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開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇初中幾何，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
［關鍵詞］幾何教學 培養興趣 理清概念 幾何語言 推理
［中圖分類號］G622 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1009-5349（2012）07－0149－01
在初中數學學習領域中，學生普遍對幾何知識學習倍感困難，不僅沒興趣，而且收效甚微。這一現狀大大制約了學生的幾何學習，為了切實改變現狀，提高教學質量，培養學生幾何知識素養，筆者結合工作實際，認為在幾何教學中應做好以下幾點：
一、提高幾何認識，培養學習興趣
幾何知識是數學領域一個重要組成部分，教師可以通過講解幾何史和幾何名人趣事，如幾何學之父歐幾里德的故事，使學生對老師有較強的信任感，樹立學好平面幾何的信心，那樣學生自然而然地從害怕學習幾何知識過渡到喜愛學習幾何知識。
在實際教學中，教師要有意識地創造情景，激發學生的學習興趣。
教學中的動畫展示，幾何教具的使用，多媒體課件的應用，都可以培養學生的興趣。教學時舉例子引發學生學習興趣，不能太深奧，太抽象，要簡單易懂，比如幾何中數線段的條數與計算球隊參加比賽的場數的問題，原來農村里的師傅修建房屋時不懂得勾股定理知識又怎樣保證修建時墻角是直角等。二是要讓學生在初步接觸幾何時就要把基本知識，基本技能，基本思維弄扎實，讓他們對于幾何的學習有一些成就感，相信自己的能力，增強自信心。從而大大激發了學生學習幾何的興趣。
二、理清幾何概念，建立知識框架
幾何概念是學習幾何的基礎，也是培養學生數學思維品質的重要內容之一。所以在幾何教學過程中，教師要高度重視幾何概念的教學。教學中應盡可能地讓學生先觀察幾何模型，形成感性認識，在此基礎上，再給出數學名稱，畫出數學圖形，定義圖形，研究性質。如圓的概念教學，生活中車輪為什么都做成圓形而不做成正方形，是因為車輪邊緣上任意一點到車輪軸心的距離都相等，使得車輪在滾動時比較穩定。是從實際例子中引發抽象出來的。另外，應突出概念間內涵的差異，加深對概念的理解。當新、舊概念聯系十分緊密時，必須抓住它的內涵差異進行講解，對概念進行邏輯分析，利用概念的內涵差異和知識的遷移，可以提高學生運用舊知識、探索新知識的能力，牢固掌握幾何概念。其次，在理清概念的基礎上，建立知識框架，如初中幾何主要是圍繞三角形、四邊形和圓而進行的。讓學生根據知識框架圖，串起所有知識。提起四邊形，就應想起平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形。
三、掌握幾何語言，打好推理基礎
學習幾何，學生普遍出現的困惑，是看不懂題意，尤其是文字幾何命題。為此應引導學生理解幾何語言，并運用幾何語言書寫推理過程。幾何教學有三種不同形式的語言即圖形語言、文字語言及符號語言。教學中不僅要讓學生掌握三種幾何語言，還要培養學生對三種語言相互轉化的能力。在三種語言中符號語言是幾何初學者最難掌握的一種，也是邏輯推理必備的能力基礎。目前，對于初中階段推理能力的培養要求是循序漸進的，由開始的“說點兒理”到“說理”“簡單推理”，到最后的“符號表示推理”，為了讓學生更好地掌握“符號表示推理”，因此教師在教學過程中應不失時機地引導將定義、公理、定理、命題等文字語言轉化為符號語言，訓練培養學生文字語言符號化的意識，訓練學生文字語言符號化的能力。例如：等腰三角形性質（三線合一）運用，結合圖形寫出字母符號語言：（在ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的中線）AB=AC AD=CD ADBC。這種“互譯”訓練，可使學生對幾何知識理解得更為深刻，為書寫幾何推理過程建立良好的基礎。
四、培養推理論證能力，分段指導推理證明
七年級的推理與證明，只對學生提出簡單的，直觀的認識和了解，不需寫出證明，不提嚴密的推理，教師切不可對學生提出過高的要求。七年級就是要逐漸把計算轉移到說理。因此，只要求學生會說即可。進入八年級，對學生的推理與證明要求也提高了一級。此階段，不但要求學生對寫出的推理證明題要懂得填寫理由，而且要初步了解，學會推理證明的寫法，初步接觸證明題。老師還要精心地組織練習，讓學生以練習填空題為主（填寫推理理由），并讓學生初步接觸只有兩三步的非常簡單的幾何證明題，而且要求每證明一步，都要清楚為什么，有什么理由，有什么根據。到了九年級，要求學生對幾何證明題要能獨立的分析、推理，自己找出證明途徑，獨立完成證明題。老師可從倒推法、綜合法等幾何證明常用方法著手，逐步教給學生分析方法，逐步引導學生學會合乎邏輯、有理有據地證明，這也是幾何推理證明的最高境界。
在初中幾何教學中，如果讓每個學生都注意以上幾點，對幾何的學習就會輕松有趣，事半功倍，就能真正學好幾何這門課。總之，學好幾何必須重基礎知識、重習題積累，善于歸納總結，堅持解后反思，才能真正走出學習困境。
【參考文獻】
[1]底鐘英編著.初中平面幾何教學體會.湖北人民出版社出版.
【關鍵詞】形式證明 命題 邏輯推理 序列
【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）04-0141-02
在初中階段的數學學習過程中，幾何知識是許多學生都倍感頭痛的問題，尤其是幾何證明。這是一個較為普遍的現象，其成因頗多，既有主觀因素也不乏客觀因素。不少同學在聽老師講課時基本能懂能接受，但要其證明時就出現了這樣那樣的問題，不是不會寫證明過程，就是說不清理由；不是東扯西拉，就是前后銜接不上……還有就是想當然者——“我覺得就是這樣的”；更有甚者，將舉例說明和證明混為一談，真可謂是“百花齊放”，諸如此，林林總總，本文不在此一一列舉。
何謂證明？“一個命題的正確性需要經過推理，才能做出判斷，這個推理過程叫做證明。”人教版，七年級下冊21頁，如是說。誠然，這不能說其不對，但也確實不夠清楚。什么是“推理過程”？具體問題又該如何“推理”？從課本的這段話中，我們恐怕不易弄清以上問題。許多初學幾何的初中生雖能朗朗上口地背誦定理，但卻不能真正理解其含義，更談不上對其的運用。那么，為何初中生都普遍覺得幾何難學呢？問題究竟出在哪里？這些問題本文將稍后逐步探討。
幾何學是一門非常古老的學科，早在古希臘時期幾何學就已經非常繁榮，比如歐式幾何。時至今日，我們所學的初等幾何基本上都是建立在經歷了兩千多年的歐式幾何的基礎之上的，由此可見其古老性之一斑。雖然幾何學由來已久，并經過了數千年的積淀和研究，然而它仍然令一代又一代的學習者為之困惑，緣何？筆者認為，幾何學之難（尤其是幾何證明）關鍵在于其形式化的公理、定理、性質以及演繹推理等。所謂形式化，即是用一系列約定的符號（如邏輯符號）來表示概念、符號化命題以及推理，并將一定范圍內的所有正確的推理形式（邏輯規律）都匯集在一個整體中。在此基礎之上，由幾條公理及公設出發，并規定一些初始符號和規則，經過有效的邏輯推理，得出若干新的、正確的、可靠的結論（即命題），這些命題的集合就形成一個公理系統，這就是形式化幾何。初中幾何主要研究的是平面幾何的圖形性質及其數量關系，在歐式幾何的公理體系和框架下，早已經形成了許多有關平面幾何的命題，但是教師在教學的過程中絕不能只告訴學生們一個結果，更多時候教師需要引導他們去探索并發現規律，總結和證明他們發現的規律，要證明就必然要弄清形式化的推理。
下面，本文就從數理邏輯的角度來探討何謂推理？何謂證明？為此，需要介紹一些有關的數理邏輯概念和符號。
一 命題與邏輯運算符
定義1：具有確定真假性的陳述句稱為命題。
凡是命題都有真值，命題的真值只有兩種情況，即取自集合{0，1}，具體情況是：真命題的真值為1，假命題的真值為0。
定義2：具有唯一確定真值的陳述句稱為命題。
要判斷一個語句是不是命題，需要注意兩點：一是先判斷其是否為陳述句；其次是看其真值是否唯一確定，這兩個條件缺一不可。例如，“x>5，x∈R”，該語句雖然是陳述句，但卻無法判斷真假。因為x是可變的，當x取3時，其為假命題；當x取7時，其為真命題。這類語句可稱之為命題變元或稱之為命題變量，值得注意的是命題變元不是命題，原因是其真值是可變的，時真時假。此外，還要特別注意像“我正在說謊話”這樣的陳述句，這個語句無論你假設其真值為“1”還是“0”都會推出矛盾，這樣的語句稱之為悖論。在數學中比較著名的有“羅素悖論”。
通常命題可分為簡單命題和復合命題，簡單命題就是不能分解成更簡單的陳述句的命題，簡單命題也稱為原子命題。復合命題就是除簡單命題外的命題，復合命題也可以理解為是由邏輯運算符聯結簡單命題而成的。為了便于后面的討論，本文約定用小寫的英文字母p、q、r…表示命題或命題變元。
比較常用的邏輯運算符有5種：（1）“”稱為否定運算符，讀為“非”。（2）“”稱為合取運算符，讀為“且”或“與”。（3）“”稱為合取運算符，讀為“或”。（4）“”稱為蘊含運算符，讀為“蘊含”。（5）“”稱為等價運算符，讀為“等價”。
以上5種邏輯運算有其優先級，規定其優先順序為：（）、、、、、，其中“（）”的意思是有（）的就先算，然后再按照、、、、的順序來做運算，對于同一優先級的運算符，先出現者先算。
二 推理和證明
定義3：命題公式遞歸定義如下：（1）單個的命題常量或命題變量是命題公式；（歸納基）。（2）若A、B是公式，那么A、AB、AB、AB和AB也是命題公式；（歸納步）。（3）所有的命題公式都是有限次使用（1）和（2）得到的符號串；（最小化）。
在這里可以使用大小寫英文字母表示命題公式，英文字母還可帶下標。以后在沒有二義的情況下，將命題公式簡稱為公式。命題邏輯的推理理論就是利用命題邏輯公式研究什么是有效的推理。
定義4：推理就是從前提集合開始演繹出結論的思維過程，前提集合是一系列已知的命題公式，結論是從前提集合出發應用推理規則推出的命題公式。
若前提是一系列真命題，并且推理中嚴格遵守推理規則，則推出的結論也是真命題。在命題邏輯中，主要研究推理規則。
定義5：稱蘊含式（A1A2…An）B為推理的形式結構，A1，A2，…，An為推理的前提，B為推理的結論。若（A1A2…An）B為永真式，則稱從前提A1，A2，…，An推出結論B的推理正確（或說有效），B是A1，A2，…，An的邏輯結論或稱有效結論，否則稱推理不正確。若從前提A1，A2，…，An推出結論B的推理正確，則記為（A1A2…An）B。
通俗地講（A1A2…An）B即是說，若A1，A2，…，An都正確，則B也正確。清楚了什么是推理以及推理的結構后，下面來討論什么是證明。
定義6：證明是一個描述推理過程的命題公式序列A1，A2，…，An，其中的每個命題公式或者是已知的前提，或者是由某些前提應用推理規則得到的結論，滿足這樣條件的公式序列A1，A2，…，An稱為結論An的證明。
在證明中常用的推理規則有3條：（1）前提引入規則：在證明的任何步驟都可以引入已知的前提；（2）結論引入規則：在證明的任何步驟都可以引入這次已經得到的結論作為后續證明的前提；（3）置換規則：在證明的任何步驟上，命題公式中的任何子公式都可用與之等值的公式置換，得到證明的公式序列的另一公式。
以上是一些基本的邏輯推理規則，如何運用這些規則進行推理和證明呢？在定義6中可以看到，證明實質上就是要把已知的命題公式按照一定順序排列起來，那么具體問題的證明要如何來將那些已知的條件、公理、定理、推論以及性質等（諸如此類在邏輯上都可視為命題公式）按照怎樣的順序來排列呢？下面，通過初中幾何中的具體實例進一步體會理解證明的實質。
例如，已知：如圖在RtABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=DB，AE=CF。
求證：DE=DF。
分析：由ABC是等腰直角三角形可知，∠A=∠B=45°，由D是AB中點，可考慮連接CD，易得CD=AD，∠DCF=45°。從而不難發現DCF≌DAE。
證明：連接CD。
AC=BC；
∠A=∠B。
∠ACB=90°，AD=DB；
CD=BD=AD，∠DCB=∠B
=∠A。
AE=CF，∠A=∠DCB，AD=CD。
DCF≌DAE。
DE=DF。
上述證明的過程，實質上就是一個命題的序列，可以如下來看：（1）等腰三角形ABC兩腰相等（AC=BC）；（2）等腰三角形ABC兩底角相等（∠A=∠B）；（3）已知條件（∠ACB=90°，AD=DB）；（4）等腰三角形DCB兩腰及兩底角相等；（5）等量減等量得等量（AE=CF），（4）得出的結論（∠A=∠DCB，AD=CD）；（6）三角形全等的判定定理SAS（DCF≌DAE）；（7）全等三角形對應邊相等（DE=DF）。
這里的（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）不就是一個序列嗎？并且序列中的（7）就是要證明的結論，其實所有的證明都是如此，只要按照邏輯的推理規則構造出一個包含證明結論的序列即可。那么，在這七步的序列中運用了哪些推理規則呢？（1）前提引入規則；（2）前提引入規則；（3）前提引入規則；（4）假言推理規則；（5）置換規則和結論引入規則；（6）假言推理規則；（7）假言推理規則。
數學能夠非常有效地訓練人的邏輯思維能力，它是其他學科無可替代的，而數學證明又是最為有效的途徑，正如羅增儒先生所說，數學證明有助于獲得新的體驗、發現新的結論；有助于增進理解，只有清楚了一個命題的證明，才能真正理解該命題的內容。對于幾何證明，首先應該弄清題意，明確證明方向即把握好題目的已知條件和要證明的結論，然后結合圖形理清思路，把和本題有關的命題搜索出來，再來思考需要用到哪些定理，將其羅列出來，最后按照邏輯的思維方法把它們構造成一個包含要證明結論的序列，這就完成了證明的過程。
參考文獻
[1]人民教育出版社、課程教材研究所等.數學（七年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2012
[2]張順燕.數學的源與流[M].北京：高等教育出版社，2004
[3]耿素云.離散數學[M].北京：清華大學出版社，2008
關鍵詞：初中；幾何；教學；方法；初探
中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2012）18-0085-02
初二幾何是初一幾何的延續，是初中幾何很重要的階段，在這一階段的學習中，學生既要能夠識別各種圖形，又要掌握這些圖形的性質，更重要的是要培養邏輯推理的能力。由于這些因素，初中幾何的教學應注意以下幾點:
一、要注重基本概念的教學
初中幾何已由小學的直觀研究上升到理論研究上來，只有能夠識別圖形，才能在此基礎上來研究這些圖形，因此，識別圖形是幾何學習最基本的要求。而要從理論上識別一個圖形，就要掌握基本概念。幾何基本概念是對一個圖形最具體、最實質的概括，它是判斷是不是某個圖形的依據。由此可知，基本概念的教學尤為重要。
二、要注重公理和定理的教學
幾何是利用最基本的公理來研究各種圖形性質的一門學科，公理和定理是研究各種圖形的基礎，離開這些公理和定理，幾何將沒有辦法研究下去。學生以后學習和研究幾何的基礎就是這些公理和定理，離開了它們學生學習幾何將是空談；而且這些理論正是證明過程的理論依據，離開了它們，幾何證明就是無稽之談。因此，在教學過程中，我們不能忽視這方面的教學。
三、要注重培養學生使用和分析圖形的習慣
幾何是一門從研究圖形發展而來的學科，圖文結合是幾何課程的特點。一般幾何題目從使用和分析圖形入手，不但能使題目直觀明了，而且簡化了題目的難度。初中生剛開始學習幾何，還不適應使用和分析圖形，我們應該教會學生如何使用和分析圖形，培養學生使用和分析圖形的習慣。
所謂幾何基本圖形，是指在幾何教學中，把幾何定義、定理、公理、推論等基礎知識的文字內容用幾何符號語言表示出來的最簡練、最基本、最形象的幾何圖形。幾何教學中，基本上每個定義、定理、公理、推論等都可以用幾何符號語言形象地表示出來，并且都具有其基本特征。幾何基本圖形具有哪些特征呢？
1.相對獨立性。幾何基本圖形是用來表述幾何定義、定理、公理及推論的符號語言，具有相對獨立性，可以獨立存在，并能夠獨立說明問題。
2.概括性。幾何基本圖形能反映一個定義、定理、公理、推論等的基本內容，無論怎樣復雜的幾何定義、定理、公理及推論都可以用一個圖形表述出來，這充分說明了幾何基本圖形具有很強的概括性。
3.簡練性。幾何基本圖形，要求準確地表述幾何定義、定理、公理及推論的基本內容，那就必須簡潔明快、精煉而準確。這也是幾何基本圖形的一個重要特征。正因為它具有這個特點，在解決復雜問題時，才能從中分離出來而獨立、概括地存在，以幫助我們解決一些復雜問題。
4.形象性。每個幾何基本圖形都具有明顯的形象特征，這個特征實質上可以說是區別于其它圖形的一個顯著標志。如：三角形的中線、高、角平分線的基本圖形看來很相似，但其形象特征不同：三角形的中線表現為線段相等，而其高則表現為垂直的形象；三角形的角平分線則表現為兩角相等。
5.符號化特征。幾何基本圖形是用符號語言來表述文字語言的，因而符號化特征很突出，這也是有利于教學的一個重要方面。
6.基礎性。幾何基本圖形是其它幾何組合圖形的基礎，它是組合圖形最基本的要素，可以說任意一個組合圖形都是由若干個基本圖形組合而成的。
四、要注重幾何學習方法的指導
1.引導學生突破概念關。幾何基本概念的教學，首先，要明了幾何語言的特征，掌握幾何語言的使用方法，并不斷提高幾何語言的表達水平。不僅要使學生掌握常規的幾何術語，特別是推理語言、作圖語言的用法，而且要掌握幾何變式語言的用法。例如，“點P在直線MN上”，也可以說成“直線MN通過點P”；又如，“對頂角相等”，其意思是說“若兩角為對頂角，則此兩角相等”。其次，要重視幾何知識的系統化，能隨時注意將有關的概念及其性質加以分類整理。例如，將關于角的相互位置關系的知識系統化，就需要把“鄰補角”、“對頂角”、“兩邊分別平行或垂直的角”、“同位角”等復合概念或單一概念及有關性質加以整理。再次，要充分發揮概念在解題過程中的核心作用。無論幾何證明，還是解幾何計算題都需要不斷地從性質出發選擇有關性質的概念，又需要從概念出發，選擇從該概念導出的與解題有關的性質，也就是要讓學生認識到：做幾何題的每一步都要有依據。
2.鼓勵學生自主探索與合作交流。有效的幾何學習過程不能單純地依賴模仿與記憶，教師要引導學生主動地從事觀察、操作、猜測推理等活動，并交流活動的體驗，幫助學生積累活動的經驗，發展空間觀念和有條理地思考。例如，組織學生進行如下活動：①用硬紙片制作一個角；②把這個角放在白紙上，描出；③再把硬紙片繞著O旋轉1800，并畫出 ；④探索從這個過程中，你能得出什么結論。通過操作、觀察，每個學生都可能發現某些結論。在這樣的活動中，學生不僅能主動地獲取知識，而且能不斷豐富數學活動的經驗，學會探索，學會學習。
關鍵詞： 解題能力 幾何題 培養方法
一道初中幾何題不但考查基礎知識點，還考查數學思想、方法，考查學生的解題能力。教學中發現許多學生學習幾何問題用的時間很多，做的題目也很多，但是收到的效果卻不理想，究其原因是他們總是就題論題，費時費力，事倍功半，顯示出學生解題能力低下，因此教師在初中生解幾何題能力方面需要加強培養，根據教學大綱要求，以及觀察初中生解幾何題時的意識、習慣等，筆者淺談初中生解幾何題能力培養方法：
一、審題
審題要求初中生做什么？怎么做？一道幾何題總有若干已知條件和待求解結論，通常還配備幾何圖形，于是，在審題過程中教師應該引導學生做到以下幾點：第一，從題干條件中抓住概念、性質，讀懂題中線段、角的有關數據及各種位置關系、數量關系，關注特殊的點、直線、射線等，結合圖形與題目條件結論進行觀察對照，使題意與圖形在學生印象中正確對應統一。第二，從已有概念、性質進行基本相關聯想，明晰已有線段、角的位置關系和數量關系，將已知條件和待求結論結合，從復雜圖形中分解出基礎幾何圖形，必要時根據題意重新畫圖幫助理解。第三，有些幾何題有許多后續小題，不同小題之間除了原主題干條件相同，前提條件未必相同;相同題干條件下的前面小題的結論又可以作為后續小題的條件。第四，遇上復雜題目，為把握命題者意圖，學生應該將題目多讀幾次，最好逐字逐句分析題意，抓住關鍵字詞深入思考，挖掘隱含條件，為后續解題思路探究鋪平道路，避免“滑過現象”，不可由于審題不認真、不完整導致解題不嚴謹，甚至無從下手。
例1（江西省2016）22.（圖形定義）：如圖，將正n邊形繞點A順時針旋轉60°后，發現旋轉前后兩圖形有另一交點O，連接AO，我們稱AO為“疊弦”;再將“疊弦”AO所在的直線繞點A逆時針旋轉60°后，交旋轉前的圖形于點P，連接PO，我們稱∠OAB為“疊弦角”，AOP為“疊弦三角形”.
探究證明：
（1）請在圖1和圖2中選擇其中一個證明：“疊弦三角形”（即AOP）是等邊三角形;
（2）如圖2，求證：∠OAB=∠OAE′.
歸納猜想：
（3）圖1、圖2中“疊弦角”的度數分別為____________________________，__________________________;
（4）圖n中，“疊弦三角形”__________________________等邊三角形（填“是”或“不是”）;
（5）圖n中，“疊弦角”的度數為__________________________（用含n的式子表示）.
粗略地看，題目條件涉及“疊弦”、“疊弦角”、“疊弦三角形”三個新概念，其實際是舊知識，由“將正n邊形繞點A順時針旋轉60°后，發現旋轉前后兩圖形有另一交點O，連接AO”可以在圖形中，找出旋轉前后兩圖形的相對位置，由旋轉性質及正n邊形的各邊相等、各角相等且等于（n-2）×180°÷n，在圖1中明確AD=AD′，∠D=∠D′=90°，由旋轉60°知道各對應點與旋轉中心連線所成角為60°，對應點與旋轉中心的連線段相等，在圖1中明確∠DAD′=60°。根據“再將‘疊弦’AO所在的直線繞點A逆時針旋轉60°后，交旋轉前的圖形于點P，連接PO”這個條件，學生容易忽視“AO所在的直線”，從而簡單認為點P與點O是對應點，輕易得出AP=AO，這就是典型的“滑過現象”，目前只有∠OAP=60°是明了的，而AP=AO是否相等憑直覺成立，但需要嚴格推理驗證，由此可見，本題很考驗學生思維的嚴謹性。條件“AOP為‘疊弦三角形’”考查學生理解其產生過程及識圖能力。從第（1）問中，學生應能聯想起等邊三角形的判定定理。第（2）問證角相等，學生除了識別角的位置，認識到角與相關元素的位置及數量關系，及第（1）、（2）問是相同題干，第（1）問中的所有結論可作為第（2）問的前提條件。第（3）問求角度，（1）、（2）、（3）三問發現都涉及圖2，由此，也可以考慮首選圖2解決問題，那么圖1、3、4應當是為幫助理解第（4）、（5）的幾何題規律，便于歸納總結規律而增加的從簡單到復雜、從特殊到一般的圖例。這樣，學生就把握了題意，為探究幾何題的解題思路奠定了堅實的基礎。
二、探路
學生在分析題意，探尋解題思路的過程中應該做些什么？怎么做？筆者認為幾何題以題型而論，可謂種類繁多，幾何題的解題思路需要學生多次探尋，往往也是柳暗花明、精彩紛呈，但多數幾何題的求解或求證，其思路不外乎建立題目已知條件（甚至隱含條件）與所求結論之間的內在聯系，因此，如何將它們聯系起來，是確定解題思路的關鍵。有些幾何題相對簡單，只要根據概念、性質等知識分析其已有條件，就可以很快與結論聯系起來，另有些題目，需要學生將條件與條件結合推理，產生的結論結合其他條件再推理，同時將所求結論不斷轉化，使條件推導得出的結論不斷向所求結論靠攏，所求結論的轉化不斷向已有結論逼近，直至它們在某個點上聯系起來，從而確立解題思路。這就要求學生熟練掌握基礎幾何圖形的概念，性質，并且很清楚它們對應的結論。當解題思路受阻時，用所學知識將條件、結論進行等價轉化，并在某個知識點上“連接起來”，從而打開解題的思維通道，明確解題的思考方向，契合“數學問題一般都是運用學過的知識加以解決”的轉化思想。
例1的思路分析：第（1）問是判定“疊弦三角形”（即AOP）是等邊三角形，結合已知∠OAP=60°，聯想到等邊三角形判定定理“有一個60°角的等腰三角形是等邊三角形”，接著會想到的是AOP的哪兩條邊相等？結合“AO所在的直線繞點A逆時針旋轉60°后得到線段AP”，會聯想到AO=AP，但是這兩條線段不能直接相等，需要嚴格證明，以圖1為例，旋轉∠DAD′=∠OAP=60°，得到∠DAP=∠D′AO，四邊形ABCD是正四邊形，可知AD=AD′，∠D=∠D′=90°，兩者結合得APD≌AOD′（ASA），到此已經將題目條件與所求證結論聯系起來，問題得解。第（2）問求證：∠OAB=∠OAE′結合題目已知與第（1）問中的結論，容易有兩種常見等價轉化：①證∠OAB=∠EAP，②證AOB≌AOE′。思路（一）：第①思路結合已有圖形易聯系起來轉化求證AOB≌APE，結合已有直接證明顯得困難，但由第（1）問易得APE≌AOE′，兩者合并到思路②，分析已有條件，發現欠缺OB=OE′，觀察OB、OE′是邊BC，D′E′的一部分，且BC=D′E′，于是問題再次轉化為求證OC=OD′，又會有兩個方向：。┤等三角形對應邊相等，）等角對等邊，先探索。，連接AC、AD′，構造出AOC和AOD′，卻依然沒有全等的足夠條件，但可發現對角線AC=AD′，思路到此告一段落，接著探索思路），必須連接CD′，要直接得到∠OCD′=∠OD′C，那是困難的，此時結合思路。┮延械AC=AD′，可以得到∠ACD′=∠AD′C，于是只需∠ACO=∠AD′O，由直覺可以發現只需ACB≌AE′D′，到此，已知條件與所求證結論在ACB≌AE′D′這個點上建立了聯系，整個解題思路連貫起來，問題得證。思路（二）：第①思路結合已有圖形易聯系起來轉化求證AOB≌APE，直接證明欠缺條件，轉而考慮∠PAE=∠OAB亦可，結合圖形易感覺AOB和APE存在軸對稱，這就意味著可以在這兩個三角形周邊構造全等三角形，解題策略的通法是將題目中分散的條件集中起來，作AMDE于M，作ANCB于N.得到RtAEM和RtABN，以及RtAPM和RtAON，結合以上條件易證這兩對三角形分別全等，推出∠EAM=∠BAN及∠PAM=∠OAN，得證∠PAE=∠OAB，從而解題思路貫通。第（3）問求角的大小，只需結合以上結論與多邊形內角和定理，就可以解決問題。第（4）問可用歸納法，也可以參照以上證法證明之。第（5）問同理第（4）問。
三、書寫
在學生經過認真審題、確定解題思路后，接著就是按照規范的解題格式進行書寫。學生在書寫解答過程中存在字跡潦草、審題不認真、思維混亂、說理無據、思路不清晰、推理不嚴密、解后不檢查等現象，由此可見，教師培養學生規范的書寫解幾何題格式很必要，書寫解答過程要做到表達清楚，層次分明，結論明確，論據充分，目的明確，說服有力，說理有據，做到嚴謹、嚴密、滴水不漏、環環相扣、無懈可擊。第一，教師應該重視培養學生關于文字語言、符號語言、圖形語言三者之間轉化的能力，該能力是準確讀懂題目、圖形，造成對條件、結論、圖形的正確識別、理解、轉換、組織、表達的必備條件，教師在學生探究幾何基礎知識點時，有意識地將一個知識點作為幾何模型讓學生清楚把握結構，將每一個幾何模型中的三種語言之間的轉換做到滾瓜爛熟的地步。第二，要求學生用嚴格的格式、準確數學語言書寫解答過程，教師檢查學生的解題過程，反饋檢查結果，學生及時總結錯誤并訂正，理清書寫要點，歸納解題步驟及注意事項。書寫解題過程是學生理解題意，表達思維過程的外在表現形式，書寫的過程更是學生思維提煉、升華的過程，理解事物本質、抽象概括的過程，是積累研究問題的方法和經驗的重要途徑，因此，應當加強訓練。
例1解：（1）如圖1四邊形ABCD是正方形，
由旋轉知：AD=AD′，∠D=∠D′=90°，∠DAD′=∠OAP=60°
∠DAP=∠D′AO，
APD≌AOD′（ASA）
AP=AO，又∠OAP=60°，AOP是等邊三角形.
（2）法（一）：如右圖1，連接AC，AD′，CD′，
AE′=AB，∠B=∠E′=108°，E′D′=BC，
ABC≌AE′D′，AC=AD′，∠ACB=∠AD′E′，
∠AD′C=∠ACD′，∠OD′C=∠OCD′，OC=OD′，
BC-OC=E′D′-OD′，即OB=OE′，
AB=AE′，∠B=∠E′，AOB≌AOE′，∠OAB=∠OAE′.
法（二）：如右圖2，作AMDE于M，作ANCB于N.
五邊形ABCDE是正五邊形，
由旋轉知：AE=AE′，∠E=∠E′=108°，
∠EAE′=∠OAP=60°
∠EAP=∠E′AO，
APE≌AOE′（ASA）
∠OAE′=∠PAE.
在RtAEM和RtABN中，
∠M=∠N=90°∠AEM=∠ABN=72°AE=AB
RtAEM≌RtABN（AAS）
∠EAM=∠BAN，AM=AN.
在RtAPM和RtAON中，AP=AOAM=AN
RtAPM≌RtAON（HL）.
∠PAM=∠OAN，
∠PAE=∠OAB，
∠OAE′=∠OAB（等量代換）.
（3）15°，24°
（4）是
（5）∠OAB=[（n-2）×180°÷n-60°]÷2=60°-180°/n
四、反思
數學教育家弗賴登塔爾指出：反思是數學活動的核心和動力。學生在解決一道幾何題后應該反思什么？教師應引導學生從題目涉及的知識點、題型結構、類型、條件與結論的關系、題目考察的能力、數學思想方法、解題思路的探索、解法的多樣性、書寫格式的規范性等角度進行反思。如對例1可做如下反思：本題是綜合性較強的一道中考題，涉及的知識點有正n邊形的概念、性質，旋轉的概念、性質，全等三角形的判定、性質，等腰三角形的判定、性質，多邊形內角和公式等。本題屬于探究型幾何題，題干條件復雜抽象，文字繁多，不易理解，條件容易被忽視，使得推理不嚴密，條件與結論看似容易聯系，其實隱含的聯系方式卻相當難找，由此可見本題考查學生文字語言、符號語言、圖形語言三者之間的轉換能力，識圖能力，認真審題習慣，嚴密推理的邏輯思維能力，合情推理能力，觀察分析解決問題能力等。本題主要考查學生轉化思想，從特殊到一般的思想，體現在將所求解（或求證）結論的等價轉化，從正四邊形、正五邊形等一直到正n邊形的求角的大小，同時以上思想就是本題的破解策略，通過條件、結論的各自轉化，最終在某個知識點上建立聯系，從而使解題思路得以貫通。可能出于中考這種限時考察全科的因素，本題書寫規范要求相對降低，如后三個小題以填空形式出現，但學生在平時此類型題目的求解訓練過程中，可以考慮書寫，用于訓練學生的嚴格書寫格式盡量簡化書寫內容，同時培養學生縝密的邏輯推理能力。本題拓展了解法，兩法值得學生借鑒。在本題解答過程中，學生還可能將“圖n”中的n理解為正多邊形的變數，從而產生錯解，因此學生應注意數字與圖形的對應關系。進行解后反思有助于學生積累經驗，鞏固所學知識點，幫助學生總結解題規律，優化解法，達到事半功倍的效果，在已有的基礎上突破、延伸、創新，以應對未知的難題。
最后，教師不可能只利用極少數例子和練習培養學生的解題能力，教師應當為學生提供足夠多的數學問題，使學生視野得以開闊，數學問題的解決過程充滿豐富多彩的觀察、嘗試、歸納、概括的思維活動，在數學學習過程中以問題為載體，感悟數學思維，積累數學活動經驗，提升數學素養，發展學生的數學思維能力，通過數學問題的解決，學生獲取知識的同時，提高解決問題的能力。
關鍵詞 思維 幾何證明 邏輯語言 理解記憶
中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）19-0027-02
數學是思維的體操，數學教育離不開思維。戰斗在教學一線的數學教師都知道初中階段的學生剛接觸幾何證明大多數學生就算背得定理也不會用，或解決問題時找不到思路，或找到思路不會書寫，要學好幾何證明題，關鍵是順利闖過幾何證明題入門這一關。如果能把握好了這一步，就可以順利地進行幾何這門學科的學習。
一、幾何定理的理解、記憶、應用
多數學生記憶幾何定理都是死記硬背，就算背下來了也很容易混淆、容易遺忘，而且不會使用，如：平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形的性質、判定，就非常容易混淆，所以光憑死記硬背是不行的，針對這種情況本人在幾何定理教學時堅持每一個定理都講清由來，解釋意思，配合圖形并轉化為邏輯語言。理解是記憶、應用的基礎，只有理解了才能記得清、不混淆、記得牢，沒有理解的定理更是談不上應用的，當然記憶當中沒有的定理也不可能會想到去用它。為幫助學生理解、記憶、應用定理，在教學中本人堅持每個定理都做到定理、圖、邏輯語言配套教學，學生配套記憶。
下面本人以“線段的垂直平分線性質定理”的教學為例說明具體做法
1.幫助學生理解并記住定理。
（1）突破文字語言的理解記憶：
“線段的垂直平分線性質定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等。”
①將定理分解出條件與結論，條件是：線段垂直平分線線上的點、點到這條線段兩端點的距離。結論是：距離相等。
②將定理分層次理解，分層方式如下：
如此理解學生記憶時就可以將定理記作“點到點的距離相等”再聯系記憶其中的“點”“點”“距離”分別是什么。這樣學生就能理解并記住定理的文字敘述。
（2）將定理由文字語言轉化為圖形語言理解記憶：根據定理作圖如下：①作線段AB；②作線段AB的垂直平分線MN交AB于點O；③在直線MN上任取一點P，連接PA、PB。在這步教學時就要強調幾何語言的規范使用，養成規范使用幾何語言的好習慣，那么以后準確理解幾何語言的意思就不難了。
（3）將定理由文字語言轉化為符號語言理解記憶：結合上圖，角平分線的性質定理可轉化為如下符號語言：
MN是線段AB的垂直平分線
PA=PB（線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等）
如此將定理的文字語言、圖形語言、符號語言三者結合起來記憶，就可以理解并牢牢的記住定理了。圖形直觀，看到類似的圖形就能聯想到這條定理；文字敘述方便記憶，邏輯語言片段為書寫證明過程提供“好詞好句”。
2.應用定理解決問題難關有2個：①找不到解題的思路；②有思路但不能正確完整的用邏輯語言呈現。
（1）對第①個難關的解決辦法：首先要讀懂題目，讀題目要分粗讀和細讀，至少讀兩遍，剛開始或復雜的問題需要讀三遍。第一步：先粗讀一遍題目了解題目的大致意思，初步了解題目中已知告訴了什么，要求或求證什么；第二步：第二遍細讀題目，細讀時要對照圖形做到讀題目時每一句話都要理解意思并聯系所有有關定義、性質、定理，利用綜合法將所有能得到的結論呈現出來，簡潔的標注在圖上或寫在草稿上，讀到結論時同樣簡潔的標注在圖上或寫在草稿上；第三步：再細讀題目，結合第二遍細讀時將所得到的結論互相聯系、結合，看是否又能聯系什么定理，推理進一步得到結論（即用“綜合法”分析問題尋找思路）。再讀到結論時利用“分析法”逆向思維，根據哪些定理可以得到這樣的結論，一步一步逆向推理，尋找已知中能得到的條件與結論之間的關聯。通常我們都需要“綜合法”“分析法”兩種方法結合使用“兩頭湊"來將思路貫通。第三步細讀題目的主要目的是將前面得到的條件與結論進行聯系融會貫通思路。是一個整理思路的過程，也是解決問題的關鍵，前面的兩遍都是為第三遍打基礎。遇到將前面得到的條件與結論進行聯系還是不能融會貫通思路時就需要再讀題目看是否有隱含的條件被遺漏導致找不到思路。在問題簡單或運用熟練的情況下第二步與第三步可以合并為一步完成，第二步與第三步并不是嚴格分開的。
本人以下題為例詳細說明具體做法：
如圖：已知P是∠AOB平分線上一點，PCOA，PDOB，垂足為C、D，求證：①∠PCD=∠PDC；②OP是CD的垂直平分線。 （注七年級練習）
第一遍粗讀題目 ，初步了解題目中已知兩個條件①OP平分∠AOB，OP是角平分線；②PCOA，PDOB，有兩個直角；要求證兩個結論①∠PCD=∠PDC，兩角相等；②OP是CD的垂直平分線，即垂直又平分線，也即有直角同時交點也是中點。
第二遍細讀題目：對照圖形讀題目，讀到點P是∠PDC平分線上的一點，要想到角平分線定義與角平分線性質定理，可以得到
點P是∠AOB平分線上一點
∠AOP=∠BOP=∠AOB
并將可得結論標注在圖上
讀到PCOA、PDOB，垂足為C、D，想到垂直定義及與角平分線結合又有角平分線性質定理，于是有：
①PCOA、PDOB
∠PCA=∠PDB=90O（垂直定義）
②點P是∠AOB平分線上一點
又 PCOA，PDOB
PC=PD（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）
再讀到求證∠PCD=∠PDC，想到可以推得兩角相等的定理有等腰三角形的兩底角相等和全等三角形對應角相等，與已知可得的條件結合發現PC=PD，SPDC是等腰三角形于是第①問的已知與求證取得了聯系思路完成。
繼續讀題目，②OP是CD的垂直平分線，想到證明垂直平分線的根據目前只有定義（垂直一條線段并平分這條線段的直線就是這條線段的垂直平分線）根據定義，需要證明OPCD或PE是SPCD中CD邊上的高，即∠PEC=90埃暗E是CD的中點或CE=DE或PE是SPCD中CD邊上的中線，想到PE是SPCD中CD邊上的中線、PE是SPCD中CD邊上的高再與前面得到的SPCD是等腰三角形就想到了等腰三角形三線合一，于是需要證明PO平分∠CPD即∠CPO=∠DPO，可通過證明三角形全等得到對應角相等，那么包含∠DPE與∠CPE的三角形有SCPO與SDPO或SCPE與SDPE，結合圖形中標注的條件發現SCPO與SDPO是直角三角形有PC=PD、PO=PO，滿足 “HL" 即可得到三角形全等到這思路就全部暢通。
（2）解決難關②，第一步：整理思路擬出大綱，第二步：根據大綱細化邏輯語言。
第一步：整理思路擬出大綱：第①問：
初中幾何內容豐富、涉及面廣，有關證明題也是變化無窮。因此，一般學生在剛開始學習幾何時都會感到有困難。在解幾何題時，每一步、每一環都要有嚴格的理由，這些理由可以是問題所給的條件，也可以是定義、公理、定理、推論等等，記住公理、定理等是學好幾何的第一步積累。在開始學幾何之時，要找一些基本、簡單的題來做，切忌好高騖遠。對于典型、好記的題型要能熟記于心，這對于基礎比較薄弱的同學來說尤為重要，這是積累的第二步。那么，怎樣才能學好平面幾何呢？
對概念、基礎知識掌握得準確、牢固，審題的思路清晰，這樣才能解決如何學好的問題。例如，我們在證明圖形相似的時候，如果利用兩邊對應成比例及其夾角相等的方法，就必須注意所找的角是兩邊的夾角，而不能是其他角；在回答圓的對稱軸時不能說是它的直徑，而必須說是直徑所在的直線。像這樣的細節我們必須在平時就要有足夠的重視并且牢固掌握，只有這樣才能學好幾何。
認真學習，善于總結，歸納分類，查找原因。例如，“圓”這一章的知識點多，課時量大。初學時，部分學生常因對概念、性質理解不透而出現錯誤。如，圓是軸對稱圖形，因此有的學生誤認為每條直徑都是它的對稱軸，出錯的原因是對對稱軸的概念不理解；有的學生誤認為圓中兩條平行弦所對的弧相等，原因是圓中兩條平行弦相等，但是平行弦所對的弧不一定相等；有的學生誤認為長度相等的弧是等弧，原因是對等弧的概念不清，只有弧的長度相等不能說明弧能互相重合，如果加上“在同圓或等圓中”這個條件的話就正確了。學生只有經常思考、歸納、總結，方能不斷提高。
巧妙添加輔助線，變難為易，把大問題轉化為小問題。在我們對一個問題一籌莫展時，我們就要尋找可能會幫助解決問題的著眼點——添加輔助線。例如，在圓中連接過切點的半徑，則有直角的產生，進而可進行計算和證明；如圓中出現了直徑，應該迅速想到直徑所對的圓周角是90°；遇到梯形的計算和證明時，要很快想到平移腰，變梯形為三角形和平行四邊形，或過梯形上底一端向下底引垂線，變梯形為長方形和直角三角形。再如，如果題設中談到梯形腰的中點，那么我們首先要想到梯形的中位線性質定理；其次，還須想到分割整體圖形為所熟悉的三角形和平行四邊形。采用割補創設全等圖形，必須想到可以連接一個頂點和腰的中點并延長去構造全等三角形。這幾種添加輔助線的方法常常用得到，我們應該見圖想線，滾瓜爛熟。在“圓”章節和“三角形”章節這樣的例子太多太多，不勝枚舉，我們只有找準落筆點，添加輔助線，問題才會迎刃而解。
認真分析問題，全面考慮問題，是學好平面幾何必不可少的。在學習的過程中，不管是三角形的全等還是相似，在一個命題中新編課程規定最多不超過三次。無論是證明角相等還是線段相等，或者是線段成比例、面積相等的問題時，常常遇到一些問題需要分兩種或多種情況來解，怎樣解決這部分問題呢？這主要靠平時的點滴積累。假如說到等腰三角形，我們的腦海中就要立刻蹦出等腰三角形的頂角和底角的關系，面積計算，底角相等，兩腰相等，也就是一切性質熟記于腦中。談到過一點做直線與圓相交或相切，立馬就要考慮點和圓、直線與圓、圓與圓的關系，以及切（割）線定理、切線長定理，并簡單明了地畫出圖形。說到垂徑定理，就要很快地把定理的文字表達出來，結合圖形轉化為符號和推理的語言。即垂徑定理的五個性質，并能知二推三，其間要特別注意“平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”。這樣的情形在學習的過程中常常遇見，在這里我就不再贅述了。但學生在做題時一定要注意考慮是否要分情況考慮，只要平時積累了，心中有桿秤，那么學生在證明或計算時就會水到渠成，游刃有余。
按照思維途徑與因果關系的順逆，分為順推論思路、逆求因思路和逆順夾攻思路。
1.順推論思路
順推論思路就是從問題的條件入手，根據有關公理和基本定理推出或計算出應有的結論，是由因論果的過程，也是推求事理必要條件的過程。對于一些簡單證題，只要一步就可推出應有的結論來，當問題稍復雜些，一步就不行了，往往需要兩步、三步或更多步。這個過程可敘述為：根據公理、定理和幾何的性質，從已知條件推出結論A，如果結論A，不是問題的解；再把結論A當做已知條件推出結論B，經對比，問題仍不得解，再把結論B當做已知條件重復上述工作，直到問題得解為止。這個模式可表述為：
已知條件結論A結論B結論C所求結論。得解。
例題一：已知BA、BC、BD為過B點的三條線段，又知AD∥EG，CD∥FG，求證：EF∥AC。
分析：
已知AD∥EG，CD∥FG，據平行線的性質，進行第一次推論：可得兩個結論，各相應的同位角相等；被平行線分割的線段成比例：
BFFC=BGGD，BEEA=BGGD。因為利用各相對應角的關系很難向下推導，所以只好利用比例線段做第二次推論：由上兩式得BFFC=BEEA即得：BFBC=BEAB又∠EBF共用，得EBF∽ABC，由相似形對應角相等，知∠CAB=∠FEB。于是EF∥AC，同位角相等兩直線平行，得解：
證明：AD∥EG，BEEA=BGGD.（1）
CD∥GF，BFFC=BGGD.（2）
比較（1）式與（2）式，得BEEA=BFFC.
BEBA=BFBC，又∠EBF公用.
ABC∽EBF，∠CAB=∠FEB，
EF∥AC.
2.逆求因思路
在某些情況下，逆著因果關系的邏輯順序進行分析可使問題迅速得解，這種逆邏輯思路，稱為逆求因思路，這種思路是從結果逆求原因，由結論逆求條件。先假定求證結論是正確的，再逆求其成立的條件，從邏輯上看，它是逆求事理的充分條件。
逆求因思路是逆求原因，而不是逆推結論。因為逆求出的是原因，而逆推出的是結果，前者是充分條件，后者是必要條件。只有當所證事理的條件與結論是充分而必要的關系時，逆推才是正確的，否則就是錯誤的。逆求因與逆推論是兩個概念，這里所講的是逆求因，是逆求事理的充分條件。
對于簡單的問題逆求一步就可以解決，對于復雜的問題往往需要許多步才行。其過程為：假定所求結論正確，逆求其成立的條件A，如果條件A不是問題的解：再把條件A看做結論，逆求其成立的條件B，與已知條件相比較，若相同，則得解；若不相同，再繼續上述工作，直至相同為止，這個模式可表示為：
由所求結論條件有關定理條件A有關定理條件B有關定理條件C==已知條件。
得解。
例題二：假設AB∥CD，∠1=∠2，求證：EB∥CF。
分析：欲證EB∥CF由平行線的判定定理：兩條線段與第三條線相交，若內錯角相等，則兩直線平行。知，只須證∠EBC=∠BCF即可。又知∠1=∠2，因此，欲證∠EBC=∠BCF，只須證∠1+∠EBC=∠2+∠BCF，這表示一對內錯角相等，故得到第三步逆求：只須證AB∥CD，對照已知條件AB∥CD，兩者相同，得解。
證明：AB∥CD，∠ABC=∠DCB，
亦即∠1+∠EBC=∠2+∠BCF，
又∠1=∠2
∠EBC=∠BCF。
EB∥CF.
這個例題雖然簡單，但它卻清楚地說明逆求因思路的分析過程，如果由結果追溯原因。但敘述起來比較嚕嗦，因此，證明的記敘，多以順推論思路為好。
3.逆順夾攻思路
所謂逆順夾攻思路，就是一方面從結果逐步逆求條件，另一方面從已知條件逐步推導結論，形成夾攻之勢，這種思路稱為逆順夾攻思路。對一些復雜的、難解的問題常使用之。其詳細過程為：假定所求結論正確，逆求所需要的條件A，把條件A當做結論，逆求其條件B，由條件B逆求條件C，如果再逆求遇到困難或無法逆求時，便停下來，把條件C當做求證結論，再從已知條件分析。由已知條件，推出結論A，由結論A再推出結論B，與條件C相對照，若相同，則得解，若不相同，再繼續推導，直到所得結論與逆求出的條件C相同為止。這個模式可表示為：
由所求結論條件A條件B條件C，
由已知條件結論A結論B結論C，
若條件C==結論C。得解。
在證題過程中，以逆求因思路為主，在某一局部上采用順推論思路，也稱為逆順夾攻思路。
例題三：已知AD，BC延長交于E點，作ME∥AC交BD延長線于M點，作MT切圓于T點。
求證：ME=MT。
分析：欲證ME=MT只須證MT2=MDoMB（切、割線定理）和ME2=MDoMB（MED與MBE相似）。
已知ME∥AC，∠MED=∠DAC，從DC⌒所對的圓周角∠A=∠B，可推出∠MED=∠MBE。又∠DME共用，故可推出MED∽MBE。這就找到了比例線段。
證明：已知ME∥AC。
∠MED=∠DAC。
又∠DAC=∠MBE，
∠MED=∠MBE，且∠DME共用，
∠MED∽MBE，
MD∶ME=ME∶MB，
即ME2=MDoMB。
又MT2=MDoMB，
ME=MT。
關鍵詞：初中幾何 教學水平 質疑能力
中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）03（c）-0111-01
在提倡素質教育的現在，初中幾何教學對于培養學生的邏輯思維能力，提高學生的基本技能極為重要。無數的教學經驗告訴我們，教師的教學水平和專業素質往往就是全面提高初中數學教學質量的關鍵所在。初中數學最難理解，也最容易出現學生成績兩極分化現象的部分就是幾何教學中。不同的教學水平，往往就會有不同的教學效果，本文就如何提高初中幾何教學水平進行探討。
1 注意培養學生學習幾何知識的興趣
興趣是學生學習最好的老師，初學幾何的學生之所以對幾何學習望而卻步，最重要的原因還是在于覺得幾何枯燥乏味，沒有實用價值，因此，應該在初中幾何教學中注意培養學生學習幾何知識的興趣。
第一，對于初中幾何教材的實質內容要善于挖掘，為了有效地將學生的求知欲激發出來，應該讓抽象的幾何知識和學生感興趣的生活原型相互聯系起來，使幾何變得具體形象起來。
第二，對于幾何導言課的教學設計應該做好充分的準備，高度重視，將導言課備好、講好，為培養學生學習幾何知識的興趣打下堅實的基礎。
第三，結合初中幾何教材的教學內容來給學生講解有關的數學史知識，介紹在幾何方面中外數學家的卓越成就，將崇高的理想與幾何學習相互結合起來，使得學生有主動學習的內驅力。
2 多組織交際性活動來培養學生的質疑能力
交際性活動可以更加充分地發揮學生在學習初中幾何的創造性，能夠在活動中排除過去那種呆板、機械的“注入”，形成學生“自組織”，可以有效地培養學生的質疑能力。教師在交際性活動可以完全放開對學生的控制，是活動的參與者，同時也可以是裁判者，要最大程度地發展學生創造性思維。判定的模式為：教師啟動―學生自學―小組討論―組際交流―練習評定。可以圍繞一些學生感興趣的數學問題來與學生展開了互動交流，讓他們自己圍繞這些問題來提出新的問題，然后通過查詢資料來回答問題。當學生有困難時，教師不要輕易地給他（她）“標準答案”，而是設法引導，讓他（她）自己做出正確或接近正確的答案。對于回答錯誤的學生，也應該盡量地予以支持和鼓勵。“交流―互動”教學的藝術不在于傳授，而在于鼓舞、呼喚和激勵。
3 關注學生思想，消除實驗教學課堂沉悶死角
由于初中幾何的教學課程內容有些較為枯燥，且難度較大，因此，老師在教學過程中要有相當的耐心，而且教起來不能太快，必要的時候，速度要適中，等他們過渡到一定的時間了，才能按照正常的速度來教，尤其對于對后進生，更是要非常的耐心，而且決不能輕言放棄，不放棄任何一個學生。按照現代教育心理學的觀點，后進生依然有著強烈的進取心和榮譽感，教師應該付出更多的鼓勵和關愛，盡量地去滿足他們的成功欲，多給他們具體的幫助指導和表現的機會，讓他們在課堂上能夠有表現自己的機會，提高他們學習初中幾何知識的興趣。筆者在教學中，經常把簡單的話題和簡單的題目都讓這些后進生來回答，他們都能很好地完成，老師的贊許和同學們的掌聲會讓他們獲得成就感，信心倍增。
4 活用多媒體，化繁為易
眾所周知，初中幾何知識具有應用的廣泛性、嚴密的邏輯性和高度的抽象性，我們通過多媒體的方式將原本枯燥的幾何知識用直觀的方式傳遞給學生，讓這些知識變得更加易理解、直觀、具體，從而讓學生主動發現新的規律。可以優化學生認知過程，化繁瑣的新知為簡明易懂的學習內容。如空間幾何部分涉及到很多的空間知識，單憑教師在黑板上繪制平面圖形，學生是很難理解的。在這種情況下，有必要借助現代教育技術軟件來模擬生活中很難見到或者僅憑想象很難理解的幾何圖形，用動畫的方式來模擬立體圖形、空間曲面、空間曲線的生成過程、空間圖形的位置變化、曲線曲面的形成等，將原本較為虛幻的空間關系變得具體形象，實現由點到線、再由線到面，最后生成空間立體圖形的全部過程。總之，多媒體技術給初中幾何教學提供了無限廣闊的天空，為初中幾何教學注入了新的活力，恰當地運用多媒體來輔助教學，能輕松解決教學難點，提高學生學習的積極性和主動性，真正達到提高教學的效率。
參考文獻
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關鍵詞：信息技術；初中；幾何教學
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）23-364-01
初中幾何的核心是培養學生的創新思維能力，是以培養人的創新精神和創新能力為基本價值取向的教育。計算機輔助課堂教學在新的教學理念、新的技術、新的環境下發生變化。信息技術為課堂教學的開放性，為學習者的自主性、研究性提供了有力的支持，促進了初中幾何課堂教學結構變革。初中幾何教學，可以從創新教育的原則出發，利用信息技術來創設情景，提供不同的學習資源，讓學生觀察情景的背景下，提出問題，分析問題，解決問題，使計算機輔助教學有助于學生的創新精神、創新能力的培養。
一、教學活動設計
計算機作為一種工具能夠幫助教師更好的優化教學過程，它的生命力在于延伸教師表達能力，計算機呈現的感性材料，只是學生形成理性認識的基礎，特別是有的動畫、錄像和音樂，如果光讓學生看，學生就可能只被動畫吸引，看完后只覺得精彩，而無法與文字結合起來。因此，教師的指導和點撥作用就顯得非常重要。例如：多媒體播放前、播放中或播放后，教師適當的提示和深化講解，有意識地提醒學生注意相關的知識，把觀察和思考有機結合起來，讓學生更容易鞏固視聽效果。播放前，可以向學生講清視聽的目的和要求，使學生集中注意力去感知視聽材料的主要信息，排除干擾。播放中，教師應適當插入啟發性問題，加強導向，讓學生明白怎么看，怎么想。播放后，及時講解和總結，讓學生強化感知，加強理解。
二、發揮學生參與設計的主動性
利用信息技術優化初中幾何課堂教學過程，使交互式學習成為可能，交互性本身是信息技術的關鍵特性之一，信息技術向學習者提供支持，為他們創設一種相互交流、信息共享、合作學習的環境。利用信息技術優化初中幾何課堂教學過程，使師生之間在教學中以一種交互的方式呈現信息，學生利用信息技術中不僅接受，同時也在表達。教師可以根據學生反饋情況調整教學。學習者可以與教師發生交互作用，向其提出問題，請求指導，并且發表自己的看法。這種交互作用不僅可出現在師生之間，同樣也可在學生之間，從而有利于發揮小組學習的作用，進行協同式學習。這種交互式的教學加強了師生間和學生間的交流，對提高教學質量和學習效果產生了積極的作用。
三、教學內容的覆蓋、知識結構的設計
利用信息技術優化初中幾何課堂教學過程，使教學不再局限于教材，拓展了教學視野。利用信息技術更快更好地獲取更多的信息資源，用計算機作為認知和加工信息的工具，以網頁的形式將信息組織和管理制作成超文本，建立網絡環境下的校本教材。建立網絡環境下的資源庫：包含教學多媒體素材如文本、影像、圖片、課件、錄音等、網絡資源表、自制視頻庫、優秀的學生作品、學生自建資源庫等內容；以資源庫為依托，構建網絡環境下的校本教材：學生以教師的知識結構圖為主線，用網頁形式記錄建構的知識。
四、信息技術介入點的選取設計
在課題的不斷研究、實驗、總結、反思、再總結的過程中，對利用信息技術優化初中幾何課堂教學過程中，隨著課題研究過程的不斷深入，對信息技術介入點的選取有了質的飛躍。
1、導入新課、創設情景時：即在新知識講解前創設問題情景引入新課。善于激發學生的學習興趣和熱情，調動了學生的求知欲，為堂課的成功教學奠定了堅實的基礎，極大的優化了初中幾何課堂教學過程。
2、激發興趣、提高注意力時：即在課堂上激發學生興趣提高注意力時運用。
信息技術的直觀性對于激發興趣、提高注意力有著不可替代的作用，可以改變數學教學的枯燥，大大提高教學質量，也起到了優化初中幾何課堂教學過程的作用。
3、突出重點、突破難點：即在教學中舍棄次要內容，突出教學重點、突破難點。例如：教師充分利用信息技術強大的作圖功能、動畫功能向學生展示物體不同方向的圖像，突破了學生從不同方向看圖形的難點，逐步提高了知識的理解和掌握。
4、數學知識應用于生活時：在學生掌握知識的前提下，利用信息技術把數學知識應用于生活，提高學生綜合解題的能力，擴大學生的生存空間時。利用信息技術中各種能刺激感官的聲、光、色、圖等設計帶有情緒色彩的問題，吸引學生的注意力，并充分把數學知識應用于生活，在處理問題的過程中逐步體會數學知識來源于生活又服務于生活的道理，提高學生的綜合素質，擴大學生的生存空間。
關鍵詞：數學實驗；初中幾何；教學
一、開展初中幾何教學的意義
（一）為學生學習高中的解析幾何、立體幾何奠定基礎。只有把初中的平面幾何學好，才能掌握學習幾何的基本能力，從而為高中階段學習解析幾何、立體幾何奠定基礎。
（二）可以提高學生的抽象思維能力、推理能力、語言組織能力，培養學生的創新精神。初中階段正是學生形成邏輯思維和抽象思維的最佳時期，也是學習組織邏輯語言的最佳時期。這一階段是落實初中幾何教學工作的重要時期。
（三）有助于培養學生把握空間與圖形的能力，使學生更好地認識和理解人類生存的空間。直觀圖形、幾何模型以及幾何圖形能直觀呈現空間與圖形的關系，也是解決學習、生活和工作中各種問題的工具。
二、數學實驗與幾何教學
數學雖不能將實驗性的驗證作為判斷數學命題真假的充分依據，但在數學研究中可以通過實驗收集新材料、獲取新知識、創新數學理論。
長期以來，幾何學的抽象性、嚴謹性給人們以深刻的印象，實驗、操作似乎與幾何相隔很遠，人們普遍認為推理證明才是幾何的主旋律。事實上，這種看法是片面的，越是抽象和復雜就越需要形象和具體的輔助與配合。實驗操作在整個幾何學的發展過程中起著重要的作用，甚至可以說，實驗或者經驗幾何是其中的一個重要階段。在教學各種圖形的面積、體積時，教師可以使用割補、變換等方法把圖形轉換成易于計算的等積圖形來計算。在教學“圓錐的體積”時，教師常常通過這樣的實驗作為發現結論的過程：將圓錐內裝滿水或沙子，然后倒入等底等高的圓柱內，從而使學生理解二者體積間的關系。
教學中，師生可以結合實驗法對幾何圖形進行觀察、操作和思考，使抽象的幾何問題具體化、直觀化，從而讓學生把新的數學知識內化到認知結構中，這是幫助學生學習幾何知識的一種有效途徑。
三、幾何教學中實施實驗法的原則
（一）以激發學生學習興趣為基礎。心理學家奧加涅相說：“數學教學上的成就，很大程度取決于學生對數學課的興趣是否保持和發展。”興趣是最好的老師，也是鉆研學問的原動力。有興趣才有強烈的求知欲望。數學實驗法在激發學生的學習興趣方面表現為：首先，教師用數學實驗法指導幾何教學可以讓抽象的問題直觀化，降低幾何問題的難度，使學生在解決幾何問題時獲得成就感。尤其是在初中幾何的入門階段，學生的抽象思維很大程度上仍依賴于具體的事物。其次，教師通過趣味性的數學實驗引出或落實新知識，可以使“死的知識”變活，讓圖形“動”起來，既使學生受到新奇的感官刺激，又可以更有效地展示教學中的變化規律，讓學生充分享受發展的樂趣。以等腰三角形為例，通過“將n根火柴棒擺成等腰三角形（n=3，5，6，7，8…）”的實驗可以使學生進一步體驗等腰三角形的定義，感受分類討論的思想，體會不同圖形的變化規律。
（二）以幫助學生發現知識為目的。著名教育家弗賴登塔爾曾說，學習數學唯一正確的方法就是實行再創造，也就是由學生自己去發現和創造出來要學習的東西。教師的任務是引導和幫助學生進行這種再創造的工作，而不是把現成的步驟、做法、知識灌輸給學生。歷史上的幾何知識是勞動人民在長期不間斷的生產實踐中總結、提煉出來的，這些知識的探索過程無法徹底在課堂上還原，但可以恰當地設計一些數學實驗，引導學生進行猜想、驗證，也可以啟發學生自然地發現知識。例如：在“三角形內角和定理”這部分知識教學中，教師可以首先將三角形的兩個底角剪下來，將底角的頂點放在頂角的位置，使三個角的頂點重合，拼成一個平角，然后讓學生猜想三角形的三個內角關系，最后得出三角形內角和定理。在這個例子中，通過教師實驗、學生觀察的方式讓學生發現三角形內角和定理。也可以由學生自己測量三角形的三個內角度數，教師引導學生考慮內角度數間的等量關系，達到同樣的目的。
（三）以幫助學生經歷知識的生成為重點。新課程強調教師應把重點放在揭示知識的形成過程上，引導學生感悟知識的內在規律。而實驗的過程正是探索的過程、發現的過程。對于有些幾何知識，離開了實驗，學生很難理解其形成過程，也就很難理解知識的本質。在幾何圖形這節課的教學中，教師需要讓學生感受點、線、面、體四者之間的關系。教師通過粉筆筆尖在黑板上滑動留下軌跡，可以引導學生通過直觀地觀察體驗“點動成線”的本質。還可以讓學生通過實驗操作體會到線由點形成、面由線形成、體由面形成。教學中，為了更好地使學生掌握知識、培養他們的創新意識和能力，教師要盡可能地呈現數學知識和結論的發現過程。因此，實驗法應成為數學教學中探索、學習知識的重要方法和開展實踐活動的主要形式。
實驗教學是數學教學中的重要環節，是培養學生動手、動腦、觀察、分析等能力的重要手段和提高課堂教學效率的有效方法。
參考文獻：
[1]張景斌.中學數學教學教程[M].北京：科學出版社，2005.
一、不同版本教材的對比
1.章節編排
第一，舊人教版教材從五個層面安排“四邊形”這一教學內容：一是四邊形內、外角和與多邊形內角和，二是四邊形的性質（對角相等、對邊相等、平行線間的距離及對角線互相平分），三是平行四邊形的判定（兩組對角分別相等、兩組對邊分別相等、對角線互相平分及一組對邊平行且相等），四是特殊平行四邊形的性質和判定、中心對稱及梯形，五是平行線等分線段定理、三角形及梯形中位線。
第二，新人教版教材從四個層面安排“四邊形”這一教學內容：一是平行四邊形的性質（對角相等、對邊相等及對角線互相平分），二是平行四邊形的判定（兩組對邊分別相等、對角線互相平分、兩組對角分別相等、一組對邊平行且相等、三角形中位線及兩條平行線間的距離相等），三是特殊平行四邊形的性質和判定，四是梯形（2013年人教版教材把這一內容刪除）。
第三，華東師大版教材從四個層面安排“四邊形”這一教學內容：一是平行四邊形的特征（對角相等、對邊相等、對角線互相平分及平行線間的距離），二是平行四邊形的識別（一組對邊平行且相等、對角線互相平分及兩組對角分別相等），三是特殊平行四邊形的特征和判定，四是梯形。
2.增減內容
第一，相對舊人教版教材，新人教版教材增加了重心學習和平面直角坐標系中的特殊四邊形的相關內容，讓圖形與坐標緊密結合；刪除了四邊形內、外角和，多邊形內角和，中心對稱以及平行線等分線段定理的相關內容。第二，相對舊人教版教材，華東師大版教材刪除了四邊形內、外角和，多邊形內角和，中心對稱以及平行線等分線段定理的相關內容。
3.處理手法
第一，舊人教版教材的處理手法是：性質、定理都要求證明，系統性和嚴謹性較高。第二，新人教版教材的處理手法具體包括三點：一是通過觀察度量、圖像變換，探究、發現平行四邊形的性質；二是通過扭動平行四邊形框架，得到平行四邊形、矩形和菱形的判定方法；三是利用軸對稱，探究、發現菱形的性質。歸根結底，新人教版教材處理手法的最大特點是：大部分的性質和判定須通過實驗得到，只有部分需要證明。第三，華東師大版教材的處理手法具體包括三點：一是通過自己動手畫圖、觀察，探究、發現平行四邊形的性質，二是圖形的變換在整章書中占有重要地位，圖形的主要特征都通過圖形的變換得到；三是教材通過設置《探索》《做一做》和《試一試》等欄目以及恰當的旁白，給學生提供一定的探索和交流的空間。總而言之，華東師大版教材處理手法的最大特點是：圖形的有關結論建立在學生的直觀感知和操作確認的基礎上，特別注重培養學生的動手能力，對推理的要求大大降低。
與舊人教版教材相比，新人教版教材和華東師大版教材（統稱“新教材”）都淡化了邏輯推理，具體包括三點：從內容結構上看，新教材將初中幾何的相關內容分為圖形認識、圖形與變換、圖形與坐標和圖形與證明四大模塊；從研究方法上看，新教材將初中幾何分為實驗幾何與論證幾何。可見，邏輯推理已不再是數學證明的唯一手段，數學中的非邏輯思維，例如形象思維、靈感思維和逆向思維等不受固定邏輯模式的限制，更具有靈活性和創造性，成為提出數學新理論、作出新發現的重要工具。與之相適應，初中幾何應轉變教學策略。
二、尋找初中幾何教學對策
1.重視體驗學習
在初中幾何教學中，教師應注重基礎知識教學，讓學生正確理解幾何定理，在幾何學習中感受快樂，最終熱愛幾何學習。為此，教師可通過三種教學方法讓學生理解幾何定理，以達到更好的教學效果。
（1）多畫，在線條中得到答案
初中幾何的定理有很多，最好的辦法就是讓學生通過畫圖驗證幾何定理。例如，在學習“三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊一半”時，教師可讓學生自己動手畫一個三角，然后畫出它的中位線，最后讓學生利用尺子度量中位線是否等于第三邊的一半。通過畫圖證明幾何定理往往比繁瑣的幾何證明更易于學生接受。
（2）多做，在操作中尋找答案
一些教師在平時教學中，常常為了節省教學時間，把公式、定理的推導過程省略掉，雖然展示了公式、定理產生的過程，但還是以教師的講授為主，學生沒有真正參與公式、定理發現的全過程，導致學生缺乏必要的學習能力。因此，教師應讓學生動手多做，在操作中尋找答案。例如在教學“圓柱、圓錐側面積”這一內容時，教師可讓學生在前一天先準備好一個圓柱體、一個圓錐體（可以是自己動手做的，也可以是食物的包裝盒，如薯片罐、可樂罐等）和剪刀，讓學生自己動手剪一剪、擺一擺，最后得出結論。當學生把圓柱體、圓錐體剪開后，就會發現并清楚地記得：圓柱體的側面展開圖是一個矩形，圓錐體的側面展開圖是一個扇形；矩形的一邊是圓柱體的高，另一邊是圓柱體底面圓的周長；扇形的半徑為圓錐體的母線，弧長為圓錐體底面圓的半徑。通過這樣的操作，學生就會牢牢記住公式都與底面圓有關，從而避免記錯公式的現象。
（3）巧用，在觀看中尋找答案
多媒體技術可根據教學內容真實、生動地再現事物發生、發展的過程，具有直觀、靈活和立體化的優勢，在教學中發揮著越來越重要的作用。因此，在初中幾何教學中，教師可巧用多媒體技術，助力初中幾何教學。一方面，教師采用PPT課件上課，這樣既可省去上課作圖的時間，又能有效關注學生幾何學習的過程；另一方面，教師可通過下載相關教學視頻，在課上讓學生觀看，以吸引學生的注意力。例如，在教學“勾股定理”這一內容時，教師可讓學生觀看一個實驗視頻：通過水的流動過程，引導學生猜想兩個小正方形的面積之和剛好等于一個大正方形的面積。然后，要求學生用字母表示三個正方形面積之間的數量關系。接下來，讓學生在小組內進行交流。這樣，學生通過正方形面積之間的關系很容易發現對直角三角形而言滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
2.重視語言轉化
數學表達需要文字語言、符號語言和圖形語言。為了讓學生順利進入推理之門，在平常的教學中，教師應重視訓練學生文字語言、符號語言和圖形語言之間相互轉化的能力。這種訓練不僅有助于學生對數學概念、公式和定理的理解和記憶，更有利于培養學生數學思維的準確性和靈活性，使學生獲得終身學習數學知識的方法和能力，實現提高數學教學質量的最終目標。
3.重視知識總結
數學知識要靠平時積累，只有積累到一定程度才能產生質的飛躍。因此，在平時的教學中，教師要重視知識的總結，讓學生清楚地知道每個知識點的用途，以及它們之間的內在聯系，幫助學生準確把握書本中的重點和難點，加深對各個知識點的理解，為日后的運用打下堅實基礎。例如，在教學“四邊形”這一內容時，各種四邊形之間的聯系和區別是這一章的難點，因為概念交錯，所以容易混淆，如果教師通過一個關系圖（如圖1所示），明確各種四邊形的從屬關系，那么學生就會建立比較清晰的概念。
4.重視邏輯推理能力的培養
數學是一門嚴謹的科學，重在培養學生的邏輯推理能力。雖然邏輯推理已不再是初中數學證明的唯一手段，但邏輯推理能力的培養對學生的思維發展尤為重要，有助提高學生解決問題的能力。
（1）重視分析，培養思維
幾何證明是初中數學教學的一大難點。基于此，教師應在幾何教學中培養學生分析問題、解決問題的能力，且務必把幾何證明的基本方法教給學生。幾何證明的基本方法一般有三種：“綜合法”“分析法”和“綜合分析法”。針對比較簡單的題目可采用“分析法”或“綜合法”解題；針對相對復雜的問題，采用“分析法”更有利于解決問題。“分析法”不是從已知條件著手，而是從問題的結論出發，尋求其成立條件的方法，即一步步尋求上一步成立的充分條件，直到完全與已知條件相符為止。因此，加強“分析法”中分析圖的教學很有必要。“分析圖”的特點是從未知看須知，逐步靠近已知。
例如：在四邊形ABCD（如圖2所示）中，AB=CD，BC=AD。
求證：四邊形ABCD是平行四邊形（提示：連接AC）。
本題的“分析過程”如圖3所示。
（2）分層練習，強化方法
要培養學生的推理能力，就要遵循“從簡到難，由淺入深”的原則。例如，在教學“全等三角形判定”這一內容時，教師可先準備一些條件足夠的題目讓學生判斷用哪一個判定定理（如圖4），以便讓學生盡早形成知識結構，然后依次讓學生接觸需要尋找一個條件證明的題目（如圖5），需要尋找兩個條件證明的題目和需要尋找三個條件證明的題目。這樣，學生學起來比較輕松，更易掌握幾何證明的方法。
如：
（3）一題多解，一題多變
“一題多解”，即同一題目從不同的角度分析，隨之得到不同的解法。“一題多解”的訓練有利于調動學生學習的積極性，有利于訓練學生思維的靈活性，有利于開拓學生的思路，有利于提高學生綜合運用幾何知識的能力。
“一題多解”，既可充分展示題目涉及的知識，又能尋找同類題目的解題方法，既可讓學生把知識融會貫通，又能培養學生選擇簡便解題方法的能力。
“一題多變”可從兩個層面解釋：一是條件不變，還可以推出哪些結論，這些結論之間有什么聯系；二是條件改變，原結論還成不成立，能推出怎樣的新結論，推導的途徑與原來的方法有什么不同。
“一題多變”通過縱向對比，加深學生對知識的理解，使學生通過一道題懂得一類題，以激發學生學習幾何的興趣，培養學生的創新能力。
幾何對大多數初中學生來說，學起來感到吃力。幾何中的求解與證明，使很多學生邏輯思維混亂，條理不清，有的同學更是不知如何分析、如何入手等。那么，如何提高初中學生的幾何成績？
一、展示幾何美，激發學生學習幾何的興趣
羅素曾說過：“數學之中有至高無上的美。”初中數學教材中的定理、公理，如：圓的周長和面積公式：C＝2πr和S＝πr2、勾股定理等，都讓學生體味到數學語言的準確和精煉，能使學生感受數學語言的簡潔之美；而對于幾何證明的過程，對于每一步都一定要有根據可循，這就展示了幾何邏輯思維的嚴密性；對于三角形來說，雖然千變萬化，但它內角和一定等于180°，這又充分體現了數形的結合之美；楊輝三角形體現了數學的對稱之美；國旗上五角星、車的流體設計等等中，無不用到數學幾何中的“黃金分割”，這充分展示了數學在生活中的應用之美。通過這些幾何美的展示，去激發學生學習幾何的興趣。
二、多給學生動手機會，培養學生學好幾何的信心
《義務教育數學課程標準》注重學生學習方式的改變，注重學生對知識的形成過程，教材中的每一節內容都滲透著這樣的課改理念，每一節課的內容中都編排有“試一試”或“做一做”。我們教師要充分利用好這些內容，給學生動手的機會，去培養學生學習幾何的興趣。通過動手讓學生試一試、做一做、畫一畫、寫一寫，這樣有利于激發學生學好幾何的興趣與信心。例如，在學習“正方體展開圖”時，假如只是用畫圖的方法展開正方體的話，學生不容易想象和理解，接受起來也不容易，但是，如果讓學生自己動手，把準備好的正方體紙盒用不同種方法去剪開，通過剪出的不同種的正方體展開圖，再與書本上列出的正方體展開圖進行比較，學生的熱情一定會很高。學生通過動手去體會知識的形成過程，使學生體會到學習的快樂和成就感，這樣學生對學好幾何的信心就會有很大的提高。
三、加強幾何文字、圖形和符號語言的訓練，引導學生學會推理論證
證明幾何題是用“”和“”這樣的符號語言進行論證推理的。為了能使學生盡快地掌握這些符號語言，學會推理論證，在概念和圖形特征以及識別的教學中，要多采用文字語言和圖形語言及符號語言的強化訓練。通過這樣的訓練促使學生用圖形語言或符號語言去認識概念，使學生逐步學會文、圖、式的互變，去提高學生使用符號語言的能力。在平面幾何的入門階段，如果學生能進行一到二步的推理論證，那一定是很不錯的，雖然對于學生獨立論證的能力不必急于求成，但是必須要理清特征與識別的圖、文、式的表示。
四、重視解題過程的訓練，培養學生的推理和思維能力
解答幾何習題的時候，對于每一步都要有根有據，由于每一步都存在嚴密的邏輯推理思維，所以不能想當然。在幾何題的書寫步驟上思維不能混亂，條理一定要清楚。不能出現以下這幾種情況：跳步驟、漏步驟、書寫雖多，但讓人摸不著邊際，有的同學直接就不知道如何書寫等等。遇到這些情況，就要求我們教師在開始講解幾何題的時候，一定要注重幫助學生對題目進行分析。要引導學生如何破解題目，還要引導學生如何書寫，要強調每一步都要有根據有理由，這些理由可以是題目中所給的條件，同時也可以是定義、定理、公理和推論等等。教師在板書的時候，每一步都要寫出依據，這樣好讓學生模仿和理解，更要要求學生在開始書寫幾何習題時，一定要每一步都寫出根據理由，這樣有利于培養學生的邏輯思維能力，也有利于學生熟練地掌握公理和定理，而熟練地掌握公理和定理是解決幾何問題的首要條件，所以要求學生一定要熟記課本中出現過的公理和定理，它是學好幾何的第一步。
五、通過對各種圖形的識別，培養學生的畫圖和用圖能力
觀察一個幾何圖形或者畫一個幾何圖形，都要求我們能在頭腦中把其中幾何事實形象化和具體化，這樣有利于我們把幾何公理、概念、定理能反復進行分析，能掌握這些公理、概念、定理之間的內在聯系，以至能靈活地運用它們。初中學生感到學幾何困難，主要原因就是不會利用圖中的隱含條件進行解題。例如，已知在直角三角形中，隱含著勾股定理、兩銳角互余、三角函數的邊角關系、等積法求斜邊上的高、斜邊上的中線等于斜邊的一半等。對于這些隱含的條件，出題人是不會再提出來的，但是學生在證明和求解時，這些條件是可以直接拿來利用的，只有學生在解題的過程中，能把這些隱含的條件給挖掘出來，且能應用這些條件，那么就說明學生的幾何就學得很好了。
