時間：2023-06-12 14:45:25
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數學學習路徑，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞：數學;提高;興趣
古今中外，對學習興趣的重視幾乎是一致的，對興趣促進學習的正向作用也是不謀而合的，可以肯定，興趣的培養是學生學習并學好一門學科的重要前提。特別是在高速發展的信息化社會，推進素質教育的今天，根據現代教學理念和素質教育觀，成功的教學不應是強制性的，托爾斯泰說“成功的教學所需要的不是強制，而是激發學生的興趣。”激發學生的學習興趣，培養學習熱情和主動性，使其表現出對學習的一種特殊情感，學起來樂此不疲，才能專心聽講，積極思考，就會變被動接受為主動學習。
前蘇聯教育家斯卡金也有相似觀點，他認為，教育效果取決于學生的學習興趣。對于小學生而言，興趣就是最好的老師。對數學學科的迷戀往往也是從興趣開始的。著名教育家孔子曾說“知之者不如好之者，好之者不如樂知者。”，很難想象，若是沒有興趣為起點和支撐，讓小學生學好一門學科是難上加難的。
小學數學具有直觀性，其呈現的數字、符號和抽象的概念、公式具有抽象性和很強的邏輯性，一環緊扣一環，缺一不可。數學教學尤其需要激發和培養學生的學習興趣，培養學生運用所學的知識，解決日常生活中實際問題的能力，從而產生愉快的情緒體驗進而在學習中產生興趣，在興趣中去理解、掌握、應用、鞏固，取得最佳效果。
培養小學生數學學習興趣的過程是幫助他們認識數學之美、發現數學之美的過程。需要融課堂內外，雙管齊下，方有成效。
首先，小學生數學課堂教學中需要高度注重情境創設，以激發學生學習興趣。所謂創設情境就是老師在課堂上有針對性和目的性的在教學內容和學生求知心理之間制造一種懸念和不協調，進而把學生引入一種與問題有關的情境的過程。因而在學生心理上造成一種念想，從而使其注意力、記憶、思維凝聚在一起，以達到智力活動的最佳狀態，富有情趣地把學生引入學習的情境，引發學生探求知識奧秘和愿望。創設良好的課堂教學氛圍，不僅有利于調動學生學習的興趣，培養學生的思維能力，而且能保證教學目標的順利完成。
在數學教學情景創設中，還要特別注意創設開放的人文情境，實施民主教學，允許和鼓勵學生提出不同意見，給予學生充分的關注和期望，這樣可以調動學生的學習熱情，使他們主動參與學習。其次要善于把握數學知識與生活的聯系點，善于從學生熟悉的、感興趣的現實生活中尋找數學知識的原型，并指導學生運用所學知識去解決實際問題。比如在教學時，學生自己便會積極思考起來，急于想找到答案的好奇心，產生躍躍欲試的主體探索意識，誘發出了強烈的學習興趣，教師在這時展開新課教學，就能使教學效果較佳。
其次，體現情境性，還需要注重數學來源于生活，又服務于生活的效用，回歸生活化的數學課教學，應該是生機盎然、妙趣橫生的。教師應用數學教學本身的藝術魅力去感染學生。教師應創造性地使用教材，更多地聯系兒童的生活實際，讓數學與學生生活緊密結合。強調從小學生已有的生活體驗出發，將教學活動置于真實的生活背景之中，使學生真切感受到“生活中處處有數學”，這樣“身臨其境”地學數學，為他們提供觀察、操作、實踐探索的機會。讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生對數學理解的同時，在思維能力、情感態度、價值觀等方面得到進步和發展。調動了學生學習數學的積極性，增強了學生對數學的親切感，體會到數學就在自己自邊，感受了數學的趣味和應用價值。例如對于應用題的教學，就可讓學生將生活中的有關信息及時收集、整理，在實際的生活中解決問題，從而達到事半功倍的效果。
再次，強化學生動手實踐能力是提高小學生數學學習興趣要求和方法。著名教育學家皮亞杰有過這樣的闡釋，兒童的思維是從動作開始時，切斷動作與思維的聯系，思維就不能得到發展。由此可見，要解決數學知識的抽象性和小學生思維的形象性之間的矛盾，就有必要多方位積極組織學生進行動手實踐操作，以“動”來啟發學生的思維，讓他們產生更多的新問題、新想法，進而活躍課堂氣氛，帶動學習興趣。其實，老師還應該積極引導學生認識到數學是有血有肉有重要實際意義的科學，數學是美的，數學是需要生活實踐的，這就要求教師在組織學生踐行數學的同時，善于用形象生動的語言讓數學變得有生活氣息，學生自然會對數學產生濃厚興趣。
最后，創設師生情感紐帶是維系學生學習興趣的心理基礎。對于小學生認知來說，他們往往因為喜歡一個老師而熱衷于某一門課程。老師應該創設師生情感紐帶用關愛和呵護去感染每一位學生。比如老師可以常用課堂作業的評語與學生交流感情，對課堂上或作業中有獨特見解的學生及時并恰到好處的給予肯定、鼓勵和贊揚，小學生在看到這些溢美之詞時，也會深切感知到老師對他的信任和期待，從而深受鼓舞和感染，逐步對數學老師產生好感，上數學老師的課也倍加用心，表現積極。親其師，信其道。一位學生喜歡、愛戴的老師才能使他們產生學習動機和興趣，教師要用一顆赤誠的心，喚醒無數顆喜愛數學的興趣。
值得一提的是，課堂感性直觀呈現方式和課堂小結，這是延續興趣的重要舉措。如老師的語言魅力是對學生形成感性直覺刺激的最主要課堂形式，幽默風趣、輕松活潑、富有意境的語言是吸引學生課堂注意力和引領思維走向并保持興趣的良好方法。課堂中實物圖片、音像資料的運用，小組討論、頭腦風暴等互動形式也是必可不少的。一堂高效有序的數學課不僅要做到課伊始趣已生，課進行趣已濃，而且還要實現課結束趣延續的效果，如此方能使學生融課堂內外，真正產生對數學學習的興趣。
總之，激發小學生對數學的興趣可以通過課堂內外的有效措施得以進行，而維系和培養對數學學科的長期興趣和學習動力，則需要學生在學習中感受數學之美，延續數學之美。學生是主體，教師是主導，只要雙方以積極有效的方式互相配合，教必有法，學必有趣。
參考文獻：
[1]陳旺根.淺析小學數學教學興趣培養的重要性，《教育教學論壇》，2014.
關鍵詞 初中數學 頓悟 數學思維
中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2016.10.052
Abstract Education in our country in continuous reform and progress， in the process of deepening the reform of compulsory education， pay attention to student's quality education and training， mathematical as an important subject of curriculum reform of quality education to pay attention to student learning in Mathematics in mathematical thinking ability in the process of training， teachers should not only teach mathematics knowledge and mathematics concepts， laws， should guide students in mathematics learning and thinking in Mathematics， can make full use of Epiphany， guide the students in mathematical thinking in the process of analysis and reflection， so as to inspire the students' mathematical intelligence， improve students' inquiry ability and innovation spirit.
Keywords junior high school mathematics； epiphany； mathematics thinking
初中數學的學習是一個復雜的過程，它體現了學生在數學學習過程中的直覺感知和邏輯思維。這兩個思維過程是數學學習的前提和基礎，同時也是數學學習頓悟的基礎，它可以在數學學習過程中起到一個引導的作用，對學生的抽象邏輯思維能力和想象力都有較高的要求，在應用頓悟的過程中，可以使學生的數學認知架構不斷由低到高，實現質的飛躍。
1 初中數學教學中頓悟的功用
數學教學中的頓悟是指在數學解題和知識教學的過程中，突然獲得了解決數學問題的方法和思路，而這個方法和思路并不是憑空產生的，不是想象而來的，而是在特定的數學教學環境下因偶然的因素而造成的，也可以認為是創造性思維的數學教學內容，對學生的數學思維活躍性和開放性有重要的推動作用。頓悟在初中數學教學中的功用主要表現為以下幾個方面：
（1）頓悟可以提升中學生對數學語言材料的理解和感悟。在初中數學的解題和知識學習過程中，漢語材料可以幫助學生進行理解和感悟。在一些數學解題過程中，有時不須嚴密的數學邏輯思維和推斷，可以根據數學習題中的語言，分析數學問題，從而提升初中生對數學習題的讀題速度，增強對數學語言材料的感悟能力。
（2）頓悟可以提升學生數學學習的主動性和開放性。在數學學習活動中，學生的參與程度，在較大程度上影響了數學知識的學習效能，傳統的數學教學注重數學概念和規律的傳授，而對學生數學思維的培育較少，而頓悟可以讓學生的主動性合理地調動，并且可以在一定程度上活躍數學課堂氛圍，增強學生主動思維的能力，提升數學學習效果。
（3）頓悟有助于學生創新思維能力的培育。初中數學教學不僅要傳授數學知識，還要培養學生的數學創新思維能力，運用頓悟式教學方法，可以讓學生進行手腦并用的思考和分析問題，在不經意間產生頓悟，培育出學生的創新思維能力。
2 初中數學教學中頓悟的開放性研究及探索
2.1 注重學生在數學情境中進行多層次的數學解答
在初中數學的知識學習過程中，學生要具有良好的數學知識結構，要具備足夠靈活的雙向產生式知識和層次分明的解題意識，在條件前提和數學結構的知識儲備之下，進行多層次、多角度的數學問題解答和探索。在運用頓悟的數學教學過程中，實現多層次的數學問題解答，需要從以下幾個方面加以考慮：
2.1.1 要注重數學知識的觸發條件
數學概念和數學定理可以用于解決相應的數學問題，然而，這些數學概念和數學定理在情景條件發生變化的情況下，學生不會靈活地運用數學概念和定理。這就需要考慮數學知識產生的觸發條件，在多層次的知識產生鏈的結果之下，要注重每一個知識點的觸發條件，要建立數學知識和數學問題之間的豐富聯結，并將數學知識鑲嵌在具體的數學問題情境之中，試探學生在數學問題情境之中對條件信息的識別狀態，并由此引發的數學學習活動。
例如：在對已知條件得知三角形是直角三角形的識別產生條件下，學生可以作出反應，并判定：斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之和，在這個勾股定理的檢索信息之中，學生還沒有將其具體應用于數學問題情境，還需要溶入個體數學活動的體驗，并在數學問題信息提取、分析和整理的過程中，實現知識的遷移。
2.1.2 要建構數學知識的組塊體系
在運用頓悟策略和方法的數學學習過程中，要將學生長時記憶的數學知識儲存在有序的認知結構之中，在對數學問題進行分析的過程中，要從不同角度對數學概念和數學命題進行梳理，在逐步完善數學認知結構的條件下，形成數學知識組塊體系，為多角度、多層次的數學問題解答提供條件和前提。
2.1.3 探索開放性數學問題情境之中的多層次解答
在數學頓悟教學的方法之中，要以探索為數學教學的生命線，在開放性的答案解答過程中，對問題進行驗證和修正，使學生在探究性的數學研究過程中進行多層次的解答，體驗如何“做數學”，并實現對數學問題的“再創造”。
例如：有一個邊長為a的正方體ABCD-EFGH（圖1），在底部的A處有一只貓，在A的對角頂點處有一只老鼠，貓可以沿著什么路線前進，可以在最短的時間內抓住老鼠（假設前提條件為老鼠在G處不動），試畫出有多少條路徑？
習題解答：教師可以啟發學生將這個問題進行轉化，設計成由A-G處的最短路徑問題，學生思考后對這個問題進行解答：在A和G處的兩點之間的連線最短，它們之間連線的路徑可以進行計算得知。
T：這條路徑雖然最短，然而，我們的前提條件是貓不會飛，這條路徑事實上并不存在。
S：可以沿著正方體的對角線和棱邊往前行，有A-B-G，A-E-G，A-D-G……將其進行路徑的計算可以得出最短路線。如圖2所示：
T：為了啟發學生的數學領悟能力，教師可以對學生進行啟發：沿著正方體面比沿著棱進行前行的距離更短，學生請思考，還有什么更佳的選擇？
S：（停頓、領悟并思考）
T：讓學生預備好正方體紙盒，做好相應的字母標注，觀察并交流，當學生在正方體上畫線或者將正方體紙盒沿底面展開之時，學生獲得了頓悟：原來將正方體沿底面展開，可以使解題思路變得豁然開朗。
S：從A處到G處的路徑，明顯在平面上可以看出AG的路徑小于A-C-G的路徑，也即由A到CD的中點再到G點是最短的路徑。
T：由此可以進行規律性的總結：由A處―G處的路徑在以A和G為頂點的兩個正方形的表面上且經過這兩個相鄰正方形的公共邊的中點。
2.2 注重初中數學思想和方法在學習中的運用，激發學生的頓悟
數學思想和方法是重要的教學內容，它可以激發學生的數學學習興趣，領悟到這些關鍵數學思想的實踐應用，并在獨立自主思考的前提下，進行新知的探究和發現、分析，從而創造性地解決數學問題。為了正確地運用好數學思想和方法在實踐解題中的應用，要遵循學生的認識規律，分層次地滲透歸納和演繹等數學學習方法，使學生形成良好的數學思維習慣，培養學生自我提煉、揣摩和概括數學思想和方法的能力。
2.2.1 分類思想在數學教學中的實踐運用
初中數學分類思想滲透于數學概念性的內容以及數學證明題和計算題中，它在代數和幾何的教學中，可以極大地提升學生的條理性思維和數學邏輯思維。從幾何角度而言，分類思想可以運用于比較線段的大小問題。
例如：在兩條線段之中，可以討論并比較線段AB和CD的大小。運用分類思想，進行三種不同情況的分類討論：（1）當點B在CD線段之上時，ABCD。
2.2.2 數形結合思想在數學教學中的實踐運用
在初中數學解題過程中，通常運用數與形的結合，在“以形助數”和“以數解形”的過程中，可以使復雜的數學問題簡單化、抽象的問題直觀化，分析數學問題的題設和結論之間的關聯，從而快速解決數學問題。它對培養學生的圖形感和數感有極大的輔助作用，并在學生的形象思維和抽象思維的綜合利用方面，有一定的促進作用。
例如：“空間與圖形”中的數形結合。如圖3，有一根12m長的鐵絲，圍成一個矩形空地，如何才能使圍成的面積最大？圍出面積的長寬度如何？
解題思路：要從“最多”的條件中進行數學思維的啟發，引導學生進行頓悟，結合二次函數，以面積為等量關系，解決這道最值問題，在數形結合的解答過程中，培養數學解題思維。
即：當面積的長為3，寬為6時，面積最大，透光最多。
2.2.3 函數與方程思想在數學教學中的實踐運用
函數與方程是初中數學教學中的重要內容，對學生的數學解題思維具有深遠的影響，它在探索、歸納、提煉的解題過程中，運用數學思想和方法，在掌握這些數學思想的特性的前提下，進行反復的滲透和訓練，在適當的引進策略下，引導學生進行知識的頓悟和體會，從而對數學知識進行反思、提煉和歸納。
解題思路2：運用數學函數的知識點，要讓學生在方程向函數轉化的頓悟之中，借助于兩者之間的關系，發現求方程 + = 0的解也即二次函數 = + 的圖像與軸的交點，同時，由于拋物線開口向上，因而只要滿足 = 1時，
2.3 從學生的直覺思維角度，激發數學學習中的頓悟
數學頓悟的產生需要學生的知識儲備前提和良好的數學認知結構前提，在此條件之下，教師才能引導學生進行想象、聯想、發散和求異，從而產生數學頓悟。在初中生的思維結構和認知水平之中，可以首先從學生的直覺思維角度，進行頓悟的激發，培養學生的數學知識理解能力和運用能力。
例如：如圖4，已知在 ABC之中，AD、BE、CF分別是BC、AC、AB邊上的中線，G是重心，AG = 6，BG = 8，CG = 10，試求 ABC的面積為多少？
教師在教學過程中，可以利用學生的直覺思維，明白這個習題中的實質即：三個數據6、8、10也正是勾股數，在這個直覺思維的導向之下，使學生產生頓悟，獲得解題思維的訓練和強化，以6、8、10為長的三線段構造一個直角三角形，延長線段GD至G’，并使G’D=GD，連結G’C，這樣可以較為容易地獲得證明：GG’=AG=6， GDB≌ G’DC，由此可得，G’C=BG=C， GG’C是直角三角形， GG’C的面積為6？？=24， ABC的面積為72。
2.4 從學生的邏輯思維角度，激發數學學習中的頓悟
在數學思維的產生過程中，學生的邏輯思維較直覺思維而言，具有更高、更為復雜的層次，為了揭示數學知識的本質特征和規律性聯系，可以引導學生在邏輯思維的構建中，產生數學頓悟，提升數學思維能力和解題能力。
例如：請解析下列方程組：
解題思路1：方程①去分母，再采用代入消元法，進行解題，顯然這是一種較為繁瑣的解題方法。
解題思路2：兩個方程的左邊系數相同，因而可以考慮將+（9/）和+（4/）視同為一個整體，將方程②的左右兩邊都除以，并把方程②變形為（+9/）（+4/）=24，然后再將方程①變形為（+9/）+（+4/）=10，假設+9為A，+4/為B，這樣，方程組就可以轉化為A+B=10，AB=24，后續的解方程組就變得容易許多了。
在上述的數學解題過程中，對“兩個方程的左邊系數相同”的敏感思維也即頓悟過程，在強化邏輯訓練的過程中，激發學生的頓悟，提升數學解題能力。
2.5 充分挖掘學生的猜想和聯想能力，拓展數學學習的頓悟
在數學的頓悟產生過程中，要經歷一個初步認識―逐步提高―進一步深化的過程，也即數學猜想和聯想的過程，由數學條件或結論的外表猜想到內在的定理或圖形，從而獲得頓悟，尋找到解題靈感。
例如：有一條流水線上的N臺機床在工作，要設計一個零件供應站點P，為了使N臺機床與零件供應站點P之間的距離總和最小，可以將P點設置于何處？
解題思路：在這個解題過程中，由于N是一個抽象值，要引導學生獲取具體值，就需要引導學生對正確的解法進行猜想和假設：
當N=2時，P點應位于何處呢？當N=3時，P點又位于何處？N=4，N=5呢？
在引導學生進行歸納的同時，可以得到怎樣的猜想？
當N為奇數時，P點在第（N+1）/2臺處時，距離之和最小。
當N為偶數時，P點在第N/2和（N/2+1）臺之間的任何一點時，距離之和最小。
3 結束語
在初中數學教學中，要培養學生獨立自主思維的能力，要結合學生的形象思維和抽象邏輯思維，運用數學思想和數學方法，進行數學問題的主動探索和創新，在對數學問題進行知識分析、推理和歸納、概括的過程中，啟發學生的頓悟，從多角度對數學問題進行探索，可以培養學生在數學思維中的靈活性、獨立性，增加對數學解題的深度和廣度，運用頓悟教學的原則，全面提升數學學習能力。
參考文獻
[1] 張彬.提升學生數學遷移能力的教學策略探析[J].數學教學通訊，2016（12）.
[2] 余飛.農村初中數學課堂提問的策略探析[J].語數外學習（初中版中旬），2014（11）.
[3] 丘立峰.課堂組織藝術在數學課堂教學中的滲透[J].現代閱讀（教育版），2013（3）.
關鍵詞：高中；數學教學；路徑
一、高中數學教學有效性的含義
教學的有效性是一個外來的理念，關于這一理念的認識存在著很多的認識，其中最普遍的認識就是指根據教學將要實現的目標所實施的一系列的教學活動，并通過這些教學活動達到預期的教學目的，這樣的教學活動就被視為是實現了有效的教學活動。與之相反，如果在教學的實施過程中，教學活動的開展沒有達到教學目標的預期，則被視為是教學缺乏有效性。有的學者對于教學的有效性存在著不同的認識，這部分學者評判教學活動的有效性是以學生的學習活動作為教學是否有效的出發點與落腳點，認為只要教學的實施達到了學生在學習活動中應該達到的學習目的就被視為是教學具有實效，相反，如果學生在學習過程中沒有達到學習的目的就被視為是學習缺乏實效，這種教學有效性的認知是以學生作為認知對象的一種理解。還有一種認識教學有效性的觀點，這種教學有效性的觀點是根據經濟學的認識來理解的，經濟學認為有效的經濟活動，是以經濟效益的最大化作為經濟活動實施的根本目的，通過對不同經濟活動的不斷優化，而最終實現其預定的經濟目標，就可以視為實現了經濟活動的有效性。以經濟學的角度理解高中數學教學的有效性，主要是指通過對不同高中數學教學活動的優化以實現教學效率的有效提升的同時，也促進了學生學習實效性的發揮。
二、高中數學教學有效開展的路徑
1.開展有效教學不要忽視基礎知識教學
眾所周知，數學學科是一個邏輯性非常強的學科，前面的數學知識與后面的數學知識聯系非常緊密，只有掌握前面的數學知識，后面的數學知識才能夠得到很好的掌握，也只有夯實數學知識基礎，數學教學才能夠真正的有效開展。在傳統的高中數學教學活動的開展過程中，教師往往對數學基礎知識教學缺乏應有的重視，尤其是對數學的定理和概念重視不夠，教師一般認為數學的定理和概念都是比較容易理解的，它對數學問題的解答沒有太大的幫助，要實現數學教學的有效性，就要讓學生做更多的習題，通過習題的解答提升數學能力，實現高中數學教學的有效開展。但是，事實并非如此，不重視定理與概念的理解，而只重視通過讓學生做大量的習題來提升教學效率，不僅不能夠提升數學教學的效率，相反，還在一定程度上影響了數學教學實施的效果，不利于教學的有效開展。因此，在開展具體的高中數學教學時，教師不能忽視基礎知識的教學，要在教學的實施中加大對數學定理與數學概念的教學力度，教師要針對具體的教學內容，精心設計基礎知識的教學環節，通過對基礎知識教學的精心設計提升高中數學基礎知識教學的效率，以基礎知識教學的有效實施更好地實現高中數學教學的有效開展，促進高中數學教學效率的提升。在實施數學基礎定理與概念的教學中，教師不僅要在教學中進行講授，要盡可能地將數學的定理與概念和解題實踐進行巧妙的結合，兩者要相輔相成，相得益彰，對于數學概念和定理的深入理解可以更好地幫助學生提升解題的能力，同時通過問題的深入思考與完美解決也可以更好地促進學生對數學基礎知識的理解，以此促進高中數學教學的高效實施。
2.教師要重視培養學生的數學觀察能力
數學應該是一門非常抽象的學科，高中數學知識的呈現方式也是非常抽象的，乍一看去好像與生活實踐沒有太大的聯系，其實不然，高中數學教學內容中的抽象知識是源于生活實踐的，是對生活實踐內容的抽象化的概括。因此，要想在高中數學教學中提升教學的實效性，只是以抽象的教學方式開展教學活動顯然是不行的，要想在高中數學教學中取得實效，教師就必須重視在教學中將抽象的數學知識與生活實踐的內容緊密地結合起來，只有這樣的數學教學才能夠真正地發揮數學教學的實效性。要實現這樣的教學目的，就要求教師在教學中，重視將理論知識的教學與生活實踐緊密的聯系起來，同時也要重視培養學生的數學觀察能力，通過培養學生的數學觀察能力可以更好地提升學生理解抽象數學問題的能力，以此，促進高中數學教學的高效開展。
3.要加強合作教學的實施
在傳統高中數學教學的實施過程中，教師是高中數學教學的真正權威，在教學中是教學活動開展的主體，高中數學教學活動的實施都要圍繞著教師數學教學活動的開展，在教學中學生更像是一場課堂大戲的觀眾，只能夠作為高中數學課堂教學的旁觀者和服從者，學習的主動性與積極性沒有被有效地調動起來，學習的熱情不高，數學學習的信心不足，教學的實效性不強。在傳統的高中數學教學中學生更多的是各自為戰的開展學習活動，缺乏彼此之間的有效合作，教師在教學活動的開展中，沒有為學生提供更多的合作學習機會，學生都是通過單打獨斗的方式開展各自的學習活動，這樣的數學學習活動的開展很難實現預期的學習目標。面對這樣的高中數學教學現狀，就要求高中數學教師要根據具體的高中數學教學的內容，根據預先設定的高中數學教學的目標，以及學生數學學習的實際需要，為學生提供更多的合作學習機會。
開展高中數學教學有效開展的路徑研究對促進高中數學教學效率的提升具有不可忽視的作用，現階段高中數學教學的實施依然面臨著許多的不足，因此，本文以此為視角對相關問題展開了實效性的研究。
小學是學生數學學習的基礎階段，小學數學教育對人的數學素養的形成與發展起著重要作用。然而，對實際的小學數學課堂教學進行深入的觀察、分析、研究，從“教”的角度，我們發現教學實踐中很多教師的課堂教學目標單一，只關注知識、技能等顯性目標的落實，不關注數學素養等其他方面目標的承載與實現，以“知識的吸收與技能的操練”代替了數學素養的培養；也有的教師“有心無力”，想關注小學生數學素養的培養，但因缺少實施策略而難以在教學實踐中落實，教學方式單一，大量機械的練習、重復操練現象依然存在，一些有趣的數學知識，被淹沒在“大量人為編造、脫離實際的應用題”和“各種各樣解題模式或解題技巧的訓練”中，從而失去了數學應有的魅力。從學生“學”的角度，學生雖然學到了一些具體的數學知識和技能，卻沒有領悟到數學內在的本質和魅力，學生的學習方式單一，往往陷入“題海”之中，導致很多學生不喜歡數學，甚至對數學產生了負面情感。因此，著手研究小學生數學素養的內涵及其培養路徑，并探索教學實踐中落實的路徑，有助于教師在教學實踐中有效培養學生的數學素養，推進數學課程改革的深入實施。
一、小學生數學素養的內涵解構
對于數學素養的解釋，目前尚沒有一個嚴格的、統一的定義。隨著時代的發展，人們對數學素養的認識也在不斷變化。美國全美數學教師協會（NCTM）1989年的《中小學數學課程與評估標準》提出了把培養學生的數學素養作為數學教育改革的目標，并提出了“數學素養”的基本內涵：懂得數學的價值，對自己的數學能力有信心，有解決數學問題的能力，學會數學交流，掌握數學的思想方法。國際學生評價項目PISA對數學素養的界定為：數學素養是一種個人能力，學生能確定并理解數學在社會所起的作用，得出有充分根據的數學判斷和能夠有效地運用數學，這是作為一個有創新精神、關心他人和有思想的公民，適應當前及未來生活所必需的數學能力。《數學課程標準》（2011年版）也增加了“數學素養”的闡述，指出：“數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。”國內多名專家學者也撰文闡述了數學素養的內涵。結合小學生的年齡特征和數學教育的特點，我們認為，數學素養是在人先天素質的基礎上，受后天環境、數學教育等影響，通過個體自身的認識和實踐活動，所獲得的數學知識與技能、數學意識、數學能力和數學價值觀等融于身心的一種比較穩定的心理品質。數學素養一旦養成，它將超越數學學科知識的范疇，并發揮長期、實在的功效。
數學素養內涵豐富，對小學生來說，由于特定的年齡、認知發展特點以及已有的知識水平，他們的數學素養及發展有自己的特征。通過研究，逐步厘清了小學生數學素養的內涵要素及其關系，小學生的數學素養是由數學基礎知識與基本技能、數學意識、數學能力和數學價值觀等四個方面要素構成的，具體如下圖所示：
小學生數學素養構成要素結構圖
數學素養的構成要素之間存在著內在的聯系，四個方面的要素相互依存、相互促進，共同構成了數學素養的整體。良好的數學基礎知識和基本技能是數學素養形成與發展的基礎，一個人如果不具備必要的數學知識和技能，就談不上發展數學意識，提高數學能力，更體會不到數學的價值。數學意識是數學素養的內在品質，是一種內化的心理特征，直接影響人的思維和行為方式，使學生遇到問題能夠自覺地從數量、形狀等方面進行觀察和思考，形成一種量化、抽象概括的思維習慣。數學能力是數學素養的外在表現和重要標志，是順利完成數學活動所必須且直接影響其活動效率的一種個性心理特征，決定著學生能否有效解決問題。數學價值觀是數學素養的內在動機因素，是對“數學有什么用”“為什么要學習數學”等數學價值的認識，影響著學生的數學學習信念、學習數學的信心和毅力等。
二、小學生數學素養的培養路徑與操作要點
數學素養的形成是一個長期的、漸進的過程，是在長期的數學學習和生活經驗累積中內化而成的。如何將小學生數學素養的培養落實到教學實踐中，把培養策略變成每一位小學數學教師的具體實踐，必須明晰教師能夠認同、把握、踐行的路徑與操作要點。通過研究與實踐，逐步明晰了課堂教學的改進、數學綜合活動的開展、學習評價的實施三方面的培養路徑，促進小學生數學素養的發展，具體如下圖：
路徑之一：課堂教學改進——落實數學素養培養的基本途徑
數學意識的發展、能力的提高、價值觀的形成，均是以數學教學實踐為基礎的。課堂教學是學生數學學習的主渠道，也是實施小學生數學素養培養策略的基本路徑。我們從學習目標確定、學習任務設計、學習過程組織等方面確定操作要點，落實數學素養培養策略，有效促進學生數學素養的發展。
關鍵詞：小學數學；反思；學習習慣；路徑
中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2016）13-0047-01
反思習慣對于學生學習成績的提升和良好的學習習慣養成，是非常重要的。學生正處在渴望學習、容易教育的階段，如果能夠養成良好的反思習慣，對其以后的生活和學習必定會有很大的幫助。當前，數學教學現狀并不樂觀，很多地方依然采用陳舊的教育方式和內容，在課堂上一味地進行填鴨式教學，課后布置海量的練習題目，學生很難有獨立思考和主動探究的時間。這種教育方法已經沒有太積極的作用，不利于培養學生的實際能力。
一、培養學生數學學習反思習慣的意義
學習數學是一個重要的積累過程，只有不斷將知識進行積累，逐步提高，才能真正掌握數學的學習方法。其實，在這種不斷積累的過程中，就需要不斷進行反思，溫故而知新才能牢固掌握知識內容。培養學生數學學習的反思習慣，其意義主要體現在以下幾個方面。
（1）有利于培養學生良好的學習習慣。每個學生學習習慣的養成都不是天生的，而是從小通過教師、家長的言傳身教逐漸形成的。因此，良好的學習習慣能夠對學生未來的學習提供良好的幫助，而壞的學習習慣則可能會對學生的一生產生不利的影響。青少年學生正處于學習習慣養成的重要階段，因此，要積極引導學生形成良好的學習習慣。數學學習的反思習慣就是良好的學習習慣之一，同時，培養學生的反思習慣又很大程度上對其他習慣的養成起到積極的促進作用。
（2）有利于鍛煉學生的思維能力。數學教育本來在一定程度上就對學生的思維能力的提升有很大的幫助，比如通過數學學習能夠讓學生充分掌握知識的同時，對該問題進行深刻思考，促進其大腦的活躍，進而有利于開發其智力。數學學習的反思能力培養也是如此，通過反思習慣的培養，能夠讓學生在學習新知識的同時，對過去的知識進行反思，不斷從舊知識中找到新的內涵，同時也可以結合當前新知識進行一些思考，對于其思維的連貫性和全面性都具有極大的促進作用。
（3）有利于新課改對人才培養目標的落實。新課改強調培養合格的現代化人才，注重創新精神和學生自主學習習慣的培養，而培養學生的反思習慣是其中一個重要的內容。在這一過程中，學生通過探究性學習，深刻地掌握數學知識，在不斷反思中解決所遇到的問題，提高實際能力，增強自身的素質。
二、數學學習反思習慣的培養路徑
教育工作者應該注重學生反思習慣的培養，在數學教學活動中積極引導學生進行反思。反思活動應該滲透于數學教學活動的方方面面，以教學內容為基礎，積極調動學生的主觀能動性。在具體的教學過程中，如何培養學生的反思習慣、如何引導學生反思、反思哪些內容呢？根據當前數學教學情況，以及對學生學習成長情況的探究，認為應當從以下三個方面進行反思：預習反思、課后反思、單元反思。
（1）注重預習之后的反思。低年級學生升入高年級之后，面臨的學習內容和學習壓力有明顯提高。此時，要求學生通過預習的方式提前掌握書中的內容，對于課堂上充分理解教學內容是非常重要的。在預習之后，需要注重引導學生進行反思。在預習之后學生雖然對一些知識有了一定的了解，但因為畢竟是新知識，其掌握的程度和理解的深度都很不夠。此時，教師或者家長就應該引導學生進行一定的反思，不僅要求學生對預習的基礎知識進行反思，而且應當對基礎知識之外的內容進行思考，這樣才能更加全面地掌握知識，鍛煉其思維能力。
（2）注重教學之后的反思。課堂上的講課依然是學生學習的重點所在，通過教師在課堂上的講解和指導，能夠幫助學生充分掌握數學知識。但是，在教師講課之后依然要做到常反思。這種反思，主要針對課上內容進行反思，不斷思考教師講課的內容，結合學習中自己的所思所想以及遇到的各種疑惑，不斷提出新問題，深化對數學知識的理解。這是一種查缺補漏的方法，同時也是不斷強化知識的連貫性和全面性的手段。
（3）注重單元學習后的反思。一般而言，學生在學習每個單元后，應該對單元內所有的學習內容進行反思。在進行單元反思時，教師應該讓學生們把以前的作業或練習冊拿出來，對錯題進行整理。最好每一個學生能有一本自己的錯題本，借助學生整理的錯題本，教師應該組織學生進行單元學習后的反思，剖析每一道錯題的原因，找出解決的方法，防止以后的考試、做題中出現類似的問題。
三、結束語
鼓勵學生養成反思習慣的同時，也要充分注意到學生的性格特點。部分學生的自主能力較差，教師要進行適當的幫助，適度地鼓勵學生進行反思。如果學生能夠養成良好的反思習慣，就能主動地去探究知識，解決學習中遇到的困難，從而在學業上不斷進步。反思習慣的養成，能夠提高學生的思維能力，培養學生的創新意識，帶動學生全面發展，使得學生對自己充滿信心，勇于迎接挑戰。
參考文獻：
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李建英
（南康市唐江中學，江西 贛州 341411）
摘 要：高中數學課在進行習題課教學時應該摒棄傳統教學思想中不適合數學學科發展現狀的理念與做法，以更為靈活開放和發展的眼光去看待高中數學習題課的存在與利用。基礎概念類習題、問題探索類習題、綜合應用類習題的講授各有側重點，要注意靈活使用策略。
關鍵詞：高中數學；習題課；教學策略
數學習題課在高中數學的課堂體系中占有十分重要的地位。數學的學習主要要求學生在數學知識、數學基本能力以及與數學相關的素養的提升。而習題課的設計就是為了讓學生在知識上得到鞏固，在能力上得到靈活運用，在素養上形成熱愛數學、研究數學和運用數學的習慣和態度。高中數學課在進行習題課教學時應該摒棄傳統教學思想中不適合數學學科發展現狀的理念與做法，以更為靈活開放和發展的眼光去看待高中數學習題課的存在與利用。
習題是圍繞一定知識結構為學習者提供的，可以供練習和實踐的具有參考答案的問題。習題課則圍繞著一定的知識點設計的習題，以多種形式進行呈現，在教師的引導下由學生自主探討實現解決問題、發展能力、拓展思維等一系列教學目標。數學習題具有基本的知識傳遞功能以及學習評價功能。此外習題課還具有隱性的德育功能。由學生在習題課的討論和解答疑難問題的過程構成的學生學習氛圍能夠在一定程度上培育學生認識世界的積極態度和思想方法和求真務實的精神。高中數學相較于義務教育階段的數學學習具有一定的深度和難度，習題課的存在和利用要發揮挖掘思維、拓展視野、轉換思考方式、培養正確的學習態度的作用，做到合理設計并實施。
一、 基礎概念類習題的講授
基礎概念類習題的設計目的是在新課傳授之后用于鞏固學生對所學知識的記憶與簡單運用。同時也考察學生對新學概念的理解和掌握。這類習題的講授和新課傳授中的例題講授有所不同，習題課上對學生的要求會相對較高，不僅要求學生能夠解好題，還要解釋為什么這樣解，能否運用其他方法解答等。可以說，基礎概念類習題的講授是“拋磚引玉”的過程。我們用基礎型習題的“磚”引出學生思維拓展和知識深化的“玉”。尤其是在一題多解、多題一解等思維訓練的過程中，學生不僅能夠學到知識，還能在解題的過程中鍛煉思維，養成良好的數學學習習慣。例如在講授《集合》的相關知識時，對集合概念的理解正確與否直接決定了學生在集合知識上的學習。一般地，由在一定范圍內確定的、不同的對象的全體組成一個集合。其重點核心在于確定的和不同的對象。那么在確定這兩個核心理解點后，教師可以設計一些簡單的概念性試題，供學生判斷以檢測學生對知識的理解程度。例如
下列各組對象能夠構成集合？
1 個子比較矮的人
2 大于2013的數字
3 與123十分接近的數字
4 在平面直角坐標系中第一象限內的所有點
5 {1,2,1}
以上題目是由概念延伸出來的試題，試題主要考察學生能否透徹的理解“集合”這個概念。如果學生對集合的確定性特點無法把握，那么第一小題就會很可能判斷錯誤；如果學生對“不同對象”這一特點無法準確把握，那么第五小題也會判斷錯誤。通過這種較為簡單但又深刻反應學習效果的基礎性概念題，教師應引起重視并合理設計，唯有在數學基礎知識打牢的基礎上才能實現更高層次的進階。
二、 問題探索類習題的講授
問題探索類習題是對概念基礎類習題的進一步提升。在熟悉了基本概念和定義之后，教師需要以問題為導向，鍛煉學生分析問題解決問題的能力。畢竟數學的應用是以問題為開端的，只有讓學生學會認識問題，找到問題解決的路徑，方可實現數學學習的目標。數學解題的過程往往是不斷的轉化、聯想。學生學會將多個命題進行重組，或在不同的情境下進行關聯，就可以實現思維結構的建構。這種思維結構在解題時起到了至關重要的作用。看似復雜的問題都是由最基本的問題疊加，組合而來，只要學會剖析，用多元化的視角結合各方面的知識，以合理的路徑去思考就可以實現對難題的攻克。
例如已知x>0，y>0，x+y=1，求 的最小值
這類題屬于常見題型，考察的是基本不等式的應用。實際上在依靠傳統的解題方法解決的同時可以利用題型轉化的方式對原題進行轉化，或者另辟蹊徑的找到其他類似的解題思路。例如，本體實際上可以將條件和結論進行互換，就變成了
已知x>0，y>0， ，求x+y的最大值。
同時教師還可以指導學生利用部分小學數學奧數題的解題思想、解析幾何式的解題方法、三角函數的解題方法等對本道題進行變式并解答。
三、 綜合應用類習題的講授
綜合應用類習題是數學習題中難度較大的習題類型。難就難在習題的綜合性強，需要學生同時動用多種知識，并發揮聯想和創新能力，充分發揮知識結構的作用。綜合型習題的聯系不應該采用題海戰術，否則就會陷入“會解一道題，但不會解答一類題”的怪圈當中。教師要從單類型題目入手，逐步深入到綜合題，運用一題多變、一題多解等解題模式讓學生適應綜合性題目的提醒和解題思路，豐富解題路徑，并在解體后及時進行總結，尤其是對解題過程中涉及到的思維性的東西要積極點撥和傳授。其實綜合類習題的難度被學生在某種程度上夸大了，學生由于對所謂“大題”所存在的固有的恐懼而使得很多學生在應試時選擇放棄。實際上教師如果在教學過程中注重學生綜合知識的運用能力的培養，拋棄題海戰術的教學思路，就可以為學生解決綜合類數學問題打下基礎。“萬變不離其宗”，扎實的基礎知識和科學的解題思維就可以成就對數學問題的解決。
參考文獻：
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關鍵詞： 初中數學教學 逆向思維 培養實踐
初中數學學習需要鍛煉學生的思維，只有在學生數學思維激發和培養的前提下，才能引導學生進行數學學習，而在初中數學教學中可以采用逆向思維的培育方式，立足于初中學生的數學基本素質，以提高學生的數學知識和數學智力為切入點，通過對初中數學的概念、定理、法則等內容的解析和運算，使學生的逆向思維能力得到培育和鍛煉，它不同于常規思維。常規思維狀態使學生圍囿于既定的問題情境和思維定勢，導致學生缺乏靈活的數學變換能力，不利于學生數學思維的創新發展，也不利于學生數學思想的全面建構。下面從初中數學的逆向思維概念入手，根據初中數學知識內容進行逆向思維能力的培養實踐。
1.逆向思維的定義
逆向思維也即由果求因、知本求源，它是一種相反方向的思維方式，具有反向性、批判性和悖論性的特點，它與常規思維不同，是一種相反的思維方式。它引導學生在數學知識的學習過程中，從相反的角度進行問題情境的思索，從而在尋求解題路徑的過程中加深對數學概念、定律、法則的理解和記憶，這也是我們常說的“換位思考”，對于學生的數學智能提升有著極大的推動作用，可以較好地發展學生智力，培養學生創新和創造能力。
在數學教學中，通常采用“證明定理、定理的應用”方式，對學生進行數學知識的建構，而這種思維方式是正向的，我們需要對數學知識由正向轉為逆向的思維，要引導學生從反向的角度，對數學知識進行解析和理解，從實質上對數學知識加以理解。
2.初中數學教學中逆向思維能力的訓練
2.1初中數學概念、公式、定律的逆向思維訓練
在初中數學的定律和法則中，有許多“相反相成”的數學概念，它可以引導學生建立數學正反向的聯結，在知識得以聯系和補充的狀態下，提升學生的數學智能。
2.2初中數學概念的逆向思維訓練
初中數學的概念之中，涉及一個“相反數”的概念性知識，它是理解逆向思維的知識之一，根據數的概念，可以舉例進行“相反數”的理解和認知，如：8的相反數、-4的相反數、-0.8的相反數等。又如：初中數學中的“絕對值”概念，讓學生進行“絕對值”概念的逆向思維鍛煉，如：|6|=？搖？搖？搖？搖；|-6|=？搖？搖？搖？搖，將這個概念進行逆向思維的訓練，讓學生思考：某數的絕對值為6，那么這個數是多少？
2.1.2初中數學公式的逆向思維訓練
初中數學公式的理解和記憶，通常學生都是由左至右進行公式的記憶和運算，而對于由右至左的逆用方式，則感受無所適從。因而，我們要對初中數學的公式進行逆向思維訓練，使學生熟練地由右向左進行公式逆用，這需要在日常練習中加以強化訓練。例如：在初中代數公式中，就有這樣的逆向公式運用
又如：在平面之內，如果有兩條直線都與第三條直線相平行，那么這兩條直線也相互平行。對于這道習題的分析，可以采用反證的方法，從上述結論的反面“不相互平行”進行逆向思維的分析，從而得出這兩直線必須相交，而直線相交必有交點，這樣，在平面內過一個點即有兩條直線和第三條直線平行，這與數學公式相矛盾，從而得出假設不成立的推論，那么假設的反面“相互平行”就無可爭議地得出成立的結果。
3.結語
由上可知，初中數學教學過程中，教師要善于采用逆向的推導方式，引導學生對于數學概念、法則、定律等知識內容，進行逆向思考，尤其是在解題過于繁瑣或者解題思路不清晰的情況下，可以通過逆向思維的反向思考方式，降低數學解題難度，巧妙地獲取數學習題的解題結果，從而增強學生的逆向思維能力，在有意識、有目標、有步驟的初中數學學習過程中，達到提高教學效率、發展學生思維的目的。
參考文獻：
關鍵詞 讓學 潛能 引思 思考力 會學善思
一、讓學――學生才是課堂的真正主人
“讓學”是德國哲學家海德格爾提出的教學理念，它與新課程倡導的“生本”教學理念是有異曲同工之妙。“讓學”是指在某一時段老師安排學生進行自主學習的課堂行為。有問題有學標，這種學習環節有別于傳統的常態教學或導學，更強調發揮學生的主體能動性和創造的積極性。
1.適時讓學，培養學生的自主行為能力
一課，哪些時段可以由學生自主學習初步達成學習目標呢？可以在老師的課堂引入后利用10分鐘時間完成自主探究新知；也可以在師生共同探究新知后，自主嘗試完成例題學習；還可以在問題的拓展延伸中，讓學生在小組合作中交流、討論，共同完成同級異式訓練。
例1，第10章“分式”（蘇課版八下）10.3“分式的加減”。按照以前的教學方式，老師為學生創設教學情境：
教師的意圖是引導學生通過類比的學習方法獲得同分母方式加減運算法則。筆者認為可以打破常規，作課堂“讓學”設計：先請四名同學到黑板前做如下小題，通過批閱評價復習10.2“分式的基本性質”中的約分和通分的概念。
接下來，老師在黑板上寫出自主學習內容（時間預設10～15分鐘）：
（1）類比分數的加減法則探索分式的加減運算法則；
（2）閱讀學習例1，例2；
（3）自主訓練108頁練習1；
（4）在探索分式的加減運算法則過程中遇到了哪些困難？
至此，本節課前期的讓學環節就比較完整地呈現出來了。最后老師把同學們在解題中發生的錯誤以及學習中遇到的困難羅列在黑板上，以備師生共同分析解決。
設計意圖：同學們已經有了分式的基本性質、約分和通分的知識儲備，學習本節內容就顯得比較容易，有一定學習經驗的學生出現問題也可以嘗試自行解決。
2.關注主體，發展學生的合作交流能力
作為課堂的主體，學生應該是課堂上最聚焦的主角，如自主閱讀、動手實踐、思考質疑、合作交流等，老師都應該鼓勵學生積極參與，并在有效的時間內獲求最佳發展。通過下面的紙片折疊問題訓練，可以培養同學們的合作學習能力。
學習要求：
（1）自主探究（可動手實踐折疊紙片）；
（2）畫出對應圖形，進行相關計算；
（3）嘗試合作，并交流相關結論。
例2，如圖1，在RtABC紙片中，∠C=90°，AC=BC=4，點P在AC上移動，將紙片PCB部分沿PB折疊，得到點C的對應點D（P在C點時，點C的對應點是本身），則折疊過程中對應點D所經過的路徑長是 。
課堂上筆者觀看了學生的折紙情況，又收集了部分學生的所畫圖形（如圖2、圖3），發現很多學生的探索思路是清晰的：通過三次折疊尋找三個對應的D點（包含特殊點）；根據點D的分布情況，斷定D點所經過的路徑是圓弧；根據相關條件，計算出弧長就是D所經過的路徑長。
基于教師對學生的信任，在課堂教學中經常設計“讓學”環節，可以給學生提供先自主探究后合作交流的良好契機，體現了學習方式的多元化，凸顯了課堂的主體性，培養了學生合作學習、交往學習的能力。
3.培養自主，挖掘學生的數學學習潛能
腦科學的研究表明，人腦的常態意識約為10%，潛在意識約占90%，說明人的思維潛能是巨大的。“每一個孩子都是一座金礦”，他們都有極大的潛能，都有各自的智能組合[1]。在教學中我們涉及到的規律問題、新概念問題及初高中銜接問題等，都能有效地激發學生的數學學習潛能。
例3，我們將一個平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（如圓的直徑就是它的“面徑”）。已知一個矩形的兩邊分別是3和4，則它的“面徑”長x范圍是 。
如果一個平行四邊形一個內角的平分線分它的一邊為1∶2兩部分，那么稱這樣的平行四邊形為“協調平行四邊形”，稱該邊為“協調邊”。當“協調邊”為6時，它的周長為 。
以上兩題，雖然以“新概念”的方式呈現，但是編者沒有為學生設計審題障礙，同學們只要根據題意畫出圖形，便能直接求解，因為學生的大腦有探索好奇和模仿實踐的超大潛能。
在“讓學”環節中，當學生出現難以解決的問題時，教師可以用適當的方式進行“補白”[2]，以解決因思路斷檔而產生的停滯現象，從而使學生能夠繼續保持自主學習的信心和熱情。教師能否通過適當的方法“補白”，反映教師對學生的關愛度及教學智慧。學生在自主學習的過程中，要學會自覺體驗、感悟、總結，形成適合自己實際的學習方法，激發出學習的原動力，才能實現自主學習[3]。
二、引思――思維才是數學的核心靈魂
數學離不開思維，數學是思維的體操，思維是數學的靈魂。“引思”是指老師引導學生對問題進行分析和思考，包括如何審題、尋找解決問題的入口，猜想、論證和總結解題經驗等。教師設計課堂引思，是為了及時對學生激思，使學生會思、善思。只有一定深度的數學思考才能上升為高階的數學能力――分析和創新。
1.順藤摸瓜，呈現數學思維的延展性
數學問題中的信息量較多時，有時只要借助一兩個信息就能因勢利導，這種思考問題的方法俗稱順藤摸瓜，由此及彼式展開聯想，張開思維的翅膀，可以自由“任性”地尋找下一條線索。
例4，如圖4，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC。
（1）如圖①，過點A作AFAB，并截取AF=BD，B接DC、DF、CF，判斷CDF的形狀并證明；
（2）如圖②，E是直線BC上一點，且CE=BD，直線AE、CD相交于點P，∠APD的度數是一個定值嗎？若是，請求出它的度數；若不是，請說明理由。
問題（1）根據三角形全等的有關知識容易判斷CDF的形狀是等腰直角三角形。問題（2）圖形中無明顯全等三角形，條件CE=BD又不好直接運用，這時應該怎么思考呢？老師要引導學生：問題（1）中的解題思路對問題（2）往往是有啟發的，甚至解題方法是可以遷移延用的，所以可以從構造三角形全等進行嘗試，這種由此及彼、順向思考的聯想學習法也是一種常用的數學解題策略。
2.倒扒魚鱗，借力數學思考的可逆性
如果一味地采用正向思考方式，可能出現雙線并行方向不明，此時如果嘗試逆向思考，即要想A成立，就必須B成立，要想B成立，C必須滿足什么樣的條件，這種思考方法俗稱倒扒魚鱗。
例5，如圖5，D、E分別是ABC的邊AB、BC上的點，DE∥AC，若SBDE∶SCDE=1∶3，則SDOE∶SAOC的值為 （ ）
先逆向思考：要求SDOE∶SAOC的比值，只需DE∶AC的值，借助DE∥AC的信息，DE∶AC=BE∶BC。再順向生成：由SBDE∶SCDE=1∶3得到BE∶EC=1∶3，進一步得到BE∶BC=1∶4，此時剛好呼應對接。再運用性質“相似三角形的面積比是相似比的平方”，選出（D）。
“倒扒魚鱗”法通常是與“順藤摸瓜”法相結合的，特別是信息量較大的題，“倒扒魚鱗”法應優先考慮。備課時老師在解題過程中遇到的曲折和錯誤不能隨演算紙一同丟棄，應適當地與學生分享其中的艱辛與快樂。讓學生明白順逆自如、左右逢源絕不是一日之功，是在摸索和碰撞中成長的一種慢過程。
3.培養悟性，增強數學思考的深刻性
悟性是指對事物的感知力、思考力、洞察力。學習數學的悟性指學生在數學學習的活動過程中，對所研究的數學問題，憑借類比、遷移、聯想、想象等思維活動，觸發靈感，引發領會、理解，繼而解決問題的一種能力。根據美國教育學家布魯姆認知理論，這種對問題的理解能力和分析能力屬于高階數學思維。
例6，圖6，AC是矩形ABCD的對角線，O是ABC的內切圓，現將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG。點F、G分別在邊AD、BC上，連結OG、DG。若OGDG，且O的半徑長為1，則下列結論不成立的是 （ ）
老師：題中有數據，你們能猜測到什么信息呢？
學生1：我們憑直覺相信圖中∠ACB為30°。
老師：你怎么知道的？
學生1：你教過我們的，可以借助數感、圖感進行問題直觀猜想。
老師：四邊形ABCD是矩形，根據圖形，你能得到什么結論呢？
學生2：對邊平行且相等，四個角為直角。
老師：O是ABC的內切圓，且半徑長為1，你能想到什么關系量呢？
學生3：直角三角形內切圓半徑與其三邊關系：（AB+BC-AC）=1。
老師：圖中有折疊變換，且OGDG，你又能想到什么呢？
學生4：折疊變換聯想到圖形全等，如DFG≌OFG，DGC≌OEG。
老師：本題從選擇支看，都是判斷兩條線段和與差的數量關系，因此可以根據你們的解題經驗或者靈感，繼續尋找線段關系，比如運用三角形全等、相似等方法。
學生5（我班的數學王子）：老師，通過構造輔助線，連接OM（M為切點），我又發現一對三角形全等：OMG≌GCD，這樣可以得到GC=OM=1，MG=DC=AB，所以BC=2+AB，再聯立另一個關系式（AB+BC-AC）=1，看是否得出其他結論？
老師：這位同學憑借對數學的悟性，巧妙打開靈感之窗，發現一條通往山頂的無名小道，只要你們沿著這條小道不放棄前行，你們將會欣賞到很多的美景。
本題圖形復雜信息量大、審題量大、計算量也大，是一道訓練學生綜合分析能力和數學思維悟性的好題。首先通過排查、搜索信息尋找解決問題的入口，然后是通過三角形全等以及勾股定理的有關知識對C、D進行判斷，最后再次構造直角三角形，計算DF長度，判斷A、B是否正確。這種思維追蹤體現了數學思考的深刻性和學生良好的思維能力。
在課堂教學中教者用心設計“讓學引思”活動環節，一定可以逐步提高學生的數學核心素養――自主學習能力和數學思考能力。值得注意的是，部分同學如果長期沒有達到預期的學習目標，也會產生消極認知，因此教師應為數學學習中習得性無助感進行教學干預[4]，努力激發學生對問題探究的好奇心，培養學生學習的主動性和參與合作的積極性，把教師的“讓學引思”轉變為學生的“會學善思”。
參考文獻
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【關鍵詞】 數學課堂；問題設計；數學思維
一、引 言
數學問題是啟發數學思維的動力，也是數學課堂教學中師生進行雙邊活動的重要形式. 科學的數學課堂問題設計方法不僅有助于鞏固課堂教學知識，激勵學生學習數學的興趣，培養學生的數學思維，而且可以幫助學生建構相對完整的數學知識體系，提升學生的心智發育與語言表達能力. 當前教師在數學課堂提問設計的過程中尚存在各種問題與理解誤區. 例如，脫離學生的現實生活和學生的家庭背景來設計問題；問題提出的層次膚淺，脫離課堂教學內容；問題的難度設計使得學生無法回答，導致課堂氣氛沉悶；教師通常偏好提輔和記憶性問題，探討啟發式問題較少. 因此探討初中數學教學中的課堂問題設計原則與實施路徑，有助于激發學生學習的積極性與能動性，提升數學課堂教學質量.
二、數學課堂問題設計的原則
1. 數學課堂提問設計應確立以學生為本的理念
初中數學課程改革的基本導向是通過全面推進素質教育，以實現包括數學教育在內的基礎課程教學的以學生為本的教學新理念. 當前初中數學教學指導綱要暨《數學課程標準》中指出，“有效的數學教學活動是教師教與學生學的統一，應體現以人為本的理念，促進學生的全面發展”. 通過促進師生積極參與、交往互動、共同發展的課堂問題設計建設，有效激發學生學習興趣，調動學生學習積極性，增強學好數學的信心，養成良好的學習習慣，實現學生通過數學思考及問題解決的方式達到數學知識與技能水平的全面提升目的. 這要求初中數學教師樹立以學生為本的課堂問題設計新理念，將學生從傳統教學模式下的被動接受者轉變為學習的主體，將教師從傳統教學模式下的課堂主導者轉變為支持學生發揮主動性的學習引導者. 實行啟發式教學有助于落實學生的主體地位和發揮教師的主導作用. 在初中數學課堂的問題設計中，教師運用啟發式授課法來創設問題情境，并引導學生在交流合作的基礎上循著問題線索積極探索數學奧秘，推動學生逐步成長為積極的學習主體.
2. 數學課堂提問設計應確立知識與技能培養并重的理念
初中階段的數學教育是基礎教育的核心構件，數學知識與技能的培養是促進學生發展數學思維能力的基礎，因此教師應當將教學重心放在培養學生理解并掌握基礎性數學知識與基本技能上.
其一，在知識教學進程中，數學教師應當引導學生充分理解數學知識，并在不斷的數學訓練過程中鞏固和強化對數學知識的內在關聯性的理解. 由于初中學生尚處于心智發育階段，其思維特點中的感性成分大于理性成分，教師應當從那些與學生生活密切相關的情境中提取問題設計靈感，在課堂上運用數學問題來推動學生積極思考，實現數學知識與學生生活的密切結合.
其二，在數學技能訓練教學進程中，數學教師不僅要清晰闡述數學技能的做題方法，而且應當使學生掌握支撐做題方法背后的基本道理. 例如，在數學的冪運算教學中，教師不僅要教會學生掌握冪運算的基本計算方式，而且應當理解支持冪運算方法的基本原理. 教師應當注意數學課堂上問題設計的強度和數學訓練的效果，回避機械的重復式訓練，確保學生通過完成適度的問題式數學技能訓練，達到對數學技能的方法及原理的充分認知.
三、數學課堂問題設計的實施路徑
1. 數學課堂問題設計的營造情境
數學家費賴登塔爾指出：“數學源于現實又寓于現實，數學教學應從學生所接觸的客觀實際中提出問題，然后升華為數學概念、運算法則或數學思想. ”因此，教師在設計數學課堂問題時，應當根據生活實踐營造解決數學問題的情境，將枯燥的數學問題轉化為學生容易理解的形象化的生活現象，從而有效地增加了數學教學與學習的趣味性，提升了學生的學習興趣. 例如，在講授“合并同類項”時，教師可以事先準備若干張不同面值的小額紙幣，然后讓學生用不同的方法點數這些紙幣的總金額. 一組學生采用逐張點數并計算總金額的方法，另一組同學采用先將這些紙幣進行分類后點數再計算總金額的方法. 教師則在學生點數紙幣的同時對兩組學生分別計時，并在兩組學生完成任務后向全班學生提出“哪一組學生點數的方法更好，為什么那一組的計算方法更好？”的問題，由此自然地引導學生進入了同類項概念的學習情境中.
這種情境營造的教學方法的成功之處在于教師的情境營造貼近學生的生活，問題設計的素材直接取材于學生日常所接觸的貨幣，問題設計的實現方法簡潔明快，從而有效調動了學生參與解決問題的積極性與能動性. 情境式問題解決方法的路徑是教師引導學生沿著基于生活經驗解決數學問題，并從數學問題解決過程中獲得數學知識，隨后運用所學數學知識來解決實際問題. 教師的營造情境教學法使得數學的教與學都更貼近學生的日常生活，從而將學習過程生動化、有趣化，提升學生運用數學知識指導生活實踐的能力.
2. 數學課堂問題設計的教學模式
數學課堂問題的教學模式是教師安排數學學習方法的具體策略，是用以規劃教案并指導教師課堂教學行為的范式. 教學模式不具有普適性，任課教師必須以特定的教學目標為導向，并根據外部社會環境、學生性格特點及教學目標的條件來選擇相應的教學模式. 數學課堂問題設計中的教學模式主要包括如下內容.
其一，數學課堂的問題設計可以采用互動式游戲教學模式. 教育部在《基礎教育課程改革綱要》中指出，“教師在教學過程中應與學生積極互動、共同發展，要處理好傳授知識與培養能力的關系”. 該模式是指在教師的引導下組織并動員學生參與數學活動，并在活動中設置與數學教學內容密切相關的游戲式問題，使得學生在生活化的游戲活動中掌握數學知識并形成數學思維的一種教學法. 互動式游戲教學模式包括師生互動、學生間互動等內容. 該模式的實施步驟按照三個階段展開. 首先，由教師講授課程內容，并輔以學生的思考與提問，促使學生掌握展開互動式游戲活動所必備的知識基礎，激發其對所學知識的思考和深入探討的興趣，但是此階段的學生對所學知識尚存疑問. 其次，在教師的引導下組織學生參與教師預先設置的游戲活動，并鼓勵學生通過交流合作方式開展游戲活動. 最后，由教師對本次活動進行總結，指出學生在活動中可資嘉獎之處，并指出不足之處.
其二，數學課堂的問題設計可以采用重難點突破式問題設計. 學生對重點與難點知識的理解力較差問題是初中數學課堂教學工作的難點. 教師可以通過圍繞重難點設計問題的方式將重難點知識形象化，以便于學生理解和掌握. 例如“拋物線”一課的教學重點是通過繪制二次函數圖形并據此給出函數概念及其性質的認知. 其中該圖形的繪制要求能夠體現對函數性質的歸納性. 教師在指導學生繪制圖形時，可抓住學生易犯錯的若干繪制方法給出如下問題供學生思考. “自變量x的取值范圍是多少呀？在你繪制的圖形中，函數y與自變量x之間存在一一對應關系嗎？把下面這個函數的這幾組x與y的取值畫在坐標系上，并把那些點連成一條好看的線，然后說一下你畫出的圖形的特點. ”教師以問題驅動學生思考并解決問題的教學方式有助于將潛伏在諸多知識點中的重點及難點知識有效放大并凸顯出來，不僅有助于學生克服在數學學習過程中的概念理解與技能鍛煉的難題，而且鍛煉了學生獨立思考和自主學習的能力.
3. 數學課堂問題解決的評價與反饋
在幫助學生完成數學課堂問題的解決任務后，教師還應當對學生的問題解決能力與表現作出客觀評估，并用于指導下一階段的教學工作. 教師對數學課堂問題解決過程中的學生能力與表現作評價時應當關注如下問題：
其一，教師應當針對學生解決問題的能力作出有效評估. 教師應當重視考查學生對教師所提出的問題的理解力，學生在給出的解決問題的策略的創新力，學生在參加小組解決問題活動時的積極性與能動性，學生是否具備根據教師的問題展開進一步思考并提出新問題的能力等方面的內容.
其二，教師還應當針對學生解決問題所運用的思維作出有效評估. 教師不僅應當將課本知識傳授給學生，還應當培養學生解決問題的獨立思維能力，引導學生積極運用形象思維與抽象思維相結合的方式解決數學問題. 對于學生在解決問題的過程中運用發散思維和創造性思維給出的不同見解，教師不應當打壓，而應當積極引導學生正確運用這兩種思維能力，有效激發學生內在的數學學習潛能.
數學課堂的問題設計是初中數學教學工作的有益探索，在實施過程中難免出現各種問題. 教師應當在數學課堂的問題設計教學過程中持續積累教學，并積極反思教學過程中暴露出的諸多問題并作出有效改進，在實踐中摸索出更加適合學生發展的問題設計實現方式，有效提高學生的學習積極性與能動性，提高數學課堂的教學效果.
【參考文獻】
[1] 施林其. 淺談培養初中學生數學問題意識的必要性[J]. 數學學習與研究（教研版），2009（4）：120.
案例所選擇的活動內容是“引導幼兒學習8的分合”。活動過程的設計是這樣的：以“復習7的分合”引入，然后為每個幼兒提供8個雙色圓片（一面為紅色，一面為綠色），讓幼兒玩“撒圓片”的游戲，要求把撒出的結果（幾個為紅色，幾個為綠色）寫在記錄單上。撒一次記錄一次，重復的結果不記錄。操作完成后。教師與幼兒一起歸納出“8有7種分法”，并進一步引導幼兒觀察、分析記錄單上分合式中數字遞增、遞減的規律。
但是在實際教學過程中。幼兒的操作出現了這樣的意外情況：剛開始，有幼兒按照教師的要求撒圓片作記錄，但是撒過一兩次后，大部分幼兒已不再玩這個游戲。有的改為自己逐個翻圓片，翻一次記錄一次，有的索性撇開圓片，開始扳手指頭推算，有的甚至直接在記錄單上寫出了另外幾種分法。
這是一個典型案例。活動結束后，筆者對68位在現場觀摩的教師進行了問卷調查，其中65位教師（占被調查者的95.6%）都贊同讓幼兒通過實物操作學習數的分合，60位教師（占被調查者的88.2%）曾在從5開始（有的甚至從2開始）到10的分合教學中都采用了類似方法。即5的分合是這么教的，6、7、8、9、10的分合也是這么教的，只不過可能會換個不同的情景或操作材料。但是也有53位教師（占被調查者的77.9%）反映：“數的分合”教學難以激發幼兒的學習興趣，剛開始幼兒還能投入地進行操作，但后來由于同樣的操作要求出現在多次集體教學活動中，幼兒便不再感興趣了。
當然，從教學現場和活動后的調查中，我們能欣喜地看到，絕大部分教師已不再要求幼兒機械記憶數的各種分合式，開始關注幼兒自主操作的學習過程了。這反映出教師在教學觀念上已發生重大轉變。但問題是，在教學實施過程中，有些教師還基本停留在“知其然，不知其所以然”的階段，只會不斷套用一種教學形式，不知道幼兒學習數的分合的特點與路徑，不知道幼兒在不同的階段學習數的分合究竟需要什么樣的操作，為什么要這樣操作。以至于在實際教學中幼兒所做的是在原有水平上重復操作，從而失去了學習的興趣。
由此可見，雖然在理念層面教師們已普遍認同教學要基于幼兒的現有水平，要“以學定教”，但在實踐層面，具體到“數的分合”教學，很多教師還是未能準確把握教學的實質，對幼兒的學習路徑并不了解，仍然強調結果（有幾種分法、分別是什么），而沒有看到幫助幼兒達成教學目標過程中所蘊含的發展價值。
那么，幼兒到底是怎么學習“數的分合”的呢？雖然幼兒在數學發展水平上存在很大的個體差異，但某一年齡段幼兒對“數的分合”的理解、掌握過程有嚴格的心理發展順序，基本上都要經歷以下五個階段，走過相同的學習路徑。
第一階段：積累“量的分合”經驗
在理解“數的分合”之前，幼兒需要積累大量的相關經驗。盡管中大班幼兒在生活和游戲中都有過分東西的經驗，但剛開始他們并不真正理解“數的分合”的意義，并不知道數是一個可分可合的集合。大班幼兒抽象思維開始萌芽，但從上述“數的分合”教學案例中看，幼兒的學習遠沒有達到抽象的水平。“智力始于動作”，幼兒對“數的分合”的理解也是從動作水平的擺弄開始的，幼兒需要通過自身的操作體驗去發現數的分合規律。只有基于動作水平上的“量（實物）的分合”經驗。幼兒才能真正理解什么是分，什么是分兩份，體驗一個量可以分成兩個部分量。理解這一點，是幼兒學習“數的分合”過程中的重要一環。美國著名幼兒數學教育專家金斯伯格曾指出，一開始耍鼓勵幼兒運用非正式的方法（如數數）去探索和解決數的分合問題，盡量讓他們運用已有的知識經驗來理解和解釋當前的問題。生活中一些“量的分合”方面的游戲，可以作為幼兒原有經驗和正式的“數的分合”學習之間的橋梁。如游戲“誰的糖果多”（方法是幼兒用自己手中的糖果去匹配放在果盤格子中的糖果，數一數合起來等于指定的數量，便可取出）就是幼兒喜歡的、有利于積累經驗的游戲。案例中的“撒圓片”也是很好的幫助幼兒積累前期經驗的數學游戲：“分合”不是幼兒有意識操作驗證的結果，而是在“撒”的過程中自然出現的，幼兒只需通過數數即可感受到不同的分法。這些游戲在中班末期就可以讓幼兒玩了，以讓幼兒在玩的過程中體驗量的分合。
幼兒進入大班后，教師要有意識地在教學中為幼兒提供大量操作機會。例如，教師可以讓幼兒從5開始學習數的分合。一方面，因為5是單數，不能平均分成兩份，有助于打破幼兒固有的均分觀念：另一方面，對大班幼兒來說，5的數量是能夠目測的，一般不會出現計數上的困難。在具體活動設計上，教師可以為每個幼兒提供25個相同的實物，讓幼兒每次取5個實物，并將其分成兩份，想想可以怎么分，有哪些不同的分法。在幼兒基本掌握了5的分合后，再讓幼兒運用5的分合經驗，通過實物操作去探索學習2～4的數的分合。
只有在參與了大量的操作活動，使用了大量的材料，通過操作獲得了大量的感性經驗并經常與他人交流、討論自己的觀察和發現的基礎上，幼兒才能較好地掌握數的分合概念。
第二階段：從“量的分合”
皮亞杰在強調動作對幼兒思維發生發展的重要性的同時，更強調對動作進行抽象概括的必要性。因為數理邏輯知識是從人們對客體所施加的動作中抽象出來的。如前所述“智力始于動作”，但動作本身不是獲得數理邏輯知識的充分條件。要讓幼兒掌握數理邏輯知識，教師必須保證幼兒在對物體施予動作的同時還會對動作本身進行反思和抽象。通過第一階段的經驗積累，幼兒雖然能夠理解量（實物）的不同分法，但要讓他進一步理解抽象的“數”也有這些分法就難了。剛開始接觸“數的分合”活動時，幼兒并不理解分5個蘋果和分5個梨子本質上是一樣的，所以教師需要提供不同的材料讓幼兒操作，除了分蘋果外，還可以分梨、分香蕉、分橘子……再至分豆子、分玩具、分勺子等，讓幼兒發現雖然具體分的東西不一樣，但都是將5個東西分成兩份。只有在操作諸多“量的分合”的基礎上，幼兒才能逐步抽象出“數的分合”這一知識，而不是停留于具體“分東西”的行為上。
第三階段：領會數的分合關系
幼兒在積累大量操作經驗的過程中，會發現兩個以上的東西有多種不同的分法，逐步學會有序分合，從而窮盡所有的分法。也即知道每個數有幾種分法，繼而發現數的分合中存在的規律。
如果在教學中，幼兒已通過操作學習積累了5以內數的分合經驗，那么，從學習6的分合開始，教師就應進一步引導幼兒進入對“數的分合規律”的學習，幫助幼兒歸納出已有的分合經驗，并進一步解決下列問題：從2到5，怎樣對每個數進行有序的分合？每個數的分法有幾種，和它自身比有什么規律？2至5的分法的遞增規律是什么？如果掌握了這些規律，幼兒就可以借助它們自主學習6至10的數的分合，而無需教師再一個數一個數手把手地教了。在此過程中，可能會有少數幼兒跟不上集體學習的進程，教師可以針對他們的個別需求，繼續幫助他們掌握6-10的數的分合。
第四階段：掌握數的分合關系
只有基于以上各階段的學習，幼兒才能逐步理解分合中“總數”和“部分數”之間的包含關系（例如，2和5合起來是7，7包含了這兩個部分數），以及兩個“部分數”之間的互補關系（例如，從1和6變到2和5，左邊多1、右邊少1，合起來還是7個）和互換關系（例如，3和4、4和3都是7的分法，兩個部分數相同但位置互換）。皮亞杰指出，對兒童來說，“包含關系”的掌握是一個難點，因為兒童一注意部分就會忘了整體。同時，幼兒在理解“數的分合”中隱含的互補關系、互換關系時也有很大困難。而這些關系恰恰是幼兒能否真正理解“數的分合關系”的關鍵所在，也是我們教學中的重點和難點。
針對這一問題，教師可以引導幼兒在體驗分合有序性的同時，觀察兩個部分數之間的互補、互換關系，幫助他們去發現：一個部分數增加幾個，另一個部分數就會減少幾個；有相像的分合式（兩組部分數相同，總數相同，但部分數位置可互換），并從其中一個分合式推斷出另一個分合式。應該強調的是，在“數的分合”教學中，重點在于讓幼兒理解上述三種邏輯關系，至于幼兒是否會說“一個數可以分成幾和幾，幾和幾合起來就是這個數”，則不是教學的目標和重點。
第五階段：用推理的方法學習分合
幼兒也可以通過已經掌握的數學知識推斷出更多的“數的分合”規律。或通過掌握一些數學的基本規律來進一步學習和理解互補、互換等規律。推理方法的掌握，不僅可以簡化解決問題的過程，還可以促使幼兒運用更有效的思維方法，避免死記硬背。金斯伯格認為，在“數的分合”的教學過程中，教師要鼓勵兒童運用多種有意義的方式，如數數、扳手指、推理、游戲等，來加強對數的分合的理解。在“10的分合”的教學中，如果幼兒已經較好地掌握了分合的三種邏輯關系，就完全可以讓他們運用推理的方法直接寫出10的9個分合式。從本案例中我們也可以看出。部分幼兒已經達到了這個水平。當然，我們要關注幼兒的個體差異，允許幼兒采取適合自己水平的方式。如借助分實物來直接感知，將操作與推理結合起來，等等。
弄清了幼兒“數的分合”的學習路徑，我們再回到本案例來，就能較客觀地解釋教學過程中幼兒的表現了。“撒圓片”活動其實并不能體現幼兒當前思維發展的水平，不利于幼兒思維能力的提升。既然幼兒已經有了前期分合操作的經驗，幼兒的抽象水平也在逐漸提高，“8的分合”教學就可以通過紙筆練習或其他抽象程度更高的操作活動來進行了。
在“數的分合”教學中，教師關鍵是要通過觀察和分析，判斷幼兒處在學習路徑中的哪一個階段，這樣才能將“以學定教”真正落到實處。才能有效促進幼兒的學習和發展。
參考文獻：
[1]皮亞杰.兒童智力的起源[M].高如峰，陳麗霞，譯.北京：教育科學出版社，1990.
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[3]周希冰.幼兒數學教育操作活動淺談[J].教育導刊：幼兒教育版，1999，（5）.
【關鍵詞】初中數學，智慧課堂，構建路徑
提高初中生學習數學的興趣，構建良好的教學環境，一直是初中數學教師探索的問題。很多中學數學教師開始關注構建智慧課堂，那么，如何構建呢，教師應當做些什么，怎么做，作者帶著這些問題結合多年的教學經驗，提出了以下建議，供同仁參考。
一、智慧課堂概述
本文⒅腔劭翁枚ㄎ揮諞韻錄傅悖
（1）智慧課堂是智慧教育、智慧學習賴以發生的條件基礎，旨在培養學生個性化學習，有創造性的學習能力，讓學生能夠進行智慧的學習。
（2）智慧課堂需要一個能夠引導學生進行智慧型學習的數字化環境。該環境應當能夠支撐學生進行有效的泛在學習、移動學習等新型學習方式，滿足學生隨時隨地學習的需求。
（3）智慧課堂應當將新的信息技術、新的教學媒體以及新的教育、教學資源納人教學中。“新”不只是一種手段，更是一種方向，它能夠激發學生的創新型思維能力。學習不能在一成不變的內容、環境中進行。
二、初中數學課堂教學現狀問題
（一）“教”方面的不足
“教”方面的不足表現在：其一，教師缺乏對教材的研究，沒有理解教材思想，備課不充分，沒有課程進行精心設計；其二，沿用傳統的“填鴨式”“滿堂灌”的教學模式，導致課堂效率低下；其三，教師沒有充分尊重學生學習主體的地位，教學中缺少與學生的互動，學生自主探究、討論、思考的時間較少，使學生對知識的掌握不夠牢固，數學思維得不到充分鍛煉。
（二）“學”方面的問題
目前初中生多為獨生子女，怕吃苦、貪玩，加之初中生年齡較小，自我控制能力較差，容易出現學習態度不端正，缺乏學習主動性等問題，勢必影響課堂學習效率，主要表現在：其一，對課堂知識沒有興趣，開小差，對老師提出的問題不聞不問，不積極地進行思考和記憶；其二，對知識的理解較淺薄，只能單純記憶公式、定理，卻不能靈活運用知識解題，應付式地聽課和學習。
三、初中數學智慧課堂的構建路徑
（一）在創設情境中體現智慧
在數學教學過程中，創設生動有趣的情境，是學生自主探究教學知識的起點和原始動力，是培養學生學習數學和應用數學的一種有效手段、
1.創設問題情境，引發學生的好奇心
問題是數學的心臟，問題是學生的思維動力、一個好的問題情境的創建，可以激起學生把自己融入課堂活動中去，積極地、熱情地參與學習，問題情境的創建是教師講授內容和學生求知心理之間搭建一座“橋梁”，將學生帶入所學習的問題的情境中；創設問題情境要謹慎，應避免絢麗多彩、牽強附會、熱鬧浮躁的問題充斥課堂，我們所設計的情景要與教學內容完美融合。
2.創設生活情境，激發學生的學習興趣
如果學生不明白數學的應用性，就會覺得數學很枯燥，離生活很遙遠，學習起來很被動，更不會有興趣，而興趣是最好的老師，我們不難發現，那些數學成績優秀的孩子對數學有濃厚的興趣，有的甚至達到癡迷的程度，而那些數學成績落后的孩子總覺得生活中根本用不著數學，有時我們甚至在數學試卷上看到學生寫的牢騷，因此，作為數學教師應善于創建生活情境，將數學知識與現實生活有機聯系起來，讓學生明白數學產生的原因，讓學生在生活中看到數學的存在，提高他們的學習興趣。
（二）在分層教學中彰顯智慧
1.分層指導
教師對不同的學生給予不同的指導、學優生數學基礎相對比較扎實，有較好的學習興趣和學習方法，所以授課內容要適當加深拓寬；指導他們多做難度較大的題目，如課本中的思考題，課外輔導書中的綜合題；中等生能夠掌握基本知識，也掌握一定的學習方法，但往往缺乏勤奮好學的精神和獨立思考的習慣，對這類學生可以按常規的教學方法進行教學活動，注意及時指導，及早發現問題，爭取有更多的學生向優等生靠攏，同時注意防范學生的退步；學困生普遍缺乏自信心，知識欠缺多，通常沒有良好的學習習慣，對這類學生主要是要抓好預習、聽課、作業、復習等幾個環節，適當進行重點輔導，對他們要注重基礎知識、基本技能的傳授，進度略慢，必要時進行反復講授，從而幫助學生掌握學習方法和培養良好的學習習慣。
2.分層練習
為了鼓勵全體學生都能參與課堂活動，使課堂充滿生機，教師應有意識地編擬三個層次的問題、有難度的由學優生回答，簡單問題由學困生回答，中等問題則可由中等生來回答。分層教學中根據學生練習速度參差不齊的現象，為學生設計不同層次的練習，即基礎題、綜合題和創意題；因人施教，調動起所有學生的學習積極性，使每個學生都在原有基礎上得到不同程度的提高。
（三）培養孩子的綜合學習能力
在當前的初中課堂教學中，為了能夠有效地形成一種師生間的互動，教師也轉型互動式的教學。以學生自身發展為重點通過學生的自身努力形成數學學習能力，怎樣由數學學習帶動其它各科的學習，變的越來越重要。數學的思維能力往往能夠帶動其它學科的學習。比如數學中的一元一次方程所研究的重點行程問題也是物理學習的一部分，若是數學方面接受的好那么物理方面也會覺得簡單。此類的例子比比皆是。數學的思維能力一旦形成則生活中的許多問題也會被解決。構建智慧課堂的魅力就在此處，萬變不離其中，方法學習會了，能力形成了，最終才會形成綜合的學習生活能力。
結束語
新課程理念認為，課堂教學不是簡單認識數學的過程，它是師生共同成長的生命歷程，是不可重復的激情和智慧綜合成長的過程。在初中數學教學中我們要做的還有很多，超越知識教育，從知識走向智慧，從培養知識人轉為培養智慧者。這是我們一生追求的目標。在今后的教學中，教師應當繼續遵循新課標的要求，努力創新，認真教學，爭取讓學生在新的教學目標中得到更好的發展。
參考文獻：
一、對教學現象的思考
教師講解例習題常采用“老師分析、提示思路、板書演示、學生模仿” 的教學形式. 數學教師經常存在這樣的困惑：一些例習題，教師講了多遍，而學生卻總是不能掌握，題目稍加改變，學生更是不知從何入手. 如何才能提高學生分析問題和解決問題的能力？如何才能培養學生自我糾錯、自我反思的能力呢？
學生的數學學習需要一個充滿靈動的活動空間，《數學課程標準》在課程目標中也指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，通過義務階段的數學學習，學生能獲得……基礎知識、基本技能、基本活動經驗. ”
我們一直在探索一種以學生為中心的數學課堂，引導學生走上講臺講題就是其中之一. 在學生講題的過程中，可以把學生的思維過程暴露無遺，讓解題思路更清晰、深刻，從而積累活動經驗，提高學生的反思能力、糾錯能力、探究能力和解題能力，是提高課堂效率的有效途徑.
二、引導學生講題的實踐
數學課堂中讓學生講題是一個師生互動、生生互動的過程. 教師的有效引導，讓學生參與討論、交流、質疑、反思、優化解題的過程就顯得尤其重要. 筆者結合教學實踐，積極引導學生講題的一些嘗試呈現如下，與同行們交流.
1. 通過提出有啟發性的問題，引導學生講題
案例1 在配方法的新授課中，學生學會開平方法后，小組探討怎樣解方程：x2-10x+16=0. 設置如下問題：（1）能用開平方法或因式分解法解嗎？（2）能化為用開平方法解的形式嗎？
小組圍繞問題交流后，引導上講臺學生講題.在學生講解過程中，教師追問：（1）為什么要移項？（2）為什么兩邊加25？
在追問中讓學生理解配方的實質，而不僅僅停留在模仿上，再加以配方練習，規范解題格式，可取得不錯的效果.
在關鍵處提出有啟發性的問題，引導學生思考、交流，有助于學生講題時抓住知識的本質，完善認知結構.
2. 利用學生對例題的不同理解，引導學生講題
案例2 在證明四邊形內角和定理時，教材給出連結對角線BD，轉化為三角形內角和為180°來證明（如圖1），引導基礎較弱的學生講題，并通過追問的方式得到這種證明方法的本質：把四邊形問題轉化為三角形問題來解決.
老師提出“還有其他的轉化方法嗎？”讓學生思考，有學生提出連結兩條對角線轉化為四個三角形的內角來解決（如圖2），得：180°×4-360°得四邊形內角和為360°.
教師追問：這個點一定要是對角線的交點嗎？學生再次深入思考后得出：這個點可以為四邊形內任何一點，都能起到轉化為四個三角形的內角和減去一個周角的作用.
此時，有學生提出更深層次的問題：其實，這個點可以在四邊形內，也可以在四邊形的邊上或四邊形的外面，都可以把四邊形轉化為三角形（如圖3、圖4）.
教師表揚后引導學生小結：（1）四邊形問題，常可以轉化為三角形問題來解決；（2）此題中實質上是在四邊形所在的平面內任取一點，然后連結各頂點，就把求四邊形內角和轉化為求三角形內角和來解決，圖1是點恰好取在頂點，方法最優.
利用不同層次的學生對例題的不同理解，能使學生積極參與講題活動，在講題交流中，解答問題時的不同角度突破了學生的認知障礙，豐富了學生的解題經驗. 教師的適時點撥與講評，讓不同的認知得到及時轉化，促進學生的認知水平不斷提升.
3. 呈現做題過程中的典型錯誤，引導學生講題
案例3 如圖5，在菱形ABCD中，AB=2，∠C=
60°，菱形ABCD在直線l上向右做無滑動的翻滾，每繞著一個頂點旋轉60°叫一次操作，則經過36次這樣的操作，菱形中心O所經過的路徑總長為（結果保留π） .
筆者先讓學生獨立思考，然后與同桌交流，如發現解題中的問題，由學生上臺講他認為正確的答案，并指出錯誤的地方. 然后全班同學討論，最后由教師總結，進行現場講題指導.
錯因歸類1：不能準確地找到點O的運動軌跡而出錯. 主要有下面兩種情形.
學生錯題講解①：如圖6，圓弧的半徑為■，點O在菱形運動中的路徑看作是2次操作為一周期，得到了路徑總長度為12■π.
學生錯題講解②：如圖7，誤將第2次操作和第3次操作間的路徑看作是平移，路徑是一條線段，得到規律為3次操作為一周期，得到總路徑長為8■π+12.
錯因歸類2：計算出錯，主要有以下三種情形.
學生錯題講解③：如圖8，虛線部分是菱形中心O的運動軌跡，大圓弧的半徑為■，小圓弧半徑為1，翻滾3次為一周期，總路徑長為14π.
學生錯題講解④：如圖8，大圓弧的半徑為2，小圓弧半徑為1，翻滾3次為一周期，故總路徑長為20π.
學生錯題講解⑤：如圖8，虛線部分是菱形中心O的運動軌跡，大圓弧的半徑為■，小圓弧半徑為1，故總路徑長為■π.
學生通過講例題中的典型錯誤，向同伴充分暴露自身的解題障礙，并及時得到師生的幫助，從而修正自身的認知結構，同時也讓基礎較好的學生更深層地認識自身的解題方法，促使其優化.
4. 通過習題的一題多解和一題多變，引導學生講題
案例4 如圖9，在正方形ABCD中，點E是CD的中點，點F是BC邊上的一點，且∠FAE=∠EAD. 求證：EFAE.
學生在條件∠FAE=∠EAD的啟發下，大多數同學形成以下思路：過點E作EGAF，垂足為G（如圖10），先證得ADE≌AGE，得出∠AED=∠AEG，再證EGF≌ECF，得出∠GEF=∠CEF即可得證.
在第一位同學講好題后，教師作如下引導：點E是邊CD的中點，可以怎樣作輔助線？
學生依據以往解題經驗及和同學交流后，得到如下方法：如圖11，延長AE交BC的延長線于點G，先證ADE≌GCE，得AE=GE，再根據等腰三角形的三線合一，即可得證.
提出新的問題：如果將條件中的正方形改為矩形、菱形、平行四邊形、等腰梯形、梯形、任意四邊形……這個結論還成立嗎？若成立，以上兩種方法還適用嗎？
通過這種能一題多解、一題多變的問題，能很好地“引爆”學生的思維，學生愿意積極地參與課堂的講題，學生掌握的不是一道題的解法，而是一類題的思考方法，從而積累經驗.
5. 通過習題的深入拓展，引導學生講題
嘗試以一道題為背景，層層深入進行拓展，讓不同的學生能找到講題的素材，在教師和同伴的引導下，通過講題交流活動，提升數學思維品質.
案例5 如圖12，已知拋物線y=-■x2+x+4與y軸交于點C，與x軸交于點A，B.
（1）求點A，B，C的坐標.
（2）求ABC的面積.
（3）在第一象限的拋物線上是否存在點M，使得MAC的面積最大？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.
（4）若點P是拋物線對稱軸上的點，是否存在這樣的點P，使PBC是直角三角形？若存在，求出點P 的坐標；若不存在，說明理由.
（5）在直線AC上是否存在點F，使得FBC是等腰三角形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由.
（6）若點M是拋物線上的點，是否存在這樣的點M，使以M，A，C三點為頂點且AC為直角邊的三角形與BOC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.
（7）你能提出其他的問題嗎？
問題（1）至問題（7）都是以拋物線y=-■x2+x+4為背景通過多次變式而得，問題（1）（2）起點低，問題（3）為常見的面積最大值問題，問題（4）（5）（6）為直角三角形、等腰三角形、相似三角形的分類討論，解題方法多，在講題過程中，為學生提供了更好的展示平臺，并可以得到最優化的解題方法，問題（7）讓學生提問，能讓不同層次的學生參與講題，適應了不同層次的學生需求，且有前6個問題的鋪墊，他們提出問題會變得比較深刻.
在復習課中，由一道題層層深入的呈現形式，能很好地吸引不同層次的學生參與講題活動，同時不同層次的學生能通過講題暴露出對問題的不同理解和解決方法，在教師的適時點評和同伴的互助下，能很好地幫助學生對問題的理解趨向深刻，提升思維能力.
三、反思與體會
讓學生走上講臺講題，正是體現“學為中心”理念的一種探索，能激發學生學習的自主性，能在課堂進行真正的有針對性的教學互動，能為學生積累活動經驗和解題經驗，能發揮例習題講評的最大功效.
