時間：2023-09-19 16:28:06
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇高中數學求最大值的方法，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞：高中教學；數學思維能力；高中生
2013年12月，經合組織了2012年《國際學生評估項目》結果：上海中學生的數學、閱讀、科學能力均為世界第一。數學成績方面，上海學生平均分是613分，英國學生僅為494分，此后，英國曾宣布引進中國的中學數學教師。這展現了我國數學發展偏離傳統道路，將講授理論知識和培養思維能力相結合作為培養高中生的宗旨。
一、分析當前高中數學教學中存在的問題
首先，高中數學知識內容繁雜，知識點零散，公式冗雜且相似，靈活性較強，對學生基礎知識提出更高的要求。而由于高中生迫于數學難度大和高考壓力，被動的接受所學知識，死記硬背公式，不會舉一反三。例如：特殊角度的正切值、余切值正弦、余弦、正割、余割混淆。
固然，這些角度的正切值、余切值正弦、余弦、正割、余割，這些值有著相似的數值，但是死記硬背極易混淆。
其次，高中數學考試題型有選擇，填空，解答題，選做題，四類題型中選擇和填空題占有較大分值，這就導致數學差值很大，能夠掌握學習數學方法的學生，能夠靈活用于所學知識，融會貫通，成績較好。反之沒有掌握學習數學方法的學生，學習數學會產生一種恐懼心理。
最后，由于教師在教學過程中忽視培養學生數學思維能力，采用以往“填鴨式”教學，這樣使學生產生厭倦心理。
二、培養數學思維能力的重要性
高中數學是小學和初中數學的集合，是大學數學的基礎，因此，高中數學成為一個重要的過渡期，也是培養數序思維能力的重要階段。較強的數學思維能力能夠增強學生的邏輯性，這種邏輯性不僅體現在學習生活中，也體現社會生活中。嚴密的邏輯性，能夠使學生將各知識點融會貫通，舉一反三，掌握適合自己的學習方法，提高學習效率，在與人交流中有理有據，贏得傾聽者。
此外，數學思維能力是激發創新能力的重要因素。在解答數學題中總有一種現象“條條大路通羅馬”，也就是不止一種方法解答問題。這就需要學生有著獨特的創新思維，這種創新思維能夠為學生尋找最簡便的解答方式，也為學生今后發展提供探索精神。
三、如何培養學生的數學思維能力
首先，教師采用啟發式教育代替“填鴨式”教育。以往傳統式教育，教師在課堂上講解典型題型的解題方法，學生根據典型題型具備的特點分析其他題型，這樣局限了學生的思維，學生很容易“鉆牛角”。而啟發式教育，讓學生在解題過程中總結解題方法。例如：三角函數求最值的問題。
求f（x）=sinx+2的最大值和最小值。
解：x∈[+∞；-∞]，sinx∈[-1，1]，
故當sinx=1時，f（x）max=+2
當sinx= -1時，f（x）min= -+2
教師要用例題的形式，在利用函數有界性方法求三角函數最值時，首先要重視x的定義域，并做出相關圖像，圖像能夠直觀清晰告訴學生最大值的位置。
2.利用配方法，求最值
例如：求f（x）=cos?x+4sinx-3的最值。
解：f（x）=1-sin?x+4sinx-3
配方得 = -（sinx-2）?+2
當sinx=1時，f（x）max=1
當sinx=-1時，f（x）min= -7
3.將三角函數式轉換為只有一個角的函數
例如：f（x）= sinx+cos（x-π/6）的最值
解：f（x）=sinx+cosxcosπ/6+sinxsinπ/6
=3/2sinx+/2cosx
=sin（x+π/6）
當sin（x+π/6）=1時，即x=2Kπ+π/3（K∈Z），f（x）max=
當sin（x+π/6）= -1時，即x=2Kπ-2π/3（K∈Z），f（x）min= -
4.利用換元法求最值
例如：求函數f（x）=x+?的最值
解：令x=cosα，且α∈[0，π]，則?=sinα
原函數為：f（x）=cosα+sinα=sin（α+π/4）
又α∈[0，π]，則α+π/4∈[π/4，5π/4]
因此：當α+π/4=π/2時，即α=π/4時，f（x）max=；當α+π/4=5π/4時，即α=π時，f（x）min=-1
其次，采用學生講解例題的方法，讓學生做老師，為學生講解自己解題的方法，這樣的方法有利于促進學生數學思維的交流，也能夠激發學生學習數學的興趣，增添學習樂趣，教師為學生搭建平等展示的舞臺，在共同探究下討論新思路開發新思維。
最后，學校經常開展數學競賽，鼓勵學生參與，給與參賽者一定獎品。這樣為學生搭建競爭和交流平臺，營造活躍的學習數學的氛圍。
四、總結
在高中數學教學中，培養學生數學思維是學生學好數學的前提，也是適應社會生活的基礎。因此，加強高中學生的思維能力是當前教育的首要任務。
參考文獻：
關鍵詞：高中數學教學；問題；有效策略
高中數學知識點內容冗雜、知識點復雜且散亂，是難度較高的學科，學生在學習過程中，隨著知識難度的加大，學習信心受到打擊，缺乏學習數學的主動性，再加上數學教師一直沿用以往教學方案，學生在學習過程中處于被動地位。
一、高中數學教學中問題提出的現狀
教師沿用傳統、單一、僵硬的教學方式向學生傳授知識，學生處于被動地位，教師難以與學生產生共鳴，導致教師教得很辛苦，學生學得很認真，卻沒有取得應有的效果，出現教學效果差、效率低的問題。
二、分析問題提出的有效策略
高中數學教學中問題的提出主要依靠教師和學生，教師根據學生的學習情況和自身能力提出合適問題，學生在學習過程中主動提出自身不理解的問題，只有雙向探究，才能提出有效問題。
1.推理提問
高中數學所有知識都是有聯系的，解題的方法和思路不止一種，教師在講解知識時，要善于將各個知識點聯系到一起，這樣更有助于學生記憶和運用。
2.舉一反三式提問
高中數學中，求函數最值一直是基礎又復雜的內容，與此同時，求函數最值的方法較多，需要學生記憶，但是死記硬背的方法不利于學生靈活運用，可以采用“舉一反三式提問”。
（1）利用函數的有界性求最值
首先要重視x的定義域，并做出相關圖象，圖象能夠直觀清晰地告訴學生最大值的位置，該種方式是教師為學生講解求最值的基礎方法。
（2）利用分配法求最值
（3）將三角函數式轉換為只有一個角的函數求最值
3.反映式提問
該種提問方式是由學生向教師提問的一種方式，學生上交預習表，教師從“學生問題”一欄獲取學生在學習過程中遇到的問題，在教學過程中充分結合產生的問題制定教學方案，解決學生學習中的問題。
在高中教學中，教師提高課堂效率的有效方法是通過設置問題的方式，鼓勵學生進行探究，學生在探究中總結解題思路，更加有利于記憶和運用，學生做學習的主體，主動學習，根據學習過程中產生的問題，對數學教學提出相應問題，教師根據學生的問題為其講解，實現“因材施教”，只有這樣，才能激發學生的學習興趣，培養學生發現問題的能力。
一、高中數學解題教學現狀
1.解題技巧過于具體
高中數學解題教學中存在解題技巧過于具體化的問題，一些教師過分關注典型題目解法，并且這些題目都給出了幾種解題方法，導致這類題的解題思路固定化，使得一部分教師認為沒有必要再仔細研究課本.其實課本給出的解題方法才是最基礎的、最通用的，只有熟練掌握課本中的解題方法，才能在此基礎上探究出很多其他方法.課本中的解題方法雖然不是最典型的、最簡單的，但注重學生的基礎知識訓練，如果忽視了這些，必會帶來學生基礎的薄弱.
2.過于依賴解題教學
目前，很多高中教師很依賴解題教學，在教學中搞題海戰術，認為學生解題能力與數學高分直接掛鉤.雖然提高學生的解題能力是高中數學的目的，但題海戰術并不是達到這一目的的有效途徑.教師常把題目分類，針對各題型例子講解并做大量的訓練，使學生達到
識別模型，熟練套用的效果.這種方法雖有一定的效果，但學生缺乏反思的時間，學生所掌握的是解題步驟的套用，偏重于記憶能力培養，弱化了思維能力培養.
3.缺乏反思解題習慣
高中數學大量的題海訓練，使學生少了反思的時間，這不利于學生反思解題習慣的培養.一些學生追求解題數量，很少反思解題中出現的問題，不愿意花時間糾正，不愿意整理自己的解題思路，導致解題中會犯同樣的錯誤，導致解題教學效率低下.解題反思需要調動學生的積極主動性，只有學生主動反思，才能提高解題效率.
4.解題遷移能力較差
數學解題過程中，部分學生雖然了解了要考查的知識點與內容，但由于對知識點的掌握不牢，缺乏解題能力，不能很好地理解解題方法.由于一味的追求解題量，忽視了對基礎知識的學習，對數學概念、定理等知識的掌握停留在表層，不利于舉一反三能力的培養，不利于數學知識的遷移能力培養.
二、高中數學解題教學的反思途徑
1.反思知識點
高中數學解題教學中會涉及到很多知識點，如果學生掌握的知識點不系統，解題中就會出現就題論題的現象，這不利于學生解題能力的培養.因此，解題教學中教師應引導學生積極反思知識點，通過解題使學生對數學公式、定理等知識的掌握更為條理、系統，弄清新舊知識之間的聯系脈絡，從而提高解題能力.例如：設函數f（x），g（x）分別是R上的偶函數和奇函數，當x=0時，f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，且有f（6）=0，解關于x的不等式f（x）g（x）>0.這道題注重新舊知識間的聯系，學生仔細觀察f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0后，很容易就能發現與h（x）=f（x）g（x）的導數有密切關系，所以構造函數h（x），得出當x>0時，h（x）的單調性.學生在解題中通過知識間的聯系引入了構造函數法非常好，為了加深學生理解，教師應引導學生深入反思，全面考慮問題.課本中有很多這樣的例題，教師教學中應注重引導學生反思知識點，從而引導學生在解題中加深對知識的理解與掌握，提供具體反三的能力.
2.反思題目條件
為了提高學生靈活解題的能力，解題教學中可引導學生反思題目條件開展變式教學，如通過變換題目條件得出新結論，從而使學生掌握更多的知識，拓展學生的知識面.例：點P在橢圓x24+y2=1上運動，求定點Q（0，3）與動點P的距離|AP|的最小值.這對學生來說是很簡單的，對這樣的題，教師應引導學生變換題目，得出不同的結論.變式的方法多種多樣，如結論變式：將求最小值變為求最大值.已知變式：將橢圓改為雙曲線x23-y2=1；將定點Q變為（0，t） （t>0），求|AQ|的最大值；將橢圓改相關的圓、拋物線等等.這樣反思解題條件，能使學生考慮條件與結論之間的聯系，由一題多變提高學生思維的靈活性、深刻性，從而優化解題思路.
3.反思解題方法
數學解題教學中不斷反思解題方法，能學會從不同的角度、側面分析問題，從而拓展學生視野，提高思維的靈活性與深刻性.例：已知等腰三角形腰上的中線長是3，則該三角形面積的最大值是（ ）.對這類題教師應引導學生反思解題方法是否可以推廣，因為等腰三角形是軸對稱圖形，解題中常借助直角坐標系進行研究，采用數形結合思想解決.同時條件中給出了“中線”，求三角形面積時可以運用三角形重心性質.對這一問題有多種解法，能進行多角度的轉化，教師先不要列出解題方法，讓學生討論反思，培養學生思維的靈活性與變通能力，從而調動學生積極性.
4.反思結論作用
高中數學解題中，有些題目很簡單，但是其結論應用較為廣泛.解題教學中如果只是找出解題方法，忽視對結論的探索是很可惜的，因此應反思結論在解題中的作用，比如：證明一個定圓上任意一點到與圓相離的定直線上最大距離是圓心到直線距離加上半徑，最小距離是圓心到直線距離減去半徑.這個問題很容易證明，但它的結論給了我們很大的啟示，例如圓C：x2+y2=1，直線l：x-y+a=0，試討論圓上有幾個點到直線距離等于2.很顯然運用剛才的結論，再加以討論就可以得到.
5.反思易錯點
【關鍵詞】高中數學；生活性教學
我國著名教育實踐家陶行知曾經提出“生活即教育”的理念，而知識學科體系形成的過程，就是不斷認識自然、探究自然、改造自然的過程，數學學科作為一門與現實生活緊密聯系的基礎性教育學科，同樣如此。實用主義學者認為，教育實踐活動的最終目的，就是為了教會學生學習的方法，更好的解決生活中的實際問題和社會現象。高中數學課程改革綱要中，將學生解決實際問題的生活性數學思想，作為教學活動的根本目標和重要內容之一，提出了具體而明確的要求。由此可見，新課改下的高中數學教學，應該將學生生活意識和能力素養的培養，作為有效教學活動的重要內容之一，抓住數學學科與現實生活緊密的內在特性，設置反映現實生活的問題情境，讓學生在感知、解答、辨析生活性問題中，形成運用多種思想解決問題的綜合運用能力，為技能型人才培養奠定堅實基礎。
一、注重現實教學情境創設，為學生增添探究生活新知內在潛能
數學學科源于生活，時時刻刻服務于生活，是通過數學符號或圖形反映和概括現實生活問題或現象的學科只是之一。同時，學生情感發展“最近區”對現實生活性問題較為敏感，在一定程度上能夠對學生學習潛能激發起到促進和驅動作用。生活性作為數學學科內在特性之一，為教師創設具有激勵性的教學情境提供了條件和基礎。因此，高中數學教師在教學活動中，要將“認識和改造自然”作為教學活動的重要目標，善于利用高中生心理發展和情感發展的一般特點，認真分析研究教材內容以及目標要點，放大數學內容與現實生活的內在聯系點，設置具有貼近學生實際、有效激感、驅動作用顯著的生活性教學情境，使學生在現實性情境氛圍中，積極情感得到激發，“要我學”向“我要學”態度的有效轉變。
如在教學“三角函數”知識內容時，教師為了增強該知識內容的生活性特征，從而激發起學生學習知識、探究知識的內在潛能，抓住該知識點與現實生活中的“商品銷售利潤”問題緊密結合點，設置了“某工廠生產A產品x噸所需費用為P元,而賣出x噸這種產品的售價為每噸Q元, 已知P=0.1x2+5x+1000,Q=-x\30+45。該廠生產并售出x噸,寫出這種產品所獲利潤W(元)關于x(噸)的函數關系式。”具有濃厚生活特性的教學情景。學生在此情景中，內在潛能得到有效激發，生活意識得到有效增強，從而主動進入到知識內涵的學習活動中。
二、注重典型數學問題教學，為學生傳授解決實際問題要領
現實生活問題或現象千變萬化，這就決定了選擇的解決方法，采用的解決措施各種各樣，因事而異，必需抓住關鍵，有的放矢。數學問題同樣如此。同一數學內容可以通過不同數學問題形式進行展現，同一數學問題可以結合不同思想采用不同解題方法。因此，高中數學教師培養學生解決現實數學問題能力水平，就要將問題方法要領傳授作為問題有效教學的重要內容，善于抓住數學知識點內涵要義，體系關聯，采用“由特殊到一般”形式，抓住知識要點難點，設置典型性數學問題，開展問題解答方法師生共同探究活動，引導和教會學生開展類似問題解答的方法要領，為學生更好開展自主解答現實問題提供方法指導。
問題：已知函數f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R。求函數f(x)的最大值及取得最大值的自變量x的集合。
這是一道關于“三角函數”方面的知識問題，通過對該問題的分析，可以發現，該問題實際是考查綜合運用三角有關知識的能力。因此，教師在問題解答過程中，向學生指出：“該問題解答可以利用三角公式,三角函數的性質及已知三角函數值求角等基礎知識,采用兩種解法進行問題解答”。其解題過程如下：
解：解法一：
f(x)=+sin2x+=1+sin2x+cos2x=2+sin(2x+)。
當2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)時, f(x)取得最大值2+。
函數f(x)的取得最大值的自變量x的集合為{x/x∈R,x=kπ+(k∈Z)}。
解法二：
f(x)=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=2sincosx+1+2cos2x=
sin2x+cos2x+2=2+sin(2x+)。
當2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)時, f(x)取得最大值2+。
函數f(x)的取得最大值的自變量x的集合為{x/x∈R,x=kπ+(k∈Z)}。
三、注重綜合數學案例剖析，為學生培養良好數學思想素養
問題：設等比數列{an}的全n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求數列的公比q。
解：S3+S6=2S9，+=2?，
整理得 q3(2q6-q3-1)=0。
由q≠0得方程2q6-q3-1=0。(2q3+1)(q3-1)=0,q=或q=1。
教師教學過程如下：先引導學生對該問題內容及條件進行觀察、分析，找出該問題所涉及的數學知識以及條件關系，接著要求學生根據解答內容提出自己的設想，此時教師向學生展示上述解題過程，引導學生組成小組，對上述解題過程進行辨析，找尋問題解答優缺點，學生在分析辨析過程中，發現該問題存在“在錯解中，由+=2?，整理得q3(2q6-q3-1)=0時，應有a1≠0和q≠0。在等比數列中，a1≠0是顯然的，但公比q完全可能為1”缺點，此時，教師引導學生對該問題進行“補充修正”，最后與學生一起總結該問題解題方法：“在解題時應先討論公比q=1的情況，再在q≠0的情況下，對式子進行整理變形。”
關鍵詞：高中數學；總結歸納；舉例
進入高中以后，我發現很多身邊的同學不能適應數學學習，進而影響到學習的積極性，以致成績一落千丈。出現這樣的情況，原因很多。我認為造成這樣的原因注意是學習方法不等當。高中數學學習的方法有很多，我認為學習數學養成歸納、總結的習慣是很必要的。歸納總結知識的方法，即可以加深對知識的記憶、理解，使知識系統化、程序化。有助于數學思想方法的形成，從而為學好數學奠定了基礎。那么如何進行歸納總結呢？
一、每節課的小結
老師講的每一節課一般都圍繞1-2個中心問題，要根據不同的內容做出恰當的總結。比如要注意挖掘概念的內涵和外延，對于公式要注意成立的條件及使用的范圍，這是說明性的小結；對典型例題總結出一般性的規律和方法。
二、單元的小結
通常概念、公式的學習是局部的、分散的，因而在頭腦中呈零亂無序的狀態，難以形成有規律的清晰的認知結構。因此，當每一單元結束時，若能將這些知識，方法以一個新的角度串聯起來，就可以形成一個完整的認識結構。
三、知識間的總結
隨著學習的不斷深入，總結的層次應再提高一步。既要注意知識縱向，橫向各個層面的聯系，又要重視其程序化的科學組織，使大及中形成系統性的知識網絡。 通過課堂小結、單元小結、知識整體的串聯，一定會在我們的頭腦中形成數學知識的立體的網絡，那一道道的習題不過是我們網中的一條條小魚。數學還有什么可怕的呢？
下面我就線性規劃做一總結舉例：
線性規劃主要考查二元一次不等式組表示的區域面積和目標函數最值（或取值范圍）；考查約束條件、目標函數中的參變量的取值范圍等等；其主要題型有以下五種類型。
類型一：求二元一次代數式最值（取值范圍）
例1：設x，y滿足約束條件，求z=x-2y的取值范圍
解：作出不等式組的可行域，作直線x-2y=0，并向左上，右下平移，當直線過點A時，z=x-2y取最大值；當直線過點B時，z=x-2y取最小值.由得B（1，2），由得A（3，0）.zmax=3-2×0=3，zmin=1-2×2=-3，z∈[-3，3].
方法點評：作出可行域，求出交點坐標，代入目標函數，求出最值。
類型二：求二元一次分式最值，二元二次代數式最值
例2：變量x、y滿足
（1）設z=，求z的最小值；（2）設z=x2+y2，求z的取值范圍；
解由約束條件，作出（x，y）的可行域如圖所示.由，解得A.由得C（1，1）.由，得B（5，2）
（1）z==. z的值即是可行域 中的點與原點O連線的斜率.
（2）z=x2+y2是可行域上的點到（0，0）的距離的平方.可行域上的點到原點的距離中，
dmin=|OC|=2，dmax=|OB|=29.2≤z≤2
方法點評：常利用目標函數的幾何意義來解題，常見代數式的幾何意義有：①表示點（x，y）與原點（0，0）的距離，表示點（x，y）與點（a，b）的距離；②表示點（x，y）與原點（0，0）連線的斜率，表示點（x，y）與點（a，b）連線的斜率.
類型三：知目標函數最值，求參數值
例3：已知a>0，x，y滿足若z=2x+y的最小值為1，則a=________.
解：作出不等式組表示的可行域，易知直線z=2x+y過交點A時，z取最小值，由得zmin=2-2a=1，解得a=.
方法點評：知目標函數最值，求參數值，轉化為找出最值點坐標，代入目標函數。
類型四：最優解有多個（不唯一）求參數值
例4：x，y滿足：，若z=y-ax取得最大值的最優解不唯一，則實數a的值為（ ）A.或-1 B.2或 C.2或1 D.2或-1
解：由y=ax+z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，
（1）當a>0時，要使z=y-ax取得最大值的最優解不唯一，則a=2；
一、構造函數解題
高中數學是整個中學數學的集合體，里面的知識聯系密切，環環相扣.學生只有整體把握，才能取得更好的成績.而在高中數學中，有些問題看似與其他知識點毫不相干，但實際上卻是關系密切.比如說有些數字題似乎與函數無關，但是如果我們根據題設的特點，就可以構造一個函數，然后再利用函數的有關性質來解決問題.
【例1】已知a、b、c、d、e均為實數，且a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值.
解：設f(x)=4x2+2(a+b+c+d)x+(a2+b2+c2+d2)，
因為f(x)=(x+a)2+(x+b)2+(x+c)2+(x+d)2≥0對任意實數x
總是成立的，所以判別式Δ=4(a+b+c+d)2-4×4(a2+b2+c2+d2)≤0，
從而得到Δ=4(8-e)2-16(16-e)2≤0，解得0≤e≤3．2，易見當a+b+c+d=1.2時，e的最大值是3.2.
二、構造方程解題
方程是數學中的重要組成部分，在高中數學解題中具有重要的意義.可以說，從初中數學到高中數學，方程思想始終是數學解題的重要思想，只有熟練運用方程思想，才能在各種數學問題中找到突破口.
【例2】a，b，c均為實數，證明：a，b，c均為正數的充要條件是：a+b+c>0，ab+bc+ac>0,abc>0．
分析：運用方程思想進行思考，就會發現a、b、c正好作一元三次方程的實數根，因此具備了采用構造方程來解題的基本前提.下面就直接從證明其充分性開始.
證明：
設p=a+b+c>0，q=ab+bc+ac>0，r=abc>0，則a，b，c是方程x3-px2+gx―r=0的三個實數根，由于x≤0不滿足方程，所以方程的實根必為正數，故a、b、c均為正數.
利用這樣的方程思想，避免了常規解題方法的繁瑣環節，大大提升了學生的解題效率.
三、構造向量解題
向量問題也是高中數學的重要內容，許多學生只是單純地把向量當做一個知識點來記憶，而忽視了它與其他知識點之間的關聯，從而失去了解題的另一種可能.高中數學教師應該向學生強化向量的概念，并引導學生利用向量來解決相應的問題.
【例3】求證:a2+b2+(1-a)2+b2+a2+(1-b)2+(1-a)2+(1-b)2≥22.
分析：本題的特點是左邊為幾個根式之和，因此可借助向量的模來解題
證明：設z1=(a,b),z2=(1-a,b),z3=(a,1-b),z4=(1-a,1-b),
那么，左邊｜z1｜+｜z2｜+｜z3｜+｜z4｜≥｜z1+z2+z3+z4｜=｜(2,2)｜=22，本題獲證.
四、構造圖形解題
數學是具體的，但是也是抽象的.精煉的語言，加上簡單的數字符號，就構成了一道數學問題.面對這么少的信息和條件，學生只能對信息進行擴大和轉換，讓數學問題具體化，才能更快地破題.而構造圖形，無疑是將數學問題具體化和簡單化的最佳方法.高中數學教師在教學中，應該盡可能地鼓勵學生通過構圖法來解題.
【例4】解不等式｜｜x-5｜+｜x-3｜｜＜6.
分析：從表面上看，這類題目的一般解法是通過分區間來求解，這無可厚非，但是卻顯得比較麻煩，而如果能夠在此構造雙曲線，那求解的過程就變得較為簡便.
解：設F1(-3，0)，F2(5，0)，則｜F1F2｜=8,F1F2的中點為O1(1，0).又設點P(x，0),當x滿足題設不等式時，P點在雙曲線(x-1)29-y27=1的兩頂點之間，所以1-3
從上面的幾個例子，我們可以看出，構造法在解題中的應用是十分廣泛的，高中數學教師在教學中，應該注意引導學生從構造法的角度出發，思考問題.當然，從另一個角度上看，也足以證明學生在面臨一個數學問題時，必須要善于轉換思維，善于展開廣泛聯想，能夠在有限的信息中找到各類知識的橫向聯系，進而尋找到巧妙的解題途徑.這就需要教師在教學中經常對學生進行這方面的訓練，幫助學生逐步提高自己的思維能力和解題能力.
參考文獻
［1］馮曉華.巧用“構造法”解題［J］.云南教育(基礎教育版)，2004（35）.
關鍵詞：新課標；高中數學；習題教學；思考
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）02-107-01
隨著我國新課程改革的不斷推進，高中數學習題教學越來越受重視。由于新課標提倡以“學生”為中心，要求尊重學生的主體地位及其差異性，并在次基礎上實施個性教學，從而提升每名學生的創新意識，促進學生的綜合發展。高中數學習題教學要適應新課標這一背景，充分考慮學生個體思維模式與學習能力的不同，做好高中數學習題教學。
一、高中習題教學的重要性思考
目前，新穎的教育理念貫穿于我國教學課程的改革過程中，不僅轉變了傳統的“灌輸”式教學模式，還辨析了教師與學生的地位。具體來說，其重要性主要表現為順應課改新要求，體現學生的主體地位兩個方面。
眾所周知，高中數學習題教學與高考數學接軌，這一特征更多地體現在“題海戰術”中。受課本的局限，大多數高中數學教師只強調基礎知識和理論，忽視了對學生的邏輯思維能力的培養，使學生對于逐漸加深的數學知識產生“消化不良”現象。由于我國高中數學教學依然存在著“以課本為中心”和“以教師為中心”的情況，學生跟著教師安排的進度開展學習，自主學習的意識比較缺乏，加之大多數教師只關注學生的數學成績，不主動挖掘學生的內心想法，學生在被動學習的過程中顯得很吃力。這種學習狀態不僅會使學生逐漸失去學習信心，還會阻礙學生發展獨立探究能力，很難長久持續下去。可見，“缺乏生命活力”的傳統教學已經無法適應現代教學的發展，高中數學習題教學不得不反思，在“去粗取精”的過程中不斷探索。
二、如何做好高中數學習題教學
1、以生活化教學激發學生解題興趣
數學學習過程中，枯燥的“題海”往往會打壓學生的學習興趣，這就得引導學生調整心理，幫助學習建立起解題的興趣。數學課堂若可以貼近生活，學生學習欲望不足的問題就迎刃而解了。比如，我會結合實際中辦廠盈虧的測算，鼓勵學生自己“辦廠”，并在班級里面組建起“銀行團隊”和“工人團隊”，讓學生貸款經營，并引導學生完成工廠進材料、工人加工、銷貨等環節，以一個月為限，看看誰的工廠盈利。另外，我會給學生布置課后作業，讓學生與家人一起思考生活中數學？并讓學生把思考的結果記錄下來，與老師同學們一起分享。這樣，經過一系列生活化教學實踐，學生的興趣得以激發，學生的學習自信心也不斷提高，在一定程度上也發展了綜合能力。
2、以問題引導數學習題教學
引導數學習題教學的方法不固定，問題教學是最有效果的方法之一。實踐證明，問題引導作為解決和完善數學問題的科學教學方式，可以給學生的深入鉆研提供一個平臺，有助于學生主動思考。數學教師應該堅持“以問促思、以問創新”這一原則，合理引入問題教學情境，把學生的好奇心與教學內容結合起來，這樣才能促進學生數學邏輯與創新思維的發展。具體來說，就是利用問題情景的創設，在課堂上能為學生提供各種各樣具體形象的情境，引導學生進行豐富的聯想，在激發學生求知欲望的同時，引導學生把新舊知識聯系在一起，發揮問題引導的教學功能。其次，教師要“趁熱打鐵”，通過合理的類比與全面的練習，合理利用數學習題教學，讓學生辯證地繼承與創新學習知識，最終形成綜合實踐能力。
3、靈活運用所學知識完成習題
豐富的習題與靈活的解題技巧是習題教學不可或缺的部分。因此，教師的課堂講解一定要重視對學生思維能力的培養，利用習題的靈活性達到檢查與鞏固學生所學知識的目的，并鼓勵學生“舉一反三”，提高學習效率。筆者將結合一個習題實例具體分析。
問：已知 x，y≥0 且 x + y = 1， 求 x?+ y?的取值范圍。
解法一 ：從函數的角度思考
根據條件 x + y = 1變形得 y = 1-x，帶入x?+ y?中
則x?+ y?= x?+ （ 1-x）?= 2x?-2x + 1 = 2（ x-1/2 ）?+1/2.
因為x，y≥0 且 x + y = 1，可以得出x∈[0，1]
依據二次函數的圖像與性質，當x =0或x =1時，x?+ y?取最大值1；而當 x =1/2時，x?+ y?取最小值1/2；
所以x?+ y?的取值范圍是[1/2，1]
這一解法體現了兩種基本的數學思想方法，既變量替換與數形結合。當學生對函數及其性質有了一定認識時，教師就可以突出函數的圖像特點，把變量替換與數形結合思想的優勢發揮出來。
解法二： 從對稱換元的角度思考
條件已知 x + y = 1； x，y≥0
設 x =1/2+ t， y =1/2-t，其中 t∈[-1/2，1/2 ]
帶入x?+ y?中，
x?+ y?=（ 1/2+ t） ?+（ 1/2-t） ?=1/2+2t?， t?∈[0，1/4]
當 t?=1/4時，x?+ y?取最大值1；當 t?= 0 時，x?+ y?取最小值1/2。
除上述兩種方法之外，還可以利用三角換元思想進行題目的解答，這里就不再贅述。其實三種方法都以解題為目的，只是所依據的思維不同、化簡運算量不同而已。
總之，在教學實踐中，高中數學習題教學的優勢不可阻擋。教師不能只求解題過程的簡單，而應該引導學生多樣化解題，啟發學生利用所學知識主動思考，在提高學生對數學認識的同時，增強學生的思維能力和自信心。
高中數學題里面往往存在很多個變量或者是未知的條件，這些條件的存在增加了解題的難度，同時也使得數學題變得更加的復雜、難以解答。因此，要想有效的解決這些問題，我們可以利用代換法的方式，給數學解題更換新的解題思路。將一些復雜的、困難的問題轉化成相對簡單的、容易解答的問題。其中我們在數學題的解答過程中常用的代換法就有函數代換、等量代換、變量代換等。因此，只有科學合理的掌握的這些代換法的使用，我才能進一步提高自己對數學難題的解答水平。
二、首先，分析代換法在高中數學三角函數中的應用
三角代換是高中數學所學知識當中的重點內容，三角代換的重點是利用合適的三角代換將代數表達式變成三角表達式，從而達到解題的目的。例①：如果不等式√x+√y≤k√（2x+y）對任何正實數x、y均成立，求k的取值范圍。解：首先在不等式兩側全都除以√y，由此式子變為：√（x/y）+1≤k√（2x/y+1）①第二步：設√(x/y)=（1/√2)tanθ(0＜θ＜π/2)然后在①式當中帶入x/y=1/2tan2θ，此時得到：（1/√2）tanθ+1≤k√(tan2θ+1)等價于k/cosθ≥(1/√2)•(sinθ/cosθ)+1化簡可推出：k≥(1/√2)sinθ+cosθ因為(1/√2)sinθ+cosθ=（√6/2）sin(θ+α)且α被tanα=√2(α為銳角）確定。因此，當sin(θ+α)=1時，(1/√2)sinθ+cosθ存在最大值，且為√6/2。由此可知k≥√6/2，所以k值取值范圍是[√6/2,+∞)。
三、其次是在高中數學函數知識當中運用變量解題代換法解決問題
函數本身就比較復雜，在解題中我們經常被復雜的函數式所迷惑，所以在解答的時候應該利用代換法簡化復雜的函數式。例②：已知a不等于0，等式為1/2f（2/a）+3f（a/3）=a/2-17/2，求f（a）解：設2/a=d/3、a/3=2/d，且a=2/d由此可以推斷出f（a）=a-2/a。由此得到問題的答案。
四、然后是在高中數學概率問題中應用等量代換法
概率問題一直是我們學習的難點，由于概率問題涉及面廣，需要較強的分析能力，所以我們在學習的過程中，必須具有高度敏捷的思維，并需要搭配有效的解題方法才能夠有效的解決問題。例③：某個箱子里面存在8個紅球、4個白球，這些球只有顏色不同，其他的都相同。問，若某人隨意的在這個箱子里面拿出5個球，此時拿出紅球的概率應該是多少呢？解析：設摸出的紅球有X個根據題意可知p(x=3)=C38C24/C512=14/33≈0.42421。答：隨機的從箱子里面拿出5個球，摸出紅球的概率為0.42421。例④：XXX市區有一個超大型商場，最近在舉辦促銷活動，活動規則明確說明抽獎的大箱子里面有10個號碼各不相同的乒乓球，其中8個白色球、2個黃色球，每一位顧客都可以隨機的拿出來兩個球，若都是黃色就是一等獎；問，顧客能摸出一等獎的概率是多少。解：首先設顧客摸出一等獎的概率為f(x)，其次，要從10個球中摸出任意兩個球的概率為。再次，從兩個黃球中摸出兩個黃球的概率是。由此可以推斷顧客在摸球的時候，要想全部摸出黃球的概率f(x)=C22/C210=1/45。所以，顧客能夠摸出一等獎的概率為1/45。
五、最后是利用比值代換解決高中數學方程問題
要想利用比值代換去解決數學中存在的問題，那么題中的已知條件或者是所求的量和變量之間就應該存在一定的關系。例⑤：若某直線經過點（-3,5,9），并且與直線L1/L2相交，L1=:y=3x+5z=2x-3,L2=y=4x-7z=5x+10，求此直線的方程。解：第一步，設該直線的方程式是：x+3/I=y-5/m=z+9/n使x+3/l=y-5/m=z+9/n=t，則可以推斷出x=-3+Ity=5+mtZ=-9+nt,此時將該公式全部帶入到直線方程L1當中，由此可得：（m-3I)=1n=2I然后使x+3/I=y-5/m=z+9=s此時可以推斷出x、y、z分別為-3+Is、5+ms、-9+ns。接著將x、y、z的值代入到L2中，此時可以得到等式（m-4I)s=-24(n-5I)s=4經化簡推論出m-4I/n-5I=6此時在式子（m-4I)/(n-5I)=-6中代入n=2I，取出m=22I；然后令I=1，此時可以推論得出m=22、n=2由此可知，直線方程f（x）=x+3=y-5/22=z+9/2。
六、結語
綜上所述，我這次對高中數學解題中常用的集中代換法進行了詳細的作答，并通過有理有據有節的解題思路，正確的闡釋了代換法靈活應用的方法。只有這樣，作為學生的我才能夠不斷的提高自己的數學學習水平、提升自己的數學知識綜合運用能力。
作者:陳日升 單位:湖南省益陽市箴言中學1419班
參考文獻：
[1]李麗.變量代換在求解一階微分方程中的應用[J].山西大同大學學報(自然科學版).2012(04).
關鍵詞：高中數學;解題訓練;有效性
【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 B 【文章編號】 1671-8437（2015）02-0074-01
1 強化審題訓練，提高解題準確率
審題是解題的出發點和首要步驟，深入細致的審題是正確解題的的前提和關鍵。在解題教學過程中，我們不難發現，學生審題不當是導致錯解產生的重要原因。審題不當主要表現以下方面：一是未能正確領會題意要求。某些學生在解題過程中盲目求快，操之過急，在未能真正理解題意要求的情況下匆忙做答，從而導致錯解;二是忽視題目中的隱含條件。條件是解題的主要材料，充分利用條件間的內在聯系，挖掘每一個條件的內涵和隱含的信息是成功解題的必經之路。然而，學生在解某些數學題時，往往忽略這些隱含條件，致使錯解產生。
例1 求函數f（x）=log0.5（x2-2x-3）的單調區間。
錯解：u=x2-2x-3=（x-1）2-4在（-∞，1]上是減函數，在[1，+∞）上是增函數.又log0.5u是減函數，所以函數f（x）的遞增區間為
（-∞，1]， 遞減區間是[1，+∞）。
錯解分析：上述錯解產生的主要原因在于未能認真審題，忽略了函數f（x）的定義域（-∞，-1）∪（3，+∞）這一條件的存在。
正解：函數f（x）=log0.5（x2-2x-3）的定義域是（-∞，-1）∪
（3，+∞）. u=x2-2x-3=（x-1）2-4在（-∞，-1）上是減函數，在
（3，+∞）上是增函數.又log0.5u是減函數，根據復合函數的單調性，函數f（x）的遞增區間是（-∞，-1），遞減區間是（3，+∞）。
因此，在高中數學解題訓練中，教師要注意強化學生的審題訓練，引導學生對問題進行全面分析，認真讀題審題，明確題意要求，準確把握題目中的關鍵詞與數量關系，深入挖掘題目中的隱含條件，快速找出解題方向，明確解題思路，使數學問題得到正確、有效的解決。
2 鼓勵一題多解，培養思維靈活性
一題多解是數學教學中的重要方法之一，它體現了思維的靈活性和廣闊性。在高中數學解題訓練中，教師要鼓勵學生一題多解，進行發散性思維，引導學生從不同角度、不同側面、不同途徑去思考、分析問題，探求出不同的解題思路和方法，找到最佳解法，培養學生多向思維能力，提高學生分析問題、解決問題的能力。
例2 已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。
解法一（運用基本不定式）：由于x、y≥0且x+y=1，
則xyQ=，從而有0QxyQ，
于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy
所以，當xy=0時，x2+y2取最大值1;
當xy=時，x2+y2取最小值。
評析：運用基本不定式解題是最為常用的數學方法之一，它可以解決一些含有兩個未知量的最值問題，但要注意等號成立的條件是否同時滿足。
解法二（對稱換元思想）：由于x、y≥0且x+y=1，則可設
x=+t， y=-t，其中t∈[-， ]
于是，x2+y2=（+t）2+（-t）2
=+2t2 t∈[0， ]
所以，當t2=時，x2+y2取最小值;
當t2=時，x2+y2取最大值1。
評析：對稱換元思想可以簡化減元結果，便于學生求值。
解法三（函數思想）：由x+y=1得y=x-1，則
x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x-）2+
由于t∈[0，1]根據二次函數的圖象和性質可知，當x=時，x2+y2取最小值;當x=0或x=1時，x2+y2取最大值1。
評析：函數思想是高中數學重要思想方法之一，對于二元或多元函數的最值問題，往往是通過變量替換轉化為一元函數來解決。
3 注重錯題分析，增強解題實效性
錯誤是正確的先導，在數學學習過程中，錯誤是難以避免的，因此，在高中數學解題教學中，教師要善于引導學生開展錯題探究，進行自我反思總結，自主發現問題，深入挖掘錯題的形成原因，探求避免類似錯誤出現的方法，并收集整理錯解，形成錯解集，從而深化知識理解，掌握解決同類問題的技巧。
一、高中數學體驗式教學的概念
高中數學體驗式教學，指的是在高中數學教學過程中，依據相關的心理學及教育學理論，結合高中學生的認知能力和心理特征，教師積極營造良好的課堂學習氛圍，使學生學習的興趣、好奇心及求知欲得到大大激發，引導他們積極獨立自主參與討論、交流、合作，使學生通過體驗式的教學活動學會數學應用和理解數學知識，并產生對數學學習的積極情感，從而發展數學應用能力，在精神層次上實現建構的教學模式和理念.
二、體驗式教學的理論依據
（一）建構主義理論
在學生培養認知能力的過程中，其逐步養成自己獨特的學習觀被稱為建構主義，它所體現的意義是學生不再被動地去接受教師所授予的知識，而是積極主動以自身已有的經驗和知識為基礎去建構知識活動.也就是說，是學生在學習的過程中，借助自己現有的經驗和知識，主動積極參與探討、研究，與同學溝通、交流，從而構建新的認知結構的過程.它提倡學習是學習者積極主動建構自己經驗知識的過程，是通過新知識經驗與原有知識經驗的相互作用而不斷豐富、改造和充實自己現有知識經驗的過程.它非常重視學習的社會性、創造性、實踐性和主動性.
（二）活動建構的理論
教育家盧梭認為：教學來源于生活，應讓學生在貼近實際生活的氛圍中進行學習，通過參與生活實踐，不斷地獲得經驗，獨立自主地進行學習，反對學生被動地去接受知識或單純地學習書本上的知識.他認為教師的職責不僅僅在于教給學生各種文化知識，更重要的是去指導學生要學會從周圍事物環境中主動地去學習，這種學習模式必須與實踐經驗、科技發展、現代生活相結合，從而使學生獲得真正實用的知識.
三、高中數學體驗式教學策略
（一）生成積極的情感體驗
教師必須創設一個活躍的課堂教學情境，調動學生學習的興趣，激發學習的能力.不動情感的學習，會產生疲倦感，疲倦狀態下的學生，不能有效地吸收知識.因此，在開展數學課堂教學的過程中，教師應積極地營造良好的課堂教學氣氛，讓學生親身體驗數學，這樣可以大大提高學生學習數學的興趣，使學生生成積極的情感體驗.因此，營造活躍的課堂教學氣氛，是體驗式教學最有效、最重要的組織形式.
（二）增強合作意識，加強交流溝通
在交流與合作的具體實施過程中，必須重視學生參與的積極性，要保證參與的質量，從內在實質上做到真正的交流與合作，避免只注重形式或只在公開課上的“形式性”的交流合作.在交流合作與過程中，教師應發揮其積極的主導和組織作用，要特別注意對學生參與交流與合作過程中的評價方式，評價是交流與合作環節必不可少的一部分，在學生進行交流與合作后，教師一定要對學生的表現給予評定，并對他們進行鼓勵性的評價.
如，在進行“直線和圓”復習課時，遇到了這樣一道題：已知圓O：x2+y2=1與直線l：y=k(x+2)相交于A，B兩點，O是坐標原點，AOB的面積為X，求X的最大值，并求出取得最大值時的k值.如何解答這道習題，可以組織學生小組之間進行交流與合作，各小組先內部探討解題方法，然后各小組之間再探討交流解題的方法，最后各合作小組匯總得出了若干種比較好的解法.
（三）積極參與數學實驗，體驗數學知識形成過程
在數學教學的過程中，教師應積極引導學生參與數學實驗，創設問題情境，指導學生在數學實驗中通過合作交流、操作實踐、自主探究，發現問題、提出假設、驗證假設和概括假設并創造性地解決問題，這是高中數學體驗式教學的一種重要形式.如在上“圓錐的定義”這堂課時，教師可以選擇多種有效的數學實驗促使學生更生動地體驗和理解圓錐的定義.實驗中學生親自動手操作畫圖，研究橢圓圖形，從而使他們更好地理解了橢圓概念及其形成過程.
（四）組織數學講座，拓展思維加深體驗
關鍵詞：高中 數學質量
在課堂教學工作中，如果教師把學生所反映出來的具體問題集中起來處理后，能夠引導學生積極針對新問題展開研究。這樣可以讓教學時間與教學內容有機地結合并指導學生不斷探究、改善、創新。讓學生在遇到類似的問題后，能夠在思考的基礎上提出新的概念和方法。高中數學教師的主要任務就是促進學生完善自己的學習方式，使其不斷變得靈活多樣。通過高中數學的改革能夠看出參加學習的主動性、積極地性。筆者結合自己多年的教學經歷及高中數學教學中存在的相關問題進行了具體的分析。
一、理論知識形象
學生在學習高中數學的過程中，除了要學會自主學習或積累知識外，還要學會對整個高中的數學知識進行全面的整理，更重要的是要將自己所學習到的知識通過專業術語來進行表達。在實施高中數學課堂教育后發現了兩個顯著的特點：第一，數學的推理、概括、歸納保持原樣；第二，高中數學知識是新、舊知識的結合，其各個知識點都是互相聯系的。是舊知識與新知識的結合點，即要不斷發展的。
學習是一件比較注重全面的事情，通常情況下，直觀、形象、具體的知識是很容易被學生接受的。但是數學的知識恰恰與其相反，數學知識的特點是符號化、概括化，抽象化，這就讓學生很難弄清公式、定理所表達出來的數學含義針對這一問題，高中數學教師應該積極思考，能夠把數學結論的推導過程詳細地講解給學生聽，使學生能夠運用自己的方法將數學知識由符號化、規范化、概括化轉化為自己能清楚理解的形式，這樣就對學習很有幫助，學生學習數學的能力將得到發展。
二、培養發散思維
數學是一門理科知識，在學習過程中應該積極培養學生的發散思維。高中學生對某一些問題常常會提出自己的看法，這樣就能充分帶動學生積極學習的動力。在數學方面進行指導后所體現的就屬于思維的發散性。在教學中，為了促進教學質量的不斷提高，教師在課堂上完全可以根據學生的理解能力來選擇各種手段，如引導思考、實踐活動、多媒體演示等，這樣才能使得整個課堂教學發揮出良好的教學效果。
例如，求函數f(B) -sinB一cosB一2的最大值和最小值。求解時可用以下多種思路:(1)利用三角函數的有界性來解;(2)利用變量代換，轉化為有理分式函數求解;(3)利用解析幾何中的斜率公式，轉化為圖形的幾何意義來解;等等。通過這一問題，引導學生從三角函數、分式函數、解析幾何等眾多角度尋求問題的解法，溝通了知識間的聯系，克服了思維定式，拓寬了創新的廣度，從而培養了學生的發散思維能力。
三、教學方法靈活化
數學本身就是一門理科類學科，這就要求學生的思維以及頭腦反應能力要強，學生也只有在掌握了多種解題方法后才能對所學的知識有個詳細的了解。“變式教學”的實施就能解決這一問題，這種教學方法的重點在于解題方法的變化，即學會“舉一反只”。表現為:數學題目的一題多解，一題多變，多題歸一等不斷變化的教學方法。比如:教師在課堂上先向學生提出問題，給學生足夠的思考空間，經過觀察、分析、歸納等過程就會得到完整的數學概念，加深了學生的理解應用。
四、教學內容系統化
教學既是一種工作，也是一個學習的過程，教師在教學過程中不斷學習改善，才會提高教學質量。數學的邏輯性很強，概念、法則、公式、定理是組成數學知識的主要元素，在某種條件下也可以相互轉化。根據這種情況，重新整理各種知識結構、方法、技巧是高中數學教學的重點內容在知識結構整理方面，需要進行雙方面的整理工作，縱向知識和橫向知識都應該整理到位，從而將教學內容融會貫通。
例如:反證法、配方法、待定系數法等等。需要強調的一點是，如果進行配方法的教學，在舉例的過程中需要說明它除了可以解決二次函數求極值間題，對于因式分解、根式化筒、韋達定理也是能夠進行解決的。
五、數學知識“應用化”
數學知識本身就是比較抽象的，而且知識點比較難懂。目前高中數學的教學方式多數還是依靠學生的聽講、記憶、做題目來學習知識，這些方式已經有些落后于現代教學，對于培養創新型人才已經是滿足不了的了。筆者認為，高中數學教師在教學中要積極培養學生自主探索、動手實踐、合作交流的學習能力，以提高學生的實踐能力為目的開展教學。通過培養數學的實踐能力來提高學習效率和教學質量。
例如:對于“分期付款中的有關計算”這一課題的研究，教師不但需要安排學生參加社會實踐弄清銀行的有關知識外，還應該讓學生弄清二種付款方式的計算情況，再進行分組展開交流，使每個人得出的結論都能與實際的結果相符合。討論可以從這些具體的方面進行:(1)只采用方案2，算出每期的付款額、總共的付款額與一次性付款進行對比分析，將得到的結果填人表格并針對這一問題開展研究；(2)采用方案1和方案3時，每期付款額、總共付款額與一次性付款進行對比分析，將結果填人表格，總結出其中的特點與解決方法。
編者按：最值問題遍及高中數學的所有知識點，綜合性強，是高考的必考內容.同時，最值問題可以將各種知識作為背景來進行考查，形式多樣，不容易被考生所掌握.如果考生從最值問題的常見類型、求解策略以及解答時的易錯點三個角度來備考并加以掌握，其實最值問題也沒想象中那么難.
近幾年高考中的最值問題，在考查內容上，涉及的知識點廣泛，如求函數的值域，求數列中的最大項或最小項，求數學應用問題中有關用料最省、成本最低、利潤最大等問題；在解題方法上，求最值的方法有很多，如判別式法、均值不等式法、變量的有界性法、函數的性質法、數形結合法等.
1.二次函數的最值
求解二次函數的最值一般是先配方，再借助二次函數的圖像解答.數學中的很多最值問題最后常轉化為二次函數的最值問題來求解.
例1 （2008年高考重慶理科卷）已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為
難度系數 0.70
解 選C.
小結 二次函數的最值問題是其他很多最值問題（如三角函數、數列、解析幾何、應用性最值問題）的基礎.最值問題要特別強調“定義域優先”的原則，本題實質上是求給定區間內的二次函數的值域問題.
2.導數法求最值
導數的引入為函數最值的求解開辟了一條新路，我們通常用導數法求函數的最值要比用初等方法簡便得多，因此導數法求最值也是一種不可忽視的方法.
設函數在上連續，在上可導，求的最大值與最小值的步驟如下：
①求函數在內的極值；
②將函數的各極值與， 進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
例2 （2011年高考江西理科卷）設上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；
（2）當在上的最小值為，求在該區間上的最大值.
難度系數 0.60
解 （1）解答過程省略.
（2）令，可得兩根所以在和上單調遞減，在上單調遞增.
當時，有，所以在上的最大值為又即在上的最小值為于是得從而在該區間上的最大值為
小結 本題主要考查函數與導數的基礎知識.導數是研究函數單調性及最值的有效工具.
3.均值不等式求最值
均值不等式：若，則當且僅當時等號成立.應用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.
例3 （2012年高考湖南理科卷）已知兩條直線 和l1與函數y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點A，B ，l2與函數y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b.當m 變化時，的最小值為
難度系數 0.55
解 由題意得選B.
小結 本題除了考查考生對對數函數圖像的理解外，還考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解題時應注意將配湊成的形式，再利用基本不等式進行求解.
4.輔助角型三角函數最值
求函數y=asin ωx+bcos ωx的最值可以轉化為求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函數的有界性可求.
例4 （2011年高考新課標理科卷）在則AB+2BC的最大值為 .
難度系數 0.65
解 最大值為2
小結 本題考查正弦定理的應用及三角函數的性質和公式的應用，熟練運用化一公式并利用函數的有界性處理是解答問題的關鍵.
不等式的恒成立問題
不等式的恒成立問題常轉化為函數的最值問題來求解.如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函數的最小值為0，其中
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若對任意的有成立，求實數k的最小值；
（Ⅲ）證明難度系數 0.50
解 （Ⅰ）據題意可知函數 的定義域為由當x變化時的變化情況如下表：
因此， f（x）在x=1-a處取得最小值.由題意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1.
（Ⅱ），取，有，故不合題意.當時，令，即，于是
令，得
①當時， 在上恒成立，因此在上單調遞減.從而對任意的，總有，即在上恒成立.故符合題意.
②當時，對于，故在上單調遞增.因此，當取時，，即不成立.故不合題意.
綜上可知，k的最小值為.
（Ⅲ）證明過程省略.
