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開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇中學數學教育概論，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞：幾何；中學幾何；大學幾何；課程改革
隨著中學課程改革進程的不斷深入，培養準教師的高師教育改革被推到了非改不可的境地。高師數學課程改革中，幾何課程內容與教學的改革又是歷來數學教育改革的熱點及爭議較大的問題。我們順應這個潮流，結合我院教育部特色專業項目——數學與應用數學的課程建設，進行了高師數學教育專業幾何課程改革的嘗試。
1 幾何課程變革
1.1中學幾何課程變革
歐氏幾何在數學教學中的作用與地位究竟是什么？長期以來這是一個有爭議的問題。特別是本世紀五十年代以后，國內外對中學幾何課程改革曾經出現過大起大落的階段。因此，現在來回顧總結以往的歷史經驗，總結對中學幾何教育的研究成果是很有必要的。這樣不僅可以避免在今后的教學上不再重復那些已經證明為不成功的經驗，同時也可以確定哪些是經受過實踐考驗的成功經驗，我們可以從中獲得教益；并且對那些尚未明確的有關問題，也希望能對今后的研究提供一些有用的信息，以便確定可能采取的措施。這將會對今后二十一世紀的幾何課程改革打下一個堅實的基礎。
數學課程中的幾何內容，歷來是數學教育改革運動爭議的焦點。尤其是初中階段的平面幾何更是備受關注。然而，我國幾何課程的教學，雖然曾經受到“新數學”運動的影響，但是無論在質還是在量的方面卻仍然保持了它的重要地位（見下表所示）：
1.2大學幾何課程變革
高等師范院校數學教育專業開設的重要基礎課程之中，幾何課程主要有“解析幾何”、“微分幾何”、“高等幾何”等。大多數學校“高等幾何”課本是以“射影幾何”為主要內容，并由
仿射幾何作為過渡，也有少數簡單介紹了“幾何基礎”的內容。但也有學校只有“解析幾何”是必修課程，“微分幾何”、“高等幾何”均作為選修。這主要是由于新課程的增加（如：信息類、思想教育類、新的實用類等）與總課程的壓縮，使傳統幾何課程的教學學時不得不大大縮減，但另一方面，中學數學對幾何內容的要求并沒有降低。由此可以看出高師數學教
育的課程設置已經滯后于中學數學教育。有許多學校的“解析幾何”課程曾經單獨開設，后來又與高等代數合并成為高等代數與解析幾何課程，由兩個教師穿行教學，或是由一個教師單獨承擔教學，但是由于各個教師的專業偏向不一，偏向于代數的教師教學過程中難免偏重于代數抽象性而忽視幾何的直觀性，而對于專業偏向于幾何的教師則往往偏重幾何的直觀性而忽略代數的抽象性，這樣就沒有達到當時兩門課程合并成為一門課程的真正目的。所以經過一段時間以后大多數學校又把它們單獨分開成為“高等代數”和“解析幾何”兩門課程。而“微分幾何”課在高等師范院校數學教育專業有作為必修課程開設的，也有作為選修課程開設的，甚至還有不開設的。為了適應中學課程對幾何內容的需求和大學幾何課程教學學時的減少的實際情況，我校在2006年就嘗試將幾何課程進行改革，開設了“幾何學概論”課程，并在教學過程中不斷地改革和優化教學內容，由于一直沒有合適的配套教材，本學院特為此編寫了“幾何學概論”一書。
2.《幾何學概論》的編寫思路
2.1 從幾何學的發展歷史了解幾何
結合歷史以及相關歷史人物簡介，介紹幾何學的發展。首先考慮介紹最早的幾何，即約公元前300年的古希臘數學家的歐幾里得的幾何《原本》。歐幾里得將公元前7世紀以來希臘幾何積累起來的豐富成果整理在嚴密的邏輯系統之中，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學。除了幾何《原本》之外，歐幾里得還有不少著作，比如《已知數》、《圖形的分割》和《光學》，只是可惜大都失傳。其中《已知數》是除《原本》之外唯一保存下來的希臘文純粹幾何著作，體例和幾何《原本》前6卷相近，包括94個命題，指出若圖形中某些元素已知，則另外一些元素也可以確定；《圖形的分割》現存拉丁文本和阿拉伯文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分；《光學》是早期幾何光學著作之一，研究透視問題，敘述光的入射角等于反射角，認為視覺是眼睛發出光線到達物體的結果。還有一些著作未能確定是否屬于歐幾里得，而且已經散失。古希臘數學家歐幾里得把至希臘時代為止所得到的數學知識集其大成，編成十三卷的《原本》，這就是直到今天仍廣泛地作為幾何學的教科書使用下來的歐幾里得幾何學（簡稱歐氏幾何）。對于幾何《原本》，不但應該介紹它的優點，還需講解它的缺點，同時還必須介紹幾何《原本》對我國數學的影響，讓大家對幾何《原本》有一個比較全面客觀的認識。
法國數學家笛卡兒和費馬在創立的《解析幾何》，是幾何學的研究方法的一個重大突破，近代數學本質上可以說是變量數學。文藝復興以來資本主義生產力的發展，對科學技術提出了全新的要求。到了16世紀，對運動與變化的研究已變成自然科學的中心問題。這就迫切需要一種新的數學工具，從而導致了變量數學亦即近代數學的誕生。笛卡兒在1637年發表了著名的哲學著作《方法論》，該書有三個附錄：《幾何學》、《屈光學》和《氣象學》，解析幾何的發明包含在《幾何學》這篇附錄中。笛卡兒的出發點是一個著名的希臘數學問題——帕波斯問題。與笛卡兒不同，費馬工作的出發點是竭力恢復失傳的阿波羅尼奧斯的著作《論平面軌跡》，他為此而寫了一本題為《論平面和立體的軌跡引論》（1629）的書。除此之外解析幾何產生的重要性也是應該著重介紹的。
在幾何的發展歷史過程中，古希臘數學家的工作，已略見射影幾何的端倪。阿波羅尼奧斯已經知道完全四邊形的調和性。巴布什的著作中已有了對合概念，著名的巴布什定理就是他的研究成果。梅因勞斯定理無論在初等幾何、解析幾何還是射影幾何中都是著名的定理。16世紀歐洲數學家中很多人關心阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》第8卷的恢復與整理，圓錐曲線在天文學上的應用，促使人們需要重新審視希臘人的圓錐曲線，以及其它高等曲線。《光學本》是希臘人的興趣之一，也是由于天文觀測的需要，它又日益成為文藝復興時期的一個重要課題。不過文藝復興時期給人印象最深的幾何創造其動力卻來自于藝術。
從古希臘時代到公元1800年間，數學家們雖然一直堅信歐氏幾何的完美與正確，但是歐氏幾何的所有公設中，唯獨平行公設顯得比較特殊。它的敘述不像其它公設那樣簡潔、明了，當時就有人懷疑它不像一個公設而更像是一個定理，于是許多數學家都嘗試根據歐幾里得的其它公理去證明歐幾里得平行公理，結果都歸失敗。就連歐幾里得本人對這條公設似乎也心存猶豫，并竭力推遲它的使用，在《原本》中一直到第1卷命題29才不得不利用它。歷史上第一個證明第五公設的重大嘗試是古希臘天文學家托勒玫做出的，后來普洛克魯斯指出托勒玫的“證明”無意中假定了過直線外一點只能作一條直線平行于該直線，這個與第五公設等價的命題。阿拉伯數學家在評注《原本》的過程中，對第五公設產生了興趣。對于非歐幾何的形成，著重介紹了德國數學家高斯、匈牙利數學家波爾約和俄國數學家羅巴切夫斯基，以及他們對非歐幾何形成的貢獻。總之非歐幾何的起源可以追溯到人們對歐幾里得平行公設的懷疑。非歐幾何的出現打破了長期以來只有一種幾何學即歐幾里得幾何學的局面。19世紀中葉以后，通過否定歐氏幾何中這樣或那樣的公設、公理，產生了各種新的幾何學，除了上述幾種非歐幾何外，還有如非阿基米德幾何、非德沙格幾何、非黎曼幾何、有限幾何等等，加上與非歐幾何并行發展的高維幾何、射影幾何，微分幾何以及較晚出現的拓撲學等，19世紀的幾何學展現了無限廣闊的發展前景。在這樣的形勢下，尋找不同幾何學之間的內在聯系，用統一的觀點來解釋它們，便成為數學家們追求的一個目標。這個統一幾何學的第一個大膽計劃是由德國數學家克萊因提出的。1872年，克萊因被聘為埃爾朗根大學的數學教授，按慣例，他要向大學評議會和哲學院作就職演講，克萊因的演講以《埃爾朗根綱領》著稱，正是在這個演講中，克萊因基于自己早些時候的工作以及挪威數學家李在群論方面的工作，闡述了幾何學統一的思想：所謂幾何學，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質的學問，或者說任何一種幾何學只是研究與特定的變換群有關的不變量。論述了變換群在幾何中的主導作用，把到當時為止所發現的所有幾何統一在變換群論觀點之下，明確地給出了幾何的一個新定義，把幾何定義為一個變換群之下的不變性質。埃爾朗根綱領的提出，正意味著對幾何認識的深化。它把所有幾何化為統一的形式，使人們明確了古典幾何所研究的對象；同時顯示出如何建立抽象空間所對應幾何的方法，對以后幾何的發展起了指導性的作用，故有深遠的意義。這樣一來，不僅19世紀涌現的幾種重要的、表面上互不相干的幾何學被聯系到一起，而且幾何學的一種分類也可以對應一種變換群的分類。
最后以微分幾何和拓撲學為例，簡單介紹幾何學近現代的發展歷史。
2.2 從幾何學的研究方法認識幾何
對于同一個幾何對象，人們在認識時，會有不同的視角，在研究時，會有不同的方法。例如通過公理化方法的研究有歐氏幾何、非歐幾何等，還有如非阿基米德幾何、非德沙格幾何、非黎曼幾何、有限幾何等等，加上與非歐幾何并行發展的高維幾何、射影幾何、仿射幾何、微分幾何以及較晚出現的拓撲學等；對于代數的方法研究幾何就產生了解析幾何、代數幾何等；而數學分析的微分方法對幾何進行研究產生了微分幾何；數學分析的積分方法對幾何進行研究產生的積分幾何。在幾何學概論這本教材中，對于幾何的研究方法來說，我們著重講述了仿射幾何和射影幾何的倫理體系和框架。
2.3 從大學幾何與中學幾何的關系指導幾何課程的教學
該教材除了講解幾何學的理論知識、結構體系外，還有一個很大的作用是它必須為我們高等師范院校數學教育專業的培養教師這一歷史使命和重任服務，所以我們從大學幾何與中學幾何的關系入手，結合大學幾何的思想方法在中學幾何的應用來編寫其中的一部分內容。
3. 幾何學概論教材的結構
幾何學概論一書共分為三個部分，其中第一部分主要使學生了解幾何學發展簡史和非歐幾何的幾種經典模型；第二部分著重講解歐氏幾何與二次曲線的度量性質及分類，使學生理解和掌握仿射幾何和射影幾何的基本內容以及二次曲線的性質與分類；第三部分則簡單介紹“大學幾何” 對“中學幾何”的指導意義以及“大學幾何”方法在“中學幾何”中的應用，讓讀者通過本部份的學習為中學幾何教學更好的服務。幾何學概論教材的具體內容見表3。
“數學來源于生活，同時數學又服務于生活”，作為數學中的重要課程——幾何課，對我們的學習和生活都十分重要，我們希望該教材能達到我們的預期目的，能對高師學生的培養有一個較為有價值的指導意義和作用，對中學數學教師也有一定的參考價值。
在此，我們特別感謝貴州師范大學數學與計算機科學學院的全國高校教學名師項昭教授對我們指導和提出的寶貴意見和建議，感謝貴州師范大學數學與計算機科學學院院長游泰杰教授的關心、支持、幫助和指導。此書已于2011年4月在清華大學出版社出版，且在貴州省高師院校中使用。
參考文獻：
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基金項目：凸體的內蘊體積與混合體積及其幾何不等式的研究（黔科合J字LKS[2011]16號）；
關鍵詞 高等數學 教學銜接 有效方法
中圖分類號：G424 文獻標識碼：A
Cohesion of Advanced Mathematics Teaching and
Middle School Mathematics Teaching
LIN Weiwei
（School of Mathematics and Information Science， Shaanxi Normal University， Xi'an， Shaanxi 710062）
Abstract Advanced mathematics is the compulsory basic course in college mathematics and science and engineering students， but freshmen who are generally considered higher mathematics learning is difficult to learn in all college subjects. The reason， the cohesion of middle school mathematics and advanced mathematics teaching not in place is an important factor. Thus， higher mathematics teachers need to brainstorm ways to solve the problem of convergence between the two， which is the key to improving the quality of higher mathematics teaching.
Key words high mathematics; teaching cohesion; effective methods
0 引言
高等數學是一門基礎課，是許多專業的必修課。但在教學中老師發現，大學一年級新生普遍反映數學難學，其原因是多方面的。但不容置疑的是，高等數學和中學數學教學銜接中出現的“脫節”是一個重要因素。為此，針對教學內容的差異，采取不同的教學方法和教學思路，比如將教學知識進行延伸、對教學內容進行貫通等等，則有可能保證知識結構的完整性，實現知識層次由低到高的過渡。 希望通過這樣的自然過渡使其在新課程改革的背景下，更好地進行銜接教學，從而使高等數學的教學質量得到進一步的提高，促進學生數學思維的縱深發展。
1 高等數學教學與中等數學教學的脫節
1.1 教學管理模式的脫節
目前中等數學的教學方法是以課堂講授法為主，而高等數學相對初等數學有較大的不同，對學生的各項能力有較高要求，高等數學的教學中，學生只有在理解概念，掌握定理，理清思路的基礎上才能較好地運用所學知識解決問題，因此，要解決好高等數學與中學數學教學的銜接，必須改進傳統的教學模式，數學教學不僅教給學生數學知識，更重要的在于培養學生的數學應用能力和數學應用意識，只有這樣，才能在銜接中增強學生的適應能力和自學能力，讓他們學會用數學的理論、思想方法分析、解決專業和生活中的實際問題。
1.2 教學內容的脫節
高等數學與初等數學在概念的理解上是有很大的不同的，其中高等數學的概念基本上都是以抽象的形式出現的，而初等數學則是用具體的形象的觀點研究問題。在初等數學中，研究對象基本上都是常量，而高等數學研究的對象基本都是變量，而這兩者的區別，是抽象與具體之間的體現。
1.3 學習方法的脫節
進入大學后，高等數學的學習方法是與中學數學不同的，主要表現在：中學是以教師為主導，進行模仿學習，而大學則要求學生在教師的指導下進行創造性的學習。大學階段的學習重點的是每門課程的內涵，即思想方法。而新生常常不理解學習數學思想方法的重要性，導致對基本概念的理解出現偏差，從而沒有學好高等數學。
2 高等數學與中等數學教學銜接的必要性
2.1 兩者教學內容銜接的必要性
教材是承載教學內容的載體，是教師教學的依據。對教學質量起著不可忽視的關鍵的作用，它不僅需要適應時展的特征，也需要適應學生身心發展的特征，而高中教材雖然在必修部分加入了大學的課程，但是學習的內容卻不多，而這也是導致高等數學在大學的教學中出現困難的其中一個方面的因素，而初高中的教材在內容上忽略新的教育思想和改革成果的影響，則是導致高等數學與高中數學課程改革不同步的主要原因，而其直接后果則是使高等數學的教學質量下滑。
2.2 兩者學習方法銜接的必要性
隨著時代的發展，終身教育作為“本世紀最富沖擊力的教育理念”所引發的傳統教育的革命性變革，被認為是教育領域里的“哥白尼革命”。中學數學課堂通常是由教師引出概念，講解例題，布置作業為基礎的這一套基本的教學模式。中學生基本處于被動學習的狀態，并且在應試教育的前提下需要完成大量重復的習題以達到鞏固新知的效果，這樣一來，學生的實踐能力得不到提升，學習中的情感態度和價值觀得不到認可。而對高等數學學習則是通過引導學生在理解基本思想概念的基礎上，啟發性地進行學習，從而加強了學生學習過程中創新思維和創新能力的培養。
3 高等數學與中等數學教學銜接的有效方法
3.1 高等數學與中學數學教學方法的銜接
（1）了解學生的心理特點，找準情感育人的教學方向。高等數學是大學學習中學習其他課程的基礎。在教學過程中，其學習過程中的情感態度將直接影響學習的效果和質量。而這就要求教師必須調整教學理念，將教育的內容與學生的身心發展水平、個性、智力特點相結合，使得知識、技能、情感態度和價值觀和諧統一起來，做到以學生為主體的課堂教學，真正做到“以人為本”，以學生為本。
（2）高等數學與中學數學教學方法的差異對于學生能力的影響。中學數學教師通常是利用生動、形象的語言吸引學生的注意力。而大學數學教師在課堂上基本上是教授、講師在課上講，學生在上面聽，缺少互動。大學教師強調數學語言的準確性和數學學習中思想方法的應用和理解，并將許多問題和習題的解答都留給學生自己思考。這也是與中學數學的教學有所不同的。
3.2 高等數學與中學數學教學內容的銜接
（1）放慢教學速度以實現新舊知識的接軌。在大一年級的教學中。教師要注意放慢課程進度以幫助學生熟悉大學數學教與學的學習規律。有一部分學生期望大學教師能像中學教師一樣把知識講深講透，并且在課堂講解習題，這種心理則并不適合大學的教學特點。在開始學習初期，教師則要注意引導學生調整學習方法和學習心態以適應大學數學的課堂教學，并且培養自學的能力。
（2）把握兩者之間的教學關系以實現教學模塊的過渡。新知識是建立在舊知識之上的，因此教師在備課時，就要了解中學的有關知識及中學知識和高等數學知識之間內在的聯系，這樣才能在課上正確把握授課的難易程度。其次，教師在教學中應遵循“由淺入深，深入淺出”的原則。數學概念的引入要適應學生的思維發展規律。在教學中要研究高等數學概念的認識過程的特點和規律性，根據學生的認識能力發展的規律來選擇適當的教學形式，這樣才能使學生較快地理解所學的知識，并產生極大的興趣與求知欲。
3.3 高等數學與中學數學學習方法的銜接
（1）引導學生掌握學習方法，形成良好的學習習慣。高等數學不僅僅是學生掌握數學工具學習其他相關專業課程的基礎，更是培養學生邏輯思維嚴謹性的重要載體，其重要性是不言而喻的。而高等數學的學習也講究一定的方法，學生應在掌握其學習規律的基礎上進行有效率的學習，而這些學習方式方法和中學數學也是有所不同的，在大學期間，學生有充足的時間可以自由安排學習活動，調節自己的作息時間，在保證勞逸結合的前提下，使自己的學習效率達到最大化，而在大學中的教師也應指導學生做好課前預習和課后復習的工作，并且引導學生養成良好的學習習慣，良好的學習習慣的形成也是取得優異成績的前提條件。
（2）指導學生正確使用數學語言。數學語言體現了數學學科的準確性、精簡性。數學教師在課堂教學時，則要引導學生正確使用數學語言，體會其準確性、精簡性的內涵。經過練習，學生會發現數學語言是多么的嚴謹精辟，再者，通過這方面的訓練，學生會感到數學也有其自身的特點，是其他學科所無法比擬的，數學不再是枯燥乏味的，而是解決問題的有效工具。
（3）營造良好的學習氛圍，擺脫枯燥乏味的傳統定勢。在不少學生的頭腦中一直存在著“數學難”、“數學枯燥”的想法，如果帶著這樣的情緒去學習數學，那么效果是可想而知。但是如果數學教師能讓學生覺得高等數學并非他們想象中的那么難，那么枯燥，并且在教學過程中加入多種教育方法和手段，讓他們覺得學習高等數學是一項充滿挑戰、充滿樂趣的活動，那么學生就能逐漸適應高等數學的學習節奏，最終取得良好的教學效果。
參考文獻
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[論文摘要]隨著新課程改革的實施，傳統應試教育中存在的弊端不斷顯露，而數學作為高中最為重要的學科之一，其教育中也存在不少問題。本文從當前高中數學教育遇到現存的問題入手，并分析其原因，引出素質教育的相關問題。
隨著現代科技的飛快發展，大量的數學方法應用于科學研究和各個生產領域，數學作為基礎學科本身也發生了巨大的變化，相應的，數學教育的培養目標也在發生變化。針對當前高中數學教育的現狀，以及素質教育的相關問題，期望得到大家的關注。
一、高中數學教育的現狀及其成因
目前，我國的高中數學教學正在由應試教育的模式向素質教育模式過渡，而這時也正是教育教學觀念更新的關鍵階段。在當今的高中數學教學領域，“應試教育”仍占據主要的地位，各種升學考試、入學考試成為老師和學生追求的目標，而培養學生的學習能力、數學思維則被大大忽視了。數學教育中應有的陶冶人的情操、思維能力的培養被題海戰、各種培訓、單純追求分數的提高取而代之了，嚴重地忽略了思維能力的提高，忽視了學生綜合素質的全面培養。當前高中數學教育存在的問題主要有以下兩個方面的因素：
（一）滯后的數學教育觀念。高中數學教育的發展具有穩定性、封閉性、節奏緩慢等特點，相對來看社會、經濟、科技的發展具有較強的開放性和動態性，以及對公民整體數學素質的提高都有著越來越高的要求。但是當前的高中數學教育觀念滯后，教育素質培養的目標還存在一定的差異。
（二）應試教育依占據主導地位。雖然一直倡導提高素質教育，但如何將素質教育與數學教學很好地結合，仍是一個亟待解決的問題，也是教師教學中遇到的一個難以解決的問題。因此，當我們將中學數學知識用某種新的數學理念去透視的時候，就有一個由于觀念的歷史演變帶來的認識視角差。
二、當前高中數學教育中的素質教育
數學素質教育是面向新世紀的、高要求的素質教育，其主要目標是普遍提高學生的數學基礎能力，包括計算能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數學抽象能力、數學符號變換能力、數學應用能力以及充分發展學生的各種需要。數學教育對于素質的培養主要表現在數學知識、數學觀念、道德品質、美學修養、思維方法和創造能力的培養及各種能力的拓展。素質教育與傳統應試教育相比在教學理念、教學方式等諸多方面有明顯的改變，給教師自主創新教學提供了一個很好的平臺，同時也對數學教師的素質提出了更高要求：
（一）高中數學素質教育中教師的職責與任務。教師的職責應當是突出教學而不是教書，突出高中數學素質教育的功能。（1）教師通過對自己的嚴格要求，如不遲到、早退、拖堂，對待學生要耐心認真，這些對自身嚴格要求的原則將會對學生進行潛移默化的指導，使學生達到啟迪心智的目的，使受教育者的道德境界變得更為崇高。(2)教學生如何學數學，如何進行數學思維。實施數學素質教育教學，關鍵是培養學生的數學意識、數學思維。(3)教學生學會“問”，并具有獨創精神。實踐證明，疑問、矛盾、問題是思維的“啟發劑”，是學生積極學習的動力，它能使學生的求知欲由潛在狀態轉到活躍狀態，能有力地調動學生思維的積極性和主動性。
（二）數學素質教育中思想觀念的轉換與方法的更新。高中數學素質教育是素質教育的主要組成部分，有效實施數學素質教育的關鍵是數學教育思想觀念的轉換和更新。所謂更新，并非是對傳統的全盤否定，它既是對傳統的揚棄也是對未來的展望。從某種意義上講，數學教育教學觀念的更新比數學知識的更新更為重要，也更為困難。因為觀念的更換并非一朝一夕所能實現的，它需要一個過程，且取決于人們的態度。那么，如何調整和確定更新的方法呢？目標是用辯證的數學觀、素質型的目的觀以及科學的方法觀，樹立數學素質教育的思想觀念，轉變教學理念和方式。（1）教學理念的轉變。教師要充分調動學生積極性，讓學生主動參與并積極思考，親自實踐，培養學生的創新意識，發展學生創造能力和社會適應能力。（2）改進教學方式。素質教育更多的是以問題作為課堂的中心，圍繞問題，組織學生以討論的方式提出解決方案，在教學中增加與學生的互動、交流。以鼓勵學生積極提問并發表自己的見解為主，培養學生問題解決式的思維方式。
三、結束語
就目前的高中數學教育而言，數學素質教育在很多地方還沒有得到足夠的重視，大多數教師并未充分意識到其重要性。然而，隨著數學課程改革的發展和新課程的進一步實施，素質教育已成為數學教育工作者的共識，也是以后數學教學的一個重要方向。我們相信當數學素質教育的魅力真正滲入教材、到達課堂、融入教學時，數學就會更加平易近人，數學教學就會通過素質教育層面讓學生進一步理解數學、喜歡數學、熱愛數學。
【參考文獻】
在初中數學教學中,教師應重視和加強數學概念的教學,引導學生經歷概念的探索、發現和創新的過程,獲得相應的數學概念,體驗成功的喜悅,從而真正達到理解并融會貫通的目的,以切實提高教與學的效率。
一、生動恰當的引入概念
每當學生用一個新的概念時,教師都應讓其感到有必要學習這個概念,從而使他全身心地投入到下面的學習中去。要做到這一點有時并非輕而易舉,而是要費一番周折的。因此,合理地“引入”就顯得尤為重要。
1.以史為引。
在講授新概念時,教師結合課題內容,適當引入數學史、數學典故或數學家的故事,往往能激起學生的學習興趣、熱情。如講“無理數”時,教師可由無理數的發現者希伯索斯捍衛真理的英勇故事引入等。
2.以舊帶新。
在數學中有很多概念和以往學習的舊概念有密切的聯系。因此,在學習這些概念時,教師可在復習舊概念的基礎上類比引入新概念。如在講“一元二次方程”概念時,教師可先復習一元一次方程的概念,讓學生理解什么是“元”和“次”,接著寫出一個一元二次方程如x2+2x-1=0,讓學生將其與一元一次方程進行比較,找出異同,從而得出一元二次方程的概念。這樣既自然,又利于學生理解、記憶。再如不等式可類比方程引入,分式可類比分數引入,等等。
3.猜想導入。
“數學的發展并非是無可懷疑的真理在數學上的單純積累,而是一個充滿了猜想與反駁的過程”。因此,在概念引入時,教師應讓學生依據已有的材料和知識作出符合一定經驗與事實的推測性想像,讓學生經歷數學家發現新概念的最初階段,以培養學生敢于猜想的習慣,形成數學直覺,發展數學思維。
4.從“需要”入手。
有的概念可以從解決數學內部的需要來引入,如“負數”概念的教學,教師可以從溫度計上的零下溫度入手,引導學生感知現實生活中存在比零更小的數,但用以前學過的數無法表示出來,產生了思維沖突,從而有必要引入“負數”這一比零更小的數來表示這一部分數,導入自然,恰到好處。
5.直觀操作導入。
實踐出真知。手是腦的老師,學生通過動手操作、實踐,往往可以理解一些難以理解的概念。因此在教學中,教師可密切聯系數學概念在現實世界中的實際模型,通過對事物、模型的觀察、操作、比較、分析,進而自然地引入概念。
二、自主合理地形成概念
從學生學習數學概念的心理過程來看,概念的形成大致有概念同化和概念形成兩類。其中概念同化是指學生以原有知識為基礎,教師以定義的方式直接向學生揭示概念的方式;概念形成是指從大量的具體例子出發,從學生肯定經驗的例證中,以歸納的方式概括出事物的本質屬性。
但是,初中生已有的認知結構還不夠充分,知識經驗還很貧乏。顯然,概念同化的方式對其是不適的。所以,初中生掌握概念的典型方式還是概念形成。因此,在具體的教學中,教師應重視概念的形成過程。此環節教師絕不能包辦代替,應讓學生積極、主動地參與概念的形成過程。
三、準確、無誤地理解概念
1.語言表述要準確。
概念形成之后,教師應及時讓學生用語言表述出來,以加深對概念的印象。語言作為思維的物質外殼,教師可從學生的表述中得到反饋信息,了解、評價學生的思維結果。如概括圓的定義時,有的學生會漏掉“在同一平面內”這個條件;講分式的基本性質時,有的學生會了“零除外”這一條件等。教師讓學生自己把這些概念表述出來,及時發現問題,并加以糾正,給學生一個準確的表象,這樣既能培養學生的語言表達能力,又能發展他們的思維能力。
2.揭示概念的外延與內涵。
數學概念的內涵是指概念所反映的數學對象的本質屬性,反映的是“質”的方面,如“由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形”、“兩邊之和大于第三邊”、“內角和為180?”等都是“三角形”這一概念的內涵。數學概念的外延是指數學概念所反映的對象的數量或范圍,反映的是“量”的方面。如銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形是“三角形”這個概念的外延。充分揭示概念的內涵和外延有助于學生加深對概念的理解。
3.加深對表示數學概念的符號理解。
數學概念本身就較為抽象,加上符號表示,從而更加抽象化,因此教師必須使學生真正理解符號的含義。如有學生會將sin(-θ)中的記號sin與(-θ)認為是相乘而錯誤地理解為sin(-θ)=-sinθ中左邊的符號是提出來的,所以教師要一開始就幫助學生正確地理解這些符號的意義,盡量克服學生發生類似的錯誤。
四、在靈活運用中鞏固概念
鞏固是概念教學的重要環節。心理學原理告訴我們:概念一旦獲得,如不及時鞏固,便會被遺忘。除了正確復述之外,教師還要引導學生在靈活運用中發展鞏固相應的概念。
1.嘗試錯誤,鞏固概念。
每一個數學概念都有這樣或那樣的限制條件,如果忽略了這些條件就可能導致解題的失誤。因此,學生鞏固概念時可以允許適當“示錯”,以加深印象,從而真正認識概念的本質。
2.利用變式,鞏固概念。
所謂變式,就是教師使提供給學生的各種感性材料不斷變換其表現形式,使非本質屬性時有時無,而本質屬性保持恒在。在幾何教學中教師常常采用“標準圖形”,學生就有可能把非本質的屬性如圖形的位置、大小等當作本質屬性,而造成錯誤。恰當運用變式,能使學生的思維不受消極定勢的束縛,實現思維方向的靈活轉換。
五、在概念系統中深化概念
數學是一門系統性很強的科學。布魯納說:“獲得的知識,如果沒有圓滿的結構把它聯在一起,那是一種多半會被遺忘的知識。一連串不連貫的論據在記憶中僅有短促得可憐的壽命。”因此,在每一教學單元結束后,教師要及時進行概念總結,在總結時要特別重視同類概念的區別和聯系,從不同角度出發,制作較合理的概念系統歸類表。這樣不但可使學生的知識、概念網絡化,而且可培養學生的綜合能力。
總之,概念教學是初中數學教學的重要環節,教師在平時的教學中要加以足夠的重視,并遵循一定的教與學的規律,不斷探索、不斷創新,這樣一定能收到意想不到的教學效果。
參考文獻:
[1]全日制九年義務教育中學數學新課程標準(試驗稿).
【摘 要】隨著新課程改革的深入，數學課堂教學模式也是越來越豐富，但無論什么樣的數學課其一根本目標沒有變：培養學生數學思維能力。教師在數學教學中應該讓學生體驗思維過程,重視學生數學思維能力的培養。而變式教學對提高學生思維能力、應變能力是大有益處的。
關鍵詞 變式教學；數學課堂；應用
一、變式在新知探究中的應用
為了能使學生牢固地掌握新知，教師應該關注學生現有的知識，并以此為基礎進行變式，從而產生新知的生長點。
例1：“求證:順次連結任意四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。”一般學生解決這個問題是不困難的。順題深入還可以提出以下問題:
變式1 順次連結梯形各邊中點所得的四邊形是什么四邊形？
變式2 順次連結矩形各邊中點所得的四邊形是什么四邊形？
變式3 順次連結菱形各邊中點所得的四邊形是什么四邊形？
變式4 順次連結正方形各邊中點所得的四邊形是什么四邊形？
二、變式在例題講解中的應用
1．例題問題的“深加工”
教師在例題講解習慣采用的是“教師講例題，學生仿例題”的公式化的教學，這種單純性地講授和簡單地套用阻止了學生思維的發展。而教材中的例題富有典型性和深刻性，那么如何引導學生充分利用例題揭示其深刻性，領悟其奧妙性，這就要求我們教師對課本例題進行“深加工”。
例2： 某商場將進價為40元的襯衫按50元售出時，每月能賣出500件，經市場調查，該種襯衫每漲價1元，售量減少10件。如果商場計劃每月賺得利潤8000元，請問售價應定為多少元？每月應進貨多少？若老板想倉庫租金盡量少？售價應定為多少元？
[變式 1]該種襯衫每漲價2元，售量減少20件。又怎么樣呢？
[變式 2]該種襯衫每漲價3元，售量減少20件。想賺得利潤12000元，請問售價應定為多少元？每月應進貨多少？
[變式 3]某商場將進價為40元的襯衫按50元售出時，每月能賣出500件，經市場調查，該種襯衫每漲價1元，售量減少10件。商場能否每月賺得利潤10000元，請說明理由？ [變式4]某商場將進價為40元的襯衫按50元售出時，每月能賣出500件，經市場調查，該種襯衫每漲價1元，售量減少10件。商場每月能賺得最大利潤為多少元？售價應定為多少元？每月應進貨多少？
本題是列一元二次方程解應用題。列一元二次方程可以解決生活中的行程、工程、濃度、利潤等一些問題，在設未知數解決這些問題時，要審清題意，直接或間接設好未知數，找對等量關系。在教學中，本人抓住問題的本質，對題目進行精心變式，達到舉一反三的效果。
2．解題方法的再思考
在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。通過一題多解和多題一解讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異欲望，培養學生思維的靈活性以及的思維能力。
例3：如圖A是CD上一點，ABC、ADE都是正三角形，求證CE=BD。
變1：如圖，ABD、ACE都是正三角形，求證CD=BE
變2：如圖，分別以ABC的邊AB、AC為一邊畫正方形AEDB和正方形ACFG，連接CE、BG，求證BG=CE
變3：如圖，有公共頂點的兩個正方形ABCD、BEFG，連接AG、EC，求證AG=EC
變4：如圖，P是正方形ABCD內一點，ABP繞點B順時針方向旋轉能與CBP’重合，若PB=3，求PP’。
三、變式教學應注意的問題
根據實踐經驗，在中學數學教學中，變式訓練不是簡單的重復運用，應注意如下幾個問題：
1.源于課本，高于課本
在教學中我們要精心設計和挖掘課本的習題，編制一題多變、一題多解、一題多用和多題一解以提高學生靈活運用知識的能力。
2.循序漸進，有的放矢
在教學中，對問題的變式要循序漸進，有的放矢，要與“主旋律”和諧一致，既要圍繞教材重點、難點展開，又要防止脫離中心，主次不分。
3.縱向聯系,溫故知新
變式要注意縱向聯系，要緊密聯系以前所學知識，讓學生在學習新知識的同時對舊知識也得到復習、鞏固和提高，從而提高學習效率，讓學生明白“任何事物都是相互聯系的”這一哲學道理。
4.緊扣《新課程標準》，萬變不離其宗
在中學數學習題變式教學中，習題的變式要緊扣《新課程標準》，要以標準為“綱”進行“變”；不要“變”出一些偏離標準的“繁、難、雜”題目來浪費學生的寶貴的學習時間和挫傷學生學習數學的興趣。
總之，數學的魅力就在于“變”，有“變”才有“活”，適當的變式，可以給學生提供一座橋，讓學生在已知的水平和未知的水平之間自然過渡，“變式” 能使你的數學課堂更加有活力，更加精彩。
參考文獻
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關健詞：職業中學 數學課堂 有效教學
隨著教育發展水平的提高，職業教育從過去的短缺教育變為普及化教育，為社會提供了大量基礎性的技術人才。但是近年來隨著普高的擴招，職業學校生源整體文化基礎水平不斷下降，學生差異程度擴大，數學作為一門邏輯性、抽象性很強的學科，在教學上面臨著嚴峻的考驗。通過對在校不同年級、不同專業的學生進行的數學學習心理調查表現，只有46%的學生比較重視數學學習，其中63%的學生是因為升學壓力，37%的學生認為數學能夠鍛煉思維能力、有實用價值或者對數學比較感興趣。
有效教學((effective teaching)的理念源于20世紀上半葉西方的教學科學化運動，所謂“有效”，主要是指教師在一段時間的教學之后，學生獲得的進步或者發展，也就是說，學生有無進步或發展是教學有沒有效益的唯一指標。教學效益并不是看老師有沒有教完內容或者教得是否認真，而是指學生有沒有學到什么或者學生學得好不好，如果學生不想學或者學得沒有收獲，即使老師教得很辛苦也是無效的教學，同樣學生學得很辛苦，但是沒有得到應有的發展，也是無效或者低效的教學。
基于有效教學的理念，現從以下幾方面探討職業中學的數學教學工作中實現課堂教學有效性的基本策略:
1、結合職業中學學生的專業特點，明確教學目標，做好有效的教學準備
職業中學與普通中學數學教學的區別在于教師要面對的是不同專業不同基礎的學生，他們所學的專業對數學學習的要求和深度都有所不同，職業中學的數學教師往往要跨專業進行授課，而不同專業的數學教材都是相同的。所以對不同專業的學生不能夠只是按圖索驥，照本宣科的教教材，而是要用教材教。所以有效的教學準備就顯得十分必要，應對教材進行有機的整合，合理的配置和適當的調整。教師在準備教學時，應該深人進行調查研究，掌握不同專業學生的學習思想和學習實際，明確不同專業的教學目標、準備和處理教學材料、選擇主要教學行為、教學組織形式以及教學方案，做好數學教學準備工作。例如電腦專業、電工專業、通訊專業的學生一般要求有扎實的數學基礎知識、較強的數學邏輯思維能力以及數學的應用能力，而旅游專業、經濟專業的學生則側重于數學基礎知識的理解、掌握和應用。需要強調的是，教學準備后的實施不是一層不變的，要根據課堂的情況特別是班級上學生的具體反映進行調整。
2、優化數學課堂教學模式，轉變學生的學習方式，實現最優的教與學
有效的數學課堂教學要求老師要有“對象”意識，數學教學不是唱獨角戲，離開了學生的“學”，就無所謂教。波里亞說得好:“教師在課堂上講什么當然重要。然而學生想什么更是千百倍的重要，思想應該在學生腦海中產生出來，而教師僅僅應起一個助產婆的作用。”教師必須明確課堂的行為主體是學生，而每個學生之間存在著很大的差異，在可能的范圍內，教師的教應該根據不同學生的特點來進行，結合數學教學內容的不同和教育對象的不同創設各種合適的、能夠促進學生全面發展的教學手段、方法和策略，改變學生單一被動的學習方式，向自主探索、合作交流和操作實踐的參與性學習方式轉變。
3、關注教學效益，重視學生的進步和發展
學生學業成就的評價，是判斷學生是否達到數學教學目標及其達到目標的程度，是數學教學評價的主要內容及衡量教學是否有效的重要指標，可以從以下幾個方面進行評價：首先通過學生自控進行評價；其次是以測驗為主的教師評價；再次可以結合定期的學生數學學習心理調查，通過不同時期的調查數據比較，了解學生整體對數學的學習興趣的提高、數學學習習慣的養成、學習能力的形成是否有所提高以及提高的程度。
4、有效教學需要教師具備一種反思的意識
有效的數學課堂教學目的是在于幫助每個學生進行有效的學習，使學生能夠盡可能得到進步和充分的發展，教師應不斷反思自己的日常教學行為，認真思考“在何等的情形下學生學的更好”這個問題，持續的追問自己:“我的教學有效嗎?”“我是否幫助學生確立了能夠達成的學習目標”，“我是否限制了學生的思考方式?”，“有沒有更加有效有教學呢”，“什么樣的教學才能更好呢?”……當學生有興趣的時候，當教學內容能夠用多種形式來呈現的時候，當學生能夠自由的參與探索和創新的時候，當學生能夠學以致用時，當學生對教師充滿信任和熱愛時，他們會學的最好。
總之，中等職業教育中的數學課和其他基礎課一樣，是旨在提高學生文化基礎素質，培養學生的學習能力。它不僅意味著解數學題的能力，或者將實際問題轉化為數學問題來處理的能力，而且還應當包括善于用數學思維方式去考慮問題、處理問題的能力，對學生今后的生活和工作來說，具備后者往往比前者更為重要、更能發揮作用。有效教學是一種教學的策略，為教師實現教學目標或教學意圖提供了一系列具體的問題解決的行為方式。
參考文獻：
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關鍵詞：數學史 中學數學教育
引言
伴隨著信息時代的到來，數學知識更加廣泛和自覺地滲透到科學技術的各個領域中，數學開始更加緊密地和其他學科聯系起來，成了一種指導人們的“現實文化”。英國數學家、哲學家懷特海德（Whitehead）曾經說：“數學是對于客觀世界的量化模式的建構與研究。”這是對當今數學的特征的總結。可見，當今世界要有所作為數學知識必不可少，中學數學又由其基礎性，更是非學好不可，專業知識與歷史知識總是互為補充的。就是說，不僅研究、學習歷史需要具備一定的專業知識，數學史是學習數學、認識數學的工具；而且學習專業知識也同樣需要用歷史知識幫助分析和思考。《數學課程標準》指出：“數學課程應當反映數學的歷史應用和發展趨勢。”因此，讓學生了解數學課程的發展歷史是促進數學學習的必要途徑。利用數學史不但可以加深學生對數學本質的了解，同時還可以在很大程度上拓展學生的視野。
一、數學史能激發學生學習數學的興趣
新課標提出教師除了傳授知識以外，還應該把情感、態度的培養作為教學中一項重要工作，只有這樣，學生才會對數學學習產生濃厚興趣，而興趣在學習中所起的作用是眾所周知的。“知之者不如好之者”，教師要努力培養學生對數學的興趣，至少不要使學生厭惡數學。美國心理學家布魯納認為，使學生處于被動接受狀態會壓抑學生學習的主動性，主張在教師精心引導下，教學方法應該多種多樣，以使學生逐漸產生對數學的學習興趣。可以說一個教師教學成功的關鍵就在于是否能培養學生對該學科的興趣并使其能長久地保持下去。在實際教學中一般應注意下列事項：
(1)注意每堂課的開始，每節、每章及整個課程的開始，使學生有興趣，能吸引其注意力，好的開始是成功的一半。
(2)針對青少年心理，可以采用故事方式，語言要生動，富于啟發性，使學生常有新鮮感。了解數學史，能增長見識，開拓視野，產生對數學的好奇心，增強對數學的興趣。華羅庚、陳景潤都是非常出色的數學家，華羅庚促進了奧林匹克數學的發展，陳景潤與歌德巴赫猜想的故事為中國人贏得了驕傲。牛頓由蘋果自然落地而發現、提出了萬有引力，在力學研究史上是一次很了不起的發展；愛迪生不畏困難，對科學執著追求，才博得了“發明大王”的稱號。又如，高斯7歲那年上學了。頭兩年沒有什么特殊的事情。1787年高斯10歲，他進入了學習數學的班次，這是一個首次創辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術這么一門課程。數學教師是布特納（Buttner），他對高斯的成長起了很大的作用。在全世界廣為流傳的一則故事說，高斯10歲時算出布特納給學生們出的將1到100的所有整數加起來的算術題，布特納剛敘述完題目，高斯就算出了正確答案。不過，這很可能是一個不真實故事。據對高斯素有研究的著名數學史家E.T.貝爾（E.T.Bell）考證，高斯10歲時，布特納剛敘述完題目：81297+81495+81693+…+100899，高斯就算出了正確答案。貝爾根據高斯本人晚年的說法而敘述的史實，應該是比較可信的。而且，這更能反映高斯從小就注意把握更本質的數學方法這一特點。聽了這些故事學生的學習熱情高漲，都會準備著為科學的發展而努力讀書。
二、數學史能使學生對引入數學問題、概念、理論和方法的動機與產生的后果有所了解
提到這一點我們不妨來看一下非歐幾何的發現過程。非歐幾何的開山祖師有三人：高斯、Lobatchevsky（羅巴切烏斯基，1793～1856）、Bolyai（波埃伊，1802～1860）。十八世紀時，大部分人都認為歐幾里得幾何是物質空間中圖形性質的正確理想化。特別是康德認為關于空間的原理是先驗綜合判斷，物質世界必然是歐幾里得式的，歐幾里得幾何是唯一的、必然的、完美的。
既然是完美的，大家希望公理、公設簡單明白、直截了當。其它的公理和公設都滿足了上面的這個條件，唯獨平行公設不夠簡明，像是一條定理。
歐幾里得的平行公設是：每當一條直線與另外兩條直線相交，在它一側做成的兩個同側內角的和小于兩直角時，這另外兩條直線就在同側內角和小于兩直角的那一側相交。即：過兩點有且只有一條直線與已知直線平行。
在《幾何原本》中，證明前28個命題并沒有用到這個公設，這很自然引起人們考慮：這條里唆的公設是否可由其它的公理和公設推出，也就是說，平行公理可能是多余的。
之后的兩千多年，許許多多的人曾試圖證明這點，有些人開始以為成功了，但是經過仔細檢查發現：所有的證明都使用了一些其它的假設，而這些假設又可以從平行公設推出來，所以他們只不過得到一些和平行公設等價的命題罷了。
到了十八世紀，有人開始想用反證法來證明，即假設平行公設不成立，企圖由此得出矛盾。他們得出了一些推論，比如“有兩條線在無窮遠點處相交，而在交點處這兩條線有公垂線”等等。在他們看來，這些結論不合情理，因此不可能真實。但是這些推論的含義不清楚，也很難說是導出矛盾，所以不能說由此證明了平行公設。
從舊的歐幾里得幾何觀念到新幾何觀念的確立，需要在某種程度上解放思想。這主要是羅巴切夫斯基的開創性工作。要認識到歐幾里得幾何不一定是物質空間的幾何學，歐幾里得幾何學只是許多可能的幾何學中的一種。而幾何學要從由直覺、經驗來檢驗的空間科學要變成一門純粹數學，也就是說，它的存在性只由無矛盾性來決定。應該指出，非歐幾何為廣大數學界接受還是經過幾番艱苦斗爭的。首先要證明第五公設的否定并不會導致矛盾，只有這樣才能說新幾何學成立，才能說明第五公設獨立于別的公理公設，這是一個起碼的要求。
當時證明的方法是證明“相對無矛盾性”。因為當時大家都承認歐幾里得幾何學沒有矛盾，如果能把非歐幾何學用歐幾里得幾何學來解釋而且解釋得通，也就變得沒有矛盾。而這就要把非歐幾何中的點、直線、平面、角、平行等翻譯成歐幾里得幾何學中相應的東西，公理和定理也可用相應歐幾里得幾何學的公理和定理來解釋，這種解釋叫做非歐幾何學的歐氏模型。
對于羅巴切夫斯基幾何學，最著名的歐氏模型有意大利數學家貝特拉米于1869年提出的常負曲率曲面模型，德國數學家克萊因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函數解釋的單位元圓內部模型。這些模型的確證實了非歐幾何的相對無矛盾性，而且有的可以推廣到更一般非歐幾何，即黎曼創立的橢圓幾何學，另外還可以推廣到高維空間上。
因此，從十九世紀六十年代末到八十年代初，大部分數學家接受了非歐幾何學。盡管有的人還堅持歐幾里得幾何學的獨特性，但是許多人明確指出非歐幾何學和歐氏幾何學平起平坐的時代已經到來。當然也有少數頑固派，如數理邏輯的締造者弗雷格，至死不肯承認非歐幾何學，不過這已無關大局了。
應當指出，Bolyai的父親是高斯大學的同學，Bolyai沉溺于平行公理，最后與羅巴切夫斯基同時發展出了非歐幾何，并且在1832～1833年發表了研究結果，老Bolyai把兒子的成果寄給老同學高斯，想不到高斯卻回信道：“to praise it would mean to praise myself.（我無法夸贊他，因為夸贊他就等于夸獎我自己。）”早在幾十年前，高斯就已經得到了相同的結果，只是怕不能為世人所接受而沒有公布而已。
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非歐幾何學的創建對數學的震動很大。數學家開始關心幾何學的基礎問題，從十九世紀八十年代起，幾何學的公理化成為大家關注的目標，并由此產生了希爾伯特的新公理化運動。
三、數學史對數學知識給出了一個整體框架，能使學生對數學有一個整體的認識
數學是一個龐大的領域，在數學王國中旅游，數學史是一個最好的導游。就拿我們現在常用的數字符號系統――阿拉伯數系來說，它的全稱是印度-阿拉伯數系。之所以用印度和阿拉伯命名，是因為它可能是印度人發明的，又由阿拉伯人傳到西歐的。數系擴充順序為：
（自然數整數有理數無理數）實數復數
數學史是學習數學、認識數學的工具。人們要弄清數學概念、數學思想和方法的發展過程，增長對數學的通識，建立數學的整體意識，就必須運用數學史作為補充和指導。特別是，現代數學的體系猶如一棵枝葉繁多的大樹，站在樹下，人無法分清楚其中一片樹葉到底屬于哪一個枝丫，而數學史就像是這棵大樹的脈絡，它的作用就是指引方向的“路標”，給人以啟迪和明鑒。
四、通過學習數學史還可以端正學生的學習態度，使學生對數學靈感的產生有所了解
柴可夫斯基說：“靈感是這樣一位客人，他不愛拜訪懶惰者。”靈感作為創造過程中思維活動的，產生于長期艱苦的腦力勞動之后，是辛勤勞動的結晶，是長期艱苦努力和創造性思維的結果。如四元數的創始人，三維數與高維數耗費了他十年的時光。1843年10月16日，當他同妻子沿著皇宮邊的護城河散步時，突然有了靈感：把二維復數擴展到四維而不是三維，并放棄了乘法交換律，四維數表示成z=a+ib+jc+kd，其中i =j =k =ijk=-1。再有笛卡爾發現坐標系；阿基米德是在大量計算和實驗而不得其解之后，才受到“浴缸溢水”啟示；牛頓也是在冥思苦想和大量觀察的基礎上才被“蘋果落地”的現象啟發。所以靈感是在大量的創造性勞動之后的一種思維能力的飛躍現象，也是人對某一問題的思考由量變到質變轉化的結果。沒有大量的積累，就不可能有質的轉變。我們平時所從事的各種各樣的思考活動都是為靈感的出現積累能量。僅憑僥幸，是永遠也得不到靈感光顧的。
以上是我對數學史在中學數學教育中的作用的一些看法。要充分發揮數學史的作用，還應該在數學教學的過程過程中自覺滲透歷史發展的觀點，使學生了解知識的發生、發展過程，看清知識成果中的思想和方法。另外，還應該向學生推薦一些適合的數學史書籍供其閱讀，這樣不僅可以增強其對數學的興趣和理解，同時也可以通過數學家們的榜樣示范作用對學生進行教育。
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【關鍵詞】數學教學 創新 思維 意識
素質教育的核心是創新教育。近幾年來，主席曾就創新問題在各種場合多次發表過重要講話。1995年5月26日，他在全國科學技術大會上指出：“創新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力。”1998年4月29日，在視察北京大學時再次指出：“創新，很根本的一條就是要靠教育，靠人才。”1999年6月15日，他在全國教育工作會議上的講話中又強調說：“面對世界科技飛速發展的挑戰，我們必須把民族創新能力提到關系民族興衰存在的高度來認識。”在中學數學課堂中，培養學生的創新意識、創新精神是每一個教師的職責。如何在數學教學中有意識地激發學生的創新意識，培養學生大膽創新的精神，形成問題解決過程中的創新能力，就實習期間聽課及自己在教學過程中進行的大膽嘗試，談談以下幾點體會：
一、注重課堂設計，活化課堂教學，大力培養學生的創新意識
1. 深入挖掘課本知識內涵和外延，鼓勵學生大膽質疑，培養學生的創新意識
學貴質疑，質疑是創新的基礎。教學中注重引導學生，不能滿足于課本知識；不要認為凡是書本上說的、老師講的都是對的；不要把自己的思維框住，扼殺個性發展。教師應盡力創設充滿求知欲望的教學情境，提出富于啟發性的問題，善于捕捉智慧的火花，挖掘創造的源泉。
2. 營造民主的、活躍的課堂氣氛，激發和培養創新精神
在教學過程中，很多情況下，教師為了趕時間，搶進度，完成預先制定的教學計劃，自覺不自覺的扼殺了學生的創新，埋沒了學生的閃光點，即使學生有一點新思路、方法和觀點，也沒有機會和時間來表露。因此在課堂上要抽出一部分時間讓學生表達自己的意見，引導學生討論，營造民主、活躍的課堂氣氛，激發和培養學生創新精神。
二、 創新思維能力的培養
在數學課堂教學中，通過直覺、聯想和歸納的思維能力，形成必要知識的準備，學生就會在解決問題中形成質的飛躍，形成自己獨特的見解、精巧的解題思路，使問題得到完善的解決，日積月累，持之以恒，將會形成良好的創新思維能力，提高自己的數學素養。
1. 首先要遵循民主性原則，改變教師的意識
創新是現代教育與傳統教育的本質區別，作為課堂教學的主要角色，教師在課堂教學中首先要打破傳統的權威觀念，在課堂上和學生處于平等、民主的地位，形成融洽、和諧的氣氛。心理學研究成果表明，民主是創造思維的陽光雨露，是培養形成創新思維的基本保證。
2. 課堂教學從扶到放，引導創新思維
當學生對某種感興趣的問題產生疑問時，往往急于了解其中的答案，這時教師采用的最便捷的、最簡單的方法，莫過于將自己了解的知識直接傳授給學生，令學生佩服并得到暫時的滿足。如教師注意的是先“扶”著學生去探索知識的方法，然后在掌握原有知識的基礎上，“放”手讓學生去摸索，教師只在必要時做適當的引導，則不但會使學生的學習方式更靈活，還會讓學生在探索中實現質疑的飛躍，以及創新思維的培養。
3. 注重特殊解題方法，調動學生的積極性，誘發學生的創新動機
數學教學中的通法、通則是解決實際問題的普遍規律，固然值得重視，然而洞察具體問題的特殊性，運用特有的方法解題，則可以拓寬學生的視野，培養其敏銳的觀察力，進而培養學生的創新動機。
三、根據思維能力的特點，加強課堂教學過程，培養創新思維能力
只有創新意識是不夠的，更重要的是要將創新意識加以轉化，形成良好的創新思維能力。創新思維能力是能力的核心，是能力發展的最高階段，它一般經歷的過程是：直覺思維――聯想思維――歸納思維――創新思維四個階段，下面淺談一點體會。
1. 直覺思維能力的培養
直覺思維是借助幾何直觀或經驗積累，利用類比或不完全歸納，把感知的對象作為一個有機結構，從整體觀察它，作為試探性的結論，然后利用分析思維，對結論進行證明。培養學生的直覺思維能力，老師應該在教學過程中讓學生發揮主動性，通過示范及鼓勵學生提出猜想來形成問題解決中的創新能力。
2. 聯想思維能力的培養
聯想思維憑借扎實的基礎知識和豐富的想象能力，利用事物之間的相互聯系性，使多個知識點在具體問題中互相溝通與交融，由此及彼，拓寬思維通道，由平常始料不及的思路，到達成功的彼岸。根據問題的具體情況，一般可以從三個方面去聯想：
（1）聯想有關的概念、定義、定理、公式和法則；
（2）聯想已知的或過去求解的類似問題或有關問題；
（3）聯想基本的解題方法。
3. 歸納思維能力的培養
歸納既是數學的推理方法，又是數學的發現方法。數學中的許多結論都是由歸納、猜想發現的。在教學中教師有意識地培養這種思維方法是必要的。
通過這方面的教學，可以培養學生主動學習、探索學習的學習觀，學生可以通過觀察、收集、比較、分析、綜合、歸納、轉化、解答等一系列認識活動，使學生成為學習的主體；可以培養學生用數學的意識和觀念，遇到問題能從數學的角度去審視問題、觀察事物、闡釋現象、分析問題和解決問題；可以培養學生運用數學的能力，特別是從實際問題中提煉并抽象出數學問題的能力；可以使學生認識到“問題”是理論發展的起點，用數學方法、數學思路解決問題的過程，同時就是發展數學理論的過程；認識事物的全過程是認識從實踐中來又回到實踐中去，這樣可以培養學生的唯物史觀，可以加強德育教育的能力。總之，在教學中，若教師經常引導學生從多方面訓練、多角度去思考，可以使學生的思維不局限在某一點或某一側面上，不滿足于已解決的問題，積極開闊視野，爭取獲得更多的信息，使其在結構、形式、材料、功能等方面擴展、引申，從而不斷提高創新能力，使學生的創新意識、創新精神得到充分的培養，把數學教育素質落到實處來。
【參考文獻】
［1］何寅基等. 數學教育技能學概論 . 中國礦業大學出版社， 1994.
［2］徐友標等. 數學教學智能發展. 光明日報出版社出版，1989.
【關鍵詞】數學教學；思維品質；培養；策略
正如蘇霍姆林斯基所說：“真正的學校應當是一個積極思考的王國。”怎樣促進學生思維，發展學生智慧，開發學生智力，這是目前數學教學中最尖銳、最現實而又尚未很好解決的問題之一。因此，培養學生的思維品質始終是數學教學的目標之一，也是實施素質教育的重要途徑。
在課堂教學中，課堂練習不僅僅是一種練習形式，而是作為一種教學思想。它能激發學生發散性思維，且解決問題的方向（思路）不唯一，更能體現學生的學習過程，充分發揮學生在教學過程的主體作用。
因此，在課堂教學中，要有計劃，有目的地設計一些一題多解，一題多變，一法多用等習題，來培養學生全方位，多層次探索問題的能力，發展多向思想，為培養學生多向思維能力打下基礎。
一、從不同角度一題多解，促進思維的靈活性
一題多解訓練，就是教師引導學生從不同角度去觀察一個數學問題，使學生產生不同的體驗，形成不同的解法，進而極大豐富學生的想象空間，培養思維的廣闊性一題多解可引導學生從不同的角度去思考，去解題，是培養學生多向思維，提高分析問題、邏輯推理能力的一種好方法，有效的培養思維的靈活性，現以證明三角形內角和定理為例，介紹如下幾種證法：
已知：ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.
證法一：從平角定義思考，引導學生在ABC的外部畫∠ACE=∠A，再證∠ECD=∠B，即可.
證法二：從平行線思考，引導學生過C點作CE∥AB，再證∠ACE=∠A，∠ECD=∠B即可.
證法三：從頂角作底邊平行線，引導學生過點A作DE∥BC，證∠BAD=∠B，∠EAC=∠C即可.
證法一 證法二 證法三
證法四：D是BC上任一點，過點D作DE∥AC， DF∥AB，分別交AB、AC于E、F，再證∠BDE=∠C.∠CDF=∠B，∠EDF=∠A即可.
證法五：從同旁內角和為180°思考，引導學生過點C作CD∥AB，證∠A=∠ACD.再證∠B+∠BCD=180°即可.
證法六：過點A在ABC內任作一射線AE，過B、C兩點作BD、CF分別平行于AE，則 BD∥CF.證∠DBA=∠BAE，∠EAC=∠ACF，再證：∠DBC+∠BCF=180°.
證法四 證法五 證法六
能夠進行上述分析，這表明思路寬廣，思維沒有停留在一種思維角度上，還考慮著與此題相關的知識，思路就開闊了。實踐證明，一題多解可以使學生思維透過不同的知識領域看同一問題，形成不同的解題方法，能很好地培養數學思維的廣闊性。一題多解并不是多種解法的羅列，而是從多種思考角度，不但激活了與問題有關的各知識點，而且通過活躍的觀察、嘗試、猜想、歸納、比較、推理和判斷，從多角度考慮問題，開闊了學生的思路，促進了多向思維的發展。通過多解開闊學生的多向思路，因而在多解之后，要歸納出思路和規律，如添設輔助線的規律等，通過比較各種證法的繁簡、難易，并分析、研究證明過程中可能發生的錯誤，從而進一步調動學生的學習積極性，使學生的多向思維再次出現，以利于增強學生分析和解決問題能力，這樣，多解才能取得最佳效果。
二、從不同角度一題多變，舉一反三
一題多變是指對已講已做的例題、習題的題設條件或結論進行適當變化從而構成一系列新題目，然后再對新題進行研究、分析從而大幅度提高學生的解題水平在教學時，我常常采用一題多問、一題多變的練習形式來發散學生的思維，逐步培養學生思維的靈活性和多向性。
在初中數學總復習中，我們總想利用較短的時間，取得較好的效果，我認為將課本習題作多種變化，不但能給老師提供更多的素材，而且還能更好地培養學生的思維品質。
三、從不同角度一法多用，發掘本質
變式教學就是把問題的題設或結論略加變化，而不做本質的改變，使學生認識到問題仍可以使用同樣或類似的方法解決，從而把握方法的本質。這是培養學生思維深刻性的一個好辦法。從一個問題聯想到與它形式不同但實質完全一樣的多種敘述或表達方式，這樣，就能培養我們抓住問題實質的本領，培養思維的連動性、流暢性和變通性。所以更需教師及時總結規律、整合教材、創新教學來培養學生的思維方式。把解題過程中零散雜亂的，膚淺的經驗、規律及時進行提煉、總結、升華，再予以應用，用以指導解題實踐，就能觸類旁通，提高解題能力。
四、弄巧成拙，培養思維的批判性
教師在教學中，過多地或片面地強調程式化和模式化，容易造成學生只能套模式解題，注入式的教學導致學生缺少應變能力。思維的靈活性寓于思維的敏捷之中，主要表現在善于迅速地引起聯想，建立起自己的思路，同時又能根據情況的變化，善于進行自我調節，及時地和有效地調整原有的思維過程。
教師在講課時可以故意示錯，或有意留下漏洞讓學生去發現，或適當布置一些改錯題。這樣學生在學習過程中就會有意識地注意是不是教師有錯誤存在，會主動去探索，去發現，去解決，從而達到訓練學生批判性思維技能的目的。教師在布置作業時也要注意不同學生的不同差異，對于不同能力的學生進行不同的對待，可以采取不同的作業形式和作業難度，讓每一個學生都能在各自的基礎上和各自的優勢上發揮最大的作用，以激勵他們去不斷的思考和進取，在各自的水平上逐步練習思維技能。
例：已知關于x的方程（m-2）x2+2mx+m-3=0有實數根，試求m的取值范圍。
教師故意板書為（錯誤解法）：原方程有實數根，=（2m）2-4（m-2）（m-3）≥0，且m-2≠0， m≥ 且m≠2。
顯然，犯了認定原方程是一元二次方程的錯誤，因而題中陷阱較隱蔽，思考難度稍大。這就要讓學生學會批判性的接受知識。
總之，在教學中，經常引導、鼓勵學生進行一題多變、一題多形、一題多解、一題多編、一題多答的練習，有利于學生對知識的掌握和智能的發展，這是培養和發展學生良好思維品質的有效途徑。
在數學教學實踐中，我體會學生思維能力的發展，除了教材本身提供的條件以外，和教師的教學指導思想和方法有直接的關系。因此在教學過程中，我始終堅持以發展學生思維能力為核心，精心設計思考題，加強多向思維的訓練，不斷地提高學生分析問題和解決問題的能力，從而，全面提高了數學教學質量。
參考文獻：
[1]鄭隆炘. 《數學思維與數學方法概論》.華中理工大學出版社，1997 第一版
[2]國家教委雜志社編.《能力素質教育》.時事出版社
關鍵詞 數學學術 解題思想 數學分類 思維創新
數學解題的過程是一種探究答案的過程，也是一個研究的過程。它是從問題當中提取出信息，然后用相關的定義、概念和知識對問題做出明確的表述，從而尋求從己知到目標的合理途徑。
進行數學教育的目的不能只局限于對這一結果的表述，而要在一定意義上去重復數學歷史的主要進程。重演一遍已知求證的過程，對學生教授數學知識，幫助學生靈活地掌握解題思想。
一、教學中常用的數學解題思想類型
（一）轉化思想
解題過程就是將要解決的問題轉化成為已經學過的知識。數學中的轉化思想無處不在，無時不用。它的基本出發點就是使陌生問題熟悉化、隱性問題明朗化、抽象問題具體化、復雜問題簡單化、無序問題和諧化。
例如中學數學里，“已知線段a，求作線段使它等于 5a。”解題時可以先假設一個直角邊分別為a、2a的直角三角形，使其斜邊為5a；又或者是假設一個斜邊為3a、一直角邊為2a的直角三角形，然后使其另一直角邊為5a。再比如，探討多邊形內角和時，啟發學生運用三角形內角和。這些都是是轉化思想的一種體現。
類似的問題不勝枚舉，中學數學里所訓練的幾何問題，在由結論想條件進行逆向推理分析的時候，每一步幾乎都滲透著轉化思想。
（二）數形結合思想
所謂的數形結合思想就是抓住數與形之間，在本質上的聯系，然后以“形”直觀表達“數”，或者以“數”精確地研究“形”。它可以把抽象的數轉化為直觀的形，或把復雜的形轉化具體的數，從而達到簡捷解題的目的，數形結合思想在解題中的起著非常重要的作用。
例如在解決不等式組等這類問題的時候，教師可以用數軸來表示每個不等式的解集，然后用陰影部分體現三個解集的公共部分，使問題變得簡單而明了，便于學生理解和掌握。在課堂教學時，很多問題一旦教師出示了圖形或教具，就會使得困難的問題簡單化，學生很容易就從直觀上理解了問題和數學概念。
（三）方程思想
許多數學問題的解決都離不開方程，而把問題歸結為方程來解決的思想就是方程思想。
以幾何題來舉例，“已知一直角三角形兩直角邊之和為12，斜邊長5，求面積。”這道題我們可用方程來解決。假設一直角邊為x，那么另一直角邊就為（12-x），得出方程：x+（12-x）=25，最后求出面積。
方程思想還可以用于解決許多現實生活、生產中的問題，例如“打折銷售”、“購房貸款”、“家居裝修”等等，這些問題往往在數學教育中以應用題的方式來對學生進行訓練。
（四）分類討論思想
分類思想，即根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分成為不同種類的思想方法。在解題過程中，當條件或結論不是唯一時，就會產生幾種可能性，需要進行分類討論。分類要不重不漏，做到科學合理。
例如對有理數進行分類，一是有理數分為整數和分數；二是有理數包括正有理數、0以及負有理數。那么教師在進行教學時，就必須要讓學生清楚這種分類的標準。再比如對三角形進行按邊分類或者按角分類，如果不強調分類的標準，學生就很容易混為一談。
二、原理性的數學解題思想類型
（一）系統思想
從系統論來看，一道數學題可構成一個系統。所以在系統論中的整體意識和“黑箱方法”在數學解題中有著廣泛的應用。
1、整體意識在數學解題上的應用，是指對于一個數學問題，應該重點著眼于問題的整體結構，而不只是它的局部特征。然后應通過全面而深刻的考察，從宏觀上去理解和認識問題的實質，挖掘和發現出已有元素在整體結構中的地位和作用，以求找到求解問題的思路。
2、從解題角度而言，題目就是一個“黑箱”，解題就是通過對“黑箱”進行信息輸入和輸出來探究出“黑箱”的內部性態。比如待定系數法，反例法，歸納法等解題策略，以及用于解答開放性或探索性問題的探索結論過程，這些都是黑箱方法的典型運用。
（二）辯證思想
辨證思想的運用，往往會體現在以下幾個方面：1、非線性結構與線性結構的轉換；2、已知與未知的轉換；3、常量與變量的轉換；4、正面與反面的轉換；5、靜與動的轉換；6、數與形的轉換；7、有限與無限的轉換。
（三）運動變化思想
在數學解題過程當中，運動變化思想分為以下三種類型：1、化靜為動，從運動變化中理解數學對象的變化發展過程；2、動中寓靜，從不變中把握數學對象變化的本質特征；3、動靜轉化，充分揭示運動形態間的互相聯系。
例如，將常數看成變數的取值，將離散看成連續的特例，或者將方程或不等式看成函數的取值，將靜止狀態看成運動過程的瞬間等等，常常會使問題的求解創出一種新的形式或局面，從而得到突破。
（四）建模思想
這是指把實際問題進行“數學化”處理，將實際問題抽象為模型化的數學問題，以揭示實際問題的本質。如此不僅能解決具體的實際問題，還能鍛煉應用數學知識的能力。因此數學建摸的思想與方法日益受到人們重視。具體的建模分成以下幾種類型：1、建立代數函數模型；2、建立解析幾何模型；3、建立平面幾何模型；4、建立物理模型；5、建立三角形函數模型。
（五）審美思想
數學美具備著簡潔性、對稱性、統一性、和諧性以及奇異性。從數學發展史來看，數學家往往因為追求數學美而獲取了許多新發現，不斷推動數學向前發展。而在數學解題中，則可通過數學審美而獲得數學美的直覺，促使題感經驗與審美直覺相配合，激活思維中的關聯因素，從而找到解決問題的突破口。
總之，思想是行動的指南。數學解題思想，就是利用數學知識和方法使其得到求證的邏輯手段，它對解題具有決定性的作用。在數學學習或數學教學過程中，對數學思想給予足夠的重視，將大有裨益。
參考文獻
【1】馬忠林，數學方法論[M]，廣西教育出版社，1996，12
【2】張順燕，數學的思想方法和作用[M]，北京大學出版社2004，6
關鍵詞：數學建模能力 培養興趣 學習的能動性
一、引言
2003年教育部頒布的中學數學課程標準里，數學建模成了十分重要的組成部分，標志著數學建模正式進入我國中學數學教學中。中學生接觸的大多數是傳統的文字應用題，帶有很強的人工化，形式化，對數學建模相對生疏。課本上傳統的文字應用題往往條件清楚準確、不多不少、結果唯一確定，解出的結果很少要求學生思考是否符合實際。因此，就更加不會去考慮是否需要調整和修改已有的模型。而這些正是數學建模過程的難點和重點。數學建模強調用所學的數學知識解決問題，提倡的是“想用、能用、會用”的“用”數學的意識。這正是新課標指出的：“數學教學應從學生實際出發，創設有助于學生自主學習的問題情境， 引導學生通過實踐、思考、探索、交流，獲得知識，形成技能，發展思維，學會學習，促使學生在教師指導下生動活潑地、主動地、富有個性地學習。”
二、如何培養和提高中學生建模能力
數學建模教學應結合正常的數學內容進行切入，把培養應用數學的意識落實在平時的教學過程中，以教材為載體，以改革教學方法為突破口，通過對教學內容的科學加工、處理和再創造達到在學中用，在用中學，進一步培養學生的用數學意識以及分析和解決實際問題的能力。要教會學生建模，培養學生如下幾方面的能力是關鍵。
（一）培養“翻譯”能力
1.審題。包括對題意的整體理解和局部理解，以及分析關系、領悟實質。就是弄清題目所述的事件和研究對象；抓住題目中的關鍵字句，正確把握其含義；根據題意，弄清題中各有關量的數量關系；抓住題目中的主要問題，正確識別其類型。
2.問題轉化。將實際問題抽象為數學問題，建模的直接準備就是審題的最后階段從各種關系中找出最關鍵的數量關系，將此關系用有關的量及數字、符號表示出來，即可得到解決問題的數學模型。一般有關系分析法，列表分析法和圖像分析法。
（二）培養用數學分析意識和創造能力
第一，教師在教學中應注意在從具體到抽象的學習過程中， 讓學生對數學知識的來龍去脈有著清晰的認識，而非橫空出世。即要結合學生熟悉的事物善于深入淺出地提出數學問題、講解數學問題，把數學與生活緊密地結合起來；第二，教師要合理引導學生發揮主觀能動性，體驗數學的再創造過程，從而自我建構數學知識，形成數學思想方法的活動。即要營造一個激勵探索和理解的氣氛，讓學生在觀察體驗、動手實踐的基礎上學會把眼前的問題與自己已有的知識體驗之間發生關聯，從中有效地學習方程思想、數形結合思想、分類思想，學習建模思想、轉化思想、整體思想和概率統計思想等方法。
（三）培養想象力
想象力是人類特有的一種思維能力，是人們在原有知識的基礎上，將新感知的形象與記憶中的形象相互比較、重新組合、加工處理，創造出新形象的能力。愛因斯坦曾說過：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。”
實例一：某人平時下班總是按預定時間到達某處，然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早了三十分鐘到達該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時間？
這是一個測試想象能力的簡單題目，似乎條件不夠，無法回答。但只要換一種想法，問題就迎刃而解了。假設他的妻子遇到他后載著他仍舊開往會合地點，那么他就不會提前回家了。提前的十分鐘從何而來？顯然是由于節省了從相遇點到會合點，又從會合點返回相遇點這一段路的緣故，故由相遇點到會合點需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達會合點，故相遇時他已步行了二十五分鐘。
（四）培養發散性思維及創新能力
所謂發散性思維，是指針對同一問題，沿著不同的方向去思考，從不同角度、不同側面對所給信息或條件加以重新組合，橫向拓展思路、縱向深入探索研究、逆向反復比較，從而找出多種合乎條件的可能答案、結論或假說的思維過程和方法，即常說的“條條道路通羅馬”。
實例二：華盛頓大學教授卡蘭得卡給學生出了一道題：“試證明怎么能夠用一個氣壓計測定一棟高樓的高度”。
一個學生給出了如下答案：“把氣壓計拿到高樓頂部，用一根長繩子系住氣壓計，然后把氣壓計從樓頂向樓下墜，直到墜到街面為止；然后把氣壓計拉上樓頂，測量繩子放下的長度。這長度即為樓的高度。”“把氣壓計拿到樓頂，讓它斜靠在屋頂的邊緣處。讓氣壓計從屋頂落下，用秒表記下它落下的時間，然后用落下的距離等于重力加速度乘以下落時間的平方的一半算出建筑物的高度。”“可以在有太陽的日子在樓頂記下氣壓表的高度和它影子的長度，又測出建筑物影子的長度，就可以利用簡單的比例關系，算出建筑物的高度。”“還有一個最基本的測量方法。拿著氣壓表，從一樓登梯而上，登樓時，用符號標出氣壓表上的水銀高度，這樣可以用氣壓表的單位得到這棟樓的高度。這個方法最直截了當。”“當然，如果還想得到更精確的答案，可以用一根弦的一端系住氣壓表，把它像一個擺那樣擺動，然后測出街面和樓頂的g值 （重力加速度）。從兩個g值之差，在原則上就可以算出樓頂高度。”“如果不限制用物理學方法回答這個問題，還有許多其他方法。例如，拿上氣壓表走到樓房底層，敲管理人員的門。當管理人員應聲時，你對他說下面一句話，‘親愛的管理員先生，我有一個很漂亮的氣壓表。如果你告訴我這棟樓的高度，我將把這個氣壓表送給您。’”當然最后這個只不過是一個笑話。這種近乎抬杠的方法我們并不提倡，但他這種不被傳統固有知識所限制，舉一反三，努力提出新方案的思維方式，正是我們提倡的發散性思維。
（五）培養表達的能力
中學建模的結果常常需要以解題報告或論文的形式寫出來，這就要求教師引導學生逐步達到能夠將自己所做的工作用準確嚴密的語言表述出來，加強對學生的寫作和表達能力的鍛煉。教師可以通過一些具體的例子來分組鍛煉學生合作建模并表述建模過程，之后分組指導并改進論文，選取較為優秀的論文作為建模課程的范例進行講解，引導學生展開討論，從而改進建模方法和解題過程，提高學生的解題能力和寫作能力。
三、實例分析
（一）問題及分析
某油田計劃在鐵路線一側建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油的要求。兩煉油廠的具置由附圖所示，其中A廠位于郊區（圖中的I區域），B廠位于城區（圖中的II區域），兩個區域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
■
若所有管線的鋪設費用均為每千米7.2萬元。 鋪設在城區的管線還需增加拆遷和工程補償等附加費用為21.4（萬元/千米），油田設計院希望通過數學方法設計一種建設費用最省方案。
（二）建立模型及求解
由于A廠、B廠與鐵路的位置一定，但由于A廠、B廠分別在郊區與城區，而鋪設在城區管線還需要增加拆遷和工程補償等附加費用。故可按如下情形進行討論：車站可能建在Ⅰ區，可能建在Ⅱ區。為此，分如下情形討論：
■
■
方案（1） 設AT=x，TM=y，則x■=25+CT■，CT=■，TD=20-■由RtFMT∽RtBDT可得：■=■=■
則MD=20-■-y=5，BD=8，MF=■
可得 BF=BT-FT
=■■，
總費用 W=7.2（AT+TB）+21.4BF
=7.2（x+■+21.4■■，
由于W為關于x的一元函數，為使總費用最小，只需求導并令導數等于零即可。即解方程■=0，則可得x即轉接點的位置，從而得到最佳設計方案及最省費用。
由計算得：x=6.69，Wmin=294.43。
方案（2） 設MT=y，則DT=5-y，管線長度L=AQ+QT+BT，
由RtTQM∽RtTAC可得： ■=■=■，
所以 TQ=■■，QM=■，
則AQ=AT-QT=■■，BT=■=■，
因此，總費用 W=7.2（AT+TB）+21.4（QT+TB）=7.2（■+■）+21.4（■■+■）
由于W是關于y的一元函數，對y求導并令倒數等于零即可。
從而可以得到最佳設計方案及最省費用：y■=0，W■=383.654。
四、結語
在中學數學教學過程中融入數學建模思想， 一方面能使學生逐步熟悉和掌握利用數學方法來解決實際問題。這將使學生對數學方法的運用產生興趣，并逐步提高解決實際問題的能力。另一方面對于從事多年傳統數學教學的教師來說，也是一項轉變教學觀念，更新教學方法的實踐，能使教師的數學教學從與實際脫節的理論傳授方式向實際的應用數學模式轉化。
參考文獻：
[1]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].北京： 高等教育出版社，2004.
【關鍵詞】農村中學生 填鴨式教學 分層教學 數學素養 課堂實效性
數學，再熟悉不過的一個名詞。看似如此簡單的兩個字，但卻在我們的日常生活中起著舉足輕重的作用。偉大的數學家華羅庚曾經說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數學。”也曾經有過關于數學的諺語“學會數理化，走遍天下都不怕。”這些都足以證明數學的重要性。正是由于數學無處不在，過于普遍，人們往往容易忽視它，尤其是在農村，人們的文化素養還沒有達到較高的水平，對數學的內在功能不了解，導致不重視數學的培養，為此我提出這一課題，目的是讓大家明白數學的重要性，學好與我們生活密切相關聯的數學。
經過農村高中數學教學三年的實戰經驗，我發現農村中學生的數學成績和城市相比，還存在著很大的差距。而想要縮小這種差距，我認為可以從以下幾個方面著手：
1. 備課方面
教師上課，教案是非常必要的，它可以指引你的上課思路，是對課堂的規劃。在農村，教師相對比較緊缺，競爭壓力不是很大，所以有很多老師寫教案僅僅是為了應付學校的檢查，教案中沒有任何實質性的知識。這種做法會導致在上課的過程中缺少邏輯，漏洞百出。教師備課不僅僅是要備教案，還應該備學生，備重難點，備教法學法，備板書，備時間，備作業。俗話說“凡事預則立，不預則廢”，只有在上課前做好充分的準備工作，才能在課堂上做到設身處地，游刃有余。例如，我在設計《函數的概念》這節課時，首先我找學生進行談話，了解他們對于初中所學函數定義的理解深度，然后根據調查結果，我選擇好差生搭配式探究法來自主探究概念，初高中對比式的板書來引導學生逐步遞進，緊扣概念的基本題來促使學生掌握要點，然后根據時間進行變式訓練，保證全體學生對基本概念掌握的同時，也對部分學生完成了數學思維能力的適當提升。這樣的數學課堂讓學生感受到數學的“美”，對數學產生強烈的好感，從而樂于在數學中去發現、探索問題，使自己成為課堂的主人。
2. 授課方面
教學是一門藝術，它不單單是把教師的知識單向地灌輸給學生，而且應該是一個雙方互動的、有趣的、充滿活力的活動。現在的教育形勢已經從之前的“填鴨式教學”轉變為“開放式、自主式學習”，所以在課堂上教師一定要樹立“教為主導，學為主體”的教育理念，給學生引導好學習的方向，還給孩子們學習的自由空間。在農村中學，教師對新課改的理念還沒有太多的轉變，從而忽略了“學生為中心”的理念，不斷地進行填鴨式教學，使得學生特別討厭數學課堂，覺得數學課枯燥無味，從而失去了學習的興趣。要想改變這種狀況，我覺得又要從以下幾個小方面入手：
（1）課題的導入
良好的開端是成功的一半。精心的引導是教師主導核心，是正確擺正學生主體學習的關鍵，好的導言能先聲奪人，能有效激發學生學習的好興趣，這樣的課堂一定可以達到事半功倍的效果。那到底要如何導入呢？第一，課題導入要遵循一定的原則，要有目的性、科學性，要短小精悍、形式靈活。第二，要選擇恰當的導入方式，如故事引入法、懸念引入法、實驗引入法、討論引入法、致誤引入法、單刀直入法都不失為一些好的導入方法。當然課堂導入法并不是一成不變的，教師可以根據學生的愛好和課堂的內容來自行選擇。一些不恰當的導入會讓學生誤入歧途。例如：一老師想引入函數的奇偶性，他在黑板上畫了三個函數的圖像，然后就問這些圖像有什么特征？學生回答“都在黑板上畫著了”，你看，就因為他的導入目的不明確，學生根本就不知道從哪個方向去回答。如果該問題改為“從這些圖像的對稱性去看有什么特征”是不是方向就明確了呢？再如，在講等差數列的前n項和公式式，就可以用高斯的故事來引入，學生一定有興趣。總之，好的導入方式可以提高中學數學的課堂教學效果。
（2）教學方法
眾多教師一貫的教學方法就是傳統的“講解法”，即單重一味地講，不管學生的學。而在新課改的教育形勢下，好的教學方法必須立足于 “教為主導，學為主體”“開放式合作式學習課堂”“學生才是課堂的主人”的這種理念。教學方法是完成教學任務的一種手段，它在課堂成敗中起著關鍵的作用。教無定法，貴在得法。只要有助于學生的學習，就是好方法。我個人覺得講練結合法，討論分析法，探究式學習法，五讓教學法都不失為好的方法。如在《誘導公式》這節課中，我就選擇了探究式學習法，讓學生自己根據正余弦函數的定義，借助于單位圓畫圖去分析探究，從而得出結論，課堂達到了預期效果。好的教學方法能吸引學生的注意力，讓學生對數學充滿熱情，從而自主學習、探究，不斷地提升發現問題、分析問題、解決問題的能力。
（3）分層教學
在一個班級中，各位學生的數學基礎參差不齊，在數學的學習興趣與愛好上、對數學知識的接受和理解能力上，都會存在有很大的差異，這就要求教師教學不能“一刀切”，要針對不同層次的學生進行分層。要根據學生的數學基礎，學習能力，學習態度，自學能力，智力水平，再結合學生的性格特征，家庭環境，最大限度地利用學生間的差異，做到對每位學生都一視同仁。在我任教第一年，因缺少經驗，對分層教學沒有做到位（忽略了差生），導致學期末成績很不理想。后兩年汲取教訓，針對不同層次的學生進行不同的教學，成績有了很大的提升。對于學困生，一定要做到不歧視、多鼓勵、多表揚，給他們布置基本題，讓他們充滿能學好數學的自信心；對于優等生，要注意表揚的尺度，不能讓他們自傲，給他們布置提高題，讓他們的數學思維能力得到進一步的提升；對于中等生，要鼓勵、也要鞭策，給他們布置基礎題，在他們掌握基本知識的前提下，再適當進行提高題的訓練。
3. 學生的數學素養方面
教學，就是“教師教”與“學生學”的有效結合活動。要想上好一堂數學課，只有教師的“教”是絕對不行的，學生必須也要參與到課堂中來。即使教師的備課、授課工作做得再到位，沒有學生的互動，這就是一節失敗的課堂。俗話說“名師出高徒”“只有不會教的老師，沒有不會學的學生”，在我個人看來，這種觀點還帶有片面性，否則為什么又會有“對牛彈琴”這種說法呢？要想達到高效課堂，教師要負起自己教的責任，學生也要擔起自己學的義務。首先，學生應該做到端正學習態度；其次，學生應該做到在課堂上開口，動手；最后，學生應該做到勤于思考，探究。學生的數學素養會影響教師的教學效果，教師的教學效果反過來又會影響學生的數學素養，這樣一直惡性循環下去，數學成績自然沒法提升。
4. 家庭的監督方面
要想學好數學，提高成績，家庭的監督也起著不容忽視的作用。人們常說“要注重孩子的家教”，“某人的家教不好”，這些話語都體現出了家教的重要地位。為什么農村的孩子沒有城市的孩子聰明、懂禮貌，這就是家教不同的結果。在農村，大多數家長文化水平很低，對教育的認識不深刻，認為上學沒多大用，導致了對孩子教育不重視的結果。在我任教的地方，有很多學生的家長外出打工，對孩子放任自流，不管不問，久而久之這些孩子就變成了“問題學生”，打架、上網、賭博、喝酒，無所不做。那么要想達到數學高效課堂，提高學生的學習成績，家長也應該參與到其中來。首先要轉變陳舊觀念，認識到教育對學生的重要性；其次，要正確引導學生的學習，注重培養孩子良好的學習習慣；第三，不能急于求成，成績不好時要耐心輔導，不能打罵，要培養孩子的自信心；最后，要時刻關注孩子的學習情況，與教師多交流溝通，共同來譜寫孩子的教育篇章。
總之，數學是一門很重要的學科，它貫穿在了其他所有的學科中，與我們的日常生活密不可分，起著至關重要的作用。要想學好數學，在今后的數學教育活動中，教師、學生、家長都應該演繹好自己的角色，為學生提高數學成績，進一步提升數學能力提供最有效的資源。
【參考文獻】
[1]云.高效教學方法的探討[J].教育教學論壇，2013（06）：59-60.
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