時間：2023-06-15 17:27:49
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇高一數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)概念，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
【關(guān)鍵詞】 函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；恒成立；單調(diào)性；極值
在高中新課程中，函數(shù)是實際應(yīng)用最多的內(nèi)容之一，它是反映現(xiàn)實生活和其他學(xué)科規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型.函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，貫穿于整個教學(xué)的始終，而且大部分章節(jié)都涉及函數(shù)及其思想方法，其理論和應(yīng)用涉及數(shù)學(xué)的各個分支領(lǐng)域.
再從高考來看，數(shù)學(xué)主要有6大模塊，分別是三角函數(shù)、數(shù)列與不等式、立體幾何、圓錐曲線、概率統(tǒng)計和導(dǎo)數(shù).三角函數(shù)本身就是一類特殊的函數(shù)，各種函數(shù)性質(zhì)都十分明顯；數(shù)列也可當(dāng)作特殊的函數(shù)（離散的函數(shù)）來對待；不等式的各類解法中，有相當(dāng)一部分會利用到函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)來解答；立體幾何看似與函數(shù)沒有多大關(guān)系，但是一般情況下，理科的立體幾何會用到空間向量，而空間向量的很多解法和函數(shù)息息相關(guān)；圓錐曲線在很大程度上需要借助于圖形建立一個方程，利用方程的思想來解題，因此圓錐曲線題在很大程度上可以認(rèn)為是一類特殊的函數(shù)題；概率統(tǒng)計中有許多類似于概率密度函數(shù)等與函數(shù)相關(guān)的概念，而統(tǒng)計方法中也會涉及相當(dāng)多的函數(shù)思想.
函數(shù)與各大模塊的關(guān)系都非常緊密，是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).高考中直接或間接與函數(shù)相關(guān)的考題，占到了100分左右，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)屬于核心考點，其地位不言而喻.所以說沒有學(xué)透函數(shù)的性質(zhì)相當(dāng)于沒有學(xué)好高中數(shù)學(xué)，在高考中是很難取得好成績的.
比如在恒成立問題中，單調(diào)性常常是得力的工具.
例1 已知f（x）= a x -lnx，若f（x）≥5-3x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
命題者提供的參考答案是：由f（x）≥5-3x得，a≥xlnx-3x2+5x.設(shè)g（x）=xlnx- 3x2+5x，則g′（x）=lnx-6x+6.設(shè)h（x）=g′（x），則h′（x）= 1-6x x ，h（1）=g′（1）=0.當(dāng)
在以上證明中，“當(dāng)x∈（0，1）時，lnx
在解決壓軸題時，若能及時轉(zhuǎn)換思路，將問題轉(zhuǎn)化成與之等價的、易于求解的問題，將會收到事半功倍的效果.下面略舉一例加以說明.
例2 已知函數(shù)g（x）= x lnx ，f（x）=g（x）-ax.
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值.
（2）若x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）f′（x2）+a（a>0）成立，求實數(shù)a的取值范圍.
答案 （1）a的最小值為 1 4 （證明略）.
（2）：命題“若x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）f′（x2）+a（a>0）成立”等價于“當(dāng)x∈[e，e2]時，有f（x）minf′（x）max+a”.當(dāng)x∈[e，e2]時，2 ”.但是有相當(dāng)一部分學(xué)生對于“0
如果此時能及時轉(zhuǎn)換思路，進(jìn)一步將其轉(zhuǎn)化成等價命題，問題也就迎刃而解了.
“若x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a（a>0）成立”
從以上例子可以看出，數(shù)學(xué)問題中的思路轉(zhuǎn)換也很重要，它能夠把問題由復(fù)雜化為簡單，大大減少運算量.由此可見，函數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個重點，更是一個難點.教師應(yīng)該從高一開始就培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)意識，在以后的學(xué)習(xí)過程中逐步認(rèn)識函數(shù)、理解函數(shù)、掌握函數(shù).這就需要教師在教學(xué)過程中站位要高，不僅要顧及到現(xiàn)今學(xué)段的內(nèi)容，更要對日后的學(xué)習(xí)有所鋪墊.高一數(shù)學(xué)主要是對一些基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)，教師可多舉一些生活中的例子幫助學(xué)生學(xué)習(xí)掌握；高二數(shù)學(xué)主要是函數(shù)思想在不等式、直線、圓錐曲線等方面的簡單應(yīng)用；高三數(shù)學(xué)主要是運用函數(shù)知識對6大知識模塊的整合與綜合運用.
無論是新課教學(xué)還是復(fù)習(xí)課，都應(yīng)重視有關(guān)概念的理解和應(yīng)用.筆者認(rèn)為教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個方面：
（1）抓住集合、映射、函數(shù)間的知識聯(lián)系，是函數(shù)教學(xué)的重點和難點，只有抓住這條主線，才能使函數(shù)概念及有關(guān)內(nèi)容脈絡(luò)清楚.
（2）注重“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué).
數(shù)形結(jié)合通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題.在借助圖像研究函數(shù)的過程中，要讓學(xué)生經(jīng)歷繪制圖像的具體過程，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和思維水平.對于圖像，要抓住“作圖”和“變圖”兩個關(guān)鍵，以及變圖常用的幾種方式――平移、對稱、放縮、復(fù)合等.
（3）不等式和方程是求解函數(shù)問題的兩個工具，教學(xué)要使學(xué)生從函數(shù)的角度，由“數(shù)”到“形”的對方程（組）、不等式加深認(rèn)識，提高學(xué)生舊認(rèn)識的深度.
（4）函數(shù)式的恒等變形往往是函數(shù)壓軸題的突破口.
（5）掌握函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性等性質(zhì)對解題十分有利，如例1的求解.
高中數(shù)學(xué)難度更大，難度在于它的深度和廣度，但如果能理清思路，抓住重點，多實踐，變渣滓為暴君并非不可能。高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)有哪些你知道嗎?共同閱讀高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)，請您閱讀!
高中數(shù)學(xué)知識點匯總1.必修課程由5個模塊組成：
必修1：集合，函數(shù)概念與基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù))
必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。
必修3：算法初步、統(tǒng)計、概率。
必修4：基本初等函數(shù)(三角函數(shù))、平面向量、三角恒等變換。
必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。
以上所有的知識點是所有高中生必須掌握的，而且要懂得運用。
選修課程分為4個系列：
系列1：2個模塊
選修1-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。
選修1-2：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)、框圖
系列2:3個模塊
選修2-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何
選修2-2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、推理與證明、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)
選修2-3：計數(shù)原理、隨機變量及其分布列、統(tǒng)計案例
選修4-1：幾何證明選講
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
選修4-5：不等式選講
2.重難點及其考點：
重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)
難點：函數(shù)，圓錐曲線
高考相關(guān)考點：
1.集合與邏輯：集合的邏輯與運算(一般出現(xiàn)在高考卷的第一道選擇題)、簡易邏輯、充要條件
2.函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用
3.數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求通項、求和
4.三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和差倍半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)、應(yīng)用
5.平面向量:初等運算、坐標(biāo)運算、數(shù)量積及其應(yīng)用
6.不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式(經(jīng)常出現(xiàn)在大題的選做題里)、不等式的應(yīng)用
7.直線與圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系
8.圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用
9.直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量
10.排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項式定理及其應(yīng)用
11.概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布
12.導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
13.復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運算
高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要注意的方法1.用心感受數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)思想。
有位數(shù)學(xué)家曾說過：數(shù)學(xué)是用最小的空間集中了的理想。
2.要重視數(shù)學(xué)概念的理解。
高一數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的區(qū)別是概念多并且較抽象，學(xué)起來“味道”同以往很不一樣，解題方法通常就來自概念本身。學(xué)習(xí)概念時，僅僅知道概念在字面上的含義是不夠的，還須理解其隱含著的深層次的含義并掌握各種等價的表達(dá)方式。例如，為什么函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，而y=f(x)與x=f-1(y)卻有相同的圖象;又如，為什么當(dāng)f(x-1)=f(1-x)時，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，而y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象卻關(guān)于直線x=1對稱，不透徹理解一個圖象的對稱性與兩個圖象的對稱關(guān)系的區(qū)別，兩者很容易混淆。
3.對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)抱著二個詞――“嚴(yán)謹(jǐn)，創(chuàng)新”，所謂嚴(yán)謹(jǐn)，就是在平時訓(xùn)練的時候，不能一絲馬虎，是對就是對，錯了就一定要承認(rèn)，要找原因，要改正，萬不可以抱著“好像是對的”的心態(tài)，蒙混過關(guān)。
至于創(chuàng)新呢，要求就高一點了，要求在你會解決此問題的情況下，你還會不會用另一種更簡單，更有效的方法，這就需要扎實的基本功。平時，我們看到一些人，做題時從不用常規(guī)方法，總愛自己創(chuàng)造一些方法以“偏方”解題，雖然有時候也能讓他撞上一些好的方法，但我認(rèn)為是不可取的。因為你首先必須學(xué)會用常規(guī)的方法，在此基礎(chǔ)上你才能創(chuàng)新，你的創(chuàng)新才有意義，而那些總是片面“追求”新方法的人，他們的思維有如空中樓閣，必然是曇花一現(xiàn)。當(dāng)然我們要有創(chuàng)新意識，但是，創(chuàng)新是有條件的，必須有扎實的基礎(chǔ)，因此我想勸一下那些基礎(chǔ)不牢，而平時總愛用“偏方”的同學(xué)們，該是清醒一下的時候了，千萬不要繼續(xù)鉆那可憐的牛角尖啊!
4.建立良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣，習(xí)慣是經(jīng)過重復(fù)練習(xí)而鞏固下來的穩(wěn)重持久的條件反射和自然需要。
建立良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣，會使自己學(xué)習(xí)感到有序而輕松。高中數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣應(yīng)是：多質(zhì)疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保證每天有一定的自學(xué)時間，以便加寬知識面和培養(yǎng)自己再學(xué)習(xí)能力。
5.多聽、多作、多想、多問：此“四多”乃培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的要訣，“聽”就是在“學(xué)”，作是“練習(xí)”(作課本上的習(xí)題或其它問題)，也就是把您所學(xué)的，應(yīng)用到解決問題上。
“聽”與“作”難免會碰到疑難，那就要靠“想”的功夫去打通它，假如還想不通，解不來就要“問”――問同學(xué)、問老師或參考書，務(wù)必將疑難解決為止。這就是所謂的學(xué)問：既學(xué)又問。
6.要有毅力、要有恒心：基本上要有一個認(rèn)識：數(shù)學(xué)能力乃是長期努力累積的結(jié)果，而不是一朝一夕之功所能達(dá)到的。
您可能花一天或一個晚上的功夫把某課文背得滾瓜爛熟，第二天考背誦時對答如流而獲高分，也有可能花了一兩個禮拜的時間拼命學(xué)數(shù)學(xué)，但到頭來數(shù)學(xué)可能還考不好，這時候您可不能氣餒，也不必為花掉的時間惋惜。
高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的五大要點分析一、端正態(tài)度，切忌浮躁，忌急于求成
在第一輪復(fù)習(xí)的過程中，心浮氣躁是一個非常普遍的現(xiàn)象。主要表現(xiàn)為平時復(fù)習(xí)覺得沒有問題，題目也能做，但是到了考試時就是拿不了高分!這主要是因為：
(1)對復(fù)習(xí)的知識點缺乏系統(tǒng)的理解，解題時缺乏思維層次結(jié)構(gòu)。第一輪復(fù)習(xí)著重對基礎(chǔ)知識點的挖掘，數(shù)學(xué)老師一定都會反復(fù)強調(diào)基礎(chǔ)的重要性。如果不重視對知識點的系統(tǒng)化分析，不能構(gòu)成一個整體的知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)架，自然在解題時就不能擁有整體的構(gòu)思，也不能深入理解高考典型例題的思維方法。
(2)復(fù)習(xí)的時候心不靜。心不靜就會導(dǎo)致思維不清晰，而思維不清晰就會促使復(fù)習(xí)沒有效率。建議大家在開始一個學(xué)科的復(fù)習(xí)之前，先靜下心來認(rèn)真想一想接下來需要復(fù)習(xí)哪一塊兒，需要做多少事情，然后認(rèn)真去做，同時需要很高的注意力，只有這樣才會有很好的效果。
(3)在第一輪復(fù)習(xí)階段，學(xué)習(xí)的重心應(yīng)該轉(zhuǎn)移到基礎(chǔ)復(fù)習(xí)上來。
因此，建議廣大同學(xué)在一輪復(fù)習(xí)的時候千萬不要急于求成，一定要靜下心來，認(rèn)真的揣摩每個知識點，弄清每一個原理。只有這樣，一輪復(fù)習(xí)才能顯出成效。
二、注重教材、注重基礎(chǔ)，忌盲目做題
要把書本中的常規(guī)題型做好，所謂做好就是要用最少的時間把題目做對。部分同學(xué)在第一輪復(fù)習(xí)時對基礎(chǔ)題不予以足夠的重視，認(rèn)為題目看上去會做就可以不加訓(xùn)練，結(jié)果常在一些“不該錯的地方錯了”，最終把原因簡單的歸結(jié)為粗心，從而忽視了對基本概念的掌握，對基本結(jié)論和公式的記憶及基本計算的訓(xùn)練和常規(guī)方法的積累，造成了實際成績與心理感覺的偏差。
可見，數(shù)學(xué)的基本概念、定義、公式，數(shù)學(xué)知識點的聯(lián)系，基本的數(shù)學(xué)解題思路與方法，是第一輪復(fù)習(xí)的重中之重。不妨以既是重點也是難點的函數(shù)部分為例，就必須掌握函數(shù)的概念，建立函數(shù)關(guān)系式，掌握定義域、值域與最值、奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等性質(zhì)，學(xué)會利用圖像即數(shù)形結(jié)合。
三、抓薄弱環(huán)節(jié)，做好復(fù)習(xí)的針對性，忌無計劃
每個同學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上遇到的問題有共同點，更有不同點。在復(fù)習(xí)課上，老師只能針對性去解決共同點，而同學(xué)們自己的個別問題則需要通過自己的思考，與同學(xué)們的討論，并向老師提問來解決問題，我們提倡同學(xué)多問老師，要敢于問。每個同學(xué)必須了解自己掌握了什么，還有哪些問題沒有解決，要明確只有把漏洞一一補上才能提高。復(fù)習(xí)的過程，實質(zhì)就是解決問題的過程，問題解決了，復(fù)習(xí)的效果就實現(xiàn)了。同時，也請同學(xué)們注意：在你問問題之前先經(jīng)過自己思考，不要把不經(jīng)過思考的問題就直接去問，因為這并不能起到更大作用。
高三的復(fù)習(xí)一定是有計劃、有目標(biāo)的，所以千萬不要盲目做題。第一輪復(fù)習(xí)非常具有針對性，對于所有知識點的地毯式轟炸，一定要做到不缺不漏。因此，僅靠簡單做題是達(dá)不到一輪復(fù)習(xí)應(yīng)該具有的效果。而且盲目做題沒有針對性，更不會有全面性。在概念模糊的情況下一定要回歸課本，注意教材上最清晰的概念與原理，注重對知識點運用方法的總結(jié)。
四、在平時做題中要養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，忌不思
1.樹立信心，養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣。
部分同學(xué)平時學(xué)習(xí)過程中自信心不足，做作業(yè)時免不了互相對答案，也不認(rèn)真找出錯誤原因并加以改正?！皶粚Α笔歉呷龜?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大忌，常見的有審題失誤、計算錯誤等，平時都以為是粗心，其實這就是一種非常不好的習(xí)慣，必須在第一輪復(fù)習(xí)中逐步克服，否則，后患無窮?？山Y(jié)合平時解題中存在的具體問題，逐題找出原因，看其是行為習(xí)慣方面的原因，還是知識方面的缺陷，再有針對性加以解決。必要時作些記錄，也就是錯題本，每位同學(xué)必備的，以便以后查詢。
2.做好解題后的開拓引申，培養(yǎng)一題多解和舉一反三的能力。
解題能力的培養(yǎng)可以從一題多解和舉一反三中得到提高，因而解完題后，需要再回味和引申，它包括對解題方法的開拓引申，即一道數(shù)學(xué)題從不同的角度去考慮去分析，可以有不同的思路，不同的解法。
考慮的愈廣泛愈深刻，獲得的思路愈廣闊，解法愈多樣;及對題目做開拓引申，引申出新題和新解法，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維，激發(fā)創(chuàng)造精神，提高解題能力：
(1)把題目條件開拓引申。
①把特殊條件一般化;②把一般條件特殊化;③把特殊條件和一般條件交替變化。
(2)把題目結(jié)論開拓引申。
(3)把題型開拓引申，同一個題目，給出不同的提法，可以變成不同的題型。俗稱為“一題多變”但其解法仍類似，按其解法而言，這些題又可稱為“多題一解”或“一法多用”。
3.提高解題速度，掌握解題技巧。
提高解題速度的主要因素有二：一是解題方法的巧妙與簡捷;二是對常規(guī)解法的掌握是否達(dá)到高度的熟練程度。
五、學(xué)會總結(jié)、歸納，訓(xùn)練到位，忌題量不足
我在暑期上課的時候發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)都是一看到題目就開始做題，這也是一輪復(fù)習(xí)應(yīng)該避免的地方。做題如果不注重思路的分析，知識點的運用，效果可想而知。因此建議同學(xué)們在做題前要把老師上課時復(fù)習(xí)的知識再回顧一下，梳理知識體系，回顧各個知識點，對所學(xué)的知識結(jié)構(gòu)要有一個完整清楚的認(rèn)識，認(rèn)真分析題目考查的知識，思想，以及方法，還要學(xué)會總結(jié)歸納不留下任何知識的盲點，在一輪復(fù)習(xí)中要注意對各個知識點的細(xì)化。這個過程不需要很長的時間，而且到了后續(xù)階段會越來越熟練。因此，養(yǎng)成良好的做題習(xí)慣，有助于訓(xùn)練自己的解題思維，提高自己的解題能力。
實踐出真知，充足的題量是把理論轉(zhuǎn)化為能力的一種保障，在足夠的題目的練習(xí)下不僅可以更扎實的掌握知識點，還可以更深入的了解知識點，避免出現(xiàn)“會而不對、對而不全”的現(xiàn)象。由于高考依然是以做題為主，所以解題能力是高考分?jǐn)?shù)的一個直接反映，尤其是數(shù)學(xué)試題。而解題能力不是三兩道題就能提升的，而是要大量的反復(fù)的訓(xùn)練、認(rèn)真細(xì)致的推敲才會有較大的提升。有句話說的好，“量變導(dǎo)致質(zhì)變”，因此，同學(xué)們在每章復(fù)習(xí)的時候，一定要做足夠的題，才能夠充分的理解這一章的內(nèi)容，才能夠做到對這一章知識點的熟練運用。
關(guān)鍵詞： 二次函數(shù) 不等式 數(shù)列 導(dǎo)數(shù) 解析幾何
一、二次函數(shù)定義的理解
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），與二次函數(shù)在初中階段理解的不同，高中階段的二次函數(shù)在集合和映射的基礎(chǔ)之上進(jìn)行認(rèn)識理解的，主要以映射的知識重新認(rèn)識了函數(shù)的定義：二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f:AB使得集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應(yīng)，記作：f（x）=ax+bx+c（a≠0），這里面的這里ax+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認(rèn)識.
二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值，圖像
將一元二次函數(shù)配方得：y=ax+bx+c=a（x+）+，頂點坐標(biāo)為（-，），對稱軸是x=-.
（1）當(dāng)a＞0時，函數(shù)在區(qū)間（-∞，-）上是減函數(shù)，在區(qū)間（-，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)圖像開口朝上，f（x）=，無最大值.
（2）當(dāng)a＜0時，函數(shù)在區(qū)間（-∞，-）是增函數(shù)，在區(qū)間（-，+∞）上是減函數(shù)，函數(shù)圖像開口朝下，f（x）=，無最小值.
三、二次函數(shù)在不等式中的應(yīng)用
由二次函數(shù)的圖像可知：若一元二次方程ax+bx+c=0有2個不相等的實數(shù)根x，x（x＜x），則
當(dāng)a＞0時，不等式ax+bx+c＞0的解集為{x|x＞x或x＜x}，
不等式ax+bx+c＜0的解集為{x|x＜x＜x};
當(dāng)a＜0時，不等式ax+bx+c＞0的解集為{x|x＜x＜x}，
不等式ax+bx+c＜0的解集為{x|x＞x或x＜x}.
例：函數(shù)f（x）=（4-3a）x-2x+a，若0≤x≤1，x為變量，a為常量，求證：
（1）當(dāng)a＞時，f（x）≤a;
（2）當(dāng)1＜a＜時，f（x）≤2-2a.
證明：（1）當(dāng)a＞時，4-3a＜0，則當(dāng)x≤＜0時，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x≥時，f（x）單調(diào)遞減，＼0≤x≤1，f（x）單調(diào)遞減，
＼f（x）=f（0）=a，＼f（x）≤a;
（2）當(dāng)1＜a＜時，4-3a＞0，則當(dāng)x≥＞1時，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x≤時，f（x）單調(diào)遞減，＼0≤x≤1，f（x）單調(diào)遞減，
＼f（x）=f（1）=2-2a，＼f（x）≤2-2a.
四、二次函數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用
例：等差數(shù)列{a}的首項a＞0，前n項和S，當(dāng)l≠m時s=s，問n為何值時s最大?
分析：等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域為正整數(shù)集這個限制條件.
解析：由題意知s=f（n）=na+d=n+（a-）n，因為a＞0，當(dāng)l≠m時，s=S，故d＜0，即此二次函數(shù)開口向下，故由f（l）=f（m）得當(dāng)x=時f（x）取得最大值，但由于n∈N，故若l+m為偶數(shù)，當(dāng)n=時，s最大.
若l+m為奇數(shù)，當(dāng)n=時，s最大.
小結(jié)：數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可視為定義域為正整數(shù)集或其子集上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點應(yīng)用函數(shù)知識解決問題.特別的等差數(shù)列的前n項和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項，反之滿足形如s=an+bn所對應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項和.此時由=an+b知數(shù)列中的點（n，）在同一直線上，這也是一個很重要的結(jié)論.此外形如前n項和s=ca-c所對應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項和.
五、二次函數(shù)在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用
例：函數(shù)y=f（x）=x+ax+bx+a在x=1處取得極值10，求a，b的值.
分析：易知f′（1）=0，f（1）=10，從而求出a，b的值，但f′（1）=0是函數(shù)在該點取得極值的必要不充分條件，故應(yīng)進(jìn)行檢驗.
解：由題意得f′（x）=3x+2ax+bx=1是函數(shù)的極值，且極值為10，則有：
f′（x）=0f（1）=10即3+2a+b=01+a+b+a=10解得a=4b=-11或a=-3b=3
當(dāng)a=4，b=-11時，f′（x）=3x+8x-11=（x-1）（3x+11）
＼x＞1時，f′（x）＞0；＼-＜x＜1時，f′（x）＜0＼x=1是函數(shù)的極值點.
當(dāng)a=-3，b=3時，f′（x）=6x-6x+3=3（x-1）≥0
此時f（x）在R上單調(diào)遞增，＼x=1不是函數(shù)的極值點，故應(yīng)舍去.
＼a=4，b=-11.
小結(jié)：函數(shù)y=ax+bx+cx+d（a≠0）存在極值的充要條件是f′（x）=3x+2ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，即D=4b-12ac＞0.
六、二次函數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用
例：討論直線y=kx+1與雙曲線x-y=1的公共點的個數(shù).
解：由y=kx+1x-y=1消去y得：（1-k）x-2kx-2=0.
當(dāng)1-k=0，即k=±1時，有一個公共點，并且是交點；
當(dāng)1-k≠0，即k≠±1時，D=8-4k，
由D＞0得，-＜k＜時，有兩個交點，
由D=0得，k=±時，有一個交點，并且是切點，
由D＜0得，k＞-或k＜時，無交點.
綜上所述：k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）時，有兩個公共點；
k=±時，相切于一點;
k=±1時，相交于一點;
k∈（-∞，-）∪（，+∞）時，無公共點.
小結(jié)：直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.
參考文獻(xiàn)：
關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想方法 高中數(shù)學(xué) 函數(shù)章節(jié) 應(yīng)用策略
在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生構(gòu)建完善的知識體系，提高學(xué)生解決問題的能力。文中根據(jù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)例題，對高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)過程中滲透分類討論、化歸、數(shù)形結(jié)合等思想，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，為日后學(xué)習(xí)復(fù)雜的知識奠定堅實的基礎(chǔ)。
一、數(shù)學(xué)思想方法的涵義及其重要意義
數(shù)學(xué)思想方法是指針對某一數(shù)學(xué)問題的分析及探索過程，形成最佳的解決問題的思想，也為準(zhǔn)確、客觀分析、解決數(shù)學(xué)問題提供合理、操作性強的方法。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，也是考試的重點。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到函數(shù)的題目，復(fù)習(xí)時必須有針對性地了解高考常見命題和要點，重點進(jìn)行復(fù)習(xí)，做到心中有數(shù)。將數(shù)學(xué)思想方法當(dāng)做數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識也是新課標(biāo)提出的，新課標(biāo)規(guī)定在教學(xué)過程中，要重視滲透數(shù)學(xué)思想方法。高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法是推進(jìn)全面素質(zhì)教育的重要手段。目前，從歷年高考的試題來看，高考考試的重點是查看學(xué)生對所學(xué)知識的靈活應(yīng)用及準(zhǔn)確性。數(shù)學(xué)科目考查的關(guān)鍵點是學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法及解題能力。因此，高中函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法發(fā)揮著重要作用。
二、高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的策略
（一）函數(shù)與方程思想的應(yīng)用
函數(shù)與方程雖然是兩個不同的概念，但它們之間卻存在著密切聯(lián)系，方程f（x）=0的根就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)。通過方程進(jìn)行研究，許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決。反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法解決。
解析：這是一道較典型的函數(shù)與方程例題，老師根據(jù)數(shù)學(xué)思想的要求傳授學(xué)生解題方法，也可以依據(jù)這一道例題對其他相關(guān)例題的解題方法進(jìn)行概括性講授，確保學(xué)生遇到這類題目可以快速、準(zhǔn)確地找出解題方法。
本例題構(gòu)造出函數(shù)g（x），再借助函數(shù)零點的判定定理解題非常容易。這道例題展現(xiàn)出函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，實際解題時我們一般會構(gòu)造一個比較熟悉的模式，從而將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為所熟悉的問題進(jìn)行思考、解答。另外，我們還可以利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)，用二分法求方程近似解的方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，對拓展學(xué)生學(xué)習(xí)的深度和廣度具有重要意義。
（二）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)解題中比較常見的思想方法，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。
解析：數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思想之一，主要包括“以形助數(shù)、以數(shù)輔形”這兩方面的內(nèi)容，求解幾何問題也是研究數(shù)形結(jié)合的重要手段。同時，在求解方程解的個數(shù)及函數(shù)零點問題中也能應(yīng)用。以形助數(shù)和以數(shù)輔形可以讓繁雜的問題變得更直觀、形象，增強數(shù)學(xué)問題的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性。因此，某些問題從數(shù)量關(guān)系觀察無法入手解題時，如果將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形，運用圖形的性質(zhì)規(guī)律更直觀地描述數(shù)量之間的關(guān)系，從而將復(fù)雜的問題變得簡單。因此，對部分抽象的函數(shù)題目，數(shù)學(xué)教師應(yīng)正確引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，使得解題思路峰回路轉(zhuǎn)，變得清晰、簡單。
（三）化歸思想的應(yīng)用
化歸思想是指將抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成簡單、熟知、直觀的數(shù)學(xué)問題，提高解決問題的速度和準(zhǔn)確性。函數(shù)章節(jié)中多數(shù)問題的解決都離不開化歸思想的應(yīng)用，其中化歸思想是分析、解決問題的基本思想，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
解析：這一例題解決過程將x0展現(xiàn)出化歸的數(shù)學(xué)思想?；瘹w是一種最基礎(chǔ)、最重要的數(shù)學(xué)思想方法，高中數(shù)學(xué)老師必須熟悉化歸思想，有意識地利用化歸思想解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并將這種思想滲透到學(xué)生的思想意識中，有利于增強學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的應(yīng)變能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
（四）分類討論思想的應(yīng)用
分類討論思想就是依據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的共同點與不同點，把豎向?qū)ο髣澐殖啥鄠€種類實施求解的一種數(shù)學(xué)思想。高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)教學(xué)中使用分類討論思想方法，有利于學(xué)生形成縝密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S模式，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。解決數(shù)學(xué)函數(shù)問題時，如果無法從整體角度入手解決問題，就可以從局部層面解決多個子問題，從而有效解決整體問題。
分類討論就是對部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，當(dāng)所給出的對象不能展開統(tǒng)一研究時，必須依據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的特點，把問題對象劃分為多個類別，隨之逐類展開討論和研究，從而有效解決問題。高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，經(jīng)常根據(jù)函數(shù)性質(zhì)、定理、公式的限制展開分類討論，問題內(nèi)的變量或包含需要討論的參數(shù)時，必須實施分類討論。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須循序漸進(jìn)地滲透分類思想，在潛移默化的情況下提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。
解析：本例題可以借助二次函數(shù)圖像解決，展現(xiàn)出分類討論的思想，討論對稱軸x=a與區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系。對復(fù)雜的問題進(jìn)行分類和整合時，分類標(biāo)準(zhǔn)與增設(shè)的已知條件相等，完成有效的增設(shè)，把大問題轉(zhuǎn)換成小問題，優(yōu)化解題思路，降低解決問題的難度。分類討論教學(xué)方法要求將各類情況各種結(jié)果考慮其中，依次研究各類情況下可能出現(xiàn)的結(jié)果。求解不等式、函數(shù)和導(dǎo)數(shù)是考查分類討論思想的難點，為確保突出重點，日常教學(xué)中必須對學(xué)生滲透分類討論思想方法。
三、結(jié)語
高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)是整個數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，對其日后學(xué)習(xí)高等函數(shù)發(fā)揮著重要作用。高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識涵蓋多種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的鑰匙和重要工具，因此數(shù)學(xué)老師必須對函數(shù)實施合理教學(xué)，讓學(xué)生更全面地掌握數(shù)學(xué)思想方法，從而提高學(xué)生的綜合思維能力。
參考文獻(xiàn)：
【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué);復(fù)習(xí)效率;復(fù)習(xí)薄弱點;重點內(nèi)容;復(fù)習(xí)策略
作為一名高三學(xué)生，我們所面臨的高考壓力是非常大.在這僅僅幾個月的時間內(nèi)，我們不僅要學(xué)習(xí)新的知識，還要復(fù)習(xí)高一、高二所學(xué)習(xí)的知識，此時提高復(fù)習(xí)效率也顯得非常重要.
一、抓住平時復(fù)習(xí)中的薄弱點，突出重點
在復(fù)習(xí)過程中，我們要將復(fù)習(xí)分為以下三個階段.第一階段，重新學(xué)習(xí)高一、高二、高三課本中的知識，掌握基本的數(shù)學(xué)知識、基本的數(shù)學(xué)方法.盡管在這一階段，每位學(xué)生的知識點的掌握程度不一樣，但是學(xué)生要發(fā)現(xiàn)自身的問題，在課下努力解決這些問題.第二階段，在了解了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識之后，將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識運用到實際解題中，提高自身解決數(shù)學(xué)問題的能力.當(dāng)我們在解數(shù)學(xué)問題的過程中，必須要認(rèn)真分析自己的薄弱點.如果發(fā)現(xiàn)僅僅只有自己不了解這方面的知識，那么要尋找其他同學(xué)或者老師的幫助.如果通過尋找其他同學(xué)發(fā)現(xiàn)他們也不太了解這方面的知識，那么學(xué)生要將該問題反饋給老師，讓老師進(jìn)行強化訓(xùn)練和針對性的講評.第三階段，分析《考試說明》，參考《考試說明》中規(guī)定的重點重新回歸到數(shù)學(xué)教材中.通過分析《考試說明》，我們會發(fā)現(xiàn)，歷年來的高考重點幾乎都放在了函數(shù)的考查、數(shù)列的考查、不等式的考查、導(dǎo)數(shù)的考查、直線與圓的考查、直線與平面位置關(guān)系等的考查上.當(dāng)我們明確了高考重點之后，我們要重回教材，鞏固與這些考點相關(guān)的知識.另外，我們要參考這些側(cè)重點來做適當(dāng)?shù)膹娀毩?xí)，以此來提高自身分析問題、解決問題的能力.
二、重視易錯點，分析典型問題
由于我們每一位學(xué)生的知識水平、知識能力都存在著明顯的不同，因此在理解數(shù)學(xué)概念或者應(yīng)用公式定理時都會遇到不同的問題.還有一部分學(xué)生在解數(shù)學(xué)題的時候，經(jīng)常會忘掉解題的基本原則，如：在解決對數(shù)問題的時候，本來應(yīng)該是先考慮定義域，然后再進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化.然而有的學(xué)生在解決對數(shù)問題的時候卻忽略這一原則，這就導(dǎo)致他們在解題的過程中遇到了重重困難，同時還會降低他們解題的效率.再加上每位學(xué)生的易錯點都是不同的，因此學(xué)生要抓住自己的易錯點來進(jìn)行復(fù)習(xí)，通過復(fù)習(xí)來降低自身的失誤率.
我們以“等比數(shù)列”為例子，我們知道等比數(shù)列和的公示是這樣的： Sn=a1（1-qn）1-q=a1-an?q1-q（q≠1），然而有的學(xué)生卻會忘記q≠1這一條件，因此在做題的過程中他們會因為忽略這一條件而無法拿到此道題的全部分值.所以在復(fù)習(xí)的過程中，我們要注意容易出錯的知識點，將每種條件都考慮在內(nèi)，以此來獲得較高的分?jǐn)?shù).對于高三學(xué)生而言，在復(fù)習(xí)過程中，其不僅要保證自身掌握了所有的基礎(chǔ)知識，還要保證掌握了每個知識點需要注意的細(xì)節(jié).只有掌握了細(xì)節(jié)，那么在做題的過程中才不會出錯，保證每道題基礎(chǔ)題都能得滿分.
三、注重規(guī)范訓(xùn)練，提高解題速度與精準(zhǔn)度
作為一名高三學(xué)生，我們必須要具備較強的計算能力.假如我們的計算能力都沒有得到提高，那么要想在數(shù)學(xué)考試中取得優(yōu)異的成績是一件非常困難的事.在高三復(fù)習(xí)階段，我們在做題的過程中既要動手，還要動腦，慢慢提高自身的運算能力.尤其是提高自身應(yīng)用知識運算的能力，尋找簡單的運算方法.在我們每次的練習(xí)中，我們要做到以下幾點：1.準(zhǔn)確抓住此道題所考查的知識點;2.根據(jù)題中所給定的條件來分析數(shù)量關(guān)系;3.迅速在腦海中勾勒此道題的解題步驟;4.將想好的步驟規(guī)范的寫下來，以此來保證拿下該題的所有分值.在我們練習(xí)的過程中，不能眼高手低，當(dāng)面對難度不高的練習(xí)題時，我們也要動手練習(xí)，避免在考試中由于不規(guī)范而失分.數(shù)學(xué)這門學(xué)科不同于其他學(xué)科，其是有步驟分的.因此當(dāng)我們做完每道數(shù)學(xué)題之后，我們要將自己的步驟與參考答案中的步驟相對比，發(fā)現(xiàn)自己解題中的不足，不斷規(guī)范自身的解題步驟.
我們以這道題為例子：Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知an>0，an2+2an=4Sn+3，求{an}的通項公式.在做此道題的時候，我們要知道此道題考查的知識點是數(shù)列知識.接著要根據(jù)題中所給定的a2n+2an=4Sn+3這一條件來列出數(shù)量關(guān)系，即：a2n+1+2an+1=4Sn+1+3.隨后根據(jù)這一數(shù)量關(guān)系來進(jìn)行解題.然而有的學(xué)生在做此類型的數(shù)學(xué)題，其并不能根據(jù)an2+2an=4Sn+3這一條件來得出a2n+1+2an+1=4Sn+1+3這樣一個關(guān)系式，為此此類學(xué)生要尋求老師或者其他學(xué)生的幫助，以此來消除他們內(nèi)心的疑慮.只有學(xué)生弄清楚了每一個步驟，那么當(dāng)他再遇到此類型題的時候，其才可以真正做到舉一反三.因此學(xué)生要規(guī)范自身的解題步驟，保證每個步驟間都存在著因果關(guān)系.
四、重視選擇題、填空題的訓(xùn)練，提高答題效率
由于數(shù)學(xué)考試的時間僅僅有120分鐘，如果學(xué)生要一一算出每道題的答案，那么時間是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.因此在復(fù)習(xí)階段，我們要掌握選擇題、填空題的做法.有些學(xué)生在復(fù)習(xí)階
段他們會一一做每道選擇題和填空題，這就導(dǎo)致他們會將更多的時間放在選擇題和填空題的訓(xùn)練上，從而降低了他們的復(fù)習(xí)效率.針對這種情況，我建議高三學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中要慢慢掌握做選擇題、填空題的方法.比如：在做選擇題的時候，我們要用到排除法、代入法，這樣做不僅提高了解題效率，還提高了答題的準(zhǔn)確度.另外，選擇題、填空題的訓(xùn)練能發(fā)現(xiàn)我們哪方面的知識掌握不夠扎實，從而達(dá)到查漏補缺的目的.然而在做填空題的時候，要根據(jù)題中給定的條件來進(jìn)行計算，又或者運用數(shù)形結(jié)合的方法來快速計算出答案.在復(fù)習(xí)過程中，只有我們掌握了正確的復(fù)習(xí)方法，我們的復(fù)習(xí)效率也會慢慢提高.
五、把握細(xì)節(jié)，回歸數(shù)學(xué)教材
從某種程度上來講，高考考查的是學(xué)生的全面素質(zhì).每年的高考數(shù)學(xué)題難度并不是特別大，只要學(xué)生調(diào)整好了心態(tài)，把握好細(xì)節(jié)都是可以取得比較滿意的成績.然而我們在復(fù)習(xí)的過程中，要注重零碎的數(shù)學(xué)知識，盡管有些數(shù)學(xué)題難度不大，但是有些學(xué)生一做此類型的數(shù)學(xué)題就會出錯.因此在最后的復(fù)習(xí)中，學(xué)生要回歸到數(shù)學(xué)教材中，吃透數(shù)學(xué)知識，了解數(shù)學(xué)知識的運用.俗話說：細(xì)節(jié)決定成敗，由此可見細(xì)節(jié)知識的把握是至關(guān)重要的.有很多高三學(xué)生在復(fù)習(xí)的過程中僅僅注重練習(xí)一些具有難度、新穎的數(shù)學(xué)題，然而在實際做題的過程中，他們都不能保證基礎(chǔ)題完全得分，其實這種復(fù)習(xí)方法是得不償失的.再加上他們一味的練習(xí)難度較大的題，會大大增加他們的心理負(fù)擔(dān)，也會讓他們開始懷疑自己的能力.為此，在復(fù)習(xí)階段，學(xué)生要保證每道基礎(chǔ)題都能完全拿分的前提下，再適當(dāng)做一些難度較大的數(shù)學(xué)題，提高復(fù)習(xí)的效率.
六、總 結(jié)
在復(fù)習(xí)階段，每位學(xué)生要根據(jù)自身掌握知識的情況來制定復(fù)習(xí)計劃.其中復(fù)習(xí)計劃中既要包括對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，還要包括對難點、重點知識的復(fù)習(xí).除此之外，在復(fù)習(xí)的過程中，我們要揣摩解不同類型題的方法，慢慢地提高自身的復(fù)習(xí)效率.
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