不予重視.
（3）對學生鼓勵不夠，造成其提問時自信心不強
中學生的年齡還小，在課堂上自己提出問題還有些害羞或者膽怯，對于同學中提出的問題，若其認為比較“簡單”或“幼稚” 則會嘲笑，如果老師不及時制止嘲笑的同學和肯定提問的同學，則會給提問的學生留下不愉快的記憶，導致其提問積極性不高；此外，一些同學提出的個性化或偏僻些的問題，未得到老師積極的回應，也會造成其以后再提問時自信心不強.
3.培養中學生發現數學問題能力的方法
（1）更新教學理念，重視發現數學問題的能力
老師首先要從思想上重視學生發現數學問題的能力培養，數學課堂上，把“問題”當做教學的出發點和中心，在講解新的知識點前，要結合學生已有的知識或生活經驗，讓學生能夠主動提出問題，而后再根據學生們提出的問題進行展開，引入新的知識點，學生再利用新知識去解決問題.每個情境都精心設計，對學生提出的問題有一定的預期，對預期之外的問題也要積極鼓勵，從而循序漸進的引導學生去主動發現和思考數學問題.
（2）改進教學方法，倡導啟發式教學
《論語》中“不憤不啟，不徘不發”揭示了教育規律，在數學教學中也是同樣的道理，老師不要急于向學生灌輸知識，而是要積極引導學生獨立思考.王梓坤院士曾指出：“數學教師的職責之一就在于培養學生對數學的興趣”，在教學時，對待學生提出的問題，老師不要完全包辦，要多留些學生思考的空間，不管學生發現和思考的問題對或者錯、重要或者次要，都積極引導其主動思考，讓數學學習從被灌輸狀態轉變到在老師的啟發下主動思考的狀態.
（3）培養學生提出問題的自信心
現代中學生是個性突出、思維活躍的主體，他們有自己的知識背景、生活經歷、興趣愛好和思維方式，在教學中往往會提出一些老師始料未及的問題，使課堂變得多樣化和隨機化，此時老師不能全盤否定，而是要思考學生提出問題的合理性，對其合理的一面要積極肯定，對于不合理的一面要積極引導，從而使學生樹立好發現數學問題的自信心.
4.結束語
發現數學問題的能力對培養學生的學習興趣、數學思維、創新能力以及數學成績都有著重要作用.老師在講課過程中，要重視發現問題能力的培養，改進教學方式，積極地將數學知識與生活情境結合起來，讓數學學習變成能夠感觸得到的生活片段，鼓勵學生積極發現數學知識點間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，切實提高其數學素養，從而實現真正的素質教育.
【參考文獻】
[1]何世峰，黃靜濤，賀加來.我國數學教育中培養學生提出問題能力研究：現狀與前瞻[J].安慶師范學院學報（自然科學版），2012，18（2）：119-121.
關鍵詞：數學教育；情境教學；動態生成
中圖分類號：G62 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2016）19-0039-02
DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2016.19.024
問題情境下的動態數學課堂可以充分培養小學生的學習興趣，激發出數學學習的積極性與主動性，將學生的學習與生活經驗共同融入到課堂學習情境中，寓教于樂，樂中學、學中樂，學生在師生互動、生生互動的動態課堂中快樂學習，對所學的數學知識更容易認識與理解。數學問題的創設應圍繞教學目標、從學生實際學情出發、高趣味性、操作性強、富于生活化、動態生成的。這需要教師具備豐富的知識基礎與教學機智來完成的。
一、創設充滿趣味性的動態數學教學情境
將問題融于生動有趣的教學情境中，使數學學習變得充滿了趣味性，是學生易于接受的一種教學方法。趣味性的問題引發學生高度的關注，可以集中注意力、調動學生的認知因素與情感因素共同解決數學問題。小學生的興趣往往需要具備有趣、好玩、新鮮等特點，因此，充滿趣味性的問題可以從多種多樣的游戲活動、情節生動的童話故事、日常生活中的有趣事件中，引發學生對問題進行積極分析共同解決。例如，“乘法的初步認識”一課中，數學教師可以從趣味問題開始：“我們經?？吹诫娨暪澞恐心g師在魔術表演中可以變換出很多東西，真是太神奇了，今天老師也給你們帶來了一位魔術師，看看他為你們變出了什么？請觀看大屏幕?？赐旯澞磕銜岢鍪裁磫栴}呢？”有的學生問：“一共變出了多少朵花？”教師說：“同學們觀察得真仔細，我們來看一共變出了多少朵花？”有的學生說可以一個一個地數出來；有的學生說可以一次數2朵花；還有的學生說魔術師每次變出2朵花，一共變了3次，就可以把2加3次，2+2+2=6?！巴瑢W們真聰明，想出來了這么多的辦法，那么2+2+2=6是幾個2相加呢？”由此讓學生初步認識了乘法。通過看魔術，引入求幾個相同加數和的計算，從而激發出學生進一步學習的求知欲，可以有效地培養學生主動學習的意識、全方位思考、解決問題的能力。趣味性的教學情境可以促使學生主動提出問題，引發思考，尋求解決問題的方法。本課圍繞著重點認識“幾個幾”，引導學生初步認識了乘法，在認識與理解的過程中，體驗到了解決問題的多樣性，學生的思維得到了發展，解決問題的能力得到提高。
二、創設操作性較強的動態數學教學情境
創設操作性較強的數學問題教學情境，目的是讓學生在動手操作的過程中，產生疑問，思源于疑起于問，問題引發思考，激發探究，直至解決問題。我國大教育家孔子說：“疑是思之始學之端”，問題激發求知欲，數學知識在求知欲的推動下可以迎刃而解。在數學教學課堂中，組織學生人人動手參與到數學操作中，可以使學生的手腦并用，學生的思維空間會更加開闊，充分發揮自身的個性。例如，“方向與位置”的教學中，可以如下導入：“同學們，你們喜歡拍照片嗎？我們看看這幾張照片是拍照的什么地方？”接著打開大屏幕依次播放分別從不同角度拍攝的教室圖片。原來是我們的教室，可是為什么同一間教室拍出來的圖片卻不一樣呢？引導四名學生分別站在教室的四個方向，根據不同的角度進行觀察所看到的景象有什么不同，經過學生的回答描述出來的所見景象，使學生明白了不同位置看到的視覺現象是不一樣的，并且學會了從圖片分辨觀察者的方向與位置。這樣通過學生的親身體驗，從觀察中比較，從想象中分辨，使學生很快認識并理解到了方向與位置的知識。
三、創設“數學在身邊”的問題教學情境
數學課程標準中指出：“數學教學中要體現數學源于生活又應用于生活的特點，使學生感受數學與現實生活的聯系，感受數學的趣味和作用，增強對數學的理解，增強學習和應用數學的信心。”生活中的數學到處可見，生活就是隨身的數學，數學就在身邊。數學教師要根據學生的生活經驗，從生活中汲取新鮮、生動、有趣的數學問題，置于數學教學情境中，鼓勵學生認真觀察、勤于思考，探索數學的奧秘。例如，“角的初步認識”一課的學習中，教師可以播放一個小白兔的家，幫小白兔找一找它的家是由哪些圖形組成的？學生一下子就覺得感興趣，仔細觀察，回答，學生的注意力一下就吸引過來，學習情緒被調動起來。小白兔的家原來是由這么多的角組成的??！“我們的身邊有多少的角呢？你可以說出多少？”接著數學教師可以出示含有角的各種教具：五角星、三角板等等，引導學生先親自觸摸一下角的形狀與特點：都是由直邊組成的，都是標準意義上的角。通過學生的觸摸感受到了角的形狀都是兩邊直直的、尖尖的，而這個兩邊直直的相交的點就是角的頂點，兩邊直直的線叫做邊。因此，通過學生觸摸身邊的數學，認識到了什么是角？角的形狀與結構是怎么樣的？角是由什么組成的？結合身邊的各種角的實例，使學生不但學到了新知識，而且對數學的學習產生了濃厚的探索興趣。
學生在問題情境中產生好奇、渴求、探究、協作、交流等學習欲望，因此，數學問題情境能喚起學生的問題意識、參與意識和合作意識，促使數學課堂成為動態生成的教學活動。只有不斷地提出問題、探索分析和解決問題，才能使學生在快樂學習中獲得對數學知識的真正理解。數學教師在數學教學中創設的問題情境應是可以有效地啟發學生的思維、發展學生的認知策略和水平、促進學習目標完成的學習環境。
參考文獻：
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【關鍵詞】 數學；概率問題；求解；方法
概率問題與現實生活之間關系密切，隨著社會經濟不斷向前發展，使得其在不同行業與領域之中被廣泛應用.概率論已經發展成為數學科學理論中的重要分支.其內容十分豐富，且具有較強的趣味性，具有更加鮮明的自身特點.但是，概率學習具有一定的難度，因此，學生具體學習中可能會遇到不同類型的問題.為了能夠有效提升對概率的學習效率，本研究從幾個方面進行探究，希望能夠對促進學生概率知識的掌握提供幫助.
一、數學概率問題學習現狀
現代化信息社會中，數學知識被廣泛應用于各行業領域及科學研究中，并在各領域中起到至關重要的作用.數學概率及統計課程教學基本上是所有高校理工科與經管專業課程學習的必修數學課程，數學概率問題與現實生活之間存在著緊密的聯系，并廣泛應用于日常生活中，所以準確地了解數學概率問題至關重要.數學概率問題是概率統計課程中的關鍵課程內容，也是學習過程中的難點問題，要花費較多時間與精力才能有效保障學習效果.
從表面來看高校理工科與經管專業概率課程應用的數學工具是大學階段相對簡單的學習內容，與學生高中階段所學數學知識較為接近，因此，初期學習概率問題并不陌生.但在深入學習概率理論及相關知識的過程中，更專業的概念與理論則有一定難度，例如，概率空間概念等.概率是隨機現象領域內的一門學科，從這個角度來看，隨機現象背后包含著概率空間，即有可能發生的結果、相關事件及概率.同時，還包括集合和數字對應問題，通常情況下數學課程教學中都會涉及數字與數字關系問題，如高等數學中的函數，即實數與實數之間的映射.也正因如此，學生對數學概率問題相關理念較為陌生.
基于以上關于數學概率問題的基本現狀的分析，學生對理解數學概率相關概念，如概率空間等存在一定障礙.若對數學概率問題理解不到位，就無法深入認識到隨機變量等更具有難度的概率概念，直接影響到課程學習的效果.
二、數學概率問題及方法分析
在數學概率問題學習中要明確其核心問題，即等可能事件與互斥獨立事件.
（一）數學概率問題中的核心問題
1.等可能事件.等可能事件可以通過一個簡單的例子進行說明：拋起兩枚硬幣，其事件結果主要包括三種情況，以正面為準，即一個朝上，一個朝下；兩個都朝上；兩個都朝下.通過簡單、直接的方法可以快速得出兩個都朝上的概率為 1 3 ，但實際情況并不是這樣的.三個基本事件屬于非等可能事件，即三種事件出現的概率不同，其實際情況為：（正，正），（反，反），（正，反），（反，正），因此，其概率結果為 1 4 .這種概率問題就要求學生對等可能事件概念準確把握.
2.互斥c獨立事件.通過對事件準確分析確定其基本特征，是對互斥事件與獨立事件正確判斷的核心.上述分析中的等可能事件所關注的為一個事件，互斥與獨立事件所關注的是兩個事件.互斥事件基本特征是兩個事件之間存在一定關聯性，進行試驗時，結果不會同時出現兩個事件，這就代表這兩個事件為互斥事件.互斥事件表明在同一試驗條件下不會同一時間出現兩個事件.獨立事件的基本特征是對兩個事件關系分析中，其中一個事件的出現與變化對另一個事件不造成任何影響，這就代表兩個事件為獨立的.獨立事件表明在同一試驗條件下兩個事件不會同時發生，但必須會發生一個事件.
（二）方法分析
基于上述對數學概率問題的分析，有效對概率問題進行求解要進行前后聯系，處理個中關系后利用排列組合解決問題.在數學概率問題解答過程中能夠充分利用排列組合的方式對問題進行分析，是一種準確有效的數學方法.例如，X、Y學生同時參與數學競賽，一共包括10道題，這10道題包括4道判斷題、6道選擇題.X、Y學生依次對題目進行抽取解答，請問：X學生抽到選擇題，Y學生抽到判斷題的概率為多少？
針對這種概率問題學生應重視并處理好排列組合關系，通過分析和思考有效解決概率問題.其解法為：X學生抽到選擇題同時Y學生抽到判斷題的可能的結果一共有C16C14個，X、Y學生依次對題目進行抽取，其存在的可能結果是C110C19.在此分析基礎上進行問題求解，即X學生抽到選擇題，Y學生抽到判斷題概率為 C16C14 C110C19 ，即概率為 4 15 .
除了上述分析方法外，還包括概率概型識別與有效應用.主要有古典概型、條件概型、幾何概型以及超幾何概型.以古典概型為例，其特征是試驗過程中出現的試驗結果是有限的，并且不同結果所出現的可能性是相同的. 例如， 將同一試驗條件下將會出現的所有可能性的數量總數設為n，其中事件A包含結果數量設為m，那么A事件發生的概率可通過公式計算得出，即P（A）= m n .在古典概型的實際應用中側重對結果有限性及事件發生等可能性的分析.再例如，在生產的10個產品中，7個為合格產品，3個為不合格產品，從這10個產品中隨機抽取，抽到3個不合格產品的可能性相同，要求對抽到1個不合格產品的概率進行求解.利用古典模型進行計算，計算可得其概率為P（A）= C13C23 C310 .
利用古典概型進行數學概率問題的求解和分析，能夠提出對應問題以充分激發學生自主分析問題意識，培養學生發現問題并解決問題的能力，在溝通和探討過程中對概率概型特征進一步了解，熟練把握概率計算公式，提高對概率問題的解題效率.除了古典概型外，還可以應用幾何模型等，對古典概型進行補充，繼而應用直接計算法實現有效求解.
（三）數學概率問題方法分析思考
數學概率問題是一項需要長期學習并且具有系統性的問題，與實踐生活有著十分緊密的聯系，準確把握科學的概率解題方法能夠有效提高學生對概率問題的分析效率，并更好地指導數學學習.針對數學概率問題的解答，學生要學會充分應用數學思想進行分析，例如，集合思想、等價轉換思想等等.有效地利用數學思想對數學概率問題求解也是一種十分有效的途徑，因此，在今后數學概率問題解答過程中學生要善于調動思維，合理運用數學思想.
除此之外，學生應加強對概念的區別，杜絕出現張冠李戴現象，以提升解題準確性.數學概率問題的有效解決以及解決方法的應用，是有效指導實際生產生活的重要學習內容，在教學過程中教師也應從自身角度出發，優化自身教學，切實引領學生進行數學概率問題的學習與探討.在教師教學與學生學習的過程中要避免出現浮躁與走捷徑的想法，應從問題本質出發，重視對基礎概念的分析與理解，在打好基礎的前提下更好開展有效教學，最終達到概率問題教學的目的.
三、結束語
綜上所述，數學概率的發展需要結合現實生活特點，并將兩者之間進行融合，只有這樣才能夠促使數學概率的求解.一方面，可以有效改善學生綜合運用知識的能力，另一方面，也能夠提高學生學習興趣，提升學生的分析能力.
【參考文獻】
[1]傅志強.我看《概率》的內容變化――人教A版高中數學必修三第三章《概率》教學體會[J].新課程研究（基礎教育），2010（02）：31-32.
一、基于“導學模式”的問題設計原則
1.問題要具有啟發性。數學是一門邏輯性較強的學科，問題的設計要和學生的思維同步，遵循學生思維的規律，因勢利導，從而讓學生借助問題找到突破口。高中數學推理性較強，設計問題時要考慮課堂教學時間，要讓學生的思維受到啟發。思考的時間非常重要，如果問題難度大，而思考的時間又倉促，容易讓學生產生退縮的情緒，所以說要使問題有啟發性就要設計精而準的問題，如果在課堂上出現太寬泛且簡單的問題，學生的思維就會停留在機械的回答上，這樣違背了高中數學的教學規律。
2.問題要具有層次性。構建高中數學的“問題導學”模式，教師不能只關注結論，還要關注問題在結論推導過程中的動態變化的因素，立足學生的數學認知基礎和綜合能力水平，設置有層次性的問題，引導學生結合已有知識去推導、驗證。有層次性的問題能讓學生感受探索過程的樂趣，獲得學習上的自信與動力。
二、基于“導學模式”的問題導入策略
1.在思維啟發處導入問題，激發探究欲望
教師在設計問題情境時要考慮高中生的生活閱歷和數學認知特點，挖掘教材中蘊含的思維性較強的問題因素，讓學生的思維被情境中的問題所吸引，使學生在情境中主動發現問題，提出問題，進而解決問題。
例如，在學習人教版高中數學必修一“函數的奇偶性”時，如何讓學生快速切入新課探究，理解函數的奇偶性及其幾何意義呢？在課堂教學時，我讓學生拿出一張紙，先在紙上畫出平面直角坐標系，然后在第一象限任畫一可作為函數圖像的圖形，當學生完成這個步驟后，出示兩個操作情境及其問題：1.以y軸為折痕，將紙進行對折，然后在紙的背面（即第二象限）畫出第一象限內圖形的痕跡，再將紙展開，觀察坐標系中的圖形。問題：將第一象限和第二象限的圖形看成一個整體，則這個圖形可否作為某個函數y=f（x）的圖像？若能，請說出該圖像具有什么特殊的性質，函數圖像上相應的點的坐標有什么特殊的關系。2.以y軸為折痕，將紙進行對折，然后以x軸為折痕將紙對折，在紙的背面（即第三象限）畫出第一象限內圖形的痕跡，然后將紙展開，觀察坐標系中的圖形。問題：將第一象限和第三象限的圖形看成一個整體，則這個圖形可否作為某個函數y=f（x）的圖像？若能，請說出該圖像具有什么特殊的性質，函數圖像上相應的點的坐標有什么特殊的關系。在教學過程中，教師緊扣本課教學內容，以動手操作入手，借助問題啟發學生的思維，讓學生從直觀的操作逐步過渡到抽象的函數學習。
2.在思維關鍵處導入問題，突破教學難點
課堂教學是一個動態變化的過程，“問題導學”要緊扣教材和學生的思維。如果學生在學習過程中出現思維“盲區”時，教師巧妙地導入問題，能點撥學生的思維，從而化解教學難點，使學生在攻破問題的同時也獲得能力的提升。
【關鍵詞】數學;教學;情景
【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】B 【文章編號】1009-5071(2012)04-0191-01
解決問題從廣義理解是指綜合地、創造性運用各種數學知識去解決各種問題，包括實際問題和源于數學內部的問題。從狹義理解是指綜合地、創造性運用各種數學知識去解決聯系實際的問題。它最顯著的特點是工具性和應用性。解決問題的教學能夠培養學生解決問題的意識和能力，培養學生的創新精神，鞏固學生數學知識技能，并掌握解決問題的思想和方法。
解決問題教學內容的編排采用分散式。內容豐富，信息量大，問題多樣，答案不唯一。要求學生具有獨立見解和創造性，以便學生發展數學思維能力，學習數學思想和方法。解決問題具有開放性。主要有純圖片、半文字半圖片、純文字的。信息內容以關注日常生活的方方面面，更貼近學生的現實，信息趨于多樣化和開放性。讓學生主動通過探索和實踐來解決問題，這樣可以更好的激起學生興趣和探索熱情。
解決問題教學沒有現成的類型和解法套用，需要學生通過個人或小組的形式探索和實踐來解決，具有新穎性和挑戰性。解決問題教學有利于培養學生的創新精神、實踐能力和合作精神。
真正意義上的“解決問題”是讓學生解決日常生活場景中的實際問題，而在現實生活中考慮解決某一生活中的實際問題時需要的數據、事項、關系等，在問題情境中解決問題才是學習數學的價值所在。隨著社會的信息化發展，數學的應用也在不斷地深化和擴展。我們就要更加注重在真實的情景中研究數學和解決問題。在教學中我的具體做法如下：
1 創設情景，收集信息
教師開始上課時，可以借助主題圖或教學課件來創設生動有趣的教學情境，把抽象的數學知識與生活實際聯系起來。主題圖或教學課件上的信息在一定意義上是為學生思維提供線索的。當學生匯報后，教師引導學生將收集的信息進行整理，找出要解決的問題。通過觀察匯報也能為解決問題提供認知的基礎，激發了學生的求知欲望，煥發學生的主體意識，為學生自主探索、解決問題營造氛圍。具體如下：
①教師先讓學生觀察主題圖。
師問：“圖上畫得是什么，寫得是什么，你發現了什么？”
②讓學生認真獨立地觀看，分組討論和交流，并匯報和交流獲取的信息。例如：二年級下冊第4頁“解決問題”。可將課本上的主題圖利用多媒體課件以動態的形式展示給學生，讓學生仔細觀察，說說發現了什么。學生有了前面解決一步計算問題的經驗，已經具備了一定的搜集信息能力，他們分小組討論和交流，很快會說出自己發現的信息：原來有22人在看戲，走了6人，又來了13人。學生在看圖時，教師要注意培養學生有序的觀察，這樣有利于理清思路，并為將來找中間問題打下基礎。
2 小組協作，探究問題
當學生明確要解決的問題后，給學生留出充足的空間和時間，讓每個學生運用已有的知識和經驗，自主尋找解決問題的途徑、方法和策略，還可以通過小組內的共同探究和交流，并形成初步的方案。在這個過程中，教師要參與到小組中去及時獲取信息，適當加以引導和調控。
3 交流評價，解決問題
交流評價是教師主導與學生主體有機結合的關鍵環節，教師的主要責任在于組織學生進行有成效的數學交流，激活學生思維，拓寬學生思路。理清思路后，讓學生獨立選擇算法。當學生有了自己的想法后，再讓學生通過小組交流進一步歸納整理算法。最后通過集體交流，明確算法。具體如下：
①小組派代表向全班匯報研究成果。
②各組成員認真傾聽相互評價，開展有競爭的合作。
③組織引導各小組提出不同的想法，發現新的思路、方法及時擴散，并給予及時評價和指導。例如：二年級下冊第8頁“解決問題”。主題圖上是小朋友在蹺蹺板樂園游玩，學生通過觀察知道要解決的問題是“蹺蹺板樂園一共有多少人？”。教師讓學生分小組進行討論“可以怎樣算”。當小組發表自己的解題方法時，就會出現幾種不同的解法，有的先用乘法算出坐蹺蹺板的人數，再加上沒有坐蹺蹺板的人數、有先用加法算出坐蹺蹺板的人數，再加上沒有坐蹺蹺板的人數、有的先直接數出坐蹺蹺板的人數，再加上沒有坐蹺蹺板的人數。讓學生通過互相評價和交流，尋找最快捷的方法。教師要合理地指導學生選擇快捷、有效的解題方法。
4 鞏固方法，拓展思維
學生掌握了方法，還要不斷練習應用中深化理解。在這個環節中安排一些基本題，讓學生用已掌握的知識進行解答，以達到鞏同應用的目的。也安排一些發展性習題，讓學生從不同角度靈活運用已有的知識解決問題，以拓展學生的思維，以培養學生的應用意識。具體如下：
①教師根據教學目標、重難點設計好練習。結合學生知識，能力的差異，組織學生分層練習。
[關鍵詞]問題導向 數學問題 自能學習
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）29-048
自能學習立足于“自”、著眼于“能”、內化于“行”，是在自主學習基礎上的有步驟、有系統、有目的地學習，是學生的學習態度、學習能力和學習策略等多種因素綜合而成的一種自覺、能動、獨立的學習方式。其核心是葉圣陶先生提出的“教是為了達到不需要教”的教育思想、元認知和班杜拉的自我效能感的衍生。因此，自能學習既是一種學習方式，更是一種教學思想。
義務教育數學課程標準的總目標分為知識技能、數學思考、問題解決、情感態度四個方面，并對問題解決目標具體界定為：“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！痹凇读x務教育數學課程標準（2011版）》別強調：“義務教育階段數學課程的設計，應使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程?！币虼?，基于問題導向的小學數學自能學習具有重要的現實意義。一是課程改革的需要：新課程要求學生的學習是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，這就需要建立與之相適應的、個性化的多元學習方式；二是學生發展的需要：問題導向的小學數學自能學習有利于學習能力的提升、有利于學習習慣的養成、有利于學習態度的積淀、有利于意志品質的培養；三是提高教學效率的需要：問題導向的小學數學自能學習具有科學性、能動性、前瞻性，能提高學生的學習效率?；趩栴}導向的小學數學自能學習的關鍵就是學生質疑問難的進程，學生在數學學習中通過質疑、解疑、思疑培養自身縝密的邏輯思維能力和解決問題的能力等，進而提高自能學習能力。
一、前置作業――學生課堂問題之質疑
前置作業，就是基于所學的內容，教師給學生提供相關的學習資源和提示具體的學習要求，讓學生自己提前自學完成的一種作業類型。學生先學并不是教師撒手不管，放任自流，讓學生隨意去學，它是在傳統預習基礎上的有目的、有計劃的、更有效的自我建構過程，對此教師必須引導學生把學習例題的心得體會和方法、自學時遇到的問題，特別是在自學過程中遇到的各種困難及時地記錄下來，比如：對知識點的不理解，不能運用知識解決的問題等，從而使學生找到自己在學習中需要解決的問題。
1.讀出問題。學生獨立自主閱讀教材，讀教材的主題圖，說說從圖中發現的數學信息以及提出的數學問題；讀例題，說說從例題中知道了什么，解決了什么樣的問題；讀“小精靈”的話，說說自己的想法，在讀中提出不同的數學問題。
2.劃出問題。在閱讀教材后，把重要的知識點劃下來，尤其是對注意點和易錯點做上記號，并把自己不懂的地方做好標記，提出自己的疑問。
3.議出問題。在獨立學習的基礎上，小組長組織帶領本小組成員交流自己的學習情況、自己解決問題的思路和過程、自己自學后的收獲、自己得出的規律和方法、自己遇到的困難……在交流的過程中解決簡單的問題，梳理提出比較復雜的問題。
4.練出問題。在小組交流整合后，獨立完成教材“做一做”，以評估自己的學習水平，提出不明白或不能解決的問題。
前置作業讓學生根據自己的知識水平和生活經驗進行嘗試性學習，讓每個學生帶著準備的頭腦進入課堂進行學習，在課堂中針對自己不能獨立解決的問題進行有的放矢的學習，其目的是培養學生自能學習的習慣，為學生在課堂上充分進行自主、合作、探究學習奠定基礎，使學生獲得課堂學習的主動權，從而獲得一種愉悅、成功的體驗，最大化地提高自能學習的效率。
二、自能學習――學生課堂問題之解疑
基于問題導向的自能學習注重教學目標問題化，就是將教學目標細化成幾個相關聯的數學問題，通過數學問題的解決達成教學目標。即以問題情境為載體，以問題解決為導向，以問題活動為路徑，在情境中衍生數學問題，在活動中解決數學問題，在解決問題中促進學生高效學習；促使學生“初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力”。
1.自能探究，發現和提出問題。新課程改革以來，課堂教學的三個基本要素增加了“教學背景”這一要素。它的增加為學生從事學習活動、發生學習行為提供了思考的環境和空間，進而誘發他們產生積極的情感體驗，并使提出問題、最終解決問題成為可能。學生學習的主動性往往來自一個好的問題情境。一個好的數學問題，會激發學生自能學習的興趣和欲望，常常達到“一石激起千層浪”“不憤不悱”的效果。
例如，在教學“重疊問題”時，教師創設“2個爸爸和2個兒子去看電影，每人需要1張票，但是他們只有3張票也能同時看電影”的生活情境。這個學生熟悉的、有趣的生活情境引發了學生的思考：2個爸爸和2個兒子應該是4個人，每人1張票就需要4張電影票才能同時看電影，為什么現在只有3張票也能同時去看呢？這一情境激發了學生們的學習興趣，激起了他們自能學習的欲望，指引他們找找這是為什么。到底是其中1人混票去看，還是這4人中有其他奧秘呢？這樣的情境，不僅僅蘊含了數學問題，更重要的是滲透了數學的教育價值。
2.自能活動，分析和解決問題。在課堂教學中，教師應根據學生的年齡特征和數學的學科特點，精心設計學生喜歡的數學活動，激勵學生經歷活動過程、體驗活動環節、積累活動經驗、達成活動目標，將主題活動作為路徑梯次達成教學目標，促進學生自能學習。這樣，學生的活動過程就成為他們內化新知的過程。在這個過程中，學生動手實踐、自主探索、合作交流，他們通過觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動分析、解決了問題。
例如，在教學“搭配”一課中，學生自能體驗“2件上衣、3條褲子”的不同穿法的不同層次的學習活動過程：①實物配對活動；②畫實物圖連線活動；③畫符號連線活動；④寫不同字母連線活動；⑤列算式計算活動；⑥理解算式意義總結方法活動；⑦舉例模仿練習活動。在以上活動中，教師基于學生的認識起點和學習經驗以學定教、順學而導、讓學助學，給學生足夠的時間和空間理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，并獲得基本的數學活動經驗。
3.自能練習，檢驗和提高能力。學生在自能學習之后，根據學習的層次、熟練的程度、自身的學習水平自主選擇模仿練習、變式練習、綜合訓練或拓展應用等不同梯次的習題，檢驗自己的學習效果，及時調整自己的學習狀態，進而培養和提高自能學習的能力。
三、自能模式――課堂問題之思疑
教學模式只是課堂教學的基本范式。在教學模式的導引下開展自能學習活動，學生帶著問題走進課堂，帶著不同的問題走出課堂，提高了自能學習的能力，培養了終身學習的意識，讓問題意識成為良好的學習習慣。根據教學實踐探索，我把自能學習課堂定位為“先學后導，順學而引，以學定教”，即激發興趣，培養習慣，點撥方法，提高能力的教學模式。其基本環節是：
1.激趣定向。中國偉大的教育家孔子說過：“知之者，不如好之者；好之者，不如樂之者。”興趣是最好的老師。因此，在課堂中應營造能激發興趣的氛圍。根據學生年段特點、學科特點、教材內容的實際，精心預設每一節課的情境創設，以激發學生探究的欲望及學習的興趣，從而使學生滋生學習的情感。同時進行目標定向，讓學生明確學習內容、學習目標。
2.自主學習。學生是學習的主人，他們的內因才是獲取知識的關鍵。因此，課堂上教師應大膽地“放”，勇敢地“退”。解放學生的頭腦、眼睛、嘴巴，給學生以充分的自，最大限度地給學生提供自主學習、合作學習、探究學習的時間和空間，盡可能多地增加學生讀書思考的機會、動手操作的機會、自主發現的機會、相互啟發的機會，從而培養學生的獨立思考能力和創新意識。
3.點撥引導。學生的自能學習不是漫無目的地自由學習。教師是學習活動的組織者和引導者。因此，教師在課堂教學中既要勇敢地退出來，還要適時地走進去，以學定教，順學而教，順學而導。一是教師確定教學的任務、目標和重點，讓學生有的放矢地學習；二是教師在課堂上善于引導，合理控制節奏，使學生在課堂上科學有序地進行學習；三是教師選用有效的教學方法，激發學生的學習興趣，取得事半功倍的效果；四是精心設計學習問題，不斷啟發學生深入思考，解答學生提出的各種疑難，培養學生的思維能力和創新意識。課堂教學應努力“四化”，即教學內容要“優化”，教學方法要“活化”，思維訓練要“深化”，評價檢測要“層化”。自主學習與點撥指導環節可以交叉進行。
4.鞏固拓展。要使學生學好數學知識，既要使學生自主探究，深刻理解，還要加強記憶和運用，把理解、記憶和鞏固知識聯系起來。因此，進行學習小結非常重要，可小結知識點，小結學法；鞏固練習也不可少；課堂任務，當堂完成。同時適時延伸拓展，讓學生帶著問題來，帶著問題走。這既能使本堂課的教學內容得到升華，也能為學生的課外學習、繼續學習拓展新的渠道。
問題導向的小學數學自能學習基于“自主、合作、探究”學習方式，讓學生人人參與、主動探究，有意識地培養他們主動獲取知識的各種能力，激勵學生主動、健康地發展。建立師生學習共同體，彰顯多元、開放、包容的課堂教學文化，最大限度地優化教學環境、教學內容、教學方法與手段，形成最優化的課堂形態，全面提高課堂教學效率和育人質量，以此促進學生自能學習力的長足發展。
[ 參 考 文 獻 ]
[1] 教育部.義務教育數學課程標準（2011版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.
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關鍵詞:初中數學 創設問題情境 研究
在數學教學中通過創設合理、恰當的問題情境可以提高學生的數學學習興趣水平,可以有效地培養學生的問題意識和問題解決能力,也有利于學習成績的提高。那么在實際教學中,我們如何創設問題情境進行有效教學呢?
一、采用靈活多樣的方式,創設問題情境
問題是數學的靈魂。學貴多疑,有“疑”才有“思”才有“問”,有“問”才有“悟”,知識的積累過程,是一個不斷質疑,而后釋疑的過程。課堂上,教師創設問題情境,以激勵學生解決問題的動機,通過探索,解決問題,獲得積極的心理滿足,只有感受真切,才能入境。同時,在日常的教學中教師創設問題情境時要和教材相結合,以學生為主體,采用靈活多樣的教學方式,創設問題情境,為學生的善疑多問創設情境,給學生騰出一方質疑的天地,激活學生的創新意識。
如:在引入負數時,我們還可以通過一些游戲,讓學生記分,結果出現數不夠用了,怎么辦呢?由學生的疑問來引出問題,從而產生要解決問題的愿望。這樣,不僅使學生養成自主學習和合作交流的學習習慣,而且體驗了從生活中發現、“重新創造”數學知識的樂趣,激活了創新意識。又如:在《有理數的乘方》內容的教學中,教材創設了一個細胞分裂的問題情境,考慮到學生對細胞分裂不太熟悉,因此我將此問題情境改為一個游戲:首先請兩名同學站起來,站起來的每名同學又請兩名同學站起來,然后自己坐下為一次游戲。讓學生觀察通過一次、二次、三次……游戲后站起來的人數。學生紛紛參與到游戲中來,在游戲中就發現了規律,從而很快就得出了十次游戲后會有多少人站起來。這時學生便會很想自己總結出新知識的規律,去總結出知識的要點,無形中激活了學生的創新意識。另外,創設的問題情境也可以設計一些開放性的問題。如:在復次函數的性質時,可以任意地在黑板上畫一條拋物線,問學生“你們可以從這條拋物線上發現對應函數關系式有哪些特點嗎?”;也可以在學習菱形的性質時問學生:“關于菱形,你們想知道些什么呢?”等等。這樣靈活地采用各種教學方式,起到了很好的問題情境創設效果。
二、創設懸念問題情境,引發學生認知沖突
學生的認知發展就是觀念上的平衡狀態不斷遭到破壞,并不斷達到新的平衡狀態的過程。因此利用學生認知上的不平衡來創設問題情境,會使學生比較清楚地看到自身已有知識的局限性,產生要努力通過新的學習活動,達到新的、更高水平的平衡的沖動。例如,“同底數冪的乘法”的問題情境創設。
師:現在我要用一道搶答題來考考你們,題目是:已知三個數2,3,4,你能從中任取兩個數組成算式,使其運算結果最大嗎?(有學生脫口而出3×4=12)
師:(微笑而不作答)想想我們已學過了哪些運算?
生1:43!
生2:不對!應該是34!
師:34進行的是什么運算?這里的3叫做,4叫做,34= ?這里的三個數還能組成哪些冪?(教師一句一句問,學生一句一句集體回答)
師:冪也是個數,那冪能否再進行運算?(引入課題:冪的運算)
下面我們就利用剛才得到的六個冪(允許重復使用)來研究冪的運算,怎樣入手研究呢?我們的研究方法是:
第一步:試驗
出示圖例式子,讓學生尋找一些形如圖例的式子,可以先考慮加和減,再看乘和除。
第二步:觀察
(l)你找到了哪些等式?
(2)你從這些等式中有什么發現?
(3)你能用語言概括你的發現嗎?
本節課從學生熟悉但易錯的問題入手,讓學生在搶答中體會到乘方運算的重要性,從而創設了使學生迫切想知道冪的運算性質的氛圍。
三、利用學生自身的反思,創設問題情境
反思是指自覺地對數學認知活動進行考查、分析、總結、評價、調節的過程,是學生調控學習的基礎,是認知過程中強化自我意識、進行自我監控、自我調節的主要形式。荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾指出:反思是數學思維活動的核心和動力。數學教育家波利亞也說:如果沒有了反思,他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面。問題情境是誘發反思的根源,因此,在教學中,教師可創設有利于學生反思的學習情境,引導學生從新的角度,多層次、多側面地對問題及解決問題的思維過程進行全面的考查、分析與思考,從而深化對問題的理解、揭示問題本質、探索一般規律,并進而產生新的發現。例如,“一元二次方程”的問題情境創設。
在教一元二次方程的概念之前,教師先給出以下兩個實驗問題讓學生列方程:家鄉的河邊要建電灌站,要求設計建造底為正方形且面積為15平方米的蓄水池,它的邊長為多少?剪一塊面積是1500平方厘米的長方形紅布制作旗,使它的長比寬多50厘米,應該怎樣剪?學生容易答出:設邊長為x米,則方程為x2=15。設寬為x厘米,則方程為x2+50x=1500。這兩個方程學生乍看似曾相識,細瞧卻又陌生,頓時產生了疑惑,這個疑惑學生掌握一元二次方程概念的思維過程中起了“催化”作用,此時教師及時提問:
(1)什么叫方程?什么叫做一元二次方程?
(2)方程中的“元”和“次”各是什么含義?
(3)上述兩個方程各是幾次方程?
這樣讓學生在促進反思的情境中暴露思維過程,通過反思建立起自己新的數學理解,形成新的認知結構,促進后繼學習中的提取和應用。
總之,創設問題情境,不僅能夠激發學生的學習興趣,而且能夠培養學生自主地探索,解決問題的能力。教師在數學教學過程中要善于挖掘教材潛力,創設美好的數學問題情境教學,以便激勵、喚醒、鼓舞學生,激發學生飽滿的學習熱情,促使他們以積極的態度和旺盛的精力主動求索,從而獲得最佳效果。
參考文獻:
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關鍵詞：高中數學；創設問題情境；方法
中圖分類號：G427 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2012）04-044-1
在高中數學中，所謂“問題情境”指的就是為了更好地幫助學生自主學習、培養他們合作探究意識以及進一步激發他們問題意識的相關富有刺激性的數學背景信息和數據資料。從高中學生的實際情況來講，進入高中階段學習的學生已經具備了一定的邏輯思考能力和問題理解能力，這為他們開展探究性的自主學習提供了可能，高中教師通過創設適當問題情境的方式來構建一個良好的問題情境，這對于他們在數學課堂中積極探究、自主理解和進行嚴謹科學的數學問題探索提供了便利，從而有效地達到了數學問題解決的目標，強化了高中數學課堂的高效化。
一、高中數學中創設問題情境教學方法的價值所在
在現代教學理念中，高中數學教學過程應當是一個以學生為主體、教師為引導、以學生數學興趣激發為導向的一個自主、探究、合作同時富有個性化色彩的教學過程。而適當創設問題情境的教學方法能夠有效發揮學生學習的主體作用，對于激發他們的數學興趣、培養他們的合作探究能力、鍛煉他們的問題意識有著非常重要的意義。具體而言，表現在以下三方面：
1.能夠有效提升高中學生的數學學習興趣
在傳統的高中數學課堂教學中，由于數學知識的嚴謹性、客觀性和教師占據主體地位的教學觀，這在很大程度上決定了平鋪直敘的講解是高中數學教學的主要教學手段，一般來說這樣的教學方式很難引起學生真正意義上的數學興趣，也就限制了他們自主探究、自主學習的意向。而依據教學內容和學生實際情況創設趣味性強、探究性強的問題情境展開教學，能夠有效地誘發學生對數學學習的好奇心和求知欲，從而提高他們數學學習的興趣，為他們自主學習積極探究奠定基礎。
2.能夠有效培養高中學生合作探究能力
現代教育認為，教師應當是引導者，而非知識的直接授予者，學生應當在課堂教學中發揮主體作用，在高中數學教學中，教師通過創設問題情境的方法展開教學，能夠有效地為學生構建一個發展自我能力、培養合作意識的教學平臺，讓他們進入問題情境，在探究中主動建構知識，面對個人難以解決的情境問題，“合作”追求真理協同解決問題，從而有效地培養了學生自主思維能力和合作探究能力。
3.能夠有效鍛煉高中學生的問題思維能力
作為一門思維很強的科學，高中數學客觀上需要學生的思維活動能夠積極發現問題、探究問題進而解決問題。所以在很大意義上，培養學生的“問題意識”對于鍛煉學生的思維能力，培養富有創新型的數學人才有著非常重要的價值意義。在高中數學中，對于高中學生而言，教師精心創設的問題情境能夠有效地將他們置于數學問題研究的思索氛圍中，對于學生自主發現問題、提出問題進而分析解決問題提供了非常好的平臺，對于鍛煉學生的問題意識有著很重要的意義。
二、高中數學中創設問題情境的具體方法例析
數學作為一門實用性非常強、趣味性非常強同時又有著悠久歷史的科學，所以在高中數學中問題情境應當積極聯系生活、尋求數學問題的趣味性來創設，甚至可以借助歷史故事和人的思維死角來創設，在高中數學的多年實踐中，筆者總結經驗，認為以下幾種方法對于創設問題情境能夠起到事半功倍的效果。
1.積極聯系現實生活，借助生活案例來創設問題情境
對于貼近生活的實際案例，高中學生往往是特別關注的，將生活問題數學化，讓學生利用數學解決生活問題，這對于提高他們數學學習興趣有著非常好的效果，所以通過聯系實際生活創設問題情境，是非常好的方法。
2.借助歷史故事創設問題情境
高中學生有著非常強的好奇心，尤其是對于故事能夠產生濃厚的興趣，所以以此為出發點，借助諸多的歷史小故事來創設問題情境，也是一個不錯的辦法。比如說在關于數列中的等比數列前n項和公式的學習中，我們可以這樣創設問題情境：
相傳國際象棋發明后，國王要對象棋發明者予以重賞，國王問“你想要什么，我都會給你”。發明者：“我只要您在棋盤的第一格放1顆麥子，第二個放2顆，第三格放4顆，每一格式前一格的2倍，以此類推，填滿棋盤的64個格就行，我就要這些麥子就行”。國王哈哈一笑，太簡單了，大家說說，國王真能兌現嗎？
3.借助思維死角利用認知沖突創設問題情境
在數學知識中學習中，學生很容易被看似簡單的數學知識所迷惑，受固定思維模式的影響，走出思維死角，產生認知沖突，我們可以借此來創設問題情境，拓展學生思維，培養他們的數學實踐能力，比如說在高中數學關于復數的學習中：
已知a+1a=1，求a2+1a2的值。
通過計算，學生很容易得出a2+1a2=(a+1a)2-2=-1
我們小學知道，兩個正數之和應當還是正數，為什么這里變成負數呢？
結束語：
新課程背景下，培養學生的問題意識，鍛煉學生自主、探究、合作的學習方式，這對于現階段高中數學教學工作者而言，是一個非常值得深思的問題，創設問題情境的教學方法對于上述問題的解決能夠起到事半功倍的效果，值得我們推廣。
［參考文獻］
對于數學變式題的分類，有許多不同的界定．孫旭花、黃毅英、林智中合作的《數學問題結構性變式的研究》(選編于《中國數學雙基教學》)將變式分為表面特征變化的水平變式和結構變化的垂直變式．表面形式特征是指問題呈現的表述方式的“淺層”特征，數學結構特征指涉及問題本質的概念、關系與原則等的“深層”特征．
數學問題結構性變式教學是指通過適當的水平變式和恰到的垂直變式，抽取出問題表面特征以外的數學結構特征，從而達到數學學習的內化，關注數學本質的一種變式教學．
表面形式變化的水平變式實際上是以“重復”源問題來實現的，也就是說，“重復”通過水平變式源問題得以發展，水平變式反映的是量的問題．數學結構變化的垂直變式實際上是以“突破”源問題來體現的，也就是說，“突破”通過垂直變式源問題得以升華，而垂直變式反映的則是質的問題．
數學問題的變式發展是螺旋上升的(見上圖)，是一種從量變到質變的過程．因此，在數學教學中要握好“重復”的“量”和“突破”的“度”，注意“重復”和“突破”的和諧統一，只有這樣，才能有助于形成真正意義上的“螺旋上升”的數學知識結構．
2 一個數學問題結構變式典型例子的分析
源問題是一個運用加減消元法解二元一次方程組的典型例題，根據一般初中學生的認知水平，變式題組一為水平變式題，變式題組二為垂直變式題．
源問題提供了利用加減消元法解二元一次方程組的樣本，其中包括與學生有關的關鍵成分：規則功能、適用條件等，學生從源問題中可獲得加減消元法解決二元一次方程組的初步認識，再加上水平變式題的訓練，逐步建立起利用加減消元法解二元一次方程組的數學結構．
變式題組二采用含字母系數的二元一次方程組進行垂直變式的訓練，學生通過反思源問題中利用加減消元法解二元一次方程組的特點，逐步擺脫源問題的表面內容，認識到加減消元法解二元一次方程組的關鍵是方程組同一未知數的系數相同或互為相反數(或者通過變形得到系數相同或互為相反數)，從而抓住了利用加減消元法解二元一次方程組的本質，發展了原來的數學結構，建立新的數學結構．
當然，我們可以將問題引向更高結構層次，解決含有更多未知數的一次方程組的解的問題．
上例是比較典型的數學問題結構性變式題，既包括表面形式變化的水平變式題，又包括數學結構變化的垂直變式題．通過以上的結構性變式教學，學生就會形成一張較為完整的數學知識網絡，就會更加高瞻遠矚地看待問題，把數學問題結構化，模型化，使得更加有基礎和有能力加快對新知識的理解和學習，從而更加有效的學好數學．
3 兩個數學問題結構性變式實例的教學與設計
3.1 一個源于中考題的數學問題結構性變式實例的教學
例2 (2006年遼寧省大連市)圖1、圖2分別是兩個相同正方形、正六邊形，其中一個正多邊形的頂點在另一個正多邊形外接圓圓心O處．[TPT003.TIF,BP]
(1)求圖1中，重疊部分面積與陰影部分面積之比；
(2)求圖2中，重疊部分面積與陰影部分面積之比(直接出答案)；
(3)根據前面探索和圖3，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況，(n為大于2的偶數)？若能，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由．這是一道數學問題結構性變式題，解決此問題的關鍵是找出源問題．本題中的問題(1)是否可以看作源問題呢？當然可以．但是，我們也不難發現，問題(1)也有更特殊位置關系的源問題(如圖4、圖5所涉及的問題)．這里，我們將圖4、圖5所涉及的問題看作源問題，圖1所涉及的問題看源問題的水平變式題，而圖2、圖3所涉及的問題看作源問題的垂直變式題．
在數學問題結構性變式教學中，源問題一般都會較早呈現，但也不盡然．本例中的源問題就沒有直接呈現．因此，找出問題結構性變式的源問題是解決本例的關鍵．在找出源問題后，我們要對源問題加以深入的探究，找出源問題與變式題之間的關系，獲得解決問題的一般規律，從而形成新的知識結構．只有這樣，問題才可以迎刃而解．
3.2 一個基于教材的數學問題結構性變式實例的設計
實際上，本題是人教版數學八年級上教材p.131例題的水平變式題，只是增加了一點C，但也正是這一點的增加，有些學生的思維就出現了障礙，找不到解決此類問題的數學結構．讓我們重新審視一下教材中的這一源問題．
源問題 (人教版數學八年級上教材p.131)如圖8，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？
圖9中的點P就是所求的點，此時PA+PB最短，這是教材給出的答案．
但是我們也發現，在現實生活中，并不是每個鎮的燃氣管道都要和泵站相連，也就是說，如果源問題中去掉“分別”兩字，就成為一個與源問題不同結構的垂直變式題，此時所用的燃氣管線的最短長度可以是AP+PB的長度，或者是AA′+AB長度，或者是AB+BB′的長度(圖10)．由于具體過程較為復雜，這里不再展開．
通過對變式題的進一步分析，學生會從原來的一定的心理定勢中擺脫出來，從而重新審視源問題的結構，避免了錯覺的產生，這時，學生的思路大為開闊，思維更加活躍．
另外，我們可以再進一步對源問題作如下的垂直變式．
變式子問題：如圖11，已知直線l與l異側兩點A、B，在l上求作一點P，使線段(PA-PB)長度最大．
本題將源問題中用到的“三角形兩邊之和大于第三邊”這一性質轉為運用“三角形的兩邊之差小于第三邊”的性質，雖然兩條性質是統一的，但是兩題的結構還是有所變化，通過與源問題的比較，進一步讓學生掌握解決源問題以及變式題的方法的實質．
4 初中數學問題結構性變式教學的反思
4.1 數學問題結構性變式教學的認知理論與新課標教學理念
問題表面特征與數學結構特征彼此相異，又互相補充．從認知角度看，表面形式變化的水平變式題相對于數學結構變化的垂直變式題而言，認知負荷就顯得相對較小．因此，水平變式應是垂直變式的基礎．數學問題結構性變式教學中，從源問題到變式題、從水平變式題到垂直變式題的設計過程，充分體現了認知的連續性，變式教學將數學知識串成一條線，使得雜亂無章的知識形成一個體系，整個過程是逐漸地增加學生的認知負荷，逐步地提高學生的數學能力，體現了新課標初中數學教學中強調的“突出知識之間的聯系與綜合”的特征和理念．在新課標下的初中數學教學中，數學知識的難度整體有所下降，但關注同一領域內容之間的相互連接，關注不同知識領域之間的實質性關聯，從更高的視角適當把握數學知識的內涵和外延，抽象出數學問題的本質特征，提高學生分析問題、解決問題的能力，都是數學新課標所提倡的．
4.2 數學問題結構性變式教學設計中的幾個問題
(1)水平變式題的“量”和垂直變式題的“度”的把握問題
數學問題結構性變式教學通過水平變式題的適當“重復”，使得“雙基”教學得以實現，也為垂直變式題的解決打下了堅實的基礎，同時通過垂直變式題的恰到“突破”，使得學生思維得以盡情發散，學生分析問題、解決問題能力得以進一步提高．而水平變式題“重復”的量和垂直變式題“突破”的度的把握并不簡單，是進行數學問題結構性變式教學最值得研究的一個問題．根據物質變化從量變到質變的原理，在水平變式題“重復”一定程度的情況下，自然會“突破”量變，走向質變．因此，在適當的時候，拋出垂直變式題，以達到水到渠成的效果．一般情況下，對于水平變式題的設計盡量控制在3至4題左右，垂直變式題控制在2至3題，難度也不要突破新課標的要求．當然，由于所教內容不同，所教學生層次不同，水平變式題的“量”和垂直變式題的“度”在教學中要作精心的設計，同時結合課堂教學進行適當的調整和改變．總之，合理地安排水平變式題的“量”和垂直變式題的“度”，才能達到既有量的積累，又有質的飛躍.
(2)數學問題結構性變式教學中變式題的銜接問題
數學問題結構性變式教學中的變式題銜接問題包括水平變式題之間的銜接，垂直變式題之間的銜接，以及水平變式題與垂直變式題之間的銜接，而水平變式和垂直變式的銜接是數學問題結構性變式教學設計的難點和關鍵．在進行數學問題結構性變式教學設計時不要將原本需要淡化的、不重要的問題引向無用的死角，更不要將原本沒有聯系的知識或者聯系不密切的知識加以過度的延伸，這樣不僅增加學生的負擔，達不到教學設計預期的要求，同時也起不到形成數學知識網絡的目的．總之，在進行數學問題結構性變式教學過程中，一定要注意變式題之間的銜接問題，不要為了追求新穎題型、較難題的教學而忽視數學知識的連續性和學生能力遞進性，導致數學知識結構的大跳躍，出現知識的“真空”狀態．
4.3 數學問題結構性變式教學的局限性
數學問題結構性變式教學在初中數學教學中有提倡和推廣的價值，實際上，許多教師已經或多或少地進行著這方面的實踐．在初中數學教學中，由于所涉及到的數學知識的外延不夠寬，加上學生思維的廣度和深度不夠，所以在進行數學問題結構性變式教學的時候，水平變式題的選擇相對更多一點，這一點可從新課標的要求和近幾年的中考題中得以體現．也正因為這樣，垂直變式題在初中數學教學中的局限性有時會顯得比較突出，尤其是在新課教學中，而垂直變式題則比較適合章節的習題課、復習課、活動課，特別是在總復習中運用．因此，在進行數學結構性變式教學的實踐中，要認識數學問題結構性變式教學的適用性和局限性，精心設計變式題，不要讓數學結構性變式教學“變味”．總之，在現行的初中數學教學中，適當地利用問題結構性變式教學會對數學知識網絡的形成、對學生數學能力的提高會帶來意想不到的效果．在進行數學問題結構性變式教學時，既要關注水平變式題的設計和教學，也要兼顧垂直變式題的設計和教學．只有這樣，才能既不停留于水平變式的“淺層”特征的學習，也不盲目于垂直變式的“深層”特征的理解，也只有這樣，才能將兩者的優點充分發揮出來，促進學生思考問題、解決問題能力的提高．當然，在進行數學問題結構性變式教學和設計的時候，選擇合理的源問題加以變式、關注變式題之間的銜接問題、把握水平變式題的“量”和垂直變式題的“度”，以促進學生在已有認知水平的基礎上，數學知識結構和數學能力都能循序漸進，螺旋上升的發展．
參考文獻
[1] 數學課程標準研制組. 數學課程標準解讀[J]. 北京：北京師范大學出版社，2002.7.
關鍵詞：小學低段；數學問題解決；圖文問題；解決策略
中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2015）29-0048-05
新的《數學課程標準》把“應用題”改為“解決問題”，現在又改為“問題解決”。問題解決的教學歷來是小學數學教學的重要內容，發展學生分析問題和解決問題的能力也一直是數學教學的重要目標。從小學低段開始，數學教學就應有目的地培養學生解決問題的能力。
小學低段的問題解決主要以“圖文問題”為主，即圖畫和文字相結合的應用題。“圖文問題”是數學思維從形象到抽象過渡的階段，在現階段培養學生解決“圖文問題”的能力，可為以后的學習純文字問題解決打下良好的基礎。
但是，在低段數學教學實踐中，發現小學低年級學生在問題解決的過程中，普遍存在如下問題：學生只關注圖畫，忽視文字；識字量較少，分析能力弱；缺乏策略，無從下手……因此，如何提高小學低段問題解決教學的實效性，是一線教師所必須研究與實踐的教學問題。
一、讀一讀，提高問題信息的“攝入度”
由于新教材中的“問題解決”已不再是純粹文字的、結構分明的“標準件”，而是圖文并茂、多元集結的“融合體”，對此，學生常常會出現“顧此失彼”的審題狀況。
而解決圖文問題的關鍵是讀圖，如果把圖意讀懂了，再結合相關文字，就為下一步找到解決問題的正確方法打下扎實的基礎。
（一）整體感知讀圖
當學生拿到一幅圖后，必須有一個整體的了解，這幅圖講了什么內容？只有整體感知畫面之后才能更進一步地去讀圖，理解圖畫所表達的意思。
例如，二年級上冊第四單元“2、3、4的乘法口訣”中有一道圖文應用題（如右圖）：在解決這一問題時，教師必須讓學生觀察整體畫面，了解這是關于小朋友在沙灘休息的一個場景。只有當學生了解圖畫所講內容，他們才能進一步去讀更加具體的信息。比如，幾人一組休息，是不是每組人數一樣等。有了整體感知，才能進行逐個觀察，找全信息，以便順利解決問題。
（二）按順序讀圖
對于畫面豐富的圖文應用題，由于色彩艷麗，學生的注意力比較分散，一會兒關注這里，一會兒關注那里，思維比較零亂。這時，需要教師引導學生按順序讀圖，比如，從上往下或是由左向右，這樣可以較好地避免遺漏。
例如，二年級下冊第四單元“表內除法――解決問題”練習中有這樣一題（如下圖）：我們可以發現，圖中的信息很多，要把信息全部讀到，你有什么好方法？有的學生說，先看女生，再看男生。有學生說，可以一個一個依次從左往右讀。教師指出，老師也很喜歡這種方法……按一定順序讀圖，學生就會對整幅圖中所有信息有一個具體全面的了解。
（三）分板塊讀圖
低段學生的抽象思維力較差，當圖文應用題中的內容較多時，學生容易把信息混淆，理解上也會有所偏差。當學生讀圖有困難時，可以把圖畫分割成板塊來讀一讀，將畫面中的信息分為幾組，然后再分組觀察。目的是讓有關聯的一組數學信息與其他數學信息分割開來，單獨進行讀圖，學生會更容易理解圖意。讀完一組，再讀下一組，依次進行。
例如，二年級下冊第四單元“表內除法（二）”的主題圖教學時，畫面內容比較豐富，學生容易關注的是形式上的一些東西，如汽球、彩帶、桌子上的物品等。此時教師要引導學生分組觀察。把這些學生分成三組，每組都蘊涵著數學信息。這樣的分組讀圖，可以依次關注重點，逐步解決問題。
（四）選擇性讀圖
低段圖文應用題的設計，主要是為了適合學生的年齡特點，給題目一個具體的情境支撐，讓其顯得更加生動，更加真實。然而，如果學生只關注圖畫內容，那么對于解決問題就有阻礙了。所以，應突出圖文應用題的重點，把視角有選擇地放到文字上，將注意力指向真正的數學學習。
例如，二年級下冊第一單元“解決問題”練習中有這樣一題（下圖）：教師在巡視過程中發現，有部分學生在討論這樣的話題：有的學生說：哇，好多蘿卜！有的學生說：有3只小兔哎。你看，他們穿的衣服不一樣。我喜歡穿藍色的這只。你呢？……
教師引導：剛才我聽到有些小朋友在討論圖畫中的蘿卜有多少，小兔子的衣服有什么顏色，哪件衣服最好看。你覺得他們找的內容是不是最重要的呢？（生搖頭）這幅圖告訴我們這是一道關于小兔子拔蘿卜的題目，但是要解決問題的話，哪些內容才是最重要的?。俊睦韺W研究表明，人的各種感受器官的感受性都有一定限度，低段的圖文應用題教學時，教師應引導脫去圖畫中美麗的外衣，突出圖畫中的文字信息，讓學生的注意力集中到關鍵點上。
二、說一說，增強問題思路的“分析力”
“數學提供了一種有力的、簡潔的、準確無誤的交流信息的手段”，每一位教師都要充分認識數學交流的價值，在數學教學中更多地關注“交流”，注意培養學生的數學交流能力，才能提高數學課堂教學的有效性。
在“圖文問題”教學中，學生要解決問題，首先要弄清楚題目是什么意思？學生讀圖后，是怎么理解圖意的？這時學生之間相互的交流起著至關重要的作用。通過交流，說說自己對圖意的理解，說說自己的想法，聽聽別人的想法，有利于打開解決問題的思路。
（一）說前――深入思考，提升交流的層次
在數學課堂，經常可以看到這樣的現象：教師提出問題后，學生沒有深入思考就參與交流，很多學生無話可說或說一些層次很淺的話，沒有讓學生之間真正進行信息交流、觀點碰撞?？梢哉f，沒有學生的獨立思考，數學交流就難以展開，即便展開了也只是流于形式，失去數學交流的意義。
所以教學時，在學生說前，教師要給學生思考的時間和空間，引導學生在深入思考的基礎上參與數學交流，學生在參與交流前有了一個獨立探索和思考的過程，才能有話可說，說得更深入。
（二）說時――形式多樣，擴大交流的層面
學生讀圖之后，一定要讓他們把理解的意思說出來，一是培養表達能力，二是把一些想法說給大家聽一聽，擴大交流面，讓班里的后進生能學一學，哪怕是照著說，也是一種學習理解圖意的方法。再者，當學生的想法出現分歧時，可以給彼此爭論的時間，最后得到一個大家滿意的結果。在爭執過程中，學生對圖意的理解會顯得更加清晰、明朗。
語言是思維的外殼，思維是客觀事物在人腦中概括和簡捷的反映，是借助于語言來實現的。當學生把數學知識與數學思想通過數學語言的方式表達出來時，學生的思維會更加明晰，學生對知識的理解和掌握會更加深刻。只有使學生正確和熟練地運用數學語言，學生才能看懂書、聽懂課，才能與師生進行有效的數學交流。
同時，交流形式也需要多樣化，層面豐富，才能充分發揮交流作用的最大化。例如，可以讓學生自己先試著說一說；接著，可以同桌或小組內進行交流，如此學生就會有足夠的膽量面向全班同學發表自己的觀點。由于事先已經有了思考和小范圍的交流，學生在交流時就有話可講，學生的思維也能跟上交流的進程。
（三）說后――合理評價，把交流引向深處
一位學生的回答被老師聽懂后，是不是多數學生都聽懂了？答案是顯而易見的。一般的教師引導語是“說得對不對”、“誰再說一遍”，這樣學生往往只關注“對”與“錯”，或者簡單地重復別人說過的答案，自己并沒有積極思維。課堂中，要給學生多一些傾聽、交流的時間和空間，少一些過早的評價和否定，學生的思維大門會朝各個方向打開。
1.教師要引導學生養成傾聽的習慣。教師可以用“你聽明白他的意思了嗎？”“你對他的說法，有什么看法？”等語言引導學生傾聽，促使學生自覺地傾聽別人的發言，并積極思維。
2.教師要注意進行傾聽方法的指導，提高學生的傾聽能力。要引導學生學會把握別人發言的要點，學會理解和接受他人正確的觀點，學會從別人的發言中捕捉閃光點或不足之處，學會合理地評價他人的觀點或想法。
3.關注錯誤。教學時，教師還要引導學生在傾聽時關注別人發言中錯誤的地方，自己深入思考后隨時準備補充或質疑，通過對話，把交流引向深處。
三、動一動，豐富問題解答的“策略性”
傳統的“應用題”，有著鮮明的“類型化”傾向，只要模仿例題的解答套路就行了。而現在的“問題解決”，注重與其他內容的融合，由于缺少了畫“瓢”所依的“葫蘆”，很多學生便會遭遇“老師講過我會做，稍作變化我不會”的現象。很多學生在解決問題時僅僅只著眼于獲得問題的具體答案，沒有積極地運用解決問題的策略來解題，而導致錯漏百出。
（一）畫圖，變抽象為形象
畫圖是利用直觀的圖形來表征問題或分析數量關系的一種方式。圖形這一“直觀”的特點，非常符合小學生的思維特點，是最常用的一種解決問題的策略。畫圖可以使數學問題變得直觀、明了，有助于學生對問題的直觀理解，很多數學問題都可以通過用“圖”解決或找到思路。
例如，一年級下冊第二單元“20以內的退位減法”中有這樣一道練習題（如下圖），學生感覺對解題有困難。教師引導能否通過畫一畫的方式進一步理解。學生嘗試畫圖后反饋：
（圓形代表男生，三角形代表女生）學生看著這幅圖，就輕易解決了問題。
美國數學家斯蒂思說過，如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么就整體地把握了問題，并且能創造性地思考問題的解決方法。教師從低段開始就應注意畫圖表征問題方法的指導，使學生逐步學會看圖、畫圖。
（二）列表，變模糊為清晰
列表也是一種重要的解決問題策略。列表可以幫助學生整理信息，分析數量之間的關系。在解決圖文應用題的過程中，列表也是一種非常有效的表征問題的形式，它能使信息條理化，并去除無關信息，有利于學生找到解決問題的方法。
例如，在二年級下冊第一單元“解決問題”中，有一習題（如下圖），學生在解決時感覺有困難。教學中教師引導學生可以嘗試列表分析的方法。
當學生無法理清題中所給信息間的關系時，可以把所有信息全部羅列出來，以表格的形式呈現相關內容，讓學生對題目有一個清晰的框架，從而找出解決問題的方法。
（三）演示，變靜態為動態
有些圖文應用題表達的意思是發生的某一件事情，讓學生通過觀察發現其中的信息和問題，從而思考解決問題的方法。當學生難以理解圖中內容的相互關系時，可以選擇幾位學生現場演示，讓內容變得更加直觀。
例如，在一年級下冊“100以內的加法和減法（一）”中有一題（如下圖），以下是在教學中學生演示的過程：
生1：（拿一個裝有50個棋子的盒子）這里有50個“花生”。
生2：我要10個（從盒子里拿出10個棋子）。
生3：我要20個（從盒子里拿出20個棋子）。
生1：（手指著盒子）還剩多少個“花生”？
學生把讀圖后自己的理解演繹出來，不僅讓演示的學生更進一步理解圖意，也讓觀看的學生明確了圖畫中所給的究竟是什么信息，表達的是什么意思。這樣學生更易理解其中的內在聯系，找到解決問題的思路。
（四）提問，變部分為整體
根據圖中所給信息提出問題，能讓學生明確圖文應用題的結構。尤其對于低段學生，他們接觸這類題的時間不長，通過訓練提問可以清楚地知道要解決的問題所必須具備的條件，為以后學習較復雜的應用題打好基礎。
例如，二年級上冊“100以內的加法和減法（二）”整理和復習中有一題（如下圖）：
師：你能提出什么問題（思考后回答）？
生1：公雞有幾只？
師：能把用到的信息和問題一起說一說嗎？
生1補充：母雞有45只，公雞比母雞少36只，公雞有幾只？
師：這位同學的信息和問題對不對？你還能提出問題嗎？注意要說完整。
生2：母雞有45只，小雞比母雞多47只，小雞有幾只？
師：同意嗎（學生寫一寫，算一算）？
