時間：2023-09-15 17:41:12
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇高三數(shù)學數(shù)列求和，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
高三階段的學生面臨高考的壓力以及知識難度加大的壓力，因而，很多高三學生都能夠積極投入到數(shù)學的學習中。但是雖然很多學生在課堂上能夠理解知識，卻仍是不會應用。這種現(xiàn)象不僅阻礙了學生學習能力的提高，還影響數(shù)學課堂的教學效率。因而，高三數(shù)學教師應該深入研究產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因，并根據(jù)原因采取科學、合理的措施提高學生的學習效率。
一、造成學生“懂而不會”現(xiàn)象的原因
1.教學方法的錯誤
在教學課堂上，多數(shù)學生處于被動接受知識的狀態(tài)，學生所謂的聽懂知識也是明白了某道題目的解法，而并沒有深刻理解其中的內(nèi)涵。而且被動接受知識還阻礙了學生的思維發(fā)展，使得學生缺乏舉一反三的能力。
2.學生的差異性
每個學生的理解能力、創(chuàng)造力、實踐能力都是不相同的。但是很多數(shù)學教師并不重視層次教學的重要性，使很多學生無法跟隨教師的思路。這也就造成了學生學習能力不足、思維拓展能力不強的問題。
二、改善學生“懂而不會”現(xiàn)象的措施
1.轉(zhuǎn)變教學理念，創(chuàng)新教學方法
在數(shù)學教學中，教師應該根據(jù)學生實際和教材內(nèi)容，科學設計教學過程，以突出學生的主體地位，使學生從被動接受知識轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訉W習知識。另外，高三階段的學生除了學習新知識以外，還要鞏固舊知識。因此，數(shù)學教師應該選擇一些具有典型特征的例題。
教師可以借助多媒體以及其他教學輔助工具增強課程的趣味性、生動性，從而激發(fā)學生的學習興趣。如，教師在進行數(shù)列的復習過程中，在課堂的開始可以將與數(shù)列有關的知識通過多媒體展示給學生，如等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關公式和性質(zhì)、數(shù)列求和、證明數(shù)列的方法。然后再將平常會用到的解題方法展示給學生，如，基本量法、特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化法、極限法等。接下來教師可以通過范例來教會學生如何應用。
如，已知數(shù)列{an}，a1=1，求滿足下列條件的通項公式。①an+1=an-3；②an+1=2an；③an+1=2an-3；④an+1=an-n。在這個過程中，教師可以讓學生自由組合，進行小組合作學習，這樣既能充分調(diào)動學生學習的積極性，又能培養(yǎng)學生的團結協(xié)作能力。設計該題的主要目的是讓學生能夠分析出等差、等比數(shù)列的遞推形式，從而掌握求通項的方法?？梢姡處熢诟呷龜?shù)學的教學中應轉(zhuǎn)變教學理念，充分創(chuàng)新教學模式，并借助多媒體等設備來改變傳統(tǒng)數(shù)學課堂枯燥、無味的學習氛圍，從而使學生能夠充分掌握數(shù)學知識。
2.促使學生養(yǎng)成良好的學習習慣
很多學生在學習時，對數(shù)學問題知識一知半解，但是又不好意思請教老師、麻煩其他學生，久而久之，學生的數(shù)學能力就會逐漸下降。另外，也有很多學生在遇到一些比較難的數(shù)學題目時，就會放棄不做，而當遇到自己擅長的知識時，就能夠堅持下去。這種壞習慣會嚴重影響學生學習成績的提高。
高三數(shù)學教師應該重視培養(yǎng)學生的良好學習習慣。首先，應該促使學生養(yǎng)成反思的習慣，反思自己為什么找不到思路解題，解這種類型的題目時又應該注意些什么，如果題目變換已知條件，是否還能夠解出。如例題：已知集合A={1，2}，而集合B滿足A∪B={1，2}，那么集合B的個數(shù)有幾個？這道題的重點是鞏固學生之前已學過的集合知識。雖然較簡單，但是卻很典型。這道題目可以變形為①已知集合A有m個元素，那么A的子集是（ ），真子集是（ ）。②已知集合A={1，2}，而集合B滿足A∪B=A，那么A與B的關系是（ ）?？梢?，反思能夠培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力，提高學生的學習效率。
除此之外，教師還應該培養(yǎng)學生一題多解的解題習慣。這樣在學習一道題目時，學生就會自動發(fā)掘出題目中蘊含的數(shù)學知識，并加以融會貫通。如解不等式3
綜上所述，高三數(shù)學教師應該改變教學方法，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，促使學生主動吸收數(shù)學知識。在此基礎上，教師還應該重視培養(yǎng)學生正確的學習習慣、科學的解題方法以及舉一反三的能力。總之，教師應該讓學生理解，并會運用，這樣才能真正提高教師的教學效率。
參考文獻：
[1]常晉珉.對高三數(shù)學教學中學生“懂而不會”現(xiàn)象的思考[J].新課程（中學），2014（2）：33.
關鍵詞：2014年；陜西高考；高考試題淺析
一、回歸課本，體現(xiàn)了試題的基礎性
課本是高考命題的生長地?？v觀陜西近幾年的高考試題，發(fā)現(xiàn)每年都有幾道明顯的課本原題或改編題，2014年更是如此。如，文理科選擇第7題是由數(shù)學必修1第77頁第三章B組第4題改編而來；理數(shù)填空題的第14題，直接取之于選修教材2-2的“歸納推理”第一節(jié)的例1，將著名的歐拉公式設計為考題進行考查，秉承了考課本定理的陜西特色。再回首，2011年余弦定理的證明，2012年三垂線定理的證明，2013年等差等比數(shù)列求和公式的證明，都取之于教材，題目難度不大，得分卻不高。試想，如果從課本選了一個稍難的題目，沒見過很可能想不到，而學校又沒復習到，那老師的責任就大了。這就給我們一再敲響警鐘，高考備考想要扎實全面，回歸課本是很關鍵的一條。
二、命題出其不意，體現(xiàn)了創(chuàng)新性
2014年的高考命題，大刀闊斧地改頭換面，出其不意，讓人意外。首先肢解了數(shù)列的內(nèi)容，沒有出現(xiàn)單獨的數(shù)列解答題，這是解答題布局的新動向。17題的立體幾何與三視圖相結合，以線面平行的性質(zhì)定理為考點，讓人意外，但又在情理之中。18題的向量獨成大題，開創(chuàng)了陜西高考命題設計的先河，第2問將向量與線性規(guī)劃相結合，一反常態(tài)，充分考查了學生的考場應變能力。還有，21題的第1問，應用數(shù)列的歸納推理①求通項，并且結合了數(shù)學歸納法證明；選擇題的第5題考查了幾何體的外接球；第9題代表的統(tǒng)計，沒有考抽樣和頻率分布直方圖，而是考查了平均值與方差的運算性質(zhì)等，都是陜西新課改后的首例，令人耳目一新，也是今年高考試題的亮點所在，充分體現(xiàn)了新課標探索創(chuàng)新的特點。
三、多元知識結合，體現(xiàn)了試題的綜合性
今年的高考試題，極力地體現(xiàn)了交匯命題的原則，充分考查了考生應用所學知識分析問題和解決問題的能力以及思維的靈活性。具體表現(xiàn)在試題的綜合性更強，涉及的知識面更廣。如理數(shù)的16題將解三角形、三角變換、等差等比數(shù)列的性質(zhì)以及均值不等式緊密結合；18題將向量的運算和線性規(guī)劃連為一體；19題將常規(guī)的函數(shù)應用題與概率相結合；21題導數(shù)、數(shù)列繼11年結合應用，今年再創(chuàng)新高，難度更大。凡此種種，表明數(shù)學成績的提高、數(shù)學能力的培養(yǎng)，短期很難見效，這也是很多平時不學習的學生突然狂學一兩個月，可數(shù)學成績并不見提高的原因。
四、命題貼近生活，體現(xiàn)了數(shù)學的實用性
知識源于生活，又用于生活。今年的高考試題很好地詮釋了這一點。文理科數(shù)學選擇題的第10題，從基本函數(shù)式的選擇中，體現(xiàn)了將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的技能。理科數(shù)學的19題，與實際生活中常見的利潤問題結合，考查了概率和分布列。文科數(shù)學的第9題以單位員工的工資為背景，考查了平均數(shù)與方差的運算性質(zhì)；19題以車輛保險為背景考查了概率。而縱觀每年高考試題，不難發(fā)現(xiàn)每年都至少有兩道以上以實際生活為背景的題目。試題貼近生活，體現(xiàn)了數(shù)學與實際生活的密切聯(lián)系以及數(shù)學的實際應用性。
五、隱含高數(shù)背景，體現(xiàn)了試題的選拔性
縱觀陜西各年高考試題，時常會涉及一些高等數(shù)學里的著名函數(shù)、定理以及研究方法，而今年尤為突出。如理數(shù)21題的第2問的恒成立問題，解法之一就是分參之后結合洛必達法則，避免了繁瑣的分類討論，解法簡潔而流暢；第3問本質(zhì)是數(shù)列和的不等式證明，有著高等數(shù)學里調(diào)和級數(shù)的影子，而且證法之一是應用了面積法，巧妙地將題中各式轉(zhuǎn)化為一些圖形的面積，快捷簡便，令人驚嘆。這種方法中隱含了定積分中的“分割、代替、求和、取極限”的部分思想。而這種思想是高數(shù)里面非常重要的一種數(shù)學思想方法。當然，這些題目的解決也有通性通法，只不過相對于通性通法而言，以上方法更巧妙、更快捷。因此，試題充分體現(xiàn)了高考是一種選拔性考試，考查了學生進一步學習的潛能。
應當說，2014年的試題設計符合陜西的考情，杜絕了偏題、難題、怪題，有利于廣大考生數(shù)學水平的正常發(fā)揮，為今后高三的數(shù)學備考起到了良好的引導作用。而我們高三老師在備考中，也應該把學生帶出資料，回歸基礎，走進課本，關注真題，面向全體學生，著眼思維活動，致力于學生思維能力的培養(yǎng)。只有基礎扎實了，思維靈活了，我們才能以不變應萬變，在高考中穩(wěn)操勝券。
參考文獻：
【關鍵詞】高中數(shù)學；復習；高考；歸納與整理
進入了高三，無論是老師還是學生都感覺到了時間的緊迫性.隨著高中數(shù)學課程的改革，高中數(shù)學課的教學時間更加緊迫、任務更加繁重，而高三數(shù)學課復習效率的高低將直接影響學生在高考中的成績.由此可見，提高高三數(shù)學復習課的效率勢在必行.
一、教師重視指導學生對知識點的歸納與整理，助幫學生形成知識體系
在平時的數(shù)學學習過程中，我們所掌握的知識一般都是比較零散的，沒有形成一個體系，這樣就使得學生在解題的過程中，不能很好地對數(shù)學知識進行靈活的運用.在高三數(shù)學復習的過程中，教師就應該對我們平時所學習的、零散的知識點進行歸納和總結，幫助學生對知識形成一個整體的認識.這樣學生在數(shù)學解題的過程中才能更好地融會貫通、靈活運用知識，從而有效提升數(shù)學解題的效率.
為此我羅列了我比較喜歡的幾種方法.（1）運用構圖記憶法.這種形象的方式可以將那些抽象的知R點以及知識之間的層次關聯(lián)通過畫圖表方法直觀地表示出來，幫助學生把知識點以及知識之間的關聯(lián)性形成長久記憶，做到不依賴課本教材也能牢固地掌握，做到及時提取應用.（2）學會進行知識串聯(lián)，建立知識聯(lián)系機制.知識之間都是相互聯(lián)系的，只有找到知識之間的關聯(lián)紐帶，使其具有綜合性，才能跳出章節(jié)的限制，建立清晰的知識網(wǎng)絡，構建完善知識體系.例如函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列以及拋物線等可以建立聯(lián)系機制，加快記憶，加深理解.再如sin2θ+cos2θ=1，可與圓標準方程、圓和橢圓的參數(shù)方程、三角換元等聯(lián)系，二次函數(shù)可與一元二次方程和不等式、等差數(shù)列、解幾中的拋物線等聯(lián)系，使學生跳出書本單一背景的限制，從而走向知識交匯和綜合.（3）利用問題紐帶，建立知識動態(tài)聯(lián)系.利用問題激發(fā)學生思考，用思想方法建立知識聯(lián)系，幫助學生對知識再認識，產(chǎn)生新知，完善健全知識體系.
在復習數(shù)列這個知識點的時候，指導學生對等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)進行歸納并且進行對比，而對于由遞推關系求通項的方法進行整理，歸納出累加法、疊乘法、待定系數(shù)構造等差等比數(shù)列法、取倒數(shù)法、Sn與an法、對于數(shù)列求前n項和問題有公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法、并項求和法.在復習拋物線時把拋物線的四種情況的標準方程、圖像、頂點、對稱軸、焦點、準線、焦半徑歸納小結.
二、研究考試綱要，總結高考基本規(guī)律
作為高三教師，如何讓學生少走彎路，提高復習的效率，讓學生們打場有把握的仗是教師們面對的嚴峻挑戰(zhàn)，對此，教師們要仔細研讀《普通高中數(shù)學課程標準》以及省內(nèi)的考試說明，明確思路，有針對地開展復習工作.同時，教師還要明白高考命題方向，如近幾年高考大綱堅持難題不怪的出題原則，注意學生對通法基礎的掌握，減弱了對學生高難度思維技巧的考查，所以教師要本著扎實基礎，掌握通法的原則制訂復習方案，立足于課本教材，從基礎知識抓起，梳理知識、搭建完善知識體系，著重挖掘例題涵蓋的內(nèi)涵，熟練掌握通法解題技巧，并且針對重點、難點進行技能強化訓練.
三、建立實效思路，制訂高效復習方案
復習方案在復習過程中起到了至關重要的作用，所以如何制訂一個好的復習方案是教師們面臨的挑戰(zhàn)，但由于學生的基礎參差不一，增加了方案的制訂難度.所以教師首先讓學生們做好“戰(zhàn)斗”的思想準備，讓學生們知道高三一年的學習計劃，并督促自己按照計劃施行.
第一輪高考復習教師要注意計劃的可實施性，合理科學，以教材為依托，根據(jù)學生的實際情況，設計難度、深度適中的方案，做到方案可行、合理、周密；第二輪的復習方案要因人而異，選擇一套適合自己的復習資料，并且根據(jù)實際情況，制訂一套最適合自己的復習方案；最后一輪復習則是以大量的“實戰(zhàn)練習”為主了，能有效摸清學生的真實狀況，查漏補缺，完善自己的不足.
四、教給學生方法，促使學生通過自主探究完成對知識點的回顧
對高三學生，主要的做法是教給學生方法，讓學生對一些典型題進行自主探究解題后的反思、發(fā)散和提高，舉一反三，觸類旁通，力爭讓學生的數(shù)學復習達到一個新的高度.
例如，已知ABC，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，其中邊長c為定值，請你建立適當?shù)淖鴺讼?，并添加適當?shù)臈l件，求出點C的軌跡方程.學生們主動探尋，大膽創(chuàng)新，所添條件豐富多彩，現(xiàn)展示部分如下：
（1）添加條件：a+b=m（m>c）.
（2）添加條件：a-b=m（0
（3）添加條件：頂點C到兩個定點連線斜率的乘積是定值k（k≠0）.
（4）添加條件：ABC的面積是定值m（m>0）.
（5）添加條件：∠B=2∠A.
（6）添加條件：a，b，c成等差數(shù)列.
……
數(shù)列是高中數(shù)學中一個非常重要的知識點，又是學習高等數(shù)學的基礎，所以在高考中占有很重要的地位，也是高考數(shù)學必考的內(nèi)容之一.其主要考查學生對數(shù)列的公式記憶能力、理解能力、邏輯推理能力、思維分析能力、運用知識解決實際問題的能力.在解決數(shù)列這類問題時，我們常運用方程或不等式組的思想、函數(shù)的思想、化歸思想，所以我們必須重視數(shù)學思想方法的探究.著名的數(shù)學教育家弗賴登塔爾說過：與其說是學習數(shù)學，還不如說是學習數(shù)學化；與其說是學習公理系統(tǒng)，還不如說是學習公理化；與其說是學習形式體系，還不如說是學習形式化.由此可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學思想方法對我們認識世界相當重要.下面我就結合數(shù)列的學習，簡單地闡述數(shù)學思想方法的教學.
一、運用方程或不等式組的思想解決有關數(shù)列問題
等差數(shù)列有兩個基本量a■、d（等比數(shù)列是a■、q），等差（等比）數(shù)列的兩個基本問題a■、S■，都可以用兩個基本量表示，所以我們可以列出有關方程組（或不等式組）來求解，這種方法可稱為方程法（或不等式組法）.
例1：在等差數(shù)列{a■}中，已知a■=10，a■=25，求a■.
思路一：由題意，可求出a■和d，然后由等差數(shù)列的通項公式，便可求出a■.
解法一：設等差數(shù)列{a■}的首項為a■，公差為d，則由題意得：a■+4d=10a■+14d=25
這樣就轉(zhuǎn)化成以a■和d為未知數(shù)的方程組，可解得a■=4，d=■.
這個數(shù)列的通項公式為：a■=4+■×（n-1），即：a■=■n+■，a■=40.
思路二：如注意到a■與a■，可求出a■，后直接用關系式a■=a■+（n-m）d，可簡化運算.
解法二：由題意可知：a■=a■+10d，即25=10+10d，10d=15.
又a■=a■+10d，a■=40.
思路三：如注意到在等差數(shù)列{a■}中，a■，a■，a■也成等差數(shù)列，則利用等差中項關系式，便可直接求出a■的值.
解法三：在等差數(shù)列{a■}中，a■，a■，a■成等差數(shù)列，2a■=a■+a■，即a■=2a■-a■，a■=40.
例2：一個首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前六項均為正數(shù)，第七項起為負數(shù)，則它的公差是多少？
解：由23+（6-1）d>023+（7-1）d
[練習]在等差數(shù)列{a■}中，若a■+a■+a■=12，a■a■a■=28，求{a■}的通項公式.
答案：a■=-■n+■.
總之，數(shù)列的通項公式與前n項和的公式都緊密聯(lián)系a■，d，q，a■，S■五個基本量，“知三求二”是一類最基本的運算.因此方程或不等式組的觀點是解決此類問題的基本數(shù)學思想與方法.
二、運用函數(shù)與數(shù)形結合思想解決有關數(shù)列問題
數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式和前項求和公式都可以看成是函數(shù)，特別是等差數(shù)列的通項公式可以看成是一次函數(shù)，因此許多數(shù)列問題可以用函數(shù)的思想進行分析.
例3：若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a■=q，a■=p，求a■.（如圖）
分析：不妨設p
數(shù)列的項以函數(shù)上的點的形式給出，將數(shù)列和函數(shù)的性質(zhì)相結合，究其本質(zhì)，依然還是對數(shù)列的基本知識進行考查.在本題中，利用函數(shù)的性質(zhì)，將本來沒有太多關系的數(shù)列轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)圖像上一些點，從而使問題顯得明朗而簡單.
三、運用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決有關數(shù)列問題
在處理數(shù)學問題時，我們將待解決的問題通過化歸與轉(zhuǎn)化的思想，使問題轉(zhuǎn)化成較容易的問題，這是數(shù)學學科特有的思想方法，化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題、難題轉(zhuǎn)化為熟題、易題，將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將未解決問題化歸為已解決問題.
例4：（2009年萊陽高三理）若數(shù)列{a■}滿足■-■=d（n∈N■，d為常數(shù)），則稱數(shù)列{a■}為調(diào)和數(shù)列.已知數(shù)列{■}為調(diào)和數(shù)列，且x■+x■+…+x■=200，則x■+x■=？搖？搖 ？搖？搖.
分析：根據(jù)調(diào)和數(shù)列的定義，可以看出其倒數(shù)數(shù)列符合等差數(shù)列的定義，由此可以轉(zhuǎn)化，利用等差數(shù)列的定義求出前n項和.
關鍵詞：新課程；高三；教學措施；思考
對于高三數(shù)學來講，其重點就是抓復習，教師的主要作用就是帶領學生進行知識匯總，為學生穿針引線，組建知識網(wǎng)絡體系，讓學生在復習的過程中不斷提升自身的學習能力。但是現(xiàn)階段很多教師在教學時都是被復習資料牽著走，脫離課本，也不從學生的實際情況出發(fā)，當然也難以有效解決學生存在的問題，最后就出現(xiàn)與新課程背道而馳的情況，這些都違背了新課程的標準和要求。
一、抓重點，解決難點
高三學生的課程教學中也會遇到一些沒見過的重難點問題，教師在教學的過程中不能夠籠統(tǒng)的講解，還應該針對某個重點，某個難點問題展開針對性的講解。因為教師講得太籠統(tǒng)，學生就會有種摸不著頭腦的感覺，長時間下去，學生就會不知所云，教師講得筋疲力盡、口干舌燥，教學質(zhì)量非常低，倘若要轉(zhuǎn)變這種情況，就需要依照新課程的相關要求，因材施教。例如，在復習三視圖及空間幾何體的計算時，首先學生應掌握畫圖的基本要求：正俯一樣長，側俯一樣寬，正側一樣高；其次解決由三視圖確定幾何體的形狀并求表面積或體積時要知道遵循：先確定幾何體的大致輪廓，然后利用三視圖中的實線和虛線通過切割、挖空等手段逐步調(diào)整，得出幾何體的形狀，最后利用相關公式計算即可。學生只要把上述所講弄明白了，解決這類問題的重點和難點也就突破了，再通過練習讓學生去體驗、思考感悟，相信最后教給學生的是方法更是鑰匙。
二、鼓勵學生及時對知識點進行歸納總結
對于高三的學生而言，他們已經(jīng)掌握了一定的數(shù)學基礎知識，但是在考試解題時總是找不到突破口，當教師為學生解答之后，學生也總是會說“我當時怎么就沒有想到呢？原來這么簡單”。那么學生為什么會出現(xiàn)遇到各種解答題的時候無法下手，找不到突破口呢？就是因為學生在做完一個題型或者是老師講述完一個題型后沒有對其中的知識點和解題突破點進行總結，缺乏解題的經(jīng)驗和手段。所以每遇到一個不同的題型他們就覺得解答起來很吃力，那么怎樣總結知識呢？本文主要闡述了以下幾點：
第一，從知識層面上來講，看題中有無可以直接看出來的概念、公式等，對于這些出現(xiàn)在題中的概念、公式，解題時是怎樣應用的。第二，從方法層面上面來講，教師在解答這些題型時，用到了什么解題方法，為什么教師能夠想到用此法，自己有無掌握教師的解題方法和解題技巧。第三，學生拿到題目后，首先應該觀察這屬于哪種題型，平常我們在解答這一題目時都用了什么解題方法。學生在總結題型的過程中，教師不能夠不讓學生思考就自行幫助學生歸納總結，這樣會讓學生養(yǎng)成不自己動腦思考的習慣，教師還應該讓學生跨過門檻，自己總結這屬于什么題型。例如，在高三的一次數(shù)學課堂上，在復習數(shù)列這一章的內(nèi)容時，數(shù)列的求和是困惑學生的知識難點，那么教師就應該多找出幾個數(shù)列方面的例子，讓學生根據(jù)這些例子，先從解答簡單的題型，再到困難題型的解答，將這些知識點歸納總結起來，尋找其解題突破口。
例如：
1.設x+1，5成等比數(shù)列，求x+1中的x=？
2.求數(shù)列中各項的和。
3.設a為一常數(shù)，那么求數(shù)列中a，2a2，3a3，…，nan，…的前n項和。
要求學生將這些題型中最簡單的一道題型解出來，然后再“依葫蘆畫瓢”，最終都取得了較好的解題效果，倘若此時學生都已經(jīng)將題的答案解答出來了，此時教師的重要任務就是鼓勵學生總結知識，并總結在解答此題時所用到的方法，那么下次再遇到同樣的問題，學生就會胸有成竹了。
三、精講細練，從實踐中掌握知識
教師在為學生復習某個知識點或者講述某個新知識點的過程中，應該做到精講細練，并鼓勵學生多做練習，教師還可以依照知識點的難易程度等為學生尋找一些練習題，從簡單到困難，還要要求學生在解題時不僅要尋求速度，還要尋求質(zhì)量。因為在高考時，時間不等人，不能夠像平常解決問題時那樣可以思考半天，當學生將這些例題完全解答后，教師再為學生講解習題答案時，學生也要積極、主動地響應教師，而不是教師在上面滔滔不絕，學生在下面沉默寡言。解答結束后，教師還應該讓學生對所解的題進行歸納、總結。倘若學生解答錯了，要幫助學生尋求錯誤點在哪里，下次遇到此題時就知道該怎樣解答了。
總之，對于高三數(shù)學來講，除了要復習舊知識，還要不斷學習新方法，在新舊交替學習的過程中歸納、總結知識點，增強學生的學習質(zhì)量和效率，提升學生的學習能力。不過在這過程中，除了以上所說的幾點之外，教師還應該教會學生靈活運用各種解題方法。例如配方法、定義法、換元法、反證法等。與此同時，在用這些方法解題時還要不斷培養(yǎng)學生的空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，數(shù)據(jù)處理能力以及應用意識和創(chuàng)新意識等，這樣才能不斷滿足新課程的標準和要求。
參考文獻：
1.童先峰.高三數(shù)學復習課開放性教學設計的探索與實踐[J].中學數(shù)學研究，2013（9）：6-8
在這次高考中，我的數(shù)學單科考了138分，雖然個人對結果不是很滿意，但是還是對得起自己高三一年來的付出，沒有辜負家長與老師的期待.而今年八月，我們又將迎來新的一屆高三，迎來新的太陽.因此，我想借這個機會，和大家分享一下自己在高三一年中復習的心得與體會，希望自己的綿薄之力能幫助學弟學妹們充實而順利地度過高三，取得自己人生的輝煌.
一、善于聯(lián)想
拿到題目后的第一眼，若不能很順利地產(chǎn)生思路，就需要進行聯(lián)想.這個聯(lián)想，可以是遷移，可以是轉(zhuǎn)化.舉一個簡單的例子：設函數(shù)f（x）= 上兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），若 = （ + ），且點P的橫坐標為 ，若Sn=f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（ ），求Sn.我們可以輕易地得出當x1+x2=1時，有f（x1）+f（x2）=1，我們又看到 + =1，故f（ ）+f（ ）=1，但是前n-1項的項數(shù)到底是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？是不是還要分奇偶來討論呢？如果分奇偶討論的話，當n-1是奇數(shù)時，那奇數(shù)項中的中間項又該如何表示呢？如果順著這條路想下去，不難發(fā)現(xiàn)，我們將陷入死胡同當中.那么，該怎樣利用這么巧妙的條件呢？如果我們仔細回憶并展開聯(lián)想，就會發(fā)現(xiàn)在學習數(shù)列求和的時候，推導前n項和的公式所利用的方法是倒序相加法，其中a1+an=a2+an-1=…，這不恰恰與f（ ）+f（ ）=1類似嗎？那么如果我們將倒序相加法遷移到這道題上來，這道題目便迎刃而解了.其實這種聯(lián)想的方法不僅僅適用于數(shù)學，在其他學科的學習上，甚至于生活中，聯(lián)想也是十分重要的一種思維方式.
二、善于總結
總結方法，總結規(guī)律是學習數(shù)學的良方.那數(shù)列求和的常用方法來舉例：倒序相加法、裂項相加法、錯位相減法、累加累乘法、待定系數(shù)法等方法，很多同學把他們搞得很混亂，不知道什么情況或題型該用什么方法.其實，通過觀察與總結，我們可以大致得出下面這些較為粗略的規(guī)律：當通項的表達式是一個分母為多項式乘積的分式時，使用的一般是裂項相加法；當通項是等差與等比的乘積時，一般使用錯位相減法；當通項的表達式是相鄰兩項之間的比例關系，那么多用累乘…通過總結方法，我們可以將不同題型的解題思路熟練的掌握并熟練的運用，做到“思路如泉涌”，一下子就能打開思路，找到正確的解題道路.
三、善于反思與回顧
很多同學肯定聽說過錯題本法，但是又覺得這個方法過時老套且耗費大量的時間來摘擇題目，那么我便介紹一種較為“新穎”的方法：一擇二藏三瀏覽.一擇是指將自己認為有價值的題目精選出來.有些同學會將自己做錯的題全部都摘擇出來，但是其實不需要，因為有些題目可能是粗心或者不小心而做錯的，這些題個人覺得完全沒有必要選擇出來，如果選擇出來反而可能會浪費時間；二藏是指將其進行標注（覺得有必要的同學可以將他剪下來，貼在自己的數(shù)學本中，個人覺得這樣更有利于復習）；三瀏覽就是經(jīng)?；仡檹土?，瀏覽自己曾經(jīng)摘擇下來的題目，在此基礎上在反思.反思的內(nèi)容可以包括以下幾個方面：1. 當初做這道題的思路以及正確的思路，通過這樣可以看到自己解題思路的不足或是不完善的地方，以此來完善、改進；2. 標注出解題步驟中的疑難點或是難以想到的步驟，并寫上難以想到的原因，這樣可以加深印象；3. 方法總結.很多同學的錯題本只有題目和答案，沒有自己的思考和總結，這恰恰是不當?shù)男袨?因為人的記憶是有遺忘規(guī)律的（剛剛記憶完畢，100%；20分鐘，58.2%；1小時后，44.2%；8-9小時后，35.8%；1天后，33.7%；2天后，27.8%；6天后，21.1% ），如果不是印象很深刻的題目，即使有了答案，回頭看的時候也難免會生疏.這個時候，同學們可能又會拿著錯題本去找老師，這樣便浪費了時間.所以，我們可以在摘擇的錯題旁邊，寫上自己對這種解題方法的理解和認識，如果你思考得夠深入，說不定還能想到其他好解法呢！而且通過自己的詮釋，可以更好地理解、記憶.通過這樣的復習，我們可以將自己曾經(jīng)不懂的或者自己認為有價值的題目收入囊中，將解這道題的方法變?yōu)樽约旱摹胺▽殹?
四、善于構造
數(shù)學是一門注重邏輯與思考的學科，它卻不死板.每一次邏輯的“轉(zhuǎn)彎”都充滿了美感和樂趣，這需要你細心的觀察和霎時間的靈感激發(fā)，特別是創(chuàng)造性的思維.用下面一道題目來舉例：設a1，a2，a3，…，an為互不相等的正整數(shù)，求證：a1+ + +…+ ≥1+ +…+ .初看這條題目，我們覺得無從下手，左邊的似乎可以利用錯位相減法，但是又不知道{an}是一個什么樣的數(shù)列，而且分母也不是等比數(shù)列.而且條件十分簡單，那么我們該怎么辦呢？在腦海中似乎也沒有相關的解法能讓我們挪用，但是仔細觀察可以看到：左邊的式子若將分母全部提取出來便變成：1+ +…+ ，和右邊的1+ +…+ 十分相像，只需將左邊各項開方即可，那么在我們的知識體系中，有什么是開方的呢？這樣一聯(lián)想，我們便自然而然地想到了基本不等式.但是，若要這樣利用基本不等式，便要消掉分子上的a1，a2，…，an等數(shù)，那么該如何消掉呢？這時候，我們便想到了解基本不等式題時常用方法：乘一個數(shù)值為一的多項式來達到運用基本不等式的目的.那么我們便可以如下假設：設A=a1+ + +…+ ，B= + +…+ ，則A+B=（a1+ ）+（ + ）+…+（ + ）≥2（1+ +…+ ），因為a1，a2，…，an為互不相等的正整數(shù)，所以B≤1+ +…+ ，因此A≥1+ +…+ ，故原不等式成立.
關鍵詞：中等生；例題教學；有效性
問題的提出
2011年有幸觀摩了一堂高三有關不等式問題的復習課. 教師用PPT顯示一組題，讓學生分小組進行討論，然后小組派代表來闡明解題思路，教師只略微點撥，最后進行練習. 整堂課學生情緒高漲，思維活躍，練習準確率也很高.
引例 已知函數(shù)f（x）=8x2+16x+m（其中m∈R），g（x）=2x3+5x2+4x.
（1）對任意的x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求m的取值范圍；
（2）存在x∈［-3，3］，有f（x）≤g（x）成立，求m的取值范圍；
（3）對任意的x1，x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g（x2）成立，求m的取值范圍；
（4）對任意的x1∈［-3，3］，存在x2∈［-3，3］，使得g（x2）=f（x1）成立，求m的取值范圍.
筆者覺得這個例題很好，將不等式中似是而非的問題串起來了. 回校后，筆者也用了這些題和這樣的教學模式在自己的高三（3）班上進行教學，但教學效果不盡如人意.但在高三（4）班進行教學時，做了一些調(diào)整，收效很好，80%以上學生明白每小題之間的本質(zhì)區(qū)別與聯(lián)系.
調(diào)整后的教學過程如下：
例題中每個小題是通過PPT一個個地展現(xiàn)的，若5個小題全部顯示，會分散學生的課堂注意力. 因為題（1）是學生接觸較多的題型，教師讓學生自己解答，然后將題（1）的詳解展示在PPT上.
解：（1）任意的x∈［-3，3］，f（x）≤g（x）恒成立，即m≤2x3－3x2－12x在x∈［-3，3］上恒成立. 記h（x）=2x3－3x2－12x，由題知m≤hmin（x），x∈［-3，3］. 因為h′（x）=6x2－6x－12，令h′（x）≥0，得x≥2或x≤－1，所以y=h（x）在［-3，-1］上遞增，在［-1，2］上遞減，在［2，3］上遞增.
又h（－3）=－45，h（2）=－20，
所以hmin（x）=－45，從而m≤－45.
學生進行校對，然后教師和學生一起總結：題（1）恒成立問題化歸為求函數(shù)的最值問題.
展現(xiàn)題（2），留給學生思考時間，學生必會將題（1）與題（2）進行對比思考. 學生在原有知識基礎上能判斷出題（2）是存在性問題，即是不等式有解問題，學生能做到將題（2）化歸為m≤h（x）max，x∈［-3，3］. 在題（1）基礎上，易知h（x）max=7，得m≤7.
展現(xiàn)題（3），留給學生思考時間. 教師引導學生將題（1）與題（3）進行對比思考，學生在教師有目的的引導下，感受到題（1）中不等式f（x）≤g（x）兩邊的x是同時取相同的自變量的值，而題（3）中不等式f（x1）≤f（x2）兩邊的x1，x2的變化是互不影響的. 學生隨即將題（3）化歸為求使f（x1）max≤g（x2）min，x1，x2∈［-3，3］成立的m的取值范圍問題.
解：當x∈［-3，3］時，f（x）=8（x+1）2+m－8，則fmax（x）=120+m.
又g′（x）=6x2+10x+4，令g′（x）≥0，解得x≥－或x≤－1；
于是g（x）在［-3，-1］遞增，在－1，－遞減，在－，3遞增；
又g（－3）=－21，g－=，
故gmin（x）=－21. 由題知，只需120+m≤－21，得m≤－141.
?搖?搖展現(xiàn)題（4），留給學生思考時間，在題（3）的基礎上，學生明白等式g（x2）=f（x1）兩邊的x1，x2的變化是互不影響.筆者觀察學情后，讓數(shù)學基礎好的學生來說明解決此題的關鍵在于如何理解任意的x1∈［-3，3］，存在x2∈［-3，3］這兩個條件在題中的作用，只要f（x）的值域包含于g（x）的值域即可. 教師將學生的表述潤色為，此問題可化歸為f（x）的值域是g（x）的值域的子集.在題（3）的基礎上可得f（x）∈［m－8，120+m］， g（x）∈［－21， 111］，于是只需m－8≥－21，120+m≤111，解得－13≤m≤－9.
教師運用相同的例子對兩個同等水平的班級采取了不同的教學方式，得到了不同的教學效果，為什么會這樣？究其原因，問題的關鍵在于例題的后一種教學方式更適合本校學生的學情. 心理學家維果茨基關于“最近發(fā)展區(qū)”的理論認為，學生有兩種發(fā)展水平：一種是現(xiàn)有發(fā)展水平，即已經(jīng)達到的發(fā)展水平；另一種是潛在發(fā)展水平，即可能達到的發(fā)展水平，主要包含在教師指導下，通過自己的努力才能完成的智力任務. 原單位生源好，教師在平時的教學中也常強調(diào)這種解題方式，學生對問題的分析、對比和轉(zhuǎn)化能力強. 經(jīng)過學生相互之間的討論，絕大多數(shù)學生對問題的認識能夠更上一層樓. 而高三（3）班學生數(shù)學水平中等，這些問題本來就不是很清楚，堆在一起就更暈了，題組所需要的數(shù)學思維和能力已經(jīng)超過了（3）班學生的“現(xiàn)有發(fā)展水平”，不能把學生的潛在發(fā)展水平進行開發(fā)，因此筆者的點撥只對部分學生起了作用，導致小組討論失敗了. 而在高三（4）班的例題教學很好地運用了“最近發(fā)展區(qū)”理論，筆者從學生熟悉的知識出發(fā)，引導學生層層轉(zhuǎn)化.通過題與題之間的對比，讓學生認清了題與題之間的區(qū)別與聯(lián)系，使學生更好地將其內(nèi)化成自己的知識. 筆者成功地將學生的現(xiàn)有發(fā)展水平不斷向前推進，激發(fā)了學生的潛在發(fā)展水平.
高三的數(shù)學復習往往是圍繞著例題教學展開的，例題教學在于精，不在于多. 美國著名的教學設計研究專家馬杰（R.Mager）指出，教學設計依次由三個基本問題組成：首先是“去哪里”，即教學目標的制訂；接著是“如何去那里”，包括學習者起始狀態(tài)的分析、教學內(nèi)容的分析與組織、教學方法與媒介的選擇；最后是“如何判斷已經(jīng)到達了那里”，即教學評價. 也就是說，教學設計首先要解決的是“去哪里”即“教什么”的問題，也就是教學目標的定位；其次是“怎么教”，即方法和策略的問題. 因此，例題教學是否科學，是否合情合理，直接關系著高考目標實現(xiàn)的高低.
以中等水平為本的例題選編策略
1. 研究教材，嚴格以綱為綱，不超綱
教學有效的一個有效檢驗標準是考試分數(shù)的高低. 近幾年來高考試題穩(wěn)中求新，穩(wěn)中求變，個別試題的靈活度有所加大，但從未超綱. 萬變不離其宗，其所考查的內(nèi)容和范圍都以《考綱》為憑，其考查的要求和說明都是以《考試說明》為依據(jù)的. 《考試說明》是由國家教委考試中心頒發(fā)的高考法定性文件，規(guī)定了考試性質(zhì)、內(nèi)容、形式等，特別是明確指出了考試內(nèi)容和考試要求，也就是說要考的知識點及各知識點要考到什么程度均有明確規(guī)定. 現(xiàn)在不少學校的數(shù)學教師在高二期末會選擇一本高三復習用書，到高三復習階段就以這本輔導書為數(shù)學復習的主要教材，表面上復習得很到位了，卻不知犯了以偏概全的毛病. 原因主要有兩個：①每本教輔書的編寫者往往是以他自己的觀點來編寫參考書的，存在片面性. 有的教輔書更甚至于翻印了前幾年參考書或其他出版社的參考書的部分內(nèi)容，也不管是否超出本省的《考綱》和《考試說明》的范圍. ②為了對每一個孩子公平，每年各省出高考的專家們都是以高中課本、《考綱》和《考試說明》為參考書進行高考試題的編寫. 因此教師應以課本為本，以《考綱》和《考試說明》為依據(jù)，在備課前應該認真研讀《考試說明》和《考綱》對數(shù)學每一章節(jié)的要求和整體要求，明確“考什么”“考多難”“怎么考”；也要學會借鑒當年各地各校編寫的教輔資料，集眾家之力量， 結合自己學生的學習情況，缺什么就補什么，缺多少就補多少，進而確定“選編什么例題”，使其對中等生的高考更加有效.
2. 研究高考
仔細推敲近幾年，特別是近三年的高考試題的命題特點，熟悉高考試題的題型和要求，明確高考試題形式、題型分布、知識點的覆蓋規(guī)律、每年高考試題的創(chuàng)新亮點、思想方法考查的切入點、能力考查的力度等，對了解高考命題方向、把握高三復習方向有很好的指導作用. 例如2009年之前，全國有關函數(shù)高考壓軸題?？记蠛瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間，或用函數(shù)的單調(diào)性解參等. 而2009年浙江高考命題組突破常規(guī)，考查了函數(shù)在區(qū)間上的不單調(diào)問題. 有些學校這一題的得分情況很好，一方面反映了該校學生靈活的解題能力，另一方面也反映了該校的教師很好地在研究各地的有關函數(shù)高考題的情況，并在2009年高考復習時已經(jīng)選編過這類題型. 又如2010年浙江數(shù)學高考理21題與2006年湖北數(shù)學高考理21題是驚人的相似，浙江卷命題組教師在湖北卷基礎上，結合本省的《考試說明》推陳出新. 因此，教師應通過研究高考，幫助中等水平的學生能攻克80%左右的經(jīng)典題和重點題，幫助他們反復對比，并將其內(nèi)化成自己的知識.
3. 研究學生
例題教學的起點是學生的學情現(xiàn)狀. 筆者執(zhí)教學校學生的總體水平在杭州屬中等，近幾年該校的數(shù)學理科高考平均分約在108左右. 每年浙江省高考卷?？汲Ｐ拢尘靶路f、設問創(chuàng)新，但絕大多數(shù)試題，至少80%，新中見舊，屬于舊題翻新，形變質(zhì)不變；而真正意義上的創(chuàng)新試題不足20％. 而該學校的主要目標是使學生能很好地答完高考試卷的80%，剩下的部分盡可能多拿分.中等學生的思維特點主要有：（1）對公式的理解片面，顧此失彼. （2）運算過程中，觀察對象不仔細. （3）思考問題時，忽視問題的特殊性. （4）面對多種情況，忽視分類討論. （5）解決問題時，用特殊代替一般. （6）面對隱蔽問題，不會挖掘隱含條件. （7）缺乏逆向思維，考慮不周全. （8）思維不嚴謹，解題粗心馬虎. （9）概括能力差，缺少反思和歸納. （10）對數(shù)學問題的數(shù)學本質(zhì)認識不足. 通過幾屆高三教學，筆者一直在思考一個問題：如何對中等生進行有效的例題教學，使其更靈活地應用于高考？
以中等生為本的課堂教學策略
任何一名學生都是喜歡思考問題的.中等生已經(jīng)掌握了較多的解題方法，其不能靈活地應用或掌握的知識是支離破碎的，當教師點明題意或引導思考時，中等生能從學過的知識中找出解題的方法. 教師對例題教學想說明什么問題，學生會在例題求解中出現(xiàn)怎樣的狀況，教師應該用怎樣的問題引起他們的思維，教師要有一個預見性的診斷. 教師應針對學生的理解困難，以知識的“再發(fā)現(xiàn)”為線索，預設置一些好的“腳手架”，引導學生獨立思考和探索，建構知識的發(fā)生、發(fā)展過程. 讓學生在這個情景中去體驗、思考數(shù)學問題，去感受挑戰(zhàn)困難、戰(zhàn)勝困難的愉悅. 如果教師只是自己理解了知識，卻不知道以什么方式將這種理解傳達給學生，那么知識就只是不可言傳的“個人特技”. 因此要開展有針對性的課堂教學模式，力求逐個突破.
1. 淡化形式，尋求本質(zhì)，突破難點
數(shù)學問題千變?nèi)f化，例題教學歸根到底是為了提高學生分析問題和解決問題的能力，是為了培養(yǎng)學生能較為迅速地尋求和發(fā)現(xiàn)走哪條路達到目標可能是最近的意識和能力. 尋到問題的本質(zhì)，復雜問題總是由簡單問題組成的. 在例題教學時，要注意引導學生想想它的簡單情形，可以考慮或轉(zhuǎn)化成熟悉的等價命題，或主動元與被動元互換等，從而把較復雜的問題轉(zhuǎn)化為一個簡單的問題. 這樣就能以解決簡單的問題作為跳板，從中尋找方法或受到啟發(fā)，再“進”到復雜問題.正如數(shù)學家華羅庚所說：善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅. 在這一“退”一“進”之間，挖掘問題的本質(zhì).
例1 （2008年浙江理10）如圖1，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內(nèi)運動，使得ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（ ）
A． 圓 B． 橢圓?搖
C． 一條直線?搖?搖 D． 兩條平行直線
圖1
例2 （2010年浙江理22題）已知a是給定的實常數(shù)，設函數(shù)f（x）=（x－a）2（x+b）ex，b∈R，x=a是f（x）的一個極大值點．（Ⅰ）求b的取值范圍；（Ⅱ）略.
例3 （2009年浙江文21）已知函數(shù)f（x）=x3+（1－a）x2－a（a+2）x+b（a，b∈R）.
（Ⅰ）略；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（－1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍.
針對中等生的思維特點：對數(shù)學問題的數(shù)學本質(zhì)認識不足；缺乏逆向思維，考慮不周全等，設計了以上例題. 通過例1，教師傳授一種解題思路：通過主動元與被動元互換，將主動元點P在被動元平面α上形成的軌跡轉(zhuǎn)換成被動元平面α截以AB為旋轉(zhuǎn)軸，主動元點P到直線AB距離為半徑的圓柱體形成的軌跡，抓住了問題的本質(zhì)，簡化了形式. 教師也適時指出該問題的知識來源于課本（選修2-1）P42探究與發(fā)現(xiàn)（為什么截口曲線是橢圓），讓學生明白高考既源于課本，又略高于課本. 利用例2的教學，教師讓學生體會到，面對題型熟悉而常規(guī)求解無法進行時，可以通過等價條件將問題轉(zhuǎn)化，即“x=a是f（x）的一個極大值點”等價于“x=a處左邊附近f（x）單調(diào)遞增，右邊附近單調(diào)遞減”，或等價于“y=f′（x）在x=a處左邊附近函數(shù)值為正，右邊附近函數(shù)值為負”，或等價于“方程f′（x）=0根的分布問題”，即“方程［x2+（3－a+b）x+2b－ab－a］=0有兩個實根，一個大于a，另一個小于a”. 當然，中等生對f（x）=（x－a）2（x+b）ex的求導往往是將其先展開成多項式和再求導，使得整個解題后續(xù)工作無法進行. 此時教師需要引導，并展現(xiàn)整個解題過程以便中等生能理解和掌握. 利用例3的教學，教師引導學生學會正難則反的思維方法.要求解原問題，可以通過反面“函數(shù)f（x）在區(qū)間（－1，1）上單調(diào)”來解決，即等價于“方程f′（x）=0至多有1個實根”. 教師適時指出這三道題在當年高考時學生的得分都很低，其實如果我們學會抓住問題的本質(zhì)，難題也變可解題、容易題. 這種題型的教學可以鼓舞中等生的士氣，激發(fā)學生的興趣.
2. 例題呈現(xiàn)方式，突破知識零散性
高二結束，學生已經(jīng)學完了考綱中規(guī)定的高中全部數(shù)學課程，學生對數(shù)學概念、定理、公式、基本數(shù)學方法已較好地掌握，但較分散. 針對學生存在的思維特點，要想在有限的時間內(nèi)進行有效的復習，教師要幫助學生對已掌握的零碎的數(shù)學知識進行歸類、整理、加工，使之規(guī)律化、網(wǎng)絡化；對知識點、考點、熱點進行思考、總結、處理，使學生掌握的知識更為扎實、更為系統(tǒng)，讓學生更具有實際應用的本領，更具有分析問題和解決問題的能力. 同時將學生獲得的知識轉(zhuǎn)化成為能力，從而使學生做到：總復習全面化，普通的知識規(guī)律化，零碎的知識系統(tǒng)化. 教師在例題教學中可以常用題組教學、變式教學、知識交匯點教學、專題教學等形式，將知識進行有機的整合，逐漸完善中等學生的思維.
（1）題組教學
教師選擇題組進行有效教學，能讓學生真正弄懂形同質(zhì)異或形異質(zhì)同題的求解問題，改善中等生思維上的不足，如概括能力差，缺少反思和歸納；思考問題時，忽視問題的特殊性；對數(shù)學問題的數(shù)學本質(zhì)認識不足；面對隱蔽問題，不會挖掘隱含條件等. 如引例中的幾個小題，這類函數(shù)問題是?？汲ｅe，在高一、高二的教學中，很多時候都是分開教學，學生并沒有真正理解這一類題目. 在高三教學中，將這幾個題有效地組織在一起教學，可以提高中等生的分析概括能力. 求參問題也是中等生很頭痛的問題，如下例.
例4 1. 已知方程2sin2x－cosx－a=0有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.
2. 已知函數(shù)f（x）=（a∈R），在x∈（－∞，1）時，f（x）有意義，求實數(shù)a的范圍.
3. 已知函數(shù)f（x）=lg（a－ax－x2），若f（x）>0的解集為（2，3），試求實數(shù)a的取值范圍.
教師利用例4題組對比教學，讓學生明白：第一，無論是在閉區(qū)間上方程的有實根問題來求參數(shù)還是不等式恒成立來求參數(shù)，往往都可用分離變量法將其轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的交點問題；第二，不等式的解集問題本質(zhì)上是方程的根的問題，只要通過代入根就可求解參數(shù).通過這類問題的集中教學，可以使學生認清問題的本質(zhì). 當然，教師也要強調(diào)，題中涉及換元時要注意新元范圍的變化，以改善中等生思維不嚴謹性.
再如在導數(shù)概念及其幾何意義的復習課中，數(shù)學《大綱》要求：理解導數(shù)的幾何意義. 根據(jù)高二時學生在這個知識點上常見的錯誤，筆者為學生選編以下例題.
例5 曲線y=4x－x3在點（－1，3）處的切線方程是________.
課堂練習：1. 直線y=x+b是曲線y=lnx的一條切線，則實數(shù)b=________.
2. 過原點作曲線y=ex的切線，則切線的斜率是________.
3. 已知曲線y=x3+，則過點P（2，4）的切線方程為________.
通過例題和課堂練習讓學生理解：1. 在某點處的導數(shù)的幾何意義為過該點的切線的斜率；2. “在某點處的切線”與“過某點的切線”是不同的概念，“在某點處的切線”中的點就是切點，“過某點的切線”的點并不一定是切點.
（2）變式教學
變式教學作為一種傳統(tǒng)的、典型的數(shù)學教學方式，不僅有著廣泛的經(jīng)驗基礎，而且還具有很好的實踐性. 在高三數(shù)學復習課教學中，選擇變式教學，也是必需的. 教師通過變式教學，有意識地把教學過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生的思維過程，讓學生多角度地理解數(shù)學定義、定理、公式，進而提高學生獨立分析和解決問題的能力.
如均值不等式≥（x，y∈R+，當且僅當x=y時，“=”成立）是高中數(shù)學的一個重要知識點.但學生在使用時，很容易疏忽定理使用的條件，一正二定三相等. 為了讓學生更好地鞏固知識，筆者以課本（必修5）P114練習1為原題設計了以下變式教學：
例6 已知x>0，當x取何值時，y=x+有最小值？最小值是什么？
變式1：當x∈R時，函數(shù)y=x+是否有最小值？
變式2：已知x>5，求f（x）=4x+的最小值.
變式3：當x≥2時，y=x+的最小值是2嗎？
通過例5的變式教學，一方面鞏固了學生對均值不等式使用條件的掌握；另一方面，教師從圖象向?qū)W生說明為什么要有這樣三個條件，因而加深了中等生對定理的理解.
又如數(shù)列是高中數(shù)學中的一個重要知識，但也是令中等生頭痛的問題，特別是通過遞推數(shù)列求解數(shù)列的通項公式，進而研究數(shù)列性質(zhì).筆者以課本（必修5）P35例題為原題設計了以下變式教學：
例7 已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an=2an-1+1（n>1），求an.
變式1：已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=an+n（n∈N*），求an.
變式2：已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=an+2n-1（n∈N*），求an.
變式3：已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+2n-1（n∈N*），求an.
變式4：已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=（n∈N*），求an.
變式5：已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=an（n∈N*），求an.
通過以上變式教學，歸納出數(shù)列中利用遞推關系式求數(shù)列通項這一類題型的常見用法，如疊加、疊乘、迭代等方法，將其化歸成等差、等比數(shù)列來解決，提高中等生對問題的化歸能力及對不同條件下數(shù)列問題的處理方法. 中等生在處理有多少項或者是否從第一項開始就滿足求解出來的通項公式這些問題上往往會考慮不全，因此教師要在解題過程中一步步講解清楚，如何確定項數(shù)或通項公式. 如在完成變式5后，筆者將變式5中條件“an+1=an”改成“an+1=an”，再讓學生進行解答.
（3）知識交匯點教學
全國各地的高考總會在知識交匯點出題，這勢必要求學生能從知識交匯點處抓出主干條件，進行有效解剖. 但中等生在這方面能力都較弱，因為這不光需要學生對每一章節(jié)知識的熟練掌握，而且還需要學生有很強的綜合處理問題能力. 其實知識點交匯題型中，不少題目中某個知識點只是一個點綴，這需要教師在教學中有效培養(yǎng)和訓練學生抓“點綴”的本領. 如圓錐曲線綜合題是高考命題的重點內(nèi)容之一，也是考生普遍感到困難的一種題型. 圓錐曲線與向量、圓錐曲線與圓、圓錐曲線與平面幾何、圓錐曲線與數(shù)列等知識的交匯，只要挖掘下去，去掉枝葉大多都轉(zhuǎn)化為直線和圓錐曲線的方程的根的問題，或坐標關系問題. 當然這類題型計算量很大，針對中等生的計算能力弱的特點，課堂上應挪出更多的時間讓學生來進行演算，提高學生的計算能力和體驗知識交匯題的不可怕，并感受綜合題的解題方向往往會在計算的過程中豁然開朗，領悟教師歸納出的結論.
例8 （2010浙江理21）已知m＞1，直線l：x－my－=0，橢圓C：+y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點.
（Ⅰ）當直線l過右焦點F時，求直線l的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A，B兩點，AF1F2，BF1F2的重心分別為G，H. 若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍．
此題考查橢圓的幾何性質(zhì)與方程，直線與圓錐曲線的位置關系. 問題的突破需要借助于兩個三角形中涉及的重心，需要學生用數(shù)形結合的思想把重心轉(zhuǎn)化為坐標式滿足x=，y=，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)坐標運算． 教師指出點在圓內(nèi)除了利用點到圓心的距離小于半徑外，還可利用點在圓內(nèi)側點與直徑端點所成的角∠GOH為鈍角，而鈍角則可轉(zhuǎn)化為向量?
練習：（2010年北京理19）在平面直角坐標系xOy中，點B與A（－1，1）關于原點O對稱，P是動點，直線AP與直線BP斜率之積等于－.
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設直線AP與BP分別與直線x=3交于點M，N. 問：是否存在點P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
通過以上練習，加強學生處理綜合問題的能力，增強中等生的信心. 當然教師也要通過問題1中
“?=－”與“x2+3y2=4”的區(qū)別，改善中等生考慮問題的馬虎性.
（4）專題教學
在高三第二輪復習時，對于一些高考中的重難點知識、數(shù)學思想方法等，教師要針對中等生的特點，應用專題教學方式，對中等生掌握的知識再次進行有效整合和提升. 如在立體幾何教學中，筆者發(fā)現(xiàn)正方體用處非常大，為此在第二輪復習時設計了一節(jié)“構建正方體解題”專題課.
案例：“構建正方體解題”專題課
1. 正四面體與正方體
例1 在棱長為1正四面體ABCD中，E為AD的中點，試求CE與平面BCD所成的角得余弦值．
2. 正方體與球
例2 （2008浙江理14）如圖2，已知球O的面上四點A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于________．?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖
圖2?搖
3. 正方體與不規(guī)則圖形
例3 （2007浙江理19）在圖3所示的幾何體中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點．
（Ⅰ）求證：CMEM；
（Ⅱ）求CM與平面CDE所成的角．
圖3
作業(yè)：1. 如圖4，正四面體ABCD的棱長為1，棱AB∥平面α，則正四面體上的所有點在平面α內(nèi)的射影構成的圖形面積的取值范圍是________.
2.平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BDCD將其沿對角線BD折成四面體A′－BCD，使平面A'BD平面BCD. 四面體A′－BCD頂點在同一個球面上，則該球的表面積為________.
3.如圖5，ABCD為矩形，AD平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF平面ACE.
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求證：AE平面BCE；
（3）求平面BDF與平面ABE的交線，并求平面BDF與平面ABE所成的二面角正弦值.
教師對“構建正方體解題”進行專題設計，從另一視角向中等生傳授了求解這類問題的方法. 浙江卷的試題分布情況，立體幾何占19分左右，其中一道14分的題布置在第二或第三解答題處，前三道解答題的得分情況直接影響中等生數(shù)學分數(shù)的高低及考試心態(tài). 中等生在立體幾何解答題中往往會出現(xiàn)以下三種情況：1. 表述不完整；2. 立體幾何的定理、公理等的條件結論搞混或亂用；3. 方法沒有掌握或掌握單一，不能靈活應用. 所以在立體幾何題的證明時，教師應將例題詳解展示在黑板上，提煉思路、常見解題方法及敘述定理，起一個良好的示范性作用.
當然，為了使例題教學更有效，還要選配“合身”的練習. 做到：每天反饋性練習保證及時、每周鞏固性練習保證系統(tǒng)、每階段綜合性練習保證滾動和模擬性練習保證全面，對學生易錯易混的地方，教師要有意識地多次重復，反復強調(diào).
3. 突出學生主體地位，處理好“扶”、“放”、“收”三者關系
關鍵詞： 情境式設問；啟發(fā)式設問；探究式設問；高效課堂；反思
《數(shù)學課程標準》中指出：“教師應向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作對話的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗?！睘榱吮苊獬霈F(xiàn)數(shù)學教學中“只學其形不見其神”的“偽數(shù)學問題”，我在2012年3月23日長郡中學面對全省開放的骨干教師高效課堂探究課上，以數(shù)列與函數(shù)為題，做了一個嘗試，考慮到學生函數(shù)和數(shù)列知識的一輪復習已經(jīng)結束，因此設計這節(jié)課的著力點放在函數(shù)與數(shù)列的交匯及函數(shù)思想的運用上，充分利用學生已形成的知識體系，通過運用知識解決綜合問題產(chǎn)生的矛盾沖突中激發(fā)學生的探究熱情，最終形成用思想指導方法的思維習慣，從而實現(xiàn)由有效課堂到高效課堂的轉(zhuǎn)變，現(xiàn)將本節(jié)課的教學設計與反思呈現(xiàn)如下，以期與同仁交流。
一、教學實錄（片段）
課堂引入：請簡單概述數(shù)列與函數(shù)的關系。
生：數(shù)列是一種特殊函數(shù)，是刻畫離散過程的重要數(shù)學模型。
師：數(shù)列的定義域是什么？
生：正整數(shù)集或它的子集。
師：它的圖象有什么特點？
生：是一系列孤立的點。
師：我們可以把研究函數(shù)的方法遷移到數(shù)列中來嗎？
生：可以，但同時要注意數(shù)列本身離散的特征。
案例1. 已知數(shù)列{an}通項公式an=-n2+kn+2，若對n∈N*，an+1
A.k
C.k>-2 D.k>-3
生1： f（n）=-n2+kn+2（n∈N*）？圯f'（n）=-2n+k≤0？圯k≤2
發(fā)現(xiàn)沒有答案，感到困惑（同學們在思考，老師不急于表態(tài)）
（約一分鐘有同學舉手）
2
師：羅佳偉同學利用數(shù)列單調(diào)性定義實施了參變量分離，使問題得到輕松解決，同時他還對劉天蓉同學的錯誤給出了剖析，很好。（鼓勵其他同學積極思考，并未馬上對生1的方法做出結論。馬上又有同學舉手）
師：任曉昀同學透過函數(shù)看問題，并借助函數(shù)圖象，以形助數(shù)，很好。
至此，我們可以判斷，生1的做法僅僅是找到了問題的充分不必要條件，所以得到的范圍是B的子集。
師：利用導數(shù)法研究數(shù)列的最值問題，從運動變化中認識數(shù)列，再一次凸顯了數(shù)列的函數(shù)背景。
師：我們先來復習等差數(shù)列的通項公式和求和公式（因為an與sn的關系是數(shù)列的重要知識內(nèi)容，應引起高度重視）
師：公差不為0的等差數(shù)列通項是n的一次函數(shù)，前n項和數(shù)是n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項，已知數(shù)列的前n項和Sn能否求出數(shù)列通項an？
師：用性質(zhì)解題是技巧，用an與Sn的關系求解是通法。
變式二：等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1>0，若存在自然數(shù)P≥10，使得Sp=ap，則當n>p時，Sn與an的大小關系是（ ）
A. an≥Sn B. an>Sn
C. an≤Sn D. an
有了前面的熱身，此題給學生足夠時間思考討論，完全放開，學生思維開始活躍。經(jīng)過共同討論，形成四種方案：
畫出Sn的草圖，是開口朝下，零點為x1=0，x2=p-1的拋物線。
當n>P>P-1時，Sn遞減， Sn-1
師：比較四種解法，我們不僅要會算，還要會簡算。生8用到數(shù)形結合的思想，使抽象的問題直觀化，圖形要求準確，只憑主觀想象，則會造成錯解。
案例3. 已知函數(shù)f（x）=2x-1（x≤0）f（x-1）+1（x>0）把函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點按從小到大排成一個數(shù)列{an}，則它的通項公式為
（ ）
解析：x≤0時，g（x）=f（x）-x的零點只有一個x=0a1=0。
x>0時，函數(shù)值呈現(xiàn)重復出現(xiàn)的形式，每次推進一個單位，所以一段一段討論0
1=2x-1。
此時g（x）=f（x）-x的零點即2x-1=x的解，觀察得x=1a2=1，排除B、D。1
f（x-2）+2=2x-2+1，此時g（x）=f（x）-x的零點即2x-2+1=x的解，觀察得x=2a3=2，排除A。
師：此題由特殊到一般進行歸納猜想，步步為營。歸納猜想是解決數(shù)列問題的一種重要的方法，應當引起重視。
生9：可否用放縮法？
對一切正整數(shù)n都能成立，所以a的最小正整數(shù)的值為2013。
師：大家對唐同學的解法有何看法，不妨直言不諱。
……
生10：我覺得此題用放縮法不對，這是一個恒成立問題，一邊是參數(shù)，一邊是變量，參數(shù)大于變量，應大于變量的最大值。
所以a的最小正整數(shù)的值為2012。
師：構造函數(shù)解決數(shù)學問題是函數(shù)思想的核心，其實質(zhì)是把所求問題轉(zhuǎn)化為以函數(shù)為背景的問題，再利用函數(shù)的有關知識來解決。陳同學就是通過巧妙構造函數(shù)，使數(shù)列問題函數(shù)化。
師：（步步為營）那么唐同學的做法究竟錯在哪呢？（對出現(xiàn)的問題有反思有總結才會提高）
生11：我覺得放縮法難以把握放縮的度，是放大了還是放小了？
師：提得非常好，正因為如此，所以放縮法的難度相對大些，更主要的是我們在這里要找的是一個界，而不是一個范圍，所以此題用放縮法不合適。
課堂小結：本節(jié)課我們進一步探討了數(shù)列與函數(shù)的關系，解決數(shù)列問題常常有兩條途徑：一是利用數(shù)列內(nèi)部的知識來解決；二是透過函數(shù)看問題，利用函數(shù)知識解決數(shù)列問題。
二、教學反思
1. 有效問題串的結構與設計
設計問題串是一種教學策略，意圖是搭建一個思維臺階，把學生推到解決問題的前沿，問題串的設計要針對學生實際，問題串設計的連續(xù)性（對某一數(shù)學概念、方法、思想而搭建的呈現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關系的系列問題）和層次性（以適應不同認知水平的學生的學習要求）不僅能營造輕松的教學氛圍，還有利于激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維能力和提煉歸納能力。
2. 用思想方法引領學生解題
新的教育理念要求變教師會“教”為學生會“學”，教師在教學上的作用是引領，引導學生在自然的探究中去領悟隱含于題目當中的數(shù)學思想方法，并自覺運用到今后的解題中去，最終達到用思想指導方法的思維習慣。
3. 不足之處
關鍵詞：教學課堂；問題解決教學；策略
中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）06-068-2
教師角色能否轉(zhuǎn)變到位是決定課堂能否真正發(fā)生根本性變化的關鍵！問題探究和解決能否激發(fā)學生求知欲是決定教學教學質(zhì)量能否大幅度的提升根本！
數(shù)學課堂設置了多少個問題，有多少學生展示，解決了多少問題，知識得到怎樣的升華，能力得到怎樣的發(fā)展，均涉及“問題解決教學”，由此，本人經(jīng)過多年高三畢業(yè)班教學總結出數(shù)學課堂“問題解決教學”的五大核心策略。
一、主體發(fā)展策略
在課堂教學中，強調(diào)發(fā)揮學生學習的主動性，充分體現(xiàn)學生的主體作用。在課堂教學設計的過程中應充分發(fā)揮教師的主體作用，組織并落實多種形式的課堂實踐活動，使學生在活動的參與過程中，提高認識能力和增強情感體驗、情感控制能力，發(fā)展個性特長。
例如，講評高三數(shù)學試卷，通常有兩種做法：第一，老師精講，學生認真聽；第二，學生板演，學生展示。前一種方法老師講得累，學生聽得累，講的問題有的學生沒錯，還有錯的教師沒講；后一種方法不錯的學生得以展示，學生有時間反思，較難的壓軸題需要學生整理、感悟，可將試卷上所有的問題解決，還可以另外加餐。
二、動機激發(fā)策略
在課堂教學中，教師應該把學生吸引到有興趣的、有挑戰(zhàn)性的學習活動中，讓學生體驗成功所產(chǎn)生的愉悅和成就感，學會正確地對待挫折，從正、反兩方面來有效地激發(fā)學生的學習動機。
數(shù)學課經(jīng)常出現(xiàn)假熱鬧、簡單的問題頻頻出現(xiàn)的現(xiàn)象浪費寶貴的時間，使得學生暈頭轉(zhuǎn)向，無法有效地激發(fā)學生的學習動機。簡練、擇機、挑戰(zhàn)性的提問是高效課堂的追求。
例如，函數(shù)f（x）=x2+2x+ax，對于任意的x∈[1，+∞）時，f（x）>0，則a∈
析：只有問：本題的中心在函數(shù)？還是不等式？這樣學生不僅可兩方面思考，還可有所側重思考。（函數(shù)、不等式是高中數(shù)學的兩大熱點章節(jié)。）
若轉(zhuǎn)化不等式即為：x2+2x+a>0在x∈[1，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化函數(shù)即為f（x）=x2+2x+ax的最小值>0。
三、層次設計策略
在課堂教學中，教師應該從“自主、合作、體驗、發(fā)展”等層次為學生提供概念、定理的實際背景，設計定理、公式的發(fā)現(xiàn)過程，讓學生體驗分析問題、解決問題的思考過程，領悟?qū)ふ艺胬?、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法和思想。
例如，不論m為何值，拋物線y=x2+（m-1）x+m+1（m為參數(shù)）恒過一定點，并求出定點坐標。
析：假設原拋物線系過定點，則對于拋物線系中的任意兩條拋物線的交點即為定點，于是令m=1、-1。得y=x2+2
y=x2-2x，解得x=-1，y=3。所以拋物線系y=x2+（m-1）x+m+1（m為參數(shù)）恒過定點（-1，3）。
這還不夠正確，如果m取-1、1以外的值呢！能否也保證其他的拋物線也過此點呢？所以，教師應該補充說明一下，將點（-1，3）坐標代入y=x2+（m-1）x+m+1，得0m=0恒成立，故問題得證。
可以將拋物線的方程按m進行降冪排列，得（x+1）m+x2-x-y-1=0，因為上式對m∈R恒成立，即關于m的一次方程的解集為R，所以（1）x+1=0
x2-x-y-1=0解得x=-1，y=3。所以拋物線系y=x2+（m-1）x+m+1（m為參數(shù)）恒過定點（-1，3）。
變：求證：不論m為何值，拋物線y=mx2+2x+m+1（m為參數(shù)）不過定點。
上述證法需要考慮方程組無解，則曲線系恒不過定點。那么若該方程組有無數(shù)解，則曲線系可化為形如f（x，y）g（m）=0形式，結論會怎么樣呢？
一般地，對于所給曲線系F（x，y，m）=0（m為參數(shù)），若能化為m的降冪排列形式，即f0（x，y）mn+f1（x，y）mn-1+…+fn（x，y）=0，則曲線系F（x，y，m）=0（m為參數(shù)），過定點問題轉(zhuǎn)化為方程組f0（x，y）=0，f1（x，y）=0，…，fn（x，y）=0，是否有解的問題。
四、變式訓練策略
問題應從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發(fā)生變化，而本質(zhì)特征卻不變，真正把學生能力的培養(yǎng)落到實處。學生也不需要大量、重復地做同一樣類型的題目，切實從題海中走出來，實現(xiàn)真正的減負與增效。
例如，已知a1=3，且an+1=an+2（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式。
變式1：已知a1=3，且an+1=an+2n（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式。變式2：已知a1=3，且an+1=3an+2（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式。變式3：已知a1=3，且an+1=3an+2n+1（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式。變式4：已知a1=3，且an+1=3an+（12）n（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式。
析：原題是直接運用基本數(shù)列等差數(shù)列列的公式即可；變1，利用累加法求通項，方法是推導等差數(shù)列通項的方法；變2，式子兩邊同除3n+1，轉(zhuǎn)化為變1的解法；變3、變4，式子兩邊同除3n+1，累加后還需再求和，可總結為已知遞推關系an+1=kan+f（n），再求通項。
五、探究創(chuàng)新策略
在課堂教學中，教師應該為學生提供動手實踐的機會和探究的時間，指導學生大膽質(zhì)疑，鼓勵學生敢于發(fā)表不同意見和獨特見解。
例如，我曾給學生介紹過“洗衣問題”：
給你一桶水，洗一件衣服，如果我們直接將衣服放入水中就洗；或是將水分成相同的兩份，先在其中一份中洗滌，然后在另一份中清一下，哪種洗法效果好？答案不言而喻，但如何從數(shù)學角度去解釋這個問題呢？
我們借助于溶液的濃度的概念，把衣服上殘留的臟物看成溶質(zhì)，設那桶水的體積為x，衣服的體積為y，而衣服上臟物的體積為z，當然z應非常小與x、y比可忽略不計。
第一種洗法中，衣服上殘留的臟物為yzx+y；
按第二種洗法：第一次洗后衣服上殘留的臟物為yzx2+y；第二次洗后衣服上殘留的臟物為zy2（x2+y）2；顯然有yzx+y>zy2（x2+y）2。
這就證明了第二種洗法效果好一些。
事實上，這個問題可以更引申一步，如果把洗衣過程分為k步（k給定），則怎樣分才能使洗滌效果最佳？
一、《2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱（文科/理科）》及《2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明（文科/理科）》（以下總體簡稱考綱）解讀
依據(jù)考綱，2015年高考數(shù)學學科的命題指導思想是堅持“有助于高?？茖W公正地選拔人才，有助于推進普通高中課程改革，實施素質(zhì)教育”的原則，在命題中體現(xiàn)普通高中課程標準的基本理念，以能力立意，將知識、能力和素質(zhì)融為一體，以全面檢測考生的數(shù)學素養(yǎng)，發(fā)揮數(shù)學作為主要基礎學科的作用，考查考生對中學數(shù)學的基礎知識、基本技能的掌握程度，考查考生對數(shù)學思想方法和數(shù)學本質(zhì)的理解水平以及進入高等學校繼續(xù)學習的潛能。
今年高考，我區(qū)將第一次使用高考課標卷，依據(jù)《考綱》，今年的課標卷與往年我區(qū)使用的大綱卷相比，有諸多不同：①考點改變較大，例如概率統(tǒng)計部分及導數(shù)部分（文科）明顯增多。②考試內(nèi)容排序及要求改變。③更重視過程與方法，更注重理論與實踐相結合。④題型及難度改變：文理科相同試題減少，如立體幾何、概率統(tǒng)計解答題的選材文理科均有不同要求;三角函數(shù)部分難度降低;增加了選考題;數(shù)列、立體幾何和解析幾何難度下降;等等。
鑒于以上情況，總體建議：已降低要求的內(nèi)容，教師在復習時不要再拔高;已刪除的內(nèi)容，教師不要再增補。下面，我們對新舊教材的內(nèi)容做個大盤點，以便于教師準確把握《考綱》對各部分內(nèi)容和要求的具體變化。
二、明確試卷結構，分析近年主干知識命題特點及備考策略
（一）依據(jù)考綱，解析2015年的考試內(nèi)容及試卷結構
2015年的數(shù)學高考仍采用閉卷、筆試形式，有第Ⅰ、第Ⅱ卷，滿分150分，考試時間為120分鐘。第Ⅰ卷為必考內(nèi)容，含12道選擇題。第Ⅱ卷含必考和選考兩部分，皆為非選擇題：必考部分有4道填空題、5道解答題;選考部分從選修系列4中的“幾何證明選講”“坐標系與參數(shù)方程”“不等式選講”3個內(nèi)容中各命制1道解答題，考生從3題中任選1題作答，多做則按所做的第一題給分。
綜觀全卷，共有選擇題、填空題和解答題3種題型，其中：選擇題是四選一型單項選擇題;填空題只需填寫結果，不必寫出計算或推證過程。三種題型分值分布：選擇題40%左右，填空題10%左右，解答題50%左右。以上試題，按其難度分為容易題、中等難度題和難題，總體難度適中。
（二）高考數(shù)學卷的命題規(guī)律及2015年備考策略
根據(jù)全國課標卷近幾年主干知識的考點分布特點，我們可大體分析出數(shù)學卷的命題規(guī)律，并對2015年的考點作出簡單預測。
（1）函數(shù)、導數(shù)與不等式
通常對這部分內(nèi)容的考查包括2道客觀題、1道主觀題，分值為22分。題目將不僅對函數(shù)知識自身進行顯性考查，而且會將函數(shù)知識與其它主干知識（數(shù)列、不等式、解析幾何、導數(shù)等）結合起來進行隱性考查。命題的熱點包括函數(shù)的表示、函數(shù)值域與最值、函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用導數(shù)研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極值最值問題以及導數(shù)在實際問題中的應用，線性規(guī)劃、不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍、函數(shù)不等式、數(shù)列不等式的證明等。
預測2015年的函數(shù)與導數(shù)試題仍將是兩小一大，客觀題考查函數(shù)的圖象、性質(zhì)以及導數(shù)的幾何意義、零點等。建議特別關注姊妹不等式ex≥x+1與ln（x+1）≤x及其變式應用。
（2）三角函數(shù)和解三角形
以三角函數(shù)圖象和性質(zhì)為基礎，掌握三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移、伸縮變換;以誘導公式、同角關系及和、差、倍角公式等為基礎，掌握化簡、求值及三角恒等變換的方法技巧;以正弦定理、余弦定理、面積公式為基礎，掌握解三角形時邊、角的求值及其綜合應用。
備考建議：①高考對三角恒等變換能力要求較高。解答三角函數(shù)考題的關鍵是進行必要的三角恒等變形，其解題通法如下：從角度、函數(shù)、運算入手發(fā)現(xiàn)已知和未知的差異，通過套用、變用、活用公式來尋找聯(lián)系并合理轉(zhuǎn)化。解題技巧包括項的分拆與角的配湊、化弦（切）法、降次與升次、輔助角公式等。②《考綱》中不作考查要求的內(nèi)容不要隨意添加，如萬能公式、和差化積、積化和差公式等。
預測三角函數(shù)每年必考，一般為1大1小或3小，分值在17分左右，難度在容易和中等難度之間。考題考查角度是從基礎到能力。另外，三角函數(shù)的定義域、值域、解析式、圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的概念及同角三角函數(shù)關系式，一般難度不大，主要是考查基礎知識和基本技能，這種趨勢在今年高考中預計仍將繼續(xù);而三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角恒等變換的內(nèi)容在主客觀題中都有可能出現(xiàn)。解三角形問題在教材中的地位和考試中的地位都有很大幅度提升，必須引起足夠重視。
（3）數(shù)列
課標卷對數(shù)列的考查有所降低，主要是等差、等比數(shù)列?？疾榉绞桨?道客觀題或1道主觀題，分值一般為10―12分。從考查的知識點看，重點是兩類數(shù)列（等差與等比數(shù)列）、數(shù)列求和（裂項求和法、錯位相減求和法等）和兩類綜合（與函數(shù)、不等式的綜合），整體難度中等，個別試題屬于壓軸題。從命題思路看，雖然也有綜合型問題和探索型問題，但仍以基礎知識、基本方法為主，而且更加注重知識的基礎性和應用性。
備考策略：①切實掌握等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式及前n項和公式。②靈活應用通項與前n項和的關系以及數(shù)列的遞推關系來解決相應問題。③注重基礎，強化落實，切實提高運算求解能力。掌握常用的求和的基本方法：分組法、錯位相減法、倒序相加法、裂項法、累乘法、累和法等;掌握常用的簡單遞推式的變換技巧。
預測會有1―2道客觀題或1道主觀題，以等差、等比或簡單的遞推關系為考查方向，也可和函數(shù)知識結合起來考查數(shù)列不等式。
（4）概率統(tǒng)計
通常這部分的考查為1道客觀題、1道主觀題，分值一般為17分。
從知識點上看：算法中主要包括兩類，一是求程序框圖的執(zhí)行結果，二是確定條件結構中的條件與循環(huán)結構中的控制變量;統(tǒng)計中主要考查隨機抽樣中的系統(tǒng)抽樣與分層抽樣，樣本的平均數(shù)、頻率、中位數(shù)、眾數(shù)、方差，頻率分布直方圖、莖葉圖，變量間的相關關系中的線性回歸分析及獨立性檢驗的基本思想及其初步應用;概率中主要考查兩個計數(shù)原理、二項式定理、古典概型、幾何概型、條件概率、離散型隨機變量的分布及其均值方差等。
從命題思路上看：在算法方面，條件結構與分段函數(shù)相聯(lián)系，循環(huán)結構與數(shù)列、統(tǒng)計等知識相聯(lián)系;在統(tǒng)計方面，分層抽樣中的計算，相關系數(shù)中回歸方程的應用，頻率分布直方圖、獨立性檢驗與概率相結合;在概率方面，注重知識的基礎性和應用性。這幾年試題難度中等，試題背景新穎，選材變化較大，主要考查考生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。
備考策略：掌握用樣本估計總體的方法，會閱讀或制作圖表;關注統(tǒng)計與隨機變量相結合的題目，對于獨立性檢驗也要引起重視;重視幾何概型題。
預測選擇、填空題有2題10分，內(nèi)容包括排列組合與概率、二項式定理、抽樣、回歸方程、相關關系、正態(tài)分布等。解答題以應用題形式出現(xiàn)，共12分，內(nèi)容包括期望與方差、直方圖、莖葉圖、數(shù)字特征、線性回歸等。命題趨勢：二項式定理必考，解答題部分出現(xiàn)形式是與統(tǒng)計、直方圖相結合，概率與分布列、期望、方差、回歸方程為獨立性檢驗。
（5）立體幾何
考查的重點和熱點是簡單幾何體的三視圖、表面積與體積的計算，空間的位置關系證明、空間角的計算以及空間向量在立體幾何中的應用。
考查一般為2道客觀題、1道主觀題，屬中等難度題?？陀^題中，三視圖為必考內(nèi)容，球與幾何體關系中涉及面積、體積的計算也是?？嫉念}目;主觀題常以錐體、三棱柱為載體，考查垂直、二面角、線面角，難度適中。文科涉及體積、距離的運算;理科突出向量方法解決，對構建空間直角坐標系及利用空間向量解題提出了一定的要求。在“綜合法”與“向量法”的平衡中，理科有“向量法”漸強的趨勢，文科不學向量法。
備考策略與預測：把基礎知識、基本技能、基本方法的試題練習到位，解題步驟以高考評分標準為依據(jù)加以規(guī)范。預測會有2道客觀題、1道主觀題，共22分。三視圖的考查難度加大，可能以組合體形式出現(xiàn)。主觀題仍注重空間位置關系的證明、空間角與距離的計算以及空間向量在立體幾何中的應用。
（6）解析幾何
一般考查1―2道客觀題、1道主觀題，分值在17―22分之間。圓、橢圓、雙曲線、拋物線四種曲線至少考兩種。客觀題突出考查圓錐曲線的概念、方程與性質(zhì)的應用，解答題突出考查直線與圓、橢圓、拋物線的位置關系的綜合應用?？陀^題難度中等，主觀題文科側重橢圓與圓的綜合題;理科側重橢圓、拋物線與圓、雙曲線問題中的最值及性質(zhì)中的定點、定值等相關結論探究。預計2015年高考主觀題仍然以橢圓為主進行考查。
從命題思路看，仍以基礎知識和基本方法為主，包括直線、圓錐曲線的有關概念、方程及性質(zhì)，重點是靈活運用圓錐曲線的知識和解析法探究定值、定點、最值以及存在性等問題的思想與方法。
備考策略：掌握以下重點問題的解決方法――中點弦問題，常用設而不求法（點差法）;焦點三角形問題，常用圓錐曲線的定義及正、余弦定理解題;直線與圓錐曲線的位置關系問題，基本方法是解方程組，在轉(zhuǎn)化為一元二次方程后再利用判別式、韋達定理、弦長公式、不等式等知識解決問題;圓錐曲線中的有關范圍（最值）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決，如有明顯的幾何關系可用圖形的性質(zhì)來解決，否則用函數(shù)求最值或范圍，在已知曲線類型求曲線方程或軌跡問題時可用待定系數(shù)法，未知曲線類型時可用求曲線方程的常見方法，如直接法、定義法、相關點法、參數(shù)法、幾何法、交軌法等。
三、總體備考攻略
（一）明確各輪復習的側重點
（1）第一輪復習策略是立足“三基”（基本技能、基本知識、基本思想和方法），夯實基礎，弄清每一個知識點的來龍去脈，完善知識體系。例如在等差數(shù)列an中，若m+n=p+q，則必有am+an=ap+aq;數(shù)列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也是等差數(shù)列。像這樣的基本知識和基本技能都很重要，但教師不能將這些知識和技能直接告訴學生，而應安排一定的時間（課內(nèi)或課外）給學生自己證明，讓學生弄清它的來龍去脈，同時將這些內(nèi)容在復習時納入等差數(shù)列的知識體系。
（2）第二輪復習策略是培養(yǎng)提高能力，避免題海戰(zhàn)術。專題復習要突出對專題的重要思想方法的培養(yǎng)：通過解一定量的綜合題，使學生由對單一知識的認識上升到對知識交匯處的重點知識的認識;可以選取課標卷真題或者模擬卷典型例題進行教學。①（2014年高考全國課標Ⅱ卷理科數(shù)學17題）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=3an+1（I）證明an
+是等比數(shù)列，并求an的通項公式;（II）證明++……+<本題考查等比數(shù)列定義、求數(shù)列通項公式以及不等式的證明等綜合問題，難度適中，屬于常規(guī)問題。解題思路：第一問直接配湊一個等比數(shù)列，利用定義法證明;第二問可從第一問計算出的結果中看出數(shù)列的通項公式為等比數(shù)列與常數(shù)之和，這樣的通項不能取倒數(shù)求和，這種情況下只能采用放縮成等比數(shù)列后再求和、放縮后裂項相消求和或通過放縮直接證明不等式。本題的解法較多，體現(xiàn)在數(shù)列求和與不等式證明綜合，考查的是考生的分析問題和解決問題能力。②三角函數(shù)專題中的經(jīng)典題求函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx的最值。其解題思路是設t=sinx+cosx，則t∈[-，]，且有sinxcosx=，化為求二次函數(shù)y=t2+t-1（t∈[-，]）的最值問題。本題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的基本知識和基本技能，突出對運算求解能力以及換元和轉(zhuǎn)化思想的考查，是在三角函數(shù)和二次函數(shù)的知識交匯點設計試題。
（3）第三輪復習策略是加強綜合訓練與考前模擬，全真模擬訓練，重點是查漏補缺，加強教學診斷?？芍攸c選取使用課標卷省份的名校模擬試題，最好是使用自編的試題。年級統(tǒng)測之前務必安排兩名教師先把試卷認真做一遍，確保試題的科學性，考完即公布答案;教師要及時批改，爭取第二天便予講評。試卷講評課的重點是抓住典型問題集中剖析。
（4）第四輪復習策略是回歸課本基礎，個別心理疏導?？记?0天左右，讓學生認真看看以前做過的試卷，糾正做錯的題目，或者閱讀教材。教師每天可自編課本上一些簡單題目，以一節(jié)課能完成的題量為標準;另外安排每三天利用一個下午完成一套完整試卷，練完馬上公布答案，不用講評。
（二）明確主觀題評分標準，指導學生規(guī)范答題
在第二、第三輪復習中，教師要引導學生規(guī)范解題的過程與方法，讓學生知道試題評分的標準，提高學生的搶分意識。以2013年高考數(shù)學（理）全國大綱卷18題第Ⅰ問為例：設ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，（a+b+c）（a-b+c）=ac（I）求B;（II）若sinAsinC=，求C該題的解題過程及評分標準如下：
解：（I）解法1 （a+b+c）（a-b+c）=ac，a2+c2-b2=-ac2（2分）
由余弦定理得cosB=2（4分）
=-1（5分），
B=120°1（6分）
解法2 由正弦定理得（sinA+sinB+sinC）（sinA-sinB+sinC）=sinAsinC
sin2A-sin2B+sin2C+sinAsinC=02（2分）
sinC=sin（A+B）≠0且sin2A-sin2B=（sinA+sinB）（sinA-sinB）=sin（A+B）sin（A-B）
sin（A-B）+sin（A+B）+sinA=0，
2sinAcosB+sinA=0.
0<A<p sinA≠02（4分），
cosB=-1（5分），
B=120°1（6分）
根據(jù)我區(qū)近年來的高考閱卷方法，計算題的給分慣例如下：①準確寫出必要的公式，一般可得2分，如上題中寫出余弦定理cosB=即可得2分。高考試題中?？嫉墓竭€有等差、等比數(shù)列的基本公式，數(shù)學期望公式，立體幾何中向量法求角時的法向量夾角公式，求導公式等。②有一定的化簡過程即可得1分。③計算結果正確得1分。幾何題的給分，通常是做好圖，得1分;寫出必要的推理論證過程，得2分;計算過程及結果，得2分。鑒于存在以上給分慣例，在完全不懂如何答題的情況下，答題區(qū)域最好還是不要留空：如是立體幾何考題，可以在圖中作出一條連線并用文字予以說明;如是計算題，可以正確寫出一條有關的公式?？傊?，考生要樹立拿分意識，對真題的評分標準要了然于胸。
（三）關于選考題，重點突破坐標系與參數(shù)方程題型
平面幾何需要添加輔助線，不等式絕對值的題目需要分類討論，不等式證明題需要構造法，這些對學生來說都有一定的難度。相比之下，坐標系與參數(shù)方程題更容易獲得解題思路，所以建議考生重點突破該題型。
坐標系與參數(shù)方程題的特點是“方法多樣性，優(yōu)勢互補”。如極坐標方程應用的例子（繞極點旋轉(zhuǎn)問題）：已知曲線C1的參數(shù)方程是x=2cos?
y=3sin?（?為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線C2的極坐標方程是ρ=2，正方形ABCD的頂點都在C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為2
，求點A，B，C，D的直角坐標。
解：A
2cos，
2sin，
B2cos
+
，2sin
+
，
C2cos
+π，2sin
+π，
D2cos
+
，2sin
+
，
則A1
，，B-
，1，
C-1，
-，D
，-1.
又如連線過極點問題的距離的例子：在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2cosα
y=2+2sinα（α為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為x=4cosα
y=4+4sinα（α為參數(shù)），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ=與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|.
解：曲線C1的極坐標方程為ρ=4sinθ，曲線C2的極坐標方程為ρ=8sinθ射線θ=與C1的交點A的極徑為ρ1=4sin，射線θ=與C2的交點B的極徑為ρ2=8sin所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.
直線參數(shù)方程應用的例子：在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x
=6+t
y
=t（t為參數(shù)）;在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的極坐標方程為ρ=10cosθ，曲線C1與C2交于A，B兩點，求|AB|.
解：在ρ=10cosθ的兩邊同乘以ρ，得ρ2=10ρcosθ，則曲線C2的直角坐標方程為x2+y2=10x;將曲線C1的參數(shù)方程代入上式，得6+
t2+t2=106+
t，整理，得t2+t-24=0.
設這個方程的兩根為t1，t2，
則t1+t2=-，t1t2=-24，
|AB|=|t2-t1|==3.
其余問題都轉(zhuǎn)化為普通方程，用熟練的解析幾何方法解決。因此，重點是熟練掌握各種方程的相互轉(zhuǎn)化。
口訣：極化直、參化普，其實都是老朋友，畫出圖形老辦法;線上距離用直參，最值問題用參數(shù);旋轉(zhuǎn)中心是極點，ρ不變來θ加減，兩點連線過極點，距離可用ρ加減。
（四）分層備考，有效指導五種類型的學困生
下面以2015年南寧市第一次模擬考學生答題情況為例說明。
（1）基礎薄弱類型
這類學生因基礎知識沒掌握好，導致平時記憶及解題錯誤率較高。圖1為某文科考生17題的部分答卷。顯然，該考生對于二倍角余弦公式和正弦定理的推論已經(jīng)忘記，這里明顯是亂用公式。這類學生應強化基礎訓練和基本技能，多做一些課本上的習題，力爭小步快跑有效學習。
（2）缺少思路類型
這類學生看到題目往往不知從哪里下手，想不出命題者的思路，審題過程與知識嚴重脫節(jié)，缺乏解題技巧。圖2為某文科考生21題的部分答卷。方程組雖然列對了，但運算思路混亂。這類考生應多建“母”題，強化審題意識，培養(yǎng)發(fā)散思維能力。
（3）粗心大意類型
這類考生知識結構和解題思路比較成熟，能找到解題要領和方式，但往往因偷工減料導致丟分。圖3為某理科考生21題部分答卷：因為簡單的一元一次不等式解錯，導致嚴重丟分。這類考生應強化答題規(guī)范訓練，規(guī)范答題，養(yǎng)成良好的答題習慣。
（4）知識生疏類型
主要表現(xiàn)為學習時間不夠或不熟悉各章知識點。圖4為某文科考生21題的部分答卷：該考生對橢圓的離心率公式已經(jīng)很生疏了，導致解題無法進行。這類考生應多背多練、重獲自信。
（5）一做就錯類型
因?qū)θ菀最}掉以輕心，漏題丟分;對中檔題分析不清楚，似是而非;對復雜題缺乏分析能力，知識結構和解題技巧不到位。圖5為某文科考生20題的部分答卷：該生因忽略了函數(shù)的定義域，且解一元二次不等式的技能不熟練，導致大面積丟分。這類考生應加強解題模塊構建，多做相似題型，仔細做題，觸類旁通。
總之，要有效應對我區(qū)高中課改后的第一次高考，我們的備考原則是在抓好“三基”的同時培養(yǎng)學生的解題能力，在落實常規(guī)的同時抓好學生的分層輔導，在強化訓練的同時精選試題，在關注整體推進的同時特別關注臨界生成績的提高。我們應該以更加寬廣的視野，在重點內(nèi)容、方法和思想相對穩(wěn)定的前提下，注意調(diào)整試題考查的方式和角度，使選材更加多樣化。另外，各校應加強對年級組與備課組的統(tǒng)一領導，充分發(fā)揚團隊合作精神，在備課組統(tǒng)一行動的同時適當展示班級個性。后面的100天時間，備課組要統(tǒng)一命制試題，每周安排晚上50分鐘的時間統(tǒng)一訓練16道小題或3道解答題，隔周安排2小時統(tǒng)測一套卷子，并形成制度，以更好地激發(fā)學生的斗志，形成良好的備考氛圍。
[本文系廣西教育科學“十二五”規(guī)劃2014年度廣西考試招生研究專項課題“廣西高中生數(shù)學學業(yè)水平等第劃分標準的研究”（立項編號：2014ZKS006）的部分研究成果。]
參考文獻
[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學新課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.4
[2]教育部考試中心.2015年普通高校招生全國統(tǒng)一考試大綱（理科）[M].北京：高等教育出版社
[3]教育部考試中心.2015年普通高校招生全國統(tǒng)一考試大綱（文科）[M].北京：高等教育出版社
[4]教育部考試中心.2015年普通高校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明（理科）[M].北京：高等教育出版社
[5]教育部考試中心.2015年普通高校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明（文科）[M].北京：高等教育出版社
[6]李成祥，楊萬舒.在新課標下高考數(shù)學復習的幾點思考[J].課程教育研究，2014，（2）
愛好:解數(shù)學題。曾多次參加全國數(shù)學問題有獎征答活動并獲獎。
Part 1:本期主講
上期我們針對一類常見的數(shù)列不等式綜合題,總結出了一種行之有效的解法,即“一分為N,函數(shù)證明”.可是有些題目中不等號的另一邊并不是關于n的函數(shù),而是一個常數(shù),這類不等式能夠用這種方法處理嗎?如果能,“N”怎么分?更棘手的情形是,萬一題目沒有給出結論,而是要求我們自己探索并證明,怎么辦?
例 (2009年高考數(shù)學四川卷(理)第22題) 設數(shù)列{an｝的前n項和為Sn,對任意的正整數(shù)n,都有an=5Sn+1成立,記bn=(n∈N*).
(1) 求數(shù)列{bn｝的通項公式;
(2) 記cn=b2n-b2n-1 (n∈N*),設數(shù)列{cn｝的前n項和為Tn,求證:對任意正整數(shù)n,都有Tn< 成立;
(3) 設數(shù)列{bn｝的前n項和為Rn,已知正實數(shù)λ滿足:對任意正整數(shù)n,Rn≤λn恒成立,求λ的最小值.
一、 第(1)問解答
令n=1,由an=5Sn+1可得a1=-;聯(lián)立an+1=5Sn+1+1,an=5Sn+1可得:an+1-an=5an+1,即an+1=- an. 故{an｝為等比數(shù)列,首項a1=- ,公比q=- . an=- n,則bn= .
二、 第(2)問解答
(一) 難點突破
由第(1)問可知bn=4+ ,則cn=b2n-b2n-1= + = . 我們的任務是要證明{cn｝的前n項和Tn< ,可{cn｝的通項公式較復雜,直接求和顯然不可行.如果按“”,將 “分為N”: = +0+…+0,顯然是徒勞;又或者寫成 = × ,同樣毫無意義,因為首先第一項c1= = < • 就不能恒成立!
那么我們應該如何尋求解題的突破口呢?前幾期“挑戰(zhàn)”的經(jīng)驗告訴我們,解題靈感首先源于“眼睛”(觀察題目),其次就是“手”(運算).對付數(shù)列題更應當從第一項算起,邊算邊觀察各項的變化規(guī)律:c1= ,c2= ,…仔細觀察c2的分母,其展開式162×162+3×162-4中,“大頭”是162×162,3×162-4相較而言就有些微不足道,舍棄它,可以大大簡化運算,因此可知c2< = ,而cn= < = . 隨著n不斷增大, 將快速減小.讓我們試著從第二項起用 來替代cn,則Tn< + +…+ = + × < + × = < ,第(2)問由此得證.
(二) 換位思考
接下來我們換個角度分析第(2)問的結論.通過估算,我們發(fā)現(xiàn){Cn｝雖然不是等比數(shù)列,但其各項快速下降的規(guī)律非常類似于等比數(shù)列,那么能否像上期那樣,將右邊的 看做某個等比數(shù)列c1,c1q,…,c1qn-1,…(0
由于 + × +…+ × = × < ,要證明Tn< ,只需證明c1+c1+…+cn≤ + × +…+ × (①)即可. 要證①式,即證 ≤ × = ,放大左邊,改證 ≤ ,也即證 ≥ ,該式顯然成立,故Tn< .
從以上兩種解法可以看出:cn= < 的放縮使題目難度瞬間降低,要邁出這一步,我們就要在計算時留意主次,大膽取舍.
三、 第(3)問理解及解答
現(xiàn)已知bn=4+ ,數(shù)列{bn｝的前n項和Rn不易求解. 題目要探求一個對任意正整數(shù)n,Rn≤λn均成立的最小正實數(shù)λ,這是什么意思?一方面,Rn不得超過λn,就是說λ要盡可能地大. 例如,若有Rn≤5n成立,則必有Rn≤6n恒成立.另一方面,在所有使得Rn≤λn恒成立的λ中,要選最小的λ值,也就是說λ要盡可能小. 通俗地講,第(3)問就是要找出一個最佳的正比例函數(shù)λn,來作為Rn這個復雜的前n項和的替代者. 假如λ=6,那我們就可以認為數(shù)列{bn｝的前10項之和R10約等于60. 看來,本題的用意在于化繁為簡,類似于“化曲為直”的數(shù)學思想.
實際上,數(shù)列的前n項和無非是每一項的疊加. bn=4+ 中,“占大頭”的是4,這個數(shù)列的奇數(shù)項都小于4,而偶數(shù)項均大于4(如b1=4-1,b2=4+ ,b3=4- ,b4=4+ ,… ). 當n足夠大時,奇數(shù)項小于4的部分跟偶數(shù)項大于4的部分可以相互抵消,各項的平均值向4靠攏,由此我們可猜想λ=4. 接下來我們就要證明以下結論:
①對任意正整數(shù)n,Rn≤4n恒成立;
②若λ
要證結論①,在推測λ=4的過程中,其實我們已找到一條思路――奇偶相抵,因此我們可以來計算一下(b1+b2),…,(b2k-1+b2k) (k∈N*),看看其中的每一對數(shù)之和是否都不超過8. 令b2k-1+b2k=8+ + =8-f(k), 其中f(k)= - = >0(k∈N*),故b2k-1+b2k
要證結論②,顯然要用反證法,即假設存在某個λ
由{bn｝的通項公式可見,n越大,bn就越接近于4. 設n=2k,如前所述,R2k=8k-[f(1)+f(2)+…+f(k)],其中f(k)= - < , f(1)+
f(2)+…+f(k)< • < 8k-2. 即對于n=2k,總有Rn>4n-2.
假設存在λ
上述證明中,我們再次利用了放縮法,如f(k)= - < 等.事實上, 的存在注定了f(1)+f(2)+…+f(k)是有限的. 在放縮過程中,“大度方可從容 ”,只要不失大局,舍棄“毫厘”,既可簡化運算,又可暴露問題的本質(zhì).
Part 2:上期思考題解答
等比數(shù)列{an｝的前n項和為Sn,已知對任意的n∈N*,點(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r (b>0,b≠1) 的圖象上.
(1) 求r的值;
(2) 當b=2時,記bn=2(log2an+1),證明:對任意的n∈N*, • •…• > .
解析: (1) 由題意得Sn=bn+r,則a1=S1=b+r;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(b-1)•bn-1. 由{an｝是等比數(shù)列, 可知r=-1.
[關鍵詞]高三數(shù)學 復習課 課堂教學
高三數(shù)學一輪復習是整個數(shù)學復習的基礎工程,其主要任務是在老師的指導下,讓學生自己對基礎知識、基本技能進行梳理,使之達到系統(tǒng)化、結構化、完整化;在老師的組織下通過對基礎題的系統(tǒng)訓練和規(guī)范訓練,使學生準確理解每一個概念,能從不同角度把握所學的每一個知識點所有可能考查到的題型,熟練掌握求解各種典型的通性、通法。為了達到這樣的目的,采用什么樣的課堂教學的模式顯得尤為重要。本人談論了我校實際制定一輪復習的幾種課堂教學模式,僅供參考。
一、復習課的模式
1.先介紹知識點并穿插小題練習――然后講解典型例題――再進行鞏固練習。這種模式比較適合數(shù)學基礎較弱的學生,所復習的知識點碎采用較為適宜。如復習等差數(shù)列這部分時,等差數(shù)列的定義、通項、求和、性質(zhì)、內(nèi)容較碎,可先構建知識框架、再逐一用小題鞏固每個概念及性質(zhì)讓學生先激活這部分的記憶,再通過一些典型例題深化對每個知識點的理解,再通過練習達到強化鞏固的目的。
2.先進行練習――然后總結提煉知識點――再講解例題――鞏固練習。這種模式針對一些知識點相對較少、且學生相對熟悉的內(nèi)容較為適宜。如在復習基本不等式時,這部分內(nèi)容平時使用頻率較高,可以讓學生先通過幾個較簡單的題目的練習進行感悟,激活思維活動,教師再進行點評提煉出這部分的知識點、再通過典型的例題的學習強化運用、最后進行鞏固訓練和教師講評弄清解題中的一些注意點、常見題型的處理方法、面孔生的題目如何進行等價轉(zhuǎn)化等。
3.課前先讓學生預習找出自己的薄弱環(huán)節(jié)――再進行針對性復習與教學――再學習重點例題――最后鞏固練習。這種模式適宜章節(jié)復習結束時采用,如函數(shù)部分快要復習結束時可安排一節(jié)這樣的課,課前先讓學生回顧這部分內(nèi)容、平時所做的一些講義,各人找出自己的薄弱環(huán)節(jié)。教師再從中找出一些共性的問題設計一些問題加以解決,在課堂上可以報出某某同學的問題是……。這樣也就拉近了教師與學生的距離,提高了課堂的效率。當然這種模式需要教師在課前做大量細致的工作,準確把握學生的薄弱之處,精心選擇或編擬課前預習、重點例題、鞏固練習中相關內(nèi)容。
4.先通過一些小題引出這部分的一些知識點――構建知識框架――再用典型例題深化――再總結提煉――再練習反饋。這種模式針對學生基礎相對較好、且知識點不太碎的內(nèi)容較為適合,如復習函數(shù)的單調(diào)性的證明時可直接通過例題復習一下兩種方法定義和導數(shù)法,再提煉出證明單調(diào)性的方法,再練習鞏固。
5.課前先讓學生練習――課上以糾錯為主。針對一些高考要求不太高的知識點可用此法。如簡易邏輯、四種命題、量詞、推理、證明等部分,可選擇一些典型題讓學生課前先練習,再針對一些共性的錯誤進行糾正。
復習課不管采用何種模式都要力求做到:(1)系統(tǒng)性:滾動復習,知識前后銜接,梳理歸納成串。(2)綜合性:縱橫聯(lián)系,知識內(nèi)外交叉,多角度、多層次。(3)基礎性:著眼雙基,中檔為主,面向多數(shù)。(4)重點性:突出主干知識,詳略得當。(5)發(fā)展性:傳播方法,知識遷移,學會自學。(6)啟迪性:深挖教材,發(fā)散思維,多角度考慮問題。
復習中忌諱的是:(1)“大而全”。也即一堂課力求知識點、題型、方法全、容量大、沒有重點的做法。(2)教學方式單一,老樣子,如:講―練―講,始終如此,學生易產(chǎn)生疲勞感。
二、試卷或作業(yè)講評課的模式
1.先按知識點、錯誤類型歸類、或按考查的數(shù)學思想方法歸類、后相對集中糾錯,中途可適當采用投影儀暴露學生解題中的典型錯誤進行點評,再總結提煉出一份試卷的重點問題所在,問題處理的一般方法,注意點。
2.按試卷暴露出的問題的大小、主次順序進行評講,一般先大后小,先主后次。對于主干知識、通性、通法、學生易得分的知識點進行重點評講,而對一些技巧性的、能力要求較高的、過難或過易的題目要略講。
講評課無論采用何種模式都要力求做到:(1)針對性:講其所需,釋其所疑,解其所難。(2)診斷性:診痛析因,指點迷津,傳授方法,診防結合。(3)輻射性:以點帶面,畫龍點睛,舉一反三。(4)啟發(fā)性:啟發(fā)思維,點撥思路,發(fā)散開拓。
講評課切忌的是不做任何分析就對答案或講評時直接從第一題到第N題,沒有重點沒有主線、不能突出學生練習、作業(yè)、考試中存在的主要問題。
