時間：2023-08-16 17:28:43
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇微分方程在化學中的應用，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞：微分方程；模型；應用
對于現實世界的變化，人們關注的往往是變量之間的變化率，或變化速度、加速度以及所處的位置隨時間的發展規律，之中的規律一般可以寫成一個（偏）微分方程或方程組。所以實際問題中，有大批的問題可以用微分方程來建立數學模型，涉及的領域包括物理學、化學、天文學、生物學、力學、政治、經濟、軍事、人口、資源等等。
一、微分方程數學原理解析
在初等數學中，方程有很多種，比如線性方程、指數方程、對數方程、三角方程等，然而并不能解決所有的實際問題。要研究實際問題就要尋求滿足某些條件的一個或幾個未知數方程。這類問題的基本思想和初等數學的解方程思想有著許多的相似之處，但是在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質等方面依然存在很多不同的地方，為了解決這類問題，從而產生了微分方程。
微分方程是許多理工科專業需要開設的基礎課程，微分方程與微積分是同時產生的，一開始就成為人類認識世界和改造世界的有力工具，隨著生產實踐和科學技術的發展，該學科已經演變發展為數學學科理論中理論聯系實際的一個重要分支。隨著數學建?；顒拥娜找婊钴S，利用微分方程建立數學模型，成為解決實際問題不可或缺的方法與工具。
而數學模型是對于現實世界的一個特定對象，一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的假設，運用適當的數學工具，得到一個數學結構.簡單地說：就是系統的某種特征的本質的數學表達式（或是用數學術語對部分現實世界的描述），即用數學式子（如函數、圖形、代數方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統在某一方面的存在規律。
二、微分方程模型應用于實際問題的方法和流程總結
在研究實際問題時，常常會聯系到某些變量的變化率或導數，這樣所得到變量之間的關系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是變量之間的間接關系，因此，要得到直接關系，就得求微分方程。
一般用于求解微分方程的方法或形式有三種，分別是求解析解、求數值解（近似解）和定性理論方法。而建立微分方程模型的方法通常也有三種，其一是利用數學、力學、物理、化學等學科中的定理或經過實驗檢驗的規律等來建立微分方程模型；其二是利用已知的定理與規律尋找微元之間的關系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數及其導數應用規律；其三是在生物、經濟等學科的實際問題中，許多現象的規律性不很清楚，即使有所了解也是極其復雜的，建模時在不同的假設下去模擬實際的現象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數學上求解或分析所建方程及其解的性質，再去同實際情況對比，檢驗此模型能否刻畫、模擬某些實際現象。
在建立數學微分方程的流程上，我們通常第一步是對具體實際問題進行分析，找出問題中的變化量和變量關系，接著進行模型假設，將實際問題的元素用數學概念代替，然后進行符號設定，簡化計算，從而建立模型，進行求解，最后用求解的結果對之前的問題分析和模型假設進行驗證，驗證合理后進行模型的應用和評估。
三、微分方程模型應用領域歸納和具體案例分析
從應用領域上講，微分方程大方向上的應用領域主要分社會及市場經濟、戰爭微分模型分析、人口與動物世界、疾病的傳染與診斷和自然科學這五個方面，如果細致來講，其中社會及市場經濟方面又包括綜合國力的微分方程模型、誘發投資與加速發展的微分方程模型、經濟調整的微分方程模型、廣告的微分方程模型、價格的微分方程模型；戰爭微分模型包括軍備競賽的微分方程模型、戰爭的微分方程模型、戰斗中生存可能性的微分方程模型、戰爭的預測與評估模型；人口與動物世界領域包括單種群模型及進行開發的單種群模型、弱肉強食模型、兩個物種在同一生態龕中的競爭排斥模型、無管理的魚類捕撈模型、人口預測與控制模型；疾病傳染與診斷領域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病診斷的微分方程模型、人體內碘的微分方程模型、藥物在體內的分布與排除模型；自然科學領域包括人造衛星運動的微分方程模型、航空航天器翻滾控制的微分方程模型、非線性振動的微分方程模型、PLC電路自激振蕩的微分方程模型和盯梢與追擊問題的微分方程模型等。
盡管從上述微分方程應用領域的羅列和總結上，我們會覺得比較復雜，其實所有微分方程建模問題的流程都是嚴格按照問題分析、模型假設、符號設定、建立模型、模型求解和驗證模型這一流程進行的，下面就結合一個案例來具體分析：
比如弱肉強食微分方程模型。生活在同一環境中的各類生物之間，進行著殘酷的生存競爭。設想一海島，居住著狐貍與野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之豐富，兔子們無無食之憂，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐貍數量增加吃掉大量兔子，狐群又進入饑餓狀態而使其總數下降，這時兔子相對安全，于是兔子總數回升。就這樣，狐兔數目交替地增減，無休止的循環，遂形成生態的動態平衡。那么，如何用建立數學模型描述并預測下一階段情況呢？在這個問題上，某一時刻兔子數量和狐貍數量就存在變量關系：
其中ax表示兔子的繁殖速度與現存兔子數成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；-cy表示狐貍因同類爭食造成的死亡速度與狐貍總數成正比；dxy表示狐兔相遇，對狐貍有好處而使狐貍繁殖增加的速度。
四、結語
微分方程模型的應用讓很多現實中難以具體計算的問題迎刃而解，通過對事物發展規律的掌控進行科學建模，是數學應用于生活的發展趨勢，作為廣大在校進行數學專業學習的同學來說，掌握好專業基本功，是將來就業工作，實現自身價值的重要途徑。
參考文獻：
[1]肖靜宇. 幾類分數階微分方程的數值方法研究[D].哈爾濱工業大學，2013.
[2]付樹軍. 圖像處理中幾何驅動的變分和偏微分方程方法研究[D].北京交通大學，2008.
關鍵詞：常微分方程；教學方法；教學效果
常微分方程是基礎數學的重要分支之一，它是研究客觀世界量與量之間關系的重要工具，廣泛地應用于物理、化學、生物、工程、航空航天、醫學、經濟和金融等領域。常微分方程課程是我校應用數學系的一門專業基礎課，同時又是數學分析的后繼課程。這門課程不僅可以讓學生領略到豐富的數學知識，而且引導學生用新的視角認識世界，對培養學生的數學思維起到了非常重要的作用。
如何在常微分方程的教學中，提高學生的積極主動性，發揮教師的主導作用，使教學方式由教學投入，即以教學內容、學習年限為導向，轉變為教學產出，即以學習效果為導向，是教學改革中大家比較關注的問題。在常微分方程課程的教學過程中，筆者有以下的構想和嘗試。
一、“任務式”教學――突出學生主體，體現教師主導
目前，課堂教學的一大弊端是教師包辦和代勞太多，而學生的學習興趣不高，“學生的主體作用”和“教師的主導”體現得都不明顯。學生習慣被動地接受知識，而不是主動地學習和探索知識，很難從學習中感受到快樂。為了改變這一現狀，教師在教學過程中，有意識地布置一些學習任務，要求學生去完成。這個任務絕不局限于課后的習題。
比如，常微分方程第一節緒論課，主要介紹微分方程的背景知識和基本概念。常規為兩課時，課堂上能夠介紹的內容非常有限。教師在教學中布置學習任務：
了解常微分方程在生產生活中的應用；
了解常微分方程的發展歷史和關鍵人物；等等。
學生可以利用各種資源，主動查找和學習相關的資料，以作為課堂內容的有效補充。為了督促學生完成任務，教師要求學生在規定時間內以論文、PPT、影像資料等多種形式提交學習成果，并及時記錄和交流，任務完成情況作為學習成績的一部分加以體現。教師則在有限的課堂時間內，重點講解“數學單擺”“人口模型”“傳染病模型”等幾個非常經典的微分方程模型，使學生了解和認識應用微分方程“思考問題--建立模型―解決問題”的過程。這樣的設計，突出了教師講解畫龍點睛的主導作用，也調動了學生學習的主動性，充分發揮其主體作用。
課后學生分兩次完成作業，找到了鑒別名畫的真偽、測定考古發掘物的年齡、深水炸彈在水下的運動、物資的供給、紅綠燈問題、需求與物價之間的關系、減肥的數學模型等諸多課本上沒有的例子；制作了精美的PPT，介紹常微分方程的發展歷程；從方法論的角度出發，學習和總結利用常微分方程建模的常用方法。通過學習，學生對常微分方程背景知識和廣泛的應用性有了更充分的認識，對應用這個工具解決問題的方法有了更加深刻的理解。這樣的作業，突破課堂限制，不僅使學生學到了知識，更主要的是，在學習的過程中學會了資料的搜集與整理以及論文撰寫的基本知識與格式，提高了協作完成任務的能力。這樣的學習方式，使學生成為學習的主角，而教師在學習活動中的主導和組織作用也得到了充分的發揮。
二、構建以教材為中心的“輻射式”教學內容體系
除教材知識外，“輻射式”構建本課程學習內容，建設一個以教材為中心，以資料為輔助的教學內容體系。微分方程的發展歷久彌新，是一門前沿性非常強的課程。教材知識雖然經典，但是比較陳舊，不能體現這門課程前沿性的特點。為此，教師在授課過程中應給學生提供比較恰當的、既結合學習內容又比較新或者比較經典的論文資料，供學生閱讀學習。在搜集資料的過程中，注重提供一定比例的外文資料。通過閱讀與學習這些資料，使學生提高了學習興趣，開闊了視野。同時，積累了專業詞匯，培養了閱讀外文學術文獻的能力，提升了學習品質，為今后的學習奠定了良好的基礎。這個教學內容體系，隨著教學與科研的發展不斷更新和補充“新鮮血液”，經過幾輪的積累，就會形成一個豐富的、動態的常微分方程課程資料庫。
不僅如此，還應要求學生學習Matlab、Maple、Mathematic等常用的工具類數學軟件，并且能夠把它應用到常微分方程課程的學習中，解決一些基本問題，如畫相圖、積分曲線（面）、求各類常微分方程的近似解等。
三、“過程化”教學――注重學習過程的管理和引導
為了體現學生是學習的主體，改變單一的考試辦法，應分階段分任務進行考核?？己藘热萦校?/p>
第一，期中、期末考試。
第二，作業考核。
過程考核分課內作業和課外作業。課內作業是常規的課后習題；課外作業有課堂筆記、文獻閱讀、本課程相關資料整理等。
第三，課外學習內容考核。
主要有數學軟件學習、實驗課內容學習和操作等。各類學習內容在考核中都占有一定的比例，以此調動學生學習的主動性，使得總評成績能夠比較全面地反映學生的學習情況。
在考核方式的比例分配和成評定過程中，引入學生的意見，甚至部分展示內容中可以讓學生的評分占一小部分。
四、“建?；苯虒W――突出應用，提高能力
微分方程來自于實踐，主要解決實踐中遇到的各種問題，建模是利用微分方程解決問題的第一步，也是關鍵一步。常微分方程教學應該盡可能地體現這一特點。
筆者在每一部分的教學中都盡可能引入實例，展現建模過程。完成知識點學習之后，每一章也都以解決一個實例問題作為結束。
在教學過程中，筆者根據教學進度，設計了四節“實驗課”內容，體現出微分方程課程的實用性的特點。比如，在學習了解對初值的連續依賴性之后，為了使學生了解參數變化對方程解的影響，教學中增加了關于“混沌”的實驗內容。通過對經典的Logistic模型數值解的計算，在計算機上讓學生看到混沌現象的發生。在學習了微分方程組之后，增加了以了解微分方程組的應用和求解為目的的實驗課――“鹽水濃度計算”。在這個試驗中，一個復雜過程被拆分成較簡單的子系統，一個獨立的微分方程描述一個子系統，于是一個微分方程組描述整個系統。
實驗課環節比較完整地體現了問題的提出、分析、建模、解決等過程。學生使用計算機軟件進行模擬或者近似解計算，提高了解決問題的能力。
五、“開放式”教學
學生的學習不拘泥于課堂，除了前面介紹的幾種方法外，筆者還注重營造學術氛圍，使學生感受到研究學習的樂趣。
一是請校內外專家為學生作比較通俗的學術報告，介紹微分方程領域的前沿工作、發展動態、趨勢和應用，以及學習數學的方法等。通過這些學術活動，使學生在了解前沿的數學知識的同時，能夠感受數學與數學家的魅力，寓教于樂、寓教于趣。
二是組織小型“學術活動”，通過分組學習，對于作業完成比較好的學生，在課堂上留5～10分鐘時間，請他們給班級同學介紹成果。這項活動極大地激發了學生的學習熱情和表現欲望，效果非常好。
六、“研究式”教學――通過師生的科研活動，促進教學，培養興趣
微分方程課程是一門前沿性非常強的課程，即便是基本的知識點，也可以挖掘出可以研究的科研課題。
首先，在教學中，引導學生選擇課題，參與科研活動，發現和完成一些小的科研任務，學生的創造力得到了很好的開發和提高。比如：課題組教師指導學生完成論文《冪級數法求解微分方程的近似解》《一類雙反饋系統正解的穩定性研究》《人口流動對傳染病的影響》等，基于課堂教學，又高于課本經典內容，這些研究成果的整理發表，極大地激發了學生的學習熱情。
其次，我們認識到科研活動是教師保持創造性的重要保障，教師應該科研與教學并重，教學相長。只有知識淵博，富有創造性的教師，才有可能培養出具有創新精神的人才。只有富有教育責任感和工作熱情的教師，才有可能引導學生進行富有成效的學習。在工作中，常微分方程教學團隊的教師成立有非性分析研究所，每個人都主持有省部級或者國家級科研項目，為不斷提高這門課程的教學質量提供了重要保障。
總之，經過幾年的教學實踐，我校努力踐行“學生為學習主體、教師為學習主導”的原則，以課堂教學為核心，同時突破課堂有限的時空限制，通過各種教學形式，促使學生主動學習，積極探索。在鼓勵和幫助學生獲得知識的同時，培養學生的學習能力、分析解決問題的能力，獲得了有效的學習成果。同時也真正體現出教師在教學過程中引導、指導、主導的作用。
參考文獻：
[1]張偉年.本科數學專業常微分方程教學改革與實踐[J].高等理科教育，2003（1）：19-21.
[2]趙中，陳瑩.應用型本科高校“常微分方程”教學模式改革與探索[J].鞍山師范學院學報，2014，（2）：11-13.
[3]周玉興，蔣心學，韋新.《常微分方程》課程教學改革的探討[J].數學教學研究，2013，32（12）：63-65.
[4]王銳.應用型高校常微分方程教學模式改革[J].陰山學刊（自然科學），2017（1）：120-121.
[5]唐玉萍.常微分方程教學模式轉變初探[J].四川文理學院學報，2015（2）：66-68.
常微分方程是基礎數學的一個重要組成部分，常微分方程在整個數學大廈中占據著重要位置。自然科學（物理、化學、生物及天文）中的許多一般規律，用常微分方程的語言來表達最為自然。因此，常微分方程是探索實際問題的重要工具。但是該課程在目前的教學中還存在一些問題：（1）本課程包含一些冗長煩瑣的計算公式和定理推導，而教學課時數普遍較少，因此在使用傳統教學方法和手段授課時，使得有些內容不能深入細致地講解，導致教學效果不佳。（2）受傳統教學模式的影響，忽略了教學過程中師生的交流和學習效果的驗收，使學生陷入思維的惰性中，限制了學生的批判性、創造性思維能力。因此，如何改革傳統的教學模式，用新的思路去改進現有教學方法，以培養學生的創新能力，對作為基礎課程的常微分方程顯得尤為重要。本文從教學內容、教學方法和教學手段等方面探討常微分方程課程的教學改革。
一、更新教學內容
（一）合理選配教科書和參考書
關于常微分方程的教材有很多，如何合理地選配教科書和參考書是搞好教學改革的關鍵一環。事實上，給學生指定一些參考書，讓他們在課余時間對照課堂上教師講授的內容進行學習，有助于學生進一步加深對常微分方程這門課程的了解，從而讓他們從單純的課堂中走出來。對于不同層次的學生，由于培養目標和教學計劃的差異而有所區分，因此應根據學生具體情況的不同選取教材。
對于基礎較好的學生，可選擇理論內容較為豐富的教材[1-2]。對于此類學生，他們不但要掌握一些基本的計算方法和推導公式，如一階微分方程的初等解法、高階微分方程的求解公式及線性微分方程組的求解公式等，還要知道這些公式、方法的具體來源，推導過程。這就需要教師在教授過程中注重這些公式、原理的理論分析與證明，因此對教材的選取，應以理論側重為主。對于特別優秀的學生，可直接選用國外原版教材[3]，讓學生在學習之余提高閱讀外文文獻的能力。對于基礎一般的學生來說，側重于使之掌握相關公式的應用，對于相關理論的含義，只需了解其內容并能熟練應用即可。在教學上應側重使學生領會公式的推導原理和方法，熟練掌握公式的具體運用，淡化理論證明為主。因此，可選用理論與計算兼而有之，側重于計算為主的教材[4]。
（二）精心選取教學內容
像常微分方程這樣的基礎課，其教學內容比較經典成熟，但仍應該根據科學和社會發展的需要，用現代數學的思想、觀點為指導，重新審視教學內容，與時俱進地吐故納新，加入一些最新的前沿性知識。例如，近幾十年來動力系統及其非線性科學得到了迅猛發展，極大地促進了力學、物理、生物、地理等領域的發展，如果能將這方面的新理論新方法同常微分方程中的一些知識結合起來進行講授，將會起到很好的效果。
對于具體的教學內容還應在選定教材后，根據學時等的安排合理選擇教學內容。當學時較少時，可適當刪減一些復雜且將來會隨著深造而進一步學習的內容，如文獻[1]中的第六章非線性微分方程中的第五、第六節，以及第七章一階線性偏微分方程。在學時較充裕的情況下，可增加一些當今微分方程中的熱點問題。例如，加強Picard逼近法及解的存在唯一性證明，將它們同運用等價積分方程建立迭代推導關系同后面動力系統思想聯系起來，不但給出了存在唯一性的相關證明，更對當今動力系統中的一些思想和觀點給出一定的介紹和闡釋[5]。這樣，不但可以讓學生學到的知識具有前瞻性，而且還可以幫助他們開闊思維，拓展視野，培養興趣，增加學習積極性。
二、改進教學方法
（一）傳統教學法與現代教學法相結合
教學方法一般是指與一定教學目標和任務相關的具體操作程序，是完成教學任務所使用的方法。我們可以把現行的教學方法大體分為傳統教法和現代教法。站在形勢發展需要的角度看，傳統教法有其弊端：教師的主要精力在于講授教材，學生的學習是被動的、消極的?？墒撬吘故窃谌祟惿鐣l展的歷史中流傳下來的，到如今仍有它合理性的一面，有的仍是教師教學中不可缺少的方法，所以不能一概否定。新方法的出現，是隨著社會發展的需要、社會的變革產生的，是積極的，它與傳統教法的出發點不同，是從灌輸知識為主轉變到啟發學習為主。在教學觀念上倡導適應個別差異、因材施教，強調把教學的重心從怎么“教”轉到怎么“學”上。若能結合這兩種方法，在教學實踐的應用中做全面的、客觀的分析，深入研究，總結效果，會大大提高教學效果。
在常微分方程課程的講授中，有許多公式定理需要推導。若教師只是灌輸式地教學，學生只是被動地接受，將會逐漸失去對這門課程的興趣和積極性。因此，在講授課程的同時，可將啟發式、對話式教學引入課堂。例如，在講完一階微分方程的初等解法后，我們可以引導學生自己考慮幾種常見的一階微分方程的類型之間的關系，從而引出微分方程中的“化歸思想”。在教學過程中將講授式與啟發式教學結合起來，不但能增加學生的學習興趣，讓他們在教師的引導和自己的主動思考中拓展思維空間和知識結構，更能讓他們較為全面地掌握系統的理論知識。
（二）注重考核方式的多元化
恰當、正確的考核方式可以及時反映教師的教學效果，因此，制定適當的考核方式是了解學生對所學知識掌握情況的有效手段之一。對此，我們將考核分成三個部分：學習態度考核、隨機口試考核、期末考試[6]。
學習態度考核是由教師和課代表平時詳細記錄每一個學生的出勤、上課表現、作業完成情況等方面，學期末由課代表和主講教師共同評定成績。隨機口試考核則是由教師事先準備一系列的問題，在課堂或課后由學生隨機抽取一道題目作答。這種方式可以引導學生注重常微分方程的基本概念和重要思想，使教師能直接掌握學生對知識細節的熟悉度以及學生的思維能力和綜合運用知識的能力。期末考試以閉卷的方式進行，其內容包含本課程的主要理論知識，應突出考查學生對知識的理解程度和運用能力。在試題的選定過程中，應以考查學生對基本概念、基本理論的理解度以及對知識的綜合運用度為基本原則。通過這三方面的考核，不但使教師較全面地把握學生對所學知識的掌握程度，也能增進學生與教師之間的學習和交流。
三、運用多樣化的教學手段
（一）引入多媒體教學
使用多媒體教學是一種新型的教學模式，需要在教學過程中不斷總結與交流，努力將傳統教學模式的優點和現代教學模式的長處有機地結合起來。實踐證明：兩者結合得好壞是新型教學模式成敗的關鍵，傳統教學模式講得好的教師往往使用現代教學模式也更加成功，原因在于保持了傳統教學模式的優勢[7]。隨著計算機技術的發展，多媒體教學具有傳統教學模式無法取代的優勢。
圖文并茂，從直觀上展示公式、定理的意義，并激發學生學習微分方程的興趣。多媒體教學利用圖像和圖形的結合，能夠給學生更多感官上的刺激。變抽象的定理內容為具體，這就使學生更容易理解和掌握教學內容。節省課堂時間，提高教學效率。常微分方程課程涉及大量復雜煩瑣的公式計算和定理的推導，如果只使用黑板加粉筆的傳統教學模式，將在板書上花費過多的時間和精力。若能合理地運用多媒體教學，把需要的教學內容制作成簡潔、生動的課件，并直接在課堂上播放，便能大大減少教師花在板書上的時間，使教學內容變得緊湊而有條理。
（二） 充分利用網絡資源
1李關于切觸變換的研究
1.1李研究切觸變換的緣由受到普呂克爾幾何思想的影響，李接受了將直線看作空間基本元素的做法，并將線幾何看作是對幾何學，尤其是笛卡爾(R.Descartes，1596～1650)創立的解析幾何學局限性的哲學思考。李在1872年的博士論文前言中寫到:本世紀幾何學的快速發展與笛卡爾幾何性質的哲學觀點有著緊密聯系，并嚴重依賴于此，也就是普呂克爾在早期的數學研究中所闡述的具有最一般形式的哲學觀點。那些深刻地理解了普呂克爾數學工作本質的人，對將任意的三參數曲線當作空間基本元素的想法，不會感到陌生。但據我所知，沒有人將這種想法付諸實施，原因有可能是人們很難看到這樣做能帶來的直接好處。在這方面我已經進行了廣泛而一般的研究，從而發現通過一種比較奇妙的變換方式①，可以將通常的主切線理論轉變成為相應的曲率理論。(［18］，156～157頁)深刻地理解了普呂克爾的幾何思想，李構造出和普呂克爾的線幾何類似的球幾何，即李球幾何。在這種情況下，新構造的幾何系統與原有幾何系統的關系就至關重要。李試圖去證明這些幾何系統都是相容的，甚至在某種意義下是等價的。這就需要在射影意義(乃至更廣泛的意義)下空間元素之間的“等價”變換，其實就是廣義的“對偶原理”。于是，李開始研究各種空間元素之間的變換，如點和直線的變換〔彭賽萊(J-V.Poncelet，1788～1867)等研究過的對偶變換〕、線球變換等，這方面的研究直接導致李創立了一般意義上的切觸變換。另一方面，早在1872年李就將幾何變換與微分方程緊密地聯系在一起。數學中經常用坐標變換來化簡微分方程，用來證明一類微分方程等價于某一標準形式或典范形式。在此過程中，切觸變換是主要的實現方法。在李群理論發展初期(1870～1880)，李的研究主要集中在切觸變換和一階偏微分方程。他在1874年創立了切觸變換的不變量理論，逐漸建立起了系統的變換群理論，并于1888年到1893年出版了三大卷兩千余頁的《變換群理論》。這三卷本《變換群理論》常被列為該領域主要原始文獻和參考書目。但在這三卷巨著中，我們很難發現李創立李群理論的主要動機，也無法領略到李的幾何思想。對此李的好友、德國數學家克萊因(C.F.Klein，1849～1925)在1893年的演講中有著精辟論述，他說:“要全面了解索福斯•李的數學天賦，我們不能去看他和恩格爾新近共同出版的著作，而是要去看他在科學研究生涯初期發表的文章，那些顯示出李是一個純粹的幾何學家?！保?9］其中“新近出版的著作”指的便是李和恩格爾在1888年到1893年間出版的三大卷《變換群理論》。李也曾在Math.Ann.雜志發表文章說:我在偏微分方程和切觸變換方面的數學研究，可參見發表在本雜志第九卷的文章，這是我最好的文章之一。其次可以參考我在本雜志第八卷上的文章，接下來是本篇文章①。(［4］，464頁)對此筆者認為，要詳細了解某一理論的誕生過程，就必須探尋能體現該領域最初思想和方法的早期論文，而不應僅局限于后期系統專著。因此，本文對李在切觸變換方面的研究主要集中于他19世紀70年表的幾篇文章，即參考文獻［2］、［3］、［4］。
1.2對切觸變換的定義文獻［2］中，李對切觸變換給出若干定義，有的用文字描述方式給出，不甚嚴謹。如其中一個定義為:(1)很明顯古爾薩的定義局限于曲線和二元函數范圍，李的定義更為廣泛和一般，并不僅限于二元函數。(2)古爾薩根據“曲線相切”的先驗條件定義了切觸變換，并將其理解為保持曲線間的相切關系不變的變換。李則從微分方程出發，根據雅可比(C.G.J.Jacobi，1804～1851)的理論，在微分方程不變性限制下得出了充要條件，由李的條件可以推出古爾薩的條件。(3)造成以上不同的原因是多方面的，與數學家的知識背景、研究方法都不無關系。古爾薩是法國分析學派的典型代表，他從純粹分析角度來定義切觸變換，其觀點仍然是處理與變量密切相關的函數及其關系等問題，屬典型的分析學派。而正如克萊因所言，李是幾何學家，受到普呂克爾幾何思想的影響，他不再拘泥于坐標間關系的限制，并將普呂克爾的線幾何推廣為李球幾何。李定義的切觸變換使一般的平面幾何、普呂克爾的線幾何和李球幾何具有了切觸變換意義下的等價性和相容性。
1.3李對切觸變換的研究在文獻［2］的第一部分中，李專門研究了切觸變換(［2］，218～248頁)。這一部分共八節，前六節分別為:§1.切觸變換的定義§2.任意的切觸變換的確定§3.將x1，…，xn，p1，…，pn的函數變換成x''''1，…，x''''n，p''''1，…，p''''n的函數的切觸變換§4.特征的某種關系的確定§5.齊次切觸變換§6.無窮小的齊次切觸變換以上這些均以切觸變換本身為研究對象，其中很大一部分都是特殊的切觸變換，如齊次切觸變換、無窮小齊次切觸變換等。將李關于切觸變換的工作與前人比較，我們發現:(1)李所創立的切觸變換與前人的定義保持了某些統一性。從歷史上看，勒讓德(A.M.Legendre，1752～1833)引入勒讓德變換將歐拉—拉格朗日方程化為線性方程，普法夫(J.F.Pfaff，1765～1825)則將n變元的偏微分方程變換為2n變元的方程。雅可比也得到了與普法夫類似的結果，并創立了雅可比第一方法。從勒讓德、普法夫、雅可比給出的變換到李所給出的定義，變換形式越來越一般，而應用范圍卻越來越廣。更重要的是李將前人關于切觸變換的零星的特殊研究統一起來，使進一步的研究及統一結論成為可能。(2)在研究目的、定義方式、研究方法等方面，李的切觸變換與前人有著明顯不同。在李的研究出現之前，切觸變換只是被當作一種應用工具，很少有數學家去關注其自身性質，而只是在某種實際問題的特殊要求(為了使微分方程更好求解，或為了使微分方程具有某種一致的對稱性等)下，尋找某種特殊變換;即使所得到的變換具有某種一般性，但既沒有出現統一定義，也沒有體現出統一性質。李對切觸變換的研究則與前人迥然不同，體現在以下方面。首先是研究目的不同。李最初研究切觸變換的目的也是尋求偏微分方程的某種不變性，但在給出切觸變換的定義后，李轉而研究其自身性質，其目的是變換自身的某種不變性，而不僅是其他數學對象在切觸變換之下的不變性。這種轉變是最本質、最具決定性的。其次是定義方式不同。李之前的各種切觸變換定義帶有明顯的應用特征，李不僅真正給出切觸變換嚴格的現代定義，還給出了切觸變換的充要條件。其定義更基本、更一般，涵蓋范圍也更廣泛。第三是研究方法不同。李依據將特定偏微分方程化為全微分方程的條件，確定能夠實現這種轉化的切觸變換，分析該切觸變換滿足的充要條件，并由此開創了一整套研究方法。
1.4李群理論的誕生背景一般認為，真正將李引導到連續變換群的是他1869～1872年的工作以及和克萊因的一些合作［21］。現有研究文獻，或以人物及其工作為研究主線，如［15］，或從不同數學分支分述，如［16］，或兩者并重，如［22］，但少有文獻注意到切觸變換基礎上無窮小變換與微分方程的關系。其實切觸變換和無窮小變換與微分方程都有密切聯系，在李的變換群理論創立中起著舉足輕重的作用。早在1871年克萊因和李就開始研究無窮小變換及其形成的“封閉系統”(［23］，54頁)，并首次將無窮小變換與微分方程聯系起來。對于齊次微分方程引入變換yx=t，則方程變為可分離變量方程，并可通過積分求解。克萊因和李對于方程的這種性質非常著迷，認為容許一個變換才是該方程化為可分離變量方程的真正原因。他們寫到:我們想要探尋方程具有這種性質的真正的內在原因。(［23］，81頁)1876年李連續發表了兩篇文章“變換群理論”(I，II)［6，7］，給出了無窮小變換的具體表示，并得到了微分算子Ak(f)=∑ni=1Xkifxi及微分算子的關系式:Ah[，A]k=∑lclhkAl。后來他直接將微分算子Ak(f)稱作無窮小變換dxi=Xkidt(1≤i≤n)的“象征”。(［7］，165頁)不久便將微分算子Ak(f)本身稱作“無窮小變換”(［24］，588～589頁)。另外，切觸變換理論和無窮小變換通過微分方程發生了聯系，進一步促使李產生了變換群的思想。1876年李證明每一個r-參數群包含了r個相互獨立的無窮小變換，并用如下的記號來表示一個無窮小變換:如果一個變換可以寫為x''''i=xi+δtX(x1，…，xn)，其中δt為一個無窮小量，則將該變換稱為無窮小變換。我們經常將上方程寫為δxi=δtXi(x1，…，xn)。(［7］，155～156頁)
2李創立的變換群理論
1872年10月克萊因發表了愛爾蘭根綱領(ErlangerProgramm)，主要討論了幾何圖形在變換群之下的不變性質，不僅一舉解決了當時若爾當(C.Jordan，1838～1922)考慮的問題，還將其結果納入自己的研究綱領，開創了用群論研究幾何的新時期。李的變換群理論也正肇始于此時期。本部分以切觸變換為中心，從變換群概念的誕生方面進行論述。
2.1“群”的觀念其實李早就有了群的觀念，只是在早期研究中沒有給出“變換群”的定義，也沒有對“群(Gruppe)”加以定義和說明①，而僅是研究了滿足某些帶有“群”的特征的集合。1870年李首次使用了“群”這個術語，但并沒有事先定義“群”的概念。這里的“群”和現代意義上的“群”相去甚遠，僅指對應某一線叢的幾何圖形的全體，大多數情況下僅具有“集合”的意義［25］。在1871年的論文中［23］，李和克萊因用“封閉系統”來表示滿足封閉性的某種變換的集合。這時他們已經有了變換群的觀念，并研究了群的某些性質，只是由于概念和工具限制②，他們的理論缺乏一般性而難以推廣。在1872年的文章中［26］，“群”出現了10次，同樣李也沒有定義和解釋“群”的概念，“群”的含義與1870年的情形大致相同。在1874年的文章中李明確給出了“群”的概念，該文第二部分的標題就是“群論”(TheoriederGruppen)(［2］，248頁)。但他定義的“群”只是滿足一定條件的變換的集合，并沒有特別強調該集合應該滿足的封閉等性質。因此，從“群”的角度來說，將1874年文章第二部分出現的“變換群”稱作特殊的“變換組”則更為合適一些。1874年到1880年李發表了十幾篇關于變換群的文章，這里的“群”充其量只是具有了封閉性的特殊函數或某些變換的集合，并不能真正稱得上“群”。在李看來，連續變換群概念必須要滿足以下性質:(1)它是一類切觸變換;(2)在此種切觸變換下，偏微分方程具有某種不變性;(3)這種切觸變換最好是由一個無窮小生成的變換或稱作與一個無窮小增量所對應的變換;(4)所有切觸變換的集合依賴于r個參數，就形成了一個連續變換群。正因為連續變換群承載了如此多的含義和作用，真正意義上的“連續變換群”概念的產生必然是一個緩慢而漸進的過程。
2.2變換群概念的出現眾所周知，群中單位元素(在變換群里即為恒等變換)和逆元素(在變換群里即為逆變換)的存在非常重要。由于要研究在合成作用下穩定的所有變換的集合，李逐漸意識到恒等變換與逆變換的重要性。1876年李認為能夠證明在具有封閉性的變換的集合中必定先驗地存在恒等變換及一個無窮小變換，并假設所研究的變換群總可以成對的表示為變換及其逆變換。［6］1880年李正式給出了“變換群”的定義，不過這里給出的定義也僅僅是滿足了合成法則的特殊的變換組。他給出的變換群的定義如下:眾所周知，置換理論中已經證明:一個置換群的元素與其逆元素可以認為是成對出現的。而置換群和變換群理論的不同點僅在于，前者含有有限元，而后者則包含有無限個變換。不過很自然(將上述做法推廣)認為變換群的一個變換與其逆變換也是成對出現的。(［28］，444～445頁)1884年恩格爾構造了一個有限連續群，不包含恒等變換，其元素也并不總能成對的表示為變換及逆變換(［11］，174～175頁)。由此李意識到之前假設是錯誤的，并證明引入新的參數以及解析延拓后，總可以達到他最早給出的論斷。(［16］，414頁)定義了變換群后，李進一步定義了兩變換群相似的概念。隨后，李和恩格爾于1888～1893年出版了三大卷的《變換群理論》，在第一卷總結得到了李代數的三條基本定理，給出了李群的局部特征的表示。此外，李也研究了連續變換群的分類和同構問題，最早嘗試對李群進行分類，為基靈(W.Killing，1847～1923)和嘉當(.Cartan，1869～1951)李代數結構的研究開啟了大門。
3切觸變換在李群理論中的作用
本部分我們試圖對以下問題進行初步探索:李創立連續變換群的主要目的是什么?或者說出于什么動機?李是沿著何種路線如何達到這些目的?切觸變換在其中究竟起到什么作用?
3.1以微分方程為中心的研究目的李曾在克里斯蒂安尼亞大學(今奧斯陸大學)受教于希羅(P.L.Sylow，1832～1918)。希羅則是當時歐洲大陸能夠讀懂伽羅瓦理論的少數數學家之一。李意識到了伽羅瓦理論強大的力量，希望將代數方程的伽羅瓦理論推廣用來解決微分方程，并考慮偏微分方程的解在切觸變換下的不變性。他自豪地宣稱要將連續群的概念應用到微分方程上去。(［27］，60頁)眾所周知，伽羅瓦理論的一個基本結果為:代數方程可根式解的充要條件是該方程的伽羅瓦群是可解群。與此相類似，在皮卡-韋西奧理論中，引入了線性齊次常微分方程的伽羅瓦群，并將之稱作微分伽羅瓦群，而線性齊次常微分方程可用積分解的充要條件就是其微分伽羅瓦群是可解群。李則更多地從分析的角度來考慮問題，即:對于一個給定的微分方程組，考慮使該微分方程組保持穩定的底空間的微分同胚群，也就是考慮該微分方程組的解的置換。布爾巴基曾比較貼切地評論道:實際上，對李來說，變換群的理論就像是微分方程的積分工具一樣，就像代數方程中的伽羅瓦理論一樣重要。(［16］，416～417頁)盡管李的目的和出發點受到伽羅瓦理論的強烈影響，但他對伽羅瓦理論的理解卻值得我們思考。在李1874年寫給邁耶(A.Mayer，1839～1908)的信中說:在伽羅瓦之前，代數方程理論的問題是:是否方程可以根式解，如何解?伽羅瓦之后的問題是，用根式解方程的最簡單方法是什么?…我相信是時候應該在微分方程領域也進行類似的工作了。(［24］，586頁)在李看來伽羅瓦理論對代數方程的最直接影響是給出了根式解方程的最簡單方法，這與我們現在的看法多少有些不同。現在認為:對代數方程來說，伽羅瓦理論最要緊之處是給出代數方程可解性的判據。另一方面，對“群結構”的不斷探索深化了人們關于“抽象群”的認識，李在這方面也作出了嘗試。1880年他寫道:我們的問題可以表述為:確定一個流形的所有r參數群。(［28］，443頁)。他將自己的目標描述為:發展出一套關于變換的一般理論，并將其應用到微分方程上去。一方面要尋找能將一個給定的微分方程或者是解析表達式變成給定形式的變換的存在條件，另一方面則在其存在時求出該變換。(［29］，538頁)事實上，用變換來研究給定微分方程的方法已出現在歐拉(L.Euler，1707～1783)、拉格朗日(J-L.Lagrange，1736～1813)和勒讓德的著作中。但這些數學家從未想過研究這些變換的自身性質，也沒有建立包含所使用的特殊變換的一般理論，更很少對這些變換分類。他們只是將變換當做解微分方程的一種工具，更不要說從群的角度來研究微分方程。李的研究動機和目的顯而易見，即:將連續變換群應用到微分方程上去，為微分方程發展出一套積分理論，其中包含了一種變換理論，它可以判斷一個微分方程能否變成給定的形式，并求出該變換。正是通過這種變換理論，李發展出了解微分方程的理論，該理論通過尋求微分方程在變換下的不變性而簡化求解過程。在這個過程中，切觸變換和無窮小變換兩個概念起重要作用，這也正是他研究的出發點。
3.2以切觸變換為基礎的研究方案在1884年的文章中，李詳細的介紹了他的思路:首先建立切觸變換的理論基礎，然后引入無窮小變換的重要概念。首要目標是建立切觸變換的不變量，也就是說研究微分方程在所有切觸變換(或所有的點變換)之下的不變性。第二步是建立帶有有限參數的連續變換群理論，并建立將其應用到微分方程上去的一般理論。(［29］，538頁)在此基礎上，李研究了微分方程在切觸變換下的不變性和該不變性與無窮小變換的關系。1871年他開始研究使得微分方程不變的無窮小變換，并考慮了可交換的變換及其形成的群，這就有可能“或者由此得到一些積分方法，或者可以將問題分成幾個更簡單的問題?！?［29］，547頁)首先，李將對微分方程的研究轉變為對使該方程不變的切觸變換的研究;借助無窮小變換與切觸變換的關系，形成變換群的概念。由此對于微分方程的分類就相當于對變換群的分類。對此，李認為:給定任意階的兩變量的微分方程，它可能容許一個將自身變為自身的切觸變換，而這些切觸變換形成的群一定屬于上面列出中的某一個。在此基礎上，可以對這些方程進行分類，……也就給出了對其進行積分的一個正確理論。(［4］，541頁)作為應用，李將一個平面切觸變換的所有有限連續群化為典范形式，同時研究了屬于這些群的一階、二階和三階微分方程的不變量。以此為基礎就可以原則上解決微分方程的分類問題，從而大大簡化微分方程的積分理論。(［4］，529～542頁)由此我們總結得到李的研究方案，并得出切觸變換在李群創立過程中的中心作用:(1)研究切觸變換，建立切觸變換的不變量理論，研究微分方程在切觸變換下的不變性;(2)將無窮小變換的概念與微分方程聯系起來，探尋微分方程在切觸變換下不變性的真正原因，并將結果應用于微分方程的積分理論的研究中;(3)將微分方程所容許的變換與無窮小變換結合，產生有限參數的連續變換群的概念;研究將任意的變換群化為典范形式的方法，或研究能否將典范群變換成給定的變換群，在此基礎上構造典范群的不變微分方程，對變換群進行分類;(4)將有限參數的連續變換群的性質歸結為無窮小變換的性質;通過相互獨立的無窮小變換的個數對變換群分類，從而對微分方程分類;在此基礎上建立微分方程的系統理論。
4結語
關鍵詞：數值分析；數學建模；數學實驗；教學改革
一、引言
“數值分析”是為我校機械工程、電氣工程、材料工程和化學與環境工程等專業的碩士研究生開設的一門學位課程，通常需要學生在本科階段學習過“高等數學”“線性代數”及“常微分方程”三門課程。“數值分析”課程又為后續的“數學模型”“軟件工程”和“算法設計與分析”等課程奠定知識和方法論基礎。該課程涉及內容較多，并具有很強的理論性和實踐性。隨著現代計算機技術的迅猛發展以及社會對碩士人才培養提出的更高要求，如何采用有效的教學方法，提高教學質量已成為“數值分析”課程教學任務中不可回避的重要問題。為了培養和提高學生發現、分析以及解決問題的能力，為今后能夠順利擔負科研任務打下堅實的基礎，根據該課程的特點，融入數學建模和數學實驗的教學法，不僅可以激發學生的學習興趣，使其對教學內容掌握得更加扎實，講解和實踐的案例還可以成為學生在將來從事科研活動時的重要參考資料。
二、“數值分析”課程的特點
國內外為碩士生開設的數值分析理論及類似課程所采取的講授方法基本類似。教學模式或者較為注重計算公式的推導，或者偏重于具體算法的應用。從教學方式上看，傳統的“注入式”教學模式仍占主導地位，這嚴重影響了研究生的個性培養、創新思維的訓練?？傮w來說，該門課程的特點可以概括為以下兩點：（1）具有理論數學的抽象性與嚴密科學性；（2）應用的廣泛性與實踐的高度技術性。
三、融合數學建模和數學實驗教學法的內涵與實例
（一）教學法的內涵與作用
結合“數值分析”課程教學的特點，可以作出如下定義：融合數學建模和數學實驗教學法是指在教師的策劃和指導下，基于教學創新理念，以提高學生分析解決問題的能力為目的，并以數值分析課程的知識結構為主線，組織學生通過對具有代表性的數值分析模型的提出、原理的解釋、應用領域的分析、思考、討論和交流等活動，引導學生自主探究，加深對知識理解等的一種特定的教學方法。
該教學法是一種理論聯系實際，啟發式的教學過程。通過教師采用數學模型引導來說明理論知識，通過實驗仿真，激發學生的學習興趣，提高學生分析解決問題的能力。采用該教學法可以克服傳統教學中“教師主體”的模式缺點，使學生成為教學的中心，不僅不必強記定理公式，而且能夠使學生了解到實際問題的多選擇性和不確定性，激發學生的創新精神。
目前，我校進行了研究生培養模式的改革，提高了要求，在這種情況下，傳統的培養方式及教學方式必須進行改革，該教學法具備上述優點，是一種非常適應現代教學現實的方法。
（二）教學法的實例
目前的數值分析理論課程教學，只是在分析已有的模型，而對于模型的提出過程講授得較少，因此造成了學生的分析能力強于綜合能力。而學生在未來的科研工作中，對于綜合能力的要求要高于分析能力。所以講授數值分析模型的提出過程對培養學生的綜合能力是十分有益的。在此筆者列舉教學實踐中的典型例子說明該教學法的優點。
應用實例：
在講授教材中“常微分方程初值問題數值解法”這部分的內容時，教材上只是給出了微分方程的幾種數值方法及其對應的誤差估計、收斂性和穩定性，內容較為晦澀難懂，學生往往不能理解常微分方程來自于哪些實際問題，特別不理解數值解的內涵，于是筆者在講授該部分內容時融入了數學建模的思想。為使學生理解數值解的內涵，借助C++、MATLAB或MATHEMATICA等軟件做程序的編寫，完成數值解的求解及幾種方法解的圖形顯示，加深對該部分內容的認識和比較。
提出數學建模問題：食餌捕食者問題。
意大利生物學家D’Ancona發現：第一次世界大戰期間意大利阜姆港捕獲的鯊魚的比例有明顯的增加，如表1所示。
事實上，捕獲的各種魚的比例代表了漁場中各種魚的比例。戰爭中捕獲量會下降，而食用魚會增加，以此為生的鯊魚也同時增加。但是捕獲量的下降為什么會使鯊魚的比例增加，即對捕食者更加有利呢？
他無法解釋這個現象，于是求助于他的朋友，著名的意大利數學家Volterra。Volterra建立了一個簡單的數學模型，回答了D’Ancona的問題。
模型假設：
1.食餌增長規律遵循指數增長模型，相對增長率為r；
2.食餌的減小量與捕食者數量成正比，比例系數為a；
3.捕食者獨自存在時死亡率為d；
4.食餌的存在使捕食者死亡率的降低量與食餌數量成正比，系數為b。
通過上述教學案例的使用，使學生在學習常微分方程問題數值解的理論后，對一些實際問題，能夠建立微分方程組模型，并動手實驗給出方程組的數值解，加深對數值解的認識，對數值解收斂性、誤差情況和穩定性有具體的認知，并進一步通過圖形等方法對結果進行驗證、解釋和分析。
通過3個教學循環的教學經驗和多年的科研實踐經驗，如果采用新教學法，可以顯著提高教學效果，并且可以引入現代科研領域的一些前沿內容，推動教學改革的進行。
在數值分析理論課程的教學活動中引入了數學建模和數學實驗的教學法，對教學內容及實踐活動進行了總結，教學實踐活動表明該教學法能夠提高學生的獨立思考能力，解決問題的能力，使學生在理論知識和實踐能力方面達到了學以致用的效果，教學質量得到了明顯提高。
參考文獻：
[1]趙景中，吳勃英.關于數值分析教學的幾點探討[J].大學數學，2005，21，（3）：28-30.
關鍵詞： 《矩陣論》教學 教學改革 教學內容 教學方法 考核方式
矩陣論作為數學的一個重要分支，其矩陣理論和方法表達簡潔、刻畫深刻，是一種重要的數學工具。矩陣理論在數學學科和其他科學技術領域都有非常廣泛的應用。隨著電子計算機及計算技術的發展，矩陣理論的應用前景更為廣闊。
本課程主要講授線性空間與線性變換、范數理論、矩陣分析、矩陣分解、特征值估計、廣義逆等內容。
一、教學改革的背景
雖然矩陣理論有著廣闊的應用背景及前景，但是，在工科院校理科專業《矩陣論》教學過程中出現的問題恰恰因為課程理論內容與實際應用聯系不密切。
理科專業課程設置中的《數學分析》、《高等代數》等也都注重培養學生邏輯思維能力，對于應用能力的培養比較欠缺。理科學生對于理論知識的實際的應用，單從教材中，接觸到的非常少。在理科專業課程教學中出現了一個很突出的問題：學生學習了大量的理論知識，計算能力得到大量的訓練，但是這些理論知識有什么背景？具體有什么用呢？這個問題困擾著大部分的理科生，他們看不到理論知識的來源和具體應用，只是在機械地進行著推理和計算。教材或者教師的講解中很少有涉及所學的理論知識在物理或者經濟或者工程等方面的背景，理論知識可以解決哪些實際問題。單一的邏輯思維能力和計算能力的培養大大降低了他們的學習主動性和學習興趣。
《矩陣論》課程中的矩陣理論與方法與實際應用有著密切的聯系，但是教材中應用的分析很少，即使有也是脫離實際的問題。如何針對該課程的特點和授課學生的特點，調動學生學習積極性，培養學生濃厚的學習興趣成為教師思考的主要問題。
課程以期末筆試為單一的考核方式，注重考查學生對基本運算的掌握，沒有考查相關解決實際問題的能力，這也是造成學生學習興趣不濃厚的原因。
二、教學內容改革及其實踐探討
1.教學內容上補充理論知識在其他學科中的應用。
矩陣理論在數學學科與其他科學技術領域，諸如高等數學、數值分析、優化理論、微分方程、概率統計、運籌學、控制論、系統工程等學科都有廣泛的應用。但是教材中具體應用的例子較少。針對這一情況進行教學內容上的改革，具體實踐如下。
（1）行列式應用：求過定點的曲面曲線方程，微積分中的證明。高等數學中的內容可以用行列式的理論進行求解和證明。
（2）矩陣的秩：判別曲面的位置關系。矩陣作為數學學科的一個重要工具，可以解決很多問題，高等數學中曲面的位置關系及判別直線是否共面等，都是利用了行列式的幾何意義。
（3）矩陣對角化：求解微分方程組?？蓪腔木仃囋诰仃囍惺欠浅Ｌ厥獾囊活?，對這類矩陣的研究理論的應用簡化了問題的解決過程，在微分方程中可以化某些一階常微分方程為可分離變量的方程來求解。
（4）正交變換：判斷二次曲面類型，最優化問題。正交變換因為其保持了內積、夾角、長度等性質，在計算時對于誤差不會變化，從而利于優化問題的計算機計算。
（5）矩陣的正定性：求解函數極值。正定矩陣對應的標準形中的平方項系數都大于零，利用標準形解決高等數學中函數極值問題。
（6）二次型：多元函數極值。二次型的標準形中只含有平方項，從而在求解最值或極值問題時易于求出多元函數的極值和極值點。
（7）廣義逆：最小二乘問題。多元線性方程組有時沒有解，如何求出符合要求的最接近的解，利用廣義逆解決不相容的方程組的求解問題。
（8）線性變換：電工學理論（線性網絡的輸入輸出看成線性變換，網絡的串聯就是線性變換的乘積）。線性變換作為線性代數中的工具，可以由矩陣表示，從而用矩陣理論解決相關的問題。
2.教學內容上補充理論知在實際應用中的案例。
數學來源于實踐，而數學的發展又要推動實踐。向學生介紹有趣的幻方和hanio塔問題及其簡單的求解?；梅絾栴}古老而有趣，利用矩陣的知識可以構造幻方。hanio塔問題可以用矩陣理論求解。該問題具有很高的挑戰性，曾經作為很多大公司的面試題目，可以激發學生計算機編程的興趣。
化學：配平化學方程式，復雜體系的平衡問題。化學方程式可以用矩陣來表示，從而利用矩陣的運算來配平方程式。
生物：遺傳問題，減少遺傳病研究。遺傳病問題也可以用矩陣表示。
信息：編碼問題。利用可逆矩陣作為加密的密鑰對信息加密，其逆矩陣就是解密密鑰，這只是一類非常簡單的線性編碼問題。利用多項式可以進行多項式的編碼，以及檢錯糾錯等過程。
數學規劃：最優化問題，多元方程組。矩陣理論的發展一直推動著最優化理論的發展，其中矩陣的分解理論、校正理論、特殊矩陣理論在大規模問題的計算中占有重要的地位。
圖像傳輸：數字水印，圖像壓縮（矩陣分解）。圖像壓縮在傳輸中非常重要，矩陣的分解理論給圖像壓縮提供理論支持。
矩陣對角化：機械振動，線性電路分析，自動控制理論（狀態變換的解耦問題）。
3.教學內容上補充理論的背景知識簡介及前沿發展介紹。
在講解廣義特征值問題時，簡單介紹振動理論，在講解矩陣值函數時介紹線性控制系統等，使學生能了解問題的背景及其前沿發展，激發學生的興趣。
在教學內容的改革實踐中，部分內容采用教師簡單介紹，部分內容采用詳細講解，部分內容以討論課題目形式出現，引導學生查找相關資料，激發學生的學習主動性并培養學生的學習興趣。
三、教學方法改革及其實踐探討
教學方法上采用教師講授為主，逐步結合學生搜集相關應用資料、組織報告討論，介紹數學軟件Matlab，引導學生學習使用數學軟件解決問題。
矩陣論作為重要的數學工具，其理論知識具有系統性和非常強的邏輯性，理論知識的講解應該以教師講解為主，教師在講解的過程中引導學生深化理解，形成完整的理論知識體系，使學生在學習其他課程和進行科研工作時打下扎實的矩陣理論基礎。
為培養學生學習的主動性和學習興趣，教師應在講授之外，以討論課或小論文的形式布置與理論相關的應用型題目，培養學生查找資料的能力，使學生在自己動手動腦解決問題時，發現理論的應用，并利用所學理論解決實際的問題，培養學習興趣，從而激發學習的主動性。
數學軟件的使用，在很大程度上解決了計算的大規模問題，利用數學軟件解決數學或者實際應用問題是學生在以后科研或者工作中的主要方向。比如教師在講解矩陣分解時，介紹相關的Matlab指令，學生進行相應操作練習。逐步開設實驗課，與教學內容緊密聯系，鍛煉學生應用數學軟件解決問題的能力。
四、考核方式改革及其實踐探討
考核方式上采用筆試結合小論文或者專題報告，期末成績和平時成績相結合。平時成績中包含出勤、討論表現、作業、小論文或者專題報告的撰寫，其比例不超過20%。
本次理科矩陣論教學改革主要針對教學中理論與實踐聯系不足的問題，在教學內容中增加理論知識在其他學科和實際中的應用，理論知識的背景及前沿介紹；教學方法中教師以理論的背景出發講授課程內容知識，并給出相關的應用，課堂講授結合學生查閱相關資料進行報告，介紹數學軟件Matlab；考核方式上理論知識的考試結合學生的報告和撰寫的小論文。通過教學改革，使學生深切感受到理論知識的具體應用，從而避免單一的理論教學，激發學生認識到矩陣論理論和方法在實際問題中的應用，提高學習主動性和能動性。
經過教學改革的實踐，學生對矩陣理論的應用有了初步的了解，并撰寫了相應的論文，對矩陣理論的學習興趣有了很大的提高。
參考文獻：
【關鍵詞】MATLAB；內輪差；數學建模；事故防范
Optimal Analysis in Difference of Radius Between Inner Wheels
FAN Shuo
（School of Mechanical and Power Engineering， East China University of Science and Technology， Shanghai 200237， China）
【Abstract】Traffic accidents caused by the existence of difference of radius between inner wheels always occur. The problem is particularly severe with large vehicles and narrow roads condition. By establishing mathematics model and with the help of MATLAB， the path of front and back wheels of vehicles when turning can be simulated， the animation of vehicles when turning can also be made， so that relationship between different parameters of vehicles and difference of radius between inner wheels can be concluded. What’s more， solutions which aiming at reducing and eliminating the occurrence of traffic accidents caused by difference of radius between inner wheels can be proposed.
【Key words】MATLAB； Difference of radius between inner wheels； Mathematical model； Prevention of accidents
0 引言
車輛內輪差指車輛轉彎時前內輪轉彎半徑與后內輪轉彎半徑之差。通常車輛前內輪的轉彎半徑大于后內輪，這也就意味著如果車輛的車頭部分以較小的轉彎半徑轉彎時，車輛的中、后部分會以一個更小的轉彎半徑轉彎，即車輛在轉彎的過程中會向圓心方向的空間不斷靠近。而這種在轉彎過程中的變化通常難以被駕車司機察覺，造成司機的“視覺盲區”。容易理解，倘若在“視覺盲區”內存在行人或是其他機動車輛，事故發生的可能性將大大提高。實際上，由于內輪差的存在而造成的交通事故屢見不鮮。對于大型車輛或是狹窄轉彎路況而言，此問題尤為嚴重。
若結合生活經驗定性的思考一下內輪差問題，不難想象對于同一類車型，轉彎的幅度越小，內輪差越小，反之相反。而對于不同的車型，當轉彎的幅度相同時，軸距大的車型內輪差大，反之相反。但是從經驗角度沒有辦法推出一個具體的內輪差數值概念。本文希望通過建立數學模型，借助MATLAB，定量求解內輪差問題，增加人們對于內論差的認知。在建模的過程中，與其他轉彎問題研究一樣[1，2]，我們忽略離心力所引起的側滑與輪胎變形所引起的側向偏離對運動軌跡的影響。
1 內輪差建模
1.1 模型一
假設1：汽車整體為一剛體，轉彎的過程中不會發生變形；
假設2：車輛在轉彎過程中，內前輪與內后輪的軌跡均為圓弧，且兩圓弧圓心重合。
當rD為車輛的最小轉彎半徑時，對應的D即為該車的最大內輪差。最小轉彎半徑的數值可以從車輛參數表中方便的獲得，因此利用式（3）可以快速估算車輛的最大內輪差。
但由于真實條件下車輛的轉彎軌跡并不是嚴格的圓弧，因此上述公式實際上計算的是車輛內輪差的近似值。不過有研究表明[3]，利用該公式計算的結果與實測數據的誤差小于10%。因此，上述公式不失為快速估算內輪差的好方法。接下來尋找更為精確的建模方法。
1.2 模型二
假設1：汽車整體為一剛體，轉彎的過程中不會發生變形；
假設2：汽車內前輪的運動軌跡為圓弧，內后輪的軌跡由前輪的運動而定；
在模型一中我們將內側前、后輪的軌跡都假定為圓弧，但由于在車輛轉彎過程中只有前輪起導向作用，所以實際上后輪的運動軌跡是受前輪帶動而被動確定的，并不是按圓弧運動。因此在模型二中我們只假定前輪的轉彎軌跡為圓弧，借助其他條件求解后輪的軌跡。
首先，車輛在轉彎過程中軸距并不發生改變，即內前輪（A）、后輪（B）之間的距離不發生改變，因此有：
此微分方程系統我們可以借助MATLAB快速求解、繪圖。
現假設汽車內側前輪按xA=7cost；yA=7sint運動，汽車的軸距l為4米。MATLAB給出的轉彎軌跡如下：
圖2 模型二MATLAB作圖結果
從圖2中可以看出，內后輪的軌跡并不是圓弧。圖中兩條曲線所夾區域即為由內輪差造成的轉彎過程中車輛發生的偏移區域，也即“視覺盲區”。倘若行人或其他車輛出現在此區域，則事故發生率將大大提高。在MATLAB輔助下，內輪差問題變得形象而直觀。前后輪的軌跡方程可以通過MATLAB進行擬合獲得，進而可以計算如盲區面積等其他信息。
下面嘗試用控制變量的方法，首先控制車輛的轉彎半徑相同，在同一幅圖中繪出不同軸距車輛的內輪轉彎軌跡，如圖3（a）所示。再控制車輛的軸距相同，在同一幅圖中繪出不同轉彎半徑車輛的內輪轉彎軌跡，如圖3（b）所示。這兩幅圖再次說明：內輪差隨軸距和轉彎幅度的增大而增大。這也從理論上更為形象的闡明了為何如公交車、渣土車等長軸距車更容易在轉彎的過程中釀成事故。
（a）不同軸距汽車以相同轉彎半徑轉彎的內輪軌跡圖
（b）相同軸距汽車按不同轉彎半徑轉彎的內輪軌跡圖
圖3
借助模型二，對參數已知的車輛（轉彎半徑及軸距），我們可以利用MATLAB快速模擬繪制出車輛轉彎過程中所形成的“視覺盲區”，擬合輪胎運動軌跡方程，計算盲區面積等。廣大車輛駕駛員若能由此建立起轉彎過程中的警惕意識，將對事故的預防具有積極的意義。廣大群眾由此也應得到相應的啟示：切忌距離轉彎車輛過近，尤其是長軸距車輛或是急轉彎車輛。
不過模型二與真實條件相比依然存在缺陷。在模型二中我們假設前輪的運動軌跡為圓弧，但是實際上在轉彎的過程中司機通常進行的是“先打輪，再回輪”的操作，也就是說前輪的轉彎半徑應是先減小而后增大的，并不保持定值。因此在模型三中我們將嘗試對模型二進行改進，重新假定前輪的運動軌跡，并驗證模型二中建立的微分方程系統是否依然適用。
1.3 模型三
假設1：汽車整體為一剛體，轉彎的過程中不會發生變形；
假設2：汽車內前輪的轉彎半徑按一定規律變化，不保持定值。內后輪的軌跡依然由前輪的運動而定；
根據車輛內前輪在轉彎過程中曲率半徑先增大后減小的規律，我們在模型二的基礎上假定內前輪的運動軌跡為：
經分析可知，該函數在0≤t≤π/4的區間時，隨著t的增大，函數的曲率半徑逐漸增大，并在t=π/4時達到最大值。當π/4≤t≤π/2時，函數的曲率半徑隨t的增大而減小。其變化規律與實際汽車轉彎曲率半徑變化規律一致，因此以該函數作為汽車內前輪的軌跡方程做進一步分析。
圖4 模型二與模型三內前輪軌跡對比圖
仿照模型二建立微分方程系統，借助MATLAB求解并繪制在該種假設下內側前、后輪的軌跡圖，將其與模型二所繪車輪軌跡進行比較：
圖5 模型二與模型三內輪轉彎軌跡對比圖
理論上模型三所示軌跡更接近于車輛實際轉彎過程中的內輪軌跡。模型三的建立也同時說明了模型二中所使用的微分方程系統具有很好的可遷移性。因此，倘若需要實際條件下準確的車輛內輪軌跡，通過記錄車輛轉彎過程中的車輪位置信息，擬合出內側前輪的軌跡方程，套用模型二中的微分方程系統，即可實現。
此外，筆者除利用MATLAB模擬繪制了車輛內輪的轉彎軌跡外，還借助其動畫制作功能制作了內輪差形成的動畫。筆者認為通過動畫可以更加形象的幫助理解由于內輪差的存在而導致的內側前、后輪軌跡的形成過程。若未來能將動畫或是軌跡圖像應用于針對內輪差問題的相關教學中，將會收到很好的效果。
2 總結
文章中所建立的三個內輪差模型各有特點。模型一可方便的對內輪差進行估算，而在MATLAB的輔助下，模型二和模型三則可以更加準確的描述內輪差問題。但需注意的是，本文中的三個模型只針對可視作剛體的車輛。
通過查閱幾類車型的汽車參數表，利用MATLAB繪制了車輛軸距與內輪差的關系圖（圖6），從圖中可以明顯看出：隨軸距增大內輪差也增大。同時還繪制了車輛輪距和最小轉彎半徑與內輪差的關系圖（圖7、圖8），可以看出內輪差隨輪距和最小轉彎半徑的增大也呈現出明顯的增大趨勢。
圖6 車輛軸距與內輪差關系圖
圖7 車輛輪距與內輪差關系圖
對內輪差問題的研究主要是為了更好的預防由于內輪差而引起的交通事故的發生。經估算，對軸距不超過3m的小型車而言，其內輪差一般不會超過1m，約為0.8m至1m；對軸距在3m至5m的中型車而言，其內輪差增大，約為1m至1.5m；對于軸距超過5m的大型車而言，其內輪差則可能達到2m甚至以上。掌握這些數據對避免事故的發生有著重要意義。于行人而言，應盡量遠離正在過彎中的車輛，尤其是公交車等大型車輛，并至少保持2m以上的安全距離。于駕駛者而言，應充分考慮到所駕車型軸距，最好估算出所駕車型內輪差，提前觀察轉彎內側是否有其他機動車輛或行人活動，控制車的轉向角度。尤其是行駛在傍山險路或是臨崖路段，若忽視內輪差后果將極為嚴重，相關事故曾有過記載[4]。此外有研究指出[5]，車速對駕駛者的視野會造成影響：車輛靜止狀態下，駕駛員雙眼的視野范圍約210°；40km/h，雙眼的視野范圍約100°；70km/h，雙眼的視野范圍約65°；100°km/h，雙眼的視野范圍只約40°。因此轉彎的過程中減速慢行也更有利于駕駛者觀察路況，避免交通事故的發生。
圖8 車輛最小轉彎半徑與內輪差關系圖
此外，借助該問題的研究，可以發現MATLAB對于求解微分方程系統的極大幫助。不只是運動學，諸多領域中的系統，如生物反應過程、化學反應速率、電子系統等都可以通過微分方程進行描述，這也就意味著可以利用MATLAB輔助研究這些問題。通過計算機編程，不僅可以方便的計算復雜的實際問題，同時可以將結果可視化[6]。因此，MATLAB作為強大的數學軟件，無論對于工程實踐或是教學都具有很高價值，應當更加普及與推廣。
【參考文獻】
[1]蕭建英.汽車及汽車列車轉彎過程的研究[J].汽車技術，1986（08）：25-27.
[2]李相彬.汽車列車轉彎過程的分析及其最小轉彎半徑的確定[J].汽車技術，1981（11）：18-21.
[3]陳思嘉，巫宇霞，楊平.汽車轉彎時由內輪差引發的交通事故原因建模與分析[J].數學通報，2013（12）：55-57.
[4]阿仁.內輪差與外輪差[J].汽車駕駛員，1998（8）：15.
[5]萬祿義.公交車“內輪差”，不容忽視[J].人民公交，2012（1）：71.
[6]李彤，闞文彬，曹昱彭.學習MATLAB應從大一開始[J].實驗技術與管理，2008（8）：102-104.
[7]Holly Moore. MATLAB實用教程[M].高會生，劉童娜，李聰聰，譯.北京：電子工業出版社，2010.
2.近十年發菜的研究進展楊新芳，喬木，朱自安，YANGXin-fang，QIAOMu，ZHUZi-an
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4.廣西靖西縣端午藥市的民族植物學研究楊春燕，龍春林，石亞娜，王躍虎，王鴻升，YANGChun-yan，LONGChun-lin，SHIYa-na，WANGYue-hu，WANGHong-sheng
5.冬蟲夏草的研究進展朱印酒，段雙全，歐珠朗杰，ZHUYin-jiu，DUANShuang-quan，OUZHULANGJIE
6.青海果洛藏族自治州土地利用格局與生態規劃的研究曹麗君，郭濼，薛達元，CAOLi-jun，GUOLuo，XUEDa-yuan
7.紫莖澤蘭和多年生黑麥草的萌發及成苗研究李輝，韋雪丹，田啟航，馮金朝，LIHui，WEIXue-dan，TIANQi-hang，FENGJin-chao
8.RP-HPLC測定小果博落回中白屈菜紅堿的含量徐東偉，XUDong-wei
9.從負號看物理世界郭華，GUOHua
10.用重合度方法解一階泛函微分方程周期解的存在性呂金鳳，牛秀艷，姜小軍，郭亞君，LVJin-feng，NIUXiu-yan，JIANGXiao-jun，GUOYa-jun
11.具有Monod-Haldane型功能性反應擴散捕食模型的分析與數值模擬衛玉敏，聶思舉，吳春光，徐世英，WEIYu-min，NIESi-ju，WUChun-guang，XUShi-ying
12.一種基于RSA的概率公鑰密碼體制及其安全性賈杰，徐賜文，李必濤，王曉菲，郭遠，JIAJie，XUCi-wen，LIBi-tao，WANGXiao-fei，GUOYuan
13.HP39gs圖形計算器支持下三角函數學習的探究袁琴，劉晶波，YUANQin，LIUJing-bo
14.ElGamal簽名方案的變形郭遠，徐賜文，王曉菲，賈杰，李必濤，GUOYuan，XUCi-wen，WANGXiao-fei，JIAJie，LIBi-tao
15.SolidWorks系列模具三維建模與CAXA數控自動編程關谷涵，GUANGu-han
16.基于555多諧振蕩器的測量研究高寧寧，GAONing-ning
17.藏藥雪茶的民族植物學研究唐麗，楊林，馬瑛，畢學，常嘉，黃菊陽，TANGLi，YANGLin，MAYing，BIXue，CHANGJia，HUANGJu-yang
18.烏頭類植物藥三種雙酯型生物堿研究進展李志勇，李彥文，孫建寧，張碩峰，LIZhi-yong，LIYan-wen，SUNJian-ning，ZHANGShuo-feng
19.我國南方少數民族地區葡萄糖-6-磷酸脫氫酶缺乏癥及基因突變研究進展樓彩霞，張婉，云妙英，崔箭，LOUCai-xia，ZHANGwan，YUNMiao-ying，CUIJian
20.民族高校的知識殿堂——走進中央民族大學圖書館周加才讓
1.高等植物的第三類雜交——染色體雜交朱培坤，ZHUPei-kun
2.酶抑制法快速檢定果蔬中的農藥殘留楊若明，趙新穎，崔香花，張經華，楊永慧，鮑超，李垚，付丹，賈小文，YANGRuo-ming，ZHAOXin-ying，CUIXiang-hua，ZHANGJing-hua，YANGYong-hui，BAOChao，LIYao，FUDan，JIAXiao-wen
3.蹄葉橐吾抗氧化作用研究洪承權，秘效媛，樸香蘭，樸惠善，李湘蘭，HONGCheng-quan，MIXiao-yuan，PIAOXiang-lan，PIAOHui-shan，LIXiang-lan
4.青海湖流域土地覆蓋時空變化與生態保護對策李迪強，郭濼，朵海瑞，武海波，LIDi-qiang，GUOLuo，DUOHai-rui，WUHai-bo
5.不同激素及濃度對半夏植株再生的影響王前，王玨，陸遠，谷金科，王俊麗，楊林，WANGQian，WANGJue，LUYuan，GUJin-ke，WANGJun-li，YANGLin
6.重金屬污染現狀分析及其對策研究曹斌，何松潔，夏建新，CAOBin，HESong-jie，XIAJian-xin
7.平面三次圖中的二元哈米頓圈許壽椿，XUShou-chun
8.二階脈沖微分方程解的等價性胡衛敏，谷麗，HUWei-min，GULi
9.條形SOI光波導的群速度色散楊笛，陳笑，渠道寬，YANGDi，CHENXiao，QUDao-kuan
10.大氣中飛秒激光等離子體絲上熒光特性的研究陳笑，蘇玉成，王義全，楊笛，楊玉平，馮帥，敖玲，CHENXiao，SUYu-cheng，WANGYi-quan，YANGDi，YANGYu-ping，FENGShuai，AOLing
11.一種基于室內環境無線傳感器網絡的移動機器人定位法傅思遙，潘秀琴，趙悅，FUSi-yao，PANXiu-qin，ZHAOYue
12.基于檢測與躲避的超寬帶無線通信頻譜整形技術朱麗平，鄒慧蘭，朱義勝，ZHULi-ping，ZOUHui-lan，ZHUYi-sheng
13.基于主動控制的自適應同步策略在混沌信號解調中的應用張天瑜，ZHANGTian-yu
14.蒿屬植物黃酮類化學成分及藥理活性研究概況張婉，唐麗，謝坤，王珺，崔箭，ZHANGWan，TANGLi，XIEKun，WANGJun，CUIJian
在步入21世紀的時刻，作為高等院校的基礎課程之一的高等數學在其他各個領域及學科中發揮出越來越大的作用。數學不但深入到物理、化學、生物等傳統領域，而且深入到經濟、金融、信息、社會等各領域中。傳統的數學教育正在向以培養學生數學素質為宗旨的能力教育轉變。在這種轉變下，改革和創新高職高等數學教學模式，使原本初等數學基礎較差的高職學生特別是文科學生擺脫對學習數學的恐懼，學會用數學的思維方式觀察事物，用數學思維方法分析和解決實際問題，成為數學教育工作者特別是從事高職高數的教學教育工作者關注的問題。高職文科高等數學教育不同于普通高校理工類高等數學的教育，不應過多強調其邏輯的嚴密，思維的嚴謹，而應將之作為專業課程的基礎，強調其應用性，學生思維的開放性，解決實際問題的自覺性。因此，高職高等數學教育應遵循“以應用為目的，以必需夠用為度”的原則，體現“聯系實際，深化概念，注重應用，重視創新，提高素質”的特色。目前高校傳統的課堂教學仍然是實施教育的主渠道，改革教學方法則是推進創新教育的關鍵之一。以下就高等數學課堂教學中如何培養學生創新能力作一初步探討。
1.化繁為簡，激發學生學習高等數學的興趣。
高職學生特別是文科類學生數學基礎普遍較差，因而對學習數學缺乏興趣，學習缺乏主動性、探究性、聯系性，這樣學生在學習過程中難以體會到學習的樂趣，因此造成一種惡性循環，漸漸對數學產生厭學情緒。而“興趣是最好的老師”，沒有學習的興趣，何談培養數學素質。因此，改革教學方法，提高學生學習興趣是高等數學教學改革的關鍵。數學，尤其是高等數學，向來以抽象著稱，有機會學習高等數學的都不是“常人”，是“精英”。而職業教育使這種“精英教育”變成了“大眾教育”，受教育的對象是企業未來的“高級藍領”。所以職業教育中的高等數學教學，不在于教師的理論水平有多高，對數學公式、定理的論證多么完美，重要的是學生學到了什么，是否會應用。教師所要做的就是把抽象、繁瑣的理論直觀化、簡單化，讓學生易于接受。如地球表面是一個球面，可為什么我們平?？吹降膮s是平面呢?其實這就是以直代曲。曲面上微小的局部可以認為是一平面，一條彎曲度很小的曲線也可以認為是直線。這樣就給學生一個具體的可供想象的空間，使他們懂得用這一數學理論解釋生活中的現象，結果，不僅加深了學生對這一概念的理解，而且也利于培養他們對數學的興趣。
數學世界是一個充滿美的因素并令人神往的世界，數學中的許多公式、定理從內容到形式都給人以強烈的美感，如高數中的牛頓-萊布尼茨公式、格林公式都充分顯示了數學的簡潔美、對稱美及和諧美，其豐富的內涵令人稱奇。定積分、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分也都具有對稱性。在教學中揭示這種數學的美,可以大大提高學生的學習興趣,加深對內容的理解。
針對文科專業?？粕膶嶋H情況，課堂上不必做繁瑣的定理證明，不必強求理論嚴密與體系完整，盡量簡明扼要闡述一些觀點和方法，讓學生容易接受和掌握數學工具，重在介紹數學思想、方法和實際計算的技能。在內容上著重基本概念的描述，如對微分中值定理、函數單調性和曲線凹凸的判別定理，定積分和二重積分的性質等均可采用圖形直觀解釋；對洛必塔法則，二元函數可微的條件以及格林公式等均可采用定性的方法，向學生強調能運用這些定理即可；對極限概念的處理，可改變以往教材中的定義方式，注重直觀，注重對微積分實際意義的理解，力求掌握思想實質。采用直觀定性的幾何圖形的描述方法來定義，強調極限的工具作用。對連續、導數、微分和定積分以及二重積分等概念的教學，在每次講到一個新概念時，就復習前一個概念的方法來比較其抽象過程，使學生對這些概念形成一條網絡線，使學生的思維始終貫穿于這些網絡線的形成過程中，從而訓練學生從實際問題抽象出數學問題的形象思維，為以后學習數學建模打下基礎。此外，還要盡量從周圍現實事物出發講清數學概念和理論，舉些日常生活中例子，讓學生學起來輕松自在，容易理解。比如在講解定積分定義時由曲邊梯形面積問題引入定積分定義，這時適時介紹美國著名的麻省理工學院在圓形大禮堂的彎曲屋頂下有許許多多近似矩形（曲邊梯形）的玻璃窗，十足體現了定積分的一項基本概念——求曲線下面積的辦法，即“分割、近似代替、求和、取極限”，從而也巧妙地表明了這所名牌大學是何等重視數學并付諸實際。這樣使學生對求曲線下面積的方法加深了理解。
2.啟發引導，增強趣味性
一個人的數學素質，不僅僅是掌握了多少數學知識，更重要的是看他能否善于思考，用正確的思維方式解決問題。因此，在教學中，教師應重視問題的啟發，以數學問題為載體，通過有目的、有重點地暴露解決問題的思維過程，幫助學生真正參與教學，抓住思考問題的本質，掌握正確的思維方法，從而提高數學素質和數學創造性思維能力。如在講解洛必達法則時，考慮無窮大比無窮大或無窮小比無窮小，這看起來是不能解決的問題，但如果考慮無窮大可以從它們增長的趨勢來進行分析，也就是可以從它們的導數之比來分析，問題就可以解決了，這就是洛必塔法則的威力之處。
同時，教學中要注重使學生對基本概念的理解和方法的掌握，抓住概念的內在聯系進行講授。例如定積分、重積分、線積分、面積分等都是從不同的具體原形抽象概括出來的，但它們之間卻有著本質的聯系，即都是“分割取近似，求和取極限”的思想方法。又如不定積分與定積分，不定積分的幾何意義是求原函數族，而定積分的幾何意義是求曲邊梯形的面積，但當上限為變量的定積分時，此時的定積分就是被積函數的一個原函數，從而說明了定積分與不定積分概念的內在聯系，這種聯系還體現在運算上，如牛頓———萊布尼茲公式f(x)dx=f(b)-f(a)就建立起了定積分與不定積分的橋梁關系。這樣學生就能輕松地領會，要計算f(x)在［a,b］上的定積分,可先求出f(x)的不定積分f(x)dx=F(x)+C然后再計算差值F(b)-F(a)就可得到所要求的定積分值。這種揭示內在聯系的辯證思維能逐步提高學生的認知能力，發展學生的思維能力，把學生培養成具有良好數學素質的人才。
3.以嚴謹的教學態度感染學生
教師的教學態度直接影響到學生聽課的注意力和思維的活躍程度。因此，教師要有計劃地科學地將培養學生獨立思考能力落實到每堂課的每一個教學環節中，時刻要思考“如何讓學生用自己的腦子讀書”，克服思維惰性。首先應讓學生在聽課中產生“共鳴”，使教師的教與學生的學融為一體。譬如高等數學第一節緒論課除了介紹高等數學在現代科學中的基礎地位和特殊的重要性外，還可以講些激勵的話，使他們樹立起學好數學的信心和勇氣。同時在介紹高等數學方法論的同時讓學生調整好從中學到大學的心理過渡，使學生有一定時間進行心理調整。而教學計劃宜采用“先慢后快”，設置一個由中學到大學的坡度，最終使學生能盡快的適應新的教學模式，完成從中學到大學的心理過渡。實踐證明此法是行之有效的。
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電話監控自動報警器的開發
信號量和進程互斥
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對網絡課件開發的思考
高等院校排課系統的研究
計算機多媒體輔助教學在高校公共數學中的應用分析
圖書館網絡安全與管理
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冪剩余函數的一些性質
關于圓錐形電容器電容計算的討論
近紅外光譜的原理及應用
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Aptamer的原理、優越性與應用
網頁制作及上傳方法研究
一種壓縮圖像加密方法
智能機器人語音控制方法的設計與實現
從產品營銷到價值營銷案例分析
Abstract： Based on the bubble dynamic equation under the consideration of liquid surface tension, viscosity and radiative resistance, this essay adopted numerical simulations to investigate single cavitation bubble dynamics with different kinds of acoustic driving frequencies and bubble initial radiuses.
關鍵詞： 超聲空化；空化氣泡；數值分析
Key words： ultrasonic cavitation；cavitation bubble；numerical analysis
中圖分類號：G30文獻標識碼：A文章編號：1006-4311（2011）01-0196-02
0引言
隨著科學技術的發展，超聲已在眾多領域得到了廣泛的應用，在這些應用中，超聲空化是引發各種物理、化學和生物效應的主要機理，這些效應與瞬態空化氣泡崩潰時所產生的高溫高壓等現象有關。在研究單一空化氣泡動力學過程的方法中，數值分析是除理論和實驗方法之外的一種研究方法，至少有兩方面原因表明它是必要的。首先，由于氣泡運動過程中高度的非線性，使得從理論上建立能夠精確描述空化過程的方程實際上是不可能的，其次，微米級大小的空化氣泡半徑和持續時間為微秒至納秒級的氣泡運動周期使得實驗測量也難以進行。本文基于考慮了液體表面張力、液體粘滯性和輻射阻尼的氣泡運動方程，采用數值分析中Runge-Kutta方法研究在不同聲場頻率和氣泡初始半徑條件下單一空化氣泡的運動過程。
1氣泡動態的數值分析
考慮了液體表面張力、液體粘滯性和輻射阻尼的單一空化氣泡運動方程：
R+=P+-P-P-
-+P+-P（1）
方程（1）是二階常微分方程，使用Runge-Kutta方法求解時應當用替換法化為形如y′=f（x，y）的一階微分方程組，再加以使用。方程（1）可化為下列一階方程組：
y=R′y′=f（t，R，R′）=-（R′）+P+-P-P--R′+P+-PR?佐=R，y?佐=R′?佐=0
若設時間步長為h，則使用Runge-Kutta方法求每個離散時間點上對應氣泡半徑大小Rn的遞推公式為：
R=R+hR+k+k+kR=R+k+2k+2k+kk=hft，R，Rk=hft+，R+R，R+k=hft+，R+R+k，R+k=hft+h，R+hR+k，R+k
設聲場激勵波形為P=Psin（ωt），若聲壓P
f=P+-（2）
同時假設氣泡運動過程為等溫過程，即方程（1）中的泡內氣體多方指數n=1。計算時與液體相關的各參數取值分別為：液體密度ρ=1000kg/m3，液體表面張力系數σ=0.076N/m，液體粘滯系數μ=0.001kg/（m•s），液體中聲速c=1481m/s，液體中的靜壓P=1.013×105Pa。
下面研究單頻聲場激勵下，聲場頻率f和氣泡初始半徑R對氣泡動態的影響。具體為計算f和R在不同的取值條件下，空化氣泡半徑隨時間的變化曲線，即R（t）曲線。
1.1 聲場頻率對氣泡動態的影響給定氣泡初始半徑R，通過改變聲場頻率f的大小，討論fa的變化對氣泡動態的影響。設聲場激勵為P=-Psin（2πft），P=5.0×105Pa，R=0.6μm，由公式（2）得到其自然共振頻率f=7.55MHz。若取f=20MHz，則反映氣泡動態的R（t）曲線為圖1所示，氣泡在多個聲波周期內做復雜振蕩。
若取f=7MHz，則R（t）曲線為圖2所示，氣泡在一個聲周期內即趨向崩潰。需要指出，這里所說的趨向崩潰是指氣泡半徑在增大到最大值后急劇向R=0趨近。
氣泡在不同聲場頻率激勵下其趨向崩潰的程度是不同的。圖3顯示了聲場頻率從4MHz變化到10MHz時，氣泡在趨向崩潰時的半徑與其初始半徑之比R/R0的變化趨勢。
通常認為:當超聲波頻率與氣泡的自然共振頻率相等時，超聲波與氣泡之間就達到了最有效的能量耦合，氣泡將迅速崩潰。但數值計算的結果表明，當f=f時，氣泡半徑在通常所指的崩潰階段趨向0，但不為0；當f小于f至一定限度時，氣泡半徑才在10-5數量級上趨向0，這時可以認為氣泡徹底崩潰；當f大于f至一定限度時，氣泡可在多個聲波周期內穩定振蕩，且振蕩波形復雜無規律。
同時大量實驗研究表明，隨著頻率升高，聲空化過程變得難以發生。對這種現象的定性解釋為：頻率增高，聲波膨脹相的時間相應變短（如f=20kHz，其膨脹時間為25μs；如f=20MHz，其膨脹時間為25ns），氣泡核來不及增長到可產生效應的空化氣泡，或者即便空化氣泡可以形成，但由于壓縮相時間也短，空化氣泡可能來不及收縮至發生崩潰。為使在較高頻率下產生空化，可以提高聲強，即空化閾值將隨頻率升高而增大。此外，從聲波的傳播特性可知，頻率升高，聲波的傳播衰減將增大，這也使得空化強度減弱以及可能發生空化的區域減小。
1.2 氣泡初始半徑對氣泡動態的影響給定聲場頻率f，計算氣泡取不同初始半徑R時的動態曲線R（t）。設P=P=1.013×105Pa，f=20KHz，這是超聲工業清洗及聲化學中較常使用的頻率，按照公式（2）與其對應的共振氣泡半徑為R=150μm。圖4為R從60μm變化到160μm氣泡趨向崩潰時R/R的變化趨勢。同樣可以看出，當聲場頻率一定時，在該頻率上自然共振的空化氣泡并沒有徹底崩潰，而是那些半徑小于自然共振半徑至一定限度的氣泡才趨向徹底崩潰，半徑大于該自然共振半徑的氣泡將持續振蕩若干周期而不崩潰。
一般情況下，當時，計算得出下述結論：對初始半徑大于共振半徑的氣泡，將發生復雜的持續振蕩，一般不會崩潰；對初始半徑小于共振半徑的氣泡，隨著聲壓負壓相的到來而不斷增大，當聲壓正壓相到來時，氣泡先因慣性繼續生長到最大半徑，然后迅速收縮，直到崩潰。
2結論
本文采用Runge-Kutta數值分析方法研究在不同聲場頻率和氣泡初始半徑條件下單一空化氣泡的運動過程，數值分析結果表明，當給定氣泡初始半徑大小時，聲場頻率在小于氣泡自然共振頻率至一定限度時，氣泡將迅速崩潰，而大于該共振頻率時，氣泡將持續振蕩而不崩潰，即隨著聲場頻率升高，聲空化將難以發生；當給定聲場頻率時，只有其半徑小于與該頻率對應的氣泡自然共振半徑至一定限度的氣泡才會徹底崩潰，半徑大于該自然共振半徑的氣泡將做持續振蕩。
參考文獻：
[1]馮若.超聲手冊[M].南京：南京大學出版社，2001.
[2]錢夢J，程茜，葛曹燕.單泡聲致發光中氣泡的動力學特征――振子模型[J].聲學學報，2002，27（4）：289-294．
[3]李信真，車剛明，歐陽潔，封建湖.計算方法[M].西安：西北工業大學出版社，2000.
摘要：計算方法這門課程既有數學類課程理論的嚴謹性和抽象性，又有針對解決實際問題的實用性和實驗性，是從事工程設計和科學研究工作的必備技能之一。文章針對作者所在學校計算機專業開設的計算方法課程教學中遇到的問題，根據學生實際情況，從教學內容、教學方法和學習方法三個方面探討教學實踐中的一些嘗試。
關鍵詞：數值計算方法；計算機專業；教學內容；教學方法；學習方法
一、引言
目前，理論、試驗、計算是人類進行科學活動的三大方法，許多實際的科學與工程問題的解決都離不開科學計算，如：核武器的研制、導彈的發射、氣象預報等。計算方法也稱為數值計算方法或數值分析，是數學、計算機科學與其他學科交叉的產物，注重理論與實踐緊密結合，應用范圍廣泛，如：計算物理、計算力學和計算化學等，是工程和科學技術工作者的必修課之一。計算方法作為筆者所在學校計算機專業的選修課，其教學目標是構建數學與計算機之間的橋梁，使學生掌握數值計算的基本方法，對算法進行程序設計及理論分析。在教學實踐過程中出現了一些問題，如內容多學時少、學后容易忘、重理論輕實踐、考核方式單一等，基于以上問題，筆者結合自身的教學經驗和學生情況，對教學過程中所涉及的內容及問題進行一些探討。
二、課程教學實踐
1.教學內容。要想做一名優秀的教師，就需要不斷地學習，樹立終身學習的理念，這是教師發展和成長的必由之路。不斷地加強專業知識的學習，熟悉教材及教學內容，掌握重點、難點，是對學生授業的前提，此外還要拓寬自己的知識面，了解專業最新的動態，授課時才能旁征博引。如果教師自身知識儲備都不夠的話，如何給學生講授？學高方能為師。計算方法課程所涉及的內容較多，首先需要學習高等數學、線性代數、微分方程及泛函分析等基礎課程。要根據計算機專業的培養目標選擇合適的教材。作為筆者所在學校計算機專業的選修課，計算方法只有32學時，受學時所限，為了突出重點，著重講解插值與擬合、數值積分與微分、線性方程組的直接解法和迭代解法、非線性方程數值求解和常微分方程數值解?？焖俑道锶~變換、矩陣特征值和特征向量的計算以及偏微分方程等是選學內容，可以對其做一些簡要的介紹，讓學有余力或感興趣的同學課下探討，還可以補充一些新的研究成果，如求解非線性方程的New-ton型迭代法[1]。計算方法這門課程有兩條主線，一條是算法設計，一條是誤差分析。這兩條線除了概念的介紹和理論的推導，還應注重實踐教學，在以后的教學過程中，要逐步地解決實驗課問題，重點關注如何將數值解法的迭代公式及計算過程轉化為計算機算法，進而編制程序，這樣不僅能培養學生動手解決實際問題的能力，而且還能避免沉陷于純數學理論的推導而使課程變得枯燥乏味。結合計算機專業的特點，除了理論課程的學習，還應該增加實驗課，把學校的實驗室資源充分利用起來，以培養學生的編程、上機操作能力。2.教學方法。隨著高等教育從精英化邁向普及化以及學生自身多元化需求的增加，學生的基礎及需求存在差異，如果想吸引學生，就要了解學生，做到“以學生為本”、“因材施教”，才能充分挖掘學生的潛能，促進學生的成長、成才[2]。教學中單純地寫板書或念PPT比較枯燥乏味，復雜的計算公式難以記憶，很難提起學生學習的興趣，這會造成學生注意力分散，跟不上節奏，而數學類課程的邏輯性又很強，一步跟不上步步跟不上，容易造成“跟不上—聽不懂—不想學”的惡性循環。如果想取得較好的教學效果，充分利用每個課時，教師就應掌握多種教學方法，如：啟發式、討論式、自主式和探討式[3]，利用靈活多樣的教學形式，充分利用互聯網資源，以激發學生學習的興趣。例如，在插值法這一章開始，可以首先回憶高等數學課中的泰勒公式，比較泰勒公式與牛頓插值多項式，比較泰勒公式的余項與插值多項式的誤差，用板書證明插值多項式的存在唯一性。例如，講到數值積分時，可以用生動形象的圖形來演示矩形公式、梯形公式和辛普森公式。例如，講解線性方程組的迭代解法時，可以用Matlab軟件演示設計的雅可比迭代法、高斯—塞德爾迭代法和逐次松弛迭代法，并對結果進行分析，比較這三種方法的收斂性及誤差?？梢怨膭顚W生參加全國大學生數學建模競賽，將教學與數學建模結合起來，將課堂中所學的理論知識應用到實踐中，加強課后的實踐，讓學生切身地體會計算方法的實用價值。課程的考核不是目的，而是教學方法，是為了引導、督促學生學習，以培養學習習慣，鍛煉學習能力。筆者所在學校計算方法課程的考核方式單一且傳統，只有平時考勤、課后作業以及期末考試，這種考核方式容易讓學生形成為了考核而考核、上課人雖到而心未到、課后抄襲作業、期末盼老師畫重點、考前臨時抱佛腳等弊習。課程考核方式改革是教育教學改革的重要一環，可以嘗試以“多元化—重過程—考能力”為指導思想[4]，把基礎理論知識的考核和知識的理解運用考核結合起來，加強對學生能力的考核，使學生重視平時理論的學習，還要重視培養自己的分析問題和解決問題的能力。例如，根據專業特色，精心設計大作業[5]，一次作業中可以涵蓋插值、擬合、解方程等多個內容，讓學生寫成小論文的形式，以培養學生對所學知識的綜合運用能力。3.學習方法。學生在大學二年級課程比較多，也有很多的社團活動和社會實踐，要想高效地利用課堂時間，學習方法就變得尤為重要，“授人以魚，不如授之以漁”，可以建議學生合理規劃自己的學習和生活，探索適合自己的學習方法，鼓勵學生充分利用互聯網資源，養成獨立學習和研究的習慣，為以后的工作或進一步的學習打下堅實的基礎。結合計算方法課程的特點，可以向學生介紹“從問題出發，以最優為導向，利用互聯網”這樣的思路來學習。例如，在插值法這一章中，利用問題教學法，從原始的問題出發，尋找解決的方法，發現方法的不足，以最優為導向，進一步地改進方法。問題是：通過實驗或觀測得到一組數據，用什么函數？怎么用函數來表示其內在的規律？根據節點及節點處的函數值可以直接寫出拉格朗日插值多項式，但當節點個數增加時，拉格朗日插值多項式必須重新計算，這也是其不足之處。而牛頓插值多項式在節點個數增加時只需要在原多項式基礎之上增加一項即可。牛頓插值多項式需要計算插商，在計算插商時可能會導致誤差，為避免這種情況發生，得到了其改進形式即等距節點情況下的牛頓前插公式和牛頓后插公式。為了增加插值函數的光滑性，又進一步學習埃爾米特插值。而當節點個數較多時，這三種插值方法會出現龍格現象。為了避免這種情況發生，在插值時就應該選擇低次插值，而低次插值的精度較低。為了提高計算精度，又進一步給出分段低次插值，為了增加分段插值時插值節點處插值函數的光滑性，又給出三次樣條插值。最后，充分利用互聯網資源，搜索與插值法相關的課件、視頻以及這些算法的Matlab程序，進行閱讀和上機操作實驗，此外，還可以了解插值法在各個領域的應用，以激發學生的學習興趣和拓寬其知識面。
三、結語
本文就計算方法作為計算機專業的選修課，結合教師和學生實際情況，討論了一些教學實踐過程中遇到的問題，結合培養應用創新型人才的要求，從教學內容、教學方法和學習方法三個方面對課程教學改革進行了初步的探究。教學實踐表明，這些嘗試有利于學生掌握科學計算的精髓，有利于提高學生運用理論知識分析和解決實際問題的綜合能力，教學效果顯著。但教與學的成功不是一蹴而就的，是一項長期的工程，需要老師們不斷地努力，不斷地嘗試創新，還需要學生們積極地配合。
