時間：2023-06-14 16:19:05
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數學中的反證法，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
摘 要：通過實例說明反證法在實際生活中具有廣泛的應用，闡明反證法的定義、嚴密性、適用范圍、證明的一般步驟、種類，以及應用反證法時應注意的事項，并探索其在中學數學中的應用以及在應用中的舉例。
關鍵詞：反證法；證明；矛盾；命題；假設
有個很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個名叫王戎的小孩，一天他和小朋友發現路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨有王戎沒動，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的。”這個故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃.在數學里這種方法叫反證法.
反證法不但在實際生活和初等數學中有著廣泛的應用，而且在高等數學中也具有特殊作用.數學中的一些重要結論，從最基本的性質、定理，到某些難度較大的世界名題，往往是用反證法證明的.即：提出假設――推出矛盾――肯定結論.
“反證法”雖然是在平面幾何教材中出現的，但對數學的其他各部分內容，如代數、三角、立體幾何、解析幾何中都可應用.下面通過具體的例子來說明其應用。
一、否定性命題
證明：假設AB，CD不平行，即AB，CD交于點P，則過P點有ABEF，且CDEF，與“過直線外一點，有且只有一條直線垂直于已知直線”矛盾.假設錯誤，則AB∥CD
否定結論導出矛盾是反證法的任務，但何時出現矛盾，出現什么樣的矛盾是不能預測的，也沒有一個機械的標準，有的甚至是捉摸不定的.一般總是在命題的相關領域里考慮（例如，平面幾何問題往往聯系到相關的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點.因此在推理前不必要也不可能事先規定要得出什么樣的矛盾.只需正確否定結論，嚴格遵守推理規則，進行步步有據的推理，矛盾一經出現，證明即告結束.
反證法推理過程中出現的矛盾是多種多樣的，推理導出的結果可能與題設或部分題設矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質）相矛盾，可能與臨時假設矛盾，或推出一對相互矛盾的結果等.
反證法是數學中一種重要的證明方法，是數學家最精良的武器之一，在許多方面都有著不可替代的作用.它以其獨特的證明方法和思維方式對培養學生邏輯思維能力和創造性思維有著重大的意義.反證法不僅可以單獨使用，也可以與其他方法結合使用，并且可以在論證一道命題中多次使用，只要我們正確熟練運用，就能做到精巧、直接、巧解難題、說理清楚、論證嚴謹，提高數學解題能力.
（作者單位 江蘇省邳州市八義集中學）
1 引言
數學命題的證明分直接證法和間接證法兩種．在間接證法中，最常見的是反證法．雖然平時我們接觸了相關方面的知識，但比較零散，對其概念、應用步驟、使用范圍等沒有系統的認識，并且由于數學命題的多樣性、復雜性， 哪些命題適宜用反證法很難給與確切的回答，本文就反證法的概念、分類、步驟以及哪些適宜從反證法出發進行證明的問題進行了歸納．
2 反證法的定義
什么是反證法？法國數學家阿達瑪曾對它做了一個精辟的概括：此證法在于表明：若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾．可見，利用推理中出現的矛盾可以證明數學中的一些結論，這就是反證法．
反證法是從一個否定原結論的假設出發，經過正確的推理而得到（與公理、定理、題設等）相矛盾的結論，由于推理和引用的證據是正確的，因此出現矛盾的原因只能認為是否定原結論的假設是錯誤的，從而得到原結論成立．
用反證法不是從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假或改證它的等價命題為真．
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一、反證法的簡單介紹
反證法又稱歸謬法、背理法，是一種論證方式，屬于“間接證明” 的一種（引用于現行人教版數學教材）.所謂反證，就是將要證明的反面情況駁倒就可以了.首先假設原命題不成立（即我們在原命題的條件下，假定結論不成立），據此推導出明顯矛盾的結果，從而得出結論說原假設不成立，原命題得證.
關于反證法的邏輯依據不得不提兩個重要的思維方式――“矛盾律”和“排中律”.矛盾律：在同一論證過程中，兩個互相反對或互相否定的論斷，其中至少有一個是假的.排中律：任何一個命題判斷或思想或者為真或者為假（不真），二者必居其一. 法國數學家J?阿達瑪曾概括為：“這證法在于表明：若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾.”這就是說反證法并非直接證明命題的結論，先是提出與需證結論反面的假定，然后推導出和公理、定理、定義或與題中假設相矛盾的結果.這樣，就證明了與待證命題的結論相反的假設無法成立，從而肯定了原來待證命題.用反證法完成一個命題的證明，大體上有三個步驟：否定結論 推導出矛盾 結論成立.
二、反證法在數學解題中的應用
（一）在肯定性命題中的應用
即結論以“……總是……”、“……都……”、“……全……”等出現的，這類肯定性命題可以用反證法進行嘗試.
如（代數問題）求證：無論n是什么自然數，總是既約分數.
證明：假設不是既約分數，
令21n+4=k？琢 （1），14n+3=kb （2），（k，？琢，b？綴N，k>1）
既約，由（2）×3-（1）×2得3kb-2k？琢=1？圯3b-2？琢=，因為3？琢-2b整數，為分數，則3？琢-2b=不成立，故假設不成立，分數是既約分數.
（二）在否定性命題中的應用
即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現的命題.
（三）在限定性命題中的應用
在命題結論中含有“至少”、“不多于”、“至多”或“最多”等詞語.
如（代數問題，抽屜原理）把2110人分成128個小組，每組至少1人，證明：至少有5個小組的人數相同.
證明：如若128個小組中，沒有5個小組的人數相同.則至多有4個小組的人數相同.那么不同人數的小組是：128÷4=32個，對32個小組，我們這樣分組：有4個組每小組1人，有4個組每小組2人，有4個組每小組3人，依法分組……有4個組每小組32人，故有：
4×（1+2+3+……+32）=4×[32×（1+32）÷2]=2112
這樣2112-2110=2（人） ，多出2人.故以上多于1人或2人的某一個小組人數就減少1人或2人，那么相同人數的組數就比4個多了，即5個或多于5個以上. 故至少有5個小組的人數相同.
（四）在不等量命題中的應用
不等式是學生需掌握的一大重點.當不等式的反面情況比較少時，題中若要求證明不等式成立時，那么只需用反證法來證實其反面不成立.
（五）在互逆命題中的應用
已知原命題是正確命題，在求證其逆命題時可使用原命題結論，此時反證法為解題提供更多便捷.
如（平面幾何問題）
原命題：若四邊形有一個內切圓，則對邊之和必相等.
逆命題：若四邊形對邊之和相等，則它必有一個內切圓.
逆命題的證明：
三、對反證法運用的思考
（一）在解題時，仔細審題是第一步.當運用反證法時，正確否定命題的結論是首要問題.要使一個待證命題的結論成立，需根據正難則反的原則.從結論的反面來間接思考問題，值得注意的是命題結論的反面情況并非唯一.若結論的反設只有一種情況，稱之為簡單歸謬.例如，證明根號2是無理數，只需證根號2不是有理數.若結論的反面不止一種情況，稱之為窮舉歸謬.必須將所有可能情況全部例舉出來，并需要不重不漏地一一否定，只有這樣才能肯定原命題結論成立.例如，證明某類數不為正數，則可以從正數的反面負數與零入手.
（二）明確邏輯推理的特點
反證法的任務首先需否定結論導出矛盾.至于出現什么樣的矛盾，何時出現矛盾，矛盾是以何種方式存在，都是我們無法計算和預測的.證明的過程沒有一個機械的統一標準，但最終都會得到矛盾，而這個矛盾一般總是在命題的相關領域內進行考慮.例如，空間解析幾何，平面幾何，代數等問題常常與相關的公理、定理、定義等相聯系.正因為與這些公式的規則，定理相互矛盾，進而說明原結論的正確性.這便是反證法的推理特點.做到正確否定命題結論，嚴格遵守推理規則，推理過程中步步有理有據，矛盾出現時，證明就已完成.
（三）了解產生矛盾的種類
矛盾的出現有很多種，知道導致矛盾的種類，可以更迅速，更有效的解題.
有個很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友發現路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨有王戎沒動，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的。”這個故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃。這種間接的證法就是我們下面所要討論的反證法。
二、反證法的定義、邏輯依據、種類及模式
定義：反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾，推理而得。
種類：運用反證法的關鍵在于歸謬，因此反證法又稱為歸謬法。根據結論B的反面情況不同，分為簡單歸謬法和窮舉歸謬法。
模式：設待證的命題為“若A則B”，其中A是題設，B是結論，A、B本身也都是數學判斷，那么用反證法證明命題一般有三個步驟：
反設：作出與求證結論相反的假設；
歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；
結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。
三、反證法的適用范圍
1、否定性命題
即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現的命題，直接證法一般不易入手，而反證法有希望成功。
例求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個內角。求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個鈍角。
證明：假如∠A，∠B，∠C中有兩個鈍角，不妨設∠A＞900,且∠B＞900，則∠A+∠B+∠C＞1800。這與“三角形內角和為1800”這一定理相矛盾。故∠A，∠B均大于900不成立。所以，一個三角形不可能有兩個鈍角。
2、限定式命題
即結論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語的命題。
例在半徑為的圓中，有半徑等于1的九個圓，證明：至少有兩個小圓的公共部分的面積不小于。
證明：每個小圓的公共部分的面積都小于，而九個小圓共有個公共部分，九個小圓的公共部分面積要小于，又大圓面積為，則九個小圓應占面積要大于，這是不可能的，故至少有兩個小圓的公共部分面積不少于。
例已知方程，，中至少有一個方程有實數值，求實數的取值范圍。
分析：此題直接分情況用判別式求解就特別麻煩，可用反證法，假設三個方程都無實數根，然后求滿足條件的集合的補集即可。
證明：假設三個方程都無實根，則有：
解得
例已知m，n，p都是正整數，求證：在三個數中，至多有一個數不小于1．
證假設a，b，c中至少有兩個數不小于1，不妨設a≥1，b≥1，則 m≥n+p，n≥p+m．
兩式相加，得2p≤0，從而p≤0，與p是正整數矛盾．
所以命題成立．
說明“不妨設”是為了簡化敘述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各種情況時，證明過程是同樣的．
所求的范圍為、
3、無窮性命題
即涉及各種“無限”結論的命題。
例求證：是無理數。
分析：由于題目給我們可供便用的條件實在太少，以至于正面向前進一小步都非常困難。而無理數又是無限不循環的，“無限”與“不循環”都很難表示出來。當反設是有理數時，就增加了一個具體而有效的“條件”，使得能方便地將表示為一個分數。
證明：假設是有理數，則存在互質，使，從而，為偶數，記為，，，則也是偶數。由,均為偶數與、互質矛盾，故是無理數。
例求證：素數有無窮多個。
證明：假設素數只有n個：P1、P2……Pn，取整數N=P1?P2……Pn+1，顯然N不能被這幾個數中的任何一個整除。因此，或者N本身就是素數（顯然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一個），或者N含有除這n個素數以外的素數r，這些都與素數只有n個的假定相矛盾，故素數個數不可能是有限的，即為無限的。
四、運用反證法應注意的問題
1、必須正確否定結論
正確否定結論是運用反證法的首要問題。
如：命題“一個三角形中，至多有一個內角是直角”。“至多有一個”指：“只有一個”或“沒有一個”，其反面是“有兩個直角”或“三個內角都是直角”，即“至少有兩個是直角”。
2、必須明確推理特點
否定結論導出矛盾是反證法的任務，但何時出現矛盾，出現什么樣的矛盾是不能預測的，也沒有一個機械的標準,有的甚至是捉摸不定的、一般總是在命題的相關領域里考慮（例如,平面幾何問題往往聯系到相關的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點。因此，在推理前不必要也不可能事先規定要得出什么樣的矛盾。只需正確否定結論，嚴格遵守推理規則，進行步步有據的推理，矛盾一經出現，證明即告結束。
五、小結
關鍵詞:逆向思維 培養思維品質
中圖分類號:G623.5文獻標識碼:A 文章編號:1673-0992(2010)05A-0145-01
逆向思維,是與人們長期形成的思維習慣相悖的思維方式,具有很強的創造性。因此,在數學教學中,注重對學生的逆向思維訓練,對激發學生的學習興趣,培養學生良好的思維品質是十分必要的,也是非常重要的。教學中要善于挖掘逆向思維訓練素材,不失時機的對學生進行訓練。筆者在長期教學活動別注重從以下幾方面挖掘逆向思維素材。
一、激發學生思維的興趣
外因是變化的條件,內因是變化的根據。興趣是最好的老師,因此在數學教學中教師應該想方設法激發學生思維的興趣,增強學生逆向思維的積極性。
(1)真正確立學生在教學中的主體地位。使學生成為主宰學習的主人、學習活動的主動參與者、探索者和研究者。
(2)實例引路。教師要有意識地剖析、演示一些運用逆向思維的經典例題,用它們說明逆向思維在數學中的巨大作用以及它們所體現出來的數學美,另一方面可列舉實際生活中的一些典型事例,說明逆向思維的重要性,從而逐漸激發學生思維的興趣,增強學生逆向思維的主動性和積極性。
(3)不斷提高教師自身的素質。教師淵博的知識和超凡的人格魅力也能在一定程度上激發學生學習興趣和思維的積極性和主動性。
二、幫助學生理順教材的邏輯順序
由于種種原因,教材的邏輯順序與學生的心理順序可能或多或少地存在著矛盾,而這些矛盾勢必妨礙學生思維活動的正常進行,因此,教師在鉆研教材時必須找出這些矛盾并幫助學生加以理順,只有這樣,才能保證學生思維活動的展開。例5ABC中,AB
作ADBC,垂足為D點,在BC上截取DE=BD,連結AE,則∠AEB=∠B. 過AC中點M作MP∥AE,交BC于P,MD就是所求的剪切線。剪下MPC,可以拼成等腰梯形ABPQ。 可見教師在備課時能及早發現教材的邏輯順序,發揮教材中互逆因素的作用
1.從定義的互逆明內涵
(1)重視定義的再認與逆用,加深對定義內涵的認識。許多數學問題實質上是要求學生能對定義進行再認或逆用。在教學實踐中,有的學生能把書上的定義背得滾瓜爛熟,但當改變一下定義的敘述方式或通過一個具體的問題來表述時,學生就不知所措了。因此在教學中應加強這方面的訓練。
逆用定義思考問題,往往能挖掘題中的隱蔽條件,使問題迎刃而解。
(2)過互逆定義把握定義間的聯系。指數函數與對數函數、函數與反函數等都是互逆的定義,互逆定義之間有著天然的聯系,教學中要著重使學生理解怎樣從一個定義導出另一個與它互逆的定義,向學生灌輸轉化的思想,揭示定義間相互聯系,當然也包括找出不同點。
2.從公式的互逆找靈感
(1)會公式的互逆記憶。很多數學問題是逆用公式的問題,要更好地解決這類問題,首先應該讓學生知道公式的互逆形式,學會公式的互逆記憶。
(2)逆用公式(包括公式變形的逆用)。往往可以使問題簡化,經常性地注意這方面的訓練可以培養學生思維的靈活性、變通性,使學生養成善于逆向思維的習慣,提高靈活運用知識的能力。公式逆用是學生常常感到困惑的一個問題,也是教學中的一個難點,教學中必須強化這方面的訓練。
3.從定理、性質、法則的互逆悟規律
數學中有許多可逆定理、性質和法則,恰當地運用這些可逆定理、性質和法則,可達到使學生將所學知識融會貫通的目的。
(1)讓學生學會構作已知命題的逆命題與否命題,掌握可逆定理、性質和法則的互逆表述。交換原命題的條件和結論,所得的命題是逆命題;同時否定命題的條件和結論,所得的命題是否命題。教學中要用一定的時間、適當的訓練量加強學生這方面的練習,打好基礎。
(2)掌握四種命題間的關系。互逆命題和互否命題都不是等價命題,而互為逆否關系的命題是等價命題。學生搞清四種命題間的關系,不僅能掌握可逆的互逆定理、性質、法則,而且能增強思維的嚴謹性和靈活性,培養創造性思維能力,也是科學發現的途徑之一。
(3)掌握反證法及其思想。反證法是一種間接證法,它是通過證明一個命題的逆否命來證明原命正確的一種方法,是運用逆向思維的一個范例。一些問題運用反證法后就顯得非常簡單,還有一些問題只能用反證法來解決,因此反證法是高中生必須掌握的一種數學方法。反證法的思想在其他學科和其他領域也有著廣泛的應用,應該重視。
(4)正確應用充要條件。“充要條件”是高中數學中一個重要的數學概念,是解決數學問題時進行等價轉換的邏輯基礎。一個定理如果有逆定理,那么定理、逆定理合在一起,就可構作一個充要條件。重視充要條件的教學,使學生能正確應用充要條件可培養學生的逆向思維能力。
三、采用直觀教學,為學生提供逆向思維的基礎
關鍵詞：數學教學；方法；數學史
一、滲透數學歷史，激發學生興趣
數學史上有好多值得我們研究的學習方法。其中數形結合的方法是我們最常見的方法之一。其在解決一些較為復雜問題時總會收到意想不到的效果。因此我們在實踐中應注意多挖掘好的數學方法，從而將其滲透到數學教學中，這樣能學生能直觀地接受。
大數學家華羅庚說過：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機引導。必令學生運其才智，勤其練習，領悟之源廣開，純熟之功彌深，乃為善教者也”。反思我們的課堂，大多沒有給學生足夠的思維空間，學生被教師牽著鼻子走，缺乏自己的解題方法。所以在實踐中教師必須加強研究這些問題：哪些內容、哪些環節、哪些知識點適合學生自治探究，哪些具有自主探究的價值。應該恰當的創設情境引入數學史，用正確的數學思想方法引導學生的數學思維。根據由特殊到一般的規律，以例題的形式讓學生自己在解題過程中總結出各種思想方法，因為學生如果對初中的數學知識已深刻掌握的話，解決這些問題并不是什么難事，教師要做的只是將用同一種思想方法解決問題的題目放在一起，讓學生自己去體會在解決問題過程中的共性，而后教師要對學生加以引導。所以在教學中如果恰當地引入數學史，滲透數學思想方法，那就會對初中數學教學的起到促進作用。
二、初中階段常見的解題方法
1.配方法
它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到。
2.因式分解法
作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等。
3.換元法
在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。
4.判別式法與韋達定理
作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。
5.待定系數法
6.構造法
構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利于問題的解決。
7.反證法
反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。
8.面積法
平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。
9.幾何變換法
借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利于對圖形本質的認識。
10.客觀性題的解題方法
選擇題是給出條件和結論，要求根據一定的關系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學生的基礎知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。
填空題是標準化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識復蓋面廣，評卷準確迅速，有利于考查學生的分析判斷能力和計算能力等優點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答案的情況。
要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實例介紹常用方法。
(1)直接推演法：直接從命題給出的條件出發，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結論，選擇正確答案，這就是傳統的解題方法，這種解法叫直接推演法。
(2)驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代人條件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法(也稱代入法)。當遇到定量命題時，常用此法。
(3)特殊元素法：用合適的特殊元素(如數或圖形)代人題設條件或結論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。
(4)排除、篩選法：對于正確答案有且只有一個的選擇題，根據數學知識或推理、演算，把不正確的結論排除，余下的結論再經篩選，從而作出正確的結論的解法叫排除、篩選法。
(5)圖解法：借助于符合題設條件的圖形或圖象的性質、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。
(6)分析法：直接通過對選擇題的條件和結論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結果，稱為分析法。
所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識。所謂數學方法，就是解決數學問題的根本程序，是數學思想的具體反映。數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為。運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程序時就產生了質的飛躍，從而上升為數學思想。若把數學知識看作一幅構思巧妙的藍圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數學方法相當于建筑施工的手段，而這張藍圖就相當于數學思想。
1. 新課標要求，滲透“層次”教學。《數學新課標》對初中數學中滲透的數學思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應用”。在教學中，要求學生“了解”數學思想有：數形結合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數的思想等。這里需要說明的是，有些數學思想在《數學新課標》中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學習新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法。
教師在整個教學過程中，不僅應該使學生能夠領悟到這些數學思想的應用，而且要激發學生學習數學思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發現、提出、分析并創造性地解決問題。在《數學新課標》中要求“了解”的方法有：分類法、類比法、反證法等。要求“理解”的或“會應用”的方法有：待定系數法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等。在教學中，要認真把握好“了解”、“理解”、“會應用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應用”的層次，不然的話，學生初次接觸就會感到數學思想、方法抽象難懂，高深莫測，從而導致他們失去信心。如初中數學三年級上冊中明確提出“反證法”的教學思想，且揭示了運用“反證法”的一般步驟，但《數學新課標》只是把“反證法”定位在通過實例，“體會”反證法的含義的層次上，我們在教學中，應牢牢地把握住這個“度”，千萬不能隨意拔高、加深。否則，教學效果將是得不償失。
2. 從“方法”了解“思想”，用“思想”指導“方法”。關于初中數學中的數學思想和方法內涵與外延，目前尚無公認的定義。其實，在初中數學中，許多數學思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊含。只是方法較具體，是實施有關思想的技術手段，而思想是屬于數學觀念一類的東西，比較抽象。因此，在初中數學教學中，加強學生對數學方法的理解和應用，以達到對數學思想的了解，使數學思想與方法得到交融的有效方法。比如化歸思想，可以說是貫穿于整個初中階段的教學，具體表現為從未知到已知的轉化、一般到特殊的轉化、局部與整體的轉化，課本引入了許多數學方法，比如換元法，消元降次法、圖象法、待定系數法、配方法等。在數學教學中，通過對具體數學方法的學習，使學生逐步領略內含于方法的數學思想；同時，數學思想的指導，又深化了數學方法的運用。這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯璧合，將創新思維和創新精神寓于教學之中，教學才能卓有成效。
二、 初中數學思想方法的主要內容
初中數學中蘊含的數學思想方法很多，最基本最主要的有:轉化的思想方法，數形結合的思想方法，分類討論的思想方法，函數與方程的思想方法等。
（一） 轉化的思想方法
轉化的思想方法就是人們將需要解決的問題，通過某種轉化手段，歸結為另一種相對容易解決的或已經有解決方法的問題，從而使原來的問題得到解決。初中數學處處都體現出轉化的思想方法。如化繁為簡、化難為易，化未知為已知等，它是解決問題的一種最基本的思想方法。具體說來，代數式中加法與減法的轉化，乘法與除法的轉化，換元法解方程，幾何中添加輔助線等等，都體現出轉化的思想方法。
（二） 數形結合的思想方法
數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學，因而研究總是圍繞著數與形進行的。“數”就是代數式、函數、不等式等表達式，“形”就是圖形、圖象、曲線等。數形結合就是抓住數與形之間的本質上的聯系，以形直觀地表達數，以數精確地研究形。數形結合思想：數和式是問題的抽象和概括、圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映。初中代數教材列方程解應用題所選很多是采用了圖示法的例題，所以，教學過程中要充分利用圖形的直觀性和具體性，引導學生從圖形上發現數量關系找出解決問題的突破口。學生掌握了這一思想要比掌握一個公式或一種具體方法更有價值，對解決問題更具有指導意義。
再如在講“圓與圓的位置關系”時，可自制圓形紙板，進行運動實驗，讓學生首先從形的角度認識圓與圓的位置關系，然后可激發學生積極主動探索兩圓的位置關系反映到數上有何特征。這種借助于形通過數的運算推理研究問題的數形結合思想，在教學中要不失時機地滲透；這樣不僅可提高學生的遷移思維能力，還可培養學生的數形轉換能力和多角度思考問題的習慣。
（三） 分類討論的思想方法
分類討論的思想方法就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納數學知識，解決數學問題。初中數學從整體上看分為代數、幾何兩大類，采用不同方法進行研究，就是分類思想的體現。具體來說，實數的分類，方程的分類、三角形的分類，函數的分類等，都是分類思想的具體體現。
在歷年的國內外數學奧林匹克中，幾乎每年都離不開數論問題。分析歷年奧林匹克數學競賽試題易知，奧林匹克數學中的數論問題主要有：（1）整除性問題；（2）數性的判斷；（3）余數問題；（4）整數的分解與分析；（5）不定方程問題；（6）與高斯函數[x]有關的問題。本文對奧林匹克數學中的數論問題的常用解題方法做進一步的分析總結。
2 常用的部分解題方法
2．1 奇偶分析法
奇偶數的性質：
（1）兩個奇數的和與差為偶數，而積為奇數；
（2）兩個偶數的和、差、 積為偶數；奇數與偶數的和、差為奇數，而積為偶數；
（3）如果 為整數， 為奇數，則 的奇偶性與 相反；如果 為整數， 為偶數，則 的奇偶性與相同。
例 設N是正整數，如果存在大于1的正整數k，使得N- 是k的正整數倍，則稱N為一個“千禧數”。試確定1，2，3，…，2000中“千禧數”的個數，并說明理由。
解設 是“千禧數”，則存在正整數 ，使得 ， 即 ；顯然 與 的奇偶性不同，且 ,,所以 有大于1的奇因子,從而 有大于1的奇因子。
反過來,若 有大于1的奇因子,則可設 ,其中 , 的奇偶性不同,且 ,則 且
，其中 為正整數。
綜上,只有當 有大于1的奇因子時,是“千禧數”而在1,2,3,…2000中，只有1，，…， 不是“千禧數”，故有“千禧數”2000-11=1989個。
評析：奇偶分析法是從未知數，系數的奇偶性入手討論未知數的可能取值情況，以達到縮小考察范圍，得出相應的結果。在解決與正整數有關的問題（如數性有關的問題）能靈活運用奇偶分析的方法，往往有“四兩拔千斤”的效果。
2．2 分類討論
依據數學研究對象的本質屬性的相同點和差異點，將數學對象進行分類，然后對劃分的每類分別進行研究和求解的方法，叫分類討論的方法。
分類討論必須遵循的原則：
（1）分類討論的對象必須是確定的；（2）每次分類的標準必須是同一的；
（3）分類必須不重復，不遺漏；（4）連續多次分類，按層次逐級進行，不得越級。
例解方程
解將方程變形為 ,由不等式 ,可得
由此又可以得到 (1)
因為當 時,
所以此時方程無解(因方程的解必須滿足(1))
又因為當 時,
所以此時方程也無解。另外,當 時,所以方程仍無解。
因此,方程的解必滿足 ,于是必有 ,將 代入原方程立即得出原方程的解為 。
評析：在數論問題中往往出現多個正整數或其他更特殊的情況，此時必須根據實際情況對這些正整數或其相關式子進行分類討論。本例中就是靈活地對 的取值范圍進行分類討論，最終歸結出 的值。解題過程中還應注意往往有時一次分類不夠,還要進行第二次分類,兩次分類可以相互獨立,也可能第二次是將第一次的一個子類再分類。
2．3 反證法
通過證明論題的矛盾論題(即否定命題),進而肯定命題的真實的證明方法叫做反證法。
反證法的一般步驟:
（1） 反證:假設命題的結論不成立；（2） 歸謬:從該假設出發,經過推論論證,得出與已知條件或公理或定理矛盾的結論；（3）結論:由矛盾判定假定不正確,從而肯定命題的結論正確。即”反證——推理——否定或肯定”三步。
例設正整數 異于2，5，13，求證：在集合{2，5，13， }中可以找到兩個不同的元素 ， ，使 -1不是完全平方數。（第27屆IMO試題）
證明 2 5-1= ，2 13-1= ，5 13-1=
只須證2 -1，5 -1，13 -1不全是完全平方數
假設2 -1，5 -1，13 -1均是完全平方數，不妨設
…… （1）
…… （2）
……（3）解出可得
是偶數，即 是偶數
， 同奇或同偶，從而 ， 是偶數，于是2 是4的倍數，則
是偶數，這與推出d是奇數相矛盾！
故原命題正確。
評析：反證法是數學證明中的一種重要方法，在解決數論問題中反證法也具有其普遍應用性，特別是在判斷數性問題（如解平方數問題等）中應用更多。證明的關鍵是構造矛盾，通常借用奇、偶數等方式來構造矛盾。
2. 4無窮遞降法
無窮遞降法是一種與數學歸納法相對應的的數學方法，它的原理一般稱為無窮遞降原理，其現代表述為：若要證明關于自然數的命題 不成立，需要證明：
（1） 不成立；
（2）若 成立，則有 ，使 不成立。
如（1）（2）均得證，則命題 對所有的自然數均不成立。
例證明不存在非零整數 ， ， 滿足
（1）
證明若存在非零整數 ， ， 滿足（1），則 ， ， 只能是兩個奇數一個偶數或是全是偶數。
若 ， ， 有兩個是奇數，一個是偶數，則 ，而 ，故（1）不成立。若 ，， 全為偶數，則取 ，此時 滿足
（2）
同理，（2）中 全是偶數，由此又作
如此繼續，由于一個整數不能永遠被2除下去都仍得偶數（除非為0），因此總會出現矛盾。可見也不會有偶數 ， ， 滿足（1）
所以，方程（1）沒有非零整數解。
評析：由以上證明中，易知無窮遞降法的理論依據是任何正整數集合總有最小值（數），如從這個集合中任意一個數開始遞減下去，有限步后就取到最小值（數）。而數論問題（如整除性問題，數性的判斷，余數問題，不定方程問題等）都是與正整數有關的問題，這樣無窮遞降法在解決數論問題中可起到舉足輕重的作用。
3 結束語
以上給出了解決奧數中數論問題的常用方法一個較完整的綜述。當然，數論問題形式簡單，意義明確，所用知識點不多而又富于技巧性，靈活多樣，所以在解決實際問題要靈活處理。
參考文獻
[1]李開研.奧林匹克同步教材[M].湖南師范大學出版社,2000
【關鍵詞】 逆向思維；初中數學；習題 解題
數學一直以來都是一門思維性很強的學科，而逆向思維是數學思維中的重要組成. 培養學生逆向思維的過程實際上是培養學生的思維敏捷性. 有研究表明，很多學生的數學成績不理想很大程度上是因為逆向思維的能力不足，習慣只是學習公式、定理等刻板的內容，沒有創造和觀察的能力. 所以，在教學過程中教師應該對逆向思維的培養給予足夠的重視.
一、在實際教學中逆向思維的培養
1. 加強基礎知識的逆向教學
初中階段的數學教學仍是基礎教學，在教學的過程中強調對于基礎知識的掌握，同時引入逆向思維不單可以加固學生對于基礎知識的掌握，也可以鍛煉學生的思維，拓展了思考方式. 在基礎教學中應該對概念的理解和運用上優化逆向的教學. 在這中間存在很多互為的概念. 例如：互為倒數、互為相反數等，通過這些概念教師可以指導學生從正、反兩個層面對問題進行思考，培養他們的逆向思維能力.
2. 由概念著手增加學生的逆向思維
數學中很多概念是互逆的，對于這種類型的概念可以采用先正后逆的方法，打破學生的常規思維模式，幫助學生更清晰地分析概念，同時養成雙向考慮問題的習慣. 比如同類項是代數中的重要概念，為了可以加深學生對該概念的掌握和理解，可以舉例并分析：
（1）假設-amb3與2a2bn是同類項，那么m，n的值是多少？這題目一開始會難住很多學生，但如果教師可以引導學生運用逆向的思維方式來解題，學生就可以根據相應的逆向思維得出m = 2，n = 3.
（2）教學相反數的概念時，不單可以問學生3的相反數是幾，同時還可以提出0.3的相反數是多少，或-5和數字幾互為相反數，等等. 通過從正反兩個層面提出問題可以有效地幫助學生去理解相反數的概念.
3. 通過公式法則培養學生的逆向思維能力
在數學的教學中往往要涉及很多的公式、法則，對于這些公式和法則的雙向性學生是比較容易理解，但是大多數學生只會從左至右地正向運用，對由右至左的逆向運用不熟悉. 所以，在法則和公式的教學中要加強相應的逆向指導，只有正確地運用正逆兩種法則和公式在解題的時候才能得心應手. 舉例說明，在不解方程的情況下，判斷方程2x2 - 6x + 3 = 0的根的情況. 在解題的時候可以將方程變式成為：已知關于x的方程2x2 - 6x + k = 0，k取何值方程有兩個不相等的實數根？經常進行這種有針對性的逆向鍛煉對逆向思維的形成會起到非常重要的作用.
4. 注意在解題方法上進行逆向思維的訓練
（1）反證法. 反證法是一種間接的證明方法，以特征結論的反面為基礎，推出矛盾，以此來否定證明結論的相反面來肯定特征的結論. 這也是很多數學問題在直接證法處于困難時所經常使用的方法. 加強反證法的鍛煉可以幫助學生拓展思維的廣度、深度，對逆向的思維培養起到關鍵的作用.
（2）分析法. 分析法實際上是從命題的結果出發，一路分析充分條件，直至推理出已知條件的方法. 這樣的方法也可以充分培養學生的逆向思維能力. 看果追因是分析法的基本內容，其關鍵是整個解題過程一定是一個可逆的情況.
（3）舉反例. 在數學的命題中給出一個命題要判斷其錯誤，只要給出一個滿足命題的條件但結論并不能成立的例子就可以否定此命題. 這種方法就是通常所說的舉反例. 加強對舉反例的鍛煉可以有效地鍛煉并培養學生逆向思維的能力.
二、逆向思維在數學解題中的應用
1. 立體幾何命題
立體幾何中的定理、概念除了直接應用之外，還可以根據題目的特點與要求進行相反的應用. 舉例說明，求證：分別在兩個平面內的兩條不平行直線是異面的直線. 根據題目的條件得知兩條直線不平行. 只要證明了這兩條直線并不相交就可以證明是異面直線. 從這個題目可以看出，利用反證法來解決此問題是非常容易的.
2. 概率命題
舉例說明，全班共有50名學生，求至少有2個人是同月同日生的概率. 這是一個世界著名的生日怪論命題，幫助學生了解此理論，引導學生運用對立事件的解決問題非常容易. 先得出50名學生都不是同月、同日生的概率，之后根據對立的事件的總概率 = 1，得到至少有2個人同月同日生的概率值. 充分利用對立事件進行逆向思維，可以讓原本復雜的概率問題得到簡化.
3. 不等式命題
由實數的性質可以知道成立，以此來找到證題的始點. 在數學中，互逆定理、公理、運算等到處都存在. 如果可以熟練地掌握并且在適當的時候運用逆向的思維會讓原來復雜的題目變得簡單. 由此可見，培養學生的逆向思維是非常重要的.
一、了解《大綱》要求，把握教學方法
所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識。所謂數學方法，就是解決數學問題的根本程序，是數學思想的具體反映。數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為。運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程序時就產生了質的飛躍，從而上升為數學思想。若把數學知識看作一幅構思巧妙的藍圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數學方法相當于建筑施工的手段，而這張藍圖就相當于數學思想。
1、明確基本要求，滲透“層次”教學。《數學大綱》對初中數學中滲透的數學思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應用”。在教學中，要求學生“了解”數學思想有：數形結合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數的思想等。這里需要說明的是，有些數學思想在教學大綱中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學習新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法。
教師在整個教學過程中，不僅應該使學生能夠領悟到這些數學思想的應用，而且要激發學生學習數學思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發現、提出、分析并創造性地解決問題。在《教學大綱》中要求“了解”的方法有：分類法、類經法、反證法等。要求“理解”的或“會應用”的方法有：待定系數法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等。在教學中，要認真把握好“了解”、“理解”、“會應用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應用”的層次，不然的話，學生初次接觸就會感到數學思想、方法抽象難懂，高深莫測，從而導致他們推動信心。如初中幾何第三冊中明確提出“反證法"的教學思想，且揭示了運用“反證法”的一般步驟，但《教學大綱》只是把“反證法”定位在“了解”的層次上，我們在教學中，應牢牢地把握住這個“度”，千萬不能隨意拔高、加深。否則，教學效果將是得不償失。
2、從“方法”了解“思想”，用“思想”指導“方法”。關于初中數學中的數學思想和方法內涵與外延，目前尚無公認的定義。其實，在初中數學中，許多數學思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊含。只是方法較具體，是實施有關思想的技術手段，而思想是屬于數學觀念一類的東西，比較抽象。因此，在初中數學教學中，加強學生對數學方法的理解和應用，以達到對數學思想的了解，是使數學思想與方法得到交融的有效方法。比如化歸思想，可以說是貫穿于整個初中階段的數學，具體表現為從未知到已知的轉化、一般到特殊的轉化、局部與整體的轉化，課本引入了許多數學方法，比如換元法，消元降次法、圖象法、待定系數法、配方法等。在教學中，通過對具體數學方法的學習，使學生逐步領略內含于方法的數學思想；同時，數學思想的指導，又深化了數學方法的運用。這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯璧合，將創新思維和創新精神寓于教學之中，教學才能卓有成效。
二、遵循認識規律，把握教學原則，實施創新教育
要達到《教學大綱》的基本要求，教學中應遵循以下幾項原則：
1、滲透“方法”，了解“思想”。由于初中學生數學知識比較貧乏，抽象思想能力也較為薄弱，把數學思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應有的基礎。因而只能將數學知識作為載體，把數學思想和方法的教學滲透到數學知識的教學中。教師要把握好滲透的契機，重視數學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發展過程，解決問題和規律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，從而發展他們的科學精神和創新意識，形成獲取、發展新知識，運用新知識解決問題。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識的結論，就必然失去滲透數學思想、方法的一次次良機。
在滲透數學思想、方法的過程中，教師要精心設計、有機結合，要有意識地潛移默化地啟發學生領悟蘊含于數學之中的種種數學思想方法，切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實際等錯誤做法。比如，教學二次不等式解集時結合二次函數圖象來理解和記憶，總結歸納出解集在“兩根之間”、“兩根之外”，利用形數結合方法，從而比較順利地完成新舊知識的過渡。
2、訓練“方法”，理解“思想”。數學思想的內容是相當豐富的，方法也有難有易。因此，必須分層次地進行滲透和教學。這就需要教師全面地熟悉初中三個年級的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進行數學思想、方法滲透的各種因素，對這些知識從思想方法的角度作認真分析，按照初中三個年級不同的年齡特征、知識掌握的程度、認知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹數學思想、方法的教學。
【關鍵詞】初中數學；教學中滲透；數學思想；數學方法
教師的概括、分析是十分重要的。教師還要有意識地培養學生自我提煉、揣摩概括數學思想方法的能力，這樣才能把數學思想、方法的教學落在實處。
1 了解《課程標準》要求
所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識。所謂數學方法，就是解決數學問題的根本程序，是數學思想的具體反映。數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為。運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程序時就產生了質的飛躍，從而上升為數學思想。
1.1明確基本要求，滲透“層次”教學
在教學中，要求學生“了解”數學思想有：數形結合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數的思想等。這里需要說明的是，有些數學思想在教學標準中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學習新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法。
教師在整個教學過程中，不僅應該使學生能夠領悟到這些數學思想的應用，而且要激發學生學習數學思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發現、提出、分析并創造性地解決問題。在《教學標準》中要求“了解”的方法有：分類法、類經法、反證法等。要求“理解”的或“會應用”的方法有：待定系數法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等。在教學中，要認真把握好“了解”、“理解”、“會應用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應用”的層次，不然的話，學生初次接觸就會感到數學思想、方法抽象難懂，高深莫測，從而導致他們推動信心。如初中幾何第三冊中明確提出“反證法”的教學思想，且揭示了運用“反證法”的一般步驟，但《課程標準》只是把“反證法”定位在“了解”的層次上，我們在教學中，應牢牢地把握住這個“度”，千萬不能隨意拔高、加深。否則，教學效果將是得不償失。
1.2從“方法”了解“思想”，用“思想”指導“方法”
在初中數學教學中，加強學生對數學方法的理解和應用，以達到對數學思想的了解，是使數學思想與方法得到交融的有效方法。
比如化歸思想，可以說是貫穿于整個初中階段的數學，具體表現為從未知到已知的轉化、一般到特殊的轉化、局部與整體的轉化，課本引入了許多數學方法，比如換元法，消元降次法、圖象法、待定系數法、配方法等。在教學中，通過對具體數學方法的學習，使學生逐步領略內含于方法的數學思想；同時，數學思想的指導，又深化了數學方法的運用。這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯璧合，將創新思維和創新精神寓于教學之中，教學才能卓有成效。
2 遵循認識規律，把握教學原則，實施創新教育
要達到《課程標準》的基本要求，教學中應遵循以下幾項原則：
2.1滲透“方法”，了解“思想”
由于初中學生數學知識比較貧乏，抽象思想能力也較為薄弱，把數學思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應有的基礎。因而只能將數學知識作為載體，把數學思想和方法的教學滲透到數學知識的教學中。教師要把握好滲透的契機，重視數學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發展過程，解決問題和規律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，從而發展他們的科學精神和創新意識，形成獲取、發展新知識，運用新知識解決問題。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識的結論，就必然失去滲透數學思想、方法的一次次良機。如初中代數課本第一冊《有理數》這一章，與原來部編教材相比，它少了一節——“有理數大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中。在數軸教學之后，就引出了“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”，“正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數”。而兩個負數比大小的全過程單獨地放在絕對值教學之后解決。教師在教學中應把握住這個逐級滲透的原則，既使這一章節的重點突出，難點分散；又向學生滲透了形數結合的思想，學生易于接受。
在滲透數學思想、方法的過程中，教師要精心設計、有機結合，要有意識地潛移默化地啟發學生領悟蘊含于數學之中的種種數學思想方法，切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實際等錯誤做法。比如，教學二次不等式解集時結合二次函數圖象來理解和記憶，總結歸納出解集在“兩根之間”、“兩根之外”，利用形數結合方法，從而比較順利地完成新舊知識的過渡。
2.2訓練“方法”，理解“思想”
數學思想的內容是相當豐富的，方法也有難有易。因此，必須分層次地進行滲透和教學。這就需要教師全面地熟悉初中三個年級的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進行數學思想、方法滲透的各種因素，對這些知識從思想方法的角度作認真分析，按照初中三個年級不同的年齡特征、知識掌握的程度、認知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹數學思想、方法的教學。如在教學同底數冪的乘法時，引導學生先研究底數、指數為具體數的同底數冪的運算方法和運算結果，從而歸納出一般方法，在得出用a表示底數，用m、n表示指數的一般法則以后，再要求學生應用一般法則來指導具體的運算。在整個教學中，教師分層次地滲透了歸納和演繹的數學方法，對學生養成良好的思維習慣起重要作用。
2.3掌握“方法”，運用“思想”
關鍵詞： 數學教學 逆向思維能力 培養
逆向思維是指由果索因，知本求源，從原問題的相反方向著手的一種思維。它是數學思維的一個重要原則，是創造思維的一個組成部分，也是進行思維訓練的載體，培養學生逆向思維過程是培養學生思維敏捷性的過程。課堂教學結果表明：許多學生之所以處于低層次的學習水平，有一個重要因素，即逆向思維能力薄弱，定性于順向學習公式、定理等并加以死板套用，缺乏創造能力、觀察能力、分析能力和開拓精神。因此，加強逆向思維的訓練，可改變其思維結構，培養思維靈活性、深刻性和雙向思維能力，提高分析問題和解決問題的能力。迅速而自然地從正面思維轉到逆向思維，正是數學能力增強的一種標志。筆者認為，培養學生逆向思維能力有以下幾種途徑。
一、在興趣培養過程中增強逆向思維意識
隨著年齡的增長，中學生的有意注意進一步發展，但興趣在學習中仍起著重要的作用。由興趣引起的無意注意在學習中仍是不可缺少的因素。所以教師應根據授課內容，創造一個良好的教學情境，激發學生學習興趣和求知欲望，促進學生積極思維，有利于培養學生的逆向思維，獲得最佳教學效果。我們以學生為主體，教師為主導，通過層層設問，及時指點啟迪，創造良好的思維情境，結合圖形，激發學生的聯想，引導學生步步深入，形成逆向思維。
1.善于觀察。
觀察，對于學習是很重要的。巴甫洛夫說過一句很有名的話：“觀察、觀察、再觀察。”為了解決問題，學生必須通過觀察識別問題的基本特征，并能夠回憶起已學過的有關信息。數學思維靈活的人，都觀察得非常細致、認真。雖然時間很短，但他們能夠發現與問題有關的各種明顯的或隱蔽的條件，并迅速判斷出其中的關鍵條件，使問題很快解決，即抓住了此題的基本特征，找到了解題的關鍵。為了提高觀察能力，我們應注意以下一些問題：要觀察得仔細、精確；要注意觀察的系統性與條理性；要以一定的知識作基礎，知識越豐富，觀察也越深刻；觀察時，要具有敏銳性；要養成勤于觀察的習慣；要善于從被觀察的對象和觀察者本身兩個方面進行分析，制定出觀察的最佳方案。
2.善于將問題轉化，接觸各類題型，并逐步熟練。
為了解決問題，我們常常需要把一些簡單的規則組合成復雜的、高級的規則。而且，許多問題可以有一系列可能的解決方法。因此，學生在獲得行之有效的解決方法的過程中，也形成了一種新的能力，即逆向思維能力。學習是累積性的、較復雜、較高級的學習，是建立在基礎性學習基礎上的，每一類學習都是以前一類學習為前提的。基礎知識和基本技能掌握得越熟練，解決問題就越容易。
問題轉化的方向是化難為易，化繁為簡，化未知為已知。我們要善于從錯誤的思路中擺脫出來，誤入歧途以后，要及時發現錯誤，及時轉向。所以，我們要在運用中充實、深化概念，加強練習，開拓思路。題做多了，我們便能熟練地找到問題的基本特征。
3.學會獨立思考，培養靈感思維。
我們要注意培養學生認真思考的習慣和獨立思考的能力。學生的粗枝大葉，懶于思考，對練習、作業的消極態度都是學習的一大勁敵。在教學過程中，教師應從學生的實際水平出發，創設問題的情境，啟發學生通過獨立思考解決問題和完成任務。
二、在講授新課過程中加強對學生逆向思維能力的培養
1.反向逆推。
探討某些命題的逆命題的真假，是研究數學科學的方法之一，也是學生學習數學的一種行之有效的方法。例如在敘述“數的開方運算”時，我們應強調運用平方運算求一個數的平方數和用平方運算檢驗一個數是不是另一個數的平方根。在教學中我們還要不失時機地運用互逆運算，簡化解題過程，訓練逆向思維。我們通過反向逆推，引導學生利用逆向思維去發問、發現，可以進一步擴大和完善學生的認知結構，深化和升華所學的課本知識。
數學中的公式都具有雙向性。正向運用它們的同時加強公式的逆向應用訓練，不僅可以加深學生對公式的理解和掌握，培養學生靈活運用公式的能力，而且可以培養學生的雙向思維能力。
2.運用反證。
證明數學事實和結論的正確性。反證法是正向邏輯思維的逆過程，是一種典型的逆向思維。反證法是一種間接證法，是許多數學問題在用直接證法相當困難時，常常被采用的證法。它是從待證結論的反面出發，推出矛盾，從而否定要證結論的反面，肯定待證的結論，加強反證法的訓練是促進學生逆向思維逐步形成的必要措施。
例如：命題“若兩多邊形的對應邊成比例，則必相似”為假命題，只需舉一個菱形和一個正方形即可判其為假。說明“一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形為平行四邊形”為假命題，只需舉一個等腰梯形即可。
“思維能力的發展是學生智力發展的核心，也是智力發展的重要標志”。因此在初中數學課堂教學中教師要充分挖掘教材中的互反因素，有機地訓練和培養學生的逆向思維能力，從而提高學生的數學素質。
3.集錯歸檔，補充認識缺陷。
教學效果取決于學生的學習反饋。在教學過程中只有快速捕捉反饋信息，及時采取補救措施，才能促進教學目標的實現。教師在教學中不但要遵循教學規律，而且要有超前的預見能力。學生在學習新知識時可能會存在怎么樣問題，會提出什么樣的問題，教師心中都應早有準備。可是這些超前預見的材料就來源于學生學習反饋即練習和作業，以及考卷的錯誤解答。因此，搜集和整理學生練習、作業和考卷中出現的典型性錯誤間題，對教學具有很大的輔助作用。引導學生將錯解題進行歸類、整理并存案歸庫是一件非常有意義的事，它不僅可以彌補學生認識上的缺陷，而且能為今后的教學提供豐富而科學的指導依據。
4.重視逆定理的運用，提高學生的逆向思維能力。
數學中的定理有的不可逆，但許多定理的逆定理也是成立的。例如，平行線的性質定理與判定定理，勾股定理及其逆定理，兩個平面平行的性質及判定定理，等腰三角形的性質及判定定理，等等。在教學中，對某些重要定理的可逆性進行探討，有利于加深對知識的理解，也有助于逆向思維能力的提高。
5.重視一些性質的逆向運用也能提高學生的逆向思維能力。
中學數學教材中有很多的性質是可逆的。例如指數函數的性質“底數大于I時，函數為增函數”，其反面“指數函數為增函數時，其底數大于1”也成立。再如函數的方程與函數的圖像的關系中，“滿足函數方程的點都在函數的圖像上”，其反面“在函數圖像上的點滿足該函數的方程”也成立。在數學教學中，重視一些性質的逆向運用，對培養學生的逆向思維能力大有益處。
6.加強數學方法的教學，強化逆向思維能力，重視數學思想。
數學方法如反證法、分析法等方面的教學是增強學生逆向思維能力的有效方法。分析法是一種執果索因的逆向思維方法，其推理方向是由結論到題設，論證中步步尋求使其成立的充分條件，如此逐步歸結到已知或已成立的事實，命題便獲證。采用該方法分析問題時要求學生養成“要證什么，需證什么”的思維方向，用它可以縮短已知和未知間的距離，便于尋找解題的途徑。反正法是一種假設結論的反面成立，在已知條件和“否定結論”這個新條件下，通過推理得出與題設、公理、定理矛盾的結論，從而斷定假設不成立，原命題的結論一定正確的證明方法。很多直接證明很困難的題目，用反證法可以起到很好的效果。教師可通過數學方法的訓練，能使學生明白解答一個問題用一種方法不行，要轉化思想，也可以反過來思考，從而增強逆向思維能力，提高思維的靈活性。
7.在解題過程中運用逆向思考方法培養學生逆向思維能力。
