時間：2023-09-21 17:35:25
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇常見的高中數學公式，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、高中數學概念教學的重要性
概念具有高度抽象和高度概括的特點，是數學命題的基本單位，概念的實際應用可以幫助我們理解復雜的事物，將其簡化、分類或概括.概念從我們固有的內在經驗出發，建立新的情境并分類，我們能夠發現新的知識或事物的本質.
學生在學習數學概念時可以鍛煉自己的空間想象能力和思維能力，又可以達到理解數學概念進行實際應用的目的.高中數學概念是高中數學基礎知識的主體與核心，它的基礎性地位是學生進一步學習的前提.對學生的思維能力、空間想象能力、學習能力是一種鍛煉.
二、高中數學概念的特點
⑴普遍性.通常數學概念是代表一類事物而不是一種事物的.例如，“長方體”這個概念是代表所有長方體物質的抽象概念，而不是具體指某一個長方形物體的大小、顏色和質料.
⑵形式化.數學概念多是用數學符號來表示的，比較形式化.例如，用“S”表示三角形面積、用“∑”表示求和等.所以在教學中要注意數學符號在數學概念中的應用.
⑶簡明化.數學概念是高度抽象和概括的，而且其中包含了很多的數學符號，所以形式或結構非常簡明，易于記憶和理解.
⑷辯證性.數學概念具有個別和一般、具體和抽象的辯證統一的特點.
⑸系統性.多個數學概念可以整理為一個系統概念，例如，將整數、分數和小數概括整理為有理數.
三、高中數學概念教學的現狀
高中數學的教學特點使得教師的教學任務重，教學方法單一.很多教師在實際教學中重視解題技巧而忽視數學概念，往往是將數學概念簡單地教給學生，重點放在將數學概念的實際應用和解題上.這種本末倒置的做法使得學生對概念理解不清、認識模糊，通過死記硬背將這些概念機械地記憶下來，在解題過程中無法很好地使用數學概念，學習能力提高不上來.在遇到新的數學題型時就束手無策，無法獨立將數學概念運用自如.
很多老師意識不到數學概念教學的重要性，認為學生最重要的是解題能力的提高，但是解題能力和理解能力是建立在掌握數學概念基礎之上的.對于這種簡單的數學概念教學模式急需進行教學改革.
四、高中數學概念的教學方法
（1）多角度剖析數學概念
高中數學概念多數由數學公式、圖形、文字、數量關系等組成，所以對這些定義的理解非常重要.教師要從這些方面入手，多角度的幫助學生吃透數學概念.
首先，可以從數學公式、文字和圖形入手.例如，在學習立體幾何時，對“二面角”的學習就可以從圖形、文字和公式三方面層層遞進來學習.如圖1所示.
圖1
其次，可以從數量關系和位置來分析數學概念.在學習橢圓的相關概念時就可以畫圖，分別將焦點在x軸上和y軸上的橢圓方程展現出來.橢圓標準方程為x2/a2+y2/b2=1（焦點在x軸）和y2/a2+x2/b2=1（焦點在y軸），其中，a>b>0.從數量關系和圖形位置來幫助學生將抽象概念具體化，激發他們的學習興趣，提高他們的思維能力.
（2）明確數學定義，擴展外延
首先，在學習某一數學概念時將這個概念的基本屬性教給學生，并注意進行外延的擴展，提高學生的學習能力.例如，在學習“函數”概念時，要讓學生明確與函數相關的定義域和值域，以及函數圖象和對應法則等.
其次，對數學概念進行適當的擴展，引導學生深入理解并提高解題能力.在學習函數時，還要對常見的函數單調性、周期性和奇偶性進行擴展和練習.
（3）創設情境，幫助學生理解
數學概念的抽象性和形象性使得它僅憑語言解釋或枯燥的黑板教學是不能讓學生全面掌握的，還要為學生創設相關的情境，從而加強概念引入，激發學生的學習動機.利用學生身邊實際發生的事或經常接觸到的物體進行概念教學.例如，在學習“四面體”時，對它的一些抽象概念進行情境創設，將學生們常見的四面體拿到課堂上來或讓同學們想象自己在接觸四面體時的感受，并進行分析和總結.
（4）加強變式訓練
概念學習關鍵是要會運用，很多數學題型都不是對數學概念直接的運用而是數學定義的變式，教師要加強對學生變式解題能力的鍛煉和拓展.例如，對二項式定理的變式，將（a+b）n中的a、b、n進行替換來出題訓練學生對概念的深層理解能力.
摘要：在新課改的前提下，提出了許多新的教學方法，要求老師在進行教學的過程中，不僅要以“教”為主，還要倡導學生進行自主學習，積極培養學生自主學習的積極性和興趣。因此，每一位數學老師在進行數學教學的過程中，要重視自主學習的重要性，要做到為學生服務的教育目的，將自主學習方法更好的應用在教學中，去為每一位高中學生的“大學夢”提供條件和機遇。
關鍵詞：高中數學 數學教學 自主學習
隨著我國教育事業的發展，教師在教學過程中改變了原有的應試教育理念，越來越注重對學生能力的培養。本文主要通過對學生自主學習存在的問題進行分析以及針對問題提出一些相應的對策，希望提高高中數學教學質量，為高考做好充分的準備。在高中數學課堂教學過程中，培養學生的自主學習精神可以提高學生的數學學習能力，能更有效地提高教學質量，也為學生緩解學習壓力和充分的掌握知識做好基礎性準備。自主學習是一個良好的學習方法，能在有效地時間充分的掌握知識。但是目前我國高中學生在數學自主學習方面還是存在著許多的問題和不足，嚴重地制約著數學成績的提高，老師在數學教學的過程中也不注重自主學習的培養，造成了數學學習“先天不足后天畸形”的狀況。因此，探究其學習方面就顯得非常重要。
一、影響高中數學教學中自主學習的原因
（一）在傳統的教育環境下，教師的教學主要是讓學生增長知識，從而利用豐富的知識來應對考試。在以往的教學過程中，教師只注重知識的講解，以傳授書本知識為目的，讓學生學習書本中的解題思路和方法。這種教學形式嚴重制約了學生的思路，使學生在數學自主學習過程中只是盲目的套用數學公式和解題思路，降低了學生的主觀能動性，從而限制了學生的思維。教師在課堂中利用大部分時間來講解數學知識，其余的時間用來講題，給學生的空間較少，學生之間缺少互動和交流，這在一定程度上限制了學生進行自主學習，使學生自主學習受到了很大的限制，嚴重制約了學生的發展。教師在教學過程中沒有認識到培養學生自主學習的重要性，沒有為學生自主學習創造條件，造成了自主學習成為一句空話。
（二）高中階段的學生進行自主學習的負擔比較繁重，學生將大部分時間分配給語文、英語和數學等其他專業課學習上，這就導致學生自主學習不能更好的進行，從而使學生的自主學習受到限制。高中學生面臨著高考的壓力，語文、英語等課程所占用的時間比較多，再由于時間有限等，造成了學習自主學生時間有限。老師在數學教學的過程中，大量的給學生預留數學作業，布置一些相對比較困難的數學問題，就給學生進行自主學習帶來了壓力，學生在匆匆忙忙的緊張學習氣氛中，沒有充分的時間來自主進行學習。
（三）對于每一位高中學子來說，在面臨巨大的課程壓力和高考壓力下，他們幾乎已經是筋疲力盡了，每天課程安排幾乎是滿滿的，一節課接著一節課，讓很多學生沒有時間進行自主學習，即使有了一點空閑的時間，都是去放松一下緊張的學習心情，參加課外活動，進行自主學習的時間也就會大大地減少。
二、高中數學教學中自主學習的創新對策
（一）給予充分的學習時間，調動學生學習積極性。在高中數學教學的過程中，由于語文、英語以及其他課程占用的時間比較多，這樣就給數學自主學習帶來了困難。所以，老師在教學的過程中，要給數學安排合理的自學時間，充分的調動學生自學數學的積極性。老師要充分的給予學生自主學習的空間，破除課堂中老師主導作用，讓學生成為課堂中的主體，也要給予學生良好的自主學習空間和舒適的學習環境。
（二）培養學生自學興趣。一個良好的自主學習興趣是非常重要的，也是學習的前提。老師在教學的過程中，應該充分的培養學生自主學習的積極性，讓他們在學習的過程中感悟到自主學習的重要性和帶來巨大的成就，讓學生在無形之中養成自主學習習慣。
比如說在學習圓與圓的位置關系一課時，老師可以充分的借助多媒體給學生展示出多種圓之間的關系，要給學生充分的時間來搜集生活中常見的圓與圓，展示自己所取得的成就，充分的調動學習的積極性。
（三）提高學生的自信心，消除他們的自卑感。在進行高中數學自主學習的過程中，應該充分的照顧學生的自我特點，對于比較抽象的、邏輯思維能力要求比較強的數學知識，應該降低學習的難度，或者上課的節奏放慢一些，多和學生相互接觸，幫助他們把所學到的知識領會和消化，讓他們進行自主學習。老師要在學生學習中充分的做學生心目中的“知心人”，讓他們產生信任感，讓他們在心理上產生共鳴，處于積極、樂觀的學習態度之中。在有效教學中，老師還應該采用激勵的辦法來鼓勵學生大膽地對不懂的數學知識進行質疑，要鼓勵他們，即使問題是錯的，答案也是錯的，我們也應該給予他們肯定和表揚，排除他們害怕學習數學、不想學習數學和消極學習數學的心理障礙。
（四）學習方法的指導。在高中數學自主學習教學過程中，老師要特別重視的是對學生數學學習方法的指導，要把觀念下的死記硬背等轉化到動腦、動手、動嘴和靈活記憶中來，破除數學自學中困難比較大的題目。
比如說在自學的過程中，我們常常會遇到一些應用題，這類應用題的難度比較大，也比較繞口，學生在進行自主學習的過程中，面對巨大的數字、龐大的解題難度和數學公式的應用，這就讓學生無法進行解答。所以，我們應該指導學生適當的舍棄這些知識，把時間花費在困難適中的數學知識上，實現數學方法的指導教學。
【關鍵詞】高中；“美”式教學法；數學之美
中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）09-0060-02
許多高中生總是認為數學知識太過抽象、枯燥，無從下手。他們在數學學習上花的時間不少，卻總是不見成效，久而久之便喪失了對數學學習的信心。高中數學新課程標準明確指出，在數學教學過程中，要重點培養學生善于發現美、鑒賞美、創造美的能力。因此，筆者嘗試運用“美”式教學法，引導學生發現數學之美，讓學生在感受數學知識發生的同時，培養學生分析問題、解決問題的能力以及邏輯思維能力，讓學生感受到數學的魅力。
一、數學之美
教育心理學認為，教學活動中的美是不可忽略的。數學是理性思維和想象的結合，它是建立在社會需求的基礎上的，所以便產生了數學美。那么，什么是數學的美呢？如何將數學之美滲透到高中數學課堂教學中呢？數學之美就是將自然規律抽象成一些概念、定理或公式，通過演繹構成一幅現實世界與理想空間的完美圖像。自古以來，許多國內外著名的數學家都十分關注數學美，并作了深刻的探討。畢達哥拉斯發現了勾股定理，贊嘆直角三角形簡單、和諧的美；愛因斯坦從歐氏幾何教科書中發現了數學的嚴謹、精確與明澈之美；華羅庚教授高度贊賞了數學的內在美。
二、數學之美的幾種表現形式
數學的美是豐富多彩、千姿百態的，有美的理論、美的公式、美的曲線、美的形式符號、美的證明等。從數學的內容與形式結合起來考察，發現數學美有以下幾種表現形式：
1. 統一美
數學的統一性具體表現為數學概念、方法、規律、理論的統一，數學與其他學科的統一，給人一種整體和諧的美感。如正方形是特殊的長方形，長方形是特殊的平行四邊形，平行四邊形是特殊的四邊形。這體現了數學知識部分與部分、部分與整體的關系，體現了數學的統一美。因此，在高中數學教學過程中，教師要注重引導學生比較、歸納、總結數學的概念、公式等，以便更好地探索數學知識的內在聯系，形成網絡知識體系。這樣既可以加深對知識的理解與掌握，又能培養學生的合情推理、演繹推理能力。
2. 簡單美
愛因斯坦說過：美，本質上終究是簡單性。數學的簡單、明快給人一種和諧之美，這種簡單并不意味著數學對象本身的簡單，而是指數學對象由盡可能少的要素通過最簡單、經濟的方式組成豐富而深刻的內容。有些數學問題，表面看起來很復雜，但本質上是簡單的。數學的簡單美表現在以下幾個方面：一方面，數學結構具有簡單美。以數學理論的邏輯結構為例，理論前提簡單，理論表述簡單，定理和公式簡潔、明晰；另一方面，數學方法具有簡單美。一個美的數學方法或證明包含簡單性的含義。因此，在引導學生進行解題的過程中，要注重觀察，學會分析問題，尋找最簡單的解題方法。
3. 對稱美
對稱，是自然界中一種普遍存在而且又奇妙有趣的現象。在數學之中處處存在對稱美，如等腰三角形、圓形、球形等具有對稱美，各種概念和定理也具有對稱美，給人一種整齊、沉靜、穩重、和諧的感覺。雪花、對數螺線是對稱圖形，我們了解其中的一部分便能夠知道全部。在高中數學教學過程中，教師要引導學生運用對稱的觀點去分析問題、解決問題，由問題的一部分聯想到對稱的另一部分，由部分突破整體，將復雜的問題簡單化，這樣探索出來的解題方法讓人“耳目一新”，能夠調動學生的學習積極性與主動性。
4. 奇異美
奇異性是數學美的重要特點，包括奇妙與變異兩個層面的意義。如人造衛星、行星等，運動速度不同，運動軌跡不同，可能是雙曲線、拋物線、橢圓形等。曲線的不同跟常數e大于1、小于1、或是等于1，有很大的關系。這其中有很大的奇妙性。在指數函數教學過程中，教師講述這樣一個故事：一張紙，將其對折20次，大約有10米高！這個結果讓許多學生都十分驚訝。所以在高中數學教學過程中引導學生認識數學的奇異美，能夠突破學生認識的局限性，激發學生對數學知識的興趣。
三、數學之美在高中數學課堂教學中的體現
1. 從生活中捕捉數學美
數學來源于生活，服務于生活，我們要從生活中捕捉“數學的美”，將數學知識與生活實際相結合，讓孩子們愛上數學。常言道：好的開端是成功的一半。因此，教師要在導讀環節中引入生活化的知識，激發學生的數學探究欲。如在“不等式的證明”中，a，b，m∈R+，且 a■。
要證明這個公式可以引入生活中的例子，把抽象的知識具體化，讓學生更容易理解、掌握數學知識。在課堂開始階段，先準備一杯糖水，請一位學生品嘗，該學生說：“老師這杯不錯，淡淡的甜味，正是我喜歡的。”之后，筆者在同學們的注視下，又往這杯糖水里加了一勺糖，再讓那位同學來品嘗。這位學生喝了之后皺了皺眉頭說：“太甜了，剛才那杯正好符合我的口味。”這時，筆者趁機提出問題：“請同學們思考一下，為什么這位同學覺得甜了？是什么變了？”學生紛紛答道：“濃度。”于是教師便引導學生一起寫出這個“變甜”的數學公式，證明這個公式是成立的。⑹學問題帶入生活，用數學思維解決生活問題，發現、鑒賞數學之美，讓學生更有興趣投入到數學學習中，真正實現學生的主體地位。
2. 從解題中發現數學思維美
高中數學的又一魅力在于其靈活多變的數學思維可能。這是因為一道數學題可能會有不同的解題方法，而每一種數學方法都是一種美的形式。因此，在高中數學教學中要重視數學的方法美，從不同的角度、不同的思維方式去考慮、解答，給學生充分的美的享受。如在數列知識的練習題中，“已知Sn是等比數列前n項和，S3、S6、S9成等差數列，求證a2、a5、a8為等差數列”，教師在進行該題目的講解時，應該引導學生從不同的角度去思考、解答。既可以通過公式Sn =（a1-anq）/（1-q）（q≠1）進行證明，也可以通過公式Sn=a1（1-q^n）/（1-q）（q≠1），對已知條件進行轉化，從而得出結論。通過一題多解的分析，可以讓學生感受高中數學的多種思維可能性，還能培養學生的發散思維與創新能力，感受數學的思維之美。
3. 在n堂教學中感受數學語言美
數學是一門藝術，它充滿了簡單美、方法美、板書美、語言美等。只有運用通俗明白、生動幽默的語言才能吸引學生的注意力，讓學生聽得有滋有味，達到掌握知識與培養能力的目的。數學課本上的概念、定律、規則等知識點較為深奧，有的知識點甚至是相互交叉的，要想讓學生牢牢掌握數學知識點，除了生活化的教學方法、創設問題情境等，教師還要運用豐富、生動、幽默的課堂教學語言，活躍課堂教學氣氛，充分調動學生的情感。以初等函數的學習為例，為了讓學生掌握其中的幾個定積分式子，教師可以據此設計故事：常函數與指數函數是好朋友，有一天它們在一起玩，常函數一見到微分算子扭頭就跑。指數函數不解，常函數說：“我遇到它，萬一被微分了就什么也沒了。”指數函數聽完說：“也是，我可不怕它，它不能把我怎樣，不過我們是好朋友，我陪你回去吧。”學生聽著生動、幽默、形象的故事，完全沉浸其中，也理解了常函數、指數函數與微分算子之間的關系。這樣，學生就充分感受到了數學的語言之美，牢牢掌握了數學知識。
4. 在課后小結中挖掘數學美
一個好的課堂結尾能夠激發學生對知識的求知欲，充分發揮學生的想象力。在課后小結中，教師要注重引導學生將前后知識聯系起來，明確其中存在的知識規律，從而形成網絡知識結構體系，同時在其中引入數學之美，幫助學生鞏固對知識的記憶與掌握，提高高中數學教學的效果。如在多面體與旋轉體知識的總結過程中，要將常見的特殊多面體與旋轉體相“接”、相“切”等相關的圖形畫出來，如圓柱內接于圓錐、圓柱內接于球等，球內切于圓柱、球內切于圓錐、球內切于圓臺等，再比較它們的相同點和不同點。還要聯系多面體、旋轉體的定義，歸納總結出不同情況下“接”與“切”的空間位置關系以及各個元素之間的關系。在這一基礎上將立體空間的問題轉為平面的問題，化難為易，有效解決問題。這樣有助于學生鞏固和加深對所學知識的理解，形成“知識鏈”，還能引領學生感受美、知識美，從而達到素質教育的目的。
總之，高中數學中處處存在美，如簡單美、對稱美、統一美、奇異美等，但是它以抽象性、邏輯性而為人們所認識，所蘊含的美卻很少有人關注。因此，高中數學教師應該通過各種途徑，引導學生時刻去感受美，一方面轉移學生的學習壓力，體會數學學習的樂趣；另一方面，深入了解高中數學，使學生愉快學習，事半功倍。
參考文獻：
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關鍵詞：微積分，教學改革，實踐
獨立學院屬于公益性教育事業，是民辦高等教育的重要組成部分，有效地緩解了我國長期以來的高考升學壓力，截至2016年5月30日，全國共有獨立學院266所。當前，獨立學院的發展建設從加快發展到提升質量的重要過渡期，其中教學質量的提升任務艱巨，而微積分課程作為一門重要的公共基礎課程，其重要性不言而喻。本文將根據獨立學院學生的實際特點，結合作者近十年來的獨立學院的教學工作實踐，分析獨立學院微積分教學過程中主要障礙和應對方法，分享行之有效的教學經驗，推動微積分課程教學改革。
一、獨立學院微積分教學的現狀分析
與校本部微積分教學相比，獨立學院的微積分教學過程中，教與學之間的矛盾更加突出。一方面，學生是教學活動的主體和中心，學生掌握的程度直接決定微積分教學的成敗。但獨立學院學生高中數學知識掌握程度相對薄弱，這就要求授課教師必須適度降低難度要求，這樣容易導致教師常常局限于教研室所指定的微積分教材。另一方面，，因為所采用的教材理論性太強，概念和定理敘述的很抽象，與現實生活距離較遠，如果僅僅局限于教材，又難以激發學生的學習的自信心和積極性。
所以教師首先需要解決的問題是弄清為了滿足不同專業的學生后繼學習的需要，在微積分授課過程中需要講授多少、多深的知識，同時需要弄清學生在微積分學習過程中的興趣點。例如，針對學生對微積分課程的關注點，作者在2016年6月在經管類專業大二學生中開展了調查問卷，其中設計了16個調查項目，根據調查結果，篩選了其中主要的幾個指標列舉如下圖：
從上圖可以看出很多值得探討的問題，比如學生對定理的證明比較排斥，比較傾向于對定理結果的記憶和應用，這與獨立學院學生的知識儲備密切相關的，盡管如此，作者認為在具體的教學過程中，為了讓學生知其所以然，同時汲取必要的高等數學的數學素養，一部分有代表性的關鍵定理仍需詳細講解，如三大中值定理、微積分基本定理、正項級數三大判別法等。同時可以看出在授課過程中需要加強貼近生活的具體應用。還有，實時通訊手段可以提供學生和老師之間課后的溝通和互動，隨時解答學生的學習問題。
二、獨立學院微積分教學改革的途徑
針對獨立學院微積分教學的種種不足，作者通過分析論證，并結合自己的教學實踐，給出如下建議。
1. 與高中數學有效銜接
2003年，教育部基礎教育司開始實行《普通高級中學課程標準（實驗）》，并逐步在全國試用和推廣。函數、數列、解析幾何、數列極限、三角恒等式等知識點的要求，在課改前后都有不同程度的變化。作者在微積分每個章節的教學過程中，首先熟悉高中數學相對應部分的知識背景，結合獨立學院學生的高中數學知識水平，這樣才能有效地把握所講內容的深度和廣度。
比如，在第二章函數導數部分，高中數學要求學生掌握常見函數的導數公式，并要求學生熟練掌握導數符號與函數單調性的關系，所以在微積分教學中適當減少有關導數在函數單調性上的應用的課時。
2. 熟記公式
督促學生熟記基本的、重要的數學公式，其中一部分是中學所學過的，同時在微積分課程中要常用的公式，如三角函數公式、均值不等式、數列相關公式等。另一部分公式則是微積分課程中的重要結果，如導數基本公式及求導法則、不定積分基本公式和衍生公式、基本函數級數展開式等重要公式。
公式的記憶應該在學生對相關知識理解的基礎之上，記憶的好處是大大提高掌握知識的效率。
3.增加生活中的實例
微積分的應用在實際生活中很常見，例如，提問學生為什么水桶通常都是圓柱形，而且水桶的高和底圓直徑相等？再比如，為什么水渠的橫截面是等腰梯形，而且腰邊的傾角接近60度？諸如此類的例子貼近生活，能有效地激發學生的學習興趣。
4.數學建模
鼓勵基礎較好的學生積極參加國內外各類數學建模比賽，不僅激發學生的學習熱情，鍛煉學生實際應用數學理論的綜合能力，同時還可以增強學生的團隊意識和集體精神。
5.豐富教學模式
獨立學院的微積分教學一貫注重教師板書、講解、互動的教學模式，因為每一步的結果都有非常清晰的前后邏輯關聯性。
而另一方面，如果需要反映數學知識動態演變的過程時，單一的板書卻不能清晰的展示，需要借助數學軟件，如幾何畫板、matlab等。比如在講定積分定義的概念時，借助于動畫，可以很清晰的反映出，在積分區間上隨著插入點的增多，小矩形面積的和與曲邊梯形的面積差會越來越小。
6.引入數學史
所有的數學符號、定義、定理、推論、公式，都有其明確的歷史演變的軌跡，必要的數學史的講解，不僅增加學生與數學之間的情感連接，而且可以減輕學生對數學的枯燥印象。比如，著名的“洛必達法則”的真正發現者不是洛必達；我們習慣上把“微分”排在“積分”的前面，其實從微積分的萌芽角度，“積分”是早于“微分”的，而且從微積分理論的成型角度，“積分”仍然是早于“微分”的。
7.建立數學微信群和QQ群
每次授課的核心知識點通過文字或圖片形式放在群中，方便學生加強鞏固。下一次課的重點和難點部分也提前在群中通知，提醒學生提前預習。通信群的另一個重要作用是，學生有問題及時解答，不留死角。
三、結束語
作者從獨立學院學生的實際情況出發，結合自己多年的教學實踐，分析探索了獨立學院教學改革的途徑，并給出了具體的建議，旨在推動獨立學院微積分教學的改革與創新，提高獨立學院學生的競爭力，為社會輸送更多的綜合應用型人才。
參考文獻：
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關鍵詞：高效課堂；高中數學；高效性；數學教學
中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）08-0194-02
DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.08.126
什么樣的課堂教學才符合課程改革理念，如何最大限度地提高課堂教學效率？大多數教師對新課程實施以及提高課堂效率存在較多困惑，致使課堂教學效率低下。首先，高效兩個字應該體現在教學質量的高標準上，教師的教精準有效，學生的學也清晰顯著。另外，高效也要體現在教學的效率上，高效利用課堂教學時間和課下復習時間，不做或少做無用功，高效完成教學和學習任務。那么，如何達到這樣的效果呢？我們可以從以下幾個方面進行嘗試。
一、與生活接軌，讓學生愛上高中數學
數學是從生活中提煉而來，對于高中數學的一些概念定理、思考的方法等，我們都可以從生活中找到對應。因此，談到對高中數學的喜愛，我們也可以從生活入手，讓教學與生活接軌，將枯燥的數學公式應用到生活中。例如在學習異面直線的概念時，在黑板上畫圖是一種方法，不過最為直觀的還是從生活中找到說明概念的實例，首先從概念的敘述上來說，異面直線是“不同在任何一個平面上的兩條直線”，在此基礎上，再讓學生找出教室或長方體中的異面直線，最后以平面作襯托畫出異面直線的圖形。學生經過以上過程對異面直線的概念有了明確的認識，同時也經歷了概念發生發展的過程。如此這般推及到生活，我們可以讓學生在學完這一概念之后，留意生活當中都有哪些異面直線，將其記錄下來，下次課可以跟大家討論交流。
在高中數學教學中，教師要有將知識與生活相聯系的意識，不僅從書面知識的層面去講解，更要將這些知識與生活相聯系，在講解一些概念定理的時候就要幫助學生理解在生活中這些數學知識都“身處何處”，鼓勵學生去探索和發現。很多時候，我們會覺得數學知識太枯燥，太理論化，只適合于做計算做研究，殊不知，這些看起來“高大上”的數學知識其實都是很簡單的。例如，在學習“二分法”概念的時候，我們就可以創設一定的情境，讓學生去理解所謂的“二分法”為何物。我們可以模擬電視上常見的估價節目。估計一件商品的價格不僅需要對生活中常見商品的價格有個大致的了解，同時也需要根據提示進行更加準確的評估。所以，我們在做這個活動的時候可以先給出學生一個價格區間，再讓學生估價，估的高了或低了都會給與相應的提示，如此一來，最接近的為贏。通過這樣一個生活化的情境游戲，就讓學生對二分法的概念有了非常清晰的理解。
二、促進學生之間的交流合作，鼓勵自主探究學習
若要提高教學效率和效果，都需要W習主體的認真參與，只有學習的主體主動參與到學習之中，教師的努力才會真正有效果。所以，我們可以多引入一些激發學生自主學習的方法，例如，通過小組討論的方式去學習新的知識，去研究問題的解決方法，去爭論其中的分歧。通過這樣類似的一些活動，調動大家的積極性，帶著一顆好奇心去學習。我們可以組織學生在班級中形成數學學習小組，組織一些數學實踐的活動。讓學生通過相互的交流促進對問題的理解，激發他們自主探索的欲望。如今學生進行自主探究學習有很方便的途徑，例如，豐富的、隨時可以查閱的網絡資源，這些網絡資源包括社區、視頻、微課甚至熱心的網友，學生在自主探究過程中可以基本不受阻礙，也給數學老師更多的時間去準備課程，從重復的疑問解答中解脫出來。更重要的是，學生通過自主學習所獲得的知識理解更深刻，學習的效果和保持度都更好。因此，若想構建高中數學高效課堂，應該強化學生之間的自主交流學習。
三、激發學生對高中數學的學習興趣
興趣是最好的老師，是學生學習的內驅力之一，有了興趣就能促使學生積極主動地參與學習。如何在數學教學中激發學生興趣？創設情境就是眾多方法中的一條有效途徑。數學新課標指出，數學教學要緊密聯系學生的生活環境，從學生已有的經驗和知識出發，創設生動的教學情境。很多害怕數學、厭煩數學的學生都是因為數學枯燥無味，認為數學就是機械的記憶公式、定理、解題規律等，要搞題海戰術。所以，首先從教師的角度來說，應該調整落后的教學觀念，按照新的課標要求，將數學教學本身的趣味性體現出來，可以多向優秀的教師學習，將有益的經驗應用到自己的教學工作中。教師也應該多與學生交流溝通，注意收集學生對教學過程的反饋，了解學生的學習效果，鼓勵學生多提一些有助于教學趣味性提升的可行建議。當然每個老師都有自己的風格，學生提出的和其他老師的做法也只是一個參考，還需要結合自己的心理和性格特點進行教學設計，找到自己的風格，走出一條與眾不同的教學之路。當然這些都是為了高效完成教學任務而服務的。
四、轉變教師角色
要實現課堂的高效率，教師要由單一的傳授者轉化為學生發展的促進者，由一味的操作者轉化為研究者；在新課程下，課堂教學從傳授轉化為建構，教師教得好就是促進學生學得好；在新課程下，知識和技能不再是課堂教學的唯一追求，知識技能、過程與方法、情感態度和價值觀等密切聯系。在教學中，教師要精心進行教學設計，多花一些功夫在教學的設計上，提前把學生在自主探究學習中可能會遇到的問題想好，做好預防措施，不斷提高自身的專業素養，教給學生學習數學的方法。教師要用積極的心態去鼓勵學生進行主動的學習，幫助他們樹立克服困難的信心，以開放的心態投入到數學的學習之中。在課堂教學中實施開放式教學應重視數學學習的基礎知識和基本技能、基本思想方法。教學內容的選擇應著眼于教材內容本身的開放，坦然面對學習中出現的錯誤，用接納的態度去面對學習中的一切，汲取其中的教訓。
總之，課堂教學是教師與學生的雙邊活動。要提高高中數學課堂教學質量，必須樹立教師是主導、學生是主體的辯證觀點，形成熱烈的學習氣氛，憑借數學思維性強、靈活性強、運用性強的特點，精心設計教案，注重學生優秀思維品質的培養，變被動為主動，變學會為會學，這樣就一定能達到傳授知識、培養能力的目的，收到事半功倍的效果。 .
參考文獻：
由于長期受應試教育的影響，數學教師往往只重視“灌輸式”教學，輕“探究式”教學。布置大量的練習來讓學生做，是一個被動接受知識與強化知識儲存的過程，沒有以學生為主體開展教學，更沒有師生之間與生生之間的課堂互動。《數學課程標準》明確提出“豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法，是高中數學課程追求的基本理念”，所以，應培養學生學會學習，促進學生學習方式的轉變，切實為學生減負。
一、以綱為綱教學，有限度地擴展知識面
教學中教師總會補充一些數學公式或特殊的解題方法，特別是在數學復習時，高考大綱明確限制這種行為。如，異面直線間的距離，異面直線上兩點間距離公式；采用遞推關系求數列的通項公式等，經常被老師作為補充內容傳授給學生，加重了學生的學業負擔。例如：在等差數列{a■}中，若S■=30，S■=100，求S■。這是一道高考題，教師通常會給學生補充一條性質，那就是在等差數列中，由相鄰的或連續的、相等的項的和構成的數列也是等差數列。一般來說，我們不提倡這樣做。實際上，只要用解等差數列的常見方法，即尋找公差與首項就能解決問題，即：48=x（1-y），60=x（1-y■），解這個方程組得：y=1/4，x=64，所以：S■=x（1-y■）=64[1-（1/4）3]=63。在實際教學中，像這樣補充公式的情況很多。如，在解析幾何“直線”中的“對稱問題”，很多教師就會給學生補充一個公式：點P（x■，y■）關于直線Ax+By+C=0的對稱點的坐標公式，教師會要求學生記住一個點關于直線x±y+b=0的坐標公式。其實，曲線對稱問題，我們可以歸結為點的對稱問題，而點的對稱可以轉化為先求出垂線方程，再求垂足，然后求對稱點的坐標，那么一個點關于x軸、y軸的對稱點的坐標很容易得出，根本不需要補充什么公式。
二、創設問題情境，引導學生自主探究
蘇霍姆林斯基說：“在人的內心深處有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是發現者、研究者、探索者。”高中生的思維比較活躍，對創新已有所認識，教師要轉變教學思想，開拓新的教學方式，引導學生運用發散思維去解決數學問題。進而得出正確的結論，而不是一錘定音給出教師的結論。在例題或習題的教學中，教師還要有意識地給學生創設新異的情境，鼓勵學生不依常規，不受教材或教師傳授內容的束縛，善于從新的角度去探索，追求新穎、奇特的解法，從而為培養學生的獨創性思維注入新的活力。例如：在教學橢圓及其標準方程時，學生對課本中介紹的標準比、程序化的方法很不滿足，他們自行設計，采用令、依題意得、故可得、即或、兩邊平方后得。整個教學情景中，教師只給出問題不給結論讓學生自己去觀察、探究動手實踐等，起到了觸類旁通，減負增效的作用，真正落實了素質教育。所以，面對教改新形勢，教師應及時轉變教學方式，更新教學觀念，努力探索正確的教學方法，努力創造能讓學生主動學習的時機，充分調動學生積極參與到教學活動中。通過創設情境教學，讓學生在掌握知識的同時還獲得了較為深刻的理解，還提高了學生的自主探究能力。
三、給學生減輕負擔，教師要給自己增負
隨著時代的進步，教學方法總是在不斷創新。這就需要教師不斷學習先進的教學理念，吸取先進的教學思想和手段，提高自身的素質和教學能力，為高效率的課堂教學創造條件。要提高課堂效率，還要在備課上狠下工夫。備課，是上好課的前提條件。教師在備課上應多研究，多斟酌，多進行教學探索。“不打無準備之仗”，準備充分對一堂課的教學思路，教學的邏輯性與教學目標的實現，都起到了積極的作用，是高效課堂的充分保證。所以，教師應該用幾倍于一堂課的時間和精力去備好一堂課。例如：在教學“橢圓的標準方程”時，這樣創設情境：天文學家推斷76年以后它還會再次光臨地球上空，那么他們的依據是什么呢？以講故事的方式，娓娓道來，如此親切的話語既拉近師生的距離，產生了情感上的共鳴，又激發了學生探究的欲望，明確了探究、學習“橢圓標準方程”的必要性，激發了學生的學習動機，調動了學生的主觀能動性，達到了預設的目標，很自然地引導學生進入自主探索階段。又如：白居易的“離離原上草，一歲一枯榮。野火燒不盡，春風吹又生。”一詩，反映的是怎樣的數學現象？這一問題讓學生聯想到數學中的一個概念，那就是“周期”。這樣的問題就要求教師在備課中認真預設，精心準備。
四、重視通性通法教學，培養學生的創新思維能力
教師要重視高中數學的通性通法，倡導舉一反三、一題多解。努力培養學生的“六種能力、一個意識”，即運算求解能力、數據處理能力、空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、實踐能力與創新意識。能力的分類和要求與以前有所不同，必然反映在命題中，特別應注意新增加的“數據處理能力”與“實踐能力和創新意識”。另外，“推理論證能力”不同于“邏輯思維能力”，邏輯思維能力注重演繹與推理，即使是“合情推理”，也應引起我們的重視。通性通法就是最基本的性質、最常見的方法。在高中數學教學中，采用這種方法，可以有效減輕學生的學業負擔，能充分體現新課改理念。目前，很多資料中的一些題目出現了運用特殊的技巧才能解出來，而這些特殊的技巧往往是許多老師和學生難以想到的，即違背了通性通法的原則。這無形中也增加了學生的負擔，對學生的思維發展沒有益處。在教學中，我們應該重視通性通法，淡化特殊的技巧。當然，并不是要完全反對補充一些公式，對此應該把握如下原則：一是要有節制；二要看學情；三要看教材的情況。如函數值域的求法，課本中沒有提供任何求法，教學中可以適當地給予補充。
總之，在新課改理念下，我們要積極地培養學生的創新思維，努力給學生減輕學業負擔。這是時代賦予我們的責任。但減負工作是一個系統的工程，需要廣大教師付出辛勤的工作。只要一線教師在教學中不斷實踐與探索，根據學生的學習情況，適時適度開展教學，切實減輕學生過重的學業負擔完全可以實現。
關鍵詞：數學試題 “理想源”
高考數學試題的命制，最理想、最基本的“理想源”自然是現行高中數學課本涉及的定理、公式，課本中的例題、習題的變式、演繹，往年高考試題，歷屆中學數競賽試題，各地優秀的模擬題。這是一個試題的海洋，許多學生對知識的串、并、結網和形成框圖能自如掌握，但是，就如何以最少的試題量駕馭試題的海洋，還是一籌莫展。本文就近年來的高考試題探索高考試題的產生規律，尋求能夠活化數學知識、提升數學能力的數學試題“理想源”。
一、 以概念為“源”
1. 如正純小數為“源”
解析：由向量加法的平行四邊形法則，OP為平行四邊形的對角線，該四邊形應是以OA和OB的反向延長線為兩鄰邊，則y取最大值0，此時 =x ，所以x的取值范圍是［0，1］。
2.二次函數y=ax +bx+c(a≠0)無疑是中學數學和高考的亮點，它的定義域、值域、開口、對稱軸、單調性是那么熟悉，可是就是它們又使我們的學生感到陌生、可怕。如果我們引入絕對值則有y=ax +b|x|+c，這時的二次函數則等價轉化為分段函數y=ax +bx+c(x＞0)ax -bx+c（x＜0），這個時候的定義域、值域、開口、對稱軸、單調性就不是二次函數那么簡單了，把a、b、c具體化，如求y=x +|x|+2的最小值還較容易，若化為求y=x +|x-1|+2最小值就不那么簡單了，再引入參數則有求y=x +|x-a|+2的最小值，則成了高考題。
（3）幾乎每一個數學知識點都可以引發、轉換為數學試題，如y=log 在其定義域單調，引入絕對值后，則有y=log |x|，就有了對稱性，繼續變換有y=log |x-1|，則失去了偶函數的性質，對稱軸變為x=1，再引入參數a，有y=log |ax-1|，求這個函數的對稱軸，則成為一道考查對數運算、對數函數性質的題目。
對數函數是單調的，一次函數也是單調的，每一個知識點都比較容易掌握，如果從簡單的形式開始復合會是什么樣子呢？如x∈[0，1]，求y=log (ax-1)最大（小）值。這道題考查了對數的定義域ax-1＞0，復合函數的單調規律，分類等。對數函數是“繁殖率”很強的“理想源”，它與二次函數、一元有理分函數、形如y=x+ 都可以復合得到很好的考查數學知識的能力的試題。
三、“類比”是最好的試題“源”
案例1：設函數f(x)= ，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值為 。
分析：此題利用類比課本中推導等差數列前n項和公式的倒序相加法，觀察每一個因式的特點，嘗試著計算f(x)+f(1-x)。
案例2：在平面幾何中，有勾股定理：“設ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB +AC =BC 。”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則?搖?搖?搖?搖?搖。”
分析：關于空間問題與平面問題的類比，通常可抓住幾何要素的如下對應關系作對比：
關鍵詞：課堂實錄；數學公式；教學策略
筆者近期聽取了一節名為《三角函數誘導公式》的錄像課，現以本節課為例，談談公式教學的策略問題. 本課由南京師范大學附屬中學劉洪璐老師執教，所用教材為普通高中課程標準實驗教科書（江蘇教育出版社2008年出版，以下簡稱教材）必修4.
課堂實錄分析
1. 問題情境，引入課題
片斷一：
T：同學們，在前面的學習當中，咱們已經將角的概念由銳角擴充到任意角了，而且也已經知道了任意角三角函數的定義.那么任意角三角函數值怎么去求呢？先來看問題1：求出390°的正弦值、余弦值（PPT給出），請同學們思考.
T：那么和30°角終邊相同的角的同名三角函數值都相等嗎？？搖？搖
S2：相等. 終邊相同的角計算三角函數值時都可以取終邊與單位圓的交點，結果相同.
分析：進行公式教學時，應首先關注公式的來龍去脈. 所謂“來龍”不僅指對公式的推導. 筆者認為，公式存在的必要性也是“來龍”的一部分. 因此，公式的引入就顯得非常重要. 本課以390°的正弦值、余弦值這個看似簡單的問題激發學生對于任意角與常用角的同名三角函數值之間關系的探討，使誘導公式的出現自然、不突兀.
2. 公式推導，方法總結
片斷二：
T：非常好，這兩個角的數量間有什么關系，它們角的終邊間有什么關系？
S4：30°+150°= 180°，它們的終邊關于y軸對稱.
T：那就有sin（180°-30°）=sin30°. 同學們思考，式子中的30°用α替換是否成立？
S5：任作一個角的終邊與單位圓交于P，作終邊關于y軸的對稱線與單位圓的交點P′，P與P′縱坐標相同（如圖2），這兩個終邊表示的角的正弦值相同. （教師幾何畫板展示）
T：很好，總結一下，剛才我們怎么得到公式的？
S8：先作單位圓，找到α與180°-α的終邊與單位圓交點，它們關于y軸對稱，那么橫坐標互為相反數，縱坐標相同，就有了正弦值、余弦值的關系，正切可由余弦與正弦得到.
T：非常好，我們得到如下的關系轉化圖.
（板書）？搖 角的關系對稱關系坐標關系三角函數值間的關系
下面同學們沿著這個思路，找找還有哪些角的終邊與α在坐標系中有特殊的對稱關系？它們的同名三角函數值有沒有特殊的對應關系？
S9：（板演，作答）我研究的關于x軸對稱，如果α在第一象限，關于x軸對稱的角就在第四象限，可以用-α來表示，這時P′點橫坐標與P點相同，縱坐標互為相反數（如圖3），就可得到sin（-α）= -sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα.
分析：三角函數的誘導公式是具有相關并列關系的公式群，相互之間結構類似，若通過死記硬背，往往容易產生混淆.
本例中通過師生合作找到了研究的共同出發點――圖形中終邊的對稱關系. 從單位圓這一公共圖形中開辟了一條相同的研究方法.學生通過自主探究，經歷從數量關系到圖形關系再到數量關系之間的相互轉化，從而生成新的公式. 同時在公式記憶時，學生可將公式的代數映象轉換為視覺映象，使抽象的數學知識形象化. 整個學習過程中，學生能主動用所掌握的知識進行師生、生生間的交流，由此學生數學學習能力與學習自信心得到增強.
3. 公式運用，深化理解
T：請同學們完成下列練習：
例1 求下列三角函數值
（2）cos（-60°）；
（3）tan（-855°）
（學生板演） ……
分析：本課練習只安排了例1.題目設置與本課的問題引入“求出390°的正弦值、余弦值”保持了呼應，使得整節課有問有答，前后呼應. 同時三個小題涉及不同情況下角的轉化，對誘導公式進行了基本運用，且教師引導學生探尋不同的轉化途徑，題與題之間保證了統一性.
數學公式的教學策略
1. 公式引入的策略
在新公式的引入階段，為了激發學生的意義學習，加深對所學公式的感知和理解，教師應盡力創設有利于學生集中注意、激發學習動機的情境，并以此情境為契機，促進學生調動原有知識結構與經驗基礎積極同化新公式.
（1）創設數學問題情境
在新公式學習之前，教師可以從與原有知識類似但原有知識無法解決的問題出發，激發學生學習的熱情，促進學生溫故知新. 學生若能以新舊知識的聯系為橋梁，以新舊知識的區別為突破口，對新知識產生探究的渴望，那么這一情境的創設就是成功的. 如由“390°的正弦值、余弦值”引入誘導公式；再如由兩角和與差的正余弦公式引入二倍角公式.
（2）創設生活實際情境
數學公式往往很多最初都來源于生活世界，但是當它們在教材中呈現時，這些生活面貌大多已經隱去了. 如果教師能在公式展示之前賦予這些公式生活的背景，那么學生就能從被動轉為主動. 此時數學公式的外表往往也能更加親和、容易接近，從而降低學生對于新知識的畏懼程度，消除他們對新知識的抵抗心理. 如教材必修5第39頁等差數列前n項和的引入“某倉庫堆放的一堆鋼管，最上面的一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根，怎樣計算這堆鋼管的總數？”
（3）創設實驗操作情境
公式引入也可以以一些簡單的、可操作的數學實驗來呈現.數學知識的發現并不一定要以嚴密的邏輯推理或證明形式呈現. 教師可以設計與教學內容有關的、便于課堂實施的實驗，以此為索引，引導學生操作、歸納、猜想新知識，再通過邏輯論證得到數學公式. 如空間幾何體的表面積公式的引入，可以在學生制作紙質的常見幾何體，將幾何體剪開得到側面展開圖的操作過程中引導學生找到表面積公式.
（4）創設數學史情境
古今中外典籍里有很多問題的解決都與教育形態的數學知識相關，它們在歷史長河中閃爍著智慧的光輝，教師有必要將這些無價之寶呈現給學生. 這一情境的創設過程可以是數學家發現新知識的契機，可以是知識發現過程中數學家所付出的努力，也可以是新知識在數學發展過程中的作用. 如等差數列求和公式的引入可以用一個學生熟知的高斯求1+2+3+…+100的和的故事，在學生給出答案后給出求1+4+7+…+67與求等差數列前n項和兩個問題引導學生逐步深入.
2. 公式推導過程的策略
當學生通過各種情境對公式有初步朦朧認識的時候，數學公式的教學就要轉向公式的推導，讓學生在教師的帶領下感受知識的產生、發展，主動參與新知識的構建.
（1）公式推導過程中的思維展現
教材中公式的面貌往往都是以最簡潔的語言、最完善的符號來表達，而公式來源過程中那些真實存在過的觀察、發現、猜想、探索、證明，以及種種嘗試、種種失敗都隱藏在完美結果的背后. 因此，教師在教學過程中必須要讓學生感受到人的思維活動的存在，否則公式就只能是文字、符號，沒有溫度的堆砌.
公式教學過程中可以展現學生思考的思維活動. 每當學生展現一次思維過程，教師可通過問題系列的設計將學生帶入更深層次的思考. 公式教學過程中可以展現的還有數學家的思維過程或數學教師的思維過程. 對于一些條件隱藏得較深、推導目標又所知甚少的問題，教師不妨還原教師或數學家推導公式的歷程，讓學生看到真實的思維過程是怎樣的. 如教材選修2-2推理案例賞析中的“棱臺體積的推導. 這一過程并不一定要直接指向正確的解答，而是要讓學生看到教師或前人如何發現成果或如何從困境中尋找新的思路.
（2）公式推導過程中的思想方法總結
數學學習過程中蘊涵著眾多的數學思想與數學方法，如數學方法中有給人們如何思考、探索、發現的邏輯思維方法，包括一般化、歸納、類比等；有較為固定的操作步驟的操作程序方法，如待定系數法；也有解法奇妙的技巧性方法、非常規方法. 數學思想中有以相關數學概念為內容背景的概念型數學思想，如函數思想、方程思想、公理化思想等.
在公式的教學過程中，教師要努力讓公式課成為以知識為明線，以思想為暗線的發展過程. 隨著多節課在不同公式、不同知識點中反復分析、提煉、概括、反思，學生數學思想方法的習得將不再是難事，公式的教學價值也將得以充分發揮.
3. 數學公式運用的教學策略
學生在掌握了公式的來龍去脈后將進入公式運用階段. 這一階段教師要給學生創設由簡單到復雜、由單一到多重、從抽象到實際的問題背景，促進學生對公式的理解.
（1）公式運用中呈現載體的選擇
根據數學背景的不同可分為純數學題與應用題. 公式運用的呈現載體可以是在數學知識系統內部，也可以是在實際中. 例如，“已知直角梯形ABCD，AB∥CD，AB=9 m，CD=15 m，∠CAD=45°，求直角梯形的一條腰BD的長”，這是一條純數學題，給它賦予不同的實際背景便得到教材必修4第103頁的數學應用題例5：“如圖4，兩座建筑物AB，CD的高度分別是9 m和15 m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD=45°，求建筑物AB和CD的底部之間的距離BD”.
（2）公式運用中的認知層次
[論文摘要]建模能力的培養，不只是通過實際問題的解決才能得到提高，更主要的是要培養一種建模意識，解題模型的構造也是一條培養建模方法的很好的途徑。
一、建模地位
數學是關于客觀世界模式和秩序的科學，數、形、關系、可能性、最大值、最小值和數據處理等等，是人類對客觀世界進行數學把握的最基本反映。數學方法越來越多地被用于環境科學、自然資源模擬、經濟學和社會學，甚至還有心理學和認知科學，其中建模方法尤為突出。數學教育家漢斯·弗賴登塔爾認為：“數學來源于現實，存在于現實，并且應用于現實，數學過程應該是幫助學生把現實問題轉化為數學問題的過程。”《新課程標準》中強調：“數學教學是數學活動，教師要緊密聯系學生的生活環境，要重視從學生的生活實踐經驗和已有的知識中學習數學和理解數學。”
因此，不管從社會發展要求還是從新課標要求來看，培養學生的建構意識和建模方法成了高中數學教學中極其重要內容之一。在新課標理念指導下，同時結合自己多年的教學實踐，我認為：培養建模能力，不能簡單地說是培養將實際問題轉化為數學問題的能力，課堂教學中更重要的是要培養學生的建模意識。以下我就從一堂習題課的片段加以說明我的觀點及認識。
二、建模實踐
片段、用模型構造法解計數問題（計數原理習題課）。
計數問題情景多樣，一般無特定的模式和規律可循，對思維能力和分析能力要求較高，如能抓住問題的條件和結構，利用適當的模型將問題轉化為常規問題進行求解，則能使之更方便地獲得解決，從而也能培養學生建模意識。
例1：從集合｛1，2，3，…，20｝中任選取3個不同的數，使這3個數成等差數列，這樣的等差數列可以有多少個？
解：設a，b，c∈N，且a，b，c成等差數列，則a+c=2b，即a+c是偶數，因此從1到20這20個數字中任選出3個數成等差數列，則第1個數與第3個數必同為偶數或同為奇數，而1到20這20個數字中有10個偶數，10個奇數。當第1和第3個數選定后，中間數被唯一確定，因此，選法只有兩類：
（1）第1和第3個數都是偶數，有幾種選法；（2）第1和第3個數都是奇數，有幾種選法；于是，選出3個數成等差數列的個數為：2=180個。
解后反思：此題直接求解困難較大，通過模型之間轉換，將原來求等差數列個數的問題，轉化為從10個偶數和10個奇數每次取出兩個數且同為偶數或同為奇數的排列數的模型，使問題迎刃而解。
例2：在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A，B兩種不同的作物，每種作物種植一壟，為了有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有幾種（用數字作答）。
解法1：以A，B兩種作物間隔的壟數分類，一共可以分成3類：
（1）若A，B之間隔6壟，選壟辦法有3種；（2）若A，B之間隔7壟，選壟辦法有2種；（3）若A，B之間隔8壟，選壟辦法有種；故共有不同的選壟方法3+2+=12種。
解法2：只需在A，B兩種作物之間插入“捆綁”成一個整體的6壟田地，就可以滿足題意。因此，原問題可以轉化為：在一塊并排4壟的田地中，選擇2壟分別種植A，B兩種作物有 種，故共有不同的選壟方法=12種。
解后反思：解法1根據A，B兩種作物間隔的壟數進行分類，簡單明了，但注意要不重不漏。解法2把6壟田地“捆綁”起來，將原有模型進行重組，使有限制條件的問題變為無限制條件的問題，極大地方便了解題。
三、建模認識
從以上片段可以看到，其實數學建模并不神秘，只要我們老師有建模意識，幾乎每章節中都有很好模型素材。
現代心理學的研究表明，對許多學生來說，從抽象到具體的轉化并不比具體到抽象遇到的困難少，學生解數學應用題的最常見的困難是不會將問題提煉成數學問題，即不會建模。在新課標要求下我們怎樣才能有效培養學生建模意識呢？我認為我們不僅要認識到新課標下建模的地位和要有建模意識，還應該要認識什么是數學建模及它有哪些基本步驟、類型。以下是對數學建模的一些粗淺認識。
所謂數學建模就是通過建立某個數學模型來解決實際問題的方法。數學模型可以是某個圖形，也可以是某個數學公式或方程式、不等式、函數關系式等等。從這個意義上說，以上一堂課就是很好地建模實例。
一般的數學建模問題可能較復雜，但其解題思路是大致相同的，歸納起來，數學建模的一般解題步驟有：
1．問題分析：對所給的實際問題，分析問題中涉及到的對象及其內在關系、結構或性態，鄭重分析需要解決的問題是什么，從而明確建模目的。
2．模型假設：對問題中涉及的對象及其結構、性態或關系作必要的簡化假設，簡化假設的目的是為了用盡可能簡單的數學形式建立模型，簡化假設必須基本符合實際。
3．模型建立：根據問題分析及模型假設，用一個適當的數學形式來反映實際問題中對象的性態、結構或內在聯系。
4．模型求解：對建立的數學模型用數學方法求出其解。
5．把模型的數學解翻譯成實際解，根據問題的實際情況或各種實際數據對模型及模型解的合理性、適用性、可靠性進行檢驗。
從建模方法的角度可以給出高中數學建模的幾種重要類型：
1．函數方法建模。當實際問題歸納為要確定某兩個量（或若干個量）之間的數量關系時，可通過適當假設，建立這兩個量之間的某個函數關系。
2．數列方法建模。現實世界的經濟活動中，諸如增長率、降低率、復利、分期付款等與年份有關的實際問題以及資源利用、環境保護等社會生活的熱點問題常常就歸結為數列問題。即數列模型。
3．枚舉方法建模。許多實際問題常常涉及到多種可能性，要求最優解，我們可以把這些可能性一一羅列出來，按照某些標準選擇較優者，稱之為枚舉方法建模，也稱窮舉方法建模（如我們熟悉的線性規劃問題）。
4．圖形方法建模。很多實際問題，如果我們能夠設法把它“翻譯”成某個圖形，那么利用圖形“語言”常常能直觀地得到問題的求解方法，我們稱之為圖形方法建模，在數學競賽的圖論中經常用到。
從數學建模的定義、類型、步驟、概念可知，其實數學建模并不神秘，有時多題一解也是一種數學建模，只有我們認識到它的重要性，心中有數學建模意識，才能有效地引領學生建立數學建模意識，從而掌握建模方法。
在新課標理念指導下，高考命題中應用問題的命題力度、廣度，其導向是十分明確的。因為通過數學建模過程的分析、思考過程，可以深化學生對數學知識的理解；通過對數學應用問題的分類研究，對學生解決數學應用問題的心理過程的分析和研究，又將推動數學教學改革向縱深發展，從而有利于實施素質教育。這些都是我們新課標所提倡的。也正是我們數學教學工作者要重視與努力的。
參考文獻
[1]董方博，《高中數學和建模方法》，武漢出版社.
[2]柯友富，《運用雙曲線模型解題》，中學數學教學參考，2004(6).
摘要：新課程的實施引起了廣大教師教學思想、教學行為等方面的革新，但是在實踐中部分教師因為對新課程理念沒有正確理解而出現一些操作誤區. 本文將從實例出發，對常見誤區進行剖析。
關鍵詞：新課程；教學；誤區；分析
隨著課程改革在全國各地展開，普通高中數學課程標準倡導的基本理念已逐漸被廣大教師所接受. 然而在這一新舊觀念與教學方法的轉變中，許多新的思路需要我們去探索，這就難免會在這個過程中出現很多迷茫和困惑，走很多彎路，甚至走入另一種誤區，從而影響教學目標的實現.
忌情景創設成為一種時髦和擺設，不講究實效性
讓學生在生動具體的情景中學習數學，是“三維”目標對數學教學提出的要求. 創設有效的數學情景能激發學生的學習興趣，為學生自己探究提供良好的學習環境，讓藝術、文學、哲學、建筑學等文化背景滲透到課堂情景之中，無疑具有無可比擬的教學效果，但是這一切都應該以實用為前提.
假如，一定要硬生生地創設情景，牽強地引入一些材料，反而有失偏頗. 如在講授數列的通項公式時，有位教師設計了一只非常活潑的小猴子掰苞谷的情景，而且每掰一次苞谷，猴子都要作出不同的表情，直到最后歸納出通項公式時，學生的思維實際上還是停留在剛才猴子的那些豐富多彩的表演上，這不能不說是一個主次不分的做法. 有的時候，開門見山、單刀直入式的情境創設行為，支撐它的不是那些絢麗多彩的動態畫面，而是依賴于教師自身駕馭教學藝術的魅力，由表面上的平靜狀態促進學生從心底掀起波瀾，達成外化激勵促進內化需求的目的. 提供給學生現實的、有意義的、富有挑戰性的學習情境，不但能拉近數學與現實的距離，為學生找到數學學習的新基石，同時也能激發學生學習數學的興趣，是讓學生體驗和理解數學的有效途徑.
忌課堂教學死板和老套，不講究靈活性
教師是教學的主導，學生是學習的主人，教師是數學教學的組織者、參與者，在課堂教學中務必要注重靈活多變的教學方式，一味地追求固定的教學模式，引入幾分鐘，總結幾分鐘，讓學生回答幾個問題，教師講授幾分鐘，上課舉幾道例題和學生練習幾道習題，把靈活多變的課堂變成了一個生硬僵化的數學公式和一潭毫無生機的死水，這必將嚴重損害學生的學習興趣，挫傷學生學習的積極性和創造性，這不能不說是教學的悲哀.
數學教學中要讓學生感悟到那些博大精深、靈活多變的數學內涵，這是學生保持興趣長盛不衰的重要源泉，也是創新教育的源動力. 正如孔子所言：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者.” 只有這樣，創新模式才能被學生愉快地接受，把數學課堂真正變成活水之源.
忌只重問題的結果，忽視知識產生的相關背景，不講究自然性
數學的產生與教學思想的起源與發展都是自然的，而不是強加的，“授之以魚莫如授之以漁.” 僅僅給學生一個結果，而不去探究知識的形成過程，這猶如緣木求魚，根本無益于學生數學素養的培養. 這種只重視結果的投機思想是缺乏遠見和沒有生命力的，更是經不起實踐的檢驗. 數學課程應當是開放的，并具有前瞻性，為學生留出“提出問題、探索思考和實踐應用”的空間. 只有弄清了概念的內涵和外延，才能突出數學的本質屬性，把教學過程、知識的發生過程與學生的思維過程有機統一，同步進行.
忌只重巧解，忽視了數學基本思想方法的滲透，不具有普遍性
那些巧解與快解的題目，往往是有局限性的，一味去追求巧妙、解法，會使學生對基本的解題方法產生厭倦心理，滋生學習數學的投機心理，這不利于數學思想方法的滲透. 比如判斷不等式是否成立時，運用特殊值驗證，進行淘汰，這種方法只局限于一些具體的問題，切不可作為一種常規的解法去應用，特殊性是不可以代替一般性的.
抓住基本思想是解決問題的途徑，問題具有一般性和特殊性，在數學中要擺正二者的關系，在基本方法已熟練的基礎上可適當介紹特殊的巧解方法，這不失為一種點綴和神來之筆，切莫本末倒置.
忌課堂教學過多依賴多媒體教學，不具有實用性
一、 問題的提出：
傳統的中學數學課堂受傳統教育思維的影響，存在一些問題。教師上課講的多，學生參與教學過程的量很少，尤其是高中數學內容多課少，所以課堂上基本上都是老師講，學生聽，基本沒有主動參與。換句話說就是被動填鴨式教學，這種教學模式下的課堂比較死板，缺少活力，尤其是無法體現學生的主觀能動性，無法讓學生的思維得到體現，所以這種模式具有一定的局限性。我校采取的主體參與教學模式能真正把課堂還給學生，給學生展示自己和體現團隊合作的空間。
二、 主體參與教學模式的依據：
從數學的特點來看：數學高度抽象的形式化的特點更需要學生的自主性、獨立性、主動性、創造性，更需要學生的主體參與，要讓學生在教學活動中，在教師的啟發引導下，自己去“發現”重要的數學事實和結果，如公式、法則、定理等。因此數學作為學科教學的一門重要課程，探索提高學生學習的質量，全方位建構學生在數學教學中的學習主體，是現代數學教育的發展趨勢。
從學生的特點來看：學生是學習的主體；學生是一個發展的人；學生是一個獨特的、有完整個性和獨立人格的人。要充分發揮學生主體地位的作用，那么學生能得到教師的尊重是基礎，否則學生的主體性就成為空談。教師借助學生主動參與和促進其充分發展的能力為基礎，學生學習數學只能通過自身的操作活動和主動參與的做法才可能是有效的，學生學習數學只有通過自身的情感體驗，樹立的自信心才可能是成功的。最大程度的調動學生的主體參與的積極性才能讓學生真正的融入到這種模式的學習中來。
三、 主體參與教學模式的具體實施：
主體參與教學模式的立足點是由教變為學。所以創設一個和諧的課堂是開展主體參與教學的必備基礎。創設和諧的數學課堂教學氣氛是由師生共同創設的，只有相互理解，互相尊重，緊密合作，教師要要把課堂真正還給學生，讓學生成為課堂的主體。
主體參與是以主體教育思想為指導，以教師指導學生主體參與學習全過程為基本特點，以培養學生主體意識和能力及創新精神與能力為目標。主體參與式教學模式的課堂是以主體教育思想為指導，在教師的指導下，以學生作為主體參與教學為特點，以培養學生的主體意識與能力，促進學生的學習質量整體提高為目標，教與學有機結合、同步發展的教學實踐活動。用以學生為主體的方法進行課堂教學與學習，是鼓勵學生創造力的教學方法，而不是死記硬背。讓學生樂于學習、樂在其中。
在實施的過程中也要根據情況選用合適的方法進行教學，下面我就幾種常見的課型談談：
1.概念課：
數學概念是客觀事物關于數和形的本質屬性的反映，所以都有其客觀的物質基礎，呈現刺激模式，能為概念的形成提供“物質基礎”。呈現的刺激模式或者是經驗事實，或者是典型事例，或者是直觀演示。這些刺激模式應該是正例，數量和刺激強度要適當，要有一定的變化性且新穎有趣，并宜采用同時呈現的方式，以利于學生分析比較。所以選例的時候要盡量貼近生活，就在我身邊。引導學生進行充分的自主活動，對呈現的刺激模式進行觀察分析、對比、發現、歸納，以分化出概念的不同屬性。在分化各種屬性的基礎上，抽象出概念的本質屬性，概括形成概念。概念形成后，應及時把新概念進行鞏固，鞏固的主要手段是應用，在應用中求得對概念更深層次的理解。所以及時配上幾道例題是必須的，然后讓學生展現自己的思維，也可以小組合作。總之盡量調動學生的積極性，充分體現主體參與。
2. 定理、公式課：
數學定理是人們關于客觀事物的空間形式或數量之間的一種思維形式，是對他們之間的關系的一種正確判斷。數學公式則表達了數學變量之間準確的數量關系，數學定理、公式學不好，那么知識會相對孤立，不僅所學的知識容易遺忘，而且喪失了應用能力，所以正確有效的引導學生學好定理、公式就顯得很重要了。
創設合適的情境：根據不同的教學內容，設計的問題可以是實際問題也可以是數學問題，或模型演示，通過具有啟發性、探索性和開放性的問題的引起學生的認知沖突，激發探究興趣。教師要創設有利于學生自主活動，進行數學思考的良好氛圍，引導學生通過實驗、觀察，運用類比、聯想、歸納、綜合等方法去探索、去研究，在學生的主動參與中，使問題逐步得到解決，在問題解決的過程中，引導學生不斷猜想，不斷發現新問題，獲得新知識、新方法。教師可以根據不同的教學內容，引導學生去猜想結論，猜想規律，猜想策略。猜想的一般方法有：（1）觀察——實驗——猜想，（2）類比——聯想——猜想，（3）分析——歸納——猜想。在實際教學中，學生的猜想難免會有錯誤，教師的任務是引導學生大膽嘗試，最終得到有價值的猜想。
在這種主體參與的教學模式中，我們對定理、公式課的教學，充分展現了學生的主體參與，加強了創新思維能力的培養，在整體結構上突出了“猜想”與“證明”兩大環節，而這正是數學發現中的基本策略和途徑。這兩個環節與其他環節有機結合，共同承擔了對學生形象思維、直覺思維、邏輯思維的訓練與培養，對學生創新思維和能力的培養具有十分突出的作用。讓學生真正學會去學，為以后進一步學習打下良好的基礎。
3. 習題課
習題課是我們教學中的重要環節，怎么去處理題目更是重中之重，而選題是個重要環節，是教師備課的重點。選題要具有典型性，聯系知識具廣泛性；注意不選偏題怪題。單一題著眼于某一知識點或單一解題方法，綜合題側重點在知識的聯系和方法的創新，應根據教學需要合理選題，不是單純強調大容量。對選定的問題，要結合學生的年齡特征、媒體的使用等情況用靈活新穎的方式提出，引起學生的求解欲望，使學生在迫切要求下開始探究活動。
