時間：2022-03-02 13:50:17
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇高中函數，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
【關鍵詞】高中數學；冪函數；指數函數；對數函數；課程標準；國際比較
1研究問題
冪函數、指數函數、對數函數是三類重要的基本初等函數，因此也是高中數學課程中的基礎內容之一.近年來，我們對中國、澳大利亞、芬蘭及法國、美國、英國等國家數學課程標準、教科書進行了量化比較研究[1-3].本文是這一系列研究的一部分，主要針對高中數學課程標準中的冪函數、指數函數和對數函數內容，以課程標準中的內容主題及認知要求為切入點，對澳大利亞、加拿大、芬蘭、法國、德國、日本、韓國、荷蘭、南非、英國、美國、中國這十二個國家高中階段的數學課程標準進行比較分析.具體來說，本文主要研究以下問題：各個國家冪函數、指數函數、對數函數內容的廣度和深度分別是多少，有何特征？這些國家是如何對冪函數、指數函數、對數函數的內容進行設置的？1.1研究對象與方法
研究國家和數學課程標準版本的選取
本文主要選擇了五大洲以下12個國家的數學課程標準作為研究對象，具體國別分別是：（亞洲）中國、日本、韓國；（歐洲）法國、芬蘭、英國、德國、荷蘭；（美洲）美國、加拿大；（非洲）南非；（大洋洲）澳大利亞.這12個國家來自不同的洲，擁有著不同的人文背景和社會環境，經濟發達程度也不盡相同，可以很好地展示不同國家數學課程標準的共性與差異.所選取的高中數學課程標準文本材料主要來源于曹一鳴、代欽、王光明教授主編的《十三國數學課程標準評介（高中卷）》[4]，選擇國際比較樣本的主要依據是大部分高中生升學時所必須要求的內容，其別關注理科、工程類學生.具體所選擇的版本如下：
1.2研究工具及方法
本文采用定量分析和定性分析相結合的方法，具體的研究方法有定性分析中的個案研究法和比較研究法，以及定量分析中的統計分析法.按照課程論學者泰勒的思想，主要從“內容主題”和“認知要求”兩個方面進行研究.
（一）廣度
課程廣度是指課程內容所涉及的領域和范圍的廣泛程度.為了便于統計結果，本文利用下面的公式計算課程標準的廣度.
G=aimax{ai}
，其中ai表示各個國家的知識點數量總和，即廣度值，max{ai}表示所有國家的課程標準廣度值中的最大值.
廣度的統計涉及到對知識點的界定，由于我國對冪函數、指數函數、對數函數知識點的處理比較系統和詳細，本文以我國高中數學課標中冪函數、指數函數、對數函數內容為主，并結合其他國家數學課程標準中的冪函數、指數函數、對數函數內容，逐步形成完善的知識點框架，并統計各個知識點的平均深度值.
（二）深度
課程深度泛指課程內容所需要達到的思維深度.我國課標對知識與技能所涉及的行為動詞水平分為了解、理解和掌握三個層次，并詳細說明了各個層次對應的行為動詞.很多國家的課標并未對教學內容的具體要求上做出明確的劃分層次.綜合我國對教學內容要求層次的劃分方式，并參考新修訂的布盧姆教育目標分類學[11]，本文提出認知要求維度的分類為：A.了解；B.理解；C.掌握；D.靈活運用.將每個知識點的深度由低到高分為四個認知要求層次：了解、理解、掌握、靈活運用，并規定水平權重分別為 1、2、3、4.然后，利用下面的公式計算課程標準的深度.
S=∑4i=1nidin∑4i=1ni=n；i=1，2，3，4
其中，di=l，2，3，4 依次表示為“了解”、“理解”、“掌握”和“靈活應用”這四個認知要求層次；ni表示儆詰di個深度水平的知識點數，ni的總和等于該課程標準所包含的知識點數總和n，從而得出課程標準的深度.
3高中課標中函數內容比較研究結果
3.1冪函數內容的廣度、深度比較結果
3.3對數函數內容的廣度、深度比較結果
中國、澳大利亞、日本、韓國和荷蘭在對數函數的廣度統計中排名靠前.這些國家課標都提及對數的概念及運算，對數函數的概念、圖象、性質，反函數的概念.另外，中國還要求反函數的定義域、值域、圖象以及對數函數的應用，而澳大利亞、日本、韓國、荷蘭對反函數的定義域和值域不作要求.法國、南非處于中間層次.這兩個課標都不涉及對數的概念和運算、對數表、對數的應用.在反函數方面，法國只講解其概念和圖象，南非還講解其定義域、值域.美國、芬蘭、德國在對數函數部分的知識點數相差不多，但側重點不一樣.美國側重于反函數內容，德國側重于對數的概念和運算，芬蘭側重于對數函數的概念和性質.加拿大和英國排在最后，加拿大只提到了對數函數的概念，而英國在對數函數部分的知識點數為零.
3.4冪函數、指數函數和對數函數的內容設置
從整體上來看，冪函數、指數函數和對數函數是高中階段要學習的比較重要的基本初等函數，也是刻畫現實世界的幾類重要模型，另外，冪函數、指數函數和對數函數的學習有助于加深學生對函數概念的理解和應用.有些國家并未把冪函數、指數函數、對數函數作為連續內容出現在課程標準中，說明它們之間并無必要的邏輯關系.
對于冪函數這部分內容，除澳大利亞、芬蘭、荷蘭、英國、中國提及“冪函數”以外，有些國家并沒有提到冪函數，如加拿大、印度、俄羅斯、新加坡、南非、德國.有些國家則以其他函數形式代替：法國以多項式函數出現；日本沒有專門的冪函數概念，則是以分式函數、無理函數形式出現，安排在《數學Ⅲ》中，而且三角函數安排在指對數函數之前；韓國也沒有專門的冪函數概念，則是以分式函數、無理函數形式出現；美國以根式函數出現.對于冪函數的處理，一直存在著爭議，中國之前刪除了冪函數的內容，現在又把這部分的內容加回來，有利于完善高中涉及的函數模型，便于學生在利用函數模型解決實際問題時考慮更全面，所以中學生需要對冪函數有初步的認識.像美國以根式函數、法國以多項式函數、日本以分式函數和無理函數、韓國以分式函數和無理函數等其他具體函數形式代替冪函數內容，這樣處理的好處不僅在于具體實用，便于數學模型的建立，而且與高等數學的聯系緊密，這一點值得我們借鑒.
指數函數和對數函數部分的概念原理無論在表述上還是數量上，各國都不盡相同.除芬蘭是單獨講解指數函數和對數函數以外，大部分國家都是先學習指數函數，然后利用反函數或互逆關系來引出對數函數，這樣使得對數函數的學習變得容易了.其中，澳大利亞把指數函數和對數函數進行對比學習，沒有利用互為反函數來解釋；法國在指對數函數上求導數等.還有一些國家注重和生活情境相聯系，如德國、荷蘭.英國在名稱上有所不同，以“指數型函數”名稱出現.美國強調利用指對數函數進行建模.針對指對數函數的具體說明如下.
4結束語
我國從2003年進行高中數學課程改革，到目前已經進行了十余年的實踐，并取得顯著成效，通過國際比較研究來審視我國高中數學課程改革的特色和不足，從而為接下來我國高中數學課程改革的推進提供參考.雖然中國在課程的基本理念中提到要發展學生的數學應用意識，但落實在具體的函數模型應用方面，只強調“體會”層次.如對于冪函數的處理，美國以根式函數、法國以多項式函數、日本以分式函數和無理函數、韓國以分式函數和無理函數等其他具體函數形式代替冪函數內容，這樣處理的好處不僅在于具體實用，便于數學模型的建立，而且與高等數學的聯系緊密，這一點值得我們借鑒.
參考文獻
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【摘 要】在高中數學的教學中，函數是最基礎也是最重要的一項學習內容，它對于培養學生的數學思維與提高應用能力來說都有至關重要的作用，因此，函數的教學模式也在一定程度上對學生的學習興趣與掌握程度都會產生一些影響。在傳統的高中函數教學模式中，大部分教師也只是依據死板的教學方法，照本宣科地進行函數教學，這樣死板的教學模式既不利于激發學生的學習興趣，也不利于提高整體的教學效率。因此，為了迎合現如今素質教育的發展趨勢，教師必須大力進行函數教學的模式改革，摒棄傳統的教學理念，采用多樣化的教學方式來吸引學生的學習興趣，激發學生的探知欲望，進而整體提高函數教學效果。文章就如何在高中函數教學模式中創新進行了探討。
關鍵詞 高中；函數；教學模式；教學理念；創新
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2014）36-0107-02
隨著我國社會教育水平的普遍提高，對教學模式的改革創新也勢在必行。尤其是針對于高中函數的教學來說，由于它是承接了初中函數學習的更深入學習，因此對于學生的知識繼承與發展來說都有重大意義。但在一般的高中函數教學中，由于教師還未能完全實現創新意識，還是采用傳統的教學方式來進行教學，這樣死板的教學模式既不利于激發學生的學習興趣，也不能有效培養學生的思考、創新能力，阻礙學生綜合素質的全面提升。因此，進行函數教學模式的改革創新勢在必行，在進行函數的教學中，教師應該以實現學生的學習主體為根本目的，將課堂的支配權交到學生手中，引導學生進入探索函數的趣味學習中來。
一、注重初、高中函數知識的銜接
高中函數的作用是引導學生在掌握基本函數知識的基礎上，使其從具象思維轉變為抽象邏輯思維，完成對于函數的相關概念、應用的理解、掌握能力。因此，高中教師在進行函數的教學活動中，首先就應該注重將初、高中的函數知識有效連接起來，做好兩者的過渡。另外，由于函數也存在于高等教育的教學中，所以從全面來考慮，教師也應該為學生今后學習高等函數教學奠定有力的基礎，起到承上啟下的作用。
二、通過競賽活動創新函數教學
在傳統的函數教學中，高中教師往往比較注重對于學生獨立思考能力的培養，雖然說注重學生獨立思考能力可以有效激發學生的個人潛力，但也存在一定的弊端。因為高中班級作為一個集體，如果學生都只注重于自身的獨立發展，而忽略了對他們競爭意識的培養，那么學生往往會由于沒有可追求的目標或者沒有對比的對象而導致學習動力不足，容易產生松懈的學習心理，這也不利于學生進行長期學習。所以，針對這一問題來說，教師在進行高中函數教學模式創新的同時，應該注重對學生獨立發展與競爭意識的培養，對于培養學生的競爭意識來說，教師可以通過在課堂上組織一系列的競賽活動來激發學生之間的競爭意識，使學生樹立自己的追趕目標，或者通過與其他學生的對比，發現自己的優點與不足，激發自己的學習動力，使每個學生都能獲得不同程度的提升。另外，通過舉辦有趣的競賽活動這種創新型的教學模式，改變他們對于函數學習枯燥性的理解，吸引學生的學習興趣。
在進行《指數函數、冪函數、對數函數增長比較》這一節課程的時候，在傳統的教學中，教師先引入講解概念，再畫圖，最后給予公式講解這樣的順序，比較死板而且不具有靈活性。如果想要利用這節課加入對學生的競賽機制，教師就可以先向學生說明本屆課程的教學模式，利用教師提問、學生搶答的方式來學習，學生答題次數多、正確率高的學生將會獲得一定的獎勵。這樣在課程開始前，每個學生都會躍躍欲試，想要在競賽中體現自己的實力。這樣，教師就可以先就一些簡單的問題進行提問，繼而再引入到這三個函數的增長比較中去。在這個過程中，學生在進行對教師提問給予回答的時候，不僅在這種競賽的氛圍中促使自己的大腦快速運轉，而且可以有效吸引學生的學習興趣，參與到課堂的活動中來，在這種競賽活動中對這一節函數課程進行有效地掌握。
三、注重情境教學，將函數教學生活化
學生學習的最根本目的就是為了在生活中將其實踐，尤其是對于數學教學來說，數學本就是一門實踐性極強的教學課程，在傳統的高中函數教學中，教師也只是將教學局限在對于函數相關概念的分析、應用題的講解上面，既枯燥又乏味，而且無法凸顯出函數在生活中的有效應用。因此，教師對函數教學模式進行創新改革的過程中，完全可以通過使用情境教學，將函數教學在生活中的應用凸顯出來，并且適當在課堂中加入實踐性的環節。通過對函數教學實施這樣的創新改革，加深學生對于函數的理解程度，并且有效掌握其實際的運用，增加學生的學習興趣。
比如，在進行《三角函數的應用》這一節課程的時候，教師就可以將實踐性的活動引入其中，使函數貼近生活。教師可以將學生帶到學校的操場上，選取一塊半徑為10米的圓形空地，另一塊為半徑10米，圓心角為60度的扇形空地。繼而對學生提出實踐的要求，如果分別要在這兩塊空地中放置一塊矩形的草皮，使草皮的一邊在空地的半徑同時內接于此空地，那么應該如何進行設計，才能使這塊草皮的面積最大？在提問后，教師就可以引導學生展開實踐操作，采用矩形的物品來代替草地進行實地的實踐，并且在實踐的過程中利用三角函數的有關知識切實進行求解。在這個過程中，由于加入了對于生活性的應用，學生都會積極地探討多種答案。最后，教師再進行對學生正確答案的引導，實現函數實踐性的有效效果。
四、實現學生在教學中的主體地位
新課程標準的要求是在培養學生綜合素質的基礎上，實現學生作為學習的主體，將課堂還給學生，通過教師的引導作用，激發學生主觀能動性的發揮，使學生自主完成教學任務并且實現綜合能力的提高。為了在函數教學中實現學生的主體地位，教師可以通過對學生分配教學任務，在講臺上代替教師進行課程的講解，實現主觀能動性的充分發揮。在這個過程中，教師可以在講臺下作為一個觀察者，觀察學生在講臺上的表現，對其是否把握了教學主旨與教學內容進行監督，并且給予學生一定的意見，幫助其加深對于知識的理解，在這個過程中給予學生一定程度的提高。通過學生試做教師，不僅可以提升學生自身的綜合能力，同時通過學生與學生之間的交流，也會使教學模式變得吸引，講臺下的學生通過對于講臺上的“教師”進行內容的監督，及時發現問題，改進問題。
五、有針對性地使用多種教學方式
函數既是高中學習中的一個重點，也是一個難點，因此，能否正確掌握函數的相關知識也直接決定了學生數學學習能力的高低。教師在進行函數教學模式的創新改革時，不能固定采用某一種教學方式實施教學，而是應該針對于學生不同的情況實施不同教學的方法，對于一些基礎比較差的學生，應該集中起來加強對于他們函數基礎的理論學習，并且對于他們存在的困惑與難點及時進行解答，對于學習成績比較優異的學生，也應該針對其設計一些比較有難度的問題，加強其挑戰性，實現每個學生不同程度的提高。
對高中函數教學模式進行改革創新，不僅適應了社會教育發展的基本趨勢，而且也是提高學生綜合能力的需求。通過在函數教學模式中，采用多種教學方式，如將競賽活動的方式引進函數教學，增強函數教學的實踐環節等，提升學生對函數的分析問題、解決問題的能力，促使學生數學水平得到綜合提升，繼而提高整體的函數教學效率。
參考文獻：
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關鍵詞：高中數學；函數；教學思考
函數是貫穿高中數學的一條主線，是高中數學教學的核心。新課改對高中數學函數教學提出了新的要求，更重視其實際運用，
注重與其他學科的聯系，注重信息整合的能力。這就要求在函數教學中教師要改變傳統的教學方法，堅持以生文本的教學理念，提高函數教學質量，為學生打下好的基礎。以下就對新課改下的函數教學淺談幾點自己的教學思考。
一、實施探究性函數教學
新課改明確提出要倡導學生主動參與到學習過程中，樂于探究，勤于動手，提高學生收集和處理信息的能力，提高學生獲取知識的能力和分析、解決問題以及交流與合作的能力。探究性教學有利于激發學生的探究興趣，彌補傳統教學的不足；有利于提高學生的數學學習的能力，幫助學生更好地建構知識體系；有利于培養學生的良好的思維品質。因此，實施探究性函數教學是勢在必行的，這就需要教師在教學中要能有效地引導和啟發學生的學習需要，為學生創設良好的學習氛圍，激勵學生主動探究，培養學生的探究態度，提高學生的探究能力。
探究式教學的一般模式是：創設問題情境――提出猜想假
設――組織學生探究交流――引導學生數學建模――課堂延伸運用――課后拓展運用，通過這些環節提高學生的探究興趣，提
高學生的探究能力。
【案例】二次函數最值教學中問題的創設
探究1：分別求函數f（x）=x2-2x+4在①x∈R；②x∈[2，3]；
③x∈[2，3）；④x∈[-1，2]；⑤x∈（-1，2）；⑥x∈[0，2]；⑦x∈（0，2]上的值域。
分析：此探究問題的設計主要是提高學生對數形結合問題的解決能力，在學生已有的二次函數的知識上（畫圖、配方、有效值域求取的方法），引導學生探究新知識，初步感受二次對稱軸與區間端點相對位置變化對其值域的影響。
探究2：已知函數f（x）=ax2-2ax+4在區間[-3，2]上有最大值6，求實數a的值。
分析：此問題主要是讓學生更加明確二次函數的形式，培養學生“特殊到一般、分類討論”的數學思想方法，加強學生的數形結合的意識。
探究3：已知函數f（x）=x2-2ax+4在[-1，1]的區間上有最小值為g（a），求g（a）的表達式。如果有最大值h（a），求其表達式。
分析：讓學生感受二次函數在“定區間動對稱軸”上的產生過程，體會最值、對稱軸與區間端點以及中點對應位置變化對其值域的影響。
探究4：函數（x）=x2-2x+4在區間[a，a+1]上有最小值g（a），求g（a）的表達式。如果有最大值h（a），求其表達式。
分析：此問題屬于類比問題，主要是讓學生能夠通過自主探究加深對二次函數“定對稱軸動區間”的理解，提高此類問題的解決能力。
二次函數是高中數學函數教學中的重點內容，必須十分重視，
通過問題情境的創設，可以提高學生分析問題、解決問題的能力，也讓學生更能加深對此知識的理解，在探究中提高學生的學習興趣，從而激發學生的數學探究欲望，帶動數學的學習。
二、在自主學習理念下實施函數教學
時代的發展要求學生必須具備自主學習的能力，這不僅是學習的需要，也是社會發展的需要，這就需要教師要能在自主學習的理念下進行教學，提高學生的自主學習能力，培養良好的學習習慣，為學生的終身學習奠定基礎。具體實施策略淺談：
1.結合生活實例進行探究
新課標指出要緊密聯系學生的生活環境，從學生的已有知識和生活經驗出發，為學生創設有助于自主學習、合作交流的學習情境，促使學生獲得數學學習的基本知識和技能，發展學生的數學思維。因此，教學中教師要從學生的發展實際出發，善于發掘生活中的具體實例，把學生置身于生活的大背景下，既能引發學生的探究欲望，又能使學生體會數學的本質，學生在興趣下探究，有助于學生自主學習能力的提高。
2.營造自主探究空間，引導學生自主探究
教師要在教學中，要為學生創設一定的探究空間，讓學生的探究貫穿于整個數學學習活動中，提高學生的參與意識和探究能力，只有這樣才能讓學生更加主動自主地去學習、去探究，提高學生的數學學習能力。
3.加強學習方法指導，讓學生會學
方法的有效指導是提高學生學習能力的重要保障，要能引導學生掌握正確的學習方法，提高學生自主學習的能力。高中函數是教學難點，有些內容又很抽象，沒有好的學習方法，學生學起來也會很難。因此，教師要重視對學生學習方法的指導，如培養學生良好的預習習慣，引導學生多觀察、多思考、善于歸納的學習習慣，養成及時糾錯、善于反思的學習習慣。
一、進一步深入理解函數概念
初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念。二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?:AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應，記為?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：
類型I：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1)
這里不能把?(x+1)理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。
類型Ⅱ：設?(x+1)=x2－4x+1，求?(x)
這個問題理解為，已知對應法則?下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。
一般有兩種方法：
(1)把所給表達式表示成x+1的多項式。
?(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得?(x)=x2－6x+6
(2) 變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用。
令t=x+1，則x=t-1 (t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6從而?(x)= x2－6x+6
二、二次函數的單調性，最值與圖像。
在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間（－∞，－b2a]及[－b2a，+∞） 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖像的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖像學次函數有關的一些函數單調性。
類型Ⅲ：畫出下列函數的圖像，并通過圖像研究其單調性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）= x2+2|x|－1
這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖像。
類型Ⅳ設?(x)=x2－2x－1在區間[t，t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并畫出 y=g(t)的圖像
解：?(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1時取最小值－2
當1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
當t＞1時，g(t)=?(t)=t2－2t－1
當t＜0時，g(t)=?(t+1)=t2－2
t2－2， (t
g(t)= -2，(0≤t≤1)
t2－2t－1， (t>1)
首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數的值域。
三、二次函數的知識，可以準確反映學生的數學思維：
類型Ⅴ：設二次函數?(x)=ax2+bx+c(a>0)方程?(x)－x=0的兩個根x1，x2滿足0
(Ⅰ)當X∈(0，x1)時，證明X
(Ⅱ)設函數?(x)的圖像關于直線x=x0對稱，證明x0< x2。
解題思路：
本題要證明的是x
(Ⅰ)先證明x
因為0
根據韋達定理，有 x1x2=ca
0＜x1＜x2
又c=?(0)，?(0)?(0)，所以當x∈(0，x1)時?(x)
即x
(Ⅱ) ?(x)=ax2+bx+c=a（x+－b/2a）2+(c－)，（a>0）
函數?(x)的圖像的對稱軸為直線x=－ b/2a，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=－b/2a，因為x1，x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=－b-1a，x2－1a
x0=－b2a=12（x1+x2－1a）
高一新生要根據自己的條件，以及高中階段學科知識交叉多、綜合性強，以及考查的知識和思維觸點廣的特點，那么接下來給大家分享一些關于高中函數定義域知識，希望對大家有所幫助。
高中函數定義域知識定義域
(高中函數定義)設A，B是兩個非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A--B為集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域;
值域
名稱定義
函數中，應變量的取值范圍叫做這個函數的值域函數的值域，在數學中是函數在定義域中應變量所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化歸法;(2)圖象法(數形結合);(3)函數單調性法;(4)配方法;(5)換元法;(6)反函數法(逆求法);(7)判別式法;(8)復合函數法;(9)三角代換法;(10)基本不等式法等
關于函數值域誤區
定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本“元件”。平時數學中，實行“定義域優先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處于互相轉化之中(典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化)。如果函數的值域是無限集的話，那么求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必須聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內函的理解，從而深化對函數本質的認識。
“范圍”與“值域”相同嗎?
“范圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函數值的集合(即集合中每一個元素都是這個函數的取值)，而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說：“值域”是一個“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。
高一數學必修一函數知識點1.函數的奇偶性
(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x) ;
(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則 f(0)=0(可用于求參數);
(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;
(5)奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性;
2.復合函數的有關問題
(1)復合函數定義域求法：若已知的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則。
(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;
3.函數圖像(或方程曲線的對稱性)
(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;
(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然;
(3)曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;
(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x= 對稱;
4.函數的周期性
(1)y=f(x)對x∈R時，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;
(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;
(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;
(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2 的周期函數;
(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2 的周期函數;
(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數;
5.方程k=f(x)有解
k∈D(D為f(x)的值域);
6.a≥f(x)
恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
7.(1)
(a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3) l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );
8.判斷對應是否為映射時，抓住兩點：(1)A中元素必須都有象且;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9.能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。
10.對于反函數，應掌握以下一些結論：(1)定義域上的單調函數必有反函數;(2)奇函數的反函數也是奇函數;(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;(4)周期函數不存在反函數;(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;(5)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
11.處理二次函數的問題勿忘數形結合;二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系;
12.依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題
13.恒成立問題的處理方法：(1)分離參數法;(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;
高一數學必修一函數知識一：集合的含義與表示
1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。
把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。
2、集合的中元素的三個特性：
(1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。
(2)元素的互異性：一個給定集合中的元素是的，不可重復的。
(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合
3、集合的表示：{…}
(1)用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。
a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……}
b、描述法：
①區間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。
{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}
②語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。
4、集合的分類：
(1)有限集：含有有限個元素的集合
(2)無限集：含有無限個元素的集合
(3)空集：不含任何元素的集合
5、元素與集合的關系：
(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：a?A
(2)元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A
注意：常用數集及其記法：
非負整數集(即自然數集)記作：N
正整數集N-或N+
整數集Z
有理數集Q
實數集R
6、集合間的基本關系
關鍵詞：高中數學；函數教學；滲透法；有效對策
一、概念理解強化法
高中學生要順利解決問題，就必須基于基本理論知識的掌握，可以說基本理論知識在函數教學中相當關鍵。然而，在高中數學教學過程中，題例解析的目的并不是單純地讓學生得到答案，或是將解題技巧傳授給學生，而是要讓學生對數學的本質與概念進行深入理解。
根據高中數學實際教學情況來看，好的數學問題的設置，能夠使學生的概念理解得到有效加深，需要注意的是在課堂教學中讓學生解題，應側重于讓其理解知識本身，而不是掌握解題技巧。
以遞進教學法中的題目為例，雖然有多數學生能夠答出問題，但其中能夠理解題目內涵的卻是極少數，此時如果教師不對學生開展針對性引導，而只對解題技巧進行展示，就無法讓學生對2x+1=f（x）本質進行理解，即自變量值x通過“f”的關系對應后，其結果2x+1即為f（x），其中“（ ）”里的x就是對應關系，即“f”的施加對象，而“f”則是“將自變量經平方后加1”的運算過程。
二、聯系前后知識，建立知識網絡
高中數學的特點是內容復雜且知識點多，如果學生無法將知識網絡建立起來，也就難以對整個高中階段的數學知識進行整體把握。再加上數學知識從本質上就是緊密相連的，因此，高中數學教學應著重讓學生在教學中實現對函數認識的提升。換言之，在教學過程中，教學思路不應只顧眼前的函數教學，更要全局考慮到整個高中階段的數學教學，從而實現對學生學習函數的整體
引導。
在講解一元二次不等式的題例時，高中數學教師就能夠引導學生站在函數知識點的角度去理解不等式，理解不等式與函數之間的關系，最終使其掌握函數圖象相對的不等式解集與x軸位置的聯系。或是在幾何解析教學時，教師也能夠聯系觀點，讓學生了解到曲線方程、函數解析式、函數圖象間的區別與關聯。或是在涉及最值、范圍的數學題例中，指引學生利用函數意識，自己發現已知量與未知量之間的聯系，并建立函數關系，以最值或值域的方式來對問題進行解析。
比如，題例：有直線1經過A點（1，2），且在x軸上截距范圍在（-3，3）中為已知條件，求y軸上直線1的截距范圍。
通過建立函數思想并展開分析：分別設橫縱截距為a與b，因A點（0，b），（a，0），（1，2）三點共線，a、b的關系就能求得，如能將b關于a的函數關系建立起來，就能夠借助該函數在（-3，3）定義域上的值域，獲得最終的答案值。
由此可見，高中數學的許多知識點的關系都是遞進、鋪排的，掌握了一個知識點，就能找到與其相關聯的前后左右的其他知識點，如果學生在高中數學教學過程中，或是在其他教學中，將各方面知識點充分調動起來，對單一問題進行有效解決，就能夠建立起解題思路，并使解題思路更為多樣化。這一點也正是目前我國高中數學教學側重的。
在高中數學函數教學過程中，教師應根據實際情況，將高中函數中的知識點理清楚，從高中函數的形式與概念入手，引導學生深刻認識函數的本質，隨后拓寬學生的眼界，找出與函數關聯的若干知識點，讓學生掌握利用函數思想對其他問題進行解決的方法，同時在這個階段，加深學生理解函數的程度，真正實現高中函數相關知識點的全面掌握。
參考文獻：
數學學科知識的精髓所在即表現為數學思想.而對于高中階段的數學學科而言，數學思想的核心又體現在函數與方程思想當中.教師引導學生掌握函數與方程的數學思想，能夠解決大量的問題，為看似難度較大的題目挖掘大量的隱含條件，在簡化解題步驟的同時，提高解題質量.文章試對其作詳細分析與說明.
一、函數與方程思想分析
首先，函數思想的核心在于：通過對函數關系中的相關圖象、以及性質為出發點，展開對相關問題的分析.在具體的數學問題當中，主要可以將題目已知條件當中所給出的方程問題、以及不等式問題轉換成為函數方面的問題.具體來說，通過自方程問題向函數問題的轉化，可以通過對函數性質、圖象的判定來為方程求解提供相關的條件支持.同時，實踐教學中發現：對于題目當中所給出的不等式恒成立問題、超越不等式問題、以及求解方程根等相關問題而言，若能夠實現對函數思想的合理應用，則對于簡化操作步驟而言有著重要的意義.
其次，方程思想的核心在于：以函數關系為出發點，構造與函數關系所對應的方程表達式.進而，通過對所構造方程表達式的進一步分析，實現對相關問題的求解.具體來說，通過自函數問題向方程問題的轉換，可以將常規意義上的y=f（x）函數轉化成為方程表達式：f（x）-y=0.同時，在具體的實踐操作過程當中，對于二元方程組的應用是最為普遍的.特別是對于涉及到函數值域、以及直線/圓錐曲線位置關系等問題的求解而言，通過對方程思想的應用，往往能夠取得事半功倍的效果.
二、函數與方程求解案例分析
文章現通過舉例的方式，研究函數與方程思想在求解實際問題中的應用情況.例題當中所涉及到的核心思想為：通過構造函數關系的方式，以所構造函數的圖象及其性質為切入點，來解決方程求解中的相關問題.
總之，函數與方程思想是高中階段數學學科中的重要內容之一，同時也是現階段數學學科高考中的重要內容.對于數學教師而言，需要在教學活動當中引導學生對函數與方程思想有一個充分的認知，學會以函數與方程思想為切入點，對相關問題進行分析、靈活轉化，深入挖掘隱含條件，進而解決問題.文章以理論研究與實踐例題相結合的方式展開闡述，希望能夠引起關注與重視.
【關鍵詞】函數；思維方式；凸顯；教學
現實世界許多量之間有依賴關系，當一個量變化時，另一個量也隨著起變化.函數是研究各個量之間確定性依賴關系的數學模型.教學中如何引導學生對此類數學模型開展研究，并在研究中學會借助函數的幾何特征（函數曲線）來解決一些簡單的應用問題，最終形成一種新穎、開放的思維方式呢？筆者以為在具體的教學過程中應注重以下三個方面的“凸現”.
一、打好基礎，凸現函數概念的教學
函數的本質是反映日常生活中兩個變量間互動的因果關系，是對現代生活實踐中許多現象的抽象概括.“映射”是現代數學中最基本的概念之一.在當今信息時代，“映射”更能科學地揭示兩個量之間依賴關系的本質屬性.而理解了“映射”的概念，就能更加深刻地理解函數的概念；而且利用“映射”更易于解釋現代科學技術中的各類對應變換，能夠更全面、更科學地看待世間各變量間的關系.在教學中我們可以感受到，在“映射”概念的鋪墊下來講授函數的概念要自然、容易得多，學生接受的難度大大降紙.“對應法則f” “映射f：AB”“函數f：A數集”這種循序漸進的教學過渡，既符合現代數學思想，又很好地體現其教學的科學性、人文性，更符合學生的認知規律.
高中學生學習函數的概念、了解函數的特征至少有三方面的益處：一是能用函數的數學觀點分析獲取的信息（來自書報、電視、網絡等）間的相互聯動關系；二是能善于抓住主要矛盾，處理好日常生活中的事情，做到思路清晰，有條不紊；三是能更方便地理解各類基本初級函數（冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等）的概念以及簡單的復合函數、反函數的概念，提高自身的數學素養.為了強化學生對函數概念的理解，讓學生擺脫書本，舉出生活中函數的例子，可謂是最直接、最有效、最有創意的教學方法.筆者在教學中曾經嘗試，收到了較好的效果.大部分學生能舉出很多例子，想象力十分豐富.其中有位學生共舉出8個例子，使其他學生茅塞頓開，頗受啟發.如“近視深度和眼鏡的度數”“足球運動員的射門次數和比賽場次”“地球自轉的次數與時間”“吸煙的危害程度和開始吸煙的年齡”等生活中的函數例子，真實地表明了現代高中學生對函數概念本質的把握，反映出他們學以致用的能力.
二、數形結合，凸現函數曲線的運用
對于給定的函數y=f（x），一般要討論以下三個方面的問題：
1.求解――求函數值f （x0），求函數定義域A、函數的值域f（A）.
2.討論函數的性質――單調性、奇偶性、周期性、有界性.
3.利用函數建模解決應用問題――經濟問題.
函數的數學魅力就在于它將數與形非常完美地融為一體.因此，筆者在教學過程中始終貫穿一條主線――函數的圖形，每出現一類基本初等函數都要求學生動手按“列表、描點、光滑連接”三個步驟描繪出與之對應的函數曲線.學生掌握了函數的圖形，通過函數的曲線來理解函數值f（x）依賴于自變量x的變動而變化的特征，再來討論上述三個問題就容易多了.
【參考文獻】
[關鍵詞]問題 高中數學 函數概念 教學設計
本節課選用蘇教版的三個實例，并采用引導發現的教學方法，以“問題”為驅動，一環緊扣一環，帶動學生自主思考，發現三個實例的共同屬性，從而抽象概括出函數的本質屬性，自主建構函數的概念.實例中問題的設置能夠使抽象的函數概念變得具體化，進而降低學生理解的難度，增強其學習數學的信心.
一、教材分析
本節課是普通高中課程標準實驗教科書必修（Ⅰ）第一章第二節的內容，《數學課程標準》對函數概念教學的要求是：通過豐富的實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用，了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域，了解映射的概念.函數這章在高中數學中起著承上啟下的作用，而本節是函數這章的開篇課，可為以后的學習奠定基礎.
二、學情分析
一方面，學生雖然學習了用變量定義的函數，但是涉及函數本質的內容，卻還沒完全掌握.依據思維發展的年齡階段理論，高一學生雖然能夠進行抽象思維，但此時的抽象思維只是基于經驗的，理論型抽象思維還比較弱，要想從函數實例中抽象概括出函數概念還存在困難;另一方面，經過一個假期的休整，學生處于完全放松的狀態，對于還沒做出充分的學習準備的學生，函數概念的抽象性難免會影響的學習積極性.
通過教材及學情分析，把教材知識內容分為兩節課教學：函數概念、定義域和值域的求解.本節課為函數概念教學（新授課）.基于函數概念的高度抽象性、嚴謹性和概括性的特點以及學生的學習特征和原有的數學認知結構，選擇概念形成的教學模式，采用引導發現教學法.
三、目標分析
知識與技能：能說出函數的概念及寫出函數的符號表示，解釋函數符號;在理解函數的基礎上，了解構成函數的三要素及對應關系的三種表現形式，能利用函數的概念判斷函數.
過程與方法：通過三個實例的分析，參與觀察、歸納、概括數學活動過程，滲透類比數學思想，發展抽象思維.
情感、態度與價值觀：在概念形成的過程中，感悟數學的嚴謹性與抽象性，養成善于思考、嚴謹對待的學習習慣. 四、教學過程
（一）復習回顧
問題：初中函數的概念是什么？
學生：回憶交流.
教師：帶領學生重述初中函數概念.
問題：y=1是函數嗎？
學生：有些學生說“是”，有些學生說“不是”.
教師：用初中函數的概念不能回答這個問題，通過本節課函數概念的學習再回答這個問題.
設計意圖：幫助學生提取已有的知識，為新課學習做好知識儲備.通過設置問題“y=1是函數嗎”，讓學生產生認知沖突，處于“憤”的狀態，激發學生的學習興趣，進而激發學生的學習動機，使學生以最佳狀態進入新課學習.
（二）實例分析
【例1】 我國從1949年至1999年人口數據資料如表所示：
（1）1969年我國的人口數是多少？1978年呢？
（2）表格中每一年的人口數確定嗎？
學生回答，教師板書：
（1）1969（年）807（百萬），1979（年）975（百萬）;
（2）每一個數（年份）數（人口）（唯一的）.
【例2】 一物體從靜止開始下落，下落的距離y（m）與下落時間x（s）之間近似地滿足關系式：y=4.9x2.
（1）若一物體下落1s，你能求出它下落的距離嗎？下落2s呢？
（2）下落過程中，每一時刻的下落距離確定嗎？
學生回答，教師板書：
（1）1（s）4.9（m），2（s）9.8（m）;
（2）每一個x（s）y（m）（唯一的）.
【例3】 下圖為某市一天24小時的氣溫變化圖.
圖1
（1）上午7時的氣溫是多少？14時呢？
（2）這一天中的每一個時刻的氣溫確定嗎？如何根據此圖像找到？
學生回答，教師板書：
（1）7（h）0（℃），14（h）9℃;
（2）每一個T（h）θ（℃）（唯一的）.
問題：你能發現這三個實例有什么共同點嗎？
學生：每一個…都有唯一的…與…對應.
教師：我們用集合的觀點看實例.
例1中的對應關系、例2中的對應關系和例3中的對應關系分別如圖2、圖3、圖4.
圖2 圖3 圖4
問題：你能用數學語言表述共同點嗎？
學生：集合A中的每一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應.
教師：你能概括函數的概念嗎？
設計意圖：因為《普通高中課程標準》要求教師能夠創造性地使用教材，故而這里選用蘇教版教材的三個實例.通過帶領學生分析并解決實例中緊扣函數要素的問題以及運用符號語言把函數概念的本質清晰地呈現在黑板上的過程，讓學生理解函數的本質，使其處于“悱”的狀態.教師及時采用啟發式提問，降低抽象概括的難度，把難以接受的學術形態轉化為學生易于理解的教育形態，從而為學生主動建構函數概念做好鋪墊.
（三）函數概念的形成
教師復述函數的概念并板書：
f：AB
y=f（x），x∈A.
教師引導并板書：構成函數的三要素為定義域、對應關系和值域.
教師：你能回答y=1是函數嗎？
學生：有些說“是”，有些說“不是”.
教師板書演示作圖：集合A、B是實數集，每一個x都有唯一確定的y=1和它對應.
設計意圖：概念包括內涵與外延.在理解函數內涵的同時，運用符號語言表示函數，增強學生的符號意識，欣賞符號的簡潔美，同時感受符號所蘊含的豐富知識，進一步培養學生的抽象思維能力.在解決課前問題的同時，把新的數學認知結構納入原有的數學認知結構，在原有的知識儲存中加入常值函數，擴大并改組原有的認知結構，讓學生全新理解函數的內涵與外延，感受初中與高中函數概念的區別.
（四）牛刀小試
練習1：下列哪些對應是函數，哪些不是，為什么？
（1） （2） （3） （4） 學生：（1）（2）是函數，（3）（4）不是函數，判斷依據是函數的定義.
教師：答案為是，是;否，否.
問題：例2中的對應法則是什么？
學生：y=4.9x2.
教師：練習1中（1）的對應法則是什么？
學生：y=2x.
教師：實例1和3中的對應法則是什么？
學生回答不出，有的說沒有對應法則，有的說沒有規律！
教師：集合A和集合B中的值是怎么對應（建立聯系）的？
學生：表格、圖像.
教師板書：對應法則有表格、解析式、圖像.
練習2：判斷下列圖像能表示函數圖像的是（ ）.
教師：D.
練習3：看下面幾個例子，說出y是否為x的函數.（x，y都是實數）
（1）y2=x;（2）y=x2;（3）y=|x|;（4）y=x.
學生：練習并回答.
教師：否;是;是;是.
設計意圖：斯金納教學原則中的強化原則是要求在學習新知識的基礎上，進行強化訓練，使學生熟練掌握函數的概念.在強化的同時利用習題讓學生很直觀、形象地了解函數的三要素并理解函數的三要素.
（五）課堂小結及布置作業
教師引導學生回顧本節課的知識點：（1）函數的概念;（2）構成函數的三要素.
作業：課后1、3題及教輔上的題.
關鍵詞：高中數學；函數教學；方法分析
1前言
對于高中生來說，數學函數課程的學習是非常重要的，在整個高中的數學知識學習中都起到了重要作用。數學函數的知識點存在著一定的難度，學生們通過課堂學習所得到的成績并不理想。為此，需要加強學生們數學思想的培養，并滲透到數學函數教學的過程中，促進高中數學函數學習質量的提升。
2數學思想的概述
2.1數學思想的概念
所謂的數學是人們在認識數學問題意識層的東西，是經由思維活動而出現的，數學知識具有概括和基礎性的特征，熟練的掌握數學的知識要點，可以解決數學學習過程中出現的諸多問題。
2.2數學思想涵蓋的內容
2.2.1方程和函數的有效結合
在數學的學習過程中，分析其運動的變化就是所謂的函數思想，建立完善的函數關系式，然后再借助函數的性格特征以及圖像實現轉化，進而從根本上解決問題。方程思想主要體現在數學問題的分析中，假定變量未知，找尋問題中變量和變量之間的等量關系，進而形成方程組或者是方程式，通過他們的特點來有效解決未知變量中的諸多問題。函數和方程的結合可以起到舉一反三的效果，并不是說學一道題以后也只能做一道題而是學了一道題未來可以解決一類題，側重的是學生數學能力的培養。
2.2.2轉變思想`活應用
解決數學問題時需要在思想上進行變通，當面對學習過程中很難解決的問題時，可以進行轉化，變成可以解決的部分，復雜的問題簡單化，這也是數學學習過程中最為常見的一種方式，可以有效的提升學生的靈活應變能力以及邏輯性。
2.2.3實現分類探討的思想理念
在解決某些數學問題時，會常常因為面對著函數和不等式，一個題目會有多種解題思路，這個時候就需要對每一種情況進行分類的談論，最后得出不同的結果。分類討論的根本是實現化歸的思想。可以認為是將一個復雜的問題劃分成多個部分，然后逐個的突破，對于數學問題的解決有著極其重要的作用，也展現了哲學中提及的對待不同的問題要采取不同的分析方式。
3有效提升高中數學教學滲透思想的重要方法
3.1知識傳授環節融入數學思想方法教學
數學的概念不僅是數學思維的基礎也是重要的結果，因此概念教學不是簡單的定義，而是應該讓學生深刻的感受到概念的形成中的數學思想。比如說在教學二分數概念的時候，課本上只是簡單的定義，學生很難深刻的領悟到其真正的含義，但是如果能夠給出一個實際的案例，學生能夠感受到其中的數學思想，會起到事半功倍的效果。比如說，在教學中，可以提出這樣的問題，現有十瓶黃酒，九瓶是正宗的，一瓶是假的，怎樣用最少的實驗方式檢驗出假酒？通過這種方式有效的解決了實際生活中的諸多問題。
3.2重視實例講解在函數教學中的運用
數學課程的學習，不應該只停留在理論知識的講解上，需要通過實例分析的辦法讓學生能夠加深印象，增強理解。為此，作為高中數學函數教學老師，需要在學生初步了解了函數知識后，針對性的講解一些實例，這不僅能夠幫助學生鞏固新學的知識，還能夠幫助他們掌握正確的用法。例如，函數f（x）=ax3+bx2+cx+d圖像是確定的，判斷b的定義域。學生在分析了現有的信息之后，就可以判斷出函數的圖像會經過（0，0），（1，0）和（2，0），如果能夠和函數關系式相一致的情況下，就可以有效的應用方程來解答，得出d=0，a+b+c=0，8a+4b+2c=0，進而算出a=-1/3b，c=-2/3b，所以說f（x）=-1/3bx（x-1）（x-2），f（-1）
3.3加強數學思想在解題過程中的運用
3.3加強數學思想在解題過程中的運用
高中數學函數問題的解答，是一個復雜的過程，而且題型非常的多，需要學生學會舉一反三，真正的思考。為此，需要加強數學思想在解題過程中的使用，這不僅能夠加強學生數學思想的培養，還有助于數學問題的高效解決。例如，在解答log1/2（x2-3x-4）0；x2-3x-4>2X+10，這樣就能夠輕松確定x值的范圍。如果這個不等式在命題的時候，規定a>0且a≠1，那么就需要運用到數學思想了，通過三角函數的轉化，能夠提高解題的速度。
3.4加強數形結合的運用
在解決數學函數問題時，可以通過圖形與數字結合的方法實現問題的解決。通過圖形的作用，能夠更清楚的感受到函數的變化，將數字代入圖形，能夠更快找到問題的突破口，提高解決問題的效率。在數形結合的作用下，能夠使得問題更加清晰，增強學生的綜合分析能力，避免出現錯誤的答案。
3.5重視學生對函數辨別能力的培養
數學函數的種類比較多，不用的函數所具有的性質也是不一樣的，需要重視學生對函數性質的了解，更快的辨別函數。學生在實際運用中，函數之間存在著非常大的迷惑，需要真正掌握了函數的特點，才能夠準確的區分。
4結束語
總而言之，加強高中生數學思想的培養，對提高高中生數學函數學習的質量具有一定的積極作用。通過數學思想在函數教學中的滲透，不僅能夠改變教學老師傳統的教學方法，還能夠有效提高教學老師的教學水平，使得學生在遇到函數問題時，能夠自己解決。對于其他課程的教學也起到了參考作用。
參考文獻：
[摘 要]函數是數學教學中較為關鍵的內容，也是連接其他數學知識的橋梁.在初中階段，學生已經學習過一些較為簡單的函數知識及相關概念，因此在教學高中函數時，既需要與初中的函數知識相聯系，又需要突出高中函數的指向性.針對高中新課程中函數設計思路與教學進行分析，為高中數學教學提供一定的參考.
[關鍵詞]高中數學 函數 設計思路 教學策略
函數的學習效果對今后學習數學以及學習其他學科都具有非常重要的影響.對高中生來說，假如沒有掌握函數學習的方法與關鍵要素，學習起來就會非常困難;而對于教師來說，如何將較為抽象的函數知識直觀地展現出來，引導學生找到最適合的學習方法是最為關鍵的問題.隨著新課程改革的不斷推進，傳統的教學模式已經無法適應高中數學教育.因此，教師要探索函數設計思路及有效的教學策略，才能夠提高教學效率.
一、函數設計思路
1.將函數作為主線.在日常教學中，教師應當轉變教學觀念，不能一味地讓學生沉浸在解題中，應當將函數作為一條主線，以函數為基礎來教學.教師應將函數有層次地、 由淺入深 地引入課堂，使學生通過具體的函數模型來認識函數.例如，在教學《三角函數》時，筆者首先以sin（2kπ+α）=sinα為基礎，為學生講解函數;其次對其他三角函數進行類推，讓學生自己思考、自己解答，使學生深刻地理解三角函數;最后再對課程進行詳細的解答.如此便能達到授課的目的，幫助學生更好地記憶三角函數知識，熟練地運用三角函數知識解決實際問題.
2.通過函數建模深化函數概念.函數是刻畫現實世界中自然規律的關鍵，是數學聯系實際的基礎.在日常教學中，為了促進學生對函數的理解，教師需要運用具體的函數模型作為載體.此外，在運用函數模型的過程中，應當增加對函數概念與本質的闡述.新課程更加關注函數模型以及應用，因此在教學相關函數知識時，教師應當通過一些函數實例來引入一般函數的概念.通過對指數以及簡單冪函數等具體函數的研究，增加學生對函數概念的理解.教師在教學中還可增加一些函數模型與應用的內容，強調函數模型的運用，通過函數模型與實際運用來深化學生對函數概念的理解.
二、函數教學策略
1.從整體上把握函數.函數是學生在學習數學過程中首次接觸的具有一般意義的抽象概念，此種概念能夠衍生出不同的具體函數.學生在學習函數的過程中，通常需要長期的積累、多次練習才能夠逐漸掌握函數知識.在此過程中，教師應當從整體上分解高中階段的函數知識，對函數的教學內容進行分析，并制訂教學目標，同時還需要了解學生對函數的掌握情況.在講授與函數相關的內容時，可通過實例來增加學生對函數的理解.例如，在講解“復合函數”時，教師應當先講解一些較為簡單的案例，由淺入深，不能課程一開始就直接講解復合函數的定義，可通過提問的形式對學生初中學過的函數進行分析，隨后再引出復合函數，如此便能夠使學生逐漸理解復合函數.
2.把握函數與其他內容的聯系.函數是高中數學的主線，貫穿于整個教學過程，方程、線性規劃以及隨機變量等數學知識都能夠體現出函數的思想.運用函數的觀點來理解方程，可以將方程的根當作函數圖像與x軸交點的橫坐標，解方程f（x）=0就是求函數y=f（x）的零點橫坐標，因此，解方程的問題都可以看做是研究函數局部性質的問題.如：一個函數在閉區間[a，b]上連續，且端點函數值異號，即f（a）f（b）
3.突出函數教學重點.高中數學通常是以函數和集合運算為主，在教學函數時，應當先讓學生掌握基本的函數知識，強化函數的本質，突出教學重點.在傳統教學中，很多教師都將函數的重點放在探討函數解析式的定義域方面，這并沒有實際意義.新的函數教學理念要求教師將教學重點放在函數圖像以及函數變化規律等方面，因此教師應當按照新課程的要求改變教學策略，突出教學重點.
綜上所述，高中數學新課程中函數設計思路與教學策略都應當以學生為主，充分發揮教師的引導作用.在高中函數教學中，教師應將函數作為主線，突出重點，并由此探索有效的教學策略，提高教學效率，幫助學生更好地理解函數，使其在今后的學習中充分地運用函數知識來解決問題，進而提升學習能力.
一、把握函數是中小學數學課程的主線
20世紀初現代數學教育的主要人物，德國數學家克來因提出：以函數概念和思想統一數學教學的內容。一個多世紀以來函數已成為數學的基本研究對象，貫穿于數學的各個方面，課程中函數思想的發展大致有以下幾個階段。
小學階段體現學生對數和量的認識，知道數是用來刻畫量的大小的一種工具，數和量常常對應在一起，統稱為數量，而這些數量之間的對應關系，本身就是函數關系。當我們通過對一些實例的討論，例如，路程、時間、速度以及總價、單價和數量之間的關系等，并抽象為正比例、反比例關系，使學生對函數關系有了認識。雖然沒有引入變量和函數的概念，但也形成了函數的思想。
初中階段我們引入了變量和函數概念（雖然概念不嚴格）：在某種變化過程中有兩個變量x與y，按照某種確定的對應關系，如果對于x在某個范圍內的每一個值，y在某個范圍內都有唯一確定的值與它對應，則y就是x的函數，x是自變量，y是因變量（函數）。通過具體實例，對一個量的變化引起另一個量的變化進行了討論，建立了反映變量之間的函數關系，構建了一些函數的基本模型。如正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等。
高中階段我們利用更豐富的實例引導學生認識到，函數是刻畫日常生活和其他學科規律的重要數學模型，并在此基礎上，學習集合與對應語言來刻畫函數：設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合｛f(x) x∈A｝叫做函數的值域。體會對應關系在刻畫函數概念中的作用，進一步抽象概括了更加嚴格的數學定義。
二、掌握高中函數的學習內容
教師只有全面掌握高中函數的學習內容，才能找到與學生對話的起點。函數研究的是兩個變量之間的數量關系：一個變量的取值發生了變化，另一個變量的取值也發生變化，這就是函數表達的數量之間的對應關系。其中有三點是重要的：一是變量的取值是實數；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數字以外的符號來表示函數。這些就是函數定義的核心思想。
三、了解學生學習函數的基礎
學生是學習的主體，了解學生的基礎才能找到與學生對話的基點。進入高中階段的學生，都是合格的初中畢業生，他們有了一些函數思想的基礎，學會了解決一些具體的函數問題的方法，如待定系數法，學會做和觀察函數的圖像，并能觀察出自變量和因變量之間的變化關系，如反比例函數y=(k>0)圖像在第一象限因變量隨自變量增大而減小等。不足之處在于對函數概念的理解模糊，缺乏對問題的理性思考，例如，令f（x）=x²-2x-3，這是一個函數。表面上看，f（x）=0與方程x²=2x+3是等價的，但是二者所表達的意義是不同的：前者表示函數取0值，而后者表示變量之間的等量關系。同樣，f(x)>0與不等式x²>2x+3所表達的意義也是不同的。在一些學生身上明顯覺得有由于強化練習而學會的應試技巧，少了對數學的感悟和學習興趣。如果在高中函數的學習中由于沒能及時轉變思維方式和學習方式，造成學習的困難，而教師只管教，不去考慮學生的基礎，學生會進一步喪失信心。
四、教學中需關注的問題
本人認為在教學中有兩個方面需要特別關注：
（一） 情感方面。蘇霍姆林斯基說過：“如果教師不想辦法使學生達到情緒高昂和智力振奮的內心狀態，就急于傳授知識，那么這種知識只能使人產生冷漠的態度，而使不動感情的腦力勞動帶來疲勞。”教學中：
1、要尊重學生。自尊心是促進學生身心健康發展不可缺少的因素。教學活動是教與學的活動，更主要的是學生的學，既要尊重學生的學習過程，也要尊重學生個性，在人與人平等的環境中，實現生命與生命的交流，教與學才是有效的。
2、要理解學生。要理解學生的差異性，理解學生的思想和行為，在與學生的交流過程中，學會角色換位，不可求全責備。
3、要相信學生，給學生以學習的自信。哲學家詹姆斯說過：人類本質中最殷切的要求是渴望被肯定。自信才有勇敢，自信才有主動，自信才能振奮。
4、要感謝學生，給學生以鼓勵。教師要感謝學生，因為有了學生你才有施展才華的機會，生命才更加有意義。
（二）知識方面。概念教學中要講清函數的三要素，但一定不能停留在抽象的理論上，還要有一些函數的模型，甚至可以是一些形象化的比喻。例如符號y=f(x)的含義非常抽象，難于理解，就可以把函數看成是一個加工廠，定義域中的元素就是原料，對應法則就是加工原料的機器，產品就是函數值。并引導學生分析函數的兩種定義，認識函數概念的實質，讓數學回歸本質。
1、函數的教學一定要突出函數圖形的地位。2、教學中應該引導學生去思考函數的應用問題，特別是思考函數在日常生活和其他學科的應用，滲透數學建模的思想。3、加強多媒體信息技術的使用。函數體現的是兩個量之間的運動變化關系，多媒體的使用使函數的變化關系更加形象直觀。
