時(shí)間：2023-06-01 09:30:39
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是讓學(xué)生通過自己動(dòng)手操作，進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動(dòng)，最后獲得概念、理解或解決問題的一種過程. 在這過程中，教師通過提問引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)問題的方法.
二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)價(jià)值
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、驗(yàn)證猜想和創(chuàng)造性地解決問題的有效途徑. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，開啟學(xué)生“數(shù)學(xué)的眼睛”，激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光探索數(shù)學(xué)的新知識(shí)，是調(diào)動(dòng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)步入數(shù)學(xué)殿堂大門的十分有效的數(shù)學(xué)教學(xué)方法.
（一）“實(shí)驗(yàn)”促成“教學(xué)目標(biāo)”
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中描述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞包括“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”等，描述過程目標(biāo)的行為動(dòng)詞包括“感受（經(jīng)歷）”“體驗(yàn)”“探索”等. 在教學(xué)中，更多的教師關(guān)注的是結(jié)果目標(biāo)，忽略了過程目標(biāo)，尤其那些教學(xué)目標(biāo)屬于感受類的，“隱形”的目標(biāo)，比如七年級(jí)數(shù)學(xué)《可能性》教學(xué). 對(duì)于本節(jié)課，筆者通過一節(jié)實(shí)驗(yàn)課來達(dá)到“隱形目標(biāo)”. 通過實(shí)驗(yàn)不僅讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的探究、形成過程，而且能夠非常形象直觀地達(dá)到感受課的“隱形”教學(xué)目標(biāo).
（二）“實(shí)驗(yàn)”突破“教學(xué)難點(diǎn)”
成功的數(shù)學(xué)課必須是突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn). 課堂教學(xué)中常常會(huì)遇到一些比較抽象的難點(diǎn)，只通過老師簡單、枯燥的講述，學(xué)生很難順利掌握. 這時(shí)可以借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生認(rèn)清知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展的全過程，使教學(xué)重點(diǎn)得以突出，難點(diǎn)得以突破. 比如講解“圓錐側(cè)面積”的計(jì)算公式，學(xué)生不能理解為什么圓錐側(cè)面積是r、l又分別指什么？這時(shí)，如果教師可帶領(lǐng)學(xué)生做一個(gè)推導(dǎo)“圓錐側(cè)面積”計(jì)算公式的實(shí)驗(yàn)，那么就能夠很輕松地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn).
（三）“實(shí)驗(yàn)”促進(jìn)“教學(xué)鞏固”
復(fù)習(xí)課都是首先簡單回顧本章節(jié)知識(shí)，然后配以相應(yīng)的練習(xí)進(jìn)行講解，但大多數(shù)學(xué)生對(duì)于已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)是沒有興趣. 那么復(fù)習(xí)課到底怎么做才能收到好效果呢？筆者通過一節(jié)折紙課來復(fù)習(xí)《等腰三角形》，看似平常的折紙課，卻充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.
另外，還可以通過實(shí)驗(yàn)課展現(xiàn)教學(xué)價(jià)值及通過實(shí)驗(yàn)課解開教學(xué)中的疑惑.
三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要求
為了彌補(bǔ)課堂教學(xué)中的不足，增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的思考，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，讓數(shù)學(xué)“實(shí)驗(yàn)”起來勢(shì)在必行. 在教學(xué)中更好更有效地開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，筆者認(rèn)為教師需要做到以下幾點(diǎn)：
（一）轉(zhuǎn)變觀念，統(tǒng)一認(rèn)識(shí)
教師要準(zhǔn)確把握課程標(biāo)準(zhǔn)，摒棄過去“滿堂灌”的教學(xué)方式，轉(zhuǎn)變教育觀念，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“走進(jìn)”課堂，讓數(shù)學(xué)也“實(shí)驗(yàn)”起來，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中更深入更準(zhǔn)確經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)展、形成過程.
（二）鉆研教材，落實(shí)實(shí)驗(yàn)
為了更好提高課堂的效率，讓課堂更生動(dòng)有趣，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候可以開展合適的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 因此，這就要求教師要認(rèn)真鉆研教材，領(lǐng)會(huì)教材的精神，把握課程標(biāo)準(zhǔn)，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在教學(xué)中得到落實(shí).
（三）優(yōu)化教學(xué)，提高質(zhì)量
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課與傳統(tǒng)課相比，知識(shí)的深度和廣度大，對(duì)教師的能力要求高. 這就要求教師教學(xué)中做到以下幾點(diǎn)：
1. 發(fā)揮學(xué)生主體意識(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生非智力因素
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)重在學(xué)生思想方法的培養(yǎng)，需要學(xué)生去動(dòng)腦、動(dòng)手和獨(dú)立地分析與思考問題. 在課堂教學(xué)中多給學(xué)生提供閱讀、思考、動(dòng)手和創(chuàng)新的機(jī)會(huì)，啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生多觀察、多思考、多探索，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.
2. 根據(jù)知識(shí)的要求，采取靈活多變的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)
教學(xué)中根據(jù)各章節(jié)的不同特點(diǎn)和相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)，選取適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 總的原則是面向全體學(xué)生，打破滿堂一貫制，多給學(xué)生參與的機(jī)會(huì).
3. 根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，注意教法與學(xué)法默契結(jié)合
“教是為了不教”，注重學(xué)生學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)就是注重能力的培養(yǎng). 科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，是學(xué)生現(xiàn)在和將來獲取知識(shí)的最好武器. 只有根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，教法與學(xué)法的默契結(jié)合，才是教學(xué)方法的最佳要求.
（四）開展交流，及時(shí)反饋
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 主動(dòng)性 創(chuàng)造性
在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，常有學(xué)生抱怨數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥、乏味，在部分學(xué)生的腦海里，數(shù)學(xué)就等同于記憶公式、反復(fù)計(jì)算、還有眾多的規(guī)律技巧讓他們應(yīng)接不暇，這顯然與數(shù)學(xué)學(xué)科設(shè)置的初衷背道而馳的。面對(duì)數(shù)學(xué)課堂枯燥乏味的尷尬局面，我們不得不思考，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引入實(shí)驗(yàn)教學(xué)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性和趣味性，數(shù)學(xué)課堂才能被學(xué)生接受和喜愛，從而提高課堂教學(xué)效果。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的是提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)并培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)認(rèn)識(shí)問題和解決實(shí)際問題的能力。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)直接體現(xiàn)教學(xué)的質(zhì)量、功能、效率，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)在素質(zhì)教育中的作用體現(xiàn)在以下方面：
1數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)熱情，發(fā)揮學(xué)生的主體作用。
通常數(shù)學(xué)教學(xué)是教師主動(dòng)教授新知識(shí)，學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)，但學(xué)生往往對(duì)其本質(zhì)屬性理解不夠，一知半解，更別提運(yùn)用了。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就要求教師引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)背景和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提供大量操作，思考與交流的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察，實(shí)驗(yàn)，猜測(cè)，推理，交流與反思等過程，進(jìn)而在增加感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念。例如《平移與旋轉(zhuǎn)》這章就強(qiáng)調(diào)學(xué)生經(jīng)歷探索平移，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和圖案設(shè)計(jì)等實(shí)踐活動(dòng)，通過大量的試一試，做一做，想一想等實(shí)驗(yàn)教學(xué)活動(dòng)，盡可能多地讓學(xué)生主動(dòng)參與，親自動(dòng)手操作，拓寬學(xué)生的思考與探索空間，從而更真切第理解概念。
2數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的體驗(yàn)和感受，有利于知識(shí)的理解
對(duì)于教學(xué)中的一些疑難點(diǎn)，如果只靠老師的演繹和講解，往往學(xué)生的理解不深刻。而借助于一定的實(shí)驗(yàn)手段，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手的同時(shí)去觀察和發(fā)現(xiàn)，不僅能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的直觀性，還能調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，從而達(dá)到預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)。例如，在 “平行線的判定”的教學(xué)時(shí)，由于學(xué)生缺乏直觀感受，很難理解“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”這一推論中條件“在同一平面內(nèi)”的限定，通過讓學(xué)生分組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，
把三條直線的位置關(guān)系找出來后用語言描述 這三條直線的位置關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，這樣處理，遠(yuǎn)比教師空洞的說教效果要好。
3數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，有利于數(shù)學(xué)問題的解決。
應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，是數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿.發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一.例如，《銳角三角函數(shù)的應(yīng)用》上，學(xué)生學(xué)習(xí)了特殊角的銳角三角函數(shù)，而不明確該知識(shí)能夠?qū)ι钣泻巫饔茫ㄟ^設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)《利用自制測(cè)角儀測(cè)量高度》，讓學(xué)生利用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量學(xué)校內(nèi)國旗桿、教學(xué)樓高度，這個(gè)實(shí)驗(yàn)具有很強(qiáng)的可操作性，學(xué)生在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量、計(jì)算后，能夠通過直接度量進(jìn)行檢驗(yàn)，增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可靠性的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生實(shí)事求是、務(wù)實(shí)求真的學(xué)習(xí)態(tài)度。學(xué)生經(jīng)過富有創(chuàng)造性的尋找實(shí)驗(yàn)條件，也大大啟發(fā)和鼓舞了學(xué)生發(fā)揮智慧克服困難的生活態(tài)度。有些實(shí)際操作不可避免地讓學(xué)生遇到困難，通過教師的指導(dǎo)，讓理論的數(shù)學(xué)成為實(shí)踐的教學(xué)，從而形成應(yīng)用意識(shí)，創(chuàng)新意識(shí)，達(dá)到素質(zhì)教育的目的。
4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能有效的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。
學(xué)習(xí)的過程有時(shí)比結(jié)論更為重要，它能喚起探索與創(chuàng)造的歡樂，激發(fā)認(rèn)知興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，它展現(xiàn)思路和方法，教人"會(huì)學(xué)"，幫助我們提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是一種讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)探究過程，發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，新信息，提出新問題，解決新問題的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)。
例如學(xué)習(xí)《平行線的判定的運(yùn)用》這一課，為了讓變化多樣的平行線判定考察更能讓學(xué)生理解和學(xué)習(xí)，教學(xué)中專門設(shè)置了利用多媒體教學(xué)進(jìn)行“圖形中數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系的挖掘”的課程。
例如：如圖，凹四邊形ABCD，若C、B、D固定不變，A是直線DE、BF的交點(diǎn)， 。轉(zhuǎn)動(dòng)DE、BF（也可以只轉(zhuǎn)動(dòng)其中一條射線），問 和 應(yīng)滿足怎樣的條件，DE、BF沒有交點(diǎn)A？
學(xué)生在多媒體教學(xué)中的表現(xiàn)讓老師為之感嘆，很快就有小組提出當(dāng)條件改變時(shí)，會(huì)得到不同的圖形，從而將該題進(jìn)行變式討論、將結(jié)論推廣到一般的情況：
在多媒體教學(xué)的環(huán)境中，學(xué)生在教師實(shí)驗(yàn)方案的引導(dǎo)下或在自行設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)方案中，自主實(shí)驗(yàn)研究的天地更為廣闊，機(jī)會(huì)和時(shí)間更多，興趣更濃，參與程度更高，小組協(xié)商學(xué)習(xí)真正成為可能，因而“研究性學(xué)習(xí)”教學(xué)思想體現(xiàn)得更加充分，“研究性學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)”的教學(xué)達(dá)成度也會(huì)更高。至于證明的書寫格式、步驟等，可以在實(shí)驗(yàn)報(bào)告中列出，也可以實(shí)驗(yàn)課外完成，這完全由教師依班級(jí)實(shí)際而定。
5數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的唯物辯證觀。
數(shù)學(xué)是一門來源于生活實(shí)踐的學(xué)科，其本身就充滿了唯物論和辯證法。而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為學(xué)生認(rèn)識(shí)唯物論和辯證法提供了豐富的感性知識(shí)材料，學(xué)生每經(jīng)過一次實(shí)驗(yàn)操作，其思維過程必然經(jīng)歷“感知——表象——抽象——反饋——再感知——豐富表象——發(fā)展思維——問題解決”這一螺旋上升的階段。再者，學(xué)生“用數(shù)學(xué)”意識(shí)的培養(yǎng)，就是數(shù)學(xué)理論知識(shí)反作用于實(shí)踐的有力體現(xiàn)。因此，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中培養(yǎng)學(xué)生的唯物辯證觀，是完全可行的。此外，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)還可培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察能力、濃厚的學(xué)習(xí)興趣及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度等。
6結(jié)語
時(shí)代在發(fā)展，教育觀念在更新，在提倡素質(zhì)教育多年的今天，我們不得不重新審視傳統(tǒng)的教育教學(xué)模式，探索各種有益的教學(xué)補(bǔ)充形式，使我們的數(shù)學(xué)教育教學(xué)水平和教學(xué)效果更上一個(gè)臺(tái)階。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的提出是一種必然，也是一種需要，更是新課程改革精神的體現(xiàn)形式之一。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該充分挖掘?qū)嶒?yàn)素材，特別是利用《幾何畫板》、“Z+Z智能平臺(tái)”、“圖形計(jì)算器”等這樣優(yōu)秀的軟件平臺(tái)，為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)良好的環(huán)境，這也是實(shí)施素質(zhì)教育的重要途徑。
參教文獻(xiàn)：
[1] 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式探究[J]課程·教材·教法，曹一鳴
一、通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力
數(shù)學(xué)理念的抽象性通常都有某種“直觀”的想法為背景。作為教師，就應(yīng)該通過實(shí)驗(yàn)，把這種“直觀”的背景顯現(xiàn)出來，幫助學(xué)生抓住其本質(zhì)，了解它的變形和發(fā)展及與其他問題的聯(lián)系。
如三角形全等判定條件的探索。
課前要求準(zhǔn)備好刻度尺、量角器、紙板、剪刀等，課堂上教師先告訴學(xué)生今天要研究三角形全等的判定方法，然后請(qǐng)學(xué)生按以下程序操作并思考。
(1)畫一個(gè)三角形，使三個(gè)內(nèi)角分別為40°，60°和80°，畫好后將這個(gè)三角形剪下，與同學(xué)畫的進(jìn)行比較，它們一定全等嗎?(不一定全等)
(2)再畫一個(gè)三角形，使三條邊分別為4，5和7，畫好后將這個(gè)三角形剪下，與同學(xué)畫的進(jìn)行比較，它們一定全等嗎?
(3)猜想結(jié)論 有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，
(4)學(xué)生相互討論、交流，達(dá)成一致的意見。
由于這一判定方法是以公理形式出現(xiàn)的，所以只要學(xué)生認(rèn)可即可，這時(shí)，教師提醒學(xué)生每個(gè)同學(xué)得到的結(jié)論都一樣，這其實(shí)是實(shí)驗(yàn)證明了結(jié)論的正確性。
操作性實(shí)驗(yàn)教學(xué)不是把數(shù)學(xué)知識(shí)直接告訴學(xué)生，而是通過學(xué)生動(dòng)手操作、合作探究獲得的，這是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過程，在這一過程中，通過動(dòng)手操作，把學(xué)生推到思維的前沿，把課堂交給了學(xué)生，給學(xué)生參與實(shí)驗(yàn)、自主探索、合作交流的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在自主的思維活動(dòng)中去構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣既加強(qiáng)了數(shù)學(xué)交流，又培養(yǎng)了合作精神，對(duì)于三角形內(nèi)角和定理、SAS、ASA、AAS公理，圓的軸對(duì)稱性、中心對(duì)稱性、旋轉(zhuǎn)不變性等內(nèi)容的教學(xué)，都可以采用操作性實(shí)驗(yàn)教學(xué)法，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)轉(zhuǎn)變過去提倡的教師“教”和學(xué)生“學(xué)”并重的模式，實(shí)現(xiàn)由“教”向“學(xué)”過渡，創(chuàng)造適宜于學(xué)生主動(dòng)參與、主動(dòng)學(xué)習(xí)的活躍的課堂氣氛，從而形成有利于學(xué)生的主體精神，創(chuàng)新意識(shí)，創(chuàng)新能力健康發(fā)展的寬松的教學(xué)環(huán)境。
二、通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，突破課堂中的教學(xué)難點(diǎn)
對(duì)于教學(xué)中的一些疑難點(diǎn)，如不借助于一定的實(shí)驗(yàn)手段，就不能調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，也很難達(dá)到預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)。
案例：我在講到動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，為學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，讓每一位同學(xué)緩慢移動(dòng)屏幕上的一個(gè)點(diǎn)，計(jì)算機(jī)保留了這個(gè)點(diǎn)移動(dòng)留下的痕跡，并清晰地展現(xiàn)了點(diǎn)動(dòng)成線的過程，使學(xué)生一“做”了然。再如我在上三角形的三邊關(guān)系時(shí)，我在幾何畫板上，將三角形的三邊測(cè)量出來，然后將某頂點(diǎn)設(shè)置為動(dòng)點(diǎn)，讓學(xué)生在圖形的運(yùn)動(dòng)變化中觀察計(jì)算三邊的關(guān)系，進(jìn)而得出結(jié)論。又如新人教版“軸對(duì)稱”的教學(xué)時(shí)，由于學(xué)生缺乏對(duì)稱及反折的有關(guān)知識(shí)，很難理解這點(diǎn)內(nèi)容。這時(shí)，教師可借助多媒體實(shí)驗(yàn)來解決這一問題。操作如下：
平移 對(duì)折 旋轉(zhuǎn)
通過實(shí)驗(yàn)，學(xué)生獲得了深刻的感性認(rèn)識(shí)，然后教師通過對(duì)實(shí)驗(yàn)分析、概括、推理、判斷，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)上升到一種理性的高度：對(duì)稱軸垂直平分線連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)之間的線段。這樣處理，遠(yuǎn)比教師空洞的說教效果要好。這樣既培養(yǎng)學(xué)生的敏銳的觀察力，又活躍了他們的思維能力，再讓學(xué)生進(jìn)行反思和應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生在日常生活中積極的去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問題的能力。
三、通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激勵(lì)學(xué)生在生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)
通過數(shù)學(xué)教學(xué)，幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)是素質(zhì)教育的一項(xiàng)重要任務(wù)，這就要求教師必須創(chuàng)設(shè)一種實(shí)驗(yàn)環(huán)境，使學(xué)生能受到必要的數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)際訓(xùn)練，否則強(qiáng)調(diào)應(yīng)用意識(shí)就成為一句空話。數(shù)學(xué)能力是表現(xiàn)在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，技能，數(shù)學(xué)思想方法上的個(gè)性心理特征。其中數(shù)學(xué)技能在解題中體現(xiàn)為三個(gè)階段：探索階段、實(shí)施階段，總結(jié)階段。其中探索階段包括觀察、實(shí)驗(yàn)、想象。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)解題的教學(xué)，教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法和解題方法的同時(shí)，進(jìn)行有意識(shí)的思維訓(xùn)練，掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)能力，形成創(chuàng)新技能。
例如，在學(xué)了一些相關(guān)知識(shí)后，可讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)一些作圖工具或測(cè)量儀器，如制作丁字尺找圓心，制作勾股計(jì)算尺等，或讓學(xué)生制作一些數(shù)學(xué)模型，如長方體、正三棱柱(錐)等模型；或讓學(xué)生設(shè)計(jì)方案并解決“不過河測(cè)河寬”、“測(cè)操場(chǎng)上旗桿的高度”等問題。如：在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課，老師組織學(xué)生到野外測(cè)量一個(gè)池塘的寬度(即圖中A、B 間的距離)。例案：在A處測(cè)出∠BAE=90，并在射線AE上的適當(dāng)位置取點(diǎn)C，量出AC、BC的長度，應(yīng)用勾股定理，得AB 的平方=AC平方+BC平方。請(qǐng)學(xué)生給出其他的測(cè)量方案(要求畫出測(cè)量示意圖，并簡要說明測(cè)量方法和計(jì)算依據(jù))。
A B
這樣，通過學(xué)生的整體參與，使學(xué)生親自體驗(yàn)到了思維加工的過程，強(qiáng)化了學(xué)生“解決問題”的能力，激勵(lì)學(xué)生多把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于生活。使學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)成材，并積極參加數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和成就的動(dòng)機(jī)。
四、通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的唯物辨證觀
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；動(dòng)手操作；技能；認(rèn)知；學(xué)習(xí)方式
【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2017）09-0028-03
【作者簡介】武建軍，江蘇省連云港市墟溝中心小學(xué)（江蘇連云港，222042）副校長，高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師。
蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材將動(dòng)手操作作為教材編寫的一大特色，選取了適合學(xué)生觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、歸納的活動(dòng)素材，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。同時(shí)，還將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入課堂教學(xué)，以內(nèi)容的“可視化”促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，使學(xué)生在“再實(shí)驗(yàn)”“再創(chuàng)造”的過程中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。因此，對(duì)二者進(jìn)行意義解構(gòu)，有助于認(rèn)識(shí)它們的基本內(nèi)涵，甄別它們的區(qū)別，使之更好地服務(wù)于教材應(yīng)用和課程實(shí)踐。
一、內(nèi)涵解構(gòu)：厘清動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本要義
筆者按照“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域，從“利用學(xué)具動(dòng)手操作”“結(jié)合情景演示操作”“不需要操作”三個(gè)維度，對(duì)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)十二冊(cè)教材進(jìn)行了分類和統(tǒng)計(jì)。統(tǒng)計(jì)表明，十二冊(cè)教材中需要學(xué)生動(dòng)手操作的有87項(xiàng)，占比近55%；需要學(xué)生借助學(xué)具動(dòng)手操作的有65項(xiàng)，占比近41%；四個(gè)領(lǐng)域均有動(dòng)手操作的內(nèi)容。由此可見，動(dòng)手操作在教材中占據(jù)著重要的位置。從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)視角出發(fā)，教編人員配合數(shù)學(xué)教材編寫了《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》，擬定了137個(gè)實(shí)驗(yàn)課題，聚焦豐富的“動(dòng)手做”數(shù)學(xué)素材，精心設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程，為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展提供了參考。筆者認(rèn)為，認(rèn)識(shí)動(dòng)手操作和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)特征，是教師正確使用教材和解決課程實(shí)踐問題的關(guān)鍵。
1.從教學(xué)內(nèi)涵來看。動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，需要學(xué)生在“做中學(xué)”。其中，利用一定的操作工具、實(shí)物材料和技術(shù)手段來實(shí)現(xiàn)素材的數(shù)學(xué)化是其共同特點(diǎn)，借助數(shù)學(xué)直觀使學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、促進(jìn)數(shù)學(xué)理解、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維是其共同目標(biāo)。動(dòng)手操作是以學(xué)生自主參與為主，學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問題，側(cè)重于“用”；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)則是在數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)理論的指導(dǎo)下，學(xué)生通過對(duì)實(shí)驗(yàn)素材進(jìn)行數(shù)學(xué)化的操作來解決問題，側(cè)重于“學(xué)”。
2.從教學(xué)特點(diǎn)與功能來看。動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都是以問題為載體，以學(xué)生為主體，具有直觀性與應(yīng)用性。動(dòng)手操作的內(nèi)容具有普遍性，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容具有確定的指向性；動(dòng)手操作具有實(shí)踐性和開放性，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)還具有操作性、反復(fù)性和探索性。
3.從教學(xué)目標(biāo)指向來看。動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都著眼于學(xué)生“動(dòng)手做”學(xué)習(xí)方式的建立。動(dòng)手操作目標(biāo)指向不是很明確，重在實(shí)踐，注重與生活實(shí)際以及其他學(xué)科知識(shí)間的聯(lián)系；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)指向明確，注重實(shí)驗(yàn)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)論。
4.從教學(xué)問題設(shè)置來看。動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都設(shè)有一定的問題情境。動(dòng)手操作給出問題情境，設(shè)置具有可操作性的問題或給出操作方案，學(xué)生根據(jù)要求實(shí)施即可；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)給出問題情境，設(shè)置遞進(jìn)式或并行式問題，一般要求學(xué)生先估測(cè)或猜想，然后收集數(shù)據(jù)，并進(jìn)行一定的操作來驗(yàn)證。
二、形態(tài)解構(gòu)：辨別動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行方式
從認(rèn)知心理學(xué)理論出發(fā)，動(dòng)手操作和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在組織結(jié)構(gòu)上具有相似的特征。認(rèn)知的發(fā)生具有動(dòng)力學(xué)機(jī)制，學(xué)生在不同的活動(dòng)模式中將形成不同的學(xué)習(xí)心理，建構(gòu)不同的學(xué)習(xí)范式，呈現(xiàn)不同的個(gè)性差異。
動(dòng)手操作模型的教學(xué)實(shí)施一般分為以下幾個(gè)步驟（如圖1）：明確問題―操作思考―建立模型―解決問題―反饋應(yīng)用。其中，操作是外因向內(nèi)因轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，是認(rèn)知結(jié)網(wǎng)的紐帶，學(xué)生將通過操作經(jīng)驗(yàn)的積累和素材的數(shù)學(xué)化理解構(gòu)建個(gè)體操作經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕虒W(xué)實(shí)施一般分為以下幾個(gè)步驟（如圖2）：提出問題―動(dòng)手實(shí)驗(yàn)―驗(yàn)證結(jié)果―拓展運(yùn)用。實(shí)驗(yàn)是整個(gè)模型的核心，涵蓋素材的選擇、結(jié)論的得出以及規(guī)律的揭示。實(shí)驗(yàn)以情境的方式，將知識(shí)與身體、自我、經(jīng)驗(yàn)、行動(dòng)等融合，促進(jìn)知識(shí)轉(zhuǎn)化及其螺旋動(dòng)態(tài)的生成，構(gòu)建學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)。
綜觀以上兩種模型，兩者都是基于兒童“動(dòng)手做”學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的建構(gòu)，都體現(xiàn)了觀察與直覺經(jīng)驗(yàn)、表象與原型經(jīng)驗(yàn)、表征與心向經(jīng)驗(yàn)、遷移與再造經(jīng)驗(yàn)的一致性，因此可將兩者融為一體來運(yùn)行。
三、功能解構(gòu)：激活動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的發(fā)生機(jī)制
動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀視域下的具體呈現(xiàn)形式，立足于“做、思、學(xué)”的功能解構(gòu)，它們又具有不同的發(fā)生機(jī)制。
1.學(xué)習(xí)認(rèn)知視域下動(dòng)手操作的發(fā)生機(jī)制。
[案例1]教學(xué)北師大版二上“4×7”（如圖3）
教學(xué)時(shí)，從乘法的意義切入，可以有兩種教學(xué)方式：一是引導(dǎo)學(xué)生以和與積轉(zhuǎn)化的形式表示出7個(gè)4或4個(gè)7的和，寫作4×7或7×4；二是應(yīng)用7的乘法口訣得出答案。
從學(xué)習(xí)認(rèn)知視域可以這樣設(shè)計(jì)教學(xué)方案：（1）提供操作材料（一塊間隔距離相等的釘子板）。（2）引導(dǎo)學(xué)生用兩種方法在釘子板上擺出4×7（如圖4和圖5）。（3）引導(dǎo)學(xué)生說出圖形表達(dá)的意義。（4）引導(dǎo)學(xué)生寫出相應(yīng)的乘法算式和加法算式。
傳統(tǒng)教學(xué)觀認(rèn)為，知識(shí)是信息源之間的過渡式傳遞，知識(shí)掌握是傳授者的傾注與受教者的輸入，聽和接受是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要形式。而學(xué)習(xí)認(rèn)知視域下動(dòng)手操作的學(xué)習(xí)方式完全不同，它以操作、思考、探究為學(xué)生的主要學(xué)習(xí)方式。從學(xué)生數(shù)數(shù)開始，到擺出圖形，學(xué)生直觀地感受釘子數(shù)的排列，建立“數(shù)”與“形”的直覺，并從“數(shù)”與“形”中抽象出算式，完成從生活事實(shí)到數(shù)學(xué)事實(shí)的過渡。其中，既包含感知覺的獲得，也蘊(yùn)含著抽象、概括等經(jīng)驗(yàn)的組合，學(xué)習(xí)得以發(fā)生。
2.具身J知視域下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的發(fā)生機(jī)制。
[案例2]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“分割長方體”
（1）將三個(gè)表面涂色、體積不同的長方體依次分割成10、12、48個(gè)棱長為1cm的小正方體（如圖6）。（2）猜想：1個(gè)面、2個(gè)面、3個(gè)面涂色的小正方體各有多少個(gè)？（3）用表格記錄每個(gè)長方體分割后1個(gè)面、2個(gè)面、3個(gè)面涂色的小正方體的數(shù)量。（4）驗(yàn)證：用字母表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并在例題中驗(yàn)證。
具身認(rèn)知理論認(rèn)為：認(rèn)識(shí)依賴于來自身體各種不同感受器的多樣的經(jīng)驗(yàn)。以此為基礎(chǔ)，可以從三個(gè)維度解析數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的發(fā)生機(jī)制：（1）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與身體構(gòu)造的關(guān)系。在上述案例中，操作、猜想、驗(yàn)證是動(dòng)作與思維的融合，三次分割長方體，邏輯層次明顯，變式學(xué)習(xí)充分，學(xué)生的操作使身體、神經(jīng)、感官和運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)都參與其中。（2）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與情境的關(guān)系。在上述案例中，學(xué)生分割長方體，猜想分割后不同面涂色小正方體的個(gè)數(shù)情況，然后填表并歸類，逐步剝離操作技能，趨向發(fā)現(xiàn)規(guī)律的智慧技能。學(xué)習(xí)的場(chǎng)景、語境等成為學(xué)生認(rèn)知建構(gòu)的重要組成部分。（3）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與行動(dòng)的關(guān)系。上例教學(xué)流程體現(xiàn)了知識(shí)的生成性，特別是動(dòng)作技能向認(rèn)知思維的過渡，體現(xiàn)了學(xué)科知識(shí)與個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的融合，具有認(rèn)知發(fā)生的動(dòng)力學(xué)機(jī)制。
四、過程解構(gòu)：建立動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)坐標(biāo)
動(dòng)手操作和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有相同的情境與不同的結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)進(jìn)程中包含了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的成分。
1.以應(yīng)用意識(shí)為原點(diǎn)，構(gòu)筑動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)思維的二維空間。
[案例3]蘇教版六下“圓柱和圓錐”單元的“動(dòng)手做”內(nèi)容（如圖7）
數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的心理傾向，是用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想嘗試解決現(xiàn)實(shí)情境產(chǎn)生的問題的意識(shí)。上述案例中，立足于“求土豆體積”的情境，學(xué)生通過觀察、測(cè)量、記錄、計(jì)算等實(shí)際操作解決問題。學(xué)生認(rèn)識(shí)到，土豆的體積與容器中水的高度有關(guān)，把土豆放入容器后，水升高的體積就是土豆體積。情境體現(xiàn)了動(dòng)手操作在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的作用：首先，將生活實(shí)踐作為學(xué)生認(rèn)知的基點(diǎn)，應(yīng)用生活素材的感性體驗(yàn)，使外在現(xiàn)象在學(xué)生內(nèi)源性思維活動(dòng)的參與下形成“物質(zhì)原型”與“數(shù)學(xué)原型”的關(guān)系性鏈接。其次，深入學(xué)科內(nèi)部理解知識(shí)內(nèi)涵，將土豆的體積與水的體積“同積轉(zhuǎn)化”，使“做”與“思”對(duì)接。最后，突出數(shù)學(xué)活動(dòng)的意義，物化操作能形象地反映數(shù)學(xué)原理，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)的共生。
2.以數(shù)學(xué)素養(yǎng)為坐標(biāo)，確定數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與關(guān)鍵能力的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
[案例4]蘇教版四下《三角形邊的認(rèn)識(shí)》
教師提供四根小棒，分別長8cm、4cm、5cm和2cm。讓學(xué)生任意選三根小棒，試著圍一個(gè)三角形。
教師改編教材，設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：（1）提供一根長度為12cm的小棒。（2）請(qǐng)學(xué)生將小棒剪成三段（小棒長度為整數(shù)）。（3）用剪好的小棒圍三角形。（4）探究：哪些長度的小棒圍成了三角形？哪些沒有圍成？將數(shù)據(jù)列出來。（5）在實(shí)驗(yàn)過程中你有什么發(fā)現(xiàn)？（6）總結(jié)能圍成三角形的三根小棒之間的關(guān)系。
教材內(nèi)容是提供四根小棒，讓學(xué)生選出三根圍三角形，數(shù)據(jù)有限，不具有普適性。改編成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)后，體現(xiàn)了活動(dòng)與能力的組合。測(cè)量、分割、圍圖、分類、整理數(shù)據(jù)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗(yàn)證結(jié)論等行為，使學(xué)生形成了在數(shù)學(xué)思維參與下的能力結(jié)構(gòu)模式。以分小棒為認(rèn)知起點(diǎn)，以圍三角形為邏輯主線，通過比一比和試一試，促使學(xué)生的直覺思維與數(shù)學(xué)抽象建立起聯(lián)系，使數(shù)形結(jié)合思想在操作與計(jì)算能力的形成過程中得以充分體現(xiàn)。整個(gè)活動(dòng)是認(rèn)識(shí)和方法的綜合，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，其中的每一個(gè)細(xì)節(jié)又對(duì)應(yīng)操作、比較、分析、抽象、推理、概括等關(guān)鍵能力，是建構(gòu)學(xué)生“動(dòng)手做”數(shù)學(xué)能力的價(jià)值坐標(biāo)。
一、用《幾何畫板》，讓學(xué)生體驗(yàn)“做”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的感受
在教師的引導(dǎo)下，《幾何畫板》可以給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)實(shí)際“操作” 幾何圖形的環(huán)境，學(xué)生可以任意拖動(dòng)圖形、觀察圖形、猜測(cè)和驗(yàn)證結(jié)論，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對(duì)各種圖形的感性認(rèn)識(shí)，形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景，從而更有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和理解，同時(shí)《幾何畫板》還能為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)進(jìn)行幾何“實(shí)驗(yàn)”的環(huán)境，有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性和創(chuàng)造性，充分體現(xiàn)現(xiàn)代教學(xué)的思想。數(shù)學(xué)學(xué)科利用《幾何畫板》輔助教學(xué)，能使學(xué)生更好地開展探索學(xué)習(xí)，從而更有興趣進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。
例如在學(xué)習(xí)《三角形中位線的性質(zhì)》一節(jié)課時(shí)，可以通過《幾何畫板》畫一個(gè)ABC，并畫出它的一條中位線DE，度量三角形第三邊的長度及DE的長度，顯示它們大小的數(shù)。
教師可以設(shè)計(jì)以下問題，讓學(xué)生實(shí)驗(yàn)、探索。
請(qǐng)你拖動(dòng)三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)，通過觀察回答下列問題：
（1）中位線DE與三角形第三邊有什么樣的位置關(guān)系？
（2）中位線DE與三角形第三邊有什么數(shù)量關(guān)系？
（3）猜想三角形的中位線有什么性質(zhì)？請(qǐng)你用一句話來概括。
（4）你能證明這一猜想嗎？
拖動(dòng)三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)，中位線的位置動(dòng)態(tài)地改變著，并且顯示三角形的三條邊和中位線的長度的數(shù)據(jù)也在跟著改變。這個(gè)演示過程充分體現(xiàn)了三角形的任意性，我們要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注變化過程中的不變關(guān)系、不變量。學(xué)生經(jīng)過自己的實(shí)際操作，從動(dòng)態(tài)中去觀察、探索、歸納出三角形的中位線的性質(zhì)。對(duì)自己的任何發(fā)現(xiàn)，都可以得到及時(shí)的驗(yàn)證。這時(shí)學(xué)生不再是承受知識(shí)的容器，也不再是目睹教師口干舌燥的“觀眾”，而是積極參與探索的“主角”，經(jīng)過自己親身的實(shí)踐活動(dòng)，感受、理解知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，形成自己的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮了學(xué)生的能動(dòng)性和創(chuàng)造能力，達(dá)到讓學(xué)生“做”數(shù)學(xué)的目的。
二、“做”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生思維能力得到發(fā)展
數(shù)學(xué)理論的表述往往是抽象的，而圖形則以其生動(dòng)、直觀的形象展現(xiàn)于人們的面前，以幫助理解、記憶抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容。《幾何畫板》能夠使靜態(tài)變?yōu)閯?dòng)態(tài)，抽象變?yōu)樾蜗螅诔橄笏季S能力的培養(yǎng)。
例如，自變量與函數(shù)之間的關(guān)系、函數(shù)的性質(zhì)等一些我們深感難讓學(xué)生理解的問題，可以通過《幾何畫板》繪制動(dòng)態(tài)的函數(shù)圖像，能顯示動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程（即圖像生成的過程），數(shù)形關(guān)系直觀，線條清晰、精確、美觀，可隱可顯，可反復(fù)演示，可為學(xué)生較為輕松得到掌握。特別是研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像性質(zhì)時(shí)，以往主要靠系數(shù)取個(gè)別數(shù)值后畫出相應(yīng)的拋物線，利用個(gè)別案例來說明拋物線開口大小、開口方向等的制約條件。現(xiàn)在可以利用《幾何畫板》提供的條件，對(duì)二次函數(shù)的系數(shù)任意賦予不同的數(shù)值甚至可使系數(shù)連續(xù)變化來觀察圖形所引起的變化。
如圖，對(duì)于二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，教師事先做好二次函數(shù)曲線y=ax2+bx+c的圖像。（1）調(diào)整a 的大小，觀察圖像的變化，并寫一段對(duì)照結(jié)果的評(píng)論；（2）調(diào)整b 的大小，觀察圖像的變化，并寫一段對(duì)照結(jié)果的評(píng)論；（3）調(diào)整c 的大小，觀察圖像的變化，并寫一段對(duì)照結(jié)果的評(píng)論；（4）試用所得到的結(jié)論評(píng)論下列函數(shù)圖像的相關(guān)性質(zhì)：
①y=2x2+3x+1 ②y=-2x2+3x+1
③y=2x2-3x+1 ④y=2x2+3x-1
⑤y=-2x2-3x+1 ⑥y=2x2-3x-1
⑦y=-2x2+3x-1 ⑧y=-2x2-3x-1
我們可依次調(diào)整a、b、c的大小，觀察圖像的開口大小、開口方向、對(duì)稱軸的位置、圖像與y軸交點(diǎn)位置的變化，不斷歸納總結(jié)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)。由《幾何畫板》提供的“操作”環(huán)境，可以使得教師從大量的解釋、說明中解脫出來，引導(dǎo)學(xué)生把注意力集中在過程上及應(yīng)予以突出的重點(diǎn)上，使學(xué)生不僅能從性質(zhì)的語義上去理解、記憶性質(zhì)，而且在出現(xiàn)“二次函數(shù)的性質(zhì)”時(shí)，頭腦中立刻浮現(xiàn)出這些函數(shù)的圖像所表示的性質(zhì)的形象，從而真正把握二次函數(shù)的性質(zhì)。學(xué)生通過“做”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，思維能力得到充分的發(fā)展。
三、“做”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，更新和完善教學(xué)模式與學(xué)習(xí)模式
關(guān)鍵詞： 教學(xué)改革 高等數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)
高等工科院校的主要任務(wù)是培養(yǎng)應(yīng)用型人才，應(yīng)用型人才的顯著特點(diǎn)是，注重知識(shí)的有效管理和應(yīng)用，而不是單純進(jìn)行知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和挖掘，也就是既要注重學(xué)數(shù)學(xué)，又要注重用數(shù)學(xué)；既要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，又要注重培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來分析問題和解決問題的能力。
1.高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀
高等數(shù)學(xué)是工科院校各個(gè)專業(yè)不可缺少的重要基礎(chǔ)課程。在現(xiàn)行的教育體制下，傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教育似乎也被烙上了應(yīng)試教育的印跡，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)似乎都是為了考試，體會(huì)不到數(shù)學(xué)在各個(gè)學(xué)科中的廣泛應(yīng)用。而且，現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教材大多局限于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)體系的邏輯嚴(yán)密性，而未突出數(shù)學(xué)在很多其他專業(yè)領(lǐng)域的運(yùn)用，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展和后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)。
因此，高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革已是當(dāng)務(wù)之急，如何在讓學(xué)生掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底的同時(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，創(chuàng)新能力，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力已是當(dāng)前廣大高校數(shù)學(xué)教師面臨的一個(gè)重要課題。
2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的意義
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一門課程在我國一些高校中開設(shè)已有十多年歷史，一些不同層次的學(xué)校也取得了顯著的成績。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，即指從實(shí)際問題出發(fā)，建立數(shù)學(xué)模型，借助計(jì)算機(jī)，運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件，讓學(xué)生親自設(shè)計(jì)和動(dòng)手，體驗(yàn)解決問題的過程，從實(shí)驗(yàn)中去學(xué)習(xí)、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。著名數(shù)學(xué)家王元指出：“過去學(xué)校中老一套教學(xué)模式不再適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)看來可以作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容列入授課計(jì)劃。”中國科學(xué)院院士、著名數(shù)學(xué)家姜伯駒教授曾指出：“應(yīng)當(dāng)試驗(yàn)組織數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程，在教師指導(dǎo)下，探索某些理論或應(yīng)用的課題，學(xué)生的新鮮想法借助數(shù)學(xué)軟件可以迅速實(shí)現(xiàn)，在失敗和成功中得到真知。”［1］
在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例教學(xué)的基本目的，是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本思想和方法，并在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中鞏固所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)得到多方面的鍛煉和提高。高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例教學(xué)，具有以下幾個(gè)方面的意義。
（1）高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例教學(xué)，有利于學(xué)生自學(xué)能力的形成和提高。我國的高等教育沿襲的是前蘇聯(lián)的教育模式，強(qiáng)調(diào)知識(shí)理論體系的嚴(yán)密性，基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，但是教育的靈活性較差，基本都是先提出結(jié)論，然后加以證明，而學(xué)生基本都是被動(dòng)地接受，學(xué)到的是一種定勢(shì)式的數(shù)學(xué)，缺少主動(dòng)探討的過程。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)從問題出發(fā)，迫使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中主動(dòng)學(xué)習(xí)，去探索并得到一些未知的結(jié)論，通過實(shí)驗(yàn)的過程體會(huì)一些數(shù)學(xué)結(jié)論是怎樣產(chǎn)生和得到的。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的融入改變了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，有利于學(xué)生自學(xué)能力的形成和提高。
（2）高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例教學(xué)，有利于學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程，要求學(xué)生自己動(dòng)手，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)提出的問題進(jìn)行分析，并借助計(jì)算機(jī)，通過一些數(shù)學(xué)軟件來嘗試解決問題，在嘗試的過程中發(fā)現(xiàn)、理解和掌握一些新的結(jié)論，打破傳統(tǒng)的先提出定理、公式，再加以證明的過程，有利于學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。
（3）高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生使用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力。現(xiàn)代化的社會(huì)處處離不開計(jì)算機(jī)，隨著問題復(fù)雜度的增加，計(jì)算量的增大，計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件的使用對(duì)問題的解決有很大的幫助。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，要求學(xué)生利用計(jì)算機(jī)來解決問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生使用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力。
（4）高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例教學(xué)，有利于促進(jìn)課程建設(shè)和教師素質(zhì)的提高。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的開設(shè)，本身就是數(shù)學(xué)課程的一大改革，在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中，適當(dāng)穿插若干數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的案例教學(xué)，對(duì)鞏固所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)興趣等方面都有很大的幫助。同時(shí)，實(shí)驗(yàn)過程中，一些問題涉及數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，包括計(jì)算機(jī)的使用，這些也對(duì)教師提出了更高的要求，因此有利于促進(jìn)課程建設(shè)和教師素質(zhì)的提高。
3.可用于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例
以高等數(shù)學(xué)第一章極限與連續(xù)［2］為例，列舉兩個(gè)適用的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例說明在高數(shù)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例的重要性。
（1）案例一：軟件作圖與震蕩間斷點(diǎn)
利用數(shù)學(xué)軟件得到一些函數(shù)的圖像總能引起學(xué)生的極大興趣，而簡單的在計(jì)算機(jī)上作圖的過程也很容易掌握，介紹一下幾個(gè)作圖的命令之后，可以讓學(xué)生在計(jì)算機(jī)上作出函數(shù)y=sin的圖像，如圖一：結(jié)果會(huì)發(fā)現(xiàn)，不管選取怎么的精度，函數(shù)圖形在原點(diǎn)處總會(huì)出現(xiàn)一個(gè)矩形的模糊區(qū)域。通過對(duì)這一問題的探討，學(xué)生能比較深刻地理解震蕩間斷點(diǎn)的含義。
從介紹如何作圖到對(duì)所得到圖形的結(jié)果進(jìn)行討論，整個(gè)教學(xué)過程大約也只需1到2個(gè)學(xué)時(shí)，比起傳統(tǒng)的教學(xué)方式，時(shí)間可能稍長一點(diǎn)，但所收到的效果及對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣等方面卻是傳統(tǒng)教學(xué)方式無法比擬的。
（2）案例二：零點(diǎn)定理與方桌問題
零點(diǎn)定理是由函數(shù)的連續(xù)性得到的一個(gè)簡單結(jié)論，但就是這樣一個(gè)簡單的定理，卻可以解決一些實(shí)際生活中非常有趣的問題，方桌問題［3］便是一個(gè)很好的例子。
方桌問題即方桌能否在不平的地面上放穩(wěn)？通過一些必要的假設(shè)和分析，最終問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)命題：已知f（θ）、g（θ）是θ的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意θ，f（θ）g（θ）=0，且g（0）=0，f（0）＞0，則存在θ，使g（θ）=f（θ）=0。該命題由零點(diǎn)定理很容易證明。
4.結(jié)語
高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革是一項(xiàng)系統(tǒng)工程。將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，符合高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的思路，有利于更好地培養(yǎng)應(yīng)用型人才，當(dāng)然，對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例的選取和如何在教學(xué)中融入也需要仔細(xì)推敲，做到科學(xué)化、合理化。
參考文獻(xiàn)：
［1］郭李.關(guān)于開設(shè)高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的思考［J］.欽州學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，22（6）：9-12.
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 課程改革
1、引言
進(jìn)入21世紀(jì)以來，隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展和計(jì)算機(jī)的日益普及，人們對(duì)解決實(shí)際問題的要求越來越精確，這使得數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一種能夠普遍實(shí)施的技術(shù)，正如偉大的哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家笛卡爾所說：“一切問題都可以化成數(shù)學(xué)問題”，進(jìn)而，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。
應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實(shí)際問題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步。二十世紀(jì)70年代末至80年代初，英國劍橋大學(xué)為研究生開設(shè)了“數(shù)學(xué)建模（Pronblem Solving）”課程，牛津大學(xué)創(chuàng)設(shè)了與工業(yè)界的合作研究活動(dòng)，歐洲和美國也開始將“數(shù)學(xué)建模”列入研究生和本科生的教學(xué)計(jì)劃中。1985年美國70所大學(xué)聯(lián)合舉辦了第一屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，這一活動(dòng)迅速引起美國以及國際大學(xué)生的廣泛興趣。在此期間，我國數(shù)學(xué)教育界的一些學(xué)者了解到西方數(shù)學(xué)教育的這一重要?jiǎng)酉颍?992年成功舉辦第一屆“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽”，并逐步將“數(shù)學(xué)建模”課程引入我國大學(xué)本科教學(xué)計(jì)劃。我校于2009年將“數(shù)學(xué)建模”課程設(shè)置為理工科必修課，筆者經(jīng)過多年數(shù)學(xué)建模教學(xué)和數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽指導(dǎo)，總結(jié)并探索得出數(shù)學(xué)建模的課程教學(xué)不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式是以教師為中心、以課堂講授為主，而數(shù)學(xué)建模教學(xué)則是突出以學(xué)生為中心、以實(shí)驗(yàn)室為基礎(chǔ)、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標(biāo)。
2、數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)特點(diǎn)
數(shù)學(xué)建模是一門實(shí)踐性很強(qiáng)的課程，與其它數(shù)學(xué)類課程的相比，最主要的區(qū)別是不能再沿用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)“課堂講解—筆記—作業(yè)—考試”的教學(xué)模式。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)形式靈活，在教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)尊重學(xué)生，盡可能把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生。課堂上，教師提出事先設(shè)計(jì)好的問題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)查閱文獻(xiàn)資料和學(xué)習(xí)新知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極展開討論和辯論，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性、積極性、創(chuàng)造性，教師從旁質(zhì)疑指導(dǎo)，采取小組討論，教學(xué)互動(dòng)，學(xué)生上講臺(tái)做演講等手段，提高學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，從而鍛煉學(xué)生解決問題的綜合能力。當(dāng)然，教師講課在教學(xué)過程中還是占有很大部分比重，教師主要擔(dān)當(dāng)引路者的角色，把講的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生，把做的過程放給學(xué)生，充分體現(xiàn)以學(xué)生“自主、探究、合作”為特征的教學(xué)方式。教學(xué)過程的重點(diǎn)是創(chuàng)造一個(gè)誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強(qiáng)他們的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力，提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)，強(qiáng)調(diào)的是獲取新知識(shí)的能力，從而改變了傳統(tǒng)的以教師為中心的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，由以教師為中心的教學(xué)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙越處煘橹鲗?dǎo)—以學(xué)生為主體相結(jié)合”的教學(xué)結(jié)構(gòu)。
“數(shù)學(xué)建模”課程的練習(xí)和考核方式也明顯有別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程。我們認(rèn)為，“數(shù)學(xué)建模”適用多元化的考核方式，不宜簡單采用閉卷考試，有標(biāo)準(zhǔn)解答的考試不符合“數(shù)學(xué)建模”問題的特點(diǎn)。所以，課堂多采用分組討論，案例分析，上機(jī)計(jì)算和模擬，最后以論文形式提交作業(yè)；考試大多數(shù)采用組合考核，即平時(shí)練習(xí)、階段論文、期末考試三部分綜合評(píng)定成績。學(xué)校一般不安排期末考試，而是通過模擬競(jìng)賽的論文來評(píng)定成績。
3、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件引入教學(xué)后出現(xiàn)的新生事物，是數(shù)學(xué)教學(xué)體系、內(nèi)容和方法改革的一項(xiàng)創(chuàng)造性的嘗試。“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”是以計(jì)算機(jī)為工具，配以各種數(shù)學(xué)計(jì)算軟件(如Matlab，Lindo\Lingo，Mathmatical，SAS，Maple，C，Excel等等)作為實(shí)驗(yàn)環(huán)境，用以加工處理各種數(shù)學(xué)資料信息，得到計(jì)算結(jié)論。而數(shù)學(xué)建模是在簡化和假設(shè)的基礎(chǔ)上，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來可掛描述各種量之間的關(guān)系，用表格、圖形、公式等來確定數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。然而，建立模型的目的是為了解釋自然現(xiàn)象，尋找規(guī)律，以便指導(dǎo)人們認(rèn)識(shí)世界和改造世界，建立模型并不是目的。所以，模型建立后，要對(duì)模型進(jìn)行求解、分析和檢驗(yàn)，即用計(jì)算機(jī)技術(shù)和軟件包求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)量結(jié)果，并按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)律，利用計(jì)算機(jī)程序語言來模擬實(shí)際運(yùn)行的狀態(tài)，并依據(jù)大量的模擬結(jié)果對(duì)系統(tǒng)或過程進(jìn)行必要的定量分析，得到一些定量結(jié)果，這通常是解決實(shí)際問題的有效手段。
數(shù)學(xué)建模課的性質(zhì)決定了它需要做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，一方面，做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中加強(qiáng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力；另一方面，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以將數(shù)學(xué)教學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與數(shù)據(jù)處理的能力。所以絕大部分學(xué)校在“數(shù)學(xué)建模”教學(xué)中結(jié)合了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與物理實(shí)驗(yàn)、化學(xué)實(shí)驗(yàn)一樣具有演示作用，更把課堂教學(xué)與實(shí)際操作結(jié)合起來，給學(xué)生實(shí)踐機(jī)會(huì)，它能將某些抽象的思維過程具體化、形象化，它是對(duì)人類思維過程的一種模擬、驗(yàn)證和拓廣。因此，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)合是很有必要的。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的開設(shè)首先要選擇合適的數(shù)學(xué)軟件。如Mathematical、Matlab、Lingo\Lindo等，這些軟件都是功能強(qiáng)、效率高，便于進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算的交互軟件包。它們對(duì)于一般的數(shù)值計(jì)算、矩陣運(yùn)算、方程求解、高等數(shù)學(xué)建模、優(yōu)化設(shè)計(jì)等都能方便地實(shí)施，在這些軟件的操作環(huán)境下所解問題的語言表述形式和其數(shù)學(xué)表達(dá)形式相同，不須按傳統(tǒng)的方法編程。例如在經(jīng)管類高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，線性規(guī)劃問題很多，而規(guī)劃問題的求解需花去大量的時(shí)間計(jì)算，如果借助Lingo\Lindo軟件，則能編制簡單的程序，迅速解決計(jì)算問題。我們可以布置練習(xí)題讓學(xué)生熟悉軟件包，培養(yǎng)學(xué)生利用軟件包求解模型的能力，并培養(yǎng)學(xué)生軟件編程的能力。通過這些軟件的實(shí)驗(yàn)和學(xué)習(xí)，同學(xué)們的實(shí)踐動(dòng)手能力得到了極大提高，一方面鞏固了數(shù)學(xué)理論知識(shí)，另一方面又掌握了使用數(shù)學(xué)工具的本領(lǐng)。另外，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，注意精心安排學(xué)生的實(shí)驗(yàn)，保證學(xué)生上機(jī)的時(shí)間，確實(shí)能讓學(xué)生自己動(dòng)手操作。盡量從實(shí)際問題引入要講述的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，也可以安排建模中常用的方法，如作圖的方法(mathematical)，曲線擬合的技巧(matlab)，優(yōu)化工具箱的使用(matlab)，整數(shù)規(guī)劃的求解(Lingo)等作為實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容。最后要求學(xué)生以2—3人為一個(gè)小組，在教師的指導(dǎo)下，寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告，實(shí)驗(yàn)報(bào)告包括問題提出、實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?shí)驗(yàn)內(nèi)容及要求、實(shí)驗(yàn)過程及結(jié)果、結(jié)果分析、思考與練習(xí)，這相當(dāng)于完成一個(gè)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模論文。
參考文獻(xiàn)：
[1] 周義倉，赫孝良，數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)[M]，西安，西安交通大學(xué)出版社，2007
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；創(chuàng)客教育；課程載體
中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2017）04A-0069-04
基于互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代“大數(shù)據(jù)”、“云計(jì)算”背景，以創(chuàng)新為靈魂的“創(chuàng)客教育”必須扎根學(xué)校課堂。作為數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”的課程載體，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛴行Ыy(tǒng)合課程資源，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科、跨領(lǐng)域的知識(shí)融合、技能整合。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，兒童擺脫“離身思維”，“手腦”結(jié)合、“做思”共生，形成一種“具身認(rèn)知”。[1]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將成為開啟數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”的新動(dòng)力引擎。
一、創(chuàng)客教育：訴求數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“課程價(jià)值”
現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)不是無可懷疑的“真理集合”，而是動(dòng)態(tài)、可誤的，是一個(gè)不斷地猜想、嘗試、計(jì)算、推理、證實(shí)或證偽的動(dòng)態(tài)生長過程。正是在這個(gè)意義上，著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說，“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面：一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”在數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”過程中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有著獨(dú)特的課程價(jià)值。
（一）思想與實(shí)踐對(duì)接
所謂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是指兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所產(chǎn)生的操作性、印象性或符號(hào)性的實(shí)驗(yàn)或準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)（虛擬實(shí)驗(yàn)），它超越了純粹的“紙筆數(shù)學(xué)”，讓兒童的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)實(shí)踐無縫對(duì)接、有效整合。教學(xué)《三角形三邊關(guān)系》，筆者首先向?qū)W生們提供一根小棒（15厘米），讓學(xué)生測(cè)量，然后讓他們自主創(chuàng)造“結(jié)構(gòu)性素材”――將小棒分成三段嘗試圍，在圍的實(shí)驗(yàn)過程中展開自我追問：為什么有的能圍成，而有的卻圍不成？思維的觸角延伸至“三角形三邊的數(shù)據(jù)關(guān)系”。最后筆者讓學(xué)生們將“圍成”和“圍不成”的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用表格分類整理，產(chǎn)生對(duì)“三角形三邊關(guān)系”的理性認(rèn)識(shí)。在此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引領(lǐng)兒童數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思維修正兒童的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。[2]
（二）歸納與演繹圓融
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開辟了兒童“用手思考問題”的道路，兒童正是在“動(dòng)手做”的過程中解壓了數(shù)學(xué)思維。同時(shí)，數(shù)學(xué)思維反過來對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行必要的凝聚――抽象和概括。這是一個(gè)伴隨兒童認(rèn)知沖突、矛盾解決的不斷猜想、探究、嘗試與論證的過程。教學(xué)《兩位數(shù)除以一位數(shù)》，筆者首先出示63÷3，學(xué)生用手中的小棒實(shí)驗(yàn)，有的先分個(gè)位上的3根，有的先分十位上的6捆；然后筆者出示76÷2，學(xué)生依然是兩種分法，但已經(jīng)開始通過自我“內(nèi)部言語”歸納出“先分十位”更合理、更方便些；接著筆者出示42÷3，這時(shí)個(gè)位上的2不夠分，學(xué)生只能從高位開始。在學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)理解了算理后，筆者讓他們進(jìn)行豎式計(jì)算，演繹生成出“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的算法模型[3]。從“工具操作”到“表象歸納”再到“符號(hào)演繹”，兒童的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)升華為數(shù)學(xué)的理性認(rèn)知。
（三）思維與創(chuàng)造共生
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是孕育兒童數(shù)學(xué)創(chuàng)造的孵化器，兒童的一個(gè)個(gè)“小微創(chuàng)”在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中誕生。在“微創(chuàng)”過程中，兒童主動(dòng)觀察、思維、想象、推理，主動(dòng)畫圖、剪拼、測(cè)量，等等。教學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)――《神奇的“莫比烏斯圈”》，筆者首先讓學(xué)生觀察、觸摸，他們迅速感知到：“莫比烏斯圈”只有一個(gè)面、一條邊。然后，筆者讓學(xué)生用剪刀沿“莫比烏斯圈”中線剪開，他們驚奇地發(fā)現(xiàn)：剪后的“莫比烏斯圈”變成一個(gè)大紙環(huán)。接著，筆者讓學(xué)生展開實(shí)驗(yàn)，于是有學(xué)生剪了“莫比烏斯圈”的三分之一，有學(xué)生先剪二分之一，再剪二分之一等。在看、剪的過程中，他們萌發(fā)出創(chuàng)造性想象：老師，如果把磁帶做成莫比烏斯圈，就不用翻面了；老師，如果把“輸送帶”做成莫比烏斯圈，或許能延長使用壽命呢……學(xué)生們激情飛揚(yáng)，創(chuàng)意迭出。最后，筆者用迷人的“莫比烏斯建筑”、“莫比烏斯涼鞋”等激活兒童創(chuàng)想、創(chuàng)行。
二、創(chuàng)客教育：觀照數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“問題現(xiàn)象”
在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，兒童的抽象思維與形象思維并存，感性觀察與理性分析交織。唯有如此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能激活兒童的“群智群力”，激發(fā)兒童的研究與探索。然而，當(dāng)我們運(yùn)用“創(chuàng)客教育”理念觀照當(dāng)下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)存在諸多問題――“數(shù)學(xué)講解”對(duì)“驗(yàn)操作”的代替、“數(shù)學(xué)結(jié)果”對(duì)“實(shí)驗(yàn)過程”的僭越、“實(shí)驗(yàn)操作”對(duì)“數(shù)學(xué)思想”的輕視等。
（一）“數(shù)學(xué)講解”對(duì)“實(shí)驗(yàn)操作”的代替
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是實(shí)施數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”的價(jià)值載體。實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)蜻蜓點(diǎn)水、一帶而過，甚至將豐富生動(dòng)的“做實(shí)驗(yàn)”減縮為“說實(shí)驗(yàn)”“講實(shí)驗(yàn)”“演實(shí)驗(yàn)”。教學(xué)《可能性》，有教師為節(jié)約課堂教學(xué)時(shí)間，將他們自認(rèn)為枯燥、繁瑣的摸球?qū)嶒?yàn)簡化或懸置，代之以數(shù)學(xué)講解，讓學(xué)生們猜測(cè)“摸球結(jié)果”，直接出示數(shù)學(xué)家研究“等可能性”的“拋硬幣”實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。如此，兒童體驗(yàn)不到事件的隨機(jī)性，更談不上掌握統(tǒng)計(jì)方法、感悟概率思想。
（二）“數(shù)學(xué)結(jié)果”對(duì)“實(shí)驗(yàn)過程”的僭越
教學(xué)中，有教師為追求實(shí)驗(yàn)結(jié)果一步到位，甚至為求實(shí)驗(yàn)順暢而對(duì)實(shí)驗(yàn)過程進(jìn)行前置告知、過渡預(yù)設(shè)，導(dǎo)致兒童操作簡單、思維膚淺。教學(xué)《圓的周長》，一位教師首先出示圓周率近似數(shù)――3.14，接著讓學(xué)生實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。于是有學(xué)生用“繞線法”測(cè)量圓周長，有學(xué)生用“滾圓法”測(cè)量圓周長。通過計(jì)算圓周長和直徑的商，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不是3.14，他們?yōu)橛辖處熂娂姶鄹摹⒍抛珜?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，甚至懸置數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，代之以數(shù)學(xué)計(jì)算。充滿童趣的探究實(shí)驗(yàn)被教師誤導(dǎo)為驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，而教師對(duì)兒童實(shí)驗(yàn)過程又缺乏具體、明確的指導(dǎo)，導(dǎo)致兒童偽造實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。
（三）“實(shí)驗(yàn)操作”對(duì)“數(shù)學(xué)思想”的輕視
在創(chuàng)客教育中，“實(shí)驗(yàn)”是“數(shù)學(xué)”的載體，“思想”是“數(shù)學(xué)”的靈魂，要警惕兒童淪落為機(jī)械的“操作工”。必須導(dǎo)引兒童展開深度的數(shù)學(xué)思考，讓兒童感悟、體驗(yàn)、應(yīng)用數(shù)學(xué)。例如“間隔排列”問題是數(shù)學(xué)經(jīng)典問題，有教師教學(xué)時(shí)只是蜻蜓點(diǎn)水地讓學(xué)生“擺學(xué)具―觀察特征”“猜想―驗(yàn)證”。整個(gè)過程沒有“對(duì)應(yīng)學(xué)具”的分組操作，沒有讓學(xué)生慢慢感悟“對(duì)應(yīng)思想”，導(dǎo)致學(xué)生一頭霧水，始終不能深刻理解“為什么‘兩端物體’相同，‘兩端物體’比‘中間物體’多1”，在應(yīng)用時(shí)學(xué)生不知所措，加1、減1還是相等呢？
三、創(chuàng)客教育：探尋數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“眾創(chuàng)路徑”
作為體驗(yàn)式學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是兒童在“做中學(xué)”、“做中玩”、“做中研”、“做中創(chuàng)”。實(shí)驗(yàn)過程中，教師成長為創(chuàng)客導(dǎo)師，營建創(chuàng)想氛圍、打造創(chuàng)想空間、激發(fā)兒童創(chuàng)想意識(shí)，對(duì)兒童的實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新進(jìn)行“眾扶”、“眾籌”，讓兒童想創(chuàng)、敢創(chuàng)、能創(chuàng)。
（一）從“約”到“放”，通過“對(duì)比實(shí)驗(yàn)”引發(fā)兒童“主動(dòng)之意”
在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，要引發(fā)兒童主動(dòng)學(xué)習(xí)的愿望，讓兒童自主建構(gòu)。教學(xué)《圓錐的體積》，許多教師實(shí)驗(yàn)時(shí)直接出示“結(jié)構(gòu)性素材”――“等底等高的圓柱圓錐”，這是教師脅迫下兒童的“被實(shí)驗(yàn)”，為什么非得選擇圓柱且是“等底等高”的圓柱？[4]筆者教學(xué)時(shí)由“約”而“放”，首先出示大小、形狀不同的立體模型（如長方體、正方體、圓柱體、三棱柱等）讓學(xué)生自主選擇。學(xué)生們紛紛選擇圓柱。
師：你們?yōu)槭裁催x擇圓柱？
生1：因?yàn)閳A柱和圓錐的底面都是圓形，便于比較。
師：這里有四種規(guī)格的圓柱圓錐（“等底不等高”1組、“等高不等底”1組、“等底等高”2組、“不等底不等高”2組），你們選擇哪種規(guī)格？
生2：我選擇“等底等高”的圓柱圓錐，這樣更便于比較。
接著筆者讓學(xué)生用四種規(guī)格的圓柱圓錐（裝沙子、水）分組進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。學(xué)生們驚奇地發(fā)現(xiàn)有三組實(shí)驗(yàn)結(jié)果是“圓柱的體積大約是圓錐體積的三倍”，其中兩組是“等底等高”，一組是“不等底不等高”。接著筆者組織學(xué)生討論，討論中，他們認(rèn)識(shí)到，由于沙子之間有空隙，所以用水做實(shí)驗(yàn)更科學(xué)，并且深刻地感悟到，等底等高的圓柱圓錐，圓柱的體積一定是圓錐的3倍，而圓柱的體積是圓錐的3倍，它們可能“等底等高”，也可能“不等底不等高”。他們還用“高瘦瘦和矮胖胖”生動(dòng)地解釋“不等底不等高”的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。這里，兒童充分發(fā)揮自我數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的能動(dòng)性，真正經(jīng)歷了“圓錐體積公式”誕生歷程，成為數(shù)學(xué)意義上的“創(chuàng)客”。
（二）從“迷”到“思”，通過“模型實(shí)驗(yàn)”彰顯兒童“理解之美”
兒童在生活、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)產(chǎn)生許多“迷思概念”（一種錯(cuò)誤概念或思維結(jié)構(gòu)），教學(xué)中教師可以運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)化兒童思維，讓兒童思維澄明、敞亮。
六年級(jí)試卷有這樣一道選擇題：一個(gè)真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母同時(shí)加上k（k>0），所得分?jǐn)?shù)（）（>、
對(duì)于兒童的“迷思”，筆者沒有如一般教師運(yùn)用“假設(shè)法”（即舉幾個(gè)例子讓學(xué)生嘗試運(yùn)算），而是做了一個(gè)可視性的“模型實(shí)驗(yàn)”[5]。
師：老師這兒有一杯糖水，它的糖占糖水 ，如果老師再加入k克糖，糖、糖水、含糖率分別發(fā)生了怎樣的變化？
生1：糖多了，糖水也多了。
生2：變甜了。
師：變甜了就是什么變化了？
生3：含糖率升高了。
師：現(xiàn)在你知道一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)加上同一個(gè)大于0數(shù)，分?jǐn)?shù)變大的道理了嗎？
學(xué)生們恍然大悟，原來一個(gè)抽象的“不等式問題”竟然可以用一個(gè)“糖水濃度”實(shí)驗(yàn)來解釋，既直觀形象又嚴(yán)密深刻！這里，兒童感受到數(shù)學(xué)的美妙與神奇。
（三）從“低”到“高”，通過“模擬實(shí)驗(yàn)”呈現(xiàn)兒童的“解放之趣”
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程應(yīng)該成為兒童感受數(shù)學(xué)力量的過程，充分彰顯兒童的解放旨趣。從本質(zhì)直觀到理性判斷，兒童能夠感受自我的本質(zhì)力量！教學(xué)《長方形和正方形面積》，筆者讓學(xué)生們做“貼瓷磚”的模擬實(shí)驗(yàn)。
教師首先給出一個(gè)小長方形紙（長、寬均為整厘米數(shù)），讓學(xué)生用“1平方厘米”的小正方形塑料片進(jìn)行拼擺，通過數(shù)，兒童直觀感知到長方形紙的面積；然后出示一個(gè)大長方形紙，先讓學(xué)生估計(jì)長方形紙的面積，再讓他們用直尺分別量出長方形紙的長、寬，接著再讓他們用“1平方厘米”的小正方形塑料片拼擺。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，塑料片不夠拼擺了。
師：不夠拼擺怎么辦呢？
生1：可以用筆畫出空出的部分，然后數(shù)一數(shù)。
生2：可以先用小正方形塑料片擺一行，然后畫一條橫線，再沿著這條橫線向上對(duì)折。（簡化思想初現(xiàn)端倪）
生3：可以在頭腦中想象。
師：非得畫滿、折滿么？有沒有更為簡單的方法？（沉默片刻）
生4（興奮地）：只要用小正方形擺在長方形紙的長邊和寬邊上，然后再用“長邊上的個(gè)數(shù)”乘“寬邊上的個(gè)數(shù)”。
生5：長方形紙的長邊長度就是長邊上的小正方形的個(gè)數(shù)，寬邊長度就是寬邊上的小正方形的個(gè)數(shù)，所以我們只要知道長方形紙的長和寬，就能算出長方形紙的面積。
至此，“長方形的面積公式”自然誕生了。教師故意設(shè)置“短斤缺兩”的工具，讓兒童超越實(shí)驗(yàn)的工具理性，經(jīng)由自我的實(shí)踐理性，邁向數(shù)學(xué)的解放理性。
（四）從“外”到“內(nèi)”，通過“切片實(shí)驗(yàn)”實(shí)現(xiàn)兒童的“成長之需”
作為數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”的n程載體，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蜃寖和怙@的實(shí)踐操作與內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維有機(jī)融合，讓活動(dòng)成為外化的思維，讓思維成為內(nèi)化的活動(dòng)。正是在這個(gè)意義上，用手思考也可以理解為用頭腦做、用頭腦看、用頭腦聽……例如對(duì)于這樣的習(xí)題：
小英像圖這樣擺正方形，擺1個(gè)用4根小棒，擺2個(gè)用7根小棒，擺3個(gè)需要（）根小棒，擺10個(gè)呢？擺15個(gè)呢？100根小棒能擺多少個(gè)正方形？
教學(xué)時(shí)，筆者讓學(xué)生做“切片實(shí)驗(yàn)”[6]，即用火柴棒擺前幾個(gè)圖形探究，以小見大找規(guī)律。操作中，筆者適度介入，給操作注入思維，擺1個(gè)正方形需要幾根火柴棒？擺2個(gè)正方形需要增加幾根火柴棒？上下看，增加幾根？左右看，增加幾根……學(xué)生們將操作結(jié)果用表格進(jìn)行整理，形成“實(shí)驗(yàn)切片”。
當(dāng)學(xué)生們操作到第3個(gè)正方形時(shí)，筆者引導(dǎo)他們觀察，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果用算式進(jìn)行記錄，于是產(chǎn)生了多樣化的數(shù)學(xué)表達(dá)：
生1：4；4+3；4+3×2；……
生2：1+3；1+2×3；1+3×3；……
生3：2+2；4+3；6+4；……
生4：1×2+2×1；1×3+2×2；1×4+2×3；1×5+2×4；……
…………
師：還需要接著擺下去嗎？
生：不用了，我們找到了規(guī)律。
在擺小棒過程中，兒童始終關(guān)注著各自視界里的規(guī)律。這些規(guī)律的探尋過程是兒童將自我外在的操作實(shí)驗(yàn)內(nèi)化成自我的思想實(shí)驗(yàn)。他們?cè)陬^腦里操作，在頭腦中“下盲棋”，經(jīng)過自我推理、計(jì)算，建構(gòu)出各自的數(shù)學(xué)規(guī)律，其核心素養(yǎng)得到了提升。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種打通教材文本和兒童知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)心理等的主客交融的綜合性學(xué)習(xí)。在這種整體性學(xué)習(xí)中，兒童主動(dòng)觀察、思考、操作、發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為數(shù)學(xué)理解提供了外源幫助，數(shù)學(xué)理解為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了內(nèi)源支撐。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，兒童從依賴操作實(shí)驗(yàn)的工具性理解走向超越操作的關(guān)系性理解、創(chuàng)新性理解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)自我的思維躍遷，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室也成為兒童的“創(chuàng)想空間站”、“數(shù)學(xué)創(chuàng)客坊”。
參考文獻(xiàn)：
[1]葉浩生.身體與學(xué)習(xí)：具身認(rèn)知及其對(duì)傳統(tǒng)教育觀的挑戰(zhàn)[J].教育研究，2015（4）.
[2]武建軍.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：小學(xué)生實(shí)踐操作與數(shù)學(xué)思維的視界融合[J].江蘇教育（小學(xué)教學(xué)），2015（1）.
[3]劉正松.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：推開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的另一扇窗[J].教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2015（8）.
[4]陳蕾.以“圓錐的體積”為例談小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)[J].江蘇教育（小學(xué)教學(xué)），2009（6）.
[5]儲(chǔ)冬生.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：小學(xué)生實(shí)踐操作與數(shù)學(xué)思維的視界融合[J].教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2011（12）.
[6]孫朝仁.朱桂鳳.初中數(shù)學(xué)“實(shí)驗(yàn)切片”銜接教學(xué)的實(shí)踐與思考[J].江蘇教育研究（實(shí)踐版）.2015（6）.
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；小學(xué)生；教學(xué)
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是近年來倡導(dǎo)的新型教學(xué)模式，它能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作，深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的原理，抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的規(guī)律。
一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用
數(shù)學(xué)這一學(xué)科是一門邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，不能單純地依靠死記硬背或盲目模仿達(dá)到融會(huì)貫通的學(xué)習(xí)效果。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)可以為小學(xué)生提供動(dòng)手操作、自主探索和合作交流的平臺(tái)，幫助小學(xué)生將抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)變成形象具體的思維，完善地構(gòu)成小學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，激發(fā)小學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)敏銳的觀察能力，大膽地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來操作數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，解決實(shí)際問題，是開拓小學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和行之有效的實(shí)驗(yàn)方法。
二、開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的途徑分析
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課不是直接將現(xiàn)成的道具或結(jié)論讓學(xué)生去理解，而是要根據(jù)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展思路，充分運(yùn)用教學(xué)教具或多媒體教學(xué)軟件，結(jié)合學(xué)生親自動(dòng)手進(jìn)行操作的過程，有效引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探究，從而理解并達(dá)到掌握數(shù)學(xué)要領(lǐng)、認(rèn)識(shí)事物的真實(shí)本質(zhì)、提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。
1.通過實(shí)驗(yàn)教學(xué)，提高小學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
小學(xué)生天性活潑且富有好奇心，培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣對(duì)于學(xué)好數(shù)學(xué)這門學(xué)科有著重要的意義。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，運(yùn)用實(shí)驗(yàn)教學(xué)法吸引小學(xué)生的注意力，鼓勵(lì)他們自己動(dòng)手操作數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)而得出許多有意思的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，促使學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)成果的享受及思考。
2.動(dòng)手操作驗(yàn)證觀察到的數(shù)學(xué)新知，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力
現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教材當(dāng)中并不是所有的內(nèi)容都適合做實(shí)驗(yàn)教學(xué)。老師們?cè)谶x擇實(shí)驗(yàn)教學(xué)的內(nèi)容時(shí)，要注意選擇能在實(shí)驗(yàn)操作上被學(xué)生們所接受，同時(shí)要選擇那些能夠把特點(diǎn)所反映出來的內(nèi)容。如，平面圖形和立體圖形知識(shí)的認(rèn)識(shí)，體積、面積、周長的計(jì)算公式推導(dǎo)，“倍”的概念，平均數(shù)，有關(guān)數(shù)的認(rèn)識(shí)等方面問題的以及數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)等。這些內(nèi)容里蘊(yùn)含著知識(shí)的形成過程，因此需要借助一定的手段，通過更直觀形象的展現(xiàn)才能更好地幫助學(xué)生理解，所以這些內(nèi)容比較適合實(shí)驗(yàn)教學(xué)。
二、實(shí)驗(yàn)有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，親自實(shí)踐的一項(xiàng)活動(dòng)，比單純枯燥的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式更為生動(dòng)形象，進(jìn)而能調(diào)動(dòng)起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性。可以用實(shí)驗(yàn)導(dǎo)入新的課題，巧妙設(shè)置懸念，激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以結(jié)合教材里的內(nèi)容演示有新奇趣味的實(shí)驗(yàn)，引起學(xué)生們的好奇心，進(jìn)而激發(fā)他們探索求知的欲望。在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中不失時(shí)機(jī)地插入實(shí)驗(yàn)使抽象枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)變得生動(dòng)有趣，富有新奇感，從而提高學(xué)生們的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，加強(qiáng)學(xué)習(xí)的效果。例如，在《長方體認(rèn)識(shí)》一節(jié)，可以先讓學(xué)生在課下找出自己喜歡的長方體，比較觀察其六個(gè)面有什么樣的關(guān)系，學(xué)生通過看看、比比、畫畫，自己得出長方體相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)面是完全一致的。跟著讓學(xué)生觀察長方體的框架，學(xué)生通過測(cè)量、對(duì)比長方體的棱，再得出長方體有l(wèi)2條棱，而這12條棱根據(jù)方向和長短又可以分成3組，相對(duì)的棱相互平行且長度相同。在這一實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，學(xué)生通過親自動(dòng)手比較和動(dòng)腦思維，很輕松地就得出了長方體的面和棱的特征，利用了學(xué)生好動(dòng)、好奇的特點(diǎn)，讓學(xué)生們?cè)诔錆M樂趣的活動(dòng)中順利地完成了教學(xué)的任務(wù)。
三、加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的良好習(xí)慣
學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣是培養(yǎng)學(xué)生們綜合素質(zhì)，并全面提升教學(xué)質(zhì)量的前提。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的新穎性、直觀性、趣味性，切實(shí)符合小學(xué)生的心理特性，也符合學(xué)生們的認(rèn)知規(guī)律，很容易使學(xué)生在輕松愉快的情緒下實(shí)現(xiàn)從喜歡學(xué)數(shù)學(xué)到努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，再到努力鉆研數(shù)學(xué)的良性過渡。在各個(gè)層次的學(xué)習(xí)中，獲得成功的喜悅，并進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生們強(qiáng)烈的求知欲，養(yǎng)成不斷進(jìn)取和主動(dòng)學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣。
在實(shí)驗(yàn)過程中教師的巧妙點(diǎn)撥，正確示范，質(zhì)疑解難和嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，對(duì)學(xué)生的良好習(xí)慣的形成起到了潛移默化的作用。首先要使學(xué)生明確知道教具、學(xué)具并不是玩具，明白其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。其次對(duì)教具、學(xué)具的準(zhǔn)備要認(rèn)真，運(yùn)用時(shí)要?jiǎng)幽X，收拾的要及時(shí)，管理的要妥善。培養(yǎng)學(xué)生們自覺守紀(jì)，認(rèn)真主動(dòng)，勤于動(dòng)手的良好習(xí)慣，真正能實(shí)現(xiàn)“高效、低負(fù)、省時(shí)、省力”的教學(xué)目標(biāo)。
四、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于學(xué)生解惑釋疑
在教學(xué)當(dāng)中，學(xué)生會(huì)提出很多的疑問，有時(shí)候單靠教師的講解是很難講清楚的。但如果做一個(gè)小的實(shí)驗(yàn)問題就會(huì)迎刃而解。在學(xué)習(xí)《角的認(rèn)識(shí)》后，為了能讓學(xué)生知道角的大小是由角的兩邊張開的角度所決定的，教師可以給學(xué)生留個(gè)課下小實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生們用放大鏡觀察角的度數(shù)，看角的度數(shù)能放大到多少倍？做過實(shí)驗(yàn)的學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)都明白了：放大鏡只能放大物體，但是卻無法改變物體的形狀，在放大鏡下面角的兩條邊只是延長了，但角的兩條邊的位置并沒有改變，也就是說明角的兩邊所張開的角度并沒有變，角還是原來那么大，放大鏡僅僅是把圖形成比例地放大了，并沒有改變?cè)械男螤睢５沁€是有小部分沒有做過實(shí)驗(yàn)的學(xué)生則堅(jiān)信放大了角的度數(shù)，也有的學(xué)生是將信將疑。這時(shí)老師可以用實(shí)物投影儀，畫一個(gè)30度的角，并用投影儀將它放大10倍。然后讓還有疑問的同學(xué)用量角器在屏幕上面量一量，發(fā)現(xiàn)角還是30度，于是同學(xué)們自然會(huì)疑云全消。簡單的一個(gè)實(shí)驗(yàn)就能使學(xué)生們明白放大鏡可以放大許多東西，但是并不能放大角的度數(shù)。
五、實(shí)驗(yàn)教學(xué)提高學(xué)生的實(shí)踐能力
我國著名的心理學(xué)專家林崇德教授指出：“兒童掌握數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算過程，是從直觀感知過渡到表象，再過渡到抽象的發(fā)展過程。實(shí)現(xiàn)這一過渡，表象是關(guān)鍵”。增加實(shí)驗(yàn)教學(xué)，是建立表象的一種基本手段。實(shí)踐里出真知，特別是學(xué)生們通過摸得著、看得見的實(shí)驗(yàn)過程中，所形成清晰的表象，并伴隨著說的訓(xùn)練，為學(xué)生們的思維發(fā)展鋪平了道路。在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中，教師要結(jié)合教材編排的意圖和知識(shí)點(diǎn)，盡量創(chuàng)造條件，讓學(xué)生充分動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，手腦并用，培養(yǎng)學(xué)生的技能、技巧。例如通過實(shí)驗(yàn)找出三角形的內(nèi)角之和。讓學(xué)生們拿出課前所準(zhǔn)備的三角形進(jìn)行操作，在教師的指導(dǎo)下，先拿直角三角形進(jìn)行折拼，并測(cè)量出直角三角形的三個(gè)內(nèi)角的和是多少度。然后讓學(xué)生自己分別拿鈍角三角形、銳角三角形依次折拼，并且說出相對(duì)應(yīng)的三角形的內(nèi)角和是多少度。最后比較、分析、歸納，得出結(jié)論：“任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180。”。
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);學(xué)習(xí);探索
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是當(dāng)今世界各國競(jìng)相研究的一個(gè)新興課題。我國在教育部面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革項(xiàng)目的推動(dòng)下,也正進(jìn)行著大量卓有成效的研究,然而這些研究側(cè)重于高等數(shù)學(xué)方面,對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)課程鮮有提及。這不利于中學(xué)數(shù)學(xué)新課程改革的繼續(xù)深化和有效實(shí)施,要改變這種局面,需要中學(xué)數(shù)學(xué)教師積極投入其中,擁抱新理念,不斷地去研究、探索、創(chuàng)新。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指為研究和獲得某種數(shù)學(xué)理論,驗(yàn)證某種數(shù)學(xué)猜想,解決某種數(shù)學(xué)問題,在指定的實(shí)驗(yàn)條件下所進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)探索活動(dòng)。其目的是讓學(xué)生參與動(dòng)手,體驗(yàn)解決問題的過程,從實(shí)驗(yàn)中去學(xué)習(xí)、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律,通過探索、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動(dòng)并最后解決問題,從而激發(fā)學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)的興趣。
在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中,我們應(yīng)怎樣去把握好一些關(guān)鍵性問題就顯得十分重要了。下面,我談?wù)勛约涸跀?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中的一些心得體會(huì)。
一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的師生角色
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)最重要的目的是讓學(xué)生自己動(dòng)手,教師通過提問、引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生研究數(shù)學(xué)問題的方法,在實(shí)驗(yàn)過程中,教師仍然處于主導(dǎo)地位,學(xué)生仍然處于主體地位。這與新課改的理念是相吻合的。
二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的問題設(shè)計(jì)應(yīng)具有以下幾點(diǎn)特征
1.具有層次性和靈活性。不論是從心理學(xué)角度看,還是從實(shí)際出發(fā),人的發(fā)展是有差異性的。所以,我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中,應(yīng)充分考慮到學(xué)生發(fā)展的差異性以及所設(shè)計(jì)的問題應(yīng)具有一定的靈活性。
2.具有開放性和探索性。設(shè)計(jì)開放性、探索性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)問題,是為了改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。例如:泉州東湖公園有一塊長12米,寬8米的矩形花圃,噴水嘴安裝在矩形對(duì)角線的交點(diǎn)上,現(xiàn)計(jì)劃從交點(diǎn)引三條射線把花圃分成面積相等的三部分,分別種三種不同的花(不考慮各部分間的空隙),請(qǐng)你通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模擬設(shè)計(jì),并計(jì)算,再設(shè)計(jì)方案,根據(jù)你的設(shè)計(jì)方案回答出三條射線與矩形有關(guān)邊的交點(diǎn)位置,并和同小組的其他同學(xué)討論。這樣設(shè)計(jì)具有開放性、探究性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)問題,能使學(xué)生主動(dòng)參與探索,體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題、探索問題的樂趣。
3.具有多樣性和可操作性。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的過程就是學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的過程。實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中的問題設(shè)計(jì)應(yīng)具有多樣性,學(xué)生通過社會(huì)調(diào)查、實(shí)驗(yàn)、查閱資料、開辯論會(huì)、多媒體演示等多種方式來完成實(shí)驗(yàn)。例如,在學(xué)習(xí)“儲(chǔ)蓄”內(nèi)容時(shí),可以安排學(xué)生進(jìn)行社會(huì)調(diào)查,走訪附近的銀行,了解利息的計(jì)算方法,理解什么是個(gè)人所得稅,該怎么進(jìn)行計(jì)算。在學(xué)習(xí)“數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)”時(shí),可以安排學(xué)生進(jìn)行收集資料,比如收集家庭的日常開支情況,然后繪制成統(tǒng)計(jì)圖表,為家庭開支出點(diǎn)子,增強(qiáng)學(xué)生的理財(cái)觀念。
因此,我們要充分重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的問題設(shè)計(jì),讓每個(gè)學(xué)生都能積極主動(dòng)地參與到小組討論、集體交流等活動(dòng),學(xué)生在交流的過程中,往往會(huì)出現(xiàn)多種不同的思路,不同方法的碰撞,從而迸出絢麗多彩的思維火花,產(chǎn)生共鳴。
三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)注意合理的選題
是藥三分毒。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課不是萬能的,它同樣也有自己的局限性,并不是每節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)都可以用實(shí)驗(yàn)的形式進(jìn)行組織的,有些內(nèi)容在教學(xué)時(shí),不適合被設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課。例如,方程和方程組,不等式和不等式組,分式,函數(shù)等等。雖然也可以設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)課,但效果比起用其他的新課改方式進(jìn)行教學(xué)要差得很多。這就要求我們?cè)陂_展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課時(shí)應(yīng)充分備課標(biāo)、備教材、備學(xué)生,然后有的放矢地選擇合理的課題,從而設(shè)計(jì)出一節(jié)成功的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課。
總之,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的最大特點(diǎn)是努力啟發(fā)學(xué)生的思維,推動(dòng)學(xué)生去動(dòng)手實(shí)驗(yàn),自主探究、實(shí)踐和體會(huì)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維,充分地發(fā)揮傳統(tǒng)教學(xué)所無法替代的推動(dòng)作用。我們教師應(yīng)該時(shí)時(shí)關(guān)注中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的發(fā)展,學(xué)習(xí)新課改的先進(jìn)理念,大力推進(jìn)素質(zhì)教育的全面發(fā)展,使新課改結(jié)出喜人的碩果。
參考文獻(xiàn):
[1]李尚志.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].高等教育出版,1999.
［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 發(fā)現(xiàn) 教學(xué) 發(fā)展
有人認(rèn)為實(shí)驗(yàn)僅是自然科學(xué)的教學(xué)手段，這是一種誤解，實(shí)驗(yàn)同樣在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣闊的應(yīng)用天地。因?yàn)椋瑥膹V義上說，數(shù)學(xué)教育也是一種科技活動(dòng)，是科技工作的一部分。正確地恰到好處地應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，也是當(dāng)前素質(zhì)教育中的一個(gè)重要層面。雖然，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一直不被人們所重視，但隨著現(xiàn)代教育技術(shù)的普及，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)必將遍地開花。下面本人就“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中談幾點(diǎn)自己的拙見。
一、讓學(xué)生在活動(dòng)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)
現(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為，每個(gè)學(xué)生都是有潛能的，教師的作用僅僅是激發(fā)這種潛能，具體的說，在小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，教師應(yīng)力求創(chuàng)設(shè)巧妙的情境，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的發(fā)展?jié)摿Γ攀肿寣W(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)。讓他們經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、問題的思考、規(guī)律的尋找、結(jié)論的概括、疑難的質(zhì)問乃至知識(shí)結(jié)構(gòu)建構(gòu)的過程。較好的改變?cè)趥鹘y(tǒng)教學(xué)下學(xué)生被動(dòng)接受的局面，拓展學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的深度，最終使 40 分鐘的課堂充滿生命活力。
二、讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，突破課堂中的教學(xué)難點(diǎn)
對(duì)于教學(xué)中的一些疑難點(diǎn)，如不借助于一定的實(shí)驗(yàn)手段，就不能調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，也很難達(dá)到預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)。通過實(shí)驗(yàn)，學(xué)生獲得了深刻的感性認(rèn)識(shí)，然后教師通過對(duì)實(shí)驗(yàn)分析、概括、推理、判斷，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)上升到一種理性的高度。這樣處理，遠(yuǎn)比教師空洞的說教效果要好。
三、讓學(xué)生在活動(dòng)實(shí)驗(yàn)中發(fā)展能力，樹立應(yīng)用意識(shí)
我們?cè)趯?shí)踐中認(rèn)識(shí)到：生命是活動(dòng)的，只有通過活動(dòng)才能發(fā)展，“學(xué)生生命的沖動(dòng)是通過學(xué)生的活動(dòng)表現(xiàn)出來的，因此為了使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛力得到充分的表現(xiàn)和發(fā)展，就有必要?jiǎng)?chuàng)造良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境。在實(shí)踐中我們感到數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是學(xué)生感受生活豐富多彩，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在魅力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的有效途徑。
學(xué)生有了學(xué)習(xí)內(nèi)容上選擇的空間，也有了學(xué)習(xí)形式上選擇的自由：可以分組學(xué)習(xí)、可以選擇學(xué)習(xí)伙伴、也可以選擇教師幫助，同時(shí)也擁有比較自由的學(xué)習(xí)行為：可運(yùn)用多種感官學(xué)習(xí)，可以用圖形拼湊，可以用模仿遷移。正是這一點(diǎn)點(diǎn)的改變，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)得比以前投入，學(xué)得樂此不疲。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一個(gè)過程，在這個(gè)過程中，學(xué)生進(jìn)行探究和發(fā)現(xiàn)的活動(dòng)，一切結(jié)論都應(yīng)該由學(xué)生自己得出。因此，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中給學(xué)生提供答案是不必的甚至是有害的。
