時間：2023-09-22 17:05:17
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇高考數(shù)學(xué)邏輯思維訓(xùn)練，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
高中數(shù)學(xué)更像學(xué)生的思維健美操．?dāng)?shù)學(xué)的思辨與邏輯的嚴(yán)密都使人向往不已，樂此不倦．然而，現(xiàn)實中的高中數(shù)學(xué)卻面臨著任務(wù)多、時間緊、要求高與不斷考試的壓力，高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)好多是疲于應(yīng)付，而真正以研究的目光來審視與創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)的人卻鳳毛麟角，由此而出現(xiàn)的學(xué)習(xí)盲點就顯露無遺了．
(一)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生缺乏思考
高中數(shù)學(xué)具有理論性、抽象性強的特點，這就需要在對知識的理解上下功夫，要求學(xué)生多思考、多研究，這樣就不會出現(xiàn)“怕學(xué)數(shù)學(xué)”的恐懼癥了．然而，事實上是很多學(xué)生不愿意多動腦去思考．對于本單元(章)的知識網(wǎng)絡(luò)該如何弄清來龍去脈;本章的基本思想與方法能否以典型例題形式將其表達出來，學(xué)生自己能否體會;對本章內(nèi)自己做錯的典型問題有無記載，能否分析其原因及正確答案等，這些思考尤為重要．然而從教學(xué)時間上看，學(xué)生懶于這些方面的思考，導(dǎo)致學(xué)困生層出不窮．
(二)學(xué)生空間想象能力與邏輯思維能力欠缺
高中數(shù)學(xué)離不開高考，而高考數(shù)學(xué)考查考生的思維能力尤為突出．以立體幾何為例，高考中立體幾何主要考查學(xué)生的空間想象能力、推理能力兼顧邏輯思維能力．而解決立體幾何的基本方法是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．這種轉(zhuǎn)化能力是高中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必須掌握的東西．但是，通過對高中學(xué)生的觀察，不難發(fā)現(xiàn)對于高中立體幾何部分考生失誤普遍嚴(yán)重，得分率不高，學(xué)生空間想象能力與邏輯能力欠缺．
二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中思維能力訓(xùn)練欠缺
高中數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的問題或者說高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的盲點源于什么原因?通過仔細分析，不難發(fā)現(xiàn):高中數(shù)學(xué)教學(xué)中思維能力訓(xùn)練欠缺是這些問題的根源．甚至選擇題部分考生也出現(xiàn)了失分嚴(yán)重的狀況，尤其是學(xué)習(xí)成績中等偏下的學(xué)生更容易“不假思索”地掉入命題人的陷阱．在數(shù)學(xué)考試?yán)镞x擇、填空題方面命題范圍大致為集合、命題、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、排列組合及概率、立體集合、平面解析集合、線性規(guī)劃、程序框圖、三視圖、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)比較大小等．每一方面都有數(shù)學(xué)自己的“特色”，考生懶于思考或者平常欠缺訓(xùn)練，都很容易在數(shù)學(xué)考試過程中失誤頻繁，給考生造成嚴(yán)重的后果．
三、加強高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)的對策
既然高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中存在很多盲點，這些問題源于學(xué)生創(chuàng)新思維訓(xùn)練的不足，那么教學(xué)活動過程中該如何加強高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)呢?
(一)善于發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造
數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，在某種意義上講，是最重要的數(shù)學(xué)能力．創(chuàng)新能力是一種依靠概念、判斷、推理并應(yīng)用猜想、想象、直覺等獲得發(fā)現(xiàn)和進行創(chuàng)造的能力．以高中立體幾何為例，近幾年高考立體幾何試題以基礎(chǔ)題和中檔題為主，熱點問題主要有證明點線面的關(guān)系，這些熱點問題怎樣在學(xué)生的頭腦中去映射相應(yīng)的概念、推理等．
(二)一題多解
一題多解，是指一道題目可以通過多種解決方法達到被處理的一種解題途徑．這種一題多解策略在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)中具有十分重要的作用．它可以發(fā)散解題人的思維，使解題思路得以拓展．例如，題目:∠C=90°的RtABC外切于半徑為1的圓O，求ABC周長的最小值．解法一，可以用代數(shù)法;解法二，可以用三角法;解法三，可用函數(shù)法;解法四，可用利用一元二次方程根的分布;解法五，可用導(dǎo)數(shù)法．一道題目可用五種不同的方法來解答，從而使難者轉(zhuǎn)化為容易的了．
(三)題式變化
一題多解是一種很好的創(chuàng)新能力培養(yǎng)方式，而一題多變也是培養(yǎng)高中學(xué)生的創(chuàng)新能力的極好方式．一題多變可以通過下列方式取得．一是類比法，利用現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象進行類比創(chuàng)設(shè)問題情境．二是延伸舊問題來創(chuàng)設(shè)問題情境．三是通過數(shù)學(xué)建模創(chuàng)設(shè)問題情境．四是利用數(shù)學(xué)材料創(chuàng)設(shè)問題情境．這四種方法都可以達到題式變化的目的．
2014年陜西高考數(shù)學(xué)理科試題解析
2014陜西高考數(shù)學(xué)試卷，整體遵循考綱，體現(xiàn)新課標(biāo)改革精神，考查內(nèi)容全面，考查方式靈活，在穩(wěn)定中追求創(chuàng)新，在新而不難中考查能力，命題風(fēng)格體現(xiàn)了新課標(biāo)側(cè)重能力考查，鼓勵探索創(chuàng)新的特點。整卷來看，前半部分自然平穩(wěn)，后半部分略顯新奇，與去年相比，今年高考試卷整體難度有所降低，有利于平時學(xué)習(xí)穩(wěn)打穩(wěn)扎的同學(xué)脫穎而出。
今年的數(shù)學(xué)試題設(shè)計，從“四基”出發(fā)，追求簡約，拋棄了往年某些試題的“偏、難、怪”現(xiàn)象，試題給人以熟悉感；為考生著想，落實減負，試題給人親和感，真正體現(xiàn)了關(guān)注學(xué)生，愛護學(xué)生，從學(xué)生成長的基點出發(fā)設(shè)計試題。
2014年陜西高考理科數(shù)學(xué)試題總體結(jié)構(gòu)稍有改變，雖然仍然是10道選擇題+5道填空題+6道大題。但是，往年的三角函數(shù)大題沒有出現(xiàn)，卻出現(xiàn)了三角恒等變換和數(shù)列的綜合題，而平面向量和線性規(guī)劃的綜合給出了一道大題，放在了18題的位置。壓軸題21題依然是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式。全卷的第10題、第20題、21題是相對較難的題，其中解析幾何大題的難度與去年相比稍有降低。
今年高考數(shù)學(xué)試題，整體上呈現(xiàn)以下特點：
1. 試題整體規(guī)范、遵循考綱，體現(xiàn)新課標(biāo)改革精神。
縱觀整套試卷，沒有偏題、難題、怪題，依舊著重對基礎(chǔ)知識、基本思維方法的考查，題型結(jié)構(gòu)延續(xù)以往常規(guī)，比如基本初等函數(shù)及其圖象、簡易邏輯、算法與程序框圖、復(fù)數(shù)、排列組合、平面向量，解析幾何、數(shù)列，立體幾何等題型都是考綱范圍內(nèi)的重點，試題的前5個選擇題，分別考查了集合的交集，三角函數(shù)的周期，定積分計算，程序框圖的識別，立幾中組合體的體積計算，第7題函數(shù)的單調(diào)性的判別，第8題的復(fù)數(shù)命題真假的判斷，這些試題很基礎(chǔ)常規(guī)，可以說，不用動筆心算就可“一望而選”。至于第6題，對概率的計算和選擇題的第10題函數(shù)解136析式的選擇，都附以簡約的實際或抽象意義。這些考點都著重考查知識點原理，試卷整體難度稍有降低，尤其是15題的A題，運用柯西不等式求最值，更是考綱明確強調(diào)的內(nèi)容，考查簡潔明了。
2. 知識點考查綜合性增強。
第8題，再次將復(fù)數(shù)和命題交匯，綜合考查復(fù)數(shù)概念和四種命題之間的關(guān)系。第16題，以等差、等比數(shù)列作為條件考查三角恒等變換，以及三角形中邊角關(guān)系與不等式結(jié)合求最值。第17題，通過三視圖給定幾何體中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，考查空間圖形特征判斷與線面角的計算；第18題，將平面向量與線性規(guī)劃含蓄的綜合。第20題將橢圓與拋物線合在一起考查，特別是第21題函數(shù)壓軸題，以考生熟悉的函數(shù)求導(dǎo)為切入點，進行組題，綜合運用了數(shù)學(xué)歸納法，分來討論求函數(shù)最值、數(shù)列求和與特值轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)技能，試題的知識點濃度不斷增強，把能力的考查推向了。凸顯在知識交匯處命制試題的指導(dǎo)思想。
3. 試題情景更貼近生活。
2014陜西高考試題，情景設(shè)計生活味濃厚，諸如：第10題飛行器飛行問題，考查對三次函數(shù)的理解和應(yīng)用；第19題耕地種植作物問題，考查對隨機變量的理解和應(yīng)用。這些試題著力考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力，而試題選材設(shè)計，緊扣高中數(shù)學(xué)教材核心內(nèi)容，雖有新意，但學(xué)生只要冷靜思考，很快就能找到解題思路，避免了往年出現(xiàn)的學(xué)生一看就怕，無處下手的窘境。試題呈現(xiàn)設(shè)計簡單、基礎(chǔ)、基本，重視算理，強調(diào)思維，體現(xiàn)人文關(guān)懷，力求凸現(xiàn)核心內(nèi)容。
4. 推理論證能力要求步步高。
推理論證梯次增高。陜西數(shù)學(xué)試題從余弦定理的敘述與證明開始，到2012年對三垂線定理的及其逆定理的變形考查，到去年已經(jīng)發(fā)展到對等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，到今年發(fā)展到三角恒等變換的簡單證明。全卷涉及到證明的試題有第16題的第1問、第17題的證明矩形和第21題的第3問，并且第21題第一問求函數(shù)解析式也涉及到了用數(shù)學(xué)歸納法證明，體現(xiàn)出加強邏輯推理能力的考查。
5.試卷特色鮮明，亮點光彩奪目。
（1）第16題新在將三角恒等變換和數(shù)列綜合起來考查，與以往對三角函數(shù)和數(shù)列分別考查方式不同。
（2）第18題破天荒的出現(xiàn)了平面向量的大題，綜合考查了向量的坐標(biāo)運算和線性規(guī)劃求二元函數(shù)的最值，往年平面向量都是附著在其他知識點中綜合考查，今年單獨成體考查。
（3）第20題圓錐曲線以橢圓和拋物線兩個圓錐曲線作為載體，與往年只有一個載體不同。這一變化一方面防止了“回歸教材變成死記硬背”的風(fēng)險，另外一方面加大了知識和方法的覆蓋面，突出了主干知識，注意知識之間的綜合應(yīng)用。這些都凸顯穩(wěn)中求變，銳意創(chuàng)新的命題指導(dǎo)思想。
6. 壓軸題考點固定、思維靈活。
2011年到2014年導(dǎo)數(shù)壓軸題的載體分別是對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。第21題的第一問求N次復(fù)合函數(shù)表達式，需要用數(shù)學(xué)歸納法證明。第二問用已知函數(shù)大小關(guān)系求參數(shù)范圍的方式考察函數(shù)知識的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，和差積商的導(dǎo)數(shù)求法，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。第三問函數(shù)大小比較進行探索，一題多解，符合壓軸題的特色，區(qū)分度很大。考生須具備良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及靈活的處理問題方法，才能突破難關(guān)，到達勝利彼岸。體現(xiàn)出靈動考素質(zhì)，選拔真人才的命題指導(dǎo)思想。
綜上所述，2014陜西高考數(shù)學(xué)試題，注重考查考生的個性品質(zhì)，主要體現(xiàn)在知識組合的多樣性上，體現(xiàn)在難度的漸進性上，體現(xiàn)在考生的數(shù)學(xué)視野及思維習(xí)慣上，體現(xiàn)在考生的考試心態(tài)上。這些都需要考生具有較強韌的個性支撐，也必將對下一年的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提供積極的導(dǎo)向和重要的指導(dǎo)作用。
2015年高考備考復(fù)習(xí)策略
每年的高考真題，都是一筆寶貴的財富，每一道優(yōu)秀的高考試題都是命題者靈感與智慧的結(jié)晶，善待真題，我們才可以把握高考的脈搏，在復(fù)習(xí)中多走捷徑，少走彎路。2014年陜西高考數(shù)學(xué)試題，在許多方面給我們提供了有益的借鑒，給高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指明了新的方向，啟發(fā)我們要有新的學(xué)習(xí)和工作思路，妥善處理好教與學(xué)中存在的幾個矛盾。
1.處理好基礎(chǔ)與綜合之間的矛盾。
2014年的試題設(shè)計符合陜西的考情，有利于廣大考生數(shù)學(xué)水平的正常發(fā)揮，為今后高三復(fù)課教學(xué)起到良好的引導(dǎo)作用。從今年的試卷中不難看出，命題重在考查雙基應(yīng)用，著重依據(jù)新教材的知識分布而設(shè)置命題，許多考題均能在課本中找到它們的影子，相當(dāng)數(shù)量的考題就是教材中基礎(chǔ)知識的組合、加工和深化。所以教材是基礎(chǔ)， 是學(xué)生智能的生長點，是高考命題的源泉，只有回到對教材的深層理解上，對概念的內(nèi)涵和外延的理解上，才能提高數(shù)學(xué)能力，掌握數(shù)學(xué)思想。
然而高考命題，源于課本而又高于課本。這就要求在復(fù)習(xí)過程中，不能只停留在課本單一而零散的知識章節(jié)上，而應(yīng)加強對知識的橫向聯(lián)系的認(rèn)識上，有目的有步驟的強化綜合性訓(xùn)練，如同不是只看一條道路，而應(yīng)看到多條道路形成的網(wǎng)絡(luò)，即應(yīng)該高度重視把課本由厚變薄的認(rèn)識和訓(xùn)練。當(dāng)然，同時要防止走向偏難怪的不良傾向，千萬不要以為“高考以能力立意”，就是要去鉆難題、偏題、怪題. 要明確：能力是指思維能力，即對現(xiàn)實生活的觀察分析力，創(chuàng)造性的想象能力，探究性實驗動手能力，理解運用實際問題的能力，分析和解決問題的探究創(chuàng)新能力，處理、運用信息的能力，新材料、新情景、新問題應(yīng)變理解能力，其重點仍然是概念和規(guī)律的形成過程，而這些往往蘊藏在最簡單、最基礎(chǔ)的題目之中.一味地鉆研綜合題、難題，知識的熟練程度達不到，最后又會制約思維的發(fā)展和解題能力的提高。
所以，要兩相兼顧，要把章節(jié)內(nèi)的基礎(chǔ)訓(xùn)練與章節(jié)外的綜合訓(xùn)練郵寄結(jié)合起來，關(guān)鍵是在基礎(chǔ)的綜合上下功夫。這就需要高三數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，既要把學(xué)生帶進課本，又要使學(xué)生走出課本，做好分層級訓(xùn)練。先做章節(jié)內(nèi)的的訓(xùn)練，再做綜合性訓(xùn)練，要善于在一個題的基礎(chǔ)上，做發(fā)散性指導(dǎo)和變式訓(xùn)練，尤其要加強融合知識橫向聯(lián)系的技能訓(xùn)練，如平面向量與線性規(guī)劃，三視圖與線面位置關(guān)系，空間角的計算，三角函數(shù)與數(shù)列、球體與多面體的組合體，具體函數(shù)與抽象函數(shù)等基礎(chǔ)性的綜合訓(xùn)練。
2.處理好通性通法與特殊技巧之間的矛盾。
2014陜西高考數(shù)學(xué)試題。重視高中數(shù)學(xué)的通性通法，倡導(dǎo)一題多解和多題一解。如第9題，若從平均數(shù)和方差的實際意義理解和作用認(rèn)識來思考，可以得到巧解；而若只滿足于基本公式計算，則計算較繁，用時較多。而大多數(shù)同學(xué)對前者，可能掌握不力。第10題，由于課本中沒有明確給出三次函數(shù)的概念，有相當(dāng)一部分同學(xué)對其認(rèn)識模糊，圖象生疏，這樣就不能快速理解題意，進而運用選擇題技巧而得到巧解.
這些都啟示我們，在復(fù)習(xí)中要從頭激活已學(xué)過的各個知識點，并適當(dāng)深入一點，要以清晰的線索重新構(gòu)建合理的知識結(jié)構(gòu)，對含糊不清的地方多一些思考和研究性練習(xí)和探究，對產(chǎn)生的錯誤要究根問底，要反思感悟，回到正確的認(rèn)知上來。在復(fù)習(xí)解題時，首先應(yīng)從基本方法上去探索，而不是死用公式，死記結(jié)論；再者，還要思考能否用特殊技巧來完成，要養(yǎng)成多一手準(zhǔn)備的解題習(xí)慣。 對于每一種方法，要深入思考它的適用范圍，思考它的推廣發(fā)展，盡可能多地找出它在不同模塊問題的應(yīng)用題型，即舉一反三。 如分式函數(shù)的最值，在函數(shù)，數(shù)列，圓錐曲線，不等式等模塊中就以不同的面目出現(xiàn)，或是恒成立，或是范圍、最值等，但實質(zhì)沒有大的改變，解法過程基本相似，但許多學(xué)生往往因為一葉障目而顧此失彼，這就是沒有處理好通性通法與特殊情景和技巧之間的矛盾。
高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所接觸到的數(shù)學(xué)思想方法一般分為三類：第一類是用于具體問題模型中的方法，如配方法、換元法、消元法、待定系數(shù)法、判別式法 、錯位相減法、迭代法、割補法、特值法等；第二類則是用于指導(dǎo)解題的邏輯思維方法，如綜合法、分析法、反證法、類比法、探索法、歸納法、解析法等；第三類則是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的對于數(shù)學(xué)解題甚至于對于其它問題的解決都具有宏觀指導(dǎo)意義的規(guī)律性方法，稱為數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等.復(fù)習(xí)中要關(guān)注它們的應(yīng)用，細心體會，能把抽象的方法和思想通過具體問題模型化，儲存在自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)里。
3.處理好掌握公式定理與知識產(chǎn)生過程之間的矛盾。
2014年陜西高考試題，重視考查知識的產(chǎn)生過程。如第14題，取材于選修教材2-2的“歸納推理”第一節(jié)的例1，將著名的歐拉公式設(shè)計為考題，但不是直接考公式，而是讓學(xué)生體驗定理的發(fā)現(xiàn)與產(chǎn)生過程，考查了學(xué)生探索與發(fā)現(xiàn)的精神和歸納推理的能力，可謂一舉多得。與直接考定理相比，這一方面要有趣得多，另一方面又能給考生留下深刻的印象，這與平時教學(xué)的良好感覺是一致的，這就是給課堂教學(xué)提供了可貴的借鑒和警示。再聯(lián)系到近幾年陜西數(shù)學(xué)試題中，2011年的余弦定理的敘述與證明，2012年的三垂線定理的及其逆定理的變形考查，2013年對等比（差）數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，都是回歸課本，但都是回歸到知識的產(chǎn)生和形成的過程中去，而不是現(xiàn)搬現(xiàn)用，為回歸課本指明了廣闊的道路和正確的方向。
在教學(xué)過程中，在復(fù)習(xí)階段的綜合訓(xùn)練中，有相當(dāng)一部分同學(xué)會出現(xiàn)各種意想不到的錯誤，這正是基礎(chǔ)不牢固的表現(xiàn)，而根本原因就是對知識的產(chǎn)生和形成的過程不清楚，甚至張冠李戴、混淆是非所致。因此在教學(xué)活動中，既要讓學(xué)生明確公式定理的結(jié)論是重要的，又要讓學(xué)生充分認(rèn)識知識的過程是更根本的，也就是最有價值的，要培養(yǎng)學(xué)生對知識過程的探索精神和發(fā)現(xiàn)的興趣，為學(xué)生學(xué)習(xí)高一級的知識貯藏潛力。
只有回到知識的形成過程中來，才能從根本上糾正錯誤，彌補漏洞，而不是把錯誤簡單地歸結(jié)為粗心大意。認(rèn)真糾錯，積極反思，是復(fù)習(xí)過程中最為重要的，比多做幾個題的價值更大；認(rèn)真糾錯，就能達到穩(wěn)定發(fā)揮，穩(wěn)步提高。
4.處理好教與學(xué)之間的矛盾。
誠然，2014高考，對廣大師生會有諸多的啟示，但要把一種新的理念付諸實踐，也不是輕而易舉能完成的。學(xué)生是學(xué)習(xí)和課堂的主體，老師是學(xué)習(xí)和課堂的主導(dǎo)。在實際教學(xué)中，就會產(chǎn)生各種各樣的困難，也許有些學(xué)生會不習(xí)慣，也許課時會緊張，也許訓(xùn)練成績會不理想。
因此，在高中教學(xué)實踐中，要樹立全程備考的思想認(rèn)識，在高三復(fù)課教學(xué)中，要立足于教材，輔之以資料書籍，落實在訓(xùn)練和糾錯中。要培養(yǎng)學(xué)生做到：熟練掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，在老師講解之前進行預(yù)習(xí)和思考，把課堂接受知識的過程變成思維訓(xùn)練的活動，在課堂上應(yīng)注意師生的交流，把平時的學(xué)習(xí)變成師生協(xié)作與奮進的快樂旅行；定時作業(yè)，有意識地限定時間完成學(xué)習(xí)任務(wù)； 在課外練習(xí)中應(yīng)注意培養(yǎng)良好的作業(yè)習(xí)慣，不但要做得整體、清潔，培養(yǎng)一種美感，還要有條理，培養(yǎng)邏輯能力，同時作業(yè)必須獨立完成，以培養(yǎng)一種獨立思考的精神，嚴(yán)密思維的能力和正確解題的責(zé)任感。
2014年陜西高考數(shù)學(xué)理科試題逐題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合 ，
則 （ ）
A. [0，1] B.[0，1） C. （0，1] D. （0，1）
答案 B 【命題意圖】本題考查集合的概念和運算，意在考查考生求解不等式和進行集合運算的能力。
【解析】 化簡集合
【梳理總結(jié)】集合代表元素的識別是確定集合關(guān)系與運算的關(guān)鍵，常與函數(shù)和不等式交匯，一般不具有難度，但易疏忽代表元素，把求函數(shù)的定義域、值域或求函數(shù)圖像的交點相混淆而導(dǎo)致出錯.本題給出的兩個較為簡單的不等式，但對每個集合元素的確定非常關(guān)鍵。
2.函數(shù) 的最小正周期是（ ）
A.■ B. π C. 2π D. 4π
答案 B 【命題意圖】 本題考查三角類復(fù)合函數(shù)周期的計算方法，意在考查考生運用公式求解運算的能力.
【解析】由余弦函數(shù)的復(fù)合函數(shù)周期公式得 T=■=π；
【梳理總結(jié)】形如 的函數(shù)求周期的公式為 ，形如 的函數(shù)求周期的公式為
3.定積分 的值為（ ）
A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
答案C 【命題意圖】本題考查應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分的基本方法。
【梳理總結(jié)】熟記公式，掌握一些常見函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)。若函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），則有
雖然原函數(shù)不唯一，但不影響結(jié)果。
4.根據(jù)右邊框圖，對大于2的整數(shù)N，得出數(shù)列的通項公式是（ ）
A.an=2n B.an=2（n-1） C.an=2n D.an=2n-1
案C【命題意圖】本題考查對程序框圖的功能理解，意在考查考生運用程序框圖進行計算和歸納的能力.
【解析1】 特殊化和等比數(shù)列定義驗證
a1=2，a2=4，a3=8，an是a1=2，q=2的等比例數(shù)列，選C。
【解析2】 注意初始值的特征可知，輸出的數(shù)列首項為2，把握3個賦值語句ai=2×S，S=ai，i=i+1，■=2則輸出的數(shù)列為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則通項公式an=2n；
【方法技巧】程序框圖題型一般有兩種，一種是根據(jù)完整的程序框圖計算；一種是根據(jù)題意補全程序框圖.程序框圖一般與函數(shù)知識和數(shù)列知識相結(jié)合，一般結(jié)合數(shù)列比較多見，認(rèn)真探究程序運行的過程，通過特值探索可發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)特征和規(guī)律。經(jīng)過多年的高考，更趨成熟，時常新穎。
5 .已知底面邊長為1，側(cè)棱長為■則正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（ ）
A. ■ B. 4π C. 2π D.■
答案D【命題意圖】本題考查對簡單幾何體的理解和計算，要求掌握棱柱與球的組合體中的數(shù)量關(guān)系，以此考查學(xué)生的空間想象能力，而不是單純的依靠空間向量坐標(biāo)的計算。
解析：正四棱柱的外接球的直徑是其對角線的長，即 2R=■=2，r=1，v-■πR3=■π；
【方法技巧】球的內(nèi)接多面體，可仿照球的內(nèi)接正方體來思考，即抓住球的直徑與多面體的高或其對角線等之間的關(guān)系。新課標(biāo)對簡單幾何體的要求與傳統(tǒng)教材相比，有所降低，但球的組合體卻是一個重點，不能忽視。
6.從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為（ ）
A. ■ B.■ C.■ D. ■
答案C 【命題意圖】本題考查古典概型和對立事件的計算概率的方法，意在考查考生運用概率的方法解決實際幾何問題的能力.
【解析】 5個點中任取2個點有C52=10種方法，而每兩點之間的距離小于邊長的點必須取中心點和其它4個頂點，有4種方法，于是所求概率P=1-■= ■；
【梳理總結(jié)】概率計算關(guān)鍵是依據(jù)互斥事件合理分類，同時設(shè)計簡單可行的計數(shù)的方法。
7.下列函數(shù)中，滿足“f（x+y）=f（x）f（y）”的單調(diào)遞增函數(shù)是（ ） A. f（x）=x ■ B. f（x）=x3 C.f（x）=（■）x D.f（x）=3x
答案D 【命題意圖】 本題考查抽象函數(shù)的對應(yīng)法則和函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查考生運用法則和單調(diào)性解決實際問題的能力.
【解析1】 把握和的函數(shù)值等于函數(shù)值的積的特征，則典型代表函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，再由所求函數(shù)為增函數(shù)，則選D；
【解析2】只有C不是遞增函數(shù)，對D而言，f（x+y）=3x+y，f（x）?f（y）=3x?3y=3x+y，選D
【梳理總結(jié)】抽象函數(shù)關(guān)鍵是對對應(yīng)法則的理解和應(yīng)用，常常依據(jù)法則特殊化處理賦值尋求解題的切入點。
15.（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A.（不等式選做題）設(shè)a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，則■的最小值為
答案■ 【命題意圖】 考查對柯西不等式的理解和求最值的技巧和方法。
【解析】a2+b2=5，設(shè)a=■sinθ，b=■cosθ， 則ma+nb=m■sinθ+n■cosθ=■■sin（θ+φ）=5，■sin（θ+φ）=■≤■。
所以，■的最小值是■
【梳理總結(jié)】直用柯西不等式求最值簡單且避免了繁雜變形，這正是陜西高考不等式考點的新增要求；B（幾何證明選做題）如圖，ABC中，BC=6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AC=2AE，則EF=
答案 3 【命題意圖】 本小題主要考查平面幾何中圓和相似三角形的性質(zhì)，圖形背景新穎，重點考查考生靈活應(yīng)用平幾知識進行推理和計算能力.
【解析】注意圓內(nèi)接四邊形對角互補的特征可得到∠AEF=∠ACB，ACB相似，■=■=■=■，EF=3.
【梳理總結(jié)】平面幾何中圓的有關(guān)問題，充分利用圓和相似三角形的有關(guān)知識和方法求解；
C.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，點（2，■）到直線ρsin（θ-■）=1的距離是
答案 1 【命題意圖】考查把極坐標(biāo)的點和方程化成直角坐標(biāo)的點和方程，并計算點到直線的距離的能力。
【解析】極坐標(biāo)點（2，■）對應(yīng)直角坐標(biāo)點（■，1），直線ρsin（θ-■）=ρsinθ?■-ρcosθ?■=1即對應(yīng)■y-x=2，點（■，1）到直線x-■y+2=0的距離
d=|■|=1
【梳理總結(jié)】把極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)，化生為熟，是數(shù)學(xué)解題方法中熟悉化的要求。
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（本大題共6小題，共75分）
16. （本小題滿分12分）ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c。
（I）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（II）若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值.
【命題意圖】 本題主要考查三角形中的三角變換方法，意在考查考生運用三角形中邊角互化，以及正余弦定理求解三角形的能力.
【解題思路】 （1） 由等差數(shù)列得到三邊滿足的齊次式，利用正弦定理和互補角的關(guān)系，借助三角變換證明恒等式 （2）利用邊之間的等比數(shù)列關(guān)系，結(jié)合余弦定理求角，基本不等式求得最值.
【解析】
（1）a，b，c成等差，2b=a+c，即2sinB=sinA+sinC.
sinB=sin（A+C）.，inA+sinC=sin（A+C）
（2）a，b，c成等比，b2=ac，又cosB=■≥■=■=■
僅當(dāng)a=c=b時，cosB取最小值■，這時三角形為正三角形。
【梳理總結(jié)】三角函數(shù)與解三角形是高考的一個重要部分，在客觀題和在解答題都有出現(xiàn)，解三角形所涉及的知識點要掌握，如正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等。 常見的三角函數(shù)題型有：（1） 三角函數(shù)式的求值與化簡；（2） 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的綜合；（3） 三角函數(shù)與平面向量交匯；（4） 三角函數(shù)恒等變形，與解三角形、正弦定理、余弦定理的交匯；（5）三角形中的邊角互化與數(shù)列、不等式的交匯.2014陜西高考此題與往年相比，難度稍高。
17 （本小題滿分12分）
四面體ABCD及其三視圖如圖所示，過被AB的中點E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點F，G，H.
（I）證明：四邊形EFGH是矩形。
（II）求直線AB與平面EFGH夾角的θ正弦值。
【命題意圖】 本題主要考查利用三視圖還原空間幾何體的幾何關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，求證空間圖形的形狀特征與線面角的計算，意在考查考生的空間想象能力，運用平行、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)進行計算和邏輯推理的能力。
【解題思路】 （1）由三視圖得到特殊的四面體：DA，DB，DC兩兩垂直，進而得到線面垂直，再借助平行關(guān)系可證所求。（2）利用空間直角坐標(biāo)系，向量坐標(biāo)運算求出線面角；或者做輔助線，由幾何法求出線面角。
【解析】
（1）
（2）
【梳理總結(jié)】 立體幾何尋找解題思路：一是要有轉(zhuǎn)化與化歸的意識，即將線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系三者之間的問題相互轉(zhuǎn)化，二是要有平面化的思想，即將空間問題利用定義和性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化到某一平面內(nèi)處理.而建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量及其坐標(biāo)運算，可降低難度。
18.（本小題滿分12分）
在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（1，1），B（2，3），C（3，2），點P（x，y）在ABC三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上
（1）若■+■+■=■，求OP；
（2）設(shè)■=m■+n■（m，n∈R），用x，y表示m-n，并求m-n的最大值.
【命題意圖】 本題主要考查向量的概念和向量的線性運算以及坐標(biāo)運算，考查二元變量在約束條件下的最值問題的求解方法。
【解題思路】由向量關(guān)系可求出點P的坐標(biāo)，則可得OP；再由向量關(guān)系求m和n，得到m-n的表達式，認(rèn)識其意義，由線性規(guī)劃求二元函數(shù)式的最值。
解析：（1）
（2）
【梳理總結(jié)】借助向量的線性表示和坐標(biāo)運算可以溝通幾個變量之間的關(guān)系，目標(biāo)指引下可得所求向量問題，向量條件下的最值問題，借助向量溝通，化歸函數(shù)，而二元一次函數(shù)通過線性規(guī)劃求解，凸顯向量的工具性和數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用，使得向量和線性規(guī)劃有機地網(wǎng)絡(luò)交匯，新而不難，值得回味。
19.（本小題滿分12分）
在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：
（1）設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列。
（2）若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率。
【命題意圖】本題考查實際生活中隨機事件的理解和隨機變量的應(yīng)用，獨立事件求概率及其分布列的計算。
【解題思路】由利潤x=產(chǎn)量價格-成本入手，同時注意價格與成本都是隨機變量，分別計算可得x的分布列；認(rèn)識理解n次獨立重復(fù)試驗，易求得概率。
【解析】注意隨機變量的意義為利潤， 而利潤x=產(chǎn)量價格-成本，確定隨機變量的取值
（1）
X的分布列如下表：
X 800 2000 4000
P 0.2 0.5 0.3
（2）構(gòu)建二項分布的模型，確定每一次獨立實驗的概率。
【梳理總結(jié)】 實際生活中的概率問題，關(guān)鍵是要認(rèn)清隨機事件，抓住隨機事件之間的關(guān)系，選擇合理的概率計算方法。本題中要抓住關(guān)鍵字句“作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量具有隨機性，且互不影響”，則思路豁然，運用獨立事件概率的乘法公式即可。本題具有濃郁的現(xiàn)實生活氣息，是生活數(shù)學(xué)化的極好典范。
20. （本小題滿分13分）
如圖，曲線C由上半橢圓C1：■+■=1（a>b>0，y≥0）和部分拋物線C2：y=-x2+1（y≤0）連接而成，C1，C2的公共點為A，B，其中C1的離心率為■.
（1） 求a，b的值；
（2） 過點B的直線l與C1，C2分別交于P，Q（均異于點A，B），若APAQ，求直線l的方程.
【命題意圖】本題考查圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，待定系數(shù)法求解方程的方法，重點考查直線和圓錐曲線位置關(guān)系的研究方法。
【解題思路】（1）依據(jù)題設(shè)和幾何量之間的關(guān)系構(gòu)建方程組求解；（2）聯(lián)立方程組降元化歸一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，借助弦長和題設(shè)條件構(gòu)建方程確定直線方程，注意直線和橢圓相交條件的驗證，和直線垂直用向量數(shù)量積解決的具體方法運用；
【解析】
（1）拋物線y=-x2+1交于點（-1，0），（1，0），b=1，又■=■，a2=b2+c2
（2）
【梳理總結(jié)】解析幾何大題第（1）問一般考查圓錐曲線的基本知識，常考待定系數(shù)法確定方程的方法.第（2）問對不少考生來說，運算量較大，但寫出直線與曲線方程聯(lián)立，寫出兩根之和與兩根之積，這都是常規(guī)的方法步驟.直線和圓錐曲線的位置關(guān)系以及范圍、最值、定點、定值、存在性等問題，直線與多種曲線的位置關(guān)系的綜合問題已成為高考命題的熱點，近兩年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)了以函數(shù)、平面向量、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何、數(shù)學(xué)思想方法等知識為背景，考查知識的綜合運用，而向量的坐標(biāo)運算在圓錐曲線問題中往往是一個有力的工具，是建立函數(shù)、不等式，方程的必須途徑 。主要題型：（1）考查解析幾何基本知識、方法；（2）向量滲透于圓錐曲線中；（3）求曲線方程或求軌跡；（4）直線與圓錐曲線相交，涉及弦長、中點、軌跡、范圍、定值、最值等問題。
21.（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù) ，其中f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)。
（1） ，求gn（x）的表達式。
（2） 若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)n∈N+，比較g（1）+g（2）+…g（n）與n-f（n）的大小，并加以證明。
【命題意圖】 本題主要考查函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的有關(guān)運算和歸納猜測函數(shù)表達式，函數(shù)與不等式綜合，求解不等式恒成立下的參數(shù)范圍問題的求解，構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)探索性質(zhì)，求解數(shù)列求和與不等式問題，意在考查考生全面深入、合理轉(zhuǎn)化，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合問題的能力。
【解題思路】 （1）特值計算，不完全歸納法猜測gn（x）的表達式，用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2） 不等式恒成立合理變形轉(zhuǎn)化為函數(shù)值滿足的關(guān)系式，構(gòu)建新函數(shù)，探索其單調(diào)，函數(shù)觀點，借助分離參數(shù)化歸二次函數(shù)區(qū)間上的最值或值域求得參數(shù)范圍。（3）分析比較化歸構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性求解。
【解析】
（1）
（2）
1 有預(yù)設(shè)才會生成得更好、更完美
生成可分為兩類，一類是我們預(yù)設(shè)下的現(xiàn)象，另一類是我們不曾預(yù)設(shè)到的現(xiàn)象.我們期望出現(xiàn)未曾預(yù)約的精彩，但美化、強調(diào)生成，貶低、弱化預(yù)設(shè)，不是正確的選擇.因為只有好的預(yù)設(shè)，才會生成得更好、更完美.
例1 已知函數(shù)y=f（x）對任意x∈R，恒有f（x）=f（2a-x），求證f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱.
在高一年級的同課異構(gòu)活動中，兩位老師都講到這個例題.一個教師在講授中直接就取y=f（x）圖像上的任意一點P（x0，y0），這一點關(guān)于直線x=a的對稱點為P′（2a-x0，y0），由于y0=f（x0），且對任意x∈R，恒有f（x）=f（2a-x），所以y0=f（2a-x0），也就是說點P（x0，y0）在函數(shù)f（x）的圖像上時，點P′（2a-x0，y0）也在函數(shù)f（x）的圖像上，此兩點關(guān)于直線x=a對稱，由任意性可知f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱.
一個學(xué)生說：“老師，為什么要這樣證明呢？不是很明白.”結(jié)果，老師又重新再講一遍.
另一位教師，先從y=x2講起，指出它的對稱軸是y軸，即直線x=0.這是大家都知道的事實，教師進一步啟發(fā)：“為什么對稱軸是x=0.”
學(xué)生1回答：“因為圖像上的點（1，1），（-1，1）關(guān)于x=0對稱；（-2，4），（2，4）也關(guān)于x=0對稱，還有無數(shù)這樣的對稱點，所以圖像關(guān)于x=0對稱.”
教師：“這位同學(xué)的思路是對的，但不能僅用幾個點來說明――即使說明了還有無數(shù)這樣的對稱點，也不能說，圖像就對稱，要怎么表述才準(zhǔn)確呢？”
學(xué)生2：“任意取一點，再說明這個點關(guān)于x=0的對稱點也在圖像上就可以了.”
教師：“是的，只要取一點P（x0，y0），再說明P′（-x0，y0）也在圖像上即可.”
教師再問：“如何證明y=x2+2x+3關(guān)于x=-1對稱？”
……
經(jīng)過這一番討論和思考，再來證明上面的例題，就水到渠成了.學(xué)生也就不會說聽不明白了.
前一個教師的講解，讓人覺得突兀，沒有抓手，高估了學(xué)生.后一個教師的講解，有鋪墊，有啟發(fā)，符合由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識規(guī)律.當(dāng)然，效果就不一樣.這個顯然與教師的備課有關(guān)，即與備課時的預(yù)設(shè)有關(guān).
生成，不僅僅是旁逸斜出才叫生成，正確理解知識、理解方法也是一種生成.2 教師的啟發(fā)誘導(dǎo)是學(xué)生生成的重要來源
學(xué)習(xí)是一種生成，運用也是一種生成.只有不斷生成，學(xué)習(xí)才會進步.而學(xué)生內(nèi)部的生成，教師往往是看不到的，但卻是潛藏在學(xué)生的心里，增厚在大腦皮層里.所以，教師的啟發(fā)誘導(dǎo)就很重要.比如：
例2 已知ABC是銳角三角形，求證：sinA+sinB+sinC>；cosA+cosB+cosC.
很多學(xué)生無從下手，老師想到的往往也是和差化積，不會用ABC是銳角三角形的隱含條件.其實，ABC是銳角三角形可轉(zhuǎn)化為下列式子：
A+B>；π2，
B+C>；π2，
C+A>；π2，
0<；A，B，C<；π2，可得π2>；A>；π2-B>；0，
π2>；B>；π2-C>；0，
π2>；C>；π2-A>；0，可得sinA>；sin（π2-B）=cosB，
sinB>；cosC，
sinC>；cosA.
三式相加即得sinA+sinB+sinC>；cosA+cosB+cosC.
經(jīng)過講解，學(xué)生理解了，掌握了，以后碰到類似問題能想到這樣的方法.比如：
題目 已知偶函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則（ ）.
A.f（sinα）>；f（sinβ）B.f（sinα）<；f（cosβ）
C.f（sinα）>；f（cosβ）D.f（cosα）<；f（cosβ）
學(xué)生分析 由π2<；α+β<；π，得0<；π2-β<；α<；π2，根據(jù)y=sinx在[0，π2]是遞增的，得0<；sin（π2-β）=cosβ<；sinα<；1.又偶函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，所以f（x）在[0，1]單調(diào)遞增，所以f（cosβ）<；f（sinα），選C.
由此可見，教師先前的講解起到了作用.也就是說，教師的啟發(fā)誘導(dǎo)是學(xué)生生成的重要來源.3 了解學(xué)情是有效生成的重要途徑
學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師只有全面了解學(xué)生，才能使教師的教更有效地服務(wù)于學(xué)生的學(xué)，促進學(xué)生的生成.正如著名特級教師于猗所指出的：學(xué)生的情況、特點，要努力認(rèn)識，悉心研究，知之準(zhǔn)，識之深，才能教在點子上，教出好效果.
例3 已知數(shù)列{an}滿足an+1+an-1=2an，n≥2，點O是平面上不在l上的任意一點，l上有不重合的點A，B，C，又知a2OA+a2015OC=OB，則S2016=（ ）.
A.1007 B.2016 C.2015 D.1008
數(shù)列{an}滿足an+1+an-1=2an，n≥2，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，這是學(xué)生知道的，如果由A，B，C共線，且滿足a2OA+a2015OC=OB，可以得到a2+a2015=1，若學(xué)生不知道，此時，要生成就比較困難.
所以引入這個例子的時候，最好能先證明：點O是平面上不在l上的任意一點，A，B，C在l上的充要條件是存在實數(shù)λ，使λOA+（1-λ）OC=OB.
否則，要由這些條件得到a2+a2015=1，就增加了生成的難度.
我們不時看到，學(xué)生有聽不明白的情況，往往就是沒有充分了解學(xué)生造成的.要了解學(xué)生，包括了解學(xué)生的原有經(jīng)驗、前概念、認(rèn)知方式以及學(xué)生的情感、態(tài)度、價值觀等.只有了解學(xué)情，教學(xué)才可能有的放矢.4 學(xué)生的生澀生成是教師幫助學(xué)生正確生成的重要通道
4.1 利用錯誤資源
錯誤不可怕，可怕的是不去改正錯誤.利用錯誤資源，一方面是修正錯誤，另一方面是從錯誤中得到啟發(fā)，生成正確的東西.
例4 設(shè)M={a，b，c}，N={xxM}，則M與N的關(guān)系是（ ）.
A.M∈N B.N∈M C.MN D.NM
這是一道很容易出錯的題，學(xué)生容易從M，N為集合這個表面現(xiàn)象選C或D.
事實上，因為N={xxM}，所以N={φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}}，此時M，N不是集合與集合的關(guān)系，而是元素與集合的關(guān)系，故選A.
無獨有偶，我們來看看一道由韓國高考數(shù)學(xué)題改編的問題：
題目 下面是學(xué)生甲和學(xué)生乙爭論集合的部分內(nèi)容：
甲：我們能夠想象到的集合之全體的集合叫做S，那么
（a）S將S自身作為元素所有，是吧？
乙：那不成體統(tǒng)，哪有那樣的事？
甲：好，那么（b）不把自己本身作為元素的集合之全體的集合又怎么樣呢？
以數(shù)學(xué)方式表達上述爭論中帶有底線的（a），（b），哪一項最好？（ ）
A.S∈S，{A|A∈A，A是集合}；
B.S∈S，{A|AA，A是集合}；
C.S∈S，{A|AA，A是集合}；
D.SS，{A|AA，A是集合}.
試題通過考查學(xué)生對集合主要符號和不同含義的思考和理解來檢驗學(xué)生是否真正懂得了集合和元素之間的關(guān)系，涉及對集合本質(zhì)的認(rèn)識理解，帶有邏輯思維訓(xùn)練的因素，與例4有異曲同工之妙.本題選項C是比較準(zhǔn)確的選擇.
4.2 利用正確生成卻生成不下去的資源
利用生成性資源，包括正確生成卻生成不下去的資源的利用.比如：
例5 已知ABC中∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，acosA+bcosB=ccosC，試判斷ABC的形狀.
把式子acosA+bcosB=ccosC化角或者化邊，是常見思路，學(xué)生也懂.一些學(xué)生把式子化成
a?b2+c2-a22bc+b?c2+a2-b22ca=c?a2+b2-c22ab后，以為太繁就做不下去了，其實兩邊同乘以2abc，可得
a2（b2+c2-a2）+b2（c2+a2-b2）=c2（a2+b2-c2），整理可得
2a2b2-a4-b4+c4=0，即c4-（a2-b2）2=0，即（c2+a2-b2）（c2-a2+b2）=0，即c2+a2=b2或c2+b2=a2，所以ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.
同樣化角也會遇到一些困難，教師要幫助學(xué)生掃清障礙：
因為acosA+bcosB=ccosC，所以sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，所以sin2A+sin2B=sin2C=sin（2π-2A-2B）=-sin（2A+2B），
所以0=sin2A+sin2B+sin（2A+2B）
=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A
=sin2A（1+cos2B）+sin2B（1+cos2A）
=4sinAcosA（cosB）2+4sinBcosB（cosA）2
=4cosAcosBsin（A+B）.
因為sin（A+B）=sin（π-C）=sinC>；0，所以cosA=0或cosB=0，所以A=π2或B=π2.所以ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.
知識不夠，不可能生成，或者生成不下去，同樣，方法不對、能力不強，也會生成得不好.此時，教師的幫助就很重要.5 教師應(yīng)鼓勵學(xué)生敢于表達
有些學(xué)生生怕自己的生成不夠成熟，羞于表達，教師應(yīng)給學(xué)生足夠的心理安全空間，就是有錯誤，有瑕疵，也要鼓勵.比如：
例6 如圖，已知單位圓上有四點E1，0，Acosθ，sinθ，Bcos2θ，sin2θ，Ccos3θ，sin3θ，0<；θ≤π3，
分別設(shè)OAC、ABC的面積為S1和S2.
（1）用sinθ，cosθ表示S1和S2；
（2）求S1cosθ+S2sinθ的最大值及取最大值時θ的值.
教師解析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，知∠xOA=θ，∠xOB=2θ，∠xOC=3θ，所以∠xOA=∠AOB=∠BOC=θ，所S1=12?1?1?sin3θ-θ=12sin2θ=sinθcosθ.
又因為S1+S2=四邊形OABC的面積=12?1?1?sinθ+12?1?1?sinθ=sinθ，所以S2=sinθ-12sin2θ=sinθ1-cosθ.
（2）由（1）知S1cosθ+S2sinθ=sinθcosθcosθ+sinθ1-cosθsinθ=sinθ-cosθ+1=2sinθ-π4+1.因為0<；θ≤π3，所以-π4<；θ-π4≤π12，所以-22<；sin（θ-π4）≤sinπ12=6-24，
所以S1cosθ+S2sinθ的最大值為3+12，此時θ的值為π3.
講到這里，一個學(xué)生提出：“老師，得到sinθ-cosθ+1，在0<；θ≤π3條件下，可以直接求出最值.”
老師鼓勵：“說說看.”
學(xué)生：“因為當(dāng)0<；θ≤π3時，y=sinθ是增函數(shù)，cosθ是減函數(shù)，所以-cosθ是增函數(shù)，所以sinθ-cosθ+1是關(guān)于θ的增函數(shù)，θ=π3時可得到最大值.”
老師點頭表示贊許：“很好.多數(shù)情況下，都要把類似問題化為一個角的三角函數(shù)，但針對本題的特殊情況，用此方法確實節(jié)省了時間.”
鼓勵學(xué)生表達，不僅該學(xué)生受益，其它學(xué)生也得到了啟發(fā)，也是一種生成.
