時(shí)間：2022-10-15 14:06:11
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇勾股定理證明方法，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史；勾股定理歷史；融入；教學(xué)策略
1.勾股定理歷史融入教學(xué)的意義
1.1 有利于激發(fā)興趣，培養(yǎng)探索精神
勾股定理的證明是一個(gè)難點(diǎn).在數(shù)學(xué)教學(xué)中適時(shí)引入數(shù)學(xué)史中引人入勝和富有啟發(fā)意義的歷史話題或趣聞?shì)W事，消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼感，可使學(xué)生明白數(shù)學(xué)并不是一門枯燥無(wú)味的學(xué)科，而是一門不斷發(fā)展的生動(dòng)有趣的學(xué)科，從而激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
1.2 有利于培養(yǎng)人文精神，加強(qiáng)歷史熏陶
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育.浙教版新教材對(duì)我國(guó)勾股定理數(shù)學(xué)史提得很少，其實(shí)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)于勾股定理發(fā)現(xiàn)和證明在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)形結(jié)合思想更具有重大意義。
2.勾股定理歷史融入教學(xué)的策略
在勾股定理教學(xué)的過(guò)程中，要求我們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中，注意結(jié)合教學(xué)實(shí)際和學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)一定的目的，對(duì)勾股定理歷史資源進(jìn)行有效的選擇、組合、改造與創(chuàng)造性的加工，使學(xué)生容易接受、樂(lè)于接受，并能從中得到啟發(fā).在實(shí)踐過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)以下幾種途徑與方法是頗為適宜的.
2.1在情景創(chuàng)設(shè)中融入勾股定理歷史
建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)情景創(chuàng)設(shè)要盡可能的真實(shí)，數(shù)學(xué)史總歸是真實(shí)的.情景創(chuàng)設(shè)可以充分考慮數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景和發(fā)展歷史，以數(shù)學(xué)史作為素材創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，不僅有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，也是對(duì)學(xué)生的一種文化熏陶.
案例1：
師：同學(xué)們知道勾股定理嗎？
生：勾股定理？地球人都知道！（眾笑）
師：要我說(shuō)，如果有外星人，也許外星人也知道.大家知道世界上許多科學(xué)家都在探尋其他星球上的生命，為此向宇宙發(fā)射了許多信號(hào)：如語(yǔ)言、聲音、各種圖形等.我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)建議向宇宙發(fā)射勾股定理的圖形，并說(shuō)：如果宇宙人是文明人，他們一定會(huì)認(rèn)識(shí)這種“語(yǔ)言”的.（投影顯示勾股圖）
可以說(shuō)，禹是世界上有文字記載的第一位與勾股定理有關(guān)的人.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載有商高這樣的話：……我們做成一個(gè)直角三角形，這形亦稱曰[勾股形].它的距邊名叫[勾]，長(zhǎng)度為三；另一邊名叫[股]，長(zhǎng)度為四；斜邊名叫[弦]，長(zhǎng)度為五.勾股弦三邊，若各自乘，我們就可由其中任何兩邊以求出第三邊的長(zhǎng)……
《周髀算經(jīng)》卷上還記載西周開國(guó)時(shí)期周公與商高討論勾股測(cè)量的對(duì)話，商高答周公問(wèn)時(shí)提到“勾廣三，股修四，經(jīng)偶五”，這是勾股定理的特例.卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀(jì)）的對(duì)話中，則包含了勾股定理的一般形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并兒開方除之，得邪至日.”
由此看來(lái)，《周髀算經(jīng)》中已經(jīng)利用了勾股定理來(lái)量地測(cè)天.勾股定理又叫做“商高定理”.畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年.希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱為"畢達(dá)哥拉斯定理"，以后就流傳開了.
2.2在定理證明中融入勾股定理歷史
數(shù)學(xué)史不僅給出了確定的知識(shí)，還可以給出知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程，對(duì)這種過(guò)程的再現(xiàn)，不僅能使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程，還可以形成探索與研究的課堂氣氛，使得課堂教學(xué)不再是單純地傳授知識(shí)的過(guò)程.
案例2.：
劉徽（公元263年左右）的證明：
劉徽用了巧妙的“出入相補(bǔ)”原理證明了勾股定理，“出入相補(bǔ)”見(jiàn)于劉徽為《九章算術(shù)》勾股數(shù)──“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”所作的注：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不動(dòng)也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也.”如何將勾方與股方出入相補(bǔ)成弦方，劉徽未具體提示，學(xué)界比較常見(jiàn)的推測(cè)是如下圖.
③剪拼法（學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證）
證明方法之特征：數(shù)形結(jié)合證法，建立在一種不證自明、形象直觀的原理上，主要是用拼圖的方法證明，使數(shù)學(xué)問(wèn)題趣味化.
翻開古今的數(shù)學(xué)史，不僅勾股定理的歷史深厚幽遠(yuǎn)，所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都蘊(yùn)涵著曲折的道路、閃光的思想、成功的喜悅和失敗的教訓(xùn).將數(shù)學(xué)史的知識(shí)融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)揮數(shù)學(xué)史料的功能，是數(shù)學(xué)教育改革的一項(xiàng)有力的措施.正象法國(guó)數(shù)學(xué)家包羅·朗之萬(wàn)所說(shuō)：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加入歷史具有百利而無(wú)一弊.”
參考文獻(xiàn)
[1]中華人民共和國(guó)教育部制訂.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （實(shí)驗(yàn)稿） 》[S] 北京：北京師范大學(xué)出版社
勾股定理在幾何里具有非常重要的地位，是解三角形的重要基礎(chǔ)，也是整個(gè)平面幾何的重要基礎(chǔ)，其在現(xiàn)實(shí)生活中也具有普遍的應(yīng)用性. 在數(shù)學(xué)教科書中，勾股定理一般出現(xiàn)在八年級(jí)，而八年級(jí)被認(rèn)為是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要發(fā)展階段，也即具體思維向形式化思維轉(zhuǎn)變的時(shí)期. 所以可以說(shuō)，勾股定理教學(xué)也處于學(xué)生數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)折階段. 但另一方面，勾股定理的教學(xué)卻始終是一個(gè)難點(diǎn). 雖然勾股定理的證明方法據(jù)說(shuō)超過(guò)400種，但是讓學(xué)生能夠在思路上比較“自然地”想到證明方法是困難的；而且，從讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)發(fā)現(xiàn)過(guò)程的角度講，要想讓學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”勾股定理更是難上加難.[1]所以有人說(shuō)，看一個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)教育水平，只要看看勾股定理，他們的教材是怎樣編的，他們的教師是怎樣教的，就可略知一二.
對(duì)于勾股定理的教學(xué)，黃榮金博士從上海和香港所做的19個(gè)勾股定理教學(xué)的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)錄，以及由第三次國(guó)際數(shù)學(xué)和科學(xué)重復(fù)錄象研究項(xiàng)目提供的12個(gè)勾股定理教學(xué)錄象（包括實(shí)錄文稿）中，選取澳大利亞、捷克、中國(guó)香港和上海四地勾股定理的課堂教學(xué)進(jìn)行研究，其研究表明澳大利亞是把勾股定理作為一個(gè)事實(shí)（已知）告訴學(xué)生，只字未提證明，捷克和香港雖然介紹了多種證明方法，但事實(shí)上只是通過(guò)演示手段，讓學(xué)生直觀地確認(rèn)所發(fā)現(xiàn)的關(guān)系. 文[2]表明滬港兩地教師在教學(xué)中對(duì)勾股定理證明的處理有許多不同之處：香港課堂主要通過(guò)直觀或具體的活動(dòng)來(lái)確認(rèn)定理的真實(shí)性，而上海教師至少介紹一種數(shù)學(xué)證明，而且四分之三多的教師介紹 2 種以上方法；上海教師比香港教師更加緊扣教科書，而香港教師使用的教科書可以是不同的；香港教師總是將探索問(wèn)題的過(guò)程或證明的步驟程序化.
教師通常依據(jù)教科書來(lái)進(jìn)行教學(xué)，教科書的不同很有可能影響到教師的教學(xué). 由此，本文從微觀層面來(lái)考察滬港兩地?cái)?shù)學(xué)教科書“勾股定理”部分的編寫. 上海的教科書，我們選取華東師范大學(xué)出版社《數(shù)學(xué)》（事實(shí)上，此套教材在內(nèi)地被廣泛使用），而香港教科書我們選取Oxford University Press的《Exploring Mathematics》[3].
2 《數(shù)學(xué)》和《Exploring Mathematics》中的“勾股定理”
《數(shù)學(xué)》第十四章為《勾股定理》，包括14.1《勾股定理》和14.2《勾股定理的應(yīng)用》，其中14.1由《直角三角形三邊的關(guān)系》和《直角三角形的判定》兩小節(jié)組成. 《Exploring Mathematics（2ndEdition）2B》第10章為《勾股定理（Pythagoras’ Theorem）》，該章有三節(jié)為勾股定理的內(nèi)容：10.2《勾股定理(Pythagoras’ Theorem)》，由《直角三角形三邊的關(guān)系（Relations between the Three Sides of a Right-angled Triangle）》、《介紹勾股定理（Introduction to Pythagoras’ Theorem）》和《數(shù)學(xué)的美妙：勾股定理的證明（The Beauty of Mathematics:Proofs of Pythagoras’ Theorem）》三小節(jié)組成；10.3《勾股定理的應(yīng)用（Applications of Pythagoras’ Theorem）》，由《簡(jiǎn)面圖形的應(yīng)用（Applications to Simple Plane Figures）》和《現(xiàn)實(shí)生活應(yīng)用（Real Life Applications）》兩小節(jié)組成；10.4《勾股定理的逆定理及應(yīng)用（Converse of Pythagoras’ Theorem and Its Applications）》. （10.1和10.5分別為平方根和無(wú)理數(shù). ）
本文從勾股定理的發(fā)現(xiàn)、勾股定理的證明、勾股定理的逆定理和勾股定理的應(yīng)用四個(gè)方面對(duì)兩種教科書進(jìn)行介紹，而這里的介紹涉及對(duì)兩種教科書的簡(jiǎn)單比較.
2.1 勾股定理的發(fā)現(xiàn)
《數(shù)學(xué)》通過(guò)三個(gè)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)勾股定理. 第48頁(yè)安排了“試一試”：
測(cè)量你的兩塊直角三角尺的三邊的長(zhǎng)度，并將各邊的長(zhǎng)度填入下表：
根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請(qǐng)猜想三邊的長(zhǎng)度a、b、c之間的關(guān)系.
筆者認(rèn)為，這個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)得并不十分合理. 因?yàn)橐粔K任意的三角板，它的三邊長(zhǎng)很可能并非整數(shù). 讓學(xué)生由三邊長(zhǎng)分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形猜想勾股定理，就已經(jīng)不是十分容易的事（比如，學(xué)生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有學(xué)生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c），更何況來(lái)猜想三個(gè)非整數(shù)之間的平方關(guān)系. 第49頁(yè)安排了“試一試”，通過(guò)數(shù)或計(jì)算三個(gè)正方形的面積來(lái)尋找直角三角形三邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系. 這個(gè)活動(dòng)比前面那個(gè)活動(dòng)目標(biāo)明確、步驟清晰、難度降低，學(xué)生容易找到要求的關(guān)系. 第50頁(yè)又安排了“做一做”. 由這三個(gè)活動(dòng)概括出勾股定理.
《Exploring Mathematics》的處理方式似乎與《數(shù)學(xué)》有些類似，事實(shí)上又有很大的區(qū)別. 教科書安排了兩個(gè)“班級(jí)探險(xiǎn)（Class Exploration）”，第一個(gè)活動(dòng)是出示一個(gè)直角三角形，要學(xué)生測(cè)量三邊的長(zhǎng)度，然后計(jì)算三邊的平方，再思考a2+b2與c2的關(guān)系. 第二個(gè)活動(dòng)是讓學(xué)生填表格，已知直角三角形的兩條直角邊分別是3和4，8和6，15和8，畫出圖形，測(cè)量斜邊，計(jì)算a2、b2和c2，再確定a2、b2和c2之間的關(guān)系. 很顯然，這兩個(gè)活動(dòng)的目標(biāo)很明確，而且臺(tái)階已經(jīng)鋪好，學(xué)生只要依次一步步做下去，就可以得到答案.
總之，兩種教科書都通過(guò)若干個(gè)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)勾股定理. 從難度上講，《Exploring Mathematics》比《數(shù)學(xué)》要小，因?yàn)橐呀?jīng)把“探索問(wèn)題的過(guò)程或證明的步驟程序化”.
2.2 勾股定理的證明
《數(shù)學(xué)》在勾股定理的證明這一環(huán)節(jié)安排了“試一試”：將四個(gè)完全相同的直角三角形拼成一個(gè)正方形，然后計(jì)算邊長(zhǎng)為c的正方形面積，通過(guò)運(yùn)算得到勾股定理，這是一種代數(shù)方法. 拼法有兩種，第一種拼法（圖1）有運(yùn)算c2=(a+b)2-4×1/2ab=a2+b2，第二種拼法（圖2）有運(yùn)算c2=(a-b) 2+4×1/2ab=a2+b2. 這里的圖2是歷史上趙爽“弦圖”的簡(jiǎn)圖，教科書隨后在“讀一讀”中對(duì)其做了簡(jiǎn)單介紹.
此外，第54頁(yè)習(xí)題14.1的第1題其實(shí)是勾股定理的總統(tǒng)證法，第58頁(yè)的“讀一讀”其實(shí)是勾股定理的“風(fēng)車證法”，而本章的最后安排“課題學(xué)習(xí)”：勾股定理的“無(wú)字證明”. 可以說(shuō)，《數(shù)學(xué)》對(duì)勾股定理的證明非常重視，通過(guò)不同的活動(dòng)形式展現(xiàn)給學(xué)生；而且更多地，不是直接告訴學(xué)生方法，而是引導(dǎo)學(xué)生自己去探索，去查找資料主動(dòng)獲取證明方法.
《Exploring Mathematics》在《數(shù)學(xué)的美妙：勾股定理的證明》這一小節(jié)中，給出兩種“簡(jiǎn)單而優(yōu)雅的證明（two simple and elegant proofs）”. 證明1通過(guò)四個(gè)直角三角形拼成正方形的兩種不同擺放形式（圖3），從直觀上驗(yàn)證定理（沒(méi)有代數(shù)運(yùn)算），這是一種幾何方法. 證明2與《數(shù)學(xué)》“試一試”中的第二種方法一致，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)證明；而且教科書在證明2旁邊也放了一則“歷史注解（Historical Note）”簡(jiǎn)單介紹趙爽的弦圖及其證明方法. 不過(guò)除了這兩種證明方法，教科書中沒(méi)有再出現(xiàn)其他的方法.
總之，兩種教科書對(duì)勾股定理證明的處理有一致也有區(qū)別之處. 《數(shù)學(xué)》“試一試”中的兩種方法都是代數(shù)方法，而《Exploring Mathematics》采用一種幾何方法和一種代數(shù)方法. 而且，兩書的第二種方法都與趙爽的弦圖有關(guān)，都配有簡(jiǎn)要的數(shù)學(xué)史知識(shí). 此外，與《Exploring Mathematics》不同，《數(shù)學(xué)》還涉及其他證明方法，其中第58頁(yè)“做一做”中的“風(fēng)車證法”也是一種幾何方法.
2.3 勾股定理的逆定理
對(duì)勾股定理的逆定理，《數(shù)學(xué)》用古埃及人畫直角的方法來(lái)引入；而《Exploring Mathematics》則開門見(jiàn)山，提出問(wèn)題：交換勾股定理的條件與結(jié)論，“如果a2+b2=c2，那么∠C=90°”，這個(gè)結(jié)論成立嗎？然后學(xué)生探索，驗(yàn)證，得到結(jié)論. 《Exploring Mathematics》也用“歷史注解”的形式簡(jiǎn)單介紹了古埃及人畫直角的方法.
2.4 勾股定理的應(yīng)用
對(duì)于定理的應(yīng)用，兩種教科書都給出了一定數(shù)量的例題和習(xí)題. 我們來(lái)看兩書中的典型題目. 《數(shù)學(xué)》14.2《勾股定理的應(yīng)用》例1：
如圖14.2.1（圖略），一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑. 一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程.
比較有意思的是，這一題目我們可以在內(nèi)地其他版本的教科書中看到. 比如，人民教育出版社《數(shù)學(xué)》第十八章《勾股定理》復(fù)習(xí)題的第8題就是類似一題；北京師范大學(xué)出版社《數(shù)學(xué)》八上第一章《勾股定理》第3節(jié)就以“螞蟻怎樣走最近”為標(biāo)題，研究這個(gè)“螞蟻問(wèn)題”. 為什么這些教科書都采用這一題目，它有什么深刻背景嗎？事實(shí)上，它是由一道歷史名題改編而來(lái)的，原題為：
如圖4，在一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為30、12、12英尺的長(zhǎng)方體房間里，一只蜘蛛在一面墻的中間離天花板1英尺的A處，蒼蠅則在對(duì)面墻的中間離地面1英尺的B處，蒼蠅是如此地害怕，以至于無(wú)法動(dòng)彈. 試問(wèn)，蜘蛛為了捉住蒼蠅需要爬行的最短距離是多少？（提示：它少于42英尺）
這一“蜘蛛與蒼蠅”問(wèn)題最早出現(xiàn)在1903年的英國(guó)報(bào)紙上，它是H.E.杜登尼（Henry Dudeney，1847-1930）最有名的謎題之一. 杜登尼是19世紀(jì)英國(guó)著名的謎題創(chuàng)作者，他創(chuàng)作的這一問(wèn)題對(duì)全世界難題愛(ài)好者的挑戰(zhàn)，長(zhǎng)達(dá)四分之三個(gè)世紀(jì).[4]這就不難明白，教科書為什么對(duì)這“螞蟻問(wèn)題”偏愛(ài)有加了.
除例1外，《數(shù)學(xué)》還安排3個(gè)例題. 在例2下面有一“做一做”，其實(shí)是證明勾股定理的“風(fēng)車證法”，與上下文似乎沒(méi)有太大的聯(lián)系，放在這一節(jié)里并不合理.
《Exploring Mathematics》中例題和習(xí)題給人的第一感覺(jué)是，離學(xué)生的生活很近. 比如《現(xiàn)實(shí)生活應(yīng)用》這一小節(jié)一開始安排了“班級(jí)探險(xiǎn)”：
假設(shè)一艘小船離開大嶼山的梅窩碼頭，航行2.8公里達(dá)到喜靈洲碼頭. 然后左轉(zhuǎn)90度并航行3.1公里到達(dá)坪洲碼頭. 尋找一種可以獲知梅窩碼頭到坪洲碼頭的直線距離的方法.
大嶼山是香港的一個(gè)島（迪斯尼樂(lè)園就建在這個(gè)島上），喜靈洲和坪洲是大嶼山附近的兩個(gè)小島，它們都是香港學(xué)生熟悉的. 所以這一題設(shè)計(jì)得非常好，它取材于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，給人一種“身邊的數(shù)學(xué)”的感覺(jué)，富有生活氣息. 把現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)化和數(shù)學(xué)地思維去解決問(wèn)題. 解決了這一問(wèn)題，又能讓學(xué)生感覺(jué)到數(shù)學(xué)不僅是有趣的而且還是有用的.
再比如，同一小節(jié)的例7，大意是說(shuō)Patrick從學(xué)校到公交車站要穿過(guò)一個(gè)長(zhǎng)124米寬93米的足球場(chǎng)，那么他走最短路線要走多遠(yuǎn). 其后練習(xí)10C的14題又把場(chǎng)景放到一個(gè)籃球場(chǎng)，David沿邊跳，John沿對(duì)角線跳，然后問(wèn)他們跳的路程差. 10.4《勾股定理的逆定理及應(yīng)用》中的例9關(guān)注兩位學(xué)生的家與學(xué)校的距離，這樣的情境讓學(xué)生感覺(jué)到很親切. 相比而言，《數(shù)學(xué)》第58頁(yè)的例2，卡車通過(guò)工廠的大門，這樣的問(wèn)題情境就不是十分貼近學(xué)生的生活.
總之，《數(shù)學(xué)》取材于歷史數(shù)學(xué)名題，《Exploring Mathematics》在問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)上下足工夫，兩書各具特色. 此外，從習(xí)題數(shù)量上看，《Exploring Mathematics》明顯要比《數(shù)學(xué)》多，而且每一個(gè)例題都標(biāo)明它屬于水平1還是水平2，其后的習(xí)題也按水平1和水平2分開編排；《數(shù)學(xué)》除章末的復(fù)習(xí)題按難度和水平分成A、B、C三組，其他的例題、練習(xí)和習(xí)題沒(méi)有標(biāo)注其對(duì)應(yīng)的水平.
3 兩種教科書引發(fā)的思考
通過(guò)對(duì)《數(shù)學(xué)》和《Exploring Mathematics》在“勾股定理”內(nèi)容的考察、比較和分析，也引起了我們對(duì)一些問(wèn)題的思考.
3.1 弱化對(duì)定理的發(fā)現(xiàn)
對(duì)于定理的發(fā)現(xiàn)，筆者認(rèn)為可以做弱化處理，沒(méi)有必要讓學(xué)生在此太花精力. 引導(dǎo)學(xué)生探究而發(fā)現(xiàn)勾股定理，處理不當(dāng)，容易導(dǎo)致學(xué)生盲目的探究. 在實(shí)際教學(xué)中，教師雖有探究式教學(xué)的理念，但在師生行為的設(shè)計(jì)上存在著困惑：通過(guò)度量直角三角形三條邊的長(zhǎng)，計(jì)算它們的平方，再歸納出a2+b2=c2，由于得到的數(shù)據(jù)不總是整數(shù)，學(xué)生很難猜想出它們的平方關(guān)系，因此教師常常把勾股定理作為一個(gè)事實(shí)告訴學(xué)生. 如何處理這一困惑，一條途徑就是教科書直接把勾股定理呈現(xiàn)在學(xué)生面前，而更多地把空間留給介紹與勾股定理相關(guān)的數(shù)學(xué)史料上，借此拓寬學(xué)生的視野. 第二條途徑是參考顧泠沅、王潔等人的工作：運(yùn)用“腳手架”理論，通過(guò)“工作單”進(jìn)行鋪墊，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供一種教學(xué)協(xié)助，幫助學(xué)生完成在現(xiàn)有能力下對(duì)高認(rèn)知學(xué)習(xí)任務(wù)的難度的跨越. 這樣的處理也具有一定的可行性. 不過(guò)，筆者更傾向于第一條途徑，弱化發(fā)現(xiàn)，而強(qiáng)化證明、重視應(yīng)用，把重點(diǎn)放到其后定理的證明和應(yīng)用上，這樣處理也許對(duì)學(xué)生的思維更有利.
3.2 呈現(xiàn)多種證明方法
我們看到《Exploring Mathematics》只介紹了兩種證明方法，而且第一種更多的是借助直觀的幾何驗(yàn)證；而《數(shù)學(xué)》則涉及到好幾種證明方法. 這也可以從某種程度上解釋前文所提及的兩地課堂教學(xué)上的差別. 筆者認(rèn)為，對(duì)于定理的發(fā)現(xiàn)，我們可以做弱化處理，而證明則應(yīng)該強(qiáng)化. 一方面，勾股定理的證明可以訓(xùn)練學(xué)生精致的數(shù)學(xué)思維；另一方面，勾股定理的證明方法是體現(xiàn)多元文化數(shù)學(xué)的極好題材. 正如前文所述，勾股定理的證明方法據(jù)說(shuō)超過(guò)400種，而且不同的方法與不同的文化、不同種族的思維方式緊緊聯(lián)系在一起. 我們認(rèn)為數(shù)學(xué)教科書中呈現(xiàn)多元文化數(shù)學(xué)的內(nèi)容是數(shù)學(xué)教科書編寫的發(fā)展方向. 通過(guò)對(duì)不同時(shí)期、不同地域數(shù)學(xué)成果及其思想方法的比較，可以使學(xué)生明白，數(shù)學(xué)并不只屬于某個(gè)民族、某種文化. 數(shù)學(xué)教科書和數(shù)學(xué)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生尊重、分享、欣賞、理解其他文化下的數(shù)學(xué)，借此拓寬學(xué)生的視野，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，培養(yǎng)開放的心靈. 那么，在《勾股定理》中，教科書應(yīng)以適當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)若干種經(jīng)典證法. 比如歐幾里得《原本》的證明方法就很值得向?qū)W生介紹，與趙爽的方法做一對(duì)比，學(xué)生能體會(huì)到古希臘人對(duì)理性的追求；對(duì)相關(guān)背景做介紹，學(xué)生意識(shí)到不同的文明產(chǎn)生了不同的數(shù)學(xué). 歐幾里得方法可能對(duì)學(xué)生而言比較難，不是那么容易理解，教師可以做適當(dāng)?shù)奶幚恚热缃柚?jì)算機(jī)做動(dòng)態(tài)演示，一般學(xué)生還是可以接受的.
3.3 問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)應(yīng)貼近學(xué)生的生活
兩種教科書對(duì)定理的應(yīng)用都非常重視. 學(xué)習(xí)了勾股定理，學(xué)生必須會(huì)用這個(gè)定理，否則學(xué)習(xí)它就沒(méi)有多大意義了. 教科書都安排了不少例題和習(xí)題. 在筆者看來(lái)，《Exploring Mathematics》的最大特色就在于問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)上. 數(shù)學(xué)問(wèn)題本身就來(lái)自于生活，數(shù)學(xué)方法應(yīng)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活. 數(shù)學(xué)并不遠(yuǎn)離學(xué)生的現(xiàn)實(shí)世界，相反，它就在我們身邊. 《Exploring Mathematics》中的例題和習(xí)題，就取材于學(xué)生周圍的世界，學(xué)校、自己家的房子、球場(chǎng)、公交車站、居住的島嶼，這些都是學(xué)生熟悉的場(chǎng)景. 這些熟悉的場(chǎng)景放進(jìn)數(shù)學(xué)題里，學(xué)生就有一種親切感. “學(xué)數(shù)學(xué)”不僅是“做數(shù)學(xué)”，而且還是“玩數(shù)學(xué)”，讓學(xué)生在一種輕松愉快的情境中解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，而這個(gè)過(guò)程是充滿樂(lè)趣的. 教科書中的數(shù)學(xué)問(wèn)題不能單純圍繞數(shù)學(xué)而編寫、杜撰. 比如說(shuō)，我們?cè)趦?nèi)地某教科書中看到這樣一個(gè)問(wèn)題：
強(qiáng)大的臺(tái)風(fēng)使得一根旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處. 旗桿折斷之前有多高？
這個(gè)問(wèn)題設(shè)計(jì)并不科學(xué)、合理，因?yàn)闄M向的“12米”是容易測(cè)量的，那么縱向的“9米”又是如何得到的呢？如果可以通過(guò)直接測(cè)量的話，那么折斷部分的15米應(yīng)該也不難測(cè)量（唯一難測(cè)量的情況就是尺子的長(zhǎng)度大于12米而小于15米）. 所以，它看似是來(lái)自于一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活的問(wèn)題，實(shí)則是很典型的“為數(shù)學(xué)而問(wèn)題”. 從數(shù)學(xué)角度講，它也許是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⑼昝赖模鼌s遠(yuǎn)離了學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活. 香港教科書在問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)上對(duì)我們很具啟發(fā)和借鑒意義.
參考文獻(xiàn)
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關(guān)鍵詞：教師；教材使用；創(chuàng)造性；勾股定理
中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）50-0153-02
本次課程改革無(wú)論是在課程設(shè)置上還是在課程內(nèi)容及教材編排方式的更新上都給教師提供了廣闊的創(chuàng)造空間。它帶來(lái)教學(xué)觀念、方式的一大改變，就是要求打破原有的教學(xué)觀、教材觀，創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)教材。這就要求教師在充分了解和把握課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科特點(diǎn)、教學(xué)目標(biāo)、教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，以教材為載體，靈活有效地組織教學(xué)，拓展課堂教學(xué)空間。創(chuàng)造性地使用教材是教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方式綜合優(yōu)化的過(guò)程；是課程標(biāo)準(zhǔn)、教材內(nèi)容與學(xué)生生活實(shí)際相聯(lián)系的結(jié)晶；是教師智慧與學(xué)生創(chuàng)造力的有效融合。
一、創(chuàng)造性的使用教材的內(nèi)涵
創(chuàng)造性地使用教材主要表現(xiàn)在對(duì)教材的靈活運(yùn)用和對(duì)課程資源的綜合、合理、有效利用。它需要教師具有較強(qiáng)的課程意識(shí)，準(zhǔn)確把握教材編寫意圖和教學(xué)目的，避免形式化、極端化傾向。在創(chuàng)造性地使用教材的過(guò)程中教師的專業(yè)化水平將得到飛速提高。
那究竟如何來(lái)創(chuàng)造性地使用教材呢？筆者擬通過(guò)人教版八年級(jí)下冊(cè)《勾股定理》一課來(lái)具體闡述。在人教版的教學(xué)建議中，明確指出：《勾股定理》一課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生了解勾股定理的歷史背景，體會(huì)勾股定理的探索過(guò)程，掌握直角三角形的三邊關(guān)系。為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，不同的教師創(chuàng)設(shè)任務(wù)的方式也有所不同。
二、課堂再現(xiàn)
課例1
1.提出問(wèn)題。T：相傳兩千五百多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯去朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情地歡樂(lè)。只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚發(fā)呆，原來(lái)朋友家的地面是用直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間美觀大方。主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪就過(guò)去詢問(wèn)，誰(shuí)知畢達(dá)哥拉斯突然站起來(lái)，大笑著跑回家了，他發(fā)現(xiàn)了直角三角形的某一些性質(zhì)。同學(xué)們，你知道畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了什么性質(zhì)？你能發(fā)現(xiàn)什么？S1：我發(fā)現(xiàn)圖中有直角三角形，而且是等腰直角三角形。S2：我發(fā)現(xiàn)以直角邊為邊做出的正方形的兩個(gè)面積之和等于斜邊為邊做出的正方形面積。T：我們發(fā)現(xiàn)A+B=C，由于這個(gè)三角形為特殊的直角等腰三角形。我們?cè)賮?lái)看幾個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形，它們的面積是否依然存在這樣關(guān)系？
2.解決問(wèn)題。T：接下來(lái)我們一起來(lái)做個(gè)實(shí)驗(yàn)，大家看下圖。A、B、C面積之間有什么關(guān)系？邊長(zhǎng)a、b、c之間存在什么樣的關(guān)系？
老師發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)不會(huì)算C的面積，于是請(qǐng)會(huì)算的同學(xué)說(shuō)說(shuō)計(jì)算思路。
S：我用的方法是補(bǔ)的，就是把這樣以c為邊的斜的正方形補(bǔ)成一個(gè)正放的大正方形。
先算出大正方形的面積，減去4塊直角三角形的面積就得出C的面積了。
T：非常好，有沒(méi)有不同的方法？
S：我用的是分割的方法。我把這個(gè)大的正方形割成4個(gè)直角三角形和1個(gè)小的正方形。我們可用三角形的面積加上中間小正方形就是大的正方形的面積。
T：非常好。接下來(lái)，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)想一下，直角三角形三邊可能存在哪些數(shù)量關(guān)系？
S：a2+b2=c2
3.揭示本質(zhì)。T：我們剛才進(jìn)一步驗(yàn)證我們的猜想a2+b2=c2是成立的。那對(duì)于一般的直角三角形，兩直角邊為a、b斜邊為c，是否都有a2+b2=c2？不要忘記，剛才我們?cè)谇蟠笳叫蔚拿娣e是如何求的？它給我們什么啟示？其實(shí)歷史對(duì)證明勾股定理有許多種，而我們中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的證明思想是“以盈補(bǔ)虛，出入相補(bǔ)”。
T：2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)放在北京舉行，大會(huì)的會(huì)徽正是三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽關(guān)于勾股定理證明的草圖。同學(xué)們，請(qǐng)拿出紙筆證明一下。
S：我用大的正方形的面積等于四個(gè)直角三角形加上小正方形的面積。
T：運(yùn)用面積不變，用割補(bǔ)的方法我們可以得到a2+b2=c2。
4.描述定義。T：下面我們給出勾股定理的表述。
命題：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
數(shù)學(xué)語(yǔ)言：ABC為直角三角形，∠C=90°AC2+BC2=AB2
5.教學(xué)總結(jié)。T：同學(xué)們，今天這節(jié)課我們學(xué)了勾股定理，那你學(xué)到了什么？S：用割補(bǔ)法進(jìn)行勾股定理的證明。T：對(duì)，我們講了中國(guó)古代以盈補(bǔ)虛的數(shù)學(xué)思想，那這種以面積來(lái)證明勾股定理的方法同時(shí)也體現(xiàn)了我們的數(shù)學(xué)上的數(shù)形結(jié)合的思想。這節(jié)課你還學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法？S：從特殊到一般。T：我們從特殊的等腰直角三角形入手再探究有整數(shù)邊的直角三角形，最后到一般直角三角形的證明。
分析：張老師本節(jié)課的重點(diǎn)放在定理的證明上，讓學(xué)生充分體驗(yàn)邏輯推理的魅力。讓學(xué)生自主探索、小組合作交流，直觀理解勾股定理規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，重視學(xué)生獨(dú)立思考和探索能力的培養(yǎng)，在與同學(xué)交流學(xué)習(xí)中，通過(guò)取長(zhǎng)補(bǔ)短，吸收同學(xué)意見(jiàn)，修正、完善自己的想法，探討出利用割補(bǔ)法求面積的方法，就本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容而言，掌握方法（割補(bǔ)法）和滲透學(xué)科思想（轉(zhuǎn)化的思想）與知道結(jié)果同樣重要。
課例2
1.引入課題（第一次活動(dòng)）。T：請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳袭嬅娣e最小的格點(diǎn)RtABC，教師用實(shí)物投影展示一位學(xué)生作品即如圖ABC，并隨即提問(wèn)：RtABC中，BC=1，AC=1，你能否用計(jì)算面積法求AB的長(zhǎng)？
S：可以把四個(gè)三角形拼成一個(gè)大正方形，得到正方形的面積為2，那正方形的邊長(zhǎng)也就是AB的長(zhǎng)為■。
T：對(duì)于一個(gè)特殊的Rt確實(shí)有a2+b2=c2，但對(duì)于一般直角三角形能成立嗎？
2.深入探究（第二次活動(dòng)）。T：請(qǐng)各組利用手中的四個(gè)全等Rt紙板，拼出一個(gè)邊長(zhǎng)為C的正方形。（設(shè)定兩直角邊、斜邊分別是a，b，c）學(xué)生合作后擺出了如下的兩種圖案：
T：對(duì)于擺法1，大正方形面積可有幾種表示法？S：兩種，一種是c2，另一種為4個(gè)直角三角形和與一個(gè)小正方形的面積。
T：小正方形邊長(zhǎng)為多少？S：b-a，把兩種表示法等同起來(lái)（b-a）2+2ab=c2，化簡(jiǎn)整理得a2+b2=c2。
S：對(duì)于擺法2，也可得出a2+b2=c2。
3.強(qiáng)調(diào)定義。如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
4.總結(jié)拓展。T：關(guān)于勾股定理的證明方法有五百余種，在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。下面我們來(lái)看幾組勾股定理證明的簡(jiǎn)單介紹（介紹劉徽?qǐng)D、加菲爾德圖），希望同學(xué)們課下也去思考一種證明勾股定理的方法。
分析：課例2中的兩次活動(dòng)都運(yùn)用了動(dòng)手操作的形式，非常符合中學(xué)生好奇性強(qiáng)的心理特點(diǎn)，幾乎所有的學(xué)生都興趣盎然地參與了整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，并在教師的提問(wèn)下進(jìn)行積極的思考與探索。新課程下的學(xué)生不希望老師經(jīng)常給他們一些輕而易舉就能解決的問(wèn)題，有時(shí)他們渴望做一個(gè)探索者、研究者、論證家。而上面的兩個(gè)活動(dòng)正是為學(xué)生提供了這樣的氛圍與平臺(tái)，使學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中體會(huì)了從特殊到一般的論證思想，整個(gè)設(shè)計(jì)提倡多樣化問(wèn)題解決的思維方式，在活動(dòng)中完成了思維的不斷發(fā)展。最后老師展示了一些較為典型的證明方法激發(fā)學(xué)生思考，也為學(xué)生課下學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。
三、創(chuàng)造性地使用教材
上述兩位老師都在課堂中創(chuàng)造性地使用教材，那創(chuàng)造性地使用教材究竟有哪些可取之處呢？筆者認(rèn)為有三點(diǎn)：首先，它要求教師要進(jìn)一步樹立課程意識(shí)，以新的課程觀（學(xué)生觀、教材觀、課程資源觀）來(lái)重新審視、規(guī)劃教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容和方法——以更高、更寬的眼光來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)、看待孩子，而不僅僅局限在教材和一時(shí)的教學(xué)效果。其次，教師在創(chuàng)造性使用教材中應(yīng)充分認(rèn)識(shí)明確教學(xué)目的的重要性。每節(jié)課、每次活動(dòng)都應(yīng)有明確的教學(xué)目的，而不是為了創(chuàng)造性地使用教材而輕率、刻意地去更改教材內(nèi)容等等。教學(xué)手段與教學(xué)目的和諧一致的原則是創(chuàng)造性教材使用的基本著眼點(diǎn)與歸宿。最后，希望教師們?cè)趧?chuàng)造性地使用教材的過(guò)程中獲得專業(yè)成長(zhǎng)。一是廣泛吸收各種教材的精華與長(zhǎng)處，進(jìn)行合理整合，逐步形成自己的東西；二是結(jié)合個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、研究成果和本地實(shí)際，嘗試編制富有時(shí)代氣息和地方特色的校本教材，從而進(jìn)一步豐富和完善現(xiàn)行的教材體系。當(dāng)教師在自己的教學(xué)活動(dòng)中有了明顯的課程意識(shí)和研究、探索意識(shí)，教師就不再是普通的“教書匠”，而是已經(jīng)步入到學(xué)者型、專家型的實(shí)踐研究者行列，其專業(yè)化教學(xué)水平必然得到全面發(fā)展與提高。
參考文獻(xiàn)：
[1]金立淑.指向最佳教學(xué)教學(xué)路徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012，（10）.
【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)概率；學(xué)科發(fā)展
長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)科在教學(xué)過(guò)程中的“缺人”現(xiàn)象一直存在.所謂的“缺人”現(xiàn)象就是對(duì)人文素養(yǎng)的缺失與忽視.而實(shí)際上，教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)?shù)娜谌霐?shù)學(xué)史的做法便是很好的人文滲透.以人文滲透的方式豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容與形式，可以讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)、進(jìn)而學(xué)好數(shù)學(xué).從數(shù)學(xué)史的內(nèi)容分布來(lái)看，在數(shù)學(xué)教育中滲透數(shù)學(xué)史的元素可以從以下幾個(gè)方面入手.
一、數(shù)學(xué)史之?dāng)?shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程
數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)中最基本的元素之一，對(duì)數(shù)學(xué)概念的歷史挖掘可以更好的讓學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)產(chǎn)生直觀印象，從源頭幫助學(xué)生學(xué)好知識(shí)，學(xué)透知識(shí).正數(shù)與負(fù)數(shù)的歷史發(fā)展正數(shù)與負(fù)數(shù)的產(chǎn)生是人類思維進(jìn)化的大飛躍.在原始時(shí)期，人們沒(méi)有數(shù)的概念，在計(jì)數(shù)的時(shí)候往往使用手指計(jì)數(shù)，當(dāng)手指數(shù)量不夠用的時(shí)候，人們就會(huì)借助結(jié)繩、棍棒、石子的方式計(jì)數(shù).隨著社會(huì)的發(fā)展，尤其是經(jīng)濟(jì)的發(fā)展.對(duì)計(jì)數(shù)的要求就逐漸變高，于是就有了自然數(shù)的概念，分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生.而在生活中則有了比0度還低的溫度……這些情景的出現(xiàn)就要求人類開始考慮數(shù)字的正反，多少兩個(gè)層面的含義，于是就誕生了負(fù)數(shù)的概念.這種正負(fù)數(shù)產(chǎn)生的過(guò)程就可以讓學(xué)生真切的感知負(fù)數(shù)誕生的歷史背景和社會(huì)生態(tài)，有利于學(xué)生將正負(fù)數(shù)的知識(shí)遷移運(yùn)用到生活當(dāng)中.
二、數(shù)學(xué)史之定理的發(fā)現(xiàn)與證明過(guò)程
傳統(tǒng)課堂中對(duì)定理的證明和介紹往往是將證明過(guò)程進(jìn)行展示，學(xué)生對(duì)定理的來(lái)歷和證明過(guò)程的原始記載并無(wú)掌握，不能很好的形成對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻印象.將定理證明的來(lái)源及其在不同國(guó)家的歷史發(fā)展介紹給學(xué)生將有助于深化對(duì)定理的理解，學(xué)習(xí)偉大數(shù)學(xué)家對(duì)待證明的方法，并感悟數(shù)學(xué)思想的魅力.勾股定理的證明在中國(guó)，勾股定理的證明最早可以追溯到4000年前.在《周髀算經(jīng)》的開頭就有關(guān)于勾股定理的相關(guān)內(nèi)容；而在西方有文字記載的最早給出勾股定理證明的則是畢達(dá)哥拉斯.相傳是畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)，無(wú)意中看到朋友家地板的形狀，于是便在大腦中出現(xiàn)了一系列的假設(shè)和猜想，并隨后給予了論證.當(dāng)畢達(dá)哥拉斯證明了勾股定理以后，欣喜若狂，于是殺牛百頭以示祝賀.現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家已經(jīng)從不同的角度對(duì)勾股定理進(jìn)行了證明，證明方法多達(dá)幾十種.
三、數(shù)學(xué)史之?dāng)?shù)學(xué)歷史中較為有名的難題解析
在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，有一些流傳下來(lái)的被后人津津樂(lè)道的數(shù)學(xué)難題，這些題目的解答中往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)解題思想和獨(dú)特的思維方式，同時(shí)也可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)問(wèn)題的奧秘并從中獲得啟示.哥尼斯堡七橋問(wèn)題在18世紀(jì)的時(shí)候，有一個(gè)小城角哥尼斯堡，城中有一條河，河上坐落著七座橋，這七座橋?qū)⒑又虚g的兩個(gè)小島與岸邊相連.在那里生活的居民就提出了一個(gè)問(wèn)題，如何在既不重復(fù)，也不落下的情況下走遍七座橋，并在最后回到出發(fā)點(diǎn)？這個(gè)問(wèn)題困擾了大家很久，但始終都沒(méi)有得到解決.直到一位名叫歐拉的數(shù)學(xué)家通過(guò)將問(wèn)題簡(jiǎn)化和抽象最終得出了問(wèn)題的解決辦法.這就是后人常提到的“一筆畫”問(wèn)題.
四、數(shù)學(xué)史之?dāng)?shù)學(xué)家的故事
數(shù)學(xué)家的故事往往蘊(yùn)含了豐富的人生哲理，不僅教會(huì)學(xué)生如何對(duì)待工作，對(duì)待生活，對(duì)待工作中的每個(gè)細(xì)節(jié)，還在側(cè)面影響了學(xué)生從事數(shù)學(xué)工作的意愿.教師可以在教學(xué)之余穿插介紹一些中外數(shù)學(xué)家的故事，重點(diǎn)介紹其對(duì)待數(shù)學(xué)事業(yè)的態(tài)度以及在工作上優(yōu)良的品質(zhì)，以鼓勵(lì)所有學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的品質(zhì)與風(fēng)貌.高斯的故事高斯十歲上學(xué)時(shí)老師給所有同學(xué)出了個(gè)題目：將1－100的數(shù)字全部寫出來(lái)并把它們相加.老師原本想讓孩子們多算一會(huì)兒好讓自己休息，其他很多同學(xué)也開始用石板逐一計(jì)算.但是高斯卻很快就將答案擺在了老師的面前.老師自然對(duì)高斯的表現(xiàn)異常吃驚，尤其是高斯的答案是正確的.而當(dāng)高斯解釋解題過(guò)程的時(shí)候，連老師都沒(méi)有想到將數(shù)字串進(jìn)行首尾相加的方法卻從一個(gè)十歲兒童的筆下得出.這不得不讓人對(duì)這個(gè)孩子的聰穎大加贊賞和敬佩.
五、數(shù)學(xué)史之中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就
關(guān)鍵詞：探索能力；綜合運(yùn)用；好奇心與幻想；滲透美德
中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2016）05-0216-01
創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂，是一個(gè)國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭的動(dòng)力。作為"人類靈魂的工程師"肩負(fù)著培養(yǎng)、造就具有創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力，適應(yīng)新世紀(jì)競(jìng)爭(zhēng)合格人才的光榮使命和時(shí)代的重托，也是當(dāng)代教師深思遠(yuǎn)慮的時(shí)代課題，下面是本人在教學(xué)實(shí)踐中的培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的一些體會(huì)：
1.培養(yǎng)學(xué)生的探索能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)新能力
"探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線"。適時(shí)，經(jīng)常地組織學(xué)生進(jìn)行探索性學(xué)習(xí)，有利于將教學(xué)過(guò)程的重點(diǎn)從教師的教轉(zhuǎn)移到學(xué)生的學(xué)，學(xué)生從被動(dòng)接受變?yōu)橹鲃?dòng)探索、研究，確立學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，促進(jìn)學(xué)生獨(dú)立思考，培養(yǎng)和發(fā)展其創(chuàng)新性思維能力。而這些創(chuàng)新思維的產(chǎn)生，都不同程度來(lái)源于教師設(shè)計(jì)的一些具有探究性的問(wèn)題，如果設(shè)計(jì)的問(wèn)題不具有挑戰(zhàn)性，就不能使學(xué)生產(chǎn)生創(chuàng)新性的欲望。例如教學(xué)"通分"時(shí)，為了讓學(xué)生比較3/4與5/6的大小，一般情況下，教師預(yù)先設(shè)計(jì)如下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考：3/4與5/6的分母一樣嗎？能否直接比較大小呢？能將3/4與5/6化成分母相同的分?jǐn)?shù)嗎？應(yīng)以什么數(shù)作為公分母？這樣提前引導(dǎo)、指令，使學(xué)生亦步亦趨，毫無(wú)自主探索的權(quán)利可言，不利于學(xué)生個(gè)性的發(fā)展。而教師事先不作暗示，放手先讓學(xué)生自主思考、探索，那么學(xué)生的思考策略就趨于多樣化而富有個(gè)性：化成小數(shù)比較。用折紙比較。化成同分母的分?jǐn)?shù)比較。化成同分子的分?jǐn)?shù)比較。為此，在教學(xué)工作中應(yīng)做好以下幾項(xiàng)工作：善于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，保護(hù)好奇心，激發(fā)求知欲。創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)。鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題。引導(dǎo)學(xué)生自己研討，培養(yǎng)獨(dú)立思考能力。讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，操作，手腦并用。實(shí)踐證明，在教學(xué)過(guò)程中，如果我們多設(shè)計(jì)一些探究性的問(wèn)題，就會(huì)使學(xué)生逐漸養(yǎng)成在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中注意觀察分析，努力探索，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)新能力。
2.聯(lián)系幾何知識(shí)綜合運(yùn)用，提高空間觀念的積累水平
在學(xué)生掌握了部分幾何知識(shí)，且具有初步的空間觀念以后，我們需要幫助學(xué)生進(jìn)一步貫通幾何知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系。我們可以把學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)和具有代表性的題目通過(guò)變式，強(qiáng)化綜合運(yùn)用知識(shí)解題的靈活性，引導(dǎo)學(xué)生的空間思考能力，以利于提高空間觀念的積累水平。 1） 在學(xué)生具有初步幾何空間知識(shí)后，我們可以設(shè)計(jì)綜合幾何題型來(lái)鍛煉學(xué)生的空間分析能力。這是一道圓柱體和長(zhǎng)方體組合的題目：在一只底面半徑是 10厘米的圓柱形玻璃瓶中，水深8厘米。要在瓶中放入長(zhǎng)和寬都是8厘米，高是15厘米的一塊鐵塊： 如果把鐵塊橫放在水中，水面上升幾厘米？ 如果把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？ 對(duì)于此題的解答，我們可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)演示，或者先讓學(xué)生大膽地想象出鐵塊浸沒(méi)在水中的兩種情況之下的不同的形狀、方位、大小，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。 圖3.1圓柱形玻璃瓶和長(zhǎng)方體鐵塊 第（1）小題，學(xué)生可以很容易地理解，把鐵塊橫放在水中，鐵塊將會(huì)全部浸沒(méi)。上升的容積就是鐵塊的體積。 若用算術(shù)方法解：則水面上升部分的容積（也就是鐵塊體積）÷圓柱底面積=水面上升的高度，即15×8×8÷（102×3.14）≈3（厘米）； 第（2）小題，我們首先要讓學(xué)生思考，把鐵塊豎放在水中，鐵塊能全部浸沒(méi)嗎？顯然不能。因?yàn)闄M放在水中，水面只上升了約 3厘米，而豎放在水中，鐵塊的體積不變，底面積變小了，所以水面不可能上升到15厘米這一高度。進(jìn)而再考慮，把鐵塊豎放在水中，水面是肯定要上升的，因?yàn)橛胁糠骤F塊將浸沒(méi)在水中。 若用方程解：我們假設(shè)把鐵塊豎放在水中，水面上升到 x 厘米，則當(dāng)前水面的總?cè)莘e-鐵塊浸沒(méi)在水中的體積=原來(lái)水面的總?cè)莘e，即：102×3.14×x- 82×x= 102×3.14×8。 解得：x≈10（厘米），得到水面上升為：10-8=2（厘米）。 對(duì)于很多幾何應(yīng)用題，解題所需的條件并不是完全已知的，需要學(xué)生通過(guò)分析提煉出隱蔽的數(shù)據(jù)，這部分需要學(xué)生具有一定的綜合分析能力。
3.尊重學(xué)生的好奇心與幻想，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)
每位學(xué)生都有很強(qiáng)的創(chuàng)新欲望，他們對(duì)什么都充滿了好奇心與幻想。因此應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)他們的創(chuàng)新熱情，使他們善于創(chuàng)新。如有這樣一道題：某小學(xué)放兩部科學(xué)教育影片，第一部長(zhǎng)585米，放映19.5分鐘，第二部長(zhǎng)720米，要比第一部多放映多少分鐘？對(duì)于這道題，教師要求是只列式不計(jì)算，比一比看誰(shuí)用的方法多。激活了學(xué)生的思維，很快有多數(shù)同學(xué)先后列出3種不同的算式：①720÷（585÷19.5）-19.5；②19.5×（720÷585）-19.5；③（19.5÷585）×（720-585）。緊接著在教師的鼓勵(lì)啟發(fā)下，學(xué)生的思維更加活躍，相繼又出現(xiàn)了2種不同的解法：④（720-585）÷（585÷19.5）；⑥19.5×[（720-585）÷585]。然后指出回答每一種方法的解題思路，學(xué)生紛紛踴躍發(fā)言說(shuō)出各自的理由，形成民主、平等的教學(xué)氛圍，這樣既激活了課堂氣氛，又有利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。
4.滲透美德，培養(yǎng)思維的審美力
明是非、知美丑、懂得失，是一個(gè)人有所為、有所不為的思想基礎(chǔ)，教育始終應(yīng)為提高學(xué)生的思想認(rèn)識(shí)鋪路搭橋。利用正面榜樣，提供楷模力量；借鑒反面教訓(xùn)，增強(qiáng)憂患意識(shí)；展示學(xué)科內(nèi)容的作用，以需激趣；發(fā)掘?qū)W科內(nèi)容的美育因素，陶冶情操；揭示學(xué)科內(nèi)容中蘊(yùn)涵的哲學(xué)素材，提高感知世界、認(rèn)識(shí)自我的本領(lǐng)；等等。使學(xué)生逐漸形成思維的人格審美力、行為審美力、鑒賞審美力和辯證唯物主義的世界觀。如在勾股定理的教學(xué)設(shè)計(jì)中，課前布置學(xué)生回家查找勾股定理相關(guān)資料：在網(wǎng)上可以搜索"勾股定理"有約322000條相關(guān)內(nèi)容；"勾股定理證明方法"有約72500條相關(guān)內(nèi)容；"有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。""這是任何定理無(wú)法比擬的；至今可查的有關(guān)勾股定理的最早記載，是大約公元前1世紀(jì)前后成書的我國(guó)古代的一部著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》，比古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（在西方，勾股定理通常被稱為畢達(dá)哥拉斯定理）要早了五百多年等等。學(xué)生會(huì)深刻感悟數(shù)學(xué)圖形的美感，同時(shí)也了解到到我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的突出貢獻(xiàn)，更增強(qiáng)了民族自豪感。
總之，學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，貫穿于整個(gè)教學(xué)活動(dòng)之中，只需我們認(rèn)真研究和探索，一代具有創(chuàng)新能力的學(xué)生就會(huì)脫穎而出。
參考文獻(xiàn)：
[1]楊慶余，《小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)》，高等教育出版社，2004年。
[2]馬云鵬，《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論》，人民教育出版社，2003年。
自主學(xué)習(xí)法是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行自學(xué)，獲得書本知識(shí)，發(fā)展能力的一種教學(xué)模式. 進(jìn)入初中的學(xué)生已具備一定的自主學(xué)習(xí)能力，教師的任務(wù)是幫助學(xué)生提高自主學(xué)習(xí)的效率，讓學(xué)生學(xué)會(huì)積累知識(shí)， 沉淀方法，分析并解決問(wèn)題. 在這一模式中，學(xué)生通過(guò)自學(xué)，進(jìn)行思考、實(shí)踐探究，讓學(xué)生在自學(xué)中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，撐握學(xué)習(xí)方法，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓每一名同學(xué)都有成功的體驗(yàn). 下面我來(lái)談?wù)勛约旱囊恍┳龇ǎ?/p>
一、給出自主學(xué)習(xí)的目標(biāo)，增強(qiáng)學(xué)生自主參與意識(shí)
給出目標(biāo)意在突出學(xué)生于學(xué)習(xí)中的主體地位，通過(guò)呈現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)讓學(xué)生明確本課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容和需要達(dá)到的程度，進(jìn)而圍繞目標(biāo)，帶著問(wèn)題積極、主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)活動(dòng). 在教學(xué)過(guò)程中，還要擴(kuò)大教學(xué)環(huán)節(jié)的具體要求，通過(guò)白板或投影等形式使學(xué)生明確每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的具體目標(biāo).
例如，我在教學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）《3.1 勾股定理》時(shí)，就給出以下的教學(xué)目標(biāo)：1. 探索直角三角形三邊關(guān)系，掌握勾股定理的運(yùn)用思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維；2. 經(jīng)歷觀察與發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系的過(guò)程，感受勾股定理的應(yīng)用意識(shí)；3. 通過(guò)對(duì)勾股定理的歷史的了解，感受數(shù)學(xué)文化，并體會(huì)勾股定理的應(yīng)用價(jià)值. 目標(biāo)導(dǎo)學(xué)的目的在于：把學(xué)生推到探究新知的“第一線”，讓學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，主動(dòng)思考問(wèn)題，并在探究新知的過(guò)程中，暴露他們研究過(guò)程中的問(wèn)題，把他們弄不懂的地方、錯(cuò)誤的地方都擺在桌面上，再引導(dǎo)他們通過(guò)獨(dú)立思考，摒棄錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)真理，實(shí)現(xiàn)由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)化. 這樣，通過(guò)活動(dòng)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)要學(xué)習(xí)的東西，能夠積極地被同化，因而使知識(shí)掌握得更加牢固、深刻.
二、指導(dǎo)自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力
初中階段的學(xué)生受心理和知識(shí)的限制，缺乏必要的學(xué)習(xí)方法，不能做到完全自主學(xué)習(xí). 這就需要老師引導(dǎo)學(xué)生掌握必要的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)技巧，提供必要的自學(xué)指導(dǎo). 讓學(xué)生知道干什么？利用什么工具？怎么干？……. 所以自學(xué)內(nèi)容要考慮知識(shí)的完整性，問(wèn)題的設(shè)計(jì)要具體，可操作性要強(qiáng)；由淺入深，由易到難，使學(xué)生逐步掌握本節(jié)課要掌握的知識(shí).
例如，我在上八年級(jí)數(shù)學(xué)（下）《平行四邊形的判定》這節(jié)課時(shí)，給出以下的自學(xué)指導(dǎo)：
請(qǐng)同學(xué)們自學(xué)P66-67內(nèi)容，思考：
（1）如何在方格紙中畫出平行四邊形？
（2）你能利用三角形的全等，根據(jù)平行四邊形的定義證明它們嗎？請(qǐng)寫出證明過(guò)程.
（3）例 3 運(yùn)用了平行四邊形的哪些性質(zhì)和判定？你還有其他證明方法嗎？
請(qǐng)寫出來(lái).
學(xué)生自學(xué)時(shí)要注意兩個(gè)問(wèn)題，（1）不要發(fā)現(xiàn)問(wèn)題就開始講，這樣會(huì)干擾學(xué)生的自學(xué)，要讓他們安靜地、獨(dú)立地完成自學(xué)過(guò)程. （2）教師利用這個(gè)時(shí)間巡視，解決學(xué)生自學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，并通過(guò)觀察、個(gè)別詢問(wèn)等形式發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自學(xué)中暴露出的疑難問(wèn)題，并把主要的傾向性問(wèn)題進(jìn)行梳理、歸類，為下一步調(diào)整課堂進(jìn)程和選定精講的內(nèi)容尋找依據(jù).
三、營(yíng)造自主學(xué)習(xí)的氛圍 ，提高自主學(xué)習(xí)效率
創(chuàng)設(shè)民主和諧的課堂教學(xué)氛圍，使學(xué)生勤于動(dòng)腦，善于發(fā)言. 心理學(xué)家指出：
人在情緒低落的時(shí)候，想象力只有平時(shí)的二分之一甚至更少. 因此只有在寬松、民主的教學(xué)氛圍中，學(xué)生的創(chuàng)造性思維才能得到最大限度地發(fā)揮，這就需要我們教師能在數(shù)學(xué)課堂上建立親和的對(duì)話平臺(tái)，溝通對(duì)話渠道，可以聆聽學(xué)生的見(jiàn)解，并能適時(shí)地給以贊同表?yè)P(yáng)或指正他們的觀點(diǎn). 學(xué)生在我們的數(shù)學(xué)課堂上不應(yīng)該僅僅是學(xué)習(xí)活動(dòng)的接受者，而應(yīng)該充分體現(xiàn)主體地位的作用，積極參與到一個(gè)新知識(shí)探究的思維過(guò)程中，讓他們學(xué)會(huì)獨(dú)立思考.
類型一：直線與平面平行的證明
【例1】 在三棱柱ABCA1B1C1中,A點(diǎn)在底面A1B1C1上的射影是正A1B1C1的中心.E為側(cè)面BB1C1C對(duì)角線BC1上一點(diǎn),且BE=2EC1,
證明：OE∥平面AA1C1C．
分析 (1) 從“量”上分析:①?gòu)腂E=2EC1知E是一個(gè)三等分點(diǎn)(離C1較近);②從正A1B1C1,O是A1B1C1的中心,知O是A1B1C1的重心,隱含O是B1C1邊上中線的一個(gè)三等分點(diǎn),與E點(diǎn)有遙相呼應(yīng)之感；
(2) 從“形”上分析：由相似三角形的原理知延長(zhǎng)CE與B1C1的交點(diǎn)必是B1C1的中點(diǎn)H,從而根據(jù)重心知識(shí)知A1、O、H共線,這樣可形成A1HC；同時(shí)可聯(lián)想B1C1的中點(diǎn)是建立聯(lián)系的紐帶；
(3) 從方法上分析：應(yīng)用線面平行的判定定理證明,設(shè)法在平面內(nèi)找到平面外的直線OE的平行線,俗稱“找線法”。
證明 連接CE并延長(zhǎng),交B1C1于點(diǎn)H,因?yàn)锽C∥B1C1,BE=2EC1,所以BCE∽C1HE,且BC=2C1H,所以H點(diǎn)為B1C1的中點(diǎn).
又因?yàn)辄c(diǎn)A在底面正A1B1C1內(nèi)的射影點(diǎn)O是A1B1C1的中心,所以O(shè)是A1B1C1的重心,顯然A1、O、H共線.且A1O=2OH.
在HCA1中,CE=2EH,A1O=2OH,所以HEO∽HCA1,所以EO∥CA1.又EO平面AA1C1C,CA1平面AA1C1C,所以O(shè)E∥平面AA1C1C．
點(diǎn)撥
(1) 從圖形上可聯(lián)想有一個(gè)三角形,過(guò)OE且與平面AA1C1C有一條交線,故聯(lián)想到B1C1的中點(diǎn)；
(2) 在添加輔助線時(shí),易出現(xiàn)錯(cuò)誤.如：連CE交B1C1于H點(diǎn),連A1、O、H等形式的錯(cuò)誤；
(3) 除用判定定理證明外,也可以構(gòu)造平面與平面AA1C1C平行,利用面面平行的性質(zhì)來(lái)證明。
總結(jié):證明線面平行的方法有：定義法、線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)定理等方法,常用的是線面平行的判定定理。
類型二：直線與平面垂直的證明
【例2】 已知四棱錐PABCD的底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC且BC=2AB=2AD=2,側(cè)面PAD是等邊三角形,PB=PC=2,求證：PC平面PAB.
分析 (1) 從“量”上分析：底面的等腰梯形中,可得出其他的基本關(guān)系,作AHBC垂足為H,知BH=12,故易知∠ABC=60°,在ABC中由余弦定理易知AC=3,在PAC,PA=1,PC=2,AC=3,易知PCPA；在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2，易知PCPB；
(2) 從“形”上分析：應(yīng)聯(lián)想到PC應(yīng)垂直平面PAB中兩條相交的直線
PB,PA,AB中的其中兩條即可,可聯(lián)想連接AC,用勾股定理證明；
(3) 從方法上分析：應(yīng)利用線面垂直的判定定理,
設(shè)法在平面PAB內(nèi)找到與PC垂直的兩條相交直線。
證明 由條件易知在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2,故PB2+PC2=BC2，即∠BPC=90°,故PCPB.在等腰梯形ABCD中,
由BC=2AB=2AD=2,得BC=2,AB=AD=DC=1,
作AHBC于點(diǎn)H,得BH=12,所以在RtABH中，∠ABH=60°；
又在ABC中使用余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=3，
所以在APC中,PA=1,AC=3,PC=2，滿足勾股定理,即∠APC=90°,即PCPA，
由上可知PCPA,PCPB,PA∩PB=P,所以PC平面PAB．
點(diǎn)撥
(1) 本題從找線出發(fā),聯(lián)想到要證PCPA與PCPB,而PCPA是本題的一個(gè)難點(diǎn)；
(2) 本題最終在APC中利用勾股定理證得PCPA,亦可以通過(guò)AB平面PAC,證得PCAB得到。
總結(jié):證明線面垂直的方法有：定義法、線面垂直的判定定理法、面面垂直的性質(zhì)定理等方法,常用的是線面垂直的判定定理。
恃國(guó)家之大，矜民人之眾，欲見(jiàn)威于敵者，謂之驕兵。――魏相
類型三：利用線面平行、垂直的性質(zhì)的探索性問(wèn)題
【例3】 已知三棱錐PABC中,ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,PC平面ABC,PA=22,E為PB的中點(diǎn),F為AC的中點(diǎn),試在線段PC上找一點(diǎn)Q,使得AE∥平面BFQ．
分析
(1) 從“量”上分析：ABC為正三角形,PA=22,易得PC=2；從而知PB=22；
(2) 從“形”上分析：AE平面PAB,且AE∥平面BFQ；PBC
為等腰直角三角形；同時(shí)可以聯(lián)想在平面BFQ內(nèi)有一條與AE平行的線；
(3)從方法上分析：利用線面平行的性質(zhì),通過(guò)線面平行得出線線
平行,從而確定Q點(diǎn)的位置。
解 因?yàn)锳BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,所以AC=2；
又因?yàn)镻C平面ABC,AC、BC平面ABC,所以PCAC,PCBC,所以PAC為直角三角形,所以PC2=PA2-AC2=4,即PC=2,所以PBC是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.不妨在PC上取一點(diǎn)Q,假設(shè)滿足AE∥平面BFQ,則由線面平行的性質(zhì)定理,連接CE交BQ于點(diǎn)H,連接HF,作出平面AEC.因?yàn)锳E∥平面BFQ,
AE平面AEC,平面AEC∩平面BFQ=FH,所以AE∥FH；
顯然在AEC中,F為AC的中點(diǎn),所以H為EC的中點(diǎn)．
過(guò)E作EG∥BQ,交PC于點(diǎn)G；
在CEG中,HQ∥EG,H為EC的中點(diǎn),所以Q為GC的中點(diǎn),故GQ=QC；
在PBQ中,EG∥BQ,E為BP的中點(diǎn),所以G為PQ的中點(diǎn),故GQ=PG；
所以PG=GQ=QC,故Q為PC的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近C點(diǎn)；因?yàn)镻C=2,所以QC=23．
點(diǎn)撥 (1) 取Q點(diǎn)形成平面BFQ,利用線面平行的性質(zhì)定理得AE∥FH,從而知H為EC的中點(diǎn)；
(2) 在PBC中求Q的位置,除了用本題的方法外,還可以把PBC平面化,利用解析幾何知識(shí)建立直角坐標(biāo)系,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定Q的位置；
(3) 學(xué)理科的同學(xué)還可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)求Q的坐標(biāo),確定Q的位置。
總結(jié):線面平行的探索性問(wèn)題常用的解題步驟是：(1) 假設(shè)點(diǎn)在某處；(2) 利用線面平行的性質(zhì)得出線線平行；(3) 通過(guò)線線平行確定點(diǎn)的位置。
【例4】 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,
BC=2AB=2AC=2,CC1=1,D為B1C1的中點(diǎn),
AE平面BB1C1C,試在CC1上找一點(diǎn)Q,使得EQ平面A1DC．
分析
(1) 從“量”上分析：BC=2,AB=1,AC=1得∠BAC=90°；CC1=1,可知側(cè)棱長(zhǎng)均為1；
(2) 從“形”上分析：AE平面BB1C1C,則必有AEBC,即E為BC的中點(diǎn)；同時(shí)可以聯(lián)想在平面BB1C1C內(nèi)應(yīng)該有一條易證的,且與平面A1DC垂直的直線；
(3) 從方法上分析：應(yīng)利用線面垂直的性質(zhì),先找出平面的一條垂線,
再過(guò)E作所找垂線的平行線。
解 連接BC1,交DC于O點(diǎn).因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1
為直三棱柱,所以BB1C1C為矩形,則由長(zhǎng)度關(guān)系知：BB1B1C1=DC1C1C=22,所以BB1C1∽DC1C,易得BC1DC.根據(jù)D是BB1的中點(diǎn),且A1B1=A1C1得A1DB1C1.又因?yàn)镃C1平面A1B1C1,A1D平面A1B1C1,得CC1A1D.所以由A1DB1C1,CC1A1D,B1C1∩CC1=C1得A1D平面BB1C1C,因?yàn)锽C1平面BB1C1C,所以A1DBC1；因?yàn)锳1DBC1,BC1DC,A1D∩DC=D得BC1平面A1DC1．
又根據(jù)題意,AE平面BB1C1C知AEBC,因?yàn)锳BC為等腰三角形,所以E為BC的中點(diǎn)；故要使得EQ平面A1DC,只需EQ∥BC1；在BCC1中,EQ∥BC1且E為BC的中點(diǎn),故Q為CC1的中點(diǎn)；綜上所述,Q的位置在CC1的中點(diǎn)．
點(diǎn)撥
(1) 根據(jù)線面垂直的性質(zhì),要找到EQ平面A1DC,只需先找到一條平面A1DC的垂線,即可通過(guò)平行線找到EQ；
(2) 本題理科學(xué)生也可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),確定Q點(diǎn)的位置。
總結(jié):線面垂直的探索性問(wèn)題的一般步驟是：(1) 假設(shè)點(diǎn)在某處；(2) 找到已知平面的一條垂線；(3) 通過(guò)作已知平面垂線的平行線,確定要找的點(diǎn)的位置。
牛刀小試
1. 三棱錐PABC中,E、F是PA、PB的中點(diǎn),O是AC的中點(diǎn),G是OC的中點(diǎn),證明：FG∥平面BOE.
2. 三棱錐PABC中,D是AB的中點(diǎn),E在PB上,且PE=2BE,在PB上確定一個(gè)點(diǎn)Q,使得DE∥平面ACQ．
3. 四棱錐SABCD中,AB∥CD,BCCD,側(cè)面SAB為等邊三角形,AB=BC=2,CD=SD=1,O為AC與BD的交點(diǎn),試在SB上找一點(diǎn)E,使得OE平面SAB．
【參考答案】
1. 證明：連接AF交BE于點(diǎn)H,連接OH,因?yàn)镺是AC的中點(diǎn),
G是OC的中點(diǎn),所以AOAG=23；在PAB中,BE,AF均為三角形的中線,故AF與BE的交點(diǎn)H是PAB的重心,
所以AHAF=23.所以在AFG中,AOAG=AHAF=23,
由相似三角形知識(shí)得OH∥FG；
又因?yàn)镺H平面BOE,FG平面BOE,所以FG∥平面BOE．
2. 證明：因?yàn)锳BCD是正方形,所以AD=DC=1,又因?yàn)镻C=2,所以PD2+DC2=PC2,即PDDC.又因?yàn)镻DDC,PDBC,DC∩BC=C,所以PD平面ABCD．
2. 在PB上取點(diǎn)Q,作平面ACQ,假設(shè)DE∥平面ACQ；因?yàn)镈E∥平面ACQ,DE平面PAB,平面PAB∩平面ACQ=AQ,所以DE∥AQ.ABQ中,DE∥AQ,D是AB的中點(diǎn),所以E為BQ的中點(diǎn).所以BE=EQ=13PB=PQ,即Q為PE的中點(diǎn),亦可答：Q是PB的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近P點(diǎn)．
3. 在四邊形ABCD中,過(guò)D作DHAB于點(diǎn)H,在四邊形ABCD中,
因?yàn)锳B∥CD,AB=2,CB=2,CD=1,所以AH=1,DH=2,故AD=5．
在SAD中,SA=2,SD=1,AD=5,則SA2+SD2=AD2,
所以SDSA.BCD中,CD=1,BC=2,BCCD,則BD=5．
故在SDB中,SD=1,SB=2,BD=5,所以BD2=SD2+SB2,所以SDSB．
因?yàn)镾DSA,SDSB,SA∩SB=S,所以SD平面SAB．
要在SB上找一點(diǎn)E,使得OE平面SAB,只需作出SD的平行線即可．
根據(jù)CD∥AB,
易得OCD∽OAB,得O為DB的三等分點(diǎn)(靠近D點(diǎn)),
故在SDB中,OE∥SD,顯然E是SB的三等分點(diǎn)(靠近S點(diǎn))；
一、“推廣型”內(nèi)容教學(xué)時(shí)需解決的問(wèn)題
1.推廣的必要性
解決推廣的必要性問(wèn)題，即要解決“為什么需要推廣？”這一問(wèn)題。教學(xué)中應(yīng)從學(xué)生已有的認(rèn)知水平出發(fā)，結(jié)合數(shù)學(xué)發(fā)展的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)和邏輯基礎(chǔ)，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟到進(jìn)行推廣的必要。例如，在引入大于360°的角和負(fù)角時(shí)，可以舉些學(xué)生熟悉的生活中大于360°的角和負(fù)角，如體操中的轉(zhuǎn)體、跳水中的翻騰、鐘表中的指針、自行車的輪子、螺絲扳手與曲柄連桿等按不同方向旋轉(zhuǎn)時(shí)所成的角，用以說(shuō)明建立新概念的必要性和實(shí)際意義，這也有利于體驗(yàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，開闊學(xué)生的視野。
2.推廣的方法性
解決推廣的方法性問(wèn)題，即要解決“如何進(jìn)行推廣？”這一問(wèn)題。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究過(guò)程來(lái)看，經(jīng)常使用如下的邏輯思考方法：
其中突出顯示了聯(lián)系的觀點(diǎn)，通過(guò)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法，可以極大地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，使他們更有效地尋找出自己感興趣的問(wèn)題，從中獲得研究方法的啟示。例如，關(guān)于平面幾何中的向量方法，我們可以有如下的“聯(lián)系圖”：
3.推廣的應(yīng)用性
解決推廣的應(yīng)用性問(wèn)題，即要解決“推廣后有什么用？”這一問(wèn)題。在聯(lián)系舊知推廣得到新知的基礎(chǔ)上，要重視新知的應(yīng)用，讓推廣的價(jià)值得到充分的展示。這種價(jià)值，不僅體現(xiàn)在新知對(duì)舊知的覆蓋，更要讓學(xué)生感受到一個(gè)數(shù)學(xué)概念的推廣可能帶來(lái)很多更好的性質(zhì)。例如，將勾股定理推廣到余弦定理以后，可以講解這樣的問(wèn)題：用余弦定理證明：在ABC中，當(dāng)∠C為銳角時(shí)，a2+b2>c2;當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，a2+b2
二、“推廣型”內(nèi)容的教學(xué)基本策略
1.創(chuàng)設(shè)具有認(rèn)知沖突的問(wèn)題情境，揭示推廣的必要性
認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為：當(dāng)學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)不能用頭腦中已有的知識(shí)來(lái)解釋一個(gè)新問(wèn)題，或發(fā)現(xiàn)新知識(shí)與頭腦中已有的知識(shí)相悖時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生“認(rèn)知失衡”。這種認(rèn)知沖突會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生新奇和驚愕，從而引起學(xué)生的注意、關(guān)心和探究。認(rèn)知沖突是教學(xué)和學(xué)習(xí)的最佳契機(jī)。在進(jìn)行“推廣型”教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，創(chuàng)設(shè)具有認(rèn)知沖突的問(wèn)題情境，將有利于推廣必要性的揭示。
（1）情境生活化，使推廣成為需要。解決現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的需要，常常是進(jìn)行數(shù)學(xué)推廣最直接、最有力的推手。為此我們可以結(jié)合具體的實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，使新知自然生成。例如，我們將0°～360°角推廣到任意角時(shí)，可創(chuàng)設(shè)如下問(wèn)題情境。
案例1 角的概念的推廣的問(wèn)題情境
問(wèn)題1 在初中我們是怎樣定義角的？（從如下的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)角度定義。）
問(wèn)題2 平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周后回到原來(lái)的位置，所形成的角是什么角？如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去，所形成的圖形還是不是角？為什么？
問(wèn)題3 生活中存在剛才問(wèn)題中所出現(xiàn)的角嗎？你能試著舉出一些實(shí)例嗎？我們又如何去理解它們呢？
通過(guò)回顧舊知，聯(lián)系生活實(shí)際，引發(fā)認(rèn)知沖突，角的推廣也就成了必然需求。
（2）關(guān)系普遍化，使推廣成為必要。推廣常用的方式是將變量之間、對(duì)象之間的特殊關(guān)系改為一般關(guān)系而獲得具有普遍意義的命題及公式，或是將具體對(duì)象改為一般對(duì)象從而使命題得到推廣[2]。教學(xué)時(shí)，一般先復(fù)習(xí)包容性小、抽象概括程度低的概念，并在此基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)具有認(rèn)知沖突的問(wèn)題情境。例如，將銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，從認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來(lái)說(shuō)，是屬于“下、上位關(guān)系學(xué)習(xí)”，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念[3]。教學(xué)時(shí)，可創(chuàng)設(shè)如下問(wèn)題情境。
案例2 任意角的三角函數(shù)的問(wèn)題情境
問(wèn)題1 你能回憶一下銳角三角函數(shù)的定義嗎？
問(wèn)題2 你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎？如果按這種方式用坐標(biāo)表示的三角函數(shù)值，在銳角取值范圍內(nèi)和之前的定義吻合嗎？
問(wèn)題3 改變終邊上的點(diǎn)的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？為什么？（在定義任意角的三角函數(shù)之前，必須讓學(xué)生感知、確認(rèn)、理解這三個(gè)比值都只與角的大小有關(guān)，而與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，因此它們都是以角為自變量的函數(shù)，從而給出任意角的三角函數(shù)的定義。）
問(wèn)題4 角的范圍已經(jīng)推廣到了任意角，那么，仿照以上銳角三角函數(shù)的新的定義方式，你認(rèn)為如何定義任意角三角函數(shù)比較合理？
通過(guò)以上問(wèn)題串，由特殊到一般，思維流暢，層層深入，新概念的得出水到渠成。
2.遷移已有的思想方法，凸顯推廣的方法性
新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“四基”，即學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，獲得必需的基本知識(shí)、基本技能、基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。基本思想方法、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，不僅來(lái)源于自己平時(shí)對(duì)知識(shí)的感悟，更多的來(lái)源于平時(shí)教師對(duì)思想方法的提煉、滲透。學(xué)會(huì)推廣實(shí)際上就是學(xué)會(huì)方法。教師在進(jìn)行“推廣型”教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意遷移已有的思想方法，如類比探究、化歸論證等，讓學(xué)生在推廣的過(guò)程中感悟方法、掌握方法。
（1）類比探究。類比法通過(guò)比較兩個(gè)對(duì)象的部分相同或相似，推出其他方面也可能相同或相似。類比是進(jìn)行數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的有效方式。在進(jìn)行角的概念推廣的教學(xué)時(shí)，為了引出正角、負(fù)角和零角的概念，我們可設(shè)置如下類比式問(wèn)題串。
案例3 類比正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的概念，得出正角、負(fù)角、零角的概念
問(wèn)題1 如何用數(shù)學(xué)的方法將按順指針、逆時(shí)針兩種不同的方向旋轉(zhuǎn)的角加以區(qū)分？你以前有過(guò)類似的經(jīng)驗(yàn)嗎？
問(wèn)題2 我們知道，正負(fù)數(shù)和0可借助數(shù)軸有效地進(jìn)行區(qū)分。那么，為了區(qū)分按順指針、逆時(shí)針兩種不同的方向旋轉(zhuǎn)的角，你認(rèn)為可以利用什么載體進(jìn)行區(qū)分呢？如何給它們下一個(gè)合理的定義呢？
通過(guò)以上問(wèn)題，利用類比的方法，由正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的概念自然引出正角、負(fù)角、零角的概念，同時(shí)也讓學(xué)生體驗(yàn)從低維問(wèn)題向高維問(wèn)題發(fā)展的一般方法。
（2）化歸論證。一般化是數(shù)學(xué)推廣的基本方式。數(shù)學(xué)家G?波利亞指出：”一般化是從對(duì)象的一個(gè)給定集合進(jìn)而考慮到包含這個(gè)集合的更大集合。”由下位公式向上位公式推廣時(shí)常伴隨著猜想，而要對(duì)這種猜想進(jìn)行論證，則常需將上位公式化歸至下位公式。例如，我們?cè)趯⒐垂啥ɡ硗茝V到余弦定理時(shí)，可按如下方式進(jìn)行。
案例4 借助化歸的思想論證余弦定理
問(wèn)題1 前面學(xué)過(guò)的正弦定理的表達(dá)式是怎樣的？它具有怎樣的功能？
問(wèn)題2 在我們所學(xué)知識(shí)中，有沒(méi)有涉及已知三角形的兩邊及夾角，求第三邊的情形呢？能否舉一個(gè)具體的例子？
問(wèn)題3在ABC中，已知邊a，b，∠C≠90°，是否還能用勾股定理求邊c？（很自然的想法是構(gòu)造直角三角形，以便用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。輔助線如下圖，過(guò)程略。）
3.運(yùn)用推廣的結(jié)論方法，強(qiáng)化推廣的應(yīng)用性
舊知推廣為新知以后，內(nèi)涵發(fā)生了改變，伴隨產(chǎn)生了一些新的性質(zhì)。為了讓學(xué)生鞏固新知，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，我們應(yīng)在推廣之后，在概念的辨析、性質(zhì)的應(yīng)用等方面及時(shí)加以應(yīng)用。
（1）概念辨析，厘清疑點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念在得到推廣以后，其內(nèi)涵發(fā)生了改變，容易與原有的概念產(chǎn)生混淆。為了幫助學(xué)生區(qū)分新舊概念的區(qū)別，加深理解，我們可以通過(guò)概念辨析題的方式進(jìn)行新知的應(yīng)用。如，將角推廣到任意角以后，伴隨著產(chǎn)生了象限角、軸線角等概念。這些概念與原有的銳角等概念容易混淆，為此我們可通過(guò)如下判斷題進(jìn)行辨析。
案例5 角的概念推廣后設(shè)置的概念辨析題
判斷下列說(shuō)法是否正確：
①銳角是第一象限角。（對(duì)）
②第一象限的角都是銳角。（錯(cuò)）
③小于90°的角都是銳角。（錯(cuò)）
④第二象限的角一定比第一象限的角大。（錯(cuò)）
⑤終邊相同的角一定相等。（錯(cuò)）
⑥終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍。（對(duì)）
（2）前后呼應(yīng)，變式應(yīng)用。在問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)過(guò)程中，常借助認(rèn)知沖突，設(shè)置懸念，引發(fā)推廣。在推廣以后，要及時(shí)解決原先的疑問(wèn)，并適當(dāng)深入，變式提升。例如，前面為了將勾股定理推廣到余弦定理，設(shè)計(jì)了這樣的問(wèn)題：已知三角形的兩邊及夾角，如何求第三邊呢？那么，我們可結(jié)合此問(wèn)題的解決，設(shè)計(jì)例題及變式。
案例6 將勾股定理推廣到余弦定理后設(shè)置的例題及變式
①在ABC中，已知邊b=3，c=1，∠A=60°，求邊a。
②在ABC中，已知邊a=4，b=5，c=6，求∠A。
變式1在ABC中，已知邊a=4，b=5，c=6，判定在ABC的形狀。
變式2在ABC中，已知邊a∶b∶c=3∶4∶5，判定在ABC的形狀。
知識(shí)、能力與學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升是學(xué)生發(fā)展的基本目標(biāo)。通過(guò)“推廣型”教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)推廣的必要性、方法行、應(yīng)用性，在推廣中進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)，學(xué)會(huì)探究，對(duì)學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升具有較大的幫助。
參考文獻(xiàn)
[1] 徐彥輝.數(shù)學(xué)推廣及其常見(jiàn)形式舉例分析[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2010（4）.
一、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)方法。
數(shù)學(xué)中有許多概念，如何正確地掌握概念，應(yīng)該知道學(xué)習(xí)概念需要怎樣的一個(gè)過(guò)程，應(yīng)達(dá)到什么程度。一個(gè)數(shù)學(xué)概念需要記住名稱，敘述出本質(zhì)屬性，體會(huì)出所涉及的范圍，并應(yīng)用概念準(zhǔn)確進(jìn)行判斷。這些問(wèn)題老師沒(méi)有要求，不給出學(xué)習(xí)方法，學(xué)生將很難有規(guī)律地進(jìn)行學(xué)習(xí)。
數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法是：
1、閱讀概念，記住名稱或符號(hào)。
2、背誦定義，掌握特性。
3、舉出正反實(shí)例，體會(huì)概念反映的范圍。
4、進(jìn)行練習(xí)，準(zhǔn)確地判斷。
二、學(xué)公式的學(xué)習(xí)方法
公式具有抽象性，公式中的字母代表一定范圍內(nèi)的無(wú)窮多個(gè)數(shù)。有的學(xué)生在學(xué)習(xí)公式時(shí)，可以在短時(shí)間內(nèi)掌握，而有的學(xué)生卻要反來(lái)復(fù)去地體會(huì)，才能跳出千變?nèi)f化的數(shù)字關(guān)系的泥堆里。教師應(yīng)明確告訴學(xué)生學(xué)習(xí)公式過(guò)程需要的步驟，使學(xué)生能夠迅速順利地掌握公式。
數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)方法是：
1、書寫公式，記住公式中字母間的關(guān)系。
2、懂得公式的來(lái)龍去脈，掌握推導(dǎo)過(guò)程。
3、用數(shù)字驗(yàn)算公式，在公式具體化過(guò)程中體會(huì)公式中反映的規(guī)律。
4、將公式進(jìn)行各種變換，了解其不同的變化形式。
5、將公式中的字母想象成抽象的框架，達(dá)到自如地應(yīng)用公式。
三、數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)方法。
一個(gè)定理包含條件和結(jié)論兩部分，定理必須進(jìn)行證明，證明過(guò)程是連接條件和結(jié)論的橋梁，而學(xué)習(xí)定理是為了更好地應(yīng)用它解決各種問(wèn)題。
數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)方法是：
1、背誦定理。
2、分清定理的條件和結(jié)論。
3、理解定理的證明過(guò)程。
4、應(yīng)用定理證明有關(guān)問(wèn)題。
5、體會(huì)定理與有關(guān)定理和概念的內(nèi)在關(guān)系。
有的定理包含公式，如韋達(dá)定理、勾股定理、正弦定理，它們的學(xué)習(xí)還應(yīng)該同數(shù)公式的學(xué)習(xí)方法結(jié)合起來(lái)進(jìn)行。
四、初學(xué)幾何證明的學(xué)習(xí)方法。
在七年級(jí)第二學(xué)期，八年級(jí)立體幾何學(xué)習(xí)的開始，學(xué)生總感到難以入門，以下的方法是許多老教師十分認(rèn)同的，無(wú)論是上課還是自學(xué)，均可以開展。
1、看題畫圖。（看，寫）
2、審題找思路（聽老師講解）
3、閱讀書中證明過(guò)程。
4、回憶并書寫證明過(guò)程。
五、提高幾何證明能力的化歸法。
在 掌握了幾何證明的基本知識(shí)和方法以后，在能夠較順利和準(zhǔn)確地表述證明過(guò)程的基礎(chǔ)上，如何提高幾何證明能力？這就需要積累各種幾何題型的證明思路，需要懂得 若干證明技巧。這樣我們可以通過(guò)老師集中講解，或者通過(guò)集中閱讀若干幾何證明題，而達(dá)到上述目的。化歸法是將未知化歸為已知的方法，當(dāng)我們遇到一個(gè)新的幾 何證明題時(shí)，我們需要注意其題型，找到關(guān)鍵步驟，將它化歸為已知題型時(shí)就可結(jié)束。此時(shí)最重要的是記住化歸步驟及證題思路即可，不再重視祥細(xì)的表述過(guò)程。
幾何證明能力的化歸法：
1、審題，弄清已知條件和求證結(jié)論。
2、畫圖，作輔助線，尋找證題途徑。
3、記錄證題途徑的各個(gè)關(guān)鍵步驟。
一、利用多媒體課件進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)
初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程是信息傳遞和反饋的過(guò)程，多媒體課件教學(xué)使得數(shù)學(xué)在教學(xué)中能把圖形、聲音、文字集成一體，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種感官，使學(xué)生產(chǎn)生興趣，思維更加活躍，提高了學(xué)習(xí)質(zhì)量。
在學(xué)習(xí)七年級(jí)《從三個(gè)方向看》時(shí)，課件上展現(xiàn)一些廬山的美麗風(fēng)景，同時(shí)播放一首蘇軾的詩(shī)：橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中。學(xué)生看著廬山畫面，同時(shí)跟著一起誦讀詩(shī)句。
師：大家去過(guò)廬山嗎？如果沒(méi)有的話，建議你去看看，因?yàn)閺]山的風(fēng)景真的很美麗。我國(guó)宋代詩(shī)人蘇軾也去過(guò)廬山，并且在西林壁上寫下了一首很有名的絕句《題西林壁》，你知道蘇軾是從哪幾個(gè)方向來(lái)觀察廬山的嗎？
生：橫看，側(cè)看，遠(yuǎn)看，近看……
師：其實(shí)，這首詩(shī)里，還有一些數(shù)學(xué)知識(shí)，它教會(huì)我們?cè)撛鯓尤ビ^察物體，這是我們今天要一起探討的內(nèi)容《從三個(gè)方向看》。
利用課件一起欣賞照片，一起誦讀古詩(shī)，這樣就為學(xué)生營(yíng)造了一個(gè)寬松的、生動(dòng)活潑的、主動(dòng)求知的學(xué)習(xí)環(huán)境。
二、利用多媒體課件展示高難度操作
借助一些工具軟件，教師可以很方便地對(duì)一些多媒體對(duì)象進(jìn)行剪輯和加工處理，使之符合我們數(shù)學(xué)教學(xué)的要求。例如：在學(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)時(shí)，通過(guò)課件演示將圓分成十六等份，然后拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)，原來(lái)圓的周長(zhǎng)就是這個(gè)長(zhǎng)方形兩條長(zhǎng)之和，而長(zhǎng)方形的寬正是圓的半徑。通過(guò)這樣的直觀的演示，不僅吸引了學(xué)生的注意力，而且加深學(xué)生的印象，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
三、利用多媒體課件豐富學(xué)生的知識(shí)層面
多媒體課件儲(chǔ)存的信息量大，我們可以從網(wǎng)絡(luò)上收集需要的材料在多媒體課件上演示，充實(shí)課堂教學(xué)內(nèi)容，開拓學(xué)生視野，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的廣度和深度。
在學(xué)習(xí)黃金分割時(shí)，教師可以利用課件播放一些黃金分割在各方面的應(yīng)用：
人體上的黃金分割：在人體中，黃金分割的例子很多。在人體結(jié)構(gòu)上，0.618更是無(wú)處不在。大家都知道，從肚臍到腳底的距離/頭頂?shù)侥_底的距離=0.618，這是比較完美的人體。
最漂亮的臉龐：有意思的是，最漂亮的臉龐是眉毛到脖子的距離/頭頂?shù)讲弊拥木嚯x=0.618。像拉斐爾的圣母像、還有《蒙娜麗莎》像，都是這個(gè)比值。而鵝蛋形，臉寬與臉長(zhǎng)的比值約為0.618，是人們公認(rèn)的最完美的臉型之一。
植物上的黃金分割：天文學(xué)家開卜勒在研究植物葉序問(wèn)題時(shí)，驚訝地發(fā)現(xiàn)：葉子在莖上的排列也遵循黃金比。科學(xué)家經(jīng)計(jì)算表明：這個(gè)角度對(duì)植物葉子通風(fēng)、采光來(lái)講，都是最佳的。正因?yàn)槿绱耍ㄖW(xué)家仿照植物葉子在莖上的排列方式，設(shè)計(jì)、建造了新式仿生房屋，不僅外形新穎、別致，同時(shí)還有優(yōu)良的通風(fēng)、采光性能。
藝術(shù)上的黃金分割：同學(xué)們仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，建筑師們對(duì)數(shù)學(xué)0.618特別偏愛(ài)，無(wú)論是古埃及的金字塔，還是巴黎的圣母院，或者是法國(guó)埃菲爾鐵塔，都有與0.618有關(guān)的數(shù)據(jù)。
四、利用多媒體課件展示數(shù)學(xué)定理的多種驗(yàn)證方法
實(shí)際的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)一題多解的情況，利用多媒體課件展示為這種情況提供了方便，節(jié)約了時(shí)間。
在學(xué)習(xí)“勾股定理證明”一節(jié)課時(shí)，教師利用課件展示多種證明方法。例如：第一種證法，趙爽利用四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形來(lái)證勾股定理的正確性。第二種證法，劉徽用了“出入相補(bǔ)法”即剪貼證明法把勾股定理驗(yàn)證出來(lái)。第三種證法，是著名希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一個(gè)很好的證法。后面的“總統(tǒng)證法”等等，大大豐富了學(xué)生的證明思維。
五、利用多媒體課件演示動(dòng)態(tài)現(xiàn)象
多媒體課件具有呈現(xiàn)客觀事物的時(shí)間順序、空間結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)特征的能力。在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，常有部分學(xué)生遇到有關(guān)動(dòng)態(tài)問(wèn)題的數(shù)學(xué)感到難懂，老師也感到難教，這里的關(guān)鍵問(wèn)題就是動(dòng)態(tài)問(wèn)題比較抽象，采用多媒體課件演示就能很好地克服這個(gè)困難，培養(yǎng)和提高了學(xué)生對(duì)圖形的想象能力、動(dòng)態(tài)思維能力，找到解決問(wèn)題的突破口，解決了學(xué)習(xí)和教學(xué)中的難點(diǎn)。
關(guān)鍵詞 說(shuō)題 中考 數(shù)學(xué)
中圖分類號(hào)：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
Inspiration from a Problem in High School Entrance Examination
――Dynamic Point Issues in Trapezoidal
LIU Shijie
（High School Affiliated to Xinjiang Agricultural University， Urumqi， Xinjiang 830000）
Abstract Examination is imperative to review the return of textbooks， the exam questions are rooted in the textbook， but is extended to the original question， the conditions change， transplant conversion， increasing the level of problem-solving. Said the problem is the study of creativity exams and exam questions return textbooks are complementary， we make an important weapon in the test review.
Key words said the problem； examination； mathematics
本文以一道中考選擇題為例進(jìn)行說(shuō)題。
說(shuō)題題目：2012年烏魯木齊數(shù)學(xué)中考試題第10題
如圖1，AD∥BC，∠D = 90，AD=2，BC=5，CD=8，若在CD邊上有點(diǎn)P，使 PAD與PBC相似，則這樣的點(diǎn)有（ ）
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
1 說(shuō)試題立意及背景
試題立意：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是近年來(lái)中考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，要求學(xué)生能夠?qū)c(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中相伴隨的數(shù)量關(guān)系、圖形位置關(guān)系等進(jìn)行觀察研究，化“動(dòng)”為“靜”。從數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)來(lái)看，動(dòng)點(diǎn)依附于不同的載體，一般考察幾何圖像的判定和性質(zhì)（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函數(shù)和方程等知識(shí)，綜合性很強(qiáng)。考察的途徑越來(lái)越復(fù)雜，對(duì)學(xué)生的讀題、解題、知識(shí)遷移能力、數(shù)形結(jié)合的思維能力提出了很高的要求。
說(shuō)背景：本題以直角梯形作為載體，動(dòng)點(diǎn)P隱含其中，以相似三角形的判定為主要考點(diǎn)，運(yùn)算上以一元方程求解為突破，得到點(diǎn)P的個(gè)數(shù)。本題運(yùn)用分類討論思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵。主要考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)、基本方法、基本技能的理解、掌握和應(yīng)用，屬中考中等難度試題。
2 說(shuō)學(xué)情、教法
說(shuō)學(xué)情：學(xué)生較容易先找任一點(diǎn)，大致勾勒三角形，進(jìn)而利用相似三角形判定列方程，但在分類討論及列方程求解上容易疏漏，這里要注意，需平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練。
說(shuō)教法：從圖形運(yùn)動(dòng)中找出規(guī)律，轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明、代數(shù)計(jì)算問(wèn)題，探究解決問(wèn)題的策略，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的完備性。
3 說(shuō)解法
解法一： 解：在CD上找一點(diǎn)P，得到PAD和PBC，設(shè)DP=X，則CP = 8-X，若PAD～PBC，對(duì)應(yīng)邊成比例則有兩種可能情況。
圖2 圖3
（1） = （一元一次方程） 有一個(gè)解――一個(gè)點(diǎn)
（2） = （一元二次方程） 有兩個(gè)不相等解――兩個(gè)點(diǎn)
經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意。答案：C
解法二：從形的角度來(lái)分析（圖3），利用物理上的反射來(lái)構(gòu)造相似，相對(duì)的兩角相等，這只有一種情況；利用勾股定理證明的圖形作為背景，相對(duì)的兩個(gè)角互余，但不等，互余且相等的情況不可能，圖3是反例，這時(shí)，以不垂直于底的腰為直徑畫圓，有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)有兩種情況，總計(jì)三種即有三個(gè)點(diǎn)存在。
4 拓展變化
如圖4，AD∥BC，∠D=90，AD=a，BC=b，AB=c，若在CD邊上有點(diǎn)P，使 PAD與PBC相似，則這樣的點(diǎn)有（ ）個(gè)。
圖4
本題解有四種情況：以AB為直徑作圓，利用梯形中位線定理和圓與直線的位置關(guān)系可解得：（1） 如圖4（a），c a+b CD≠a+b反射構(gòu)造相似一個(gè)點(diǎn)，圓與直線相交構(gòu)造兩個(gè)點(diǎn)，這三點(diǎn)互不重合（一元二次方程有兩個(gè)不相等的解）；（4） 如圖4（d），c>a+b CD=a+b反射構(gòu)造相似一個(gè)點(diǎn)，圓與直線相交構(gòu)造兩個(gè)點(diǎn)，這三點(diǎn)中有兩點(diǎn)重合，總共有兩點(diǎn)（一元二次方程有兩個(gè)不相等的解，其中有一解于一元一次方程解相同）。
啟示一：本題兩種解法實(shí)際從數(shù)和形的角度出發(fā)，把一元方程解的個(gè)數(shù)與圓與直線的三種位置關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，這兩個(gè)看似毫無(wú)關(guān)聯(lián)的知識(shí)通過(guò)直角梯形這個(gè)載體有機(jī)統(tǒng)一在一起，我們?cè)谄綍r(shí)命題時(shí)可以有意識(shí)去嘗試把代數(shù)和幾何以某個(gè)特征圖形為平系起來(lái)，去考察中考考點(diǎn)，讓我們對(duì)題目有更加深刻的認(rèn)識(shí)，而不是蜻蜓點(diǎn)水，淺嘗輒止。
5 中考鏈接（2013 攀枝花）
如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，點(diǎn)B（10，0），C（7，4）。直線經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)，且sin∠DAB = 。動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿BCD的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線ADC相交于點(diǎn)M，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t>0），MPQ的面積為S。
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，直線的解析式為 ；（2）試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍；（3）試求（2）中當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大，并求出S的最大值；（4）隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PM的延長(zhǎng)線與直線相交于點(diǎn)N，試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，QMN為等腰三角形？請(qǐng)直接寫出t的值。
思路分析：（1）利用梯形性質(zhì)確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用sin∠DAB = 特殊三角函數(shù)值，得到AOD為等腰直角三角形，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0）；由點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為 = + 4。
（2）解答本問(wèn)，需要弄清動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程：①當(dāng)0
（3）本問(wèn)考查二次函數(shù)與一次函數(shù)在指定區(qū)間上的極值，根據(jù)（2）中求出的S表達(dá)式與取值范圍，逐一討論計(jì)算，最終確定S的最大值；
（4）QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論，避免漏解。
解：以第二問(wèn)為主（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：
①當(dāng)0
過(guò)點(diǎn)C作CF軸于點(diǎn)F，則CF=4，BF=3，由勾股定理得BC = 5。過(guò)點(diǎn)Q作QE軸于點(diǎn)E，則BE=BQ?cos∠CBF=5t ?=3t。PE=PBBE=（142t）3t=145t，S = PM?PE = ＃5t）=5t2+14t；
②當(dāng)1
過(guò)點(diǎn)C、Q分別作軸的垂線，垂足分別為F，E，
則CQ=5t5，PE=AFAPEF=112t（5t5）=167t，
S= PM?PE= ＃7t）=7t2+16t；
③當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇時(shí)，DM+CQ=CD=7，
即（2t4）+（5t5）=7，解得t = 。
當(dāng)2
MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t，
S=PM?MQ=祝？67t）=14t+32。
啟示二：（1）復(fù)雜的雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題可以通過(guò)畫圖呈現(xiàn)運(yùn)動(dòng)全過(guò)程，隨著點(diǎn)的移動(dòng)，與之相關(guān)的圖形肯定隨著變化，而且移動(dòng)到不同的位置，我們研究圖形可能會(huì)改變。（2）特別關(guān)注一些不變的量，不變的關(guān)系或特殊關(guān)系，化動(dòng)為靜，由特殊情形（特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊圖形等）過(guò)渡到一般情形。要抓住圖形在動(dòng)態(tài)變化中暫時(shí)靜止一瞬間，將這些點(diǎn)鎖定在某一個(gè)位置上，看滿足什么樣的關(guān)系，這樣問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就顯示出來(lái)，從而得到解題方法。（3）認(rèn)真研讀文字抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系。一個(gè)問(wèn)題是有關(guān)確定圖形變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型求解，當(dāng)確定圖形之間的特殊關(guān)系或者一些特殊值時(shí)，通常建立方程模型求解，一般涉及到全等、相似、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)。
6 教學(xué)建議及對(duì)策
幾何定理就是幾何命題，還包括推論。由于幾何命題是把定義、概念聯(lián)系起來(lái)，形成完整的主體內(nèi)容。因此，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，要求學(xué)生掌握好幾何定理，才能知幾何的體系結(jié)構(gòu)，弄清幾何定理間的內(nèi)在關(guān)系。把學(xué)過(guò)的定理系統(tǒng)化，形成結(jié)構(gòu)緊密的知識(shí)體系。這樣有助于學(xué)生牢固掌握幾何知識(shí)的結(jié)構(gòu)，有助于解題思維能力和邏輯思維能力的培養(yǎng)。所以我們?cè)诙ɡ斫虒W(xué)中應(yīng)從以下幾個(gè)方面進(jìn)行施教。
一、定理的引入
定理的引入是定理教學(xué)過(guò)程的一重要環(huán)節(jié)，這就是我們常說(shuō)的導(dǎo)入技能，導(dǎo)入的好壞對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力有直接性的影響。
1.通過(guò)實(shí)踐、探索、猜想發(fā)現(xiàn)命題
在導(dǎo)入定理的教學(xué)過(guò)程中，老師要有目的地提出一些具體素材供學(xué)生研究和探討，讓學(xué)生觀察、分析、比較、歸納、畫圖等得出一些命題。例如：“三角形的內(nèi)角和定理”，先讓學(xué)生任剪一個(gè)三角形。然后把每個(gè)三角形的內(nèi)角和拼在一起，得到什么樣的結(jié)果？或者通過(guò)量角器把三內(nèi)角量出來(lái)，它們之和是多少度？學(xué)生通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦以及老師必要的引導(dǎo)、啟示。學(xué)生很快就對(duì)定理有個(gè)清楚的、明了的認(rèn)識(shí)。
2.通過(guò)已經(jīng)學(xué)過(guò)的定理引初新定理
例如：勾股定理是常見(jiàn)也是常用的定理，它能清清楚楚地把一個(gè)直角三角形的三邊關(guān)系表達(dá)出來(lái)。如果不是直角三角形而是任意三角形也可以用公式表達(dá)出來(lái)嗎？這就是我們這節(jié)課所講的內(nèi)容，從而就引出了余弦定理的課題。即余弦定理。再如：由兩三角形相似引出兩三角形全等的判斷定理等。這種導(dǎo)入技能是學(xué)生認(rèn)識(shí)定理之間的內(nèi)在聯(lián)系和結(jié)構(gòu)層次，從而培養(yǎng)學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的鞏固和新知的認(rèn)識(shí)。
二、認(rèn)識(shí)定理的結(jié)構(gòu)
定理是從一個(gè)或幾個(gè)以知條件得出一個(gè)新的結(jié)論的思維過(guò)程，其包括前提和結(jié)論兩部分。認(rèn)清定理的結(jié)構(gòu)是我們證明習(xí)題的基本出發(fā)點(diǎn)和最終目標(biāo)。它是幫助我們分析問(wèn)題的條件和結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。
1.分清定理的條件和結(jié)論
在中學(xué)幾何教材中，有多定理僅從表面上看，條件和結(jié)論間沒(méi)有嚴(yán)格的界線，使學(xué)生對(duì)條件和結(jié)論分不清楚，找不出條件和結(jié)論。例如：“對(duì)頂角相等，對(duì)角互補(bǔ)等定理含了一定前提條件，這給學(xué)生一種模糊現(xiàn)象。在教學(xué)過(guò)程中，老師要把定理隱含的條件挖掘出來(lái)。即：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等。“如果一多邊形為四邊形，則內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)。”
利用圖形，把已知和求證板書給學(xué)生。①已知∠1和∠2是對(duì)頂角，求證：∠1=∠2。 ②已知ABCD是任意四邊形，求證：∠1+∠2=180?等。
2.理解定理證明的思維過(guò)程以及定理的證明與推導(dǎo)
定理教學(xué)的目的就是讓學(xué)生能理解證明的思維過(guò)程以及掌握證明的方法。通過(guò)例題教學(xué)，并加以總結(jié)，可培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。在這方面可以從以下入手。
（1）培養(yǎng)學(xué)生探索證明的途徑。教師通過(guò)講解一些事例的證明思維途徑過(guò)程，結(jié)合學(xué)生自己做一些證明題，把自己所證明的思維過(guò)程講給大家參考，這樣大家的證明思路大有不同，從中可得到不同的證明方法這就達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生證明的創(chuàng)造思維能力和實(shí)踐能力。
（2）在探索證明途徑中積累經(jīng)驗(yàn)。在證明過(guò)程中，有些定理本身具有典型性，證明方法具有代表性，因此要經(jīng)常跟學(xué)生歸納和概括，形成一些證明技能。通過(guò)分析、綜合、歸納、演繹、類比等邏輯方式，這對(duì)學(xué)生積累證明經(jīng)驗(yàn)和培養(yǎng)學(xué)生證明能力都有所幫助和提高。
3.培養(yǎng)學(xué)生掌握定理證明的依據(jù)
在中學(xué)幾何證明教學(xué)中，用綜合法將定理的證明表達(dá)出來(lái)，沒(méi)證明一步都少不了證明 依據(jù)，這就是我們證明思路的具體化和邏輯化。使學(xué)生掌握每得出一步它的依據(jù)是什么，這樣學(xué)生既對(duì)定理的掌握和理解，又培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。
三、定理的鞏固和運(yùn)用
（1）在教學(xué)定理過(guò)程中，不僅單讓學(xué)生理解定理，而是注重的是能夠運(yùn)用定理解決問(wèn)題。因?yàn)槲覀冋莆斩ɡ淼哪康脑谟谶\(yùn)用定理，我們要鞏固和運(yùn)用定理，只有通過(guò)一些具體實(shí)例來(lái)體現(xiàn)。因此，在定理教學(xué)中，教師要特別注重安排好各類習(xí)題，除基本鞏固題、綜合題外，還應(yīng)適當(dāng)補(bǔ)充一些習(xí)題，如：“逆用、變用定理”。可以培養(yǎng)學(xué)生活用定理和逆用定理的能力，從而提高學(xué)生 運(yùn)用定理的目的性和學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，同時(shí)有可以對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。
（2）由于中學(xué)幾何中的許多定理彼此間聯(lián)系緊密，但在幾何課本中不一定一一相繼出現(xiàn)，甚至相距甚遠(yuǎn)。所以老師在教學(xué)完成定理后，應(yīng)該注重及時(shí)揭示這些定理之間的內(nèi)在聯(lián)系。使得學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)化，形成幾何命題體系。例如：學(xué)習(xí)了幾何中的相交弦定理，切割線定理、切線長(zhǎng)定理等。
