時間：2024-01-31 16:37:19
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇邏輯推理的基本方法，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞：重視；講授；訓練；揭示
《初中數學新課程標準》告訴我們：“數學在提高人的推理能力和創造力等方面有著獨特的作用”.數學課堂是培養學生邏輯推理能力的主要陣地.那教學中應如何培養學生數學邏輯推理能力呢？應從以下幾方面入手.
一、重視概念，洞知原理
數學知識中的基本概念、基本原理和基本方法是數學教學中的核心內容.基本概念、基本原理一旦為學生所掌握，就成為進一步認識新對象，解決新問題的邏輯思維工具.
二、巧用邏輯，游刃有余
在數學教學中，結合具體數學內容講授一些必要的邏輯知識，使學生能運用它們來進行推理和證明.培養學生的推理能力，必須掌握邏輯的同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等基本規律.教師應該結合數學的具體教學幫助學生掌握這些基本規律.要使學生懂得論斷不能自相矛盾，在同一關系下對同一對象的互相矛盾的判斷至少有一個是錯誤的；論斷不得含糊其詞，模棱兩可，在同一關系下，對同一對象的判斷或者肯定或者否定，不能有第三種情況成立.在數學證明過程中，必須步步有根據，每得到一個結論必須有充足的理由，這樣，學生在解答思辨性很強的題目時，就會游刃有余.
三、循序漸進 合理訓練
數學推理既具有推理的一般性，又具有其特殊性.其特殊性主要表現在兩方面.其一，數學推理的對象是數學表達式、圖形中的元素符號、邏輯符號等抽象事物，而不是日常生活經驗；其二，數學推理過程是連貫的，前一個推理的結論可能是下一個推理的前提，并且推理的依據必須從眾多的公理、定理、條件、已證結論中提取出來.數學推理的這些特性會給學生在推理論證的學習帶來困難.初一學生已初步掌握了普通邏輯的基本規律和某些推理形式，但必須依賴于生活經驗的支撐.例如，他們從“爸爸比媽媽高，媽媽比我高”的前提很容易推出“我比爸爸矮”的結論，但有些剛學習不等式的學生從“∠A>∠B， ∠B>∠C”的前提推得“∠C
1.說理練習，不可或缺.教師在教學.中要注意把運算步驟和理論依據結合起來.同時可以進行適當的說理性訓練，這樣做可以使學生在說理的過程中養成尋找理由、言必有據的習慣.
例如，某汽車公司的汽車票價為單程票票價4元，周票票價為36元，李老師每星期一三五要乘汽車上班，搭朋友的車回家.問李老師應該買周票嗎？請說明理由.
評析：該題目的是希望學生能說明一個清晰的推理過程中的依據.按照常規算法，李老師一個星期乘8次，買單程票需32元，而周票需36元，因此她不應買周票.但從另一個角度考慮，她也可以買周票.其理由是如果她周末外出乘車至少8元以上，那么買單程票總花費就多于36元，所以買周票能省錢.這種類型的訓練，可以從代數的運算過渡到幾何推理打下良好的基礎.
2.加強培養，推理技能.對于推理論證技能的培養，一般可分幾個階段有層次地進行.
（1）通過直線、線段、角等基本概念的教學，使學生能根據直觀圖形，言必有據地作出判斷.
（2）通過相交線與平行線以及三角形有關概念的數學，使學生能根據條件推出結論，能用數學符號寫出一個命題的條件和結論，初步掌握證明的步驟和書寫格式.
（3）在“全等三角形”學習之后，學生已積累了較多的概念、性質、定理，此時可以進行完整的推理論證的訓練.通過命題證明，逐漸掌握推理技能.
（4）在學生已初步掌握技能技巧的基礎上，通過較復雜問題的求證，幫助學生掌握尋找證明途徑的各種方法，以發展邏輯推理能力.
四、點撥到位 相時揭示
[關鍵詞]：法學，邏輯推理，政策考量，實證主義法學，新自然法學
法不僅是思想，而且是活的力量。
——耶林
臺灣著名法學家楊仁壽先生在《法學方法論》一書開篇中提到了70年代震動臺灣學術界的誹韓案[1].楊先生評點此案時認為：舊律所規定直系血親之范圍僅限于“本宗九族”，逾此范圍，即非屬“法律上”的直系血親，而韓愈之相距39代的血親，由此不屬法律上的直系血親范圍。法官審理此案時，嚴格依法律進行推理，孰不知法律存在此漏洞，須進行解釋方可適用于此案。楊先生批評“此號判決仍在‘概念法學’（jurisprudenceofconceptions）陰影的籠罩之下，審判者一味專注于概念邏輯，只知‘運用邏輯’為機械操作，未運用智慧，為‘利益衡量’”[2]，并由此呼吁理論界和實務界重視法學方法的研究和運用。
法應用科學中最重要的一門是“法學”，又稱法解釋學或法規范學，其以法規范為研究對象，以確定規范的法意。法律用語多來自日常生活，因此必須加以闡明；對不明確的法律概念，必須加以具體化；對法規之間的沖突，必須加以調和。法解釋學的目的在于窮究法的目的，具體的方法可分為狹義法律解釋、價值補充和漏洞補充[3].而換一個視角來看，整個“法學”方法的運用過程，可概括為邏輯推理和政策考量的過程。
法律解釋方法中的文意解釋、體系解釋、法意解釋、比較解釋，體現了邏輯推理的過程，其更類似一種概念的數學，其運算結果的正確性取決于前提正確與否。邏輯推理提高了法學的客觀性，當出現不同的法律見解時，依邏輯推理亦可提供分辨優劣的標準，而正是通過邏輯推理，司法者將立法者的意圖外化，這是正確適用法律的前提。也正是這種高度客觀的推理形成的結論，具有穩定性，以便于社會對法律有穩定的預期，并維持社會的秩序。這種客觀的概念化的運作也提出了一個問題：對于法律的“善”與“惡”，法官有無審查權；對于立法者的目的，法官有無權力依據時更作出不同的闡釋？若依邏輯推理的要求，答案是否定的，推至極端，也正是由概念法學推導出的“惡法亦法”的結論，其認為法官審判過程像一部機器的運作，送入的是案卷，出來的是判決，從而嚴格限制法官的自由裁量權。
而廣義法律解釋中所包含的目的解釋、合憲性解釋、價值補充及漏洞補充，則體現了政策考量的過程。法律語言的模糊性使得法官解釋法律時不可避免地加入價值判斷，社會生活的變動及個案中的具體情況無疑也需要法官的自由裁量。這種政策考量的過程會依社會發展的要求而對社會秩序產生引導和影響，因此，司法官必須考慮立法者的目的，選擇符合立法者目的的判決。同時，價值考量也是使滯后的法律適用于發展的社會，從而實現正義的必要步驟。
法學方法論上的邏輯推理和政策考量與實證主義法學和新自然法學有著天然的聯系，后者是前者的理論基礎。
法律實證主義思想方法的特點是追求確定的知識。其以感覺經驗為基礎，以可操作的邏輯形式來檢驗或推導出概念和命題，其任務有兩項：認知法和注釋法。法的意思只能從實在的法律規定中引出，而不能從抽象的道德觀念或正義中引出。實證法學試圖把明確性、穩定性、一致性和非冗性等邏輯限制置于權威性法律資料之上，企望發現基本法律概念、基本法律范疇以及基本法律定理。純粹法學更將實證主義法學推向極端，認為法律是關于規范的科學，即以“具有法律規范的特征，使某種行為合法或非法的規范”為對象的科學。法學方法上的邏輯推理正是以實證主義法學為理論基礎，甚至推理的結果違反生活的邏輯，而其目的就是在于得到一個于法律上合理的結果。
新自然法學倡導自然權利、社會正義，其認為自然法包含本體論和認識論兩重意義。從本體論上說，自然法源于人的本性，是從人的本性中產生的有關人類的合適而正當的規則或理想秩序；從認識論上講，自然法是一種難以直觀發現的不成文法，只有依靠道德良知和社會經驗的逐步發展才能發現。因此，新自然法學以對思辯認識和實踐認識的區分而強調法學是一種實踐科學，以對事實和價值的一元論而強調法學是一種價值理論，以對歷史真理和正義的永恒追求而主張價值的超時空性。而法學方法上的政策考量正是以新自然法學為基礎的。政策考量的過程是：先依據現行法律的具體規定進行邏輯推理，當得出不合理的判決時，由法官援引另外的規則作出其它結論。援引另外規則的過程，即是一個目的、價值的衡量過程，可能根據法律的基本原則（如誠實信用等），也可能直接援引自然法上的正義、公平等標準。
在西方法律思想史的研究中，一般將實證主義法學與自然法學對立起來看待，然而，在邏輯推理-政策考量的過程中，二者卻天然地統一于司法實踐中，而這恰恰從反面印證了法學是一門實踐的科學這一命題。
法學方法論有重大的應用價值。在前文提到的誹韓案中，法官支持了韓愈39代直系親屬的告訴權，這種判決不符合生活的邏輯，既與立法目的相違，又浪費了司法資源，同時也有損于司法的尊嚴。而出現這一判決的原因正在于審判者仍處于實證主義的邏輯方法中，一味專注于概念邏輯，只知邏輯推理的機械操作，而不知運用利益衡量。司法實踐中，要嚴格邏輯推理過程，從而保證法的客觀性，但若過分僵化，得出“惡法亦法”的結論，則違背了法律的實踐性格和社會正義的標準，導致法的僵化，并與社會實際形成矛盾。因此必須以政策考量進行價值判斷，糾正判決的偏差。而這一過程更重要的作用是推動法學的發展，法官可在判例中運用政策考量認定案件，排除誠信原則的適用，從而使判例類型化，并逐步形成一種學說。大陸法系的權利失效原則、事實契約理論；英美法上越權原則的廢除及刺破公司面紗理論的形成過程中，均體現了邏輯推理-政策考量的過程，其在法學發展方面的作用是顯而易見的。
我國目前司法實踐中，概念法學不發達，政策考量也未引起重視。法官依實踐中智慧的積累雖然也能作出較好的判決，但對邏輯推理-政策考量這一思維過程作為一種方法的存在還未敏銳地認識到。究其源在于法律教育和法學研究中不重視基礎法學，對法律闡釋的方法未深入研究，以致法官對此誨莫如深。為此，一方面，需重視法律思想史等理論學科與應用學科的交叉研究，使得思想的力量推動現實的進步，以達到相對完善的境地；另一方面，法學方法論在法學教育上的重要性應被給予足夠重視。
參考文獻：
[1]楊仁壽：《法學方法論》，中國政法大學出版社1999年1月版。案情概要為：1976年10月間，郭壽華以筆名“干城”在《潮州文獻》上發表的《韓文公、坡給與潮州后人的觀感》一文中稱韓愈不脫古人風流才子的怪習氣，因消磨于風花雪月而染風流病，使體力過于消耗，后誤信方士硫磺下補劑而卒于硫磺中毒。此文引起韓愈第39代直系血親韓思道不滿，向“臺北地方法院”自訴郭壽華“誹謗死人罪”。在一審及上訴審中，“臺北地方法院”和“臺灣高等法院”均支持了自訴人的主張，判定郭壽華誹謗死人罪成立并予以罰金處罰。
一、邏輯推理與實際應用是數學學習動機
數學發展的歷史包括兩種典型的數學文化:一種是重視邏輯推理的希臘數學文化,一種是重視實際應用的中國數學文化.
數學史家將古希臘數學按時間分期:第一期從公元前600年到前323年;第二期從公元前323年到前30年,也稱亞歷山大前期;第三期從公元前30年到公元600年,也稱亞歷山大后期[3].前兩個時期,希臘數學文化認為,數學命題只有通過幾何形式的邏輯推理論證才能說明其正確性,論證數學成為數學研究的主流,幾何形式的邏輯推理證明成為數學成果正確與否的衡量標準.這個標準逐漸發展成為對數學研究的期望或理想,即期望數學成果能夠通過幾何形式的邏輯推理來論證.在“亞歷山大后期”,古希臘數學突破了之前以幾何為中心的傳統,算術、數論和代數逐漸脫離了幾何的束縛.這一時期受羅馬實用思想的影響,論證數學不再盛行,如海倫的《量度》中有不少命題沒有證明.但論證數學中的邏輯推理在數學研究中仍占有重要位置,如丟番圖《算術》書中采用純分析的途徑處理數論與代數問題[4].邏輯推理從幾何論證中脫離出來,邏輯推理解決問題的思想發展成為數學研究的新理想,即希望數學問題可以通過純邏輯推理的方法解決.縱觀整個希臘數學文化,數學研究成為滿足上述兩種理想而付出的勞動,成為實現個人價值、滿足求知欲的社會需求而付出的勞動.究其本質,邏輯推理思想是幾何論證與分析法解決問題的根本,是上述兩種理想中最本質的思想,并且滿足動機的定義.因此它是古希臘數學研究的一個動機,也是人類進行數學研究的一個動機.
中國古代數學在整體發展上表現為算法的建構和改進[5].所謂“算法”不只是單純的計算,而是為了解決一整類實際或科學問題而概括出來的、帶有一般性的計算方法[4].算學的目的在于解決實際問題,而實際問題是層出不窮的,因此中國古代數學不僅經受住了統治者廢除“明算”科的考驗,甚至還有所發展,如元末明初珠算的普及.隨著中國數學文化的形成,用數學知識解決實際問題成為算學的理想,即期望數學成果能夠被實際應用.中國古代數學研究成為受這個理想而支配的勞動,成為實現個人價值、滿足求知欲的社會需求而付出的勞動.實際應用滿足動機的定義,因此它是中國古代數學發展的一個動機,也是人類進行數學研究的一個動機.
所以邏輯推理與實際應用是人類進行數學研究的兩個動機,按動機的分類它們屬于驅力,是從生理需要出發的內在動機.數學學習可以認為是有方向性的對已有數學成果的再次研究過程,可以看作是數學研究的特例形式.依據歷史發生原理綜合分析得出:人類進行數學研究的內在動機一定會在數學學習中表現出來,即激勵人類研究數學的內在動機與激勵學生學習的內在動機是一致的.
從實際情況出發,邏輯推理可以作為生活中一種娛樂形式,如邏輯推理游戲、邏輯推理小說、邏輯推理電影等都深受公眾喜歡;而實際應用也是大家十分感興趣的,如通過應用基本的空氣動力學知識制作航模.
綜上所述,邏輯推理與實際應用是數學學習動機,且這兩個數學學習動機是學生共有的、內在的,也是在實際教學中易于對學生進行培養的數學學習動機.
古希臘數學中的公理化思想是希臘數學文化的重要特點之一.公理化思想出現的標志是歐幾里得的《幾何原本》.在數學中引入邏輯因素,對命題加以證明,一般認為是從伊奧尼亞學派開始的,但畢達哥拉斯學派在這一方面作了重大的推進,他們的工作可以說是歐幾里得公理化體系的前驅[3].因此公理化思想的提出要晚于邏輯推理思想,公理化思想是邏輯推理思想的發展.
算法程序化思想是中國數學文化的另一個重要特點.算法程序化思想出現的標志是成書于公元前后的《九章算術》.實際應用思想雖沒有明確的出現標志,但在《九章算術》成書前的《周髀算經》、《算數書》等書中涉及的數學知識都蘊含著明確的實際應用思想.算法的提出是為了解決一類實際問題,算法程序化為了使算法嚴謹、簡明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于實際應用思想,且算法程序化思想是實際應用思想的發展.
隨著數學發展,公理化思想與算法程序化思想已應用到現代數學中,成為現代數學的特點.但它們不是貫穿整個古希臘數學與中國古代數學研究的內在因素,而是邏輯推理與實際應用數學思想發展的衍生物.公理化思想與算法程序化思想也可作為數學學習的動機,但適宜群體明顯要少得多.數學發展至今,數學本身的文化區域性特點淡薄了,希臘數學文化與中國數學文化背后的驅力——邏輯推理與實際應用思想,早已相互融合.近代微積分的應用及理論的嚴密化過程就是一例.
二、比較古今數學教材以研究初中教材兩個學習動機的培養
教材是教學中最重要的用書之一,是教師教學、學生學習的主要依據.《幾何原本》、《九章算術》作為西方與中國的數學教科書都有千年之久.兩本著作都反映了當時的數學文化背景.重視邏輯推理與重視實際應用分別成為教學思想包含在這兩本書中.
因為《九章算術》作為教材多將劉徽注釋加入其中,所以將現行數學教材與《幾何原本》、《九章算術及劉徽注》進行比較研究.為增加3者的可比性,選擇它們共有的內容,且知識體系完備,預備知識基本一致,學生認知水平大抵相同的勾股定理部分作為比較對象.這種比較雖不能以點代面,但仍有較強的代表性與啟發性.現行數學教材采用經全國中小學教材審定委員會2004年初審通過的義務教育課程標準實驗教科書八年級數學下冊[6],以第18章第1節勾股定理內容為標準,選擇《幾何原本》、《九章算術及劉徽注》部分內容進行比較.因《幾何原本》的成書結構是公理化體系,利用已知命題證明未知命題,且命題后沒有輔助理解該命題的習題,所以選擇其中與勾股定理有關或利用勾股定理證明的命題作為比較對象.由于初中教材在講解勾股定理時,預備知識中未包含圓、無理量及立體幾何內容,故選擇《幾何原本》[7]第Ⅰ卷命題47、48,第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13作為比較對象.《九章算術及劉徽注》的勾股章是利用直角三角形性質求高深廣遠,因初中教材勾股定理的預備知識中沒有相似三角形及勾股數組的內容,所以選擇《九章算術及劉徽注》[8]勾股章[一]至[一四]題及[一六]題作為比較對象.
1.各種教材中勾股定理的內容
(1)編寫目的
《全日制義務教育數學課程標準(修改稿)》(下簡稱為《標準》)中勾股定理的教學要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能運用它們解決一些簡單的實際問題[9].《幾何原本》與《九章算術及劉徽注》雖沒有類似的編寫標準,但可以從它們的內容及成書體系分析得出.《幾何原本》利用勾股定理轉換面積間關系證明幾何問題,即在直角三角形中,兩直角邊上正方形面積和與斜邊上正方形面積可以相互轉換.如第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13都是利用這種思想.《九章算術及劉徽注》利用勾股定理數量關系求得高深廣遠,解決實際生活的問題.
(2)知識框架
初中教材通過生活發現與幾何直觀探索,建立從實際到理論再到實際的知識體系,并運用定理解決簡單問題.《幾何原本》通過已知命題推導勾股定理,建立從理論到理論純幾何形式的知識體系,重在證明未知命題.《九章算術及劉徽注》通過給出3個簡單幾何問題“術”,建立從理論到實際的應用知識體系,旨在解決實際問題.3者建構的知識框架各不相同.
(3)定理引入
初中教材的導入分為兩部分,分析畢達哥拉斯發現的定理特例與探究定理的一般形式.《幾何原本》受公理化體系的影響,它的導入可以認為是定義、公理、公設及已知命題.《九章算術及劉徽注》的導入是3個已知兩邊求第三邊的簡單幾何問題.
(4)定理表述
初中教材用特例猜想定理的一般形式給出勾股定理[6]:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b,斜邊為c,那么《幾何原本》的勾股定理以命題形式給出:在直角三角形中,直角所對邊上的正方形等于夾直角兩邊上的正方形[10].《九章算術及劉徽注》中的勾股定理以3個簡單幾何問題術的形式給出:勾股各自乘,并,而開方除之,即弦[8].3者對比,初中教材體現數形結合的勾股定理且形體現在邊長上;《幾何原本》中體現形的勾股定理且形體現在面積上;而《九章算術及劉徽注》體現數的勾股定理.各自的表述為其內容服務,它們之間存在一定差異.
(5)定理證明
初中教材利用我國古代趙爽的弦圖(如圖1、圖2、圖3),通過圖形旋轉證明定理猜想.這種證明方法是近年來學者們傾向于“古證復原”思想提出的.初中教材對定理證明如下[6]:
趙爽注釋的《周髀算經》對勾股定理的證明如下:案弦圖又可以勾、股相乘為朱實二,倍之為朱實四.以勾股之差自相乘為中黃實.加差實一亦成弦實[8].
兩種解釋代表兩種證明思想,趙爽弦圖及其證明方法未成最終定論.初中教材選擇歷史上的數學作為定理證明既應符合歷史,又應符合學生認知習慣.圖形旋轉是否是趙爽的弦圖思想,是否符合學生對一般幾何問題證明的思維形式,仍需再斟酌.
【關鍵詞】數理邏輯 離散數學 教學方法
【中圖分類號】G640 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2014）1-0254-02
離散數學作為計算機科學研究與學習的基本數學工具，其研究主要對象是離散量的結構及其相互關系。離散數學最難學習的是數理邏輯部分，這部分內容定義公式繁多，不易記憶和接受，學生學習比較困難，但它是培養學生邏輯推理能力的重要內容。因此，在離散數學教學中，講授數理邏輯部分是教學的重點。
一、離散數學中數理邏輯的教學內容
命題演算和謂詞演算是數理邏輯中兩個最重要最基本的部分。命題是指有具體意義的能判斷真假的陳述句。形象的說，如果將命題看作運算對象，如代數中的數字、字母或代數公式，而把邏輯聯結詞看作是運算符號，如代數中的“加、減、乘、除”，那么命題演算也就類似于代數運算。這種邏輯運算同代數運算一樣，有自己的運算規律。
謂詞演算也稱一階邏輯演算。它為了克服命題邏輯的局限性，將命題的內部結構分解成三部分：個體詞、謂詞和量詞，然后研究這種命題之間的邏輯推理關系。
二、數理邏輯的教學方法討論
（一）設置懸疑，激發學生興趣
為了激發學生的學習興趣，比較有效的方法是，可以在每部分內容前設置懸疑，提出一些與該內容相關的有趣問題，讓學生明白學習這部分內容有什么用。如在講授命題邏輯的推理理論之前，可以先提出如下問題：
例1：一邏輯學家被困一部落，酋長有意放行，于是對邏輯學家說：“現有兩扇門，一是自由，一是死亡，兩門可任開啟一扇。你可從兩戰士中選其一負責解答你任一問題（Y/N），兩戰士其一誠實，另一說謊。”邏輯學家沉思片刻，向其一戰士發問，然后開門從容地離開。邏輯學家是怎樣發問的呢？
聽到這個問題，學生必定非常好奇，在此教師可說學完命題邏輯推理理論后，這個問題就可解決。于是學生會帶著好奇心，學習效果定會比預期好。
（二）深入生活，加強概念理解
在命題邏輯中的五種聯結詞中，學生最難掌握的是蘊涵聯結詞。其中重點是蘊涵聯結詞的前件和后件的區分。根據課本的定義[1]：
設p，q，為二命題，復合命題“如果p，則q”稱為p與q的蘊涵式，記做Pq，并稱p是蘊涵式的前件，q是蘊涵式的后件，稱作蘊涵聯接詞。并規定Pq為假當且僅當p為真q為假。
為了加深對此概念的理解，可以給出一些用蘊涵式表示的自然語言。如“只要p就q”，“因為p，所以q”，“p僅當q”，“只有q才p”，“除非p才q”，“除非p否則非q”等。在上述語句中，一個共性就是q是p的必要條件。
例2：“愛生活，愛拉芳。”
這是一句耳熟能詳的廣告詞，大家都覺得有一定道理，但同時也有一些的疑惑，問題的關鍵到底出現在哪里呢？我們設p：愛生活；q：愛拉芳，則原廣告可寫作Pq。假設愛拉芳，可以推斷出一個人愛生活，有品位；但反過來說，愛生活的人，一定會愛拉芳，用拉芳的產品嗎？結論顯然是否定的，這句廣告詞有意混淆蘊涵式的前件和后件，把必要條件說成充分條件。
（三）注重類比，抓住重點內容
數理邏輯部分的內容復雜，公式繁多，在教學中如何抓住重點，讓學生容易聽懂呢？這是每個老師都必須面對的一個非常嚴峻的問題。我們可以考慮將命題推理系統和一階邏輯推理系統對比，由于它們的字母表、合式公式和推理規則都很類似，把它們的相同和區別之處給學生講清楚，就可以幫助學生加深理解。又如在命題邏輯的等值演算中，教材給出了16個組基本的等值式：
教學時，可以給出學生其中的一個證明，剩余的讓學生自己去做。如證明（1），當A為F時，┑A為T，┑┑A為F；當A為T時，┑A為F，┑┑A為T，所以有A ┑┑A。這樣，學生就得到了等值式，而且對其他等值式也有了更加具體的認識，便于記憶。
為了改進離散數學中數理邏輯部分的教學方法，在分析數理邏輯的教學內容的基礎上，從以下四個方面著手來提高教學效果：激發學生興趣、加深概念理解、啟發學生思維和抓住重點內容。經我們在實際教學中的運用結果來看，效果較好。
參考文獻：
關鍵詞：物理專業；高等數學；數學思想；教學
作者簡介：唐果（1957-），女，湖南湘潭人，湖南科技大學數學與計算科學學院，副教授。（湖南 湘潭 411201）
基金項目：本文系2011年湖南省教育廳教學改革研究資助項目、湖南省教育廳學位與研究生教育教改重點課題（項目編號：JG2011A019）的研究成果。
中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）19-0125-02
“高等數學”是物理專業學生必修的一門重要基礎課程，是學生學習物理各專業課程的基礎。目前國內外很多學者認為高等數學的任務是為學生學習物理各專業課程以及今后的工作提供必要的高等數學基礎知識。[1，2]數學嚴格的邏輯性、高度的抽象性、語言的簡明性，使數學具有培養學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力的獨特功能。[3]因此，高等數學的任務除了為學生學習物理各專業課程以及今后的工作提供必要的高等數學基礎知識之外，應該還具有培養學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力的任務。而物理學中的問題，就是利用數學嚴密的推理、高度的抽象及空間想象建立模型，最終經過實踐檢驗，求得其理論。[4]因此，培養物理專業學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力就顯得尤為重要，也是物理專業“高等數學”教學責無旁貸的任務。如何在物理專業“高等數學”教學中培養學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力是每位教師必須思考的問題。
一、數學思想簡介
數學思想是數學產生以及數學發展過程中必須依賴的基本思想，是人們在談論數學時，總要談及到的獨特素質。數學思想是由三種基本思想，即抽象、推理和模型思想組成。抽象思想是把外部世界與數學有關的東西抽象到數學內部，其素質表現為抽象能力強；推理思想是邏輯推理促進數學內部的發展，其素質表現為邏輯能力強；模型思想是溝通數學與外部世界的橋梁，其素質表現為應用能力強。
數學中的抽象主要包括兩方面的內容：數量與數量關系的抽象、圖形與圖形關系的抽象。其中關系是重要的，正如亞里士多德所說：數學家用抽象的方法對事物進行研究，去掉感性的東西剩下的只有數量和關系。對于數學研究而言，線、角，或者其他的量，不是作為存在而是作為關系，通過抽象得到數學的基本概念，從而把現實生活中的與數學有關的東西引入數學的內部。這些基本概念包括數學的研究對象的定義，刻畫對象之間關系的術語和符號，還包括刻畫對象之間關系的運算方法。這種抽象是一種從感性具體上升到理性具體的思維過程，但這樣的抽象只是第一次抽象。在此基礎上，還能憑借想象和類比進行第二次抽象，其特點是符號化，得到那些并非直接來源于現實的數學概念和運算方法，比如實數和高維空間的概念，極限和四元數的運算。第二次抽象是此理性具體擴充到彼理性具體的思維過程，在這個意義上，數學并非僅僅研究那些直接來源于現實生活的東西。
數學主要依賴的是邏輯思維，邏輯思維的集中表現是邏輯推理，人們通過推理，能夠深刻地理解數學研究對象之間的邏輯關系，并且可以用抽象了的術語和符號清晰地描述這種關系。所謂推理，是指一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。所謂推理有邏輯，是指所涉及的命題內涵之間具有某種傳遞性。在本質上，只存在兩種形式的推理，一種是歸納推理，一種是演繹推理。人們通過推理形成各種命題、定理和運算法則。隨著數學研究的不斷深入，根據研究問題的不同，數學逐漸形成各個分支，而且數學各個分支得到的結果之間卻是相互協調的。為此，人們不能不為數學的這種整體一致性感到驚嘆：數學似乎蘊含著類似真理那樣的合理性。
數學模型是用數學的概念、原理和思想方法描述現實世界中規律性的東西。所以數學模型是指用數學的語言描述現實世界所依賴的思想。數學模型使數學走出數學的世界，是構建數學與現實世界的橋梁，通俗地說，數學模型借用數學的語言講述現實世界的故事。數學模型的出發點不僅是數學，還包括現實世界中的那些將要講述的東西。并且，研究手法也不是單向的，需要從數學和現實這兩個出發點開始，規劃研究路徑、構建描述用語、驗證研究結果、解釋結果含義，從而得到與現實世界相容的、可以描述現實世界的結論。數學模型也必然有其適用范圍，這個適用范圍通常表現于模型的假設前提、模型的初始值、模型參數的某些限制。
由數學思想的概念可以看到，培養物理專業學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力就是要在物理專業“高等數學”教學中提高學生的數學思想。
二、提高物理專業學生數學思想的“高等數學”教學途徑
對于物理專業的學生，提高了邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力，即數學思想，也就增強了他們的創新能力、數學應用能力、可持續發展能力和終身學習能力，才能使培養出來的學生真正做到知識、能力、素質三者并重。下面結合筆者 長期物理專業“高等數學”教學的實踐，針對教師在“高等數學”教學的過程中如何提高物理專業學生數學思想談談體會和具體做法。
1.教師自身必須具有較高數學思想和數學方法論的素養
由于數學思想蘊含于高等數學的各部分內容之中，只有教師具有了較高的數學思想素質，才能挖掘出高等數學各部分內容之中的數學思想，才能做到在高等數學的講授中，善于向學生傳授這些思想以及寓數學思想于平時的教學中，因此教師自身要加強對數學史和數學方法論的學習與研究。
2.教師必須具有較好的物理素質
由于高等數學中的概念和定理只反映數量關系和空間形式，沒有具體的描述對象，而物理中的概念和定理則有具休的描述對象，比如，向量在高等數學中是一個抽象概念，但是在物理中則用來表示力、速度等具體的概念。另外，高等數學中的很多概念和定理是科學家們在研究物理問題時抽象出來的，例如：微積分就是牛頓在研究力學問題時首先提出，并為解決各種力學問題而日益豐富起來的。因此教師具有了較強的物理素質后，一方面與物理專業的學生有更多的“共同語言”，可以使用在實踐中看得到的現象解釋十分抽象的數學概念和定理，提高學生學習高等數學的積極性；另一方面，可以利用物理實例引入高等數學的概念和定理，培養學生的數學思想。所以，教師自身應加強物理知識的學習。
3.教師要善于將高等數學各部分內容中的數學思想挖掘并系統地分類
教師在備課時要深入研究教材，結合教材的知識點，查閱其發生發展過程，把握住有關概念和定理的來龍去脈，抓住數學知識與數學思想的結合點，挖掘出蘊含于教材每章節中的數學思想，在教學中做到統籌安排，有目的、有計劃和有要求地進行數學思想的教學。
4.教師應針對不同的教學內容，通過多種途徑設計數學思想教學
由于同一教學內容可以蘊含多種數學思想，而同一數學思想又分布在不同的教學內容中，所以教師應根據不同的教學內容，選擇不同的教學手段和方法開展數學思想的教學。選擇的原則為有利于學生領悟和掌握數學思想，例如：在遇到反映推理數學思想的教學內容時，可以采用探究式和啟發式教學方法進行教學。特別是對于物理專業的學生，教師應充分利用其對物理現象熟悉和物理問題理解的特點，首先提出問題，然后學生在教師的引導和啟發下模擬科學家解決問題的過程，或支持學生從多角度以不同方式對問題進行思考，最后讓學生自己得出結果。在遇到反映抽象數學思想的教學內容時，可以采用發現式教學方法進行教學，教師可以利用高等數學中的很多概念和定理是科學家們在研究物理問題時抽象出來的特點，結合教學內容，向學生展示該教學內容的形成和演變過程，使學生體驗抽象數學思想的作用和巨大價值；或采用案例式教學方法進行教學，由于抽象是從許多不同事物中提取的共同點，因此教師可以從許多領域收集既體現數學的本質，又通俗易懂，引人入勝的例子，然后根據教學內容適當地提煉一些最新的有趣的例子作為應用案例，從這些案例中提取共同點得出結論。在遇到反映模型數學思想的教學內容時，可以采用啟發式教學方法進行教學。由于數學建模是對實際問題進行合理抽象和量化，利用數學公式進行模擬和驗證的一種處理方法，因此教師可以結合教學內容適當選擇一些實際應用問題，然后引導學生加以分析，通過抽象、簡化、假設、建立和求解數學模型，從而解決實際問題；或采用實驗教學方法進行教學，教師首先設計出注重數學思想的剖析、數學技術的靈活性和數學理論的實用性的實驗項目，然后在教師的指導下，學生親自動手建立和求解數學模型，從而解決問題。當遇到同一教學內容蘊含多種數學思想的情況，可以同時采用多種教學方法進行教學。
5.教師要充分認識到學生掌握數學思想是一個反復認識、訓練和運用的過程
由于學生對于蘊含在具體數學知識中的數學思想開始只能形成初步的感性認識，只有經過多次反復后，在較為豐富的感性認識的基礎上，才能逐步抽象、概括而形成理性認識，再在實踐活動中反復檢驗和運用，才能加深這種理性認識。因此，學生對每種數學思想的認識都是在反復理解和運用中形成的，其間有一個由低級到高級的螺旋上升過程。所以教師應該將高等數學各個內容中的數學思想形成為具有一定結構的系統，對于某一種數學思想而言，所串連的具體數學知識也必須形成自身的體系。由此明確每一種數學知識的教學中可以進行哪些數學思想的教育，并設計好對每種數學思想進行反復認識、訓練和運用的過程。由于緒論課一般都要講述知識產生的背景，發展簡史，研究對象，基本和主要的問題，研究的思想和與其他各章知識的聯系等，教師可抓準時機在緒論中直接簡述有關數學思想，而在復習課中則可順勢總結概括本章用到的數學思想，這也可以形成學生對數學思想系統的反復認識。
三、結束語
數學思想是數學的精髓和靈魂，是知識轉化為能力的橋梁。數學教育的目的不僅要使學生掌握基本的數學知識與技巧，更要重視發展學生的能力，全面提高綜合素質。因此本文就如何在“高等數學”教學中提高物理專業學生數學思想，培養學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力，提高他們的創新意識和創新能力，根據多年的教學實踐談了一些認識、體會和具體做法，希望能起到拋磚引玉的作用。
參考文獻：
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關鍵詞：邏輯推理演繹歸納類比教學策略
邏輯推理是由一個或多個判斷推出一個新判斷的思維過程，作為人的一種重要認知方式，一直受到心理學和教育學的關注。邏輯推理的心理機制、發展時期、影響因素等是心理學研究的熱點課題，而培養學生的邏輯推理能力是教育的重要目標。本文對邏輯推理的相關心理學研究做一些簡介，并由此得出對中學數學教學的幾點啟示。
一、心理學對邏輯推理的一些研究
邏輯推理包括三種形式：演繹推理、歸納推理和類比推理。對邏輯推理的研究主要圍繞這三種形式展開。
（一）學生邏輯推理的發展研究
有研究表明，學生的邏輯推理能力隨年齡增長而持續發展，在小學階段有初步表現，在初中和高中階段達到成熟。
李丹等人對兒童假言推理（一般有兩種形式：一是充分條件的假言推理，它是一個充分條件的假言判斷，即“如果……則……”；二是必要條件的假言推理，它是一個必要條件的假言判斷，即“只有……才……”）能力的發展特點進行了研究。研究顯示，兒童假言推理能力從小學三年級到初中三年級隨年級的升高而增長，小學三年級開始已有初步表現，在小學六年級到初中一年級期間有一個加速階段。其增長速度和水平，一方面受年齡階段和推理格式的影響，另一方面也因對不同命題具體內容的熟悉程度而有所差異。這是由于假言推理中事物的因果關系具有復雜性，而兒童的辯證思維尚未成熟所致。總體上看，假言推理能力的發展時間要比直言三段論推理能力推遲一年左右。
李國榕和胡竹菁對中學生直言三段論推理能力的現狀進行了調查。結果發現，學生的直言三段論推理能力在初中階段發展較快，且每升高一個年級，其推理能力都有明顯的提高；高中各年級之間，學生的推理能力雖有差異，但不顯著；而由初中升入高中，學生的推理能力會有一個飛躍。而且，男、女學生之間的推理能力無顯著差異，但理科學生的推理能力高于文科學生。此外，中學生在進行直言三段論推理時，對不同格式推理能力的發展水平并不完全一致。
全國青少年心理研究協作組于1985年對全國23個省、市初一、初三和高二學生的邏輯推理能力做了測試，內容包括歸納推理和演繹推理（又分為直言推理、假言推理、選言推理、復合推理和連鎖推理）兩類，同時還測試了辯證推理能力。結果表明，初一學生就已具備各種推理能力；三個年級之間，推理能力發展水平和運用水平都存在顯著差異。此外，凡是需要調動感性知識的試題，學生解答起來就容易；反之，則感到困難；其中，歸納推理依賴學生感性知識的程度比演繹推理更高。
黃煜烽等人在全國19個省、市不同類型的學校隨機抽取初一、初三、高二學生17098名，開展歸納推理和演繹推理的測試。結果顯示，進入中學以后，學生基本上掌握了邏輯推理的常用規律，其思維水平開始進入抽象邏輯思維占主導的階段；在整個中學階段，學生的推理能力隨著年級的升高都在持續地發展，在初二階段尤其迅速；在整個中學階段，歸納推理能力的發展水平要高于演繹推理能力；在演繹推理能力中，學生的直言推理能力發展較好，而連鎖推理能力發展較差。
方富熹等人采用口頭測試的方式，考查9—15歲兒童充分條件的假言推理能力的發展。結果表明，大部分9歲（小學三年級）兒童的有關推理能力已經開始發展，但水平較低；大部分12歲（小學六年級）兒童的假言推理能力處于過渡階段；大部分15歲（初中三年級）兒童的假言推理能力達到成熟水平。在之后的進一步研究中，他們又發現，12歲兒童對充分條件假言推理有關規則的掌握，取決于他們形式運演思維的發展水平。
林崇德教授將中學生的論證推理能力分為四級水平（也可以看作四個發展階段）：直接推理、間接推理、迂回推理、綜合性推理。研究發現，在正常的教育教學情況下，中學生的數學推理能力隨年級升高而提升；初二和高二是推理能力發展的轉折點，初二學生普遍能按照公式進行推理，高二學生的抽象綜合推理能力則得到顯著的發展。
（二）影響邏輯推理的因素研究
1.關于演繹推理。
張慶林等人的研究表明，在條件推理（利用條件性命題——通常為假言判斷——進行的推理）中，推理的內容會影推理形式規則的運用，進而影響推理的過程和結果。這主要是由于日常生活經驗會影響人們對具有實際生活意義的大前提的語義加工或心理表征，具體表現為對問題空間的影響；人們在不同的問題空間中進行分析和判斷，就會得到不同的推理結論。這是一種直覺的推理形式。因此，人們在進行涉及日常生活的推理時往往會受到經驗的影響。
胡竹菁和胡笑羽認為，推理行為是推理者在現有推理知識結構的基礎上解決具有一定結構的推理題的心理加工結果。而演繹推理問題和推理者所掌握的有關推理的知識結構都由推理形式、推理內容兩方面構成，進而基于形式和內容兩種判定標準，提出了“推理題與推理知識雙重結構模型”：推理行為會受到四個方面的影響，用公式表示為BR=f[IS（form），IS（content），KS（form），KS（content）]，其中BR代表推理行為，IS（form）代表試題形式結構，IS（content）代表試題內容結構，KS（form）代表推理者所掌握的形式知識結構，KS（content）代表推理者所掌握的內容知識結構。
Senk研究了中學生在幾何證明中的演繹推理表現，發現如果學生證明過程的書寫能力比較薄弱，會影響學生的推理能力。
Jansson通過訪談，研究了初中生在假言命題、選言命題、聯言命題、否命題等不同邏輯形式任務上的發展及先后層次結構。研究顯示，學生缺乏處理那些正式、真實、有趣的“暗示”的能力，且同一邏輯運算的不同語言形式會對邏輯推理產生影響。
Hoyles和Kuchemann考察了學生假言推理能力的發展，指出在特定的數學情境中，對“暗示”的理解是否到位和演繹推理能否成功之間存在某種聯系。
根據演繹推理相關的認知與腦機制研究，左、右腦在演繹推理中的功能差異主要表現為言語系統和視空系統在演繹推理中的不同作用，而且這兩種系統對幾種演繹推理類型的影響可能是不同的。不同性質的內容在影響被試推理過程時，所激活的腦區域是有差異的，如推理內容具體或抽象、推理材料包含更多具有顯著情緒特征或社會規則的內容、形式邏輯規則是否與個體信念沖突等。因此，個體的知識經驗、信念偏向等對演繹推理也有一定的影響。
2.關于歸納推理。
多數研究證明，歸納推理受到前提項目多樣性的強烈影響，材料類別與概念范疇、屬性特征及其呈現方式、推理形式、知識經驗等因素都會對歸納推理產生不同程度的影響。而近年來，許多研究開始關注歸納推理的心理效應。根據歸納論斷中不同因素對個體做出歸納結論時把握性大小的影響，歸納推理的心理效應主要分為三種：類別效應、屬性效應、交互效應。當前，關于類別效應中多樣性效應的研究較為集中，即人們意識到前提更加多樣的論斷具有更大的歸納推理力度，從而在歸納推理過程中傾向于尋找差異更大的證據來支持將要得出的結論。有研究結果表明，在適合的條件下，兒童在歸納推理中能夠表現出多樣性效應。
根據一些前提類別具有某一特征而推測結論類別也具有這一特征時，要推測的特征叫作歸納特征，結論類別具有這一特征的可能性程度叫作歸納強度。目前，對基于類別的特征歸納的解釋主要有相似性解釋和知識解釋兩類。相似性解釋認為，人們的歸納推理能力基于前提類別與結論類別的相似性，并隨著這種相似性的增加而增強。
王墨耘和莫雷提出關聯相似性模型，即描述人們根據歸納特征關聯項的相似性來做歸納推理的抽象模型。這一模型將特征關聯知識與相似性整合到一起，認為基于關聯相似性的歸納推理包含三個環節：首先尋找與歸納特征相關聯的特征（即關聯特征），然后比較評估結論類別與前提類別在關聯特征上的相似性（即關聯相似性），最后根據這種關聯相似性程度得出結論類別是否具有歸納特征和在多大程度上具有歸納特征。這一模型還認為歸納強度的大小可用公式來預測：歸納強度=關聯特征與歸納特征的關聯強度×關聯特征的相似性程度（即關聯相似性程度）。
王墨耘和高坡通過實驗驗證了，歸納強度與關聯相似性、關聯相似性變化的影響效果與關聯強度、歸納信心與關聯強度之間均為正相關。
3.關于類比推理。
類比推理與類比遷移有關。已有研究表明，12歲以下兒童的類比推理能力不足，是由于他們所掌握的概念知識有限（特別是相對于類比推理任務的難度），缺乏類比遷移的動機。
除了自身年齡特征、知識經驗、信念之外，工作記憶也是類比推理的重要影響因素。工作記憶是一種對信息進行暫時性加工和儲存的能量有限的記憶系統，由語音回路、視空間模板和中央執行器三個部分組成。其中，語音回路負責以語音為基礎的信息的儲存和控制，它分為語音儲存系統和發音復述系統兩個部分；視空間模板主要負責處理視覺空間信息，它包含視覺元素（與顏色、形狀有關）和空間元素（與位置有關）；中央執行器負責各個子系統之間以及它們與長時記憶之間的聯系，也負責主要資源的協調和策略的選擇與計劃。
唐慧琳和劉昌采用雙因素實驗設計，發現工作記憶是影響類比推理的重要因素：在圖形類比推理中，主要有視空間模板中的空間成分、語音回路中的發音成分以及中央執行器的參與；而在言語類比推理中，則是視空間模板中的空間成分起主要作用。
此外，王亞南和劉昌通過數字推理測驗，探討了數字推理能力發展的心理機制，發現加工速度和工作記憶在數字推理能力的發展過程中都發揮著重要的作用，且工作記憶的作用大于加工速度；推測加工速度可能是年齡與工作記憶的中介，僅對工作記憶的發展起一種直接調節作用，而工作記憶可能對數字推理能力的發展起直接調節作用。
問題之間的相似性能夠影響類比檢索的過程，因而對類比推理也有重要影響：相似度越高，越能促進類比遷移。問題之間的相似性包括抽象原則、問題內容、實驗環境三個方面。其中，抽象原則在正規問題中指公式，在無法定義的問題中指圖式和深層結構；問題內容主要包括語義領域和表面元素兩個方面；實驗環境則包括實驗過程中的背景、實驗者和實驗程序等。
二、對中學數學教學的啟示
（一）關注發展關鍵時期，加強邏輯推理訓練
邏輯推理的相關研究表明，中學生的數學推理能力隨年級升高而提升；初二和高二是推理能力發展的轉折點（關鍵期）；假言推理能力在小學三年級到初中三年級之間隨年級的增長而增長，在小學三年級已有初步表現，在小學六年級到初中一年級之間有一個加速階段，在初中二年級普遍接近成熟水平；總體歸納推理能力的迅速發展在初一到初三階段，演繹推理能力的迅速發展在初三到高二階段。這些研究結論對數學教學的直接啟示是，要關注學生邏輯推理能力發展的關鍵期，在關鍵期內加強對學生的邏輯推理訓練。因為，如果錯過了關鍵期，再要培養學生的邏輯推理能力，可能會事倍功半。
在小學階段，數學學習的主要內容是理解運算法則，依據法則進行運算。這是典型的演繹推理，但是，依據的法則往往是單一的，而且推理的步驟很少。這符合小學生的認知規律。到了初中階段，平面幾何的證明成為數學學習的重要內容。雖然也是演繹推理，但與小學階段有了明顯的不同：依據的法則、定理較多，選用難度較大，同時，推理的步驟明顯增多。如果初中生不能適應這種變化，也就是邏輯推理能力的增長沒有與學習內容復雜程度的增加同步，就會造成學習困難——實踐表明，初中往往是學生數學成績分化的起始時期。因此，在這一邏輯推理能力發展的關鍵期開展有針對性的訓練十分必要。
第一，保證一定量的推理練習。量變引起質變，這是一個簡單的哲學原理。沒有量的積累，何來質的改變？學習數學必須做一定量的題，這是一個硬道理。當然，一定量的推理練習并不意味著“題海訓練”，可以理解為“題海訓練”量的下限。也就是說，如果一個學生的推理訓練達到了一定的量，那么他的邏輯推理能力就能實現質的提升。對“一定量的推理練習”的理解，還要注意這樣兩個問題。其一，量（的下限）不是一個統一的標準。不同學習能力的學生需要的訓練量是有差異的：學習能力強的學生訓練量可能小一些，學習能力弱的學生訓練量可能大一些。其二，量與質是相關的。一個基本的觀點是，一道高質量題目的訓練功能強于幾道低質量題目的訓練功能。例如，讓學生做一道有理數的四則混合運算題目，其邏輯推理訓練功能明顯強于讓學生反復做幾道同一類型的有理數加法運算題目。這兩個問題正是教師在教學實踐中需要研究的：如何針對不同學生的實際水平確定訓練量的標準？如何編制高質量的邏輯推理訓練題？
第二，協調發展多種推理形式。演繹推理、歸納推理、類比推理之間有一定的相關性，但更具有相對獨立的特質。也就是說，不能指望通過一種推理能力的訓練來帶動其他推理能力的發展，專門的訓練是必要的。
例1老師在黑板上寫出了三個算式：52-32=8×2、92-72=8×4、152-32=8×27。王華接著寫出了兩個具有同樣規律的算式：112-52=8×12、152-72=8×22。
（1）請你再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規律的算式；
（2）用文字寫出上述算式反映的規律；
（3）證明這個規律的正確性。
本題題干分兩次給出5個算式，啟發學生在觀察、認識的基礎上，初步猜想。第（1）問引導學生舉出一些例子（如112-92=8×5、132-112=8×6等），從而驗證猜想。第（2）問引導學生將發現的規律做一般化描述：任意兩個奇數的平方差等于8的倍數。第（3）問則要求學生給出形式化的數學證明。前兩問都屬于合情推理，最后一問則屬于演繹推理。本題的解答過程中，既包含了對已知條件的觀察、分析和類比，又包含了對規律的探索、歸納及證明，為學生進行合情推理和演繹推理提供了可能，能較為全面地培養學生的邏輯推理能力。
此外，本題條件還可以進一步簡化，即不給出算式的結果，而讓學生先自行計算52-32、92-72、152-32，再嘗試尋找規律，從而給學生更大的探索空間。
第三，協調運用演繹推理方法。在演繹推理中，綜合法和分析法是兩種常用的證明方法。分析以綜合為目的，綜合又以分析為基礎，二者互相滲透、互相依存。訓練中，應當注意兼顧兩種方法。
例2已知ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，求證：BC=1/2AB。
本題需要證明的結論是，一條線段的長度等于另一條線段長度的一半。教師可適當提示學生有兩種證明思路：第一種是延長BC至原來長度的兩倍，再證明其等于AB；第二種是縮短AB至原來長度的一半，再證明其等于BC。
針對第一種證明思路，可延長BC到點D，使得CD=BC（見圖1），此時只需要證明BD=AB。教師可進一步提問學生如何證明，啟發學生尋找BD與AB之間的關系，作出輔助線AD，使得問題進一步轉化為證明ABD為等腰三角形。針對這一命題，學生很容易判斷出可利用三角形全等來證明。至此，教師帶領學生通過分析法得到了證明思路，學生也能較為順利地寫出證明過程。
針對第二種證明思路，可取AB的中點D（見圖2），此時只需要證明AD=BC或BD=BC。教師可讓學生自己嘗試采用綜合法證明：連接CD，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出CD=AD=BD，再由∠B=60°，得到BDC是等邊三角形，進而得出結論。
（二）適當揭示邏輯規則，固化演繹推理思維
形式邏輯有專門的知識。在中學數學教學中，這些知識通常不是系統地講授給學生的，而是學生通過數學知識的學習潛移默化地掌握的。但是，對有些邏輯知識，有必要做適當的介紹，以幫助學生形成清晰的思路，固化“言必有據”的演繹推理思維。
例如，判斷的四種形式是全稱肯定、全稱否定、特稱肯定、特稱否定。學生必須理解它們之間的關系，否則，在推理時容易出現錯誤。
再如，直言三段論由大前提、小前提和結論組成，有四“格”，其中，第一格如下頁圖3所示（大前提必須是全稱的，小前提必須是肯定的），第二、三、四格稍微復雜一些。中學數學中的演繹推理幾乎都采用直言三段論的第一格。因此，學生必須理解清楚這個規則，方能正確進行演繹推理。
在學習演繹推理的初級階段，有必要對學生進行推理過程的補充理由訓練。一種方式是寫出全部推理過程，讓學生填寫每一步推理的依據；另一種方式是給出有一些空缺步驟的推理過程，讓學生補全推理過程，并寫明理由。許多研究表明，這是行之有效的推理訓練方式。
例3如圖4，點E在四邊形ABCD內部，AF∥BE，DF∥CE，求證：BCE≌ADF。
本題是一道常見的初中幾何證明題，涉及平行線、平行四邊形及全等三角形的有關知識，難度適中。教師可以讓學生獨立思考并給出證明，同時在每個步驟之后寫清理由，如使用的定理、性質等，從而幫助學生理解其中的邏輯關系。在這一過程中，教師還要關注數學語言表述的準確性、嚴謹性、規范性，及時糾正學生出現的錯誤。
（三）設置合情推理情境，培養歸納類比能力
合情推理的實質是“發現—猜想—證明”。教學中，教師應根據學生的特點，充分挖掘教學資源，靈活創設合情推理情境，充分展現推理思維過程，培養學生的歸納和類比能力。
第一，情境要具有探究性。歸納和類比是探究中常用的推理；反過來說，只有通過探究活動，才能培養學生的歸納和類比能力。探究活動中，要完成的目標（要證明的結論）應該是不明確的，需要通過合情推理來發現。教師可以通過提問，啟發學生思考，引導學生探究；通過設計問題鏈，引導學生逐步深入，完成目標。
例如，“余弦定理”的教學大多采用演繹推理的方式，利用向量法或幾何法推導出余弦定理，但這種做法容易造成合情推理能力培養的缺失。對此，可采用“先猜后證”的方式，讓學生先利用合情推理進行探究，再利用演繹推理加以證明，從而體現合情推理能力和演繹推理能力的共同發展。
具體地，可以從類比推理的角度設計。通過勾股定理的復習引入，然后提出下列問題：（1）勾股定理揭示了直角三角形三邊的數量關系，那么一般三角形的三邊是否有類似的關系呢？（2）勾股定理中的三邊關系有何特點？直角三角形和任意三角形有何關系？（3）請同學們觀察等式中的“abcosC”，我們以前似乎研究過這個量，它還可以怎樣表示？（4）如果把這個式子中的量都用向量表示，應該是什么形式？（5）你能證明這個式子嗎？（6）還有其他證明方法嗎？從而引導學生類比、分析勾股定理的形式，猜想、證明余弦定理的形式。
也可以從歸納推理的角度設計。引導學生先研究幾種特殊三角形的情形，再利用歸納推理的方法探究余弦定理。在這一過程中，將∠C為0°和180°的情況看作特例，更容易發現邊長c與∠C的余弦函數之間存在一定的聯系。
第二，情境要具有實驗性。利用數學實驗作為教學情境，能激發學生的學習興趣，引導學生從中歸納出抽象的數學原理，培養歸納和類比能力。教師可以設計與教學內容有關的富有趣味性、啟發性的數學實驗，讓學生在實驗情境中探索規律，通過觀察和操作提出猜想，再通過邏輯論證得到結論。
【關鍵詞】 說理意識；幾何語言；直觀形象；邏輯推理；幾何證明
一、推理與證明
由一個或幾個已知判斷推出另一未知判斷的思維形式叫做推理，推理一般包括合情推理和演繹推理. 合情推理是根據已有的知識和經驗，在某種情境和過程中推出可能性結論的推理；合情推理的主要形式是歸納推理和類比推理. 演繹推理的前提和結論之間具有蘊涵關系，是必然性推理，演繹推理的主要形式是三段論證.
合情推理和演繹推理的能力同等重要，必須重視這兩種能力的培養，將它們有機結合、協調發展. 事實上，人們在探索和認識事物的過程中，常常交替進行合情推理與演繹推理，合情推理和演繹推理都是人們正確認識事物的重要途徑. 證明，可以證實我們經過探索得到的許多結論的正確性. 從證明的過程中，我們可以感受到人類對真理的執著追求和嚴謹的科學態度.
二、培養學生平面幾何說理能力的重要性
現代生理學和心理學研究表明，人的左右腦半球在思維上是分工合作的. 人的左腦是理解語言的中樞，主要完成語言、分析、邏輯、代數的思考、認識和行為，即邏輯思維. 右腦是接受音樂的中樞，具有可視的、綜合的、幾何的、繪畫的、觀賞繪畫、欣賞音樂、憑直覺觀察事物、縱覽全局的功能. 平面幾何能同時提供給學生生動直觀的圖像和嚴謹的邏輯推理，有利于開發學生大腦左右兩個半球的潛力. 學習初中平面幾何知識不但可以培養學生的邏輯思維能力，而且可以提高學生的創新思維能力. 正如德國物理學家馬克思?馮?勞厄所說“教育無非是一切已學過的東西都忘掉時所剩下的東西”. 因此，在平面幾何的學習中，加強推理的訓練比只強調基礎知識的學習更有用更重要.
三、新課程標準要求
新課程標準指出：“推理一般應包括合情推理和演繹推理”、“推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中”. 遵循新課程標準的理念，教學中應采取小步子、多層次的原則，由易到難、由淺入深地逐步發展學生的演繹推理能力.
四、學生面臨的困惑
七年級學生習慣于用小學的直觀來代替推理，對幾何語言的運用，即文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化，對探索、歸納、推理的必要性認識嚴重不足. 主要表現在：課下常有學生說“因為……所以……寫了好幾行，其實一個算式就能解決問題了”. 這說明學生仍然停留在直觀的感性認識上，竟然用算式來代替說理.
例如：徐州市2012-2013學年度第一學期期末抽測七年級數學試題的第24題.
已知OAOB，OC為一條射線，OD，OE分別是∠AOC，∠BOC的平分線.
（1）如圖①，當OC在∠AOB內部時，∠DOE = °；
（2）如圖②，當OC在∠AOB的外部時，求∠DOE的度數.
其中，第（1）題較為簡單并且不需要寫出說理過程，很少有學生答錯. 第（2）題屬于解答題，學生不但要把∠DOE的度數計算正確，還要能正確寫出自己的說理過程. 這就出現很多學生雖然計算出了45°，但是因為說理過程書寫較差而被扣分，這就要求教師在平時的教學過程中重視學生數學語言的發展.
五、培養七年級學生說理意識的方法
（一）引導學生感受說理的必要性
讓學生經歷在探索一些問題時，由于“直觀判斷不可靠”、“直觀無法作出確定判斷”，但運用已有的數學知識和方法就可以確定一個數學結論的正確性的過程，初步感受說理的必要性. 在教學過程中，引導學生體會說理必要性的同時，還要引導學生逐步認識到合情推理是發現規律、猜測結論的重要途徑；演繹推理可以確認結論的正確性，證明是探索活動的自然延續和必要發展.
（二）重視學生幾何語言的發展
語言是思維的外衣，語言能力的增強可以極大地改善學生的學習能力，促進思維的發展. 因此，我們應充分認識到學生語言發展的重要性. 幾何語言的形式有三種：圖形語言、文字語言及符號語言. 這三種語言在幾何中通常是并存的，有時又互相滲透和轉化. 在教學過程中，教師應加強學生這三種語言的基礎訓練，要求學生不僅能熟練運用每一種語言，而且能根據解題的需要，準確地將其中的一種語言形式翻譯成其他語言形式，防止文字和圖形脫鉤，并熟記這些語句.
（三）培養學生學習幾何的興趣
1. 通過介紹數學家的成就培養學習興趣
教學實踐證明，學生對幾何學的產生及發展歷史，尤其對我國古代數學家的幾何成就是很有興趣的. 例如，在講解“勾股定理”時特別告訴學生：勾股定理是我國殷周時期的數學家商高的成就，所以又叫商高定理；我國最早的數學文獻《周稗算經》上記載了我國對勾股定理的發現早于希臘的畢達哥拉斯，而且趙爽的證明方法比歐幾里得方法簡單. 這樣不僅可以提高學生的學習興趣，而且還可以對學生進行愛國主義教育.
2. 充分利用學生的表現欲培養興趣，活躍學生的思維
表現欲是人的基本欲望，是個性突出、有生命力的表現. 學生的表現欲是一種積極的心理品質，對于學生的學習和生活都會產生至關重要的影響. 當學生的表現欲得到滿足時，便會產生一種自豪感，這種自豪感會推動學生信心百倍地去學習新東西、探索新問題、獲得新知識. 因此，作為一名教師，應提供表現的機會給學生，讓學生積極參與教學過程，并及時地進行表揚鼓勵，借此培養他們的學習興趣.
（四）重視例題教學的示范性
在教學過程中，對于例題的教學要關注學生能否形式化地表達，同時更要關注學生能否合乎邏輯地思考和有條理地表達，鼓勵學生主動地表達和交流. 在說理的教學過程中不僅要引導學生從已知條件出發向結論探索，而且要引導學生學會從結論出發向已知條件探索，或者從已知條件和結論兩個方向互相逼近. 另外，也要恰當地引導學生去探索證明同一命題的不同思路和方法，并進行比較和討論，借此激發學生對數學證明的興趣，發展學生思維的廣闊性和靈活性. 經歷對證明基本方法的了解和證明過程的體驗，讓學生感受數學的嚴謹性和數學結論的確定性，感悟演繹推理的邏輯要求，樹立言之有理、落筆有據的推理意識，培養學生有條理地思考和表達自己想法的能力.
（五）直覺思維能力的培養
隨著教育觀念的不斷深化，作為創造性思維的重要組成部分，直覺思維越來越為人們所注重. 美國著名心理學家布魯納指出：直覺思維，預感的訓練，是正式的學術學科和日常生活中創造性思維易被忽略而又重要的特征. 他科學地揭示了邏輯思維與直覺思維的互補作用. 因此，在日常教學活動中，教師要主動創設情境，及時把握時機，啟發和誘導學生的直覺思維.
1. 實施開放性問題教學，培養直覺思維
實施開放性問題教學，也是培養直覺思維的有效辦法之一. 當開放性問題的條件或結論不夠明確時，可以從多個角度由果尋因、由因索果、提出猜想、合理聯想.
2. 以猜想為主，在教學中培養直覺思維
中學數學課本中所講述的數學知識是前人早已發現的客觀規律和正確理論，但對中學生來說很多卻是未知的. 剛步入中學的學生有強烈的好奇心、求知欲望和表現欲，喜歡探究事物的本質. 教師應根據學生這些心理特征，在教學過程中給學生留下直覺思維的空間，讓他們大膽進行數學猜想，再對他們的猜想作出判斷，并給以適當的指導.
（六）邏輯思維能力的培養
邏輯思維能力不僅是學好數學必須具備的能力，也是學好其他學科及處理日常生活問題所必須具備的能力.
1. 養成從多角度認識事物的習慣
養成從多角度認識事物的習慣，全面地認識事物，對邏輯思維能力的提高有著十分重要的意義. 首先是學會“同中求異”的思考習慣：將相同事物進行比較，找出其中某個方面的不同之處，將相同的事物區別開來. 同時，還必須學會“異中求同”的思考習慣：對不同的事物進行比較，找出其中某個方面的相同之處，將不同的事物歸納起來.
2. 發揮猜想在邏輯推理中的作用
發揮猜想對邏輯推理能力的提高有很大的促進作用. 鼓勵學生敢于猜想，然后再動手實踐和進行嚴密地推理論證證明自己猜想的正確性，可以讓學生獲得成就感. 從某種意義上來說，猜想是正確推理的導火索.
3. 保持良好的情緒狀態
現代心理學研究表明，不良的心境會影響邏輯推理的速度和準確程度. 失控的狂歡、暴怒與痛哭，持續的憂郁、煩惱與恐懼，都會對推理產生不良影響. 因此，教師平時應該經常引導學生學會用意識去調節和控制自己的情緒和心境，使自己保持平靜、輕松的情緒和心境，提高自己邏輯推理的水平和質量.
六、有待繼續研究的問題
在初中平面幾何的說理教學中，教師應如何培養七年級學生說理意識？如何從只追求結論到知其然并知其所以然，從學生質疑到完全接受，從說理到證明？如何讓學生從說不清到模仿，再到書寫規范？……這些還需要我們教師不斷地深入研究，并加以進一步創新，因此我們教師在日常的教育教學過程中要更加用心地、孜孜不倦地去探索追求.
【參考文獻】
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鹽類水解是高中化學內容中非常重要的一塊。無論是考試，還是培養學生對微觀事物的看法和思考，都有著無可比擬的重要性。在本塊知識的學習中，一定要培養好學生邏輯思維和推理能力，充分調動學生的主觀能動性，發揮學生自己的學習特點，切勿“灌”，一“灌”則“溢”，得不償失。
對于鹽溶液的酸堿性，學生已經具有初步認識，如在必修中接觸到了碳酸氫鈉、碳酸鈉等水溶液的酸堿性，但是如何站在理論的高度對鹽類的認識能有一個更深層次的認知，則是這節課需要解決的。基于此，本節課從簡單實驗出發，以問題探究和邏輯推理為手段，讓學生在一步步的探知過程中進行問題的總結和分析，從而提煉出適當的觀點，并加以實踐。
本節課以水的電離平衡為基礎，分析鹽類電離出的陰、陽離子與水電離出的H+、OH-結合成弱酸、弱堿的趨勢，明確不同鹽溶液呈現不同酸堿性的本質原因。
二、課型
高二新授課（人教版第一課時）
三、教學要求及目標
[知識與技能]
1.通過小實驗使學生理解鹽類水解的本質。鹽類水解對溶液酸、堿性的影響及變化規律。
2.培養學生分析問題的能力、歸納能力和邏輯推理能力，使學生學會透過現象看本質。
[過程與方法]
通過對實驗的觀察和討論，培養學生對具體問題進行分析、總結、推理的能力。
[情感態度與價值觀]
希望能以千變萬化的物質世界，給學生一個全新的認識空間和想象空間，培養學生熱愛生活和自然的態度。通過實驗能培養學生熱愛科學、感受科學的能力。
四、重難點
鹽類水解的本質，理解鹽類水解的規律。
五、教學過程
【引入】
鹽酸與氫氧化鈉完全反應，所得溶液酸堿性如何？請列舉一些常見的鹽類物質，它們的水溶液都呈中性嗎？
【查資料】根據水解的原理，你能分析下列問題嗎？
1.碳酸鉀和氯化銨是兩種常用的鉀肥和氮肥，那么這兩種肥料能同時使用嗎？為什么？
2.明礬為什么能凈水呢？
3.你知道泡沫滅火器的工作原理嗎？
4.還記得氫氧化鐵膠體的制備嗎？
5.你知道焊接金屬時，通常使用什么物質來除銹嗎？
【設計意圖】例1是對課堂內容的總結和反饋。例2為有關鹽類水解平衡的問題，也為下一節課做出伏筆。留下問題，激發學生思考有關水解平衡的內容。關于《查資料》是希望更好地能讓學生了解有關水解的應用和應用原理。
六、案例啟示
化學課程要以學生的發展為根本。教師在教學中要充分了解學生的認知水平和程度，通過科學的方法，讓學生掌握研究化學問題的基本方法、思想、途徑，并有意識地去樹立學生正確的科學觀，提高科學素養。
本節課從鹽的形成著手，直接讓學生動手實驗去檢測常見的鹽類物質的酸堿性，通過對所得到的現象的不同，激發學生對問題的思考和研究。接著，通過幾個簡單問題，引導學生從表面現象轉移到更深層次的理論分析上來，以培養學生在遇到問題后，科學嚴謹的分析問題的能力。然后從水解的本質原因上，對鹽進行分類，從而達到對知識的規律性掌握。最后通過習題來鞏固學生掌握的情況。
語義網通過對網頁中的信息增加元數據，以及改善網頁結構等，使得網頁中的信息更加規范。描述邏輯是語義網的邏輯基礎，如果語義網需要對其表達的知識進行推理，則需要運用描述邏輯的推理能力。目前，對于普通表達能力的描述邏輯語言ALC來說，如果不加以優化，很難應用在網絡化的環境之中。本文就此展開討論利用近似化來提高描述邏輯的推理效率。
【關鍵詞】描述邏輯；近似化；網絡應用
【中圖分類號】TP393.08【文獻標識碼】A【文章編號】2095-3089（2012）12-0122-02
引言
網絡如今已經成為人們生活不可或缺的一部分，現代生活已經越來越離不開網絡。然而，現有的萬維網技術，是基于超文本標記語言的。由于html的目標在于相同的信息可以被共享，而這些信息沒有元數據標記，格式也不夠規范，因此不利于機器處理這些信息。為了讓機器更好的處理網絡資源，萬維網創始人Tim Berners-Lee認為下一代網絡將是語義網。運用語義網，能夠極大的加強知識共享，提高知識處理的自動化程度。而語義網的技術就是描述邏輯。
1描述邏輯簡介
1.1網狀結構的知識表示：語義網絡和框架表示法比較相似，因此有的研究者把語義網絡和框架表示法統成為槽和填充值。不過在語義上，框架表示法更強調事物的內部結構，而語義網更強調事物之間的關系。
雖然網狀結構的知識表示能夠清晰地刻畫事物的抽象模型，建立層次分類體系、實現特性繼承機制，并且在自然語言處理等應用中取得了很好的效果，但是，由于其缺乏嚴格的邏輯理論基礎，并不適合演繹推理。此時，描述邏輯應運而生。
1.2描述邏輯的內容：描述邏輯是知識表示體系族最近才使用的名字，首先，通過定義該領域內的相關概念，表示一個應用領域的知識；然后，使用這些概念指明出現在該領域內的對象和個體的性質。描述邏輯支持出現在很多智能信息處理系統的應用中的推理模式，它也是人們用來構建和理解世界的：概念和個體的分類。
2近似化推理的基本思想和方法
2.1近似推理的基本思想：近似化推理概念作為一個新的概念，其基本思想如下：在描述邏輯源語言中有個概念C，在描述邏輯目標語言中找出與它最接近的上位或者下位概念D。Groot等[1]對近似方法做了概括，認為近似推理主要可以分為以下三種：
（1）語言弱化；
（2）知識編譯；
（3）近似演繹：近似演繹在推理的過程中，通過減弱邏輯結果的正確性來提高推理的速度[3]。
本文主要探討如果利用近似演繹的方法來對描述邏輯的推理過程進行近似化。
2.2近似演繹的幾種方法：Schaerf等[3]提出的方法有如下好處，良好的語義，良好的計算復雜度，可改良性，兩面性，靈活性。文章對ALE做了深入的分析，并對ALC做了討論，但是文章缺乏實際的測試和分析，Groot等對該方法做了擴展和實現，發現其并不適合當前的大部分本體[1]。Stuckenschmidt[4]提出近似化的方法，通過逐步求精來實現。
Hitzler列舉了一些一階謂詞邏輯中的近似方法，認為它們并不能很好的應用在語義網中[5]。Horrocks[2]的文章主要是對ABox中，個體之間沒有角色關系的一種推理，并不是真正意義上的近似。
3描述邏輯推理近似化
3.1個體獲取的語義計算：個體獲取一般有一下兩種方法：
（1）對于ABox中的個體a，在ABox中增加斷言﹁C（a），如果導致ABox不一致，那么說明個體a是概念C的一個實例。因此遍歷ABox中所有的個體a，就可以得到概念C的所有個體的集合。
（2）TBox中的概念被分類得到一個層次。TBox中的每一個概念都有一個個體集合，該概念是該集合中的個體的最具體概念。如果要獲取概念C的對應個體，那么通過分類，可以得到概念C的所有子概念CSub，CSub的所有對應的個體的和即概念C對應的個體集合。
個體獲取的語義計算依賴于方法2，其主要思想是根據描述邏輯的運算符進行計算。
3.2個體獲取的近似計算：個體獲取的第二個方法是通過概念之間包含關系的計算，得到概念在TBox分類層次中的位置，更精確的說，當需要求概念C的個體集合時，需要通過概念之間的包含關系的判斷，得到概念C的所有子概念，這些子概念對應的個體集合之和就是概念C對應的個體集合。而在TBox中的這些子概念對應的個體集合，是預先通過最具體概念求得的。由于計算概念包含關系是一個NP問題，因此如何通過近似計算來近似地獲得概念包含關系，可以極大的提高個體獲取的速度。為了避免與所有的概念進行比較，可以通過預處理減少需要進行比較的概念的個數。
3.3推理過程的復雜度估計：ALC可滿足問題的推理過程可以視為一個擴展AND-OR樹的過程[6]。其中AND-分支對應于一個節點的所有后繼，OR-分支對應于非確定性規則的應用時的不同選擇。由此可以看出，ALC指數級時間復雜度的來源有兩方面的原因：AND-分支對應于單個模型的指數級規模，OR-分支對應于指數級的概念的模型個數。
OR-分支因為∪運算符的存在而產生。∪運算符使得同一概念可能存在多個模型。ALU是分析復雜度的來源一個較佳語言，其中由交∩，并∩以及對概念名稱的求補操作。實際上，ALU的復雜度，可以由將ALU，歸約為命題邏輯的可滿足性來獲得。許多包含問題的復雜度都是通過發掘時間復雜度的這個來源，把問題歸約為非包含問題來獲得證明[7，8]。
3.4基于分區的近似化：隨著本體論、語義網絡、本體編輯工具等研究的逐漸發展，本體的規模不斷增長，并且不同的本體之間的交互也越來越多。OWL還定義了本體的版本，本體包含、交叉引用等語法。本體規模的擴大對描述邏輯提出了嚴峻的挑戰。為了應對大規模的本體，研究者們提出了分區的概念。應用分區技術，可以大本體分割成較小規模的本體，減小問題的大小，使得本體易維護、易、易驗證、易處理、易近似化。
4總結
隨著網絡的發展，網絡的規模急劇增加，使用傳統的描述邏輯推理方式很難處理這些大規模的知識庫，為了提高描述邏輯的處理效率，基于網格搜索的特點，提出了語義搜索近似化的方法。為了提高描述邏輯的推理效率，一方面從改進推理器本身入手，即有效地利用推理過程中的信息來優化后續的推理過程。另一方面利用近似化的方法，犧牲一定的準確性來提高推理效率。其中分布式描述邏輯，ABox概化這兩種優化措施，將是描述邏輯推理的兩個重要方向。
描述邏輯是下一代網絡，即語義網的一個核心。為了能夠處理網絡環境下的搜索問題，本文對描述邏輯的近似化推理和推理個性化問題進行了較為系統的研究。但是目前語義搜索的實際應用還遠未能成為一個現實，還需要大量學者的共同努力。
參考文獻
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一、知識結構、邏輯推理及相互間的關系。
在小學數學教學中,構建良好的數學知識結構是培養發展學生邏輯思維能力的一個重要途徑。烏辛斯基早就指出:“所謂智力發展不是別的,只是很好組織起來的知識體系。”而知識體系因為其內在的邏輯結構而獲得邏輯意義。數學中基本的概念、性質、法則、公式等都是遵循科學的邏輯性構成的。
“數學作為一種演繹系統,它的重要特點是,除了它的基本概念以外,其余一切概念都是通過定義引入的。”這種演繹系統一方面使得數學內容以邏輯意義相關聯。另一方面從知識結構所蘊含的邏輯思維形式中得到的研究方法(如邏輯推理等),再去獲取更多的知識。如學習“能同時被2、5整除的數的特征”時,我們是通過演繹推理得到的:
所有能被2整除的數的末尾是0、2、4、6、8;所有能被5整除的數的末尾是0、5;因此,能同時被2、5整除的數的末尾是0。
數學中的這種推理形式一旦被學生所熟識,他們又會運用它在已有知識的基礎上作出新的判斷和推理。
學生知識的習得和構建,主要依賴認知結構中原有的適當觀念,去影響和促進新的理解、掌握,溝通新上知識的互相聯系,形成新的認知結構系統,這是數學知識學習過程中的同化現象。它包含三方面的內容:一是新舊知識建立下位聯系;二是新舊知識建立上位聯系;三是新舊知識建立聯合意義。這三方面與邏輯結構中的三類推理恰好建立相應的聯系。推理,是從一個或幾個已知的判斷得出新的判斷的過程。通常有:演繹推理(從一般性的前提推出特殊性結論的推理);歸納推理(從特殊的前提推出一般結論的推理);類比推理(從特殊的前提推出特殊結論的推理或從一般前提推出一般結論的推理)。如:教學“循環小數”時,先在黑板上出示算式1.2÷0.3=4、1÷2=0.5、4.8÷4=1.2、0.666÷2=0.333;1÷3=0.333……、70.7÷33=2.14242……、299÷37=8.081081……等。觀察各式的商學生們直觀認識到:小數有有限小數、無限小數之分。進而從一組無限小數中,發現了循環小數的本質屬性,得到了循環小數的定義。由兩個或幾個單稱判斷10.333…的數字3依次不斷地重復出現,2.14242…的數字42依次不斷重復出現等,得出一個新的全稱判斷(循環小數的定義)是歸納推理的一種方法。
在教學的過程中,教師結合教學內容,有意識地把邏輯規律引入教學,注意示范、點撥,顯然是有利于發展學生的邏輯思維能力。
二、邏輯推理在教與學過程中的應用。
1.如果原有的認知結構觀念極其抽象,概括性和包容性高于新知識,新舊知識建立下位聯系、新知識從屬于舊知識時,那么宜適當運用演繹推理的規則,由一般性的前提推出特殊性的結論。
“演繹的實質就是認為每一特殊(具體)情況應當看作一般情況的特例”。為了得以關于某一對象的具體知識,先要找出這一對象的類(最近的類概念),再將這一對象的類的屬性應用于哪個對象。如:運用乘法分配律簡便運算時,學生必須以清晰、穩固的乘法分配律知識為基礎,才能得出:999×999+999=999×(999+1)=999000這里999×999+999=999×(999+1)是根據一般性判斷a×c+b×c=(a+b)×c推出的。當學生理解這種推理的順序,且懂得要使演繹推理正確,首先要前提正確,并學會使用這樣的語言:只有兩個約數(1和它本身)的數是質數;101只有兩個約數;101是質數。
那么,符合形式邏輯的演繹法則就初步被學生所掌握。
在知識層面中,這種類屬過程的多次進行,就導致知識不斷產生新的層次,其邏輯結構就越加嚴密,新的知識也就會不斷分化和精確化,就可以逐漸演繹出新的類屬性的具體知識。教學中正確把握這種結構,用演繹推理的手段組織學習過程,不但能培養學生的思考方法,理解內容的邏輯結構,還能提高學生的模式辨認能力,縮短推理過程,快速找到解題途徑。
在新舊知識建立下位聯系時,整個類屬過程可分化為兩種情況。
(1)當新知識從屬于舊知識時,新知識只是舊知識的派生物。可以從原有認識結構中直接推衍。新知識可以直接納入原有的認知結構中。
如學生已學過兩位數的筆算,清晰而穩固地掌握了加法的計算法則,現在要學三、四位數的加法,只要讓學生思考并回憶兩位數加法計算的表象結構,適當地點撥一下三、四位數加法與兩位數加法有相同的筆算法則,學生就能順利解決新課題。新知識很快被舊知識同化,并使原有筆算法則得到充實新的知識獲得意義。雖然這些知識的外延得到擴大,但內涵不變。
教學中,掌握這些知識的內涵的邏輯結構,就會有一個清晰的教學思路,就會自覺地運用演繹推理的手段,與學生一起愉快地順利地進行下位學習。就不會在講三、四位數加法時,著眼于竭力以三、四位數加法為例證,說明加法的計算法則。
(2)新知識類屬于原有較高概括性的觀念中,但不能從原有上位觀念中直接派生出來,而需要對原有知識作部分的改組,才能同化新知識。新知識納入原有知識后,原有知識得到擴展、加深、限制、修飾和精確化。新舊知識之間處于相關類屬。這時,運用演繹推理之前,先要對原有知識作部分改組,請出一個“組織者”,再步步演繹。(為新知識生長提供觀念上的“固定點”,增加新舊知識間的可辨性,充當新舊知識聯系的“認知橋梁”,奧蘇伯爾稱它為“先行組織者”簡稱“組織者”。)
如學生已掌握了長方形面積計算公式:S=ab,現在要學習正方形的面積計算公式,這就要對長方形進行改組,把它的長改成與寬相等(a=b),于是“正方形面積計算”可被“長方形面積計算”同化,當a=b時,S=ab=a·a=a[2,]。又如教圓面積之前,向學生演示或讓學生動手操作,把圓適當分割后拼成近似長方形,由長方形面積公式導出圓面積計算公式。其間以直代曲,是由舊知識導向新知識的認知橋梁,是由演繹推理構建新知識時,找到的觀念上固定點。找到固定點后圓面積的計算被長方形面積同化,于是面積計算規則從直線封閉圖形的計算,推廣到曲線封閉圖形的計算,擴展加深了對原有面積計算規則的認識內容,使有關面積計算的認識結構趨向精確化。
2.如果原有認識結構已形成幾個觀念,要在原有的觀念上學習一個抽象、概括和包容性高于舊知識的新知識,即新舊知識建立上位聯系時,那么適當運用歸納推理的規則,可由特殊的前提推出一般性的結論。當需要研究某一對象集時,先要研究各個對象(情況),從中找出整個對象集所具有的性質,這就是歸納推理。歸納推理的基礎是觀察和試驗,是從具體的、特殊的情況過渡到一般情況(結論、推論)。
教材中關于概念的形成,運算法則和運算定律、性質得出,一般是通過歸納推理得到的。如分數的初步認識。在學習前,學生認知結構中已有了分數的某些具體經驗,加上教材提供的和教師列舉的生活實例和圖形。如:一個蘋果平均分成兩份,每份是它的1/2,一根鋼管平均截成三段,每段是它的1/3,一張紙平均分成4份,每份是這張紙的1/4……所有這些操作和演示都讓學生認識到幾分之一這個概念。隨后,再認識幾分之幾。這種不完全的歸納推理,是在考察了問題的若干個具體特例后,從中找出的規律。(嚴格地說,由不完全歸納法推理得到的結論還需要論證,才能判定它的正確性。)
運用歸納推理傳授知識時,要根據學生的實際經驗,選取典型的特例,并能夠通過典型特例的推理得出一般性的結論。又要用這個“一般結論”,去解決具體特例。在教與學的進程中,歸納和演繹不是孤立地出現的,它們緊密交織在一起。
3.如果新舊知識間既不產生從屬關系,又不能產生上位關系,但是新知識同原有知識有某種吻合關系或類比關系,則新舊知識間可產生并列關系。那么可以運用類比推理。
教材中,商不變性質和分數基本性質,乘數是整數的乘法和乘數是分數的乘法等,學習這類與舊知識處于并列結合關系的新知識時,既不能以上位演繹推理到下位,又不能以下位歸納推理到上位,只能采用類比推理。如五年級學習“一輛卡車平均每小時行40千米,0.3小時行了多少千米?”時,學生還無法根據小數乘法的意義列出此題的解答等式。所以,教學中一般用整數乘法中的數量關系相類推。
一、準確理解概念的內涵與外延，區別命題的真假性
生物學概念是反映生物本質屬性的思維形式。教師首先要準確理解生物學概念的內涵（反映事物“質的問題”）與外延（反映事物“量”的問題）。一般來說，概念的內涵越豐富，外延越小，反之外延越大。比如“血細胞”與“紅細胞”，其內涵（不具體說明）差別較大，“紅細胞”的內涵比“血細胞”豐富，但外延比血細胞要小。“血細胞”外延可以指各種動物的紅細胞、白細胞和血小板。有的概念內涵非常豐富，往往具有特指性。比如制備純凈細胞膜材料，“哺乳動物成熟的紅細胞”區別于“成熟哺乳動物的紅細胞”。雖然概念前有兩個修飾詞，都是指哺乳動物和成熟，但排列順序不同。
高中生物學中存在較多的“集合概念”與“非集合概念”。如“植物細胞”（包括植物體內根細胞、葉肉細胞、花瓣細胞等各種植物細胞）和“植物根尖分生區細胞”。準確區別概念之間的關系有：“種屬關系”、“交叉關系”和“同一關系”。比如：核酸分別與DNA或RNA之間的“種屬關系”；蛋白質與激素之間的“交叉關系”；藍藻與藍細菌的“同一關系”。這些也可以指導學生用“韋恩圖”來表示。概念之間的聯系，可以形成“概念圖”。繪制概念圖時，可以依據概念之間的關系，也可以用一個或幾個“關鍵詞”或用“真命題”來聯系它們。比如：細胞與真核細胞、原核細胞，依據概念之間的關系繪制概念圖。染色體與DNA之間的概念關系，用“染色體的主要成分之一是DNA”真命題來聯系，繪制概念圖，兩個概念之間的關鍵詞：“主要成分”和“之一”。
生物學命題是人們對事物情況（生物學知識）有所判斷的一種思維形式。命題不同于概念，高中生物教學中，教師要注意各種命題的真假性判斷。命題形式較多，需要學生具備一定的邏輯能力，來判斷是“真命題”還是“假命題”。比如：①真核生物的遺傳物質是DNA（真）；②具有細胞結構的生物遺傳物質是DNA（真）；③所有生物遺傳物質是DNA（假）。所以，教師在平時的生物教學中，要有意識地培養學生這方面的能力。
二、生物學科的邏輯推理過程
生物學科涉及的推理類型常見的有：歸納推理、演繹推理、類比推理等。教師在課堂教學中，注重對學生的邏輯能力培養，有利于科學思維的形成，進而提高學生的生物學素養。下面，以歸納推理與演繹推理為例說明推理的方法。
1.關于歸納推理過程
生物學科知識點繁多，專業術語復雜，學生無法準確理解，很難做到像物理學科那樣的邏輯推理。教師在生物教學過程中，要教會學生進行邏輯推理，其中歸納推理分為“完全歸納推理”和“不完全歸納推理”。比如：①真核生物的遺傳物質是DNA；②原核生物的遺傳物質是DNA；③大多數病毒的遺傳物質是DNA；④少數RNA病毒的遺傳物質是RNA。上述幾個真命題的歸納推理結論為：DNA是生物的主要遺傳物質（真命題）。推理過程表述為：由①②推出具有細胞結構的生物遺傳物質是DNA。由①②③推出絕大多數生物的遺傳物質是DNA。由①②③④推出DNA是生物（生物界）的主要遺傳物質。這種屬于“完全歸納推理”。另外，還有“不完全歸納推理”。比如：①純合子AA自交后代全是純合子AA；②純合子aa自交后代全是純合子aa；③純合子AAbb自交后代全是純合子AAbb；④純合子aabbCC自交后代全是純合子aabbCC。由上述這些真命題可以歸納出：純合子自交后代全是純合子（真命題）。
2.關于演繹推理過程
高中生物學科教學指導意見把“假說演繹法”作為生物學科的基本邏輯能力，這就要求教師的教學過程也要具備邏輯性。比如教師在進行“遺傳信息的傳遞——DNA復制”內容教學時，可以這樣設計演繹推理過程。先從日常生活的復制（計算機的文件復制與資料的復印），引出“全保留復制”。如果DNA是這種復制機制的話，親代DNA雙鏈標記32P在以31P作為原料的條件下DNA復制一代，形成兩個子代DNA，通過密度梯度離心得到結果為：一個為“重帶”，另一個為“輕帶”。而科學家實驗結果是只出現“中帶”。這說明了全保留復制是錯誤的。然后，教師再讓學生設計復制機制，得到結果是“半保留復制”。這個教學過程本身是一個演繹推理過程。
還有，在命題判斷上，學生經常犯邏輯上的錯誤。比如認為“DNA是人的主要遺傳物質”（假命題）是正確的。他們往往這樣演繹：①人是生物；②生物的主要遺傳物質是DNA；③所以人的主要遺傳物質是DNA。這個命題中的生物是指生物界。雖然，“人是屬于生物，但生物不全是人”。他們沒有正確理解概念的內涵與外延。教師可以運用“三段論”來演繹推理：①人體具有細胞結構；②具有細胞結構的生物遺傳物質是DNA；③所以人的遺傳物質是DNA（真命題）。相關推理示例：①人體細胞屬于動物細胞；②動物細胞具有中心體結構；③所以人體細胞具有中心體結構。
三、教學中注意分析與綜合問題
高考生物試題的綜合性很強，部分選擇題的選項，知識點跨度很大，這就要求學生具備很強的分析能力。那么，什么是分析？所謂的分析是指把整體分解成部分，把復雜的問題分解成簡單的要素，或把歷史的過程分解成片段來研究的思維方法。對生物學來講，定性與定量分析顯得非常重要。
1.研究的背景
幾何課程改革歷來是人們關注的焦點。2005年第四期《數學通報》刊登了一些數學家的觀點：初中是青少年智力發展最為迅猛的階段，此階段如果推理論證能力訓練不足，那么學生后續的理性概括能力、抽象能力、科學精神都會不足。同年，《光明日報》教育周刊上報道了姜伯駒院士的類似觀點。數學家們基本上都對平面幾何部分的改革提出質疑，反對刪掉過多的內容。一線教師也特別青睞平面幾何在解決問題時所表現出的優越性：難度的層次性、結果的可預見性，特別是其對于學生的推理能力培養具有良好的價值。而課標修訂組的專家認為，所有的數學內容都具有培養學生的推理能力的價值。2011年頒布的《初中數學課程標準（修訂）》進一步削弱了對平面幾何的要求，如刪除了梯形、等腰梯形的相關內容，視點、視角、盲區，計算圓錐的側面積和全面積等。這更加引發了許多一線教師和從事教育的專家學者對平面幾何改革的討論。
本研究通過調查學生的幾何推理能力與學生的幾何思維水平之間的關系以及不同思維水平的學生在幾何推理能力方面的差異，試圖診斷八年級學生幾何推理能力屬于哪個幾何思維水平，以及不同推理能力的思維水平特點，進而為中學數學教育提供一些建設性的建議，讓中學數學教師更好地了解學生，從而促使其在實踐中更加科學、有效地運用現代教育理念組織課堂教學。
2.概念界定
（1）幾何推理
幾何推理是課程改革中的關鍵概念，它是課程改革中為取代幾何證明提出的一個概念。一般認為，幾何推理就是幾何證明，其實幾何推理并不等價于幾何證明，幾何證明就是嚴密的邏輯演繹推理，需要有充足的已知條件和理論依據，才能對問題進行求解。而幾何推理在解決問題時對條件的要求相對較低，它可以是在少量已知條件的情況下對問題的結果進行大膽猜想，然后小心求證。因為現實問題通常都是欠缺條件的，所以課程改革提倡幾何推理更具有一般性，有利于提高學生的思維品質，掌握思維方法，特別是分析問題和解決問題的能力。
目前，中外學者關于幾何推理的方式研究，比較一致的看法有：圖形推理、類比推理、自然推理、歸納推理、形式邏輯推理等[1]。圖形推理也稱直觀推理，就是由一個或若干個已知圖形而推出另外一些圖形或信息的思維過程。一個圖形推理由三要素構成：前提、推理要求和結論。類比推理簡稱類推、類比，是根據兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理。自然推理，也可稱為描述性推理，是運用日常語言，對事物進行描述論證、說理。歸納推理是人根據已掌握的圖形知識及觀察到的圖形變化規律，推導出未觀察到的圖形知識。關于形式邏輯推理，中小學教材中的幾何證明通常都屬于形式邏輯推理，需要嚴謹的邏輯思維推理能力。
（2）幾何推理的層次劃分
上世紀50年代，荷蘭的范希爾夫婦劃分的幾何思維理論對幾何課程具有重要的指導意義，范希爾幾何分類理論把幾何思維分成以下幾個水平[2]。
水平0，視覺。這個階段兒童能通過整體輪廓辨認圖形，并能操作其幾何構圖元素（如邊、角）；能畫圖或仿畫圖形，使用標準或不標準名稱描述幾何圖形；能根據對形狀的操作解決幾何問題等。水平1，分析。該階段兒童能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性，利用這些特性解決幾何問題，但無法解釋性質間的關系，也無法了解圖形的定義；能根據組成要素比較兩個形體，利用某一性質做圖形分類等。水平2，非形式化的演繹。該階段兒童能建立圖形及圖形性質之間的關系，可以提出非形式化的推論，了解建構圖形的要素，能進一步探求圖形的內在屬性和其包含關系，使用公式與定義及發現的性質做演繹推論。水平3，形式的演繹。該階段學生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“定理”和“公理”的意義，確信幾何定理是需要形式邏輯推演才能建立的，理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測并嘗試用演繹方式證實其猜測，能夠以邏輯推理解釋幾何學中的公理、定義、定理等。水平4，嚴密性。在這個層次能在不同的公理系統下嚴謹地建立定理以分析比較不同的幾何系統，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統的比較。
范希爾的幾何思維理論反映出學生幾何能力的發展分為五個水平，學生幾何思維水平的發展是循序漸進的，具有從低到高發展的次序性和進階性，范希爾幾何理論是指導幾何課程改革和幾何教學實踐的重要理論依據。幾何思維理論怎樣才能走進課堂教學實踐中？關鍵在于立足我國數學教育現狀，充分了解學生的幾何思維水平的情況，并與課標理念相結合才能更好地指導當前的幾何課程改革。這樣，理論才能具有實質性的指導意義并且才能得到更有效的應用和推廣。
二、 研究方法
1.研究工具
本文對幾何推理能力的研究主要包含圖形推理能力、類比推理能力、自然推理能力、歸納推理能力、邏輯演繹推理能力五種。按照范希爾幾何層次各編制15道試題，總計75道題。每道題5分，總分375分，題型設計上都采用選擇題，測驗時間2小時。試題是經高校從事數學教育的三位專家和二位從事多年一線數學教學工作的中學高級教師商討確定的。在幾何能力各具體因素的幾何思維水平劃分上采用如下方式：其中每一層次3道試題，每一層次學生正確解答2道試題及以上，就判斷學生在該推理方式上到達該層次水平，如果學生僅能夠正確做出1道試題及以下，就把該學生的幾何層次歸屬為下一等級。如學生在歸納推理中第四層次上正確解答出2道試題，就認為學生的歸納推理能力達到第四層次，若學生在第四層次上正確解答出1道試題，就判定其歸納推理能力為第三層次。在0層次上無論是否正確解答試題都劃歸為0層次。
2.取樣
本研究從貴陽、興義、畢節三個城市分別隨機抽取農村、城市各一所初中學校，在每所學校八年級里隨機抽取一個班級進行測試。本次參加調查的學生人數為751人，其中測試問卷答題無法辨認或無法歸屬其幾何思維發展水平的有59人。如在第一層次水平上沒能夠正確解答2道題，而在第二層次上能夠正確解答2道或3道題。剔除這些樣本后，有效試卷692份，有效率92.1%。
3.統計工具
本研究主要采用SPSS13.0對數據進行處理分析。
三、 研究結果
1.八年級學生幾何推理能力與范希爾幾何思考層次相關性
表1 八年級學生幾何推理能力和范希爾幾何思維水平相關性分析
“**P
由表1可知，范希爾幾何思維水平與學生的幾何推理能力成顯著的正相關。說明學生的幾何推理能力強，幾何思維的水平就高。觀察學生的幾何推理能力各因素，其相互之間也存在顯著的相關性，歸納推理和類比推理、自然推理也存在中度的相關性（相關系數分別是0.428、0.437），這說明學生的推理能力是相互影響、相互促進的，發展學生的幾何推理能力需要整體考量。
2.不同幾何思維水平學生的幾何推理能力平均分和標準差
本研究中，對學生幾何推理能力劃分的主要標準是，若學生在幾何推理的五個因素測驗上，有三個及以下因素歸屬某水平，則其幾何推理能力歸屬到下一水平，若有四個或五個因素歸屬某水平，則幾何推理能力就歸屬某水平。如學生在幾何推理能力測驗中，歸納推理、類比推理和圖形推理都屬范希爾幾何思維理論2水平，而自然推理、形式邏輯推理歸屬范希爾幾何層次3水平，則其幾何推理能力歸為范希爾幾何層次2水平。學生的幾何能力最低劃歸為0層次水平。八年級學生幾何推理能力所處的幾何思維水平見表2。
表2不同幾何思維水平的學生在幾何推理能力方面的具體表現
從表2數據中可以看出，我國八年級學生幾何推理能力在思維水平上主要集中在2、3兩個層次。這說明，大多數學生具備較好的識別圖形能力，能運用基本的公式定理進行簡單的演繹推理，但在幾何推理中缺乏嚴密性和規范性。其原因一方面是青少年思維品質受到學生身心發展程度的限制，八年級學生的思維方式具體直觀思維占主體地位，抽象思維有所發展，但學生在處理幾何問題時容易出現觀察圖形片面，思維缺乏嚴密性；另一方面是幾何教育課程和教育方式對學生思維的影響，學生解決幾何問題時思路狹隘，方法呆板，條件難以有效地利用。
3.學生的幾何思維水平對其幾何推理能力的影響
（1）不同幾何思維水平學生在幾何推理能力方面的變異系數分析
表3 幾何推理各因素間的變異系數分析
由表3知，不同幾何思維水平在幾何推理能力方面的表現F值，達到極其顯著性水平。這表明，學生的幾何推理成績會因為其幾何思維水平的不同而不同。
（2）不同幾何思維水平的學生在幾何推理能力方面的比較
表4 不同幾何思維水平的學生在幾何推理能力方面的比較
由表4知，幾何思維居于0層次的學生和其它各層次的學生在幾何推理能力測驗上都會表現出差異；1層次和3層次、4層次在幾何推理能力上也會表現出極其顯著的差異；2層次和3層次、4層次的學生也會在幾何推理能力測驗上表現出顯著的差異。
四、 結論和建議
本研究表明，八年級學生的幾何推理能力和范希爾幾何思維水平成正相關，而且存在著交互影響的作用。八年級學生的幾何思維水平主要集中在層次2、層次3水平上。不同的幾何思維水平在學生的幾何推理能力測驗上也存在著顯著性差異。
因此，在幾何教學中應并行發展學生的幾何推理能力和提高其幾何思維水平。一方面，學生的幾何推理能力需要學生能夠從整體上把握圖形間的結構關系。因此，幾何教學時，要重視學生已有的知識經驗基礎，加強其對圖形的感知和辨識，進而要求學生能夠自主探索幾何圖形結構間的關系及其性質，運用螺旋上升的方式幫助學生夯實基礎。另一方面，要充分關注學生的幾何思維發展層次來組織幾何教學。幾何教學不但要關注其幾何本質和數學特點，更要關注學生不同的思維發展水平，在不同圖形的教學中考慮學生的認知基礎和思維發展規律的特點，采用循序漸進的方式促使學生的幾何思維水平向更高水平發展。
總之，學生的幾何思維水映了學生獨立分析問題、解決問題能力的強弱，學生的幾何推理能力是反映其對數學信息的捕捉，促進學生形成良好的數學行為和習慣的關鍵。對八年級學生進行幾何思維訓練，能夠促進其幾何推理能力的發展，提高學生的幾何推理能力也有助于其幾何思維層次的提高。學生的幾何思維能力和推理能力薄弱會對學生整個學業造成消極影響，消除這種負面的影響，是每一個從事數學教育的工作者的追求。
參考文獻
