時間：2023-06-12 14:47:22
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇三角函數變換規律，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
【關鍵詞】 恒等變換 給值求值 給角求值 給值求角 綜合運用
【中圖分類號】G424 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1006-5962(2012)06(a)-0143-02
三角恒等變換是高考的重點之一,要求掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式;高考對本部分內容的考點:一方面是簡單的化簡、求值,以客觀題為主,難度一般不大,有時以向量為載體出現解答題;另一方面本節內容常作為數學工具常融合三角函數,這時要先對三角函數解析式進行化簡、變形,再深入考查三角函數的圖像和性質。還需說明一點的是“幾個三角恒等式”及積化和差、和差化積公式和半角公式不要求記憶和運用,已經淡出高考范圍。本文現從江蘇和全國其他各省近幾年的高考試卷中精選出一些典型考題與大家一起研討高考中這部分內容的命題方向和考查方向,希望能起到一個拋磚引玉的效果。
1 高考命題熱點一:給值求值問題。
【真題再現1】(2011年全國卷理科第14題)已知,,則
【解析】本題考查了同角三角函數的基本關系式與二倍角的正切公式的運用。
由已知得,則,所以。
規律小結:對于給值求值問題,即由給出的某些角的三角函數值求另外一些角的三角函數值,關鍵在于變角,使目標角變換成已知角,若角所在的象限沒有確定則應分情況討論,應注意這部分內容中公式的正用、逆用、變形利用,同時根據題目的結構特征,學會拆角、拼角等技巧,
如,等。
2 高考命題熱點二:給角求值問題。
【真題再現2】(2006年江蘇卷第14題)
【解析】本題考查了切割化弦、輔助角公式
,倍角正弦公式、降冪公式。原式
=
=
=。
規律小結:給角求值問題,一般給出的角都是非特殊角,從表面來看是很難的,但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定的關系。解題時要利用觀察得到的關系,結合三角公式轉化為特殊角并且消去非特殊角的三角函數而得到解,有時還要逆用、變用公式,同時結合輔助角公式和升冪、降冪公式等技巧。
3 高考命題熱點三:給值求角問題。
【真題再現3】(2008年江蘇卷第15題)如圖,在平面直角坐標系中,以軸為始邊做兩個銳角,,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點,已知A,B的橫坐標分別為。(1)求的值;(2)求的值。
【解析】本題融合三角函數的定義,考查兩角和的正切公式、二倍角的正切公式。由條件得,因為,為銳角,所以=,因此
(1),
(2),所以,因,為銳角則,故=
規律小結:給值求角問題,往往通過間接求出這個角的某個三角函數值,再得出這個角的大小,選取某個三角函數值時可按照下列原則:一般已知是角的正切函數值,則選所求角的正切函數值;已知條件是正弦、余弦函數值,則選所求角的正弦、余弦函數值皆可;若所求角的范圍是,則選該角的正弦函數值較好;若所求角的范圍是,則選該角的余弦函數值較好。解決給值求角問題分三步:第一步是求該角的某個三角函數值,第二步是確定該角所在的范圍,第三步是根據角的范圍寫出所求的角。
4 高考命題熱點四:三角恒等變換與其他數學知識的綜合運用問題。
【真題再現4】(2011年重慶卷第16題)設,
,滿足,求函數在上的最大值和最小值。
【解析】本題考查融合了三角函數的單調性和最值的性質,考查誘導公式、二倍角的正弦公式、降冪公式、公式
,又考查綜合分析問題和解決問題的能力。由已知 ,由得,因此
;由及,解得增區間;由及,解得減區間,所以函數在上的最大值是;又因,則函數在上的最小值為。
【真題再現5】(2009年江蘇卷第15題)設向量
,,。
(1)若與垂直,求的值;
(2)求的最大值;(3)若,求證:∥。
【解析】 本題主要考查融合向量的基本概念與向量平行,考查同角三角函數的基本關系式、
二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式,考查運算和證明得基本能力、綜合分析問題和解
決問題的能力。
(1)由與垂直,,即
,。
(2)4,
,則的最大值是。
(3)由得,即,所以∥。
規律小結:三角恒等變換與其他數學知識的綜合運用,大多以解答題的形式出現,它一方面融合平面向量知識考查化簡、求值、證明恒等式,學生必須掌握好平面向量知識特別是數量積的運算才能順利解答問題;另一方面三角恒等變換為數學解題工具,它往往融合三角函數考查三角函數的圖像和性質(如周期性、單調性、值域、最值等),這類題突破的關鍵是能正確快速地對三角函數進行化簡,化簡的技巧和原則:①采用遇平方降冪的方法使式子的次數盡量低;②采用輔助角公式、切弦互化使式子的函數種類盡量少;③采用已知角表示未知角使式子的角的種類盡量少;④采用通分等變形技巧使式子結構盡量簡單,同時還要注意角的范圍及三角函數的正負。隨著知識的深入還會更多的接觸到三角恒等變換與解三角形(正弦、余弦定理)融合的題型。
5 高考的考查特點分析和方向預測。
上面就一些高考中的三角恒等變換知識進行了深入的分析,通觀全國各省對三角恒等變換的考查,我們發現有以下特點:
(1)分文理科的地區,兩科對三角恒等變換均有考查;文理試題的題目基本相同,難度區分不大。
(2)區分度問題:三角恒等變換部分不會出非常難的題目,一般都是以容易題、中檔題出現。
（3）題型方面:全國各省在選擇題和填空題中都有所考查,更側重填空題;在解答題中考查但難度不大;全國各省高考大多數都是考一道填空題容易題和一道解答形式的中檔題。
摘要：課堂教學的主體是學生，課堂教學的目的是促進學生的發展。教師在課堂教學中是學生學習的引導者、組織者和幫助者。教師如果能采用恰當的策略，充分發揮學生學習的主動性，激發學生學習的興趣和熱情，為學生的學習指明正確的方向，那么學生就會在課堂的學習中獲得長足的發展。
關鍵詞：學生發展 教學策略 三角函數
課堂教學的最終目的是促進學生的發展，學生發展的內涵體現在教學目標上，可細化為“三維目標”：即知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀。作為“思維的體操”的數學，在促進學生發展方面起著舉足輕重的作用，它可以很好的培養學生能力、夯實學養根基、培養優良個性品質。在高中數學課堂教學中，如何根據不同的教學內容，選擇合適的教學策略，促進學生的發展，成為廣大教師所關心的熱點問題之一，本文以高中數學《三角函數》的教學為例，就此談點粗淺的認識和體會。
1、注重知識銜接，奠定學生發展的基礎
同一知識模塊或相關知識，在不同學段有著不同的要求.“螺旋式上升、循序漸進”便成為了新教材編寫的重要原則。因此，在課堂教學中，要充分體現這一原則，充分注重知識的銜接，遵循學生的認知規律，為學生的發展奠定堅實的基礎。
案例1初、高中三角函數各自內容怎樣？兩者是如何銜接的？
眾所周知，三角函數是中學數學的重要內容，在初中階段，學生已初步學習了三角函數知識，但只要求學生在了解的基礎上會進行一些特殊角的三角函數的計算和化簡。在高一教材中則花了三個章節系統介紹了三角函數知識，并且角的范圍擴大到任意角，教學要求明顯提高，偏重于三角函數圖象和性質的研究及應用，內容豐富、抽象、概括性很強，它不是初中內容的簡單重復，而是延伸、拓展和提高。因此，我們說三角函數是初、高中數學教學的一個重要銜接內容，正確處理好初、高中三角函數的教學銜接，深入研究彼此潛在的聯系和區別，做好新舊知識的串連和溝通，不僅可以幫助學生深化理解三角函數概念，而且更有助于提高學生的思維能力，分析問題和解決問題的能力。
案例2 高中三角函數兩章的內容如何分布？又是怎樣銜接的？
高中數學三角函數在人教版普通高中課程標準實驗教材·數學（A版）中，安排在必修4的第一章《三角函數》和第三章《三角恒等變換》共兩章，知識脈絡大體為；角的推廣任意角的三角函數定義誘導公式圖象與性質圖象變換簡單應用；兩角和與差的公式倍角公式簡單三角恒等變換.一環扣一環，前面的基礎沒打好，后續知識就會難以為繼.比如：由三角函數定義，我們不難得出各個函數在每個象限的符號，而懂得這個符號規律是我們掌握誘導公式的前提。
在課堂教學中，至于這兩章如何銜接，具體處理方式不外乎兩種，第一種就按教材順序進行；第二種第一、三章連著上，然后再上第二章。筆者建議不用“創新”就按教材這種“螺旋式上升”這種方式就行了，先學了《三角函數》之后接著講《平面向量》，學生先有一種新鮮感，爾后學《三角恒等變換》，再通過三角與向量的簡單結合，進一步加深、強化、鞏固.這樣，更符合學生的認知特點。我們要深刻理解新教材編寫的良苦用心，注重同一知識不同章節的銜接，打好知識基礎并在此基礎上呈階梯狀上升。
2、注重知識生成，提升學生發展的品質
長期以來，高中學生普遍反映數學難、數學枯燥乏味，究其原因是教師在教學中過分重視結論的應用而忽視結論的生成造成的。數學教學是學生在教師的正確引導下通過動手實踐、自主探索、合作交流的方式獲得廣泛數學活動經驗的過程，并在這個過程中，逐步提升學生發展的品質，包括主動發展的意識、思維能力、創新行為與成果等。
案例3 三角函數的定義是怎樣形成的？
初中銳角的三角函數的定義用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來定義銳角三角函數用單位圓上的點來定義銳角三角函數利用單位圓定義任意角的三角函數。
四個過程，循序漸進，不斷深化，通過有效的鋪墊,使之符合學生的認知規律，體現了數學知識的產生、發展過程, 從而激發學生主動探求事物“來龍去脈”的原始欲望，強化主動發展的意識。
案例4 余弦函數y=cosx的圖象如何得到？
設問1：用描點法可以作出y=cosx的圖象嗎？
設問2：用類似于求作y=sinx的方法可以作出y=cosx的圖象嗎？
設問3：由誘導公式六y=cosx=sin（■+x），你能找到y=sinx和y=cosx的圖象之間的聯系嗎？
三個設問的設計，從思維的角度出發沿著先易后難的方向，從自主探究的過程出發則是先難后易，在課堂教學當中，引導學生先獨立思考，后合作交流，這樣從正反兩個方面不僅讓學生得到了y=cosx的圖象，還讓他們知道正余弦函數圖象之間的區別和聯系，圖象生成之際即為思維能力提升之時。
3、注重學科辯證思想，培養學生發展的素養
“辯證法”作為“放之四海皆準”的通法，會滲透到各個學科各個領域，數學學科亦不例外。三角函數內部之間存在著唯物辨證的關系，在學習三角函數關系中要注意滲透辨證思想，例如常量與變量、運動與靜止、特殊與一般、具體與抽象，有助于幫助學生理解和掌握三角函數的知識內容和相互聯系，同時通過學習數學知識培養唯物辯證思想，感受數學的美學價值，學習做人做事的基本原則，將來成為社會發展需要的高素質人才。
【關鍵詞】三角函數；教學體會；教學反思；實際應用
當今時代，知識更新速度加快，日新月異.特別是進入21世紀以后，思想活躍，關于數學方面的研究日益深入和豐富.三角函數研究的意義和必要性也日益突出，其中三角函數的教學扮演著重要角色.
三角函數教學的內容、教學目標及教學方法不斷發生著變化，而且在我們的日常生活中具有越來越重要的作用.下面讓我對高中三角函數教學的心得體會、反思以及三角函數在我們日常生活中的作用做一些詳盡的介紹.
一、三角函數教學的心得體會
1.要特別關注和留意教材與大綱內容的變化.認識這一變化，我們才能有目標地學習，了解教學的深度、難度和廣度，避免復習中做一些無用功.
2.關注教材編寫的新穎之處.
3.強化幾何思想，加強幾何直觀.
4.加強了數學建模的思想.把三角函數作為描述真實生活的數學模型，首先展示大量的背景材料，再分析、概括、抽象，建立模型來解決問題.數學生活化，更容易調動學生的學習積極性.
5.高科技設備的引入和應用.把學生從煩瑣的計算中解脫出來，并利用信息技術探索數學規律.
二、三角函數的教學反思
關于三角函數的教學，應注意以下問題：
1.數學知識生活化.讓學生自主積極地將數學與生活聯系起來，使學生體會三角函數模型的意義.
2.弧度是學生比較難接受的概念，教學中應使學生體會弧度也是一種度量角的單位，可在后續課程的學習中逐步理解這一概念，在此不作深究.
三、對學生的要求
學生一定要注重三角函數中的基礎知識及應用知識.要對三角函數的圖像、周期性、單調性、奇偶性、對稱性、化簡、求值和最值等重點內容熟練掌握并加以運用.將三角函數與代數、幾何、向量的關系加以聯系總結，相互融通.在三角函數的學習中比較重要的就是注重知識的總結.
1.熟悉三角變換常用的方法——化弦法、降冪法、角的變換法等，并能應用這些方法進行三角函數式的求值、化簡、證明.
2.深入探究正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數的圖像性質及對平移變換、伸縮變換的意義.
四、學習三角函數的策略
1.了解差別：深入探究角、函數運算間的差別，即進行所謂的“差異分析”.
2.尋找相關性：通過公式間的相關性，找出差異之間的內在聯系.
3.恰當轉化：選擇合適公式，使得差異轉化.
五、三角函數知識的意義和影響
三角函數知識對于鍛煉學生思維，培養學生數學思想方面發揮著重要作用.
1.培養學生的函數與方程思想
教師在培養學生的函數與方程思想時，講授求值域、求最值、求參數等相關的知識和方法，引導學生學習函數和方程的使用，通過指導學生進行解題練習，使學生在實際練習中感悟函數與方程思想的意義，從而使學生的函數與方程思想得到鍛煉和培養.
雖然三角變換的技巧多且靈活，但是萬變不離其宗，多是通過觀察角、名、形、冪之間的差異，進行差異分析，實現異角化同角、異名化同名、高次化底次、弦切互化等的變異求同.
1.變“角”
例1.設α∈（0，），β∈（，），cos（α-）=，sin（β+）=-，求sin（α+β）的值.
【分析】條件角是α-，β+，目標角是α+β，運用轉化與化歸思想得到α+β=（α-）+（β+）-.
【解答】由α∈（0，）得到α-∈（-，0），所以sin（α-）=-=-.
由β∈（，）得到β+∈（π，），所以cos（β+）=-=-.
所以sin（α+β）=sin[（α-）+（β+）-]=-cos[（α-）+（β+）]=.
【評析】本題可以直接利用和角、差角公式展開cos（α-）=，sin（β+）=-得到sinα，sinβ，cosα，cosβ.這也是一種思路，但是計算量太大.本題的解法通過配角化異求同，溝通已知角與未知角的關系，大大提高了解題效率.但是解題中要注意角的范圍，α-∈（-，0），β+∈（π，）是不可缺少的，忽視角的范圍限制，容易產生運算錯誤.
常用的角度變換有：α=（α+β）-β=（α-β）+β，2α=（α+β）+（α-β），（+α）+（-α）=，等等.
2.變“名”
例2.已知函數f（x）=tan（2x+），
（Ⅰ）求f（x）的定義域與最小正周期；
（II）設α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小.
【分析】解決三角函數問題要三看，即看角、看名、看式.由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，這里有復角α+，倍角2α，單角α，首先得消除角的差異，即α+，2αα；其次函數化切化弦.
【解答】（I）易解得定義域為{x|x≠+，k∈Z}，最小正周期T=.
（II）解：由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，即=2（cosα-sinα），即=2（cosα+sinα）（cosα-sinα）.
因為α∈（0，），所以sinα+cosα≠0，所以（cosα-sinα）=，即sin2α=.
由α∈（0，），得2α∈（0，），所以2α=，α=.
【評析】弦切互化是化函數異名為同名的最常用方法.忽視角的范圍限制是產生錯誤的重要原因.
3.變“式”
例3.求值：tan17°+tan43°+tan17°tan43°.
【分析】非特殊角特殊角，利用公式變形整體求解.
【解答】tan60°=tan（17°+43°）==，所以tan17°+tan43°=（1-tan17°tan43°），所以tan17°+tan43°+tan17°tan43°=.
【評析】在進行三角變換時，順用公式的情況比較普遍，但如果能根據題目的結構，聯想到公式的變形、逆用，那么就會“柳暗花明又一村”.本題的巧妙之處在于將兩角和的正切公式變形為tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）.
4.變“次”
例4.函數f（x）=sin（2x-）-2sinx的最小正周期是
？搖？搖？搖 ？搖.
【分析】已知條件中存在次數的差異，應先運用降次、升冪公式消除次數差異.
【解答】f（x）=sin（2x-）-2=sin2x-cos2x-+cos2x=sin2x+cos2x-=sin（2x+）-，所以最小正周期是π.
【評析】通過降次、升冪等手段，為使用公式創造條件，也是三角變換的一種重要策略.常見的降次公式有sinx=，cosx=；升冪公式有：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα.
5.“1”的妙用
例5.已知a，β均為銳角，且tanβ=，則tan（α+β）=
？搖？搖？搖 ？搖.
【分析】已知條件是sinα，cosα的齊一次式，聯想到化弦為切，轉化為tanα，tanβ的關系.
【解答】tanβ===tan（-α）.又因為α，β均為銳角，所以β=-α，即α+β=，所以tan（α+β）=1.
【評析】在三角變換中，“1”的妙用使問題迎刃而解.常見的有1=sinα+cosα，1=tan.
6.整體處理
例6.已知sinθ+cosθ=，且θ∈[，]，則cos2θ的值是
？搖？搖 ？搖？搖.
【分析】看到sinθ+cosθ=比較容易想到sinθ+cosθ=sin（θ+）=，那么2θ=2（θ+）-，這是一種思路.當然還可以從化同角的角度把單角變倍角，則只需平方即（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ；或者把倍角轉化為單角，則cos2θ=cosθ-sinθ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ），只要能求出cosθ-sinθ，這個問題就解決了.
【解答】法一：sinθ+cosθ=兩邊平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ=，即sin2θ=-.又因為θ∈[，]，所以2θ∈[π，]，所以cos2θ=-=-.
法二：sinθ+cosθ=兩邊平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=-，
又（cosθ-sinθ）=cosθ-2sinθcosθ+sinθ=1-2sinθcosθ=，又θ∈[，]，
所以cosθ-sinθ
關鍵詞：幾何畫板 三角函數 動態演示
在新課程改革的大背景下，如何充分應用信息技術服務教學成為了我們每個教育工作者必須關心的話題。在傳統的三角函數教學中，基本上都是使用常規工具（如粉筆，圓規或直尺等）畫圖，所作的圖形是靜態的，具有一定的局限性；而在數學中很多關系和規律是在變化中被發現和掌握的，傳統的教學沒有變化過程，無法展現圖形變化的任意性，從而不利于規律的發現。本文將通過三角函數教學中的兩個案例，展示幾何畫板輔助三角函數教學所具有的獨特優勢，讓三角函數教學"動"起來。
案例1：借助幾何畫板形象說明y=sinx是以2π為周期的周期函數
在人教版數學必修4《第一章三角函數》這一章中，如何理解"三角函數的周期性"是教學的重點，也是教學的難點，正確理解三角函數的周期性對于學生在三角函數的學習中有著舉足輕重的地位。數學概念都是死的，是不能再創造的。傳統的教學對三角函數的周期性這一概念往往是讓學生死記，再機械應用，但隨著時間的推移，學生的記憶就會很快的被遺忘。而事實上，對三角函數的周期性這一概念的教學應該關注學生的學習過程，提供足夠的材料、時間和空間，讓學生通過觀察、比較、交流、討論等活動來完成。幾何畫板對于達到上述目標具有先天的優勢，借助幾何畫板的"平移圖像"功能，通過數形結合很好的向學生展示了三角函數在每個周期上的函數圖像是一樣的。
下面以y=sinx為例，向學生展示y=sinx是以2π為周期的周期函數，繪圖步驟如下：
①建立直角坐標系xOy，執行"圖表-定義坐標系"。在直角坐標系xOy中作出函數y=sinx的圖像：執行"圖表-定義坐標系"，"圖表-繪制新函數-函數-sin-x"。
②在畫板中任取點P，以點P為
坐標原點建立新的直角坐標系，如
應用1，作出y=sinx在區間[0，2π]
上的函數圖像。選中該圖像，執行
"編輯-操作類按鈕-隱藏/顯示"，
生成按鈕顯示軌跡。圖一
③在x軸上繪制點A(-2π，0)、A（2π，0）。依次選中點P、點O，執行"編輯-操作類按鈕-移動"，生成按鈕還原；依次選中點P、點A，執行"編輯-操作類按鈕-移動"，生成按鈕周期1；依次選中點P、點B，執行"編輯-操作類按鈕-移動"，生成按鈕周期2；
④隱藏所有沒必要的對象,如圖一。
教學時，點擊按鈕顯示軌跡，函數在區間[-2π，2π]上的圖像便以粗體的形式出現在學生面前。拉動點P，再次讓學生體會y=sinx在區間[-2π，2π]上的圖像。點擊按鈕還原，則該圖像會回到原來的位置。點擊按鈕周期1和周期2，y=sinx在區間[-2π，2π]上的圖像就會分別移動到區間[-2π，0]和[2π，4π]上，此時，學生很容易看出在這三個周期上的函數圖像是一樣的，依此類推，通過圖像的移動等動態演示，從而使學生深刻理解三角函數的周期性這一概念。
案例2：借助幾何畫板探究函數y=Asin(ωx+φ)的圖像
人教版數學必修4《1.5函數y=Asin(ωx+φ)的圖像》這一章節的教學中，重點是如何讓學生認清楚參數φ、ω、A對y=Asin(ωx+φ)圖像的影響。為此，我們借助幾何畫板分別作出y=sinx與y=sin(x+φ)、y=sinx與y=sinωx、y=sinx與y=Asinx三組圖像，通過改變參數φ、ω、A的值，引導學生觀察參數φ、ω、A對y=Asin(ωx+φ)圖像的影響。
下面，我以φ對y=sin(x+φ)的圖像的影響為例，談談如何借助幾何畫板動態演示y=sinx的圖像轉換成y=sin(x+φ)（φ∈(-π，π)）的圖像，作圖步驟如下：
①作y=sinx的圖像:建立直角坐標系xOy，執行"圖表-定義坐標系"。作函數y=sinx的圖像，執行"圖表-定義坐標系"，"圖表-繪制新函數-函數-sin-x"。
②作y=sin(x+φ)的圖像:在x軸上繪制點M(-π，0)、N(π，0)，作線段MN。選中線段MN，執行"作圖-線段上的點"，得到點P。依次選中點P與原點O，執行"變換-標記向量"。選中y=sinx的圖像，執行"作圖-函數圖像上的點"，得到點A。選中點
A，執行"變換-平移-標記"，得到點B。
依次選中點A和點B，執行"作圖-軌跡"，
得到y=sin(x+φ)的圖像。
③依次選中點P、點A和點B，執行
"度量-橫坐標"，得到點P、點A和點B
的橫坐標xP、xA、xB，則φ=xP。
④隱藏所有沒必要的對象,如圖二。圖二
在教學中，先將點P移至原點。演示的時候，提醒學生觀察參數xP、xA、xB的變化，其中φ=xP。若將點P向x軸的負半軸移動時，函數y=sin(x+φ)的圖像向右移動，此時φ=xP0。通過以上動態演示，學生不難得出以下結論:當φ0時，y=sin(x+φ)的圖像可由y=sinx的圖像向左平移|φ|個單位。
運用幾何畫板輔助三角函數的教學，不僅讓三角函數教學"動"起來，而且還增大課堂容量、優化教學結構，增強學生的學習興趣，激發學生的探究精神。同時，充分體現了"以人為本"的新課程理念，并且拓寬了數學課堂的教學形式，改變以往單一的教學手段，使數學問題更形象化，更貼近生活，為數學教育開辟了更為廣闊的天地。
參考文獻
摘要：高中數學的特點是由它的培養目標決定的，學生在學習中不同的學習方法，不同的學習態度會得到不同的效果。教師要加強這方面的訓練。
關鍵詞：教育目標 知識網絡化 學習興趣 創新能力
高中數學是高考中的必考學科，它不同于其他學科是由它培養教育目標所決定的。高中數學教育占有特殊的地位，使學生掌握數學的基礎知識、基本技能、基本思想，使學生表達清晰，思考有條理，使學生具有實事求是的態度，鍥而不舍的精神，學會用數學的思考方式去解決問題。學好數學對于每一個高中生來講是十分必要的，特是不同的方法，不同的學習態度會得到不同的效果。教師在教學中有必要加強這方面的訓練。
函數部分進行列表比較。一般函數按照定義域、值域、基本圖象、單調性、奇偶性、周期性、對稱性來進行，特別是要記住一次函數、二次函數、指數函數、對數函數和函數f(x)=ax+b/x(a＞0，b＞0)的圖象和性質。對于函數的一些特殊性質是必須記的且必須會靈活運用，如：函數f(x)=0既是奇函數又是偶函數；單調函數存在反函數，且其反函數在其對應區間上具有相同的單調性；指數函數與對數函數互為反函數，它們的圖象關于直線y=x對稱；由f(a+x)=f(a-x)去找函數的對稱性，由f(x+a)=f(X-a)去找函數的周期性。
數列知識對比學習。如等差數列與等比數列可以從定義，通項公式，等差(比)中項，前n項和公式，性質人手，如下標成等差數列的項所構成的數列；間隔相等的數列片斷和構成的數列；非零的常數列。記的結論如三角形中的三個內角成等差數列，則其中必有一個角為60°，若是三條邊成等差數列，三內角的正弦值成等差數列，兩個等差數列中相同的項仍構成等差數列，其公差是已知兩數列公差的最小公倍數；在求數列通項公式時要注意相鄰兩項的比(差)的關系，以及在對已知條件變形(如加常數，取對數，取倒數)轉化為等差(比)數列，在求前n和公式時對于等比數列的求法，以及裂項相消法；同時要注意與函數和不等式的聯系。
三角函數的學習中要找準一個“變”。在三角變換中有角的變換、三角函數名稱的變換、三角函數表達式的變換。要觀察差異(角、函數、運算)，1的運用，尋找聯系(借助熟知公式、方法和技巧)，特別是在三角函數的周期、最值以及函數圖象的變換時，常用降次公式和輔助角公式。同時要將平面向量中解三角形綜合起來，將它看作為三角函數在三角形中的運用。尤其是正余弦定理的運用，函數圖象按向量平移與一般平移不同。
不等式方面以及導數知識將它們看作為是新的解題方法，是能力的提升。特別是線性規劃問題劃入不等式的學習中更為有利，一定要將均值不等式成立的條件理解清楚；導數的應用中單調性的討論以及閉區間上最值的討論又是對函數性質的補充和擴展。對于導數中判斷方程解的個數一定要注意極限思想。
解析幾何方面找準曲線的定義，記住曲線的性質。作為這部分知識是數學的思想和方法的提煉，對函數與方程的思想、數形結合思想、化歸轉化的思想、分類討論的思想，以及待定系數法、坐標法定義法、相關點法、參數法、交軌法都考查得十分到位的。
立體幾何方面一定要夯實基礎，弄清概念，學會作圖、識圖，把知識網絡化。對于線線、線面及面面的位置關系(平行與垂直)、兩異面直線的判定，三垂線定理，二面角等應精練多練，對于三種角的求法，距離之間的轉化要不斷總結找規律。要能充分利用好向量這一解題工具，很多時候會解決不易作圖問題，但對計算能力要求要高一些。
作為每一部分的內容不是孤立的，在學習中要多找它們的交匯點，如函數與不等式、數列、解析幾何等，向量與三角恒等變形，向量與幾何，向量與代數的聯系，對于應用問題要能建立數學模型(如函數模型、方程或不等式模型、數列模型、排列組合模型、幾何模型、圖表模型等)，再思考重點是什么；學習中一定要充分利好教材，激發學習興趣，通過培養問題意識，通過不同數學內容的聯系與啟發，進行類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運用，提高數學思維能力，在開發練習、習題的鞏固，拓展知識、深化數學理解和應用的功能、精心設計和編排習題中進一步探索研究，培養創新能力。
集合與函數口訣
內容子交并補集，還有冪指對函數。性質奇偶與增減，觀察圖象最明顯。
復合函數式出現，性質乘法法則辨，若要詳細證明它，還須將那定義抓。
指數與對數函數，兩者互為反函數。底數非1的正數， 大1為增小為減。
函數定義域好求，分母不能等于0 ，偶次方根須非負，零和負數無對數；
正切函數角不直，余切函數角不平；其余函數實數集，多種情況求交集。
兩個互為反函數，單調性質都相同；圖象互為軸對稱， Y ＝ X是對稱軸；
求解非常有規律，反解換元定義域；反函數的定義域，原來函數的值域。
冪函數性質易記，指數化既約分數；函數性質看指數，奇母奇子奇函數，
奇母偶子偶函數，偶母非奇偶函數；圖象第一象限內，函數增減看正負。
三角函數口訣（一）
三角函數是函數，象限符號坐標注。函數圖象單位圓，周期奇偶增減現。
同角關系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割；
中心記上數字 1 ，連結頂點三角形；向下三角平方和，倒數關系是對角，
頂點任意一函數，等于后面兩根除。誘導公式就是好，負化正后大化小，
變成銳角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數倍，奇數化余偶不變，
將其后者視銳角，符號原來函數判。兩角和的余弦值，化為單角好求值，
余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱。
計算證明角先行，注意結構函數名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。
逆反原則作指導，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。
萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧用；
1 加余弦想余弦， 1 減余弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范；
三角函數反函數，實質就是求角度，先求三角函數值，再判角取值范圍；
利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集。
三角函數口訣（二）
三角知識，自成體系，記憶口訣，一二三四。
一個定義，三角函數，兩種制度，角度弧度。
三套公式，牢固記憶，同角誘導，加法定理。
同角公式，八個三組，平方關系，導數商數。
誘導公式，兩類九組，象限定號，偶同奇余。
兩角和差，欲求正弦，正余余正，符號同前。
兩角和差，欲求余弦，余余正正，符號相反。
兩角相等，倍角公式，逆向反推，半角極限。
加加減減，變量替換，積化和差，和奇互變。
不等式口訣
解不等式的途徑，利用函數的性質。對指無理不等式，化為有理不等式。
高次向著低次代，步步轉化要等價。數形之間互轉化，幫助解答作用大。
證不等式的方法，實數性質威力大。求差與0比大小，作商和1爭高下。
直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式，正面難則反證法。
還有重要不等式，以及數學歸納法。圖形函數來幫助，畫圖建模構造法。
數列口訣
等差等比兩數列，通項公式N項和。兩個有限求極限，四則運算順序換。
數列問題多變幻，方程化歸整體算。數列求和比較難，錯位相消巧轉換，
取長補短高斯法，裂項求和公式算。歸納思想非常好，編個程序好思考：
一算二看三聯想，猜測證明不可少。還有數學歸納法，證明步驟程序化：
首先驗證再假定，從K向著K加1，推論過程須詳盡，歸納原理來肯定。
導數記憶口訣
導數定義要分明，平均變化率記清，增量可正亦可負，但要牢記不為零。
某點導數若存在，函數這點必連續，導數為零請注意，未必都是極值點；
某點導數不存在，切線方程可出現，區間導數大于零，這個區間必遞增，
反之不一定成立。可導奇函導為偶，可導偶函導為奇；導數加減分進行，
導數積商記分明，函數可導四者導，兩個函數若不導，四者導否難說清。
常數導數記為零，正變余弦不變號，余變正弦前添負，高次導數要記清，
前添次數上減1 。自然對數導真倒，一般對數真倒前，對底不變真變e；
自然指數導不變，一般指數前不變，自然對數底作真，切線斜率幾何意。
復數口訣
虛數單位i一出，數集擴大到復數。一個復數一對數，橫縱坐標實虛部。
對應復平面上點，原點與它連成箭。箭桿與X軸正向，所成便是輻角度。
箭桿的長即是模，常將數形來結合。代數幾何三角式，相互轉化試一試。
代數運算的實質，有i多項式運算。 i 的正整數次冪，四個數值周期現。
一些重要的結論，熟記巧用得結果。虛實互化本領大，復數相等來轉化。
利用方程思想解，注意整體代換術。幾何運算圖上看，加法平行四邊形，
減法三角法則判；乘法除法的運算，逆向順向做旋轉，伸縮變換模長短。
三角形式的運算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開方極方便。
輻角運算很奇特，和差是由積商得。四條性質離不得，相等和模與共軛，
兩個不會為實數，比較大小要不得。復數實數很密切，須注意本質區別。
排列、組合、二項式定理口訣
加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關是組合，要求有序是排列。
兩個公式兩性質，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應用問題須轉化。
排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。
不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。
關于二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質兩公式，函數賦值變換式。
立體幾何口訣
點線面三位一體，柱錐臺球為代表。距離都從點出發，角度皆為線線成。
垂直平行是重點，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對之間循環現。
方程思想整體求，化歸意識動割補。計算之前須證明，畫好移出的圖形。
立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對于解題最關鍵。
異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質三垂線，解決問題一大片。
平面解析幾何口訣
有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數方程極坐標，數形結合稱典范。
笛卡爾的觀點對，點和有序實數對，兩者一一來對應，開創幾何新途徑。
兩種思想相輝映，化歸思想打前陣；都說待定系數法，實為方程組思想。
三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關系判。
四件工具是法寶，坐標思想參數好；平面幾何不能丟，旋轉變換復數求。
解析幾何是幾何，得意忘形學不活。圖形直觀數入微，數學本是數形學。
思維體操口訣歌
世上事情多，總想弄明白。
勤做思維操，快樂常相伴。
第一看位置，前后與左右。
根據何而來，要往哪里去。
時間和空間，就是兩條線。
目的和對象，分明是界限。
第二看尺度，平衡是關鍵。
快慢有節奏，松緊不能斷。
條件會變化，它變我也變。
流水不爭先，和諧是真言。
第三看層面，角度千千萬。
里看外也看，眼光要常換。
登高能望遠，秋毫也能見。
一層又一層，進出都自在。
第四看動機，矛盾是根源。
一分都為二，要好又要鬧。
才有不平事，立刻起波瀾。
前因有后果，解決靠實踐。
第五看途徑，辦法有很多。
大處來著眼，小處要細算。
發散與聚合，順逆都能得。
巧未必勝拙，胸中有主見。
天地有奧妙，萬物皆循環。
思維常鍛煉，只能算一半。
八風吹不動，意志堅如磐。
關鍵詞：周期性現象模型；感性認識；三角函數
到了高中階段，三角函數概念擺脫了初中階段的束縛，產生很大的飛越． 概念提升后，學生認識的角度、深度和廣度都要相應地發生變化，對概念的理解才能從初中階段順利過渡到高中階段．從人類認識運動的辯證過程看，首先是從實踐到認識的過程． 在這個過程中，認識采取了感性認識和理性認識兩種形式，并經歷了由前者到后者的能動飛躍． 理性認識是基于感性認識的基礎之上的． 感性認識和理性認識相互滲透，相互包含． 感性認識和理性認識在實踐的基礎上是辯證統一的． 認識運動是不斷反復和無限發展的． 數學就是人類通過實踐由感性認識上升到理性認識而形成的，并在不斷豐富和發展．
初中階段的三角函數概念，其研究范圍是銳角，側重幾何的角度，在一個直角三角形中，研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內在關系，其研究方法是幾何的，研究目的是為解直角三角形服務． 高中階段，它是在“角的概念的推廣”的基礎上進行討論和研究的，研究從“靜態”到“動態”，體現了運動變化的觀點．通過構造，將給定的角通過直角坐標系研究，提供了用代數方法研究幾何的思路，研究平臺從初中的平面幾何圖形過渡到平面直角坐標系，再次體現了數形結合的思想． 任意角的三角函數作為函數概念的下位概念，要強調它是以角為自變量，比值為函數值的函數，由“銳角三角函數”概念擴張到“任意角三角函數”． 三角學的現代特征，是把三角量看做函數，即看做是一種與角相對應的函數值． 正如歐拉所說，“引進三角函數以后，原來意義上的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進行自由的運算”．
三角函數在高中數學教材中自成體系，成為獨立的一章． 沿定義出發衍生的基本內容有：三角函數線、三角函數值的符號、同角三角函數關系、誘導公式、一些變換公式以及圖象和性質，其內涵豐富，外延廣泛． 在經歷從銳角三角函數過渡到任意角三角函數定義的推廣過程中，學生的理解很難一步到位，往往還是容易陷入于直角三角形中去研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內在關系． 要克服負遷移，打破思維定式，突破它的下位概念——銳角三角函數的概念的束縛，承前啟后，從狹義走向廣域，達到概念的內化．
脫離實際的理論是空洞的，會顯得蒼白無力． 找到感性認識的切入點，通過突出和深化感性認識，提供一些適當的背景，增強學生學習活動的體驗，學生能身臨其境，伴隨著“真情實感”來體驗概念的產生、發展過程，逐步過渡到理性認識階段，水到渠成．
以典型、具體的模型，通過適當的實踐讓學生從已有的知識經驗去認知，明確研究范圍的變化，開闊視野，引導學生進行提煉概括，才能揭示由此帶來的新問題，加深對新概念的理解，這樣的學習才會充滿活力．
這里給出兩個例子來加以說明．
以和我們日常生活息息相關的交流電為例，它的最基本的形式是正弦電流
如圖1所示為發電機的示意圖．當線圈在勻強磁場中以角速度ω逆時針勻速轉動時，線圈將產生感應電動勢． 當線圈平面垂直于磁感線時，各邊都不切割，沒有感應電動勢，稱此平面為中性面，如圖2所示． 設磁感應強度為B，磁場中線圈一邊的長度為l，平面從中性面開始轉動，經過時間t，線圈轉過的角度為ωt，這時，其單側線圈切割磁感線的線速度v與磁感線的夾角也為ωt，所產生的感應電動勢e′=Blvsinωt． 所以整個線圈所產生的感應電動勢為e=2Blvsinωt，2Blv為感應電動勢的最大值，設為Em，則e=Emsinωt． 此式為正弦交流電動勢的瞬時值表達式，也稱解析式． 正弦交流電壓、電流等表達式與此相似．
圖3
圖4
從產生交流電的過程看，對比正弦曲線，此例是一個非常生動和具體的實例．
簡諧振動
簡諧振動有單擺擺動和彈簧振子運動．
理論和實驗都證明，簡諧振動物體的位移隨時間變化的規律呈正弦函數或余弦函數．
以橫軸表示時間t，以縱軸表示位移x，建立坐標系，畫出簡諧運動的位移—時間圖象都是正弦或余弦曲線，振動圖象表示了振動物體的位移隨時間變化的規律． 由圖象可知振動的周期，可以讀出不同時刻的位移；根據圖象可以確定速度大小、方向的變化趨勢；還可以根據位移的變化趨勢判斷加速度的變化，也能判斷質點動能和勢能的變化情況．
學生如果能從所熟悉的問題、感興趣的事物、日常生活中的情景或已熟悉掌握的知識等這些背景出發，不僅把已有的數學現實作為新知識增長點，從現有的知識經驗中培養新的知識經驗，也將所學的數學知識與他的現實生活聯系起來，找到數學知識在實踐應用中的切入點，把數學應用于現實世界，服務于當代和新生科學的理論和實踐，“把現實的數學與學生個體的現實緊密地結合起來”．
任意角的三角函數反映了自然界中或工程技術中的一個非常重要的周期運動現象，是大量周期性現象的模型，也是為研究客觀世界中大量存在的周期性現象服務的．
【關鍵詞】新課改；三角函數；空間解析幾何；教學
【基金項目】云南省科技廳應用基礎研究青年項目（2013FD052）；文山學院重點學科數學建設項目（12WSXK01）
引 言
《空間解析幾何》不僅是大學數學專業的一門重要基礎課程，而且也是其他理工科類專業的高等數學中的重要內容，它是數學的重要組成部分，是進一步學習后續課程的重要基礎.它包括：向量與坐標，軌跡與方程，平面與空間直線、柱面、錐面、旋轉曲面，二次曲線和二次曲面六部分內容，在這些內容中會涉及三角函數和反三角函數的知識.三角函數是高中數學的一個分支，自2009年以來，云南省開始實行新課程改革，數學用的教材是經全國中小學教材審定委員會2004年初審通過的，人民教育出版社出版的普通高中新課程標準試驗教科書，根據普通高中數學課程標準（試驗），三角函數部分的知識與以前的全日制普通高級中學數學教學大綱相比，內容和要求上都發生了很大的變化.本文在云南省高中數學新課程改革下，結合大學數學專業及其他理工科專業對空間解析幾何知識的要求，研究空間解析幾何教學中設計三角函數相關知識的處理方式和技巧.
一、新課改下三角函數的教學要求
在沒有實行新課程改革以前，高中數學教學都是以教育部制定的《全日制普通高級中學數學教學大綱》為標準，而實行新課程改革試點后，很多省市的高中數學教學就以《新課標》為標準，對兩者在三角函數部分的教學要求進行比較發現，《新課標》有如下幾點變化和要求：
1.對弧度的概念，任意角的定義，三角函數式的化簡，求值和恒等式的證明，三角不等式的應用，三角函數求角，和差化積、積化和差、半角公式等降低了要求，在畫圖上更注重應用現代設備（計算器或計算機），不再是單純的傳統的尺規作圖.
2.很注重三角函數定義中單位圓的地位及其應用.在《新課標》的說明與建議中明確提出：單位圓可以幫助學生直觀地認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式，以及三角函數的圖像和基本性質；借助單位圓結合具體實例，教師可以引導學生自主的探索三角函數的有關性質，培養學生分析問題和解決問題的能力.
3.重視與其他學科之間的交叉與聯系，也注重學以致用的思想.既可從物理、生物、自然界中的周期現象（運動），也可從已學過的指數函數、對數函數、冪函數等得到啟示，例如通過單擺運動、波的傳播、交流電、圓上一點的運動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實例，使學生感受周期現象的廣泛存在，認識周期現象的變化規律，體會三角函數是描述周期現象的重要數學模型之一，從而幫助揭示一些自然現象，提高學生學習數學的興趣，還有助于培養學生發現問題和解決問題的能力.
4.在這個模塊中，對比新課改前后的教材可知，任意角的反正弦、反余弦、正割、余割、反正切、反余切函數、周期函數，最小正周期和三角函數奇偶性的判定內容被刪減了.
二、空間解析幾何教材中三角函數相關知識的處理
在空間解析幾何教材中，涉及三角函數知識的內容很多，如向量的射影、數量積、向量積、非零向量的方向余弦；平面曲線的方程、曲面的方程和空間曲線的方程；兩條直線所成的角、兩個平面所成的角、直線與平面所成的角；各種曲面的參數方程以及二次曲線和二次曲面的化簡.根據第一部分所述的三角函數的要求，以及高校空間解析幾何對后續課程的影響及作用，對該教學內容中涉及三角函數相關知識的處理顯得非常重要.
1. 復習、引導和構建
近年來，學生生源的不斷減少，但高等教育在不斷發展，我國大學的入學率在不斷的提高，或多或少會對生源的質量造成一定程度的影響，其中不乏部分數學基礎不好的學生被錄取，所以在上空間解析幾何課程之前，可以先復習中學已經學過的三角函數知識；在教學中，要引導學生用已掌握的知識去推導即將用到的知識；其次，還要用所學知識試圖去構建新知識，這樣既有利于學生開動腦筋，又能培養學生思考問題和解決問題的能力.
2.熟記、鍛煉和提高
雖然現在倡導能力和素質的培養，但也不能忽略培養學生的基礎知識和基本技能.在解析幾何課程中經常會用到已知三角函數求角，和差化積、積化和差，三角恒等變換公式等，現在國內通用的解析幾何或者高等數學教材在涉及這部分知識內容上并沒有太大的區別，因此在教學中會多次用到上述知識，可以通過多次強調幫助學生記住這些公式，同時多加以練習，從而不斷提高.
3.略講、轉換或不講
對于數學專業的學生，空間解析幾何課程是一門非常基礎的專業課，但也是對后續課程有很大影響的課程，對涉及三角函數知識比較多的第二章，可以挑選幾個例題介紹用到的三角函數知識的基本思想，或者對所涉及的內容作一定的轉換后再講解，以便于降低學生的難度，同時更有利于學生對知識的理解.對于其他理工科類專業涉及這部分知識的基礎好一點的班級可以略講，基礎差的班級可以不講.側重于教會學生今后遇到這類問題時怎樣去查找資料，考試時可以不做要求.
（1）通過引例讓學生經歷問題提出過程，激發學生探索數學規律的積極性。
（2）理解兩角差的余弦公式及推導過程，并能進行簡單的三角恒等變換。
（3）通過公式的探究，培養學生分析問題、解決問題的能力。
二、教學重點與難點
重點：兩角差的余弦公式的探究過程及公式的運用。
難點：探索過程的組織和引導，兩角差余弦公式的探究思路的發現。
三、教學準備
教師：將教科書中的引例及圖3.1-1，圖3.1-2，圖3.1-3，例1，例2做成投影片，有條件的可利用多媒體，圖3.1-2做成動畫形式。
學生：直尺、圓規等。
四、教學導圖
創設情景，以實例引入課題 明確探究目標及途徑組織學生自主探索例題與練習小結與作業。
五、教學設計
1. 展示實例
課本章頭圖3.1-1給出的問題，創設情景，引入課題。
設計意圖：由給出的情境素材，使學生感受到實際問題中對研究兩角和（差）公式的需要。
師生活動：教師――運用投影片或多媒體出示實例。組織學生使，問題數學化。
學生――實例的關鍵是如何由sinα=，求tan a=（45°α）的值。
教師――可先引導學生用方程的思想分析求解該問題。進而啟發學生如何用所學的三角學知識進行分析解決。
師生――將問題一般化，抽象概括出帶有一般性的數學問題：探求單角與和角的三角函數值之間的關系，即對任意角α、β如何用α、β的三角函數值把α+β或α-β的三角函數值表示出來？為此，本節學習兩角差的余弦公式這一具有奠基性的問題，從而引出本節課題。
2. 你認為= 正確嗎？
設計意圖：人們由于受思維定勢的影響，往往以為此“分配律”成立，通過特意設置這個思考問題，讓學生深刻認識到這一“習慣性”的結論的不正確性，從而樹立不能想當然、要理性思維的良好觀念，并認識到要探索的公式在“恒等”方面要求的意義。
師生活動：教師――提出上述問題，引導學生分析認識到，要驗證一個等式是否成立，可以先通過特例進行初步驗證，有一個特例不成立，就可斷言結論不成立;若找不到反例，則可試著去證明它是成立的。
學生――嘗試檢驗，取一些特殊角進行驗證，例如α=60°，β=30°，判斷出該“式”不是“恒”成立的。
教師――那么，如何用單角α、β的正弦、余弦值正確表示cos（α-β）呢？通過這個問題引起懸念，激起探索欲望。
3. 運用三角函數定義探索cos（α-β）的表達式
設計意圖：通過提出用三角函數定義推導公式，學生會考慮單位圓上如何做出角α、β、α-β的三角函數線，教師利用投影或多媒體，積極引導學生經歷“作角找線找等量關系”的探索過程。
師生活動：教師――數學上講究從特殊到一般，從簡單到復雜，對此問題，我們也不妨先從α、β、α-β三個角都為銳角的情形開始研究。我們可以借用的工具是什么呢？回到基礎，從定義開始。
學生――在單位圓，作出角α、β的終邊，從而做出角α-β的余弦線OM，如圖3.1-1。
教師――現在，問題可轉化為什么樣的問題？只需要探究出來什么就可以了呢？
學生――學生基本能夠指出，問題轉化為：如何用角α、β的正弦線、余弦線來表示OM？
教師――帶領學生利用幾何直觀尋找OM的表達式，從而得出表達式。教師進一步指出，剛才的推導是在都為銳角這個特殊情況下進行的，所得結果是否任意角α、β都成立？教師可以用多媒體進行演示，讓學生通過演示觀察猜測結論。肯定結論之后，具體推廣過程請同學們課下完成。
4. 能否利用向量的方法探究cos（α-β）公式？
設計意圖：通過多角度分析，培養學生的自主探究能力。使學生對向量的坐標表示，向量的數量積有進一步的理解。同時，培養學生嚴謹的數學品質。
師生活動：教師――上面通過回歸定義，我們推導出了兩角差的余弦公式，還有其他辦法嗎？
學生――在平面直角坐標系xOy中作單位圓，以Ox為始邊作角α，β，如圖3.1-2，從而能寫出交點A，B的坐標，由數量積坐標公式推導出cos（α-β）。嘗試推導過程。
教師――引導學生分析整個推導過程，是否有不嚴謹之處？
師生――根據向量數量積的概念，角α-β必須符合條件0≤α-β≤π，若α-β是任意角，則α-β也是任意角。事實上，α-β=2kπ+，或2kπ-
（k∈Z）.
cos（α-β）=cos=O?O對于，對于任意角α、β都有cos（α-β）。=cos αcosβ+sinαsinβ。
5. 歸納公式的結構特點
設計意圖：使學生進一步熟悉公式，了解公式的結構特征，以便運用公式解決一些問題或推導其他公式。
師生活動：師生――共同分析公式結構特點：①任意角，②同名積，③符號反。
教師――此公式稱為差角的余弦公式，簡記為C（α-β）。
6. 自學例1，并解決思考題
設計意圖：初步體驗公式用法，增加對公式的理解，培養學生的自學能力。
師生活動：學生――求解過程獨立完成。
教師――通過本例及思考題，點評①公式的正用和逆用，②角的拆分的多樣性，③誘導公式的運用。并安排如下兩個變式練習，來強化公式的記憶和理解。
變式練習：求值：（1）cos53°cos23°+
sin53°sin23°;（2）cos（+θ）cosθ+
sin（+θ）sinθ。
7. 自學例2，并完成P127練習第2～4題
設計意圖：進一步理解公式，掌握運用公式應該注意的問題，明確思維的有序性和表達的條理性是三角變換的基本要求。
師生活動：學生――認真審題，求解問題，注意步驟。
教師――對學生表述的步驟，是否規范作出必要的點評和要求。
遞進思考：將例2的條件α∈（，
π）改為α∈（0，π），如何求cos（α-β）的值。
訓練學生的分類討論的思想，提高表達能力。
8. 練習：以知α、β為銳角，cosα=，cos（α+β）= ，求cos的β值
設計意圖：培養學生靈活運用公式的能力，初步體會角的配湊技巧在三角問題解決中的作用。
師生活動：教師――引導學生比較公式，注意角β與α，α+β之間的關系。
學生――獨立思考，不難得出β=（α+β）-β
教師――提問學生說出思路，最后進行解法點評。本題特點：①需要構造角，②需要研究角的范圍。
9. 反思與升華
① 總結兩角差的余弦公式的探索及證明思路;
② 應用公式求值時應注意問題是什么？
③ 總結本節課所涉及的數學思想和辦法。
設計意圖：通過總結，使學生對本節課有一個全面的認識，提高學生的數學思維能力，培養學生強烈的求知欲望。
師生活動：師生――探究公式的方法：①有簡單到復雜，由淺入深;②由特殊到一般，抓主要問題探索;③進行反思，予以修正完善。
六、作業設計
作業：教課書P137習題3.1 A組第2～4題。
備選練習：1. 若cosα+cosβ=cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，求cos（α-β）的值。
解：cosα+cosβ=-cosγ ①
sinα+sinβ=-sinγ ②
①+②得：2+2+cos（α+β）=-
⒉ 如何用cos（α-β）的表達式來探究（α±β）的其他三角函數？
七、教材設計說明
（1）本設計首先通過章頭圖實際問題的引入，讓學生感受到研究和差公式的必要，這樣設計能夠引起學生興趣，引發矛盾沖突，同時明確了探究目標。
（2）本設計重點放在公式的推導上，分三個層次：一是直覺猜想，特殊驗證;二是通過α、β為銳角（α>β）的特殊情況進行探究;三是對一般情形進行探究。這樣設計符合認知規律，使學生感受到學習過程是不斷猜想、不斷修正、從特殊到一般的思維過程。通過探究和證明不但培養了學生邏輯推理能力，而且培養了合情推理能力及創新能力，以及優秀的數學思維品質，體現了探究中“大膽猜想、小心求證”的教學思想，使數學的學習過程由冰冷的美麗化為火熱的思考。
1.
對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。
中元素各表示什么？
注重借助于數軸和文氏圖解集合問題。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3.
注意下列性質：
（3）德摩根定律：
4.
你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）
的取值范圍。
6.
命題的四種形式及其相互關系是什么？
（互為逆否關系的命題是等價命題。）
原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。
7.
對映射的概念了解嗎？映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？
（一對一，多對一，允許B中有元素無原象）
8.
函數的三要素是什么？如何比較兩個函數是否相同？
（定義域、對應法則、值域）
9.
求函數的定義域有哪些常見類型？
10.
如何求復合函數的定義域？
義域是_。
11.
求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎？
12.
反函數存在的條件是什么？
（一一對應函數）
求反函數的步驟掌握了嗎？
（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）
13.
反函數的性質有哪些？
①互為反函數的圖象關于直線y＝x對稱；
②保存了原來函數的單調性、奇函數性；
14.
如何用定義證明函數的單調性？
（取值、作差、判正負）
如何判斷復合函數的單調性？
……）
15.
如何利用導數判斷函數的單調性？
值是（
）
A.
B.
1
C.
2
D.
3
a的最大值為3）
16.
函數f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？
（f(x)定義域關于原點對稱）
注意如下結論：
（1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。
17.
你熟悉周期函數的定義嗎？
函數，T是一個周期。）
如：
18.
你掌握常用的圖象變換了嗎？
注意如下“翻折”變換：
19.
你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？
的雙曲線。
應用：①“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不等式）的關系——二次方程
②求閉區間［m，n］上的最值。
③求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。
④一元二次方程根的分布問題。
由圖象記性質！
（注意底數的限定！）
利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什么？
20.
你在基本運算上常出現錯誤嗎？
21.
如何解抽象函數問題？
（賦值法、結構變換法）
22.
掌握求函數值域的常用方法了嗎？
（二次函數法（配方法），反函數法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數單調性法，導數法等。）
如求下列函數的最值：
23.
你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？
24.
熟記三角函數的定義，單位圓中三角函數線的定義
25.
你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數的圖象嗎？并由圖象寫出單調區間、對稱點、對稱軸嗎？
（x，y）作圖象。
27.
在三角函數中求一個角時要注意兩個方面——先求出某一個三角函數值，再判定角的范圍。
28.
在解含有正、余弦函數的問題時，你注意（到）運用函數的有界性了嗎？
29.
熟練掌握三角函數圖象變換了嗎？
（平移變換、伸縮變換）
平移公式：
圖象？
30.
熟練掌握同角三角函數關系和誘導公式了嗎？
“奇”、“偶”指k取奇、偶數。
A.
正值或負值
B.
負值
C.
非負值
D.
正值
31.
熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應用了嗎？
理解公式之間的聯系：
應用以上公式對三角函數式化簡。（化簡要求：項數最少、函數種類最少，分母中不含三角函數，能求值，盡可能求值。）
具體方法：
（2）名的變換：化弦或化切
（3）次數的變換：升、降冪公式
（4）形的變換：統一函數形式，注意運用代數運算。
32.
正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現邊、角轉化，而解斜三角形？
（應用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）
33.
用反三角函數表示角時要注意角的范圍。
34.
不等式的性質有哪些？
答案：C
35.
利用均值不等式：
值？（一正、二定、三相等）
注意如下結論：
36.
不等式證明的基本方法都掌握了嗎？
（比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等）
并注意簡單放縮法的應用。
（移項通分，分子分母因式分解，x的系數變為1，穿軸法解得結果。）
38.
用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始
39.
解含有參數的不等式要注意對字母參數的討論
40.
對含有兩個絕對值的不等式如何去解？
（找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。）
證明：
（按不等號方向放縮）
42.
不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉化為最值問題，或“”問題）
43.
等差數列的定義與性質
0的二次函數）
項，即：
44.
等比數列的定義與性質
46.
你熟悉求數列通項公式的常用方法嗎？
例如：（1）求差（商）法
解：
［練習］
（2）疊乘法
解：
（3）等差型遞推公式
［練習］
（4）等比型遞推公式
［練習］
（5）倒數法
47.
你熟悉求數列前n項和的常用方法嗎？
例如：（1）裂項法：把數列各項拆成兩項或多項之和，使之出現成對互為相反數的項。
解：
［練習］
（2）錯位相減法：
（3）倒序相加法：把數列的各項順序倒寫，再與原來順序的數列相加。
［練習］
48.
你知道儲蓄、貸款問題嗎？
零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：
若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：
若按復利，如貸款問題——按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類）
若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復利），那么每期應還x元，滿足
p——貸款數，r——利率，n——還款期數
49.
解排列、組合問題的依據是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。
（2）排列：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一
（3）組合：從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素并組成一組，叫做從n個不
50.
解排列與組合問題的規律是：
相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數量不大時可以逐一排出結果。
如：學號為1，2，3，4的四名學生的考試成績
則這四位同學考試成績的所有可能情況是（
）
A.
24
B.
15
C.
12
D.
10
解析：可分成兩類：
（2）中間兩個分數相等
相同兩數分別取90，91，92，對應的排列可以數出來，分別有3，4，3種，有10種。
共有5＋10＝15（種）情況
51.
二項式定理
性質：
（3）最值：n為偶數時，n＋1為奇數，中間一項的二項式系數最大且為第
表示）
52.
你對隨機事件之間的關系熟悉嗎？
的和（并）。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時發生”叫做A、B互斥。
（6）對立事件（互逆事件）：
（7）獨立事件：A發生與否對B發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。
53.
對某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即
（5）如果在一次試驗中A發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中A恰好發生
如：設10件產品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）從中任取2件都是次品；
（2）從中任取5件恰有2件次品；
（3）從中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），n＝103
而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”
（4）從中依次取5件恰有2件次品。
解析：一件一件抽取（有順序）
分清（1）、（2）是組合問題，（3）是可重復排列問題，（4）是無重復排列問題。
54.
抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數表法）常常用于總體個數較少時，它的特征是從總體中逐個抽取；系統抽樣，常用于總體個數較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現了抽樣的客觀性和平等性。
55.
對總體分布的估計——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計總體的期望和方差。
要熟悉樣本頻率直方圖的作法：
（2）決定組距和組數；
（3）決定分點；
（4）列頻率分布表；
（5）畫頻率直方圖。
如：從10名女生與5名男生中選6名學生參加比賽，如果按性別分層隨機抽樣，則組成此參賽隊的概率為____________。
56.
你對向量的有關概念清楚嗎？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
在此規定下向量可以在平面（或空間）平行移動而不改變。
（6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
規定零向量與任意向量平行。
（7）向量的加、減法如圖：
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一組基底。
（9）向量的坐標表示
表示。
57.
平面向量的數量積
數量積的幾何意義：
（2）數量積的運算法則
［練習］
答案：
答案：2
答案：
58.
線段的定比分點
.
你能分清三角形的重心、垂心、外心、內心及其性質嗎？
59.
立體幾何中平行、垂直關系證明的思路清楚嗎？
平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化：
線面平行的判定：
線面平行的性質：
三垂線定理（及逆定理）：
線面垂直：
面面垂直：
60.
三類角的定義及求法
（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（三垂線定理法：A∈α作或證ABβ于B，作BO棱于O，連AO，則AO棱l，∠AOB為所求。）
三類角的求法：
①找出或作出有關的角。
②證明其符合定義，并指出所求作的角。
③計算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［練習］
（1）如圖，OA為α的斜線OB為其在α影，OC為α內過O點任一直線。
（2）如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對角線BD1＝8，BD1與側面B1BCC1所成的為30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角；
②求異面直線BD1和AD所成的角；
③求二面角C1—BD1—B1的大小。
（3）如圖ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD面ABCD，且PD＝AD，求面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小。
（AB∥DC，P為面PAB與面PCD的公共點，作PF∥AB，則PF為面PCD與面PAB的交線……）
61.
空間有幾種距離？如何求距離？
點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。
將空間距離轉化為兩點的距離，構造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法，或者用等積轉化法）。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，則：
（1）點C到面AB1C1的距離為___________；
（2）點B到面ACB1的距離為____________；
（3）直線A1D1到面AB1C1的距離為____________；
（4）面AB1C與面A1DC1的距離為____________；
（5）點B到直線A1C1的距離為_____________。
62.
你是否準確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質？
正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱
正棱錐——底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。
正棱錐的計算集中在四個直角三角形中：
它們各包含哪些元素？
63.
球有哪些性質？
（2）球面上兩點的距離是經過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球心角！
（3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經度角，它是面面成角。
（5）球內接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內切球半徑r之比為R：r＝3：1。
積為（
）
答案：A
64.
熟記下列公式了嗎？
（2）直線方程：
65.
如何判斷兩直線平行、垂直？
66.
怎樣判斷直線l與圓C的位置關系？
圓心到直線的距離與圓的半徑比較。
直線與圓相交時，注意利用圓的“垂徑定理”。
67.
怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置？
68.
分清圓錐曲線的定義
70.
在圓錐曲線與直線聯立求解時，消元后得到的方程，要注意其二次項系數是否為零？≥0的限制。（求交點，弦長，中點，斜率，對稱存在性問題都在≥0下進行。）
71.
會用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎？
如：
通徑是拋物線的所有焦點弦中最短者；以焦點弦為直徑的圓與準線相切。
72.
有關中點弦問題可考慮用“代點法”。
答案：
73.
如何求解“對稱”問題？
（1）證明曲線C：F（x，y）＝0關于點M（a，b）成中心對稱，設A（x，y）為曲線C上任意一點，設A＇（x＇，y＇）為A關于點M的對稱點。
75.
求軌跡方程的常用方法有哪些？注意討論范圍。
（直接法、定義法、轉移法、參數法）
【關鍵詞】 定位；知識呈現；嚴格性水平；綜合程度；銜接
函數是高中數學知識框架中最重要的支柱，三角函數是函數知識的重要組成部分.大家知道，大學微積分是以函數研究為對象的.因此，三角函數知識的強化或弱化對大學微積分學習影響較大.究竟高中教材對三角函數應做怎樣的取舍，才能不對后續學習產生負面的影響呢？我們不妨研究一下香港教材.香港數學教育一向受英美影響較深，很有成績.
本文研究選取的是朗文香港教育出版社2009年出版的《新高中數學與生活》[1]系列教材，其中與三角函數有關的兩本教材是《新高中數學與生活（必修部分）4B》（下文簡稱《必修4B》）與《新高中數學與生活（延伸部分）單元二――代數與微積分1》（下文簡稱《微積分1》）.《新高中數學》教材系列在香港影響較大.希望通過我們的研究，能讓教材與教參編寫者有所借鑒，對一線教師有所裨益.
1 三角函數在高中教材中的定位
香港目前使用的各種版本的高中數學教材，都是依據2007年制訂的《數學課程及評估指引（中四至中六）》編寫的.教材內容分必修部分和延伸部分.朗文香港教育出版公司出版的必修教材共6本，《必修4B》是其中的一本，包涵了三角函數最基礎的知識及簡單應用.《必修4B》的序言指出：“為所有學生提供必要的數學基礎，配合他們日后在不同領域進修的需要.”延伸部分備有兩個選修單元，單元一有教材2本，單元二有教材3本.《微積分1》是單元二的第1本教材，屬選修教材，包涵的三角函數知識是《必修4B》所選三角函數內容的加深與拓展，絕大部分知識與大學數學銜接有關聯.《微積分1》的序言指出：“集中在更深層次的數學上，為希望學習高等數學的學生奠下鞏固的代數與微積分基礎”；“冀能對學生日后升學或從事與數學有關聯的專業，有所裨益”.從這里可以看出，《微積分1》是供相當于大陸的理科學生選修的.
香港教材將“三角函數”最基礎的一部分內容定位為必修內容，將難度稍大且與大學數學銜接的內容定位為選修內容，對以后不同方向發展的學生作了不同的要求.反觀大陸2007年編寫的“人教A版”高中數學教材，將三角函數定位為必修內容，學生高中階段所學的所有三角函數知識全編寫在《必修4》[2]中.
2 三角函數知識在教材中的具體呈現
《必修4B》中的三角函數內容有132頁（每頁接近4A紙大小），大約18課時；《微積分1》中的三角函數內容有90頁，大約14課時.兩本書共有三角函數內容222頁，大約共需32課時.
《必修4B》中三角函數知識呈現在第10章“續三角”與第11章“三角學的應用：二維空間”.第10章的具體編排是：基礎知識重溫；101旋轉角：處于標準位置上的角，四個象限；102 任意角的三角比：任意角的三角比的定義，三角比的正負值；103三角函數的圖像：y=sinθ的圖像，y=cosθ的圖像，y=tanθ的圖像，三角函數的周期性；104三角方程的圖解法；105三角恒等式：（180°-θ）的三角比，（180°+θ）的三角比，（360°-θ）的三角比，（360°+θ）的三角比，（90°+θ）的三角比；106 利用代數方法解三角方程；數學探究：直角三角形的正切值；IT活動：三角比的正負值，利用單位圓繪畫y=sinθ的圖像；點滴分享知多些：交流電與三角學在港燈電力供應中的應用；答案.第11章的具體編排是：基礎知識重溫；111 三角形面積：三角形面積，海倫公式；112正弦定理；113 余弦定理；114 三角學上的二維空間應用題：回顧，二維空間的應用題；數學探究：圓內接四邊形的面積；答案.
《微積分1》中三角函數知識呈現在第4章“續三角函數（一）”與第5章“續三角函數（二）”中.第4章的具體編排是：41弧度制：度與弧度制的轉換，透視弧度法求弧長及扇形的面積；42三角函數：三角函數定義，三角關系，三角函數的圖像；43解簡易三角方程；答案.第5章的具體編排是：51 復角公式：正弦的復角公式，余弦的復角公式，正切的復角公式；52 二倍角公式；53 積化和差公式與和差化積公式；答案.
《必修4B》介紹了海倫公式：ABC的面積=s（s-a）（s-b）（s-c），教材還不避繁瑣用代數方法嚴格地證明了海倫公式.《微積分1》第4章介紹了y=cscθ與y=secx兩個函數.這樣，誘導公式中多了1+cot2θ=csc2θ、secθ=1cosθ等公式.這些都是人教A版《必修4》中沒有的知識. 《微積分1》第5章介紹了積化和差公式與和差化積公式，并給予了簡單的證明.因為有了這些公式，《微積分1》中出現了：在XYZ中，證明sinX+sinY+sinZ=4cosX2cosY2cosZ2這類例題，也出現了：化簡
sinπ9cosπ9+cosπ3+cos5π9+cos7π9這類習題.人教A版《必修4》給出了例題： 證明（1）sinαcosβ=12sin（α+β）+sin（α-β）；（2）sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2.這是積化和差與和差化積兩個公式，其他6個公式的證明放在習題中，但教材沒有配套與這8個公式相應的練習題.
三角方程內容在《必修4B》和《微積分1》中都出現過，由于沒有編排反三角函數的知識，三角方程都是比較簡單的，若不是特殊函數值就需查三角函數值表來解決.《微積分1》在《必修4B》的基礎上，介紹了y=cotx、y=cscθ、y=secx的圖像、周期性以及定義域與值域，但沒介紹這些函數的單調性.人教A版《必修4》介紹了正弦、余弦、正切三個函數的單調性，并介紹了三角函數更一般形式的單調性的求法.恒等式證明在《必修4B》與《微e分1》中都有涉及.《必修4B》的恒等式證明大多利用誘導公式完成，難度較小；因《微積分1》介紹過積化和差與和差化積公式，所以《微積分1》中給出的恒等式證明題，若從難度上講，大多比人教A版《必修4》中的恒等式證明題難度要大.
3 知識的呈現模式與嚴格性水平
3.1 章首與章尾的內容與結構
《必修4B》與《微積分1》呈現的三角內容共有4章.每章章首都標明了學習重點，并給出與本章內容密切相關的一個生活中的實際例子，起提綱摯領及導入新知識的作用；每章章尾附有本章摘要，起歸納總結的作用.以《微積分1》的第5章“續三角函數（二）”為例，章首標明的學習重點有3點；生活中的實際例子是“聲波之總和”：在大自然中，聲波之傳播可以用正弦函數表示.當幾個聲波交疊r，只要把代表各聲音的波加起恚便可得出合波.對于兩個相同振幅的聲波W1和W2，其合波可寫成函數y=sinu+sinv.這樣就很自然地連接上和差化e公式.章末有重要詞匯與重要概念.重要詞匯有4條，均是中英文對照；重要概念包含19個重要公式.知識結構完整，內容前后呼應.
人教A版《必修4》每章章首有類似于導言的文字，章末有小結.“導言”簡明扼要，也起到了提綱摯領的作用.章末有小結，包含本章知識結構及回顧與思考兩個方面.知識結構一般用框圖形式呈現出來；回顧與思考有3點，回顧了本章的重要知識點，還提出了幾個相關的問題，這對進一步鞏固學生所學知識起到了較好的作用.
3.2 重要概念的引入與公式的推導
《必修4B》與《微積分1》在重要概念的引入上，一般是在舊知識的基礎上拓展到新知識，從特殊情形拓展到一般情形.比如任意角的三角比定義，《必修4B》先從銳角θ說起，利用直角三角形寫出銳角θ的三角比，再定義一般角θ的三角比：將任意角θ放在坐標平面上，設P（x，y）是角θ終邊上的任一點（異于角的頂點），定義sinθ=yr，cosθ=xr，tanθ=yxx≠0，其中r=x2+y2.這種引入重要概念的方法符合學生的認知規律.人教A版《必修4》的做法是，設角θ的終邊與單位圓的交點為P（x，y），于是sinθ=y，cosθ=x，定義表述很簡潔.比較而言，《必修4B》比人教A版《必修4》在細節的處理上要到位一些.教材中比較清晰地討論了特殊角0°、90°、180°、270°和360°的三角比，利用數形結合的方法使基礎一般的學生能很好地理解與記憶.
在重要公式的推導上，《必修4B》與《微積分1》的做法與人教A版《必修4》有些不同.例如推導復角公式，《微積分1》先推導sin（A+B）的結論：設在OPQ中，過頂點O作ORPQ，R是垂足，并設∠POR=A，∠ROQ=B.利用POQ面積=POR面積+ROQ面積，證明了sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.教材在此處提示了該公式對任意角也成立.因為角A與角B不是任意角，這樣的推導過程不夠嚴謹.人教A版《必修4》第三章是先推導cos（α-β）的結論的，證明過程中設α、β是任意角，利用單位圓和向量的方法完成了證明.這樣證明難度稍大，但證明過程非常嚴謹.
3.3 定理、法則與公式的嚴格性水平
嚴格性一般劃分為四個水平層次：水平1：直接給出理論，沒有任何解釋或證明；水平2：通過例子解釋理論；水平3：較為嚴格地解釋理論的正確性，但不進行證明；水平4：嚴格地證明理論.
《必修4B》與《微積分1》兩本教材中，正弦的兩角和公式實際是由特例解釋的，算不上嚴格的證明，達到嚴格性水平2；誘導公式、海倫公式、正弦定理、余弦定理、弧長公式、扇形面積公式、同角三角函數關系式、正弦兩角差公式、余弦的兩角和與兩角差公式、正切的兩角和與兩角差公式、二倍角公式、積化和差公式、和差化積公式，均是通過嚴格證明得到的，達到了嚴格性水平4.
人教A版《必修4》中，與-α和π-α相關的誘導公式、正弦的兩角和與兩角差公式、正切的兩角和與兩角差公式、正弦與余弦的二倍角公式都是直接給出的，沒有嚴格證明，達到嚴格性水平1；與π2+α相關的誘導公式只給出了嚴格的解釋，并沒有證明，達到了嚴格性水平3；與π+α和π2-α相關的誘導公式、余弦的兩角和與兩角差公式均通過了嚴格的證明，達到了嚴格性水平4.
可見香港教材的嚴格性水平整體比較高.人教A版《必修4》的不少公式是直接給出，可能編者認為這些公式的證明并不難，學生可以舉一反三自己完成.
4 例習題的設置及綜合性程度
4.1 例習題的設置比較
《必修4B》與《微積分1》的例習題編寫很有特色，層次分明，坡度合理.課內有例題，大多深入淺出，展示不同的數學技巧.緊跟例題后面有即時練習，是些與例題一一對應的題目，以鞏固學生的知識，有時后面還配有綜合性稍強的跟進練習或課內練習.課后一般配有不少的練習題，按程度分為初階和進階，并備有開放式題目.每章末配有總復習題，按程度分為初階、進階、多項選擇題及公開試題目，并為能力較強的學生提供香港數學競賽題目.總復習外還配有少量的數學探究題與IT活動題.設置數學探究題的目的是透過富有趣味性的題目，培養學生數學解難題技巧，激發學生探索與研究的興趣；設置IT活動題的目的是讓學生熟悉新技術的運用，幫助學生對數學問題的深度理解.
以《必修4B》的第10章“續三角”為例統計：例題19個，即時練習題19個，跟進練習題15個，課堂練習題5個.課外練習中，初階練習題53個，其中有4個開放式練習題；進階練習題48個.本章總復習題中，初階練習題19個，其中有1個開放式練習題；進階練習題26個，多項選擇題14個，公開試題目5個，香港競賽題4個，數學探究問題2個，IT活動題目6個.
對應地對人教A版《必修4》第1章“三角函數”進行統計：例題25個，課內習題58個，課外練習A組題61個，B組題15個，探究題7個，IT活動題目1個.由此可見，人教A版《必修4》課內練習還是做的很扎實.課外練習共76個題，比《必修4B》的第10章“續三角”課外練習159個少了83個.
4.2 例習題的綜合性程度
例習題的綜合性分為四種類型：類型1：與三角領域內其他知識的綜合；類型2：與數學其他領域內知識的綜合；類型3：與其他學科知識的綜合；類型4：與具有實際生活背景的問題綜合.
仍以《必修4B》的第10章“續三角”為例，根據上述綜合性的分類標準來統計：例題中屬類型1有14個，類型2有2個，類型3有2個，類型4有1個；習題中屬類型1有159個，類型2有30個，類型3有14個，類型4有12個.由此可見，《必修4B》的第10章“續三角”中的例習題，主要體現了三角知識在三角領域內的運用，突出對三角知識的理解與掌握，同時也兼顧到數學學科內各分支知識的聯系，以及三角知識在其他學科上的綜合應用.
人教A版《必修4》第1章“三角函數”中，例題中屬于類型1的18個，類型2的3個，類型3的2個，類型4的4個；習題中屬類型1的61個，類型2的3個，類型3的2個，類型4的6個.可見，人教A版《必修4》主要關注學生對三角基礎知識的理解和掌握，也注重三角知識在實際生活中的應用.
5 啟示
5.1 香港教材內容豐富詳實、系統性較強
相對于英國和美國的三角函數教材，香港教材少了反三角函數內容.但相對于人教A版《必修4》，香港教材多了簡單的三角方程、海倫公式、余切函數、正割函數、余割函數等.人教A版《必修4》雖然也出現過積化和差與和差化積8個公式，但因這8個公式只出現在例題和習題中，教材并沒有把它們當公式用，也沒有編排相應的鞏固練習題，加之高考又不考，所以，這8個公式學生學了等于沒學，在學生的知識鏈上沒有留下多少記憶的痕跡.這樣看，其實香港教材還多了積化和差與和差化積公式.我們常將三角學劃分為“三角函數與方程”、“三角恒等變換”和“三角學的應用”.相對于這種劃分，香港三角函數教材內容是完整的、豐富詳實的，系統性較強.人教A版《必修4》相對于香港教材和2003年前的大陸舊教材，刪減內容過多.沒有了簡單的三角方程，學生連已知三角函數值求角都不會做，因而連一些簡單的三角函數應用問題也處理不了；不學積化和差與和差化積公式，若有稍微綜合一點的三角恒等變形或證明問題，W生是沒辦法處理的.我們新的課程標準和新教材編寫，要借鑒香港教材對三角函數內容的取舍方法.
5.2 關注三角函數知識與大學數學的銜接
我們都知道，無論是大學文科數學或理工科數學，在學習微積分內容時，都會學習求函數的定義域、值域、極限、微分、積分等知識，都會用到6個三角函數和4個反三角函數的知識及恒等變換技巧.從2003年開始，雖然高校出版的大學微積分教材多少會參照高中的課程標準，但是很少能找到銜接好高中知識的大學教材，因此大多數微積分教材得不到大一與大二學生的認可.由于高校的錄取數量逐年增加，參加高考的學生75%以上都能被不同層次的各類大學錄取，因此，不少二本或三本大學新生的數學基礎并不算好，也不具備自學高中三角函數知識的能力；加之大學沒有安排時間補習那些被弱化和被刪減的知識，這樣，相當一部分學生學學微積分很吃力，甚至不及格.參考英美各國教材和香港的教材，我們要樹立長遠的課程和教材理念，不要過度弱化或刪減高中三角函數核心內容，為使學生學好大學微積分，高中應為他們打好相應的基礎.
5.3 進一步凸顯習題設置的層次性
習題既是知識的應用，又是知識和能力的再生.從上文研究可以看出，香港教材在習題設置上很有創意，內容豐富、層次感強.這種細化分層具有一定的彈性，照顧到了不同基礎學生的意愿，讓他們有很大余地去選擇課內與課外的練習題；同時，這種細化分層使習題具有很好的坡度，知識點要求從單一到綜合，技巧要求從易到難，容易使學生達到鞏固和提高的目的.而且書中還附有答案，學生在練習過程中可以得到及時反饋，便于學生自學.我們的教材中習題分層簡單，習題量小，因此學生的選擇余地就小.不少老師為了彌補這一缺陷，就組織學生去找書商購買課外參考資料.經常因這些參考資料的質量參差不齊，影響了學生的課外學習.我們的教材編寫者應該向香港的同行學習，學習他們對習題設置的理念與方法，能使我們的教材進一步凸顯習題的層次性，發揮習題應有的功能和價值.
參考文獻
