時(shí)間：2023-09-15 17:32:39
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇高考數(shù)學(xué)歸納法，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
關(guān)鍵詞： 數(shù)列通項(xiàng) 高考數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)歸納法
數(shù)列問題是每年高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，它能考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力和對(duì)數(shù)學(xué)基本思想方法的掌握程度。縱觀歷屆有關(guān)數(shù)列的考題，形式多樣，解法不一。但透過現(xiàn)象看本質(zhì)，我們依然可以對(duì)各種題型進(jìn)行歸類，尋找規(guī)律，對(duì)它們的解法進(jìn)行探討.數(shù)列中第n項(xiàng)a與前n項(xiàng)和S的關(guān)系式S=a（n=1）S-S=a（n≥2）是一個(gè)基本關(guān)系式，它常與遞推關(guān)系一起出現(xiàn)在各種考題中，下面我們就這一類數(shù)列問題的類型與求解進(jìn)行詳細(xì)的探究.
類型一：給定數(shù)列前n項(xiàng)和S，求通項(xiàng)a.
例1：若S是數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和，且S=n，則{a}是（）.
A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列
B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列
C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列
D.既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列
解析：這類題較為簡(jiǎn)單，一般出現(xiàn)在填空題或選擇題中，利用a與S的關(guān)系就可直接得出.
a=S=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，
a=S-S=n-（n-1）=2n-1
即a=2n-1（n∈N），故選B.
類型二：給定數(shù)列前n項(xiàng)和S的遞推關(guān)系，求通項(xiàng)a.
例2：已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S為，S=1，且S=S（n≥2），求通項(xiàng)a.
解析：常用方法是由S的遞推關(guān)系式求出S，再由a與S的關(guān)系求出通項(xiàng)a.
S=S
S=S
S=S
……
S=S
上面各式左右兩邊分別相乘得：S=
所以a=S=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，
a=S-S=-=
即a=（n∈N）
類型三：給定含有S與a的混合型關(guān)系式.
這一類問題較前面兩種要更為復(fù)雜，是常見的綜合題型之一.這類題型的求解要結(jié)合類型一和類型二的解題思想來處理，常用的方法有以下三種.
（1）變形為關(guān)于S的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化成類型二求解.
例3：在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a}中，數(shù)列前n項(xiàng)和S滿足S=（a+），求通項(xiàng)a.
解析：可利用a=S-S（n≥2），將所給的遞推關(guān)系式變?yōu)橹缓蠸和S，求出S后再求出a.
由a=S，S=（a+）得S=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，
將a=S-S代入S=（a+）得：
S=［（S-S）+］
即S-S=1
所以數(shù)列{S}是首項(xiàng)為S=1，公差為1的等差數(shù)列，得：
S=1+（n-1）•1=n
因?yàn)閍＞0，所以S＞0，有S=,
所以a=S-S=-（n≥2）
綜上可得：a=-（n∈N）
（2）變形為關(guān)于a的遞推關(guān)系求解.
例4：設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，求通項(xiàng)a.
解析：根據(jù)題目所給的條件，可將遞推關(guān)系式化為關(guān)于a的式子來求解.
因?yàn)镾+S=2a①
S+S=2a②
②－①得：
a+a=2a-2a
即a=3a（n≥2）。
由S+S=2a得：a=2a=6
所以{a}是從第二項(xiàng)a=6起，公比為3的等比數(shù)列，得：
a=a•3=2•3（n≥2）
所以a=3 （n=1）2•3 （n≥2）
顯然，此題也可用方法（1）求解，這里不再贅述.
（3）歸納猜想出a，采用數(shù)學(xué)歸納法證明.
例5：設(shè)數(shù)列{a}前n項(xiàng)和為S，且S=a，a=求通項(xiàng)a.
解析：這里可先根據(jù)條件求出數(shù)列前幾項(xiàng)的值，尋找規(guī)律猜想結(jié)果，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.
由S=a+a=a，a=，得a=0
同理，S=a+a+a=a，得a=-
S=a+a+a+a=a，得a=-
S=a+a+a+a+a=a，得a=0
S=a+a+a+a+a+a=a，得a=
S=a+a+a+a+a+a+a=a，得a=
……
由此猜想a=sinπ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a=sinπ=，a=sin=0成立.
（2）假設(shè)n≤k+1時(shí)成立，當(dāng)n=k+2時(shí)
a=S-S
=a-a
=sinπ-sinπ
=2cosπ•sin
=cos（+）
=-sin
=sin（+π）
=sinπ
=sinπ
所以當(dāng)n=k+2時(shí)成立.
因此，對(duì)n∈N，a=sinπ成立.
對(duì)于類型三，選擇何種方法由題目給出的條件而定，不應(yīng)拘泥于某種思路.但數(shù)學(xué)歸納法是最基本，也是最重要的方法之一，歸納、猜想與證明是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑.
例.[2012年全國(guó)高考大綱卷理科數(shù)學(xué)第（22）題（本小題滿分12分）]函數(shù)f（x）=x2-2x-3，定義數(shù)列{xn}如下：x1=2，xn+1是過兩點(diǎn)P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
（1）證明：2≤xn
（2）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式。
考查目標(biāo)：本題考查遞推數(shù)列的意義、等比數(shù)列的概念、數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，綜合考查考生運(yùn)用數(shù)列知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算求解和推理論證的能力。
試題評(píng)價(jià)：試題不落俗套，大膽創(chuàng)新，沒有直接給出數(shù)列{xn}的遞推關(guān)系，而是巧妙地以過兩點(diǎn)P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)給出{xn}相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系。第（1）問中，要求證明不等式，實(shí)際上是證明數(shù)列{xn}的增減性和取值范圍，根據(jù)題設(shè)條件，只能用數(shù)學(xué)歸納法解決問題。同時(shí)，歸納法也為第（2）問求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式奠定了基礎(chǔ)。與以往的求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的試題相比，該題沒有給出輔助數(shù)列，對(duì)于所求數(shù)列的通項(xiàng)完全需要充分發(fā)揮考生的主觀能動(dòng)性，這也是本題一大亮點(diǎn)所在。這是近十年高考數(shù)列通項(xiàng)公式的最高要求，看似超出了中學(xué)教學(xué)要求的范圍，實(shí)際上正是新課程改革理念中所倡導(dǎo)的實(shí)踐精神和創(chuàng)新意識(shí)的體現(xiàn)，這也是專家的匠心獨(dú)在。該題對(duì)高考選拔高素質(zhì)的創(chuàng)新人才具有很好的檢測(cè)功能。
思考：高考備考不是一朝一夕的事。打好高考這一硬仗，與平時(shí)扎實(shí)有效的學(xué)習(xí)是分不開的，十年寒窗，功到自然成。仔細(xì)分析今年的高考數(shù)列解答題，如果剝?nèi)ピ擃}的外殼，我們還有似曾相識(shí)的感覺，那就是2010年高考全國(guó)卷一理科數(shù)學(xué)最后一道壓軸題：
已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=c-■，a1=1，an+1=c-■。
（1）設(shè)c=■，bn=■求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求使不等式an
如果把上邊例題中的第（1）問和第（2）問的設(shè)問順序換一下，在解答時(shí)就可以按照常規(guī)思維，且求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式時(shí)考生就可以聯(lián)想類比2010年的這道考題，并且可以借鑒其解法做如下變式：
2012年全國(guó)高考大綱卷（22）題變式：函數(shù)f（x）=x2-2x-3。定義數(shù)列{xn}如下：x1=2，xn+1是過兩點(diǎn)P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
（1）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：2≤xn
解題思路：（1）先由已知條件得出數(shù)列{xn}的相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，再通過巧妙構(gòu)造新數(shù)列，化歸轉(zhuǎn)化成我們熟悉的等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式。（2）既可以利用第（1）問數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式的結(jié)論，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式證明其單調(diào)性，確定范圍；也可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明。
解題過程：
解：（1）過兩點(diǎn)P（4，5）、Qn（xn，f（xn））的直線PQn的直線的斜率k=■=■=xn+2
則直線PQn的方程為：y-5=（xn+2）（x-4）
令y=0得：x=4-■，即xn+1=4-■
其中x1=2（n∈N+），從而有xn+1-3=1-■=■
令bn=xn-3，則有■=■=■+1，■+■=5（■+■）
則數(shù)列{■+■}是首項(xiàng)為-■，公比為5的等比數(shù)列故■+■=-■·5n-1，即■=-■·5n-1
-■，bn=■
所以，數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn=3-■
（2）從數(shù)列{xn}通項(xiàng)公式出發(fā)，證明數(shù)列{xn}的單調(diào)性，并確定xn及范圍xn+1的范圍。
xn+1-xn=-■+■=
■>0，xn
由xn=3-■及{xn}的單調(diào)性知xn≥x1=2
xn+1=3-■，當(dāng)n+∞時(shí)，■0，因此xn+1
綜上有：2≤xn
關(guān)鍵詞：歸納法；應(yīng)用數(shù)學(xué)；教學(xué)
中圖分類號(hào)：FG633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673－291X（2011）14－0304－02
數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中一種常用的論證方法，它雖然有一定的局限性，只適用和正整數(shù)有關(guān)的命題，但它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用是不可或缺的。因此，它不僅是高考數(shù)學(xué)的一個(gè)考點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。在看似簡(jiǎn)單易懂，形式固定的外表下，它卻使得很多學(xué)生不能真正掌握，難以理解其實(shí)質(zhì)。有些同學(xué)僅僅只是生硬的記憶和牽強(qiáng)的套用，沒有真正體會(huì)到數(shù)學(xué)歸納法的核心思想。我們應(yīng)該怎樣理解數(shù)學(xué)歸納法，在高中數(shù)學(xué)中又有哪些方面的應(yīng)用？在哪些類型題上使用可以更加方便？數(shù)學(xué)歸納法又有哪些局限性？我們應(yīng)該怎樣具體問題具體分析，更好的學(xué)習(xí)和利用數(shù)學(xué)歸納法呢？
在本文中通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法基本形式理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步論述了在解決很多和自然數(shù)函數(shù)有關(guān)的整式、不等式、整除和幾何等問題時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。當(dāng)然數(shù)學(xué)歸納法，在很多時(shí)候也會(huì)使解題變的復(fù)雜繁瑣，因此我們要理解其實(shí)質(zhì)，真正掌握正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的能力。
數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：
（1）驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)，命題正確：
（2）假設(shè)n＝k時(shí)命題正確，證明n＝k+1時(shí)命題也正確：
（3）根據(jù)（1） （2）斷定命題對(duì)于全體自然數(shù)都正確。
例1： 證明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）
證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＝右邊，等式顯然成立。
（2）假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2
那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)，有
（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）
＝[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）]
＝（2k-1）2+8k＝（2k+1）2＝[2（k+1）-1]2
即當(dāng)n＝k+1時(shí)，等式也成立。故對(duì)于任意正整數(shù)n等式都成立。
通過數(shù)學(xué)歸納法基本形式和例題可以看出其原理就是遞推思想，其中（1）是遞推的基礎(chǔ)，沒有它歸納假設(shè)就失去了依據(jù)，后面遞推就沒有了奠基。（2）是遞推的依據(jù)是數(shù)學(xué)歸納法證明最根本的一步，是整個(gè)數(shù)學(xué)歸納法證明的核心，只有通過它無限次遞推成為可能，人們的認(rèn)識(shí)才達(dá)到了質(zhì)的飛越――通過有限認(rèn)識(shí)無限，所以數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可。
數(shù)學(xué)歸納證題的兩個(gè)步驟雖然都很重要，但在證題時(shí)第一步較易，第二步較難。學(xué)生往往感到很困難，絞盡腦汁都難以完成這一步，到底我們應(yīng)該怎樣轉(zhuǎn)化，不同的問題我們又應(yīng)該怎樣去解決？下面我們來探討一下數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。
一、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式
應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的恒等式，包括與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、組合數(shù)公式及其恒等式等，證明過程中只要實(shí)現(xiàn)等式左右兩邊相等即可。
例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明： n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）
證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＝（2×1-1）2＝右邊，等式成立。
（2）假設(shè)n＝k時(shí)，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2
那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)有
（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）
＝[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）]+8k
＝（2k-1）2+8k
＝4k2+4k+1
＝（2k+1）2
＝[2（k+1）-1]2
即當(dāng)n＝k+1時(shí)，等式也成立，故對(duì)于任意正整數(shù)n，等式都成立。
二、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式兩種，嚴(yán)格不等式的證明，只要保證原不等式中的“＞”或“＜”成立即可。對(duì)于非嚴(yán)格不等式而言，情況略顯復(fù)雜。
例2：已知x1，x2，x3，…，xn都是正數(shù)，試證：
+++…≥x1，x2，x3…，xn
證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，因?yàn)椋絰1，所以原不等式成立（取等號(hào)）
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)原不等式成立，即
+++…≥x1，x2，x3…，xk
那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式的左邊
+++…+＝（+++…）-++≥x1+x2+x3+…+xk++（*）
顯然，只要證明
+≥xk-1
原不等式即可得證。但此式難以直接證明，經(jīng)仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，原不等式關(guān)于變量x1，x2，x3…，xn是輪換對(duì)稱的，于是不妨設(shè)xk-1＝max｛x1，x2，x3，…，xk，xk-1｝，則xk-12-xk2＞0。
+≥+＝＝xk-1
故當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式也成立。即原不等式對(duì)于所有自然數(shù)都成立。
三、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題
應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題，是數(shù)學(xué)歸納法的重要應(yīng)用之一。這類問題涉及到整除性的知識(shí)，如果a能被c整除，那么a的倍數(shù)ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它們的和或差a±b也能被c整除，從整數(shù)的基本入手，通過添項(xiàng)去項(xiàng)進(jìn)行”配湊“，使之能夠獲證。
例3：證明f（n）＝5n+2•3n+1能被8整除。
證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，f（n）＝5n+2•3n+1＝8顯然能被8整除，命題成立。
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，原命題成立，即f（k）＝5k-1+2•3k+1能被8整除，那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)，f（k+1）＝5k-1+2•3k+1
＝5•5k+6•3k+1+4•3k-1-4•3k-1
＝5•5k+10•3k-1+5-4•3k-1-4
＝5•f（k）-4（3k-1+1）
這里第一項(xiàng)由歸納假設(shè)能被8整除，第二項(xiàng)中3k-1是奇數(shù)，則3k-1+1是偶數(shù)。故第二4（3k-1+1）能被8整除，由整除性質(zhì)可知，它們的差也能被8整除，這就是說：當(dāng)n＝k+1時(shí)命題也成立。即原命題對(duì)所有自然數(shù)n都成立。
四、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題
應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)重要應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的重要方法，但是運(yùn)用它只能證明命題的正確性，而不能指望由它發(fā)現(xiàn)命題。有很多與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但在證明之前要找出規(guī)律，獲得公式，而后才能應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論。
例4：證明凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)f（n）＝n（n-3）.（n≥3）
證明：（1）當(dāng)n＝3時(shí)，f（3）＝0，因三角形沒有對(duì)角線，所以原命題成立。
（2）假設(shè)：當(dāng)n＝k（n≥3）時(shí)命題成立，即凸k邊形的對(duì)角線條數(shù)為f（k）＝k（k-3）。那么當(dāng)n＝k+1，凸k邊形的k個(gè)頂點(diǎn)增加一個(gè)頂點(diǎn)Ak-1成為凸k+1邊形時(shí)，由頂點(diǎn)Ak-1與它不相鄰的另外k－2個(gè)頂點(diǎn)A2，A3，A4，…，Ak－1可畫出k－2條對(duì)角線，同時(shí)原來凸k邊形的一條邊A1Ak變成一條對(duì)角線。這樣從凸k邊形到凸k+1邊形一共增加了k-1條對(duì)角線。由此凸 邊形的對(duì)角線條數(shù)為：
f（k+1）＝f（k）+（k+1）
＝k（k-3）+（k-1）
＝（k2-k-2）
＝（k+1）（k-2）
＝（k+1）[（k+1）-3]
這就是說，當(dāng)n＝k+1時(shí)，命題也成立。
需要指出，雖然數(shù)學(xué)歸納法是一種論證與自然數(shù)有關(guān)的命題的重要方法，但并非結(jié)論是自然數(shù)的函數(shù)的命題都適合用數(shù)學(xué)歸納法證明。有些題目應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，過程相當(dāng)繁瑣，尤其是由n＝k到n＝k+1的變化過程很多，不易操作。事實(shí)上，很多與正整數(shù)有關(guān)的命題，若能避開數(shù)學(xué)歸納法的思維定勢(shì)，利用其命題本身的特點(diǎn)，采用非數(shù)學(xué)歸納法的證明，則能避繁就簡(jiǎn)。
例5：n∈N*，求證1+++…+＜2。
證：令bn＝2，則bn＝b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
當(dāng)n≥2時(shí)，bn-bn-1＝2（-）＝＞＝，從而1+++…+＜b1+（b2-b1）+…+（bn-bn-1）＝bn＝2
即1+++…+＜2。
通過以上例題，只是想說明對(duì)于有關(guān)自然數(shù)的命題的證明，不一定都采用數(shù)學(xué)歸納法這一種方法而應(yīng)該針對(duì)題目本身的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟ_(dá)到簡(jiǎn)化證明過程的目的。從另一個(gè)角度來講也能克服學(xué)習(xí)中的思維定勢(shì)，使知識(shí)融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用。
以上我們對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式，及在中學(xué)數(shù)學(xué)中和自然數(shù)函數(shù)有關(guān)的整式、不等式、整除問題和幾何問題等，一些常見題型中的應(yīng)用做了簡(jiǎn)單的舉例，并通過相應(yīng)的例題對(duì)這幾種方法進(jìn)行了解析，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法有了更進(jìn)一步的了解。縱觀科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的當(dāng)今時(shí)代，我們對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的研究已經(jīng)取得了很大的進(jìn)步，對(duì)于它的更加優(yōu)越的性質(zhì)和更廣泛的應(yīng)用仍需要我們繼續(xù)努力鉆研。深入探討數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)性質(zhì)，究竟何時(shí)使用歸納法何時(shí)不使用，中學(xué)數(shù)學(xué)歸納法還有哪些應(yīng)用，還有待同學(xué)仔細(xì)研究和探索。
參考文獻(xiàn)：
[1] 劉世澤.數(shù)學(xué)歸納法的另外兩種形式[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1994，（1）.
高考數(shù)學(xué)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)能體現(xiàn)考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度和能力水平, 能客觀反映出考生解題的思維過程, 區(qū)分出考生的不同層次.所以,高考給分的基本原則是按照解題過程分步給分, 按所用數(shù)學(xué)知識(shí), 數(shù)學(xué)思想方法要點(diǎn)式給分,全國(guó)卷以往公布的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn),近年來全國(guó)各省市高考實(shí)際在用的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn),都遵循這樣的給分原則.因此,解答時(shí)必須步驟清,要點(diǎn)明,格式齊.
1.立體幾何的解題過程,一般可分為作證、計(jì)算兩部分.評(píng)分細(xì)則按作證、 計(jì)算兩段分別給分,各段中又按要點(diǎn)給分.如1998年全國(guó)卷23題、1999年全國(guó)卷22題,都有3個(gè)小題,在公布的高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中(以下引用的全國(guó)卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)都是公開的,不再?gòu)?qiáng)調(diào)),給出每小題4分,其中作證2分,計(jì)算2分.解答立體幾何時(shí),書寫格式可先作證,后計(jì)算兩部分.作證過程能反映出邏輯思維能力,必須寫清怎樣作,證明主要寫清兩點(diǎn)：①空間位置關(guān)系判斷推理的依據(jù)(立幾課本中公理、定理) ②什么是空間角和距離及理由(緊扣角和距離概念).特別要注意,沒有寫清角、距離要扣分.計(jì)算過程的書寫一般是解三角形,因此要寫清三角形中的條件,由此解三角形得出的結(jié)果.用等積法解題時(shí),按找出等積關(guān)系及計(jì)算分段給分.
又如 2010年浙江卷第(1)題,若用向量法求角,則每個(gè)面的法向量得3分共6分,結(jié)論用向量數(shù)量積公式計(jì)算正確得2分,若用面積法cos θ=s1s2,按每個(gè)面積分別給分.在實(shí)際評(píng)卷中,即使做不出來,但只要能畫圖指出二面角的平面角,或者指出了二面角是平面法向量的夾角而沒有計(jì)算法向量,或者寫出了可用cos θ=s1s2計(jì)算求得而沒有計(jì)算出面積,以上三種任何一種出現(xiàn)均給3分.二面角就算找錯(cuò),過程分還是會(huì)盡量給的.
所以在應(yīng)試答題時(shí),吃不準(zhǔn)的答案不要隨意放棄,約束條件即使算不出,也要寫上,能寫出的都要寫上,改卷時(shí)是直接尋找正確的答案部分,答卷上有正確的要點(diǎn)就會(huì)給分.
2. 綜合題的評(píng)分是按問題解答的過程,分步給分,在每個(gè)步驟中又按要點(diǎn)給分.如 2000年全國(guó)卷文科22題,在高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中,建立坐標(biāo)系,由對(duì)稱性知 C 、D關(guān)于y軸對(duì)稱,2要點(diǎn)得2分.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),依題意 E分AC 所成比為811,由定比分點(diǎn)公式得E點(diǎn)坐標(biāo)xE , yE,3 要點(diǎn)得 3 分, 設(shè)雙曲線方程,由題設(shè)條件 C、E在雙曲線上,直譯為方程組,3要點(diǎn)得 5分,解方程組消去h2b2,解得e,2 要點(diǎn)得4分.
又如2010浙江卷文科22題,第(1)小題3要點(diǎn)得5分,在實(shí)際評(píng)分中,只要見到p=m2,p2=2,p=4,y2=8x這四者中的任何一個(gè)就給滿分5分,如果這些都沒有,則只要出現(xiàn)F(p2,0)既得2分.第(2)小題按重心、d>r兩步分別給5分和4分,每步再按要點(diǎn)細(xì)分為聯(lián)立方程、重心坐標(biāo)用m表示、圓心坐標(biāo)、半徑及結(jié)論正確分別給分.
再如2010浙江卷理科19題,第(1)小題按概率和期望兩步給分,每步細(xì)分為概率p1,p2,p33點(diǎn)共6分,Eξ的式子和結(jié)論2點(diǎn)共2分.概率計(jì)算錯(cuò)而Eξ的表示對(duì),或者概率對(duì)而Eξ的表示是錯(cuò)的,都適當(dāng)給2分.特別是概率p1,p2,p3計(jì)算錯(cuò)誤,但Eξ和P(η=2)方法都對(duì),能將錯(cuò)誤數(shù)據(jù)計(jì)算到底(將錯(cuò)就錯(cuò))的,整個(gè)題目也給8分.
因此解綜合題時(shí),要盡可能把過程分步寫出來,盡量不要跳步.根據(jù)題意列出關(guān)系,譯出題設(shè)中每一個(gè)條件,增加分步按要點(diǎn)得分的機(jī)會(huì),對(duì)于不會(huì)做的(做不到底的)題目,也不要輕易放棄,寫出些知識(shí)點(diǎn)、公式、表示出些要點(diǎn),就會(huì)有些分?jǐn)?shù),千萬不可交空白卷.
3.推理論證題,三角恒等變形、分類討論題等,按證明格式,推理變形步驟給分.如從定義出發(fā)證明函數(shù)單調(diào)性、奇偶性,用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,都有格式分.分類討論題按所分類分別給分,加上綜上歸納的格式分. 如 1996年全國(guó)卷理科20題解對(duì)數(shù)不等式,評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)按 a>1 和0
又如2010年高考湖北卷21題第(3)小題,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式,評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)按①當(dāng)n=1,②假設(shè)n=k,證明n=k+1及根據(jù)①和②可得,分別給分.所以即使不會(huì)證明,也要寫出當(dāng)n=1,假設(shè)n=k的式子,證明n=k+1兩邊靠攏,寫完整數(shù)學(xué)歸納法的格式,寫得接近天衣無縫的就能近似得滿分.
三角恒等變形中,每用一個(gè)公式,朝目標(biāo)推進(jìn)一步就給分.如 2000年全國(guó)卷理科17題,在高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中,y=12cos2x+32sin xcos x+1 變形到y(tǒng)=12sin(2x+π6)+54,用了 三個(gè)三角公式,3要點(diǎn)得6分.
解答論證題要按定義、步驟、規(guī)范證明格式,細(xì)化變形過程.即使推理證明不出,寧可缺中間,跳過去,也要套用格式,從條件、結(jié)論兩個(gè)方面推理往中間靠,寫完成格式,這樣可以少扣分.
參考文獻(xiàn)
摘要：本文以數(shù)學(xué)中體現(xiàn)的各種美為主線，不僅從美的角度解讀各類高考試題，還從本質(zhì)上探討了高考數(shù)學(xué)試題的優(yōu)美之處．
關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)美；和諧美；統(tǒng)一美；簡(jiǎn)潔美；簡(jiǎn)約美；殘缺美；極限美；奇異美；創(chuàng)新美
1. 數(shù)學(xué)美概說
數(shù)學(xué)美是一種真實(shí)的美，是美的高級(jí)形式，是理論思維與審美意識(shí)交互的產(chǎn)物． 數(shù)學(xué)美的含義是豐富的，如數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對(duì)稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性等． 數(shù)學(xué)美在中學(xué)課本里均有體現(xiàn)，例如在解析幾何中，不同的圓錐曲線、橢圓、雙曲線和拋物線可以用一個(gè)統(tǒng)一的定義，即平面上到定點(diǎn)和到定直線的距離的比為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡． 如此和諧統(tǒng)一，讓人不得不贊嘆數(shù)學(xué)的美妙！在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們要充分挖掘教材中美的因素，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)中的美麗風(fēng)景． 數(shù)學(xué)的美學(xué)思維就是從美學(xué)的角度觀察、思考和分析數(shù)學(xué)問題,從而達(dá)到解決問題的目的．
2. 從“美學(xué)”角度解讀高考題
2.1 用數(shù)學(xué)的和諧美、統(tǒng)一美探尋高考數(shù)學(xué)的解題思路
數(shù)學(xué)是和諧美的殿堂，數(shù)學(xué)是一個(gè)嚴(yán)密的科學(xué)體系，各部分知識(shí)間有機(jī)聯(lián)系和高度完善，無論形式還是本質(zhì)都是和諧的，所以我們說數(shù)學(xué)是和諧的殿堂． 由于數(shù)學(xué)的和諧性，形成了數(shù)學(xué)各部分知識(shí)的交匯點(diǎn)、網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)、聯(lián)結(jié)點(diǎn)． 而高考數(shù)學(xué)正是從學(xué)科整體意義和這些知識(shí)的交匯點(diǎn)來設(shè)計(jì)試題的． 因此，高考數(shù)學(xué)考查的是考生的系統(tǒng)化的、相互聯(lián)系的、和諧的數(shù)學(xué)知識(shí)． 那種一知半解，沒理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，只知支離破碎的、零散的數(shù)學(xué)知識(shí)的考生在數(shù)學(xué)高考中是不能取得好的成績(jī)的．
一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母呖荚囶}是一個(gè)有機(jī)的整體，其各個(gè)部分之間具有和諧性，但是這些和諧關(guān)系的外部表現(xiàn)形式可以是多種多樣的，有的甚至是繁雜的，包括試題中條件與結(jié)論的和諧、數(shù)與形的和諧、數(shù)學(xué)思想與思維的和諧、解題方法與思維策略的和諧等． 另一方面，數(shù)學(xué)中的矛盾,如正與負(fù)、等與不等、數(shù)與形、有理數(shù)與無理數(shù)、常量與變量、邏輯思維與非邏輯思維等和諧共生，實(shí)現(xiàn)對(duì)立統(tǒng)一和相互轉(zhuǎn)化．
例1（2006重慶）若a，b，c>0，且a（a+b+c）+bc=4-2，則2a+b+c的最小值為（）
A．－1B． +1
C． 2+2D． 2－2
解析我們發(fā)現(xiàn)條件式a（a+b+c）+bc和結(jié)論式2a+b+c都有不和諧的地方，這樣我們就要消除不和諧因素，以達(dá)到和諧一致之目的. 式子2a+b+c變形為（a+b）+（a+c），從而找到了條件與結(jié)論的聯(lián)系，即（a+b）（a+c）=a2+ac+ab+bc=a（a+b+c）+bc，結(jié)合均值不等式即得解題思路. 所以2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2?=2－2.
2.2 用數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔美、簡(jiǎn)約美獲取高考數(shù)學(xué)的解題佳徑
簡(jiǎn)潔美是數(shù)學(xué)美的本質(zhì)體現(xiàn)，無論是數(shù)學(xué)語言還是數(shù)學(xué)證明（解答），處處體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美． 就數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)潔性，我們從愛因斯坦的質(zhì)能方程E=mc2就可見一斑，這一公式表達(dá)了深刻而復(fù)雜的理論，換用其他詩(shī)的語言、散文的語言、通俗的大白話都不能很好地或者很準(zhǔn)確地表述． 又如歐拉公式eiπ+1=0． 這個(gè)公式把數(shù)學(xué)里既富有魅力又具備霸權(quán)的三個(gè)量（e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位，而π是眾所周知的圓周率）居然統(tǒng)一在如此簡(jiǎn)潔的一個(gè)明晰爽朗的式子里，這個(gè)公式讓e，i，π，1，0五朵金花并立，更令其顯得玉立娉婷！
例2已知橢圓方程為+y2=1，過D（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，且M在D，N之間，設(shè)=λ，求λ的取值范圍．
[x][y][D][M][N][O]
圖1
解析本題作為解答題較難，若利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系進(jìn)行求解，則有一定的計(jì)算量；若從數(shù)形結(jié)合的角度思考，則可得簡(jiǎn)捷的解答． 如圖1直線MN是過點(diǎn)D的直線系，當(dāng)直線MN與x軸垂直時(shí)，|DM|最小而|DN|最大，這時(shí)得到λ的最小值為，當(dāng)直線MN與橢圓相切時(shí)，這時(shí)M，N重合，λ=1，又|DM|
，1.
2.3用數(shù)學(xué)的殘缺美、極限美，打破高考數(shù)學(xué)的常規(guī)思路
在美學(xué)史上，一些藝術(shù)家試圖給維納斯接上斷臂，結(jié)果達(dá)不到很好的藝術(shù)效果． 這說明維納斯的斷手給我們無限的想象空間，這就是殘缺美、極限美． 數(shù)學(xué)中直線、平面等也都給我們無限想象的空間． 如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐P-ABC，在解題中，如果我們把這樣的三棱錐想象成長(zhǎng)方體的一只角，就能自然地解決一些問題．
例3 （2001全國(guó)）一間民房的屋頂有如圖2所示的三種蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜. 記三種蓋法屋頂面積分別為P1，P2，P3． 若屋頂斜面與水平面所成的角都是θ，則（）
A． P3>P2>P1B． P3>P2=P1
C． P3=P2>P1D． P3=P2=P1
① ② ③
圖2
解析 該題以民房的建筑形式為背景，把立體幾何與住房建筑形式結(jié)合起來，情景新穎真實(shí)，是數(shù)學(xué)大眾化、平民化和生活化的典范． 本題也常規(guī)思維是用立體幾何二面角公式cosθ=來思考，可得P3=P2=P1=，選D． 本題可以用極限思想來思考，若θ無限接近0，則得P3=P2=P1． 這一方法打破常規(guī)思路，另辟蹊徑，得到簡(jiǎn)捷解法．
2.4 用數(shù)學(xué)的奇異美、創(chuàng)新美破解高考數(shù)學(xué)壓軸題
數(shù)學(xué)的奇異美是指數(shù)學(xué)中原有的習(xí)慣法則和統(tǒng)一格局被新的事物（思想、方法、理論）所突破． 它顯示出客觀世界的多樣性，是數(shù)學(xué)思想的獨(dú)創(chuàng)性和數(shù)學(xué)方法新穎性的具體體現(xiàn)． 它常常給人一種新穎、新奇的美感． 它往往打破常規(guī)思維，另辟蹊徑、別出心裁，從意想不到的角度出發(fā)得到一些簡(jiǎn)捷的妙解． 壓軸題多數(shù)要用奇異美、創(chuàng)新美思維解決問題． 這種題更多地要使用逆向思維、極限思維、由特殊到一般思維、猜想證明思維、數(shù)形結(jié)合等思維，或妙用公式定理破解高考難題．
例4（2005重慶）有一個(gè)塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖3所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過39，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是（）
A． 4B． 5C． 6D． 7
圖3
解析本題考查空間想象能力，若直接把每個(gè)正方體的表面積算出，然后相加，運(yùn)算量大，容易出錯(cuò)． 利用空間想象思維，所有正方體上底面在底面的射影恰為一個(gè)最大正方體的一個(gè)底面，現(xiàn)只須考慮各正方體的側(cè)面積和最大正方體的底面積． 從下到上各個(gè)正方體的邊長(zhǎng)依次為a1=2，a2=，a3=1，a4=，a5=，…側(cè)面積依次為b1=16，b2=8，b3=4，b4=2，b5=1，…所以各層塔形的表面積為側(cè)面積之和加8. 這樣可分別求出k層塔形的表面積分別為S1=24，S2=32，S3=36，S4=38，S5=39，所以該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是6層，選C. 本題創(chuàng)造性地利用射影的相關(guān)知識(shí)，給人一種清新、新奇的感覺，它常能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，它突破了常規(guī)思維，將有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力．
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2.5 用數(shù)學(xué)的自然美、自由美思考解答高考數(shù)學(xué)題
人類是自然的一部分，自然美是美之最． 數(shù)學(xué)教育作為一種社會(huì)現(xiàn)象，也就有希望依傍自然，適應(yīng)人的自然性，借助自然的偉大力量去得到美好的現(xiàn)實(shí)． 因而我們的數(shù)學(xué)教育如果依托自然之力，就會(huì)勢(shì)如破竹，左右逢源，當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的許多問題將會(huì)一順百順，進(jìn)而人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會(huì)自然形成． 自由在于根據(jù)對(duì)自然界的必然性的認(rèn)識(shí)來支配我們自己和外部自然界，因此它必然是歷史發(fā)展的產(chǎn)物. 對(duì)高考數(shù)學(xué)解題規(guī)律掌握后，我們就獲得了數(shù)學(xué)解題的自由，這時(shí)就給我們一種海闊憑魚躍，天高任鳥飛的感覺． 對(duì)解高考數(shù)學(xué)題來說，我們也可從不同的角度來理解高考數(shù)學(xué)題，用不同的方法來分析高考數(shù)學(xué)題．
例5 （2004全國(guó)Ⅰ）從1，2，3，4，5中，隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為（）
解析本題是排列組合和概率問題． 但它既不用分類計(jì)數(shù)與分步計(jì)數(shù)原理，又不用排列與組合的知識(shí)，而是回到最原始、最自然的直排方法，達(dá)到解決問題的目的． 按首位為1，2，3，4，5分類，如圖4所示滿足條件的三位數(shù)分別有3，4，5，4，3，共有19種． 所以所求概率為．
例6 （2007重慶）設(shè)b是1-a和1+a的等比中項(xiàng)，則a+3b的最大值為（）
A． 1B． 2C． 3D． 4
解析 本題的背景是等比數(shù)列，但本題可從多角度理解和分析其解題思路. 只要你用能想到的知識(shí)，就都有可能成功. 思考解答本題可使思維自由馳騁，思想得到大解放，掌握不同知識(shí)的人都有機(jī)會(huì)獲得成功． 由題意得a2+3b2=1，本題可從三角知識(shí)出發(fā)思考；從構(gòu)造一元二次方程，利用判別式思考；從平面向量知識(shí)思考；從不等式一章中練習(xí)題結(jié)論思考（柯西不等式）（a1b1+a2b2）2≤（a+a）（b+b）；從導(dǎo)數(shù)的知識(shí)思考． 選B.
2.6用數(shù)學(xué)的含蓄美、蒙朧美發(fā)現(xiàn)高考數(shù)學(xué)題的隱含條件
與文學(xué)藝術(shù)一樣，數(shù)學(xué)也有含蓄美、蒙朧美，這是由數(shù)學(xué)的抽象性決定的. 數(shù)學(xué)概念、公式和定理都有其深刻的幾何意義、數(shù)的意義、生活意義、物理意義等． 在高考數(shù)學(xué)中，我們要善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)背后的深層含義，挖掘隱藏在概念、公式和定理中的本質(zhì)．
例7（2006重慶）已知函數(shù)f（x）=（x2+bx+c）ex，其中b，c∈R為常數(shù).
（1）若b2>4（c－1），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若b2≤4（c－1）且＝4，試證:－6≤b≤2.
解析（1）觀察題目所給出的條件，發(fā)現(xiàn)條件形式與一元二次判別式相近，聯(lián)想一元二次方程根的判別式，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得解．
（2）由于所給出條件是極限形式，而導(dǎo)數(shù)定義就是極限給出的，經(jīng)過聯(lián)想和變形發(fā)現(xiàn)這一條件隱含著的是導(dǎo)數(shù)的知識(shí)． ==f ′（0）=4，即f ′（0）=b+c=4，結(jié)合b2≤4（c－1）得b2+4b－12≤0，解得－6≤b≤2． 在高考考試中，要十分重視一些題中的深層含義，挖掘隱含條件．
2.7用數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美、理性美完備高考數(shù)學(xué)解題過程
嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)的一種獨(dú)特之美，利用數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美、理性美，可以完善解題過程．
例8 （1994全國(guó)）已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），則cotθ的值為．
解析sinθ+cosθ=⇒1+2sinθcosθ=⇒sinθcosθ=－⇒=－，所以
=－⇒cotθ=－或cotθ=－． 本解答初看沒什么問題，但仔細(xì)分析其答案是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤原因就是過程不嚴(yán)謹(jǐn)，沒有挖掘題中隱含條件，合理取舍． 由sinθ+cosθ=，sinθcosθ=－知sinθ，cosθ是方程x2－x－=0的兩根，解方程得x1=，x2=－，因?yàn)?
2.8用數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、非對(duì)稱美理解高考數(shù)學(xué)試題疑難
對(duì)稱是數(shù)學(xué)美的重要特征． 在現(xiàn)實(shí)世界中處處有對(duì)稱性，既有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱和鏡像對(duì)稱的空間對(duì)稱，又有周期律的時(shí)間對(duì)稱，還有與時(shí)空無關(guān)的更為復(fù)雜的對(duì)稱，如宮殿、廟宇、教堂、紀(jì)念塔、城門、劇院常是鏡像對(duì)稱，24小時(shí)的晝夜循環(huán)在時(shí)間上顯現(xiàn)出具有周期性的平移對(duì)稱，函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱． 我們?nèi)绻谒伎几呖碱}時(shí)利用這些對(duì)稱性，常能收到簡(jiǎn)單、奇異的解題效果．
例9 （2005重慶）連接拋物線上任意四點(diǎn)組成的四邊形可能是． （填寫所有正確選項(xiàng)的序號(hào)）
①菱形 ②有三條邊相等的四邊形
③梯形 ④平行四邊形
⑤有一組對(duì)角相等的四邊形
[D][B][C][A]
圖5
解析圓錐曲線是最優(yōu)美的曲線，它們對(duì)稱、統(tǒng)一、簡(jiǎn)明，給人無窮的想象空間． 因菱形既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，平行四邊形是中心對(duì)稱，而拋物線是軸對(duì)稱，所以選項(xiàng)①④不可作，選項(xiàng)②③易作，在拋物線上任找兩點(diǎn)A，B作線段AB的中垂線交拋物線于C，D兩點(diǎn)，則∠DAC=∠DBC，所以⑤可作．
2.9用數(shù)學(xué)的秩序美、順序美找尋解高考數(shù)學(xué)的有效方法
自然數(shù)的順序性是數(shù)學(xué)秩序美的基礎(chǔ)，因?yàn)閿?shù)學(xué)中一切序的規(guī)律都可以同自然數(shù)的子集建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系． 自然數(shù)序列何其簡(jiǎn)單，但在簡(jiǎn)單中卻蘊(yùn)含著征服人心的力量和神韻，自然數(shù)的序關(guān)系使自然數(shù)具有可比性、無限性、后繼性；奇數(shù)與偶數(shù)的交替變化賦予它鮮明的節(jié)奏；各種進(jìn)制表示使它顯示出風(fēng)格各異的周期性．秩序美是眾多數(shù)學(xué)方法的靈魂． 邏輯推理方法及公理推理方法，其本質(zhì)就是順序關(guān)系． 順序性使遞推法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法等數(shù)學(xué)方法在數(shù)學(xué)解題中顯得優(yōu)美、簡(jiǎn)潔而富有成效．
例10（2007四川）已知函數(shù)f（x）=x2－4，設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（xn，f（x））處的切線與x軸的交點(diǎn)為（xn，0）（n∈N*），其中x1為正實(shí)數(shù).
（1）用xn表示xn+1；（2）求證：對(duì)一切正整數(shù)n，xn+1≤xn的充要條件是x1≥2；（3）若x1=4，求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式.
解析本題是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列和不等式的綜合題． 字?jǐn)?shù)寥寥，題意敘述簡(jiǎn)潔明了，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約之美． （1）容易得xn+1=+；（2）本問由于涉及順序問題，結(jié)合（1）的結(jié)論，可用數(shù)學(xué)歸納法和基本不等式證；（3）這一問沒有現(xiàn)成的公式或方法可用，只有對(duì)（1）這一遞推式進(jìn)行探究，摸著石頭過河． 但我們可以一步一步由未知向已知轉(zhuǎn)化．
xn+1=+==－2⇒xn+1+2=.
同理xn+1－2=，所以=
2，令an=⇒an+1=a，由（2）an>0，
關(guān)鍵詞：高考；數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)；備考
實(shí)際上，數(shù)學(xué)高考試題對(duì)于高三數(shù)學(xué)備考就有非常好的導(dǎo)向作用。借助對(duì)以往高考試題進(jìn)行分析，能夠讓教師做出反思，促使在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行修正、調(diào)整、改進(jìn)高三的備考計(jì)劃。
一、研究考試說明，把握備考方向
研究高考考試說明目的在于摸清高考命題的指導(dǎo)思想、需要檢驗(yàn)的知識(shí)點(diǎn)、考卷題目的類型、試題的難易度與比例以及檢驗(yàn)水平的層次要求等。此外，在高考復(fù)習(xí)活動(dòng)中數(shù)學(xué)教師與學(xué)生還應(yīng)該反復(fù)地研究，找準(zhǔn)各個(gè)階段的復(fù)習(xí)目標(biāo)，并隨時(shí)根據(jù)需要調(diào)整備課方向。
目前，高考數(shù)學(xué)試題重點(diǎn)在于考查考生的數(shù)學(xué)能力，也就是說在考查高中生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能及基本方法的前提下科學(xué)地檢測(cè)高中生繼續(xù)深造所需具有的數(shù)學(xué)素質(zhì)。尤其注重對(duì)高中生是否具有接受與揉和數(shù)學(xué)信息的能力、分析和處理數(shù)學(xué)問題的能力、探究能力這三方的能力進(jìn)行考察。在高考備考過程中，應(yīng)該仔細(xì)分析這一系列能力要求的內(nèi)在含義，借助精選題實(shí)施有目的的訓(xùn)練。應(yīng)以考試說明為中心加以復(fù)習(xí)，將精力集中用到所需的地方，從而實(shí)現(xiàn)事半功倍之功效。
二、基本知識(shí)的復(fù)習(xí)要立足于對(duì)概念的深挖掘
在高考試題里邊有很多的題目都是源自于課本內(nèi)容，是一種對(duì)課文例題和習(xí)題的再造與引伸的活動(dòng)，其目的是檢測(cè)考生對(duì)數(shù)學(xué)基本概念及基本公式的了解程度與掌握程度，考查考生的基本功底。譬如，在必修4《向量》這一章中，關(guān)于向量基底的概念，高中生不但應(yīng)理解定理知識(shí)，還應(yīng)該對(duì)概念進(jìn)行深層次挖掘。其定理的內(nèi)容是：若用平面內(nèi)不共線的一對(duì)向量
、作基底，可將該平面內(nèi)的任一個(gè)向量表示出來，即：。就這一概念而言，高中生不但應(yīng)掌握系數(shù)x和y的涵義，還必須知道這一公式在問題解題過程中的運(yùn)用。通常情況，該等式最少都有以下多個(gè)方面的運(yùn)用：①借助向量分解式的唯一性來解答問題。②借助三點(diǎn)共線來解答問題。③借助向量終點(diǎn)的區(qū)域探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，還可以借助點(diǎn)的變化探求向量終點(diǎn)的軌跡等來解決問題。
三、習(xí)題的選擇要關(guān)注知識(shí)點(diǎn)的交叉、整合
正如我們所知，高考試卷中題目有限，但考點(diǎn)甚多，因此高考試題中的很多問題都涉及了幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的揉合，求解的重點(diǎn)在于應(yīng)弄清各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。在處理一些綜合性的問題的時(shí)候應(yīng)該拆作多個(gè)簡(jiǎn)單性的問題，進(jìn)而尋求解題的切入點(diǎn)。以知識(shí)點(diǎn)交匯處而命題的考題也是分為3個(gè)層面來檢驗(yàn)的：檢驗(yàn)基礎(chǔ)知識(shí)理解程度、是否具備數(shù)學(xué)思想與方法以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理問題的水平與能力。以上3個(gè)層面屬于遞進(jìn)式關(guān)系，以數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，把數(shù)學(xué)方法作為核心，將數(shù)學(xué)能力作為檢驗(yàn)的目的。在進(jìn)行復(fù)習(xí)的過程中，就例題的選擇方面應(yīng)該注重下列數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的交叉與整合：①三角函數(shù)和向量；②三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)、積分；③解析幾何和向量；④幾何概型和積分；⑤概率和方程；⑥函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式、積分；⑦函數(shù)、數(shù)列和不等式等。
四、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)
高中數(shù)學(xué)當(dāng)中蘊(yùn)含了極為豐富、多樣的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。關(guān)注對(duì)高中生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的檢驗(yàn)，已經(jīng)是我國(guó)高考數(shù)學(xué)命題一直以來所注重的方向。中學(xué)階段基本性的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，借助各種不同層次與不同形式滲透在高考試題當(dāng)中，通過檢驗(yàn)高考生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的主動(dòng)應(yīng)用，進(jìn)而區(qū)分高考生所具有的數(shù)學(xué)能力。因此，在高考備課的過程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該著重考慮高中階段的這一系列的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用方法以及應(yīng)用過程都具有那些特點(diǎn)與規(guī)律等。譬如，數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合這一思想運(yùn)用較多的地方是在選擇與填空題當(dāng)中；而函數(shù)思想、不等式思想以及方程思想往往會(huì)運(yùn)用于處理不等式恒成立問題之中。此外，分類討論這一思想就近些年來看，其在高考試題中出現(xiàn)的頻率相對(duì)較普遍，所涉及到的試題的范圍也相對(duì)較廣，進(jìn)行分類討論這一思想的檢驗(yàn)，可以很好地增加高考試卷的難度，促使高考試題具有比較明顯的區(qū)分度。譬如，在2010年度的高考試題中，該卷中填空題的壓軸題第12題及全卷的壓軸題第21題之中便運(yùn)用到了分類討論這一數(shù)學(xué)思想。所以，分類討論這一思想在理解和掌握的過程中具有相當(dāng)?shù)碾y度，因而需要進(jìn)行著重訓(xùn)練
在高中這一學(xué)習(xí)階段運(yùn)用的相對(duì)較多的數(shù)學(xué)思想有以下幾種：函數(shù)和方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化和化歸思想、特殊和一般思想、有限和無限思想、必然和或然思想、推理和類比思想。在解題過程中，常用的數(shù)學(xué)方法可以劃分為以下3大類：①代數(shù)學(xué)習(xí)中用到配方法、換元法、待定系數(shù)法、公式法、分離常數(shù)法等；②幾何學(xué)習(xí)中用到平移、對(duì)稱、伸縮、分割、補(bǔ)形等方法；③邏輯推理證明中主要有綜合法、分析法、反證法、放縮法和數(shù)學(xué)歸納法等。
五、結(jié)語
總而言之，在高考數(shù)學(xué)備課的過程中，教師應(yīng)該結(jié)合高考生的實(shí)際，與時(shí)俱進(jìn)，革新教育教學(xué)理念，及時(shí)調(diào)整備課方法。無論老師還是學(xué)生，都不必一味盲目迷信復(fù)習(xí)資料，而應(yīng)該回歸課本，用扎實(shí)的基礎(chǔ)贏得高考的勝利。
參考文獻(xiàn)：
[1] 李志強(qiáng).淺析初中數(shù)學(xué)應(yīng)試策略[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊2011（6）.
[2] 孫金霞.石海峰.淺談高中數(shù)學(xué)考試技巧[J].新課程（教研）2011（11）.
關(guān)鍵詞：構(gòu)造； 輔助數(shù)列； 等差數(shù)列； 等比數(shù)列
數(shù)列的通項(xiàng)公式，揭示了數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并以一個(gè)函數(shù)的形式概括出一般規(guī)律。數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列概念的重點(diǎn)內(nèi)容，依據(jù)一定的條件求數(shù)列的通項(xiàng)公式則是數(shù)列概念的難點(diǎn)。
已知數(shù)列的遞推關(guān)系式求其通項(xiàng)公式，除了采用等差、等比數(shù)列的定義和“歸納―猜想―證明”的思路外，通常還可以考慮對(duì)遞推關(guān)系式進(jìn)行恒等變形、化簡(jiǎn)，構(gòu)造輔助數(shù)列，從而轉(zhuǎn)化成等差、等比數(shù)列或容易求出通項(xiàng)公式的數(shù)列來求解。另外，也可以考慮將遞推關(guān)系式變形，利用疊加法、疊乘法求得。其中，“歸納―猜想―證明”的思路的第三步必須用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。但是，數(shù)學(xué)歸納法在近幾年高考中的考察力度降低，有弱化的趨勢(shì)。而利用等差或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)公式又比較簡(jiǎn)單。因此，由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式，應(yīng)重視后兩種思路。
借助輔助數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，實(shí)際上是通過換元將問題轉(zhuǎn)化成等差、等比數(shù)列或容易求出通項(xiàng)公式的數(shù)列問題，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中非常重要的換元、轉(zhuǎn)化和化歸思想。
下面，我通過幾個(gè)例題來談一下構(gòu)造輔助數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法。希望各位老師批評(píng)指正。
題型一：
遞推關(guān)系式形如 或 （其中p，q是常數(shù)，且 ）的求通項(xiàng)公式問題，當(dāng) 時(shí)，數(shù)列 是等差數(shù)列；當(dāng) 時(shí)，用待定系數(shù)法構(gòu)造以 為公比的等比數(shù)列，將等比數(shù)列的通項(xiàng)公式變形即得所求數(shù)列得通項(xiàng)公式。
例1.已知數(shù)列 滿足 ，且 ，求 .
解：設(shè) ，即 ，
與已知 比較知c=1.
，
數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。
，故 。
點(diǎn)評(píng)：一般地，形如 的遞推公式，當(dāng) 時(shí)，可轉(zhuǎn)化為 .從而構(gòu)造出以 為公比的等比數(shù)列 .
另外，也可將 與 作差，再構(gòu)造出以 為公比的等比數(shù)列，同樣能得出結(jié)果。如以下的解法二：
解法二： ①
②
②-①得：
設(shè) ，則
數(shù)列 是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列。
，即
，整理得： .
例2. 已知數(shù)列 滿足 ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。
解：設(shè) ，則
.
與已知 相比較得 ，故
.
及 ，則 .
數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
，故 .
例3.設(shè)數(shù)列 滿足 ，求 .
解：設(shè) 則 將 代入遞推式 ，
取 ①
則 ，又 ，故 代入①得： .
說明：若 二次式，則可設(shè) .
題型二：遞推關(guān)系式為 （p，q均為常數(shù)， ）可先在原遞推關(guān)系式兩邊同除以 ，得： ，構(gòu)造輔助數(shù)列（其中 ），得： ，再應(yīng)用題型一的方法解決。
例4. 已知數(shù)列 中， ，求 .
解：在 兩邊乘以 得：
，
令 ，則 ，
應(yīng)用例1解法得： ，
所以
點(diǎn)評(píng)：求解該題型的問題，也可以考慮直接用待定系數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列。
題型三：遞推關(guān)系式為 （其中p，q是不為0的常數(shù)），則用倒數(shù)法將遞推關(guān)系式變形，再構(gòu)造等差或等比數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式。
例5.數(shù)列 中，若 ， ，求 .
解： ，
，
即數(shù)列 是以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列，
，即 。
例6.在數(shù)列 中，若 ， ，求 .
解： ，
，
令 ，則 ，
利用題型一的方法知， ，則
點(diǎn)評(píng)：該題型的問題中，注意分式的分子比分母簡(jiǎn)單，所以考慮等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，再用通分的逆運(yùn)算整理等式，最后構(gòu)造輔助數(shù)列即可。
題型四：遞推關(guān)系式為 （其中p，r為常數(shù)，且 ），用對(duì)數(shù)法構(gòu)造等差、等比數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式。
例7.在數(shù)列 中，若 ， ，求 .
解： ，
，
對(duì) 兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)得
，
數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
，即 。
點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算律，巧妙的將次數(shù)轉(zhuǎn)化為系數(shù)。
題型五：遞推關(guān)系式由 與 的關(guān)系給出，可利用 構(gòu)造等差或等比數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式
例8.已知數(shù)列 的前n項(xiàng)的和為 ，且滿足
，又 ，求 .
解： 時(shí)，有 ，
由 ，得
即 ，亦即 ，
數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
，則
故當(dāng) 時(shí)，
顯然上式對(duì) 時(shí)不成立，則
點(diǎn)評(píng)：該例題中，先構(gòu)造出等差數(shù)列 ，再通過前 項(xiàng)和 求出通項(xiàng) 。
著名數(shù)學(xué)家、教育家波利亞有句名言：“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。”數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要通過解答問題來培養(yǎng)學(xué)生思維能力、運(yùn)算能力和空間想象能力，以逐漸形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來分析問題和解決問題的能力。另外，還要注意培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、記憶能力和理解能力等等。已知數(shù)列的遞推公式求其通項(xiàng)公式，應(yīng)用到的方法非常多。在具體問題中，我們要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體問題中已知的遞推公式形式、特點(diǎn)等進(jìn)行認(rèn)真分析，然后選擇合理的變形，巧妙地構(gòu)造輔助數(shù)列，往往能收到意想不到的效果。
參考文獻(xiàn)
[1] 唐國(guó)慶等.高中數(shù)學(xué)巧思精解專題訓(xùn)練[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，1999.
[2] 單文海.中學(xué)數(shù)學(xué)解題思想方法技巧[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2006.
[3] 劉增利等.高中數(shù)學(xué)教材知識(shí)資料包[M].北京：北京教育出版社，2007.
[4] 陳樹禮.數(shù)列通項(xiàng)公式的三種求法[N].考試報(bào)高考數(shù)學(xué)，2006-2007.
【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué);復(fù)習(xí)策略
隨著科技的高速發(fā)展，現(xiàn)代的教學(xué)技術(shù)有了很大的提高，有了多媒體、交互式電子白板等輔助教學(xué)工具，但我們的學(xué)生也有了學(xué)習(xí)機(jī)這樣的好東西.現(xiàn)代的學(xué)生，依賴性很強(qiáng)，曾有這樣一名學(xué)生，提了這樣一個(gè)問題：老師，恒成立問題f（x）≤bx-2是求f（x）min≤bx-2還是求[f（x）-bx]min≤-2？我當(dāng)時(shí)只有一種感覺：他們的心是空的.我們經(jīng)過了一年的高考復(fù)習(xí)，難道培養(yǎng)出來的學(xué)生像“空心磚”？為什么？我們?cè)趺醋霾趴梢园堰@塊“磚”填滿呢？為此，我談一談我的看法：
一、熟悉基礎(chǔ)
數(shù)學(xué)不同于其他學(xué)科，尤其是高中數(shù)學(xué)，知識(shí)豐富，要求理解的東西很多.我們常說“熟能生巧”，其實(shí)，不熟如何能生巧，不生巧怎么能算熟.不會(huì)做就表示不理解，不理解怎么會(huì)做？高中學(xué)生有一個(gè)通病：上課聽懂了，下課不會(huì)做，過兩天就忘了，更不會(huì)做了.在學(xué)生心中，覺得自己通過高一、高二的學(xué)習(xí)已經(jīng)熟悉了基礎(chǔ)知識(shí)，但實(shí)際上不是，我們所謂的熟悉，和學(xué)生心中的熟悉是不同層次的兩種：學(xué)生所謂的熟悉在我們這里僅限于“了解”，知道有這么回事，但具體是什么，說不出來，更不要說做了;而我們所謂的熟悉是“理解”，能夠?qū)W以致用.這需要高一、高二扎實(shí)的功底.所以，我們一般用一學(xué)期的時(shí)間進(jìn)行第一輪復(fù)習(xí)：從整體上把握知識(shí)，熟悉知識(shí).
二、深入基礎(chǔ)
通過第一輪細(xì)致、透徹的復(fù)習(xí)，學(xué)生才真正發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)的知識(shí)雖然多，也是有脈絡(luò)的.但在復(fù)習(xí)過程中，受學(xué)生基礎(chǔ)、教學(xué)進(jìn)度等多方面的影響，一輪復(fù)習(xí)很難達(dá)到我們期待的效果，從而我們進(jìn)入第二輪復(fù)習(xí).因?yàn)榈谝惠喌奶厥猬F(xiàn)象，第二輪的時(shí)間就變得很有限.我們?nèi)绾卧谟邢薜臅r(shí)間（20天左右），更好的完成第二輪的復(fù)習(xí)，這是很關(guān)鍵的，可以概括為六個(gè)字：精、少，有針對(duì)性.
眾所周知，數(shù)學(xué)高考題的模式至今基本未變，新課標(biāo)全國(guó)卷是有5個(gè)解答題必做，然后是三選一.在各個(gè)地方都會(huì)在3月初舉行第一次大型的摸底考試，之后就進(jìn)入第二輪復(fù)習(xí)，但第二輪復(fù)習(xí)的資料一般很難完成，其實(shí)，我們可以針對(duì)考試題型和知識(shí)，設(shè)計(jì)9個(gè)專題，前6個(gè)專題：三角函數(shù)、數(shù)列、概率與統(tǒng)計(jì)、立體幾何、解析幾何、帶參函數(shù)單調(diào)性為必講內(nèi)容，后三個(gè)專題：幾何證明選講、參數(shù)方程及其應(yīng)用、絕對(duì)值不等式根據(jù)需要選擇.在專題復(fù)習(xí)時(shí)，采用“問題”鏈?zhǔn)皆O(shè)計(jì)，將某一專題知識(shí)的常考點(diǎn)融入一題或多題.例如：一個(gè)線性規(guī)劃問題，我們可以給出一個(gè)不等式組，提出與距離、斜率、積分等有關(guān)的多個(gè)問題，使學(xué)生能更加透徹的明白與線性規(guī)劃問題有關(guān)的題目是什么樣子，或者說線性規(guī)劃解題的方法能夠滲透到哪些方面.將這9個(gè)專題作為課堂復(fù)習(xí)的主線，然后配備綜合的限時(shí)訓(xùn)練，以強(qiáng)調(diào)配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合、特殊于一般、類比于歸納、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論等作為限時(shí)訓(xùn)練的依據(jù).即是讓每個(gè)限時(shí)訓(xùn)練能夠覆蓋所有知識(shí)點(diǎn).這樣，既能夠完成專題復(fù)習(xí)，又能夠?qū)崿F(xiàn)綜合訓(xùn)練，而且綜合類限時(shí)訓(xùn)練相對(duì)于專題性的限時(shí)訓(xùn)練要來的簡(jiǎn)單、基礎(chǔ)，覆蓋面廣，有助于學(xué)生及時(shí)檢測(cè)自己遺忘的知識(shí).如果我們把數(shù)學(xué)比喻成一棵“樹”，這6個(gè)專題就像從這棵“樹”的樹干長(zhǎng)出來的6個(gè)主要“枝椏”，其他的知識(shí)就是相應(yīng)“枝椏”上的“小枝椏”或者“樹葉”，這樣，我們的每名學(xué)生的心中都可以培養(yǎng)出一棵“參天大樹”.
三、整合基礎(chǔ)
經(jīng)過緊張有序的總復(fù)習(xí)，一般認(rèn)為，結(jié)果已成定局.但，我們也清楚，高考數(shù)學(xué)也講究應(yīng)試技巧.當(dāng)然，要取得好的成績(jī)，也需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，熟練的基本技能和長(zhǎng)年累月的刻苦專研中培養(yǎng)起來的數(shù)學(xué)能力.從進(jìn)入高三，到第二輪復(fù)習(xí)結(jié)束，很快就進(jìn)入第二次統(tǒng)一模擬考試，我們可以把第二次模擬考試前的1周或2周納入第三輪復(fù)習(xí).我們知道，第二輪復(fù)習(xí)結(jié)束，未經(jīng)過綜合訓(xùn)練的學(xué)生與經(jīng)歷了綜合訓(xùn)練的學(xué)生，在第二次模擬考試中的結(jié)果是不同的.他們的知識(shí)雖然經(jīng)歷了兩輪復(fù)習(xí)，但始終是零散的.所以，我們有必要在第二次統(tǒng)一模擬考試之前，進(jìn)行必要的綜合訓(xùn)練.第三輪復(fù)習(xí)，一般就是以綜合測(cè)試為主，通過試卷講評(píng)，讓學(xué)生暴露弱點(diǎn)，突破難點(diǎn)，使原有知識(shí)得到再一次提升.
在整個(gè)復(fù)習(xí)過程中，把那些零碎的、散亂的知識(shí)串聯(lián)起來，并將它系統(tǒng)化、綜合化.在此期間，學(xué)生的身心壓力很大，為了能夠使學(xué)生在有效的時(shí)間內(nèi)掌握更多的知識(shí)，教師需要轉(zhuǎn)變以往的題海戰(zhàn)術(shù)，做到精講精練，張弛有度.高三的這三輪復(fù)習(xí)，起到了循序漸進(jìn)的作用，如果跳過某一輪復(fù)習(xí)，很容易出現(xiàn)“高原反應(yīng)”，以致厭倦，如同“空心磚”，一無所知.
隨著課程改革的全面推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)內(nèi)容繁重，呆板，給學(xué)生的感覺是實(shí)用性不強(qiáng)，沒有興趣，這對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教師的要求也就提高了.怎么樣能夠讓學(xué)生體會(huì)、明白，其實(shí)數(shù)學(xué)無處不在，我們每天都在接觸數(shù)學(xué)，甚至是應(yīng)用數(shù)學(xué)，不僅僅是買菜、賣菜這么簡(jiǎn)單，這需要我們數(shù)學(xué)老師的生活積累，不斷的觀察和學(xué)習(xí).如今的課程改革，再到接下來的高考改革，無疑是對(duì)教師的一種新考驗(yàn).
【參考文獻(xiàn)】
[1]宋海永，嚴(yán)東泰，陸靜芬.試卷講評(píng) 注意四性[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（12）上：40―42.
[2]陳英凱.回歸課本是高考復(fù)習(xí)的有效措施[J].數(shù)學(xué)通訊，2014（5、6）上：78―81.
【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué)；數(shù)列復(fù)習(xí)；思想方法；有效策略
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。近幾年來，主要有以下三個(gè)方面的命題：（1）數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí)，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式。（2）數(shù)列與其他知識(shí)的交匯結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。（3）數(shù)列的應(yīng)用問題，其中主要是以增長(zhǎng)率問題為主。試題的難度有三個(gè)層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。那么對(duì)于高三課堂，如何才能在不增加學(xué)生負(fù)擔(dān)的前提下，更有效地復(fù)習(xí)好數(shù)列呢？
一、緊扣課本，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)
對(duì)于一名高三教師，應(yīng)該認(rèn)真學(xué)習(xí)研究《新課程標(biāo)準(zhǔn)》與《考試說明》，明確數(shù)列的考查要求，突出兩種基本數(shù)列（等差、等比數(shù)列）的復(fù)習(xí)，從歷年數(shù)列考題可以看出，多數(shù)問題解決最終均化歸為等差或等比數(shù)列求解。在復(fù)習(xí)中，我們教師要注意難度的把握，等差、等比數(shù)列的基本量計(jì)算是個(gè)常考點(diǎn)，常涉及“知三求二”題型，對(duì)于該題型的訓(xùn)練我們要強(qiáng)化，使學(xué)生熟練掌握，又要適度，不要人為做那些太難、太繁題目，這樣不僅增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且還淡化了數(shù)學(xué)本質(zhì)；同時(shí)還應(yīng)適當(dāng)關(guān)注等差、等比數(shù)列的性質(zhì)在化簡(jiǎn)運(yùn)算方面的作用；等差、等比數(shù)列的判定（定義法，中項(xiàng)公式法等）以及數(shù)列求和也是高考的另外兩個(gè)常考點(diǎn)，我們應(yīng)通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)訓(xùn)練來加深學(xué)生對(duì)數(shù)列求和方法（公式法、分組求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序相加法等）的正確運(yùn)用，并注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注易漏、易錯(cuò)、易混點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)真、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，避免不必要的失分。例如，（2012高考重慶理1）在等差數(shù)列{an}中，a2=1，a4=5，則{an}的前5項(xiàng)和S5=（ ），本題可采用基本量法，也可利用數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)解決問題。
二、把握基本思想，提高解題能力
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它與數(shù)、式、函數(shù)、方程、不等式等有著密切的練習(xí)，在數(shù)列綜合問題中涉及很多數(shù)學(xué)思想方法，如函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、遞推思想與數(shù)學(xué)歸納思想等。在復(fù)習(xí)中若能靈活應(yīng)用這些數(shù)學(xué)思想方法，將會(huì)取得事半功倍的效果。
（1）函數(shù)思想。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成是n的一次函數(shù)，而其求和公式可以看成是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)，而等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，則要弄清它與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，因此許多數(shù)列問題可以用函數(shù)方程的思想進(jìn)行分析，加以解決。例如，設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12，S12>0，S13
（2）方程思想。數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式緊密地聯(lián)系著五個(gè)基本量a1，n，d（q），an，sn，“知三求二”是一類最基本的運(yùn)算，根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式構(gòu)建方程或方程組求解，方程思想貫穿于數(shù)列學(xué)習(xí)和解題的始終。例如，已知等差數(shù)列{an}的公差是正數(shù)a3a7=-12，a4+a6=-4，求前n項(xiàng)的和sn。此題利用了a3+a7=a4+a6這一性質(zhì)構(gòu)造了二次方程巧妙的解出了a3=-6，a7=2，再利用方程求得了首項(xiàng)與公差的值，從而使問題得到解決，由此可知在數(shù)列解題時(shí)往往可借助方程的思想與an+am=ap+aq（或an?am=ap?aq）找出解題的捷徑。
（3）分類討論思想。數(shù)列中滲透分類討論的思想。在運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí)，若公比q沒有明確給出，需要分q=1和q≠1討論；在數(shù)列求和中有時(shí)需要進(jìn)行奇偶分析討論；有些數(shù)列的通項(xiàng)公式是分段表示，解題過程需要討論；在數(shù)列解題中有時(shí)根據(jù)過程需要進(jìn)行討論。
（4）遞推思想與數(shù)學(xué)歸納思想。遞推是數(shù)列的本質(zhì)性的內(nèi)涵，是數(shù)列的一大特色。數(shù)列中涉及n，an，sn之間的關(guān)系問題，常采用遞推思想來解決，其中主要使用公式法、累加法、累乘法、迭代法、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法等思想方法。例如，設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）a-na+an+1?an=0（n=1，2，3…），求通項(xiàng)an。對(duì)于此題，通過化簡(jiǎn)已知等式，得到（n+1）an+1-nan=0，然后利用累乘法或累加法都可以解決問題，對(duì)于一些有些不易直接化成等差或等比的數(shù)列，經(jīng)推理可以尋求特殊關(guān)系的，可以把它轉(zhuǎn)化為可求通項(xiàng)的特殊數(shù)列再求解。
三、關(guān)注交匯內(nèi)容，做好融會(huì)貫通
數(shù)列除了考查本身知識(shí)內(nèi)容，還常與程序框圖、對(duì)數(shù)、三角結(jié)合、一般函數(shù)、不等式等知識(shí)相結(jié)合進(jìn)行交匯考查。
例如，在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令an=lgTn，n≥1
①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②設(shè)bn=tanan?tanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。
【關(guān)鍵詞】分析問題；解決問題；能力
分析和解決問題是邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力等基本數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)。縱觀近幾年的高考，學(xué)生在這一方面失分的普遍存在，這就要求我們教師在平時(shí)教學(xué)中注重分析和解決問題能力的培養(yǎng)，以減少在這一方面的失分。本文就分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)談幾點(diǎn)看法。
1. 分析和解決問題能力的組成
1.1 立足新教材，注意挖掘教材的內(nèi)涵。
我們認(rèn)為，新教材更加注重學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律及學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。新知識(shí)的引入借助實(shí)例，不僅有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，更能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，集中學(xué)生的注意力，提高課堂效率。教師應(yīng)在吃透教材的基礎(chǔ)上，精心選擇出課本中的典型題目，并努力創(chuàng)設(shè)出問題解決的各種情境，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與到問題解決活動(dòng)的過程中，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、猜想、探索、驗(yàn)證等思維活動(dòng)過程中受到不同層次的思維訓(xùn)練。要善于從日常的教學(xué)中教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，培養(yǎng)他們的能力，這就是新教材“新”的地方。
1.2 合理應(yīng)用知識(shí)、思想、方法解決問題的能力。
高中數(shù)學(xué)知識(shí)包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容；數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類與討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化等；數(shù)學(xué)方法包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、配方法等基本方法．只有理解和掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)、思想、方法，才能解決高中數(shù)學(xué)中的一些基本問題，而合理選擇和應(yīng)用知識(shí)、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢。
1.3 數(shù)學(xué)建模能力。
近幾年來，在高考數(shù)學(xué)試卷中，都有幾道實(shí)際應(yīng)用問題，這給學(xué)生的分析和解決問題的能力提出了挑戰(zhàn)。而數(shù)學(xué)建模能力是解決實(shí)際應(yīng)用問題的重要途徑和核心。因此，建模能力是分析和解決問題能力不可或缺的一個(gè)組成部分。
2. 培養(yǎng)和提高分析和解決問題能力的策略
2.1 重視通性通法教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生概括、領(lǐng)悟常見的數(shù)學(xué)思想與方法。
數(shù)學(xué)思想較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，有更高的層次和地位。它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，它是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決。只有對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法概括了，才能在分析和解決問題時(shí)得心應(yīng)手；只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想與方法，書本的、別人的知識(shí)技巧才會(huì)變成自已的能力。
每一種數(shù)學(xué)思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論，如分類討論思想可以分成：（1）由于概念本身需要分類的，象等比數(shù)列的求和公式中對(duì)公比的分類和直線方程中對(duì)斜率的分類等；（2）同解變形中需要分類的，如含參問題中對(duì)參數(shù)的討論、解不等式組中解集的討論等。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)重視通性通法，淡化特殊技巧，使學(xué)生認(rèn)識(shí)一種“思想”或“方法”的個(gè)性，即認(rèn)識(shí)一種數(shù)學(xué)思想或方法對(duì)于解決什么樣的問題有效。從而培養(yǎng)和提高學(xué)生合理、正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法分析和解決問題的能力。
2.2 加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué)，提高學(xué)生的模式識(shí)別能力。
高考是注重能力的考試，特別是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問題和解決問題的能力，更是考查的重點(diǎn)，而高考中的應(yīng)用題就著重考查這方面的能力。數(shù)學(xué)是充滿模式的，就解應(yīng)用題而言，對(duì)其數(shù)學(xué)模式的識(shí)別是解決它的前提．在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要重視應(yīng)用題的教學(xué)，同時(shí)要對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行專題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型，這樣學(xué)生才能有的放矢，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法分析和解決實(shí)際問題。
2.3 適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學(xué)生的知識(shí)面。
要分析和解決問題，必先理解題意，才能進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題。近年來，隨著新技術(shù)革命的飛速發(fā)展，要求數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出更高數(shù)學(xué)素質(zhì)、具有更強(qiáng)的創(chuàng)造能力的人才，這一點(diǎn)體現(xiàn)在高考上就是一些新背景題、開放題的出現(xiàn)，更加注重了能力的考查。由于開放題的特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結(jié)論，而新背景題的背景新，這樣給學(xué)生在題意的理解和解題方法的選擇上制造了不少的麻煩,導(dǎo)致失分率較高。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學(xué)生的知識(shí)面是提高學(xué)生分析和解決問題能力的必要的補(bǔ)充。
2.4 重視解題的回顧。
在數(shù)學(xué)解題過程中，解決問題以后，再回過頭來對(duì)自己的解題活動(dòng)加以回顧與探討、分析與研究，是非常必要的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。這是數(shù)學(xué)解題過程的最后階段，也是對(duì)提高學(xué)生分析和解決問題能力最有意義的階段。
一、試題特點(diǎn)
1.著眼教材,注重基礎(chǔ),考查靈活
“注重試題的基礎(chǔ)性、綜合性和層次性”,“從學(xué)科整體意義和思想含義上立意,注重通性通法,淡化特殊技巧”——這是《2012年湖北高考數(shù)學(xué)科考試說明》的要求.在這一導(dǎo)向下,2012年湖北高考數(shù)學(xué)理科卷有相當(dāng)一部分試題對(duì)基本概念、定理、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和通性通法進(jìn)行了多角度、多層次的考查,如:1~7題都是直接對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行考查的中低檔試題,試題設(shè)計(jì)靈活,對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查呈現(xiàn)多角度性.第1題,沒有按常規(guī)方法給出式子來考查復(fù)數(shù)運(yùn)算,而是以求實(shí)系數(shù)的一元二次方程的復(fù)根形式呈現(xiàn)來考查復(fù)數(shù)概念及運(yùn)算;第2、3、5題直接考查基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用;第6題則是考查取等條件,注重對(duì)細(xì)節(jié)的考查;第7題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、冪的運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算,但是試題是以“保等比數(shù)列函數(shù)”這個(gè)新定義為背景的.
很多試題在教材中可以找到原型,如第13題回文數(shù)取材于必修3第51頁(yè)的B組第3題;21(I)就是以選修2—1中第41頁(yè)中的例2和第50頁(yè)B組第1題為背景改編而成的,考查了相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程以及分類討論的思想.整套試卷無偏題、怪題,包括壓軸題22(III)“利用數(shù)學(xué)歸納法證明推廣了的命題”這一問,解答中最關(guān)鍵一步——變形技巧,其能力要求雖然很高,但我們?cè)谶x修4—5的第52頁(yè)的例4中也還可以看到影子.
2.考查全面,重點(diǎn)突出
全卷涵蓋了《考試說明》列出的全部知識(shí)板塊,涉及到的知識(shí)點(diǎn)達(dá)60余個(gè),覆蓋率高.
新課標(biāo)相比以前的大綱版在教學(xué)內(nèi)容上新增了很多內(nèi)容(如算法、微積分、三視圖、條件概率、合情推理,不等式選講,幾何證明選講,坐標(biāo)系與參數(shù)方程等),這些內(nèi)容很好地展示了對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行深入探究的思想方法、提供了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新工具,也豐富、開拓了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.今年的高考對(duì)大部分的新增考點(diǎn)都進(jìn)行了考查,在整個(gè)試題中占了很大的比例,考查難度適中,符合《考試說明》的要求.
從下頁(yè)表可以看出考點(diǎn)分布廣泛.今年的試題在考查全面的同時(shí),又突出對(duì)支撐整個(gè)數(shù)學(xué)體系的主干知識(shí)(函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、數(shù)列、概率統(tǒng)計(jì)、立體幾何、解析幾何等)的考查.如考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的題目有:3、9、22題;考查三角的題目有:11、17題;考查數(shù)列的題目有7、18題;考查概率統(tǒng)計(jì)的題目有:8、20題;考查解析幾何的題目有14、21題;考查立體幾何的有4、19題.總分值多達(dá)一百多分,保持了比較高的分值權(quán)重.
3.注重本質(zhì),考查思想方法和能力
整個(gè)試卷在考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的前提下,突出試題的能力立意,注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)、思想方法、能力的考查.如第1題直接考查復(fù)數(shù)的概念,第7、13題直接考查對(duì)新定義的理解,突出對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和理性思維的考查.第15題和17題考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想;第18題和第21題考查了分類討論的思想;函數(shù)與方程的思想在第9、17、18、19題中得到體現(xiàn);對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查更是貫穿整個(gè)試卷的始終,第2、4、14、15、19題都涉及到數(shù)形結(jié)合的思想.
整個(gè)試卷重視圖形語言和幾何直觀,其中第4題直接考查根據(jù)圖形想象直觀形象的能力;第14題雖然是解析幾何的題目但是平面幾何的味道很濃,完全可以不用解析法做出來; 第15、19題是在動(dòng)態(tài)的幾何過程中設(shè)置問題.
第8題也是一個(gè)考查對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合,區(qū)分有效的好題.一般解法是用比較常規(guī)的方法求兩個(gè)圓公共部分的面積的一半——弓形的面積,從而求出非陰影部分的面積,再用對(duì)立事件的概率求解,這種解法對(duì)思維能力的要求不是很大,但是計(jì)算量略大.如果考生的圖形分析能力較強(qiáng),想到對(duì)陰影部分的割補(bǔ)構(gòu)造規(guī)則圖形求解,則計(jì)算量大為減小.
第21題第2問的兩種解法,也體現(xiàn)出對(duì)考生的圖形處理能力、計(jì)算能力和邏輯推理能力的考查.其中解法一:直接計(jì)算,用k,m,x1來表示向量PQ,PH,最后轉(zhuǎn)化成■=0對(duì)任意的k,x1>0恒成立m有沒有解的問題.考查計(jì)算能力,邏輯推理能力,轉(zhuǎn)化能力,同時(shí)還利用點(diǎn)在直線上的特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)設(shè)點(diǎn)時(shí)減少變量的技巧.而解法二:拋開直線的斜率為k這個(gè)干擾量,采用設(shè)而不求的方法給出P,Q,H,N的坐標(biāo),直接列出兩個(gè)變量x2,y2的關(guān)系,根據(jù)式子特點(diǎn)計(jì)算得
kPQ·kPH=■·■=■·■=-■,而PQPH等價(jià)于kPQ·kPH=-1,即-■=-1,又m>0,得m=■.解法二的計(jì)算量比解法一要少,但對(duì)考生的能力要求如挖掘信息的能力、目標(biāo)意識(shí)、數(shù)據(jù)觀察處理能力都比解法一要高.
第22題為壓軸題,入手容易.該題求證層層鋪墊,難度層層遞進(jìn),知識(shí)的綜合性強(qiáng)并且能力要求高,對(duì)考生推理能力,類比能力及思維的靈活性、創(chuàng)造性提出了很高要求,需要考生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)分析能力.
4.在試題構(gòu)成上有創(chuàng)新
相比于湖北前幾年大綱版的高考,今年的高考理科數(shù)學(xué)增設(shè)了選考內(nèi)容,填空題由5個(gè)必考題變成了4個(gè)必考題和2個(gè)選考題.選考題難度相當(dāng),考生兩選一做解答.這種題型的引入,一定程度上擴(kuò)大了試題的容量,也為不同偏好的學(xué)生提供了不同的答題選擇,便于考生展示自己的最好水平.
與其他很多新課標(biāo)省份將不等式選講設(shè)為選考內(nèi)容不同,湖北根據(jù)自己的實(shí)際教育情況將不等式選講歸為必考內(nèi)容,這樣更便于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式知識(shí)的融合,在各板塊交匯處設(shè)置試題,尊重了學(xué)科知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系.
二、對(duì)高三復(fù)習(xí)的啟示和建議
1.落實(shí)“雙基”,形成系統(tǒng)的知識(shí)體系
一、分析和解決問題能力的組成
1、審題能力
審題是對(duì)條件和問題進(jìn)行全面認(rèn)識(shí)，對(duì)與條件和問題有關(guān)的全部情況進(jìn)行分析研究，它是如何分析和解決問題的前提。審題能力主要是指充分理解題意，把握住題目本質(zhì)的能力；分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化已知和所求的能力。要快捷、準(zhǔn)確在解決問題，掌握題目的數(shù)形特點(diǎn)、能對(duì)條件或所求進(jìn)行轉(zhuǎn)化和發(fā)現(xiàn)隱含條件是至關(guān)重要的。
2、合理應(yīng)用知識(shí)、思想、方法解決問題的能力
高中數(shù)學(xué)知識(shí)包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容；數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類與討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化等；數(shù)學(xué)方法包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、配方法等基本方法。只有理解和掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)、思想、方法，才能解決高中數(shù)學(xué)中的一些基本問題，而合理選擇和應(yīng)用知識(shí)、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢。
3、數(shù)學(xué)建模能力
近幾年來，在高考數(shù)學(xué)試卷中，都有幾道實(shí)際應(yīng)用問題，這給學(xué)生的分析和解決問題的能力提出了挑戰(zhàn)。而數(shù)學(xué)建模能力是解決實(shí)際應(yīng)用問題的重要途徑和核心。
在該題的解答中，學(xué)生若沒有一定的數(shù)學(xué)建模能力，正確解決此題實(shí)屬不易。因此，建模能力是分析和解決問題能力不可或缺的一個(gè)組成部分。
二、培養(yǎng)和提高分析和解決問題能力的策略
1、重視通性通法教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生概括、領(lǐng)悟常見的數(shù)學(xué)思想與方法
數(shù)學(xué)思想較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，有更高的層次和地位。它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，它是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段。只有對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法概括了，才能在分析和解決問題時(shí)得心應(yīng)手；只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想與方法，書本的、別人的知識(shí)技巧才會(huì)變成自已的能力。
每一種數(shù)學(xué)思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論，如分類討論思想可以分成：（1）由于概念本身需要分類的，象等比數(shù)列的求和公式中對(duì)公比的分類和直線方程中對(duì)斜率的分類等；（2）同解變形中需要分類的，如含參問題中對(duì)參數(shù)的討論、解不等式組中解集的討論等。又如數(shù)學(xué)方法的選擇，二次函數(shù)問題常用配方法，含參問題常用待定系數(shù)法等。
2、加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué)，提高學(xué)生的模式識(shí)別能力
數(shù)學(xué)是充滿模式的，就解應(yīng)用題而言，對(duì)其數(shù)學(xué)模式的識(shí)別是解決它的前提。由于高考考查的都不是原始的實(shí)際問題，命題者對(duì)生產(chǎn)、生活中的原始問題的設(shè)計(jì)加工使每個(gè)應(yīng)用題都有其數(shù)學(xué)模型。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要重視應(yīng)用題的教學(xué)，同時(shí)要對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行專題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型，這樣學(xué)生才能有的放矢，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法分析和解決實(shí)際問題。
3、適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學(xué)生的知識(shí)面
要分析和解決問題，必先理解題意，才能進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題。近年來，隨著新技術(shù)革命的飛速發(fā)展，要求數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出更高數(shù)學(xué)素質(zhì)、具有更強(qiáng)的創(chuàng)造能力的人才，這一點(diǎn)體現(xiàn)在高考上就是一些新背景題、開放題的出現(xiàn)，更加注重了能力的考查。由于開放題的特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結(jié)論，而新背景題的背景新，這樣給學(xué)生在題意的理解和解題方法的選擇上制造了不少的麻煩，導(dǎo)致失分率較高。
4、重視解題的回顧
