時間：2022-06-27 03:18:48
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇高斯求和教學總結，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
“問題是數學的心臟”，采用有效的數學問題串，讓學生接受式的學習數學轉化為對“問題串”的探索過程，使模仿、記憶為主的學習變為活潑的、有效的求解“問題串”。采用“問題串”教學法可以激發學生的數學學習興趣，培養學生的創新意識，改進學生的學習方式。
二、“問題串”教學法在中學數學教學中的運用
“問題串”教學的核心和關鍵就在于“問題”的設計，“問題”是學生學習的起點。問題必須能夠引出所學課程的基礎知識點、基本概念、原理等，這應該是問題設計的出發點。教師所設計的問題應該能夠有效激發學生的主觀學習動機，鼓勵學生進行積極的探索和學習。學生帶著這樣的問題進行自主學習，在學習的過程中將問題解決，同時能夠對自己的知識掌握情況、學習方法、學習策略作出客觀的評價，這也有利于培養學生的判斷能力和推理能力。
“問題串”教學法一般由四部分構成：1.創設情境，提出問題；2.探究方法，建立模型；3．應用模型，解決問題；4．引導總結，構建網絡。下面以必修5（人教B版）2.2.2等差數列的前n項和為例具體來說明。
1．創設情境，提出問題。
創設問題情境，就是根據教學內容，結合學生的認知發展水平和已有的知識經驗，將學習內容設計成若干與學生生活接近、有一定趣味性和挑戰性的問題。目的是激發學生學習的積極性，給學生提供參與數學活動的機會，使學生在動手實踐、自主探索和與他人合作交流的過程中獲取數學知識、技能、思想和方法。
問題一：大家還記得德國偉大的數學家高斯“神速求和”的故事嗎？小高斯在上小學四年級時，一次老師布置了一道數學習題：“把從1到100的自然數加起來，和是多少？”小高斯稍加思考就得到了準確答案5050。這使得老師異常驚訝。那么高斯是用了怎樣的方法如此快速計算出答案的？
生：高斯是應用首尾配對進行求和的，1+100=2+99=3+98=...=50+51=101，有50個101，所以1+2+3+...+100=50×101=5050。
問題二：從1到999的自然數加起來，和是多少？看誰最先算出并說明方法。
生：1+999=2+998=3+997=...499+501=1000，有499個1000，還剩個500所以1+2+3+...+999=499500。
在導入新課時，我采取：由數學趣聞引入，激發學生的思維，引發學生探究的興趣和欲望，研究高斯算法對一般等差數列求和的指導意義。
2.探究方法，建立模型。
數學建模在解決問題中是最關鍵、最重要的環節，建立模型的過程就是將實際生活問題轉換為數學問題的過程。一般要經歷以下三個步驟：
（1）在原有經驗的基礎上，獨立思考，利用猜想、遷移、類推，嘗試探索解決問題的方法。
（2）在獨立思考的基礎上，組織小組互動交流，促進生生之間相互補充，形成統一認識，達到深化思維、理解問題的目的。
（3）小組合作之后，教師組織全班交流，在引領學生反思歸納的基礎上，建立數學模型。
問題三：觀察上面兩個題有什么發現？
生：高斯“首尾配對”的算法還得分“奇、偶”個數的情況求和。
問題四：同學們有無更簡單的方法，可以避免“奇、偶”項數的分類討論嗎？
師（提示）：推導三角形面積公式時，用兩個全等直角三角形倒置成長方形再用長方形面積公式推導出。
生（討論得出）：可以用倒序相加再除2算法。
問題五：通過上面的特例思考如何求等差數列的和？設等差數列{an }首項為a1，公差為d，求Sn =a1+a2+a3+...+an（分組討論）
師：待多數小組完成推導，在板書上做詳解：
Sn =a1+a2+a3+...+an-2+an-1+an
Sn =an+an-1+an-2+...+a3+a2+a1，兩式左右分別相加，得
2Sn =（a1+an ）+（a2+an-1 ）+（a3+an-2）+...+（an-2+a3 ）+（an-1+a2）+（an+a1）
化簡得 2Sn =n（a1+an）
于是有：Sn =■
這就是倒序相加法。
問題六：公式是否能用基本量a1和d來表示？
同學們積極討論，舉手回答。
生：把an=a1+（n-1）d 代入上式化簡得
Sn=na1+ ■
師（總結）： 我們得到了兩個公式
Sn=■，Sn =na1+■
問題七：等差數列前n 項和公式中含幾個量，這幾個量之間什么關系？
師生共同討論得：上述兩個公式中一共涉及a1，an，sn，n，d五個量，已知其中任意三個，可通過解方程組求得另外兩個。
問題八：兩個公式分別適用于什么情況？（提示結合等差數列性質思考）
師生共同討論得：當已知首相a1，末項an ，項數 n或已知首末兩項的和，即a1+an（或利用等差數列性質：a1+an=a2+an-1=a3+an-2...可得首末之和）時用公式Sn=■
當已知首相a1，公差d，及項數 n時，用公式sn =na1+ ■
問題九：同學們我們知道等差數列通項公式一元一次函數的關系，那等差數列前n項和與我們學過的哪個函數相似，它們之間有什么關系呢？（結合等差數列通項公式與一元一次函數的關系分組討論）
師到各小組指導，待多數討論完成后師生共同總結：
等差數列前n項和公式sn =na1+ ■，若設A=■B=a1-■，則此公式可寫成Sn=An2+Bn，即Sn是n的二次函數，故點（n，Sn）在二次函數y=Ax2+Bx的圖像上，由二次函數的性質可得：
（1） 當d≠0時，前n項和Sn的圖像是二次函數y=Ax2+Bx的圖像上的一系列孤立的點；當d=0時，前n項和Sn=na1=nan，它的圖像是直線y= a1x上的一系列孤立的點。
（2） 運用二次或一次函數的性質可以研究等差數列的前n項和Sn構成的數列{Sn}的有關單調性、最值問題。
總結：問題三讓學生通過自己的觀察發現問題，同時也提高了學生發現問題的能力；問題四、五的設計層層遞進，用初等幾何的模型喚醒同學們的記憶，為倒序相加提供一個直觀模型。能夠有效地引導學生自己推導等差數列求和公式，建立數學模型；問題六，七貫徹基本量思想，把與等差數列有關的所有問題化歸為首項和公差，這是解決等差數列問題的主要方法之一；問題八的設計使學生更加深入理解求和公式，靈活運用此公式；問題九的設計讓學生意識到知識具有聯系性，等差數列的通項公式和前n項公式分別是關于項數的一次函數和二次函數，數列本身就是特殊的函數。公式的進一步推導，掌握基本量思想對特殊數列問題解決的重要作用，再次引導學生回顧等差數列的性質。
3.應用模型，解決問題。
建立的數學模型對于類似的問題是否適用，需要將之應用到實際問題中檢驗。本環節要為學生提供若干能應用學生建立的數學模型解決的問題。這樣不僅能讓學生感受到建立數學模型的穩定性及其特點，同時能培養其綜合運用知識解決問題的能力。
1）直接代公式求和
（1）1+2+3+...+n （2）1+3+5+...+(2n-1)
2）在等差數列{ an }中，已知a3+a8 =24，那么s10等于
3）在等差數列{ an }中，a3+a8=19s5=40，則a10 =
4）等差數列5，4，3，2，...前n 項的和是-30，求n 的值。
上面的題目可以讓學生迅速熟悉公式，加深學生對公式基本量意義的認識，理解方程思想。另一方面，也加深學生對n的范圍的理解。
4.引導總結，構建網絡。
數學知識之間存在密切的聯系。在學生建立了數學模型并運用模型解決問題的基礎上，教師應引導學生進入更深層次的總結，以利于學生知識體系的完整構建，使學生對所學知識有系統化、網絡化的認識。本環節不一定在每一堂“解決問題”課中都要體現，但廣大教師一定要樹立引導學生總結建構的意識，幫助學生形成良好的認知結構。
以上是對于普遍意義上的“解決問題”教學的基本流程。在解決問題體系中，還有一類是單純學習解決問題的“策略”，對這類課的教學，其流程應適當變通。
問題十：通過本課的學習你的收獲有哪些？
問題十一：等差數列的前n項和公式是如何推導出的？
自然思維――根據自我認知，合情推測，想當然地、順其自然地思維.
直覺思維――根據知識經驗，自覺和直接的思想方式.直覺思維往往表現為潛意識、下意識和無意識的，是非邏輯思維的一種思維形式.[1]在教學中如何關注學生主動性思維的培養，本文以人民教育出版社高中課程標準實驗教材《數學》必修五數列部分內容和課堂教學案例來作為嘗試.
一、求通項公式兩種教學設計的對比
在介紹等差數列通項公式時，根據教材給出的方法，常見的教學設計是：
教師問：由等差數列的定義，前后兩項之間的關系是什么？
學生寫出：a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d.
教師再問：各項如何用a1，d來表示？
學生寫出：a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d，…
教師請學生填空得到通項公式an=a1+（n-1）d.
然后教師進一步說明這種方法的意義是由個例歸納出一般，是一種合情推理（合理猜想），關于其證明涉及以后的數學歸納法.
據筆者了解，當前大多數教師基本采用這一方法，并且制作了相應的課件.筆者認為，這樣的教學方式，只是一種啟發引導式的思維培養，看似學生參與了，實質上還是停留在學生由教師主導下被啟發引導的一種思維方式，還沒有充分體現出讓教學的主體――學生自主學習[2]，或者說主動性思維的層面.
筆者的教學方案是：
教師設問：等差數列是一種有規律的數列，這個規律是什么？他的通項公式如何探究？
學生討論后答：規律就是定義，通項公式可以從項與項之間的關系來推測.
教師要求：
那么請大家進行自主探求.
學生們討論后基本上有兩種方案.
（1）由定義得a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d.
a2=a1+d，a3=aa+2d，a4=a1+3d，…，推測得an=a1+（n-1）d.
（2）由a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d，把以上各式相加得an-a1=（n-1）d，an=a1+（n-1）d.
教師小結：這兩種方法都很好，各有特點.
方法一反映了歸納推理、合情猜想的思維，但是歸納猜想的結論是否正確，需要嚴格的演繹證明.關于這個證明，今后的證明方法中專門會介紹數學歸納法.
方法二是一種很好和有用的推理證明思想――“累加法”.凡是相加可消去中間項的都可以嘗試這種方法.
這樣的教學方案，在體現學生主動性思維上顯然比第一種方案要好，它注重了學生的自然思維和直覺思維.只要我們有意識，這種教學設計可以在其他內容上繼續嘗試.
二、求前n項和兩種教學設計的對比
在介紹等差數列的前項和時，大部分教師參照教材一開始給出的高斯思想進行提示，并且再把這個思想與求和結合起來.其實許多學生，尤其是初中學過和課前預習過的學生，他們的思維就只停留在高斯的思維引導下，而缺失了自覺主動創新思維的意識，只感受到了高斯的“聰明”，而沒有意識去嘗試這種“聰明”思維自己能否產生和如何產生.這樣被動的思維培養其實只是一種形式而已，這樣的思維過程也很不“順其自然”.如果意識到主動性思維的培養，可以設計這樣的教學方案.
教師不作任何提示，直接讓學生嘗試求和. 學生思考后，基本能夠自然地利用通項把每一項的第一個相加，第二個概括在一起得到：Sn=na1+[1+2+…+（n-1）]d. 到了這里，學生們就能自然而主動地想到求Sn就是求1+2+…+（n-1）.關于自然數求和，有的學生就回憶起了高斯方法.更可喜的是，即使沒有想到高斯，從1+2+…+（n-2）+（n-1）的形式看，大多數學生也想到了1+（n-1）=2+（n-2）=…，也就是說“與首末等距離的兩項之和相等”，這樣就得到了Sn.
如果是1+2+…+n呢，顯然也成立.
到此，再請學生們看高斯的思維，學生們就會自信地感到自己和高斯一樣可以創造性地思維，就會增加學習的主動性和興趣.
教學至此，教師只要提一句：等差數列有否這個性質？
幾乎全體學生都能得到等差數列有這樣重要的性質：“與首末等距離的兩項之和相等.”即a1+an=a2+an-1=….從而自然想到Sn的求法是Sn=a1+a2+…an，Sn=an+an-1+…+a1，2Sn=n（a1+an），Sn==na1+d.
三、通過習題檢驗兩種設計的效果
至此，求和已完成，接下來是鞏固和拓展.
教師小結重要的兩點：
1.數列的問題往往要從項著手分析，同學們想到的“拆項法”很重要和有用，比如把每項拆成兩個甚至多個，分別將第一個，第二個…合并求和.再比如拆成兩個后有可能前后有關聯，請學生做課本P47習題4.
對于習題4，本來有許多學生是陌生和困難的，但由于有了前面的思維基礎，大多數學生這時能很自然地得到：
Sn=++…+=（-）+（-）+…+（-）=1-.
教師進一步提出求Sn=++…+. Sn=+++…+.
并提醒學生注意不同的細節.
教師更進一步提出對于等差數列{an}，求Sn=++…+.
從具體課堂效果來看，學生會順利解決并自主總結出方法――拆項相消法.
2.等差數列的重要性質：“與首末等距離的兩項和相等.”即a1+an=a2+an-1=at+an-t+1，這是很有用的性質，利用它可以靈活、快速、準確地解題.在具體問題中，要注意的是如果n是奇數，則中間是一項；如果n是偶數，則中間是兩項.
進一步請學生應用練習：在等差數列{an}中，（1）已知a7，求S13；（2）已知a5，a11，求a8，S15；（3）已知S21，求a7+a15.
通過以上練習，學生體會到了用此性質的快捷，激發了主動學習興趣和求知欲，再次感悟了數學的奧妙和樂趣.
這樣的教學設計方案所反映的思維過程完全體現了學生的主動性思維，自然而流暢，而且在思維過程中可以得到有用的重要方法，為后續學習提供基礎.
四、在等比數列教學中的應用
在等差數列中有了這樣的思維，在接下來的等比數列通項公式教學設計中就可以更自然地讓學生主動性地思維.
等比數列通項公式（課本P50）仍然是用探究的方法讓學生由前n項的個例歸納猜測的，也沒要求給予推理證明.筆者的教學設計改進為：
教師設問：等差數列和等比數列的區別和聯系是什么？如何用這種聯系和等差數列的通項公式探究方法來得到等比數列的通項公式？
學生討論后，基本上能明確“差”和“比”的關系，從而除了由個例歸納猜測外，還很自然地由等差數列的“累加法”得到了等比數列的“累乘法”.
由=q，=q，…，=8，各式相乘得到：=qn-1，an=a1qn-1.
趁著學生對兩種數列關系的興趣，教師可進一步讓學生回憶等差數列前n項和中有一個什么重要性質，等比數列中相應的性質又是什么.
幾乎所有的學生都能主動自覺地意識到“等比數列中與首末等距離的兩項的積相等”.即a1an=a2an-1=…=atan-t+1.
然后給出相應的練習讓學生體會其重要應用和鞏固掌握.
從以上的一些教學設計可以認識到，教材的處理和課堂教學設計對學生主體的學習興趣、主動性思維培養和知識的主動牢固的掌握運用是非常重要和有意義的.作為數學教師，在這些方面應予以更加重視和加強.只要我們在教學實踐上有這樣的意識，我們的教學主體――學生的數學思維就會更自覺、自然而有創新，學習數學就會更主動積極而有興趣.
參考文獻：
一、溫故知新導入法
溫故知新的教學方法 ，可以將新舊知識有機地結合起來，使學生從舊知識的復習中自然獲得新知識。例如：在講“反函數”時，使學生 回憶函數及映射的定義，提出問題引導學生反過來思考，從而引進反函數的概念。這樣導入，學生能從舊知識的復習中發現一串新知識，清楚反函數與原函數的關系，并且掌握了反函數的定義。
二、創設情境導入法
數學知識的獲得，往往是通過時間得來的， 數學知識的探求過程為我們展示了豐富的知識背景。選取具體的背景，可以使學生如臨其境，生動形象。例如我在執教“相互獨立事件同時發生的概率”時，創設如下情景：常說三個臭皮匠頂一個諸葛亮，能頂上嗎？已知諸葛亮解出問題的概率為0.8，三個臭皮匠能解出問題的概率分別為0.5、0.45、0.4，且每個人必須獨立解題，那么三個臭皮匠中至少有一人解出的概率與諸葛亮解出的概率比較，誰大？
三、實踐導入法
實踐導入法是組織學生進行實踐操作，通過學生自己動手動腦去探索知識，發現真理。例如在講“橢圓定義”時，預先布置學生帶好圖釘、繩子、紙。在課堂內告訴他們方法 ，讓他們自己發揮，使學生享受到探索新知識的快樂。
四、反饋導入法
根據信息論的反饋原理，一上課就給學生提出一些問題，由學生的反饋效果給予肯定或糾正后導入新課。如在上“求函數定義域”時，課前可以先擬幾個有代表性的習題讓學生到黑板上練習，從學生練習的結果和學生的反饋中老師就可以發現問題。
五、設疑式導入法
設疑導入法即所謂 “學起于思，思源于疑”，是教師通過設疑布置“問題陷阱”，學生在解答問題時不知不覺掉進“陷阱”，使他們的解答自相矛盾，引起學生積極思考，進而引出新課主題的方法。它的設計思路：教師提出問題，學生解答問題，針對學生出現的矛盾對立觀點，引發學生的爭論與思考，在激起學生對知識的強烈興趣后，教師點題導入新課。
六、直接導入法
直接導入法是教師直接從課本的課題中提出新課的學習重點、難點和教學目的，以引起學生的有意注意，誘發探求新知識的興趣，使學生直接進入學習狀態。它的設計思路：教師用簡捷明快的講述或設問，直接點題導入新課。
七、觀察導入法
據數學概念形成的規律，概念 教學 必須遵循從具體到抽象、由感性認識到理性認識的原則，教學新概念要建立在生動形象的直觀上。例如在介紹分類計數原理與分步計數原理時，就以學生很常見的乘車的例子引入，從簡單的生活例子升華到抽象的 數學 原理，不至于學生 在學習的過程中覺得枯燥。這種觀察引入的方法 進一步溝通了新舊知識的聯系，使學生學得輕松愉快，概念理解深。
八、故事引入法
有與教材有關的故事引入，課堂會出現 “洗耳恭聽”的勢態。例如在教“等差數列求和公式”時，我先講了一個數學小故事：德國的數學家高斯讀小學時，老師出了一道算術題：“1+2+3+……+100=?”老師剛讀完題目，高斯就寫出了答案----5050，而其他同學還在一個數一個數地挨個相加呢。高斯是用什么方法做得這么快呢？這時學生出現驚疑，產生一種強烈的探究反響。我再點明課題：這就是今天要講的等差數列的求和方法 ----倒序相加法。 九、電教導入法
一、巧設教學情景，激發學生的學習興趣
興趣是最好的老師。俄國著名的教育家烏申斯基曾指出：“沒有絲毫興趣的強制性學習，將會扼殺學生關注真理的愿望?！鼻稍O教學情景，精心設疑和詼諧的語言，能大大激發學生的學習興趣，讓學生由“要我學”變成“我要學”。因此，在教學中教師必須要有創造性教學思維，從不同的角度和深度去把握教材內容，根據教材的特點和教學目標，有意識創設情境，用生動的語言和夸張的肢體語言去喚起學生的學習興趣，讓學生愿意主動探究學習。
例如：在教授等差數列求和公式時，我設計了一個 “計算1+2+3+……+99+100=？” 的問題讓學生思考。學生很快就知道采取了前后配對的方法求出答案5050，我馬上肯定了他們的成果，然后給他們講了一個數學故事：德國的“數學王子”高斯，在小時候就是用這種方法快速的算出了答案，讓老師和同學刮目相看。但是，這種方法也有不足的地方。學生有點不相信，認為數學家的方法怎么還會有缺陷呢？這時，我將問題改成：“1+2+3+……+100+101=？”學生在計算過程中，陸續發現了這回用前后配對的方法出了問題。此時，我再提出問題，雖然高斯的方法不完美，但是，后人在他的基礎上尋找到一種方法，不管n多少都能計算1+2+3+……+n，你知道是什么樣的方法嗎？同樣是借助配對的思想，你能找到方法嗎？這時學生們都來了興趣，產生一種強烈的探究反響，通過討論探究找到等差數列的求和方法――倒序相加法，從而推導出等差數列求和公式。借助這個求和實例，在高斯故事情景啟示誘導的作用下，通過層層設疑，揭發了問題的解決過程，激發學生強烈的求知欲望，進而提高學生的學習興趣。
二、通過直觀教學，實驗操作等手段促進教學，提高學生的思維想象能力
學生的思維以具體的形象思維為主，數學知識比較抽象，如何使學生由形象思維過渡到抽象思維，使一些抽象的數學知識形象化、具體化？我發現，運用教具或多媒體加強直觀教學不失為一種有效方法。對于一些比較抽象難懂的知識，我經常采用實驗操作的方法，讓學生由感性認識進入到抽象概括。
例如教學錐體體積時，我先讓學生準備好硬紙板，剪刀，透明膠，砂子等物品，上課時指導學生按要求制作等底等高的圓錐和圓柱，然后在空圓錐里倒滿砂子再倒入圓柱中，看倒幾次正好把圓柱體裝滿。學生經過實驗操作后，會發現“圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一”，從而類推“錐體的體積等于和它等底等高的柱體體積的三分之一”，認知由感性認識進入抽象概括環節。
由此可見，在教學中，通過對圖形、模型的演示，能讓學生摸一摸，動動手，動動腦，使學生在實踐操作中掌握了事物的變化規律，揭示了知識間的聯系性，更好地掌握知識。
三、巧設練習，多樣化鞏固，提升課堂教學實效
練習形式的多樣化，可以避免學習的枯燥乏味，并且能從不同的角度培養學生的邏輯思維能力。一般的說，屬于概念、公式、定理等基礎知識的，可以設計一些填空題、選擇題或者判斷題等類型題進行練習；屬于式子計算方面的通常會在原基礎上加以變式，由淺入深，舉一反三；屬于應用題方面的則設計多解、多變、補充條件（或問題）、自選自編等類型；如果涉及幾何初步知識的還可以設計一些動手操作的實踐題。為了使練習形式豐富多樣，讓學生在練習時動腦、動手、動心，還應注意把口算、筆算相結合；口答、作圖和解題相結合，討論、操作和實地實踐相結合。
例如：在講授《橢圓的簡單幾何性質》一課時，我在練習設計上采用了幾種模式：
1.指出下列橢圓的性質(a>b>0)
方程
范圍
對稱性
頂點
離心率
2、求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標。
(變式：)
3、練習畫圖：
在直角坐標系下作出橢圓的草圖。說一說：長軸長與短軸長各為多少？想一想：x和y有沒有范圍？
四、優化師生關系，創設良好的教、學氛圍
在數學教學活動中教師應發揚民主，成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，要善于激發學生的潛能，鼓勵學生大膽創新與實踐，引導學生主動地觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略。以下是筆者在數學教學中的一些嘗試。
一、事件的分類和概率的定義
紛繁的自然現象和社會現象，從結果能否確定的角度可分為兩大類：確定事件和不確定事件，確定事件包含必然事件和不可能事件，不確定事件即隨機事件。必然事件和不可能事件不論在事件發生前還是發生后其結果都是確定的，隨機事件是在事件未發生前對事件的結果無法預先確定。
一個隨機事件的發生既有隨機性（對單次試驗而言），又存在著統計規律（對大量重復實驗而言），從哲學的觀點講這是偶然性與必然性的統一。在這里要強調大量重復試驗這個前提。在引入概率定義以后要強調概率是頻率的穩定值，因為這是許多中學生出錯的根源。例如可以問學生一個問題：一個隨機事件發生的概率為，某人試驗了100次，結果發生了12次，這可能嗎？再問學生，這個人試驗了100次是不是結果一定發生了10次呢？教師要引導學生客觀辯證地看待生活實際中的一些問題，樹立學生的辯證唯物主義思想。如舉下面一個例子：我省某地區舉行現場發行福利彩票活動，廣告宣傳中獎率為20%，且一等獎的獎金數額很誘人。一位老農看到現場不時傳來中獎的喜訊，于是做著發財夢去摸獎，結果連家中賣牛的錢都摸光了也沒中一次獎。學生通過討論這個問題，能深刻理解“中獎率為20%”的含義，從而形成健康的心理，用一種理性、平和、富有愛心的心態對待現實生活中的各種摸獎活動，并能激發學習數學的興趣，提高解決實際問題的能力。
二、等差數列的求和公式
1.創設情景，引入新課。
我們已經熟悉了等差數列的定義及其通項公式a=a+（n-1）d。在教學中，筆者先給學生講了一個故事：高斯是德國偉大的數學家、天文學家、物理學家，在他10歲那年，有一次，老師出了一道題目：1+2+3+…+100=？正當大家忙著計算的時候，高斯站起來答道：1+2+3+…+100=5050。（講數學史料故事，激發興趣）筆者提問：你能說出高斯解題的方法是什么嗎？（學生知道運用首尾配對這一方法）筆者再問：你能很快地得出1+2+3+…+48+49的答案嗎？（為了避免學生對“首尾配對”這一認識僅處于模仿記憶狀態，因此設計了此問題，以促使學生對“首尾配對”法進一步理解）
2.互動探索，研究實質。
提問：1+2+3+…+n=？又如何求呢？（通過比較得出“首尾配對”的算法運用需分項數的奇偶進行討論，但由于結論S=與n的奇偶無關，進而提問有無簡單方法）
提問：既然結論與n的奇偶無關，那么是否有更簡單的方法？
追問：用什么方法可以得到上述結論中的n+1呢？
S=1+2+3+…+（n-1）+n
S=n+（n-1）+…+3+2+1
2S=（1+n）+…+（1+n）
S=。
這種求和的方法稱為“倒序相加法”。
提問：已知等差數列｛a｝，則其前n項的和S如何求？
S=a+a+a+…+a（1）
S=a+…+a+a+a（2）
哪個同學能起來說一說呢？（大家都舉起手來）
生甲說：
將（1）（2）相加得2S=（a+a）+（a+a）+…+（a+a），（等差數列的性質：a+a=a+a=…必須加以證明）
或者2S=（a+a）+（a+d+a-d）+…+［a+（n-1）d+a-（n-1）d］，
2S=n（a+a）。
由此得S=。
至此得到了一種等差數列前n項和的表示，它的前提是知道a，a，n。而通常情況下確定一個等差數列，只需確定a，d。那么，已知a，d，n，怎樣求S呢？
生乙說：
將a=a+（n-1）d代入得S=na+。
還有沒有其它的解法呢？（稍候片刻）
生丙說：
S=a+（a+d）+…+［a+n（n-1）d］
=na+［1+2+…+（n-1）］d=na+。
以上解法，歸根結底，是通過用a，d，n表示數列中的各項，把問題轉化為求一個特殊等差數列的1+2+…+（n-1）的和，而它正是“倒序相加法”的應用。等差數列的通項公式可用a，d，n表示。那么，已知a，a，n，怎樣求S呢？
生丁說：
將d=代入上式得S=。
3.回歸建構，提高能力。
已知等差數列{a}中，a=50，a=15，求S。
已知等差數列{a}中，a=0.7，a=1.5，求S。
求1000以內能被7整除的所有自然數之和。
南北朝《張丘建算經》：今有女子善織布，逐日所織布以同數遞增，初日織五尺，計織三十日，共織九匹三丈，問日增幾何？（一匹為四丈）
4.總結提煉，升華認識。
運用從特殊到一般的方法得到了等差數列前n和公式S==na+。探究過程中得到了一種重要的求和方法，“倒序相加法”。
一、 在情境中激發學生參與的興趣
在上課時教師要設置情境，讓學生參與其中，這樣可以提高學生的學習興趣，更有利于提高學生的學習主動性．例如：在講“等差數列的求和公式”時，設置情境：講偉大的數學家高斯的故事：18世紀，在高斯10歲時，他的算式老師出了一道題：計算1～100的和．小高斯只用了極短的時間就得出了結果：5050．教師接著問大家：“同學們，你們知道小高斯他是怎樣算出來的嗎？”由于大多數學生以前聽過這個故事，教師這時可以采用提問、引導的方式，讓學生說出其中的奧秘：第一個數和倒數第一個數相加得101，第二個數和倒數第二個數相加得101，…一共有50個101，結果就是5050．教師接著說：他的算法也可以解釋成這樣：把原式的數顛倒，兩式相加成為
教師再啟發：這個結果是原來的兩倍（相對于把原來多算了一遍），再把這個結果除以2就得到原式的和了．教師問：那么對一般的等差數列 前n項和sn=a1+a2+a3+…+an如何求呢？這節課我們就來共同討論這個問題．這樣通過這個故事，通過學生的積極參與，學生強烈的求知欲被激發出來，再通過師生共同討論、探索．相信：學生會很容易掌握等差數列的求和方法．
二、 在教學時保持學生參與交流討論的熱情
在《數學課程標準》中明確的提出了：在教學方式上提倡學生的合作交流，在教學內容上要注意選擇適合學生交流的內容，在教學活動中要給學生提供交流的機會．其實數學教學是數學信息的交流過程，數學學習是數學信息的選擇、獲取、加工、交流、反饋、存儲的過程．在這種交流討論的教學中，要讓教師與學生、學生與學生多交流、多討論，多讓學生動口、動腦、動手，提出疑問，深入思考，發表見解，暢所欲言，積極反思．交流討論能激活學生的數學思維，喚起學生對數學的好奇心，引起學生的共鳴，能引起學生長時間、熱烈的討論，一發而不可收，回味無窮．讓學生在討論中學習，在交流中提高．這種參與討論的熱情要在數學課堂中長期保持．例如：在講不等式的對稱性
可以設計實驗：
教師：讓學生在天平的一邊放7顆鋼珠，另一邊放3顆鋼珠，并讓他們說出實驗的結論．
學生：（學生立即動手，很快的就得出結論）7顆鋼珠的這邊比3顆鋼珠的這邊重，則得出：7﹥3．
教師：兩邊同時拿掉3顆鋼珠，天平左邊還剩多少？怎樣表示？天平的右邊還剩多少？怎樣表示？得到什么結論？
學生：7-3﹥3-3，還可以得出： 7-3﹥0．
教師：可以讓同學們用同樣的方法得出一些類似的式子，再總結一下這些式子有什么共同的規律？
學生：（預習過的學生很快得出結論）共同規律是：a-b﹥0 a﹥b
教師：采用同樣的方法讓學生得出另外兩個結論：a-b=0 a=b
a-b﹤0 a﹤b.
教師還要趁熱打鐵問：x+1與1的大??？讓學生討論得出結論．
學生：有的是：x+1﹥1，有的是：x+1﹤1，有的是：x+1=1．（學生還不會綜合起來考慮）
教師再作適當的引導：由上面的規律，試試看，算一算x+1與1的差．（與什么有關？怎樣分析？）
學生：當x﹥0時，x+1﹥1．
當x=0時，x+1=1．
當x﹤0時，x+1﹤1．
教師接著再問：x+1與x的大小呢？還是讓學生討論得出結論．
學生：與x的值大小無關．得出：x+1﹥x．
在思考、交流、討論中構建不等式性質的意義，增強思維的邏輯性、表達的條理性，激發學生的熱情，還要保持這種參與討論交流的熱情，這樣才能達到如期的教學效果．
三、 在參與中激發學生的創新精神
數學是一門具有嚴密的邏輯性和高度的抽象性學科，所以數學學習更需要學生積極參與，這樣所學的知識才能得以充分的理解、吸收．在學生積極參與的過程中，教師還要充分調動學生的創新熱情，其實每個學生都具有潛在的創新才能，怎樣才能把這種潛在的創新才能激發出來呢？概括起來主要有以下三個方面：
首先，數學教師自身要具備創新精神，這是數學教學中培養學生創新能力的一個非常重要的因素．因為學生數學知識的獲得和能力的形成，教師的主導作用是不可忽視的，教師本身所具有的創新精神會極大地激發學生的創新熱情．應該充分調動教師的積極性和創新精神，努力提高創新能力，掌握更具有創新性、更靈活的教學方法，在教學實踐中，不斷探索和創新，不斷地豐富和提高自己業務水平和業務能力．
其次，要有輕松活潑的課堂氣氛和和諧的師生關系，是培養學生創新能力的重要條件．每一節課教師要創造適宜于學生主動參與、主動學習的活躍的課堂氣氛，從而形成有利于學生主體精神、創新意識、創新能力健康發展的寬松的教學環境．
再次，創造適應數學創新教育的活動，擴展學生數學知識的結構體系，擴大視野，真正提高學生素質．
四、真正開展創新教育的活動
第一、重視學生學習數學的興趣教育，激發學生創新意識．在教學數學知識時，通過有關的實際例子，說明數學在科學發展中的作用，使學生認識學習數學的意義，鼓勵學生學習成才，并積極參加數學實踐活動，激發學習數學的興趣．用啟發式加上參與式教學，引導學生了解所有的數學成就都是在舊知識基礎上的創新，這一切都源于對數學濃厚的興趣．源于強烈的創新意識．
一個人掌握知識越多，知識面就越廣，其創造性思維就越活躍，創新能力就越強．學生在接受教育和獲取知識的同時，形成崇尚創新，追求創新，以創新為榮的觀念和意識．這樣創新教育才能得以貫徹、延續和發展．
第二、注重學生思維能力的培養，訓練創新的思維．數學是思維的體操，因此，若能對數學教材巧安排，對問題妙引導，創設一個良好的思維情境，對學生的思維訓練是非常有益的．在教學中打破“教師講，學生聽”的模式，教師要設法讓學生看到數學的思維過程，數學教學不是直接的灌輸，也不是強化應試的訓練，是以知識的形成過程為核心，不是以結論為核心，是展示思維的過程，不只是簡單傳授數學知識，要變“直接傳授”為“學生參與探究活動”，充分理解知識形成的過程，促使學生一開始就進入創新思維狀態中，以探索者的身份去發現問題、解決問題、總結出一般的規律．在解題時，教師要引導學生多方位觀察，多角度思考，廣泛聯想，培養學生敏銳的觀察力和靈活的解題思路，解題后讓學生進行有效地反思引申和舉一反三，鼓勵學生積極求異和富有創造性的想象，培養學生的創新精神，訓練學生的創新思維．
第三、對數學能力的培養，從而形成創新的技能．數學能力是表現在掌握數學知識、技能，數學思想方法上的個性心理特征．其中數學技能在解題中體現為三個階段；探索階段——觀察，試驗，想象；實施階段——推理、運算、表述；總結階段——抽象、概括、推廣．這幾個過程包括了創新技能的全部內容．因此，在數學教學中應加強解題的教學，教給學生學習方法和解題方法同時，進行有意識的強化訓練：自學例題、圖解分析、推理方法、理解數學符號、溫故知新、歸類鑒別等等，學生在應用這些方法求知的過程中，掌握相應的數學能力，形成創新技能．
關鍵詞：興趣；主體；發展
興趣是最好的老師，是開發智力，激發學習內驅力的基本條件，是一切課堂活動的基本動力?！爸卟蝗绾弥?，好之者不如樂之者。”就指出了教學中激發興趣的重要性。因此，我們要善于激發學生的學習興趣，善于創設恰當的情境讓學生愛上數學，從而激起學生思考的欲望，營造一種寬松、和諧、民主的課堂氣氛，使學生學得積極，讓課堂成為求知的樂園。
一、課堂要以學生為主體
教師在課堂上要不斷確立學生的主體地位。數學教育的根本目的是面向全體學生，促進學生發展，從而實現人人學習有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展。教師不是教學生怎樣學，而是學生學習的組織者、引導者和合作者。教師的作用就在于激發學生的學習積極性，提供現實而有吸引力的學習情境，向學生提供充分活動的時間和空間，促進學生真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學學習經驗。
例如，在“認識人民幣”教學中，我精心設計了一個“小銀行”，每組選出一位學生分別扮作銀行職員，其他學生都是“顧客”，“顧客”手持人民幣到“銀行”兌錢，可以拿元換角、分，也可以拿分、角換元。在活動前，先分小組討論交換意見，然后開始“認識人民幣”的活動，經過邊討論邊游戲，全班參與，積極動腦，發表不同看法，通過互補、互動、探索，充分發揮了主體教育的作用，收到良好的效果。
二、創設情境，以情激境，以情寓教
教育家第斯多惠說：“教育的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞?！痹谡n堂教學中要真正落實新課程標準，就要進行創新教學，創設具體的課堂情境，激發學生的創新意識，學生有了好奇心，就急于表現自己。學生只有積極主動地參與，才能在學習活動中不斷認識自我、發展自我，教師才能充分挖掘學生的創新潛能，促進學生主動學習，才能讓學生體會到數學就在身邊，生活中充滿了數學，才能使每個學生都有充分發展的機會。在積極推行新課程的今天，教師精心創設課堂教學情境，教學切入點是創設一種能使學生積極思維的環境，讓學生處于興奮狀態，沉浸在緊張、活躍、和諧的氛圍中，從而使學生自覺、高興地投入到探求新知的教學活動中。
三、創設現實的問題情境，體驗數學生活化
數學是從生活實踐中總結和抽象出來了，并且將最終應用于生活。在學生的生活中，處處都有數學的影子，因此，在教學的過程中，教師要時刻注意聯系生活，通過利用各種教學方法，創建出生活情境，使學生在自己熟悉的生活中學習知識。這樣不僅能夠激發學生的學習興趣，而且能充分調動學生學習的積極性和主動性，誘導學生積極思維，使其主動參與教學活動。
比如，教學“小數加減法”時，教師利用多媒體錄像創設了一個商場購物的情境，出示商品的價格，通過解決售貨員問顧客的三個問題“你應該付多少錢？”“找給你多少錢？”“你還有多少錢？”讓學生體會到數學學習與生活實際密切聯系，使他們感受到生活中處處有數學。再如，在教學“平均分”時，我創設了一個“春游”的現實情境，讓學生看看準備帶多少食品和水果，經過簡短的討論后學生馬上回答了以下幾個問題“總數是多少”“怎么分的”“分成幾份，每份是多少”“還有沒有剩余”。教師用最少的教學時間完成了從生活原型到數學模型的過渡，這對于“有效的數學教學”是非常關健的。
利用現代教育技術創設現實的生活情境，使學生如同身臨其境，情趣盎然。他們不僅掌握了知識和方法，更真切地感受到了數學就在身邊，培養了學生在生活中發現數學問題、提出問題和解決問題的能力。
四、故事化的情境，激發學習之望
故事是學生最喜愛的文學樣式之一，它不僅能激發學生的學習興趣，使學生受到強烈的刺激，而且故事中蘊藏的思想感情能起到教育學生的任用。
如在數學活動課教學高斯求和公式時，教師先講高斯小時候的故事，年紀小小的他做1+2+3+…+98+99+100時不急于做，而是努力思考，終于又對又快地算了出來，使老師也十分驚奇。正是因為他從小愛動腦筋，后來成了著名的大數學家。故事講完后教師引導學生要多動腦筋，想一想有什么簡便的方法，也做一個聰明的小高斯。沉浸在故事情境中的學生都活躍起來，積極思考，不久也找到了規律。又如在教學“圓周率”時穿國古代數學家祖沖之的故事，不僅讓學生加深對圓周率的認識，而且也培養了學生的愛國熱情，增加了民族自豪感。
關鍵詞：問題情境；創設；興趣
所謂創設問題情境就是指教師精心設計一定的客觀條件，使學生面臨某個迫切需要解決的問題，引起學生的認知沖突，感到原有知識不夠用，從而激起學生疑惑、驚奇、差異的情感，進而產生一種積極探究的愿望，集中注意，積極思維。那么，怎樣創設問題情境，才能既有利于學生探究，又能取得教學的實效呢？下面談談我的一些嘗試，以期拋磚引玉。
一、創設趣味性的問題情境
學習的最好刺激是對所學知識的興趣，沒有絲毫興趣的強制性學習，將會扼殺學生探求真理的欲望。在教學過程中，教師如果能充分挖掘教材內容，創設趣味性的問題情境，就能激發學生的好奇心和興趣，充分調動學生學習的積極性。
案例1：
在學習《等差數列的前n項和》時，我引用了高斯的一個故事：在高斯八歲時，他的算術老師出了一道題：計算從 1到100的和。小高斯只用了極短的時間就得出了結果：5050。我接著問學生：“同學們知道他是怎樣算出來的嗎？”由于大多數學生在小的時候都聽過這個故事，回答說：“他把算式兩端的數以及與兩端等距離的兩數相加，這樣一共有50個101，所以很快就得出了5050?！蔽医又f：“他的算法也可以解釋成這樣：把原式的數順序顛倒，兩式相加再被 2除就得到原式的和了（實際上是在做進一步的啟發）。我接著問：“那么對一般的等差數列{ a n }前n項和 S n =a 1 +a 2 +a 3 +……+a n 如何求呢？這節課我們就來研究這個問題”這樣通過故事激發了學生強烈的求知欲，經過引導探討，學生較容易地掌握了等差數列的求和方法----倒序相加法，得出了等差數列的前n項和公式。
通過創設趣味性的問題情境，調動學生學習的主動性和積極性，激發學生學習的求知欲和學習數學的興趣。趣味性的問題更容易引發學生對問題的探究和深層次的思考。因此，多為學生提供一些數學史或其它有趣的情境，讓學生在生動具體而富有趣味的情境中發現問題、思考問題和解決問題，從而提高學習數學的興趣。
二、創設貼近學生實際生活的問題情境
高中數學教材中許多抽象的數學命題往往來源于現實世界，與日常生產、生活有密切的聯系。如果直接給出這些數學命題，學生往往不知道為什么要學，也不容易理解，教師如果能創設與之有關的實際問題情境，使抽象的內容具體化，這樣既能加強數學與生活實踐之間的聯系，使學生認識到數學學習的實際用途，也更容易激發學生的好奇心和興趣。
案例2：
在學習《指數函數的性質》這一章節的時候，我講了這樣一個故事：如果我想和你訂個合同，在整整一個月中，我每天給你10萬元，而你第一天只需給我一分錢，以后每天給我的錢是前一天的兩倍，你是否同意訂立這樣的合同。學生剛開始都很高興地說愿意，看到我笑后又想想可能有什么不對的地方。那么到底誰更為合算？能否用我們的數學知識來進行探討，此時學生的興致達到極點，產生“欲知而后快”的期待情境，激起不斷探求的興趣，既喚起學生對知識的愉悅，又喚起學生參與的熱情。
用學生熟悉的生活經驗作為實例，引導學生利用自身已有的經驗探索新知識，掌握新本領，加強數學與生活的聯系，讓學生感到數學就在身邊，身邊處處有數學，從而增強學好數學的信心，用已掌握的知識來解決自己身邊的實際問題，實現了抽象、具體再抽象的過程，這樣的設計易于學生的思考與理解.因此當問題情境來自學生認知范圍內的現實生活時，學生能更快，更好地進入學習狀態，從而提高學生的學習效率。
總之，創設問題情境的目的是為學生的思維“點火”。
一位教育家說過：“人腦不是一個可以灌注的容器，而是一只可以點燃的火把。”所以，課堂上的問題情境，應該是將現實生活中的數學素材、學生已有的數學知識和能力、數學文化發展史中的史料、數學教材中的數學內容等多方面的數學素材的自然結合，讓學生真切感受到數學就在自己的身邊，這樣自然就能點燃學生的“智慧火種”，從而為學生的自主學習提供生存環境。問題情境的創設是課堂教學中的一個環節，一個問題情境是否有效必須通過課堂教學的檢驗，它牽涉到教師如何使用，在什么時機使用等等這些因素，也就是說由于教學是一個復雜的過程，課堂是動態生成的，一個有效的問題情境最后不一定能有好的效果，如何使問題情境的創設更富有實效，真正成為教學過程和學生發展的動力，我還需要在以后的教學實踐中不斷地思考、探索、試驗、總結和反思。
參考文獻：
[1] 普通高中數學課程標準.中華人民共和國教育部.
[關鍵詞]學問素養 學問課堂 成長發展
一、困惑與追尋：“學問”素養為何缺失
一段時間以來，廣大一線教育工作者在“問題教學”方面給予了很多關注，內容涉及問題分析、策略探討、課堂設計、興趣培養等多個方面。
現實課堂中學生在老師的引導與追問下也能順利地分析并解決問題，可總令人莫名地感覺缺失了些什么。如果學生在學習的進程中隨著知識的深入，能夠自發地提出疑問，自然地引出新知，那將是多么令人欣喜！對，缺失的就是思考的主動、思維的靈動、思想的生動。
二、實踐與思考：構建“學問課堂”
如何激發學生的“學”“問”意識？怎樣提高學生的“學”“問”素養？我和我所在的教研組開始了“學問課堂”的行動研究。我們以數學學科的課堂教學為研究對象，積極探索“學問課堂”的實踐理念、內涵意義、方法策略等。
（一）什么是“學問課堂”
“學問”通常指系統的知識，也泛指知識，是個名詞。而“學問課堂”中的“學問”，通俗地說是學學，問問，是學習的動作，是動詞。學與問是相輔相成、交融行進的，學生的學習是一個學中問、問中學，先學后問、以問促學，邊學邊問、問后再學，學問結合的過程。
（二）為何要構建“學問課堂”
依據2011版新課標理念，本研究募し⒀生“學”“問”意識入手，意在煥發課堂的生命活力；本研究著力于學生“學”“問”素養的培育，旨在實現學生的主體發展。
（三）怎樣構建“學問課堂”
1.在學習的情境中以學引問――學前問
或是引入時的情境提問，學生在情境中生疑、質疑，引發解疑欲望；抑或是通過對課題的提問，激活學生的思維，發現他們的思考，變解決教師的問題為解決自己的問題，學生將更有興趣更有動力地投入和創新，實現“我的發展”。
[片段1]
課前游戲：搶32，每人每次至少報一個數，可以報2個，最多報3個，比一比，誰先搶到32。
師生比賽后學生迫不及待地提出疑問：
生1：老師為什么總是你贏？
生2：有沒有訣竅？
“非學無以致疑，非問無以廣識?！眲撛O情境，以學引問，讓學生主動去追求、主動去獲得，在“想問”中引發探究欲望，在“想問”中引出學習目標。
2.在學習的進程中學問相融――學中問
學生有何奇思妙想無法預測，什么時候會突發提問也很難預料，這就決定“學問課堂”有一個網狀的開放結構，教師要順應孩子的認知發展，走進孩子的“意義”世界。學生在數學學習過程的充分展開中解疑學前問，而后再生疑、再質疑、再解疑，在學問的反復中領悟知識、積累經驗。
[片段2]
教學“平移”時，當學到畫出兩次平移后的圖形只要抓住原圖形中的一個點就可以時，突然有學生舉手提問：“老師，難道我不可以第一次平移時抓住一個點數，第二次平移時抓住另一個點數嗎？”一個發散的問題，就如平地炸雷，激動又茫然之際，學生把扣住“思辨點”，促使他們尋找知識的“固著點”，聯系對比后發現多種可行途徑中的最佳策略。
隨著教學活動的展開，學生的思維會不斷地掀起波瀾，“無疑處生疑”，相融相榮。學生在好問中自獲其知，自增其能。
3.在學習的梳理中以問導學――學后問
可以是課堂的總結提問，變常規的師問生答為生問生答，既照應課始的“學前問”，也讓學生從被動回答教師的提問走向主動地自我梳理學習內容后發問；也可以是知識的拓展提問，這樣的“延問”豐富內涵、拓寬外延。
[片段3]
學習《三角形的內角和》后學生探究的欲望多多：“四邊形、五邊形、六邊形的內角和是多少？…‘四邊形、五邊形、六邊形的內角和與三角形的內角和有什么關系？”“四邊形、五邊形、六邊形的內角和是不是也是180°或者是180°的倍數呢？”“研究其他多邊形的內角和是不是也可以用先猜想再驗證的方法呢？”……
隨著學習的深入，一直積聚在學生心中的問題一個個地被引發出來，課雖“了”，思未“終”。
三、欣喜與展望：獲得了怎樣的成長與發展
我們研究小組立足數學課堂教學實踐，在現代教育科學理論和方法的引領下，以教學實踐變革的邏輯展開研究，從真實的課堂問題著手，在行動中結合實踐進行反思、解釋、歸納等。通過一年多的“學問課堂”實驗，學生有價值的樸素真切的思想得到了展示與認可，大大促進了教學的深度和廣度。
（一）“學問”探究知識源流
“問渠那得清如許，為有源頭活水來?！睂W生在親歷的學習過程中刨根問底、尋本溯源，知識的源頭在探尋中顯山露水，學習的歷程在思辨中情趣盎然。
[片段4]
學生在找了2和5的公倍數和最小公倍數后，有幾個學生執著地舉手并提出疑問：
生1：2和5的最小公倍數正好是2×5的積，可是例題中6和9的最小公倍數并不是這樣呀！
生2：這里面有什么奧秘？有規律嗎？
著名科學思想史專家波普爾曾說：知識的增長，永遠始于問題，終于問題――愈來愈深化的問題，愈來愈能啟發大量新問題的問題。學生這樣深刻的提問促使師生去尋找知識的“源流”，去分析公倍數與兩數各自因數之間的關系。這一階段的學生已從實驗前單一、沉悶的課堂氛圍中解脫出來，充盈生命張力的個體迸發出了真切的情感與真實的思考，這樣的學問課堂就有生命的成長！
（二）“學問”豐富思維方式
澳大利亞教育學會主席J.Bacr教授說：“教師是一把鑰匙，這鑰匙應該充滿魔力，可以打開許多門，門外的道路至少有三條――實際應用、知識的理解和探索性思維的培養?！睘樗季S而教、為思維而學是教育變革大潮中激蕩的最強音。
[片段5]
在學了“高斯求和”基本類型后，出示直接看不出項數的例題：求3+5+7+……+91+93的和。學生展開了討論：數出項目太麻煩，有什么方法可以計算出項數？
一番思辨之后學生們居然抽絲剝繭般地找出了“高斯求和”與“植樹問題”之間頗多聯系：
“首項一末項”的相差數不就可以看作是“總長度”嗎？“公差”不就可以看作是“間隔長度”嗎？“（末項一首項）÷公差”不就相當于“總長度+間隔長度”嗎？而“總長度÷間隔長度=間隔數量”，所以用“（末項-首項）÷公差”就可以求出數與數之間的間隔數量，而一個數列一定有首尾，所以就可以把“等差數列”看成是“兩端都植”的情況，“間隔數量+1”才是樹的棵數，也就是數列中數的個數，即公式中的項數……
真正是“給我一個支點，我可以撬起地球?！睂W生在學中問、問中學，把看似不相關的兩個問題奇跡般地橋接起來，打通時空系統，這樣的學問課堂就有生成與發展！
（三）“學問”培養科學精神
一、直接導入法
直接導入法又叫"開門見山"導入法，我們談話寫文章習慣于"開門見山"，這樣主體突出，論點鮮明。當一些新授的數學知識難以借助舊知識引入時，可開門見山的點出課題，立即喚起學生的學習興趣。例如，在講《二面角》的內容時，可這樣引入："兩條直線所成的角，直線和平面所成的角，我們已經掌握了它們的度量方法，那么兩個平面所成的角怎樣度量呢？這節課我們就來學習這個內容――二面角和它的平面角！"（板書課題），這樣導入，直截了當， 促使學生迅速集中到新知識的探索追求中。再如，講《用單位園中的線段表示三角函數值》一節時，可作如下開篇"前面我們學習了三角函數的定義， 每種三角函數的數值都是用兩條線段的比值來定義的，這是我們在應用中帶來諸多不便，如果變成一條線段，那么應用起來就會方便的多，這節課就來解決這個問題："用單位園中的線段表示三角函數值"，這樣引入課題，不僅明確了這堂課的主題，而且也說明了產生這堂課的背景。
二、憶舊導入法
當新舊知識聯系較緊密時，用回憶舊知識來自然的導入新課也是常用的一種方法。這種方法導入新課，既可以復習鞏固舊知識，又可把新知識由淺到深、由簡單到復雜、由低層次到高層次地建立在舊知識的基礎上，從而有利于用知識的聯系來啟發思維，促進新知識的理解和掌握。例：講三角函數的二倍角公式時，可以在復習回憶兩角和公式的基礎上順利的導入，將半角公式可以在復習回憶二倍角公式基礎上順利導入。講半角公式可以在復習回憶二倍角公式的基礎上順利導入。
三、類比導入法
有些課題內容與前面學過的知識類似時，可運用類比法提出新課內容，促使知識的遷移，比舊出新，自然過渡。 例：講指數、對數不等式的解法時，可類比指數和對數方程的解法提出課題。有針對性的選擇某個知識點進行類比，可以將"已知"和"未知"自然的連接起來，溫故而成為知新的基石，課堂教學可望收到滿意的效果。
四、發現導入法
啟發學生從某些現象中發現某些規律從而導入新課，這種方法可使學生在發現的喜悅中提高學習的興趣，同時也有利于學生對新知識的理解和記憶。例：講立體幾何《錐體體積》時，教師拿一個圓柱形容器和一個與圓柱等底等高的圓錐形容器，當裝滿圓柱的沙倒入圓錐形容器中恰好倒滿三次時，問學生："你們能發現它們體積的關系嗎？"學生立即就能悟出圓錐體積等于等底等高圓柱體積的三分之一，在學生這個發現的基礎上,教師進一步引導："這個體積上的三分之一的關系是否對等高等底的各種形狀的錐體和柱體都成立？若成立，怎樣從理論上嚴格證明這一結論呢?今天就要來研究這一問題。這樣導入新課就把學生從生動的實驗所得到的發現引向嚴密的邏輯推理，對教材來說，這是一種自然的過渡，對學生來說，則成為一種思維上的需要和滿足。對于那些容易發現的規律適用于這種方法導入新課。
五、設疑導入法
教師對某些內容故意制造疑團而成為懸念，提出一些必須學習了新知識才能解答的問題，點燃學生的好奇之火，激發學生的求知欲，從而形成一種學習的動力。例：講《余弦定理》時，可如下設置：我們都熟悉直角三角形的三邊滿足勾股定理：c2=a2+b2，那么非直角三角形的三邊關系怎樣呢？銳角三角形的三邊是否有c2=a2+b2-x？鈍角三角形中鈍角的對邊是否滿足關系c2=a2+b2+x？假若有以上關系，那么x=？教師從這個具有吸引力和啟發性的"設疑"引入了對余弦定理的推證。再如：講立體幾何《球冠》一節時，教師可如下設疑：由三個平行平面截一個球恰好把球的一條直徑截成四等分，試問截得球面的四部分面積大小如何?教師留出幾分鐘時間讓學生觀察議論，同學們一般猜測兩頭面積較小，中間的兩"圈"面積較大。教師這時卻肯定的說："這四部分面積時一樣的，都是球面積的1/4！"又說："這難道可能嗎？兩頭看起來確實好像小，中間的圈要大，可是它們的面積相等卻是事實！讓我們來學習今天的內容：球冠。"通過這個內容的學習，同學們自己就可以解開它們的面積為什么相等的迷。學生帶著這個疑團來學習新課，不僅能提高注意力，而且這個結論也將使學生經久不忘。
如何處理教材，如何設置疑點，是教學藝術的表現，良好的設疑可以激起學生學習的欲望，從而更有利于對新知識的理解。
六、趣味導入法
新課開始可講與數學知識有關的小故事、小游戲或創設情境等，適當增加趣味成分，可以提高學生的學習興趣，因而有利于提高學生的學習主動性。例如：講《等差數列的求和公式》時，講高斯的故事：十八世紀，在高斯八歲時，他的算術老師除了一道題：計算從1到100的和。小高斯只用了極短的時間就得出了結果：5050。教師接著問大家："同學們知道他是怎樣算出來的嗎？"由于大多數學生在小的時候都聽過這個故事，回答說："他把算式兩端的數以及與兩端等距離的兩數相加，這樣一共有50個101，所以很快就(轉下頁)得出了5050。"教師接著說："他的算法也可以解釋成這樣：把原式的數順序顛倒，兩式相加成為：
1 +2 +3 +……+100
+）100+99+98+……+1
……
101+101+101+……+101=101×100
再被2除就得到原式的和了，（教師實際上是在做進一步的啟發）。教師問："那末對一般的等差數列{an}前n項和Sn=a1+a2+a3+……+an如何求呢？這節課我們就來研究這個問題。"這樣通過故事激發了學生強烈的求知欲，經過引導探討，學生較容易地掌握了數列的求和方法――倒序相加法，得出了等差數列的前n項和公式：
Sn=n（a1+an）/2
例:在講一節時，由于許多學生對一個與自然數有關的命題經過數學歸納法的步驟證明后是正確的不太理解，在新課開始時可講游戲：玩"多米諾"骨牌。玩此游戲的原則主要有兩條：（1）排此骨牌的規則：前一塊牌倒下，保證后一塊牌一定倒下；（2）打倒第一塊。講完這兩條規則后問學生："經過這兩個步驟后，結果怎樣？"學生很快回答："所有的骨牌都倒下了。"由此游戲引出數學歸納法的定義。
設計巧妙的新課導入，可以為新課創設教學意境，使學生迅速依照教師的導向去自主地合作探究，可以為新課的教學需要激起強烈的探索欲望，從而形成良好的心理動態，可以為新課突出重點、突出難點，埋設教學措施的引線，成為新課啟發教學的先導。本文結合自己教學實踐中的體會，談談以下幾種導入新課的方法。
(1)故事導入法。在正式授新課之前，講述與新課內容密切相關的一些數學典故，有助于營造一種輕松愉快的課堂氣氛，調動學生學習數學的積極性和主動性，是導入新課的很好途徑。例如：在講等差數列求和一節時，可先介紹高斯計算1+2+3+……+99+100的故事；講等比數列求和時，先介紹“古印度智者放米進棋盤”的故事；講三角形相似時，先介紹“托萊斯一根棍子巧測金字塔”的故事等。實踐證明，利用故事導入新課，可以提高學生的學習興趣和主動性，并促使學生注意力迅速集中到新知識的探索追求中來。
(2)演示導入法。從感性認識到理性認識，符合學生的認知特點。在平面幾何、立體幾何教學中，很多知識可借助教具演示直觀導入。例如：在講橢圓一節時，可借助事先準備好的教具演示，教師一邊演示一邊提出問題，引導學生觀察思考，這樣就很自然地導出橢圓的定義。又如，在異面直線概念教學中，教師可借助事先準備好的兩根木棍放在黑板上，讓學生觀察各種位置，讓其中一根木棍離開黑板再加以觀察，除平行、相交外，有無其他位置，教師適時引導，最后概括出異面直線不共面的本質屬性，導出異面直線的定義。直觀演示導入新課，學生一開始就獲得了感性材料，有利于學生理解和掌握抽象的數學內容。同時，對培養學生的空間想象能力具有很好的作用。
(3)發現導入法。在教學活動中，學生是主體，在教師指導下啟發學生從某些現象中發現某些規律，從而導入新課。這種方法可使學生在發現的喜悅中提高學習興趣，同時也有助于提高學生獨立思考、分析、解決問題的能力。例如：在學習“多邊形內角和”一節中，可作如下設計：在黑板上作出三邊形、四邊形、五邊形、六邊形，讓學生觀察，合作、探究，發現多邊形每增加一條邊，就多一個三角形，內角和就多180。，發現并歸納出內角和與邊數的關系，從而引出多邊形內角和定理。相似地，等差、等比數列的通項及方程的根與系數的關系等的教學中都可利用此法進行。
(4)動手實踐導入法。讓學生從多種不同的感覺渠道同時往大腦輸入相關信息，有利于對知識的認知和掌握。動手實踐為學生提供了豐富的感性材料和經驗，易于為學生所接受。例如：在講“三角形內角和定理”時，讓每個學生用硬紙片剪一個三角形，然后再把這個三角形的三個角剪下來，要求學生把剪下來的三角形拼在一起，再觀察這個三個角之和。這樣做不僅讓學生從實踐中總結得出了“三角形的內角和為180。的結論，而且也為理論上證明這一定理埋下了伏筆，突破了這節課的難點，使學生享受到了發現知識的快樂。動手實踐導入新課，有利于培養學生動手動腦的習慣，充分調動學生的多種感官參與實踐活動，培養學生的創造性思維能力。
(5)類比導入法。有些課題內容與前面學過的知識類似時，可利用類比法提出新課內容，促使知識正遷移，比舊出新，自然過渡。例如，學習雙曲線的定義及標準方程時，可以類比橢圓的定義及標準方程；學習等比數列定義時，可類比等差數列的定義；學習函數極限時，可類比數列極限等。有針對性地選擇某個知識點進行類比，可以將已知和未知自然地聯系起來，有助于啟迪學生的思維，幫助學生找新問題的思路，啟發學生聯想，這對于新知識的理解和掌握往往能達到事半功倍的效果。
總之，新課程背景下的新課導入法是多種多樣的。在平時教學實踐中，可根據實際情況選取適當的導入法。不論采用何種方法，只要在新課伊始就能激發起學生的積極性、創造性，點燃學生的思維火花，就是成功的開始。
關鍵詞：教學設計；創新；注意事項
一、數學教學與多媒體技術整合能夠有長久的生命力的關鍵――教學設計
1.通過學生實際設計數學教學與多媒體的整合
教學設計的基礎是分析數學，目的是確立解決數學教學中問題的步驟，效果是評價反饋的實驗設計和實效。教學設計是關于教學的設計過程和具體操作程序。教學設計影響著課堂的質量，在教學的過程中發揮著前導的作用。教學中的目標與手段的關系是教育工作者選擇具體的教學手段的依據之一。在教學決策中，教學設計者不只要考慮教學的目標，還要考慮到學生的特征，即學生們原有的認知能力和認知結構。學生原有認知能力是對知識內容的識記和理解、應用與分析、最后綜合與評價的能力；而原有認知結構是在認識事物的過程中已經在自己頭腦中形成的經驗知識系統。分析學生的特征，就是要應用適當的方法確定現在所學的原有的認知能力和認知結構，將其描述出來，來對學生進行有針對性教學。所以多媒體技術在恰當的時候通過恰當形式出現，數學教學與多媒體技術整合，不是簡單地將多媒體技術應用在數學教學之中，而是真正的讓多媒體教學技術成為學生們的認知工具。
2.數學教學和多媒體技術整合教學設計應對學生們的主動建構有利
讓學生通過實際的問題來學習是構建主義的核心思想，Hilbert等人提出教學和改革的一個原則，就是使學生有對知識好奇的精神，想要知道“為什么事情會是這樣”，之后會去探索，會去探索答案，并且解除自己在認知上的不足，只有通過這種活動才能使學生建構對知識結構的理解。依據他們的構想，從課程或教學的開始，就應該給學生一些問題（problems），有兩難的選擇（dilemmas）或者提出問題（questions ），目的并不是使學生感受到挫折，體會到某種學科的困難，而是鼓勵學生對所學的內容能提出問題，并且明確問題，進而能激發他們的好奇心，同時引發起學生們的理解活動。這樣通過具體的解決問題的活動，學習者能夠對學習的知識結構形成較為深刻的理解，同時對這個學科產生積極的態度。
二、數學教學和多媒體技術整合能具有長久的生命力的保障――好的教學創意
教學的創意體現在具體的創新之上，包括在教學設計、教學內容、教學方法、教學手段和教學評價。其他學科像政、史、地等在使用多媒體時可以用豐富的視和聽等多媒體的效果來刺激學生們的感官，這樣能激發學生的興趣。但是數學有它自身的缺點，若是一味利用視和聽等刺激，時間久了會使學生產生厭倦的情緒，這反而不利于激發學生們學習的興趣。所以這就需要教師能有好的創意，通過“問題”來吸引學生，目的是能夠激發學生們的興趣。這樣本人做了一些嘗試：
1.多媒體整合要充分考慮數學課外題的探究或課本內容知識的拓展
盡量選取和教材的內容相關密切的、典型的，且學生們熟悉的素材，使用多媒體技術設計能體現數學概念和結論以及思想方法的發生和發展過程的情景，讓學生感受到數學是那么自然和水到渠成。在解決問題的同時體會到數學的力量，感受數學探究和論證的精彩和優美，使教學“親和力”增強，能啟發學生深入地去學習數學。如在講授求和問題時提到高斯，讓同學們理解高斯求和的原理，讓課堂輕松愉快。
2.利用數學公式和定理及函數的表達式結合展示多媒體技術能得到美妙的圖形這樣來體悟數學的本質
數學的公式和定理，公理與性質，法則和意義等反映的都是某種客觀規律，有時候它們的本質只可言傳而不可意會，這時候多媒體技術就可以實現言傳與意會的效果，能將抽象化為直觀，這樣既能領會到數學抽象知識的本質，也能得到學習的愉悅，是寓教于美，并寓教于多媒體技術。要讓多媒體技術與數學課整合是學生們期待的教學模式。例如可以展示雪花曲線、蝴蝶曲線的圖像，可以簡單的介紹其內容，體現數學之美。
3.讓數學教學和多媒體技術相整合的課堂成為學生們了解數學的窗口
現在隨著計算機和網絡作為代表的信息技術的發展和普及，越來越能影響人們的生產和生活的各個領域，漸漸地改變著我們的思想和行為，顯示了其巨大的威力。若能讓學生更多的了解數學的科學研究以及應用的相關信息、知識與方法，這能對學生產生終身的影響。他們會意識到這種課堂是高瞻遠矚的，是科技含量極高的，也只有數學和多媒體技術相整合的課堂才能辦到。
三、在教學實踐中能影響多媒體技術與數學整合生命力的注意事項
1.給學生們充足的思考時間
運用多媒體技術的時候應該給予學生獨立、自由的思考時間，從而避免由原來的人為灌輸改為高效的機械灌輸。有的教師總是認為許多東西已經呈現給學生們了，而沒有給學生足夠的思考時間，雖然看上去整堂課是量大高效的，但是其實理解的只是淺顯的，不一定能學到真東西。只有給學生們充足的思考時間，才能讓學生能融會貫通所學的知識，并從中總結和得出一定的規律，從而才有更加深刻的體會，這樣才能真正的學好數學這一學科。
2.教師要有明確的板書、解釋和傳授知識
隨著現代化技術的發展，網絡技術逐漸的成熟，多媒體教學已經非常普遍。但是我們要始終堅持這一點，多媒體技術是替代不了師生之間的情誼的，不要僅僅強調多媒體的技術而忽視傳統的教育模式，那樣會走入教學模式的誤區。所以，老師要學會板書、解釋等和多媒體技術的綜合教學，傳統和現代的綜合，能讓學生更好的理解數學，同時還能增進教師和學生之間的情誼。
3.教師應拓寬多媒體的技術應用范圍
目前，多媒體技術處速發展之中，與多個部分多有交集。我們要善于發現多媒體技術和數學的各個部分的知識的聯系，促進多媒體技術的應用范圍，實現數學和多媒體技術的整合，是實現其長久生命力的一個明智之舉。
在現代化的大潮之中，一名優秀的數學教師應該具有如下的素質，現代化的教學理念和教學思想，開拓創新的精神，熟悉運用多媒體的工具包括計算機和網絡，以及能對多媒體的資源進行有效處理等。優秀的教師在將多媒體資源的采集和組織、管理和應用中完成與教育教學的整合，潛移默化地影響學生，讓他們體會到應用多媒體技術是有利于自己學習和成長的，進而他們會努力的提高自身的素質，所以我們能看見非常良好的效果。
參考文獻：
[1]楊開城，李文光.教學設計理論體系構想[J]. 教育研究，2001，11：70-74.
[2]雷櫻.信息技術與課程整合的教學設計及案例分析[D].華中師范大學，2007.
